2015-2016学年北京市朝阳区九上期末数学试卷

北京市朝阳区2015～2016学年度第一学期期末检测九年级数学试卷（选用） 2016.1（考试时间120分钟 满分120分） 成绩______________一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1.下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是ABCD2.下列事件为必然事件的是A. 任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上B. 篮球运动员投篮，投进篮筐C. 一个星期有七天D. 打开电视机，正在播放新闻3.在平面直角坐标系中，点B 的坐标为（3，1），则点B 关于原点的对称点的坐标为 A. （3，－1） B. （－3，1） C. （－1，－3） D. （－3，－1）4.如图，AC 与BD 相交于点E ，AD ∥BC ．若AE =2，CE =3，AD =3，则BC 的长度是 A. 2 B. 3 C. 4.5 D. 65.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =3，AC =4，则sin A 的值是A.43B.34 C.53 D.54第4题图 第5题图第6题图6.如图，反比例函数2y x=-的图象上有一点A ，过点A 作AB ⊥x 轴于B ，则AOB S V 是 A.12B.1C.2D.47.如图，在⊙O 中，∠BOC =100°，则∠A 等于 A. 100° B. 50° C. 40° D. 25°第7题图第8题图8.如图，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△A ’OB ’，若∠AOB =15°，则∠AOB ’的度数是 A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 9.如图，点D ，E 分别在△ABC 的AB ，AC 边上，增加下列条件中的一个：①∠AED =∠B ，②∠ADE =∠C ，③BC DE AB AE =，④ABAE AC AD =，⑤AE AD AC ⋅=2， 使△ADE 与△ACB 一定相似的有A.①②④B.②④⑤C.①②③④D.①②③⑤图①图②第9题图 第10题图10.小阳在如图①所示的扇形舞台上沿O -M -N 匀速行走，他从点O 出发，沿箭头所示的方向经过点M 再走到点N ，共用时70秒．有一台摄像机选择了一个固定的位置记录了小阳的走路过程，设小阳走路的时间为t （单位：秒），他与摄像机的距离为y （单位：米），表示y 与t 的函数关系的图象大致如图②，则这个固定位置可能是图①中的 A. 点Q B. 点P C. 点M D. 点N二、填空题（本题共18分，每小题3分）11.在一个不透明的袋子中，装有2个红球和3个白球，它们除颜色外其余均相同．现随机从袋中摸出一个球，颜色是白色的概率是 ．12.如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，⊙O 的半径为1，则»AB 的长为 ． 13.已知y 是x 的反比例函数，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小．请写出一个满足以上条件的函数表达式．FE ABCDBOA第12题图 第14题图 第15题图 第16题图14.如图，矩形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，BE 交对角线AC 于点F ，则△AFE 与△BCF 的面积比等于 ．15.如图，⊙O 的半径为6，OA 与弦AB 的夹角是30°，则弦AB 的长度是 ．文明 和谐 自由 平等A BC D16.如图，已知反比例函数2y x=的图象上有一组点B 1，B 2，…，Bn ，它们的横坐标依次增加1，且点B 1横坐标为1．“①，②，③…”分别表示如图所示的三角形的面积，记S 1=①-②，S 2=②-③，…，则S 7的值为 ，S 1+S 2+…+S n = （用含n 的式子表示）．三、解答题（本题共72分，第17-26小题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17.计算：12cos45tan 60sin302︒-︒+︒--．18.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于点E ．若DE =2，BC =3，AC =6，求AE 的长．19.如图，点A 的坐标为（3，2），点B 的坐标为（3，0）．作如下操作：①以点A 为旋转中心，将△ABO 顺时针方向旋转90°，得到△AB 1O 1；②以点O 为位似中心，将△ABO 放大，得到△A 2B 2O ，使相似比为1∶2，且点A 2在第三象限． （1）在图中画出△AB 1O 1和△A 2B 2O ；（2）请直接写出点A 2的坐标：__________．20.党的十八大提出，倡导富强、民主、文明、和谐，倡导自由、平等、公正、法治，倡导爱国、敬业、诚信、友善，积极培育和践行社会主义核心价值观，这24个字是社会主义核心价值观的基本内容．其中：“富强、民主、文明、和谐”是国家．．层面的价值目标； “自由、平等、公正、法治”是社会．．层面的价值取向； “爱国、敬业、诚信、友善”是公民个人．．．．层面的价值准则． 小光同学将其中的“文明”、“和谐”、“自由”、“平等”的文字分别贴在4张硬纸板上，制成如右图所示的卡片．将这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不．放回．．，再随机抽取一张卡片． (1)小光第一次抽取的卡片上的文字是国家．．层面价值目标的概率是 ；(2)请你用列表法或画树状图法，帮助小光求出两次抽取卡片上的文字一次是国家．．层面价值目标、一次是社会．．层面价值取向的概率（卡片名称可用字母表示）．21.如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数2y x =与反比例函数ky x=的图象交于A ，B 两点，点A 的横坐标为2，AC ⊥x 轴于点C ，连接BC . （1）求反比例函数的表达式； （2）若点P 是反比例函数ky x=图象上的一点，且满足△OPC 的面积是△ABC 面积的一半，请直接写出点P 的坐标．22.《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO ⊥CD 于点A ，求间径就是要求⊙O 的直径．再次阅读后，发现AB =______寸，CD =____寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O 的直径．图①图②23.如图，在一次户外研学活动中，老师带领学生去测一条东西流向的河流的宽度（把河两岸看做平行线，河宽即两岸之间的垂线段的长度）．某同学在河南岸A 处观测到河对岸水边有一棵树P ，测得P 在A 北偏东60°方向上，沿河岸向东前行20米到达B 处，测得P 在B 北偏东45°方向上．求河宽（结果保留一位小数． 1.4142≈， 1.7323≈）．24. 如图，已知△ABC 是等边三角形，以AB 为直径作⊙O ，交BC 边于点D ，交AC 边于点F ，作DE ⊥AC 于点E ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若△ABC 的边长为4，求EF 的长度．25.如图①，在Rt △ABC 中，∠C =90°．将△ABC 绕点C逆时针旋转得到△A ’B ’C ，旋转角为α，且0°<α<180°．在F O A旋转过程中，点B’可以恰好落在AB的中点处，如图②．（1）求∠A的度数；（2）当点C到AA’的距离等于AC的一半时，求α的度数．图①图②备用图26. 有这样一个问题：探究函数262--=xxy的图象与性质．小慧根据学习函数的经验，对函数262--=xxy的图象与性质进行了探究．下面是小慧的探究过程，请补充完成：(1)函数262--=xxy的自变量x的取值范围是___________；(2)列出y与x的几组对应值．请直接写出m的值，m=__________；x …-3 -2 0 1 1.5 2.5 m 4 6 7 …y … 2.4 2.5 3 4 6 -2 0 1 1.5 1.6 …(3)请在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；(4)结合函数的图象，写出该函数的两条性质：①；②．27. 我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆．．．称为该平面图形的最小覆盖圆．．．．．．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆．（1）请分别作出图①中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；xy–1–2–3–412345678–1–2–3–412345678O80°ABC100°AB C图①（2）三角形的最小覆盖圆有何规律？请直接写出你所得到的结论（不要求证明）； （3）某城市有四个小区E F G H ，，，（其位置如图②所示），现拟建一个手机信号基站，为了使这四个小区居民的手机都能有信号，且使基站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此基站应建在何处？请写出你的结论．．并说明研究思路．28.如图①，在平面直角坐标系中，直径为32的⊙A 经过坐标系原点O （0，0），与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C （0，3）．（1）求点B 的坐标；（2）如图②，过点B 作⊙A 的切线交直线OA 于点P ，求点P 的坐标； （3）过点P 作⊙A 的另一条切线PE，请直接写出切点E 的坐标．图①图②29.在数学活动课上，老师提出了一个问题，希望同学们进行探究．在平面直角坐标系中，若一次函数6y kx =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与反比例函数xy 6=的图象交于C 、D 两点，则AD 和BC 有怎样的数量关系？同学们通过合作讨论，逐渐完成了对问题的探究．小勇说：我们可以从特殊入手，取1k =-进行研究（如图①），此时我发现AD =BC ．小攀说：在图①中，分别从点C 、D 两点向两条坐标轴作垂线，根据所学知识可以知道有两个图形的面积是相等的，并能求出确定的值，而且在图②中，此时1k ≠- ，这一结论仍然成立，即_______的面积=_______的面积，此面积的值为____．小高说：我还发现，在图①或图②中连接某两个已知点，得到的线段与AD 和BC 都相等，这条线段是 ．33.88°48°48.12°44°54°51°50°31°FEH G图②xy123456654321I FA BH G DC Oxy123456654321IF A BH GDCO图① 图②（1）请完成以上填空； （2）请结合以上三位同学的讨论，对图②所示的情况下，证明AD =BC ； 小峰突然提出一个问题：通过刚才的证明，我们可以知道当直线与双曲线的两个交点都在第一象限时，AD BC =总是成立的，但我发现当k 的取值不同时，这两个交点有可能在不同象限，结论还成立吗？（3）请你结合小峰提出的问题，在图③中画出示意图，并判断结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．北京市朝阳区2015～2016学年度第一学期期末检测九年级数学试卷答案 2016.1（考试时间120分钟 满分120分） 成绩______________一、选择题（本题共30分，每小题3分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ACDCCBBBAB二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11121314151653 3π 如：1y x =，（ k ＞0即可） 1463156（1分）；1n n +（2分）三、解答题（本题共72分，第17-26小题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.图17. 解：22130sin 60tan 45cos --︒+︒-︒ 21213222-+-⨯= …………………………………………………………………………4分 32-= ………………………………………………………………………………………5分18.解：∵︒=∠90C ，AB DE ⊥，∴︒=∠=∠90C AED ． …………………………………………………………………………1分 又∵A A ∠=∠，∴AED ∆∽ACB ∆． ……………………………………………………………………………2分∴CBEDCA EA =． ……………………………………………………………………………………3分 又∵2=DE ，3=BC ，6=AC ， ∴326=EA ． ………………………………………………………………………………………4分∴4=AE ． ………………………………………………………………………………………5分19.（1）每个三角形2分 …………………………………………………………………………4分（2）点2A 的坐标为()4,6--……………………………………………………………………5分 20. 解：（1）21……………………………………………………………………………………2分 （2）…………………4分共有12种情况，其中符合题意的有8种，∴32=P ………………………………………………………………………………5分 21. 解：（1）将2=x 代入x y 2=中，得422=⨯=y ．∴点A 坐标为()42，． …………………………………………………………………1分 ∵点A 在反比例函数xky =的图象上， ABC DBA C D CA B D DA B C第一次第二次∴842=⨯=k ． ………………………………………………………………………2分 ∴反比例函数的表达式为xy 8=． ……………………………………………………3分 （2）()42，P 或()42--，． ……………………………………………………………5分 22.解：（1）1；10 ………………………………………………………………………………2分（2）连接CO ， ∵CD BO ⊥，∴521==CD CA ．………………………………………………………3分 设x CO =，则1-=x AO ，在Rt CAO ∆中，︒=∠90CAO ，∴222CO CA AO =+．∴()22251x x =+-．……………………………………………………4分解得13=x ，∴⊙O 的直径为26寸．…………………………………………………………………………5分 23. 解：过P 作AB PC ⊥于点C ，……………………………………………………………1分 ∴︒=∠90ACP ．由题意可知，︒=∠30PAC ，︒=∠45PBC ． ∴︒=∠45BPC ．∴PC BC =．……………………………………………2分 在Rt ACP ∆中，PC PACPCAC 3tan =∠=． ………3分∵20=AB ， ∴PC AC PC 320==+．∴1320-=PC ……………………………………………………………………………………4分 3.27≈（是否进行分母有理化可能造成差异，27.2～27.4均正确）………………5分答：河流宽度约为3.27米． 24.（1）证明：连接OD ， ∵ABC ∆是等边三角形， ∴︒=∠=∠60C B ． ∵OD OB =，∴︒=∠=∠60B ODB ．…………………………………………………………………………1分∵AC DE ⊥， ∴︒=∠90DEC ． ∴︒=∠30EDC ． ∴︒=∠90ODE ． ∴OD DE ⊥于点D ．∵点D 在⊙O 上， ∴DE 是⊙O 的切线． ……………………………………………………………………………2分 （2）连接AD ，BF ， ∵AB 为⊙O 直径，∴︒=∠=∠90ADB AFB ． ∴BF AF ⊥，BD AD ⊥．F E OA FE DOAB C∵ABC ∆是等边三角形，∴221==BC DC ，221==AC FC ． ………………………………………………………3分 ∵︒=∠30EDC ，∴121==DC EC ．………………………………………………………………………………4分∴1=-=EC FC FE ． …………………………………………………………………………5分（说明：其它方法请相应对照给分）25.解：（1）将ABC ∆绕点C 逆时针旋转得到C B A ''∆，旋转角为α，∴'CB CB = ． ……………………………………………………………………………………1分 ∵点'B 可以恰好落在AB 的中点处， ∴点'B 是AB 的中点． ∵︒=∠90ACB ，∴'21'BB AB CB ==．……………………………………………………………………………2分 ∴''BB CB CB ==．即'CBB ∆是等边三角形． ∴︒=∠60B ． ∵︒=∠90ACB ，∴︒=∠30A ． ……………………………………………………………………………………3分 （2）如图，过点C 作'AA CD ⊥于点D ，点C 到'AA 的距离等于AC 的一半，即AC CD 21=．在Rt ADC ∆中，︒=∠90ADC ，21sin ==∠AC CD CAD ，∴︒=∠30CAD ．…………………………………………4分 ∵'CA CA =，∴︒=∠=∠30'CAD A ．∴︒=∠120'ACA ，即︒=120α． ………………………5分26. （1）2≠x ……………………………………………………………………………………1分 （2）3=m …………………………………………………………………………………………2分（3）如图所示：………………………………………3分（4）可以从对称性、增减性、渐近性、最值、连续性、与坐标轴交点、图象所在象限等方面作答．………………………………………………………………………………………………5分 27（1）如图所示：……………………2分（2）锐角三角形的最小覆盖圆是其外接圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆，直角三角形的最小覆盖圆二者均可． ………………………………………………………4分（说明：写出三角形的最小覆盖圆是其外接圆，或是以其最长边为直径的圆，各给1分） （3）结论：HEF ∆的外接圆的圆心为手机信号基站所在位置． …………………………… 5分 研究思路：a ．手机信号基站应建在四边形EFGH 的最小覆盖圆的圆心处；所以先考虑四边形EFGH 的外接圆，因为对角不互补，所以该四边形没有外接圆；b ．作四边形对角线，将四边形分割成两个三角形，考虑其中一个三角形的最小覆盖圆能否覆盖另一个三角形，从而将四边形最小覆盖圆问题转化为三角形最小覆盖圆问题来研究；…………………………………………………………………………………6分c ．若沿GE 分割，因为︒<∠+∠180GFE GHE ，所以这两个三角形的最小覆盖圆均不能完全覆盖另一个三角形；d ．若沿HF 分割，因为︒>∠+∠180HGF HEF ，所以存在一个三角形的最小覆盖圆能完全覆盖另一个三角形的情况，又因为︒<∠90HEF ，所以HEF ∆的最小覆盖圆，即其外接圆能完全覆盖HGF ∆，因此HEF ∆的外接圆的圆心为手机信号基站所在位置． ……7分（说明：1.学生的答案只要涉及到将四边形问题转化为三角形问题，可以给第6分；2.若学生答案含有以下情况之一，并借此分析沿GE 分割和沿HF 分割的差异性，均可以给第7分：①比较四边形对角和的数量关系； ②同弧所对的圆周角的度数关系；③画出四个三角形的最小覆盖圆，通过观察或测量，比较大小后发现HEF ∆的外接圆的圆心为手机信号站所在位置．3.重在判断学生思维的方向，不过多的要求语言的规范和思维的严谨．）28.解：（1）如图①，连接BC ．∵︒=∠90BOC ，∴BC 是⊙A 的直径． ……………………………1分∴32=BC ， ∵()30，C ， ∴3=OC ．∴3=OB ．∴()03，B ．………………………………………2分 （2）如图②，过点P 作x PD ⊥轴于点D ．∵PB 为⊙A 的切线，图①80°OBA C100°O B A C∴︒=∠90PBC ．在Rt BOC ∆中，()03，B ，()3,0C ，∴33tan ==∠OB OC OBC ． ∴︒=∠30OBC ．…………………………………3分∴︒=∠30AOB ．∴︒=∠-∠-∠-︒=∠30180ABP ABO POB OPB ．∴3==BP OB ． ………………………………………………………………………4分 在Rt PBD ∆中，︒=∠90PDB ，︒=∠60PBD ，3=BP ，∴23=BD ，323=PD ． ∵3=OB ，∴29=+=BD OB OD ．∴⎪⎭⎫⎝⎛323,29P ．…………………………………………………………………………5分 （3）⎪⎭⎫⎝⎛323,23E ． ……………………………………………………………………7分29. （1）四边形OHCF ，四边形OIDG ，……………………………………………………1分（说明：其它答案，如三角形也可以）6………………………………………………2分GH ……………………………………………3分（2）成立，证明如下： 如图①，连接GH ，GC ，DH ，∵点C ，D 是反比例图象上的点， ∴GDIO FCHO S S 矩形矩形=． ∴GDIO FCHO S S 矩形矩形2121=． ∴GHD CGH S S ∆∆=．∴点C ，D 到GH 的距离相等．∴CD ∥GH ． ……………………………………………………………………………………4分 ∴四边形BCHG 和四边形GHAD 都是平行四边形．∴GH BC =，DA GH =． ……………………………………………………………………5分 即BC AD =．（3）画出图形，得到GH ， ……………………………………………………………………6分 ∵点C ，D 是反比例图象上的点，∴GDIO FCHO S S 矩形矩形=．xy123456654321I FA BH GDC O xyBAIF HCO∴GDIO FCHO S S 矩形矩形2121=． ∴GHD CGH S S ∆∆=．∴点C ，D 到GH 的距离相等．∴CD ∥GH ． ………………………………………7分 ∴四边形BCHG 和四边形GHAD 都是平行四边形． ∴GH BC =，DA GH =．即BC AD =．…………………………………………8分。

