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501第五章 线性系统的频域分析法5-1 设闭环系统稳定，闭环传递函数为)(s Φ，试根据频率特性的定义证明：系统输入信号为余弦函数)cos()(φω+=t A t r 时，系统的稳态输出为)](cos[|)(|)(ωφωωj t j A t c ss Φ∠++Φ=。
证明：根据三角定理，输入信号可表示为 )90sin()( ++=φωt A t r ，根据频率特性的定义，有 ]90)(sin[|)(|)( +Φ∠++Φ=ωφωωj t j A t c ss ， 根据三角定理，得证： )](cos[|)(|)(ωφωωj t j A t c ss Φ∠++Φ=。
5-2 若系统的单位阶跃响应t t e e t c 948.08.11)(--+-=，试确定系统的频率特性。
解：s s s s C 1361336)(2++=，361336)(2++=s s s G ，)9)(4(36)(ωωωj j j G ++=；2/122/12)81()16(36|)(|ωωω++=j G ，9arctan 4arctan )(ωωω--=∠j G 。
或：)(2.7)()(94t t e e t ct g ---== ；361336)]([)(2++==s s t g L s G ； 5-3 设系统如下图所示，试确定输入信号)452cos()30sin()(--+=t t t r作用下，系统的稳态误差)(t e ss 。
解：21)(++=Φs s s e ； )452sin()30sin()(+-+=t t t r6325.0|)(|=Φj e ， 4.186.2645)(=-=Φ∠j ；7906.0|)2(|=Φj e ， 4.18454.63)2(=-=Φ∠j ； 答案：)4.632sin(7906.0)4.48sin(6325.0)( +-+=t t t e ss 。
5-4 典型二阶系统的开环传递函数)2()(2n ns s s G ωζω+=， 当取t t r sin 2)(=时，系统的稳态输出为)45sin(2)( -=t t c ss ，试确定系统参数n ω和ζ。
第五章 线性系统的频域分析法单元测试题（C ）一、填空题：1、频率特性仅适用于 系统及元件2、 Bode 图的低频段特性完全由系统开环传递函数中的积分环节数和 决定。
3、二阶振荡环节的对数幅频渐进特性的高频段的斜率为 （db/dec ）。
4、当w 为增益的截止频率c w 时，幅值特性20lg|G （j c w ）|= 。
5、频率特性可以由微分方程或传递函数求得，还可以用____ _____方法测定。
6、一般来说,系统的相位裕量愈大，则超调量__ _；穿越频率愈大，则调节时间__ ______。
7、一个稳定的闭环系统，若它开环右半平面极点数为P ，则它的开环传递函数的Nyquist 曲线必 时针绕(－1, j0)点 周。
8、对于最小相位系统，其开环幅相特性曲线G(j w )在w ®∞时，总是以确定的角度收敛于复平面的 。
9、设系统的频率特性G(j w )=R(w ) +jI(w ),则相频特性Ð G(j w )= 。
10、频率特性可以由微分方程或传递函数求得，还可以 方法测定。
11、闭环频率特性的性能指标有零频值 、谐振峰值 和频带宽度 。
二、单项选择题 （在下列每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案，并将其字母标号填入题干的括号内。
）1、当ω从−∞→+∞变化时，惯性环节的极坐标图为一个( )。
A 位于第一象限的半圆B 位于第四象限的半圆C 整圆D 不规则曲线2、w 从0变化到+ ∝时，一阶不稳定环节频率特性的幅相特性极坐标图为（ ）A ．半圆B ．椭圆C ．圆D ．双曲线3、利用奈奎斯特图可以分析闭环控制系统的（ ）A ．稳态性能B ．稳态和动态性能C ．动态性能D ．抗扰性能4、下列频域性能指标中，反映闭环频域指标的是（ ）。
