合肥一中高三第二次段考理科数学

数学（理）试题一、单选题1．设复数满足，则在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】先对复数进行化简，进而可得到它在复平面内对应点的坐标，从而可得到答案。

【详解】由题意，，故在复平面内对应点为，在第一象限，故选A.【点睛】本题考查了复数的四则运算，及复数的几何意义，属于基础题。

2．若集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】求出集合，然后与集合取交集即可。

【详解】由题意，，，则，故答案为C.【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题。

3．已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则双曲线的方程是（）A．B．C．D．【答案】C4．在中，，则（）A．B．C．D．【答案】B5．下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类冰箱类小家电类其它类营业收入占比净利润占比则下列判断中不正确的是（）A．该公司2018年度冰箱类电器营销亏损B．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低【答案】B6．将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A．函数的图象关于点对称B．函数的周期是C．函数在上单调递增D．函数在上最大值是1【答案】C7．已知椭圆的左右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，以线段为直径的圆交线段的延长线于点，若，则该椭圆离心率是（）A．B．C．D．【答案】D8．某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务必须排在前三项执行，且执行任务之后需立即执行任务；任务、任务不能相邻.则不同的执行方案共有（）A．36种B．44种C．48种D．54种【答案】B9．函数的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A10．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（）A．2对B．3对C．4对D．5对【答案】C【解析】画出该几何体的直观图，易证平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，从而可选出答案。

合肥市2020年高三第二次教学质量检测数学试题（理科）（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位．2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0．5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草纸上答题元效．第I 卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的．1．若集合{}{}22,0322≥=≤--=x x B x x x A ，则B A I =（ ） A ．]3,21[ B ．]1,21[ C ．]21,3[- D ．]3,2[2．欧拉公式θθθsin cos i e i +=把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数θcos 和θsin 联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数z 满足i z i e i =⋅+)(π，则z =（ ）A ．1B ．22C ．23 D ．2 3．若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≥-+032304042y x y x y x ，则y x z -=2的最小值是（ ）A ．5-B ．4-C ．7D ．164．已知)(x f 为奇函数，当0<x 时，2)(ex ex f x -=-（e 是自然对数的底数），则曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程是（ ）A ．e ex y +-=B ．e ex y +-=C ．e ex y +-=D ．e ex y +-=5．若110tan 380cos =+οοm ，则m =（ ）A ．4B ．2C ．2-D ．4-6．已知函数)20,0)(tan()(πϕωϕω<<>+=x x f 的图象关于点)0,6(π成中心对称，且与直线y=a 的两个相邻交点间的距离为2π，则下列叙述正确的是（ ） A ．函数的最小正周期为πB ．函数)(x f 图象的对称中心为))(0,6(Z k k ∈+ππC ．函数)(x f 的图象可由2tan =y 的图象向左平移6π得到 D ．函数)(x f 的递增区间为))(62,32(Z k k k ∈+-ππππ 7．《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何?”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱青），将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a+b ，宽为内接正接正方形的边长d ，由刘徽构造的图形还可以得到许多重要的结论，如图3．设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形对角线AE ，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，则下列推理正确的是（ ）①由图1和图2面积相等得b a ab d +=； ②由AE≥AF 可得2222b a b a +≥+； ③由AD≥AE 可得b a b a 112222+≥+； ④由AD≥AF 可得ab b a 222≥+。

安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 8 题；共 16 分)1. （2 分） 已知全集,A.,则（）B.C.D. 2. （2 分） (2017·巢湖模拟) 下列函数中，既是偶函数，又在（﹣∞，0）内单调递增的为（ ） A . y=x4+2x B . y=2|x| C . y=2x﹣2﹣xD.3. （2 分） 已知 x,y 满足约束条件 A. B. C.1 D.3,则的最小值为（ ）4. （2 分） 已知函数， 则“”是“ ”的（ ）第 1 页 共 12 页A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分又不必要条件 5. （2 分） (2017 高一下·保定期末) 若等比数列{an}的前 n 项和 Sn=3n﹣1，则其公比为（ ） A . ﹣3 B.3 C . ﹣1 D.1 6. （2 分） 如图. 程序输出的结果 s="132" , 则判断框中应填（ ）A . i≥10? B . i≥11? C . i≤11? D . i≥12? 7. （2 分） (2018 高三上·泸州模拟) 函数的图像大致为（ ）A.第 2 页 共 12 页B.C.D. 8. （2 分） (2015 高二下·福州期中) 下面几种推理过程是演绎推理的是（ ） A . 由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质 B . 所有的金属都能够导电，铀是金属，所以铀能够导电 C . 高一参加军训有 12 个班，1 班 51 人，2 班 53 人，三班 52 人，由此推测各班都超过 50 人 D . 在数列{an}中，a1=2，an=2an﹣1+1（n≥2），由此归纳出{an}的通项公式二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)9. （1 分） (2018 高二下·遵化期中) 设 是原点，向量对应的复数分别为，，那么向量 对应的复数是________．10. （1 分） 在直角坐标系 xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，规定 ρ≥0，﹣π≤θ＜π，若点 M 的直角坐标是，则点 M 的极坐标为________．11. （1 分） (2020·吴中模拟) 甲、乙、丙、丁 4 名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，则“甲、 乙两人恰好在同一企业”的概率为________.12. （1 分） (2019·广州模拟) 秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求三 角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是 的内角 ， ， 的对边为.若，且，1，，共中 ， ， 是成等差数列，则面第 3 页 共 12 页积 的最大值为________. 13. （1 分） (2017 高二下·赣州期中) 从焦点为 F 的抛物线 y2=2px（p＞0）上取一点 A（x0 ， y0）（x0＞）作其准线的垂线，垂足为 B，若|AF|=4，B 到直线 AF 的距离为 ，则此抛物线的方程为________．14. （1 分） (2017·西宁模拟) 已知 f（x）= a 的取值范围为________．三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)，且 g（x）=f（x）+ 有三个零点，则实数15.（10 分）(2016 高三上·翔安期中) 已知 （1） 求函数 y=f（x）的单调递增区间；，其中向量（x∈R），（2） 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 f （A）=2，a= ，b= ，求边长 c 的值．16. （10 分） (2020 高二下·大庆期末) 为增进市民的环保意识，某市有关部门面向全体市民进行了一次环 保知识的微信问卷测试活动，每位市民仅有一次参与问卷测试机会．通过抽样，得到参与问卷测试的 1000 人的得 分数据，制成频率分布直方图如图所示．（1） 估计成绩得分落在[86，100]中的概率． （2） 设这 1000 人得分的样本平均值为 ． （i）求 （同一组数据用该区间的中点值作代表）；第 4 页 共 12 页（ii）有关部门为参与此次活动的市民赠送 20 元或 10 元的随机话费，每次获赠 20 元或 10 元的随机话费的概率分别为 和 ．得分不低于 的可获赠 2 次随机话费，得分低于 的可获赠 1 次随机话费．求一位市民参 与这次活动获赠话费 的平均估计值．17. （10 分） (2018·南宁模拟) 直角三角形中点， 是线段 上一个动点，且得平面平面.中，，，如图所示，沿， 将，是 的翻折至，使（1） 当时，证明：平面；（2） 是否存在 ，使得 请说明理由.与平面所成的角的正弦值是 ？若存在，求出 的值；若不存在，18. （10 分） 已知函数．（1） 求曲线在点处的切线方程；（2） 直线 为曲线的切线，且经过原点，求直线 的方程及切点坐标．19.（5 分）(2020 高二上·那曲期末) 已知点 是椭圆分别是椭圆的左、右焦点，直线斜率为，求的面积.上一点，且在 轴上方，20. （15 分） (2019 高二下·诸暨期末) 已知函数（1） 讨论的单调性；（2） 当时，恒成立，求 的值；，其中.（3） 确定 的所有可能取值，使得对任意的，恒成立.第 5 页 共 12 页一、 选择题 (共 8 题；共 16 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)9-1、 10-1、 11-1、 12-1、 13-1、 14-1、三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)参考答案第 6 页 共 12 页15-1、15-2、16-1、16-2、第 7 页 共 12 页17-1、第 8 页 共 12 页17-2、第 9 页 共 12 页18-1、 18-2、第 10 页 共 12 页19-1、20-1、20-2、20-3、。

安徽省合肥市届高三第二次教学质量检测数学理试题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学试题(理科)(考试时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数z 满足41iz i=+，则z 在复平面内的对应点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若集合201x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，{}12B x x =-<<，则A B =A.[)22-，B.(]11-，C.(-1，1)D.(-1，2) 3．已知双曲线22221x y a b-=(00a b >>，)的一条渐近线方程为2y x =，且经过点P (6，4)，则双曲线的方程是A.221432x y -=B.22134x y -=C.22128x y -=D.2214y x -= 4.在ABC ∆中，12BD DC =，则AD =A. 1344AB AC +B. 2133AB AC +C. 1233AB AC +D. 1233AB AC -5.下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类 冰箱类 小家电类 其它类 营业收入占比90.10% 4.98% 3.82% 1.10% 净利润占比95.80%-0.48%3.82%0.86%则下列判断中不正确．．．的是 A.该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B.该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C.该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D.剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低6.将函数()2sin 16f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是A.函数()g x 的图象关于点 012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称 B.函数()g x 的周期是2πC.函数()g x 在0 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增D.函数()g x 在0 6π⎛⎫⎪⎝⎭，上最大值是17.已知椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左右焦点分别为12F F ，，右顶点为A ，上顶点为B ，以线段1F A 为直径的圆交线段1F B 的延长线于点P ，若2//F B AP ，则该椭圆离心率是A.33 B. 23 C. 32D. 228.某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A 必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E ，任务B 、任务C 不能相邻，则不同的执行方案共有A.36种B.44种C.48种D.54种 9.函数()2sin f x x x x =+的图象大致为10.如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有A.2对B.3对C.4对D.5对11.“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的910．若这堆货物总价是910020010n⎛⎫- ⎪⎝⎭万元，则n 的值为 A.7 B.8 C.9 D.1012.函数()121x x f x e e b x -=---在(0，1)内有两个零点，则实数b 的取值范围是A.()() 11 e ee e ---，，B.()()1 00 1e e --，，C.()()1 00 1e e --，， D.()()1 1e e e e ---，，第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =，416S =， 则数列{}n a 的公差d =__________.14.若1sin 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos2cos αα+=_____________.15.若0a b +≠，则()2221a b a b +++的最小值为_________.16.已知半径为4的球面上有两点A B ，，42AB =，球心为O ，若球面上的动点C 满足二面角C AB O --的大小为60o ，则四面体OABC 的外接球的半径为____________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分12分) 在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，22sin sin sin sin 2sin A B A B c C ++=，ABC ∆的面积S abc =.(Ⅰ)求角C ；(Ⅱ)求ABC ∆周长的取值范围.18.(本小题满分12分)如图，三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，平面ABC ⊥平面BCGF ，2CB GF =，BF CF =.(Ⅰ)求证：AB CG ⊥；(Ⅱ)若BC CF =，求直线AE 与平面BEG 所成角的正弦值.19.(本小题满分12分)某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元； 方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元. 某医院准备一次性购买2台这种机器。