2015～2016学年度第一学期期末测试七 年 级 数 学本卷分值 100分，考试时间120分钟．一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1．34-的相反数是A ．43-B ．43C ．34-D ．342．单项式225x y-的系数和次数分别是A ．－2，2B ．2-，3C ．25-，2D ．25-，33．在下面的四幅图案中，通过平移图案（1）得到的是图案4．下列各组中的两项，不是．．同类项的是 A ．22x y 与23x y - B ．3x 与3xC ．232ab c -与32c b aD ．1与－18 5．若关于x 的方程710x a +-=解是1x =-，则a 的值等于A ．8B ．－8C ．6D ．－6 6．从三个不同方向看一个几何体，得到的三视图 如图所示，则这个几何体是A ．圆锥B ．圆柱C ．棱锥D ．球7．已知有理数a ，b 在数轴上表示的点如图所示，则下列式子中不正确．．．的是 A ．ab＜0 B ．a －b ＞0 C ．a ＋b ＞0 D ．ab ＜0b 0a（1） A B C D（第6题）（第7题）8． 如图，直线a ，b 被直线c 所截，则下列说法中错误．．的是 A ．∠1与∠2是邻补角 B ．∠1与∠3是对顶角C ．∠3与∠4是内错角D ．∠2与∠4是同位角 9． 如图，点D 在直线AE 上，量得∠CDE=∠A=∠C ，有以下三个结论：①AB ∥CD ；②AD ∥BC ；③∠B=∠CDA ．则正确的结论是A ．①②③B ．①②C ．①D ．②③ 10．王力骑自行车从A 地到B 地，陈平骑自行车从B 地到A 地，两人都沿同一公路匀速前进，已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36 km ，到中午12时，两人又相距36 km ．求A 、B 两地间的路程．可设A 、B 两地间的路程为x km ，则下列所列方程中：①363624x x -+=；②36363622x -+=；③36362x -=⨯； ④3636x -=；其中正确的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 11．用科学记数法表示9600000为 ▲ ．12．点A 、B 在同一条数轴上，其中点A 表示的数为－1，若点B 与点A 之间距离为3，则点B 表示的数为 ▲ ． 13．已知2a b -的值是2015，则124a b -+的值等于 ▲ ．14．若23(2)0x y -++=，则16xy = ▲ ．15．飞机的无风航速为a 千米／小时，风速为20千米／小时．则飞机逆风飞行4小时的行程是 ▲ 千米．16．某服装店以每件180元的价格卖出两件衣服，其中一件 盈利25%，另一件亏损25%，若盈利记为正，亏损记为负，则该店卖这两件衣服总的盈亏金额是 ▲ 元．17．如图，把小河里的水引到田地A 处就作AB ⊥l ，垂足 为B ，沿AB 挖水沟，这条水沟最短的理由是 ▲ ． 18. 如图，将三角板与两组对边分别平行的直尺贴在一起， 使三角板的顶点C （AC ⊥BC ）落在直尺的一边上，若∠1=24°，则∠2等于 ▲ 度． 19．如图，平面内有公共端点的6条射线OA 、OB 、OC 、 OD 、OE 、OF ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在 射线上写上数字1、2、3、4、5、6、7…，则数字 “2016”应在射线 ▲ 上．20．已知线段AB =12㎝，若M 是AB 的三等分点，N 是AM 的中点，则线段BN 的长度为 ▲ ㎝．三、解答题（本大题共8小题，共60分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文ac1 234 A B C DE（第8题） （第9题）（第17题）（第18题）（第19题）字说明、证明过程或演算步骤） 21．（每小题4分，共16分）计算：（1） (20)(3)(5)(7)-++---+；（2） 111()(12)462+-⨯-；（3） 322(2)(3)(4)2(3)(2)⎡⎤-+-⨯-+--÷-⎣⎦；（4） 471127326631440-+⨯-⨯÷．22．（每小题3分，共6分）（1）如图，点D 是线段AB 的中点，C 是线段AD 的中点，若AB ＝4㎝，求线段CD的长度．（2）如图，货船A 在灯塔O 的北偏东53°35′的方向上，客船B 在灯塔O 的南偏东28°12′的方向上．求∠AOB 的度数．23．（每小题4分，共8分）先化简，再求值：（1）求22113333a abc c a c +--+的值，其中1,2,36abc =-==-；（2）求2211312()()2323x x y x y --+-+的值，其中22,3x y =-=．24．（每小题4分，共8分）解方程： （1）72(33)20x x +-=； （2）121224x x+--=+．25．（本小题6分）如图，AD ∥BC ，∠1=60°，∠B =∠C ，DF 为∠ADC 的平分线． （1）求∠ADC 的度数；（2）试说明DF ∥AB ． 解：（1）根据题意完成填空（括号内填写理由）： ∵AD ∥BC （已知）∴∠B =∠1（ ） 又∵∠B =∠C （已知） ∴ =∠1=60°C D （第22题（2）） A O B 西 东 北南 （第22题（1））又∵AD ∥BC （已知）∴∠ADC +∠C =180°（ ） ∴∠ADC = ．（2）请你完成第2题的解答过程：26．（本小题4分）列方程解应用题：某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 27．（本小题6分）如图：已知AB ∥CD ，∠ABE 与∠CDE 两个角的角平分线相交于点F ． （1）如图1，若∠E ＝78°，则∠BFD = °；（2）如图2，若∠ABM ＝14∠ABF ，∠CDM ＝14∠CDF ，则∠M 和∠E 之间的数量关系为 ；（3）如图2，∠ABM ＝1n ∠MBF ，∠CDM ＝1n∠MDF ，设∠M ＝m °，直接用含有n ，m 的代数式表示出∠E ＝ °．28．（本小题6分）如图，在∠AOB 的内部作射线OC ，使∠AOC 与∠AOB 互补．将射线OA ，OC 同时绕点O 分别以每秒12°，每秒8°的速度按逆时针方向旋转，旋转后的射线OA ，OC 分别记为OM ，ON ，设旋转时间为t 秒．已知t ＜30，∠AOB ＝114°． （1）求∠AOC 的度数；（2）在旋转的过程中，当射线OM ，ON 重合时，求 t 的值； （3）在旋转的过程中，当∠COM 与∠BON 互余时，求 t 的值．BE DFACBE DFA CM 图1图2CMNB（第27题）。

北京市朝阳区2015～2016学年度第一学期期末检测 九年级数学试卷（选用） 2016．1一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．A B C D【答案】A【解析】A 选项是轴对称图形也是中心对称图形． B 选项是轴对称图形，不是中心对称图形． C 选项是轴对称图形，不是中心对称图形． D 选项既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．2．下列事件为必然事件的是（ ）．A ．任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上 B ． 篮球运动员投篮，投进篮筐 C ． 一个星期有七天 D ． 打开电视机，正在播放新闻【答案】C【解析】A 选项任意掷一枚均匀的硬币，可能正面朝上也可能反面朝上，是随机事件． B 选项篮球运动员投篮，可能投进篮筐，也可能未投进篮筐，是随机事件． C 选项一个星期有七天是必然事件．D 选项打开电视机，可能正在播放新闻，也可能不在播放新闻，是随机事件．3．在平面直角坐标系中，点B 的坐标为(3,1)，则点B 关于原点的对称点的坐标为（ ）． A ． (3,1)- B ． (3,1)- C ． (1,3)-- D ． (3,1)-- 【答案】D【解析】关于原点对称，横纵坐标都变为相反数．4．如图，AC 与BD 相交于点E ，AD BC ∥．若2AE =，3CE =，3AD =，则BC 的长度是（ ）．A ．2 B ．3 C ． 92D ． 6【答案】C 【解析】 ∵AD BC ∥， ∴AE ADEC BC=， ∵2AE =，3CE =，3AD =， ∴92BC =．5．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3BC =，4AC =，则sin A 的值是（ ）．A ．34B ．43C ．35D ．45【答案】C 【解析】∵90C ∠=︒，3BC =，4AC =， ∴5AB =， ∴3sinA 5=．6．如图，反比例函数2y x =-的图象上有一点A ，过点A 作AB x ⊥轴于B ，则AO B S △是（ ）． A ．12B ． 1C ． 2D ． 4【答案】B 【解析】由k 得几何意义，可知12AOB k S ==△．7．如图，在⊙O 中，100BOC ∠=︒，则A ∠等于（ ）．A ． 100︒B ． 50︒C ． 40︒D ． 25︒【答案】B 【解析】 ∵100BOC ∠=︒，8．如图，将AOB △绕点O 按逆时针方向旋转45︒后得到A OB ''△，若15AOB ∠=︒，则AOB '∠的度数是（ ）．A ． 25︒B ． 30︒C ． 35︒D ． 40︒【答案】B 【解析】∵将AOB △绕点O 按逆时针方向旋转45︒， ∴旋转角45BOB '∠=︒， ∵15AOB ∠=︒， ∴30AOB '∠=︒．9．如图，点D ，E 分别在ABC △的AB ，AC 边上，增加下列条件中的一个： ①AED B ∠=∠，②ADE C ∠=∠，③AE DE AB BC =，④AD AEAC AB=，⑤2AC AD AE =⋅， 使ADE △与ACB △一定相似的有（ ）．A ． ①②④B ． ②④⑤C ． ①②③④D ． ①②③⑤【答案】A 【解析】①添加条件AED B ∠=∠，已知A ∠是公共角，可根据两角对应相等判定ADE △与ACB △相似．②添加条件ADE C ∠=∠，已知A ∠是公共角，可根据两角对应相等判定ADE △与ACB △相似． ③添加条件AE DE AB BC =，需再知道夹角AED B ∠=∠才能判定相似，因此只添加AE DEAB BC=不可判定ADE △与ACB △相似． ④添加条件AD AEAC AB=，已知A ∠是公共角，可根据两边成比例且夹角相等判定ADE △与ACB △相似．⑤添加条件2AC AD AE =⋅，无法判定ADE △与ACB △相似．10．小阳在如图①所示的扇形舞台上沿O M N --匀速行走，他从点O 出发，沿箭头所示的方向经过点M 再走到点N ，共用时70秒．有一台摄像机选择了一个固定的位置记录了小阳的走路过程，设小阳走路的时间为t （单位：秒），他与摄像机的距离为y （单位：米），表示y 与t 的函数关系的图象大致如图②，则这个固定位置可能是图①中的（ ）．A ．点Q B ． 点P C ． 点M D ． 点N图①图②【答案】B 【解析】①若固定位置在点M 或点N ，因为小阳会经过点M 和点N ，所以会有一个时刻0y =，所以固定位可能是点M 或点N ；②若固定位置在点Q ，小阳从O M -的过程中，y 的变化趋势为先减小后增大，与题目中的图象不符；③若固定位置在点P 则符合题意．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．在一个不透明的袋子中，装有2个红球和3个白球，它们除颜色外其余均相同．现随机从袋中摸出一个球，颜色是白色的概率是__________．【答案】35【解析】一共5种情况，摸出白球的情况为3种，因此摸出白色的概率是35．12．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，⊙O 的半径为1，则AB 的长为__________．【答案】π3【解析】如图连接OA 和OB ,∵正六边形ABCDEF 内接于⊙O ， ∴60AOB ∠=︒， ∵⊙O 的半径为1， ∴π60π1π1801803n r AB ⨯===．13．已知y 是x 的反比例函数，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小．请写出一个满足以上条件的函数表达式__________． 【答案】1y x=（答案不唯一） 【解析】∵反比例函数在每个象限内，y 随x 的增大而减小， ∴0k >，∴只要满足0k >的反比例函数即可，如1y x=． 14．如图，矩形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，BE 交对角线AC 于点F ，则AFE △与BCF △的面积比等于__________．【答案】14【解析】∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD BC =，AD BC ∥， ∴AEF CBF ∽△△， ∵点E 是边AD 的中点， ∴12AE AD =， ∴12AE BC =， ∴AFE △与BCF △的面积比等于14．15．如图，⊙O 的半径为6，OA 与弦AB 的夹角是30︒，则弦AB 的长度是__________．【答案】 【解析】过点O 作OC AB ⊥， 可得12AC BC AB ==， ∵OA 与弦AB 的夹角是30︒，⊙O 的半径为6， ∴30AOC ∠=︒，6OA =， ∴3OC =，由勾股定理可得AC =，∴AB =16．如图，已知反比例函数2y x=的图象上有一组点1B ，2B ，，n B ，它们的横坐标依次增加1，且点1B 横坐标为1．“①，②，③”分别表示如图所示的三角形的面积，记1S =-①②，2S =-②③，，则7S 的值为__________，12n S S S ++⋯+=__________（用含n 的式子表示）．【答案】156；1nn +【解析】设点1B 的坐标为11(,)x y ，2B 的坐标为22(,)x y ，，n B 的坐标为(,)n n x y ，∵横坐标依次增加1，且点1B 横坐标为1， ∴以x 轴上的边为底时，三角形的底均为1，∴1121()2S y y =-=-①②，2231()2S y y =-=-②③∴8771()2y S y =-=-⑦⑧∵横坐标依次增加1，且点1B 横坐标为1， ∴77x =，88x =， ∴727y =，814y =， ∴78711()256y S y =-=．1212231111()()()222n n n S S S y y y y y y +++⋯+=-+-++- 122311()2n n y y y y y y +=-+-++-111()2n y y +=- 12(2)21n =-+ 1nn =+．三、解答题（本题共72分，第17-26小题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算： 12cos 45tan 60sin 302︒-︒+︒--．【解析】12cos 45tan 60sin 302︒-︒+︒--11222=-=．18．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，D 是AC 边上一点，DE AB ⊥于点E ．若2DE =，3BC =，6AC =，求AE 的长．【答案】4AE =【解析】∵90C ∠=︒，DE AB ⊥， ∴90AED C ∠=∠=︒． 又∵A A ∠=∠， ∴AED ACB ∽△△．∴EA EDCA CB=． 又∵2DE =，3BC =，6AC =， ∴263EA =． ∴4AE =．19．如图，点A 的坐标为(3,2)，点B 的坐标为(3,0)．作如下操作： ①以点A 为旋转中心，将ABO △顺时针方向旋转90︒，得到11AB O △；②以点O 为位似中心，将ABO △放大，得到22A B O △，使相似比为1:2，且点2A 在第三象限．（1）在图中画出11AB O △和22A B O △． （2）请直接写出点2A 的坐标：__________．【答案】（1）答案见解析． （2）(6,4)-- 【解析】 （1）（2）点2A 的坐标为(6,4)--20．党的十八大提出，倡导富强、民主、文明、和谐，倡导自由、平等、公正、法治，倡导爱国、敬业、诚信、友善，积极培育和践行社会主义核心价值观，这24个字是社会主义核心价值观的基本内容．其中：“富强、民主、文明、和谐”是国家．．层面的价值目标； “自由、平等、公正、法治”是社会．．层面的价值取向； “爱国、敬业、诚信、友善”是公民个人．．．．层面的价值准则． 小光同学将其中的文明”、“和谐”、“自由”、“平等”的文字分别贴在4张硬纸板上，制成如右图所示的卡片．将这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不放回．．．，再随机抽取一张卡片．A B C D(1)小光第一次抽取的卡片上的文字是国家．．层面价值目标的概率是__________． (2)请你用列表法或画树状图法，帮助小光求出两次抽取卡片上的文字一次是国家．．层面价值目标、一次是社会．．层面价值取向的概率（卡片名称可用字母表示）． 【答案】（1）12 （2）23【解析】（12种，． （2） ABCDB ACDC ABDDABC第一次第二次共有12种情况，其中符合题意的有8种，∴23P =21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数2y x =与反比例函数ky x=的图象交于A ，B 两点，点A 的横坐标为2，AC x ⊥轴于点C ，连接BC ． （1）求反比例函数的表达式；（2）若点P 是反比例函数ky x=图象上的一点，且满足OPC △的面积是ABC △面积的一半，请直接写出点P 的坐标．【答案】（1）8y x=（2）(2,4)P 或(2,4)--． 【解析】（1）将2x =代入2y x =中，得224y =⨯=． ∴点A 坐标为(2,4)． ∵点A 在反比例函数ky x=的图象上， ∴248k =⨯=．∴反比例函数的表达式为8y x=． （2）(2,4)P 或(2,4)--． 22．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO CD ⊥于点A ，求间径就是要求⊙O 的直径．再次阅读后，发现AB =__________寸，CD =__________寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O 的直径．图①图②【答案】 【解析】（1）1；10（2）连接CO ，∵BO CD ⊥，∴152CA CD ==．设CO x =，则1AO x =-， 在Rt CAO △中，90CAO ∠=︒， ∴222AO CA CO +=． ∴()22215x x -+=．解得13x =，∴⊙O 的直径为26寸．23． 如图，在一次户外研学活动中，老师带领学生去测一条东西流向的河流的宽度（把河两岸看做平行线，河宽即两岸之间的垂线段的长度）．某同学在河南岸A 处观测到河对岸水边有一棵树P ，测得P 在A 北偏东60︒方向上，沿河岸向东前行20米到达B 处，测得P 在B 北偏东45︒ 1.414，1.732≈）．【答案】272274．～．均正确 【解析】过P 作PC AB ⊥于点C ，∴90ACP ∠=︒．由题意可知，30PAC ∠=︒，45PBC ∠=︒． ∴45BPC ∠=︒．∴BC PC =．∵20AB =，27.227.4～均正确）答：河流宽度约为27.3米．24． 如图，已知ABC △是等边三角形，以AB 为直径作⊙O ，交BC 边于点D ，交AC 边于点F ，作DE AC ⊥于点E ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若ABC △的边长为4，求EF 的长度．【答案】（1）证明见解析． （2）1EF =【解析】（1）证明：连接OD ，∵ABC △是等边三角形， ∴60B C ∠=∠=︒． ∵OB OD =，∴60ODB B ∠=∠=︒． ∵DE AC ⊥， ∴90DEC ∠=︒． ∴30EDC ∠=︒． ∴90ODE ∠=︒． ∴DE OD ⊥于点D ． ∵点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线． （2）连接AD ，BF ， ∵AB 为⊙O 直径，∴90AFB ADB ∠=∠=︒． ∴AF BF ⊥，AD BD ⊥． ∵ABC △是等边三角形，∴122DC BC ==，122FC AC ==．∵30EDC ∠=︒，∴112EC DC ==．∴1FE FC EC =-=．25．如图①，在Rt ABC △中，90C ∠=︒．将ABC △绕点C 逆时针旋转得到A B C ''△，旋转角为α，且0180α︒<<︒．在旋转过程中，点B '可以恰好落在AB 的中点处，如图②．（1）求A∠的度数．（2）当点C到AA'的距离等于AC的一半时，求α的度数．图①图②备用图【答案】（1）30A∠=︒（2）120α=︒【解析】（1）将ABC△绕点C逆时针旋转得到A B C''△，旋转角为α，∴CB CB'=．∵点B'可以恰好落在AB的中点处，∴点B'是AB的中点．∵90ACB∠=︒，∴12CB AB BB''==．∴CB CB BB''==．即CBB'△是等边三角形．∴60B∠=︒．∵90ACB∠=︒，∴30A∠=︒．（2）点C到'AA的距离等于AC的一半，即12CD AC=．在Rt ADC△中，90ADC∠=︒，1sin2CDCADAC∠==，∴30CAD∠=︒．∵CA CA'=，∴30A CAD '∠=∠=︒．∴120ACA '∠=︒，即120α=︒．26． 