浙江省乐清市2012-2013学年高一数学下学期期末教学质量检测试题新人教A版

珠海市2012～2013学年度第二学期期末学生学业质量监测高一数学试题（A 卷）内容：数学必修②第二章，数学必修③，数学必修④．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知平面向量(4,1)a =，(,2)b x =，且a 与b 平行，则x =A ．8-B ．12-C ．8D ．122． 4sin3π的值是 A ．12 B ．12- C ．3 D ．3-3． 一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的对立事件是A. 至多有一次中靶B. 两次都中靶C. 只有一次中靶D. 两次都不中靶 4．将两个数8,17a b ==交换,使17,8a b ==,下面语句准确一组是5．某一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表： 摄氏温度/℃-5 04712 15 19 23 27 31 36热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54某同学利用智能手机上的Mathstudio 软件研究，直接得到了散点图及回归方程（如右图所示），请根据结果预测，若某天的气温是3℃，大约能卖出的热饮杯数为（ ）. A. 143 B. 141 C. 138 D. 134 （单词提示：Linear 线性）a=b b=a （A ） c=b b=a a=c （B ） b=aa=b（C ）a=c c=b b=a （D ）6.要从已编号（160-）的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来实行发射试验，用每部分选择的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选择的6枚导弹的编号可能是A ．5,10,15,20,25,30B ．3,13,23,33,43,53C ．1,2,3,4,5,6D ．2,4,8,16,32,48 7．如右下图所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，记BC a =，BA c =，则向量CD =A ．12a c --B ．12a c -+C ．12a c -D ．12a c +8．若5a =,=10a b ⋅，且与的夹角为060，则b =A ．163B ．16 C．3 D ． 49．右边程序执行后输出的结果是（ ）A.1- B ．0 C ．1 D ．210．直线30ax y ++=与圆22106250x y x y +-++=相切，则a 的值为（ ） A ．34 B ．34或34- C ．34- D ．43或43- 11．将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是（ ） A ．sin(2)3y x π=+ B ．1sin()23y x π=+ C .1sin()26y x π=+ D .sin(2)6y x π=+12． 已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tanA ．724B ．724-C ．247-D ． 247-二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分,请将准确答案填在答题卡上） 13． 以(1,2),(5,6)A B --为直径两端点的圆的标准方程为 ．14．二进制数定义为“逢二进一”，如2(1101)表示二进制数，将它转换成十进制形式，是321012120212⨯+⨯+⨯+⨯= 13，即2(1101)转换成十进制数是13，那么类似可定义k 进制数为“逢k 进一”，则8进制数8(102)转换成十进制数是_________．ACB15. 一个容量为20的样本数据，分组后组距与频数如下表：则样本在区间(),50-∞ 上的频率为__________________.16． 右图给出的是计算201614121++++ 的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是____________．17．某校高中部有三个年级，其中高三年级有学生1000人，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为180的样本，已知在高一年级抽取了70人，高二年级抽取了60人，则高中部三个年级的学生人数共有 人． 18．18． 函数sin 22y x x =的最小正周期为是 ． 19． 已知(3,4)a =-，若||b ＝5，b ⊥a ，则向量=______． 20．函数cos()3y x π=-的单调递减区间是__________________．三、解答题（本大题共5小题，每题10分，共50分.请将详细解答过程写在答题卡上） 21．已知||4a =，||3b =，()(2)4a b a b +⋅-=.（1）求a b ⋅（2）求||a b +.22．已知函数sin()(0,0)2y A x A πωϕωϕ=+><<，的图形的一个最高点为，由这个最高点到相邻的最低点时曲线经过(6,0)，求这个函数的解析式．23．某学校900名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50个样本，将测试结19题图果按如下方式分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组[]17,18，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩小于14秒认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数； （2）请估计学校900名学生中，成绩属于第四组的人数； （3）请根据频率分布直方图，求样本数据的众数和中位数．24．某次游园的一项活动中，设置了两个中奖方案：方案1：在如图所示的游戏盘内转动一个小球，如果小球静止时停在正方形区域内则中奖； 方案2：从一个装有2个红球和3个白球的袋中无放回地取出2个球，当两个球同色时则中奖． 两个方案中，哪个方案中奖率更高？请说明理由．25．已知OPQ 是半径为1，圆心角为4π的扇形，C 是扇形弧上的动点．ABCD 是扇形的内接矩形，记COP θ∠=．（1）求当角θ取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大值； （2）当矩形ABCD的面积为24-时，求角θ的值． 附加题：26． 在一次商贸交易会上，一商家在柜台展开促销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖．（1）若抽奖规则是从一个装有6个红球和4个白球的袋中有放回地取出2个球，当两个球同色时则中奖，求中奖概率；（2）若甲计划在9：00～9：40之间赶到，乙计划在9：20～10：00之间赶到，求甲比乙提前到达的概率．27．如图，已知在三角形ABC 中，3AB =,4AC =，5BC =． （1） 求向量AB AC BC ++的模；（2）若长为10的线段PQ 以点A 为中点，问BC PQ 与的夹角θ取何值时CQ BP ⋅的值最大？并求这个最大值．28． 在三角形ABC 中： （1）若4A B π+=，求(1tan )(1tan )A B ++的值．（2）若lg tan lg tan 2lg tan A C B +=，求证：.32B ππ≤<．。

