2018年高考一轮北师大版数学文科 第1章 第2节 命题、充

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件基础巩固题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(2015·山东卷)设m∈R, 命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是() A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0解析根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．答案 D2．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的() A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根为x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．答案 A3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且mα，则“m∥β”是“α∥β”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析mα，m∥βα∥β，但mα，α∥β⇒m∥β，∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．答案 B4．(2017·安徽江南十校联考)“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－1x＋a为奇函数”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析显然a＝0时，f(x)＝sin x－1x为奇函数；当f(x)为奇函数时，f(－x)＋f(x)＝0.又f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－1－x＋a＋sin x－1x＋a＝0.因此2a＝0，故a＝0.所以“a＝0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件．答案 C5．下列结论错误的是() A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”B．“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件C．命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题D．命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”解析C项命题的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m≥0，即m≥－14，不能推出m>0.所以不是真命题．答案 C6．设x∈R，则“1<x<2”是“|x－2|<1”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析由|x－2|<1，得1<x<3，所以1<x<2⇒1<x<3；但1<x<31<x<2.所以“1<x<2”是“|x－2|<1”的充分不必要条件．答案 A7．已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是() A．[1，＋∞) B．(－∞，1]C．[－1，＋∞) D．(－∞，－3]解析由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．故a≥1.答案 A8．(2017·汉中模拟)已知a，b都是实数，那么“a>b”是“ln a>ln b”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析由ln a>ln b⇒a>b>0⇒a>b，故必要性成立．当a＝1，b＝0时，满足a>b，但ln b无意义，所以ln a>ln b不成立，故充分性不成立．答案 B二、填空题9．“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．解析其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．答案 210．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的________条件．解析cos 2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，即cos α＝±sin α.由cos α＝sin α得到cos 2α＝0；反之不成立．∴“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件．答案充分不必要11．已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．解析 令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |x 2－4x <0}＝{x |0<x <4}． ∵p 是q 的充分不必要条件，∴M N ， ∴⎩⎨⎧a >0，a ＋1<4，解得0<a <3. 答案 (0,3) 12．有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题． 其中真命题的序号是________．解析 ①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”错误．②原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确．③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”正确． 答案 ②③能力提升题组 (建议用时：10分钟)13．(2016·四川卷)设p ：实数x ，y 满足x >1且y >1，q ：实数x ，y 满足x ＋y >2，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 若x >1且y >1，则x ＋y >2.所以p ⇒q ；反之x ＋y >2 x >1且y ＝1，例如x ＝3，y ＝0，所以qp .因此p 是q 的充分不必要条件． 答案 A14．(2017·南昌十所省重点中学联考)已知m ∈R ，“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 由y ＝2x ＋m －1＝0，得m ＝1－2x ，则m <1.