2024年合肥市高三第二次教学质量检测数 学（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集U =R ，集合{}{}220,1A x x x B x x =-->=≥，则()UB A ⋂=ð（）A. {}12x x ≤≤B. {}12x x <≤C. {}2x x >D. {}12x x ≤<2. 已知i2i z z-=+，则z =（ ）A. 12B.C. 1D. 23. 设,αβ是两个平面，,a b 是两条直线，则αβ∥的一个充分条件是（ ） A. ,,a b a b αβ∥∥∥ B. ,,a b a b αβ⊥⊥⊥ C. ,,a b a b αβ⊥⊥∥D. ,,a b a αβ∥∥与b 相交4. 甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为12，则甲以4比2获胜的概率为（ ） A.164B.332C.532D.15645. 常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T （单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为12,T T ．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的14，则12,T T 满足的关系式为（ ）A. 125125122T T -+= B. 125125122T T += C. 22125125122log log T T -+= D. 22125125122log log T T += 6. 已知函数()22,113,1x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，若关于x 方程()()10f x f a --=至少有两个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ） A. (]),4-∞-+∞ B. []1,1-C. (-D. ⎡-⎣7. 记ABC 内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1112,1tan tan tan tan c A B A B=++=．则ABC 面积的最大值为（ ）A. 1B. 1C.D.8. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线左支上，线段2PF 交y轴于点E ，且23PF PE = ．设O 为坐标原点，点G 满足：213,0PO GO GF PF =⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）A.B. 1C. 1+D. 2+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知圆22:1O x y +=，圆22:()(1)4,R C x a y a -+-=∈，则（ ） A. 两圆的圆心距OC 的最小值为1 B. 若圆O 与圆C相切，则a =±C. 若圆O 与圆C恰有两条公切线，则a -<< D. 若圆O 与圆C 相交，则公共弦长的最大值为210. 已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则（ ） A.11n n S S qS +=+的的的B. 对任意*232,,,n n n n n n S S S S S ∈--N 成等比数列C. 对任意*n ∈N ，都存在q ，使得23,2,3n n n S S S 成等差数列D. 若10a <，则数列{}21n S -递增的充要条件是10q -<< 11. 已知函数()ππsin sin sin 66f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，则（ ） A. 函数()f x π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B. 函数5π1122y f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数 C. 当ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()41y f x =+恰有两个零点 D. 设数列{}n a 是首项为π6，公差为π6的等差数列，则()2024120272i i f a ===-∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在6x ⎛- ⎝的展开式中，3x 的系数为_________．13. 抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为,l A 为C 上一点，以点F 为圆心，以AF 为半径的圆与l 交于点,B D ，与x 轴交于点,M N ，若AB FM =，则AM = _________．14. 已知实数,,x y z ，满足20y z +-=，则+++_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60,BAD M ∠=︒是侧棱PC 的中点，侧面PAD 为正三角形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．在（1）求三棱锥M ABC -的体积；（2）求AM 与平面PBC 所成角的正弦值．16. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，左顶点为A，短轴长为，且经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l （不与x 轴重合）与C 交于,P Q 两点，直线,AP AQ 与直线4x =的交点分别为,M N ，记直线,MF NF 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k ⋅为定值．17. 树人中学高三（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表： 性别 参加考试人数 平均成绩 标准差 男 30 100 16 女209019在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为123,,,,n x x x x ，其平均数记为x ，方差记为21s ；把第二层样本记为123,,,,m y y y y ，其平均数记为y ，方差记为22s ；把总样本数据平均数记为z ，方差记为2s ．（1）证明：()(){}22222121x s n s z m y m n z s ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+；（2）求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）； （3）假设全年级学生的考试成绩服从正态分布()2,N μσ，以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为μ和σ的估计值．如果按照16%,34%,34%,16%的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为,,,A B C D 四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1）．附：()19P X μσμσ-≤≤+≈≈≈≈．的18. 已知曲线():e e xxC f x x =-在点()()1,1A f 处的切线为l ．（1）求直线l 的方程；（2）证明：除点A 外，曲线C 在直线l 的下方；（3）设()()1212,f x f x t x x ==≠，求证：1221etx x t +<--． 19. 在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一．对平面直角坐标系中两个点()111,P x y 和()222,P x y ，记1212121212max ,11tx x y y PP x x y y ⎧⎫--⎪⎪=⎨⎬+-+-⎪⎪⎩⎭，称12t PP 为点1P 与点2P 之间的“t -距离”，其中{}max ,p q 表示,p q 中较大者．（1）计算点()1,2P 和点()2,4Q 之间的“t -距离”；（2）设()000,P x y 是平面中一定点，0r >．我们把平面上到点0P 的“t -距离”为r 的所有点构成的集合叫做以点0P 为圆心，以r 为半径的“t -圆”．求以原点O 为圆心，以12为半径的“t -圆”的面积； （3）证明：对任意点()()()111222333131223,,,,,,t t t P x y P x y P x y PP PP P P ≤+．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集U =R ，集合{}{}220,1A x x x B x x =-->=≥，则()UB A ⋂=ð（）A. {}12x x ≤≤B. {}12x x <≤C. {}2x x >D. {}12x x ≤<【答案】A 【解析】【分析】解不等式得到A ，进而根据补集和交集求出答案. 【详解】{}{2202A x x x x x =-->=>或}1x <-，{}12U A x x =-≤≤ð，故(){}{}{}12112U A B x x x x x x ⋂=-≤≤⋂≥=≤≤ð. 故选：A 2. 已知i2i z z-=+，则z =（ ）A.12B.C. 1D. 2【答案】B 【解析】【分析】由复数的运算和模长计算求出即可. 【详解】i i i12i =1iz z z z -=-=+⇒--， 所以()()()i 1i i 111i 1i 1i 222z ----===--+-，所以z == 故选：B.3. 设,αβ是两个平面，,a b 是两条直线，则αβ∥的一个充分条件是（ ） A. ,,a b a b αβ∥∥∥ B. ,,a b a b αβ⊥⊥⊥ C. ,,a b a b αβ⊥⊥∥D. ,,a b a αβ∥∥与b 相交【答案】C 【解析】【分析】通过举反例可判定ABD ，利用线面垂直的判定定理及面面平行的判定定理可判定C. 【详解】选项A ：当满足,,a b a b αβ∥∥∥时，,αβ可能相交，如图：用四边形ABCD 代表平面α，用四边形AEFD 代表平面β，故A 错误；选项B ：当满足,,a b a b αβ⊥⊥⊥时，,αβ可能相交，如图：用四边形ABCD 代表平面α，用四边形AEFD 代表平面β，故B 错误；选项C ：因为,a a b b αα⊥⇒⊥∥，又b β⊥，所以αβ∥， 故,,a b a b αβ⊥⊥∥是αβ∥的一个充分条件，故C 正确；当满足,,a b a αβ∥∥与b 相交时，,αβ可能相交，如图：用四边形ABCD 代表平面α，用四边形AEFD 代表平面β，故D 错误；故选：C.4. 甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为12，则甲以4比2获胜的概率为（ ） A.164B.332C.532D.1564【答案】C 【解析】【分析】根据题意只需前5场甲赢3场，再利用独立事件的乘法公式求解． 【详解】根据题意，甲运动员前5场内需要赢3场，第6场甲胜， 则甲以4比2获胜的概率为33251115C ()()22232⋅⋅⨯=．故选：C ．5. 常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T （单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为12,T T ．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的14，则12,T T 满足的关系式为（ ）A. 125125122T T -+= B. 125125122T T += C. 22125125122log log T T -+= D. 22125125122log log T T += 【答案】B 【解析】【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可得答案．【详解】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1， 则512天后，甲的质量为：15121()2T ，乙的质量为：25121()2T ，由题意可得21151251251221111()()()2422T T T +=⋅=，所以125125122T T +=． 故选：B ．6. 已知函数()22,113,1x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，若关于x 的方程()()10f x f a --=至少有两个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ） A. (]),4-∞-+∞ B. []1,1-C. (-D. ⎡-⎣【答案】D 【解析】【分析】作出函数的图象，由题意可得()y f x =的图象与(1)y f a =-至少有两个不同的交点，从而得1(1)1f a -≤-≤，结合图象可得115a -≤-≤，求解即可．【详解】因为222,12,1()2,131|3,14,3x x x x x x f x x x x x x x ⎧-≤⎧-≤⎪⎪==-<<⎨⎨--⎪⎩⎪-+≥⎩， 作出函数的图象，如图所示：由此可知函数()y f x =在(,1)-∞和(3,)+∞上单调递减，在(1,3)上单调递增， 且()1f 1=-，()3f 1=，又因为关于x 的方程()(1)0f x f a --=至少有两个不同的实数根， 所以()(1)f x f a =-至少有两个不同的实数根，即()y f x =的图象与(1)y f a =-至少有两个不同的交点，所以1(1)1f a -≤-≤， 又因为当1x ≤时，2()2f x x x =-，令221x x -=，可得1x = 当3x ≥时，()4f x x =-，令41x -=-，解得5x =， 又因为1(1)1f a -≤-≤，所以115a -≤-≤，解得4a -≤≤故选:D ．7. 记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1112,1tan tan tan tan c A B A B=++=．则ABC 面积的最大值为（ ）A. 1B. 1C.D.【答案】A 【解析】分析】由题意及正切与正弦与余弦的关系，两角和的正弦公式及余弦公式可得角C 的大小，再由余弦定理及基本不等式可得ab 的最大值，进而求出该三角形的面积的最大值． 