选修2-2第2章第3节 数学归纳法(理)(学案含答案)
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2.3 数学归纳法 2.3.1 数学归纳法 2.3.2 数学归纳法应用举例数学归纳法 数学归纳法的定义一个与自然数相关的命题,如果(1)当n 取第一个值n 0时命题成立; (2)在假设当n =k (k ∈N +,且k ≥n 0)时命题也成立的前提下,推出当n =k +1时命题也成立,那么可以断定,这个命题对n 取第一个值后面的所有正整数成立.1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)与正整数n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.( ) (2)数学归纳法的第一步n 0的初始值一定为1. ( ) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可. ( )[答案] (1)× (2)× (3)√2.用数学归纳法证明:首项是a 1,公差是d 的等差数列的前n 项和公式是S n =na 1+n (n -1)2d 时,假设当n =k 时,公式成立,则S k =( )A .a 1+(k -1)d B.k (a 1+a k )2C .ka 1+k (k -1)2dD .(k +1)a 1+k (k +1)2d[解析] 假设当n =k 时,公式成立,只需把公式中的n 换成k 即可,即S k =ka 1+k (k -1)2d .[答案] C3.下列说法正确的是________.(填序号)①数学归纳法主要用于研究与正整数有关的数学问题,但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法证明;②证明当n =k +1时命题成立用到归纳假设,即n =k (k ≥n 0,k ∈N *)时命题成立;③不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n =k 到n =k +1时,项数都增加了一项.[答案] ①②【例1】 (1)用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n +3)=2(n ∈N +)时,第一步验证n =1时,左边应取的项是( )A .1B .1+2C .1+2+3D .1+2+3+4(2)用数学归纳法证明(n +1)·(n +2)·…·(n +n )=2n ×1×3×…×(2n -1)(n ∈N+),“从k 到k +1”左端增乘的代数式为__________. [解析] (1)当n =1时,左边应为1+2+3+4,故选D.(2)令f (n )=(n +1)(n +2)…(n +n ),则f (k )=(k +1)·(k +2)…(k +k ),f (k +1)=(k +2)(k +3)…(k +k )(2k +1)(2k +2),所以f (k +1)f (k )=(2k +1)(2k +2)k +1=2(2k+1).[答案](1)D(2)2(2k+1)数学归纳法证题的三个关键点1.验证是基础找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定是1.2.递推是关键数学归纳法的实质在于递推,所以从“k”到“k+1”的过程中,要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律,弄清由n=k到n=k+1时,等式的两边会增加多少项、增加怎样的项.3.利用假设是核心在第二步证明n=k+1成立时,一定要利用归纳假设,即必须把归纳假设“n =k时命题成立”作为条件来导出“n=k+1”,在书写f(k+1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k)中的最后一项,这是数学归纳法的核心,不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.1.下面四个判断中,正确的是()A.式子1+k+k2+…+k n(n∈N+)中,当n=1时,式子的值为1B.式子1+k+k2+…+k n-1(n∈N+)中,当n=1时,式子的值为1+kC.式子1+12+13+…+12n+1(n∈N+)中,当n=1时,式子的值为1+12+13D.设f(n)=1n+1+1n+2+…+13n+1(n∈N+),则f(k+1)=f(k)+13k+2+13k+3+13k+4[解析]A中,n=1时,式子=1+k;B中,n=1时,式子=1;C中,n=1时,式子=1+12+13;D中,f(k+1)=f(k)+13k+2+13k+3+13k+4-1k+1.故正确的是C. [答案] C【例2】(1)用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+…+1n+n>1324(n≥2,n∈N+)的过程中,由n=k推导n=k+1时,不等式的左边增加的式子是__________.(2)证明:不等式1+12+13+…+1n<2n(n∈N+).[思路探究](1)写出当n=k时左边的式子,和当n=k+1时左边的式子,比较即可.(2)在由n=k到n=k+1推导过程中利用放缩法,在利用放缩时,注意放缩的度.[解析](1)当n=k+1时左边的代数式是1k+2+1k+3+…+12k+1+12k+2,增加了两项12k+1与12k+2,但是少了一项1k+1,故不等式的左边增加的式子是12k+1+1 2k+2-1k+1=1(2k+1)(2k+2).[答案]1(2k+1)(2k+2)(2)证明:①当n=1时,左边=1,右边=2,左边<右边,不等式成立.②假设当n=k(k≥1且k∈N+)时,不等式成立,即1+12+13+…+1k <2k .则当n =k +1时, 1+12+13+ (1)+1k +1<2k +1k +1=2k ·k +1+1k +1<(k )2+(k +1)2+1k +1=2(k +1)k +1=2k +1.∴当n =k +1时,不等式成立.由①②可知,原不等式对任意n ∈N +都成立.试用数学归纳法证明上例用数学归纳法证明不等式应注意的2个问题1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时,应用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法.2.用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立,推证n=k+1时也成立,证明时运用归纳假设后,可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明.运用放缩法时,要注意放缩的“度”.【例3】已知数列{a n}的前n项和为S n,其中a n=S nn(2n-1)且a1=13.(1)求a2,a3;(2)猜想数列{a n}的通项公式,并证明.[思路探究](1)令n=2,3可分别求a2,a3.(2)根据a1,a2,a3的值,找出规律,猜想a n,再用数学归纳法证明.[解](1)a2=S22(2×2-1)=a1+a26,a1=13,则a2=115,类似地求得a3=1 35.(2)由a1=11×3,a2=13×5,a3=15×7,…,猜得:a n=1(2n-1)(2n+1).证明:①当n=1时,由(1)可知等式成立;②假设当n=k时猜想成立,即a k=1(2k-1)(2k+1),那么,当n=k+1时,由题设a n=S nn(2n-1),得a k=S kk(2k-1),a k+1=S k+1(k+1)(2k+1),所以S k=k(2k-1)a k=k(2k-1)1(2k-1)(2k+1)=k2k+1,S k+1=(k+1)(2k+1)a k+1,a k+1=S k+1-S k=(k+1)(2k+1)a k+1-k2k+1.因此,k(2k+3)a k+1=k2k+1,所以a k+1=1(2k+1)(2k+3)=1[2(k+1)-1][2(k+1)+1].这就证明了当n=k+1时命题成立.由①②可知命题对任何n∈N+都成立.1.“归纳—猜想—证明”的一般环节2.“归纳—猜想—证明”的主要题型(1)已知数列的递推公式,求通项或前n项和.(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题,求使命题成立的参数值是否存在.(3)给出一些简单的命题(n=1,2,3,…),猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题.2.已知函数y=f(n)(n∈N+),设f(1)=2,且任意的n1,n2∈N+,有f(n1+n2)=f(n1)·f(n2).(1)求f(2),f(3),f(4)的值;(2)试猜想f(n)的解析式,并用数学归纳法给出证明.[解](1)因为f(1)=2,f(n1+n2)=f(n1)·f(n2),所以f(2)=f(1+1)=f(1)·f(1)=22=4,f(3)=f(2+1)=f(2)·f(1)=22·2=23=8.f(4)=f(3+1)=f(3)·f(1)=23·2=24=16.(2)猜想:f(n)=2n(n∈N+).用数学归纳法证明如下:①当n=1时,f(1)=21=2,所以猜想正确.②假设当n=k(k≥1,k∈N+)时猜想正确,即f(k)=2k,那么当n=k+1时,f(k+1)=f(k)·f(1)=2k·2=2k+1,所以,当n=k+1时,猜想正确.由①②知,对任意的n∈N+,都有f(n)=2n.1.数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1?提示:不一定,如证明n边形的内角和为(n-2)·180°时,第一个值为n0=3.2.数学归纳法两个步骤之间有怎样的联系?提示:第一步是验证命题递推的基础,第二步是论证命题递推的依据,这两个步骤缺一不可,只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断,可能得出不正确的结论.因为单靠步骤(1),无法递推下去,即n取n0以后的数列命题是否正确,我们无法判定,同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时,也可能得出不正确的结论,缺少步骤(1)这个基础,假设就失去了成立的前提,步骤(2)也就没有意义了.【例4】用数学归纳法证明:n3+(n+1)3+(n+2)3能被9整除(n∈N).+[思路探究]在第二步时注意根据归纳假设进行拼凑.[解](1)当n=1时,13+23+33=36能被9整除,所以结论成立;(2)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时结论成立,即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除.则当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=[k3+(k+1)3+(k+2)3]+[(k+3)3-k3]=[k3+(k+1)3+(k+2)3]+9k2+27k+27=[k3+(k+1)3+(k+2)3]+9(k2+3k+3).因为k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,9(k2+3k+3)也能被9整除,所以(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3也能被9整除,即n=k+1时结论也成立.由(1)(2)知命题对一切n∈N+成立.与正整数有关的整除性问题常用数学归纳法证明,证明的关键在于第二步中,根据归纳假设,将n=k+1时的式子进行增减项、倍数调整等变形,使之能与归纳假设联系起来.3.用数学归纳法证明“n 3+5n 能被6整除”的过程中,当n =k +1时,对式子(k +1)3+5(k +1)应变形为__________.[解析] 由n =k 成立推证n =k +1成立时必须用上归纳假设,∴(k +1)3+5(k +1)=(k 3+5k )+3k (k +1)+6.[答案] (k 3+5k )+3k (k +1)+61.用数学归纳法证明“凸n 边形的内角和等于(n -2)π”时,归纳奠基中n 0的取值应为( )A .1B .2C .3D .4[解析] 边数最少的凸n 边形为三角形,故n 0=3. [答案] C2.用数学归纳法证明1+a +a 2+…+a n +1=1-a n +21-a(n ∈N +,a ≠1),在验证n=1成立时,左边所得的项为( )A .1B .1+a +a 2C .1+aD .1+a +a 2+a 3[解析] 当n =1时,n +1=2,故左边所得的项为1+a +a 2. [答案] B3.用数学归纳法证明关于n 的恒等式时,当n =k 时,表达式为1×4+2×7+…+k (3k +1)=k (k +1)2,则当n =k +1时,表达式为________.[解析] 当n =k +1时,应将表达式1×4+2×7+…+k (3k +1)=k (k +1)2中的k 更换为k +1.[答案] 1×4+2×7+…+k (3k +1)+(k +1)(3k +4)=(k +1)(k +2)24.以下是用数学归纳法证明“n ∈N +时,2n >n 2”的过程,证明:(1)当n =1时,21>12,不等式显然成立.(2)假设当n=k(k∈N+)时不等式成立,即2k>k2.那么,当n=k+1时,2k+1=2×2k=2k+2k>k2+k2≥k2+2k+1=(k+1)2.即当n=k+1时不等式也成立.根据(1)和(2),可知对任何n∈N+不等式都成立.其中错误的步骤为________(填序号).[解析]在2k+1=2×2k=2k+2k>k2+k2≥k2+2k+1中用了k2≥2k+1,这是一个不确定的结论.如k=2时,k2<2k+1.[答案](2)5.用数学归纳法证明:对于任意正整数n,(n2-1)+2(n2-22)+…+n(n2-n2)=n2(n-1)(n+1)4.[证明](1)当n=1时,左边=12-1=0,右边=12×(1-1)×(1+1)4=0,所以等式成立.(2)假设当n=k(k∈N+)时等式成立,即(k2-1)+2(k2-22)+…+k(k2-k2)=k2(k-1)(k+1)4.那么当n=k+1时,有[(k+1)2-1]+2[(k+1)2-22]+…+k·[(k+1)2-k2]+(k+1)[(k+1)2-(k+1)2]=(k2-1)+2(k2-22)+…+k(k2-k2)+(2k+1)(1+2+…+k)=k2(k-1)(k+1)4+(2k+1)k(k+1)2=14k(k+1)[k(k-1)+2(2k+1)]=14k(k+1)(k2+3k+2)=(k+1)2[(k+1)-1][(k+1)+1]4.所以当n=k+1时等式成立.由(1)(2)知,对任意n∈N+等式成立.。