由于函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上是减函数， 所以0<m <1.因此“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的必要不充分条件． 答案 B 15．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜2x ＜8，x ∈R，B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1，x ∈R }，若x ∈B成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________． 解析A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜2x＜8，x ∈R＝{x |－1＜x ＜3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴AB ，∴m ＋1＞3，即m ＞2.答案 (2，＋∞)16．(2016·临沂模拟)下列四个结论中正确的是________(填序号)．①“x 2＋x －2>0”是“x >1”的充分不必要条件；②命题：“任意x ∈R ，sin x ≤1”的否定是“存在x 0∈R ，sin x 0>1”；③“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为真命题；④若f (x )是R 上的奇函数，则f (log 32)＋f (log 23)＝0.解析 ①中“x 2＋x －2>0”是“x >1”的必要不充分条件，故①错误．对于②，命题：“任意x ∈R ，sin x ≤1”的否定是“存在x 0∈R ，sin x 0>1”，故②正确．对于③，“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为“若tan x ＝1，则x ＝π4”，其为假命题，故③错误．对于④，若f (x )是R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0，∵log 32＝1log 23≠－log 32， ∴log 32与log 23不互为相反数，故④错误． 答案 ②。

其次节充分条件与必要条件考试要求：1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．2．会推断和证明简洁的充分条件、必要条件、充要条件．一、教材概念·结论·性质重现1．充分条件、必要条件与充要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q pp是q的必要不充分条件P q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p q且q pA是B的充分不必要条件(A⇒B且B A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A B)两者不同，在解题时要弄清它们的区分，以免出现错误．2．充要关系与集合之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．二、基本技能·思想·活动阅历1．推断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件．( √)(2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( √)(3)若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．( √)(4)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则B是A的真子集．( ×) 2．“θ＝0”是“sin θ＝0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A解析：当θ＝0时，sin θ＝0成立；而当sin θ＝0时，得θ＝kπ(k∈Z)．3．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C解析：由A∩B＝A可得A⊆B；由A⊆B可得A∩B＝A.所以“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件．4．a∈(0，＋∞)，b∈(0，＋∞)，则“a＜b”是“a－1＜b－1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C解析：若a＜b成立，则依据不等式性质，两边同时减去1，不等式符号不变，所以，a ＜b成立，则a－1＜b－1成立，充分性成立；若a－1＜b－1成立，依据不等式性质，两边同时加上1，不等式符号不变，所以，a－1＜b－1成立，则a＜b成立，必要性成立．所以“a＜b”是“a－1＜b－1”的充要条件．5．已知“p：x>a”是“q：2<x<3”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_________．(－∞，2]解析：由已知，可得{x|2<x<3}{x|x>a}，所以a≤2.考点1 充分条件与必要条件的推断——基础性1．(2024·浙江卷) 设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A解析：因为sin 2x＋cos 2x＝1，所以当sin x＝1时，cos x＝0，充分性成立；当cos x＝0时，sin x＝±1，必要性不成立．所以当x∈R时，“sin x＝1”是“cos x＝0”的充分不必要条件．故选A.2．已知a，b，c∈R，则“”是“<”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A解析：因为<⇔＝>0⇔ac>0，而⇒ac>0，反之，ac>0时，不肯定成立，所以“”是“<” 的充分不必要条件．3．已知{a n}是等比数列，S n为其前n项和，那么“a1>0”是“数列{S n}为递增数列”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件B解析：设等比数列{a n}的公比为q，充分性：当a1>0，q<0时，S n＋1－S n＝a n＋1＝a1q n，无法推断其正负，明显数列{S n}不肯定是递增数列，充分性不成立；必要性：当数列{S n}为递增数列时，S n－S n－1＝a n>0，可得a1>0，必要性成立．