A ．谐振峰值MrB ．相位裕量gC ．模（或增益）裕量h (或G M )D ．截止频率c w5、某系统开环频率特性G （j w ）=2)1(2+w j ,当w =1 rad/s 时，其频率特性幅值A(1)=（ ） A ．2 B ．2 C ．1 D ．1/26、 ω从0变化到+∞时，延迟环节频率特性极坐标图为（ ）A ．圆B ．半圆C ．椭圆D ．双曲线7、设有一个单位反馈系统的开环传递函数为G （S ）=)1(+TS S K ，若要求带宽增加a 倍，相位裕量保持不变，则K 应变为（ ）A ． 3K aB ． K aC ．aKD ． 2aK 8、设开环系统频率特性3)1(4)(w w j j G +=，当w =1rad/s 时，其频率特性幅值 M （1）=（ ）A ．42 B ．24 C ．2 D ．22 9、设开环系统频率特性G （j w ）＝3)1(10w j +，则其频率特性相位移j （w ）=-180o 时，对应频率w 为（ ）。
线性系统的频域分析法【课后自测】5-1 频率特性有哪几种分类方法？解：幅频特性，相频特性，实频特性和虚频特性。
5-2 采用半对数坐标纸有哪些优点？解：可以简化频率特性的绘制过程，利用对数运算可以将幅值的乘除运算化为加减运算，并可以用简单的方法绘制近似的对数幅频特性曲线。
5-3 从伯德图上看，一个比例加微分的环节与一个比例加积分的环节串联，两者是否有可能相抵消。
若系统中有一个惯性环节使系统性能变差，那再添加一个怎样的环节（串联）可以完全消除这种影响，它的条件是什么？解：一个比例加微分的环节与一个比例加积分的环节串联，两者是有可能相抵消；。
若系统中有一个惯性环节使系统性能变差，那再添加一个一阶微分环节（串联）可以完全消除这种影响，两个环节的时间常数相同即可。
5-5 为什么要求在ωc 附近L (ω)的斜率为-20dB/dec ？解：目的是保证系统稳定性，若为-40 dB/dec ，则所占频率区间不能过宽，否则系统平稳性将难以满足；若该频率更负，闭环系统将难以稳定，因而通常取-20dB/dec 。
5-6 已知放大器的传递函数为()1K G s Ts =+ 并测得ω=1 rad/s、幅频A =φ=-π/4。
试问放大系数K 及时间常数T 各为多少？解：频率特性为：G (jω)=KjωT +1幅频和相频分别为：{|G （j1）|=√1+T2=12√2⁄φ(1)=−arctanT =−π4⁄ 得到：K =12，T =15-7 当频率ω1=2 rad/s 、ω2=20 rad/s 时， 试确定下列传递函数的幅值和相角： 1210(1)1(2)(0.11)G s G s s ==+解：（1）G 1(jω)=10jω=-j 10ω|G 1(jω)|=10ωφ1(ω)=−90°ω1=2 rad/s 时，|G 1(jω)|=102=5 ，φ1(ω)=−90° ω1=20 rad/s 时，|G 1(jω)|=1020=0.5 ，φ1(ω)=−90° （2）G 2(jω)=1jω(0.1jω+1)=1jω-0.1ω2|G 2(jω)|=ω√1+0.01ω2φ2(ω)=arctan 10ωω1=2 rad/s 时，|G 2(jω)|=12√1+0.01×22=0.49φ2(ω)=arctan 102=78.7°ω1=20 rad/s 时，|G 2(jω)|=120√1+0.01×202=0.02φ2(ω)=arctan 1020=26.6°5-8 设单位反馈系统的传递函数为10()1G s s =+ 当把下列信号作用在系统输入端时，求系统的稳态输出。
第五章 线性系统的频域分析法单元测试题（A ）一、填空题：1、用频域法分析控制系统时，最常用的典型输入信号是_ __。
2、控制系统中的频率特性反映了 信号作用下系统响应的性能。
3、已知传递函数ss G 10)(=，其对应的幅频特性A(ω)=_ _，相频特性φ(ω)=___ ___。
4、常用的频率特性图示方法有极坐标图示法和_ _图示法。
5、对数频率特性曲线由对数 曲线和对数 曲线组成，是工程中广泛使用的一组曲线。
6、0型系统Bode 图幅频特性的低频段是一条斜率为 的直线。
7、I 型系统Bode 图幅频特性的低频段是一条斜率为 的直线。
8、Ⅱ型系统Bode 图幅频特性的低频段是一条斜率为 的直线。
9、除了比例环节外，非最小相位环节和与之相对应的最小相位环节的区别在于 。
10、传递函数互为倒数的典型环节，对数幅频曲线关于 0dB 线对称，对数相频曲线关于 线对称。
11、惯性环节的对数幅频渐进特性曲线在交接频率处误差最大，约为 。
