10四年级下册数学试题-奥数专题练习：第十讲 数字综合题(含答案)全国通用

第十讲 行程（二）在今天这节课中，我们来研究行程问题中的相遇与追及问题．这一讲就是通过例题加深对行程问题三个基本数量关系的理解，使学生养成画图解决问题的好习惯！ 知识点：1、直线型的相遇与追及问题2、环形上的相遇与追及问题.分析：要求狗走的路程，速度已知，关键是求出狗所走的时间.经过认真审题，不难发现狗行走的时间与甲、乙二人的相遇时间是相等的.这就是一道行程问题应用题.甲、乙二人相遇时间为：50÷（3+2）=10（小时），狗的速度是5千米/时 ，所以，狗所走的路程一共是：5×10=50（千米）.1. 甲、乙二人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，问：二人几小时后相遇？分析：出发时甲、乙二人相距30千米，以后两人的距离每小时都缩短6＋4＝10（千米），即两人的速度的和（简称速度和），所以30千米里有几个10千米就是几小时相遇. 30÷（6＋4）＝30÷10＝3（小时）.2. 甲、乙二人都要从北京去天津，甲行驶10千米后乙才开始出发，甲每小时行驶15千米，乙每小时行驶10千米，问：乙经过多长时间能追上甲？你还记得吗教学目标想 挑 战 吗？苏步青教授是我国著名的数学家.有一次在外国，他在电车上碰到一位有名的德国数学家，这位德国数学家出了一道有趣的数学题让他做，这道题是：“两地相距50千米，甲、乙二人同时从两地出发相向而行.甲每小时走3千米，乙每小时走2千米．甲带着一只狗，狗每小时走5千米.这只狗同甲一起出发，碰到乙的时候它就掉转头来往甲这边走，碰到甲时又往乙这边走，直到两人碰头.问这只狗一共走了多少千米路？”苏步青略加思索，未等下电车就把正确答案告诉了这位德国数学家.同学们，你们也来试一试，会解吗？分析：出发时甲、乙二人相距10千米，以后两人的距离每小时都缩短15-10＝5（千米），即两人的速度的差（简称速度差），所以10千米里有几个5千米就是几小时能追上.10÷（15-10）＝10÷5＝2（小时）.在行程问题中涉及到两个或两个以上物体运动的问题，其中最常见的是相遇问题和追及问题.甲从A 地到B 地，乙从B 地到A 地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A,B 之间这段路程，如果两人同时出发，那么A,B 之间的路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间=（甲的速度+乙的速度）×相遇时间=速度和×相遇时间. 一般地，相遇问题的关系式为：速度和×相遇时间=路程和，即t v S 和和=有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：追及路程=甲走的路程-乙走的路程=甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间=（甲的速度-乙的速度）×追及时间=速度差×追及时间. 一般地，追击问题有这样的数量关系：追及路程=速度差×追及时间，即t v S 差差=（一） 直线型的相遇问题：【例1】 王老师从甲地到乙地，每小时步行5千米，张老师从乙地到甲地，每小时步行4千米.两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离.专题精讲分析：画一张示意图（可让学生先判断相遇点在中点哪一侧，为什么？）离中点1千米的地方是A点，从图上可以看出，王老师走了两地距离的一半多1千米，张老师走了两地距离的一半少1千米.从出发到相遇，王老师比张老师多走了2千米王老师比张老师每小时多走（5-4）千米，从出发到相遇所用的时间是2÷（5-4）＝2（小时）.因此，甲、乙两地的距离是（5＋ 4）×2＝18（千米）.[巩固]夏夏和冬冬同时从两地相向而行，两地相距1100米，夏夏每分钟行50米，冬冬每分钟行60米，问两人在距两地中点多远处相遇?分析：根据题意，两人相遇时经过的时间为：1100÷（50+60）=10分钟，10分钟夏夏走了50×10=500（米），两地的中点距离夏夏的出发地距离为：1100÷2=550，所以两人相遇处距离两地中点550-500=50米远.【例2】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离．分析：画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)：可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了95千米，当它们共行三个A、B 两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米，可得：95×3-25=285-25=260(千米)．[拓展]甲、乙两列火车同时从东西两镇之间的A地出发向东西两镇反向而行，它们分别到达东西两镇后，再以同样的速度返回，已知甲每小时行60千米，乙每小时行70千米，相遇时甲比乙少行120千米，东西两镇之间的路程是多少千米？分析：教师注意帮助学生画图分析.从出发到甲、乙两列火车相遇，两列火车共同行驶了2个全程.已知甲比乙少行120千米，甲每小时比乙少行（70—60 =）10千米，120÷10 = 12（小时），说明相遇时，两辆车共同行驶了12小时.