故“a1>0”是“数列{S n}为递增数列”的必要不充分条件．解决这类问题一是看前面的条件能否推出后面的结论，二是看后面的条件能否推出前面的结论，最终得出答案．考点2 充分条件与必要条件的探究与证明——综合性(1)使得a>b>0成立的一个充分不必要条件是( )A．>>0 B．e a>e bC．a2>b2D．ln a>ln b>0D解析：A选项，若>>0，则可以得到a>b>0；反之，当a>b>0时也可以得到>>0，所以“>>0”是“a>b>0”的充要条件，故解除A；B选项，若e a>e b，则a>b，但不肯定得出a>b>0，所以“e a>e b”不是“a>b>0”的充分不必要条件，故B错；C选项，当a＝3，b＝－1时，a2＝9>b2＝1，故a2>b2推不出a>b>0，故解除C；D选项，由ln a>ln b>0可得ln a>ln b>ln 1，则a>b>1，能推出a>b>0，反之不能推出，所以“ln a>ln b>0”是“a>b>0”的充分不必要条件，故D正确．(2)设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.证明：设p：xy≥0，q：|x＋y|＝|x|＋|y|.①充分性(p⇒q)：假如xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种状况．当xy＝0时，不妨设x＝0，则|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，所以等式成立；当xy>0时，则x>0，y>0，或x<0，y<0.又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，所以等式成立．当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y，所以等式成立．综上，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．②必要性(q⇒p)：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|.所以|xy|＝xy，所以xy≥0.由①②可得，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．充要条件的证明策略(1)要证明p是q的充要条件，须要从充分性和必要性两个方向进行，即证明命题“若p，则q”和“若q，则p”均为真．(2)证明前必需分清晰充分性和必要性，即清晰由哪个条件推证到哪个结论．1．“∀x∈[1，2]，ax2＋1≤0”为真命题的充要条件是( )A．a≤－1 B．a≤C．a≤－2 D．a≤0A解析：因为“∀x∈[1，2]，ax2＋1≤0”为真命题，所以a≤－对随意的x∈[1，2]恒成立．由于函数y＝－在区间[1，2]上单调递增，故y min＝－1，所以a≤－1.2．设a，b，c∈R.证明：a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca的充要条件是a＝b＝c.证明：(1)必要性：假如a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，则a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝0，所以[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]＝0，所以a－b＝0，b－c＝0，c－a＝0，即a＝b＝c.(2)充分性：若a＝b＝c，则(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，所以2(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)＝0，所以a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca.综上可知，a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca的充要条件是a＝b＝c.考点3 充分条件与必要条件的应用——应用性已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则m的取值范围为_________．[0，3]解析：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}．因为“x∈P”是“x∈S”的必要条件，所以S⊆P.所以解得0≤m≤3.故0≤m≤3时，“x∈P”是“x∈S”的必要条件．若本例条件不变，是否存在实数m，使“x∈P”是“x∈S”的充要条件？请说明理由．解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．若“x∈P”是“x∈S”的充要条件，则P＝S，所以即这样的m不存在．充分必要条件的应用问题的求解方法及留意点(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后依据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要留意区间端点值的检验．1．(2024·武汉模拟)若“x＞2m2－3”是“－1＜x＜4”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是( )A．[－3，3]B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D．[－1，1]D解析：因为“x＞2m2－3”是“－1＜x＜4”的必要不充分条件，所以(－1，4)(2m2－3，＋∞)，所以2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1.2．若不等式(x－a)2<1成立的充分不必要条件是1<x<2，则实数a的取值范围是___________．[1，2]解析：由(x－a)2<1得a－1<x<a＋1，因为“1<x<2”是“不等式(x－a)2<1成立”的充分不必要条件，所以满意且等号不能同时取得，即解得1≤a≤2.已知p：x>1或x<－3，q：5x－6>x2，则¬p是¬q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[四字程序]读想算思推断充分条件、必要条件1．充分条件、必要条件的概念．2．推断充分条件、必要条件的方法解不等式转化与化归不等式5x－6>x21．定义法．2．集合法．3．等价转化法1．一元二次不等式的解法．2．集合间的包含关系充分条件、必要条件与集合的包含关系思路参考：解不等式＋求¬p，¬q.A解析：由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.