用高等几何的观点看待初等几何的问题

高等几何对初等几何相关指导作用分析摘要高等几何是利用克莱因的变换群的观点定义的几何学，其能从更高的角度探索初等几何，对初等几何的相关证明、理论依据和命题的构造方面具有很好的指导作用。

本文分析了高等几何对初等几何相关指导作用，阐明了其之间的相互关系，并利用高等几何的思想方法对初等几何命题进行变换，通过实例从高等几何在点线结合、交比、反射变换和射影变换方面对初等几何的指导作用进行了探究，并阐述了高等几何对初等几何的作用在现代中学数学教学中的意义。

【关键词】高等几何；初等几何；变换AbstractHigher geometry is the use of the transformation of the view of klein, the definition of geometry Angle from higher primary geometry, to explore the relevant proof, elementary geometry theory and structure of proposition has very good guidance. Based on the analysis of higher geometry elementary geometric related guidance, illustrates the relationship between higher geometry, and using the method of elementary geometry proposition to transform from higher geometry, through examples in point, line, combined with reflection and projective transform, to transform the guiding role of elementary geometry.【Keyword】higher geometry；elementary geometry；transform前言初等几何是一种可测量的几何，比较直观、易懂，而高等几何较抽象、难理解. 但高等几何是初等几何的延深课程，二者之间有很深的渊源.高等几何作为一门几何课程，有着自身的特殊作用，高等几何知识与初等几何知识的沟通，为我们提供了解决初等几何的一些方法.学好高等几何，就能在更高层面上认识几何学的基本特性，研究方法，内在联系，可以认识到几何学的本质，深化和发展几何空间概念，以便更深入地驾驭和掌握初等几何的内涵和外延。

