安徽省合肥一中2020-2021学年高二上学期10月段考数学(理)试题 PDF版含答案

2020-2021学年安徽省名校高二上学期期中联考数学（理）试题一、单选题1．若集合{03}M xx =<≤∣，{}220N x x x =+->∣，则()RM N ⋂=（ ）A ．(0,1]B ．(0,3]C ．(0,2]D ．(-2,1]【答案】A【分析】先求出集合N ，进一步求出RN ，再求交集.【详解】因为{01}M xx =<≤∣，{}220{2N x x x x x =+->=<-∣∣或1}x >， {}21RN x x =-≤≤∣，所以()(]{01}0,1RM N x x ⋂=<≤=∣.故选：A2．正项等比数列{}n a 满足：241a a =，313S =，则其公比是（ ） A ．14B ．1C ．12D ．13【答案】D【分析】根据241a a =，由2243a a a =，解得31a =，再根据313S =求解.【详解】因为正项等比数列{}n a 满足241a a =，由于2243a a a =，所以231a =，31a =，211a q =.因为313S =， 所以1q ≠.由()()31231111a q S a q q q-==++-得22131q q q =++，即21210q q --=，解得13q =，或14q =-（舍去）.故选：D3．秦九韶是我国南宋时期的数学家，在他所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，给出如图所示的秦九韶算法程序框图，若输入n ，x 的值分别为5，2，则输出v 的值是（ ）A ．259B ．130C ．65D ．32【答案】B【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的v 的值. 【详解】模拟程序的运行，可得5n =，2x =，1v =，4i =满足条件0i ≥，执行循环体，1246v =⨯+=，3i =； 满足条件0i ≥，执行循环体，62315v =⨯+=，2i =； 满足条件0i ≥，执行循环体，152232v =⨯+=，1i =； 满足条件0i ≥，执行循环体，322165v =⨯+=，0i =； 满足条件0i ≥，执行循环体，6520130v =⨯+=，1i =-； 不满足条件0i ≥，退出循环，输出v 的值为130v =． 故选：B ．【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 4．已知x ，y 的取值如下表所示： x 2 3 4 5 y2.23.85.5m若y 与x 线性相关，且回归直线方程为ˆ 1.460.61y x =-，则表格中实数m 的值为（ ）A ．7.69B ．7.5C ．6.69D ．6.5【答案】D【分析】先求得样本数据中的x ，y 的平均值，根据回归直线方程过样本中心点，可得选项.【详解】因为2345742x +++==， 2.2 3.8 5.511.544m my +++++==，所以11.571.460.6142m +=⨯-，解得 6.5m =. 故选：D.5．如图是一个几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（ ）A ．33π+B ．32π+C ．332πD ．334π【答案】C【分析】根据几何体的三视图得到该几何体是底面半径为1，母线长为2的半圆锥，结合侧面积公式和圆、三角形的面积公式，即可求求解.【详解】根据几何体的三视图，可得该几何体是底面半径为1，母线长为2的半圆锥， 如图所示，其中1,2OA SA ==，可得3SO =，因此其表面积为221113321212322242S πππ=⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯=+. 故选：C.6．已知向量a ，b 满足：||3a =，||1a b -=，且()0a a b ⋅-=，则b 的模等于（ ） A 2 B ．2C 3D ．3【答案】B【分析】由()0a a b ⋅-=可得2a a b =⋅，再将||1a b -=平方，化简可得答案. 【详解】由2()0a a b a a b ⋅-=⇒=⋅， 所以2222||()2a b a b a a b b -=-=-⋅+22231a b b =-+=-+=，可得2||4b =，因此||2b =. 故选：B.【点睛】向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b ；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =. 7．平面α与平面β所成的二面角为θ，直线AB平面a ，且与二面角的棱l 所成的角为γ，与平面β所成的角为δ，则θ，γ，δ满足关系式（ ） A ．sin sin sin δθγ=⋅B ．cos cos cos θγδ=⋅C ．222sin sin sin θγδ=+D ．222cos cos cos θγδ=+【答案】A【分析】作出图示如下图所示，根据线面角、二面角的定义得出θ，γ，δ所表示的角，再由锐角三角函数的定义得出各角的正弦和余弦的表示，代入选项验证可得选项. 【详解】设直线AB 交棱l 于点B ，过点A 作AH ⊥面β，过点H 作CH ⊥棱l ，连接AC ，则AH ⊥棱l ，所以棱l ⊥面ACH ，所以棱l AC ⊥，所以ACH θ∠=，ABC γ∠=，ABH δ∠=，所以sin ,sin ,sin AH AH ACAB AC ABδθγ===，所以sin sin sin AH AH ACAB AC AB δθγ==⋅=⋅成立，故A 正确； cos ,cos ,cos BH CH BCAB AC AB δθγ===，所以cos cos cos CH BH BCAC AB AB θγδ=≠⋅=⋅，故B 不正确；sin ,sin ,sin AH AH ACAB AC ABδθγ===，所以222222222sin +sin sin AH AC AH AC AB ABθγδ=≠=+，故C 不正确； cos ,cos ,cos BH CH BCAB AC ABδθγ===，所以222222222cos +cos cos CH BC BH AC AB ABθγδ=≠=+，故D 不正确； 故选：A.8．已知函数()sin()(0)f x x ωω=>在区间,123ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，在区间5,312ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，则ω=（ ） A ．362k -，k ∈N B ．362k +，k ∈N C ．32D ．3【答案】C【分析】由题意知，当3x π=时，函数()f x 取得最大值，可求得362k ω=+，k ∈N .再由函数的单调区间得出不等式组，解之可得选项.【详解】由题意知，当3x π=时，函数()f x 取得最大值，所以232k ππωπ⋅=+，k Z ∈.得362k ω=+，k ∈N . 因为()f x 在区间,123ππ⎛⎤-⎥⎝⎦上递增，在5,312ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，所以312πππω≥+且5123πππω≥-， 解得1205ω<≤.因此32ω=.故选：C.9．在ABC 中，()cos24,cos66AB =︒︒，()2cos69,2cos21AC =︒︒，则ABC 的面积为（ ）A ．BC ．2D 【答案】C【分析】根据()cos24,cos66AB =︒︒，()2cos69,2cos21AC =︒︒，求得||1AB =，||2AC =，2AB AC ⋅=，再利用 cos AB AC AB AC A ⋅=⋅=cos A ，sin A ，代入三角形面积公式1||sin 2ABCS AB AC A =||求解. 【详解】因为()cos24,cos66AB =︒︒，()2cos69,2cos21AC =︒︒， 所以||1AB =，||2AC =，2cos 24cos692cos66cos 212cos 45AB AC ︒︒︒︒︒⋅=+==.所以cos AB AC AB AC A ⋅=⋅=所以cos A =sin A =.所以ABC 的面积为1||sin 22ABCS AB AC A =||=. 故选：C10．在等差数列{}n a 中，10a >，81335a a =，则n S 中最大的是（ ） A ．21S B ．20SC ．19SD ．18S【答案】B【分析】设等差数列的公差为d .由已知得()()1137512a d a d +=+，可得关系1392a d =-.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项. 【详解】设等差数列的公差为d .由81335a a =得，()()1137512a d a d +=+，整理得，1392a d =-. 又10a >，所以0d <，因此222120(20)2002222n d d d dS n a n n dn n d ⎛⎫=+-=-=-- ⎪⎝⎭， 所以20S 最大. 故选：B.11．若关于x 的不等式4142x a x +≥-对任意2x >恒成立，则正实数a 的最大值是（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】A【分析】将原问题化为min 414(2)184422x x a x ax a -⎡⎤+≥⇔++≥⎢⎥--⎣⎦，根据基本不等式求得最值可得选项.【详解】因为2x >，所以20x ->， 所以min 414(2)184(2)18444222x x x a x a x a ax a --⎡⎤+≥⇔++≥⇔++≥⎢⎥---⎣⎦，而4(2)12x a x -+≥=-4(2)12x a x -=-时，取等号.84a≥，解得04a <≤.正实数a 的最大值是4. 故选：A.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.12．已知函数,01()11,10(1)x xf xxf x≤<⎧⎪=⎨--<<⎪+⎩，()()4g x f x mx m=--，其中m是非零的实数，若函数()g x在区间(1,1)-内有且仅有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．1,(0,1)5⎛⎫-∞-⋃⎪⎝⎭B．1(,1),5⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭C．1(,1)0,5⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭D．1,(1,)5⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭【答案】C【分析】先求得分段函数的解析式，函数()g x零点等价于函数()y f x=的图象与直线4y mx m=+公共点，做出图像，数形结合，即可求得答案.【详解】当10x-<<时，011x<+<，满足上支范围，所以()11f x x+=+，所以,01()11,101x xf xxx≤<⎧⎪=⎨--<<⎪+⎩，作函数()y f x=的图象，如图所示.函数()g x零点的个数等价于函数()y f x=的图象与直线4y mx m=+公共点的个数. 当直线4y mx m=+过点(1,1)时，15m=，所以当15m<<时，直线4y mx m=+与函数()y f x=图象有两个公共点.当直线4y mx m=+与曲线111yx=-+（10x-<<）相交时，联立4111y mx m y x =+⎧⎪⎨=-⎪+⎩消去y 得，24(51)0mx m x m -++=， 因此22(51)160m m ∆=+->且510m +<时，解得1m <-.综上知，实数m 的取值范围是1(,1)0,5⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本题的关键是根据x 的范围，先求得函数解析式，做出图像，再将零点问题转化为图像交点问题，易错点为，4y mx m =+可以与函数两支都有交点，也可以与函数111y x =-+单支产生交点，需分别检验和计算，属中档题.二、填空题13．已知直线l 经过点(1,2)P -，且垂直于直线2310x y ，则直线l 的方程是________.【答案】3270x y -+=【分析】根据题意，设直线l 的方程是320x y c -+=，代入点(1,2)P -，求得c 的值，即可求解.【详解】由题意，所求直线l 垂直于直线2310x y ， 设直线l 的方程是320x y c -+=，又由直线l 过点(1,2)P -，代入可得340c --+=，解得7c =， 故l 的方程是3270x y -+=.【点睛】1、与直线220(0)Ax By C A B ++=+≠平行的直线方程可0()Ax By n n c ++=≠；2. 与直线220(0)Ax By C A B ++=+≠垂直的直线方程可0Bx Ay M -+=。

合肥一中2020学年第一学期高二年级段一考试数学（文科）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 将直角三角形绕它的一个直角边所在的直线旋转一周，形成的几何体一定是（）A. 圆锥B. 圆柱C. 圆台D. 以上均不正确【答案】A【解析】由棱锥的定义可知：将直角三角形绕它的一个直角边所在的直线旋转一周，形成的几何体一定是圆锥.本题选择A选项.2. 由斜二测画法得到：①相等的线段和角在直观图中仍然相等；②正方形在直观图中是矩形；③等腰三角形在直观图中仍然是等腰三角形；④平行四边形的直观图仍然是平行四边形．上述结论正确的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】逐一考查所给的说法：①相等的线段平行时在直观图中仍然相等，原说法错误；②正方形在直观图中是平行四边形，不是矩形，原说法错误；③等腰三角形在直观图中不是等腰三角形，原说法错误；④平行四边形的直观图仍然是平行四边形，原说法正确．综上可得上述结论正确的个数是1个.本题选择B选项.3. 下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（）A. ①③B. ②④C. ②③D. ①④【答案】D【解析】在①中，由正方体性质得到平面MNP与AB所在平面平行，∴AB∥平面MNP，故①成立；②若下底面中心为O，则NO∥AB，NO∩面MNP=N，∴AB与面MNP不平行，故②不成立；③过P作与AB平行的直线PO，则PO与平面MNP相交，∴AB与面MNP不平行，故③不成立；在④中，AB与PN平行，∴AB平面MNP，故④成立.综上所述，答案为①④.本题选择D选项.4. 在正方体中，异面直线与所成的角为（）A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°【答案】C【解析】如图所示，由正方体的性质可知，则异面直线与所成的角即，结合正方体的性质可知，综上可得异面直线与所成的角为45°.本题选择C选项.点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．5. 如图，在四面体中，若直线和相交，则它们的交点一定（）A. 在直线上B. 在直线上C. 在直线上D. 都不对【答案】A【解析】依题意有：由于交点在上，故在平面上，同理由于交点在上，故在平面上，故交点在这两个平面的交线上.6. 在正方体中，为棱的中点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意结合射影定理逐一考查所给选项：在平面上的射影为，若，则，该结论明显不成立，选出A错误；在平面上的射影为，若，则，该结论明显不成立，选出B 错误；在平面上的射影为，若，则，该结论明显不成立，选出C 错误；在平面上的射影为，若，则，该结论明显成立，选出D正确；本题选择D选项.7. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知1丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，则该楔体的体积为（）A. 13000立方尺B. 12000立方尺C. 11000立方尺D. 10000立方尺【答案】D【解析】解：由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，体积为立方尺，本题选择A选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．8. 设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】B【解析】试题分析: 若，则与可能斜交，可能垂直，所以选项A不正确；若，则与平行或异面，所以选项C不正确；若，则平行或相交或异面，所以选项D不正确．故选B．考点：直线、平面的位置关系．【思路点睛】在A中，若为内的任意一条直线，则由直线与平面垂直的定义可知；在C中，若在过直线的平面内，则由线面平行的性质定理可知；在D中，若，则由线面垂直的性质定理可知.本题主要考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面的位置关系的判断和空间想象能力，属于中档题．9. 在棱长为1的正方体中，是棱的中点，是侧面内（包括边）的动点，且平面，沿运动，将点所在的几何体削去，则剩余几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图所示，分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、AN，则∵A1M∥D1E,A1M⊄平面D1AE,D1E⊂平面D1AE,∴A1M∥平面D1AE.同理可得MN∥平面D1AE，∵A1M、MN是平面A1MN内的相交直线,∴平面A1MN∥平面D1AE，由此结合A1F∥平面D1AE,可得直线A1F⊂平面A1MN，即点F的轨迹是线段MN，∴，∴将B1点所在的几何体削去,剩余几何体的体积为，本题选择B选项.10. 在空间四边形中，分别为上的点，且，又分别是的中点，则（）A. 平面，且四边形是平行四边形B. 平面，且四边形是平行四边形C. 平面，且四边形是梯形D. 平面，且四边形是梯形【答案】C【解析】如图，由条件知,EF∥BD,EF=BD,GH∥BD,且HG=BD；∴EF∥HG,且EF=HG；∴四边形EFGH为梯形；EF∥BD，EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD；∴EF∥平面BCD；若EH∥平面ADC,则EH∥FG，显然EH不平行FG；∴EH不平行平面ADC；∴选项C正确。

