12.3 角的平分线的性质(第1课时)
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1.(教材1
2.3 复习巩固)用三角尺可按下面方法画角平分线,在已知的∠AOB的两边
上,分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线,交点为P,画射线OP,则OP平分∠AOB,为什么?
2. 如图所示,在△ABC中:
(1)下列操作中,作∠ABC的平分线的正确顺序是(将序号按正确的顺序写在横线上).
①分别以点M,N为圆心,大于1
2
MN的长为半径作圆弧,在∠ABC内,两弧交于点P;
②以点B为圆心,适当长为半径作圆弧,交AB于点M,交BC于N点;
③画射线BP,交AC于点D.
(2)能说明∠ABD=∠CBD的依据是(填序号).
①SSS.②ASA.③AAS.④角平分在线的点到角两边的距离相等.(3)若AB=18,BC=12,S△ABC=120,过点D作DE⊥AB于点E,求DE的长.
1。
教学设计(一)创设情景,提出问题如图是小明制作的风筝,AB=AD,BC=DC.不用度量,就知道AC是∠DAB的角平分线,你知道其中的道理吗?师生活动:学生根据三角形全等的知识口述其中的道理,从而引入新课.(二)合作探究,形成知识问题1:在练习本上画一个角,怎样得到这个角的平分线?师生活动:学生可能用量角器,也可能用折纸的方法动手操作,然后回答问题.追问1:你能评价这些方法吗?在生产生活中,这些方法是否可行呢?师生活动:学生分析并回答──利用量角器比较方便,但是有误差;利用折叠的方法比较简捷,但是只限于可以折叠的材质,若在木板、钢板等材料上操作,此方法就不可行了.追问2:下图是一个平分角的仪器,其中AB =AD,BC =DC,将点A 放在角的顶点,AB 和AD 沿着角的两边放下,沿AC 画一条射线AE,射线AE 就是∠DAB 的平分线.你能说明它的道理吗?师生活动:教师启发学生将实际问题抽象为数学模型,并运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理.小组交流完成教学过程教学环节教学活动评估要点追问3:从利用平分角的仪器画角的平分线中,你受到哪些启发?如何利用直尺和圆规作一个角的平分线?师生活动:师生分别在黑板和练习本上利用直尺和圆规作∠AOB的平分线.教师与学生共同归纳,得出利用尺规作角的平分线的具本方法.如果学生没有思路,教师可作如下提示:1.在用平分角的仪器画角的平分线时,把仪器放在角的两边,仪器的顶点与角的顶点重合,且仪器的两边相等(AB=CD),怎样在作图中体现这个过程呢?2.在平分角的仪器中,BC=DC,怎样在作图中体现这个过程呢?追问4:你能说明为什么射线OC是∠AOB的平分线吗?师生活动:学生用三角形全等进行证明,明确作图的理论依据.【设计意图】让学生运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理,体会数学的应用价值,同时从中获得启发,用尺规作角的平分线,增强作图技能.最后让学生在简单推理的过程中体会作法的合理性.问题2 利用尺规我们可以作一个角的平分线,那么角的平分线有什么性质呢?首先思考下面的问题:1.操作测量:任意作一个角∠AOB,作出∠AOB的平分线OC,在OC上任取一点P,取点P的三个不同的位置,分别过点P作PD⊥OA,PE ⊥OB,点D、E 为垂足,测量PD、PE的长.将三次数据填入下表:此处的思考内容,重在发展学生的发散思维,肯定学生的闪光点2.观察测量结果,猜想线段PD与PE的大小关系,写出结论:____________ 3.通过以上测量,你发现了角的平分线的什么性质?师生活动:学生动手操作,独立思考,然后汇报自己的发现.学生互相补充,教师指导,一起猜想出角的平分线的性质.追问1:通过动手实验、观察比较,我们猜想“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”,你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗?1.明确命题中的已知和求证.已知:一个点在一个角的平分线上.结论:这个点到这个角两边的距离相等.(如果一个点在一个角的平分线上,那么这个点到这个角两边的距离相等)2.根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证.已知:如图,∠AOC=∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D、E.求证:PD=PE.3.经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程.