例1 求解下列整数规划的最优解：()123123max 45634510..01,2,3,j j Z x x x x x x s t x j x =++++⎧⎪⎨=⎪⎩≤≥为整数.解 （1）建立动态规划模型：阶段变量：将给每一个变量j x 赋值看成一个阶段，划分为3个阶段，且阶段变量k=1,2,3. 设状态变量k s 表示从第k 阶段到第3阶段约束右端最大值，则10.j s = 设决策变量k x 表示第k 阶段赋给变量k x 的值(1,2,3)k =. 状态转移方程：2113223,4.s s x s s x =-=-阶段指标：111122223333(,)4,(,)5,(,)6.u s x x u s x x u s x x === 基本方程；()(){}()3113,2,1044()max ,()0.s k k k k k k k k k k x a f s u s x f s f s ++⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎧=+⎪⎨⎪=⎩≤≤ 其中1233,4, 5.a a a === （1） 用逆序法求解： 当3k =时，()(){}{}33333443330055max 6max 6,ssx x f s x f s x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+=≤≤≤而{}[]30,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.s x ∈表示不超过x 的最大整数。
因此，当30,1,2,3,4s =时，30x =；当35,6,7,8,9s =时，3x 可取0或1；当310s =时，3x 可取0，1，2，由此确定()33.f s 现将有关数据列入表4.1中当时，有()(){}(){}22222332322220044max 5max 54,ssx x f s xf s xf s x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+=+-≤≤≤≤而{}20,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10s ∈。
所以当20,1,2,3s =时，20x =；当24,5,6,7s =时，201x =或；当28,9,10s =时20,1,2x =。
由此确定()22f s 。
现将有关数据列入表4.2中.当时,有()(){}(){}11111221211110033max 4max 43,ssx x f s x f s x f s x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+=+-≤≤≤≤而110,s =故1x 只能取0,1,2,3,由此确定()11f s 。
现将有关数据列入表4.3中。
11222()13.4 4.21,x s s x *==*=1时,f 取得最大值又由查表得及33330, 4.10.2,1,0,max 13.s x x x Z ***======3再由表查得因此,最优解为 x 最优解例5 用动态规划方法解下列非线性规划问题⎩⎨⎧=≥≤++⋅⋅=3,2,1 0 max 3213221i x c x x x x x x z i 解： 解决这一类静态规划问题，需要人为地赋予时间概念，从而将该问题转化为多阶段决策过程。
按问题的变量个数划分阶段，把它看作一个三阶段决策问题，k =1，2，3 设状态变量为s 1，s 2，s 3，s 4并记s 1≤c 取问题中的变量x 1，x 2，x 3为决策变量 状态转移方程为： s 3=x 3 s 3+x 2=s 2 s 2+x 1=s 1≤c 允许决策集合为： x 3=s 30≤x 2≤s 20≤x 1≤s 1各阶段指标函数为：v 1（x 1）=x 1 v 2（x 2）=x 22 v 3（x 3）=x 3，各指标函数以乘积方式结合，最优指标函数f k （s k ）表示从第k 阶段初始状态s k 出发到第3阶段所得到的最大值，则动态规划基本方程为：⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=++∈1)(1,,2,3 )]()([max )(4411)(s f k s f x v s f k k k k s D x k k k k k 用逆序解法由后向前依次求解：k =3时，334433)(33)(max )]()([max )(33333s x s f x v s f s x s D x ==⋅==∈x 3*=s 3k =2时，)]([max )(max )]()([max )(2222032203322)(222222222x s x s x s f x v s f s x s x s D x -⋅=⋅=⋅=≤≤≤≤∈令h 2（s 2，x 2）=x 22（s 2－x 2） 用经典解析法求极值点：032222222=-=x s x dx dh 解得：2232s x =x 2=0（舍）22222262x s dx h d -=02322222222<-==s s x dx h d所以2232s x =是极大值点。
32222222274)32()32()(s s s s s f =-=2*232s x =k =1时，])(274[max )274(max )]()([max )(3111032102211)(111111111x s x s x s f x v s f s x s x s D x -⋅=⋅=⋅=≤≤≤≤∈令3111111)(274),(x s x x s h -⋅= 0)1()(2712)(274211131111=--+-=x s x x s dx dh 解得：1141s x =x 1=s 1（舍）)2)((2724)(2724)(2712)1()(271211111112112112112s x x s x s x x s x s dx h d --=-+----=02794121112112<-==s s x dx h d 所以1141s x =是极大值点。
