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第十五讲综合题选讲小学数学竞赛综合题，主要包括以下几个方面：①逻辑关系较复杂的问题；②数与形相结合的问题；③较复杂的应用题；④较灵活的组合、搭配问题；⑤与“最多”、“最少”有关的问题。

解答小学数学竞赛的综合题，首先要能熟练、正确解答有关的基本题，同时要认真读题，准确理解题意，在分析题目条件，设计解题程序上下功夫。

例1 一个正方体的八个顶点处分别标上1、2、3、4、5、6、7、8.再把各棱两端上所标的二数之和写在这条棱的中点，问：在棱的中点最少能标出几种数值？分析对于1、2、3、4、5、6、7、8这些数中两两之和，有下列情形：有4种形成9的和：1+8=2+7=3+6=4+5；有3种形成8的和：1+7=2+6=3+5；有3种形成10的和：2+8=3+7=4+6；有3种形成7的和：1+6=2+5=3+4；有3种形成11的和：3+8=4+7=5+6；有2种形成6的和：1+5=2+4；有2种形成5的和：1+4=2+3；有2种形成12的和：4+8=5+7；有2种形成13的和：5+8=6+7；此外还有1+2=3，1+3=4，6+8=14，7+8=15各一种。

首先指出棱的中点处不可能仅出现3种数，理由是：3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15中的数，如果只用其中3个数（标在棱的中点处），那么这三个数不能写成共12种不同形式的（取自于1、2、…、8之中的两数）和，而正方体棱数有12个。

再说明，棱的中点处不可能只标有4种不同数值，为证明这一点，可以分下列情况说明。

如果在12条棱上有3个“7”、3个“8”、3个“10”、3个“11”，那么在正方体顶点处要出现4次“6”进行运算.这是不可能.因为每个顶点处的数只参加3次加法运算。

如果在12条棱上有3个“9”，此外，必定还有7、8、10、11中的某三个数字（各三次），那么棱上数之和只能是（9+7+8+10）×3=102，（9+8+10+11）×3=114，（9+7+10+11）×3=111，（9+7+8+11）×3=105。

第十五讲综合题选讲与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。

金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。

”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。

清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。

可见，“教师”一说是比较晚的事了。

如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。

辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。

小学数学竞赛综合题，主要包括以下几个方面：一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。

这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。

《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。

这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。

①逻辑关系较复杂的问题；课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是，但学生写作文运用到文章中的甚少，即使运用也很难做到恰如其分。

为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。

要解决这个问题，方法很简单，每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。

可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换，可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解，也可让学生个人搜集，每天往笔记本上抄写，教师定期检查等等。

这样，一年就可记300多条成语、300多则名言警句，日积月累，终究会成为一笔不小的财富。

这些成语典故“贮藏”在学生脑中，自然会出口成章，写作时便会随心所欲地“提取”出来，使文章增色添辉。

②数与形相结合的问题；③较复杂的应用题；④较灵活的组合、搭配问题；⑤与“最多”、“最少”有关的问题。

解答小学数学竞赛的综合题，首先要能熟练、正确解答有关的基本题，同时要认真读题，准确理解题意，在分析题目条件，设计解题程序上下功夫。

本系列共15讲第十五讲综合题选讲.文档贡献者：与你的缘小学数学竞赛综合题，主要包括以下几个方面：1．逻辑关系较复杂的问题；2．数与形相结合的问题；3．较复杂的应用题；4．较灵活的组合、搭配问题；5．与“最多”、“最少”有关的问题。

解答小学数学竞赛的综合题，首先要能熟练、正确解答有关的基本题，同时要认真读题，准确理解题意，在分析题目条件下，设计解题程序上下功夫。

例1：一个正方体的八个顶点处分别标上1、2、3、4、5、6、7、8，再把各棱两端上所标的二数之和写在这条棱的中点，问：在棱的中点最少能标出几种数值？分析对于1、2、3、4、5、6、7、8这些数中两两之和，有下列情形：有4种形成9的和：1＋8=2＋7=3＋6=4＋5；有3种形成8的和：1＋7=2＋6=3＋5；有3种形成10的和：2＋8=3＋7=4＋6；有3种形成7的和：1＋6=2＋5=3＋4；有3种形成11的和：3＋8=4＋7=5＋6；有2种形成6的和：1＋5=2＋4；有2种形成5的和：1＋4=2＋3；有2种形成12的和：4＋8=5＋7；有2种形成13的和：5＋8=6＋7。

此外还有1＋2=3，1＋3=4，6＋8=14，7＋8=15各一种。

首先指出棱的中点处不可能仅出现3种数，理由是：3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15中的数，如果只用其中3个数（标在棱的中点处），那么这三个数不能写成共12种不同形式的（取自1、2、3、…、8之中的两数）和，而正方体棱数有12个。