高中选修2-2 2.3《数学归纳法》教学设计一、教材分析数学归纳法是一种重要的数学证明方法, 在高中数学内容中占有重要的地位, 其中体现的数学思想方法对学生进一步学习数学、领悟数学思想至关重要.数学归纳法的证明过程中展现的推理和逻辑思维让学生体会到数学的严谨和规范.学习数学归纳法后学生对等差等比数列、数列求和、二项式定理、整除问题等问题的解决有了新的方法.首先, 我们需要初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法, 即不完全归纳法, 这是研究数学问题, 猜想或发现数学规律的重要手段.但是, 由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确, 这种推理方法不能作为一种论证方法.因此, 在不完全归纳法的基础上, 必须进一步学习严谨的科学的论证方法——数学归纳法, 这是促进思维从有限性发展到无限性的一个重要环节, 掌握数学归纳法的证明过程是培养严密的推理能力、训练抽象思维能力、体验数学内在美的好素材.二、教学目标1. 知识目标(1)了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确, 初步理解数学归纳法原理.(2)能以递推思想为指导, 理解数学归纳法证明数学命题的两个步骤一个结论.(3)初步会用数学归纳法证明一些与正整数相关的简单的恒等式.2.能力目标(1)通过对数学归纳法的学习, 使学生初步掌握观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力.(2)进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力, 让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想.(3)在学习中培养学生大胆猜想, 小心求证的辨证思维素质以及发现问题、提出问题的意识和数学交流的能力.3.情感目标(1)通过对数学归纳法原理的探究, 亲历知识的构建过程, 领悟其中所蕴含的数学思想和辨正唯物主义观点.(2)体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐, 感悟数学的内在美, 激发学生学习热情, 使学生喜欢数学.(3)学生通过置疑与探究, 初步形成正确的数学观, 创新意识和严谨的科学精神.三、教学重点与难点1. 教学重点借助具体实例了解数学归纳法的基本思想, 掌握它的基本步骤, 运用它证明一些与正整数有关的简单恒等式, 特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用.2. 教学难点(1 如何理解数学归纳法证题的严密性和有效性.(2)递推步骤中如何利用归纳假设, 即如何利用假设证明当时结论正确.四、教学方法本节课采用类比启发探究式教学方法, 以学生及其发展为本, 一切从学生出发.在教师组织启发下, 通过创设问题情境, 激发学习欲望.师生之间、学生之间共同探究多米诺骨牌倒下的原理, 并类比多米诺骨牌倒下的原理, 探究数学归纳法的原理、步骤;培养学生归纳、类比推理的能力, 进而应用数学归纳法, 证明一些与正整数有关的简单数学命题;提高学生的应用能力, 分析问题、解决问题的能力.既强调独立思考, 又提倡团结合作;既重视教师的组织引导, 又强调学生的主体性、主动性、平等性、交流性、开放性和合作性.五、教学过程(一)创设情境, 提出问题情景一: 明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话: 财主的儿子学写字.这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论, 用的就是“归纳法”, 不过, 这个归纳推出的结论显然是错误的.情境二:平面内三角形内角和是, 四边形内角和是, 五边形内角和是, 于是得出:凸边形内角和是 .情境三: 数列的通项公式为可以求得于是猜想出数列的通项公式为.情景四:粉笔盒中有10支白色粉笔, 怎么证明它们是白色的呢?结论: 情景一到情景三都是由殊事例得出的一般性结论, 即不完全归纳法不一定正确.因此,它不能作为一种论证方法, 情景四是完全归纳法, 结论可靠但要一一核对,工作量大.提出问题: 如何寻找一个科学有效的方法证明结论的正确性呢?我们本节课要学习的数学归纳法就是解决这一问题的方法之一.(二)实验演示, 探索解决问题的方法① 1. 几何画板演示动画多米诺骨牌游戏, 师生共同探讨: 要让这些骨牌全部倒②下, 必须具备哪些条件呢③第一块骨牌必须倒下.两块连续的骨牌, 当前一块倒下一定导致后一块倒下.可以看出, 条件②事实上给出了一个递推关系: 当第块倒下时, 相邻的第块也倒下.这样, 只要第1块倒下, 其他所有的就能够相继倒下.无论多少块, 只要①②成立, 那么所有的骨牌一定可以全部倒下.演示小节: 数学归纳法原理就如同多米诺骨牌一样.2. 数学归纳法原理证明一个与正整数 有关的命题, 可按下列步骤进行:(1) (归纳奠基) 当n 取第一个值0n (*0n ∈)时命题成立;(2) (归纳递推)假设当 时命题成立, 证明当 时命题也成立.只要完成这两个步骤, 就可以断定命题对从 开始的所有正整数 都成立. 上述证明方法称为数学归纳法.主要有两个步骤、一个结论: 其中第一步是递推的基础, 解决了特殊性;第二步是递推的依据, 解决了从有限到无限的过渡.这两步缺一不可.只有第一步, 属不完全归纳法;只有第二步, 假设就失去了基础.(注:数学归纳法是证明与自然数有关的数学命题的重要方法.在用数学归纳法证题时注意以下三句话“递推基础不可少, 归纳假设要用到, 结论写明莫忘掉.”)(三)迁移应用, 理解升华例1 用数学归纳法证明:如果 是一个等差数列, 那么 对于一切 都成立.证明: (1)当1n = 时,左边1,a = 右边()1111,a d a =+-=结论成立(2)假设当 时结论成立, 即则当1n k =+ 1k k a a d +=+ ()11a k d d =+-+ ()1[11]a k d =++-当 时, 结论也成立.由(1)和(2)知,等式对于任何*n ∈都成立.例2 已知数列{}n a 其通项公式为21,n a n =-试猜想该数列的前n 项和公式,n S 并用数学归纳法证明你的结论. 用假设凑结论解: (1)323459S S a =+=+= 4349716S S a =+=+=(2) 猜想2,n S n =问题转化为证明213521.n n ++++-=证明:(1) 当1n =时,左边=1,右边=1,等式是成立的.(2) 假设当 时等式成立, 即有()213521k k ++++-= 则当1n k =+,有()()()()22213521[211][211]211k k k k k k k ++++-++-=++-=++=+因此, 当 时, 等式也成立由(1)和(2)知,等式对于任何*n ∈都成立.(四)反馈练习, 巩固提高课堂练习:课本第95页练习1, 2(五)课堂小结: 让学生归纳本节课所学内容, 不足的老师补充.1.归纳法是一种由特殊到一般的推理方法2.数学归纳法作为一种证明方法,它的基本思想是递推思想,证明程序为,两 个步骤一个结论.3数学归纳法的科学性: 基础正确, 可传递.用有限的步骤证明无限的结论.(六)布置作业课本第96页习题 2.3 A 组1.2.。
新课程标准数学选修2—2第二章课后习题解答第二章 推理与证明2.1合情推理与演绎推理 练习(P77)1、由12341a a a a ====,猜想1n a =.2、相邻两行数之间的关系是:每一行首尾的数都是1,其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和.3、设111O P Q R V -和222O P QR V -分别是四面体111O P Q R -和222O P Q R -的体积,则111222111222O P Q R O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=⋅⋅. 练习(P81) 1、略.2、因为通项公式为n a 的数列{}n a ,若1n na p a +=,其中p 是非零常数,则{}n a 是等比数列; ……………………大前提又因为0cq ≠,则0q ≠,则11n n nna cqq a cq++==; ……………………………小前提所以,通项公式为(0)n n a cq cq =≠的数列{}n a 是等比数列. ……………………结论 3、由AD BD >,得到A C D B C D ∠>∠的推理是错误的. 因为这个推理的大前提是“在同一个三角形中,大边对大角”,小前提是“AD BD >”,而A D 与B D 不在同一个三角形中. 习题2.1 A 组(P83) 1、21n a n =+()n N *∈.2、2F V E +=+.3、当6n ≤时,122(1)n n -<+;当7n =时,122(1)n n -=+;当8n =时,122(1)n n ->+()n N *∈.4、212111(2)nnA A A n π++≥-(2n >,且n N *∈).5、121217n n b b b b b b -= (17n <,且n N *∈).6、如图,作D E ∥A B 交B C 于E .因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形, 又因为A D ∥B E ,A B ∥D E . 所以四边形A B E D 是平行四边形. 因为平行四边形的对边相等.又因为四边形A B E D 是平行四边形. 所以AB D E =.(第6题)因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等,又因为AB D E =,A B D C =, 所以D E D C = 因为等腰三角形的两底角是相等的.又因为△D E C 是等腰三角形, 所以D EC C ∠=∠ 因为平行线的同位角相等又因为D E C ∠与B ∠是平行线A B 和D E 的同位角, 所以D E C B ∠=∠ 因为等于同角的两个角是相等的,又因为D EC C ∠=∠,D E C B ∠=∠, 所以B C ∠=∠ 习题2.1 B 组(P84) 1、由123S =-,234S =-,345S =-,456S =-,567S =-,猜想12n n S n +=-+.2、略.3、略. 2.2直接证明与间接证明 练习(P89)1、因为442222cos sin (cos sin )(cos sin )cos 2θθθθθθθ-=+-=,所以,命题得证.2、要证>22>,即证1313+>+>,只需要22>,即证4240>,这是显然成立的. 所以,命题得证. 3、因为 222222222()()()(2sin )(2tan )16sin tan a b a b a b αααα-=-+==, 又因为 sin (1cos )sin (1cos )1616(tan sin )(tan sin )16cos cos ab αααααααααα+-=+-=⋅22222222sin (1cos )sin sin 161616sin tan cos cos αααααααα-===,从而222()16a b ab -=,所以,命题成立.说明:进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点.练习(P91)1、假设B ∠不是锐角,则90B ∠≥︒. 因此9090180C B ∠+∠≥︒+︒=︒. 这与三角形的内角和等于180°矛盾.所以,假设不成立. 从而,B ∠一定是锐角.2、假设=所以22=,化简得5=,从而225=,即2540=, 这是不可能的. 所以,假设不成立.从而,.说明:进一步熟悉运用反证法证明数学命题的思考过程与特点. 习题2.2 A 组(P91)1、由于0a ≠,因此方程至少有一个跟b x a=.假设方程不止一个根,则至少有两个根,不妨设12,x x 是它的两个不同的根,则 1ax b = ①2ax b = ②①-②得12()0a x x -=因为12x x ≠,所以120x x -≠,从而0a =,这与已知条件矛盾,故假设不成立. 2、因为 (1tan )(1tan )2A B ++=展开得 1tan tan tan tan 2A B A B +++=,即tan tan 1tan tan A B A B +=-. ① 假设1tan tan 0A B -=,则cos cos sin sin 0cos cos A B A BA B-=,即cos()0cos cos A B A B+=所以cos()0A B +=.因为A ,B 都是锐角,所以0A B π<+<,从而2A B π+=,与已知矛盾.因此1tan tan 0A B -≠. ①式变形得tan tan 11tan tan A B A B+=-, 即tan()1A B +=. 又因为0A B π<+<,所以4A B π+=.说明:本题也可以把综合法和分析法综合使用完成证明. 3、因为1tan 12tan αα-=+,所以12tan 0α+=,从而2sin cos 0αα+=.另一方面,要证 3sin 24cos 2αα=-,只要证226sin cos 4(cos sin )αααα=-- 即证 222sin 3sin cos 2cos 0αααα--=, 即证 (2s i n c o s)(s i n2c oαααα+-= 由2sin cos 0αα+=可得,(2sin cos )(sin 2cos )0αααα+-=,于是命题得证.说明:本题可以单独使用综合法或分析法进行证明,但把综合法和分析法结合使用进行证明的思路更清晰.4、因为,,a b c 的倒数成等差数列,所以211b a c=+.