那么两辆车共同行驶1个全程需要6小时，东西两镇之间的路程是（60 + 70）×6 = 780（千米）【例3】甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车的速度分别为每小时60千米和48千米，有一辆迎面开来的卡车分别在它们出发后的5小时.6小时，8小时先后与甲、乙、丙三辆车相遇，求丙车的速度.分析：甲车每小时比乙车快60-48＝12（千米）.则5小时后，甲比乙多走的路程为12×5＝60（千米）.也即在卡车与甲相遇时，卡车与乙的距离为60千米，又因为卡车与乙在卡车与甲相遇的6-5＝1小时后相遇，所以，可求出卡车的速度为60÷1-48＝12（千米/小时），卡车在与甲相遇后，再走8-5＝3（小时）才能与丙相遇，而此时丙已走了8个小时，因此，卡车3小时所走的路程与丙8小时所走的路程之和就等于甲5小时所走的路程.由此，丙的速度也可求得，应为：（60×5-12×3）÷8＝33（千米/小时）. 所以卡车的速度：（60-48）×5÷（6－5）－48＝12（千米/小时），丙车的速度：（60×5－12×3）÷8＝33（千米/小时），[拓展] 甲、乙、丙三人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米.甲从东村，乙、丙从西村同时出发相向而行，途中甲、乙相遇后3分钟又与丙相遇.求东西两村的距离.分析：先画示意图如下：3分钟甲（100米/分）甲、丙相遇甲、乙相遇乙（80米/分）丙（75米/分）东西甲、乙相遇后3分钟，甲、丙相遇.甲、丙在3分钟内共走路程是（100＋75）×3＝525（米）.显然，这就是甲、乙相遇时，乙比丙多走的路程，乙比丙每分钟多走80－75＝5（米）.所以，甲、乙相遇时离出发的时间是525÷（80－75）=105（分钟）.两村间的距离是：（100＋80）×[（100＋75）×3÷（80-75]＝180×（525÷5）＝18×105=18900（米）[趣味数学]皮皮和琪琪乘车从城里到郊区去，琪琪对皮皮说：“我发觉每隔5分钟就有1辆迎面开来的客车和我们擦肩而过，如果两面对来的客车速度一样，在1小时有多少辆客车开到城里？”“那还用说，当然是12辆了，因为60除以5等于12.”皮皮说.但是琪琪不同意他的解答，认为是6辆.你知道他们谁正确吗？分析：当然是琪琪正确.假设皮皮他们所乘的客车从与第一辆对开的客车相遇A点与到第二辆客车相遇B 点相隔5分钟，那么第二辆对开的客车要从B点达到A点好需要5分钟，也就是两辆对开的客车之间的时间间隔为10分钟，60÷10=6（辆）（二）直线型的追及问题【例4】军事演习中，“我”海军英雄舰追击“敌”军舰，追到A岛时，“敌”舰已在10分钟前逃离，“敌”舰每分钟行驶1000米，“我”海军英雄舰每分钟行驶1470米，在距离“敌”舰600米处可开炮射击，问“我”海军英雄舰从A岛出发经过多少分钟可射击敌舰？分析：“我”舰追到A岛时，“敌”舰已逃离10分钟了，因此，在A岛时，“我”舰与“敌”舰的距离为10000米（=1000×10）.又因为“我”舰在距离“敌”舰600米处即可开炮射击，即“我”舰只要追上“敌”舰9400（=10000米-600米）即可开炮射击.所以，在这个问题中，不妨把9400当作路程差，根据公式求得追及时间.即（1000×10-600）÷（1470-1000）=（10000-600）÷470=9400÷470=20（分钟），所以，经过20分钟可开炮射击“敌”舰.[前铺]下午放学时，弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5分钟后，哥哥以每分钟60米的速度也从学校步行回家，哥哥出发后，经过几分钟可以追上弟弟？（假定从学校到家有足够远，即哥哥追上弟弟时，仍没有回到家）.分析：若经过5分钟，弟弟已到了A地，此时弟弟已走了40×5=200（米）；哥哥每分钟比弟弟多走20米，几分钟可以追上这200米呢？40×5÷（60-40）=200÷20=10（分钟）【例5】上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？分析：画一张简单的示意图：图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是4＋ 8＝ 12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16（千米）. 少骑行24-16＝8（千米）.摩托车的速度是8÷8=1（千米/分），爸爸骑行16千米需要16分钟.8＋8＋16＝32.所以这时是8点32分.[前铺]小明步行上学，每分钟行70米.离家12分钟后，爸爸发现小明的文具盒忘在家中，爸爸带着文具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明.问爸爸出发几分钟后追上小明？分析：爸爸要追及的路程：70×12=840（米）,爸爸与小明的速度差：280-70=210（米/分）,爸爸追及的时间：840÷210=4（分钟）.【例6】小红和小蓝练习跑步，若小红让小蓝先跑20米，则小红跑5秒钟就可追上小蓝；若小红让小蓝先跑4秒钟，则小红跑6秒钟就能追上小蓝.小红、小蓝二人的速度各是多少？分析：小红让小蓝先跑20米，则20米就是小红、小蓝二人的路程差，小红跑5秒钟追上小蓝，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为20÷5=4（米/秒）；若小红让小蓝先跑4秒，则小红6秒可追上小蓝，在这个过程中，追及时间为6秒，根据上一个条件，由追及差和追及时间可求出在这个过程中的路程差，这个路程差即是小蓝4秒钟所行的路程，路程差就等于4×6=24（米），也即小蓝在4秒内跑了24米，所以可求出小蓝的速度，也可求出小红的速度.