有这样一个问题：探究函数262x y x -=-的图象与性质． 小慧根据学习函数的经验，对函数262x y x -=-的图象与性质进行了探究． 下面是小慧的探究过程，请补充完成：(1)函数262x y x -=-的自变量x 的取值范围是___________． (2)列出y 与x 的几组对应值．请直接写出m 的值，m = __________．(3)请在平面直角坐标系xOy 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象．(4)结合函数的图象，写出该函数的两条性质：①；② ．y【答案】 （1）2x ≠ （2）3m =（3）答案见解析． （4）答案见解析． 【解析】 （1）2x ≠ （2）3m = （3）如图所示：（4）可以从对称性、增减性、渐近性、最值、连续性、与坐标轴交点、图象所在象限等方面作答． 27． 我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆．．．称为该平面图形的最小覆盖圆．．．．．．例如线段AB 的最小覆盖圆就是以线段AB 为直径的圆．（1）请分别作出图①中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；BB图①（2）三角形的最小覆盖圆有何规律？请直接写出你所得到的结论（不要求证明）； （3）某城市有四个小区E ，F ，G ，H （其位置如图②所示），现拟建一个手机信号基站，为了使这四个小区居民的手机都能有信号，且使基站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此基站应建在何处？请写出你的结论．．并说明研究思路．【答案】（1）答案见解析． （2）答案见解析． （3）答案见解析． 【解析】 （1）如图所示：（2）锐角三角形的最小覆盖圆是其外接圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆，直角三角形的最小覆盖圆二者均可．（说明：写出三角形的最小覆盖圆是其外接圆，或是以其最长边为直径的圆，各给1分） （3）结论：HEF △的外接圆的圆心为手机信号基站所在位置． 研究思路：a ．手机信号基站应建在四边形EFGH 的最小覆盖圆的圆心处；所以先考虑四边形EFGH 的外接圆，因为对角不互补，所以该四边形没有外接圆；b ．作四边形对角线，将四边形分割成两个三角形，考虑其中一个三角形的最小覆盖圆能否覆盖另一个三角形，从而将四边形最小覆盖圆问题转化为三角形最小覆盖圆问题来研究；c ．若沿GE 分割，因为180GHE GFE ∠+∠<︒，所以这两个三角形的最小覆盖圆均不能完全覆盖另一个三角形；d ．若沿HF 分割，因为180HEF HGF ∠+∠>︒，所以存在一个三角形的最小覆盖圆能完全覆盖另一个三角形的情况，又因为90HEF ∠<︒，所以HEF △的最小覆盖圆，即其外接圆能完全覆盖HGF △，因此HEF △的外接圆的圆心为手机信号基站所在位置．B28．如图①，在平面直角坐标系中，直径为的⊙A 经过坐标系原点(0,0)O ，与x 轴交于点B ，与y轴交于点(0C ． （1）求点B 的坐标；（2）如图②，过点B 作⊙A 的切线交直线OA 于点P ，求点P 的坐标； （3）过点P 作⊙A 的另一条切线PE ，请直接写出切点E 的坐标．图①图②【答案】 （1）(3,0)B（2）9(2P （3）3(,2E ．【解析】（1）如图①，连接BC ．∵90BOC ∠=︒，∴BC 是⊙A 的直径．∴BC =，∵(0C ，∴OC =∴3OB =． ∴(3,0)B ．（2）如图②，过点P 作PD x ⊥轴于点D ． ∵PB 为⊙A 的切线， ∴90PBC ∠=︒．在Rt BOC △中，(3,0)B，(0,C ，图②图①∴tan OC OBC OB ∠==． ∴30OBC ∠=︒． ∴30AOB ∠=︒．∴18030OPB POB ABO ABP ∠=︒-∠-∠-∠=︒．∴3OB BP ==．在Rt PBD △中，90PDB ∠=︒，60PBD ∠=︒，3BP =，∴32BD =，PD =． ∵3OB =， ∴92OD OB BD =+=．∴9(,2P ． （3）3(,2E ．29．在数学活动课上，老师提出了一个问题，希望同学们进行探究．在平面直角坐标系中，若一次函数6y kx =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与反比例函数6y x=的图象交于C 、D 两点，则AD 和BC 有怎样的数量关系？同学们通过合作讨论，逐渐完成了对问题的探究．小勇说：我们可以从特殊入手，取1k =-进行研究（如图①），此时我发现AD BC =． 小攀说：在图①中，分别从点C 、D 两点向两条坐标轴作垂线，根据所学知识可以知道有两个图形的面积是相等的，并能求出确定的值，而且在图②中，此时1k ≠- ，这一结论仍然成立，即__________的面积=__________的面积，此面积的值为__________．（1）请完成以上填空；（2）请结合以上三位同学的讨论，对图②所示的情况下，证AD BC =； 小峰突然提出一个问题：通过刚才的证明，我们可以知道当直线与双曲线的两个交点都在第一象限时，AD BC =总是成立的，但我发现当k 的取值不同时，这两个交点有可能在不同象限，结论还成立吗？（3）请你结合小峰提出的问题，在图③中画出示意图，并判断结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）四边形OHCF ，四边形OIDG ，6，GH （2）证明见解析． （3）证明见解析． 【解析】（1）四边形OHCF ，四边形OIDG ，6， （2）成立，证明如下：如图①，连接GH ，GC ，DH ， ∵点C ，D∴FCHO GDIO S S =矩形矩形．∴1122FCHO GDIO S S =矩形矩形∴CGH GHD S S =△△．∴点C ，D 到GH ∴CD GH ∥．∴四边形BCHG ∴BC GH =，GH DA =即AD BC =．（3）画出图形，得到∵点C ，D ∴FCHO GDIO S S =矩形矩形．图∴1122FCHO GDIO S S =矩形矩形． ∴CGH GHD S S =△△．∴点C ，D 到GH 的距离相等． ∴CD GH ∥∴四边形BCHG 和四边形GHAD 都是平行四边形． ∴BC GH =，GH DA =． 即AD BC =．。

北京市朝阳区2016～2017学年度第一学期期末检测 九年级数学试卷（选用） 2017.1(考试时间120分钟 满分120分)一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个. 1．二次函数2(1)3y x =--的最小值是( )(A) 2 (B) 1 (D) -2 (D ) -3 2．下列事件中，是必然事件的是( )(A) 明天太阳从东方升起； (B) 射击运动员射击一次，命中靶心；(C) 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数； (D) 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯.3．一个不透明的盒子中装有6个大小相同的乒乓球，其中4个是黄球，2个是白球．从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是( )(A)23 (B) 12 (C) 25 (D) 134．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交AB ，AC 于点D ，E ，若AD :DB =1:2，则△ADE 与△ABC 的面积之比是( )(A) 1:3 (B) 1:4 (C) 1:9 (D) 1:165. 已知点A （1，a ）与点B （3，b ）都在反比例函数12y x=-的图象上，则a 与b 之间的关系是( )(A) a ＞b (B) a ＜b (C) a ≥b (D) a =bB6. 已知圆锥的底面半径为2cm ，母线长为3cm ，则它的侧面展开图的面积为（ ）(A) 18πcm 2(B) 12πcm 2(C) 6πcm 2(D) 3πcm 27. 已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I (单位:A)与电阻R (单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示.则用电阻R 表示电流I 的函数表达式为（ ） (A) 3I R =(B) I R=-6 (C) 3I R=-(D) I R=6 8．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，若⊙O 的半径为5，AC =8.则cos B 的值是（ ）(A) 43 (B) 35(C) 34 (D) 459.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名着，书中有这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径是（ ）(A) 5步 (B) 6步 (C) 8步 (D)10步10. 已知二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)和一次函数y 2＝kx ＋n (k ≠0)的图象如图所示，下面有四个推断:①二次函数y 1有最大值②二次函数y 1的图象关于直线1x =-对称 ③当2x =-时，二次函数y 1的值大于0④过动点P (m ，0)且垂直于x 轴的直线与y 1，y 2的图象的交点分别 为C ，D ，当点C 位于点D 上方时，m 的取值范围是m ＜-3或m ＞-1． 其中正确的是（ ） (A)①③(B)①④(C)②③(D)②④I /A R Ω32O ACOByx–1–2–3123–1–2123O二、填空题（本题共18分，每小题3分）11. 将二次函数y =x 2-2x -5化为y=a (x-h )2+k 的形式为y= ． 12．抛物线22y x x m =-+与x 轴有两个公共点，请写出一个符合条件的表达式为 ．13. 如图，若点P 在反比例函数3(0)y x x =-<的图象上，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，则矩形PMON 的面积为 .14．某农科所在相同条件下做某种作物种子发芽率的试验，结果如下表所示：则该作物种子发芽的概率约为 ．15. 如图，△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上一点，连接DE ．请你添加一个条件，使△ADE ∽△ABC ，则你添加的这一个条件可以是（写出一个即可）.16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：的依据B是 ；（2）∠APB =∠ACB 的依据是 ．三、解答题（本题共72分，第17-26题每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：o o o 2sin 45tan 602cos30++18．如图，△ABC 中，点D 在边AB 上，满足∠ACD =∠ABC ，若ACAD = 1，求DB 的长.19．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：（1 （2）求出该函数图象与x 轴的交点坐标．20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的三个顶点分别为A (2，6)，B (4，2), C (6，2).（1）以原点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的12，得到△DEF . 请在第一象限内，画出△DEF .（2）在（1）的条件下，点A 的对应点D 的坐标为 ，点B 的对应点E 的坐标为 . 21. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O 为圆心的圆的一部分.如果M 是⊙O 中弦CD 的中点，EM 经过圆心O 交⊙O 于点E ，CD =10，EM =25.求⊙O 的半径.22． 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，点D 是BC （1）求AD 和AB 的长； （2）求sin ∠BAD 的值.23. 已知一次函数21y x =-+的图象与y 轴交于点A , 点B (-1，n )是该函数图象与反比例函数）（0≠=k xky 图象在第二象限内的交点．（1）求点B 的坐标及k 的值；（2）试在x 轴上确定点C ，使AC AB =，直接写出点C 的坐标．24．如图，用一段长为40m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃ABCD ，墙长28m.设AB 长为x m ，矩形的面积为y m 2. （1）写出y 与x 的函数关系式；（2）当AB 长为多少米时，所围成的花圃面积最大？最大值是多少？ （3）当花圃的面积为150m 2时，AB 长为多少米？25．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上两点，且»BC=»CD ，过点C 的直线CF ⊥AD 于点F ，交AB 的延长线于点E ，连接AC .（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）连接FO ，若sin E =12,⊙O的半径为r ，请写出求线段FO26．某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y = -x 2+2x +1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应数值如下表：其中m = ；（2）如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（3①该函数的一条性质②直线y =kx +b 经过点（-1，2），若关于x 的方程-x 2+2x +1=kx +b 有4个互不相等的实数根，则b 的取值范围是 .27．在平面直角坐标系xOy 中，直线y =14x +n 经过点A (-4, 2)，分别与x ，y 轴交于点B ，C ，抛物线y = x 2-2mx +m 2-n 的顶点为D . (1) 求点B ，C 的坐标；(2) ①直接写出抛物线顶点D 的坐标（用含m 的式子表示）；②若抛物线y = x 2-2mx +m 2-n 与线段BC 有公共点，求m 的取值范围.28．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，O 为AB 边上的一点，且tan B =21，点D 为AC 边上的动点（不与点A ，C 重合），将线段OD 绕点O 顺时针旋转90°，交BC 于点E .如图1，若O 为AB 边中点， D 为AC 边中点，则OEOD的值为 ；（2）若O 为AB 边中点， D 不是AC 边的中点，①请根据题意将图2补全；②小军通过观察、实验，提出猜想：点D 在AC 边上运动的过程中，（1）中OE OD的值不变.小军把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了求OE OD的值的几种想法：想法1：过点O 作OF ⊥AB 交BC 于点F ，要求OE OD的值，需证明△OEF ∽△ODA .想法2：分别取AC ，BC 的中点H ，G ，连接OH ，OG ，要求OE OD的值，需证明△OGE ∽△OHD .想法3：连接OC ，DE ，要求OE OD的值，需证C ，D ，O ，E 四点共圆.......请你参考上面的想法，帮助小军写出求OE OD的值的过程(一种方法即可)；y–1–2–3–41234–1–2123O（3）若1BO BAn=（n ≥2且n 为正整数），则OE OD的值为 （用含n 的式子表示）.29．在平面直角坐标系xOy 中，e C 的半径为r （r ＞1），P 是圆内与圆心C 不重合的点，e C 的“完美点”的定义如下：若直线．．CP 与e C 交于点A ，B ，满足2PA PB -=，则称点P 为e C 的“完美点”，下图为e C 及其“完美点”P 的示意图. (1) 当O e 的半径为2时，①在点M (32,0)，N (0,1)，31(,)22T --中， O e 的“完美点”是 ； ② 若O e 的“完美点”P 在直线3y x =上，求PO 的长及点P 的坐标；(2) C e 的圆心在直线31y x =+上，半径为2，若y 轴上存在e C 的“完美点”，求圆心C 的纵坐标t 的取值范围.北京市朝阳区2016～2017学年度第一学期期末检测九年级数学试卷参考答案及评分标准 2017.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 DAACBCDBBD二、填空题（本题共18分，每小题3分）11121314图2图1三、解答题（本题共72分，第17-26题每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17. 解：2sin 45tan 602cos30︒+︒+︒=18.解：∵,ACD ABC ∠=∠A A ∠=∠，∴△ACD ∽△ABC ． ∴AC ADAB AC=． ∴AB =． ∴3AB =． ∴2DB =． 19.解：(1) 由题意，得c = -3.将点（2， 5），（-1，-4）代入，得解得1,2.a b =⎧⎨=⎩∴223y x x =+- .顶点坐标为（-1，-4）.(2) （-3，0），（1，0）.20.解：(1) 如图.(2) D（1，3），E（2，1）．21.解：如图，连接OC，∵M是弦CD的中点，EM过圆心O，∴EM⊥CD．∴CM=MD．∵CD=10，∴CM =5．设OC=x，则OM=25-x，在Rt△COM中，根据勾股定理，得52+(25-x)2=x2．解得x=13．∴⊙O的半径为13．22. 解： (1) ∵D是BC的中点，CD=2，∴BD=DC=2，BC=4.在Rt△ACB中，由 tan B=34 ACCB=，∴3 44 AC=.∴AC=3.∴AD13，AB=5 .(2) 过点D作DE⊥AB于E，∴∠C=∠DEB=90°.又∠B =∠B ， ∴△DEB ∽△ACB .∴DE DBAC AB =. ∴235DE =. ∴65DE =.∴sin BAD ∠=23. 解：(1) ∵点B (-1，n )在直线21y x =-+上，∴21 3.n =+= ∴B （-1，3）．∵点B (-1，3)在反比例函数xky =的图象上， ∴3k =-．(2) ()2,C -0或()2，0．24. 解：(1) 2240y x x =-+．(2) 由题意，得0402028x x -≤⎧⎨⎩＞，＜．∴6≤x ＜20 ．由题意，得 ()2210200y x =--+.∴当x =10时，y 有最大值，y 的最大值为200. ∴当AB 长为10m 时，花圃面积最大，最大面积为200m 2. (3) 令y =150，则 2240150x x -+=.∴ 125,15x x == .∵6≤x ＜20，∴x =15.∴当AB 长为15m 时，面积为150m 2.25. (1) 证明：如图，连接OC ，∵OC =OA ，∴∠1 =∠2.∵»BC=»CD ， ∴∠1 =∠3.∴∠2 =∠3.∴OC ∥AF .∵CF ⊥AD ，∴∠CFA =90°.∴∠OCF =90°.∴OC ⊥EF .∵OC 为⊙O 的半径，∴EF 是⊙O 的切线.(2) 解：求解思路如下:①在Rt△AEF 和Rt △OEC 中，由sin E =12, 可得△AEF ，△OEC 都为含30°的直角三角形;②由∠1 =∠3，可知△ACF 为含30°的直角三角形;③由⊙O 的半径为r ，可求OE ，AE 的长，从而可求CF 的长；④在Rt △COF 中，由勾股定理可求OF 的长.26. 解：(1) m = 1.(2)如图.（3）①答案不唯一.如：函数图象关于y 轴对称.②1＜b ＜2.27. 解： (1) 把A （-4，2）代入y =14-x +n 中，得 n =1.∴ B （4，0），C （0，1）.(2) ①D （m ，-1）.②将点（0，1）代入2221y x mx m =-+-中，得211m =-.解得12m m = 将点（4，0）代入2221y x mx m =-+-中，得201681m m =-+-.解得 125,3m m ==.∴5m ≤ .28.解：(1) 12. (2) ①如图. ②法1:如图，过点O 作OF ⊥AB 交BC 于点F ，∵∠DOE =90°，∴∠AOD +∠DOF =∠DOF +∠FOE =90°.∴∠AOD =∠FOE .∵∠ACB =90°，∴∠A +∠B =∠OFE +∠B =90°.∴∠A =∠OFE .∴△OEF ∽△ODA . ∴OE OF OD OA =. ∵O 为AB 边中点，∴OA =OB . 在Rt △FOB 中，tan B =21， ∴12OF OB =. ∴1.2OF OA = ∴12OE OD =. 法2:如图，分别取AC ，BC 的中点H ，G ，连接OH ，OG ，∵O 为AB 边中点，∴OH ∥BC ，OH =12BC ，OG ∥AC . ∵∠ACB =90°，∴∠OHD =∠OGE =90°.∴∠HOG =90°.∵∠DOE =90°，∴∠HOD +∠DOG =∠DOG +∠GOE =90°.∴∠HOD =∠GOE . F ED∴△OGE ∽△OHD . ∴OE OGOD OH =.∵tan B =21， ∴1.2OGGB =∵OH =GB ， ∴1.2OGOH = ∴12OEOD =.法3:如图，连接OC ，DE ，∵∠ACB =90°，∠DOE =90°，∴DE 的中点到点C ，D ，O ，E 的距离相等.∴C ，D ，O ，E 四点共圆.∴∠ODE =∠OCE .∵O 为AB 边中点，∴OC =OB .∴∠B =∠OCE .∴∠ODE =∠B .∵tan B =21， ∴12OE OD =. (3) 122n -.29. 解：(1) ①N ，T .②如图，根据题意，2PA PB-=，∴∣OP+2-(2- OP)∣=2.∴OP=1.若点P在第一象限内，作PQ⊥x轴于点Q，∵点P在直线3y x=上，OP=1，∴OQ=12，PQ=32.∴P(123若点P在第三象限内，根据对称性可知其坐标为(-12，3综上所述，PO的长为1，,点P的坐标为(12，3)或(-12，-32).(2)对于e C的任意一个“完美点”P都有2PA PB-=，即2(2)2CP CP+-=-.可得CP=1.对于任意的点P，满足CP=1，都有2(2)2CP CP+-=-，即2PA PB-=，故此时点P为e C的“完美点”.因此，e C的“完美点”的集合是以点C为圆心，1为半径的圆.设直线31y x=+与y轴交于点D，如图，当e C移动到与y轴相切且切点在点D的下方时，t的值最小.设切点为E，连接CE，可得DEt的最小值为1-当e C移动到与y轴相切且切点在点D的上方时，t的值最大.同理可得t的最大值为1综上所述，t的取值范围为1-t ≤1+说明：以上答案仅供参考，若有不同解法，只要过程和解法都正确，可相应给分.祝老师们假期愉快！。