2023学年第二学期温州市高一期末教学质量统一检测数学试题（A 卷）（答案在最后）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟．考生注意：1．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡上．2．选择题的答案须用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净．3．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应区域内，答案写在本试题卷上无效．选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量()()2,1,,1a b t ==-，若a ∥b，则t =（）A.2B.12C.2- D.3【答案】C 【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示运算求解.【详解】因为()()2,1,,1a b t ==-，若a∥b，则()211t ⨯-=⨯，即2t =-.故选：C.2.设m 是一条直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（）A.若αβ⊥，m α⊥，则//m βB.若αβ⊥，//m α，则m β⊥C.若//αβ，m α⊥，则m β⊥D.若//αβ，//m α，则//m β【答案】C 【解析】【分析】对于选项A ：根据面面垂直的性质定理即可判断；对于选项B ：根据面面垂直的性质定理即可判断；对于选项C ：根据面面平行的性质定理判断即可；对于选项D ：根据线面的位置关系判断即可.【详解】对于选项A ：若αβ⊥，m α⊥，则//m β或m β⊂，故A 不正确；对于选项B ：若αβ⊥，//m α，则//m β或m β⊂或m β⊥，故B 不正确；对于选项C ：若//αβ，m α⊥，根据面面平行的性质定理可得m β⊥，故C 正确；对于选项D ：若//αβ，//m α，则//m β或m β⊂，故D 不正确.故选：C.【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质定理以及面面平行的性质定理.属于较易题.3.复数024i 1i2=+（）A.11i 22-- B.11i 22-+ C.11i 22- D.11i 22+【答案】C 【解析】【分析】由复数的乘除法运算法则求解即可.【详解】()()2024i 11i 1i 11i 1i 1i 1i 1i 222z --=====-+++-.故选：C.4.如图，某校数学兴趣小组对古塔AB 进行测量，AB 与地面垂直，从地面C 点看塔顶A 的仰角β为60︒，沿直线BC 前行20米到点D 此时看塔顶A 的仰角α为30︒，根据以上数据可得古塔AB 的高为（）米.A. B.20 C.10D.【答案】A 【解析】【分析】根据直角三角形三角关系可得3BC h =，BD =，根据题意列式求解即可.【详解】设古塔AB 的高为h 米，在Rt ABC △中，可得60tan 3h BC ︒==；在Rt △ABD 中，可得tan 30hBD ==︒；由题意可知：CD BD BC =-，即203h =-，解得h =，所以古塔AB 的高为米.故选：A.5.数据：1，1，2，3，3，5，5，7，7，x 的40%分位数为2.5，则x 可以是（）A.2 B.3 C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】按照百分位数计算公式，逐项计算即可求解.【详解】对于A ，因为1040%4⨯=，所以若2x =，则1，1，2，2，3，3，5，5，7，7的40%分位数为232.52+=，故A 正确；对于B ，因为1040%4⨯=，所以若3x =，则1，1，2，3，3，3，5，5，7，7的40%分位数为3332+=，故B 错误；对于C ，因为1040%4⨯=，所以若4x =，则1，1，2，3，3，4，5，5，7，7的40%分位数为3332+=，故C 错误；对于D ，因为1040%4⨯=，所以若5x =，则1，1，2，3，3，5，5，5，7，7的40%分位数为3332+=，故D 错误.故选：A.6.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，)2224a c b S +-=，若1c =，则ABC 面积的取值范围是（）A.,84⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ B.,82⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C.,42⎛⎫⎪⎪⎝⎭D.,8⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据题意利用余弦定理和面积公式可得π3B=，利用正弦定理结合三角恒等变换可得112tanaC⎛⎫=+⎪⎪⎝⎭，代入面积公式结合角C的范围运算求解.)2224a cb S+-=，则12cos4sin2ac B ac B=⨯，整理可得tan B=，且π0,2B⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可知π3B=，由题意可得：π22ππ32CC⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62C<<，由正弦定理sin sina cA C=可得()31cos sinsinsin1221sin sin sin2tanC CB Cc AaC C C C+⎛⎫+====+⎪⎪⎝⎭，则ABC面积111sin111222tan28tanS ac BC C⎛⎫⎫==⨯+⨯⨯⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为ππ62C<<，则tan3C>，可得01tan C<<，所以ABC面积1,8tan84SC⎛⎫⎛⎫=+∈⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.7.已知样本数据129,,,x x x⋅⋅⋅的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据10x，此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为（）A.18.2B.19.6C.19.8D.21.7【答案】C【解析】【分析】根据平均数和方差公式整理可得9921181,837i ii ix x====∑∑，由新样本数据的平均数可得1019x=，结合方差公式运算求解即可.【详解】由题意可知：()9992221111119,99912999i i i i i i x x x ===⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭∑∑∑，可得9921181,837ii i i xx ====∑∑，且()9101011181101010i i x x x =⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭∑，解得1019x =，所以新样本数据的方差为()1010922222210111111101010101019.8101010i i i i i i x x x x ===⎛⎫⎛⎫-=-⨯=+-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑.故选：C.8.已知平面向量,,a b c 满足12,2a c a b a b a b λ==⋅=-≥- 对任意实数λ恒成立．若对每一个确定的c ，对任意实数m ，n ，c ma c nb -+- 有最小值t ．当c变化时，t 的值域为[],x y ，则x y +=（）A.2+B.C.2+D.【答案】D 【解析】【分析】根据题意结合向量的几何意义分析可知2b =，进而分析可知,MC NC 的最小值分别为过点C 分别作直线,OA OB 的垂线长，设COA θ∠=，分π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦和π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦两种情况讨论，结合三角函数运算求解即可.【详解】设,,OA a OB b OC c === ，OP b =uu u r rλ，可知P OB ∈，则a b OA OP PA -=-=uu r uu u r uu r r r λ，可知PA 的最小值即为点A 到直线OB 的距离，若12a b a b λ-≥-对任意实数λ恒成立，可知当点P 为线段OB 的中点，且AP OB ⊥，即a 在b方向上的投影向量为12b r ，则2122a b b ⋅==r r r ，可得2b = ，即2OB OA BA ===，可知OAB 为等边三角形，可设,OM ma ON nb ==uuu r uuur r r ，则,c ma MC c nb NC -=-= ，可知,MC NC的最小值分别为过点C 分别作直线,OA OB的垂线长，设COA θ∠=，根据对称性只需分析[]0,πθ∈即可，若π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得min minπ2sin 2sin 3t MC NC θθ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭π2sin sin sin 2sin 3θθθθθθ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，因为π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ2π,333θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，可得πsin ,132θ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，即2t ⎤∈⎦；若π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则min min π2sin 2sin 3t MC NC θθ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭π2sin sin 3sin 6θθθθθθ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，因为π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ5π,666θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，可得π1sin ,132θ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即t ∈；综上所述：t ∈，即x y ==x y +=故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是把向量的模长转化为两点间距离，结合几何性质分析求解，这样可以省去烦琐的运算.