¬p：－3≤x≤1，¬q：x ≥3或x≤2.明显¬p⇒¬q，¬q¬p，所以¬p是¬q的充分不必要条件．故选A.思路参考：解不等式＋推断集合间的包含关系．A解析：由5x－6>x2，得2<x<3，即¬q：A＝{x|x≤2或x≥3}，¬p：B＝{x|－3≤x≤1}．明显B A，故¬p是¬q的充分不必要条件．故选A.思路参考：原命题与逆否命题(若¬q，则¬p)等价性＋转化．A解析：利用命题与其逆否命题的等价性，该问题可转化为推断q是p的什么条件．由5x －6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.明显q是p的充分不必要条件．故选A.推断充分条件、必要条件、充要条件关系的三种方法：(1)定义法是最基本、最常用的方法．(2)集合法主要是针对与不等式解集有关的问题．(3)等价转化法体现了“正难则反”的解题思想，在正面解题受阻或不易求解时可考虑此方法．若集合A＝{x|x－x2>0}，B＝{x|(x＋1)·(m－x)>0}，则“m>1”是“A∩B≠∅”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A解析：A＝{x|0<x<1}．若m>1，则B＝{x|－1<x<m}，此时A∩B≠∅；反之，若A∩B≠∅，则m>0.课时质量评价(二)A组全考点巩固练1．已知函数f(x)，x∈R，则“f(x)的最大值为1”是“f(x)≤1恒成立”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A解析：由f(x)max＝1知f(x)≤1且存在实数x0∈R，使f(x0)＝1；而f(x)≤1，不能得到＝1.2．已知i是虚数单位，p：复数a－1＋b i(a，b∈R)是纯虚数，q：a＝1，则p是q的( A ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．“m>1”是“方程＝1表示焦点在y轴上的双曲线”的( B )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．(2024·济南模拟)△ABC中，“sin A＝”是“A＝”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件C解析：在△ABC中，若sin A＝，则A＝或，因为，因此，“sin A＝”是“A＝”的必要不充分条件．故选C.5．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象关于y轴对称的充要条件是( )A．b＝c＝0 B．b＝0且c≠0C．b＝0 D．b≥0C解析：函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象关于y轴对称⇔－＝0⇔b＝0. 6．(2024·哈尔滨模拟)已知非零向量a，b，c，则“b＝c”是“b·a＝c·a”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件A解析：因为向量a，b，c是非零向量，则b＝c肯定可以推出b·a＝c·a，但是若a·b＝a·c成立，不能推出b＝c，故“b＝c”是“b·a＝c·a”的充分不必要条件．故选A.7．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝_________．3或4解析：一元二次方程x2－4x＋n＝0有实数根－4n≥0⇔n≤4.又n∈N*，则n ＝4时，方程x2－4x＋4＝0有整数根2；n＝3时，方程x2－4x＋3＝0有整数根1，3；n＝2时，方程x2－4x＋2＝0无整数根；n＝1时，方程x2－4x＋1＝0无整数根．所以n＝3或n ＝4.8．设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么丁是甲的________条件．必要不充分解析：因为甲是乙的充分不必要条件，所以甲⇒乙，乙甲；因为丙是乙的充要条件，即乙⇔丙；因为丁是丙的必要不充分条件，所以丙⇒丁，丁丙．故甲⇒丁，丁甲，即丁是甲的必要不充分条件．9．(2024·济宁三模)设a，b是非零向量，“a·b＝0”是“a⊥b”的________条件．充要解析：设非零向量a，b的夹角为θ，若a·b＝0，则cos θ＝0，又0≤θ≤π，所以θ＝，所以a⊥b；反之，a⊥b⇒a·b＝0.因此，“a·b＝0”是“a⊥b”的充要条件．10．若不等式<1成立的充分不必要条件是≤0，求实数m的取值范围．解：<1⇔－1<x－m<1⇔－1＋m<x<1＋m，≤0⇔⇔0≤x<1.因为不等式<1成立的充分不必要条件是≤0，则[0，1) (－1＋m，1＋m)，所以得0≤m<1.B组新高考培优练11．已知函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)，则“函数f(x)在上单调递增”是“0＜ω≤2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A解析：因为x∈，所以ω≤ωx≤ω，由于函数f(x)在上单调递增，所以(k∈Z)，解得(k∈Z)，故k只能取0，即0<ω≤，所以“函数f(x)在上单调递增”是“0＜ω≤2”的充分不必要条件．12．王安石在《游褒禅山记》中写道：“而世之奇伟、瑰怪，特别之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”．则“有志”是“到达奇伟、瑰怪，特别之观”的( ) A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件D解析：非有志者不能至，是必要条件，但“有志”也不肯定“能至”，不是充分条件．13．(多选题)下列函数中，满意“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充要条件的是( ) A．f(x)＝tan xB．f(x)＝3x－3－xC．f(x)＝x3D．f(x)＝log3|x|BC解析：因为f(x)＝tan x是奇函数，所以x1＋x2＝0⇒f(x1)＋f(x2)＝0，但f＋f＝0时，≠0，不符合要求，所以选项A不符合题意；因为f(x)＝3x－3－x和f(x)＝x3均为单调递增的奇函数，所以满意“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充要条件，所以选项BC符合题意；对于选项D，由f(x)＝log3|x|的图象易知不符合题意．14．(多选题)直线2x－y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1有两个交点的必要不充分条件是( )A．m2≤1B．m≥－3C．m2＋m－12＜0D．