12、开环幅相曲线的起点，取决于 和系统积分或微分环节的个数。
13、开环幅相曲线的终点，取决于开环传递函数分子、分母多项式中 和 的阶次和。
14、当系统的多个环节具有相同交接频率时，该交接频率点处斜率的变化应为各个环节对应的斜率变化值的 。
15、复变函数F(s)的零点为闭环传递函数的 ，F(s)的极点为开环传递函数的 。
16、系统开环频率特性上幅值为1时所对应的角频率称为 。
17、系统开环频率特性上相位等于-1800时所对应的角频率称为 。
18、延时环节的奈氏曲线为一个 。
19、w 从0变化到＋¥时，惯性环节的频率特性极坐标图在__ _象限，形状为___ ___。
20、比例环节的对数幅频特性L(w )＝ dB二、单项选择题 （在下列每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案，并将其字母标号填入题干的括号内。
）1、用频域法分析控制系统时，最常用的典型输入信号是( )。
自动控制原理卢京潮主编课后习题答案西北工业大学出版社SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#第五章 线性系统的频域分析与校正习题与解答5-1 试求题5-75图(a)、(b)网络的频率特性。
(a) (b)图5-75 R-C 网络解 （a)依图：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+==+=++=++=2121111212111111221)1(11)()(R R C R R T C R RR R K s T s K sC R sC R R R s U s U r c ττ (b)依图：⎩⎨⎧+==++=+++=C R R T CR s T s sCR R sC R s U s U r c)(1111)()(2122222212ττ 5-2 某系统结构图如题5-76图所示，试根据频率特性的物理意义，求下列输入信号作用时，系统的稳态输出)(t c s 和稳态误差)(t e s（1） t t r 2sin )(=（2） )452cos(2)30sin()(︒--︒+=t t t r 解 系统闭环传递函数为: 21)(+=Φs s 图5-76 系统结构图 频率特性: 2244221)(ωωωωω+-++=+=Φj j j 幅频特性: 241)(ωω+=Φj相频特性: )2arctan()(ωωϕ-=系统误差传递函数: ,21)(11)(++=+=Φs s s G s e 则 )2arctan(arctan )(,41)(22ωωωϕωωω-=++=Φj j e e（1）当t t r 2sin )(=时, 2=ω，r m =1则 ,35.081)(2==Φ=ωωj 45)22arctan()2(-=-=j ϕ （2） 当 )452cos(2)30sin()(︒--︒+=t t t r 时: ⎩⎨⎧====2,21,12211m m r r ωω5-3 若系统单位阶跃响应 试求系统频率特性。
第五章习题参考答案5.1 题5.1的图所示的是三相四线制电路，电源线电压l U ＝380V 。
三个电阻性负载接成星形，其电阻为1R =11Ω，2R =3R =22Ω。
(1)试求负载相电压、相电流及中性线电流，并作出它们的相量图；(2)如无中性线，求负载相电压及中性点电压；(3)如无中性线，当L1相短路时求各相电压和电流，并作出它们的相量图；(4)如无中性线，当L3相断路时求另外两相的电压和电流；(5)在(3)，(4)中如有中性线，则又如何?1L 2L 3L N题5.1的图解： ○1各相负载两端电压都等于电源相电压，其值为：V V U U l P22033803===。
各负载相电流分别为：()()AI I I I I I A R UI A R U I A R U I N P P P 1030cos 30cos 30sin 30sin 10,10,202232132332211=︒-︒++︒-︒-=======相量图如图（b ）所示。
○2因为三相电源对称，而三相负载不对称时，由于无中性线，将使电源和负载中点之间的电位差不为零，而产生中性点位移。