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知复数z 满足1z =，则下列结论正确．．的是（）A.1z z ⋅= B.1z z+∈R C.1z -的最大值为2 D.21z =【答案】ABC 【解析】【分析】根据共轭复数及乘法计算判断A,B 选项，应用特殊值法判断D 选项，结合模长公式判断C 选项.【详解】设i z =,所以22i 1z ==-,D 选项错误；112z z -≤+=,C 选项正确；设i z a b =+,因为1,z =所以221,1a b =+=，所以()()22222·i i i =1z z a b a b a b a b =+-=-+=,A 选项正确；1·i+i=2R z z z z z z a b a b a z z+=+=+=+-∈,B 选项正确.故选：ABC.10.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（）A.图（1）的平均数=中位数=众数B.图（2）的平均数<众数<中位数C.图（2）的众数<中位数<平均数D.图（3）的平均数<中位数<众数【答案】ACD 【解析】【详解】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断.【分析】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A 正确；图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B 错误，C 正确；图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D 正确.故选：ACD.11.正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，E ，F 分别为棱11B C ，AD （含端点）上的动点，记过C ，E ，F 三点的平面为α，记1d 为点B 到平面α的距离，2d 为点1D 到平面α的距离，则满足条件（）的α是不唯一的．A.12d d +=B.12d d +=C.122d d -=D.122d d +=【答案】AC 【解析】【分析】设1,C E x DF y ==，结合解三角形知识求得CEF △的面积S =，利用等体积法求得1d =2d =.根据题意结合选项逐一分析判断即可.【详解】设1,C E x DF y ==，则[],0,1x y ∈，可得CE CF EF ===在CEF △中，由余弦定理可得222cos 2CE CF EF ECF CE CF+-∠==⋅且()0,πECF ∠∈，则sin ECF ∠==，所以CEF △的面积1sin 2S CE CF ECF =⋅⋅∠=，设平面α与直线11A D 的交点为G ，连接,GF GE ，可知1D G x y =+，因为平面11ADD A ∥平面11BCC B ，且平面α 平面11ADD A GF =，平面α 平面11BCC B CE =，可得GF ∥CE ，同理可得：GE ∥CF ，可知四边形CEGF 为平行四边形，则GEF CEF S S S ==△△，对于三棱锥B CEF -可知：B CEF E BCF V V --=，则1111111332S d ⋅=⨯⨯⨯⨯，解得112d S ==；对于三棱锥1D GEF -可知：11D GEF F D EG V V --=，则()211111332S d x y ⋅=⨯⨯⨯⨯+，解得22x y d S +==；对于选项A：若12d d +==+=，显然01x y =⎧⎨=⎩和1x y =⎧⎨=⎩上式均成立，所以平面α是不唯一的，故A 正确；对于选项B：若12d d ==+=，整理可得()()()222110x y x y -+-+-=，解得1x y ==，所以平面α是唯一的，故B 错误；对于选项C：若122d d -+-===，显然02x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩和20x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩上式均成立，所以平面α是不唯一的，故C 正确；对于选项D：若122d d +===，整理可得()()()22221210x y x y -+-+-=，解得12x y ==，所以平面α是唯一的，故D 错误；故选：AC.【点睛】关键点点睛：将平面α延展为平面CEGF ，分析可知CEGF 为平行四边形，进而可利用等体积法求12,d d .非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．把答案填在题中的横线上12.已知2i 3-是关于x 的实系数方程220x px q ++=的一个根，则实数p 的值为_______．【答案】12【解析】【分析】根据题意分析可知2i 3--也是方程220x px q ++=的一个根，利用韦达定理运算求解即可.【详解】因为2i 3-是关于x 的实系数方程220x px q ++=的一个根，则2i 3--也是关于x 的实系数方程220x px q ++=的一个根，由韦达定理可得()()2i 32i 362p-+--=-=-，解得12p =.故答案为：12.13.设样本空间{}1,2,3,4Ω=含有等可能的样本点，{}{}{}1231,2,1,3,1,4A A A ===，则()()()()123123P A A A P A P A P A =_______．【答案】2【解析】【分析】根据题意利用列举法求()()()()123123,,,P A P A P A P A A A ，代入即可得结果.【详解】因为样本空间{}1,2,3,4Ω=，{}{}{}1231,2,1,3,1,4A A A ===，则{}1231A A A =，可知()()()()()1231234,2,1n n A n A n A n A A A Ω=====，则()()()()()()()()()()()()1231231231231111,,,2224n A n A n A n A A A P A P A P A P A A A n n n n ========ΩΩΩΩ，所以()()()()123123142111222P A A A P A P A P A ==⨯⨯.故答案为：2.14.与多面体的每条棱都相切的球称为该多面体的棱切球．已知四面体ABCD 满足6AB BC CD DA ====，8BD =，且四面体ABCD 有棱切球，则AC 的长为________．【答案】4【解析】【分析】设球心，和相应的切点，根据题意结合切线长性质可知相应的长度关系，结合题中棱长关系分析运算即可.【详解】设棱切球的球心为O ，与棱,,,,,AB BC CD DA AC BD 分别切于点,,,,,E F G H I J ，可知,,,AH AI AE BE BF BJ CI CF CG DH DG DJ ========，由题意可得：6668AH DH AE BE AH BE BF CF BE CF BJ DJ BE DH +=⎧⎪+=+=⎪⎨+=+=⎪⎪+=+=⎩，解得42BE DH AH CF ==⎧⎨==⎩，所以4AC AI CI AH CF =+=+=.故答案为：4.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是切线长相等，结合棱长列式求解即可.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知圆台上底面半径为1，下底面半径为2，高为2．（1）求该圆台的体积；（2）求该圆台母线与下底面所成角的余弦值．【答案】（1）14π3（25【解析】【分析】（1）根据题意利用台体的体积公式运算求解；（2）借助于轴截面，分析可知该圆台母线与下底面所成角的大小为CBE ∠，结合题中数据分析求解.