2020-2021学年高二年级第一学期期中考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线12:l y x =与直线2:0l ax by c ++=（0abc ≠）相互垂直，当,,a b c 成等差数列时，直线12,l l 与y 轴围成的三角形的面积S =（ ） A. 920B.910C.95D.23A直线l 1：y=2x 与直线l 2：ax+by+c=0（abc≠0）相互垂直，∴2×（-)ab=-1，化为b=2a ． 当a ，b ，c 成等差数列时，2b=a+c ．∴b=2a ，c=3a ． 由ax+by+c=0（abc≠0），令x=0，解得y=-c b 联立20y x ax by c =⎧⎨++=⎩解得x=2ca b -+直线l 1，l 2与y轴围成的三角形的面积S=211992225220c c a a b b a a --⨯⨯=⨯=+⨯ 故选A 点睛：本题考查了直线垂直与斜率之间的关系、等差数列的性质、三角形面积计算公式，注意计算的准确性，属于中档题． 点睛：2. 若圆222210x y x y ++++=的面积被直线10ax by ++=（0a >，0b >）平分，则ab 的最大值是（ ） A. 116B.14C. 4D. 16B圆222210x y x y ++++=的圆心为()11--， 有题意可得()100a b a b +=>>，， 即有2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭当且仅当a b =时，取得最大值14故答案选B3. 若执行如图的程序框图，则输出的a 值是（ ）A. 2B. 13-C. 32-D. 2-C模拟运行程序框图，注意变量的周期性，即可得解. 模拟运行该程序：2a =，1i =，2016i ≥不成立；11123a =-=-+，2i =，2016i ≥不成立； 131213a =-=--，3i =，2016i ≥不成立； 12312a =-=-，4i =，2016i ≥不成立；可得周期为3， 则13a =-，2015i =，2016i ≥不成立；32a =-，2016i =，2016i ≥成立，输出32-.故选：C.4. 连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为,m n ，记t m n =+，则下列说法正确的是( )A. 事件“12t =”的概率为121B. 事件“t 是奇数”与“m n =”互为对立事件C. 事件“2t =”与“3t ≠”互为互斥事件D. 事件“832t mn ><且”的概率为14D对于A,1266t ==+,则概率为1116636⨯=,选项错误; 对于B, “t 是奇数”即向上的点数为奇数与偶数之和,其对立事件为都是奇数或都是偶数,选项错误;对于C,事件“2t =”包含在“3t ≠”中,不为互斥事件,选项错误;对于D, 事件“832t mn 且><”的点数有: ()()()()()()()()()3,6,4,5,4,6,5,4,5,5,5,6,6,3,6,4,6,5,共9种,故概率为91664=⨯,选项正确; 综上可得,选D.点睛:事件A 和B 的交集为空,A 与B 就是互斥事件,也可以描述为:不可能同时发生的事件,则事件A 与事件B 互斥,从集合的角度即A B =∅;若A 交B 为不可能事件,A 并B 为必然事件,那么事件A 与事件B 互为对立事件,即事件A 与事件B 在一次试验中有且仅有一个发生,其定义为:其中必有一个发生的两个互斥事件为对立事件.5. 随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面四种说法正确的是（ ）．①1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个 ②第二季度与第一季度相比，空气合格天数的比重下降了 ③8月是空气质量最好的一个月 ④6月的空气质量最差 A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④A在A 中，1月至8月空气合格天数超过20谈的月份有：1月，2月，6月，7月，8月， 共5个，故A 正确；在B 中，第一季度合格天数的比重为2226190.8462312931++≈++；第二季度合格天气的比重为1913250.6263303130++≈++，所以第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了，所以B 是正确的；在C 中，8月空气质量合格天气达到30天，是空气质量最好的一个月，所以是正确的； 在D 中，5月空气质量合格天气只有13天，5月份的空气质量最差，所以是错误的， 综上，故选A .6. 设定点()10,3F -、()20,3F ，动点P 满足()1290PF PF a a a+=+>，则点P 的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 线段C. 不存在D. 椭圆或线段D当0a >时，由均值不等式的结论有：96a a +≥=，当且仅当3a =时等号成立. 当96a a +=时，点P 的轨迹表示线段12F F , 当1296a F F a+>=时，点P 的轨迹表示以12F F 为焦点的椭圆,本题选择D 选项.点睛：椭圆定义中的常数必须大于12F F ，在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”. 7. 设命题:0p x ∀>，2log 23x x <+，则p ⌝为（ ） A. 0x ∀>，2log 23x x ≥+ B. 0x ∃>，2log 23x x ≥+ C. 0x ∃>，2log 23x x <+ D. 0x ∀<，2log 23x x ≥+B 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到答案.因为全称量词的否定是存在量词，2log 23x x <+的否定是2log 23x x ≥+. 所以p ⌝：0x ∃>，2log 23x x ≥+.故选：B 本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.8. 某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为,a b ，则椭圆22221x y a b +=的离心率2e >的概率是( ) A. 118B.536 C. 16D. 13C224,2c e a b a b a ==>>>1,3,4,5,6;2,5,6b a b a ====共6种情况61366p == 9. 已知两圆C 1：（x -4）2+y 2=169，C 2：（x +4）2+y 2=9.动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是（ ）A. 2216448x y -=B. 2214864x y +=C. 2214864x y -=D. 2216448x y +=D由两圆外切和内切，得出圆心距与两圆的半径和差的关系，设出动圆的半径r ，消去r ，再由圆锥曲线的定义，可得动圆的圆心M 的轨迹，进一步求出其方程. 设动圆的圆心(),M x y ，半径为r圆M 与圆1C :()224169x y -+=内切，与C 2：()2249x y ++=外切. 所以1213,3MC r MC r =-=+.1212+168MC MC C C =>=由椭圆的定义，M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴为16的椭圆. 则8,4a c ==，所以2228448b =-=动圆的圆心M 的轨迹方程为：2216448x y +=故选：D 本题考查两圆的位置关系以及判断方法和动点的轨迹方程，椭圆的定义，属于中档题.10. 设P 为椭圆22194x y +=上的一点，12,F F 是该椭圆的两个焦点，若12:2:1PF PF =，则12PF F ∆的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5C试题分析：由椭圆定义知126PF PF +=，又12:2:1PF PF =，所以124,2PF PF ==，又12F F =2221212PF PF F F +=，所以12PF F ∆的面积为121142422PF PF ⋅=⨯⨯=.故选C.考点：椭圆的定义.11. 设椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆E 的离心率是( ) A. 13B.23C.12D.14A设点(),B x y ，则(),C x y --，AC 中点为,22a x y M -⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据BFM 三点共线得到3a c =，得到答案.设点(),B x y ，则(),C x y --，(),0A a ，(),0F c ，则AC 中点为,22a x y M -⎛⎫-⎪⎝⎭， BFM 三点共线，故22yy y a x x c x +=---，化简得到3a c =，故13e =.故选：A. 本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，根据三点共线得到3a c =是解题的关键.12. 下列结论错误的是（ ）A. 命题“若p ，则q ”与命题“若q ⌝，则p ⌝”互为逆否命题B. 命题[]:0,1,1xp x e e ∀∈≤≤（e 是自然对数的底数），命题2:,10q x R x x ∃∈++<，则p q ∨为真C. “22am bm <”是“a b <”成立的必要不充分条件D. 若p q ∨为假命题，则,p q 均为假命题 C对于A 选项：根据逆否命题的概念可判断；对于B 选项：由x y e =是增函数，可判断命题p 正确，再由复合命题的真假可判断；对于C 选项：当0m =时，不能由“a b <”推出“22am bm <”，可判断； 对于D 选项：由复合命题p q ∨的真假可判断． 对于A 选项：根据逆否命题的概念知A 正确；对于B 选项：由于x y e =是增函数，因此当[]0,1x ∈时，01x e e e ≤≤，即1x e e ≤≤，所以命题p 正确，因此不论命题q 是否正确，命题“p q ∨”为真命题，故B 正确；对于C 选项：由“22am bm <”能推出“a b <”，而当0m =时，不能由“a b <”推出“22am bm <”，所以“22am bm <”是“a b <”成立的充分不必要条件，故C 不正确． 对于D 选项：由复合命题p q ∨的真假判断可知D 选项正确． 故选：C ． 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13. 若圆22:()(2)4(0)C x a y a -+-=>被直线:30l x y -+=截得的弦长为则a =__________．由题意利用弦长公式可得弦心距1d ==，再由点到直线的距离公式可得1d =∴=解得a =，或1a =（舍去）．14. 袋中有20个大小相同的球,其中标号为0的有10个,标号为(1,2,3,4)n n =的有n 个.现从袋中任取一球,ξ表示所取球的标号.若2,()1a E ηξη=-=,则()D η的值为_____.11根据题意得出随机变量ξ的分布列：()01234220102052E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ，∵2,()1a E ηξη=-= ，∴3122a =⨯- ，即a=2，∴22,()1E ηξη=-= ，22222131113331311()234222021022020524D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，∵11()4()4114D D ηξ==⨯= . 故答案11.15. 椭圆22221x y a b+=（a >0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过2F 作倾斜角为120的直线与椭圆的一个交点为M ，若1MF 垂直于2MF ，则椭圆的离心率为_______．1试题分析：由题意可知在12Rt F MF ∆中，斜边122F F c =， 1260F F M ︒∠=，可得21,MF c MF ==，由椭圆的定义可得)2121a MF MF c =+=，所以离心率 1c e a===．考点：1椭圆的定义；2椭圆的简单几何性质． 16. 下列命题中，假命题的序号有__________．（1）“1a =-”是“函数2()1()f x x x a x R =+++∈为偶函数”的充要条件；（2）“直线l 垂直平面a 内无数条直线”是“直线l 垂直平面a ”的充分条件； （3）若0xy =，则||||0x y +=；（4）若2000:,220p x R x x ∃∈++≤，则2:,220p x R x x ⌝∀∈++>.（2）（3）（1）若“函数2()1()f x x x a x R =+++∈为偶函数”，则()()f x f x -=，即2211x x a x x a +++=+-++，则1(1)x a x a ++=-+，平方得22222(1)(1)2(1)(1)x a x a x a x a ++++=-+++， 即2(1)2(1)a x a x +=-+，则4(1)0a +=，即1a =-，则“1a =-”是“函数2()1()f x x x a x R =+++∈为偶函数”的充要条件；正确；（2）“直线l 垂直平面α内无数条直线”则“直线l 垂直平面α”不一定成立，故（2）错误； （3）当0,1x y ==时，满足0xy =，但||||0x y +=不成立，故（3）错误； （4）若p ：2,220x x x ∃∈++≤R ，则p ⌝：2,220x x x ∀∈++>R 正确．故答案为（2）（3）三、解答题(共6小题 ,共70分)17. 已知直线:(1)(23)60m a x a y a -++-+=，:230n x y -+=.（1）当0a =时，直线l 过m 与n 的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l 的方程； （2）若坐标原点O 到直线m的距离为m 与n 的位置关系.（1）370x y -=或120x y -+=；（2）//m n 或m n ⊥试题分析：（1）联立360230.x y x y -++=⎧⎨-+=⎩，解得m 与n 的交点为（-21，-9），当直线l 过原点时，直线l 的方程为370x y -=；当直线l 不过原点时，设l 的方程为1x yb b+=-，将（-21，-9）代入得12b =-，解得所求直线方程（2）设原点O 到直线m 的距离为d ，则d ==14a =-或73a =-，分情况根据斜率关系判断两直线的位置关系; 试题解析：解：（1）联立360230.x y x y -++=⎧⎨-+=⎩，解得21,9,x y =-⎧⎨=-⎩即m 与n 的交点为（-21，-9）.当直线l 过原点时，直线l 的方程为370x y -=； 当直线l 不过原点时，设l 的方程为1x yb b+=-，将（-21，-9）代入得12b =-， 所以直线l 的方程为120x y -+=，故满足条件的直线l 方程为370x y -=或120x y -+=. （2）设原点O 到直线m 的距离为d ，则d ==14a =-或73a =-，当14a =-时，直线m 的方程为250x y --=，此时//m n ；当73a =-时，直线m 的方程为250x y +-=，此时m n ⊥.18. 某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表：（1）求关于的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，当价格35x =元/kg 时，日需求量y 的预测值为多少？参考公式：线性归回方程： ˆy bx a =+ ，其中()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑ ， a y bx =-（1）ˆ0.3214.4y x =-+；（2）3.2kg.（1）计算出x 、y ，然后再算出()521i i x x =-∑及()()51i i i x x y y =--∑，代入公式可得b 、a ，即可得解；（2）将35x =代入线性回归方程即可得解. （1）由题意，()11015202530205x =++++=，()1111086585y =++++=， 则()()()522222211050510250i i x x =-=-+-+++=∑，()()51iii x x y y =--=∑()()()10352005210380-⨯+-⨯+⨯+⨯-+⨯-=-，()()()51521800.32250iii i i x x y y b x x ==---===--∑∑，80.322014.4a y bx =-=+⨯=， 故所求线性回归方程为ˆ0.3214.4yx =-+； （2）由（1）知当35x =时，0.323514.3ˆ4.2y=-⨯+=， 故当价格35x =元/kg 时，日需求量y 的预测值为3.2kg . 19. 已知()||f x x =，()1g x x =-．（1）若x 是从区间[]3,4-上任取的一个实数，2y =，求满足()()1f x g y ≥+的概率．（2）若x 、y 都是从区间[]0,4上任取的一个实数，求满足22()()1f x g y +≤的概率．（1）37P =（2）32π试题分析：（1）本题属于线段型的几何概型，根据线段长度的比值求解．（2）本题属于面积型的几何概型，根据几何图形的面积的比求解．试题解析：（1）由()()1f x g y ≥+知11x y y ≥-+=， 所以2x ≥，因为34x -≤≤，即所有基本事件构成的线段长度为7.设“满足()()1f x g y ≥+”为事件A ，则事件A 包含的基本事件构成的线段长度为3， 由几何概型概率公式得()37P A =. 所以满足()()1f x g y ≥+的概率为37P =． （2）由()()221f x g y +≤知()22||11x y +-≤，得()2211x y +-≤，因为04x ≤≤，04y ≤≤，故所有基本事件构成的平面区域的面积为为16.设“满足()()221f x g y +≤”为事件B ，则事件B 包含的基本事件构成的区域的面积为21122ππ⋅⋅=， 由几何概型概率公式得2()1632P B ππ==． 所以满足()()221f x g y +≤的概率为32P π=． 点睛：几何概型的两种类型(1)线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时．(2)面积型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．20. 设命题21:01c p c -<-，命题q ：关于x 不等式()221x x c +->的解集为R . （1）若命题q 为真命题，求实数c 的取值范围；（2）若命题p 或q 是真命题， p 且q 是假命题，求实数c 的取值范围.（1）当q 为真时，58c >；（2）c 的取值范围是[)15,1,28⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦． 试题分析：()1命题q 为真命题，即不等式()221x x c +->的解集为R ，利用判别式求出实数c 的取值范围；()2根据题意得命题p ，q 有且仅有一个为真命题，分别讨论p 真q 假与p 假q 真，即可得出实数c 的取值范围．解析：（1）当q 为真时，∵不等式()221x x c +->的解集为R ，∴当x ∈R 时，()()2241410x c x c --+->恒成立.∴()()22414410c c ∆=--⋅-<，∴850c -+< ∴当q 为真时，58c > （2）当p 为真时， ∵2101c c -<-，∴当p 为真时，112c <<； 当q 为真时，58c >， 由题设，命题p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，p 真q 假可得，1528c <≤ p 假q 真可得1c ≥ 综上可得1528c <≤或1c ≥ 则c 的取值范围是[)15,1,28⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦.21. 在平面直角坐标系xOy 中，已知()(),3,03,0A B -，动点M 满足1MA MB ⋅=，记动点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）若直线:4l y kx =+与C 交于,P Q 两点，且6PQ =，求k 的值.（1）2210x y +=（2）k =分析：（1）设点M 的坐标为(),x y ，由平面向量数量积的坐标运算法则结合题意可得C 的方程为2210x y +=.（2）由（1）知C 为圆心是()0,0的圆，利用点到直线距离公式结合圆的弦长公1=，解得k =详解：（1）设点M 的坐标为(),x y ，则()()3,,3,MA x y MB x y =---=--，所以2291MA MB x y ⋅=-+=，即2210x y +=，所以C 的方程为2210x y +=.（2）由（1）知C 为圆心是()0,0的圆，设()0,0到直线l 的距离为d，则d =因为6PQ ==，所以1d =，1=，解得k =点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．22. 已知圆22:4O x y +=恰好经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点和两个顶点.（1）求椭圆C 的方程；（2）经过原点的直线l (不与坐标轴重合)交椭圆C 于,A B 两点，AM x ⊥轴，垂足为M ，连接BM 并延长BM 交椭圆C 于N ，证明：以线段BN 为直径的圆经过点A .（1）22184x y +=；（2）见解析 试题分析：（1）由224x y +=恰好经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点和两个顶点可得2b c ==，a ==从而可得椭圆C 的方程；（2）设直线l 的斜率为k ，可得线BM 的斜率为2k ，BM 的方程为()02k y x x =-，与椭圆方程联立，利用韦达定理求得N 的坐标，可得直线AN 的斜率为1k -，即得AN AB ⊥，以线段BN 为直径的圆一定经过点A . 试题解析：（1）由题意可知，2b c ==，a ==，所以椭圆C 的方程为22184x y +=. （2）证明：设直线l 的斜率为()0k k ≠，()()000,0A x y x ≠，在直线l 的方程为y kx =， ()()000,,,0B x y M x --.直线BM 的斜率为0000222y kx k x x --==--，所以直线BM 的方程为()02k y x x =-， 联立()2201842x y k y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得()222220022160k x k x x k x +-+-=， 记,B N 横坐标分別为()(),,,B B N N x y x y .由韦达定理知:200222B N N k x x x x x k +=-+=+, 所以200222N k x x x k =++，于是2022N k x y k =+， 所以直线AN 的斜率为2002020021222N N k x kx y y k k x x x kk --+==--+，因为11kk⎛⎫⨯-=-⎪⎝⎭.所以AN AB⊥，所以以线段BN为直径的圆一定经过点A.。