浅谈高等几何对初等几何的相关指导作用学生姓名:耿丽学号:20085031196数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导老师:何俊杰职称:讲师摘要:本文主要从仿射几何、射影几何、交比调和比、德萨格定理四个方面论述了高等几何对初等几何的指导作用.关键词:高等几何;初等几何;变换Discussion on the related instruction function of highergeometry’s on elementary geometryAbstract:In this paper,we mainly introduce the related instruction function of higher geometry’s on elementary geometry form the follow four aspects:affine geometry, projective geometry,cross ratio and harmonic ratio,Desargues theorem.Key Words: higher geometry,elementary geometry, transform前言初等几何是以静止的观点研究一些简单而又有规则的图形,高等几何则是以变动的观点研究变动的图形.相比较而言,它们虽然同属几何学科,但其观点层次的高低不同.高等几何是在初等几何乃至高等代数等课程的基础上研究几何问题的,它使学生在较高层面上认识几何空间的基本特征、研究方法、内在联系,确认几何学的本质,从而发展了几何空间概念,并为进一步学习近代数学创造条件.通过学习高等几何,可以居高临下地认识初等几何的内涵,高等几何不仅为初等几何提供了理论依据,更为它拓展了解题途径,丰富了研究方法.因此,高等几何对初等几何具有现实的指导作用,很有研究、探讨之必要,而且内容非常丰富,甚至是无止境的.1.更加全面地认识几何几何学的研究,有静的观点和动的观点两种,公理法建立几何学是研究几何的静的观点,变换群下对应的几何学研究几何动的观点,这两种观点是贯穿现行高等几何教材内容的两条主线.1.1 射影几何、仿射几何、欧式几何之间的联系按照Klcin的观点,几何学是研究在相应的变换群下图形保持不变的性质和量的科学.也就是说,每一种几何学都对应着一个变换群,图形在该变换群下保持不变的那些性质和量,就是这种几何的研究对象.由变换群序列,射影群⊃仿射群⊃正交群,它们所对应的几何学从研究范围而言,射影几何⊃仿射几何⊃欧式几何,从研究的内容（图形的性质）来说,根据普遍性被包含于特殊性之中,则恰有相反的关系,即射影几何⊂仿射几何⊂欧式几何.射影几何学是专门研究图形在射影变换下的不变性的一个数学分支.所谓平面上的射影变换,我们可以直观地把它理解为连续施行有限次中心投影所得到的平面到自身的一个变换.射影变换的一个特例是仿射变换,我们可以直观的把它理解为连续施行有限次平行投影所得到的变换,仿射变换下不变形的研究,构成仿射几何学,因此它是射影几何学的一章.仿射变换的一个特例是正交变换,我们可以直观地把它理解为连续施行平移和旋转或者再施行一个轴反射所得到的变换.正交变换下不变性的研究,构成欧式几何学,因此它是仿射几何学的一章.平面射影几何只研究平面图形中那些与点和直线的结合相关的性质,实际上比欧式几何学研究的内容更为基本.了解欧式几何、仿射几何、射影几何三者之间的关系,也就扩大了关于几何学的眼界.站得高,才能看得远,了解了欧式几何在几何学中所处的地位,这就有助于我们从几何学的全局与整体上来理解和把握初等几何教材.1.2 欧式几何和非欧氏几何的关系几何学的思维其源于非欧氏几何.因此唯有从非欧氏几何的观点来看才能得以阐明在中学所研究的欧式几何学的逻辑结构.只懂得一种欧几里得几何,就不能充分了解几何学的结构特点.几何学之所以能够提高到现代的观点,不过是在研究了非欧几何以后的事情.罗巴切夫斯基几何——在其中过已知直线的外任一点至少可以引两条直线与已知直线平行,和黎曼几何——在其中过已知直线的外任一点没有任何直线与已知直线平行,统称为非欧几何学.欧式几何、罗氏几何、黎氏几何这三种几何学表面上互相矛盾,互相排斥,但它们在射影几何是统一的,都是射影几何的子几何.了解它们之间的关系,对初等几何教材的理解和把握就会加深一步.用公理法研究几何学,对于培养学生的逻辑思维能力,了解几何学的发展历史,以及对几何中许多问题的透彻理解都是极为有利的.不同的公理体系可以建立不同的几何学,从而说明任何几何学和几何公理都是相对于某种公理体系而言的.例如,若将欧式几何的希尔伯特公理体系的平行公理换成罗巴切夫斯基—伯利亚公理,而保持其余公理不变,便得到了罗氏几何.历史上,从公元前320年欧几里得《几何原本》问世后,到公元1826年非欧几何诞生为止,围绕欧式第五公设的一场持续两千多年的争论,要解决的就是这样一个问题.确立了上述观点,依据公理化方法,就能对几何中的许多问题做出透彻的理解.例如,射影几何中为什么成立对偶原理而在欧式几何中却不成立？其原因是在射影几何中三组公理的对偶命题成立,而在欧式几何中,结合公理的第一条“通过任意给定的两点有一直线”的对偶命题是不成立的,如果离开了公理化体系,这个问题是很难解决的.掌握公理化还能对几何中的一些概念做出准确的解释.例如,在学习公理化之前,往往不容易区分像“两线段的大小”和“线段的长度”的概念,但学习了希尔伯特公理体系之后,便会清醒地认识到,用介于关系只能对两线段的大小进行比较而不能给出线段长度的概念,建立线段长度的概念还必须依赖连续公理.这样就将两个概念从思想上严格地区分出来,从而避免了犯混淆概念的错误.2.高等几何对初等几何的指导作用的具体实例分析由于射影几何包含初等几何,因此射影几何的性质必然是初等几何的性质,所以可以运用射影几何理论来解决初等几何问题.从而为初等几何解题方法寻求了更广泛的途径.2.1利用仿射几何变换法证明初等几何题放射几何是高等几何的重要组成部分,是连接射影几何与欧式几何的纽带,是应用高等几何只是解决初等几何问题的一条重要通道.在初等几何里,有大量的命题是研究图形的仿射性质的,即不涉及到距离、角度、面积的具体度量,而仅涉及到点线结合关系、直线的平行性、共线与平行线段之比、封闭图形面积之比以及线段重点等概念.对于这类的命题,我们可以充分地利用仿射几何的有关理论,由特殊到一般,化繁为简地加以解决,从而达到事半功倍的效果.这方面问题的解决,常常可以借助于仿射变换与仿射坐标系来实现.2.1.1 仿射变换的应用在仿射几何里,几何图形在任意仿射变换下都具有保持同素性、结合性和二直线的平行性及共线三点的单比、共线或平行二线段长度之比、二封闭图形面积之比不变的仿射不变性质和仿射不变量.因而,当我们要研究初等几何中图形的仿射性质时,可以在已知条件下做出它的一个比较容易研究的仿射对应图形,由研究图形的相关性质转而得出图形的性质.例1 （国际数学竞赛题）证明G 为ABC ∆重心的充要条件是AGB AGC S S ∆∆== BGC S ∆图1证明 如图1,在正ABC ∆中,若G 是正ABC ∆的重心,则G 也为内心,即G 到三边距离,,GD GE GF 相等,故AGB AGC BGC S S S ∆∆∆==.反之若AGB AGC BGC S S S ∆∆∆==,因为=AB BC AC =,故G 到三边的距离,GD ,GE GF 相等,即G 是正ABC ∆的内心,从而G 也是重心.根据仿射性质的特点,命题对正三角形成立,所以对一般的三角形也成立.例2 求证:“正方形ABCD 的一组邻边上有,E F 两点,且//EF AC .则AEB ∆和CFB ∆面积相等“（见图2）图2证明 将此命题作一仿射对应,仿射对应后的记号不变,使正方形''''A BC D 对应平行四边形ABCD ,'E 对应E ,'F 对应F .在正方形''''A BC D 中(见图2)显然有''''''A E B C E B ∆≅∆由于两个多边形面积之比为仿射不变量,所以在平行四边形ABCD 中,AEB ∆和CFB ∆面积相等.于是可得另一命题“平行四边形ABCD 的一组邻边上有,E F 两点,且//EF AC ,则AEB ∆和CFB ∆面积相等”.例 3 已知,,L M N 分别为分ABC ∆的三边,,AB BC CA 成相同比例的两个线段的三等分点,求证:ABC ∆和LMN ∆有相同的重心.图3证明 经适当仿射变换将ABC ∆变成正三角形'''A BC ∆ (如图3).设正三角形'''A BC ∆的重心为'G ,''',,L M N 分别为,,L M N 在仿射变换下的象.因仿射变换保持单比不变,故可得'''LMN ∆是正三角形,且''''''G L G M G N ==, 因此'G 是'''LMN ∆的重心, 即'''A BC ∆和'''LMN ∆有相同的重心, 又仿射变换保持三角形重心不变,故ABC ∆和LMN ∆重心相同.2.1.2 仿射坐标系的应用在初等几何中,对仅涉及到图形的有关仿射性质命题的研究,还可以通过仿射坐标系这个重要工具与桥梁,运用代数的方法加以解决.相对于笛氏坐标系,仿射坐标系的坐标轴和单位长度的选取具有任意性,我们可以根据问题的具体条件而按需要适当的建立,因而用此方法处理问题,常可以避免繁琐的几何与三角问题,解题思路简单,计算非常方便.例4 从三角形一个顶点到对边三等分点作线段,过第二顶点的中线被这些分成连比::x y z ,设x y z ≥≥,求::x y z 的值.