证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB (已知)∴∠PDO= ∠PEO=90°(垂直的定义)∴在△PDO和△PEO中∴△PDO ≌△PEO(AAS)∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)符号语言:∵∠AOC=∠BOC,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D、E,∴PD=PE.师生活动:教师首先引导学生分析命题的条件和结论.如果学生感到困难,可以让学生将命题改写成“如果……那么……”的形式,然后引导学生逐字分析结论,进而发现并找出结论中的隐含条件(垂直).最后让学生画出图形,用符号语言写出已知和求证,并独立完成证明过程.学生动手操作,独立思考,然后汇报自己的发现.学生互相补充,教师指导,追问2:由角的平分线的性质的证明过程,你能概括出证明几何命题的一般步骤吗?师生活动:师生共同概括证明几何命题的一般步聚:1.明确命题中的已知和求证.2.根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证.3.经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程.追问3:角的平分线的性质的作用是什么?师生活动:学生回答,角的平分线的性质的作用主要是用于判断和证明两条线段相等,与以前的方法相比,运用此性质不需要先证两个三角形全等.【设计意图】让学生通过实践发现、分析概括、推理证明角的平分线的性质,体会研究几何问题的基本思路.以角的平分线的性质的证明为例,让学生概括证明几何命题的一般步聚,发展他们的归纳概括能力.而反思性质,可以让学生进一步体会到证明两条线段相等时利用角的平分线的性质比先证两个三角形全等更简捷.(三)巩固提高1.下列结论一定成立的是()A.如图1,OC 平分∠AOB,点P 在OC 上,D,E 分别为OA,OB 上的点,则PD =PE.B.如图2,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D、E,则PD=PE .C.如图3,OC 平分∠AOB,点P 在OC 上,PD⊥OA,垂足为D.若PD =3,则点P 到OB 的距离为3.图1 图2 图32.如图4,△ABC中,∠B =∠C,AD 是∠BAC 的平分线,DE⊥AB,DF ⊥AC,垂足分别为E,F.求证:EB =FC.图4师生活动:学生先独立思考,然后小组交流,派代表回答,教师适时点拨,并板演证明过程.【设计意图】通过有梯度的训练,提高学生运用角的平分线的性质解决问题的能力.板书设计性质一:角的平分线上的点到角的内部到角的两边的距离相等∵∠POA=∠POB(OP平分∠AOB)PA⊥OA、PB⊥OB∴PA=PB课后作业如图, OP 为∠AOB 内一条射线, C,D 分别为 OA ,OB 上两点,且∠PCO+∠PDO=180°, PC=PD.求证: OP 平分∠A0B.课后反思本课时重在理解掌握性质定理一,并将其灵活应用到具体的几何问题中去,一定要让学生明白应用的前提是“角平分线”,1是角平分线,2是涉及到垂直(或90度),两者缺一不可。
12.3 角的平分线的性质第1课时角的平分线的作法及性质【知识与技能】1.掌握角的平分线的作法.2.会利用角平分线的性质.【过程与方法】经历折纸、画图、文字与符号的翻译活动,培养学生的联想、探索、概括归纳的能力.【情感态度】通过实际操作与探究交流,激发学生学习数学的兴趣.【教学重点】角平分线的性质及其应用.【教学难点】灵活应用两个性质解决问题.一、情境导入,初步认识活动 1 学生预习教材,掌握角平分线的作法,小组间交流并动手实际画一画,总结出画角平分线的步骤.活动 2 让学生用准备好的白纸与剪刀,自己动手,剪一个角,把剪好的角对折,使角的两边叠合在一起,再把纸片展开,看到了什么?【教学说明】发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线;再折一次,又会出现两条折痕,而且这两条折痕是等长的.这种方法可以做无数次,所以这种等长的折痕可以折出无数对.请同学们折出如图所示的折痕PD、PE,并研究这个图形中隐含了哪些等量关系,互相交流,形成结论.教师讲课前,先让学生完成“自主预习”.二、思考探究,获取新知由上述活动及交流情况,教师总结以下新知识:1.角平分线上的点到角两边的距离相等.2.到角两边距离相等的点在角的平分线上.【教学说明】1.这两个性质的条件和结论正好相反,分别可以作为证线段相等和证角相等的依据.2.在用几何语言表述性质时,注意强调“点到直线的距离”中的垂直条件.