假设2B π<不成立,即2B π≥,则B 是A B C ∆的最大内角,所以,b a b c >>(在三角形中,大角对大边),从而11112acbbb+>+=. 这与211bac=+矛盾.所以,假设不成立,因此,2B π<.习题2.2 B 组(P91)1、要证2s a <,由于22s ab <,所以只需要2ss b<,即证b s <.因为1()2s a b c =++,所以只需要2b a b c <++,即证b a c <+.由于,,a b c 为一个三角形的三条边,所以上式成立. 于是原命题成立. 2、由已知条件得 2b ac = ① 2x a b =+,2y b c =+ ② 要证2a c x y+=,只要证2ay cx xy +=,只要证224ay cx xy +=由①②,得 22()()2ay cx a b c c a b ab ac bc +=+++=++, 24()()2xy a b b c ab b ac bc ab ac bc =++=+++=++, 所以,224ay cx xy +=,于是命题得证. 3、由 tan()2tan αβα+= 得sin()2sin cos()cos αβααβα+=+,即sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+. ……①要证 3sin sin(2)βαβ=+即证 3sin[()]sin[()]αβααβα+-=++即证 3[sin()cos cos()sin ]sin()cos cos()sin αβααβααβααβα+-+=+++ 化简得sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+,这就是①式.所以,命题成立.说明:用综合法和分析法证明命题时,经常需要把两者结合起来使用. 2.3数学归纳法 练习(P95)1、先证明:首项是1a ,公差是d 的等差数列的通项公式是1(1)n a a n d =+-. (1)当1n =时,左边=1a ,右边=11(11)a d a +-=,因此,左边=右边. 所以,当1n =时命题成立. (2)假设当n k =时,命题成立,即1(1)k a a k d =+-. 那么,11(1)[(1)1]k k k a a d a k d d a k d +=+=+-+=++-. 所以,当1n k =+时,命题也成立.根据(1)和(2),可知命题对任何n N *∈都成立. 再证明:该数列的前n 项和的公式是1(1)2n n n S na d -=+. (1)当1n =时,左边=11S a =,右边=111(11)12a d a ⨯-⨯+=,因此,左边=右边. 所以,当1n =时命题成立. (2)假设当n k =时,命题成立,即1(1)2k k k S ka d -=+.那么,1111(1)[(1)1]2k k k k k S S a ka d a k d ++-=+=++++-1(1)(1)[1]2k k a k d -=+++1(1)(1)2k kk a d +=++所以,当1n k =+时,命题也成立.根据(1)和(2),可知命题对任何n N *∈都成立. 2、略.习题2.3 A 组(P96) 1、(1)略.(2)证明:①当1n =时,左边=1,右边=211=,因此,左边=右边. 所以,当1n =时,等式成立.②假设当n k =时等式成立,即2135(21)k k ++++-= . 那么,22135(21)(21)(21)(1)k k k k k ++++-++=++=+ . 所以,当1n k =+时,等式也成立. 根据①和②,可知等式对任何n N *∈都成立.(3)略. 2、1111122S ==-⨯,2111111(1)()112232233S =+=-+-=-⨯⨯,3111111111(1)()()1122334223344S =++=-+-+-=-⨯⨯⨯. 由此猜想:111n S n =-+.下面我们用数学归纳法证明这个猜想. (1)当1n =时,左边=111111222S ==-=⨯,右边=11111122n -=-=+,因此,左边=右边. 所以,当1n =时,猜想成立. (2)假设当n k =时,猜想成立,即111111122334(1)1k k k ++++=-⨯⨯⨯++ .那么,11111111122334(1)(1)(2)1(1)(2)k k k k k k k +++++=-+⨯⨯⨯++++++ .111(1)12k k =--++121111122k k k k +-=-⋅=-+++ 所以,当1n k =+时,猜想也成立.根据(1)和(2),可知猜想对任何n N *∈都成立. 习题2.3 B 组(P96)1、略2、证明:(1)当1n =时,左边=111⨯=,右边=11(11)(12)16⨯⨯+⨯+=,因此,左边=右边. 所以,当1n =时,等式成立.(2)假设当n k =时,等式成立,即112(1)3(2)1(1)(2)6k k k k k k k ⨯+⨯-+⨯-++⨯=++ .那么,1(1)2[(1)1]3[(1)2](1)1k k k k ⨯++⨯+-+⨯+-+++⨯ .[12(1)3(2)1][123(1)]k k k k k =⨯+⨯-+⨯-++⨯++++++ 11(1)(2)(1)(2)62k k k k k =+++++1(1)(2)(3)6k k k =+++所以,当1n k =+时,等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对任何n N *∈都成立.第二章 复习参考题A 组(P98)1、图略,共有(1)1n n -+(n N *∈)个圆圈.2、333n个(n N *∈).3、因为2(2)(1)4f f ==,所以(1)2f =,(3)(2)(1)8f f f ==,(4)(3)(1)16f f f ==…… 猜想()2n f n =.4、运算的结果总等于1.5、如图,设O 是四面体A B C D -内任意一点,连结A O ,B O ,C O ,D O 并延长交对面于A ',B ',C ',D ',则1O A O B O C O D A A B B C C D D ''''+++=''''用“体积法”证明: O A O B O C O D A A B B C C D D ''''+++''''O BC D O C D A O D AB O ABC A BC D B C D AC D ABD ABCV V V V V V V V --------=+++1A BC D A BC DV V --==6、要证 (1tan )(1tan )2A B ++=只需证 1tan tan tan tan 2A B A B +++=即证 t a n t a n 1t a n t A B A B +=- 由54A B π+=,得tan()1A B +=. ①又因为2A B k ππ+≠+,所以tan tan 11tan tan A B A B+=-,变形即得①式. 所以,命题得证.7、证明:(1)当1n =时,左边=1-,右边=1(1)11-⨯=-,因此,左边=右边. 所以,当1n =时,等式成立.(2)假设当n k =时,等式成立,即135(1)(21)(1)k k k k -+-++--=- .那么,1135(1)(21)(1)[2(1)1]k k k k +-+-++--+-+- .1(1)(1)[2(1)1]kk k k +=-+-+-1(1)[2(1)1]k k k +=--++- 1(1)(1)k k +=-+所以,当1n k =+时,等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对任何n N *∈都成立.第二章 复习参考题B 组(P47)1、(1)25条线段,16部分; (2)2n 条线段; (3)最多将圆分割成1(1)12n n ++部分.下面用数学归纳法证明这个结论.(第5题)①当1n =时,结论成立.②假设当n k =时,结论成立,即:k 条线段,两两相交,最多将圆分割成1(1)12k k ++部分当1n k =+时,其中的k 条线段12,,,k l l l 两两相交,最多将圆分割成1(1)12k k ++部分,第1k +条线段1k a +与线段12,,,k l l l 都相交,最多增加1k +个部分,因此,1k +条线段,两两相交,最多将圆分割成11(1)1(1)(1)(2)122k k k k k ++++=+++ 部分所以,当1n k =+时,结论也成立.根据①和②,可知结论对任何n N *∈都成立. 2、要证 cos 44cos 43βα-=因为 cos 44cos 4cos(22)4cos(22)βαβα-=⨯-⨯ 2212sin 24(12sin 2)βα=--⨯-222218sin cos 4(18sin cos )ββαα=--⨯- 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]ββαα=---⨯-- 只需证 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]3ββαα---⨯--= 由已知条件,得 sin cos sin 2θθα+=,2sin sin cos βθθ=,代入上式的左端,得 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]ββαα---⨯-- 2238sin cos (1sin cos )32sin (1sin )θθθθαα=---+-2238sin cos 8sin cos 2(12sin cos )(32sin cos )θθθθθθθθ=--+++- 222238sin cos 8sin cos 68sin cos 8sin cos θθθθθθθθ=--++-+ 3= 因此,cos 44cos 43βα-=。
数学归纳法教案含答案金锄头文库一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学选修22》的第三章“数学归纳法”。
具体内容包括数学归纳法的概念、原理和应用。
详细内容如下:1. 数学归纳法的概念:介绍数学归纳法的基本思想和步骤。
2. 数学归纳法的原理:阐述数学归纳法的基本原理,包括基础步骤和归纳步骤。
3. 数学归纳法的应用:通过实例讲解数学归纳法在数学问题解决中的应用。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念,掌握数学归纳法的基本步骤。
2. 能够运用数学归纳法解决简单的数学问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点:数学归纳法的基本原理和证明方法。
2. 教学重点:数学归纳法的概念、步骤和应用。
四、教具与学具准备1. 教具:黑板、粉笔、多媒体设备。
2. 学具:教材、《数学归纳法学习指导》。
五、教学过程1. 引入:通过一个实践情景(如:数列求和问题)引入数学归纳法的概念。
2. 新课导入:(1)介绍数学归纳法的概念和基本思想。
(2)讲解数学归纳法的基础步骤和归纳步骤。
3. 例题讲解:(1)讲解数学归纳法在数列求和中的应用。
(2)分析归纳假设在解题中的作用。
4. 随堂练习:(1)让学生独立完成数学归纳法的证明题。
(2)针对学生的解答进行点评,指出错误和不足。
六、板书设计1. 数学归纳法2. 内容:(1)数学归纳法的概念与步骤(2)数学归纳法的原理(3)数学归纳法的应用实例七、作业设计1. 作业题目:(1)证明:1+2+3++n = n(n+1)/2(2)证明:对于任意正整数n,都有2^n > n。
2. 答案:(1)证明:① 当n=1时,1=1(1+1)/2,等式成立。
② 假设当n=k时,1+2+3++k = k(k+1)/2,等式成立。
则当n=k+1时,1+2+3++k+(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k+2)/2,等式也成立。
(2)证明:① 当n=1时,2^1 > 1,不等式成立。
课堂探究探究一 利用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式时,要注意弄清楚等式两边的构成规律,例如:等式两边的项数是多少,项的多少与n 的关系是什么,由n =k 到n =k +1时项数增加多少项,增加怎样的项等.【典型例题1】 用数学归纳法证明:11×4+14×7+17×10+…+1(3n -2)(3n +1)=n 3n +1(n ∈N +).证明:(1)当n =1时,左边=11×4=14,右边=13×1+1=14, 左边=右边,所以等式成立.(2)假设当n =k (k ≥1,k ∈N +)时等式成立,即11×4+14×7+17×10+…+1(3k -2)(3k +1)=k 3k +1, 则当n =k +1时,11×4+14×7+17×10+…+1(3k -2)(3k +1)+1(3k +1)(3k +4)=k 3k +1+1(3k +1)(3k +4)=3k 2+4k +1(3k +1)(3k +4)=(3k +1)(k +1)(3k +1)(3k +4)=k +13k +4=k +13(k +1)+1. 所以当n =k +1时,等式也成立.由(1)(2)知等式对n ∈N +成立.探究二 用数学归纳法证明不等式运用数学归纳法证明不等式时,在利用了归纳假设后,要注意根据欲证目标,灵活地运用比较法、放缩法等技巧来进行证明.【典型例题2】 用数学归纳法证明:1+12+13+ (1)>n (其中n ∈N +,n >1). 思路分析:按照数学归纳法证明数学问题的方法与步骤进行证明,在由n =k 证n =k +1成立时,可利用比较法或放缩法证得结论.证明:(1)当n =2时,左边=1+12,右边=2,⎝⎛⎭⎫1+12-2=1-22>0,所以左边>右边,即不等式成立.(2)假设当n =k (k ≥2,k ∈N +)时,不等式成立,即1+12+13+…+1k >k ,则当n =k +1时, 1+12+13+…+1k +1k +1 >k +1k +1 . (方法1)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫k +1k +1-k +1=k 2+k +1-(k +1)k +1=k 2+k -k k +1=k k +1(k 2+k +k )>0, 所以k +1k +1>k +1,即1+12+13+ (1)+1k +1 >k +1. (方法2)因为k +1k +1=k 2+k +1k +1>k 2+1k +1=k +1k +1=k +1, 所以1+12+13+…+1k +1k +1>k +1. 