北京市朝阳区 2016 年初中毕业考试数学试卷2016.4考1．考试时间为 90 分钟，满分 100 分；生2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（填空题、解答题）两部分，共8 页，须第 8 页为草稿纸；知3．认真填写密封线内学校、班级、姓名．第Ⅰ卷（共 30 分）一、选择题（共 10 道小题，每小题 3 分，共 30 分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑．1．在下列各数中，绝对值最大的数是A ． 1B ．－ 2C．1D．1 232． 2015 年 10 月 16 日，新一期全球超级计算机500强榜单在美国公布，中国“天河二号”超级计算机以每秒338600000 亿次浮点运算速度连续第六度称雄．将 338600000用科学记数法表示为A ． 3． 386 ×107B ． 0.3386 ×109 C． 3． 386 ×108 D ． 0.3386 ×1083.右图是某个几何体的三视图，则这个几何体是A．圆柱B．圆锥C．三棱柱D．三棱锥4．阿仁是一名非常爱读书的学生．他制作了五张材质和外观完全一样的书签，每张书签上写有一本书的名称和作者，分别是：《海底两万里》（作者：凡尔纳，法国）、《三国演义》（作者：罗贯中）、《西游记》（作者：吴承恩）、《骆驼祥子》（作者：老舍）、《钢铁是怎样炼成的》（作者：尼·奥斯特洛夫斯基，前苏联），从这五张书签中随机抽取一张，则抽到的书签上的作者是中国人的概率是1234A ．B．C．D．55555.下列运算正确的是A ．x 2x3x6B．x63x2C．4x32x22 x D．x32x6x6．一次函数y kx b的图象如右图所示，则 k,b 应满足的条件是A ．k 0, b 0B．k 0, b 0k 0, b 0k 0, b 07．如图，将一块含有45°的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果∠1=20 °，则∠2 的度数是A ． 15°B． 20°C．25°D． 30°8．如图，⊙ O 的半径为10， AB 是弦， OC⊥ AB 于点 C，若 AB=12，则 OC 的长为OA ． 2B．22C C．6D． 8A B9．某闭合电路中，电源电压为定值，电流I(A) 与电阻 R( Ω)成反比例，右图表示的是该电路中电流I 与电阻 R 之间函数关系的图象，则电流 I 关于电阻 R 的函数关系式为6B ．I 632A ．I C．IR D ．IR R RA'10．如图，把正方形 ABCD 绕它的中心O 顺时针旋转，得到A E F D正方形 A’B’C’D’，旋转角大于 0°小于90°.△ A’EF 的面积为 S，线段 AE 的长度为 x，那么 S 关于 x 的函数的图象可能是B'O D'SB CS S SC'O x O x O x O nA B C D第Ⅱ卷（共 70 分）二、填空题（共 6 道小题，每小题 3 分，共 18 分）11.分解因式：ax2ay2___________．12．某校在进行―阳光体育活动‖中，统计了7 位原来偏胖的学生的情况，他们的体重分别降低了 5， 9， 3， 10，6， 8， 5（单位： kg），则这组数据的中位数是__________．第 13 题图第14题图13.如图，若在象棋棋盘上建立直角坐标系，使―帥‖位于点（-3，-2），“炮”位于点（-2.0），14．如图，“吃豆小人”是一个经典的游戏形象，它的形状是一个扇形，开口∠1=60°，半径为，则这个“吃豆小人” （阴影图形）的面积为．15．若关于x 的一元二次方程kx 24x 2 0 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_________________．16.阅读下面材料 :在数学课上，老师提出如下问题 :尺规作图：作一个角等于已知角.已知：∠ AOB．O BA求作：∠ A′O′，B′使∠ A′O′＝B′∠ AOB ．小义同学作法如下：①作射线O′A；′②以点 O 为圆心，以任意长为半径作弧，交OA 于 C，交 OB 于 D ；③以点 O′为圆心，以 OC 长为半径作弧，交O′A于′ C′；④以点 C′为圆心，以 CD 为半径作弧，交③中所画弧于D′；⑤经过点D′作射线 O′B，′∠ A′O′就B′是所求的角．B B'D D'O A A'C O'C'老师说 : “小义的作法正确. ”请回答 :小义的作图依据是______________________________________________________ ．三、解答题（共 10 道小题， 17-24 题每小题 5 分， 25-26 题每小题 6 分，共 52 分）17．（本小题 5 分）120161计算： 1- 2 -2sin45 ．318．（本小题 5 分）2 x1解不等式 x 1，并写出不等式的正整数解．319．（本小题 5 分）如图，△ AFD 和△ BEC 中，点 A、 E、 F、 C 在同一条直线上.有下面四个关系式：（1） AD ＝ CB，（ 2） AD∥ BC，（ 3）∠ B＝∠ D，（ 4） AE＝ CF .请用其中三个作为已知条件，余下一个作为求证的结论，写出你的已知和求证，并证明.已知：A D求证：证明：EFB C1x22xy y220．（本小题 5 分）先化简，再求值：，其中 x 3 y ．x y x 2 y21．（本小题 5 分）某城市 2015 年约有初中生10 万人， 2016 年初中生人数还会略有增长.该市青少年活动中心对初中生阅读情况进行了统计，绘制的统计图表如下：2015 年某市喜爱阅读的初中生的2012-2015 年某市阅读首选类别喜爱阅读的初中生人数年份喜爱阅读的初中生人数（万人）2012 1.02013 2.22014 3.52015 5.0根据以上信息解答下列问题：（ 1）扇形统计图中m 的值为；（ 2） 2015 年，在该市喜爱阅读的初中生中，首选阅读科普读物的人数为万；（ 3）请你结合对数据的分析，预估2016 年该市喜爱阅读的初中生人数，并简单说明理由.22．（本小题5 分）在“校园文化”建设中，某校用8 000 元购进一批绿植，种植在礼堂前的空地处 . 根据建设方案的要求，该校又用7500 元购进第二批绿植 .两次所买绿植盆数相同，且第二批每盆的价格比第一批的少10 元 . 请问第二批绿植每盆多少元？23．（本小题 5 分）如图，△ ABC 和△ CDE 都是直角三角形， 点 B 、C 、D 在同一条直线上， ∠B=∠ D=∠ ACE=90 °，BC1AB 1 ， CD4 ．2（ 1）求 DE 的长；（ 2）连接 AE ．求证：四边形 ABDE 是矩形．A EB CD24．（本小题 5 分）如图，以△ ABC 的一边 BC 为直径的⊙ O ，交 AB 于点 D ，连接 CD ， OD ，已知∠ A+ 1∠ 1=90°．2（ 1）求证： AC 是⊙ O 的切线；（ 2）若∠ B=30°， AD=2，求⊙ O 的半径．ADC1 BO25．（本小题 6 分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y x22mx 与 x 轴的一个交点为A（ 4，0）．（ 1）求抛物线的表达式及顶点 B 的坐标；（ 2）将0 x 5时函数的图象记为G，点 P 为 G 上一动点，求P 点纵坐标 n 的取值范围；（ 3）在（ 2）的条件下，若经过点C（ 4， -4）的直线y kx b k 0 与图象G有两个公共点，结合图象直接写出 b 的取值范围．26．（本小题6 分）在一节数学活动课上，老师和同学们一起研究不同等腰三角形形状差异问题，老师提出我们可以规定一个“正度” ，“正度” 应满足三个条件：①可以用来衡量等腰三角形与正三角形的接近程度；②相似的等腰三角形的“正度”相等；③“正度”的值是非负数．经过讨论后，有两个组给出了答案：小智组提出：设等腰三角形的底和腰分别为a，b，可用式子a b 来表示“正度”， a b 的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；小信组提出：设等腰三角形的底角和顶角分别为α和β，可用式子来表示“正度” ，的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形．⑴他们的方案哪个较为合理，为什么？⑵请再写出一种可以衡量“正度”的表达式．北京市朝阳区2016 年初中毕业考试数学试卷评分标准及参考答案2016.4一、 （每小 3 分，共 30 分）1． B 2． C 3． B4．C 5． D 6． A7．C8． D9． A10． B二、填空 （每小 3 分，共18 分）11． a x y x y12． 613．（5 ， 1） 14． 5π 15. k 2 且 k 016．三 分 相等的两个三角形全等；全等三角形 角相等（写出其中一个即可）． 三、解答 （ 17— 24 每小5 分， 25—26 每小6 分，共 52 分）17．解：原式132 22 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯42=4． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分 518．解： 3x3 2x1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分3x 2x 3 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分x2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分∴原不等式的所有正整数解 1，2． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分19．已知： AD ＝ CB ， AD ∥ CB ，∠ D ＝∠ B ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分求 ： AE ＝ CF ．明：∵ AD ∥ CB ，∴∠ A ＝∠ C.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分∵AD ＝ CB ，∠ D ＝∠ B,∴△ ADF ≌△ CBE ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分∴AF ＝CE. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分∴AE ＝CF.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分1x 220．解：原式y分x y x⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯32 yx y ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分 4x 2 y当 x 3y ，原式3 y y 2 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分3y 2 y21. 解：（ 1） 8.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分（ 2） 0.75. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分（ 3）答案依据数据 明，合理即可．如：6.6 万人，因 市喜 的初中生人数逐年增 ，且增 快. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分22. 解： 第二批 植每盆 x 元． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分依 意，得80007500 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分x10x解得 x 150． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分， x =150 是原方程的解，且符合 意.⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分答：第二批 植每盆150 元． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分23.（ 1）解：∵∠ B=∠ ACE=90 °，∴∠ A+∠ ACB=90°，∠ ECD+∠ ACB=90°．∴∠ A=∠ ECD ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分∵∠ B=∠ D=90°，∴△ ABC ∽△ CDE ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分∴ BCAB ． DECD∵ BC1AB 1 ， CD 4 ，2∴ DE2 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分（ 2） 明：∵∠ B=∠ D=90°， ∴∠B+∠ D=180°．∴ AB ∥ DE ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分 ∵ AB=DE=2，∴四 形 ABDE 是平行四 形． ∵∠B=90°，∴平行四 形 ABDE 是矩形． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分24.（ 1） 明：依 意，得∠B= 1∠1． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分2∵∠ A+ 1∠1=90°，2∴∠ A+∠ B=90°. ∴∠ ACB=90°. ∴ AC ⊥ BC.∵ BC 是⊙ O 的直径，∴ AC 是⊙ O 的切 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分 （ 2）解：∵ BC 是⊙ O 的直径，∴∠ CDB =∠ ADC=90°． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分∵∠ B=30°，∴∠ A=60°，∠ ACD=30°．∴ AC=2AD =4． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分AC 4 3 ．∴ BCtan B∴⊙ O 的半径 23 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分25.解：（ 1）∵ A （ 4， 0）在抛物 y x 2 2mx 上，∴16 8m 0 .解得m 2 .∴ y x2 4 x .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分即 y x2 24 .∴ 点坐 B 2, 4 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分（2）当x2，y有最小–4；当x 5 ，y有最大 5.∴点 P 坐的n 的取范是 4 n 5 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分（3） 4 b 0 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分26.解：（ 1）小信的方案合理.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分因的越小，两个角越接近60°，等腰三角形就越接近正三角形，且保相似三角形的正度相等.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分小智的方案不合理.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分因不能保相似的等腰三角形的正度相等，如三分4、 4、 2 和 8、 8、 4，4 2 8 4 |.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分（2）60 （+120 ，b1 ， 1 ，⋯）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分a明：各解答的其他正确解法参照以上准分.。

北京市朝阳区2014～2015学年度第一学期期末检测九年级数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）1.一元二次方程x2-2x=0的解为A．x = 2 B．x1 = 0，x2 = 2 C．x1 = 0，x2 = -2 D．x1 = 1，x2 = 2 2. 抛物线2(1)2y x=-+的顶点坐标是A．（1，2）B．（1，-2）C．（-1， 2）D．（-1，-2）3.下列图形是中心对称图形的是A B C D4. 如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C＝35°，则∠AOB的度数为A．35°B．55°C．65°D．70°5. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为A．35B．34C．105D．16.下列事件是随机事件的是A．明天太阳从东方升起B．任意画一个三角形，其内角和是360°C．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰D．射击运动员射击一次，命中靶心7.一个矩形的长比宽相多3cm，面积是25cm2，求这个矩形的长和宽．设矩形的宽为x cm，则所列方程正确的是A．x2-3x+25=0 B．x2-3x-25=0 C．x2+3x-25=0 D．x2+3x-50=08.如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点（点C不与点A，B重合），AB=4．设弦AC的长为x，△ABC的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是A B C DACBBOACA BC二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9.如图，A 是反比例函数(0)ky x x=＞图象上的一点，AB 垂直于x 轴，垂足为B ，AC 垂直于y 轴，垂足为C ，若矩形ABOC 的面积为5，则k 的值为 ． 10.一枚质地均匀的骰子，六个面分别刻有1到6的点数，掷这个骰子一次，则向上一面的点数大3的概率是 ．11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点O 是边长为2的正方形ABCD 的中心．写出一个函数2y x c =+，使它的图象与正方形ABCD 有公共点，这个函数的表达式为 ．12.如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3，将扇形OAB 绕点A 逆时针旋转n °（0＜n ＜180）后得到扇形O ′AB′ ，当点O 在弧AB'上时，n 为 ，图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.计算：cos30sin602sin 45tan 45︒︒+︒•︒－ .14. 用配方法解方程： x 2-4x -1=0．15. 如图，△ABC 中，点D 在AB 上，∠ACD =∠ABC ，若AD =2，AB =6，求AC 的长．16. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以点A （2，3）为圆心的⊙A 交 x 轴于点B ，C ，BC =8， 求⊙A 的半径．17. 如图，正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 的中点，以点A 为中心，把△ABE 逆时针旋转90°，设点E 的对应点为F ．（1）画出旋转后的三角形． （2）在（1）的条件下，①求EF 的长；②求点E 经过的路径弧EF 的长． EDACB yx1CO B A y x O BDCA（第11题图）（第12题图）AC18．如图，甲船在港口P 的南偏东60°方向，距港口30海里的A 处，沿AP 方向以每小时5海里的速度驶向港口P ；乙船从港口P 出发，沿南偏西45°方向驶离港口P ．现两船 同时出发，2小时后甲船到达B 处，乙船到达C 处，此时乙船恰好在甲船的正西方向， 求乙船的航行距离(2 1.41≈，3 1.73≈，结果保留整数)．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19.已知关于x 的一元二次方程mx 2-(m +1)x +1=0． （1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若m 为整数，当此方程的两个实数根都是整数时，求m 的值.20. 如图，直线2y x =-+错误!未找到引用源。