设 V U U ︒∠=011 ()()()V V U U U V V U U U VV U U U V V R R R R U R U R U U NN N N N N N N ︒∠=︒∠-︒∠=-=︒-∠=︒∠-︒-∠=-=︒∠=︒∠-︒∠=-=︒∠=++︒∠+︒-∠+︒∠=++++=131252055120220131252055120220016505502200552212211112212022022120220110220111''''3'32'21'1321332211○3若无中性线，1L 相短路，此时电路如图（c ）所示，此时1L 相的相电压01=U ，2L 相、3L 相的相电压分别等于2L 、1L 之间、3L 、1L 之间的线电压，所以有：V U U V U U ︒∠==︒-∠=-=150380,150380313122 各相电流为：()()A A I I IV R U I VR U I ︒∠=︒∠+︒-∠-=+-=︒∠==︒-∠==0301503.171503.171503.171503.17321333222 相量图如图（d ）所示○4若无中线，3L 相断路，电路如图（e ）所示，1L ，2L 两相成了串联电路： V V R I UV V R I U AA R R U I I ︒∠=⨯︒∠=∙=︒∠=⨯︒∠=∙=︒∠=+︒∠=+==3025322305.113012711305.11305.11221130380222111211221 ○5当有中性线，1L 相短路或3L 相断路，其他相电压、电流均保持不变。
第五章 线性系统的频域分析与校正习题与解答5-1 试求题5-75图(a)、(b)网络的频率特性。
u rR 1u cR 2CCR 2R 1u ru c(a) (b)图5-75 R-C 网络解 （a)依图：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+==+=++=++=2121111212111111221)1(11)()(R R C R R T C R RR R K s T s K sCR sC R R R s U s U r c ττ ωωτωωωωω11121212121)1()()()(jT j K C R R j R R C R R j R j U j U j G r c a ++=+++==(b)依图：⎩⎨⎧+==++=+++=C R R T CR s T s sCR R sCR s U s U r c)(1111)()(2122222212ττ ωωτωωωωω2221211)(11)()()(jT j C R R j C R j j U j U j G r c b ++=+++==5-2 某系统结构图如题5-76图所示，试根据频率特性的物理意义，求下列输入信号作用时，系统的稳态输出)(t c s 和稳态误差)(t e s （1） t t r 2sin )(=（2） )452cos(2)30sin()(︒--︒+=t t t r 解 系统闭环传递函数为: 21)(+=Φs s 图5-76 系统结构图频率特性: 2244221)(ωωωωω+-++=+=Φj j j 幅频特性: 241)(ωω+=Φj相频特性: )2arctan()(ωωϕ-=系统误差传递函数: ,21)(11)(++=+=Φs s s G s e 则 )2arctan(arctan )(,41)(22ωωωϕωωω-=++=Φj j e e（1）当t t r 2sin )(=时, 2=ω，r m =1则 ,35.081)(2==Φ=ωωj ο45)22arctan()2(-=-=j ϕο4.1862arctan )2(,79.085)(2====Φ=j j e e ϕωω )452sin(35.0)2sin()2(οο-=-Φ=t t j r c m ss ϕ)4.182sin(79.0)2sin()2(ο+=-Φ=t t j r e e e m ss ϕ （2） 当 )452cos(2)30sin()(︒--︒+=t t t r 时: ⎩⎨⎧====2,21,12211m m r r ωωο5.26)21arctan()1(45.055)1(-=-===Φj j ϕ ο4.18)31arctan()1(63.0510)1(====Φj j e e ϕ )]2(452cos[)2()]1(30sin[)1()(j t j r j t j r t c m m s ϕϕ+-⋅Φ-++⋅Φ=οο)902cos(7.0)4.3sin(4.0οο--+=t t)]2(452cos[)2()]1(30sin[)1()(j t j r j t j r t e e e m e e m s ϕϕ+-⋅Φ-++⋅Φ=οο )6.262cos(58.1)4.48sin(63.0οο--+=t t5-3 若系统单位阶跃响应 )0(8.08.11)(94≥+-=--t e e t h tt试求系统频率特性。