41311111641)41(27441)(s s s s s f =-⋅=1*141s x =由于s 1未知，所以对s 1再求极值，)641(max )(max 41011011s s f cs cs ≤≤≤≤= 显然s 1=c 时，f 1（s 1）取得最大值411641)(c s f =反向追踪得各阶段最优决策及最优值：s 1=cc s x 41411*1==411641)(c s f = c x s s 43*112=-= c s x 21322*2==33222161274)(c s s f ==c x s s 41*223=-=c s x 413*3==c s s f 41)(333== 所以最优解为：4**3*2*1641,41,21,41c z c x c x c x ==== 例6 用动态规划方法解下列非线性规划问题⎩⎨⎧=≥≤++⋅⋅=3,2,1 06 max 32133221j x x x x x x x z j解： 按变量个数将原问题分为三个阶段，阶段变量k =1，2，3； 选择x k 为决策变量；状态变量s k 表示第k 阶段至第3阶段决策变量之和；取小区间长度Δ=1，小区间数目m =6/1=6，状态变量s k 的取值点为：⎩⎨⎧=≥=626,5,4,3,2,1,01s k s k 状态转移方程：s k +1=s k －x k ；允许决策集合：D k （s k ）=｛x k |0≤x k ≤s k ｝ k =1，2，3 x k ，s k 均在分割点上取值；阶段指标函数分别为：g 1（x 1）=x 12g 2（x 2）=x 2 g 3（x 3）=x 33，最优指标函数f k （s k ）表示从第k 阶段状态s k 出发到第3阶段所得到的最大值，动态规划的基本方程为：⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=++≤≤1)(1,2,3 )]()([max )(44110s f k s f x g s f k k k k s x k k kk k =3时，333333)(max )(33s x s f s x === s 3及x 3取值点较多，计算结果以表格形式给出，见表6.1-6.3所示。
表6.1 计算结果表6.2 计算结果表6.3计算结果112112s3=s2－x2*=4－1=3，查表6.1得：x3*=3，所以最优解为：x1*=2，x2*=1，x3*=3，f1(s1)=108。
上面讨论的问题仅有一个约束条件。
对具有多个约束条件的问题，同样可以用动态规划方法求解，但这时是一个多维动态规划问题，解法上比较繁琐一些。
例7 某公司打算在3个不同的地区设置4个销售点，根据市场部门估计，在不同地区设置不同数量的销售点每月可得到的利润如表6.4所示。
试问在各地区如何设置销售点可使每月总利润最大。
表6.4利润值将问题分为3个阶段，k=1，2，3；决策变量x k表示分配给第k个地区的销售点数；状态变量为s k表示分配给第k个至第3个地区的销售点总数；状态转移方程：s k+1=s k－x k，其中s1=4；允许决策集合：D k（s k）=｛x k|0≤x k≤s k｝阶段指标函数：g k（x k）表示x k个销售点分配给第k个地区所获得的利润；最优指标函数f k（s k）表示将数量为s k的销售点分配给第k个至第3个地区所得到的最大利润，动态规划基本方程为：⎪⎩⎪⎨⎧==-+=+≤≤0)(1,2,3 )]()([max )(4410s f k x s f x g s f k k k k k s x k k kk 数值计算如表所示。
表6.5 k =3时计算结果表6.6 k =2时计算结果表6.7 k =1时计算结果1231售点，第2个地区设置1个销售点，第3个地区设置1个销售点，每月可获利润47。
例9 （生产—库存问题）某工厂要对一种产品制定今后四个时期的生产计划，据估计在今后四个时期内，市场对该产品的需求量分别为2，3，2，4单位，假设每批产品固定成本为3千元，若不生产为0，每单位产品成本为1千元，每个时期最大生产能力不超过6个单位，每期期末未出售产品，每单位需付存贮费0.5千元，假定第1期初和第4期末库存量均为0，问该厂如何安排生产与库存，可在满足市场需求的前提下总成本最小。
解: 以每个时期作为一个阶段，该问题分为4个阶段，k =1，2，3，4； 决策变量x k 表示第k 阶段生产的产品数； 状态变量s k 表示第k 阶段初的库存量；以d k 表示第k 阶段的需求，则状态转移方程：s k +1=s k +x k －d k ；k =4，3，2，1 由于期初及期末库存为0，所以s 1=0，s 5=0；允许决策集合D k （s k ）的确定：当s k ≥d k 时，x k 可以为0，当s k <d k 时，至少应生产d k －s k ，故x k 的下限为max （0，d k －s k ）每期最大生产能力为6，x k 最大不超过6，由于期末库存为0，x k 还应小于本期至4期需求之和减去本期的库存量，k kj j s d -∑=4，所以x k 的上限为min （k kj j s d -∑=4，6），故有：D k （s k ）=｛x k | max （0，d k －s k ）≤x k ≤min （k kj j s d -∑=4，6）｝阶段指标函数r k （s k ，x k ）表示第k 期的生产费用与存贮费用之和：⎩⎨⎧=++==6,5,4,3,2,15.0305.0),(k k k k k k k k x s x x s x s r 最优指标函数f k （s k ）表示第k 期库存为s k 到第4期末的生产与存贮最低费用，动态规划基本方程为：⎪⎩⎪⎨⎧==+=++∈0)(1,2,3,4 )](),([min )(5511)(s f k s f x s r s f k k k k k s D x k k k k k 先求出各状态允许状态集合及允许决策集合，如表6.8所示。
