第五章 高等几何

第五章高等几何第一节课程概论1、本课程的起源与发展早自欧洲文艺复兴时期，由于绘图和建筑等的需要，透视画的理论逐步形成，以后便建立了画法几何。

法国数学家蒙日(GaspardMonge，1746-1818)在1768到1799年之间和1809年分别出版了画法几何和微分几何两部经典著作，由于画法几何理论的发展，他的学生彭色列（JeanPoncelet，1788-1867)继承了这两部著作中的综合思想，于1822年写了一本书，它是射影几何方面最早的专者。

继彭色列之后，法国人沙尔(Michel Chasles，1793-1880) 等对射影几何的研究都做出了重要贡献。

出生于德国数学家史坦纳(Jacob Steiner，1796-1863)改进了射影几何的研究工具，并且把它们应用到各种几何领域，因而得到了丰硕结果。

到了19世纪上半叶，几何学的发展经历了它的黄金时代。

在这期间，古典的欧几里得几何学不再是几何学的唯一对象，射影几何学正式成为一门新学科。

英国人凯莱（Cayley，1821-1895）和德国人克莱因（Christian Felix Klein，1849-1925）等人用变换群的方法研究了这个分支，射影几何便成为完整独立的学科。

射影几何的诞生诱发于透视理论，一个射影平面就是由欧几里得平面添加所谓无穷远直线而得到的。

克莱因对于几何学理论的统一性有着执著的追求，他在成功地把几种度量几何统一于射影几何之后，就立即在更深层次上寻求统一各种几何学理论的基础。

在19世纪，人们开始把几何中图形的一些性质看作是一种“变换”运动的结果。

如正方形的“中心对称性”，就是将正方形绕其两条对角线的交点O“旋转”180°后仍重合的结果。

正方形的“轴对称性”，就是将正方形绕过O点的水平轴“反射”（即翻转）180°后仍重合的结果。

这里的“旋转”、“反射”就可以分别被看作是一种“变换”。

更为重要的是，数学家们进一步发现，这个正方形上的所有旋转、反射、平移等变换所构成的集合，满足群的条件，因而构成一个“变换群”。

1、在一平面上设有直线和，为此平面上与，均不平行的另一直线，通过直线上各点，，，……分别作与平行的直线，顺次交于，，，……，这样便得到直线上点到上点的一个一一对应，称为透视仿射对应。

2、设同一平面内有条直线如图（1—4）顺次表示到，到，……，到的透视仿射对应，通过这一系列透视仿射对应，使得与的点建立了一一对应，这个对应称为到的仿射对应，用表示，则。

图1-4若直线与重合，则到的仿射对应叫做直线到自身的仿射变换。

若两个平面间（平面到自身）的一个点对应（变换）保持同素性，结合性和共线三点的单比不变，则这个点对应（变换）称为仿射对应（变换）。

3、笛卡尔坐标系在仿射对应下的像叫作仿射坐标系，叫做点的仿射坐标，记作。

用表示，，仿射坐标为，则4、平面上点之间的一个线性变换，叫做仿射变换。

5、图形经过任何仿射变换后都是不变的性质（量）,称为图形的仿射性质。

（仿射不变量）6、定义：无穷远点、无穷远直线、无穷远平面统称为无穷远元素。

平面上的无穷远元素为无穷远点和无穷远直线。

7、定义：经过中心投影后图形的不变性质(量)叫做图形的射影性质（不变量）。

8、平面内不共线的三点与其每两点的连线所组成的图形叫做三点形；平面内不共点的三直线与其每两直线的交点所组成的图形叫做三线形。

9、笛沙格定理：如果两个三点形对应顶点的连线交于一点则对应边的交点在一直线上。

笛沙格定理的逆定理：如果两个三点形对应边的交点在一直线上，则对应顶点的连给交于一点10、如果两个三点形对应边交点共线，则交点所在直线叫做透视轴，如果两个三点形对应顶点的连线共点，则公共交点叫做透视中心。

11、设欧氏直线上有穷远点P的笛氏坐标为x，则适合的两个数（其中）叫做点P的齐次坐标，记作，x称为P的非齐次坐标。

当时，即，（其中）或(1,0)规定为这直线上无穷远点的一维齐次坐标12、笛氏坐标为(x,y)的点的二维齐次坐标是指任意适合，的三个数，其中，(x,y)称为这个点的非齐次射影坐标13、任意三个有序实数，其中，决定一个以所确定的方向上的无穷远点，规定该无穷远点的齐次坐标为当时，规定为y轴上的无穷远点的齐次坐标14、一直线的齐次点坐标方程中的系数叫做该直线的齐次线坐标。

《高等几何》课程教学大纲课程名称：高等几何英文名称：课程代码: 课程类别: 专业必修学分: 3 学时: 48开课单位: 数学系适用专业: 数学与应用制订人：制订日期: 2011.11.18审核人：（教研室主任签字）审核日期：审定人: （分管教学副主任签字）审定日期:一、课程性质与目的（一）课程的性质高等几何是高等师范院校数学与应用数学专业的一门选修课程。