图4 解 如图4所示,建立仿射坐标系,取(0,0)B ,(1,0)D ,(2,0)E ,(3,0)C ,(0,1)A . 易知31(,)22F ,直线BF 的方程为13y x =,直线AD 的方程为1y x =-+,直线AE 的方程为121y x =-+. 于是直线BF 与AD 的交点为31,44()G ,直线BF 与AE 的交点为62,55()H . 设BG GH λ=,由有向线段定比分点公式有603514λλ+=+,从而得53λ=,即53BG GH =.又设'GH HF λ=,同样由定比分点公式可得'32λ=,即32GH HF =. 所以,得::::5:3:2x y z BG GH HF ==2.2 射影几何在初等几何中的一些应用射影几何对初等几何教学的指导,不仅表现在提高数学思想与观点上,还直接表现在对初等几何图形的射影性质的研究中.由射影几何、仿射几何和欧式几何三者的关系,我们知道,欧式几何为仿射几何及射影几何的子几何,在其中可以讨论仿射几何的对象（仿射不变性质和仿射不变量）和射影对象（射影不变性质和是射影不变量）,因而可以用射影几何去指导与研究初等几何中的一些问题.例5 设三直线121212,,PP Q Q R R 交于一点S ,121212,,PP Q Q R R 分别交两直线12,OX OX 于点111,,P Q R 与222,,P Q R .求证直线12PQ 与21P Q 的交点,12Q R 与21Q R 的交点,12R P 与21R P 的交点在一条直线上,且所在直线通过O .图5图'5 证明 将直线OS 投影到无穷远,这只需在直线12,OX OX 所在平面π外任取一点V ,取平面'π平行于V 与OS 所定的平面,则以V 为投影中心建立π向'π的中心投影将OS 投影到'π的无穷远直线''O S ∞∞(如图'5) 设''''''''12111222,,,,,,,X X P Q R P Q R 分别是12111222,,,,,,,X X P Q R P Q R 在中心投影下的象.在图'5中,显然直线''12P Q 与''21P Q 的交点,''12Q R 与''21Q R 的交点,''12R P 与''21R P 的交点在一条直线上,且所在的直线平行于'''111,,P Q R 所在的直线或'''222,,P Q R 所在的直线.由于中心投影保持结合性不变,所以在图5里有12PQ 与21P Q 的交点,12Q R 与21Q R 的交点,12R P 与21R P 的交点在一条直线上,且点O 也在这三点所在的直线上.例6 命题:“已知//BE CF ,BC 交,BE CF 分别于,B C ,圆与,,BE BC CF 分别相切于,,E D F ,BF 交EC 于T ,则////DT BE CF ”(见图6).图6 图'6证明 此命题显然为真.因为BET FCT ∆≅∆,于是CF BECT TE =, 又因为CD CF =,BD BE =,故CD BDCT TE = 从而////DT BE CF ,即得证明.如图'6所示,ABC ∆的旁切圆切边BC 于D ,切边AB 和AC 的延长线于E 和F ,BF 交EC 于T ,作一射影变换,若各点在射影变换后的记号不变,使射影变换后ABC ∆的旁切圆为一圆,EF 变为圆的直径,A 为垂直于直径EF 的直线相对应的无穷远点.(见图6).于是可得另一命题“ABC ∆的旁切圆切边BC 于D ,切边AB 和AC 的延长线于E 和F ,设T 是直线BF 与CE 的交点,则点,,A D T 共线.”由原命题得此命题亦为真.2.3 交比、调合比在初等几何中的应用交比、调合比是射影几何的两个基本不变量,它们可用来解决许多初等几何问题,是沟通高等几何和初等几何的有效方式.利用交比、调合比可以证明初等几何中共点、共线、线段相等的问题是非常简便的,而且计算交比的方法也适用于所有的二阶曲线,这样就自然地将蝴蝶定理推广到椭圆、抛物线、双曲线上.例7 （蝴蝶定理）在图7中,过弦BC 的中点A 的任何两弦,PQ RS ,设,PS RQ 分别交BC 于,M N .求证:AM AN =.图7证明 连,,,SB SC QB QC ,则(,)(,)S BP RC Q BP RC =再由直线BC 截这两组等交比的直线,则(,)(,)BM AC BA NC =由此可知BA MC BN AC BC MC BC AN⋅⋅=⋅⋅ 由已知BA AC =得MC BN MA AN= 所以MC MA BN AN MA AN--= 又因为MC MA AC BN AN BN -=-=且所以MA AN =例8 求证:“一个角的两边与这个角的内外角平分线调和共扼”.图8 图'8证明 在图8中,,c d 顺次为(,)a b ∠的内外角平分线,作直线l 与d 平行,则l c ⊥.若l 交,,a b c 于,,A B T ,于是AOB ∆为等腰三角形,因此AT TB =.令l 与d 的所交的无穷远点为P ∞,则(,)1AB TP ∞=-所以(,)1ab cd =-.如图'8所示,,d c 顺次为(,)a b ∠的内外角平分线,直线l 与,,,a b c d 分别交于,,,A B T P .由于(,)(,)ab cd AB TP =又因BP PB =-所以AT PB BT AP ⋅=⋅即d O l b a A TB P d O l b a A T B cAT APBT PB=于是可得初等几何中的角平分线性质定理——在ABC ∆中,AD 平分A ∠,交边BC 于D ,则AB BDAC CD=. 例9 如图9所示,直线τ交ABC ∆的三边或其延长线于,,L M N ,且,,AM BNCL 交成一个三角形PQR ,求证:,,AQ BR CP 三直线共点.图9 图'9证明 利用中心射影将,,L M N 所在的直线τ投射到无穷远直线,作图9的对应图形'9.因为'''L M N ∞∞∞，，是无穷远点,所以''''''''''''//////A B Q R B C P R C A P Q ，，故四边形''''A B C R 与''''B C A P 都是平行四边形.所以''''''P A B C A R ==,即得'A 是''P R 的中点.同理可得,'B 是''P Q 的中点,'C 是''Q R 的中点,即'''''',,AQ B R C P 是'''PQ R ∆三边上的中线,且交于一点'S ,故由中心射影同素性和接合性知,,AQ BR CP 交于一点S .例10 求证三角形的三条外角平分线和对边相交,所得三点共线.图10证明 如图10,ABC ∆中,设C ∠的外角平分线交AB 于点E ,A ∠的外角平分线交BC 于点F ,B ∠的外角平分线交AC 于点G ,,,A B C ∠∠∠的内角平分线1,AA11,BB CC 相交于一点P ,AB 与11A B ,BC 与11B C ,AC 与11A C 分别交于111,,E F G .由德萨格定理可得111,,E F G 共线. 又因111,(,)1,()1,(,)1E BC B BA C A F AC G =-=-=-在完全四点形11PB CA 中,根据调和性质得11(,)1BA C E =-故111(,)(,)BA C E BA C E =即可得E 与1E 重合,同理可得F 与1F ,G 与1G 重合. 所以,,,E F G 三点共线.2.4 德萨格定理及其逆定理在初等几何中的应用 例11 试证三角形的三条中线共点图11证明 如图11, ,,AD BE CF 分别是ABC ∆的三边,,BC CA AB 上的中线 所以//,//,//EF BC DE AB DF AC设EF BC P ∞⨯=,DE AB Q ∞⨯=,DF AC R ∞⨯=在ABC ∆与DEF ∆中,对应边的交点P Q R ∞∞∞，，共线于无穷远直线,则由德萨格定理的逆定理可知,对应顶点的连线AD,BE,CF 共点.例12 对于欧式平面上的ABC ∆.设其高线分别为,,AD BE CF ,而BC EF X ⨯=,CA FD Y ⨯=,AB DE Z ⨯=,求证:,,X Y Z 三点共线.图12证明 如图12直接应用德萨格定理,考虑一对对应三点形ABC ∆和DEF ∆,因为其对应顶点连线即是ABC ∆的三条高线,故共点于垂心G ,从而三对对应边的交点,,X Y Z 共线.结束语通过前面的阐述和例题可以看出,对初等几何而言,高等几何具有鲜明的指导性和应用性的特征,对数学与应用数学专业的学生及中学数学教师来说,学好高等几何,处理初等几何的能力也就相应的增强了,而且其几何思维水平也会得到进一步的提升.前面的论述也一再表明,高等几何不是没有用处的,而是对初等几何具有重要的指导作用,只要学习和应用的人有心,积极开动脑筋,就能把高等几何的知识很好地运用到初等数学教学中去,为解决复杂繁琐的集合难题服务,为提高中学教学质量服务.参考文献[1] 罗崇善.高等几何[M 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[2] 梅向明.高等几何[M ].北京:高等教育出版社,1983.[3] 赵宏量.几何教学探索[M ]. 重庆:西南师范大学出版社,1987． [4] 泰安师专等.高等几何[M ]．济南:山东教育出版社,1980．[5] 梅向明等. 高等几何学习指导与习题选解[M ].北京:高等教育出版社,2004． [6] 朱德祥等.高等几何[M ].北京:高等教育出版社,2009.。