综合列式计算如下：小蓝的速度为：20÷5×6÷4=6（米/秒），小红的速度为：6+4=10（米/秒）【例7】张、李、赵三人都从甲地到乙地．上午6时，张、李两人一起从甲地出发，张每小时走5千米，李每小时走4千米；赵上午8时从甲地出发．傍晚6时，赵、张同时到达乙地．那么赵追上李的时间是几时?分析：赵追上李是追及问题，但是赵的速度我们并不清楚，这需要从赵、张同时到乙地来计算．本题的解题过程分三步．第一步：求出甲、乙两地距离．张早上6时出发，晚上6时到，用12小时，每小时5千米，所以甲、乙两地相距5×12=60千米．第二步：求出赵的速度．赵早上8时出发，晚上6时到，用10小时，走了60千米，每小时走60÷10=6千米．第三步：追及问题．赵出发时，李已出发2小时，此时与甲地相距4×2=8千米，赵追上李用8÷(6-4)=8÷2=4小时．所以，赵追上李是上午12时．评注：本题需要逆向思维，根据所需从题目条件中找，分析思考的过程可以说正好与详解的顺序相反，按我们的需要一步步找上去，直到题目满足我们的要求为止．（三）环形上的相遇与追及问题【例8】在300米的环形跑道上，田奇和王强同学同时同地起跑，如果同向而跑2分30秒相遇，如果背向而跑则半分钟相遇，求两人的速度各是多少？分析：同向而跑，2分30秒相遇，这实质是快的追上慢的.起跑后，由于两人速度的差异，造成两人路程上的差异，随着时间的增长，两人间的距离不断拉大，到两人相距环形跑道的半圈时，相距最大.接着，两人的距离又逐渐缩小，直到快的追上慢的，此时快的比慢的多跑了一圈.这就是所谓的追及问题，数量关系为：路程差÷速度差=追及时间，由题意，得知路程差为300米，追及时间为2分30秒，即150秒，因此两人速度差为300÷150＝2(米)背向而跑即所谓的相遇问题，数量关系为：路程和÷速度和=相遇时间，由题意，可以求得两人的速度和为300÷30＝10(米)有了两人的速度和与速度差，即可求得两人的速度：慢者：(10- 2)÷2＝4(米)，快者：10-4＝6(米)[巩固]小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是200米/分.（1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，1分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？（2）小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？分析：（1）两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程.小张的速度是500÷1-200=300（米/分）.（2）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），因此需要的时间是：500÷（300-200）＝5（分）.300×5÷500＝3（圈）.【例9】如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点6O米.求这个圆的周长.分析：第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来又走了一圈.从出发开始算，两个人合起来走了一周半.因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，那么从A到D的距离，应该是从A到C距离的3倍，即A到D是80×3＝240（米）.240-60=180（米）.180×2＝360（米）.[拓展]一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分，3只爬虫A，B，C分别在这3个点上.它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？分析：先考虑B与C这两只爬虫，什么时候能到达同一位置.开始时，它们相差30厘米，每秒钟B能追上C（5-3）厘米.30÷（5-3）＝15（秒）.因此15秒后B与C到达同一位置.以后再要到达同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要90÷（5-3）＝45（秒）.B与C到达同一位置，出发后的秒数是15，，105，150，195，……再看看A与B什么时候到达同一位置.第一次是出发后30÷（10-5）=6（秒），以后再要到达同一位置是A追上B一圈.需要90÷（10-5）＝18（秒），A与B到达同一位置，出发后的秒数是6，24，42，，78，96，…对照两行列出的秒数，就知道出发后60秒3只爬虫到达同一位置.【例10】实验小学有一条200米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑6米，晶晶每秒钟跑4米，问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米，第2次追上晶晶时两人各跑了多少圈？分析：这是一道封闭路线上的追及问题，冬冬与晶晶两人同时同地起跑，方向一致.因此，当冬冬第一次追上晶晶时，他比晶晶多跑的路程恰是环形跑道的一个周长（200米），又知道了冬冬和晶晶的速度，于是，根据追及问题的基本关系就可求出追及时间以及他们各自所走的路程.