【小问1详解】由题意可知：该圆台的体积(114ππ4ππ4π233V =++⨯⨯=.【小问2详解】借助于轴截面，如图所示，其中21,O O 分别为上、下底面圆的圆心，则21O O 与上、下底面均垂直，过C 作CE AB ⊥，垂足为E ，可知CE ∥21O O ，则CE 与上、下底面均垂直，则该圆台母线与下底面所成角的大小为CBE ∠，由题意可知：212CE O O ==，1BE =，可得BC ==，则cos 5BE CBE BC ∠==，所以该圆台母线与下底面所成角的余弦值为5.16.已知,a b是单位向量，满足2a b -= a 与b 夹角为θ．（1）求θ；（2）若平面向量c 在a 上的投影向量为,1a b c ⋅=，求c ．【答案】（1）2π3θ=（2）2c =【解析】【分析】（1）由题意可知1==a b r r ，cos a b θ⋅=r r ，由2a b -= 结合数量积的运算可得1cos 2θ=-，即可得结果；（2）设,,c xa yb x y =+∈R rr r，结合题意列式解得2x y ==，结合模长与数量积的运算律分析求解.【小问1详解】因为1==a b r r ，则cos cos a b a b θθ⋅==，若2a b -= ，则222244a b a a b b -=-⋅+，即714cos 4=-+θ，可得1cos 2θ=-，且[]0,πθ∈，所以2π3θ=.【小问2详解】由（1）可知：1==a b r r ，12a b ⋅=-r r ，由题意可设,,c xa yb x y =+∈R r r r，因为平面向量c 在a 上的投影向量为a，则21a c a ⋅==r r r ，由题意可得：22a c xa yab bc xa b yb⎧⋅=+⋅⎪⎨⋅=⋅⋅+⎪⎩ ，可得112112x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得2x y ==，则()2a c b =+ ，可得()()2224241114c a a b b =+⋅+=-+= ，所以2c =.17.如图，ABC 绕边BC 旋转得到DBC △，其中2AC BC ==，,AC BC AE ⊥⊥平面ABC ，DE ∥AC．（1）证明：BC ⊥平面ACD ；（2）若二面角B DE C --的平面角为60︒，求锐二面角D CB A --平面角的正弦值．【答案】（1）证明见详解（2）3【解析】【分析】（1）根据题意可得,BCAC BC CD ⊥⊥，结合线面垂直的判定定理分析证明；（2）作辅助线，根据三垂线法分析可知二面角B DE C --的平面角为60BFC ∠=︒，可得CF =结合（1）分析可知锐二面角D CB A --平面角为ACD ∠，运算求解即可.【小问1详解】由题意可知：,BCAC BC CD ⊥⊥，且AC CD C = ，,AC CD ⊂平面ACD ，所以BC ⊥平面ACD .【小问2详解】过C 作CF DE ⊥，垂足为F ，连接BF ，即CF EF ⊥，因为BC ⊥平面ACD ，EF ⊂平面ACD ，则BC EF ⊥，且CF BC C = ，,CF BC ⊂平面BCF ，则EF ⊥平面BCF ，由BF ⊂平面BCF ，可得EF BF ⊥，可知二面角B DE C --的平面角为60BFC ∠=︒，且2BC =，可得23CF =，由（1）可知：,BCAC BC CD ⊥⊥，则锐二面角D CB A --平面角为ACD ∠，且DE ∥AC ，可知ACD CDF ∠=∠，可得233sin sin 23CF ACD CDF CD ∠=∠==，所以锐二面角D CB A --平面角的正弦值为33.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，过ABC 内一点M 的直线l 与直线AB 交于D ，记BA 与DM夹角为θ.（1）已知cos sin c a B b A -=，（i ）求角A ﹔（ii ）M 为ABC 的重心，1,30b c θ===︒，求AD；（2）请用向量方法．．．．探究θ与ABC 的边和角之间的等量关系.【答案】（1）（i ）45︒；（ii ）6226+（2）cos cos()cos()c a B b A θθθ=-++【解析】【分析】（1）（i ）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得；（ii ）由1()3AM AB AC =+ 及数量积模的运算求得2cos 32AAM =，根据正弦定理结合三角恒等变换得AD211sin cos 3222A A ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭，将45A =o 代入求值即可；（2）由BA BC CA =+，结合数量积可得DE BA DE BC DE CA ⋅=⋅+⋅ ，再运用数量积定义可分别求出DE BA ⋅ 、DE BC ⋅、DE CA ⋅ ，代入整理即可.【小问1详解】（i ）因为cos sin c a B b A -=，由正弦定理可得sin sin cos sin sin C A B B A -=，即()sin sin cos sin sin A B A B B A +-=，所以cos sin sin sin A B B A =，又0180B << ，所以sin 0B >，所以cos sin A A =，所以tan 1A =，又0180A << ，所以45A =o .（ii ）由题意1,30b c θ===︒，因为M 为ABC 的重心，所以1()3AM AB AC =+，所以12cos 332A AM AM AB AC ==+=== ，在ADM △中，由正弦定理知AD AM θ=∠，所以sin AM AD AMD θ=⨯∠，显然ABC 为等腰三角形，则AM 平分BAC ∠，所以sin 302sin 301222AM A A AD AD AM ⎛⎫⎛⎫==⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭441cos sin 30cos sin cos 322322222A A A A A ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222112sin cos cos sin cos 322223222A A A A A ⎛⎫⎛⎫=⨯+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2321216223222226⎛⎫++=⨯+⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭；【小问2详解】直线l 与ABC 的边AC 相交于点E ，如图所示，因为BA BC CA =+，所以()DE BA DE BC CA ⋅=⋅+ ，即DE BA DE BC DE CA ⋅=⋅+⋅ ，又因为||||cos ||cos DE BA DE BA EDA c DE θ⋅=∠=，||||cos()||cos()DE BC DE BC B a DE B θθ⋅=-=-，||||cos()||cos()DE CA DE CA A b DE A θθ⋅=+=+，所以||cos ||cos()||cos()c DE a DE B b DE A θθθ=-++，即cos cos()cos()c a B b A θθθ=-++.19.给定两组数据()12,,,n A x x x =⋅⋅⋅与()12,,,n B y y y =⋅⋅⋅，称()1,niii X A B x y==-∑为这两组数据之间的“差异量”．鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有n 个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为()1,2,,I n =⋅⋅⋅．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这n 个古董的价值从高到低依次进行重新排序为12,,,n x x x ⋅⋅⋅，其中i x 为该专家给真实价值排第i 位古董的位次编号，记()12,,,n A x x x =⋅⋅⋅，那么A 与I 的差异量()1,nii X A I x i ==-∑可以有效反映一个专家的水平，该差异量(),X A I 越小说明专家的鉴宝能力越强．（1）当3n =时，求(),X A I 的所有可能取值；（2）当5n =时，求(),4X A I =的概率；（3）现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值I 的差异量为a ，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值I 的差异量是否可能为6a +？请说明理由．