高等几何的高观点对初等几何的指导作用作者：李中李伟勋来源：《中学语文(学生版)》2016年第02期摘要：高等几何是高等师范院校数学教育专业的主干课程之一。

由于高等几何贯穿了大量现代数学的观点、思想和方法，因此，学生学习了高等几何，能够加深对中学几何的理论和方法的认识，从而掌握用较高观点去处理初等几何问题的能力。

笔者在长期的高等几何教学实践中，对高等几何的高观点对初等几何的指导作用做了一些教学尝试和探讨。

关键词：高等几何;初等几何; 指导作用近年来，随着高等几何课程教学改革的纵深发展，越来越多的数学教师认识到，深入思考高等几何对初等几何教学指导作用的问题很有必要，在传授专业理论知识的同时，应注重高等几何与初等几何的联系，明确高等几何对初等几何教学指导的意义。

一、高等几何能够居高临下地看待初等几何1872年，德国数学家克莱因在爱尔兰根大学宣读了现在大家叫“爱尔兰根纲领”的演说，提出了变换群的观点，明确地表述了构成几何的普遍原则，即是说可以考虑空间的一一变换的任何一个群，而且研究在这个群的一切变换下保留不变的图形性质。

现行的高等几何教材一般都是利用克莱因变换群的观点建立的，根据这一观点，运动群下图形不变性质的研究，就构成欧氏几何;仿射群下图形的不变性质的研究就构成仿射几何;射影群下图形的不变性质的研究就构成射影几何。

总之，一门几何学就是研究图形在某一变换群下不变性质的科学。

利用克莱因变换群观点可以重新审视初等几何，明确欧氏几何与仿射几何、射影几何之间的联系与区别。

中学初等几何主要研究欧氏几何，因为欧氏几何是射影几何的一个特例，所以，教师可用高等几何的较高观点来指导初等几何的教学，从而不断改进初等几何的教学方法，不断提高初等几何的教学质量。

二、高等几何对初等几何的指导作用之例证1.利用仿射变换解决初等几何问题根据高等几何知识，只要选取恰当的仿射变换，任意一个三角形、平行四边形、梯形或椭圆与特殊的正三角形、正方形、等腰梯形或圆都可以互相转换。