（1）冬冬第一次追上晶晶所需要的时间：200÷（6-4）=100（秒）（2）冬冬第一次追上晶晶时他所跑的路程应为：6×100=600（米）（3）晶晶第一次被追上时所跑的路程：4×100=400（米）（4）冬冬第二次追上晶晶时所跑的圈数：（600×2）÷200=6（圈）（5）晶晶第2次被追上时所跑的圈数：（400×2）÷200=4（圈）专题展望本讲主要讲了行程问题中的相遇与追及问题，在四年级的寒假班我们会继续学习更复杂的行程问题，希望同学们再接再厉，加油！练习十1.（例1）大头儿子的家距离学校3000米，小头爸爸从家去学校接大头儿子放学，大头儿子从学校回家，他们同时出发，小头爸爸每分钟比大头儿子多走24米，50分钟后两人相遇，那么大头儿子的速度是每分钟走多少米？分析：大头儿子和小头爸爸的速度和：3000÷50=60(米／分钟)，小头爸爸的速度：(60+24)÷2=42(米／分钟)，大头儿子的速度：60—42=18(米／分钟).2. （例4）龟兔赛跑同时出发，全程7000米，乌龟以每分30米的速度爬行，兔子每分钟跑330米．兔子跑了10分钟就停下来睡觉，200分钟后醒来，立即以原速往前跑．当兔子追上乌龟时，他们离终点的距离是多少千米?分析：线段图如下：兔子追乌龟的追及路程差为：30×(10+200)-330×10=3000(米)，根据公式t v S 差差 兔子追上乌龟的追及时间为：3000÷(330-30)=10(分)，离终点的距离为：7000-330×(10+10)=400(米).3. （例6）东东、西西二人练习跑步，若东东让西西先跑10米，则东东跑5秒钟可追上西西；若东东让西西先跑2秒钟，则东东跑4秒钟就能追上西西.问：东东、西西二人的速度各是多少？分析 若东东让西西先跑10米，则10米就是东东、西西二人的路程差，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为10÷5=2（米/秒）；若东东让西西先跑2秒，则东东跑4秒可追上西西，在这个过程中，追及时间为4秒，因此路程差就等于2×4=8（米），也即西西在2秒内跑了8米，所以可求出西西的速度，也可求出东东的速度.综合列式计算如下：西西的速度为：10÷5×4÷2=4（米/秒），东东的速度为：10÷5+4=6（米/秒）4. （例9）如图，有一个圆，两只小虫分别从直径的两端A 与C 同时出发，绕圆周相向而行.它们第一次相遇在离A 点8厘米处的B 点，第二次相遇在离C 点处6厘米的D 点，问，这个圆周的长是多少?分析：如上图所示，第一次相遇，两只小虫共爬行了半个圆周，其中从A 点出发的小虫爬了8厘米，第二次相遇，两只小虫从出发共爬行了1个半圆周，其中从A 点出发的应爬行8×3=24(厘米)，比半个圆周多6厘米，半个圆周长为8×3—6=18(厘米)，一个圆周长就是：(8×3—6)×2=36(厘米)5. （例10）小新和正南在操场上比赛跑步，小新每分钟跑250米，正南每分钟跑210米，一圈跑道长800米，他们同时从起跑点出发，那么小新第一次超过正南需要多少分钟？第三次超过正南需要多少分钟？6cm 8cm 第二次相遇第一次相遇B DC A分析：小新第一次超过正南是比正南多跑了一圈，根据t v S 差差 ，可知小新第一次超过正南需要：800÷（250-210）=20（分钟），第三次超过正南是比正南多跑了三圈，需要800×3÷（250-210）=60分钟.让偷盗者赛跑“你是抢劫犯!” “你才是抢劫犯呢!”“是怎么回事呀?”警察车良见前面有争论的，就对身边的田大凯说，“走!我们看看去.”当他们俩来到两个争论的人面前，他们仍争论得很厉害，无法区分是抢劫者.“这是怎么回事呀?”车良问.这时，一帮人簇拥着一个老太太过来，一个说：“还是你自己把事情告诉大家吧!” 原来，黄昏时分，老太太提着一个提包从一个胡同出来，突然窜出一个强盗，二话没说，把老太太的提包夺过来就跑.然后又有一个人马上追上去抓住了强盗.老太太也没有看清楚那个人是个什么样子.面对两个人同时出现她也说不清是哪个.“把他们送到警察局去处理吧!”有人提议. “到那里也没有法说清楚呀!，’有人说，“公说公有理，婆说婆有理.这怎么能断得清呀?”车良对吵吵嚷嚷的人大声说：“大家安静下来，这两个人就不用送警察局了.现在，我们就可把抢劫者定下来!到时候，我们会把他带走的!” “你们怎么定啊?”有人不理解地问. “这可不是开玩笑的呀!”有人在提醒. “请大家放心.”车良说，“我们是有办法的.我们让他们来一个百米冲刺，跑一跑就数学故事可以定下来.”车良对大凯说：“大凯，你到前面大约100米的地方计时，我到时候打一枪，你听到枪声就马上计时，把他们的百米跑成绩记下来.”然后，车良大声说：“大家听好，你们两个人也听好.”他用手指指了那两个“抢劫者”，“现在你们这两个人进行百米赛跑，通过赛跑我就可以断定哪一个是抢劫者.谁跑得快，谁就是好人!大家闪一闪.现在赛跑开始!预备!”“叭!”一声枪响，那两个人拼命地向前跑了起来.不一会儿，大凯押着那两个人来到了大家面前. “那个年轻人百米速度为12秒；那个老一点的人百米速度为15秒.”大凯指着他们说.车良对那个年轻人说：“谢谢你!你是一个正直的人.”田大凯对那个年老的人说：“你就是抢劫者，要受到应有的惩罚.走! 跟我们到警察局去!”说完，车良和田大凯押着那个人就走.“哎!奇怪，怎么跑一跑就能断出哪个是抢劫者呢?”人们议论着. “真是不可思议呀!”你明白这个道理了吗?这是因为当老太太的提包被抢了之后，过了一会儿才有一个人追赶，后来被追上的那人却说对方是强盗.从这里不难看出破绽，追抢劫者的人肯定要比抢劫者跑得快，否则后者不会追上前者.所以，让两个人进行百米赛跑测一下速度就行，就可以判断出谁是抢劫者.。