【详解】因为1111tan tan tan tan A B A B++=，可得tan tan 1tan tan A B A B ++=， 即sin sin sin sin 1cos cos cos cos A B A BA B A B++=， 整理可得sin cos cos sin cos cos sin sin A B A B A B A B ++=， 即sin()cos()A B A B +=-+，在三角形中sin()sin A B C +=，cos()cos A B C +=-，【即sin cos C C =，()0,πC ∈,可得π4C =；由余弦定理可得222π2cos 24c b a ab ab =+-≥，当且仅当a b =时取等号， 而2c =，所以2(2ab ≤=，所以11sin 2(2122ABC S ab C =≤⨯+= ．即该三角形的面积的最大值为1+． 故选：A ．8. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线左支上，线段2PF 交y轴于点E ，且23PF PE = ．设O 为坐标原点，点G 满足：213,0PO GO GF PF =⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）A.B. 1C. 1+D. 2+【答案】D 【解析】【分析】设000(,)(0)P x y x <，根据题设条件得到02c x =-，22074c y =，再利用00(,)P x y 在椭圆上，得到42241240c a c a -+=，即可求出结果.【详解】如图，设000(,)(0)P x y x <，12(,0),(,0)F c F c -，则直线2PF 的方程为00()y y x c x c=--， 令0x =，得到00cy y x c -=-，所以0(0,)cy E x c--， 0200000(,),(,)cy PF c x y PE x y x c-=--=--- ，因为23PF PE = ，所以003c x x -=-，得到02cx =-，故0(,)2c P y -， 又3PO GO = ，所以0(,)63y c G -，得到02107(,)),(,263cG y c F PF y ==--- ，又210GF PF ⋅= ，所以22070123y c -+=，得到22074c y =①， 又因为0(,)2c P y -在双曲线上，所以2202241c y a b -=②，又222b c a =-③， 由①②③得到42241240c a c a -+=，所以421240e e -+=，解得26e =+或26e =-，又1e >，所以226(2e =+=+，得到2e =+，故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知圆22:1O x y +=，圆22:()(1)4,R C x a y a -+-=∈，则（ ）A. 两圆的圆心距OC 的最小值为1B. 若圆O 与圆C 相切，则a =±C. 若圆O 与圆C 恰有两条公切线，则a -<<D. 若圆O 与圆C 相交，则公共弦长的最大值为2【答案】AD【解析】【分析】根据两点的距离公式，算出两圆的圆心距1d ≥，从而判断出A 项的正误；根据两圆相切、相交的性质，列式算出a 的取值范围，判断出B,C 两项的正误；当圆O 的圆心在两圆的公共弦上时，公共弦长有最大值，从而判断出D 项的正误．【详解】根据题意，可得圆22:1O x y +=的圆心为(0,0)O ，半径1r =，圆22:()(1)4C x a y -+-=的圆心为(,1)C a ，半径2R =．对于A ，因为两圆的圆心距1d OC ==≥，所以A 项正确；对于B ，两圆内切时，圆心距||1d OC R r ==-=1=，解得0a =．两圆外切时，圆心距||3d OC R r ==+=3=，解得a =±．综上所述，若两圆相切，则0a =或a =±，故B 项不正确；对于C ，若圆O 与圆C 恰有两条公切线，则两圆相交，||(,)d OC R r R r =∈-+，(1,3)，可得13<<，解得a -<<且0a ≠，故C 项不正确；对于D ，若圆O 与圆C 相交，则当圆22:1O x y +=的圆心O 在公共弦上时，公共弦长等于22r =，达到最大值，因此，两圆相交时，公共弦长的最大值为2，故D 项正确．故选：AD ．10. 已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则（ ）A. 11n n S S qS +=+B. 对任意*232,,,n n n n n n S S S S S ∈--N 成等比数列C. 对任意*n ∈N ，都存在q ，使得23,2,3n n n S S S 成等差数列D. 若10a <，则数列{}21n S -递增的充要条件是10q -<<【答案】ACD【解析】【分析】对于A ：分1q =，1q ≠两种情况计算可判断A ；对于B ： 1q =-可说明不成立判断B ；，分1q =，1q ≠两种情况计算可判断C ；根据2121211(1)n n n S S a q q -+--=+，若21{}n S -是递增数列，可求q 判断D.【详解】对于A ：当1q =时，11(1)n S n a +=+，1111(1)n S qS a na n a +=+=+，故成立，当1q ≠时，1111)1n n a q S q ++-=-（，11111(1)(1)11n n n a q a q S qS a q q q+--+=+⨯=--，所以11+=+n n S a qS 成立，故A 正确；对于B ：当1q =-时，20S =，所以232,,n n n n n S S S S S --不成等比数列，故B 错误；对于C ：当1q =时，12131,24,39n n n S na S na S na ===，故23,2,3n n n S S S 不成等差数列，当1q ≠时，若存在q ，使23,2,3n n n S S S 成等差数列，则23223n n n S S S ⨯=+，则23111(1)(1)(1)43111n n n a q a q a q q q q---⨯=+⨯---， 整理得24(1)13(1)n n n q q q +=+++，所以230n n q q -=，所以13n q =， 所以对任意*N n ∈，都存在q ，使得23,2,3n n n S S S 成等差数列，故C 正确；对于D ：2121212211(1)n n n n n S S a a a q q-+-+-=+=+，若21{}n S -是递增数列， 则可得211(1)0n a q q -+>，因10a <，所以21(1)0n q q -+<，可解得10q -<<，所以若10a <，则数列21{}n S -递增的充要条件是10q -<<，故D 正确.故选：ACD.11. 已知函数()ππsin sin sin 66f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，则（ ） A. 函数()f x 在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 B. 函数5π1122y f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数 C. 当ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()41y f x =+恰有两个零点 D. 设数列{}n a 是首项为π6，公差为π6的等差数列，则()2024120272i i f a ===-∑ 【答案】BCD【解析】【分析】利用三角恒等变换化简()f x ，再利用正弦函数单调性奇偶性判断ABC ，利用裂项相消及累加求和判断D.【详解】易知7πππ1sin sin 12342⎛⎫=+== ⎪⎝⎭， 为同理π7πsin cos 1212==， ()ππsin sin sin 66f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭11cos 22x x =--7π1122x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 对A, π7π13π19π,π,,,2121212x x ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()f x 先减后增，故A 错误； 对B, 5π1122y f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭x =为奇函数，故B 正确； 对C, ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,7ππ13π,,121212t x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦则sin t ππ,122⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增， 在π13π,212⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，即()f x 在ππ,212⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增，在ππ,122⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减， 又π12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭14>-，ππ111212224f ⎛⎫-=-=-=<- ⎪⎝⎭， 故函数()41y f x =+恰有两个零点，故C 正确；对D ,易知π6n n a =，令()πsin sin 6g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()()12f x g x =-， ()1ππsinsin 36g a =-， ()2ππsin sin 23g a =-, …………………….. ()20242024ππ2023ππsin sin 6666g a ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 则()202412024ππππ13sin sin sin 337π666222i i g a =⎛⎫⎛⎫=+-=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑， 在故()()202420241112027202422i i i i f a g a ====-⨯=-∑∑，故D 正确. 故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的性质及数列求和应用，关键是利用利用裂项相消及累加求和判断D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在6x ⎛- ⎝的展开式中，3x 的系数为_________． 【答案】15【解析】【分析】利用6x ⎛- ⎝的通项公式36216(1)C (06,N)r r r r T x r r -+=-≤≤∈，即可求出结果.【详解】因为6x ⎛- ⎝的展开式的通项公为3662166C ((1)C (06,N)r r r r r r r T x x r r --+==-≤≤∈， 由3632r -=，得到2r =，所以3x 的系数为226(1)C 15-=， 故答案为：15.13. 抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为,l A 为C 上一点，以点F 为圆心，以AF 为半径的圆与l 交于点,B D ，与x 轴交于点,M N ，若AB FM = ，则AM = _________．【答案】【解析】【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，设准线与x 轴交于点E ，根据圆的性质及抛物线的定义可得ABF △为等边三角形，即可求出BF ，再在AFM △中利用余弦定理计算可得.【详解】抛物线2:4C y x =的焦点为()1,0F ，准线l ：=1x -，设准线与x 轴交于点E ，则()1,0E -， 依题意B 、D 均在y 轴的左侧，又AB FM = ，所以M 也在y 轴的左侧且B 点在x 轴上方，又AD 为圆F 的直径，所以π2ABD ∠=，即AB BD ⊥， 由抛物线的定义可知AB AF =，又BF AF =，所以ABF △为等边三角形，所以π3BAF AFB ∠=∠=，则π3BFM AFN ∠=∠=， 所以4cos EFBF BFM ==∠， 所以4BF AF MF ===，2π3AFM ∠=，在AFM △中AM ===故答案为：14. 已知实数,,x y z ，满足20y z +-=，则+++_________．【答案】+【解析】【分析】建立空间直角坐标系，将所求转化为距离和的最小值，利用几何关系求得最值.【详解】如图，设正方体的边长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，设(),,P x y z 为空间任意一点，因为20y z +-=，则P 在平面11ABC D 所在的平面内运动，表示P 与点()10,0,0A 和点()12,0,0B 的距离之和，因为1A 关于平面11ABC D 的对称点为D ，故111PA PB DB +≥=，当且仅当P 为1DB 中点即P 为正方体中心时等号成立；+表示P 与点()1,0,2M 和点()1,2,0N 的距离之和，则PM PN MN +≥=，当且仅当P 在MN 所在直线上时等号成立，+++的最小值为+，当且仅当P 为正方体中心时等号成立故答案为：+【点睛】关键点点睛：本题考查空间中距离最值问题，关键是利用空间坐标系将所求转化为距离和，并注意等号成立条件.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60,BAD M ∠=︒是侧棱PC 的中点，侧面PAD 为正三角形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．（1）求三棱锥M ABC -的体积；（2）求AM 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）12（2． 【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，进而得到线面垂直，由中位线得到M 到平面ABCD 的距离为（2）证明出BO AD ⊥，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而由法向量的夹角余弦值的绝对值求出线面角的正弦值.【小问1详解】如图所示，取AD 的中点O ，连接PO ．因为PAD 是正三角形，所以PO AD ⊥．又因为平面PAD ⊥底面,ABCD PO ⊂平面PAD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，所以PO ⊥平面ABCD ，且PO =．又因为M 是PC 的中点，M 到平面ABCD 12π22sin 23ABC S =⨯⨯⨯=△，所以三棱锥M ABC -的体积为1132=． 