再说明，棱的中点处不可能有4种不同数值，为证明这一点，可以分下列情况说明。

如果在12条棱上有3个“7”、3个“8”、3个“10”、3个“11”，那么在正方体顶点处要出现4次“6”进行运算，这是不可能的。

因为每个顶点处的数只参加3次加法运算。

如果在12条棱上有3个“9”，此外，必定还有7、8、10、11中的某三个数字（各三次），那么棱上数之和只能是：（9＋7＋8＋10）×3=102（9＋8＋10＋11）×3=114（9＋7＋10＋11）×3=111（9＋7＋8＋11）×3=105它们都与棱上所有数之和应当是（1＋2＋3＋…＋8）×3=108矛盾，这说明棱上的数不可能是3个“9”以及7、8、10、11中某3个各出现3次。

第十五讲综合题选讲小学数学竞赛综合题，主要包括以下几个方面：①逻辑关系较复杂的问题；②数与形相结合的问题；③较复杂的应用题；④较灵活的组合、搭配问题；⑤与“最多”、“最少”有关的问题。

解答小学数学竞赛的综合题，首先要能熟练、正确解答有关的基本题，同时要认真读题，准确理解题意，在分析题目条件，设计解题程序上下功夫。

例1 一个正方体的八个顶点处分别标上1、2、3、4、5、6、7、8.再把各棱两端上所标的二数之和写在这条棱的中点，问：在棱的中点最少能标出几种数值？分析对于1、2、3、4、5、6、7、8 这些数中两两之和，有下列情形：有 4 种形成9 的和：1+8=2+7=3+6=4+5；有 3 种形成8 的和：1+7=2+6=3+5；有 3 种形成10 的和：2+8=3+7=4+6；有 3 种形成7 的和：1+6=2+5=3+4；有 3 种形成11 的和：3+8=4+7=5+6；有 2 种形成 6 的和：1+5=2+4；有 2 种形成 5 的和：1+4=2+3；有 2 种形成12 的和：4+8=5+7；有 2 种形成13 的和：5+8=6+7；此外还有1+2=3，1+3=4，6+8=14，7+8=15 各一种。

首先指出棱的中点处不可能仅出现3种数，理由是：3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15 中的数，如果只用其中3 个数（标在棱的中点处)，那么这三个数不能写成共12种不同形式的(取自于1、2、…、8 之中的两数)和，而正方体棱数有12 个。

再说明，棱的中点处不可能只标有4种不同数值，为证明这一点，可以分下列情况说明。

如果在12 条棱上有3个“7”、3个“8”、3个“10”、3个“11”，那么在正方体顶点处要出现4次“6”进行运算.这是不可能.因为每个顶点处的数只参加 3 次加法运算。

如果在12 条棱上有3个“9”，此外，必定还有7、8、10、11 中的某三个数字(各三次)，那么棱上数之和只能是(9+7+8+1C JX 3=102,(9+8+10+11)X 3=114,(9+7+10+11)X 3=111,( 9+7+8+11)X 3=105。

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解答小学数学竞赛的综合题，首先要能熟练、正确解答有关的基本题，同时要认真读题，准确理解题意，在分析题目条件，设计解题程序上下功夫。

例1 一个正方体的八个顶点处分别标上1、2、3、4、5、6、7、8.再把各棱两端上所标的二数之和写在这条棱的中点，问：在棱的中点最少能标出几种数值？分析对于1、2、3、4、5、6、7、8这些数中两两之和，有下列情形：有4种形成9的和：1+8=2+7=3+6=4+5；有3种形成8的和：1+7=2+6=3+5；有3种形成10的和：2+8=3+7=4+6；有3种形成7的和：1+6=2+5=3+4；有3种形成11的和：3+8=4+7=5+6；有2种形成6的和：1+5=2+4；有2种形成5的和：1+4=2+3；有2种形成12的和：4+8=5+7；有2种形成13的和：5+8=6+7；此外还有1+2=3，1+3=4，6+8=14，7+8=15各一种。

例2 一组互不相同的自然数，其中最小的是1，最大的是25，除去1之外，这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于另外两个数之和.在满足要求的所有可能的数组中，寻找出使得组内各数之和最大及最小的数组，并求这组数之和的最大值、最小值。