解 ss R s s s s s s s C 1)(,)9)(4(3698.048.11)(=++=+++-=则 )9)(4(36)()()(++=Φ=s s s s R s C 频率特性为 )9)(4(36)(++=Φωωωj j j5-4 绘制下列传递函数的幅相曲线： ()()/1G s K s = ()()/22G s K s = ()()/33G s K s = 解 ()()()12G j K j K e j ==-+ωωπω=→∞00,()G j ω→∞∞=,()G j 0 ϕωπ()=-2幅频特性如图解5-4(a)。
()()()()222G j Kj Ke j ωωωπ==-ω=→∞00,()G j ω→∞∞=,()G j 0 ϕωπ()=-幅频特性如图解5-4(b)。
()()()()33332G j K j K e j ωωωπ==- 图解5-4ω=→∞00,()G j ω→∞∞=,()G j 0 ϕωπ()=-32幅频特性如图解5-4(c)。
5-5 已知系统开环传递函数)15.0)(12(10)()(2+++=s s s s s H s G试分别计算 5.0=ω 和2=ω 时开环频率特性的幅值)(ωA 和相角)(ωϕ。
解 )5.01)((21(10)()(2ωωωωωωj j j j H j G +-+=2222)5.0()1()2(110)(ωωωωω+-+=A215.0arctan 2arctan 90)(ωωωωϕ---︒-= 计算可得 ⎩⎨⎧︒-==435.153)5.0(8885.17)5.0(ϕA ⎩⎨⎧︒-==53.327)2(3835.0)2(ϕA5-6 试绘制下列传递函数的幅相曲线。
(1) G s s s ()()()=++52181(2) G s s s ()()=+1012解 (1) G j ()()()ωωω=-+511610222∠=--=-----G j tg tg tg ()ωωωωω11122810116取ω为不同值进行计算并描点画图，可以作出准确图形 三个特殊点： ① ω=0时， 00)(,5)(=∠=ωωj G j G ② ω=0.25时, ︒-=∠=90)(,2)(ωωj G j G③ ω=∞时, 0180)(,0)(-=∠=ωωj G j G幅相特性曲线如图解5-6（1）所示。
图解5-6（1）Nyquist 图 图解5-6（2） Nyquist 图(2) G j ()ωωω=+10122∠=--G j tg ()ωω10180两个特殊点： ① ω=0时， G j G j (),()ωω=∞∠=-1800② ω=∞时, G j G j (),()ωω=∠=-0900幅相特性曲线如图解5-6（2）所示。
5-7 已知系统开环传递函数 )1()1()(12++-=s T s s T K s G ； 0,,21>T T K当1=ω时，︒-=∠180)(ωj G ，5.0)(=ωj G ；当输入为单位速度信号时，系统的稳态误差1。
试写出系统开环频率特性表达式)(ωj G 。
解 )1()1()(12+--=s T s s T K s G先绘制)1()1()(120+-=s T s s T K s G 的幅相曲线，然后顺时针转180°即可得到)(ωj G 幅相曲线。
)(0s G 的零极点分布图及幅相曲线分别如图解5-7(a)、(b)所示。
)(s G 的幅相曲线如图解5-7(c)所示。
依题意有： K s sG K s v==→)(lim 0， 11==K e ssv ，因此1=K 。