【小问2详解】连接,BO BD ，因为π3BAD ∠=， 所以ABD △为等边三角形，所以BO AD ⊥，以O 为原点，,,OA OB OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(()()(),1,0,0,,P A B C -，所以((),,,2,0,0M AM PB BC ⎛⎛-=-==- ⎝⎝ ．设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =， 则00PB n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x =-=⎪⎩，解得0x =，取1z =，则1y =， 所以()0,1,1n = ．设AM 与平面PBC 所成角为θ， 则sin cos AM θ=． 即AM 与平面PBC ． 16. 已知椭圆2222:1(0)x y Ca b a b+=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，短轴长为，且经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l （不与x 轴重合）与C 交于,P Q 两点，直线,AP AQ 与直线4x =的交点分别为,M N ，记直线,MF NF 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k ⋅为定值．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意得b =，将点3(1,)2代入椭圆的方程可求得2a 的值，进而可得椭圆的方程； （2）设:1l x ty =+，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，联立直线l 和椭圆的方程，可得122634t y y t +=-+，122934y y t =-+，直线PA 的方程为11(2)2y y x x =++，令4x =，得116(4,)2y M x +，同理226(4,)2y N x +，由斜率公式计算即可．【小问1详解】因为2b =，所以b =，再将点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入22213x y a +=得21314a +=， 解得24a =，故椭圆C 的方程为22143x y +=； 【小问2详解】由题意可设()()1122:1,,,,l x ty P x y Q x y =+， 由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2234690t y ty ++-=， 易知0∆>恒成立，所以12122269,3434t y y y y t t +=-=-++， 又因为()2,0A -，所以直线PA 的方程为()1122y y x x =++，令4x =，则1162=+y y x ，故1164,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭， 同理2264,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭， 从而()()111212126266,413333y x y y k k ty ty +===-++， 故()()()212121222212121222363643419189333993434y y y y t k k t t ty ty t y y t y y t t -+====-+++++--+++为定值．17. 树人中学高三（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表：性别 参加考试人数 平均成绩 标准差 男 30 100 16 女209019在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为123,,,,n x x x x ，其平均数记为x ，方差记为21s ；把第二层样本记为123,,,,m y y y y ，其平均数记为y ，方差记为22s ；把总样本数据的平均数记为z ，方差记为2s ． （1）证明：()(){}22222121x s n s z m y m n z s ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+；（2）求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）； （3）假设全年级学生的考试成绩服从正态分布()2,N μσ，以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为μ和σ的估计值．如果按照16%,34%,34%,16%的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为,,,A B C D 四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1）．附：()19P X μσμσ-≤≤+≈≈≈≈．【答案】（1）证明见解析；（2）平均数为96分，标准差为18分；（3）将114X ≥定为A 等级，96114X ≤<定为B 等级，7896X ≤<定为C 等级，78X <定为D 等级． 【解析】【分析】（1）利用平均数及方差公式即可求解；（2）利用平均数及方差公式，结合标准差公式即可求解； （3）根据（2）的结论及正态分布的特点即可求解. 【小问1详解】()()222111n mi i i i s x z y z m n ==⎡⎤=-+-⎢⎥+⎣⎦∑∑()()22111n mi i i i x x x z y y y z m n ==⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥+⎣⎦∑∑ ()()()()2222111()2()()2()n mi i i ii i x x x z x x x z y y y z y y y z m n ==⎧⎫⎡⎤⎡⎤=-+-+--+-+-+--⎨⎬⎣⎦⎣⎦+⎩⎭∑∑ ()()()123112(2(2()0n ni i n i i x x x z x z x x x z x x x x nx ==--=--=-++++-=⎡⎤⎣⎦∑∑ ，同理()12(0nii yy y z =--=⎡⎤⎣⎦∑．所以{}222221()(x y s n s x z m s y z m n ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦+. 小问2详解】将该班参加考试学生成绩的平均数记为z ，方差记为2s ，则()13010020909650z =⨯+⨯=， 所以{}222130256(10096)20361(9096)32250s ⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦18≈，所以18s ≈．即该班参加考试学生成绩的平均数为96分，标准差约为18分． 【小问3详解】由（2）知96,18μσ==，所以全年级学生的考试成绩X 服从正态分布()296,18N ，所以()()961896180.68,960.5P X P X -≤≤+≈≥=．()(7896)(96114)0.34,114(78)0.16P X P X P X P X ≤<=≤<≈≥=<≈．故可将114X ≥定为A 等级，96114X ≤<定为B 等级，7896X ≤<定为C 等级，78X <定为D 等级．18. 已知曲线():e e xxC f x x =-在点()()1,1A f 处的切线为l ．（1）求直线l 的方程；（2）证明：除点A 外，曲线C 在直线l 下方；（3）设()()1212,f x f x t x x ==≠，求证：1221etx x t +<--． 【答案】（1）e e y x =-+；【的（2）证明见解析； （3）证明见解析.【解析】【分析】（1）求导，得到()()10,1e f f '==-，利用导数的几何意义写出切线方程；（2）令()e e e e xxg x x x =-+-+，二次求导得到函数单调性，结合特殊点函数值，得到所以()()10g x g ≥=，当且仅当1x =等号成立，得到证明；（3）求导得到()f x 的单调性，结合函数图象得到01t <<，不妨令120,01x x <<<，结合曲线C 在()1,0点的切线方程为()e e x x ϕ=-+，得到231etx x <=-+，转化为证明122x t <-，又111e e x x t x =-，只要证11112e 2e 2x xx x <--，令()2e 2e 2,0xxF x x x x =---<，求导得到函数单调性，结合特殊点函数值得到答案. 【小问1详解】 因为()e e xxf x x =-，所以()()()10,e ,1e xf f x x f =-''==-，所以直线l 的方程为：()e 1y x =--，即e e y x =-+ 【小问2详解】令()e e e e xxg x x x =-+-+，则()e e e e e e xxxxg x x x =--++=-+'，令()()h x g x ='，则()()1e xh x x +'=，由()0h x '>，解得1x >-，由()0h x '<，解得1x <-， 所以()h x 在(),1∞--上单调递减，在()1,∞-+上单调递增， 当x →-∞时，()()e,10h x h →-=，所以()g x 在(),1∞-上单调递减，在()1,∞+上单调递增， 所以()()10g x g ≥=，当且仅当1x =等号成立， 所以除切点()1,0之外，曲线C 在直线l 的下方． 【小问3详解】由()e 0xf x x '=->，解得()0,e 0xx f x x <=-<'，解得0x >，所以()f x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，()()max ()01,10f x f f ===，当x →-∞时，()0f x →．因为()()1212,f x f x t x x ==≠，则01t <<，不妨令120,01x x <<<． 因为曲线C 在()1,0点的切线方程为()e e x x ϕ=-+， 设点()3,x t 在切线上，有()3e 1t x =--，故31etx =-+，由（1）知()0,1x ∈时，()()x f x ϕ>， 则()()()223x f x t x ϕϕ>==，即231etx x <=-+， 要证：1221etx x t +<--， 只要证：121121e et tx x x t +<+-<--， 只要证：122x t <-， 又111e e xxt x =-，只要证：11112e 2e 2x xx x <--， 令()2e 2e 2,0xxF x x x x =---<，则()2e 1xF x x '=--，易证()F x '在(),1∞--上单调递增，在()1,0-上单调递减， 所以()()2110eF x F ≤-=-'<'， 所以()F x 在(),0∞-上单调递减，所以()()00F x F >=成立，所以原命题成立．【点睛】关键点点睛：本题关键是利用函数在零点处的切线方程，得到31e t x =-+，且231etx x <=-+，从而只需证明122x t <-，再勾股函数进行求解.19. 在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一．对平面直角坐标系中两个点()111,P x y 和()222,P x y ，记1212121212max ,11tx x y y PP x x y y ⎧⎫--⎪⎪=⎨⎬+-+-⎪⎪⎩⎭，称12t PP 为点1P 与点2P 之间的“t -距离”，其中{}max ,p q 表示,p q 中较大者．（1）计算点()1,2P 和点()2,4Q 之间的“t -距离”；（2）设()000,P x y 是平面中一定点，0r >．我们把平面上到点0P 的“t -距离”为r 的所有点构成的集合叫做以点0P 为圆心，以r 为半径的“t -圆”．求以原点O 为圆心，以12为半径的“t -圆”的面积； （3）证明：对任意点()()()111222333131223,,,,,,t t t P x y P x y P x y PP PP P P ≤+． 【答案】（1）23；（2）4； （3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据所给定义直接计算即可；（2）依题意可得1max ,112x y x y ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬++⎪⎪⎩⎭，再分类讨论，从而确定“t -圆”的图形，即可求出其面积； （3）首先利用导数说明函数()()01tf t t t=≥+的单调性，结合绝对值三角不等式证明即可. 【小问1详解】由定义知，1224122||max ,max ,112124233tPQ ⎧⎫--⎪⎪⎧⎫===⎨⎬⎨⎬+-+-⎩⎭⎪⎪⎩⎭； 【小问2详解】 设(),P x y 是以原点O 为圆心，以12为半径的t -圆上任一点，则1max ,112xy x y ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬++⎪⎪⎩⎭． 若1112y x yx≤=++，则11x y ⎧=⎪⎨≤⎪⎩；若1112x y xy≤=++，则有11y x ⎧=⎪⎨≤⎪⎩． 由此可知，以原点O 为圆心，以12为半径的“t -圆”的图形如下所示： 则“t -圆”的面积为224⨯=.【小问3详解】考虑函数()()01tf t t t=≥+． 因为()210(1)f t t ='>+，所以()f t 在[)0,∞+上单调递增．又131223x x x x x x -≤-+-， 于是1312231223131223122312231111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --+---≤=++-+-+-+-+-+-+-1223122311x x x x x x x x --≤++-+-，同理，131223131223111y y y y y y y y y y y y ---≤++-+-+-．不妨设1313131311y y x x y y x x --≤+-+-，则13122313131223111t x x x x x x PP x x x x x x ---=≤++-+-+-1212232312122323max ,max ,1111x x y y x x y y x x y y x x y y ⎧⎫⎧⎫----⎪⎪⎪⎪≤+⎨⎬⎨⎬+-+-+-+-⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭1223t t PP P P =+.【点睛】关键点点睛：本题关键是理解“t -距离”的定义，再结合不等式及导数的知识解答.。