＞1BC解析：若直线2x－y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1有两个交点，则＜1，解得－＜m＜.A项中，由m2≤1，得－1≤m≤1，因为{m|－1≤m≤1}⊆{m|－＜m＜}，所以“m2≤1”不是“－＜m＜”的必要不充分条件；B项中，因为{m|m≥－3}⊇{m|－＜m＜}，所以“m≥－3”是“－＜m＜”的必要不充分条件；C项中，由m2＋m－12＜0，得－4＜m＜3，因为{m|－4＜m＜3}⊇{m|－＜m＜}，所以“m2＋m－12＜0”是“－＜m＜”的必要不充分条件；D项中，由＞1，得0＜m＜3，所以“＞1”不是“－＜m＜”的必要不充分条件．15．设x，y∈R，则“x>y”是“ln x>ln y”的________条件．必要不充分解析：ln x> ln y⇔x>y>0，则“x>y”是“ln x> ln y”的必要不充分条件．16．“e a＞e b”是“log2a＞log2b”的________条件．必要不充分解析：由e a＞e b得不到log2a＞log2b，例如e2＞e-1，但log2(－1)无意义．依据对数函数在定义域上是增函数，由log2a＞log2b得a＞b.由y＝e x是增函数，可得e a＞e b，所以“e a＞e b”是“log2a＞log2b”的必要不充分条件．17．(2024·镇江高三开学考试)已知集合A＝，B＝{x|x2－4x＋4－m2≤0，m∈R}．(1)若m＝3，求A∪B；(2)若存在正实数m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的__________，求正实数m的取值范围．从“①充分不必要条件，②必要不充分条件”中任选一个，填在上面空格处，补充完整该问题，并进行作答．解：(1)A＝＝[－2，5].因为m＝3，所以B＝{x|[x－(2－m)][x－(2＋m)]≤0，m∈R}＝[2－m，2＋m]＝[－1，5].所以A∪B＝[－2，5].(2)选①，因为“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，则A是B的真子集．所以且等号不能同时取得⇒m∈[4，＋∞)．所以正实数m的取值范围是[4，＋∞)．选②，因为“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，所以B是A的真子集．所以且等号不能同时取得⇒m∈(0，3].所以正实数m的取值范围是(0，3].。

2018年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)文 科 数 学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题5分，共40分．1．已知集合{}2A x x =<，{}–2,0,1,2B =，则A B =I （ ）A ．{}0,1B ．{}–1,0,1C ．{}–2,0,1,2D ．{}–1,0,1,21．【答案】A【解析】2x <Q ，22x ∴-<<，因此{}(){}2,0,1,22,20,1A B =--=I I ，故选A ．2．在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．【答案】D【解析】()()11i 11i 1i 1i 1i 22+==+--+的共轭复数为11i 22-，对应点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限，故选D ．3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）A ．12B ．56C ．76D ．7123．【答案】B【解析】初始化数值1k =，1s =循环结果执行如下：第一次：()1111122s =+-⋅=，2k =，23k =≥不成立； 第二次：()21151236s =+-⋅=，3k =，33k =≥成立，循环结束，输出56s =，故选B ．4．设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad bc =”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．【答案】B【解析】当4a =，1b =，1c =，14d =时，a ，b ，c ，d 不成等比数列，所以不是充分条件；当a ，b ，c ，d 成等比数列时，则ad bc =，所以是必要条件．综上所述，“ad bc =”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要不充分条件．故选B ．5．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率f ，则第八个单音频率为（ ）A B C ． D ． 5．【答案】D()12n n a n n -+∴=≥∈N ，，又1a f =，则7781a a q f===，故选D ．6．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 6．【答案】C【解析】由三视图可得四棱锥P ABCD -，在四棱锥P ABCD -中，2PD =，2AD =，2CD =，1AB =，由勾股定理可知，PA =PC =3PB =，BC =，则在四棱锥中，直角三角形有，PAD △，PCD △，PAB △共三个，故选C ．7．在平面坐标系中，»AB ，»CD，»EF ，¼GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（ ）A ．»AB B ．»CDC ．»EFD ．¼GH 7．【答案】C【解析】由下图可得，有向线段OM 为余弦线，有向线段MP 为正弦线，有向线段AT 为正切线．8．设集合(){},1,4,2A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤，则（ ） A ．对任意实数a ，()2,1A ∈ B ．对任意实数a ，()2,1A ∉ C ．当且仅当0a <时，()2,1A ∉ D ．当且仅当32a ≤时，()2,1A ∉ 8．【答案】D【解析】若()2,1A ∈，则32a >且0a ≥，即若()2,1A ∈，则32a >，此命题的逆否命题为， 若32a ≤，则有()2,1A ∉，故选D ．第II 卷二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．9．设向量()10=,a ，()1,m =-b ，若()m ⊥-a a b ，则m =_________． 9．【答案】1-【解析】()10=Q ,a ，()1m =-,b ，()()()011m m m m m ∴-=--=+-,,,a b ， 由()m ⊥-a a b 得，()0m ⋅-=a a b ，()10m m ∴⋅-=+=a a b ，即1m =-．