φF'B'C'FDA CBA'D'E E'高等几何观点下的初等几何姜 羽高等几何知识与初等几何知识的沟通,为我们提供了解决初等几何的一些方法,对初等几何教学,对于教师思考和解决问题,有具体的指导意义.利用高等几何的观点和思想方法,将已知初等几何命题进行变换,获得相关的其他初等几何命题,具有重要的意义.本文通过初等几何和高等几何解决问题的方法进行对比,从仿射几何和射影几何的理论和方法出发,探讨它们在初等几何中的若干应用.1 仿射变换在初等几何中的应用For personal use only in study and research; not for commercial use1.1 仿影变换为初等几何的有关内容提供了理论依据仿射变换即平行投影变换,保持图形的结合性、平行性、单比、封闭图形面积比不变,直线仍变为直线,圆锥曲线仍变为圆锥曲线,而且圆锥曲线的中心、直径和共轭直径等,也保持不变.因此,对于不涉及线段、角和图形面积定量研究的几何问题中,可以对图形进行仿射变换,将其变到易于讨论的情况,发现其某些非度量性质,使问题获得解决或发现解题思路.通常所说的平移、旋转、对称和相似变换,都是仿射变换的特例. 1.2 仿射变换为初等几何的某些问题提供了简捷的解题方法我们知道,平面几何中的特殊图形：圆、正三角形、菱形经过仿射变换作用后,分别变成一般图形：椭圆、三角形、平行四边形.反之,仿射变换就可以将一般图形变成它们对应的特殊图形.由于特殊图形具有较多性质,所以原命题会变得容易证明. 例1 已知平行四边形ABCD （如图1-1左）的边AB ,CD 上各有一点E ,F 且EF AC //,试证明AED ∆与CDF ∆的面积相等.图1-1 证法1（初等几何方法）EF AC //,∴BE BFAE CF=.即 B E C F A E B ⋅=⋅.而 CF CD CF AB ⋅=⋅CF AE CF EB =⋅+⋅ CF AE AE BF =⋅+⋅AE BC =⋅ AE AD =⋅.∴ 1s i n 2AED S DAE AE AD ∆=∠⋅⋅ 1sin 2FCD CF CD =∠⋅⋅ CDF S ∆=.证法2（仿射变换方法）设已知的平行四边形ABCD 由一个正方形A B C D ''''（如图1-1右）经过仿射变换ϕ得到,且E '对应E ,F '对应F ,,E F ''点分别在边A B '',B C ''上, E F A B ''//''.由于在正方形ABCD 中,A E D C D F ∆'''≅∆''',即两三角形的面积之比为11:,则根据仿射理论“仿射变换保持两封闭图形面积之比不变”,可知上述图形的仿射对应图形AED ∆与CDF ∆的面积之比也为11:,从而得证AED ∆与CDF ∆的面积相等.在仿射几何中,图形在适当的仿射变换下都具有平行两线段长度之比、两封闭图形面积之比不变性质,抓住这一点,不但能使命题证明变得简捷,而且还能推断出这些性质在原图形中也成立,从而能构造出其他相关命题.例2 设P 是ABC ∆内任意一点,直线AP 、BP 、CP 交BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F （如图1-2）,则（1）++=1PD PE PF AD BE CF ；（2）++=2AP BP CPAD BE CF.图1-2证法1（初等几何方法）（1）如图1-2,分别过P 、A 作BC 的垂线,垂足分别为P '、A '.则有1212PBC BCBC PP S PP PDS AA AD BC AA ∆∆A ⋅''==='⋅'. G H P'A'ABCPD EF同理 P C A ABC PE S BE S ∆∆=;PABABCPF S CF S ∆∆=. 故1PBC PCA PABABCPD PE PF S S S AD BE CF S ∆∆∆∆++++==. （2）因为==1PD AD AP APAD AD AD--,等等,所以由（1）式立即可得（2）式. 证法2（仿射变换方法）（1）如图1-2,分别沿AB 和AC 方向作平行投影P G →、P H →.由仿射变换保简单比不变得：==PD DG DHAD BD CD. ∴ =PD GHAD BC. 又=PE HC BE BC ;=PF GB CF BC, ∴++=++=1PD PE PF GH HC GB AD BE CF BC BC BC. （2）同证法1（2）.关于证法2,当然也可转化为初等几何方法,即作,PG AB PH AC ////.但这真正体现出了高等几何的仿射变换即平行投影变换的观点,只是运用高等几何观点更能透彻看出问题本质.例3 设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>,（如图1-3）求与斜率为K 的弦共轭的直径方程.图1-3证法1（初等几何方法）设弦AB 的直线方程为y kx m =+,点11A(x ,kx m)+,22B(x ,kx m)+,33C(x ,y ). 则有1232x x x +=,12123()22kx m kx m k x x y m ++++==+.故所求直径方程为33122()y m y x k x x x x ==++. 将椭圆方程与弦方程联立方程组,可求得1222222a kmx x k a b-+=+.代入上述直径方程得220b x a ky +=.证法2（仿射变换方法）设弦AB 的直线方程为y kx m =+,则经仿射变换有b x x a y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩,即a x x b y y ⎧='⎪⎨⎪='⎩,将椭圆方程变为222x y b '+'=,将弦方程变为ay kx m b'='+.而弦的共轭直径在圆中是与此弦垂直的,其方程显然是by x ak '=-',此方程经上述仿射变换还原到椭圆中去即为所给弦的共轭直径方程b by x ak a=-⋅,即220b x a ky +=.变换思想是一类主要的数学思想.应用变换的方法去解题可使问题得到简化,从而在在解题中取得较好的效果.仿射变换就是几何变换中的一类重要变换.从上述讨论中可以得出应用仿射变换解题的步骤可概括如下：①判断求解的问题是否能利用仿射不变性质,仿射不变量求解,一般涉及到点共直线、直线共点、线段比、面积比等一类问题皆可应用仿射变换解题；②选择合适的仿射变换,找出所给图形的合适的仿射图形;③在仿射图形中求证,写出具体的仿射变换及解题过程.yxxy C'A'B'OABC OGOEDABCFP ∞Q ∞R ∞OEDABCF2 用射影观点研究初等几何问题2.1 笛沙格定理的应用 2.1.1 笛沙格定理简介定义1 平面内不共线的三点与每两点的连线所组成的图形叫做三点形.平面内不共点的三直线与其每两直线的交点所组成的图形叫做三线性.笛沙格定理：如果两个三点形对应顶点连线交于一点,则对应边的交点在同一直线上.笛沙格定理的逆定理：如果两个三点形对应边的交点在同一直线上,则对应顶点的连线交于一点.定义2 若两个三点形的对应顶点的连线共点,且对应边的交点共线,则两三点形构成透视关系.对应顶点连线的交点叫做透视中心,对应边交点所在的直线叫做透视轴.2.1.2 笛沙格定理应用举例例4 证明：三角形的三条中线共点.