2015-2016学年北京朝阳九年级上数学期末综合练习题（1）一、选择题（共10小题；共50分）1. 下列图形是中心对称图形的是 ( )A. B.C. D.2. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ( )A. B. C. D.3. 如图，在中，、两点分别在、边上，．若，则为 ( )A. B. C. D.4. 已知的半径是，的长为，则点与的位置关系是 ( )A. 点在圆内B. 点在圆上C. 点在圆外D. 不能确定5. 如图，的顶点坐标分别为，，，将其三边分别扩大后到（顶点均在格点上），若它们是以点为位似中心的位似图形，则点的坐标是 ( )A. B. C. D.6. 已知扇形的半径为，圆心角为，则这个扇形的面积为 ( )A. B. C. D.7. 一个袋子中装有个球，其中有个黑球和个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，随机从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为 ( )A. B. C. D.8. 如图，，，三点在正方形网格线的交点处．若将绕着点逆时针旋转得到，则的值为 ( )A. B. C. D.9. 如图，，，三点在上，，则的度数为 ( )A. B. C. D.10. 如图，是直径，弦交于，，．设，．下列图象中，能表示与的函数关系的是 ( )A. B.C. D.11. 劳技课上，王芳制作了一个圆锥形纸帽，已知纸帽底面圆半径为，母线长为．则将这个纸帽展开图的面积等于．12. 若反比例函数的图象上有两点，，则（填" "或" "或" "）．13. 如图，直线（）与双曲线（）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则当时，的取值范围是．14. 如图，是半圆的直径，且，点为半圆上的一点．将此半圆沿所在直线折叠，若圆弧恰好过圆心，则阴影部分的面积为．15. 如图，正方形位于第一象限，边长为，点在直线上，点的横坐标为，正方形的边分别平行于轴，轴．若双曲线与正方形有公共点，则的取值范围为．16. 如图，是边长为的等边的中心，将，，分别绕点、点、点顺时针旋转（），得到，，，连接，，，，．（1）；（2）当时，的周长最大．17. 计算：．18. 如图，在中，，两点分别在，两边上，，，，，求的长．19. 已知：如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．以为旋转中心，把逆时针旋转，得到；（1）画出；（2）点的坐标为；（3）求点旋转到所经过的路线长．20. 一圆柱形排水管的截面如图，已知排水管的直径为，水面宽为．由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为，求水面下降的高度．21. 小琳将中国的清华大学、北京大学和英国的剑桥大学图片分别贴在张完全相同的不透明的硬纸板上，制成名校卡片，如图．小琳将这张卡片背面朝上洗匀后放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再随机抽取一张卡片．请你用列表法或画树状图法，帮助小琳求出两次抽取的卡片上的图片一个是国内大学、一个是国外大学的概率．（卡片名称可以用字母表示）22. 已知：如图，直线交于，两点，的垂线，切于点，过点作的直径．若，，求的直径．23. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象分别交于，两点，已知点．（1）求反比例函数的表达式；（2）点为轴上的一点，当为直角时，直接写出点的坐标．24. 校车安全一直是社会所关注的问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验，如图：先在公路旁边选取一点，再在笔直的车道上确定点，使与垂直，测得的长等于米，在上点的同侧取点、，使，．已知本路段对校车限速为千米/ 时，若测得某校车从到用时分，这辆校车是否超速?说明理由．（参考数据：，）25. 如图，中，，，，是中点，过点作直线的垂线，垂足为．（1）求线段的长；（2）求的值．26. 如图，为的直径，为上一点，于点．为延长线上一点，．（1）求证：为的切线；（2）若，，求线段的长．27. 已知：如图，是矩形的对角线上的一点，点在上，双曲线经过点，交于点，交于点，若．（1）求的值；（2）连接，，直线与直线是否平行，并说明理由．28. 初三（2）班的同学在解题过程中，发现了用尺规作相等角方法的题目：如图1，在中，，求作：．仿照他们的做法，利用尺规作图解决下面问题，要求保留作图痕迹．如图3，当时，作出，且使点在直线上．29. 在锐角中，，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到．（1）如图1，当点在线段的延长线上时，求的度数；（2）如图2，连接，．若的面积为，求的面积；（3）如图3，点为线段中点，点是线段上的动点，在绕点按逆时针方向旋转过程中，点的对应点是点，则直接写出线段长度的最大值为，长度的最小值为．答案第一部分1. D2. C3. D4. A5. D6. B7. D8. C9. B 10. A【解析】过点作于点，连接，则．，．设，，则，，，．在中，，，．，即的值为一个常数，不随的值的变化而变化．第二部分11.12.13. 或14.【解析】如图，连接．由图可知阴影部分的面积等于扇形的面积．所对的弧为和，所对的弧为，，．．．扇形15.16. ；【解析】（1）连接，．是等边的中心，，，．．又，．．．（2）是等边三角形．当其边长最大时，周长最大．，．当最大时，最大．在中，．当在线段上时，最大．此时．第三部分原式17.18. 在和中，，，．．．19. （1）即为所求．（2）点的坐标为．（3）．点旋转到所经过的路线长为．20. 如图，下降后的水面宽为，连接，．过点作于，交于．．，．，，，．在中，，．同理可得．．水面下降了米．21. 令清华大学为字母，北京大学为，剑桥大学为．树状图为共有种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，其中两次抽取的卡片上的图片一个是国内大学、一个是国外大学的结果有种．两次抽取的卡片上的图片一个是国内大学、一个是国外大学．22. 连接，过点作于点．为的切线，．，即．又，．．．．，，．在中，设，，．，．．，的直径为．23. （1）点在正比例函数的图象上，．．反比例函数的图象经过点，．反比例函数的解析式为．（2）点的坐标为或．【解析】由题意可知，在轴上，要使为直角的点有两个，如图，、为所要求的点．根据直线过原点以及结合反比例函数的性质，可知四边形是矩形，、关于原点对称．根据矩形性质，可知，点的坐标为，，的坐标为，的坐标为．24. 由题意得，在中，．在中，，（米）．汽车从到用时分，其速度为（米 / 分），（米 / 分）（千米 / 时）．速度小于千米 / 时，此校车在路段不超速25. （1）中，，，，．中，，是中点，．（2）解法一：过点作于，如图．．在中，由勾股定理得．，．，．，．．解法二：是中点，，．．在中，由勾股定理得．．．．，．，．．26. （1）连接．，，．于点，．．．．半径．为的切线．（2）设的半径为．在中，．，．解得．．27. （1）双曲线经过点，．（2）结论：直线与直线平行．如图，连接，．设直线的解析式为．直线经过，直线的解析式为．，点．，．，，，．．又，．．．28. （或）为所求．（注：作出一个即给满分，不同的方法酌情给分）29. （1）由旋转的性质可得：，，．．（2）由旋转的性质可得：，，，．，．．．．，（3）最小值为，最大值为．【解析】如图，过点作，为垂足，为锐角三角形，点在线段上．在中，．当在上运动，与垂直的时候，绕点旋转，使点的对应点在线段上时，最小，最小值为：；当在上运动至点，绕点旋转，使点的对应点在线段的延长线上时，如图，最大，最大值为：．。

2015－２01６年北京朝阳初三上学期期末数学试题及答案北京市朝阳区2０１5～2016学年度第一学期期末检测九年级数学试卷(选用）2016.１一、选择题（本题共3０分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.１．下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是ＡＢＣD2.下列事件为必然事件的是Ａ． 任意掷一枚均匀的硬币,正面朝上 Ｂ. 篮球运动员投篮，投进篮筐 C.一个星期有七天D.打开电视机，正在播放新闻３.在平面直角坐标系中,点B 的坐标为(３,1），则点Ｂ关于原点的对称点的坐标为Ａ. （3，－１）B. （－３,１) Ｃ. (－1,-3） D ． （－3,－1）４.如图,ＡC 与B Ｄ相交于点E ,AD ∥B Ｃ.若A Ｅ=２，C Ｅ=3，ＡＤ=3,则B Ｃ的长度是A.2 B. 3Ｃ．4.5 D. 65.如图,在R ｔ△AB Ｃ中,∠C =9０°，ＢC ＝３,AC =4,则s ｉｎＡ的值是Ａ.43Ｂ．34 Ｃ.53 D ．54第4题图第5题图第6题图6.如图,反比例函数2 yx =-的图象上有一点A，过点Ａ作AB⊥x轴于B,则AOBS是A.12B. 1C. 2 D． 47.如图，在⊙O中,∠ＢOC=１０0°,则∠A等于A．10０° B. 50°Ｃ. 40° D. 25°第7题图第8题图8.如图,将△ＡOＢ绕点O按逆时针方向旋转４５°后得到△Ａ’OB’,若∠ＡOB=１5°，则∠ＡOB’的度数是Ａ．2５° B. 3０°C．３5°D．４０°9.如图，点D,E分别在△ABＣ的ＡB,AＣ边上,增加下列条件中的一个:①∠AEＤ＝∠Ｂ，②∠AＤE=∠Ｃ,③BCDEABAE=，④ABAEACAD=，⑤AEADAC⋅=2,使△ADE与△ACＢ一定相似的有Ａ．①②④ B. ②④⑤Ｃ. ①②③④Ｄ. ①②③⑤图①图②第9题图第10题图１０.小阳在如图①所示的扇形舞台上沿O-Ｍ-N匀速行走，他从点Ｏ出发，沿箭头所示的方向经过点M再走到点N，共用时７0秒.有一台摄像机选择了一个固定的位置记录了小阳的走路过程，设小阳走路的时间为t(单位：秒),他与摄像机的距离为y（单位:米)，表示ｙ与t的函数关系的图象大致如图②，则这个固定位置可能是图①中的A．点QＢ. 点P C. 点M D. 点N二、填空题（本题共１8分，每小题３分)。

北京市朝阳区2014~2015学年度第一学期期末检测九年级数学试卷参考答案及评分标准 2015.1二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．5 10．1211．答案不惟一，如2y x =（说明：写成2y x c =+的形式时，c 的取值范围是－2≤c ≤1） 12．60，3π 三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：原式21=+ ……………………………………………………………………4分 = ………………………………………………………………………………………5分14.解： x 2-4x =1. ……………………………………………………………………………………………… 1分x 2-4x +4=1+4 ，(x -2)2=5 .…………………………………………………………………………………………… 3分x -2=，∴12x =22x =-……………………………………………………………………… 5分15.解：∵∠ACD =∠ABC ，∠A=∠A , …………………………………………………………………… 2分 ∴△ACD ∽△ABC . ……………………………………………………………………………… 3分∴AD AC AC AB=. …………………………………………………………………………………… 4分 ∵AD =2，AB =6，∴26AC AC =. ∴212AC =.∴AC =. …………………………………………………………………………………………5分 16.解：如图，作AD ⊥BC 于点D ．………………………………… 1分连接AB ．∴142BD BC ==． ………………………………………… 3分 ∵点A 的坐标是（2，3），∴AD =3．……………………………………………………… 4分 在Rt △ABD 中，∴5AB = ……………………………………… 5分 ∴⊙A 的半径为5．17.解：（1）如图1．………………………… 1分（说明：点F在CD的延长线上）∴△ADF为所求．（2）①如图2，依题意，AE=AF，∠EAF =90°．…………… 2分在Rt△ABE中，∵AB=2，112BE BC==，∴AE=．…………………………………………… 3分在Rt△AEF中，EF==．……………………………… 4分②l==．……………………………… 5分∴弧EF的长为2．18．解：如图，作PD⊥BC于点D．………………………1分根据题意，得∠BPD=60°，∠CPD=45°．PB=AP - AB =20．………………………………… 2分在Rt△BPD中，∴cos60=10PD PB=•︒．……………………………3分在Rt△CPD中，∴cos45PDPC=︒…………………………… 4分∴14PC≈．…………………………………………5分答：乙船的航行距离约是14海里．四、解答题（本题共20分，每小题5分）C图1D图219.解：（1）证明：∆=〔-(m +1)]2-4m =(m -1)2．…………………………………………………………………………………… 1分∵（m -1）2≥0，∴∆≥0．∴该方程总有两个实数根． ………………………………………………………………… 2分（2）解：x =当m 为整数1或-1时，x 2为整数，即该方程的两个实数根都是整数，∴m 的值为1或-1．…………………………………………………………………………… 5分20.解：（1）∵点A （a ，3）在直线2y x =-+ 上，∴ 3=-a +2．∴ a =-1．………………………………………………………………………………………… 1分 ∴A （-1，3）．∵点A （-1，3）在反比例函数ky =x的图象上，∴31k=－．∴ k = -3． ………………………………………………………………………………………… 2分∴3y =x-． ……………………………………………………………………………………… 3分（2）（0，4 ）或（0，-4 ）．……………………………………………………………………………5分21.解：（1）120+5x ；……………………………………………………………………………………………………………………………… 1分（2）设有x 辆车未租出时，该汽车租赁公司日收益为y 元．根据题意，有()()4012052100y x x =-+-．…………………………………………………………………… 3分 即 25802700y x x =-++． ∵05<-， ∴当8082(5)x =-=⨯-时，y 有最大值.y 有最大值是3020. ……………………………………………………………………………………………………………………… 4分 ∴120+5x =120+5×8=160. …………………………………………………………………………………………………………… 5分答：当每辆车的日租金为160元时，该汽车租赁公司日收益最大，最大日收益为3020元.22. （1）证明：如图，连接BD ． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°．…………………………………… 1分 ∴∠DAB +∠ABD =90°． ∵AF 是⊙O 的切线， ∴∠FAB =90°．…………………………………… 2分 即∠DAB +∠CAF =90°． ∴∠CAF =∠ABD ．A∵BA =BC ，∠ADB =90°， ∴∠ABC =2∠ABD ．∴∠ABC =2∠CAF ．………………………………… 3分（2）解：如图，连接AE ．∴∠AEB =90°． 设CE = x ，∵CE ：EB =1：4，∴EB =4x ，BA =BC =5x ，AE =3x ． 在Rt △ACE 中，AC 2=CE 2+AE 2．即(210)2= x 2+(3x ) 2．∴x =2． ∴CE =2．…………………………………………………………………………………………… 4分 ∴EB =8，BA =BC =10，AE =6．∵tan AE AFEB BAABF ==∠. ∴6810AF =. ∴AF =152. ……………………………………………………………………………………… 5分 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23.解： (1) 由题意可知，此二次函数图象的对称轴为2x =，即()322k k-+-=. ∴1k =. …………………………………………………………………………………………1分 ∴y =x 2-4x +3. ……………………………………………………………………………………2分 （2）如图1…………………………………………3分1＜x ＜3. …………………………………………………………………………………………………………………………… 4分（3）由（1）得此方程为2230x mx m m -+-=.22=34m m m ∆---（）（）=-m 2+4m . …………………………………………………………………………………… 5分∴Δ是m 的二次函数.图1由图2可知，当-1≤m ＜0时，Δ＜0； 当m =0时，Δ=0；当0＜m ≤3时，Δ＞0. ∴当-1≤m ＜0时，原方程没有实数根；当m =0时， 原方程有两个相等的实数根 ；当0＜m ≤3时，原方程有 两个不相等的实数根. ………………………………7分24.（1）90；………………………………………………………1分 （2）∠FPG =120°；……………………………………………2分证明：如图，连接BD ，CE ． ∵∠BAC =∠DAE ， ∴∠BAD =∠CAE ． ∵AB =AC ，AD =AE ，∴△BAD ≌△CAE ……………………………………3分∴∠1=∠2．∵点F ，G ，P 分别是DE ，BC ，CD 的中点，∴PF ∥CE ，PG ∥BD ．……………………………………………………………………………4分 ∴∠FPD=∠ECD =∠2+∠3，∠4=∠5． ∴∠DPG =∠4+∠6=∠5+∠6．∴∠FPG=∠FPD +∠DPG =∠2+∠3 +∠5+∠6=∠1+∠3 +∠5+∠6．即∠FPG=∠ABC +∠ACB =180°-∠BAC =120°．…………………………………………………5分（3）7sin(90)2α︒－． ……………………………………………………………………………………7分（说明：也可以写成7cos 2α） 25.解：（1）依题意，可知 A （-1， 0），B （0，2）．抛物线y ＝ax 2＋bx －32经过点A ，C (4,0) 所以有 203216+40.3a b a b ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， ………………………………………………………………………1分解得 161.2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴2112623y x x =--．………………………………………………………………………………2分 （2）点D 在该抛物线上．………………………………………………………………………………3分 依题意，可得BO =2，CO =4．B过点D 作DF 垂直x 轴于点F , ∴△CDF ∽△CBO ．∴2===1DC DF CF BC BO CO ． ∴DF =4，OF = CF - OC = 4．∴ D （-4，4）．……………………………………4分∵()()21124623⨯-⨯-=-4-4，∴点D 在该抛物线上．（3）①由题意可知E （4，10）． 设DE 与y 轴的交点为M ′， ∵M ′B ∥EC ，∴'1'DM DB EM CB ==． ∴D M ′=EM ′．∴M ′ 即⊙M 的圆心M ．∴152BM EC ==．∴M （0，7）．…………………………………………………………………………………6分 ②（-4，4）或（3，3）．………………………………………………………………………8分说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准给分.。