备课说明：1、本讲分为两部分，课内提高为计算比赛场次，借助连线、列表的方法进行组合、搭配从而总结出运算公式，此前学生已学过图形的计数，很有可能课前即可答出公式。

第5题为第4题的提高题，第4题借助连线法即可很快得出答案。

课外拓展内容为二进制与十进制，安排了3道例题，前两个例题为二进制数与十进制数的互换，而例3为其它进制的延伸题。

2、重点：学会借助连线、列表的方法计算比赛场次，掌握比赛场次的运算公式；认识二进制数，掌握二进制数与十进制数互换的方法。

难点：掌握二进制数与十进制数互换的方法。

计算比赛场次的方法：①画示意图解答；②列表解答。

n 个人进行单循环比赛，比赛场次运算公式：()21÷-⨯n n 。

某小学进行羽毛球比赛，一共有10个队参加。

（1）第一阶段：把10个队分成2组，进行单循环赛，每组要进行几场比赛？ 解：一、连线法：54321共赛101234=+++（场） 二、列表：12 3 4 5 1 ×2 √ ×3 √ √ ×4 √ √ √ ×5 √ √ √ √ ×共赛1234=+++（场） 三、每组5210=÷（队），每队要赛415=-（场），由于每场2队进行比赛，所以一共赛了10245=÷⨯（场）。

（2）第二阶段：每组前2名进入交叉淘汰赛（一组的第一名与另一组的第二名先进行半决赛，然后再进行决赛决出名次），要比出前三名，第二阶段共要进行几场比赛？ 解：4场。

一条火车沿线共10个站点（包括起点和终点），请问这列火车需要准备多少种价格不同的火车票？解：()45211010=÷-⨯（种） 答：需要准备45种价格不同的火车票。

某校举行五子棋比赛，按单循环赛制，所有选手一共比了66场，一共有多少名学生参加五子棋比赛？解：由“人数⨯（人数—1）662=÷”可知，人数⨯（人数—1）132266=⨯=，由于1321112=⨯，所以参数学生共有12名。

第十讲简单规划问题[同步巩固演练]1、芳芳要为奶奶冲杯热果汁，可是开水用光了，她需要烧开水（6分钟），打开果汁瓶（1分钟），洗茶杯（2分钟），她该怎样安排，才能尽快让奶奶喝上热果汁？2、小林为家里作饭，他择菜要8分钟，洗菜要5分钟，淘米2分钟，煮饭15分钟，切菜用4分钟，炒菜6分钟，如果只有单火头煤气灶做完这些事情至少需要多少分钟？3、甲、乙两人各拿一个水桶到水龙头前接水。