图2-1 图2-2证法1（初等几何方法）如图2-1,设ABC ∆三边的中线分别为AD 、BE 、CF ,且AD 、CF 相交于点O ,那么证明BE 为边AC 上的中线即可证明此结论. 延长OE 到点G ,使OG OB =.点O 是BG 的中点, 点D 是BC 的中点, OD ∴是BGC ∆的一条中位线. AD CG ∴//.又点O 是BG 的中点,点F 是AB 的中点,∴0F 是BGA ∆的一条中位线. ∴CF AG //.D'LCDA MNBP ∞LCDA MNBAD CG //,CF AG //,∴四边形AOCG 是平行四边形. ∴AC 、OG 互相平分.∴AE CE =,即BE 为边AC 上的中线. 命题得证.证法2（笛沙格定理逆定理）如图2-2,设ABC ∆三边的中点分别为D 、E 、F ,则由三角形中位线定理可知,EF BC //、DE AB //、DF AC //,也就是说,EF 和BC 交于Q ∞,DE 和AB 交于R ∞,DF 和AC 交于P ∞.利用笛沙格定理的逆定理,考虑三点形ABC 和三点形DEF ,它们的对应边的交点Q ∞、R ∞、P ∞共无穷远直线,所以对应顶点的连线AD 、BE 、CF 共点O . 笛沙格定理是射影几何的理论基础,它的应用很广,许多定理以它为依据,对解决中学几何的共点线、共线点问题颇为简洁有效. 2.2 交比的应用2.2.1 交比的有关概念和性质（1）共线四点的交比的初等表示：在欧式平面上,设1234,,,P P P P 是共线的相异四点,则132412342314(,)P P P P P P P P P P P P ⋅=⋅,其中i j P P 表示i P 到j P 得有向距离(,1,2,3,4)i j =.若1234(,)1P P P P =-,则称1234,,,P P P P 依此次序构成调和点组,并称此交比为调和比.推论 设12,,P P P 为共线的通常点,P ∞为此直线上的无穷远点,则112122(,)()P PP P PP P P P P P∞==, 即为共线三点的简单比.而且P 为线段12P P 的中点12(,)1P P PP ∞⇔=-.（2）共点四直线交比的初等表示：在欧式平面上,设1234,,,p p p p 是共点的相异四直线,则132412342314sin()sin()(,)sin()sin()p p p p p p p p p p p p =,其中()i j p p 表示由i p 到j p 的有向角(,1,2,3,4)i j =.2.2.2 在初等几何中的应用举例例5 四边形两组对边延长后分别相交,且交点的连线与四边形的一条对角线平行,求证：另一条对角线的延长线平分对边交点连线的线段.3'32'21'1QPM OABCDEF1'435262'1QPF'M OAB C DEF图2-3 图2-4证法1（初等几何方法）设四边形ABCD 中AB 与CD 交于M ,AD 与BC 交于N 且BD MN //（如图2-3）,求证：AC 平分MN .过B 作BD MD '//,连接DD ',下证四边形BCDD '是平行四边形. BD MD '//∴ AB AD AM AC'= 又 BD MN //∴AB ADAM AN = ∴AD ADAC AN'= 故DD BN '//∴四边形BC DD ''是平行四边形,利用平行四边形的性质知AC 平分BD ,且BD MN //,故AC 的延长线交MN 于L 平分线段MN .证法2（利用调和比）如图2-4,四边形ABCD 中AB 与CD 交于M ,AD 与BC 交于N .若AC 与MN 交于L ,则由完全四点形的调和性质知(,)1MN LP ∞=-,再由上述推论知L 必为MN 的中点.交比是射影几何的基本不变量,而调和比是最重要的一种交比,在射影几何的研究中具有十分重要的作用.运用交比的有关概念和性质来解决初等几何中的一些问题,不仅降低了解决问题的难度,证明思路清晰,过程简洁,而且拓宽了我们的视野,有助于我们站在新的高度上深入地理解初等几何的知识.例6（蝴蝶定理）如图2-5所示,设AB 是O 的弦,M 是AB 的中点,过M 任作二弦CD ,EF ,记P ,Q 为AB 依次与CF ,ED 的交点.求证PM MQ =.图2-5 图2-6证法1 （用初等几何的方法）圆是以直径所在直线为对称轴的轴对称图形,那么如图2-5所示可作MF 关于OM 的对称线段MF ',连接F Q ',F D ',则FF OM '⊥,AB OM ⊥,由此可知AB FF //',所以1561∠=∠=∠=∠'.又45∠=∠（四边形DFF E '内接于圆）且511∠=∠=∠',故41∠=∠',则四点D ,F ',M 和Q 共圆.所以,23∠'=∠. 因 23∠=∠,则 22∠=∠'.又 MF MF =',11∠=∠',则PFM QF M ∆≅∆',故PM MQ =. 证法2（利用交比来证明）如图2-6,连接CA ,CB ,EA ,EB ,以C 为顶点的线束被直线AB 所截,则有(,)(,)CA CD CF CB AM PB =.同样,以E 为顶点的线束被直线AB 所截,有(,)(,)EA ED EF EB AQ MB =,由同弧所对的圆周角相等,从而有11∠=∠',22∠=∠',33∠=∠',而sin sin sin 1sin 3(,)sin sin sin (123)sin 2sin 1sin 3(,).sin (123)sin 2ACF BCD CA CD CF CB ACB DCF EA ED EF EB ∠∠∠'∠'==∠∠∠'+'+'∠'∠∠==∠++∠ 故(,)(,)AM PB AQ MB =. 即AP MB AM QBAB MP AB QM⋅⋅=⋅⋅. 又M 为AB 的中点,从而AM MB =,把,AP AM MP QB QM MB =+=+代入上式 得：11AM MBMP QM+=+, 故AM MB =,从而PM MQ =.在上述证法中,射影几何的方法简单,它只需计算一下交比,不但简捷,而且计算交比的方法适用于所有二阶曲线,这样就自热地将蝴蝶推广到椭圆,双曲线和抛物线上,不过这时二阶曲线中弦的中点却不能用垂足代替.不论是圆或一般的二阶曲线,倘若M 不是弦AB 的中点,可令,,,AM a MB b PM p MQ q ====,则有1111-=-.p q a b此式,通常称它为坎迪定理.3 总结研究高等几何的思考方法及解题技巧,对于正确把握初等几何的解题实质和发展脉络都大有好处.作为合格的中学数学教师,要教好中学数学,不能只懂中学数学,而要“站得更高,看得更远” ,应拓宽视野,拓广思路,这样才能更好地把握中学数学的内容.而关于坎迪定理在圆锥曲线中的推广应用,限于篇幅,此处不赘述.参考文献[1]周兴和,高等几何.北京:科学出版社,2007[2]李恩凤.高等几何与初等几何的关系.青年师专学报(自然科学),[3]高巧琴,雒志江.高等几何在初等几何中的作用.雁北师范学院学报,[4]秦进.用高等几何方法变换初等几何命题.遵义师范学院学报,[5]廖小勇.高等几何在初等几何中的一些应用.黔南民族师范学院学报,[6]张莹.高等几何在初等几何中的应用.济南大学学报,[7]胡炳生,吴俊,王佩瑾,孙国权,现代数学观点下的中学数学.北京:高等教育出版社,2005仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。