【答案】（1）0，2，4（2）18（3）不可能，理由见详解【解析】【分析】（1）利用列举法求A 的所有可能性结果，结合(),X A I 的定义运算求解；（2）分析可知样本容量()Ω120n =，且(),4X A I =只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序，结合（1）中结论运算求解；（3）由题意可得：1n ii x i a =-=∑，14niii x y=-=∑，结合绝对值不等式的运算求解.【小问1详解】若3n =时，则()()()()()()1,2,3,1,3,2,2,1,3,2,3,1,3,1,2,3,2,1A =，且()1,2,3I =，可得(),0,2,2,4,4,4X A I =，所以(),X A I 的所有可能取值为0，2，4.【小问2详解】设“(),4X A I =”为事件M ，样本空间为Ω，因为5n =，可知A 共有54321120⨯⨯⨯⨯=个，即样本容量()Ω120n =，显然若对调两个位置的序号之差大于2，则(),4X A I >，可知(),4X A I =只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序，若调整两次两个连续序号：则有()(){}()(){}()(){}1,2,3,4,1,2,4,5,2,3,4,5，共有3种可能；若连续三个序号之间调整顺序，连续三个序号有：{}{}{}1,2,3,2,3,4,3,4,5，共3组，由（1）可知：每组均有3种可能满足(),4X A I =，可得共有3412⨯=种可能；综上所述：()31215n M =+=.所以()()()151Ω1208n M P B N ===.【小问3详解】不可能，理由如下：设专家甲的排序为12,,,n x x x ⋅⋅⋅，记()12,,,n A x x x =⋅⋅⋅；专家乙的排序为12,,,⋅⋅⋅n y y y ，记()12,,,n B y y y =⋅⋅⋅；由题意可得：()1,n ii X A I x i a ==-=∑，()1,4niii X A B x y==-=∑，因为()()i i i i i i i i i i y i y x x i y x x i x i x y -=-+-≤-+-=-+-，结合i 的任意性可得11146nnniiiii i i y i x i x ya a ===-≤-+-=+<+∑∑∑，所以专家乙的鉴定结果与真实价值I 的差异量不可能为6a +.【点睛】方法点睛：1.对于（2）：利用转化法，将问题转为（1）中已知的结论；2.对于（3）：结合绝对值不等式分析证明.。

2012－2013学年度上学期期末考试高一年级数学科试卷参考答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本题解答不同，可根据试题的主要．．．．．．．． 考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难 度，可视影响的程度决定后继部分的给分；如果后继部分的解答有较重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）ADCDA CDBBA AD第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接写在横线上.） 13.22(1)5x y +-=;14．[2,)+∞;15. 14π;16. [6,72]三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分） 解(1)1m =时()ln2x f x x -=-，令02xx ->-，得02x <<，从而{|1A B x x =≤< ……………………………………………………5分（2）由101m xx m-->--且0m >，得[(1)][(1)]0x m x m ---+<从而11m x m -<<+.又A B ⊆，故11m -<且14m +>解得3m >……………………………………………………………10分18．（本小题满分12分） 解：（1）证明： 三棱柱111C B A ABC -中，侧棱与底面垂直，且1BB BC =∴四边形11B BCC 是正方形．11BC B C ∴⊥．2,AB BC AC === AB BC ∴⊥1111A B B C ∴⊥,又1111111,A B BB BB B C B ⊥=11A B ∴⊥平面11BB C C ,1BC ⊂平面11BB C C 11A B ∴⊥1BC 又111111,BC B C A B B C B ⊥= 1BC ∴⊥平面11A B C ………………6分（2）由（1）同理可知，BC ⊥平面11ABB A 故三棱锥11C A B N -的高为2BC = 又11Rt A B N ∆的面积为1111121122S A B B N =⋅=⨯⨯= 从而111111212333C A B N N A V S BC -∆=⋅⋅=⋅⋅=B ………………………………12分19．（本小题满分12分）解（1）当5t =，510(5)10060140f a=-=，解得4a =………………4分（2）(5)140,(35)115f f == 所以，上课开始后第5分钟学生的注意力比下课前5分钟时注意力更集中……………………………………………………8分（3）当100≤<t 时，函数10100460t y =⨯-为增函数，且(5)140f =，所以510t ≤≤时满足题意；当4020≤<t 时，令()15640140f t t =-+≥解得100203t <≤……………………………………………………………………10分 则学生注意力在180以上所持续的时间10085533-=分钟……………………12分 20.（本小题满分12分）解（1）621723217AH k -==-- 所以:12(4)BC y x -=-，即27y x =-……………………2分611723547BH k -==-所以:25(1)AC y x -=--，即57y x =-+……………………4分联立2757y x y x =-⎧⎨=-+⎩，解得23x y =⎧⎨=-⎩，即(2,3)C -……………………6分（2）记点,,A B C 到l 的距离的平方和为M=222⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=2221141k k ++27211k =-+…………10分 因为211k +≥，故27071k<≤+，从而M 的取值范围为[14,21)……………… 12分 21．（本小题满分12分） 解：（1）设()()1f x x cg x ax b x x-==++-，又()()g x g x -=-恒成立， 得1b =…………………………………………………………………………2分从而22lg 12x x y -=+，设2231(0,2)1212x x xu -==-+∈++……………………………4分 所以函数值域为(,lg 2)-∞………………………………………………………………6分 （2）由题意，222()22()48b b f x x bxc x c =++=+-+，设()f x 在[1,1]-上的最大值最小值分别为,M m .①当||14b ≥即||4b ≥时，|(1)(1)||2|8M m f f b -=--=≥与题意不符；…………8分②当||14b <即||4b <时，M 必为(1),(1)f f -中最大者，2||M b c ∴=++，而28b m c =-，从而222||()2||688b b M m bc c b -=++--=++≤解得||4b ≤………………………………………………………………………10分综上44b -≤≤………………………………………………………………12分 22．（本小题满分12分） 解：（1）设(,)M x yλ=，从而得222222(1)(1)(42)30x y y λλλλ-+--++-=……………………2分①当1λ=时，轨迹方程为13y =；………………………………………………4分②当λ=224()13x y ++=……………………………………6分（2）由题意，2224:()13C x y ++=表示半径为1的圆，记圆心24(0,)3C -设点(,)P a b ，1:()l y b k x a -=-，则21:()l y b x a k-=--因为当12,l l 分别与曲线12,C C 相交时，恒有1l 被曲线1C 截得的弦长与2l 被曲线2C 截得的弦长相等，而两圆半径相等，从而等价于1C 到1l 的距离与2C 到2l 的距离恒相等.即44|||()|a b b k a ++++== 亦即4|2||()|3ak b b k a +-=++………………………………………………8分从而有432a b b a ⎧=+⎪⎨⎪-=⎩或432a bb a⎧=--⎪⎨⎪-=-⎩， 解得5313a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或5313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故P 点坐标为51(,)33或51(,)33-…………………………12分。