例1 如图所示,要在S 区建一个集贸市场,使它到公路、铁路距离相等,离公路与铁路交叉处500m ,这个市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为1∶20000)?【教学说明】教师提出下列问题,引导学生理清思路:(1)集贸市场建于何处,和本节学的角平分线性质有关吗?用哪一个性质可以解决这个问题?(2)比例尺为1∶20000是什么意思?(3)图形上,表示500m 的是个什么距离?例2 如图所示,BD 为∠ABC 的平分线,AB=BC,点P 、D 分别在BF 上,PM ⊥AD 于M,PN ⊥CD 于N ,求证:PM=PN.△ABD ≌△CBD 即可得证.【证明】∵BD 为∠ABC 的平分线,∴∠ABD=∠CBD.在△ABD 和△CBD 中,,,,AB CB ABD CBD BD BD =⎧∠=∠=⎪⎨⎪⎩∴△ABD ≌△CBD(SAS).∴∠ADB=∠CDB.即射线DP 为∠ADC 的平分线.又∵PM ⊥AD,PN ⊥CD,∴PM=PN.例3如图,点P 是∠AOB 的平分线OM 上一点,作PD ⊥OB,PC ⊥OA,垂足分别是点D 、C ,点E 、F 分别在线段OD,OC 上,且∠PED=∠PFC,求证:OP平分∠EPF.【分析】欲证OP平分∠EPF,可设法证∠OPE=∠OPF,而要证∠OPE=∠OPF,需证∠OPD=∠OPC和∠DPE=∠CPF.【证明】∵OP平分∠AOB,PD⊥OB,PC⊥OA,垂足分别是点D,C,∴PD=PC,∠ODP=∠OCP=90°.在Rt△ODP与Rt△OCP中,,, PD PC OP OP==⎧⎨⎩∴Rt△ODP≌Rt△OCP(HL).∴OD=OC,∠OPD=∠OPC.在Rt△EDP与Rt△FCP中,∠PED=∠PFC,∠ODP=∠OCP=90°,∴90°-∠PED=90°-∠PFC,即∠DPE=∠CPF.∴∠OPD-∠DPE=∠OPC-∠CPF,∴∠OPE=∠OPF,即OP平分∠EPF.三、运用新知,深化理解______相等.2.如图,在△ABC中,∠A=80°,∠B与∠C的平分线相交于点I,则∠BIC=___.第2题图第3题图△ABC中,∠B=30°,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于D,且DE⊥AB于E,则∠BDE=_______=_______=_______.【教学说明】指导学生解答上述习题时,应适当启发学生对角平分线性质的灵活运用.°3.∠EDA∠CDA∠CAB四、师生互动,课堂小结1.角平分线的两个性质应牢记并应用于解题中.2.与角平分线有关的求证线段相等,角相等问题,我们可以直接用角平分线性质,不必再利用证三角形全等得到线段相等或角相等.1.布置作业:从教材“”中选取部分题.2.完成练习册中本课时的练习.本课时教学思路按操作、猜想、验证的学习过程,遵循学生的认知规律,充分体现了数学学习的必然性,教学时要始终围绕问题展开,先从出示问题开始,鼓励学生思考、探索问题中所包含的数学知识,再要求学生开展活动——折纸,体验三角形角平分线交于一点的事实,并得出进一步的猜想和开展新活动——尺规作图,从中猜想结论并思考证明的方法,整堂课以学生操作、探究、合作贯穿始终,并充分给学生思考留下足够的空间与时间,形成动手、合作、概括与解决问题的意识与能力.。
12.3 角的平分线的性质第1课时角平分线的性质一、教学目标(一)知识与技能1.会作已知角的平分线;2.了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质;3.会利用角的平分线的性质进行证明与计算.(二)过程与方法在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力.(三)情感、态度与价值观在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验.二、教学重点、难点重点:角的平分线的性质的证明及应用;难点:角的平分线的性质的探究.三、教法学法三步导学的教学模式;自主探索,合作交流的学习方式.四、教与学互动设计(一)激情导课如图是小明制作的风筝,他根据AB=AD,BC=DC.不用度量,就知道AC是∠DAB的角平分线,你知道其中的道理吗?(二)民主导学1、探究一:角的平分线的作法Ⅰ、议一议问题1请你拿出准备好的角,用你自己的方法画出它的角平分线.问题2如图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB 和AD沿着角的两边放下,画一条射线AE,AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道理吗?问题3通过上面的探究,你有什么启发?你能用尺规作图作已知角的平分线吗?请你试着做一做,并与同伴交流.BBD 21已知:∠MAN求作:∠MAN 的角平分线.作法:(1)以A 为圆心,适当长为半径画弧,交AM 于B ,交AN 于D.(2)分别以B 、D 为圆心,大于的长为半径画弧,两弧在∠MAN 的内部交于点C.(3)画射线AC. ∴射线AC 即为所求. Ⅱ、练一练平分平角∠AOB.通过上面的步骤得到射线OC 以后,把它反向延长得到直线CD.直线CD 与直线AB 是什么关系?思考:你能总结出“过直线上一点作这条直线的垂线”的方法吗?请说明你的方法。