合肥一中2024~2025学年度高三第二次教学质量检测数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位．2．答题时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．4．考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1．已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．B ．C ．D ．2．命题“，使”的否定是（ ）A ．，使B ．不存在，使C ．，使D ．，使3．函数的部分图象大致为（ ）A ．B．{}2,1,0,1,2M =--(){}22log 1N y y x ==+{}2,1--{}2,1,0--{}0,1,2{}1,0-x ∃∈R 210x x +-≠x ∃∈R 210x x +-=x ∈R 210x x +-≠x ∀∉R 210x x +-=x ∀∈R 210x x +-=()3sin 1x x f x x =+C ．D ．4．“曲线恒在直线的下方”的一个充分不必要条件是（ ）A ．B ．C ．D ．5．当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强．已知某海域6米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为（ ）（参考数据：，）A ．0.2B ．0.18C ．0.15D ．0.146．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则外接圆的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数的图象关于直线对称，且在上没有最小值，则的值为（ ）A ．B ．4C ．D ．8．已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．已知平面向量，，且，则（ ）ln y x =y x b =+1b >-1e b -<<-10b -<<0b <0e KD D I I -=K D D I 0I D 40%K ln 20.7≈ln 5 1.6≈ABC △A B C a bc a =()(()sin sin sin sin A B b c B C -+=+ABC △π3π4π5π()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π6x =()f x π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ω3292152O ABC △0OA OB OC ++= M OBC △AM xAB y AC =+ 2x y +1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,251,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()2,a m = ()1,1b =- 22a b a b +=-A ．B ．C ．D ．10．已知，若对任意的，不等式恒成立，则（ ）A ．B ．C ．的最小值为32D ．的最小值为11．已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，则下列说法正确的是（ ）A ．函数的一个对称中心为B ．C ．函数为周期函数，且一个周期为4D ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知，则______．13．已知函数，方程有四个不同根，，，，且满足，则的最大值为______．14．定义表示实数，中的较大者，若，，是正实数，则的最小值是______．四、解答题：本题共5小题，第15题满分13分，第16题、第17题满分15分，第18题、第19题满分17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）若，，求的面积；2m =π,3a b = a b ⊥ a =1b >()1,x ∈+∞32440ax x abx b +--≤0a <216a b =216a b +24a ab a b +++8-()f x R ()()()11F x f x x =+-+()()231G x f x =+-()f x ()2,1()01f =-()f x ()()()()()012345f f f f f ++++=π4tan 43α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭cos 2α=()22log ,012,04x x f x x x x ⎧>⎪=⎨++≤⎪⎩()f x a =1x 2x 3x 4x 1234x x x x <<<()2312432x x x x x +-{}max ,x y x y a b c 123max ,max ,max ,a b c b c a ⎧⎫⎧⎫⎧⎫++⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭ABC △A B C a b c ()2222cos 02a b c c b A b+--+=4a =8b c +=ABC △（2）若角为钝角，求的取值范围．16．（15分）已知函数．（Ⅰ）当时，关于的方程在区间内有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；（Ⅱ）求函数在区间上的最小值．17．（15分）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m ，转盘直径为110m ，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min ．（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；（2）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：m ）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1m ）．参考公式：．参考数据：，．18．（17分）已知函数．（1）当时，，求实数的取值范围；（2）若，求证：；（3）若，，为正实数，且，求证：．19．（17分）已知实数集，定义：（与可以相同）．记为集合C c b()()()ln 1f x x x a x a R =+-∈0a =x ()f x m =1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦m ()f x 1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦min t m H H t h t sin sin 2sincos 22θϕθϕθϕ+-+=πsin 0.207915≈πsin 0.065448≈()sin f x x =0x ≥()f x ax ≤a π02αβ<<<()()()cos f f βαβαα-<-*n ∈N 00a =12,,,n a a a 121n a a a +++= 1π12n i =≤<{}12,,,n X x x x = {},i j i j X X x x x x X ⊗=∈i x j x X中的元素个数．（1）若，请直接给出和；（2）若均为正数，且，求的最小值；（3）若，求证：．合肥一中2024~2025学年度高三第二次教学质量检测数学参考试卷1．A【详解】，所以阴影部分．故选：A ．2．D【详解】命题“，使”的否定是，使．故选：D ．3．A【详解】易知函数的定义域为，故可排除C ，D ；又，，所以可排除B ，故选：A ．4．C【详解】由曲线恒在直线下方，可得，恒成立，即所以“曲线恒在直线的下方”的充要条件是，故选：C ．5．C 【详解】依题意得，，化成对数式，，解得，．故选：C ．6．C【详解】因为，且，所以，由正弦定理，可得，即，X {}1,2,3,6X =X X ⊗X X ⊗12,,,n x x x 300X X ⊗=X 11X =17X X ⊗≥{}0N y y =≥(){}2,1M N =--R ðx ∃∈R 210x x +-≠x ∀∈R 210x x +-=()3sin 1x x f x x =+{}1x x ≠-π14->-3ππsin π4404ππ1144f ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭-==> ⎪⎝⎭⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ln y x =y x b =+ln x x b <+ln b x x >-1b >-ln y x =y x b =+1b >-6040%e K D I I -==26ln ln 2ln 50.95K -==-≈-0.15K ≈a =()(()sin sin sin sin A B b c B C -+=+()()()sin sin sin sin A B a b c B C -+=+()()()a b a b c b c -+=+222a b c bc =++所以，又因，所以，所以外接圆的半径为．．故选：C ．7．A【详解】由的图象关于直线对称可得，，解得或，，由于在上没有最小值，所以，所以，故选：A ．8．C【详解】因为内一点，，所以为的重心，又在内（不含边界），且当与重合时，最小，此时所以，即，当与重合时，最大，此时，所以，，即，因为在内且不含边界，所以取开区间，即，故选：C ．二．多选题9．ACD【详解】由，，可得，，2221cos 22b c a A bc +-==-()0,πA ∈2π3A =ABC △22sin a A ==2π24πS =⋅=()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π6x =ππππ642k ω+=±+k ∈Z 362k ω=+962k ω=-+k ∈Z ()f x π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭π5π0544ωω≤⇒<≤32ω=ABC △0OA OB OC ++= O ABC △M OBC △M O 2x y +()21113233AM AB AC AB AC AB AC λμ⎡⎤=+=⨯+=+⎢⎥⎣⎦ 13x y ==21x y +=M C 2x y +AM AC = 0x =1y =22x y +=M OBC △()21,2x y +∈()2,a m = ()1,1b =- ()24,2a b m +=- ()20,2a b m -=+由，可得，解得，故A 正确；由，可得，故D 正确；又，则，，故B 错误，C 正确．故选：ACD ．10．ABD【详解】因为，即恒成立，又因为，，所以当，当时，，因为对任意的，不等式恒成立，所以当时，，当时，，所以对于函数，必有，单调递减，且零点为，所以，所以，所以A 正确，B 正确；对于C ，因为，所以所以，当且仅当，即时取等号，与条件不符，所以C 错误；对于D ，，令，当且仅当时，等号成立．则原式，22a b a b +=- ()()221622m m +-=+2m =()2,2a = a == cos ,0a b a b a b ⋅=== π,2a b = a b ⊥ 32440ax x abx b +--≤()()240ax x b +-≤1b >1x >1x <<20x b -<x >20x b ->()1,x ∈+∞32440ax x abx b +--≤0x <<40ax +≥x >40ax +≤4y ax =+0a <x =40+=216a b =40=a =216161632a b b b +=+≥=1616b b=1b =216164a ab a b b b b b ⎛⎛⎫+++=-=+- ⎪ ⎝⎭⎝216448b b ⎛⎫=+-=-- ⎪⎝⎭m =4m ≥4b =()2484m m m =--≥由二次函数的性质可得的最小值为，此时，，所以D 正确，故选：ABD ．11．ABD【详解】对于A ，因为为奇函数，所以，即，所以，所以，所以函数的图象关于点对称，所以A 正确，对于B ，在中，令，得，得，因为函数为偶函数，所以，所以，所以，令，则，所以，得，所以B 正确，对于C ，因为函数的图象关于点对称，，所以，所以，所以4不是的周期，所以C 错误，对于D ，在中令，则，令，则，因为，所以，因为，所以，所以D 正确，故选：ABD ．三．填空题（共1小题）12．．【详解】因为，所以，可得，则．故答案为：．()2484y m m m =--≥8-4b =2a =-()()231G x f x =+-()()G x G x -=-()()231231f x f x ⎡⎤--=-+-⎣⎦()()23232f x f x -++=()()222f x f x -++=()f x ()2,1()()222f x f x -++=0x =()222f =()21f =()()()11F x f x x =+-+()()F x F x -=()()()()1111f x x f x x ---=+-+()()112f x f x x +--=1x =()()202f f -=()102f -=()01f =-()f x ()2,1()01f =-()43f =()()04f f ≠()f x ()()222f x f x -++=1x =()()132f f +=2x =()()042f f +=()01f =-()43f =()21f =()()()()()012345f f f f f ++++=2425-π4tan 43α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭tan 141tan 3αα+=--tan 7α=22222222cos sin 1tan 1724cos 2cos sin 1tan 1725ααααααα---====-+++2425-13．．【详解】作出函数图像可得，从而得，且，从而得，原式，令，，，令，则，，在单调递增，，最大值为．14．【详解】按和分类：记，当时，当且仅当，，时，等号成立；当时，，12981222x x +=-2324log log x x -=341x x =(]23log 1,2x -∈(]312,4x ∈∴()23122322331122x x x x x x +=-=+ 232312y x x =+(]312,4x ∈ (]2314,16x ∴∈231t x =()2f t t t=+(]4,16t ∈()f t )+∞()9129,28f t ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦∴12983c a ≤3c a ≥123max ,max ,max ,M a b c b c a ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=++⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭3c a ≤23235333a a M a a c a a a ≥++≥++=+≥=a =b =c =3c a ≥2325M a c c c c c c c ≥++≥++=+≥=当且仅当，，时，等号成立．综上所述，的最小值是四．解答题15．（13分）【详解】（1）由和正弦定理得，，因，则有，因，，则，又，故．由余弦定理，，代入得，，因，则有，即得，故的面积（2）由正弦定理，可得，因，代入化简得：．因为钝角，故由可得，则，即，故的取值范围是．16．（15分）【详解】（Ⅰ）当时，，，由，，故可列表：a =b =c =M ()2cos cos 0c b A a C -+=()sin 2sin cos sin cos 0C B A A C -+=()()sin cos sin cos sin sin πsin C A A C A C B B +=+=-=()sin 12cos 0B A -=0πB <<sin 0B >1cos 2A =0πA <<π3A =2222cos a b c bc A =+-2216b c bc +-=8b c +=()2316b c bc +-=16bc =ABC △11sin 1622S bc A ==⨯=sin sin b c B C =sin sin c C b B =2π3C B =-2πsin sin 13sin sin 2B cC b B B ⎛⎫- ⎪⎝⎭====C π022ππ32B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩π06B <<0tan B <<32>2c b >c b ()2,+∞0a =()ln f x x x x =-()ln 11ln f x x x =+-='∴()0132f x x ⎧>⎪⎨≤≤⎪⎩'ln 013132x x x >⎧⎪⇔⇔<≤⎨≤≤⎪⎩()0111232f x x x ⎧'<⎪⇔≤<⎨≤≤⎪⎩13，关于的方程在区间内有两个不相等的实数根时；（Ⅱ），由得．①当，即时，，在上为增函数，；②当，即时，在上，为减函数，在上，为增函数，；③当，即时，，在上为减函数，．综上所述，．17．【详解】如图，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系．x121,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,3y '-+y11ln222--]1-Z3ln33-11ln 203ln 3322--<<- ∴x ()f x m =1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦111ln 222m -<≤--()()ln 0f x x a x =+>'()0f x '=ax e -=1aee -<1a >()0f x '>()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()min 12a f x f e e -⎛⎫== ⎪⎝⎭1a e e e -≤≤11a -≤≤1,a e e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦()0f x '<()f x ,a e e -⎡⎤⎣⎦()0f x '>()f x ()()mina af x f e e --==-aee ->1a <-()0f x '<()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()min e f x f ea ==()min2,1,11,1a a a e f x e a ea a --⎧>⎪⎪=--≤≤⎨⎪<-⎪⎩P O x（1）设时，游客甲位于点，以为终边的角为；根据摩天轮转一周大约需要30min ，可知座舱转动的角速度约，由题意可得，．（2）如图，甲、乙两人的位置分别用点，表示，则．经过后甲距离地面的高度为，点相对于点始终落后，此时乙距离地面的高度为．则甲、乙距离地面的高度差，利用，可得，．当（或），即（或22.8）时，的最大值为．所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2m ．18．（17分）【详解】（1）首先，，故，设，则，，由，可知当时，，在区间上单调递增，故，满足；当时，由在区间上单调递增，且，，故存在，使得，且时，，单调递减，此时，，与题设矛盾．综上所述，实数的取值范围．0min t =()0,55P -OP π2-πrad min 15ππ55sin 65152H t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭030t ≤≤A B 2ππ4824AOB ∠==min t 1ππ55sin 65152H t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭B A πrad 242π13π55sin 651524H t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭12πππ13πππ13ππ55sin sin 55sin sin 15215241522415h H H t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=---=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=πππ110sinsin 481548h t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭030t ≤≤πππ15482t -=3π27.8t ≈h π110sin 7.248≈ππ122f a ⎛⎫=≤⎪⎝⎭2πa ≥()sin g x ax x =-0x ∀≥()0g x ≥()cos g x a x =-'1a ≥()0g x '≥()g x []0,+∞()()00g x g ≥=21πa ≤<()g x 'π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()010g a =-<'π02g a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭'0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00g x '=()00,x x ∈()0g x '<()g x ()()00g x g <=a [)1,+∞（2）由，可知，即故只要证设，，则，在区间上单调递增，即，，故原不等式成立．（3）一方面，由于，故可令，其中，，结合第（2）问的结论，，另一方面，()()()()()cos cos cos f f f f βαβααββαααα-<-⇔-<-π02αβ<<<cos cos βαββ>()()cos cos f f ββαβββ-<-()()cos cos f f βββααα-<-()()cos g x f x x x =-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()cos cos sin sin 0g x x x x x x x =--=>'()g x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭()()g g αβ<()()cos cos f f βββααα-<-01121201n a a a a a a a =<<+<<+++= 012π02n θθθθ=<<<<= 12sin i i a a a θ=+++ 1,2,,i n =1ni =1ni ==111sin sin cos ni i i i θθθ-=--=∑()()1110111cos πcos 2nni i i i i n i i i θθθθθθθθ---==--<=-=-=∑∑1ni =()()1011112nii i i i n a a a a a a a =-+≥++++++++∑1011121nii i i i na a a a a a a =-+=++++++++∑，综上可得，．19．（17分）【详解】（1），；（2）一方面，积有个，另一方面，积有个，故，当中所有元素互素时，等号成立．要使得时，最小，可令中所有元素互素，此时，，解得：，故的最小值为24；（3）考虑集合中所有元素变为原来的相反数时，集合不改变，不妨设中正数个数不少于负数个数．①当中元素均为非负数时，设，于是，，此时，集合中至少有，，，…，，，，…，这18个元素，即；②当中元素至少有一个为负数时，设是中全体元素，且，于是，．由是中的个元素，且非正数；又是中的7个元素，且为正数，故中元素不少于17个，即；另外，当时，满足，11ni i a ===∑1π12i n=≤<{}1,2,3,4,6,9,12,18,36X X ⊗=9X X ⊗=i i x x ⋅n ()i j i j x x x x ⋅≠()21C 2nn n -=()()1122n n n n X X n -+⊗≤+=X 300X X ⊗=X X ()13002n n +=24n =X X X X ⊗X X 12110x x x ≤<<< 1223242113111011x x x x x x x x x x x x <<<<<<< X X ⊗12x x 23x x 24x x 211x x 311x x 411x x 1011x x 18X X ⊗≥X 11120l l k z z z y y y -<<<<<<< …X ()11k l k l +=≥6k ≥1112123k k k l k z y z y z y z y z y z y >>>>>>> X X ⊗110k l +-=23242526364656y y y y y y y y y y y y y y <<<<<<X X ⊗X X ⊗17X X ⊗≥{}2340,1,2,2,2,2X =±±±±±{}23456780,1,2,2,2,2,2,2,2,2X X ⊗=-±±±±±±±-17X X ⊗=故．17X X ⊗≥。