即当n =k +1时原不等式也成立,由(1)(2)知原不等式成立.点评 本例中在应用归纳假设后,方法1是利用了比较法,方法2是利用了放缩法来进行后面的证明.探究三 用数学归纳法证明整除问题与正整数有关的整除性问题常用数学归纳法证明,证明的关键在于第二步中,根据归纳假设,将n =k +1时的式子进行增减项、倍数调整等变形,使之能与归纳假设联系起来.【典型例题3】 用数学归纳法证明:n 3+(n +1)3+(n +2)3能被9整除(n ∈N +). 思路分析:在第二步时注意根据归纳假设进行拼凑.证明:(1)当n =1时,13+23+33=36能被9整除,所以结论成立;(2)假设当n =k (k ∈N +,k ≥1)时结论成立,即k 3+(k +1)3+(k +2)3能被9整除.则当n =k +1时,(k +1)3+(k +2)3+(k +3)3=[k 3+(k +1)3+(k +2)3]+[(k +3)3-k 3]=[k 3+(k +1)3+(k +2)3]+9k 2+27k +27=[k 3+(k +1)3+(k +2)3]+9(k 2+3k +3).因为k 3+(k +1)3+(k +2)3能被9整除,9(k 2+3k +3)也能被9整除,所以(k +1)3+(k +2)3+(k +3)3也能被9整除,即n =k +1时结论也成立.由(1)(2)知命题对一切n ∈N +成立.探究四 归纳—猜想—证明1.由已知条件首先计算数列{a n }的前几项的值,根据前几项值的特点,猜想出数列{a n }的通项公式或递推公式,利用数学归纳法加以证明是求数列通项的一种常见的方法.2.在对猜想得到的结论用数学归纳法进行证明时,要注意从归纳的过程中发现证明的方法.【典型例题4】 某数列的第一项为1,并且对所有的自然数n ≥2,数列的前n 项之积为n 2.(1)写出这个数列的前五项;(2)写出这个数列的通项公式并加以证明.思路分析:根据数列前五项写出这个数列的通项公式,要注意观察数列中各项与其序号变化的关系,归纳出构成数列的规律.同时还要特别注意第一项与其他各项的差异,必要时可分段表示.证明这个数列的通项公式可用数学归纳法.解:(1)已知a 1=1,由题意,得a 1·a 2=22,∴a 2=22.∵a 1·a 2·a 3=32,∴a 3=3222. 同理,可得a 4=4232,a 5=5242.因此该数列的前五项为1,4,94,169,2516. (2)观察这个数列的前五项,猜测数列的通项公式应为a n =⎩⎨⎧ 1,n =1,n 2(n -1)2,n ≥2,n ∈N +.下面用数学归纳法证明当n ≥2,n ∈N +时,a n =n 2(n -1)2. ①当n =2时,a 2=22(2-1)2=22,猜想正确. ②假设当n =k (k ≥2,k ∈N +)时,猜想正确,即a k =k 2(k -1)2. ∵a 1·a 2·…·a k -1=(k -1)2,a 1·a 2·…·a k -1·a k ·a k +1=(k +1)2,∴a k +1=(k +1)2(a 1·a 2·…·a k -1)·a k =(k +1)2(k -1)2·(k -1)2k 2 =(k +1)2k 2=(k +1)2[(k +1)-1]2, ∴当n =k +1时,猜想也正确.根据①和②,可知当n ≥2,n ∈N +时,这个数列的通项公式是a n =n 2(n -1)2. ∴a n =⎩⎨⎧ 1,n =1,n 2(n -1)2,n ≥2,n ∈N +.探究五 易错辨析易错点:因不运用归纳假设而出错【典型例题5】 用数学归纳法证明:12×4+14×6+16×8+…+12n (2n +2)=n 4(n +1)(n ∈N +). 错证:(1)当n =1时,左边=12×4,右边=14(1+1)=14×2,等式成立. (2)假设当n =k (k ≥1,k ∈N +)时等式成立,那么当n =k +1时,直接使用裂项相减法求得12×4+14×6+16×8+…+12k (2k +2)+1(2k +2)(2k +4)=12⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫12-14+⎝⎛⎭⎫14-16+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫12k -12k +2+⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12k +2-12k +4 =12⎝ ⎛⎭⎪⎫12-12k +4=k +14[(k +1)+1],即当n =k +1时等式成立. 由(1)和(2),可知等式对一切n ∈N +都成立.错因分析:由n =k 到n =k +1时等式的证明没有用归纳假设,而是运用了数列中的求和方法证得的,虽然结论正确,但没有运用数学归纳法证明,不符合题目要求.正确证法:(1)当n =1时,左边=12×4=18,右边=18,等式成立. (2)假设当n =k (k ≥1,k ∈N +)时,12×4+14×6+16×8+…+12k (2k +2)=k 4(k +1)成立. 那么当n =k +1时,12×4+14×6+16×8+…+12k (2k +2)+1(2k +2)(2k +4)=k 4(k +1)+14(k +1)(k +2)=k (k +2)+14(k +1)(k +2)=(k +1)24(k +1)(k +2)=k +14(k +2)=k +14[(k +1)+1], ∴当n =k +1时,等式成立.由(1)和(2),可知对一切n ∈N +等式都成立.。
2.2.3数学归纳法(一)【学习目标】1.了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指导,理解数学归纳法的操作步骤;2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;3.理解数学归纳法中递推思想.【新知自学】知识回顾:1.证明方法:(1)直接证明⎩⎨⎧__________________; (2)间接证明:________.新知梳理:1.问题:在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?2.数学归纳法两大步:(1)归纳奠基:证明当n 取第一个值n 0时命题成立;(2)归纳递推:假设n =k (k ≥n 0, k ∈N *)时命题成立,证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立.3.数学归纳法是一种完全归纳的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.在基础和递推关系都成立时,可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1,n 0+2,…,命题都成立.对点练习:1.若f (n )=1+12+13+…+16n -1(n ∈N +),则f (1)为( )A .1B .15C .1+12+13+14+15D .非以上答案2.已知f (n )=1n +1n +1+1n +2+…+1n2,则( )A .f (n )中共有n 项,当n =2时,f (2)=12+13B .f (n )中共有n +1项,当n =2时,f (2)=12+13+14C .f (n )中共有n 2-n 项,当n =2时,f (2)=12+13D .f (n )中共有n 2-n +1项,当n =2时,f (2)=12+13+143.用数学归纳法证明:当n 为整数时,2135(21)n n ++++-=.【合作探究】典例精析:例1.用数学归纳法证明2222*(1)(21)123,6n n n n n N ++++++=∈变式练习:2*1427310(31)(1),n n n n n N ⨯+⨯+⨯+++=+∈例 2.用数学归纳法证明:首项是1a ,公差是d 的等差数列的通项公式是1(1)n a a n d =+-,前n项和的公式是1(1)2n n n S na d -=+.变式练习:用数学归纳法证明:首项是1a ,公比是q 的等差数列的通项公式是11n n a a q -=,前n 项和的公式是1(1)1n n a q S q-=-.(1q ≠)规律总结:(1)数学归纳法证题时,第一个值n 0不一定为1,如证明多边形内角和定理(n -2)π时,初始值n 0=3.(2)数学归纳法证题的关键是第二步,证题时应注意:①必须利用归纳假设作基础;②证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法;③解题时要搞清从n =k 到n =k +1增加了哪些项或减少了哪些项.2.其中关键:从假设n =k 成立,再证得n =k +1成立时要用上假设.【课堂小结】【当堂达标】1.用数学归纳法证明:22111(1)1n n a a a a a a++-++++=≠-,在验证1n =时,左端计算所得项为A.1B.21a a ++C.1a +D.231a a a +++2.设*111()()122f n n N n n n =+++∈++,那么)()1(n f n f -+等于( )A.121+nB.221+nC.221121+++n n D.221121+-+n n3. 已知数列}{n a 的前n 项和)2(2≥=n a n S n n ,而11=a ,通过计算432,,a a a ,猜想=n a .4. 用数学归纳法证明: 1111133557(21)(21)21nn n n ++++=⨯⨯⨯-++【课时作业】1.用数学归纳法证明))(12(312)()3)(2)(1(*N n n n n n n n n ∈-⋅⋅⋅=++++ 时,从n=k 到n=k+1,左端需要增加的代数式为A.2k+1B. 2(2k+1)C.112++k k D.132++k k2.一个关于自然数n 的命题,如果验证当n =1时命题成立,并在假设当n =k (k ≥1且k ∈N *)时命题成立的基础上,证明了当n =k +2时命题成立,那么综合上述,对于( )A .一切正整数命题成立B .一切正奇数命题成立C .一切正偶数命题成立D .以上都不对3. 已知n 为正偶数,用数学归纳法证明1-12+13-14+…-1n =2⎝⎛⎭⎫1n +2+1n +4+…+12n 时,若已假设n =k (k ≥2且k 为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证( ) A .n =k +1时等式成立 B .n =k +2时等式成立 C .n =2k +2时等式成立 D .n =2(k +2)时等式成立4.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n -1=2n -1(n ∈N *)”的过程中,第二步n =k 时等式成立,则当n =k +1时应得到( )A .1+2+22+…+2k -2+2k -1=2k +1-1B .1+2+22+…+2k +2k +1=2k -1 +2k +1C .1+2+22+…+2k -1+2k +1=2k +1-1 D .1+2+22+…+2k -1+2k =2k +1-15.用数学归纳法证明:当n 为正整数时, 21122221n n -++++=-.6.用数学归纳法证明:112(1)3(2)1(1)(2)6n n n n n n n ∙+∙-+∙-+∙=++。
[学习目标] 1.了解数学归纳法原理.2.掌握数学归纳法的两个步骤,会用数学归纳法证明一些简单的数学命题.知识点一 归纳法及分类由一系列有限的特殊事例得出一般性结论的推理方法,通常叫归纳法,归纳法可以分为__________归纳法和__________归纳法,完全归纳法所得出的结论是完全可靠的,因为它考察了问题涉及的所有对象;不完全归纳法得出的结论不一定可靠,因为它只考察了某件事情的部分对象,但它是一种重要的思考问题的方法,是研究数学的一把钥匙,是发现数学规律的一种重要手段.用不完全归纳法发现规律,再用完全归纳法证明,是解决问题的一种重要途径.完全归纳法是一种在研究了解事物的所有(有限种)特殊情况后,得出一般结论的推理方法,又叫枚举法.与不完全归纳法不同,用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况不多时,采用完全归纳法.思考 下面的各列数都依照一定规律排列,请在括号里填上适当的数. (1)1,5,9,13,17,( );(2)23,1,1 12,2 14,3 38,( ); (3)34,58,12,922,1132,( ); (4)32,31,16,26,( ),( ),4,16,2,11. 知识点二 数学归纳法 1.数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题,可按下列步骤进行: ①(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立;②(归纳递推)假设n =k (k ≥n 0,k ∈N *)时命题成立,证明当n =k +1时命题也成立. 2.应用数学归纳法时注意几点:(1)用数学归纳法证明的对象是与________有关的命题. (2)在用数学归纳法证明中,两个基本步骤缺一不可.(3)步骤②的证明必须以“假设n =k (k ≥n 0,k ∈N *)时命题成立”为条件.思考 (1)对于数列{a n },已知a 1=1,a n +1=a n1+a n (n ∈N *),求出数列前4项,你能得到什么猜想?你的猜想一定是正确的吗?(2)多米诺骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件?题型一 用数学归纳法证明恒成立例1 求证:(n +1)(n +2)·…·(n +n )=2n ·1·3·…·(2n -1)(n ∈N *).反思与感悟 用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题,关键在于“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式的两边各有多少项,项的多少与n 的取值是否有关,由n =k 到n =k +1时,等式两边会增加多少项,增加怎样的项.