2015-2016学年北京市朝阳区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1．（3分）下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列事件为必然事件的是（）A．任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上B．篮球运动员投篮，投进篮筐C．一个星期有七天D．打开电视机，正在播放新闻3．（3分）在直角坐标系中，点B的坐标为（3，1），则点B关于原点成中心对称的点的坐标为（）A．（3，﹣1）B．（﹣3，1）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣3，﹣1）4．（3分）如图，AC与BD相交于点E，AD∥BC．若AE=2，CE=3，AD=3，则BC 的长度是（）A．2 B．3 C．4.5 D．65．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA的值是（）A．B．C．D．6．（3分）如图，反比例函数y=﹣的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于B，则S是（）△AOBA．B．1 C．2 D．47．（3分）如图，在⊙O中，∠BOC=100°，则∠A等于（）A．100°B．50°C．40°D．25°8．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°9．（3分）如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED=∠B，②∠ADE=∠C，③，④，⑤AC2=AD•AE，使△ADE 与△ACB一定相似的有（）A．①②④B．②④⑤C．①②③④D．①②③⑤10．（3分）小阳在如图①所示的扇形舞台上沿O﹣M﹣N匀速行走，他从点O 出发，沿箭头所示的方向经过点M再走到点N，共用时70秒．有一台摄像机选择了一个固定的位置记录了小阳的走路过程，设小阳走路的时间为t（单位：秒），他与摄像机的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图②，则这个固定位置可能是图①中的（）A．点Q B．点P C．点M D．点N二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）在一个不透明的袋子中，装有2个红球和3个白球，它们除颜色外其余均相同．现随机从袋中摸出一个球，颜色是白色的概率是．12．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则的长为．13．（3分）已知y是x的反比例函数，且在每个象限内，y随x的增大而减小．请写出一个满足以上条件的函数表达式．14．（3分）如图，矩形ABCD中，点E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，则△AFE与△BCF的面积比等于．15．（3分）如图，⊙O的半径为6，OA与弦AB的夹角是30°，则弦AB的长度是．16．（3分）如图，已知反比例函数y=的图象上有一组点B1，B2，…，B n，它们的横坐标依次增加1，且点B1横坐标为1．“①，②，③…”分别表示如图所示的三角形的面积，记S1=①﹣②，S2=②﹣③，…，则S7的值为，S1+S2+…+S n=（用含n的式子表示）．三、解答题（本题共72分，第17-26小题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．（5分）计算：2cos45°﹣tan60°+sin30°﹣|﹣|．18．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，DE⊥AB于点E．若DE=2，BC=3，AC=6，求AE的长．19．（5分）如图，点A的坐标为（3，2），点B的坐标为（3，0）．作如下操作：①以点A为旋转中心，将△ABO顺时针方向旋转90°，得到△AB1O1；②以点O为位似中心，将△ABO放大，得到△A2B2O，使相似比为1：2，且点A2在第三象限．（1）在图中画出△AB1O1和△A2B2O；（2）请直接写出点A2的坐标：．20．（5分）党的十八大提出，倡导富强、民主、文明、和谐，倡导自由、平等、公正、法治，倡导爱国、敬业、诚信、友善，积极培育和践行社会主义核心价值观，这24个字是社会主义核心价值观的基本内容．其中：“富强、民主、文明、和谐”是国家层面的价值目标；“自由、平等、公正、法治”是社会层面的价值取向；“爱国、敬业、诚信、友善”是公民个人层面的价值准则．小光同学将其中的“文明”、“和谐”、“自由”、“平等”的文字分别贴在4张硬纸板上，制成如图所示的卡片．将这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取一张卡片．（1）小光第一次抽取的卡片上的文字是国家层面价值目标的概率是；（2）请你用列表法或画树状图法，帮助小光求出两次抽取卡片上的文字一次是国家层面价值目标、一次是社会层面价值取向的概率（卡片名称可用字母表示）．21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y=的图象交于A，B两点，点A的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC．（1）求反比例函数的表达式；（2）若点P是反比例函数y=图象上的一点，且满足△OPC的面积是△ABC面积的一半，请直接写出点P的坐标．22．（5分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD 于点A，求间径就是要求⊙O的直径．再次阅读后，发现AB=寸，CD=寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．23．（5分）如图，在一次户外研学活动中，老师带领学生去测一条东西流向的河流的宽度（把河两岸看做平行线，河宽即两岸之间的垂线段的长度）．某同学在河南岸A处观测到河对岸水边有一棵树P，测得P在A北偏东60°方向上，沿河岸向东前行20米到达B处，测得P在B北偏东45°方向上．求河宽（结果保留一位小数．≈1.414，≈1.732）．24．（5分）如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．25．（5分）如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°．将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，旋转角为α，且0°＜α＜180°．在旋转过程中，点B’可以恰好落在AB 的中点处，如图②．（1）求∠A的度数；（2）当点C到AA′的距离等于AC的一半时，求α的度数．26．（5分）有这样一个问题：探究函数y=的图象与性质．小慧根据学习函数的经验，对函数y=的图象与性质进行了探究．下面是小慧的探究过程，请补充完成：（1）函数y=的自变量x的取值范围是；（2）列出y与x的几组对应值．请直接写出m的值，m=；（3）请在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；（4）结合函数的图象，写出该函数的两条性质：①；②．27．（7分）我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆．（1）请分别作出图①中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）三角形的最小覆盖圆有何规律？请直接写出你所得到的结论（不要求证明）；（3）某城市有四个小区E，F，G，H（其位置如图②所示），现拟建一个手机信号基站，为了使这四个小区居民的手机都能有信号，且使基站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此基站应建在何处？请写出你的结论并说明研究思路．28．（7分）如图①，在平面直角坐标系中，直径为2的⊙A经过坐标系原点O （0，0），与x轴交于点B，与y轴交于点C（0，）．（1）求点B的坐标；（2）如图②，过点B作⊙A的切线交直线OA于点P，求点P的坐标；（3）过点P作⊙A的另一条切线PE，请直接写出切点E的坐标．29．（8分）在数学活动课上，老师提出了一个问题，希望同学们进行探究．在平面直角坐标系中，若一次函数y=kx+6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y=的图象交于C、D两点，则AD和BC有怎样的数量关系？同学们通过合作讨论，逐渐完成了对问题的探究．小勇说：我们可以从特殊入手，取D进行研究（如图①），此时我发现AD=BC．小攀说：在图①中，分别从点C、D两点向两条坐标轴作垂线，根据所学知识可以知道有两个图形的面积是相等的，并能求出确定的值，而且在图②中，此时S =S矩形GDIO，这一结论仍然成立，即的面积=的面积，此面积矩形FCHO的值为．小高说：我还发现，在图①或图②中连接某两个已知点，得到的线段与AD和BC 都相等，这条线段是．（1）请完成以上填空；（2）请结合以上三位同学的讨论，对图②所示的情况下，证明AD=BC；小峰突然提出一个问题：通过刚才的证明，我们可以知道当直线与双曲线的两个交点都在第一象限时，AD=BC总是成立的，但我发现当k的取值不同时，这两个交点有可能在不同象限，结论还成立吗？（3）请你结合小峰提出的问题，在图③中画出示意图，并判断结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．2015-2016学年北京市朝阳区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1．（3分）下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形．故正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；D、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．故选：A．2．（3分）下列事件为必然事件的是（）A．任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上B．篮球运动员投篮，投进篮筐C．一个星期有七天D．打开电视机，正在播放新闻【解答】解：A、任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上是随机事件，选项错误；B、篮球运动员投篮，投进篮筐是随机事假，选项错误；C、一个星期有7天，是必然事件，选项正确；D、打开电视机，正在播放新闻是随机事假．故选：C．3．（3分）在直角坐标系中，点B的坐标为（3，1），则点B关于原点成中心对称的点的坐标为（）A．（3，﹣1）B．（﹣3，1）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣3，﹣1）【解答】解：点（3，1）关于原点中心对称的点的坐标是（﹣3，﹣1），故选：D．4．（3分）如图，AC与BD相交于点E，AD∥BC．若AE=2，CE=3，AD=3，则BC 的长度是（）A．2 B．3 C．4.5 D．6【解答】解：∵AD∥BC，∴△ADE∽△BCE，∴，即：，∴BC=，故选：C．5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA的值是（）A．B．C．D．【解答】解：BA==5，∴sinA==．故选：C．6．（3分）如图，反比例函数y=﹣的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于B，是（）则S△AOBA．B．1 C．2 D．4【解答】解：设A的坐标为（a，b）（a＜0，b＞0），则OB=﹣a，AB=b，又∵A在反比例函数y=﹣图象上，∴将x=a，y=b代入反比例函数解析式得：b=﹣，即﹣ab=2，又∵△AOB为直角三角形，=OB•AB=﹣ab=1．∴S△AOB故选：B．7．（3分）如图，在⊙O中，∠BOC=100°，则∠A等于（）A．100°B．50°C．40°D．25°【解答】解：∵∠BOC=100°，∴∠A=∠BOC=50°．故选：B．8．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，∴∠AOB′=∠A′OA﹣∠A′OB′=45°﹣15°=30°，故选：B．9．（3分）如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED=∠B，②∠ADE=∠C，③，④，⑤AC2=AD•AE，使△ADE 与△ACB一定相似的有（）A．①②④B．②④⑤C．①②③④D．①②③⑤【解答】解：∵∠A=∠A，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB，①正确；∵∠A=∠A，∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ACB，②正确；∵∠A=∠A，，∴△ADE∽△ACB，④正确；由，或AC2=AD•AE不能证明△ADE与△ACB相似．故选：A．10．（3分）小阳在如图①所示的扇形舞台上沿O﹣M﹣N匀速行走，他从点O 出发，沿箭头所示的方向经过点M再走到点N，共用时70秒．有一台摄像机选择了一个固定的位置记录了小阳的走路过程，设小阳走路的时间为t（单位：秒），他与摄像机的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图②，则这个固定位置可能是图①中的（）A．点Q B．点P C．点M D．点N【解答】解：从图②图象上观察得到小阳沿着O﹣M匀速行走时，离摄像机距离越来越近；在弧M﹣N行走时，离摄像机距离先越来越近，再越来越远，观察图①可得：这个固定位置可能是图①中的P点．故选：B．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）在一个不透明的袋子中，装有2个红球和3个白球，它们除颜色外其余均相同．现随机从袋中摸出一个球，颜色是白色的概率是．【解答】解：根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的2个红球和3个白球，共5个，现随机从袋中摸出一个球，颜色是白色的概率是．故答案为．12．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则的长为．【解答】解：∵ABCDEF为正六边形，∴∠AOB=360°×=60°，的长为=．故答案为：．13．（3分）已知y是x的反比例函数，且在每个象限内，y随x的增大而减小．请写出一个满足以上条件的函数表达式y=（k＞0即可）．【解答】解：∵反比例函数（k是常数，k≠0），在其图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值的增大而减小，∴k＞0，∴y=，故答案为：y=．14．（3分）如图，矩形ABCD中，点E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，则△AFE与△BCF的面积比等于．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∵点E是边AD的中点，∴BC=AD=2AE，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CFB，∴=（）2=（）2=．故答案为：．15．（3分）如图，⊙O的半径为6，OA与弦AB的夹角是30°，则弦AB的长度是6．【解答】解：过O作OC⊥AB于C，∵OC过O，∴AB=2AC，∵OA=6，∠A=30°，∴OC=OA=3，由勾股定理得：AC==3，∵AB=2AC=6．故答案为：6．16．（3分）如图，已知反比例函数y=的图象上有一组点B1，B2，…，B n，它们的横坐标依次增加1，且点B1横坐标为1．“①，②，③…”分别表示如图所示的三角形的面积，记S1=①﹣②，S2=②﹣③，…，则S7的值为，S1+S2+…+S n=（用含n的式子表示）．【解答】解：由题意可得：S1=①﹣②=1﹣，S2=②﹣③=﹣，则S7=﹣=，故S1+S2+…+S n=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．故答案为：，．三、解答题（本题共72分，第17-26小题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．（5分）计算：2cos45°﹣tan60°+sin30°﹣|﹣|．【解答】解：原式=2×﹣+﹣=﹣．18．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，DE⊥AB于点E．若DE=2，BC=3，AC=6，求AE的长．【解答】解：∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠AED=∠C=90°，又∵∠A=∠A，∴△AED∽△ACB，∴，又∵DE=2，BC=3，AC=6，∴，∴AE=4．19．（5分）如图，点A的坐标为（3，2），点B的坐标为（3，0）．作如下操作：①以点A为旋转中心，将△ABO顺时针方向旋转90°，得到△AB1O1；②以点O为位似中心，将△ABO放大，得到△A2B2O，使相似比为1：2，且点A2在第三象限．（1）在图中画出△AB1O1和△A2B2O；（2）请直接写出点A2的坐标：（﹣6，﹣4）．【解答】解：（1）如图，△AB1O1和△A2B2O为所作；（2）点A2的坐标为（﹣6，﹣4）．故答案为（﹣6，﹣4）．20．（5分）党的十八大提出，倡导富强、民主、文明、和谐，倡导自由、平等、公正、法治，倡导爱国、敬业、诚信、友善，积极培育和践行社会主义核心价值观，这24个字是社会主义核心价值观的基本内容．其中：“富强、民主、文明、和谐”是国家层面的价值目标；“自由、平等、公正、法治”是社会层面的价值取向；“爱国、敬业、诚信、友善”是公民个人层面的价值准则．小光同学将其中的“文明”、“和谐”、“自由”、“平等”的文字分别贴在4张硬纸板上，制成如图所示的卡片．将这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取一张卡片．（1）小光第一次抽取的卡片上的文字是国家层面价值目标的概率是；（2）请你用列表法或画树状图法，帮助小光求出两次抽取卡片上的文字一次是国家层面价值目标、一次是社会层面价值取向的概率（卡片名称可用字母表示）．【解答】解：（1）小光第一次抽取的卡片上的文字是国家层面价值目标的概率==；故答案为；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两次抽取卡片上的文字一次是国家层面价值目标、一次是社会层面价值取向的结果数为8，所以两次抽取卡片上的文字一次是国家层面价值目标、一次是社会层面价值取向的概率==．21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y=的图象交于A，B两点，点A的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC．（1）求反比例函数的表达式；（2）若点P是反比例函数y=图象上的一点，且满足△OPC的面积是△ABC面积的一半，请直接写出点P的坐标．【解答】解：（1）将x=2代入y=2x中，得y=2×2=4．∴点A坐标为（2，4）．∵点A在反比例函数的图象上，∴k=2×4=8．∴反比例函数的表达式为．（2）∵A、B关于原点对称，∴B点坐标为（﹣2，﹣4），=2S△ACO，△OPC的面积是△ABC面积的一半，∵S△ABC∴P（2，4）或（﹣2，﹣4）．22．（5分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD 于点A，求间径就是要求⊙O的直径．再次阅读后，发现AB=1寸，CD=10寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．【解答】解：根据题意得：AB=1寸，CD=10寸；故答案为：1，10；（2）连接CO，如图所示：∵BO⊥CD，∴．设CO=OB=x寸，则AO=（x﹣1）寸，在Rt△CAO中，∠CAO=90°，∴AO2+CA2=CO2．∴（x﹣1）2+52=x2．解得：x=13，∴⊙O的直径为26寸．23．（5分）如图，在一次户外研学活动中，老师带领学生去测一条东西流向的河流的宽度（把河两岸看做平行线，河宽即两岸之间的垂线段的长度）．某同学在河南岸A处观测到河对岸水边有一棵树P，测得P在A北偏东60°方向上，沿河岸向东前行20米到达B处，测得P在B北偏东45°方向上．求河宽（结果保留一位小数．≈1.414，≈1.732）．【解答】解：过P作PC⊥AB于点C，∴∠ACP=90°．由题意可知，∠PAC=30°，∠PBC=45°．∴∠BPC=45°．∴BC=PC．在Rt△ACP中，．∵AB=20，∴．∴≈27.3．答：河流宽度约为27.3米．24．（5分）如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．【解答】（1）证明：如图1，连接OD，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°．∵OB=OD，∴∠ODB=∠B=60°．∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°．∴∠EDC=30°．∴∠ODE=90°．∴DE⊥OD于点D．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接AD，BF，∵AB为⊙O直径，∴∠AFB=∠ADB=90°．∴AF⊥BF，AD⊥BD．∵△ABC是等边三角形，∴，．∵∠EDC=30°，∴．∴FE=FC﹣EC=1．25．（5分）如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°．将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，旋转角为α，且0°＜α＜180°．在旋转过程中，点B’可以恰好落在AB 的中点处，如图②．（1）求∠A的度数；（2）当点C到AA′的距离等于AC的一半时，求α的度数．【解答】解：（1）将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，旋转角为α，∴CB=CB′∵点B′可以恰好落在AB的中点处，∴点B′是AB的中点．∵∠ACB=90°，∴CB′=AB=BB′，∴CB=CB′=BB′，即△CBB′是等边三角形．∴∠B=60°．∵∠ACB=90°，∴∠A=30°；（2）如图，过点C作CD⊥AA′于点D，点C到AA′的距离等于AC的一半，即CD=AC．在Rt△ADC中，∠ADC=90°，sin∠CAD==，∴∠CAD=30°，∵CA=CA′，∴∠A′=∠CAD=30°．∴∠ACA′=120°，即α=120°．26．（5分）有这样一个问题：探究函数y=的图象与性质．小慧根据学习函数的经验，对函数y=的图象与性质进行了探究．下面是小慧的探究过程，请补充完成：（1）函数y=的自变量x的取值范围是x≠2；（2）列出y与x的几组对应值．请直接写出m的值，m=3；（3）请在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；（4）结合函数的图象，写出该函数的两条性质：①该函数图象是轴对称图形；②该函数图象不经过原点．