安徽省合肥一中2009届高三教学质量检测(二)数学（理科）试题命题人：高三备课组本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第I 卷1至2页。

第Ⅱ卷3至6页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合{}2,3,5A =的真子集的个数为 （ ）A ．8B ．7C ．16D ．15 2．复数(1)i i -（其中i 为虚数单位）的实部等于 （ ）A ．－iB ．1C ．－1D ．0 3．设条件p ：x x =||；条件q ：20x x +≥，那么p 是q 的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分且必要条件D ．非充分非必要条件 4．方程03241＝--+x x的解是（ ）A ．0或2log 3B ．2log 3C ．3log 2D ．3log 2或15．已知点)0,22(Q 及抛物线24x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ． 6．下列命题中正确的是 （ ）A ．若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面B ．经过两条异面直线外一点，有且只有一个平面平行于这两条异面直线C ．如果两条平行线中有一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面D ．经过已知平面的一条斜线且垂直于已知平面的平面有且只有一个 7．函数sin 2cos 236y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期和最大值分别为（ ） A ．,1π B ．π C ．2,1π D ．2π8．下列表述正确的是（ ） ①归纳推理是由部分到整体的推理； ②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理； ④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。

A ．①②③B ．②③④C ．②④⑤D ．①③⑤ 9．函数2log cos y x x ππ⎛⎫=-<< 的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．10．右图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示， 则该几何体的体积为（ ） A ．632π+B ．π432+C ． 633π+ D ．3433π+11．在等差数列{}n a 中，有()()35710133248a a a a a ++++=，则此数列的前13项之和为（ ）A ．24B ．39C ．52D ．10412．已知圆C 的方程为224210x y x y +---=，且圆C 内有一点()1,1A ，则过点A 的弦长的取值范围是（ ）A ．[]4,6B ．[]62,52 C．⎡⎤⎣⎦ D．⎡⎤⎣⎦13．若变量,x y 满足24025000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则32z x y =+的最大值是_______________。