跟踪训练1 用数学归纳法证明12+32+52+…+(2n -1)2=13n (4n 2-1)(n ∈N *).题型二 证明不等式问题例2 已知{a n }为等比数列且a n =2n -1,记b n =2(log 2a n +1)(n ∈N *),用数学归纳法证明对任意的n ∈N *,不等式b 1+1b 1·b 2+1b 2·…·b n +1b n >n +1成立.反思与感悟 用数学归纳法证明不等式问题时要注意两凑:一凑归纳假设;二凑证明目标,在凑证明目标时,比较法、综合法、分析法都适用.跟踪训练2 用数学归纳法证明对一切n ∈N *,1+122+132+… +1n 2≥3n2n +1.题型三 用数学归纳法证明整除问题 例3 求证n ∈N *时,a n +1+(a +1)2n -1能被a 2+a +1整除.反思与感悟 用数学归纳法证明数的整除性问题时,关键是从当n =k +1时的式子中拼凑出当n =k 时能被某数整除的式子,并将剩余式子转化为能被该数整除的式子. 跟踪训练3 用数学归纳法证明对于任意非负整数n ,A n =11n +2+122n +1能被133整除.题型四 用数学归纳法解决平面几何问题例4 已知n 个平面都过同一点,但其中任何三个平面都不经过同一直线,求证:这n 个平面把空间分成f (n )=n (n -1)+2部分.反思与感悟 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”,即几何元素从k 增加到k +1时,所证的几何量增加多少,同时要善于利用几何图形的直观性,建立k 与k +1之间的递推关系.跟踪训练4 平面内有n (n ∈N *,n ≥2)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,求证交点的个数f (n )=n (n -1)2.因弄错从n =k 到n =k +1的增加项致误例5 用数学归纳法证明1+12+13+…+12n >n +12(n ∈N *).错解 ①当n =1时,左边=1+12,右边=1+12=1,显然左边>右边,即n =1时不等式成立.②假设n =k (k ≥1,且k ∈N *)时不等式成立, 即1+12+13+…+12k >k +12.那么,当n =k +1时,1+12+13+…+12k +12k +1>k +12+12k +1>k +12+12=(k +1)+12, 即n =k +1时,不等式成立.由①②得1+12+13+…+12n >n +12(n ∈N *)成立.错因分析 以上用数学归纳法证明的过程是错误的,因为在从n =k 到n =k +1时增加的不止一项,应是12k +1+12k +2+…+12k +2k ,共有2k项,并且k +12+12k +1>k +12+12也是错误的.正解 ①当n =1时, 左边=1+12,右边=1+12=1,所以左边>右边, 即n =1时不等式成立.②假设n =k (k ≥1,k ∈N *)时不等式成立,即1+12+13+…+12k >k +12,那么,当n =k +1时,有1+12+13+…+12k +12k +1+12k +2+…+12k +2k >k +12+12k +2k +12k +2k +…+12k +2k=k +12+2k2k +2k =k +12+12=(k +1)+12. 所以n =k +1时,不等式成立. 由①②可知,n ∈N *时1+12+13+…+12n >n +12. 防范措施 当n =k +1时,可以写出相应增加的项,然后再结合数学归纳法证明.1.用数学归纳法证明1+a +a 2+…+a n =1-a n +11-a (a ≠1,n ∈N *),在验证当n =1时,左边计算所得的式子是( ) A .1 B .1+aC .1+a +a 2D .1+a +a 2+a 4 2.用数学归纳法证明不等式1n +1+1n +2+1n +3+…+12n >1324(n ≥2)的过程中,由n =k 递推到n =k +1时,不等式的左边( ) A .增加了一项12(k +1)B .增加了两项12k +1,12(k +1)C .增加了两项12k +1,12(k +1),又减少了一项1k +1D .增加了一项12(k +1),又减少了一项1k +13.已知f (n )=1+12+13+…+1n (n ∈N *),证明不等式f (2n )>n 2时,f (2k +1)比f (2k )多的项数是__________.4.用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3,n ∈N *)第一步应验证______________.5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,S n =n 2a n (n ∈N *).依次计算出S 1,S 2,S 3,S 4后,可猜想S n 的表达式为______________.1.数学归纳法的两个步骤相互依存,缺一不可.有一无二,是不完全归纳法,结论不一定可靠;有二无一,第二步就失去了递推的基础. 2.归纳假设的作用.在用数学归纳法证明问题时,对于归纳假设要注意以下两点:(1)归纳假设就是已知条件;(2)在推证n =k +1时,必须用上归纳假设. 3.利用归纳假设的技巧.在推证n =k +1时,可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设.此时既要看准目标,又要掌握n =k 与n =k +1之间的关系.在推证时,分析法、综合法、反证法等方法都可以应用. 4.数学归纳法的适用范围.数学归纳法是直接证明的一种重要方法,应用十分广泛,主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、几何问题、探求数列的通项及前n 项和等问题中.提醒:完成作业 §2.3[答案]精析知识梳理 知识点一 完全 不完全思考 (1)21;(2)8116;(3)1344;(4)8 21.知识点二 2.(1)正整数n思考 (1)a 1=1,a 2=12,a 3=13,a 4=14.猜想数列的通项公式为a n =1n .不能保证猜想一定正确,需要严密的证明.(2)①第一块骨牌倒下;②任意相邻的两块骨牌,前一块倒下一定导致后一块倒下.条件②事实上给出了一个递推关系,换言之就是假设第K 块倒下,则相邻的第K +1块也倒下. 题型探究例1 证明 (1)当n =1时,左边=1+1=2,右边=21×1=2,左边=右边,等式成立. (2)假设当n =k (k ∈N *)时等式成立,即(k +1)(k +2)·…·(k +k )=2k ·1·3·…·(2k -1), 那么,当n =k +1时,左边=(k +2)(k +3)·…·(k +k )(k +k +1)(k +k +2) =(k +1)(k +2)(k +3)·…·(k +k )·(2k +1)(2k +2)k +1=2k ·1·3·…·(2k -1)(2k +1)·2=2k +1·1·3·…·(2k -1)·[2(k +1)-1]=右边. ∴当n =k +1时,等式也成立.由(1)(2)可知,对一切n ∈N *,原等式均成立.跟踪训练1 证明 (1)当n =1时,左边=12,右边=13×1×(4×12-1)=1,左边=右边,等式成立.(2)假设当n =k (k ∈N *,k ≥1)时,等式成立, 即12+32+52+…+(2k -1)2=13k (4k 2-1),则当n =k +1时,12+32+52+…+(2k -1)2+(2k +1)2 =13k (4k 2-1)+(2k +1)2 =13k (2k +1)(2k -1)+(2k +1)2 =13(2k +1)[k (2k -1)+3(2k +1)] =13(2k +1)(2k 2+5k +3) =13(2k +1)(k +1)(2k +3) =13(k +1)(4k 2+8k +3) =13(k +1)[4(k +1)2-1], 即当n =k +1时,等式成立. 由(1)(2)知,对一切x ∈N *等式成立.例2 证明 由已知条件可得b n =2n (n ∈N *), ∴所证不等式为2+12·4+14·…·2n +12n >n +1.(1)当n =1时,左边=32,右边=2,左边>右边,∴不等式成立.(2)假设当n =k (k ∈N *)时,不等式成立. 即2+12·4+14·…·2k +12k>k +1,则当n =k +1时,2+12·4+14·…·2k +12k ·2k +32(k +1)>k +1·2k +32(k +1)=2k +32k +1.要证当n =k +1时,不等式成立,只需证2k +32k +1≥k +2,即证2k +32≥(k +1)(k +2),由基本不等式,得2k +32=(k +1)+(k +2)2≥(k +1)(k +2)成立,∴2k +32k +1≥k +2成立,∴当n =k +1时,不等式成立.由(1)(2)可知,对一切n ∈N *,原不等式均成立.跟踪训练2 证明 (1)当n =1时,左边=1,右边=3×12×1+1=1,不等式成立.(2)假设当n =k 时,不等式成立, 即1+122+132+…+1k 2≥3k 2k +1,则当n =k +1时,要证1+122+132+…+1k 2+1(k +1)2≥3(k +1)2(k +1)+1,只需证3k 2k +1+1(k +1)2≥3(k +1)2k +3.因为3(k +1)2k +3-⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k 2k +1+1(k +1)2=34(k +1)2-1-1(k +1)2=1-(k +1)2(k +1)2[4(k +1)2-1]=-k (k +2)(k +1)2(4k 2+8k +3)≤0,所以3k 2k +1+1(k +1)2≥3(k +1)2k +3,即1+122+132+…+1k 2+1(k +1)2≥3(k +1)2(k +1)+1,所以当n =k +1时不等式成立.由(1)(2)知,不等式对一切n ∈N *都成立. 例3 证明 (1)当n =1时,a 1+1+(a +1)2×1-1=a 2+a +1,命题显然成立.(2)假设当n =k (k ∈N *,k ≥1)时,a k +1+(a +1)2k -1能被a 2+a +1整除, 则当n =k +1时,a k +2+(a +1)2k +1=a ·a k +1+(a +1)2·(a +1)2k -1 =a [a k +1+(a +1)2k -1]+(a +1)2(a +1)2k -1-a (a +1)2k -1 =a [a k +1+(a +1)2k -1]+(a 2+a +1)(a +1)2k -1. 由归纳假设,上式中的两项均能被a 2+a +1整除, 故当n =k +1时命题成立.由(1)(2)知,对任意n ∈N *,命题成立.跟踪训练3 证明 (1)当n =0时,A 0=112+12=133,能被133整除. (2)假设当n =k (k ≥0)时,A k =11k +2+122k +1能被133整除,那么当n =k +1时,A k +1=11k +3+122k +3=11·11k +2+122·122k +1=11·11k +2+11·122k +1+(122-11)·122k +1=11·(11k +2+122k +1)+133·122k +1,能被133整除. 由(1)(2)可知,对于任意非负整数n ,A n 都能被133整除.例4 证明 (1)当n =1时,1个平面把空间分成2部分,而f (1)=1×(1-1)+2=2(部分),所以命题正确.(2)假设当n =k (k ∈N *)时,命题成立,即k 个符合条件的平面把空间分为f (k )=k (k -1)+2(部分),当n =k +1时,第k +1个平面和其他每一个平面相交,使其所分成的空间都增加2部分,所以共增加2k 部分,故f (k +1)=f (k )+2k =k (k -1)+2+2k =k (k -1+2)+2=(k +1)[(k +1)-1]+2(部分), 即当n =k +1时,命题也成立.根据(1)(2),知n 个符合条件的平面把空间分成f (n )=n (n -1)+2部分.跟踪训练4 证明 (1)当n =2时,两条直线的交点只有一个,又f (2)=12×2×(2-1)=1, ∴当n =2时,命题成立.(2)假设当n =k (k ∈N *,k ≥2)时命题成立,即平面内满足题设的任何k 条直线的交点个数f (k )=12k (k -1), 那么,当n =k +1时,任取一条直线l ,除l 以外其他k 条直线的交点个数为f (k )=12k (k -1), l 与其他k 条直线的交点个数为k ,从而k +1条直线共有f (k )+k 个交点,即f (k +1)=f (k )+k =12k (k -1)+k =12k (k -1+2)=12k (k +1)=12(k +1)[(k +1)-1], ∴当n =k +1时,命题成立.由(1)(2)可知,对任意n ∈N *(n ≥2)命题都成立.当堂检测1.B [当n =1时,左边的最高次数为1,即最后一项为a ,左边是1+a ,故选B.]2.C [n =k 时,左边为1k +1+1k +2+…+12k ,① n =k +1时,左边为1k +2+1k +3+…+12k +12k +1+12(k +1),② 比较①②可知C 正确.]3.2k[解析] 观察f (n )的表达式可知,右端分母是连续的正整数,f (2k )=1+12+13+…+12k ,而f (2k +1)=1+12+13+…+12k +12k +1+12k +2+…+12k +2k . 因此f (2k +1)比f (2k )多了2k 项.4.n =3时是否成立[解析] n 的最小值为3,所以第一步验证n =3时是否成立.5.S n =2n n +1[解析] S 1=1,S 2=43,S 3=32=64,S 4=85,猜想S n =2n n +1.。
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数学归纳法
一个与自然数相关的命题,如果(1)当n取第一个值n0时命题成立;(2)在假设当n=k(k ∈N+,且k≥n0)时命题成立的前提下,推出当n=k+1时命题也成立,那么可以断定,这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立.