乐清市2012-2013学年第二学期期末考试高二理科数学试题卷一、选择题 (共10小题，每小题4分,共40分) 1．i 是虚数单位，复数2iz i+=的虚部是 ( ▲ ) A ． -2i B ．-2 C ．2 D ．12.下列求导运算正确的是 ( ▲ )A. 22()x x e e '=B.'=C. 2ln 1)(log 2x x =' D. 22(cos )2cos sin x x x x x x '=+ 3. 把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为 ( ▲ ) A ．1 B ．12 C ．13 D ．144.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数)(x f ，如果0)(0='x f ，那么0x x =是函数)(x f 的极值点，因为函数3)(x x f =在0=x 的导数值0)0(='f ，所以0=x 是函数3)(x x f =的极值点. 以上推理中 ( ▲ ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.结论正确5．设实数,,a b c 满足3a b c ++=，则,,a b c 中 ( ▲ ) A ．至多有两个不小于1 B ．至少有两个不小于1 C ．至多有一个不大于1 D ．至少有一个不小于16.已知离散型随机变量X 的分布列如右表所示，若E (X )=0，D (X )=1，则a -b = ( ▲ )A .61 B. 121 C . 1 D. 07. 若521()1x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为－1，则a 的值为 ( ▲ )A ．1B ．8C ．－1或－9D ．1或98. 从6个高度不同的同学中选取5个同学排成一排照相，要求偶数位置的同学高于相邻两个奇数位置的同学，则可产生的照片数是 ( ▲ )A ． 60 B.72 C.84 D.96 9.已知)(x f y =是定义在R 上的函数，且1)1(=f ，)('x f >1,则x x f >)(的解集是( ▲ )A ．(0 , 1)B ．)1,0()0,1( -C ．),1(+∞D ．),1()1,(+∞--∞10． 口袋里放有大小相同的2个红球和1个白球，有放回的每次摸取一个球，定义数列{}n a ：⎩⎨⎧-=次摸取白球第次摸取红球第n n a n 11 ，如果n S 为数列{}n a 的前n 项之和，那么37=S 的概率为 ( ▲ )A ．729224B ．72928C ．238735D ．7528 二、填空题(共7小题，每小题4分,共28分)11．已知a,b 是实数，且2(4)40b i b ai ++++=（其中i 是虚数单位），则a bi +的值是___▲___．12. 0246201220132013201320132013C C C C C +++++=____▲_ ．13.求曲线1xe y x =+在点(1,)2e 处的切线方程_______▲________．14.函数()ln f x x x =的单调递减区间是 ▲ ． 15．用数学归纳法证明“n n ≤-+++++1214131211 ”（+∈N n ）时，从 “1+==k n k n 到”时，左边应增添的式子是 ▲ ． 16.函数1222131)(23++-+=a ax ax ax x f 的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是__________▲________．17. 如图,将平面直角坐标系中的格点（横、纵坐标均为整数的点） 按如下规则标上数字标签：原点)0,0(处标0，点)0,1(处标1，点)1,1(-处标2，点)1,0(-处标3，点)1,1(-－处标4，点)0,1(－处标5，………,依此类推，则标签20132014⨯对应的格点的坐标为__ ▲____．三、解答题：本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本题满分8分）学校组织5名同学甲、乙、丙、丁、戊去3个工厂A 、B 、C 进行社会实践活动,每个同学只能去一个工厂。

浙江省温州中学2012-2013学年下学期高一年级期末考试数学试卷一．选择题(每小题4分，共40分)1．直线320x y +-=的倾斜角是（ ） A ．6π B. 3πC. 23πD.56π2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则58a a +=（ ）A. 7B.72C. 2D. ４ 3．下列命题中，错误．．的是（ ） A. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交 B. 如果平面α垂直平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β C. 如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β D. 若直线l 不平行平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线 4．若221,xyx y +=+则的取值范围是（ ）A ．[]0,2B ．[]2,0-C ．[2,)-+∞D ．(,2]-∞- 5．某几何体的三视图如题()5图所示,则该几何体的体积为（ ）A ．5603B ．5803C ．200D ．2406．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知12310a a S +=,95=a ,则=1a （ ） A ．31 B ．31- C ．91 D ．91-7．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是1AA 、AB 上的点，若190NMC ∠=︒，那么1NMB ∠=（ ）A ．大于90︒B ．等于90︒C ．小于90︒D ．不能确定8．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3a =22c =tan 21tan A cB b+=，则C ＝（ ） A ．30°B ．45°C ．45°或135°D ．60°9．如图,在三棱锥ABC P -中,PA ⊥底面ABC ,∠ACB = 90,AE ⊥PB 于E ,AF ⊥PC 于F ,若2==AB PA ,∠BPC =θ,则当AEF ∆的面积最大时,θtan 的值为（ ）A ．1B ．21C ．2D ．22 10．数列{}n a 满足112a =，2*1(N )n n n a a a n +=+∈，则122013111111m a a a =++++++的整数部分是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3二. 填空题（每小题4分，共20分）11．已知直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行，则它们之间的距离是_______． 12. 如数列}{n a 的前n 项和为21n n S a =+，则数列}{n a 的通项公式为 ．13．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1//A F 平面1D AE ，则1A F 与平面11BCC B 所成角的正切值的取值范围是 __________．14.实数x ，y 满足224455,x y xy +-=设22,S x y =+则S 的最小值为_________．15．已知点)0,1(-A ，)0,1(B ，)1,0(C ，直线)0(>+=a b ax y 将ABC ∆分割成面积相等的两部分，则b 的取值范围是_________．三．解答题（共40分）16．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足.cos cos )2(C b Bc a =-（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若4,b ABC =∆求的面积的最大值．17．已知直线2y x =是ABC ∆中C ∠的平分线所在的直线，若A ，B 的坐标分别是(4,2)A -，(3,1)B ，求点C 的坐标．18．如图，已知长方形ABCD 中，1,2==AD AB ,M 为DC 的中点. 将ADM ∆沿AM 折起，使得平面⊥ADM 平面ABCM .（1）求证：BM AD ⊥；（2）点E 是线段DB 上的一动点，当二面角A EM D --大小为3π时，试求DE DB 的值．19．已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足：122n nn n n a b a a b +=+*N n ∈，（1）求证：当2n ≥时，有22n a ≤（2）设1nn n b b a +=*N n ∈，求证：数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列；（3）设1n n n b a b +=，*N n ∈，试问{}n a 可能为等比数列吗？