10．已知直线l 过点()1,0且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________． 10．【答案】()1,0【解析】1a =，24y x ∴=，由抛物线方程可得，24p =，2p =，12p=， ∴焦点坐标为()1,0．11．能说明“若a b >，则11a b<”为假命题的一组a ，b 的值依次为_________． 11．【答案】1，1-（答案不唯一）【解析】使“若a b >，则11a b <”为假命题，则“若a b >，则11a b≥”为真命题即可，只需取1a =，1b =-即可满足．所以满足条件的一组a ，b 的值为1，1-．（答案不唯一）12．若双曲线()222104x y a a -=>a =_________． 12．【答案】4【解析】在双曲线中，c ==，且c e a ===22454a a +=，216a ∴=，04a a >∴=Q ．13．若x ，y 满足12x y x +≤≤，则2y x -的最小值是_________． 13．【答案】3【解析】作可行域，如图，则直线2z y x =-过点()1,2A 时，z 取最小值3．14．若ABC △)222a c b +-，且C ∠为钝角，则B ∠=_________；ca的取值范围是_________．14．【答案】60o ；()2+∞,．【解析】)2221sin2ABCS a c b ac B =+-=V Q ，2222a c b ac +-∴=，即cos B =sin cos B B ∴=3B π∠=，则21sin cos sin sin 1132sin sin sin tan 2A A Ac C a A A A A π⎛⎫⎛⎫---⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====+， C ∴∠为钝角，3B π∠=，06A π∴<∠<，)1tan 0tan A A ⎛∴∈∈+∞ ⎝⎭，， 故()2,ca ∈+∞．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分）设{}n a 是等差数列，且1ln 2a =，235ln 2a a +=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求12e e e n a a a +++L ．15．【答案】（1）ln2n ；（2）122n +-．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，235ln 2a a +=Q ，1235ln 2a d ∴+=， 又1ln2a =，ln 2d ∴=，()11ln 2n a a n d n ∴=+-=． （2）由（1）知ln 2n a n =，ln 2ln 2e e e 2nn a n n ===Q ，{}e n a ∴是以2为首项，2为公比的等比数列，212ln 2ln 2ln 221e e e e e e =222=22nn a a a n n +∴+++=++++++-L L L ， 121e e e =22n a a a n +∴+++-L ．16．（本小题13分）已知函数()2sin cos f x x x x =+．（1）求()f x 的最小正周期；（2）若()f x 在区间3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的最大值为32，求m 的最小值．16．【答案】（1）π；（2）π3．【解析】（1）()1cos 211122cos 2sin 222262x f x x x x x -π⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==．（2）由（1）知()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为π3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,，所以π5ππ22666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦,． 要使得()f x 在π3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的最大值为32，即πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭在3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的最大值为1．所以ππ262m -≥，即π3m ≥．所以m 的最小值为π3．17（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （2）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； （3）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加01．，哪类电影的好评率减少01．，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）17．【答案】（1）0025．；（2）0814．；（3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．【解析】（1）由题意知，样本中电影的总部数是140503002008005102000+++++=．第四类电影中获得好评的电影部数是20002550⨯=．，故所求概率为5000252000=．．（2）设“随机选取1部电影，这部电影没有获得好评”为事件B ．没有获得好评的电影共有14006500830008520007580008510091628⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．部．由古典概型概率公式得()162808142000P B ==．．（3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率． 18．（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，E ，F 分别为AD ，PB 的中点． （1）求证：PE BC ⊥；（2）求证：平面PAB ⊥平面PCD ； （3）求证：EF ∥平面PCD ．18．