2023-2024学年安徽省合肥市第一中学高三上学期第二次教学质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z满足为虚数单位，则()A.3B.C.5D.2.已知集合R，，若，则实数a的取值范围为A.RB.C.D.3.已知角的终边过点，则()A. B. C. D.4.在正项等比数列中，若，，则()A.1B.2C.3D.5.陀螺又称陀罗，是中国民间最早的娱乐健身玩具之一，在山西夏县新石器时代的遗址中就发现了石制的陀螺．如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱的组合体，其中圆柱的底面半径为2，圆锥与圆柱的高均为2，若该陀螺是由一个球形材料削去多余部分制成，则该球形材料的体积的最小值为()A. B. C. D.6.2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有()A.1120B.7200C.8640D.144007.已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为，，P是C上一动点，若点P到焦点的最大距离为，则的取值范围为()A. B. C. D.8.已知数列的前n项和为，且，若，则()A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知数列的前n项和为，，，若N，是常数，则()A.数列是等比数列B.数列是等比数列C. D.10.已知函数是偶函数，其图象的两个相邻对称轴间的距离为，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则()A. B.在上单调递增C.函数的图象关于点对称D.函数的图象在处取得极大值11.在直角坐标系xOy中，抛物线C：的准线方程为，过C的焦点F作直线PQ交C于，两点，则()A. B.C.可能是直角三角形D.以FP为直径的圆与y轴相切12.在四面体ABCD中，，点D关于直线AC的对称点为，则() A.B.的最大值为C.若BD与平面ABC夹角的正切值为，则D.四面体ABCD体积的最大值为1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019届合肥二模数学试题-理科(含答案)合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学试题(理科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设复数z满足z = (4i)/(1+i)，则z在复平面内的对应点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若集合A={(x+2)/x | x≤0}，B={x-1<x<2}，则AB=A.[-2，2)B.(-1，1]C.(-1，1)D.(-1，2)3.已知双曲线(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=2x，且经过点P(6，4)，则双曲线的方程是A。

x^2/4-y^2/16=1 B。

x^2/16-y^2/4=1 C。

x^2/9-y^2/25=1 D。

y^2/9-x^2/25=14.在△ABC中，BD=DC，则AD=A。

AB+AC/2 B。

AB+AC C。

AB+AC/3 D。

AB-AC5.下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：营业收入占比净利润占比空调类 90.10% 95.80%冰箱类 4.98% -0.48%小家电类 3.82% 3.82%其它类 1.10% 0.86%则下列判断中不正确的是A.该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B.该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C.该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D.剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低6.将函数f(x)=2sin(x+π/26)-1的图象上各点横坐标缩短到原来的1/6(纵坐标不变)得到函数g(x)，则下列说法正确的是A.函数g(x)的图象关于点(-π/26,0)对称B.函数g(x)的周期是2π/13C.函数g(x)在(-π/26,π/26)上单调递增D.函数g(x)在(-π/26,π/26)上最大值是17.已知椭圆(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b)的左右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2B//AP，则该椭圆离心率是A。

(考试时间： 120 分钟总分值： 150 分 )第一卷一、选择题：本大题共 12 小题，每题5 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .1. 设复数 z 知足 z4i，那么 z 在复平面内的对应点位于1 iA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D.第四象限2. 假定会合 Ax 2 0 ， B x 1 x 2，那么AI Bx 1xA. 2，2B. 1，1C.(-1 ， 1)D.(-1 ， 2)3．双曲线x 2y 21( a0，b0 ) 的一条渐近线方程为y2x ，且经过点 P (6 ，4) ，那么a 2b 2双曲线的方程是A. x 2y 2 1 B.x 2 y 2 1C.x 2 y 2 1D.x 2 y 214 323 42844. 在uuur 1 uuuruuurABC 中， BD 2 DC ，那么AD2 uuur 1 uuur1 uuur2 uuur1 uuur2 uuurA.1 uuur 3 uuurB. C.D.4 AB AC 3 AB 3 ACAB AC AB AC43 3 3 3 5. 下表是某电器销售企业 2021 年度各种电器营业收入占比和净收益占比统计表：空调类冰箱类小家电类其余类营业收入占比 %%% %净收益占比 % %%%那么以下判断中不正确 的是．．．A. 该企业 2021 年度冰箱类电器销售损失B. 该企业 2021 年度小家电类电器营业收入和净收益同样C. 该企业 2021 年度净收益主要由空调类电器销售供给D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该企业 2021 年度空调类电器销售净收益占比将会降低6. 将函数 fx2sin x1 的图象上各点横坐标缩短到本来的 1( 纵坐标不变 ) 获得函数62g x 的图象，那么以下说法正确的选项是A. 函数 g x 的图象对于点，0 对称 B. 函数 gx 的周期是122C. 函数 g x 在 0， 上单一递加D. 函数 g x 在 0，上最大值是 1 6 62 27. 椭圆 xy 1( a b 0 ) 的左右焦点分别为 F 1，F 2 ，右极点为 A ，上极点为 B ，以线段a 2b 2F 1 A 为直径的圆交线段 F 1 B 的延伸线于点 P ，假定 F 2B // AP ，那么该椭圆离心率是 A. 3 B. 2 C. 3 D. 23 3 2 28. 某队伍在一次军演中要先后履行六项不一样的任务，要求是：任务 A 一定排在前三项履行，且履行任务 A 以后需立刻履行任务 E ，任务 B 、任务 C 不可以相邻，那么不一样的履行方案共有种 种 种 种9. 函数 f xx 2xsin x 的图象大概为10. 如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，那么该多面体各表面所在平面相互 垂直的有对对对对11. “垛积术〞 ( 隙积术 ) 是由北宋科学家沈括在 ?梦溪笔谈? 中开创，南宋数学家杨辉、元朝数学家朱世杰丰富和展开的一类数列乞降方法， 有茭草垛、 方垛、 刍童垛、 三角垛等等 . 某库房中局部货物堆放成以下列图的“茭草垛〞：自上而下，第一层1 件，此后每一层比上一层多 1 件，最后一层是 n 件．第一层货物单价1 万元，从第二层起， 货物的单价是上一层单价的9．假定这堆货物总价n109是 100 200万元，那么 n 的值为10.8 C12. 函数 f xe xe 1 xb 2x1 在 (0 ， 1) 内有两个零点，那么实数 b 的取值范围是，1e U e 1， e B. 1 e ，0 U 0，e 1C. 1 e ，0 U 0， e 1D.1 e ， e U e ，e 1第二卷本卷包含必考题和选考题两局部.第 13题—第 21 题为必考题， 每个试题考生都一定作答 . 第 22题、第 23 题为选考题，考生依据要求作答.二、填空题：本大题共 4 小题，每题5 分 . 把答案填在答题卡上的相应地点.13. 设等差数列 n 的前 n 项和为 n 2 4 a n的公差 d __________.a S ，假定 a 3 ， S 16， 那么数列 14. 假定 sin1，那么cos2cos_____________.2315. 假定 a b 0，那么a 2b 2a1 2 的最小值为 _________.b16. 半径为4 的球面上有两点 A ，B ， AB 4 2 ，球心为 O ，假定球面上的动点 C 知足二面角C AB O 的大小为 60o ，那么四周体 OABC 的外接球的半径为____________.三、解答题：解允许写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.( 本小题总分值 12 分 )在 ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ， sin 2 A sin 2 B sin Asin B 2c sinC ， ABC 的面积 Sabc .(Ⅰ)求角 C ； ( Ⅱ) 求 ABC 周长的取值范围 .18.(本小题总分值12 分 )如图，三棱台ABC EFG 的底面是正三角形，平面ABC平面 BCGF ， CB2GF， BF CF .( Ⅰ) 求证：AB CG ；( Ⅱ) 假定 BC CF ，求直线AE与平面 BEG 所成角的正弦值.19.( 本小题总分值 12 分 )某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买 2 台机器的客户，推出两种超出质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：缴纳延保金7000 元，在延保的两年内可免费维修 2 次，超出 2次每次收取维修费2000元；方案二：缴纳延保金10000 元，在延保的两年内可免费维修 4 次，超出 4次每次收取维修费1000元 .某医院准备一次性购买 2 台这类机器。

2025届安徽省合肥市区属中学高三第二次阶段性素质测试数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量(,1)a m =，(1,2)b =-，若(2)a b b -⊥，则a 与b 夹角的余弦值为（ ） A ．21313-B ．21313C ．61365-D ．613652．已知三棱锥P ﹣ABC 的顶点都在球O 的球面上，PA 2=，PB 14=，AB ＝4，CA ＝CB 10=，面PAB ⊥面ABC ，则球O 的表面积为（ ） A ．103πB ．256πC ．409πD ．503π3．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ） A ．B ．C ．D ．4．设双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线与抛物线213y x =+有且只有一个公共点，且椭圆22221x y a b +=的焦距为2，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22143x y -= B ．22143y x -=C ．22123x y -=D ．22132y x -=5．二项式732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，1x 项的系数为（ ）A ．94516-B ．18932-C ．2164-D ．283586．设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（ ） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =-D ．221y x =-7．公比为2的等比数列{}n a 中存在两项m a ，n a ，满足2132m n a a a =，则14m n+的最小值为（ ） A ．97B ．53C ．43D ．13108．已知函数()sinx12sinxf x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）①绕着x 轴上一点旋转180︒; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. A ．①③B ．③④C ．②③D ．②④9．已知a ，b ，c 分别是ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos 3sin a C c A b c +=+，则A =（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 10．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( ) A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度 11．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙12．如图网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱中最长棱的长度为（ ）A ．2B ．22C ．23D ．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