用高等数学的观点理解初等数学的内容发布时间：2021-04-20T02:08:32.489Z 来源：《学习与科普》2021年1期作者：郝雪丽[导读] 因此，以高等数学的观点去理解初等数学的内容，对于有效提高学习效率、帮助突破重难点、领会数学思想方法、提高数学素养有着重要意义。

沈阳师范大学辽宁沈阳 110034摘要：初等教育阶段的数学内容是高等教育阶段数学内容的基础，而高等教育阶段的数学内容又是初等教育阶段数学内容的概括与深化。

因此，以高等数学的观点去理解初等数学的内容，对于有效提高学习效率、帮助突破重难点、领会数学思想方法、提高数学素养有着重要意义。

关键词：高等数学；初等数学；数学素养初等数学大多是数学中的一些结论的应用，而针对各个数学结论的证明比较少，而高等数学在初等数学的基础上，除了对数学知识进行应用以外，更侧重对数学知识的证明。

因此，用高等数学的观点去理解初等数学的内容就是在了解了各种概念定理的来源以后，进一步深入的理解初等数学。

作为学生而言，初等教育阶段的数学学习要求学生达到了解、理解、掌握、运用等程度，将数学知识内化以后，运用数学知识求解实际问题。

而作为教师而言，除了要熟练掌握这些初等知识以外，更要明确数学知识的来龙去脉，数学知识背后蕴含的思想方法等等，要将高等数学学习中获取的知识，用于加工初等数学内容，将抽象复杂的数学知识，以学生能够理解和接受的形式呈现，并在对学生进行初等数学教学的同时，渗透高等数学的相关内容，为学生进一步学习高等数学奠定基础。

高等数学中的数集·确界原理，是在高中集合的基础上增加了邻域和确界的原理。

从初等数学的学习到高等数学学习两个阶段，一个通过强化训练解题，一个通过对定义的理解解题，虽然两种方式都能正确完成高中教材中子集、交集和并集的习题，但前者在面对大学教材中确界证明习题时就会遇到障碍，二者之间正是存在着逻辑思维能力和对数学语言翻译能力的差异。

因此，在学习完高等数学中的数集·确界再去回头看初等数学中的集合的相关知识，就将之前初等数学中解题的机械式训练转变为在具备较高的抽象概括思维的基础上充分理解定义进行解题，学生的学习方式有所改变，逻辑思维、抽象概括能力也能得到发展。

高观点下的几个初等数学问题分析与总结文章作者：张丽英教授文章摘要:初等数学与高等数学是密不可分的，若站在更高的视角(高等数学)来审视、理解初等数学显得明了简单了。

本文运用高等数学的观点分析初等数学，着重用例子把初等数学问题用高等数学解法来解答，从中找到两者的联系。

初等数学与高等数学是密不可分的，若站在更高的视角(高等数学)来审视、理解初等数学显得明了简单了。

本文运用高等数学的观点分析初等数学，着重用例子把初等数学问题用高等数学解法来解答，从中找到两者的联系。

初等数学与高等数学是密不可分的，若站在更高的视角(高等数学)来审视、理解初等数学显得明了简单了。

本文运用高等数学的观点分析初等数学，着重用例子把初等数学问题用高等数学解法来解答，从中找到两者的联系。

本文关键词：高等数学；初等数学；分解因式；数列；不等式一前言高等数学与初等数学的研究对象、研究方法有本质上的不同，但两者之间存在着紧密的联系,高观点下的初等数学(参见文献[1])，是从高等数学的观点和角度来审视，理解初等数学问题，对中学数学的理论理解及解题思路都有很大的指导作用。

1.1 从高观点的角度看初等数学问题的必要性在中学学数学时，对有些概念和方法没有加以解释与说明就直接应用，虽然使用时能解决问题，但要深入地理解是不可能的。

如果只局限于用初等数学的眼光来看初等数学问题，很多问题是无法看清的. 正如德国著名数学家克莱因曾经告诫我们的一样，只有在完全不是初等数学的理论体系中，才能深刻地理解初等数学。

例如，“形如bia (a,b都是实数)的数”叫做复数。

这是中学学习的复数，当时对这里的“+”很疑惑。

a与bi是两个不同单位的元素，怎么可以相加？因此，这里的“+”只能看作是将a与bi连结成一个整体的符号。

那么，能不能把这个符号理解为普通的加法符号呢？仅用初等数学眼光来看都是模糊的。

这是初等数学的局限性。

1.2 用高等数学思想思想剖析初等数学问题更明了另一方面，初等数学是高等数学的基础，许多初等数学的内容都是高等数学中的模型。

高等几何在初等几何中的一些应用数学是初高等教育中必不可少的重要组成部分，几何学作为数学的基本分支之一，是数学教育中的重点内容。

为了平衡初等几何和高等几何之间的教育，实现初等几何向高等几何的有效过渡，深入探讨初等几何和高等几何之间的关系是非常必要的。

下文笔者将从几何学的基本概念出发，对高等几何在几何学中的重要地位进行阐述，随后详细介绍初等几何和高等几何的关系。

一、几何学的基本概念几何学是研究空间关系的数学分支，包括平面几何、立体几何、黎曼几何等多种类型，在初等几何学习中，主要涉及一些平面几何和简单立体几何的学习；高等几何中会包含大部分的立体几何以及黎曼几何等的学习。