思考1 在数学归纳法的第一步中,第一个值n0是否一定等于1?
提示:不一定,n0还可以取其他值,如证明“2n>n2”中,n0=5,而证明“凸n边形内角和为(n-2)·180°”中,n0=3.
思考2 在数学归纳法的第二步中,所作的归纳假设是否一定要用上?
提示:一定要用上归纳假设.数学归纳法的实质在于递推,所以从“k”到“k+1”的过程,必须将归纳假设作为条件来导出“n=k+1”时的命题.也许有时不用归纳假设也能证得结论,但这不是用数学归纳法证明问题了.
点拨正确理解数学归纳法注意以下几点:
(1)数学归纳法是专门证明与自然数集有关的命题的一种方法,它是一种完全归纳法,是对不完全归纳法的完善.证明分两步,其中第一步是命题成立的基础,称为“归纳奠基”;第二步解决的是延续性问题,又称“归纳递推”.
(2)用数学归纳法证明问题的关键在第二步,即n=k+1时命题为什么成立?n=k+1时命题成立是利用假设n=k时命题成立,根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出来的,而不是直接代入,否则n=k+1时
命题成立也成假设了,命题并没有得到证明.
(3)证明n=k+1时命题也成立,要注意明确证明的目标,根据这一个目标决定对归纳假设的合理变形及应用,必要时需进行适当的拼凑.
(4)用数学归纳法可证明有关的正整数问题,但并不是所有的正整数问题都能用数学归
纳法证明,学习时要具体问题具体分析.
(5)数学归纳法是一种演绎推理.。
2.3数学归纳法在学校,我们经常会看到这样的一种现象:排成一排的自行车,如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了,那么整排自行车就会倒下.问题1:试想要使整排自行车倒下,需要具备哪几个条件?提示:(1)第一辆自行车倒下;(2)任意相邻的两辆自行车,前一辆倒下一定导致后一辆倒下.问题2:利用这种思想方法能解决哪类数学问题? 提示:一些与正整数n 有关的问题.1.数学归纳法一个与自然数相关的命题,如果(1)当n 取第一个值n 0时命题成立;(2)在假设当n =k (k ∈N +,且k ≥n 0)时命题成立的前提下,推出当n =k +1时命题也成立,那么可以断定,这个命题对n 取第一个值后面的所有正整数成立.2.数学归纳法的框图表示1.数学归纳法仅适用于与正整数n 有关的数学命题的证明. 2.应用数学归纳法时应注意:(1)验证是证明的基础,递推是证明的关键,二者缺一不可;(2)在证明n =k +1命题成立时,必须使用归纳假设的结论,否则就不是数学归纳法.[对应学生用书P44][对应学生用书P45][例1] 用数学归纳法证明:121×3+223×5+…+n 2(2n -1)(2n +1)=n (n +1)2(2n +1). [思路点拨] 证明n =1时成立→假设n =k 时成立→证明n =k +1时成立→结论得证[精解详析] (1)当n =1时121×3=1×22×3成立.(2)假设当n =k 时等式成立,即有121×3+223×5+…+k 2(2k -1)(2k +1)=k (k +1)2(2k +1),则121×3+223×5+…+k 2(2k -1)(2k +1)+(k +1)2(2k +1)(2k +3)=k (k +1)2(2k +1)+(k +1)2(2k +1)(2k +3)=(k +1)(k +2)2(2k +3),即当n =k +1时等式也成立.由(1)(2)可得对于任意的n ∈N +等式都成立.[一点通] 用数学归纳法证明与正整数有关的命题时,关键在于先“看项”,弄清等式两边的构成规律,等式的两边各有多少项,项的多少与n 的取值是否有关,由n =k 到n =k +1时,等式两边会增加多少项;再“两凑”,将n =k +1时的式子转化成与归纳假设的结构相同的形式——凑假设,然后利用归纳假设,经过恒等变形,得到结论所需的形式——凑结论.1.用数学归纳法证明:1×4+2×7+3×10+…+n (3n +1)=n (n +1)2 (其中n ∈N +).证明:(1)当n =1时,左边=1×4=4,右边=1×22=4,左边=右边,等式成立. (2)假设当n =k (k ∈N +)时等式成立,即1×4+2×7+3×10+…+k (3k +1)=k (k +1)2. 那么,当n =k +1时,1×4+2×7+3×10+…+k (3k +1)+(k +1)[3(k +1)+1]=k (k +1)2+(k +1)[3(k +1)+1]=(k +1)(k 2+4k +4) =(k +1)[(k +1)+1]2, 即当n =k +1时等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对任何n ∈N +都成立. 2.用数学归纳法证明:1-12+13-14+…+12n -1-12n =1n +1+1n +2+…+12n . 证明:(1)当n =1时,左边=1-12=12,右边=12,命题成立.(2)假设当n =k 时命题成立,即1-12+13-14+…+12k -1-12k =1k +1+1k +2+…+12k , 那么当n =k +1时,1-12+13-14+…+12k -1-12k +12k +1-12k +2=1k +1+1k +2+…+12k +12k +1-12k +2 =1k +2+1k +3+…+12k +1+12k +2. 上式表明当n =k +1时命题也成立. 由(1)(2)知,等式对任意正整数n 都成立.[例2] 证明不等式1+12+13+…+1n<2n (n ∈N +). [思路点拨] 运用数学归纳法证明,证明时仔细观察不等式的结构特征,在第二步证明当n =k +1时如何进行不等式的变换是关键.[精解详析] (1)当n =1时,左边=1,右边=2. 左边<右边,不等式成立.(2)假设当n =k (k ≥1且k ∈N +)时,不等式成立, 即1+12+13+…+1k<2k .则当n =k +1时, 1+12+13+…+1k +1k +1<2k +1k +1=2k k +1+1k +1<(k )2+(k +1)2+1k +1=2(k +1)k +1=2k +1.∴当n =k +1时,不等式成立.由(1)、(2)可知,原不等式对任意n ∈N +都成立.[一点通] 用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大些,方法更灵活些,用数学归纳法证明的第二步,即已知f (k )>g (k ),求证f (k +1)>g (k +1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法).具体证明过程中要注意以下两点:(1)先凑假设,作等价变换;(2)瞄准当n =k +1时的递推目标,有目的地放缩、分析直到凑出结论.3.证明1+12+13+14+…+12n -1>n2(n ∈N +),假设n =k 时成立,当n =k +1时,左端增加的项数是( )A .1项B .k -1项C .k 项D .2k 项解析:当n =k 时,不等式左端为1+12+13+14+…+12k -1;当n =k +1时,不等式左端为1+12+13+…+12k -1+12k +…+12k +1-1增加了12k +…+12k +1-1项,共(2k +1-1)-2k +1=2k项. 答案:D4.用数学归纳法证明:122+132+142+…+1n 2<1-1n (n ≥2,n ∈N +).证明:(1)当n =2时,左式=122=14,右式=1-12=12.因为14<12,所以不等式成立.(2)假设n =k (k ≥2,k ∈N +)时,不等式成立.即122+132+142+…+1k 2<1-1k, 则当n =k +1时,122+132+142+…+1k 2+1(k +1)2<1-1k +1(k +1)2=1-k 2+k +1k (k +1)2<1-k (k +1)k (k +1)2=1-1k +1, 所以当n =k +1时,不等式也成立.综上所述,对任意n ≥2的正整数,不等式都成立.[例3] (12分)在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=λa n +λn +1+(2-λ)2n (n ∈N +),其中λ>0.(1)求a 2,a 3,a 4;(2)猜想{a n }的通项公式并加以证明.[精解详析] (1)由a n +1=λa n +λn +1+(2-λ)2n ,将a 1=2代入,得a 2=λa 1+λ2+(2-λ)×2=λ2+4,(1分) 将a 2=λ2+4代入,得a 3=λa 2+λ3+(2-λ)×22=2λ3+8,(2分)将a 3=2λ3+8代入,得a 4=λa 3+λ4+(2-λ)×23=3λ4+16.(3分) (2)由a 2,a 3,a 4,对{a n }的通项公式作出猜想: a n =(n -1)λn +2n .证明如下:分)①当n =1时,a 1=2=(1-1)λ1+21成立.(6分) ②假设当n =k 时,a k =(k -1)λk +2k ,(7分) 则当n =k +1时, a k +1=λa k +λk +1+(2-λ)2k=(k -1)λk +1+λ2k +λk +1+(2-λ)2k=kλk +1+2k +1=[(k +1)-1]λk +1+2k +1.(10分)由此可知,当n =k +1时,a k +1=[(k +1)-1]λk +1+2k+1也成立.(11分)综上可知,a n =(n -1)λn +2n 对任意n ∈N +都成立.(12分) [一点通](1)“归纳—猜想—证明”的一般环节(2)“归纳—猜想—证明”的主要题型 ①已知数列的递推公式,求通项或前n 项和;②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题,求使命题成立的参数值是否存在; ③给出一些简单的命题(n =1,2,3,…),猜想并证明对任意正整数n 都成立的一般性命题.5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,其中a n =S n n (2n -1)且a 1=13;(1)求a 2,a 3;(2)猜想数列{a n }的通项公式,并用数学归纳法加以证明. 解:(1)a 2=S 22(2×2-1)=a 1+a 26,a 1=13,则a 2=115,类似地求得a 3=135.(2)由a 1=11×3,a 2=13×5,a 3=15×7…猜得:a n =1(2n -1)(2n +1).证明:①当n =1时,由(1)可知等式成立;②假设当n =k 时猜想成立,即a k =1(2k -1)(2k +1),那么,当n =k +1时,由题设a n=S nn (2n -1)得a k =S kk (2k -1),a k +1=S k +1(k +1)(2k +1),所以S k =k (2k -1)a k =k (2k -1)1(2k -1)(2k +1)=k 2k +1,S k +1=(k +1)(2k +1)a k +1,a k +1=S k +1-S k =(k +1)(2k +1)a k +1-k2k +1.因此,k (2k +3)a k +1=k2k +1,所以a k +1=1(2k +1)(2k +3)=1[2(k+1)-1][2(k+1)+1].这就证明了当n=k+1时命题成立.由①②可知命题对任何n∈N+都成立.6.平面内有n(n≥2,n∈N+)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点.这n条直线相互分割出多少条线段或射线?证明你的结论.解:设n条直线相互分割出f(n)条线段或射线,则f(2)=4,f(3)=9,f(4)=16,猜想f(n)=n2.下面用数学归纳法证明(1)当n=2时,两条直线相交得到4条射线,命题成立.(2)假设n=k(k≥2,k∈N+)时,k条直线相交可得到k2条线段或射线,则当n=k+1时,记这k+1条直线中的一条为l,则其余k条直线相交可得到k2条线段或射线,直线l与这k 条直线相交可新增加k个不同的交点,这k个点把直线l分成k+1段,又各自把它们所在线段或射线分成两部分,即又增加了k条线段或射线,那么新增加的线段或射线的条数为k +1+k=2k+1条,从而k+1条直线相交,得到的线段或射线的条数为:k2+2k+1=(k+1)2条.所以n=k+1时命题成立.由(1)(2)可知猜想成立,即这n条直线相互分割成n2条线段或射线.运用数学归纳法时易犯的错误:(1)对项数估算的错误,特别是寻找n=k与n=k+1的关系时,项数发生什么变化被弄错.(2)没有利用归纳假设:归纳假设是必须要用的.假设是起桥梁作用的,桥梁断了就通不过去了.(3)关键步骤含糊不清,“假设n=k时结论成立,利用此假设证明n=k+1时结论也成立”,是数学归纳法的关键一步,也是证明问题最重要的环节,推导的过程要把步骤写完整,注意证明过程的严谨性、规范性.[对应课时跟踪训练(十六)]1.