水龙头注满甲的水桶要5分钟，注满乙的水桶要4分钟。

现在只有一个水龙头，怎样安排两个接水的顺序，使他们所花的总时间最少？最少是多少分钟？4、甲、乙、丙、丁4人去厂长办公室谈话，甲谈完要15分钟，乙谈完要12分钟，丙谈完要18分钟、丁谈完要10分钟。

怎样安排这四从的谈话顺序，使四人花的总时间最少？最少是多少分钟？5、在一条铁路线上，依次设置了五个卸煤场，相邻两个煤场间隔都是50米，一号煤场存煤100吨，二号煤场存煤200吨，五号煤场存煤400吨，其余两个煤场是空的。

现在要把所有的煤集中至一个煤场里，集中在几号煤场最节省运输量？①②③④⑤100吨200吨400吨6、甲城有157吨货物要运到乙城。

大卡车载重量是5吨，小卡车的载重量是3吨，耗油量分别是10公升和7.5公升。

用多少辆大卡车及小卡车来运输，耗油量最省？7、在下图中，数字表示各段路的路程，求出图中从A到B的最短路程是多少？[能力拓展平台]1、小明放学回家，准备做饭、炒菜，洗饭锅用1分钟，洗米用2分钟，煮饭用20分钟，洗菜用4分钟，打鸡蛋用1分钟，炒两个菜，每个菜5分钟，厨房里有两个火头的煤气灶，请你帮小明算算，至少用多少时间才能做完这些事？2、用一只平底锅煎饼，每次只能放2只饼，煎一只饼要2分钟（正、反面各用1分钟），问：（1）煎3只饼最少需要几分钟？（2）如果要煎n（n＞1）只饼，最少需要几分钟？3、学校举办运动会，在径赛方面有60米、100米、800米、1500米赛跑，每种赛跑因为报名人数不同，点名分组时间及比赛时间也有所不同，已知时间如下表所示，试安排最省时间的比赛顺序。

练习题（1）巧算姓名_______ 1、（1）450÷25 （2）525÷25 （3）3500÷125（4）10000÷625 （5）49500÷900 （6）9000÷2252、（1）125×15×8×4 （2）25×24 （3）125×16（4）75×16 （5）125×25×32 （6）25×5×64×1253、（1）125×64+125×36 （2）64×45+64×71-64×16 （3）21×73+26×21+214、（1）（720+96）÷24 （2）（4500-90）÷45（3）6342÷21 （4）8811÷89（5）73÷36+105÷36+146÷36 （6）（10000-1000-100-10）÷105、（1）238×36÷119×5 （2）138×27÷69×50（3）624×48÷312÷8 （4）406×312÷104÷2036、（1）612×366÷183 （2）1000÷（125÷4）（3）（13×8×5×6）÷（4×5×6）（4）241×345÷678÷345×（678÷241）7、（1）23×27 （2）46×44（3）55×55 （4）91×998、（1）53×11 （2）39×11（3）65×11 （4）98×119、（1）353×11 （2）654×11 （3）896×11练习题（2）巧算姓名_______ 1、加减法巧算练习42＋71＋24＋29＋58 43＋（38＋45）＋（55＋62＋57）698＋784＋158 3993＋2996＋7994＋1354356＋1287－356 526－73－27－264253－（253－158） 1457－（185＋457）389－497＋234 698－154＋269＋787699999＋69999＋6999＋699＋69＋6200－（15－16）－（14－15）－（13－14）－（12－13）2－3＋4－5＋6－7＋…－99＋1002、乘除法巧算180×25 1375÷25 （1040－324－528）÷41125÷125 4505÷17÷5 384×12÷82352÷（7×8） 1200×（4÷12） 1250÷（10÷8）2250÷75÷3 636×35÷7 （126×56）÷（7×18）99×45 280×36＋360×72 1999＋999×999 287÷13－101÷13－82÷13 999×778＋333×66694×95－91×98 993×994－992×995练习（3）二进制姓名_____________ 二进制就是只用0和1两个数字,在计数与计算时必须“满二进一”。