合肥一中2020-2021学年高二年级第一学期段一考试(理)时间：120分钟 满分：150一、选择题：（每小题5分，共60分）.BBDDC ACDBC DC二、填空题：（每小题5分，共20分）.13．3π (60︒也可以) 14．1315 16．①④三、解答题：（每小题分，共分）.17．表面积38, 体积12π-由三视图可以看出该几何体为一个长方体从中间挖掉了一个圆柱，长方体表面积为2(433141)38⨯⨯+⨯+⨯=，圆柱的侧面积为2π，上下两个底面积和为2π，所以该几何体的表面积为382238ππ+-=.18．(1) 连接BD ，记BD 与AC 交于点O ，则O 为BD 的中点， //EO PB 易知又,EO AEC PB AEC ⊂⊄面面 //.PB AEC ∴平面（2） 因为 ,C ADE E ADC V V --= 而1132E ADC ADC V S PA -∆=⋅=PA ∴=又PA ABCD ⊥平面，PCA ∴∠即为PC 与底面所成角由于 PA AC ==4PCA π∴∠=19.（1）26ADE S a ∆=； （2）P 为AE 中点时DP ⊥面ACC A ''，如图所示，取AE 中点P ，AC 中点Q ，连接PQ ､DP 、BQ ，因为P 、Q 分别为AE 、AC 中点，所以PQ CE ∥，//BD QP 且BD =QP ，则四边形BDPQ 为平行四边形，所以//DP BQ ，由正棱柱知：AA '⊥面ABC ，因为BQ ⊂平面ABC ，所以AA BQ '⊥，又AC BQ ⊥，AC ⊂平面ACC A ''，AA '⊂平面ACC A ''，所以BQ ⊥面ACC A ''，由//DP BQ 得DP ⊥面ACC A ''；20．（1）∵DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，∴//DE AF ，∴//AF 平面DCE ， ∵ABCD 是正方形，//AB CD ，∴//AB 平面DCE ，∵AB AF A ⋂=，AB ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，∴平面//ABF 平面DCE .（2）假设存在一点G ，过G 作//MG BF 交EC 于M ，连接,BG BM ，()1331133213332322ABCDEF B ADEF B CDEV V V --+⨯⨯=+=⨯⨯+⨯⨯=，设EG t =，则21392144GFBME B EFG B EGM V V V --=+=⨯=， 设M 到ED 的距离为h ，则331h EM t EC ==-，32h t =，234EGM S t ∆= ∴2131393334324t t ⨯⨯+⨯⨯=，解得1t =，即存在点G 且1EG =满足条件.21．（1）连接,AC BD 交于O ，因为BC BA =，11B BA B BC ∠=∠，11B B BB =，所以11B BC B BA ∆≅∆，故11B A B C = 又因为O 为菱形对角线交点，即是线段AC 的中点，所以1B O AC ⊥又四边形ABCD 为菱形，故AC BD ⊥而1B OBD O =，所以AC ⊥平面1BDB方法二：因为11B BA B BC ∠=∠，所以点1B 在平面ABCD 内的射影O 在为ABC ∠的平分线，又四边形ABCD 为菱形，故BD 为ABC ∠的平分线，则O ∈直线BD故平面1BDB ⊥平面ABCD ，而平面1BDB 平面ABCD BD =， 又四边形ABCD 为菱形，故AC BD ⊥,所以AC ⊥平面1BDB（2）延长1111,,,AA BB CC DD 交于点P ，平面1BDB 即为平面BDP ，平面1ACC 即平面ACP过1B 做1B H OP ⊥，易证得1B H ⊥平面ACP ，故11B A H∠即为直线11A B 与平面1ACC 所成角（若研究直线AB 与平面1ACC 所成角的正弦值则线段等比例扩大2倍结果不变）因为四棱台1111ABCD A B C D -中1122AB A B ==，所以111A B =，6BP = 由菱形有2AB BC ==，且∠ABC =3π，所以23BD =，作PG BD ⊥，因为16B BD π∠=，则33BG =，3PG =，所以2221PO BG PG =+=， 则cos BPO ∠2621==⨯⨯221，7sin BPO ∠=，137B H =， 故1111137sin B H B A H B A ∠==.22． 解：（1）∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∴A 1A ∥CC 1∥BB 1，∵AA 1⊥BC ，∴CC 1⊥BC ， ∵A 1B ⊥BB 1，∴A 1B ⊥CC 1，∵BC∩BA 1=B ，∴CC 1⊥平面BA 1C ，A 1C ⊂平面BA 1C ∴A 1C ⊥CC 1；（2）作AO ⊥B 于O ，连结A 1O ，由（1）可知∠AA 1O=90°，∵AB=2，AC=，BC=，∴AB ⊥AC ， ∴AO=， 设A 1A=h ，A 1O==，∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积V===，当h 2=，即h=时，即AA 1=时棱柱的体积最大，最大值为：．。

高二第一学期期中检测理科数学参考答案题号123456789101112答案A DB DC B A C C B A C 1.【解析】因为{}{}{}1202,102>-<=>-+=≤<=x x x x x x N x x M 或,=N C R {},12≤≤-x x 所以{}10)(≤<=x x N C M R (]1,0=.2.【解析】因为正项等比数列{}n a 满足142=a a ，由于2342a a a =，所以1,1,121323===q a a a .因为133=S ，所以1q ≠.由)1(1)1(21313q q a q q a S ++=--=得,,11322q q q ++=即01122=--q q ，解得31=q ，或41-=q （舍去）.3.【解析】初始值2,5==x n ，程序运行过程如下表所示1v =；6421=+⨯=v ；15326=+⨯=v ；322215=+⨯=v ；651232=+⨯=v ；1300265=+⨯=v .1i =-，跳出循环，输出.130=v 4.【解析】因为2745432=+++=x ，,45.1145.58.32.2m m y +=++++=所以61.02746.145.11-⨯=+m ，解得.5.6=m 5.【解析】该几何体是底面半径为1，母线长为2的半圆锥，因此其表面积为.323243121212212122+=⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯πππ6.【解析】由⇒=-⋅0)(b a a b a a ⋅=22222)(b b a a b a +⋅-=-=-,13222=+-=+-=b b a .27.【解析】特值法，当βα⊥时，D C B ,,,0cos =θ均不成立.8.【解析】由题意知，当3π=x 时，函数()f x 取得最大值，所以.,223Z k k ∈+=⋅ππωπ解得.,236N k k ∈+=ω因为)(x f 在区间⎦⎤ ⎝⎛-3,12ππ上递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡125,3ππ上递减，所以123ππωπ+≥且3125ππωπ-≥，解得.5120≤<ω因此23=ω.9.,1,2.245cos 221cos 66cos 269cos 24cos 2==+=⋅ AC AB所以.22sin ,22cos ,2==⋅=A A A AC AB 于是ABC ∆.22=A 10.【解析】设等差数列的公差为.d 由13853a a =得,)12(5)7(311d a d a +=+,整理得,.2391d a -=因此d n d dn n d n d a n d S n 200)20(22022(22212--=-=-+=,20S 最大.11.【解析】4214≥-+x a x 4821)2(4≥+-+-⇔a x a x 4821)2(4min ≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-⇔a x a x 即,484≥+⇔aa 解得40≤<a .12.【解析】001()1111x x x f x x <<<⎧⎪=⎨--⎪+⎩≤， ，.作函数()y f x =的图象，如图所示.函数()g x 零点的个数⇔函数()y f x =的图象与直线4y mx m =+公共点的个数.当直线4y mx m =+过点(11)，时，15m =,,所以当510<<m 时,直线4y mx m =+与函数()y f x =图象有两个公共点.当直线4y mx m =+与曲线111y x =-+（01x <<-）相交时，联立⎪⎩⎪⎨⎧-+=+=1114x y m mx y 消去y 得，0)15(42=++-m x m mx 因此016)15(22>-+=∆m m 且015<+m 时，解得.1-<m 综上知，实数m 的取值范围是51,0()1,( --∞.13.【答案】.0723=+-y x 【解析】设直线l 的方程是.023=+-c y x 将2,1=-=y x 代入得，,043=+--c 所以7=c .故l 的方程是.0723=+-y x 14.【答案】61【解析】因抛掷一颗骰子有6种结果，所以抛掷两颗骰子有3666=⨯种不同结果.点),(b a S 在不等式所表示的区域内，有如下几种情况：当1=a 时，=b １，2，3;当2=a 时，=b 1，2;当3=a 时，1=b .共有(1,1)，（1,2），(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)六个点落在条件区域内，故61366)(==A P .15.【答案】21【解析】因为m x x x x f ++=cos sin 32cos 2)(2162sin(22sin 32cos 1+++=+++=m x m x x π.]2,0[π∈x ，∴]1,21[62sin(67626-∈+≤+≤ππππx x ，则.∴]3,[1)62sin(2)(m m m x x f +∈+++=π.由=+]3,[m m 27,21[得,且27321=+=m m 故21=m .16.【答案】.242π【解析】如图，因为平面BDC ⊥平面ABD ，所以AB ⊥平面BDC ，CD ⊥平面ABD ，得.AD CD BC AB ⊥⊥，取AC 的中点O ，则OD OC OB OA ===.于是外接球的球心是O ，12OA AC =，2214OA AC =.而.21)24(2122222222=+=+=+=BD AB BD AB BC AB AC 所以半径.4221==AC OA 于是外接球的体积为.24242(343ππ=17.【解析】（1）由频率分布直方图可知,月用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5=0.04.同理，在[0.5,1),[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]等组的频率分别为0.08，0.21，0.25,0.06，0.04,0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)=2×0.5×a，解得a=0.30.………………………………………………………………4分（2）由(1)知,100位居民月均水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02=0.12.由以上样本的频率分布,可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12=36000(人).………………………………………………………6分(3)设中位数为x 吨.因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25=0.73＞0.5，而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21=0.48＜0.5,所以2≤x＜2.5.由0.50×(x－2)=0.5－0.48,解得x=2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.…………………………………10分18.【解析】(1)因为n m ,互相垂直,所以0)3(22)(=-⋅++⋅-=⋅a b b c a c a n m ,……………………………………2分即2223b ab c a -=-，ab c b a 3222=-+.…………………………………4分由余弦定理得，=C cos .23232222==-+ab ab ab c b a 因为π<<C 0,所以6π=C .…………………………………………………6分（2）因为,236sin 21==∆πab S ABC 所以32=ab .……………………………8分ab c b a 3222=-+就是ab b a 3)6sin 2(222=-+π,即ab ab b a 312)(2=--+,因此347123)(2+=++=+ab ab b a ,32+=+b a .…………………11分故ABC ∆的周长是33+=++c b a .…………………………………………12分19.【解析】（1）直线1-=kx y 就是,01=--y kx 圆C 的圆心是),0,0(C 半径是21.由题意得，圆心)0,0(C 到直线l 的距离是21112<+k ，……………………………2分解得3-<k 或.3>k 故k 的取值范围是).,3()3,(+∞--∞ ………………5分（2）当1=k 时，直线l 与圆C 相离.设点P 的坐标是),(00y x ，则直线MN 的方程是4100=+y y x x .………………………………………………7分因为点P 在直线1-=x y 上，所以100-=x y .代入4100=+y y x x 中，得到,41)1(00=-+y x x x 即.0)41()(0=+-+y x y x ……9分由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+0)41(0y y x 得，.4141⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==y x 故直线MN 恒过一个定点).41,41(-…………………………………………………12分20.【解析】（1）因为AC=BC ，D 是AB 的中点，所以CD AB ⊥.又VC ⊥底面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以VC AB ⊥.………………………2分而,C CD VC = 所以⊥AB 平面.VCD 又AB ⊂平面VAB ，所以平面VAB ⊥平面VCD .…………………………………5分（2）过点D 在平面ABC 内作DF CE ⊥于F ，则由题意知DF ⊥平面VCE.连接VF ，于是DVF ∠就是直线VD 与平面VCE 所成的角.…………………………7分在t R VFD ∆中，DF VD =.又因为VD=,所以DF =.在t R DCE ∆中,可求出DE=1.故知点E 位于线段AD 的中点或线段BD 的中点.…10分三棱锥VDE C -的体积为.3222212213131=⨯⨯⨯⨯=⋅⋅A VC S CDE (12)分21.【解析】（1）令0n , 1==m 代入等式中可得,2)0(-=f ，即2-=c .………2分再令n m -=得,2)(),12()()0(2-+=++--=-n n n f n n n n f f ,所以.2)(2-+=z z z f ………………………………………………6分（2）因为直线被圆9)2()1(22=-++y x 截得的弦长为6,所以直线过圆心,有1=+b a .……………………………………………………8分于是由均值不等式得,abb a +4=94545))(41(41=+≥++=++=+a b b a b a b a b a ,当且仅当a b b a =4,即32,31==b a 时等号成立.故abb a +4的最小值是.9…………12分22.【解析】(1)当2≥n 时，.12)1(221-=--=-=-n n n S S a n n n 在2n S n =中，令1=n ，则111==S a ，满足.12-=n a n 故数列{}n a 的通项公式是.,12*∈-=N n n a n ……………………………4分（2)因为一般项)11(41121121+++++-=n n n n n n n a a a a a a a ，所以原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⋅⋅⋅+-+-=+++11()11()11(4121143323221n n n n a a a a a a a a a a a a =-=++11(412121n n a a a a .)32)(12(32)32)(12(64222+++=+++n n n n n n n n ………………………8分于是)32)(12(322+++n n n n ,)2141(2λn n +≥即存在*∈N n ,使≤λ)32)(12(34++n n 成立.≤λ.454)32)(12(34max =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++n n 故实数λ的最大值是.454………………………12分。

2024-2025学年安徽省十校联考合肥一中高二上学期期中联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线x +3y +2=0的倾斜角为( )A. 150°B. 120°C. 60°D. −30°2.给出下列命题，其中是真命题的是( )A. 已知向量组{a ,b ,c }是空间的一个基底，若m =a +c ，则{a ,b ,m }不是空间的一个基底．B. 若a ⊥b ，b ⊥c ，则a //c ．C. 若a ⋅b <0，则⟨a ,b⟩是钝角．D. 若对空间中任意一点O ，有OP =13OA−16OB +56OC ，则P ，A ，B ，C 四点共面．3.已知直线l 1:mx +2y−2=0与直线l 2:5x +(m +3)y−5=0，若l 1//l 2，则m =( )A. −5B. 2C. 2或−5D. 54.如图，在四面体A−BCD 中，点O 为底面三角形BCD 的重心，P 为AO 的中点，设AB =a ，AC =b ，AD =c ，则BP 在基底{a ,b ,c }下的有序实数组为( )A.(23,−13,−13) B. (−23,13,13) C.(56,−16,−16) D. (−56,16,16)5.已知圆C ：x 2+y 2−4y +3=0，一条光线从点P (2,1)射出经x 轴反射，则下列结论不正确的是( )A. 圆C 关于x 轴的对称圆的方程为x 2+y 2+4y +3=0B. 若反射光线平分圆C 的周长，则入射光线所在直线方程为3x−2y−4=0C. 若反射光线与圆C 相切于A ，与x 轴相交于点B ，则|PB |+|PA |=2D. 若反射光线与圆C 交于M ，N 两点，则▵CNM 面积的最大值为126.已知圆C 1：(x−1)2+y 2=1，圆C 2：(x−a )2+(y−b )2=4，其中a ，b ∈R ，若两圆外切，则b−3a−5的取值范围为( )A. [−247,0]B. [−125,0]C. [0,247]D. [0,125]7.阅读材料：空间直角坐标系O−xyz中，过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为n=(a,b,c)的平面α的方程为a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0；过点P(x0,y0,z0)且一个方向向量为d=(u,v,w)(uvw≠0)的直线l的方程为x−x0 u =y−y0v=z−z0w.利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为3x−5y+z−7=0，直线l是平面x−3y+7=0与4y+2z+1=0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为( )A. 1035B. 75C. 715D. 1058.在平面直角坐标系中，A(2,0)，B(3,3)，点M在圆C：(x+2)2+y2=4上运动，则|MB|+12|MA|的最小值为( )A. 6B. 5C. 4D. 3二、多选题：本题共3小题，共18分。