【解答】解：（1）依题意得：x﹣2≠0，解得x≠2，故答案是：x≠2；（2）把y=0代入y=，得0=，解得m=3．故答案是：3；（3）如图所示：（4）由（3）中的图象得到：该函数图象是轴对称图形，该函数图象不经过原点等．故答案是：该函数图象是轴对称图形，该函数图象不经过原点等．27．（7分）我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆．（1）请分别作出图①中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）三角形的最小覆盖圆有何规律？请直接写出你所得到的结论（不要求证明）；（3）某城市有四个小区E，F，G，H（其位置如图②所示），现拟建一个手机信号基站，为了使这四个小区居民的手机都能有信号，且使基站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此基站应建在何处？请写出你的结论并说明研究思路．【解答】解：（1）如图所示：（2）若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆．（3）此中转站应建在△EFH的外接圆圆心处（线段EF的垂直平分线与线段EH 的垂直平分线的交点处）．理由如下∠HEF=∠HEG+∠GEF=48°+33.88°=81.88°，∠EHF=50°，∠EFB=48.12°，∴△EFH是锐角三角形，所以其最小覆盖圆为△EFH的外接圆，设此外接圆为⊙O，直线EG与⊙O交于点E，M，则∠故点G在⊙O内，从而⊙O也是四边形EFGH的最小覆盖圆．所以中转站建在△EFH的外接圆圆心处，能够符合题中要求．28．（7分）如图①，在平面直角坐标系中，直径为2的⊙A经过坐标系原点O （0，0），与x轴交于点B，与y轴交于点C（0，）．（1）求点B的坐标；（2）如图②，过点B作⊙A的切线交直线OA于点P，求点P的坐标；（3）过点P作⊙A的另一条切线PE，请直接写出切点E的坐标．【解答】解：（1）如图①，连接BC，∵∠BOC=90°，∴BC是⊙A的直径，∴，∵，∴．∴OB==3，∴B（3，0）；（2）如图②，过点P作PD⊥x轴于点D，∵PB为⊙A的切线，，∴．∴∠OBC=30°，∴∠AOB=30°．∴∠OPB=180°﹣∠POB﹣∠ABO﹣∠ABP=30°．∴OB=BP=3，在Rt△PBD中，∠PDB=90°，∠PBD=60°，BP=3，∴，．∵OB=3，∴．∴；（3）由（2）得，∠OPB=30°，∵PE、PB是⊙A的切线，∴∠EPA=∠OPB=30°，∴∠EPB=60°，又∠PBD=60°，∴PE∥OD，∴．29．（8分）在数学活动课上，老师提出了一个问题，希望同学们进行探究．在平面直角坐标系中，若一次函数y=kx+6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y=的图象交于C、D两点，则AD和BC有怎样的数量关系？同学们通过合作讨论，逐渐完成了对问题的探究．小勇说：我们可以从特殊入手，取D进行研究（如图①），此时我发现AD=BC．小攀说：在图①中，分别从点C、D两点向两条坐标轴作垂线，根据所学知识可以知道有两个图形的面积是相等的，并能求出确定的值，而且在图②中，此时S =S矩形GDIO，这一结论仍然成立，即四边形OHCF的面积=四边形OIDG 矩形FCHO的面积，此面积的值为6．小高说：我还发现，在图①或图②中连接某两个已知点，得到的线段与AD和BC 都相等，这条线段是GH．（1）请完成以上填空；（2）请结合以上三位同学的讨论，对图②所示的情况下，证明AD=BC；小峰突然提出一个问题：通过刚才的证明，我们可以知道当直线与双曲线的两个交点都在第一象限时，AD=BC总是成立的，但我发现当k的取值不同时，这两个交点有可能在不同象限，结论还成立吗？（3）请你结合小峰提出的问题，在图③中画出示意图，并判断结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．=S矩形GDIO，这一结论仍然成立，即的四边形OHCF面积【解答】解：（1）S矩形FCHO=四边形OIDG的面积，此面积的值为6．在图①或图②中连接某两个已知点，得到的线段与AD和BC都相等，这条线段是GH．故答案是：四边形OHCF，四边形OIDG，6，GH；（2）成立，证明如下：如图①，连接GH，GC，DH，∵点C，D是反比例图象上的点，=S矩形GDIO．∴S矩形FCHO∴．∴S=S△GHD．△CGH∴点C，D到GH的距离相等．∴CD∥GH．∴四边形BCHG和四边形GHAD都是平行四边形．∴BC=GH，GH=DA．即AD=BC；（3）画出图形，得到GH，∵点C，D是反比例图象上的点，=S矩形GDIO．∴S矩形FCHO∴．=S△GHD．∴S△CGH∴点C，D到GH的距离相等．∴CD∥GH．∴四边形BCHG和四边形GHAD都是平行四边形．∴BC=GH，GH=DA．即AD=BC．。

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九年级上数学期末试卷一．选择题（共10小题）1．已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是( ）A．﹣3 B． 3 C． 0 D． 0或32．方程x2=4x的解是（）A． x=4 B． x=2 C． x=4或x=0 D． x=03．如图，在▱ABCD中，AB=6,AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，若BG=，则△CEF的面积是（)A．B．C．D．3题4．在面积为15的平行四边形ABCD中,过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF 垂直于直线CD于点F,若AB=5，BC=6，则CE+CF的值为（）A． 11+ B． 11﹣ C． 11+或11﹣ D． 11+或1+5．有一等腰梯形纸片ABCD(如图），AD∥BC，AD=1,BC=3，沿梯形的高DE剪下，由△DEC与四边形ABED不一定能拼成的图形是（)A．直角三角形 B．矩形C．平行四边形D．正方形5题6．如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，它的俯视图为( ）A． B． C． D．7．下列函数是反比例函数的是（）A． y=x B． y=kx﹣1 C． y=D． y=8．矩形的面积一定，则它的长和宽的关系是（）A．正比例函数 B．一次函数C．反比例函数D．二次函数9．已知一组数据:12，5，9，5,14，下列说法不正确的是（)A．极差是5 B．中位数是9 C．众数是5 D．平均数是910．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个,除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45％，则口袋中白色球的个数可能是（） A． 24 B． 18 C． 16 D． 6二．填空题（共6小题）11．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为_____．12．如图，△ABC中,DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°,∠ACB=80°,则∠BCE=_________度．13．有两张相同的矩形纸片，边长分别为2和8,若将两张纸片交叉重叠，则得到重叠部分面积最小是_________ ，最大的是_________ ．14．直线l1：y=k1x+b与双曲线l2:y=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式＞k1x+b的解集为_________ ．15．一个口袋中装有10个红球和若干个黄球．在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中红球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程20次，得到红球数与10的比值的平均数为0。

2016-2017学年北京市朝阳区九年级（上）期末数学试卷一、单项选择题（本题共30分，每小题3分）1．（3分）二次函数y=（x﹣1）2﹣3的最小值是（）A．2B．1C．﹣2D．﹣32．（3分）下列事件中，是必然事件的是（）A．明天太阳从东方升起B．射击运动员射击一次，命中靶心C．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯3．（3分）一个不透明的盒子中装有6个大小相同的乒乓球，其中4个是黄球，2个是白球．从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于点D，E，若AD：DB=1：2，则△ADE与△ABC的面积之比是（）A．1：3B．1：4C．1：9D．1：165．（3分）已知点A（1，a）与点B（3，b）都在反比例函数y=﹣的图象上，则a与b之间的关系是（）A．a＞b B．a＜b C．a≥b D．a=b6．（3分）已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则它的侧面展开图的面积为（）A．18πcm2B．12πcm2C．6πcm2D．3πcm27．（3分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R表示电流I的函数表达式为（）A．B．C．D．8．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为5，AC=8．则cosB的值是（）A．B．C．D．9．（3分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径是（）A．5步B．6步C．8步D．10步10．（3分）已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2=kx+n（k≠0）的图象如图所示，下面有四个推断：①二次函数y1有最大值②二次函数y1的图象关于直线x=﹣1对称③当x=﹣2时，二次函数y1的值大于0④过动点P（m，0）且垂直于x轴的直线与y1，y2的图象的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，m的取值范围是m＜﹣3或m＞﹣1．其中正确的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）将二次函数y=x2﹣2x﹣5化为y=a（x﹣h）2+k的形式为y=．12．（3分）抛物线y=x2﹣2x+m与x轴有两个公共点，请写出一个符合条件的表达式为．13．（3分）如图，若点P在反比例函数y=﹣（x＜0）的图象上，过点P作PM ⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，则矩形PMON的面积为．14．（3分）某农科所在相同条件下做某种作物种子发芽率的试验，结果如表所示：种子个数n10001500250040008000150002000030000发芽种子个数m8991365224536447272136801816027300发芽种子频率0.8990.9100.8980.9110.9090.9120.9080.910则该作物种子发芽的概率约为．15．（3分）如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC边上一点，连接DE．请你添加一个条件，使△ADE∽△ABC，则你添加的这一个条件可以是（写出一个即可）．16．（3分）阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：已知：∠ACB是△ABC的一个内角．求作：∠APB=∠ACB．小明的做法如下：如图①作线段AB的垂直平分线m；②作线段BC的垂直平分线n，与直线m交于点O；③以点O为圆心，OA为半径作△ABC的外接圆；④在弧ACB上取一点P，连结AP，BP．所以∠APB=∠ACB．老师说：“小明的作法正确．”请回答：（1）点O为△ABC外接圆圆心（即OA=OB=OC）的依据是；（2）∠APB=∠ACB的依据是．三、解答题（本题共72分，第17-26题每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．（5分）计算：2sin45°+tan60°+2cos30°﹣．18．（5分）如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，若AC=，AD=1，求DB的长．19．（5分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣2﹣102…y…﹣3﹣4﹣35…（1）求二次函数的表达式，并写出这个二次函数图象的顶点坐标；（2）求出该函数图象与x轴的交点坐标．20．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A（2，6），B（4，2），C（6，2）．（1）以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△DEF．请在第一象限内，画出△DEF．（2）在（1）的条件下，点A的对应点D的坐标为，点B的对应点E 的坐标为．21．（5分）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，CD=10，EM=25．求⊙O的半径．22．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是BC边的中点，CD=2，tanB=．（1）求AD和AB的长；（2）求sin∠BAD的值．23．（5分）已知一次函数y=﹣2x+1的图象与y轴交于点A，点B（﹣1，n）是该函数图象与反比例函数y=（k≠0）图象在第二象限内的交点．（1）求点B的坐标及k的值；（2）试在x轴上确定点C，使AC=AB，直接写出点C的坐标．24．（5分）如图，用一段长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃ABCD，墙长28m．设AB长为x m，矩形的面积为y m2．（1）写出y与x的函数关系式；（2）当AB长为多少米时，所围成的花圃面积最大？最大值是多少？（3）当花圃的面积为150m2时，AB长为多少米？25．（5分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且=，过点C 的直线CF⊥AD于点F，交AB的延长线于点E，连接AC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）连接FO，若sinE=，⊙O的半径为r，请写出求线段FO长的思路．26．（5分）某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y=﹣x2+2|x|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如表：x…﹣3﹣﹣2﹣10123…y…﹣2﹣m2121﹣﹣2…其中m=；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（3）根据函数图象，写出：①该函数的一条性质；②直线y=kx+b经过点（﹣1，2），若关于x的方程﹣x2+2|x|+1=kx+b有4个互不相等的实数根，则b的取值范围是．27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+n经过点A（﹣4，2），分别与x，y轴交于点B，C，抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣n的顶点为D．（1）求点B，C的坐标；（2）①直接写出抛物线顶点D的坐标（用含m的式子表示）；②若抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣n与线段BC有公共点，求m的取值范围．28．（7分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O为AB边上的一点，且tanB=，点D为AC边上的动点（不与点A，C重合），将线段OD绕点O顺时针旋转90°，交BC于点E．（1）如图1，若O为AB边中点，D为AC边中点，则的值为；（2）若O为AB边中点，D不是AC边的中点，①请根据题意将图2补全；②小军通过观察、实验，提出猜想：点D在AC边上运动的过程中，（1）中的值不变．小军把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了求的值的几种想法：想法1：过点O作OF⊥AB交BC于点F，要求的值，需证明△OEF∽△ODA．想法2：分别取AC，BC的中点H，G，连接OH，OG，要求的值，需证明△OGE∽△OHD．想法3：连接OC，DE，要求的值，需证C，D，O，E四点共圆．…请你参考上面的想法，帮助小军写出求的值的过程（一种方法即可）；（3）若=（n≥2且n为正整数），则的值为（用含n的式子表示）．29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r（r＞1），P是圆内与圆心C不重合的点，⊙C的“完美点”的定义如下：若直线CP与⊙C交于点A，B，满足|PA﹣PB|=2，则称点P为⊙C的“完美点”，如图为⊙C及其“完美点”P 的示意图．（1）当⊙O的半径为2时，①在点M（，0），N（0，1），T（﹣，﹣）中，⊙O的“完美点”是；②若⊙O的“完美点”P在直线y=x上，求PO的长及点P的坐标；（2）⊙C的圆心在直线y=x+1上，半径为2，若y轴上存在⊙C的“完美点”，求圆心C的纵坐标t的取值范围．2016-2017学年北京市朝阳区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（3分）二次函数y=（x﹣1）2﹣3的最小值是（）A．2B．1C．﹣2D．﹣3【分析】由顶点式可知当x=1时，y取得最小值﹣3．【解答】解：∵y=（x﹣1）2﹣3，∴当x=1时，y取得最小值﹣3，故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．2．（3分）下列事件中，是必然事件的是（）A．明天太阳从东方升起B．射击运动员射击一次，命中靶心C．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案．【解答】解：A、明天太阳从东方升起是必然事件，故A正确；B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故B错误；C、随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数是随机事件，故C错误；D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故D错误；故选：A．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．（3分）一个不透明的盒子中装有6个大小相同的乒乓球，其中4个是黄球，2个是白球．从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是（）A．B．C．D．【分析】直接利用概率公式求解．【解答】解：从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率==．故选：A．【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．4．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于点D，E，若AD：DB=1：2，则△ADE与△ABC的面积之比是（）A．1：3B．1：4C．1：9D．1：16【分析】根据DE∥BC，即可证得△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求解．【解答】解：∵AD：DB=1：2，∴AD：AB=1：3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=．故选：C．5．（3分）已知点A（1，a）与点B（3，b）都在反比例函数y=﹣的图象上，则a与b之间的关系是（）A．a＞b B．a＜b C．a≥b D．a=b【分析】把所给点的横纵坐标代入反比例函数的解析式，求出a与b的值，比较大小即可．【解答】解：点A（1，a）在反比例函数y=﹣的图象上，a=﹣12，点（3，b）在反比例函数y=﹣的图象上，b=﹣4，∴a＜b．故选：B．6．（3分）已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则它的侧面展开图的面积为（）A．18πcm2B．12πcm2C．6πcm2D．3πcm2【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【解答】解：它的侧面展开图的面积=•2π•2•3=6π（cm2）．故选：C．7．（3分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R表示电流I的函数表达式为（）A．B．C．D．【分析】根据函数图象可用电阻R表示电流I的函数解析式为I=，再把（2，3）代入可得k的值，进而可得函数解析式．【解答】解：设用电阻R表示电流I的函数解析式为I=，∵过（2，3），∴k=3×2=6，∴I=，故选：D．8．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为5，AC=8．则cosB的值是（）A．B．C．D．【分析】连接CD，则可得∠ACD=90°，且∠B=∠D，在Rt△ADC中可求得CD，则可求得cosD，即可求得答案．