分析很自然猜想并容易验证数组1，2，3，…，24，25符合题目要求，显然这个数组的和是最大的，这个最大的和是1+2+3+…+24+25=325。

困难在于搜寻最小的数组。

把数组中的数由小到大排起来，容易看出：1后边的数一定是2；2后边可以是3，也可以是4；3后边可能是4、5、6；4后边可能是5、6、8.把它们列出来就是1，2，3，4， (25)1，2，3，5， (25)1，2，3，6， (25)1，2，4，5， (25)1，2，4，6， (25)1，2，4，8， (25)25是奇数，它只能是另外两个数之和，容易验证在上述数列的“…”处不能只加入一个数，也就是说，在上述六种数列的每个“…”中，至少要再加入两个数.而且，还推知后加入的数中至少有两个数，这两个数的和不小于25.理由是，如果后加入的任意两个数之和都小于25，那么就不可能得到最后的25这个数。

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解答小学数学竞赛的综合题，首先要能熟练、正确解答有关的基本题，同时要认真读题，准确理解题意，在分析题目条件，设计解题程序上下功夫。

例1 一个正方体的八个顶点处分别标上1、2、3、4、5、6、7、8.再把各棱两端上所标的二数之和写在这条棱的中点，问：在棱的中点最少能标出几种数值？分析对于1、2、3、4、5、6、7、8这些数中两两之和，有下列情形：有4种形成9的和：1+8=2+7=3+6=4+5；有3种形成8的和：1+7=2+6=3+5；有3种形成10的和：2+8=3+7=4+6；有3种形成7的和：1+6=2+5=3+4；有3种形成11的和：3+8=4+7=5+6；有2种形成6的和：1+5=2+4；有2种形成5的和：1+4=2+3；有2种形成12的和：4+8=5+7；有2种形成13的和：5+8=6+7；此外还有1+2=3，1+3=4，6+8=14，7+8=15各一种。

首先指出棱的中点处不可能仅出现3种数，理由是：3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15中的数，如果只用其中3个数（标在棱的中点处），那么这三个数不能写成共12种不同形式的（取自于1、2、…、8之中的两数）和，而正方体棱数有12个。

再说明，棱的中点处不可能只标有4种不同数值，为证明这一点，可以分下列情况说明。

如果在12条棱上有3个“7”、3个“8”、3个“10”、3个“11”，那么在正方体顶点处要出现4次“6”进行运算.这是不可能.因为每个顶点处的数只参加3次加法运算。

如果在12条棱上有3个“9”，此外，必定还有7、8、10、11中的某三个数字（各三次），那么棱上数之和只能是（9+7+8+10）×3=102，（9+8+10+11）×3=114，（9+7+10+11）×3=111，（9+7+8+11）×3=105。

第十五讲综合题选讲小学数学竞赛综合题，主要包括以下几个方面：1．逻辑关系较复杂的问题；2．数与形相结合的问题；3．较复杂的应用题；4．较灵活的组合、搭配问题；5．与“最多”、“最少”有关的问题。

解答小学数学竞赛的综合题，首先要能熟练、正确解答有关的基本题，同时要认真读题，准确理解题意，在分析题目条件下，设计解题程序上下功夫。

例1：一个正方体的八个顶点处分别标上1、2、3、4、5、6、7、8，再把各棱两端上所标的二数之和写在这条棱的中点，问：在棱的中点最少能标出几种数值？分析对于1、2、3、4、5、6、7、8这些数中两两之和，有下列情形：有4种形成9的和：1＋8=2＋7=3＋6=4＋5；有3种形成8的和：1＋7=2＋6=3＋5；有3种形成10的和：2＋8=3＋7=4＋6；有3种形成7的和：1＋6=2＋5=3＋4；有3种形成11的和：3＋8=4＋7=5＋6；有2种形成6的和：1＋5=2＋4；有2种形成5的和：1＋4=2＋3；有2种形成12的和：4＋8=5＋7；有2种形成13的和：5＋8=6＋7。

此外还有1＋2=3，1＋3=4，6＋8=14，7＋8=15各一种。

首先指出棱的中点处不可能仅出现3种数，理由是：3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15中的数，如果只用其中3个数（标在棱的中点处），那么这三个数不能写成共12种不同形式的（取自1、2、3、…、8之中的两数）和，而正方体棱数有12个。

再说明，棱的中点处不可能有4种不同数值，为证明这一点，可以分下列情况说明。

如果在12条棱上有3个“7”、3个“8”、3个“10”、3个“11”，那么在正方体顶点处要出现4次“6”进行运算，这是不可能的。

因为每个顶点处的数只参加3次加法运算。

如果在12条棱上有3个“9”，此外，必定还有7、8、10、11中的某三个数字（各三次），那么棱上数之和只能是：（9＋7＋8＋10）×3=102（9＋8＋10＋11）×3=114（9＋7＋10＋11）×3=111（9＋7＋8＋11）×3=105它们都与棱上所有数之和应当是（1＋2＋3＋…＋8）×3=108矛盾，这说明棱上的数不可能是3个“9”以及7、8、10、11中某3个各出现3次。