2020-2021高二上学期第一学期期中考试数学（文理共卷）班级_________ 姓名__________学号___________一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图如图，则原图形的周长是A. B. C. D.2.已知直线l：，则该直线的倾斜角为A. B. C. D.3.若在直线上有一点P，它到点和的距离之和最小，则该最小值为A. B. C. D.4.已知：空间四边形ABCD如图所示，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC，CD上的点，且，，则直线FH与直线A. 平行B. 相交C. 异面D. 垂直5.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积和表面积分别为A. ，B. ，C. ，D. ，6.已知直线：和：互相平行，则实数m的值为A. B. 2 C. D. 2或47.在下列条件中，可判断平面与平行的是A. ，且B. m，n是两条异面直线，且，，，C. m，n是内的两条直线，且，D. 内存在不共线的三点到的距离相等8.已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为A. B. C. D.9.点P是直线上的动点，直线PA，PB分别与圆相切于A，B两点，则四边形为坐标原点的面积的最小值等于A. 8B. 4C. 24D. 1610.已知各棱长均为1的四面体ABCD中，E是AD的中点，直线CE，则的最小值为A. B. C. D.11.已知正方体的棱长为a，点E，F，G分别为棱AB，，的中点，下列结论中，正确结论的序号是过E，F，G三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；平面EFG；平面；二面角平面角的正切值为；四面体的体积等于．A. B. C. D.12.已知边长为2的正所在平面外有一点P，，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设直线l的斜率为k，且，则直线的倾斜角的取值范围是________．14.直线过点，它在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则此直线方程为______ ．15.已知圆关于直线对称，则的最小值是___________．16.如图，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，P是侧面内一点，若平面AEF，则线段长度的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(10分)已知一束光线经过直线和的交点M，且射到x轴上一点后被x轴反射．求点M关于x轴的对称点P的坐标求反射光线所在的直线的方程．18.(12分)已知关于的方程C：．若方程C表示圆，求m的取值范围；若圆C与圆外切，求m的值；若圆C与直线相交于两点，且，求m的值．19.(12分)如图，在斜三棱柱中，点O、E分别是、的中点，与交于点F，平面已知，．求证：平面；求与平面所成角的正弦值．20.(12分)如图1，在中，，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将沿DE折起到的位置，使，如图2．求证：平面；求证：；线段上是否存在点Q，使平面DEQ？说明理由．21.(10分)如图所示，已知在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，点D是线段BC的中点，平面平面，，．求证：平面ABC．请问在线段上是否存在点E，使得平面若存在，请说明点E的位置若不存在，请说明理由．求二面角的大小．22.如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，平面平面ABCD，二面角的大小为，，M为线段SC的中点，N为线段AB上的动点．求证：平面平面SCD；是否存在点N，使二面角的大小为，若存在，求的值，不存在说出理由．答案一、选择题BCCBD ABCAB BC二、填空题13、14、或15、9 16、三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17、（10分）已知一束光线经过直线和的交点M，且射到x轴上一点后被x轴反射．求点M关于x轴的对称点P的坐标求反射光线所在的直线的方程．【答案】解：由得．点M关于x轴的对称点P的坐标为．易知经过点P与点N，的方程为，即．18．（12分）已知关于的方程C：．若方程C表示圆，求m的取值范围；若圆C与圆外切，求m的值；若圆C与直线相交于两点，且，求m 的值．【答案】解：方程可化为若方程C表示圆只需，所以m的范围是由知圆C的圆心为，半径为，可化为，故圆心为，半径为4．又两圆外切，所以，解得由圆的圆心半径为，过圆心C作直线l的垂线CD，D为垂足，则，又，知则，解得19．（12分）如图，在斜三棱柱中，点O、E分别是、的中点，与交于点F，平面已知，．求证：平面；求与平面所成角的正弦值．【答案】证明：，E分别是、的中点，与交于点F，，，平面平面，平面OEF，平面C.解：设点到平面的距离为d，，，，，，中，，，，，解得，设与平面所成角为，与平面所成角的正弦值为：．20．（12分）如图1，在中，，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将沿DE折起到的位置，使，如图2．求证：平面；求证：；线段上是否存在点Q，使平面DEQ？说明理由．【答案】解：，E分别为AC，AB的中点，，又平面，平面．由已知得且，，，又，平面，而平面，，又，平面BCDE，．线段上存在点Q，使平面理由如下：如图，分别取，的中点P，Q，则．，．平面DEQ即为平面DEP．由Ⅱ知平面，，又是等腰三角形底边的中点，，平面DEP，从而平面DEQ，故线段上存在点Q，使平面DEQ．21．（12分）如图所示，已知在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，点D是线段BC的中点，平面平面，，．求证：平面ABC．请问在线段上是否存在点E，使得平面若存在，请说明点E的位置若不存在，请说明理由．求二面角的大小．【答案】解：证明：因为四边形为正方形，所以．因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面ABC．当点E是线段的中点时，有平面C.理由如下：连接交于点E，连接DE．因为点E是的中点，点D是线段BC的中点，所以C.又因为平面，平面，所以平面C.因为平面ABC，所以，又因为，所以，又，AC、在平面内，所以平面，所以平面，所以，，所以是二面角的平面角．则，所以二面角的平面角为．22．（12分）如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，平面平面ABCD，二面角的大小为，，M为线段SC的中点，N为线段AB上的动点．求证：平面平面SCD；是否存在点N，使二面角的大小为，若存在，求的值，不存在说出理由．【答案】证明：平面平面ABCD，且，平面平面，平面SCD，又平面SBC，平面平面SCD；如图：平面平面ABCD，则过点S作面ABCD，交CD的延长线于点O，过O 作交AD于E，连接SE，，面SOE，则，所以为二面角的平面角的补角，则，又，两式相乘得，即，，，假设存在点N，使二面角的大小为过N作交CD于点P，过P作交DM于点Q，连接NQ，可得面NPQ，则为二面角的平面角，即，设，因为，四边形BCPN为矩形，则，，则，，解得，此时．存在点N，使二面角的大小为此时．。

2020-2021学年安徽省某校高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题1. 在△ABC，a=√2，b=√3，B=π3，则角A=( )A.π6B.π4C.3π4D.π4或3π42. 已知a，b，c∈R且a>b，则下列不等式中恒成立的是( )A.ac>bcB.1a <1bC.a2>b2D.a3>b33. 在等差数列{a n}中，a2=−5，a6=a4+6，则a1=( )A.−9B.−8C.−7D.−44. 设x，y满足约束条件{x≤3，x+y≥0，x−y+5≥0，则z=2x+4y的最小值为( )A.5B.−6C.10D.−105. 在等差数列{a n}中，a3+a4+a5+a6+a7=150，S9=( )A.45B.75C.270D.1806. 在等比数列{a n}中，a6=6，a9=9，则a3=( )A.3B.32C.169D.47. 若一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<−3或x>5}，则ax2−bx+c< 0的解集为( )A.(−5,3)B.(−∞,−5)∪(3,+∞)C.(−3,5)D.(−∞,−3)∪(5,+∞)8. 在△ABC中，若sin2A+sin2B<sin2C，则△ABC的形状是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定9. 若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c满足(a+b)2−c2=4，且C= 60∘，则ab的值为( )A.43B.8−4√3 C.1 D.2310. 在正数组成的等比数列{a n}中，若a4a5a6=3，log3a1+log3a2+log3a8+log3a9的值为( )A.43B.34C.2D.34311. 直线xa +yb=1(a>0, b>0)过点(1, 1)，则a+b的最小值是( )A.2B.3C.4D.512. 已知数列{a n}满足a1=1，且对任意的n∈N+，都有a n+1=a n+n+1，则数列{1a n}的前100项的和为( )A.101100B.200101C.99100D.101200二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

合肥一中2021——2021学年第一学期高二年级段一考试数学〔理〕试卷第一卷〔共60分〕一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1. 以下说法正确的选项是〔〕A. 平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B. 平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C. 过圆锥极点的截面是等腰三角形D. 过圆台上底面中心的截面是等腰梯形【答案】C【解析】略2. 四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影〔阴影局部〕效果如图，那么在字母的投影中，与字母属同一种投影的有〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】按照平行投影和中心投影的特点和规律．“L〞、“K〞与“N〞属中心投影；应选A．3. 将图1所示正方体截去两个三棱锥，取得图2所示的几何体，那么该几何体的侧视图为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意可知几何体前面在右边的射影为线段，上面的射影也是线段，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，在右边的射影是正方形的对角线，在右边的射影也是对角线是虚线．如图B．应选B．考点：简单空间图形的三视图．4. 是两个不同的平面，是两条不同的直线，现给出以下命题：①假设,,,，那么；②假设,，那么③假设,，那么；④假设,，那么.其中正确命题的个数是〔〕A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】对于①，假设，按照面面平行的判定定理，若是直线不相交，那么与不必然平行；故①错误；对于②，假设 ,，那么那么与位置关系不肯定〔有可能在内〕；故②错误；对于③，假设,，那么那么与位置关系不肯定〔有可能在内〕；故③错误；对于④， ,，那么. ，那么与位置关系不肯定〔有可能在内〕；故④错误．应选A．5. 正方体中，别离是的中点，过三点的平面截正方体，那么所得截面形状是〔〕A. 平行四边形B. 直角梯形C. 等腰梯形D. 以上都不对【答案】C【解析】连接由正方体的性质得那么在平面中，∴平面即为所得截面，即为过三点的正方体的截面，∴截面为等腰梯形，应选C【点睛】此题主要考察平面的根本性质，按照直线平行的性质是解决此题的关键6. 如图，四边形的直观图是一个边长为 1 的正方形，那么原图形的周长为〔〕A. B. 6 C. 8 D.【答案】C【解析】试题分析：因为四边形的直观图是一个边长为的正方形，所以原图形为平行四边形，一组对边为，另一组对边长为，所以圆图形的周长为，应选C.考点：平面图形的直观图.7. 在中，，，，假设把绕直线旋转一周，那么所形成的几何体的体积是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，如图所以，，所以旋转体的体积为＝＝，应选B．考点：旋转体的性质与体积．8. 如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，那么该几何体的体积为〔〕A. B. C. D.【答案】C，故应选.考点：一、空间几何体的体积；二、三视图.9. 某几何体的三视图如下图，那么它的外表积为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】由中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，半圆锥的底面直径为2，高故半圆锥的底面半径，母线长为，半圆锥的外表积选A10. 直三棱柱中，假设，那么异面直线与所成的角等于〔〕A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】C【解析】延长到，使得，连接。

安徽省合肥一中2020-2021学年高二上学期10月段考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列命题中，错误的是 （ ） A ．平行于同一个平面的两个平面平行 B ．平行于同一条直线的两个平面平行 C ．一个平面与两个平行平面相交，交线平行D ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交2．如图所示，三棱台111ABC A B C -中，沿面1A BC 截去三棱锥1A ABC -，则剩余部分是（ ）A ．三棱锥B ．四棱锥C ．三棱台D ．四棱台3．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的（ ） A ．若//,//l l αβ，则//αβ B ．若//,//l αβα，则//l β C ．若,//l l αβ⊥，则//αβD ．若,l l αβ⊥⊥，则//αβ4．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（ ）A ．B ．C ．D ．5．用斜二测画法画水平放置的ABC 的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A B C '''.已知点O '是斜边B C ''的中点，且1A O，则ABC 的边BC 边上的高为（ ）A ．1B ．2C D ．6．三棱锥P ABC -的三条侧棱互相垂直，且1PA PB PC ===，则其外接球上的点到平面ABC 的距离的最大值为（ ）A ．3B C D ．27．若P 为两条异面直线l m ，外的任意一点，则（ ） A ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都平行 B ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直 C ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都相交 D ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都异面8．《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设1AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以1AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）A ．4B ．8C ．12D ．169．正方体1111ABCD A B C D -棱长为2点M ，N 分别是1,BC CC 的中点，动点P 在正方形11BCC B 内运动，且1//PA AMN 则1PA 的长度范围为（ ）A ．⎡⎢⎣⎦B ．⎣C ．⎤⎥⎣⎦D ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ==，60BAC ∠=︒，则异面直线1BA 和1ACA B ．34C ．14D ．1311的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为 （ ）A ．6322+ B ．32C ．D ．3322+ 12．已知三棱锥P ABC -的顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，若2ABCOB PBCCSSS ⋅=，且三棱锥P ABC -的外接球半径为3，则PAB PBC PAC S S S ++△△△的最大值为（ ）A ．8B ．10C ．18D ．22二、填空题13．有一种多面体的饰品，其表面由6个正方形和8个正三角形组成（如图），AB 与CD 所成的角的大小是_____________14．已知圆锥的母线长度为2，一只蚂蚁从圆锥的底面圆上一点出发，绕着圆锥侧面爬行一周，再回到出发点的最短距离为2，则此圆锥的底面圆半径为__________． 15．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为 .16．已知四面体ABCD 中,5AB CD ==,AC BD ==AD BC ==O 为其外接球球心,AO 与AB ,AC ,AD 所成的角分别为α,β,γ.有下列结论： ①该四面体的外接球的表面积为50π, ②该四面体的体积为10, ③222coscos cos 1αβγ++=④180BAC CAD DAB ︒∠+∠+∠= 其中所有正确结论的编号为___________三、解答题17．一个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积.18．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）证明：//PB 平面AEC ；19．如图，正三棱柱ABC A B C '''-中底面边长为a ，D 、E 分别在BB '与CC '上，且1,2BD a CE a ==.（1）求截面ADE 的面积；（2）AE 上是否存在一点P ，使得DP ⊥面ACC A ''？若不存在，说明理由；若存在，指出P 的位置.20．如图，ABCD 是边长为a 的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，33DE AF ==.（1）证明：平面//ABF 平面DCE ；（2）在DE 上是否存在一点G ，使平面FBG 将几何体ABCDEF 分成上下两部分的体积比为3∶11？若存在，求出G 的位置；若不存在，说明理由； 21．如图，在四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，∠ABC =3π，∠B 1BD =6π，11,B BA B BC ∠=∠11122,3AB A B B B ===（1）求证：直线AC ⊥平面BDB 1；（2）求直线A 1B 1与平面ACC 1所成角的正弦值.22．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面1AA BC ⊥，11A B BB ⊥，（1）求证：11AC CC ⊥；（2）若2,AB AC BC ===1AA 为何值时，三棱柱111ABC A B C -体积最大，并求此最大值.参考答案1．B 【分析】利用线面平行、面面平行的性质以及特例法逐一判断即可. 【详解】选项A,平行于同一个平面的两个平面平行，显然成立;选项B 中,平行于同一条直线的两个平面可能平行，也可能相交，不成立；选项C 中，一个平面与两个平行平面相交，交线平行，是面面平行的性质定理，成立； 选项D 中，一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，成立， 故选B. 【点睛】空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价. 2．B 【分析】根据棱锥的定义和空间结合体的结构特征，即可求解，得到答案. 【详解】由题意知，三棱台111ABC A B C -中，沿面1A BC 截去三棱锥1A ABC -， 则剩余部分是四棱锥111A BB C C -，故选B . 【点睛】本题主要考查了棱锥的定义及其判定，其中解答中熟记棱锥的定义，以及空间几何体的结构特征是解答的关键，着重考查了空间想象能力，属于基础题. 3．D 【分析】若1l αβ⋂=，1//l l ，此时//l α，//l β，但1l αβ⋂=，判断选项A 错误；若//,//l αβα，则//l β或l β⊂，判断选项B 错误；若,//l l αβ⊥，则αβ⊥，判断选项C 错误；若,l l αβ⊥⊥，则//αβ，判断选项D 正确.【详解】选线A ：若1l αβ⋂=，1//l l ，此时//l α，//l β，但1l αβ⋂=，故选项A 错误； 选线B ：若//,//l αβα，则//l β或l β⊂，故选项B 错误； 选线C ：若,//l l αβ⊥，则αβ⊥，故选项C 错误； 选线D ：若,l l αβ⊥⊥，则//αβ，故选项D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查命题的真假的判定、线面平行的判定与面面平行的判定，是基础题. 4．D 【解析】答案：D 左视图即是从正左方看，找特殊位置的可视点，连起来就可以得到答案．5．D 【分析】在直观图中A C ''∥y '轴，可知原图形中AC ∥y 轴，故AC BC ⊥,12C C A A ,求直观图中A C ''的长即可求解. 【详解】∵直观图是等腰直角三角形A B C '''，90,1B A C A O，∴2A C，根据直观图中平行于y 轴的长度变为原来的一半, ∴△ABC 的边BC 上的高222AC A C .故选D.【点睛】本题主要考查了斜二测直观图的画法，属于中档题. 6．B【解析】空间四个点P A B C 、、、在同一球面上，P A 、PB 、PC 两两垂直，且P A =PB =PC =1，则P A 、PB 、PC 可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点P A B C 、、、的球面即为的正方体的外接球,球的直径即是正方体的对角线,球心O 到平面ABC 的距离为体对角线的16,即球心O 到平面ABC 的距离为6.其外接球上的点到平面ABC +=故选B.点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点,,,P A B C 构成的三条线段,,PA PB PC 两两互相垂直，且,,PA a PB b PC c ===，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用22224R a b c =++求解．7．B 【解析】解：因为若点P 是两条异面直线l m ，外的任意一点，则过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直，选B 8．D 【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案． 【详解】根据正六边形的性质，则D 1﹣A 1ABB 1，D 1﹣A 1AFF 1满足题意， 而C 1，E 1，C ，D ，E ，和D 1一样，有2×4=8， 当A ACC 为底面矩形，有4个满足题意，当A 1AEE 1为底面矩形，有4个满足题意， 故有8+4+4=16 故选D ． 【点睛】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题． 9．B 【分析】取11B C 的中点E ，1BB 的中点F ，EF 中点O ，根据面面平行的判定可证得平面//AMN 平面1A EF ，由此可确定P 点轨迹为EF ，进而确定1PA 取得最大值和最小值时P 的位置，进而得到所求取值范围. 【详解】取11B C 的中点E ，1BB 的中点F ，连结1A E ，1A F ，EF ， 取EF 中点O ，连结1A O ，点,M N 分别是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中棱1,BC CC 的中点，1//AM A E ∴，//MN EF ，AMMN M =，1A E EF E ⋂=，,AM MN ⊂平面AMN ，1,A E EF ⊂平面1A EF ，∴平面//AMN 平面1A EF ，动点P 在正方形11BCC B （包括边界）内运动，且1//PA 面AMN ，∴点P 的轨迹是线段EF ，A E A F ====EF ，1AO EF ∴⊥，∴当P 与O 重合时，1PA 的长度取最小值1A O ，1AO ==， 当P 与E （或F ）重合时，1PA 的长度取最大值1A E 或1A F ，11A E A F==．1PA ∴的长度范围为2⎡⎢⎣．故选：B ．【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹问题的求解，关键是能够通过面面平行关系确定动点所形成的轨迹，进而通过轨迹确定最值点，是中档题.10．C【分析】先建立空间直角坐标系并标记点坐标B ，(0,1,0)A -，1(0,1,2)A -，1(0,1,2)C ，再求出直线的方向向量1BA ，1AC ，最后求异面直线1BA 和1AC 所成角的余弦值.【详解】 解：因为AB AC =，60BAC ∠=︒，所以三角形ABC 是等边三角形，取AC 的中点D ，以点D 为原点，建立空间直角坐标系如图：设2AB =，则B ，(0,1,0)A -，1(0,1,2)A -，1(0,1,2)C ， 所以1(1,2)BA =--，1(0,2,2)AC ，122BA =，122AC =，112BA AC ⋅=， 所以异面直线1BA 和1AC 所成角的余弦值为11111cos 42BA AC BA AC θ⋅===⋅，故选：C.【点睛】本题考查利用空间向量求异面直线所成角的余弦值，是基础题.11．D【解析】试题分析：由题得，蛋巢的底面是边长为1的正方形，故经过4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，由于鸡蛋的体积为43π，故鸡蛋（球）的半径为1，故球心到截面圆的距离为=，而垂直折起的4个小直角三角形的高为12，故鸡蛋最高点与蛋巢底面的13122++=+，故选D ． 考点：组合几何体的面积、体积问题12．C【分析】连接AO 并延长交BC 于D ，由顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，得AD BC ⊥，进而证明,,BC PA PC AB PD BC ⊥⊥⊥，由2ABC OBC PBC S S S ⋅=△△△。