【解答】解：如图，连接CD，∵AD⊙O的直径，∴∠ACD=90°，且∠B=∠D，在Rt△ACD中，AD=5×2=10，AC=8，∴CD=6，∴cosD===，∴cosB=cosD=，故选：B．9．（3分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径是（）A．5步B．6步C．8步D．10步【分析】由勾股定理可求得斜边长，分别连接圆心和三个切点，设内切圆的半径为r，利用面积相等可得到关于r的方程，可求得内切圆的半径，则可求得内切圆的直径．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，AC=8，BC=15，∠C=90°，∴AB==17，∴S△ABC=AC•BC=×8×15=60，设内切圆的圆心为O，分别连接圆心和三个切点，及OA、OB、OC，设内切圆的半径为r，∴S△ABC =S△AOB+S△BOC+S△AOC=×r（AB+BC+AC）=20r，∴20r=60，解得r=3，∴内切圆的直径为6步，故选：B．10．（3分）已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2=kx+n（k≠0）的图象如图所示，下面有四个推断：①二次函数y1有最大值②二次函数y1的图象关于直线x=﹣1对称③当x=﹣2时，二次函数y1的值大于0④过动点P（m，0）且垂直于x轴的直线与y1，y2的图象的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，m的取值范围是m＜﹣3或m＞﹣1．其中正确的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】根据函数的图象即可得到结论．【解答】解：∵二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象的开口向上，∴二次函数y1有最小值，故①错误；观察函数图象可知二次函数y1的图象关于直线x=﹣1对称，故②正确；当x=﹣2时，二次函数y1的值小于0，故③错误；当x＜﹣3或x＞﹣1时，抛物线在直线的上方，∴m的取值范围为：m＜﹣3或m＞﹣1，故④正确．故选：D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）将二次函数y=x2﹣2x﹣5化为y=a（x﹣h）2+k的形式为y=（x﹣1）2﹣6．【分析】利用配方法整理即可得解；【解答】解：（1）y=x2﹣2x﹣5=x2﹣2x+1﹣6=（x﹣1）2﹣6，故答案为：（x﹣1）2﹣6．【点评】本题考查了二次函数的三种形式的转化，二次函数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键．12．（3分）抛物线y=x2﹣2x+m与x轴有两个公共点，请写出一个符合条件的表达式为y=x2﹣2x．【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4m＞0，然后解不等式组求出m 的范围，再在此范围内写出一个m的值即可．【解答】解：根据题意得到△=（﹣2）2﹣4m＞0，解得m＜1，若m取0，抛物线解析式为y=x2﹣2x．故答案为y=x2﹣2x．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0），△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．13．（3分）如图，若点P在反比例函数y=﹣（x＜0）的图象上，过点P作PM ⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，则矩形PMON的面积为3．【分析】设PN=a，PM=b，根据P点在第二象限得P（﹣a，b），根据矩形的面积公式即可得到结论．【解答】解：设PN=a，PM=b，∵P点在第二象限，∴P（﹣a，b），代入y=中，得k=﹣ab=﹣3，∴矩形PMON的面积=PN•PM=ab=3，故答案为：3．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义．过反比例函数图象上一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为反比例函数系数k的绝对值．14．（3分）某农科所在相同条件下做某种作物种子发芽率的试验，结果如表所示：种子个数n10001500250040008000150002000030000发芽种子个数m8991365224536447272136801816027300发芽种子频率0.8990.9100.8980.9110.9090.9120.9080.910则该作物种子发芽的概率约为0.910．【分析】选一个表格中发芽种子频率比较按近的数，如0.900、0.910等都可以．【解答】解：答案不唯一，如：0.910．故答案为：0.910．【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．15．（3分）如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC边上一点，连接DE．请你添加一个条件，使△ADE∽△ABC，则你添加的这一个条件可以是∠ADE=∠B（写出一个即可）．【分析】利用有两组角对应相等的两个三角形相似添加条件．【解答】解：∵∠DAE=∠BAC，∴当∠ADE=∠B时，△ADE∽△ABC．故答案为∠ADE=∠B．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．16．（3分）阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：已知：∠ACB是△ABC的一个内角．求作：∠APB=∠ACB．小明的做法如下：如图①作线段AB的垂直平分线m；②作线段BC的垂直平分线n，与直线m交于点O；③以点O为圆心，OA为半径作△ABC的外接圆；④在弧ACB上取一点P，连结AP，BP．所以∠APB=∠ACB．老师说：“小明的作法正确．”请回答：（1）点O为△ABC外接圆圆心（即OA=OB=OC）的依据是①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；②等量代换；（2）∠APB=∠ACB的依据是同弧所对的圆周角相等．【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质定理以及等量代换即可得出结论．（2）根据同弧所对的圆周角相等即可得出结论．【解答】解：（1）如图2中，∵MN垂直平分AB，EF垂直平分BC，∴OA=OB，OB=OC（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等），∴OA=OB=OC（等量代换）故答案为①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；②等量代换．（2）∵=，∴∠APB=∠ACB（同弧所对的圆周角相等）．故答案为同弧所对的圆周角相等．【点评】本题考查作图﹣复杂作图、线段的垂直平分线的性质、三角形的外心等知识，解题的关键是熟练掌握三角形外心的性质，属于中考常考题型．三、解答题（本题共72分，第17-26题每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．（5分）计算：2sin45°+tan60°+2cos30°﹣．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：原式=2×++2×﹣2=．【点评】此题主要考查了实数运算以及特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．18．（5分）如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，若AC=，AD=1，求DB的长．【分析】由∠ACD=∠ABC与∠A是公共角，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得△ADC∽△ACB，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得AB，进而得到DB的长．【解答】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC．∴，∴．∴AB=3，∴DB=AB﹣AD=2．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．19．（5分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣2﹣102…y…﹣3﹣4﹣35…（1）求二次函数的表达式，并写出这个二次函数图象的顶点坐标；（2）求出该函数图象与x轴的交点坐标．【分析】（1）由待定系数法即可得出答案；（2）求出y=0时x的值，即可得出答案．【解答】解：（1）由题意，得c=﹣3．将点（2，5），（﹣1，﹣4）代入，得解得∴y=x2+2x﹣3．顶点坐标为（﹣1，﹣4）．（2）当y=0时，x2+2x﹣3，解得：x=﹣3或x=1，∴函数图象与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、抛物线与x轴的交点；求出二次函数的解析式是解决问题的关键．20．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A（2，6），B（4，2），C（6，2）．（1）以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△DEF．请在第一象限内，画出△DEF．（2）在（1）的条件下，点A的对应点D的坐标为（1，3），点B的对应点E的坐标为（2，1）．【分析】（1）分别连接OA、OB、OC，然后分别取它们的中点得到D、E、F；（2）利用线段中点坐标公式可得到D点和E点坐标．【解答】解：（1）如图，△DEF为所作；（2）D（1，3），E（2，1）．故答案为（1，3），（2，1）．【点评】本题考查了作图﹣位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．21．（5分）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，CD=10，EM=25．求⊙O的半径．【分析】根据垂径定理得出EM⊥CD，则CM=DM=2，在Rt△COM中，有OC2=CM2+OM2，进而可求得半径OC．【解答】解：如图，连接OC，∵M是弦CD的中点，EM过圆心O，∴EM⊥CD．∴CM=MD．∵CD=10，∴CM=5．设OC=x，则OM=25﹣x，在Rt△COM中，根据勾股定理，得52+（25﹣x）2=x2．解得x=13．∴⊙O的半径为13．【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形．22．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是BC边的中点，CD=2，tanB=．（1）求AD和AB的长；（2）求sin∠BAD的值．【分析】（1）由中点定义求BC=4，根据tanB=得：AC=3，由勾股定理得：AB=5，AD=；（2）作高线DE，证明△DEB∽△ACB，求DE的长，再利用三角函数定义求结果．【解答】解：（1）∵D是BC的中点，CD=2，∴BD=DC=2，BC=4，在Rt△ACB中，由tanB=，∴，∴AC=3，由勾股定理得：AD===，AB===5；（2）过点D作DE⊥AB于E，∴∠C=∠DEB=90°，又∠B=∠B，∴△DEB∽△ACB，∴，∴，∴，∴sin∠BAD===．【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．23．（5分）已知一次函数y=﹣2x+1的图象与y轴交于点A，点B（﹣1，n）是该函数图象与反比例函数y=（k≠0）图象在第二象限内的交点．（1）求点B的坐标及k的值；（2）试在x轴上确定点C，使AC=AB，直接写出点C的坐标．【分析】（1）由点B的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点B 的坐标，根据点B的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；（2）令x=0利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，设点C的坐标为（m，0），根据两点间的距离公式结合AC=AB即可得出关于m无理方程，解之即可得出m的值，进而得出点C的坐标．【解答】解：（1）∵点B（﹣1，n）在直线y=﹣2x+1上，∴n=2+1=3．∴点B的坐标为（﹣1，3）．∵点B（﹣1，3）在反比例函数的图象上，∴k=﹣3．（2）当x=0时，y=﹣2x+1=1，∴点A的坐标为（0，1）．设点C的坐标为（m，0），∵AC=AB，∴==，解得：m=±2．∴点C的坐标为（2，0）或（﹣2，0）．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征，根据一次函数图象上点的坐标特征找出点A、B的坐标是解题的关键．24．（5分）如图，用一段长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃ABCD，墙长28m．设AB长为x m，矩形的面积为y m2．（1）写出y与x的函数关系式；（2）当AB长为多少米时，所围成的花圃面积最大？最大值是多少？（3）当花圃的面积为150m2时，AB长为多少米？【分析】（1）根据题意可以得到y与x的函数关系式；（2）根据（1）中的函数关系式化为顶点式，注意x的取值范围；（3）根据（1）和（2）中的关系可以求得AB的长．【解答】解：（1）y=x（40﹣2x）=﹣2x2+40x，即y与x的函数关系式是y=﹣2x2+40x；（2）由题意，得，解得，6≤x＜20．由题意，得y=﹣2x2+40x=﹣2（x﹣10）2+200，∴当x=10时，y有最大值，y的最大值为200，即当AB长为10m时，花圃面积最大，最大面积为200m2；（3）令y=150，则﹣2x2+40x=150．解得，x1=5，x2=15，∵6≤x＜20，∴x=15，即当AB长为15m时，面积为150m2．【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．25．（5分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且=，过点C 的直线CF⊥AD于点F，交AB的延长线于点E，连接AC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）连接FO，若sinE=，⊙O的半径为r，请写出求线段FO长的思路．【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2，根据圆周角定理得到∠1=∠3，推出OC∥AF，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）由sinE=，推出△AEF，△OEC都为含30°的直角三角形；推出△ACF为含30°的直角三角形；由勾股定理可求OF的长．【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵OC=OA，∴∠1=∠2，∵=，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OC∥AF，∵CF⊥AD，∴∠CFA=90°，∴∠OCF=90°，∴OC⊥EF，∵OC为⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：求解思路如下：①在Rt△AEF和Rt△OEC中，由sinE=，可得△AEF，△OEC都为含30°的直角三角形；②由∠1=∠3，可知△ACF为含30°的直角三角形；③由⊙O的半径为r，可求OE，AE的长，从而可求CF的长；④在Rt△COF中，由勾股定理可求OF的长．【点评】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．26．（5分）某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y=﹣x2+2|x|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如表：x…﹣3﹣﹣2﹣10123…y…﹣2﹣m2121﹣﹣2…其中m=1；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（3）根据函数图象，写出：①该函数的一条性质函数图象关于y轴对称；②直线y=kx+b经过点（﹣1，2），若关于x的方程﹣x2+2|x|+1=kx+b有4个互不相等的实数根，则b的取值范围是1＜b＜2．【分析】（1）把x=﹣2代入函数解释式即可得m的值；（2）描点、连线即可得到函数的图象；（3）①根据函数图象得到函数y=x2﹣2|x|+1的图象关于y轴对称；当x＞1时，y随x的增大而减少；②根据函数的图象即可得到b的取值范围是1＜b＜2．【解答】解：（1）当x=﹣2时，m=﹣（﹣2）2+2×|﹣2|+1=﹣4+4+1=1．（2）如图所示：（3）①答案不唯一．如：函数图象关于y轴对称．②由函数图象知：∵关于x的方程﹣x2+2|x|+1=kx+b有4个互不相等的实数根，∴b的取值范围是1＜b＜2．故答案为：1；函数图象关于y轴对称；1＜b＜2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键．27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+n经过点A（﹣4，2），分别与x，y轴交于点B，C，抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣n的顶点为D．（1）求点B，C的坐标；（2）①直接写出抛物线顶点D的坐标（用含m的式子表示）；②若抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣n与线段BC有公共点，求m的取值范围．【分析】（1）把A点坐标代入直线解析式，可求得n的值，可得直线解析式，即可求得B、C的坐标；（2）①把抛物线解析式化为顶点式，结合（1）中所求n的值，可求得D点坐标；②把B、C两点的坐标分别代入抛物线解析式，可求得m的值，从而可求得其取值范围．【解答】解：（1）把A（﹣4，2）代入y=x+n中，得n=1，∴直线解析式为y=x+1，令y=0可求得x=4，令x=0可得y=1，∴B（4，0），C（0，1）；（2）①∵y=x2﹣2mx+m2﹣n=（x﹣m）2﹣1，∴D（m，﹣1）；②将点（0，1）代入y=x2﹣2mx+m2﹣1中，得1=m2﹣1，解得m=或m=﹣，将点（4，0）代入y=x2﹣2mx+m2﹣1中，得0=16﹣8m+m2﹣1，解得m=5或m=3，∴．【点评】本题主要考查二次函数的性质，求得抛物线的解析式是解题的关键，注意数形结合．28．（7分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O为AB边上的一点，且tanB=，点D为AC边上的动点（不与点A，C重合），将线段OD绕点O顺时针旋转90°，交BC于点E．（1）如图1，若O为AB边中点，D为AC边中点，则的值为；（2）若O为AB边中点，D不是AC边的中点，①请根据题意将图2补全；②小军通过观察、实验，提出猜想：点D在AC边上运动的过程中，（1）中的值不变．小军把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了求的值的几种想法：想法1：过点O作OF⊥AB交BC于点F，要求的值，需证明△OEF∽△ODA．想法2：分别取AC，BC的中点H，G，连接OH，OG，要求的值，需证明△OGE∽△OHD．想法3：连接OC，DE，要求的值，需证C，D，O，E四点共圆．…请你参考上面的想法，帮助小军写出求的值的过程（一种方法即可）；（3）若=（n≥2且n为正整数），则的值为（用含n的式子表示）．【分析】（1）根据O为AB边中点，D为AC边中点，得出四边形CDOE是矩形，再根据tanB==tan∠AOD，得出=，进而得到=；（2）①根据题意将图2补全即可；②法1：过点O作OF⊥AB交BC于点F，要求的值，需证明△OEF∽△ODA；法2：分别取AC，BC的中点H，G，连接OH，OG，要求的值，需证明△OGE∽△OHD；法3：连接OC，DE，要求的值，需证C，D，O，E四点共圆．分别根据三种方法进行解答即可；（3）先过点O作OF⊥AB交BC于点F，要求的值，需证明△OEF∽△ODA，得出，再根据=（n≥2且n为正整数），得到=即可．【解答】解：（1）如图1，∵O为AB边中点，D为AC边中点，∴OD∥BC，∠CDO=90°，又∵∠ACB=90°，∠DOE=90°，∴四边形CDOE是矩形，∴OE=CD=AD，∵OD∥BC，∴∠AOD=∠B，∴tanB==tan∠AOD，即=，∴=．故答案为：；（2）①如图所示：②法1：如图，过点O作OF⊥AB交BC于点F，∵∠DOE=90°，∴∠AOD+∠DOF=∠DOF+∠FOE=90°，∴∠AOD=∠FOE，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=∠OFE+∠B=90°，∴∠A=∠OFE，∴△OEF∽△ODA，∴，∵O为AB边中点，∴OA=OB．在Rt△FOB中，tanB=，∴，∴，∴；法2：如图，分别取AC，BC的中点H，G，连接OH，OG，∵O为AB边中点，∴OH∥BC，OH=，OG∥AC．∵∠ACB=90°，∴∠OHD=∠OGE=90°，∴∠HOG=90°，∵∠DOE=90°，∴∠HOD+∠DOG=∠DOG+∠GOE=90°，∴∠HOD=∠GOE，∴△OGE∽△OHD，∴，。