第十讲染色与操作问题编写说明本讲大部分内容都是上一讲思路的一个延伸！学习起来可能会比较抽象，教师多多形象讲解帮助孩子们掌握理解最基本的思路方法.染色问题这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法.染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案.这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性，逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色问题.【例1】六年级一班全班有35名同学，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫做它的邻座．如果要让这35名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗?为什么？分析：划一个5×7的方格表，其中每一个方格表示一个座位．将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色座位与白色座位都成了邻座．因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格．而实际图中有17个黑格18个白格，个数不等，故不能办到．【前铺】右图是某一湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸.(1)如果P点在岸上，那么A点是在岸上还是在水中？(2)某人过此湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋.如果他从A点出发走到某点B，他穿鞋与脱鞋的总次数是奇数，那么B点是在岸上还是在水中？为什么？分析：（1）已知P点在陆地上，如果在图上用阴影表示陆地，就可以看出A点在水中.（2）从水中经过一次陆地到水中，脱鞋与穿鞋的次数的和为2，由于A点在水中，所以不管怎么走，走在水中时，脱鞋、穿鞋的次数的和总是偶数.既然题中说“脱鞋的次数与穿鞋的次数的和是个奇数”，那么B点必定在岸上.【巩固】某班有45名同学按9行5列坐好．老师想让每位同学都坐到他的邻座(前后左右)上去，问这能否办到?分析：将5×9长方形自然染色，发现黑格的邻座都是白格，白格的邻座都是黑格，因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格．而实际图中有23个黑格22个白格，个数不等，故不能办到．【例2】右图是某一套房子的平面图，共12个房间，每相邻两房间都有门相通．请问：你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗?分析：如图所示，将房间黑白相间染色，发现只有5个黑格，7个白格．因为每次只能由黑到白或由白到黑，路线必然黑白相问，显然应该从多的白格开始．但路线上1白1黑1白1黑……直到5白5黑后还余2黑，不可能从黑格到黑格，故无法实现不重复走遍．【巩固】有一次车展共6×6=36个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示．参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?分析：如右下图，对每个展室黑白相间染色，同样每次只能黑格到白格或白格到黑格．入口和出口处都是白格，故路线黑白相间，首尾都是白格，于是应该白格比黑格多1个，而实际上白格、黑格都是18个，故不可能做到不重复走遍每个展室．【例3】在一个正方形的果园里，种有63棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成八行八列，如图（1）.守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏(不许斜走)，最后又回到小屋，行吗？如果有80棵果树，如图（2），连小屋排成九行九列呢？分析：下图(1)中可以回到小屋，守园人只能黑白相间地走，走到的第奇数棵树是白的，第偶数棵树是黑的，走到第63棵树应是白的，在小屋相邻的树都标注白色，所以可以回到小屋.图(2)不行,从小屋出发,当走到80棵树应是黑色, 而黑树与小木屋不相邻，无法直接回到小木屋.【例4】右图是半张中国象棋盘，棋盘上已放有一只马. 众所周知，马是走“日”字的. 请问：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？分析：马走“日”字，在中国象棋盘上走有什么规律呢？为方便研究规律，如下图所示，先在棋盘各交点处相间标上○和●，图中共有22个○和23个● . 因为马走“日”字，每步只能从○跳到●，或由●跳到○，所以马从某点跳到同色的点（指○或●），要跳偶数步；跳到不同色的点，要跳奇数步。