2020-2021学年安徽合肥一中高二开学考试数学试卷2020-2021学年安徽合肥一中高二开学考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知4 sin5α，并且α是第二象限的角，那么tan()απ+的值等于A．43-B．34-C．34D．432．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是（）A．简单随机抽样法 B．抽签法 C．随机数表法 D．分层抽样法3．已知变量,x y满足101x yxx y+≤+≥-≤，则2z x y=+的最小值为（）A．3 B．1 C．-5 D．-64．某校举行演讲比赛，9位评委给选手A打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若统计员计算无误，则数字x应该是（）A．5B．4C．3D．25．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A．105 B．16 C．15 D．16．4张卡片上分别有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A ．13 B ．12 C ．23 D ．347．为了得到函数sin 26y x π?=- ??的图象，可以将函数cos 2y x =的图象（） A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度8．在等比数列{}n a 中，10a <，若对正整数n 都有1n n a a +<，则公比q 的取值范围（）A ．1q >B ．01q <<C ．0q <D ．1q < 9．函数cos 622x xxy -=-的图像大致为（）10．在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点P 为矩形ABCD 内一点，则使得1AP AC ?≥的概率为（）A ．18B ．14C ．34D ．7811．正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若53,S -10S ，成等差数列，则1510S S -的最小值为（）A ．2B ．4C ．6D ．1212．设2cos 240x x π-++=，sin cos 10y y y +-=，则sin(2)x y -的值为（）A ．1B ．12C ．22D ．32二、填空题13．已知等差数列{}n a 的公差为2，若134a a a ，，成等比数列，则2a =________． 14．若0x >，0y >，且131x y+=，则3x y +的最小值是________.15．若非零向量,a b 满足||1b =，a 与b a -的夹角为120°，则||a 的取值范围是________.16．已知()2x x e e f x --=，x R ∈，若对任意(0,]2πθ∈，都有(sin )(1)0f m f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是____________.三、解答题17．设()f x a b =，其中向量(,cos 2)a m x ，(1sin 2,1)b x +，x R ∈，且函数()y f x =的图像经过点(,2)4π.（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小值及此时x 的值的集合.18．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60][60,70][70,80][80,90][90,100].(1)求图中a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ）与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数.19．ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=. （Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若ABC ?的周长为5，面积为2，求c .20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设函数1()()2x f x =，数列{}n b 满足条件12b =，11()(3)n n f b f b +=--，*()n N ∈，若nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 21．如图，公园有一块边长为2的等边三角形ABC 的边角地，现修成草坪，图中DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上.（Ⅰ）设(1)AD x x =≥,ED y =，求用x 表示y 的函数关系式；（Ⅱ）如果DE 是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE 的位置应在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE 的位置又应在哪里？请予以证明.22．已知22()|1|f x x x kx =-++.（Ⅰ）若2k =，求方程()0f x =的解；（Ⅱ）若关于x 的方程()0f x =在（0,2）上有两个解1x ，2x ，求k 的取值范围，并证明12114x x +<.参考答案1．A 【解析】【分析】由诱导公式可得()tan tan παα+=，由角的正弦值和角所在的象限，求出角的余弦值，然后，正弦值除以余弦值得正切值．即可得到答案【详解】∵4sin 5α=，并且α是第二象限的角，，35cos α∴-＝，∴tanα＝43-，则么()4tan tan 3παα+==-.故选A ．【点睛】本题考查给值求值问题．掌握同角三角函数的基本关系式和诱导公式，并会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明． 2．D 【解析】试题分析：由于男生组与女生组有明显差异，所以适合分层抽样，选D. 考点：抽样方法 3．C 【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(1,2),(1,2),(1,0)A B C ---，所以直线2z x y =+过点B 时取最小值-5，选C. 考点：线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 4．D 【解析】记分员在去掉一个最高分94和一个最低分87后，余下的7个数字的平均数是91，()89889290939291791x +++++++÷=，635=917=6372x x ，∴+?∴=，故选D.5．C 【解析】试题分析：第一次循环：1,3s i ==；第二次循环：3,5s i ==；第三次循环：15,7s i ==；结束循环，输出15s =，选C. 考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 6．C 【解析】试题分析：从这4张卡片中随机抽取2张，共有6种不同取法，其中取出的2张卡片上的数字之和为奇数有4种不同取法，故所求概率为42=63，选C.考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法（1）列举法.（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. 7．B 【分析】由三角函数的诱导公式可得sin 2cos(2)cos 2()6623y x x x ππππ=-=--=- ??，再结合三角函数图像的平移变换即可得解. 【详解】解：由sin 2cos(2)cos 2()6623y x x x ππππ=-=--=- ??，即为了得到函数sin 26y x π??=- ??的图象，可以将函数cos 2y x =的图象向右平移3π个单位长度，故选：B. 【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换及三角函数的诱导公式，属基础题. 8．B 【解析】试题分析：11111n n n nn n a a a q a q q q --+对正整数n 都成立，所以01q <<，选B.考点：等比数列基本量 9．D 【解析】试题分析：cos 622x x x y -=-为奇函数，所以不选A,当(0,)12x π∈时cos6022x xxy -=>-，所以不选B ；当x →+∞时cos 6022x x xy -=→-，所以不选C ，选D.考点：函数图像【思路点睛】（1）运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.（2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究. 10．D 【解析】试题分析：建立如图所示的平面直角坐标系，设，则(,)AP x y =，(2,1)AC =，故，故由题设可得，即点满足的条件是，作出其图象可知点所在的区域的面积，即为四边形的面积,故其概率为，故选D ．考点：几何概型．【方法点睛】几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域． 11．D 【解析】试题分析：由题意得510523,0S S S =-+>，而22105515105555()(3)9612S S S S S S S S S -+-===++≥，当且仅当53S =时取等号，选D.考点：等比数列性质【思路点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法. 12．A 【解析】试题分析：令()sin f x x x =+，则(2y)2sin 2y 2f y =+=，()sin()2222f x x x πππ-=-+-=-,又()sin f x x x =+为R 上单调递增奇函数，所以2222y x x y ππ=--=sin(2)1x y -=，选A.考点：奇函数性质 13．6- 【解析】【分析】利用等差数列{a n }的公差为2，a 1，a 3，a 4成等比数列，求出a 1，即可求出a 2．【详解】∵等差数列{a n }的公差为2，a 1，a 3，a 4成等比数列，∴（a 1+4）2=a 1（a 1+6），∴a 1=-8，∴a 2=-6．故答案为-6.．【点睛】本题考查等比数列的性质，考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，属基础题.． 14．16 【解析】试题分析：13333(3)()101016y x x y x y x y x y +=++=++≥+=，当且仅当x y=时取等号考点：基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.15．【解析】试题分析：由正弦定理得||||23||(0,]sin120sin 3sin 3a b a θθ=?=∈考点：正弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 16．(,1]-∞ 【解析】试题分析：因为()2x xe ef x --=为R 上单调增函数，也为奇函数，所以(sin )(1)0sin 1f m f m mm θθ+->?>-对任意sin (0,1]θ∈都成立，即只需01m ≥-，实数m 的取值范围是(,1]-∞ 考点：利用函数性质解不等式【思路点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为f （g （x ））>f （h （x ））的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式（组），此时要注意g （x ）与h （x ）的取值应在外层函数的定义域内；在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.17．（Ⅰ）1m =（Ⅱ）()f x的最小值为1x 值的集合为3{|,}8x x k k Z ππ=-∈.【解析】试题分析：（Ⅰ）先根据向量数量积得()(1sin 2)cos 2f x a b m x x ==++，再根据函数()y f x =的图像经过点(,2)4π列()(1sin )cos 2422f m πππ=++=，解得1m =（Ⅱ）先利用配角公式将函数化为基本三角函数()1sin 2cos 21)4f x x x x π=++=+，再根据正弦函数性质求最值试题解析：解：（Ⅰ）()(1sin 2)cos 2f x a b m x x ==++，由已知()(1sin )cos 2422f m πππ=++=，得1m =.（Ⅱ）由（Ⅰ）得()1sin 2cos 21)4f x x x x π=++=+，∴当sin(2)14x π+=-时，()f x的最小值为1由sin(2)14x π+=-，得x 值的集合为3{|,}8x x k k Z ππ=-∈.考点：向量数量积，配角公式【思路点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.18．（1）0.005（2）75 （3）10人【解析】试题分析：（1）由频率分布真方的面积为1，解得 a 0.005=．（2）取每个区间的中点数值与这个区间的频率相乘的和为平均数．（3）数学成绩在[)50,90的人数为：90．数学成绩在[)50,90之外的人数为：1009010-=．试题解析：（Ⅰ）由题意得2100.04100.03100.02101a ?+?+?+?=，解得0.005a =．（Ⅱ）由0.05550.4650.3750.2850.059573?+++?+?+?=．（Ⅲ）由频率分布表可知，数学成绩在[)50,90的人数为：1450.050.40.30.210090234+?+?+??= ??．于是，数学成绩在[)50,90之外的人数为：1009010-=．19．（Ⅰ）3C π=（Ⅱ）c =【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用正弦定理将边转化为角2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，再根据两角和正弦公式得2cos sin()sin C A B C +=，而由三角形内角和关系及诱导公式得2cos sin sinC C C=，即1cos2C=，3Cπ=（Ⅱ）由三角形面积公式得1sin2S ab C==6ab=，再根据余弦定理得2222cos3a b ab cπ+-=，变形得22()3a b ab c+-=，22(5)18c c-=，解得c=试题解析：（1）∵2cos(cos cos)C a B b A c+=．∴2cos(sin cos sin cos)sin C A B B A C+=．∴2cos sin()sinC A B C+=，∴2cos sin sin C C C=．∵0Cπ<<，∴1cos2C=，∴3Cπ=．（2）由题意知1sin2S ab C==6ab=．又2222cos3a b ab cπ+-=，即22()3a b ab c+-=，∴22()18a b c+-=．又5a b c++=∴22(5)18c c+-=，∴c=考点：正余弦定理，面积公式【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.20．（Ⅰ）2nna=（Ⅱ）3552n nnT+=-【解析】试题分析：（Ⅰ）由和项求通项，注意分类讨论：当2n≥时，111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-?=，当1n =时，1111222a S a a ==-?=，因此数列{}n a 成等比数列，首项为2，公比为2，通项为2nn a =（Ⅱ）先根据指数性质化简11()(3)n n f b f b +=--得13n n b b +=+，所以数列{}n b 成等差数列，解出其通项公式31n b n =-，最后利用错位相减法求数列n c 的前n 项和nT .试题解析：（1）因为a b λ=，所以1 212n n S =-，122n n S +=-.当2n ≥时，11(22)(22)2n n nn n n a S S +-=-=---=.当1n =时，1111222a S +==-=，满足上式，所以2nn a =.（2）①∵1()()2x f x =，11()(3)n n f b f b +=--，∴1311()12()2n n b b ---=，∴131122n n b b -+=. ∴13n n b b +=+,,13n n b b +-=，又∵1(1)2b f =-=，n b 是以2为首项3为公差的等差数列，∴31n b n =-.②312n n n n b n c a -==1231258343122222n n nn n T ---=+++++① 234112583431222222n n n n n T +--=+++++②①-②得234113333311222222n n n n T +-=+++++-1111(1)131421312212n n n n T -+--=+-- 11131311(1)2222n n n n T -+-=+-- 1113123(1)22n n n n T -+-=+-- 113312322n n n n T -+-=+-- 3552n nn T +=-考点：由和项求通项，等差与等比数列定义，错位相减法求和【方法点睛】等比数列的判定方法（1）定义法：若1n n a q a +=（q 为非零常数）或1n n aq a -=（q 为非零常数且n≥2），则{a n }是等比数列；（2）等比中项法：在数列{a n }中，a n ≠0且212n n n a a a ++=（n ∈N *），则数列{a n }是等比数列；（3）通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c·q n（c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *），则{a n }是等比数列；（4）前n项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k·q n－k （k 为常数且k≠0，q≠0,1），则{a n }是等比数列.21．（Ⅰ）2)y x =≤≤（Ⅱ）如果DE 是水管，//DE BC ，且DE =如果DE 是参观线路，DE 为AB 中线或AC 中线【解析】试题分析：（Ⅰ）先根据三角形面积求出AE ：1sin 6022x AE = °，即2AE x =，再根据余弦定理2222cos 60y x AE x AE =+-°得y =定定义域：2(0,2],(0,2][1,2]AE x x x =∈∈?∈（Ⅱ）由基本不等式可得当且仅当224x x =取最小值，由对勾函数值，当且仅当12x =或取最大值. 试题解析：（1）在ADE ?中，2222222cos 60y x AE x AE y x AE x AE =+-?=+-°① 又12ADE S ?=1sin 602222ABC S x AE x AE ?=?=?=°②②代入①得2222()2(0)y x y x =+->，∴2)y x =≤≤（2）如果DE是水管2y ==，当且仅当224x x =，即x ==”成立，故//DE BC ，且DE =.如果DE 是参观线路，记224()f x x x =+，可知函数在上递减，在2]上递增，故max ()(1)(2)5f x ff ===，∴max y ==即DE 为AB 中线或AC 中线时，DE 最长. 考点：函数实际应用，基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.22．（Ⅰ）x =或12x =-.（Ⅱ）详见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）根据绝对值定义分类讨论方程的解：①当210x -≥，解方程22210x x +-=，得x =；②当210x -<，解方程210x +=，得12x =-；（Ⅱ）因为在（0,2）上有两个解1x ，2x ，所以12012x x <≤<<；即1+10kx =，222210x kx +-=，消去k ，得2121220x x x x --=，从而212112x x x +=，得证.试题解析：（1）当2k =时，22()|1|20f x x x x =-++=，①当210x -≥，即1x ≥或1x ≤-时，方程化为22210x x +-=，解得x =，因为01<<，舍去，所以x =；②当210x -<，即11x -<<时，方程化为210x +=，解得：12x =-；由①②得，当2k =时，方程()0f x =的解为12x --=或12x =-.（2）不妨设1202x x <<<，因为221||1()1||1x kx x f x kx x ?+->=?+≤?，所以()f x 在(0,1]是单调函数，故()0f x =在(0,1]上至多一个解，若1212x x <<<，则12102x x =-<，故不符题意，因此12012x x <≤<<；由1()0f x =，得11k x =-，所以1k ≤-；由2()0f x =，得2212k x x =-，所以712k -<<-；故当712k -<<-时，方程()0f x =在(0,2)上有两个解；因为12012x x <≤<<，所以11k x =-，222210x kx +-=，消去k ，得2121220x x x x --=，即212112x x x +=，因为22x <，所以12 114x x +<.考点：利用绝对值定义解不等式【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。