用数学归纳法证明1+a +a 2+…+a n +1=1-a n +21-a(n ∈N +,a ≠1),在验证n =1成立时,左边所得的项为( )A .1B .1+a +a 2C .1+aD .1+a +a 2+a 3答案:B2.设f (n )=1+12+13+…+13n -1(n ∈N +),那么f (n +1)-f (n )等于( )A.13n +2 B.13n +13n +1 C.13n +1+13n +2D.13n +13n +1+13n +2 解析:f (n +1)-f (n )=13n +13n +1+13n +2.答案:D3.设f (n )=5n +2×3n -1+1(n ∈N +),若f (n )能被m (m ∈N +)整除,则m 的最大值为( )A .2B .4C .8D .16解析:f (1)=8,f (2)=32,f (3)=144=8×18,猜想m 的最大值为8. 答案:C4.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n ×3n -1=3n (na -b )+14对一切n ∈N +都成立,那么a ,b 的值为( )A .a =12,b =14B .a =b =14C .a =0,b =14D .a =14,b =12解析:法一:特值验证法,将各选项中a ,b 的值代入原式,令n =1,2验证易知选A. 法二:∵1+2×3+3×32+4×33+…+n ×3n -1=3n (na -b )+14对一切n ∈N +都成立,∴当n =1,2时有⎩⎨⎧1=3(a -b )+14,1+2×3=32(2a -b )+14,⇒⎩⎨⎧1=3a -3b +14,7=18a -9b +14,解得⎩⎨⎧a =12,b =14,答案:A5.用数学归纳法证明“n 3+5n 能被6整除”的过程中,当n =k +1时,式子(k +1)3+5(k +1)应变形为________.解析:(k +1)3+5(k +1)=k 3+3k 2+3k +1+5k +5 =k 3+5k +3k 2+3k +6 =k 3+5k +3k (k +1)+6. 答案:k 3+5k +3k (k +1)+66.用数学归纳法证明122+132+…+1(n +1)2>12-1n +2.假设n =k 时,不等式成立,则当n =k +1时,应推证的目标不等式是________.解析:观察不等式中各项的分母变化知,n =k +1时,122+132+…+1k 2+1(k +1)2+1(k +2)2>12-1k +3.答案:122+132+…+1k 2+1(k +1)2+1(k +2)2>12-1k +3 7.用数字归纳法证明:12×4+14×6+16×8+…+12n ×(2n +2)=n4(n +1). 证明:(1)当n =1时, 左边=12×4=18,右边=18,等式成立.(2)假设n =k (k ∈N +)时,等式成立, 即12×4+14×6+16×8+…+12k ×(2k +2)=k4(k +1)成立. 则当n =k +1时,12×4+14×6+16×8+…+12k ×(2k +2)+1(2k +2)×(2k +4)=k4(k +1)+14(k +1)(k +2)=k (k +2)+14(k +1)(k +2)=k +14(k +2)=k +14[(k +1)+1].所以n =k +1时,等式也成立.由(1)和(2)可知,对一切n ∈N +,等式都成立.8.已知数列{a n }中a 1=-23,其前n 项和S n 满足a n =S n +1S n+2(n ≥2),计算S 1,S 2,S 3,S 4,猜想S n 的表达式,并用数学归纳法加以证明.解:当n ≥2时,a n =S n -S n -1=S n +1S n +2.∴S n =-1S n -1+2(n ≥2).则有:S 1=a 1=-23,S 2=-1S 1+2=-34,S 3=-1S 2+2=-45,S 4=-1S 3+2=-56,由此猜想:S n =-n +1n +2(n ∈N +).用数学归纳法证明:①当n =1时,S 1=-23=a 1,猜想成立.②假设n =k (k ∈N +)时猜想成立即S k =-k +1k +2成立,那么n =k +1时,S k +1=-1S k +2=-1-k +1k +2+2 =-k +2k +3=-(k +1)+1(k +1)+2,即n =k +1时猜想成立.高中数学课程由①②可知,对任意正整数n,猜想结论均成立.11。
【成才之路】2015-2016学年高中数学 第2章2. 3数学归纳法课时作业 新人教B 版选修2-2一、选择题n+2 ]1. --------------------------------------------- 用数学归纳法证明1 + Q +扌 Q 11=~ gHl ),在验证刀=1等式成q_\立时,等式左边的式子是()A. 1B. 1 + qC. 1 + g+ qD. 1 + g+ q + q[答案]C[解析]左边=1 + ^+<7* = 1 + g+J 故选C.2. ....................................................................................................... 用数学归纳法证明(/?+1)(卄2)(卄3)…(/?+/?) =2"・1・3 ........................................... (2/7—1)(刀WN"),从n=k 到刀=&+1,左边的式子Z 比是()& 2 2A+13. 用数学归纳法证明詁T+册+•••+£;彩(/总2,圧NJ 的过程中,由n=k 递推到 n=k+\时不等式左边()A. 增加了一项2B. 增加了两项眩+]+2«+21A ------- 2A+1 C. 2A+1 k+1D.2A+3 k+1[答案]B [解析]A+l k+2 A+3 - k+k A+l + 1 &+1+2 …W+l + W+l £+1 k+2 £+3 …2k 7+2 &+3 …2k 2A+12k+21.故选B.C.增加了B中两项但减少了一项汁YD.以上各种情况均不对[答案]C[解析]/?=&时,左边=计y+计?—右,刀=&+1时,左边=计计^—丄+丄+丄2A- 2A-+1 2A+2••.增加了2«+1+2«+2'减少「叭+1,故选C.4.设平面内有〃条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,设&条直线的交点个数为,则/U+1)与f@的关系是()A.f(k+l)=f(/d+k-lB./U+D=/U)+A4-lC.f(W+l)=f(£)+«+2D.f(k+l)=f(/d+k[答案]D[解析]因为任何两条不平行,任何三条不共点,所以当增加一条直线时,则增加k 个交点,故交点个数为/U) +k.5.某个与正整数刀有关的命题,如果当n=kgN\时该命题成立,则可推得n=k+\时该命题也成立,现已知77=5时命题不成立,那么可推得( )A.当/?=4时该命题不成立B.当77=6吋该命题不成立C.当77=4时该命题成立D.当77=6时该命题成立[答案]A[解析]rtl命题及其逆否命题的等价性知选A.6.等式12+22+32+- + /?2=|(5/?2~7/7+4)( )A.刀为任何正整数都成立B.仅当/7=1,2,3时成立C.当/7=4时成立,刃=5吋不成立D.仅当刀=4时不成立[答案]B[解析]经验证,刀=1,2,3时成立,刀=4, 5,…不成立.故选B.4 I 27.(2015 •枣庄一模)用数学归纳法证明1 +2 + 3 +・・・+ /=仝于,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上()A.牙+1B. a+i)2亠k+\4+ A+lD.(#+1) + (护+2) + (#+3)+・・・+(&+1)2[答案]D[解析]•・•当n=k时,左边=1+2 + 3 +・・・+尸.当n=k+l吋,左边=1+2 + 3 +・・・+斥+(护+1)+…+(&+1尸,・••当n=k+\时,左端应在n=k的基础上加上(#+1)+ (#+2)+ (#+3)+・••+(&+ I)2.8.用数学归纳法证明“/+5+1)'+(〃+2)'(用2)能被9整除”,要利用归纳假设证/7=«+1时的情况,只需展开()A. (£+3尸B. (£+2尸C.(斤+1尸D.(斤+1)3+(斤+2)‘[答案]A[解析]因为从n=k到心&+1的过渡,增加了(&+3几减少了护,故利用归纳假设,只需将(A+3)3展开,证明余下的项9#+27彳+27能被9整除.二、填空题9.(2015 •辽宁师大附中高二检测)用数学归纳法证明“1+2 + 22+・・・+ 2”7 = 2〃一1(刀WN+)”的过程中,第二步n=k时等式成立,则当/7=斤+1时应得到 ___________ .[答案]1+2 + 2'+…+21+2"=2*+| — 110.用数学归纳法证明当用N+时,l+2+22+23+- + 25fl~1是31的倍数时,当刀=1时原式为_________ ,从kf k+1时需增添的项是___________l+2 + 22+23+2* 25X+25A+1 + 25A+2+25糾'+25A+4[答案]11.________________________________________________________ 使不等式2“>d+l对任意n^k的自然数都成立的最小殳值为_____________________________ [答案]5[解析]2—32,52+1=26,对心5的所有自然数〃,2”>/+1都成立,自己用数学归纳法证明之.三、解答题12.已知f(刀)=1+£+**・・・+*,用N+,求证:刀+厂⑴+…+心―1)=刀心)(处2且用N+).[证明]⑴当n=2时,左边=2 + f(l)=3,右边=2/(2) =3,等式成立.(2)假设n=k时,k+ /'(I) H -------- f(k_V) = kf© .当n=k+l时,&+i+f(i)+・・・+/U-i)+/W=i+/w +MA )= a+i )/U )+1 =(«+i )・(Hw)+^y )=(&+i)f(w+i ).即n=k+1时,命题成立.根据(1)和(2),可知结论正确.能力提升二一、选择题1. 用数学归纳法证明“S+1)S+2)・・・S+/2)=2”X1X3・・・(2/2-1)5W N+)”,则“从斤到£+1”左端需乘的代数式为()A. 2&+1B. 2(2&+1)2A+1 2&+3 r -------- n ----------------------------------------------------- ° k+\ k+\[答案]B[解析]n=k 时左式=(斤+1)(&+2)(&+3)n= k~\~ I 时左式=(£+2) (£+3)…(2&+1) (2A+2)故"从 k 到 &+1"左端需乘2. 已知数列{弘}, $1 = 1,日2 = 2, /+i = 2/+/_i (&GN"),用数学归纳法证明釦能被4 整除时,假设釦能被4整除,应证()A. a u+i 能被4整除B.弘+2能被4整除C.刘+3能被4整除D.创&+4能被4整除[答案]D[解析]在数列仙”}中,相邻两项下标差为4,所以纵后一项为去+4.故选D.3. (2015 •锦州期中)在数学归纳法证明多边形内角和定理时,第一步应验证( ) A.刀=1成立 B.刀=2成立 C. 〃=3成立D. 〃=4成立[答案]C[解析]多边形的边数最少是3,即三角形, ・•・第一步验证刀等于3.4. 用数学归纳法证明3"2/?(刀$3,刀WN ),第一步应验证( )A.刀=1B. n=2C. 〃=3D. 〃=42A+1 2k+2k+\=2(2&+1).故选 B.[答案]C[解析]・・・〃23, /7WN,・・・第一步应验证/?=3时,命题成立.二、填空题5. 用数学归纳法证明关于刀的恒等式时,当n=k 时,表达式为1X4 + 2X7 +…+斤(3& + 1)=A(A4-1)2,则当n=k+1时,待证表达式应为 _____________ .[答案]lX4 + 2X7 + ・・・ + £(3斤+1) +(斤+1) (3£+4) = (£+1) U+2)26. 用数学归纳法证明:l+2 + 22+- + 2/?-, = 2fl -l(/?GN*)的过程如下:① 当77=1时,左边=2°=1,右边=21—1 = 1,不等式成立; ② 假设n=k 时,等式成立, 即 1+2+2'+…+ 2^ = 2 j 则当n=k+l 时,1 +2 + 労 +…+=2好】一1,所以n= k+1时等式成立.由此可知对任意正整数77,等式都成立. 以上证明错在何处? ___________ • [答案]没有用上归纳假设[解析]由数学归纳法证明步骤易知其错误所在.7. 设 5 = 12, &=12+22+12,…,5;=12+22+32+- + /?2+-+22+12.用数学归纳法证明S* 时,第二步从“n=k 到刀=&+1”右边应添加的项为A+2 >2A +1 三、解答题8. 在数列{禺}中,曰1 =及=1,当时,满足 亦2=亦1 +孙 且设b n = a.\,},求证:{加 的各项均为3的倍数.[证明](1) V ^1 = 52=1,故念=臼1 + 观=2, <21 — ^3 4~ 4^2 = 3.5 =越=3,当n — 1时,5能被3整除. (2)假设n= k 时,即反=业是3的倍数.贝9 刀=«+ 1 时 9 bk+\ = &1伙+1)=臼仏+4)= &1&+3+ H\k+2 =&仏+2+十日4«+1 + a“=3日必+1十2&以・[答案]斤+2・2*+12[解析] S"小广+1k 2*+1rh归纳假设,购是3的倍数,故可知力屮是3的倍数..\n=k+l时命题正确.综合(1)、(2)可知,对于任意正整数/?,数列{加的各项都是3的倍数.9.若不等式士T+治+治+…+石吕>法对一切正整数〃都成立,求止整数自的最大值,并证明你的结论.〔解析]取门=1,I + I + I+2+3X 1 + 1=24,26 a令刃〉訂,得日〈26,且日WN十.・・・取日=25.下面用数学归纳法证明: 士+忌+…+爲①77=1时,结论己证.②假设刀=«(心+)时,击+占+•••+侖>务则当宀+1时,有J +1小+2 + T3A+l+3A+2 + 3A+3 + 3 A+1 +1k+1 +7+2 +,,> + 3A+T) + (3A+2 + 3A+3 + 3A+4 W 24 ■+・・•+! ________ 总•* † £+1 +1 十k+\+2十十3 k+\+1 24' 即n=k+ 1吋,结论也成立.由①②可知,对一切/7WN+,都有占+忌+•••+為>|为故臼的最大值为25.3 k+l」•1 . 1 6 k+l 2† 3斤+2 3«+4一9F+18W+8 3 k+\.25 「]丿"十L3斤+2十3&+42TT>0.。