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】（1）PA PD =Q ，且E 为AD 的中点，PE AD ∴⊥， Q 底面ABCD 为矩形，BC AD ∴∥，PE BC ∴⊥． （2）Q 底面ABCD 为矩形，AB AD ∴⊥，Q 平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∴⊥平面PAD ，AB PD ∴⊥．又PA PD ⊥，PD ⊥Q 平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PCD ． （3）如图，取PC 中点G ，连接FG ，GD ．F Q ，G 分别为PB 和PC 的中点，FG BC ∴∥，且12FG BC =， Q 四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，ED BC ∴∥，12DE BC =，ED FG ∴∥，且ED FG =，∴四边形EFGD 为平行四边形， EF GD ∴∥，又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ， EF ∴∥平面PCD ．19．（本小题13分）设函数()()23132e xf x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦．（1）若曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线斜率为0，求a ； （2）若()f x 在1x =处取得极小值，求a 的取值范围．19．【答案】（1）12；（2）()1,+∞． 【解析】（1）()()23132e x f x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦Q ，()()211e xf x ax a x ⎡⎤∴=-++⎣⎦'， ()()2221e f a -'=，由题设知()20f '=，即()221e 0a -=，解得12a =． （2）方法一：由（1）得()()()()211e 11e x xf x ax a x ax x ⎡⎤=-++=--⎣⎦'． 若1a >，则当11x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,时，()0f x '<；当()1x ∈+∞,时，()0f x '>． 所以()f x 在1x =处取得极小值．若1a ≤，则当()01x ∈,时，110ax x -≤-<，()0f x ∴'>． 所以1不是()f x 的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是()1,+∞． 方法二：()()()11e x f x ax x =--'．（1）当0a =时，令()0f x '=得1x =，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：()f x ∴（2）当0a >时，令()0f x '=得11x a =，21x =． ①当12x x =，即1a =时，()()21e 0x f x x '=-≥，()f x ∴在R 上单调递增， ()f x ∴无极值，不合题意．②当12x x >，即01a <<时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：()f x ∴1x =③当x x <，即1a >时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：(f ∴1x =1a >（3）当0a <时，令()0f x '=得11x =，21x =，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：(f ∴1x =综上所述，a 的取值范围为()1+∞,．20．已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>，焦距为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B ． （1）求椭圆M 的方程；（2）若1k =，求||AB 的最大值；（3）设()20P -,，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ．若C ，D 和点7142Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭,共线，求k ．20．【答案】（1）2213x y +=；（23）1．【解析】（1）由题意得2c =c又c e a ==a =2221b a c =-=，所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（2）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则()22236443348120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设()11A x y ,，()22B x y ,，则1232mx x +=-，212334m x x -=，则12AB x -=， 易得当20m =时，max ||AB =AB ． （3）设()11A x y ,，()22B x y ,，()33C x y ,，()44D x y ,，则221133x y += ①，222233x y += ②， 又()20P -,，所以可设1112PA yk k x ==+，直线PA 的方程为()12y k x =+， 由()122213y k x x y =++=⎧⎪⎨⎪⎩消去y 可得()222211113121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+，又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+，所以11117124747x y C x x ⎛⎫--⎪++⎝⎭,，同理可得22227124747x yD x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,． 故3371,44QC x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭uuu r ，447144QD x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭uuu r ,，因为Q ，C ，D 三点共线，所以3443717104444x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，将点C ，D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =．。