2、探究二:角的平分线的性质 Ⅰ、做一做如图,将∠AOB 对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?试着证明你的结论.(1)角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.(2)角的平分线性质的证明步骤: ① 明确命题中的已知和求证;已知:一个点在一个角的平分线上. 结论:这个点到这个角两边的距离相等.②M 根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证;已知:如图,∠AOC=∠BOC ,点P 在OC 上,PD ⊥OA ,PE ⊥OB ,垂足分别为点D 、E.求证: PD=PE.③M 经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程.证明:∵ PD ⊥OA ,PE ⊥ OB (已知)∴ ∠PDO= ∠PEO=90°(垂直的定义)在△PDO 和△PEO 中B POACED∠PDO= ∠PEO (已证) ∠AOC= ∠BOC (已证) OP=OP (公共边) ∴ △PDO ≌ △PEO (AAS )∴ PD=PE (全等三角形的对应边相等)符号语言:∵∠AOC=∠BOC, PD ⊥OA ,PE ⊥OB ,垂足分别为点D 、E.(已知) ∴ PD=PE (角的平分线上的点到角的两边的距离相等) Ⅱ、练一练(1) 下面四个图中,点P 都在∠AOB 的平分线上,则图形_____ 中PD =PE.(2)下图中,PD ⊥OA,PE ⊥OB ,垂足分别为点D 、E ,则图中PD =PE 吗?(3)在S 区有一个贸易市场P ,它建在公路与铁路所成角的平分线上,要从P 点建两条路,一条到公路,一条到铁路,怎样修才能使路最短?它们有怎样的数量关系呢?思考:角的平分线的性质在应用时应该注意什么问题?3、角的平分线性质的应用POAB CEDP OABCEDP OAB C EDA BPOAC EDBCDB POACED公路DABC DBAE F E BADCDE PA OB C(1)如图,△ABC 中,∠C =90°,BD 平分∠ABC ,CD =3cm ,则点D 到AB 的距离为 cm .(第1题图) (第2题①图) (第2题②图)(2)变式训练,深化新知变式①,如图,△ABC 中,∠C =90°,BD 平分∠ABC ,DE ⊥AB ,垂足为点E ,AC=8cm , 则AD+DE= cm.变式②,如图,△ABC 中,∠C =90°,BD 平分∠ABC ,DE ⊥AB 于E ,F 在BC 上,AD=DF求证:CF=EA (三)检测导结1、目标检测 (本测试题共三道题,相信大家一定会做得非常棒!) (1)如图,OC 是∠AOB 的平分线,点P 在OC 上,PD ⊥OA ,PE ⊥OB ,垂足分别是D 、E ,PD=4cm ,则PE=_____cm.(第1题图) (第2题图)(第3题图)(2)如图,点C 为直线AB 上一点,过点C 作直线MN ,使MN ⊥AB.(不写作法,保留作图痕迹,写出结论)(3)已知:如图,在△ABC 中,AD 是它的角平分线,且BD=CD ,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,垂足分别是E 、F.求证:EB=FC.2、请你谈谈学习这节课的收获.(四)布置作业1.必做题:习题2.思考题如图,要在S区建一个集贸市场,使它到公路、铁路距离相等,离公路与铁路交叉处500米,这个集贸市场应建在何处(在图上标出它的位置,比例尺1:20000)? (五)结束寄语严格性之于数学家,犹如道德之于人.条理清晰,因果相应,言必有据,是学习者谨记和遵循的原则. 希望每一个同学都能用聪明和智慧编织出更加精彩的人生!五、板书设计第1课时 角的平分线的性质1. 角的平分线的作法2. 角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.3.应用已知:∠MAN 已知:如图,∠AOC=∠B OC ,点P 在OC 上,PD ⊥OA ,PE ⊥OB ,求作:∠MAN 的角平分线 垂足分别为点D 、E. 求证: PD=PE.∴ 射线AC 即为所求. 符号语言:∵∠AOC=∠BOC, PD ⊥OA,PE ⊥OB ,垂足分别为点D 、E.∴ PD=PEBPOACED六、教学反思。