若可能，请求出公比的值，若不可能，请说明理由．温州中学2012学年第二学期期末考试高一数学答题卷一、选择题（每题4分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DBDDCCBBDB二、填空题（每题4分，共20分）11．6132712． 12n -- 13． [2,22] 14． 101315． 21(1,)22-三、解答题（共36分）16．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足.cos cos )2(C b B c a =-（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若4,b ABC =∆求的面积的最大值．（2）根据余弦定理222222cos ,16b a c ac B a c ac =+-=+-有 ac c a 222≥+ （当且仅当2==c a 时取“=”号） 22162,a c ac ac ac ac ∴=+-≥-=即16,ac ABC ≤∴∆的面积13sin 43,24S ac B ac ==≤ 且当a=b=c=2时，△ABC 的面积的最大值为4 3.17．已知直线2y x =是ABC ∆中C ∠的平分线所在的直线，若A ，B 的坐标分别是(4,2)A -，(3,1)B ，求点C 的坐标．解：设点B 关于直线2y x =的对称点为'(',')B x y ，则有'121'3'1'3222y x y x -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪=⨯⎪⎩，解得'(1,3)B -；所以'12(4)3AB l y x -=+：；而点C 为'12(4)3AB l y x -=+：与直线2y x =的交点，解得(2,4)C 。

南充市2012－2013学年度下期高中一年级教学质量监测数学参考答案一、选择题（每小题4分，共40分）二、填空题（每小题4分，共16分）11. 2π 12.13. 9+182π 14. ① 三. 解答题（本大题共5个小题，满分44分；解答题应写出必要的解答过程或演算步骤）15. （本小题满分8分）解：11sin 34sin 22ABC S ab C C ==⨯⨯=△sin 2C ∴=又ABC △为锐角三角形1cos 2C ∴=由余弦定理知2222cos 13c a b ab C =+-=c ∴= 16.（本小题满分8分） 解：（Ⅰ）因为326,6a S ==所以11126()6a d a a d +=⎧⎨++=⎩,12,2a d ∴==所以1(1)2,*n a a n d n n N =+-=∈（Ⅱ）由（Ⅰ）知2,n a n =所以2224n an n n b ===所以11444nn n n b b --==故{}n b 是首项为4，公比为4 的等比数列所以4(14)4(41)143n nn T -==-- 17．（本小题满分8分）解：设游泳池的长为x 米，则游泳池的宽为392x米，设占地面积为y 平方米则占地面积392784(8)(4)4244()y x x x x=++=++ 424224648≥+=当且仅当784(0)x x x=>，即28x =时取等号 所以当长为28米，宽为987米时占地面积最小，最小占地面积为648平方米.18.（本小题满分10分）证明：（Ⅰ）,DC ABC EB ABC ⊥⊥∵平面平面 DC EB ∴∥又DC ⊄⊂∵平面ABE,EB 平面ABEDC ABE ∴∥平面（Ⅱ）,DC ABC DC AF ⊥∴⊥平面 又,AB AC F ∴=为BC 的中点 ,A F B C A F B C D E∴⊥∴⊥平面（Ⅲ）由（Ⅱ）知AF BCDE ⊥平面,AF EF ∴⊥在三角形DEF 中，由计算知,DF EF ⊥ EF AFD ∴⊥平面又EF AFE ⊂平面AFD ∴⊥平面平面AFE19.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）证明：()4(1)222n f a n n =+-⨯=+ 22log 22,n a n n a n a a +∴=+∴=222222(1)221(2)n n n n n n a a a a n a a a++-+-∴===≥为定值.{}n a ∴为等比数列. （Ⅱ）222222()log (22)n n n n n n a b a f a a a n a +++===+当a =222(2(12n n n b n n ++=+=+）3452223242.......(1)2n n S n +=⋅+⋅+⋅+++⋅ ① 456232223242.......2(1)2n n n S n n ++=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅ ②①—②得345232222.......2(1)2n n n S n ++-=⋅++++-+⋅4132(12)16(1)212n n n -+-=+-+⋅- 343331622222n n n n n n ++++=+--⋅-=-⋅32n n S n +∴=⋅。

宁波市2012学年第二学期期末考试高一数学试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分．考试时间120分钟．本次考试不得使用计算器.请考生将所有题目都做在答题卷上．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．等比数列{}n a 中，已知54=a ，则53a a = (A) 10(B) 25(C) 50(D) 752．在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若︒===120,4,6C b a ，则A B C ∆ 的面积是 (A)12(B) 6(C) 312(D) 363．一个球的外切正方体的全面积为26cm ，则此球的体积为(A)334cm π (B)386cm π (C) 361cm π (D)366cm π 4．已知{}n a 为等比数列，则下列结论中正确的是Ks5u(A)2221322a a a +≥(B)1322a a a +≥ (C)若13a a =，则12a a =(D)若31a a >，则42a a >参考公式：圆柱的表面积公式：rl r S ππ222+=（其中r 表示圆柱的底面半径，l 表示圆柱的母线长）圆锥的表面积公式：rl r S ππ+=2（其中r 表示圆锥的底面半径，l 表示圆锥的母线长）圆台的表面积公式：)('22'rl l r r r S +++=π（其中r r ,'分别表示圆台的上、下底面半径，l 表示圆台的母线长）5．在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若aAb B cos cos =，则ABC ∆的形状 一定是 (A)等腰三角形(B)直角三角形(C)等边三角形6．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰Rt A B O '''∆， 若1O B ''=，那么原ABO ∆的面积是(A) (C)2 (D) 127．若∈c b a ,,R ，且0<<a b ，则下列四个不等式：bc a c c b c a b a ab b a 22)4()3()2()1(<+>+><+；；；．其中正确的是(A) (1) (2) (B) (2) (3) (C) (1) (3) (D) (3) (4)8．下列命题正确的是(A) 若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行(B) 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 (C) 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行(D) 若一条直线和两个相交平面都平行，则此直线与这两个平面的交线平行 9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若675S S S >>,则满足10n n S S +⋅<的正整数n的值为(A)10 (B)11 (C)12 (D)13 10．如图，在正四棱锥ABCD S -中，N M E ,,分别是SC CD BC ,,的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论：（1）AC EP ⊥； （2）//EP BD ； （3）SBD EP 面//；（4）SAC EP 面⊥．