合肥一中2020-2021学年高二上学期第一次段考理科数学试卷一选择题。

（每题4分，计40分） 1、垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 2、过直线l 外两点作与直线l 平行的平面，可以作（ ）A ．1个B ．1个或无数个C ．0个或无数个D ．0个、1个或无数个 3．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误．．的是（ ） A 用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形 B 几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同 C 水平放置的矩形的直观图是平行四边形 D 水平放置的圆的直观图是椭圆4．正方体的外接球与内切球的球面面积分别为S 1和S 2则( )A ．S 1＝2S 2B ．S 1＝3S 2C ．S 1＝4S 2D ．S 1＝23S 25、一个棱柱是正四棱柱的条件是( ) A ．底面是正方形，有两个侧面是矩形 B ．每个侧面都是全等矩形的四棱柱C ．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D ．底面是正方形，有两个相邻侧面垂直于底面6. 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12.则球O 的半径为( )A.3172 B ．210 C.132D ．3107．关于直线a 、b 、l 及平面M 、N ，下列命题中正确的是( ) A 若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b B 若a ∥M ，b ⊥a ，则b ⊥M C 若a M ，b M ，且l ⊥a ，l ⊥b ，则l ⊥M D 若a ⊥M ，M ∥N ，则a ⊥N 8、给出下列命题①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 其中正确命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个9．如图，在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触上，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（ ）10. 有一个长方体容器1111D C B A ABCD -,装的水恰好占其容积的一半；α表示水平的桌面,容器一边BC 紧贴桌面，沿BC 将其翻转使之倾斜，最后水面(阴影部分)与其各侧棱的．．．．．交点．．分别是EFGH （如图），设翻转后容器中的水形成的几何体是M ，翻转过程中水和容器接触面积为S ,则下列说法正确．．的是 （ ） A ．M 是棱柱，S 逐渐增大 B ．M 是棱柱，S 始终不变 C ．M 是棱台，S 逐渐增大 D ．M 是棱台，S 始终不变二．填空题（每题4分，计16分）11．如下图所示，AOB ∆是平面图形M 的直观图，则M 的面积是12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．45︒BO A 2213．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(经过圆锥旋转轴的截面中两条母线的夹角)是14.关于图中的正方体1111D C B A ABCD -，下列说法正确的有： ___________．①P 点在线段BD 上运动，棱锥11D AB P -体积不变； ②P 点在线段BD 上运动，直线AP 与平面11D AB 所成角不变； ③一个平面α截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三角形；④一个平面α截此正方体，如果截面是四边形，则必为平行四边形； ⑤平面α截正方体得到一个六边形（如图所示），则截面α在平面11D AB 与平面1BDC 间平行移动时此六边形周长先增大，后减小。

2020-2021学年安徽省合肥市六校高二上学期期末数学（理）试题一、单选题110y -+=的倾斜角为（ ） A ．6π B ．3π C ．56π D ．23π 【答案】B【分析】把直线的方程化为斜截式，求出斜率，根据斜率和倾斜角的关系，倾斜角的范围，求出倾斜角的大小．【详解】10y -+= 即1y =+，设直线的倾斜角等于α，则0απ<，且tan α=，故3πα=，故选：B ．2．已知抛物线方程为22x y =-，则其准线方程为 A ．1y =- B ．1y =C ．12y =D ．12y【答案】C【分析】利用抛物线方程直接求解准线方程即可． 【详解】抛物线x 2＝-2y 的准线方程为：y 12=， 故选C ．【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，熟记抛物线的简单几何性质是关键，是基本知识的考查．3．已知m ，n 为直线，α为平面，且m α⊂，则“n m ⊥”是“n α⊥”的：（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可得出结果. 【详解】m ，n 为直线，α为平面，且m α⊂，由线面垂直的判定定理：直线n 垂直于平面α内的两条相交线，可得n α⊥，充分性不满足；若n α⊥，则直线n 垂直于平面α内的任意一条直线，所以n m ⊥，必要性满足. 所以“n m ⊥”是“n α⊥”的必要而不充分条件. 故选：B4．1l ， 2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 A ．12l l ⊥， 23l l ⊥13//l l ⇒ B ．12l l ⊥， 23//l l ⇒13l l ⊥C ．123////l l l ⇒1l ， 2l ，3l 共面D ．1l ， 2l ，3l 共点 ⇒1l ， 2l ，3l 共面【答案】B【详解】解：因为如果一条直线平行于两条垂线中的一条，必定垂直于另一条． 选项A ，可能相交．选项C 中，可能不共面，比如三棱柱的三条侧棱，选项D ，三线共点，可能是棱锥的三条棱，因此错误．选B.5．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．12y x =±B ．2y x =±C ．2y x =±D ．y =【答案】B【分析】根据离心率公式，即可容易求得,a b 等量关系，则问题得解.【详解】因为221b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故可得24b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2b a =±， 故双曲线的渐近线方程为2y x =±. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，属基础题.6．把一个铁制的底面半径为r ，高为h 的实心圆锥熔化后铸成一个铁球，则这个铁球的半径为（ ）A ．B ．24r hC ．22r hD 【答案】D【分析】根据锥体的体积公式以及球的体积公式即可求解. 【详解】设铁球的半径为R ， 由题意可得231433r h R ππ=，解得R =故选：D7．设,P Q 分别是34100x y +-=与6850x y ++=上的任意一点，则||PQ 的最小值为（ ） A ．3 B ．6C ．95D ．52【答案】D【分析】由题意得出两直线平行，从而得出两平行线的距离即为||PQ 的最小值. 【详解】两条直线的方程分别为34100x y +-=与6850x y ++=因为3410685-=≠，所以两直线平行 直线6850x y ++=可化为53402x y ++=， 所以两平行线的距离即为||PQ的最小值即52d ==故选：D8．已知两个平面α，β，直线,a b α⊂，直线,m n β⊂，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//a m ，//b n 则//αβ B ．若m a ⊥，n b ⊥，则αβ⊥C ．若a ，b 相交，m a ⊥，n b ⊥，则αβ⊥D ．若a ，b 相交，//a m ，//b n ，则//αβ 【答案】D【分析】对A ，两平面可能相交；对B ，C ，两平面可能平行；对D ，利用线面平行和面面平行判定定理知正确.【详解】对A ，两平面可能相交，故A 错误； 对B ，C ，两平面可能平行；对D ，利用线面平行和面面平行判定定理知D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查空间中线面、面面的位置关系，考查空间想象能力，属于基础题. 9．若B 点的坐标为()3,2，F 是抛物线26y x =的焦点，点P 为抛物线上的动点，则PF PB +取得最小值的P 的坐标为：（ ）A ．()0,0B ．2,23⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()2,2【答案】B【分析】根据抛物线的定义进行求解即可. 【详解】设抛物线26y x =的准线方程为：3:2l x =-，3(,0)2F ，过P 作PA l ⊥，垂足为A ，所以PF PB PA PB +=+，要想PF PB +取得最小值，只需,,P A B 在一条直线上即可，此时22263x x =⇒=，P 的坐标为2,23⎛⎫⎪⎝⎭， 故选：B10．已知圆1C ：2264120x y x y +-++=，圆2C ：22(7)(1)36x y -+-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系为：（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离【答案】A【分析】求出两圆的圆心距，与半径之和、半径之差比较，即可判断.【详解】圆1C ：2264120x y x y +-++=转化为标准方程为()()22321x y -++=，∴圆1C 的圆心为()3,2-，半径为1；圆2C 的圆心为()7,1，半径为6，则两圆的圆心距为2237215，所以两圆内切. 故选：A.11．已知圆台轴截面ABCD 的高为2，2AB =，4CD =，E 是该圆台底面圆弧CD 的中点，则直线AE 与平面ABCD 所成角的正弦值为（ ） A ．12B ．23C ．53D ．235【答案】B【分析】设CD 的中点为E ,可证OE ⊥平面ABCD ,在Rt △AOE 中计算sin OAE ∠即可.【详解】如图所示:设,AB CD 的中点分别为,O O ',连接,,OO AO AE ', 因为E 是CD 的中点,所以OE CD ⊥, 因为OO '⊥平面CDE ,所以OO OE '⊥,所以OE ⊥平面ABCD ,故OAE ∠为直线AE 与平面ABCD 所成的角, 因为2OO '=,1O A '=, 所以5AO =又2OE =,所以223AE AO OE =+=,所以2sin 3OE OAE AE ∠==. 故选B【点睛】本题考查了求直线与平面所成角,求解步骤是一作二证三求,属于中档题.12．设椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F ，2F ，P 是椭圆上一点且1PF 与x 轴垂直，直线2PF 的斜率为34-，则椭圆C 的离心率为：（ ） A．2B．2C ．12D．4【答案】C【分析】计算出点P 的坐标，由直线2PF 的斜率为34-可得出关于a 、c 的齐次等式，进而可求得椭圆C 的离心率.【详解】易知点P 为第二象限内的点，设点(),P c t -，则0t >，()2,0F c将x c =-代入椭圆C 的方程可得22221c ta b+=，2222221t c b b a a ∴=-=，解得2b t a=， 所以，点P 的坐标为2,b c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线2PF 的斜率为22221132224PF b a c a k e c ac e -⎛⎫==-=--=-⎪-⎝⎭， 整理得22320e e +-=，01e <<，解得12e =，因此椭圆C 的离心率为12.故选：C.二、填空题13．双曲线22132y x -=的焦点坐标为__________.【答案】(0,【分析】根据双曲线的标准方程直接求解即可.【详解】由22132y x -=，可知焦点在y 轴上，23a =，22b =，所以2225c a b =+=，即c =，所以双曲线的焦点坐标为(0,.故答案为：()0,5±14．设正方体1111ABCD A B C D -，棱长为1，M ，N 是棱1AA ，11C D 的中点，则MN 与BC 所成角的正弦值为__________． 【答案】3. 【分析】如图，取11A B 中点P ，连接MP ，NP ，由题知MN 与BC 所成的角即为MN 与PN 所成的角，根据22MN PN MP =+求出MN 的值，再利用正弦函数的定义，即可得答案.【详解】如图，取11A B ，中点P ，连接MP ，NP ， 由题知MN 与BC 所成的角即为MN 与PN 所成的角， 又正方体111ABCD A B C D -的棱长为1，则1PN =，2MP =， 又NP ⊥平面11ABB A ，MP ⊂平面11ABB A ， 所以NP MP ⊥，则226MN PN MP =+=， 且3sin 3MP MNP MN ∠==， 故MN 与BC 所成角的正弦值为33． 故答案为：33. 【点睛】本题考查异面直线所成的角的正弦值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力.15．已知直线l ：50x y +-=与圆C ：222(2)(1)(0)x y r r -+-=>相交所得的弦长为22r =________.【答案】2【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d ，由22d r =即可求解.【详解】C ：222(2)(1)(0)x y r r -+-=>，圆心()2,1，圆心到直线l ：50x y +-=距离d ==由22d r =，可得24r =，即2r .故答案为：216．表面积为81π的球，其内接正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的高是7，则这个正四棱柱的表面积为________． 【答案】144【分析】根据正四棱柱体的对角线长即为球的直径，建立方程求出四棱柱的底面边长，从而求出表面积【详解】2481R ππ=得92R =设正四棱柱的底面正方形边长为a 正四棱柱体的对角线长即为球的直径9= 解得4a =四棱柱的表面积为()2444747144⨯+⨯+⨯= 故答案为：144三、解答题17．给定如下两个命题：命题:p “曲线22152x y m +=+是焦点在y 轴上的椭圆，其中m 为常数”；命题:q “曲线22132x ym+=-是焦点在x 轴上的双曲线，其中m 为常数”．已知命题“p q ∧”为假命题，命题“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围． 【答案】(]2,3【分析】首先求两个命题为真命题时m 的取值范围，再判断命题为一真一假，求m 的取值范围.【详解】若曲线22152x y m +=+是焦点在y 轴上的椭圆，则253m m +>⇒>，所以命题p 为真命题时，3m >，若曲线22132x y m+=-是焦点在x 轴上的双曲线，则202m m -<⇒>，所以命题q 是真命题时，2m >，若命题“p q ∧”为假命题，命题“p q ∨”为真命题，则两个命题一真一假， 当p 真q 假时，32m m >⎧⎨≤⎩，解集为空集， 当p 假q 真时，32m m ≤⎧⎨>⎩，得23m <≤，综上可知m 的取值范围是(]2,3.18．已知圆C 的圆心在直线:230l x y --=上，且过点(5,2)A 和点(3,2)B -． （1）求圆C 的标准方程；（2）求过点(1,2)D -的圆C 的切线方程．【答案】（1）()()222110x y -+-=；（2）350x y -+=【分析】（1）设220x y Dx Ey F ++++=，将圆心代入直线，将A ，B 代入圆求出,,D E F 可得圆方程；（2）可得D 在圆上，求出CD 斜率，即得切线斜率，可求切线方程. 【详解】（1）设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆心为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 则()2222230225252032320D E D E F D E F ⎧⎛⎫⎛⎫⨯----= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪++++=⎨⎪+-+-+=⎪⎪⎩，解得4,2,5D E F =-=-=-， 故方程为224250x y x y +---=，化为标准方程为()()222110x y -+-=；（2）由（1）可知圆心为()2,1C， 可得(1,2)D -在圆上，121213CD k -==-+，∴切线的斜率为3，故切线方程为()231y x -=+，即350x y -+=.【点睛】本题考查圆的方程的求解，和切线方程的求解，解题的关键是正确计算，判断出D 在圆上，利用CD 和切线垂直求斜率.19．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是梯形，,//AB CD AB AD ⊥，22CD AB AD ==．（1）求证：BD ⊥平面1BCC ；（2）在线段11C D 上是否存在一点E ，使//AE 面1BC D ．若存在，确定点E 的位置并证明；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析（2）存在，点E 是11C D 的中点，证明见解析 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明BD ⊥平面1BDC ；（2）存在点E 是11C D 的中点，使//AE 平面1BDC ，由线面平行的判定定理进行证明即可得到结论．【详解】（1）因为1AA ⊥底面ABCD ，所以1CC ⊥底面ABCD ， 因为BD ⊂底面ABCD ， 所以1CC BD ⊥，因为底面ABCD 是梯形，//AB DC ，90BAD ∠=︒，22CD AB AD ==，设1AB =，则1AD =，2CD = 所以2BD =，2BC =所以在BCD ∆中，222BD BC CD +=， 所以90CBD ∠=︒， 所以BD BC ⊥，又因为1CC BD ⊥，且1CC BC C ⋂=所以BD ⊥平面1BCC .(2)存在点E 是11C D 的中点，使//AE 平面1BDC证明如下：取线段11C D 的中点为点E ，连结AE ，如图，所以11//C D CD ，且112C P CD = 因为//AB CD ，12AB CD =， 所以1//C E AB ，且1C E AB =所以四边形1ABC E 是平行四边形．所以1//AE CB ．又因为1BC ⊂平面1BDC ，AE ⊂/平面1BDC ，所以//AE 平面1BDC ．【点睛】关键点点睛：解决是否存在问题时，可以先寻求特殊位置，再证明，本题中取中点后连结AE ，可利用平行四边形 1//AE CB ，再根据线面平行的判定定理求证即可，属于先猜后证的方法.20．已知抛物线C 经过点(1,2)-，且焦点在x 轴上．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）直线:2l y kx =-过抛物线C 的焦点F ，且与抛物线C 交于,A B 两点，求,A B 两点的距离．【答案】（1）24y x =；（2）5.【分析】（1）根据条件设抛物线方程为()220y px p =>，将点代入求p ； （2）焦点坐标代入直线方程求k ，再与抛物线方程联立，利用根与系数的关系表示AB .【详解】点()1,2-在第四象限，并且焦点在x 轴，所以抛物线的开口向右，设为()220y px p =>，将点()1,2-代入抛物线方程，解得：2p =，抛物线方程为24y x =；（2）抛物线的焦点()1,0F ，由题意可知20k -=，解得：1k =，所以直线:22l y x =-与抛物线方程联立2224y x y x=-⎧⎨=⎩， 化简为2310x x -+=，得123x x +=， 12325AB x x p =++=+=21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，60BCD ∠=︒，,PD CD E =为CD 的中点．（1）求证：平面PBE ⊥平面PCD .（2）求二面角B PC D --所成角的余弦值．【答案】（1）证明见详解；（27【分析】（1）证出BE DC ⊥，PD BE ⊥，由线面垂直的判定定理证出BE ⊥平面PCD ，再由面面垂直的判定定理即可证明.（2）以D 为原点，以,,DF DC DP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面PDC 一个法向量以及平面PBC 的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.【详解】（1）连接BD ，由四边形ABCD 为菱形，60BCD ∠=︒，则BD AD BC ==， 又E 为CD 的中点，BE DC ∴⊥,PD ⊥平面ABCD ，且BE ⊂平面ABCD ，PD BE ∴⊥，PD DC D ⋂=，所以BE ⊥平面PCD ，BE ⊂平面PBE ，∴平面PBE ⊥平面PCD .（2）取AB 的中点F ，连接DF ，则DF DC ⊥，以D 为原点，以,,DF DC DP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图：设1PD CD ==，则()0,0,1P ，()0,1,0C ，31,,022B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，32F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 32DF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,1PC =-，31,,122PB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，由DF DC ⊥，DF DP ⊥，DC DP D ⋂=，所以DF ⊥平面PDC ，即3DF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭为平面PDC 一个法向量，设平面PBC 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n PC n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0102y z x y z -=⎧+-=，令1y =，可得1z =，3x =，即3,1,13n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设二面角B PC D --所成角为θ，且为锐角，11cos cos ,1n DFn DF n DFθ⋅=====. 所以二面角B PC D --所成角的余弦值为7. 【点睛】思路点睛：解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；（2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错.（3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量.（4）利用法向量求距离、线面角或二面角.22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为4，点A B ，分别是左、右顶点，P 是椭圆上异于,A B 的任意一点，PAB △面积的最大值为12．（1）求椭圆方程；（2）直线,PA PB 分别交y 轴于M N ，两点，求证：OM ON ⋅为定值．【答案】（1）221169x y +=；（2）定值为9. 【分析】（1）由题可得12122c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪⋅⋅=⎪⎩，求出,a b 即可得出椭圆方程；（2）设()00,P x y ，则可表示出直线,PA PB 方程，得出M N ，坐标，即可求出定值.【详解】解：（1）由条件得12122c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪⋅⋅=⎪⎩，又222a b c =+，解得4a =，3b =， 所以椭圆方程为221169x y +=； （2）设()00,P x y ，由题意直线PA ，PB 的斜率均存在，则PA ：()0044=++y y x x ①， PB ：()0044=--y y x x ②， ∴0040,4⎛⎫ ⎪+⎝⎭y M x ，0040,4⎛⎫- ⎪-⎝⎭y N x ， 则20201616⋅=--y OM ON x . 因为P 在椭圆上，所以有22001169x y += ()220091616=--y x . 所以：9OM ON ⋅=.【点睛】本题考查椭圆中的定值问题，解题的关键是表示出直线,PA PB 方程，得出M N ，坐标，由P 在椭圆上求解.。