第十二章全等三角形第十三章12.3 角的平分线的性质(第一课时)说课稿角的平分线的性质说课内容一、教学背景的分析二、教学目标的确定三、教学方法与手段的选择四、教学过程设计五、教学评价分析一、教学背景的分析1、教学内容分析本节课是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的.内容包括角平分线的作法、角平分线的性质及初步应用.作角的平分线是基本作图,角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径,体现了数学的简洁美,同时也是全等三角形知识的延续,又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础.因此,本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用.同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理,符合学生的心理特点和认知规律。
2、教学对象分析八年级学生观察、操作、猜想能力较强,但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱,思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺,需要在课堂教学中进一步加强引导。
3、教学重点、难点本节课的教学重点为:掌握角平分线的尺规作图,理解角的平分线的性质并能初步运用.难点是:(1)对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解;(2)对于性质定理的运用(学生习惯找三角形全等的方法解决问题而不注重利用刚学过的定理来解决,结果相当于对定理的重复证明)。
突破方法:(1)利用多媒体动态显示角平分线性质的本质内容,在学生脑海中加深印象,从而对性质定理正确使用;(2)通过对比教学让学生选择简单的方法解决问题;(3)通过多媒体创设具有启发性的问题情境,使学生在积极的思维状态中进行学习。
二、教学目标的确定1、知识与技能(1)掌握用尺规作已知角的平分线的方法。
(2)理解角的平分线的性质并能初步运用。
2、数学思考通过让学生经历观察演示,动手操作,合作交流,自主探究等过程,培养学生用数学知识解决问题的能力。
3、解决问题(1)初步了解角的平分线的性质在生产、生活中的应用。
(2)培养学生的数学建模能力。
放在角的顶点,ADBA(3)画射线AC.∴射线AC 即为所求.【三】巩固练习已知:OC 是∠AOB 的平分线,点P 在OC 上,PD ⊥OA ,PE ⊥OB ,垂足分别是D 、E (课本图11.3─4)求证:PD=PE .证明:∵PD ⊥OA ,PE ⊥OB ,∴∠PDO=∠PEO=90°在△PDO 和△PEO 中,∴△PDO ≌△PEO (AAS ) ∴PD=PE如图,AB ∥CD ,以点A 为圆心,小于AC 长为半径作圆弧,分别交AB ,AC 于E ,F 两点,再分别以E 、F 为圆心,大于12EF 的长为半径画弧,两弧交于点P ,作射线AP ,交CD 于点M .若∠ACD =120°,求∠MAB 的度数.解析:根据AB ∥CD ,∠ACD =120°,得出∠CAB =60°,再根据AM 是∠CAB 的平分线,即可得出∠MAB 的度数.解:∵AB ∥CD ,∴∠ACD +∠CAB =180°,又∵∠ACD =120°,∴∠CAB =60°,由作法知,AM 是∠CAB 的平分线,∴∠MAB =12∠CAB =30°.方法总结:通过本题要掌握角平分线的作图步骤,根据作图明确AM 是∠BAC 的角平分线是解题的关键.如图,AD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥AB ,垂足为E ,S △ABC =7,DE =2,AB =4,则AC 的长是( )A .6B .5C .4D .3解析:过点D 作DF ⊥AC 于F ,∵AD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥AB ,∴DF =DE =2,∴S △ABC =12×4×2+12AC ×2=7,解得AC =3.故选D.方法总结:利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高,再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法.拓展延伸,巩固强化知识。
【五】布置作业1.课本练习2.同步练习对应习题OCN别为点D、E.∴ PD=PE二次备课。