︒-=-︒--=∠180arctan 90arctan )1(12T T j G︒=-+=+901arctan arctan arctan 212121T T TT T T121=T T另有： 5.01)(1)(11)1)(1()1(22212221212112=++=++--=+--=T T T T T T j T T T jT jT j G 021221222221222=-+-=-+-T T T T T T0)2)(1(2222222232=-+=-+-T T T T T可得： 22=T ，5.0121==T ，1=K 。
所以： )5.01(21)(ωωωωj j j j G +-=5-8 已知系统开环传递函数 )1)(1(10)(2++=s s s s G 试概略绘制系统开环幅相频率特性曲线。
解 )(ωj G 的零极点分布图如图解5 -8(a)所示。
∞→=0ω变化时，有︒-∞∠=+90)0(j G ︒-∞∠=-135)1(j G ︒∞∠=+315)1(G︒-∠=∞3600)(j G分析s 平面各零极点矢量随∞→=0ω的变化趋势，可以绘出开环幅相曲线如图解5-8(b)所示。
5-9 绘制下列传递函数的渐近对数幅频特性曲线。
(1) G s s s ()()()=++22181；(2) G s s s s ()()()=++20011012；(3) G s s s s s s ()(.)(.)()=++++40050212(4) G s s s s s s s ()()()()()=+++++20316142510122(5) G s s s s s s s ()(.)()()=+++++801142522解 (1) G ss s()()()=++22181图解5-9（1） Bode 图 Nyquist 图(2) G s s s s ()()()=++20011012图解5-9（2） Bode 图 Nyquist 图(3) )1)(12.0()12(100)1)(2.0()5.0(40)(22++++=++++=s s s s s s s s s s s G图解5-9（3） Bode图 Nyquist图(4) G ss s s ss s()()()()()=+++++20316142510122)110(12545)16()13(2520)(22+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++⎪⎭⎫⎝⎛++=sssssssG图解5-9（4） Bode图 Nyquist图(5) ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+=+++++125451)1(11.01258.0)254)(1()1.0(8)(2222s s s s s s s s s s s s s G图解5-9（5） Bode 图 Nyquist 图5-10 若传递函数G s Ks G s v()()=0 式中，)(0s G 为)(s G 中，除比例和积分两种环节外的部分。
试证 ω11=K v式中，1ω为近似对数幅频特性曲线最左端直线（或其延长线）与0dB 线交点的频率，如图5－77所示。
证 依题意，G(s)近似对数频率曲线最左端直线(或其延长线)对应的传递函数为v sK 。
题意即要证明v sK的对数幅频曲线与0db 交点处的频率值ω11=K v 。
因此，令)(lg20=vj K ω，可得Kv ω11=, 故 ωω111v vK K =∴=,，证毕。
5-11 三个最小相角系统传递函数的近似对数幅频特性曲线分别如图5-78(a)、(b)和(c)所示。
要求：（1）写出对应的传递函数；（2）概略绘制对应的对数相频特性曲线。
图 5－78 5－11题图解 (a) 依图可写出：G s K ss()()()=++ωω1211其中参数：db L K 40)(lg 20==ω，100=K则： G s s s ()()()=++100111112ωω图解5-11（a） Bode图 Nyquist图(b) 依图可写出G sKss s()()()=++ωω12211KC==ωωω21图解5-11（b） Bode图 Nyquist图 (c) G sK ss s()()()=⋅++ωω2311200111lg,K Kωω==图解5-11（c） Bode图 Nyquist图5-12 已知)(1s G 、)(2s G 和)(3s G 均为最小相角传递函数，其近似对数幅频特性曲线如图5-79所示。