2021-2022学年安徽省部分学校高二上学期10月联考数学试卷★祝考试顺利★ (含答案)本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分,考试时间120分钟。

本卷命题范围：人教A 版必修第二册(30%),选择性必修第一册第一章,第二章2.1～2.3(70%)。

一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.若倾斜角为3的直线过A(2,a),B(1,3)两点,则实数a ＝ A.33 B.23 C.3 D.322.若平面向量m ＝(2,0),m －n ＝(1,－3),则m ·n ＝ A.3＋3 B.23 C.1－3 D.23.图1、图2分别是甲、乙两户居民家庭全年各项支出的统计图。

根据统计图,下列说法正确的是A.甲户的家庭全年各项支出比乙户的家庭全年各项支出高B.乙户的教育支出占全年总支出的百分比比甲户的教育支出占全年总支出的百分比大C.甲户的食品支出比乙户的食品支出高D.甲户的其他支出占全年总支出的百分比比乙户的其他支出占全年总支出的百分比小 4.在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中,若AB ＝a,AD ＝b,1AA ＝c,点P 为A 1C 1与B 1D 1的交点,则DP ＝A.1122a b c++ B.1122a b c+- C.1122a b c-+ D.1122a b c+-5.若M(2,7),N(6,3),则线段MN的中垂线的方程为A.x－y＋1＝0B.x＋y－9＝0C.x－y－1＝0D.x＋y＋1＝06.已知直线l1：x－ay＋2＝0与直线l2：(a＋2)x＋(a－4)y＋a＝0平行,则a的值是A.－4B.1C.－4或1D.4或－17.已知平面α的一个法向量是m＝(－2,－1,2),点A(3,4,－1)是平面α内的一点,则点P(1,2,－1)到平面α的距离是A.1B.32228.已知直线l：(2k－1)x＋(2k＋3)y－k＝0,则当k变化时,直线l恒过定点A.(38,18) B.(－38,18) C.(38,－18) D.(－38,－18)9.已知点A(－3,4),点B(10,5),直线l过点O(0,0)且与线段AB相交,则直线l的斜率的取值范围为A.[－43,12] B.(－∞,43]∪[12,＋∞) C.[12,＋∞) D.(－∞,－43]10.已知a,b,c是空间向量的一组基底,a,b＋c,b－c是空间向量的另一组基底,若向量p在基底a,b,c下的坐标为(2,3,－1),则向量p在基底a,b＋c,b－c下的坐标是A.(2,－1,－2)B.(2,－1,2)C.(2,1,－2)D.(2,1,2)11.已知在菱形ABCD中,∠ABC＝60°,点E为AB的中点,点F为CD的中点,将菱形ABCD沿AC 翻折,使平面ABC⊥平面ACD,则异面直线EF和BD所成角的余弦值为151515512.数学家欧拉在1765年提出,任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,后人称这条直线为欧拉线。