⎨PO ⊥ AD合肥市2021 年高三第二次教学质量检测数学试题(理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分.二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分.(13) 1(14)10 (15)4 (16)2 或 72三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)( 本 小 题 满 分 12 分 ) (Ⅰ)设数列{a n } 的公比为q .由4S 5 = 3S 4 + S 6 ，得S 6 - S 5 = 3S 5 - 3S 4 ，即a 6 = 3a 5 ，∴q = 3 ，……………3 分 n -3n -1∴a n = 9 ⋅ 3 = 3 . ……………5 分 (Ⅱ) b = (2n -1)⋅ a = (2n -1)⋅ 3n -1， ……………6 分nn12n -1∴T n = 1⋅ 3 + 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 3 + … + (2n -1) ⋅ 3 ， ……………8 分 3T = 1⋅ 31 + 3⋅ 32 + … + (2n - 3)⋅ 3n -1 + (2n -1)⋅ 3n，n∴-2T n = 1+ 2 ⋅ 31 + 2 ⋅ 32 +… + 2 ⋅ 3n -1 - (2n -1)⋅ 3n = -2 + (2 - 2n )⋅ 3n ， ∴T n = (n -1)⋅ 3n + 1 . ……………12 分(18)( 本 小 题 满 分 12 分 ) (Ⅰ)该市此次检测理科数学平均成绩约为:= 103.2 ≈ 103 . ………………5 分(Ⅱ)①记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为x 1 ，根据题意得， P (x > x ) = 1 - Φ⎛ x 1 - μ0 ⎫ = 1 - Φ⎛ x 1 -103 ⎫= 0.46 ，即Φ ⎛ x 1 -103 ⎫= 0.54 .1ο ⎪ 19.3 ⎪ 19.3 ⎪ ⎝ ⎭ 由Φ(0.7054) = 0.54 得， x 1 -103= 0.7054 ⇒ x ⎝ ⎭⎝ ⎭= 116.6 ≈ 117 ，19.3 1所以，本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为117 分. ………………8 分 ② P (x > 107) = 1 - Φ ⎛ 107 -103 ⎫= 1- Φ (0.2072) ≈ 1 - 0.5832 = 0.4168 ，19.3⎪⎝⎭所以，理科数学成绩为107 分，大约排在10000 ⨯ 0.4168 = 4168 名. ………………12 分(19)(本小题满分12 分)(Ⅰ)由条件可知， Rt ∆ADC ≌ Rt ∆BAO ，∴∠DAC = ∠ABO ， ∴∠DAC + ∠AOB = ∠ABO + ∠AOB = 90○ ，∴ AC ⊥ BO . ∵ PA = PD ，且O 为AD 中点，∴ PO ⊥ AD .⎧平面PAD ⊥ 平面ABCD ⎪平面PAD † 平面ABCD = AD ∵⎪⎪ ⎪⎩PO ⊂ 平面PAD，∴ PO ⊥ 平面ABCD .又∵ AC ⊂ 平面ABCD ，∴ AC ⊥ PO . 又∵ BO † PO = O ，∴ AC ⊥ 平面POB .∵ AC ⊂ 平 面 PAC ，∴ 平 面 POB ⊥ 平 面 PAC . ……………5 分105 .⎧ ⎪ += += ⎪ 41 ⎨ 1 2122(Ⅱ)以O 为空间坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 P (0，0，2)， A (1，0，0)， D (-1，0，0)，C (-1，1，0)，. . . . PA = (1，0，- 2) ，AC = (-2，1，0) ，PD = (-1，0，- 2) ，CD = (0，-1，0) .设n 1 = (x ，y ，z ) 为平面PAC 的一个法向量，. . 由 ⎪n 1 ⋅ PA = 0 得⎧x - 2z = 0 ⎧z = ，解得 1 x . ⎨. . ⎨-2x + y = 0 ⎨ 2 ⎪⎩n 1 ⋅ AC = 0 ⎩ .⎪⎩ y = 2x 令x = 2 ，则n 1 = (2，4，1)..同理可得，平面PDC 的一个法向量n 2 = (-2，0，1) ，. . n 1 ⋅ n 23∴二面角A - PC - D 的平面角0 的余弦值cos 0 = . . = = .………………12 分(20)(本小题满分12 分)n 1 n 2105 35 (Ⅰ)如图，设以线段AB 为直径的圆的圆心为C ，取A ' (-1，0).依题意，圆C 内切于圆O .设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线. ∵O 为AA ' 的中点，C 为AB 中点，∴ A 'B = 2OC .∴ BA ' + BA = 2OC + 2 AC = 2OC + 2CD = 2OD = 4 > 依椭圆的定义可知，动点B 的轨迹为椭圆，其中： BA ' + BA = 2a = 4， AA ' = 2c = 2 ，∴a = 2，c = 1 ，∴b 2 = a 2 - c 2 = 3 ， AA ' = 2 . 2 ∴动点B 的轨迹方程为 x y 1 . ………………5 分4 32 (Ⅱ)当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x = 2 ，此时直线l 与椭圆 x y 1 相切，与题意不符.43当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y + 1 = k (x - 2) .⎧ y +1 = k (x - 2) ⎪ 2 2 2 2 由⎨ x 2 + y 2 = ⎩ 3得(4k + 3)x - (16k ⎧ + 8k )x + 16k16k 2 + 8k + 16k - 8 = 0 .⎪x 1 + x 2 =⎪4k 2 + 3 设M (x ，y )，N (x ，y ) ，则⎪x x = 16k 2 + 16k - 8 ，⎪ 4k + 3 ∆ > 0 ⇒ k < 1⎪ ⎩∴k + k = y 1 + y 2 = k (x 1 - 2) -1 + k (x 2 - 2) -1 = 2k - ⎛ 1 + 1 ⎫PM PN x - 2 x - 2 x - 2 x - 2x - 2 x - 2 ⎪ 1 2 1 2⎝ 1 2 ⎭ = 2k - x 1 + x 2 - 4 (x 1 - 2)( x 2 - 2) = 2k -x 1 + x 2 - 4x 1 x 2 - 2 (x 1 + x 2 ) + 4 ⎛ 16k 2+ 8k ⎫ -4k 2 + 3 ⎪ 4= 2k - ⎝ ⎭ = 2k + 3 - 2k = 3 . …………………12 分16k 2 +16k - 8 - ⎛ 16k 2 + 8k ⎫4k 2+ 3 24k 2 + 3 ⎪ + 4⎝ ⎭(21) 本小题满分12 分)2 1 2(Ⅰ)∵f'(x)=xe x -2ax=x(e x -2a).3 ⎨ ⎨ 1 2 当a ≤ 0 时， f (x ) 在(-∞，0) 上单调递减，在(0，+∞) 上单调递增，∴ f (x ) 有1 个极值点； 当0 < a < 1时， f (x ) 在(-∞，ln 2a ) 上单调递增，在(ln 2a ，0) 上单调递减，在(0，+∞) 上单调递增，2 ∴ f (x ) 有2 个极值点；当a = 1时， f (x ) 在R 上单调递增，此时 f (x ) 没有极值点；2当a > 1 时， f (x ) 在(-∞，0) 上单调递增，在(0，ln 2a ) 上单调递减，在(ln 2a ，+∞) 上单调递增，∴2f (x ) 有2 个极值点；∴当a ≤ 0 时， f (x ) 有1 个极值点；当a > 0 且a ≠ 1 时， f (x ) 有2 个极值点；当a = 1时， f (x ) 没22有 极 值 点 . …………………6 分(Ⅱ) 由 f (x ) + e x ≥ x 3 + x 得 xe x - x 3 - ax 2 - x ≥ 0 .e x - x 2 -1当x > 0 时，e x- x 2- ax -1 ≥ 0 ，即a ≤对∀x > 0 恒成立. x e x - x 2 -1(x -1)(e x- x -1)设g (x ) =，则g '(x ) =.x x 2设h (x ) = e x - x -1 ，则h '(x ) = e x -1 .∵ x > 0 ，∴h '(x ) > 0 ， ∴h (x ) 在(0，+∞) 上单调递增， ∴h (x ) > h (0) = 0 ，即e x > x + 1，∴ g (x ) 在(0，1) 单调递减，在(1，+ ∞) 上单调递增， ∴ g (x ) ≥ g (1) = e - 2 ，∴a ≤ e - 2 . 当x = 0 时，不等式恒成立，a ∈ R ； 当x < 0 时，e x - x 2 - ax -1 ≤ 0 .设h (x ) = e x - x 2 - ax -1 ，则h '(x ) = e x - 2x - a . 设ϕ (x ) = e x - 2x - a ，则ϕ' (x ) = e x - 2 < 0 ， ∴h '(x ) 在(-∞，0) 上单调递减，∴h '(x ) ≥ h '(0) = 1 - a .若a ≤ 1 ，则h '(x ) ≥ 0 ，∴h (x ) 在(-∞，0) 上单调递增，∴h (x ) < h (0) = 0 . 若a > 1 ，∵h '(0) = 1- a < 0 ，∴∃x 0 < 0 ，使得x ∈ (x 0，0) 时，h '(x ) < 0 ，即h (x ) 在(x 0，0) 上单调递减，∴h (x ) > h (0) = 0 ，舍去. ∴a ≤ 1 .综 上 可 得 ，a 的 取 值 范 围 是 (-∞，e - 2] . ………………12 分(22)(本小题满分10 分)选修4-4：坐标系与参数方程(Ⅰ)∵2a sin 0 - θ cos 2 0 = 0 ，∴2a θ sin 0 - θ 2 cos 2 0 = 0 ，即x 2 = 2ay ( a > 0 ). …………5 分⎧ 1⎧∆ = (-4 3a )2 - 4 ⨯ 8a > 0，① x = t (Ⅱ)将⎪ 2 ⎪⎪ 代入x 2 = 2ay ，得t 2- 4 3at + 8a = 0 ，得⎪ t + t = 4 3a ， .⎪⎩ y = -1 + t⎪ t t = 8a . 2∵a > 0 ，∴解①得a > 2.3⎪ 1 2 ⎩∵ PM ，MN ，PN 成等比数列，∴ MN 2 = PM ⋅ PN ，即 t - t 2= tt ，1 2 1 2∴(t + t )2- 4t t = t t ，即(4 3a )2 - 40a = 0 ，解得a = 0 或a = 5 .1 2 1 2 1 2 6∵a > 2 ，∴a = 5…………10 分36(23)(本小题满分10 分)选修4-5：不等式选讲(Ⅰ)由题意得⎧⎪9 + m ≥ 0①， ⎨ 3x + m ≤ 9 + m ②⎪⎩.解①得，m ≥ -9 .②可化为-9 - m ≤ 3x + m ≤ 9 + m ，∴-9 - 2m ≤ x ≤ 3 .3∵不等式 f (x ) ≤ 9 的解集为[-1，3] ，∴ -9 - 2m= -1 ，解得m = -3 ，满足m ≥ -9 .3∴m = -3 …………………5 分(II)依题意得， g (x ) = 3x + m - 2 x -1 .⎧ -x - m - 2 ⎛ x ≤- m ⎫，⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎝ ⎭ 又∵m > 0 ，∴ g (x ) = ⎪5x + m - 2⎛ - m < x < 1⎫，⎨ 3 ⎪⎪⎪ x + m + 2 ⎪ ⎩ ⎝ ⎭ (x ≥ 1). g (x ) 的图象与x 轴围成的∆ABC 的三个顶点的坐标为A (-m - 2，0) ，B ⎛ 2 - m ，0⎫ ，C ⎛ - m，- 2m - 2⎫ ，5 ⎪ 3 3 ⎪ 14(m + 3)2⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ∴ S ∆ABC = 2 AB ⋅ y C = 15> 60 ， 解 得 m > 12 . ………………10 分。