高等几何课程更是大学“数学与应用数学”专业的重要基础课程，在人才培养中有着最基本的重要性，是大学、研究生阶段的数学学习和未来从事数学教学、研究的重要基础。

（二）课程的目的本课程的目的是使学生在已学习初等几何，解析几何和高等代数的基础上，系统地学习射影几何的知识。

并通过学习实射影平面几何的基础知识，使学生认识射影空间、欧氏空间的内在联系。

从而发展空间概念，更深入地掌握初等几何，解析几何和高等代数的知识，在数学思想上得到启发，在数学方法上得到初步训练，为教好中学数学打下较坚实的基础。

二、与相关课程的联系与分工高等几何、高等数学、数学分析统称为“三高”，它们是高等师范院校数学专业的三门基础课程。

但是，本课程与其他两门课程相比，地位就相形见绌了。

同时本课程是以射影几何学为理论基础，因此学习本课程的学生应具备相应的初等几何、解析几何、高等代数等课程的基础知识。

三、教学内容及要求第一章仿射坐标与仿射变换【教学要求】本章是基于变换群的观点，对几何学的高度抽象概括，给出研究几何学的变换群观点。

要求掌握透视仿射对应、仿射对应与仿射变换、仿射坐标系，并能熟练地求出仿射变换的代数表示式，区别什么是射影平面，仿射平面，欧氏平面【教学重点】仿射坐标系；仿射变换的代数表示【教学难点】仿射性质；射影观点的建立；仿射变换的应用【教学内容】第一节透视放射对应第二节仿射对应与仿射变换第三节仿射坐标一、仿射坐标系二、放射变换的代数表示三、几种特殊的仿射变换第四节仿射的性质第二章射线平面【教学要求】本章作为学习全课程的基础和中心内容，重点讲解欧氏平面的拓展过程，在此基础上给出射影直线和影射平面的概念和模型，使得学生明确了解欧氏直线和射影直线、欧氏平面和影射平面的区别和联系。

高等几何教案与课后答案教案章节：第一章绪论教学目标：1. 了解高等几何的研究对象和基本概念。

2. 掌握几何图形的性质和相互关系。

3. 理解几何变换的基本原理。

教学内容：1. 高等几何的研究对象和基本概念。

2. 几何图形的性质和相互关系。

3. 几何变换的基本原理。

教学步骤：1. 引入高等几何的概念，引导学生思考几何图形的性质和相互关系。

2. 讲解几何图形的性质和相互关系，举例说明。

3. 介绍几何变换的基本原理，解释其应用。

教学方法：1. 采用讲授法，系统地讲解高等几何的基本概念和性质。

2. 利用图形和实例，直观地展示几何图形的相互关系。

3. 通过练习题，巩固学生对几何变换的理解。

教学评估：1. 课堂提问，检查学生对高等几何概念的理解。

2. 课后作业，评估学生对几何图形性质和相互关系的掌握。

3. 期中期末考试，全面检验学生对几何变换的应用能力。

课后答案：1. 高等几何是研究几何图形的性质、相互关系和几何变换的学科。

2. 几何图形包括点、线、面及其相关性质。

3. 几何变换包括平移、旋转、反射等，它们可以改变几何图形的形状和位置。

教案章节：第二章直线与平面教学目标：1. 掌握直线的性质和方程。

2. 理解平面的性质和方程。

3. 学会利用直线和平面解决几何问题。

教学内容：1. 直线的性质和方程。

2. 平面的性质和方程。

3. 直线与平面的相互关系。

教学步骤：1. 讲解直线的性质和方程，举例说明。

2. 介绍平面的性质和方程，解释其应用。

3. 分析直线与平面的相互关系，引导学生思考。

教学方法：1. 采用讲授法，系统地讲解直线和平面的性质。

2. 利用图形和实例，直观地展示直线与平面的相互关系。

3. 通过练习题，巩固学生对直线与平面几何问题的解决能力。

教学评估：1. 课堂提问，检查学生对直线性质的理解。

2. 课后作业，评估学生对平面方程的掌握。

3. 期中期末考试，全面检验学生对直线与平面几何问题的解决能力。

课后答案：1. 直线的性质包括方向、斜率、截距等，直线的方程可以表示为y = kx + b。

第五章 二次曲线的仿射性质如果将仿射变换(5.0.1) 111112213221122223''x a x a x a x a x a x a =++⎧⎨=++⎩ 111221220a a a a ∆=≠ 用点的齐次坐标表示，设''1212''3333',',,x x x xx y x y x x x x ====，于是(5.0.1)化为'112111213'333'212212223'333x x x a a a x x x x x x a a ax x x ⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩设'33x x ρ=，上式变为(5.0.2) 1111122133221122223333'',0,0'x a x a x a x x a x a x a x x x ρρρρ=++⎧⎪=++∆≠≠⎨⎪=⎩上式是用齐次坐标表示的仿射变换公式。

显然，(5.0.2)使30x =变成3'0x =，可见仿射变换是使无穷远直线仍变成无穷远直线的射影变换。

本章将以无穷远直线不变这一仿射性质为基础研究二次曲线（只研究二阶曲线）的仿射性质及其分类。

§1 二次曲线的仿射性质1.1二次曲线与无穷远直线的相关位置设二次曲线的方程为(5.1.1) 3,,10,()ij ijij ji i j S a x xa a ====∑现在求无穷远直线30x =与二次曲线的交点，将30x =代入(5.1.1)得 (5.1.2) 22111121222220,a x a x x a x ++= 解(5.1.2)得(5.1.3)1211x x =因此当21211220a a a -<时，(5.1.3)为二虚根； 当21211220a a a -=时(5.1.3)为二相等实根； 当21211220a a a ->时(5.1.3)为二不等实根。