中恒成立的个数为 (A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个（第6题图）ABDCSNME. （第10题图）第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．Ks5u11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =()n *∈N ，则2a = ▲ .12．在等差数列{}n a 中，已知12a =，2313a a +=，则456a a a ++= ▲ ． 13．在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若2,60,45=︒=︒=a B A ，则b = ▲ ．14．已知正数,x y 满足：220x y +=，则xy 的最大值为 ▲ ． 15．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆， 侧视图为直角三角形，则该几何体的表面积是 ▲ ．16．已知正方形ABCD 的边长为1，沿对角线AC 把ACD ∆折起,，当以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为 ▲ ． 17．已知各项均为正数的数列{}n a 满足：13a a =，21a =，211n na a +=+， 则109a a += ▲ .三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分14分）已知函数1)(2+++=a ax x x f ()R a ∈．（Ⅰ）当5=a 时，解不等式：0)(<x f ；Ks5u（Ⅱ）若不等式0)(>x f 对R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．正视图俯视图侧视图（第15题图）19．（本小题满分14分）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点O 是BD 中点．(Ⅰ) 求证:平面⊥11B BDD 平面OC C 1； (Ⅱ) 求二面角1C BD C --的正切值． Ks5u20．（本小题满分14分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，满足222c ab b a =++． (Ⅰ) 求角C 的度数； (Ⅱ) 若10=+b a ，求ABC ∆周长的最小值． 21．（本小题满分15分）四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，其中底面ABCD 为梯形，//AD BC ，AB BC ⊥， 且26AP AB AD BC ====，M 在棱PA 上， 满足2AM MP =．（Ⅰ）求三棱锥M BCD -的体积；（Ⅱ）求异面直线PC 与AB 所成角的余弦值； （Ⅲ）证明：//PC 面MBD ．Ks5u22．（本小题满分15分）已知数列{}n a 满足11121n n a a a +==+，()n *∈N ． （Ⅰ）求证：数列{}1+n a 为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列}{n c 的通项公式为n c n 2=，求数列}{n n c a ⋅的前n 项和n S ； （Ⅲ）若数列{}n b 满足12111444(1)()n n b b b b n a n ---*=+∈N …，且42=b ．证明： 数列{}n b 是等差数列，并求出其通项公式．宁波市2012学年第二学期期末考试高一数学参考答案ABDCPM（第21题图）1A1B1C1DABCDO（第19题图）一．选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D C A A B C D C B二．填空题11．2 12．42 13．6 14．50 15．323+π 16．4π17．8541+三．解答题18．（本小题14分）Ks5u解：（Ⅰ）当5=a 时065)(2<++=x x x f得23-<<-x ，所以不等式的解集为()2,3--．-------- 7分（Ⅱ）01)(2>+++=a ax x x f 的解集为R∴ 0)1(42<+-=∆a a ------------------- 10分 ∴222222+<<+-x ．------------------- 14分19、（本小题14分）解：(Ⅰ) ∵在正方体1111ABCD A B C D -中, 点O 是BD 中点 ，又11BC DC = , BC DC = ,∴ 1,C O BD CO BD ⊥⊥ ------------------- 2分1111,,,C O CO O C O C OC CO C OC =⊂⊂平面平面OC C BD 1平面⊥∴ ------------------ 5分∵⊂BD 平面11B BDD , ∴平面⊥11B BDD 平面OC C 1．-------------- 7分（Ⅱ）由(Ⅰ)可知1C OC ∠是二面角1C BD C --的平面角 ---------------11分 则22,11==OC C C Ks5u ∴在1Rt C OC ∆中,11tan C CC OC OC∠== 故二面角1C BD C --． ---------------14分20、（本小题14分）解：（Ⅰ）∵222c ab b a =++由余弦定理得 212cos 222-=-+=ab c b a C -------------- 5分 ∵0180C << ∴C=120° -------------- 7分（Ⅱ）∵2222()100c a b ab a b ab ab =++=+-=-------------- 9分2100()752a b +≥-= ------------- 11分∴c ≥ 当5a b ==时取等号 ------------- 13分则ABC ∆周长的最小值为10a b c ++=+ ----------- 14分21、（本小题15分） 解：（Ⅰ）由题意1123M BCD BCD V S MA -∆=⋅= ---------- 5分 （Ⅱ）取AD 中点N ，连,C NP N ，易知//AB CN ,∴PCN ∠或其补角就是PC 与AB 所成角------7分在PCN ∆中，∵PA ⊥底面ABCD ， BC ⊂底面ABCD∴PA BC ⊥ 9PC =，又∵6,CN AB PN ===∴2cos 3PCN ∠=，∴异面直线PC 与AB 所成角余弦值为23---------- 10分 （Ⅲ）连AC 交BD 于Q ，连MQ∵//AD BC ，∴2AQ ADQC BC==,Ks5u又∵2AMMP=则AQ AM QC MP = ∴//MQ PC ---------- 13分 又∵,PC MBD MQ MBD ⊄⊂面面，∴//PC 面MBD ． ---------- 15分22、（本小题15分） 解：（Ⅰ）()121*n n a a n +=+∈N ．()1+1=21n n a a ++，----------3分{}1n a +是以112a +=为首项，2为公比的等比数列．12n n a +=∴．即()21*n n a n =-∈N ． --------------4分（II ）12-=n n a ，n c n 2=，∴()122-=nn n n c a∴n n n c a c a c a c a S ++++= 332211()()[]n n n ++++-⨯++⨯+⨯+⨯= 3212232221232-----6分设 nn A 223222132⨯++⨯+⨯+⨯= ① 则()132********+⨯+⨯-++⨯+⨯=n n n n A ②①-②得 132221212121+⨯-⨯++⨯+⨯+⨯=-n nn A()1221212+⨯---=n nn ()2211-⨯-=+n n∴()2211+⨯-=+n n A∴()()14212+-+⨯-=+n n n S n n -------------- 9分 （Ⅲ）n n b n b b b a )1(44411121+=--- ， 122n n b b b nnb =(+++)-∴4，12[()]n n b b b n nb 2+++-=∴，①12112[()(1)](1)n n n b b b b n n b ++++++-+=+．②②－①，得112(1)(1)n n n b n b nb ++-=+-，--------------11分 即1(1)20n n n b nb +--+=， ③21(1)20n n nb n b ++-++=．④④－③，得2120n n n nb nb nb ++-+=，即2120n n n b b b ++-+=， *211()n n n n b b b b n +++-=-∈N ∴，{}n b ∴是等差数列． --------------13分∵21=b ，42=b ， ∴n b n 2=． --------------15分Ks5u （注：没有证明数列{}n b 是等差数列，直接写出n b n 2=，给2分）。