年级 高二 学科 数学 版本 苏教版(理) 课程标题 选修2-2第2章第3节 数学归纳法一、学习目标:了解数学归纳法的原理,会用数学归纳法证明与自然数有关的命题。
二、重点、难点能运用数学归纳法证明和自然数有关的命题。
三、考点分析:数学归纳法中的归纳思想是比较常见的数学思想,因此要重视。
数学归纳法在考试中时隐时现,且较隐蔽,因此在复习中应引起重视。
只要与自然数有关,都可考虑使用数学归纳法,当然主要是恒等式、等式、不等式、整除问题、几何问题、三角问题、数列问题等联系得更多一些。
一、数学归纳法的定义:由归纳法得到的与自然数有关的数学命题常采用下面的证明方法:(1)先证明当n =n 0(n 0是使命题成立的最小自然数)时命题成立;(2)假设当n =k (k ∈N*, k ≥n 0)时命题成立,再证明当n =k +1时命题也成立,那么就证明这个命题成立,这种证明方法叫数学归纳法。
二、数学归纳法的应用:(1)证恒等式;(2)整除性的证明;(3)探求平面几何中的问题;(4)探求数列的通项;(5)不等式的证明。
特别提示(1)用数学归纳法证题时,两步缺一不可;(2)证题时要注意两凑:一凑归纳假设;二凑目标。
例1 已知nn n n n f 21312111)(+++++++= ,则)1(+n f 的值为( ) A. )(n f +)1(21+n B. )(n f +121+n +)1(21+n C. )(n f -)1(21+n D. )(n f +121+n -)1(21+n 思路分析:)(n f 是从n +1开始的n 个连续自然数的倒数和,故)1(+n f 是从n +2开始的n +1个连续自然数的倒数和,即=)(n f +121+n -)1(21+n 故选D 。
解题后反思:用数学归纳法证明问题的过程实质上是一个递推的过程,(1)是递推的基础,(2)是递推的条件;二者缺一不可。
例2 用数学归纳法证明等nn n n n 212111211214131211+++++=--++-+- 。
思路分析:和自然数有关的命题的证明可以选用数学归纳法。
证明:(1)当n =1时,左边=21211=-=右边,等式成立 (2)假设当n =k 时等式成立,即kk k k k 212111211214131211+++++=--++-+-则)221121(212111)221121(211214131211+-+++++++=+-++--++-+-k k k k k k k k k 2211212121+++++++=k k k k , ∴当n =k +1时,等式也成立,综合(1)(2),等式对所有正整数都成立解题后反思:(1)用数学归纳法证题时,两步缺一不可;(2)证题时要注意两凑:一凑归纳假设;二凑目标。
例3 在数列{a n }中,a 1=1,当n ≥2时,a n ,S n ,S n -21成等比数列。
(1)求a 2,a 3,a 4,并推出a n 的表达式;(2)用数学归纳法证明所得的结论。
思路分析:本题考查了数列、数学归纳法,可以依托等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤,采用的方法是归纳、猜想、证明。
求通项可先证明{n S 1}是以11S 为首项,21为公差的等差数列,进而求得通项公式 解题过程:∵a n ,S n ,S n -21成等比数列, ∴S n 2=a n ·(S n -21)(n ≥2) (*) (1)由a 1=1,S 2=a 1+a 2=1+a 2,代入(*)式得a 2=-32 由a 1=1,a 2=-32,S 3=31+a 3代入(*)式得a 3=-152 同理可得a 4=-352,由此可推出a n =⎪⎩⎪⎨⎧>---=)1( )12)(32(2)1( 1n n n n (2)①当n =1,2,3,4时,由(*)知猜想成立②假设n =k (k ≥2)时,a k =-)12)(32(2--k k 成立 故S k 2=-)12)(32(2--k k ·(S k -21) ∴(2k -3)(2k -1)S k 2+2S k -1=0∴S k =321,121--=-k S k k (舍) 由S k +12=a k +1·(S k +1-21),得(S k +a k +1)2=a k +1(a k +1+S k -21)由①②知,a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥---=)2()12)(32(2)1(1n n n n 对一切n ∈N *成立 解题后反思:(2)中,S k =-321-k 应舍去,这一点往往容易被忽视。
例4 是否存在常数a 、b 、c 使等式1·(n 2-12)+2(n 2-22)+…+n (n 2-n 2)=an 4+bn 2+c 对一切正整数n 成立?证明你的结论。
思路分析:先取n =1,2,3探求a 、b 、c 的值,然后用数学归纳法证明对一切n ∈N *,a 、b 、c 所确定的等式都成立。
解题过程:分别用n =1,2,3代入解方程组下面用数学归纳法证明。
(1)当n =1时,由上可知等式成立;(2)假设当n =k 时,等式成立,则当n =k +1时,左边=1·[(k +1)2-12]+2[(k +1)2-22]+…+k [(k +1)2-k 2]+(k +1)[(k +1)2-(k +1)2]=1·(k 2-12)+2(k 2-22)+…+k (k 2-k 2)+1·(2k +1)+2(2k +1)+…+k (2k +1) =41k 4+(-41)k 2+(2k +1)+2(2k +1)+…+k (2k +1) =41(k +1)4-41(k +1)2。
∴当n =k +1时,等式成立。
由(1)(2)得等式对一切的*N n ∈均成立。
解题后反思:本题是探索性命题,它通过观察——归纳——猜想——证明这一完整的思路过程去探索和发现问题,并证明所得结论的正确性,这是非常重要的一种思维能力。
(全国高考)已知数列{}n a 中,1111,n n a a c a +==-。
(1)设51,22n n c b a ==-,求数列{}n b 的通项公式; (2)求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围。
思路分析:(1)将c =52代入到1n a c +=-1n a 中整理,并替换n b =12n a -,得到关系式142n n b b +=+,进而可得到{23n b +}是首项为13-,公比为4的等比数列,先得到2 3n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的通项公式,即可得到数列{}n b 的通项公式。
(2)先求出12n =,时的c 的取值范围,然后用数学归纳法分3步进行证明,当2c >时1n n a a +<,然后当2c >时,令α=111n n n n na a c a a a α+++=<得<,可发现103c >时不能满足条件,进而可确定c 的取值范围。
解题过程:(1)n n n n a a a a 22212521-=--=-+, 22422211+-=-=-+n n n n a a a a ,即241+=+n n b b 。
⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++324321n n b b ,又a 1=1,故12111-=-=a b , 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫+32n b 是首项为31-,公比为4的等比数列, (2)1,121-==c a a ,由a 2>a 1得c >2。
用数学归纳法证明:当c >2时,a n <a n +1。
(i )当n =1时,1121a a c a >-=,命题成立; (ii )设当n =k 时,1+<k k a a ,则当n =k +1时,a k +2=1111++=->-k kk a a c a c 。
故由(i )(ii )知当c >2时,a n <a n +1。
当c >2时,令242-+=c c α,由c a a a a nn n n =+<++111得a n <α。
当2<c ≤310时,a n <α≤3。
当c >310时,α>3,且1≤a n <α,于是 当n <log 331--αα时, α-a n +1<α-3, a n +1>3。
因此310>c 不符合要求。
所以c 的取值范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛310,2。
解题后反思:本题主要考查了数列的通项公式、递推数列、不等式等知识,在解题过程中渗透了函数与方程、归纳与转化思想,属于难题,考查学生分析、归纳、探究和推理论证问题的能力。
用数学归纳法证明:n n 4313141......41412⋅-=+++ 错解:(1)当n =1时,左=右=41,等式成立 (2)假设当n =k 时等式成立,那么当n =k +1时,111243131411])41(1[41414141+++⋅-=--=+++k k k 综合(1)(2),等式对所有正整数都成立点拨:错误原因在于只有数学归纳法的形式,没有数学归纳法的“实质”。
正解:(1)当n =1时,左=右=41,等式成立 (2)假设当n =k 时等式成立,即k k 431314141412⋅-=+++ 那么当n =k +1时,数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法,在解数学题中有着广泛的应用。
它是一个递推的数学论证方法,论证的第一步是证明命题在n =1(或n 0)时成立,这是递推的基础;第二步是假设在n =k 时命题成立,再证明n =k +1时命题也成立,这是无限递推下去的理论依据,它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般,实际上它使命题的正确性突破了有限,达到无限。
这两个步骤密切相关,缺一不可,完成了这两步,就可以断定“对任何自然数(或n≥n 0且*N n ∈)结论都正确”。
由这两步可以看出,数学归纳法是由递推实现归纳的,属于完全归纳。
运用数学归纳法证明问题时,关键是对n =k +1时命题成立的推证,此步证明要具有目标意识,注意与最终要达到的解题目标进行分析比较,以此确定和调控解题的方向,使差异逐步减小,最终实现目标、完成解题。
运用数学归纳法,可以证明下列问题:与自然数n 有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。
用数学归纳法证明问题应注意:(1)第一步验证n =n 0时,n 0并不一定是1。
(2)第二步证明的关键是要运用归纳假设,特别要弄清由k 到k +1时命题的变化。
(3)由假设n =k 时命题成立,证n =k +1时命题也成立,要充分利用归纳假设,要恰当地“凑”出目标。
归纳、猜想、论证是培养学生观察能力、归纳能力以及推理论证能力的方式之一。