2020届安徽省合肥一中高三上学期10月段考数学（文）试题一、单选题1．已知集合A {x |1x 2}=-<<，2B {x |x 3x 0}=-<，则()R A B (⋂=ð ) A ．()1,3- B ．()1,2-C ．()0,2D ．[)2.3【答案】D【解析】由解不等式求出集合B,再算出R A ð，进一步算出()R A B ⋂ð． 【详解】由题意可得()0,3B =，而][(),12,R C A =-∞-⋃+∞， 所以R (A)B ⋂=ð [)2,3．选D. 【点睛】本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的补集与交集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.2．若*,x y R ∈，且135y x+=，则34x y +的最小值是（ ）A ．5B ．245C D ．195【答案】A【解析】由题，得11334(34)5x y x y y x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开之后利用基本不等式，即可得到本题答案. 【详解】因为*,x y R ∈，且135y x+=，所以1131312134(34)49(135555x y x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当，2x y =时，34x y +取得最小值5.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，考查学生的分析能力和转化能力. 3．函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则()f x 图像的一条对称轴方程是（ ） A ．6x π=-B ．6x π=C ．12x π=-D ．12x π=【答案】D 【解析】由2T πω=，可得2ω=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令2()32x k k Z πππ+=+∈，得1()122x k k Z ππ=+∈，从而可得到本题答案. 【详解】 由题，得222T ππωπ===，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令2()32x k k Z πππ+=+∈，得1()122x k k Z ππ=+∈， 所以()f x 的对称轴为1()122x k k Z ππ=+∈， 当0k =时，12x π=，所以函数()f x 的一条对称轴为12x π=.故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质的应用，其中涉及2Tπω=公式的运用以及求三角函数的一条对称轴.4．若l ，m 是两条不重合的直线，m 垂直于平面α，则“l ∥α”是“l ⊥m 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．解：当l ，m 是两条不重合的直线，m 垂直于平面α，若“l ∥α”，则“l ⊥m ”， 所以“l ∥α”能推出“l ⊥m ”；当l ，m 是两条不重合的直线，m 垂直于平面α，若“l ⊥m ”，则“l ∥α“或“l 在平面α内”，所以“l ⊥m ”不能推出“l ∥α”； 由充要条件的定义可得：若l ，m 是两条不重合的直线，m 垂直于平面α，则“l ∥α”是“l ⊥m ”的充分而不必要条件， 故选A ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．5．函数y=e sinx (-π≤x≤π)的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【详解】取x=-π,0,π这三个值,可得y 总是1,故排除A,C; 当02x π<<时，y=sinx 是增函数，y=e x 也是增函数，故y=e sinx 也是增函数.故选：D.6．已知平面向量a r 与b r 的夹角为23π，)3,1a =r ，223a b -=r r则b =r （ ）A ．1B 2C 3D ．2【答案】A【解析】由)a =r，得||2a =r，又由222222|2|44||4||||cos 4||3a b a ab b a a b b π-=-+=-+r r r r r r r r r r ，即可得到本题答案.【详解】由)a =r ，得||2a =r，所以2222222|2|44||4||||cos 4||44||4||123a b a ab b a a b b b b π-=-+=-+=++=r r r r r r r r r r r r ，解得1b =r ，或2b =-v（舍去）.故选：A 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，考查学生的计算能力.7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x >时，()2f x x x =-，则函数()f x 的图像在点()()1,1f --处的切线方程是（ ） A ．20x y +-= B ．0x y += C ．10x y ++= D ．20x y ++=【答案】C【解析】根据奇偶性求出当0x <时，()f x 的解析式，根据导数的几何意义求得切线斜率，然后利用点斜式可得结果. 【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，0x ->，()()2f x x x f x -=+=，()21f x x '=+，则()11f '-=-.因为()10f -=，所以函数()f x 的图象在点()()1,1f --处的切线方程是01y x （）-=-+ 化为10x y ++=. 故选C. 【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及函数奇偶性的应用，属于中档题. 求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'00()()y y f x x x -=•-.8．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，若某个鳖臑的三视图均为直角边长为1的等腰直角三角形（如图所示），则该鳖臑外接球表面积为（ ）A ．43πB ．2πC ．6πD ．3π【答案】D【解析】由三棱锥P ABC -的外接球与正方体的外接球相同，即可得到本题答案. 【详解】由题，得三视图的直观图为图中的三棱锥P ABC -，易知，三棱锥的外接球即正方体的外接球，且外接球的半径等于1PB 2，即3R =，所以外接球的表面积243S R ππ==.故选：D 【点睛】本题主要考查三视图的还原以及三棱锥的外接球表面积的求法，考查学生的空间想象能力和转化能力.9．已知数列{}n a 中满足115a =，12n n a a n +=+，则na n的最小值为（ ）A ．9B ．7C ．274D ．1【答案】C【解析】由累加法可得215n a n n =-+，根据15()f x x x=+的单调性，即可确定n a n 的最小值. 【详解】由115a =，12n n a a n +=+，∴()()()111211n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+L22(1)215n n =+-+++L(1)2152n n +=⨯+ 215n n =++，所以215n a n n =-+，所以215151n a n n n n n n-+==+-，又因为对勾函数15()f x x x=+在递减，在)+∞递增， 且34277,344a a ==，所以n a n 的最小值为274. 故选：C 【点睛】本题主要考查利用累加法求数列的通项公式，以及利用函数的单调性求数列的最值，考查学生的分析问题和解决问题能力.10．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且满足()()0f x xf x '+>（()f x '是()f x 的导函数），则不等式()()()2111x f x f x --<+的解集为（ ）A ．(),2-∞B ．()1,+∞C ．()1,2-D ．()1,2【答案】D【解析】构造函数()()g x xf x =，利用导数分析函数()y g x =在()0,∞+上的单调性，在不等式()()()2111x f x f x --<+两边同时乘以1x +化为()()()()221111xf x x f x --<++，即()()211g x g x -<+，然后利用函数()y g x =在()0,∞+上的单调性进行求解即可.【详解】构造函数()()g x xf x =，其中0x >，则()()()0g x f x xf x ''=+>， 所以，函数()y g x =在定义域()0,∞+上为增函数， 在不等式()()()2111x f x f x --<+两边同时乘以1x +得()()()()221111xf x x f x --<++，即()()211g x g x -<+，所以22111010x x x x ⎧-<+⎪->⎨⎪+>⎩，解得12x <<，因此，不等式()()()2111x f x f x --<+的解集为()1,2，故选：D.【点睛】本题考查利用构造新函数求解函数不等式问题，其解法步骤如下： （1）根据导数不等式的结构构造新函数()y g x =；（2）利用导数分析函数()y g x =的单调性，必要时分析该函数的奇偶性； （3）将不等式变形为()()12g x g x <，利用函数()y g x =的单调性与奇偶性求解. 11．在平面直角坐标系中，(0,0)O ，(4,3)P ，将向量OP uuu r按逆时针旋转3π后，得向量OQ uuu r，则点Q 的横坐标是（ ）A．22+B．22-C．32D．32【答案】B【解析】由任意角的三角函数的定义，得cos 35x πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又因为cos cos cos sin sin 333πππθθθ⎛⎫+=-=⎪⎝⎭，联立求解，即可得到本题答案. 【详解】设(,)Q x y ，OP uuu r 与x 轴正半轴的夹角为θ，则OQ uuu r 与x 轴正半轴的夹角为3πθ+.由题，得5OQ OP ===，所以34sin ,cos 55θθ==，则4cos cos cos sin sin 33310πππθθθ-⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭， 又cos 35x πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，5x =，解得2x =-故选：B 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义及和角的余弦公式的综合应用，考查学生分析问题和解决问题的能力.12．已知函数f （x ）＝（mx ﹣1）e x ﹣x 2，若不等式f （x ）＜0的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数m 的取值范围（ ）A ．2211,12ee ⎛⎫++ ⎪⎝⎭B ．2211,12ee ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭C ．323121,32e e ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭ D ．323121,32e e ⎛⎫++⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】令()0f x <，化简得21x x mx e-<，构造函数()()21,x x g x mx h x e =-=，画出两个函数图像，结合两个函数图像以及不等式解的情况列不等式组，解不等式组求得m 的的取值范围.【详解】()210xmx e x --<有两个正整数解即21x x mx e-<有两个不同的正整数解，令()()21,x x g x mx h x e =-=，()()2'22x xx x x x h x e e--==，故函数()h x 在区间(),0-∞和()2,+∞上递减，在()0,2上递增，画出()(),g x h x 图像如下图所示，要使21x x mx e-<恰有两个不同的正整数解等价于()()()()234212233931m g h e g h m e ⎧-<⎪⎧<⎪⎪⇒⎨⎨≥⎪⎩⎪-≥⎪⎩解得32312132m e e +≤<+ 故323121,32m e e⎡⎫∈++⎪⎢⎣⎭，选C.【点睛】本小题主要考查不等式解集问题，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题13．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1AA 、AB 的中点，则异面直线EF 与11A C 所成角的大小是______.【答案】π3【解析】将所求两条异面直线平移到一起，解三角形求得异面直线所成的角. 【详解】连接11,A B BC ，根据三角形中位线得到1//EF A B ，所以11BA C ∠是异面直线EF 与11A C 所成角.在三角形11A BC 中，1111A B BC AC ==,所以三角形11A BC 是等边三角形，故11π3BAC∠=.故填：π3.【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角的求法，考查空间想象能力，属于基础题. 14．已知点(,)P x y在不等式组1xyx y≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域内运动，则4z x y=-的取值范围为______【答案】[1,4]-【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求得4z x y=-的取值范围.【详解】由4z x y=-，得4y x z=-，作出不等式组对应得可行域（阴影部分），平行直线4y x z=-，由平移可知当直线4y x z=-，经过点(0,1)A时，直线4y x z=-的截距最大，此时z取得最小值，将A的坐标代入4z x y=-，得1z=-，即目标函数4z x y=-的最小值为-1；经过点(1,0)B 时，直线4y x z =-的截距最小，此时z 取得最大值， 将B 的坐标代入4z x y =-，得4z =，即目标函数4z x y =-的最大值为4. 所以4z x y =-的取值范围为[1,4]-. 故答案为：[1,4]- 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合图形并利用目标函数的几何意义，是解决此类问题的常用方法.15．用半径为3cm 的半圆形纸片卷成一个圆锥筒（接头处不计），则这个圆锥筒的高为______cm . 【答案】332【解析】先求半圆的弧长，就是圆锥的底面圆周长，即可得到底面圆半径，然后利用勾股定理即可得到本题答案. 【详解】因为半径为3的半圆弧长为3π，所以圆锥的底面圆的周长为3π，则底面圆半径为32， 其轴截面为等腰三角形如下图：所以圆锥的高2233332h ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 33【点睛】本题主要考查圆锥的侧面展开图的相关问题，利用扇形的弧长等于圆锥底面圆周长，是解决此题的关键，考查学生的空间想象能力. 16．数列{}n a 满足11a =，11n n n a a n λ+-=+，其中[]1,5λ∈，若存在正整数m ，当n m >时总有0n a <，则λ的取值范围是______. 【答案】(1,2)(3,4)⋃【解析】记,(1,2,)1n n b n n λ-==+L ，则λ满足22120212102k k k b k k b k λλ--⎧=>⎪⎪+⎨--⎪=<⎪⎩，由此即可得到本题答案. 【详解】 记,(1,2,)1n n b n n λ-==+L ，根据题意可知，且()*n n N λ≠∈，这时总存在*0n N ∈，满足：当0n n ≥时，0n b >； 当01n n ≤-时，0n b <.所以由1n n n a b a +=及110a =>可知，若0n 为偶数，则00n a <，从而当0n n >时，0n a <； 若0n 为奇数，则00n a >，从而当0n n >时0n a >.因此“存在*m N ∈，当n m >时总有0n a <”的充分必要条件是：0n 为偶数，记02(1,2)n k k ==L ，则λ满足22120212102k k k b k k b k λλ--⎧=>⎪⎪+⎨--⎪=<⎪⎩，故λ的取值范围是(21,2)k k λ∈-， 又[1,5]λ∈， 所以(1,2)(3,4)λ∈⋃. 故答案为：(1,2)(3,4)⋃ 【点睛】本题主要考查数列知识的综合运用，考查学生分析问题和解决问题的能力，逻辑推理能力，转化计算能力.三、解答题17．已知),cos a x x =r，(cos ,cos )b x x =r，()f x a b m =⋅+r r .（1）求函数()f x 的解析式，及()f x 的最小正周期； （2）当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最大值为72，求此函数()f x 的最小值.【答案】（1）1()sin 262f x x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，最小正周期为π；（2）2 【解析】（1）由题得，1()sin 262f x x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，由2T πω=，即可得到本题答案； （2）由1()sin 262f x x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，且()f x 的最大值为72，先求得m ，然后即可求得()f x 的最小值. 【详解】 （1）由题，得2()cos cos f x x x x m =++12(1cos 2)2x x m =+++1sin 262x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期22T ππ==； （2）因为1()sin 262f x x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭， 由,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以当262x ππ+=时，()f x 取最大值，且 max 3()2f x m =+， 由题，得3722m +=，解得2m =，所以5()sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 当ππ266x +=-，()f x 取最小值，且min ()2f x =. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质的应用，其中涉及最小正周期和值域的问题. 18．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ,且2cos a A ccosB bcosC =+. (1)求角A 的大小;(2)若2a =,求ABC ∆周长的取值范围. 【答案】（1）3π； （2）(]4,6.【解析】(1)利用正弦定理化简边角关系式后可得1cos 2A =，从而可求A 的大小. （2）利用基本不等式和三角形两边之和大于第三边可求b c +的取值范围，从而可求周长的取值范围. 【详解】(1)在ABC ∆中，2cos cos cos a A c B b C =+Q ，2sin cos sin cos sin cos A A C B B C ∴=+即()2sin cos s sin in A A C A B =+=，因为()0,A π∈，所以sin 0A >，1 cos 2A ∴=， (),0,.3A A ππ∴∈=Q(2)由于2,3a A π==由余弦定理有2221cos 22b c a A bc +-==，()222442bc b cb c bc ∴=+-=+--，()24 3b c bc +-∴=又根据基本不等式有22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以()22432b c b c +-+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭解得4b c +≤(当且仅当2c b ==时等号成立) 又因为三角形两边之和大于第三边，所以2b c +>. 因为2a =，所以ABC ∆周长a b c ++的取值范围为(]4,6. 【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.与三角形有关的最值问题，我们可以利用基本不等式来求最值或利用正弦定理把边转化为关于角的三角函数式，再利用三角变换和正弦函数、余弦函数的性质求最值或范围.19．正三棱柱（底面为正三角形，侧棱垂直于底面）111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，12AA AB ==.（1）求证：1//A C 平面1AB D ； （2）求点C 到平面1AB D 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）25【解析】（1）通过证明1DE A C //，即可得到本题答案； （2）由11C AB D B ACD V V --=，即可算得点C 到平面1AB D 的距离. 【详解】（1）连接1A B ，交1AB 于点E ，连接DE .在1A BC ∆中，易知E 为1A B 中点，又D 为BC 中点，所以1DE A C //，又DE ⊂平面1AB D ，所以1A C //平面1AB D ；（2）设点C 到平面1AB D 的距离为h .由题，得平面ABC ⊥平面11BB C C ，又AD BC ⊥， 所以AD ⊥平面11BB C C ，1AD B D ⊥， 易得，13,5AD B D == 所以111111553332C AB D AB D V S h h -∆=⋅⋅=⨯=， 又111113132332B ACD ACD V S BB -∆=⋅⋅=⨯⨯=，11C AB D B ACD VV --=， 153=25h =【点睛】本题主要考查线面平行的证明以及用等体积法求点到平面的距离，考查学生的计算能力.20．在数列{}n a 中，11a =，1120n n n n a a a a ++-+=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且21nn a b n =+． （1）证明：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列．（2）若23n t S t -≤<对*n ∈N 恒成立，求t 的取值范围． 【答案】（1）见解析（2）15,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）根据已知可变形为111n na a +-=常数；（2）首先求数列{}nb 的通项公式，然后利用裂项相消法求111221n S n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，若满足23n t S t -≤<对*n ∈N 恒成立，需满足()min 23n t S -≤，()max n t S > ，求t 的取值范围. 【详解】（1）证明：因为1120n n n n a a a a ++-+=， 所以112n n n n a a a a ++-=-，，则1112n na a +-=． 又111a =， 故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列．（2）由（1）可知121n n a =-，则121n a n =-． 因为21nn a b n =+，所以()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以1111111111112335572121221n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ． 易知n S 单调递增，则11132n S S =≤<．所以1233t -≤，且12t ≥，解得1523t ≤≤．故t 的取值范围为15,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查了证明等差数列的方法，以及裂项相消法求和，本题的一个亮点是与函数结合考查数列的最值问题，涉及最值时，需先判断函数的单调性，可以根据函数特征直接判断单调性或是根据1n n a a +-的正负判断单调性，然后求最值. 21．如图所示,ABCD 是边长为3的正方形,DE ⊥平面,//,3,ABCD AF DE DE AF BE =与平面ABCD 所成角为60︒.(Ⅰ)求证：AC ⊥平面BDE ；(Ⅱ)设点M 是线段BD 上一个动点,试确定点M 的位置,使得//AM 平面BEF ,并证明你的结论．【答案】(Ⅰ)见解析； (Ⅱ) 13BM BD =. 【解析】试题分析： (1)由线面垂直的判定定理证明; (2)建立空间直角坐标系D xyz -, 写出各点坐标, 由于点M 在线段BD 上,所以设(,,0)(032)M t t t ≤≤ ,求出平面BEF 的法向量n r,由0AM n ⋅=u u u u r r ,求出点M 的坐标.试题解析: (Ⅰ)证明：∵DE ⊥平面ABCD ,∴DE AC ⊥, ∵ABCD 是正方形,∴AC BD ⊥, 又DE BD D ⋂＝, ∴AC ⊥平面BDE .(Ⅱ)解：因为,,DA DC DE 两两垂直,所以建立空间直角坐标系D xyz -如图所示,因为BE 与平面ABCD 所成角为60︒,即60DBE ∠=︒, 所以3EDDB=, 由3AD =,可知36,6DE AF ==则()((()300,3,06,0,036,3,30A F E B ，，，，，, 所以((06,30,26BF EF =-=-u u u r u u u r，，, 设平面BEF 的法向量(),,n x y z =r,则0{0n BF n EF ⋅=⋅=u u ur r u u u r r ,即360{360y z x z -=-=. 令6z =,(4,6n =r,又点M 是线段BD 上一动点,设()(,,0032M t t t ≤≤,则()3,,0AB t t =-u u u r因为//AM 平面BEF ,所以0AM n u u u u r r⋅=,即()4320t t -+= 解得2t =.此时,点M 的坐标为(2,2,0) 即当13BM BD =时,//AM 平面BEF . 22．已知函数()1ln f x x a x =--（a R ∈），()xe g x x=. （1）求()f x 的单调区间；（2）当0a <时，且对任意的[]12,4,5x x ∈（12x x ≠），()()()()1212f x f x g x g x -<-恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0a ≤时，()f x 的增区间为(0,)+∞；当0a >时，()f x 的增区间为(,)a +∞，减区间为(0,)a ；（2）43404e a -≤<【解析】（1）分0a ≤和0a >两种情况，考虑()f x 的单调性； （2）()()()()1212f x f x g x g x -<-恒成立，等价于()1ln xe h x x a x x=---在[4,5]x ∈递减，逐步转化求解，即可得到本题答案.【详解】（1）因为()1ln (0)f x x a x x =-->，所以()1a x a f x x x-'=-=， ①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在(0,)+∞递增， ②当0a >时，令()0f x '>，得x a >，所以()f x 在(,)a +∞递增， 令()0f x '<，得0x a <<，所以()f x 在(0,)a 递减；综上，当0a ≤时，()f x 的增区间为(0,)+∞；当0a >时，()f x 的增区间为(,)a +∞，减区间为(0,)a .（2）由()x e g x x=，得2(1)()x e x g x x -'=， 所以()g x 在(1,)+∞递增，在(,1)-∞递减， 由（1）得，当0a <时，()f x 在(0,)+∞递增，设1245x x ≤<≤，则有()()()()1212,f x f x g x g x <<，所以()()()()()()()()12122121f x f x g x g x f x f x g x g x -<-⇒-<-， 即()()()()2211f x g x f x g x -<-，设()()()h x f x g x =-，即证明()1ln xe h x x a x x =---在[4,5]x ∈递减，则222(1)(1)()10x x a e x x ax e x h x x x x----'=--=≤在[4,5]x ∈恒成立， 即2(1)0xx ax e x ---≤在[4,5]x ∈恒成立，所以xxe a x e x≥-+在[4,5]x ∈恒成立，设()xxe x x e xϕ=-+，因为222(1)11113()111124x x x xe x x e e e x x x x ϕ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫=-+=--+=--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢'⎥⎣⎦，[4,5]x ∈ 且有2311331,[4,5]244xe e x x ⎡⎤⎛⎫-+>>∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以()0x ϕ'<在[4,5]x ∈恒成立，即()xxe x x e xϕ=-+为减函数，所以()x xe x x e x ϕ=-+在[4,5]x ∈的最大值为4443(4)4444e e e ϕ=-+=-， 所以43404e a -≤<.【点睛】本题主要考查利用导数求含参函数的单调区间以及利用导数研究不等式恒成立的问题，考查学生的分析问题和解决问题能力，计算能力和转化能力.。

2020－2021学年度第一学期高二年级期中教学质量检测数学（理）参考答案第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.每小题4个选项中，只有1个选项符合题目要求.）题号123456789101112答案B B D C D C A B A D A C第II 卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中的横线上.）13.0302=+=-+y x y x 或14.621915.π10016.①②三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答题应写出文字说明及演算步骤.）18.(12分）解：（1）由题意，直线AC 的方程为：2110x y +-=.解方程组2502110x y x y --=⎧⎨+-=⎩，得顶点C 的坐标为(4,3).......6分（2）设00(,)B x y ，则0051(,)22x y M ++，于是有0015502y x ++--=，即00210x y --=.与00250x y --=联立，解得B 点的坐标为(1,3)--，于是直线BC 的方程为6590x y --=.......12分19.（12分）证明：（1）∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC ．由∠BCD ＝90°知，BC ⊥DC ，∵PD∩DC ＝D ，PD,CD ⊂平面PCD,∴BC ⊥平面PDC ，又∵PC ⊂平面PCD ∴BC ⊥PC ．......6分（2）设点A 到平面PBC 的距离为h ，∵AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴∠ABC ＝90°，∵AB ＝2，BC ＝1，∴S △ABC ＝12AB·BC ＝1，∵PD ⊥平面ABCD ，PD ＝1，∴V P －ABC ＝13S △ABC ·PD ＝13，∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥DC ，∵PD ＝DC ＝1，∴PC ＝2，∵PC ⊥BC ，BC ＝1，∴S △PBC ＝12PC·BC ＝22，∵V A －PBC ＝V P －ABC ，∴13S △PBC ·h ＝13，∴h ＝2，∴点A 到平面PBC 的距离为2．......12分20.（12分）证明:(1)连接BD 交AC 于点O,连接EO,∵O,E 分别为BD,PD 的中点,∴EO ∥PB.又EO ⊂平面EAC,PB ⊄平面EAC,∴PB ∥平面EAC.......4分（2） 四边形ABCD 是矩形∴CD ⊥AD∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD=AD,CD ⊂平面ABCD∴CD ⊥平面PAD ，又∵CD ⊂平面PCD ，∴平面PDC ⊥平面PAD.∵正三角形PAD 中,E 为PD 的中点,∴AE ⊥PD.又∵平面PDC∩平面PAD=PD ，AE ⊂平面PAD ，∴AE ⊥平面PCD.......8分(3)由(2)知AE ⊥平面PCD,∴直线AC 与平面PCD 所成的角为∠ACE.在Rt △ACE 中,∠ACE=30°,AC=2AE,又∵AE=23AD,∴AC=3AD.又AC=22CD AD +,∴22CD AD +=3AD,解得CD=2AD,∴AD CD =2.......12分21.（12分）证明：（1）把直线l 的方程改写成（x+y ﹣4）+m （2x+y ﹣7）＝0，由方程组，解得，所以直线l 总过定点（3，1）．......3分圆C 的方程可写成（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝25，所以圆C 的圆心为（1，2），半径为5．定点（3，1）到圆心（1，2）的距离为5，即点（3，1）在圆内．......5分所以过点（3，1）的直线总与圆相交，即不论m 取什么实数，直线l 与圆C 总相交．......6分（2）设直线l 与圆交于A 、B 两点．当直线l 过定点M （3，1）且垂直于过点M 的圆C 的半径时，l 被截得的弦长|AB|最短．......8分因为|AB|＝2224，......10分此时k AB 2，所以直线AB 的方程为y ﹣1＝2（x ﹣3），即2x ﹣y ﹣5＝0．故直线l 被圆C 截得的弦长最小值为4，此时直线l 的方程为2x ﹣y ﹣5＝0．......12分22.（12分）解：(1)设点P 的坐标为(x,y),则由|PA|=2|PB|,得()224y x ++=2()221y x ++,平方可得x 2+y 2+8x+16=4(x 2+y 2+2x+1),整理得,曲线E 的方程为x 2+y 2=4.......4分(2)直线l 的方程为y=kx-4,依题意可得△COD 为等腰直角三角形,则圆心到直线l 的距离d=142+-k =21·|CD|=2,∴k=±7.......8分(3)由题意可知,O,Q,M,N 四点共圆且在以OQ 为直径的圆上,设Q ⎪⎭⎫ ⎝⎛-42,t t ,以OQ 为直径的圆的方程为x(x-t)+y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-42t y =0,即x 2-tx+y 2-⎪⎭⎫ ⎝⎛-42t y=0,又M,N 在曲线E:x 2+y 2=4上,∴MN 的方程为tx+⎪⎭⎫⎝⎛-42t y-4=0,即⎪⎭⎫ ⎝⎛+2yx t-4(y+1)=0,由得∴直线MN 过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21.......12分。