几何学在日常生活中有重要的应用，比如建筑的结构设计、空间分配与计算等，学习几何学可以为中学生未来的工作生活打下良好的基础。

二、高等几何在几何学中的重要地位高等几何的解法是基于克莱因提出来的想法深入理解的，即是以变换群的理论为中心，基于一些定理，再对平面内的几何知识进行解释，通过对于欧式几何，解析几何，空间几何，代数几何等几何的综合，解决所需的几何实际问题。

在几何学的历史上，高等几何有重要的总结前人的作用，代表了最高的几何地位。

三、高等几何与初等几何的关系高等几何是是一种通过观察来解决几何问题的方法，这种解决问题的几何方式不仅仅抽象而且很难以理解，但是对于复杂的几何模型，这种高等几何的方式往往很有用处，然而对比于高等几何而言，初等几何是一种直观的几何方式，能够很快速的测量出简单的数学模型，得到最优的解决方式。

(一)包含和被包含的关系在几何的历史上，初等几何是基于欧式几何发展而来的。

欧式几何的定义是在正交变换下，图形的形状和性质都保持不变的内容。

由于正交变换群是相似变换的一种，仿射变换群射影变换群的一种类型，在数学上可以表示为，欧式几何包含于相似度几何，相似度几何包含于仿射几何，仿射几何包含于射影几何。

欧式几何的内容思路可以分为射影性质、射影不变量、仿射性质、仿射不变量、相似性质、相似不变量、磨量性质、度量不变量等等，也就是说在内容上，欧式几何包含相似度几何，相似度几何包含仿射几何，仿射几何包含射影几何。

高观点下的初等几何问题的研究数学系高秀娟一．公理法的几何学一般说来，数学的公理法就是选取若干个不加定义的原始概念（基本概念）和无条件承认的对基本概念加以制约的若干规定（公理）作为出发点，再以严格的逻辑推演使某一数学分支成为演绎系统的一种方法。

1.欧氏几何以欧几里得（古希腊最伟大的一位几何学家，公元前330-275年）平行公理为基础的几何学，称为欧几里得几何，简称欧氏几何。

我国明代徐光启翻译了几何原本，并将Geometry一词译为几何学。

《几何原本》的基本结构是定义，公设和公理的系统，其中的五条公设如下：1.从每个点到每个别的点必定可以引直线；2.每条直线都可以无限延长；3.以任意点为中心可以用任意半径作圆周；4.所有的直角都相等；5.若一条直线与另外两条直线相交，当有一侧的两个同侧内角之和小于两直角时，则这两条直线就在这侧相交。

欧几里得到《几何原本》是历史上第一部几何学著作，但是从现代教学观点来看，它的几何逻辑结构在严谨方面还存在着许多缺陷。

所以，在欧几里德以后长达两千年以上的时间里，数学家们都注意到并且试图消除几何原本中在逻辑上存在的缺陷。

欧几里得几何原本中的第五公设的试证，引起了人们的极大关注。

原因是前四个公设含义简明，而第五个叙述比较复杂，而且在几何原本里使用较晚，这样就引起人们对它的怀疑。

恰恰是在对第五公设的漫长的推证过程中，推导出了一系列等价命题，并且最终导致了非欧几里德几何学的发现和现代几何公里法定建立。

在重新建立几何学基础结构的工作中，最有成就的是希尔伯特的著作《几何基础》，他在著作里提出了欧氏几何完备的公理系统，从这个系统可以用逻辑推导出欧氏几何的全部内容。

2.非欧几何在证明第五公设的漫长努力过程中，问题其实并未得到根本解决。

于是，俄国数学家罗巴切夫斯基（1792-1856）在试证过程中，否定了第五公设的等价命题“在一平面上，通过已知直线外一点，最多能作一条直线与已知直线不相交。

1 关于高等几何方法解决初等几何问题的研究摘要及关键词（Abstract and Keyword ）摘要高等几何是利用克莱因的变换群的观点定义几何学，在此观点下把欧氏几何看成是射影几何的子几何，它对初等几何具有指导作用。

本文阐明了高等几何和初等几何的关系，等几何的关系，并利用高等几何的思想方法，并利用高等几何的思想方法，并利用高等几何的思想方法，将已知初等几何命题进行变换，将已知初等几何命题进行变换，将已知初等几何命题进行变换，以实例以实例说明高等几何的点线结合命题对初等几何的问题的研究。

关键词高等几何；初等几何；几何命题；变换Reserch the higher geometry method solution primarygeometry questionAbstract High wait several is make use of wrence r.Of the standpoint definition of the transformations geometry, see surname in Europe several under this standpoint project image several of the son is several, it is several to elementary grade have a function of instruction.This text clarified high wait the relation of several and elementary grade several, and make use of high wait several of thought method, will have already known the elementary grade is several set question to carry on transformation, with solid the example explain is high to wait several of order line to combine to set question several to the elementary grade of the research of problem.Keyword higher geometry ；elementary geometry ；geometry proposition ；counterchange 目录引言 (1)第一章 高等几何与初等几何的关系 (1)第一章1.1几何学 (1)1.2高等几何与初等几何的密切关系 (1)第二章 高等几何方法变换初等几何命题 (2)第二章2.1利用仿射变换 (2)2.2利用射影变换 (3)2.3利用交比 (4)第三章 高等几何的点线接合命题对初等几何的指导作用 (4)第三章结论 (6)参考文献 (7)致谢 (7)前言初等几何是一种可测量的几何，比较直观、易懂，而高等几何较抽象、难理解初等几何是一种可测量的几何，比较直观、易懂，而高等几何较抽象、难理解. . . 但高等几何但高等几何是初等几何的延深课程，二者之间有很深的渊源是初等几何的延深课程，二者之间有很深的渊源..高等几何作为一门几何课程，有着自身的特殊作用，高等几何知识与初等几何知识的沟通，为我们提供了解决初等几何的一些方法学好高等几何，就能在更高层面上认识几何学的基本特性，研究方法，内在联系，可以认识到几何学的本质，深化和发展几何空间概念，以便更深入地驾驭和掌握初等几何的内涵和外延。