第十讲有趣的数阵图（二）下面我们继续研究有关数阵图的问题.例1 将1～7这七个自然数分别填入右图的7个小圆圈中，使三个大圆圆周上及内部的四个数之和都等于定数S，并指出这个定数S的取值范围，最小是多少，最大是多少？并对S最小值填出数阵.分析为了叙述方便，用字母表示圆圈中的数.通过观察，我们发现，三个大圆上，每个大圆上都有4个小圆，由题设每个大圆上的4个小圆之和为S.从图中不难看出：B是三个圆的公共部分，A、C、D分别是两个圆的公共部分而E、F、G仅各自属于一个圆.这样三个大圆的数字和为：3S=3B+2A+2C+2D+E+F+G，而A、B、…、F、G这7个数的全体恰好是1、2、…、6、7.∴3S=1+2+3+4+5+6+7+2B+A+C+D.3S=28+2B+A+C+D.如果设2B+A+C+D=W，要使S等于定数即W最小发生于B=1、A=2、C=3、D=4W最大发生于B=7、A=6、C=5、D=4，综上所述，得出：13≤S≤19即定数可以取13～19中间的整数.本题要求S=13，那么A=2、B=1、C=3、D=4、E=5、F=6、G=7.注意：解答这类问题常常抓两个要点，一是某种共同的“和数”S.（同一条边上各数和，同一三角形上各数和，同一圆上各数和等等）.二是全局考虑数阵的各数被相加的“次”数.主要突破口是估算或确定出S 的值.从“中心数”B处考虑.（B是三个大圆的公共部分，常根据S来设定B的可能值.这里重视B不是简单地看到B处于几何中心，主要因为B参与相加的次数最多）此处因为定数是13，中心数可从1开始考虑.确定了S和中心数B，其他问题就容易解决了.解：例2 把20以内的质数分别填入右图的八个圆圈中，使圈中用箭头连接起来的每条路上的四个数之和都相等.分析观察右图，我们发现：①有3条路，每条路上有4个数，且4个数相加的和要相等.②图形两端的两个数是三条路的公共起点和终点.因此只要使三条路上其余两个数的和相等，就可以确保每条路上的四个数的和相等.③20以内的质数共有8个，依次是2、3、5、7、11、13、17、19.如果能从这八个数中选出六个数凑成相等的三对数，问题就可迎刃而解.如要分析，设起点数为X，终点数为y，每条路上4个数之和为S，显然有：3S=2x+2y+2+3+5+7+11+13＋17+19=2x+2y+77.即S最小=29，此时x=2,y=3但这时，中间二个质数之和为47-（19+13）=15，但17＞15，17无处填.所以S=47是无法实现的.这题还另有一个独特的分析推理.即惟一的偶质数必处于起点或终点位上.不然，其他路上为4个质数之和，2处于中间位的路上.这条路为3奇1偶相加，另两条路上为4个奇相加，形成矛盾.再进一步分析，（终点，始点地位对称）始点放上2，终点放上另一个质数，其他6个质数之和必为3的倍数.而经试算，只有终点放上3，而可满足的解法只有一种（已在下图中表出）.解：这样，轻而举地可得到：5+19=24，7+17＝24，11+13=24.例3 把1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分别填入右图中的正方形的各个圆圈中，使得正方形每边上的三个数的和相等.分析和解假设每边上的三数之和为S，四边上中间圆圈内所填数分别为a、b、c、d，那么：a+c=b+d=（1+2+…+8）-2S=36-2S∴2S＝36-（a+C）＝36-（b+d）①_x0001_S=15，则a+c=b+d＝6，又1+5=2+4=6，试验可得下图②若S=14，则a+c=b+d=8，又1+7=2+6=3+5=8，试验可得下两图③若S=13，则a+c=b+d＝10，又2+8＝3+7＝4+610，试验可得下两图④若S=12，则a+c=b+d＝12，又4+8＝5+7＝12，试验可得下图例4 在一个立方体各个顶点上分别填入1～9这九个数中的八个数，使得每个面上四个顶点所填数字之和彼此相等，并且这个和数不能被那个没有被标上的数字整除.试求：没有被标上的数字是多少？并给出一种填数的方法.分析为了叙述方便，设没有被标上的数字为a，S是每个面上的四个顶点上的数字之和.由于每个顶点数都属于3个面，所以得到：6S=3×（1+2+3+4+5+6+7+8+9）-3a6S＝3×45-3a2S＝45-a （1）根据（1）式可看出：因为左边2S是偶数，所以右边45-a也必须是偶数，故a必须是奇数.又因为根据题意，S不能被a整除，而2与a互质，所以2S不能被a整除，45也一定不能被a整除.”在奇数数字1、3、5、7、9中，只有7不能整除45，所以可以确定a=7.这就证明正方体每个面上四个顶点所填数字之和是19，解法如图.例5 将1～8这八个数标在立方体的八个顶点上，使得每个面的四个顶点所标数字之和都相等.分析观察下图，知道每个顶点属于三个面，正方体有6个面，所以每个面的数字之和为：（1+2+3+4+5+6+7+8）×3÷6=18.这就是说明正方体每个面上四个顶点所填数字之和是18.下面有3种填法的提示，作为练习，请读者补充完整.解：例6 在下左图中，将1～9这九个数，填人圆圈内，使每个三角形三个顶点的数字之和都相等.分析为了便于叙述说明，圆圈内应填的数，先由字母代替.设每个三角形三个顶点圆圈内的数字和为S.即：A+B+C=S、D+E+F=S、G+H+I=S、C+G+E=S、A+G+D=S、B+H+E=S、C+I+F=S.将上面七个等式相加得到：2（A+B+C+D+E+F+G+H+I）+C+G+E=7S.即：A+B+C+D+E+F+G+H+I=3S又∵A、B、C、D、E、F、G、H、I，分别代表1～9这九个数.即：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.3S=45S=15.这15就说明每个三角形三个顶点的数字之和是15.在1～9九个数中，三个数的和等于15的组合情况有以下8种即：（1、9、5）；（1、8、6）；（2、9、4）；（2、8、5）；（3、7、5）；（2、7、6）；（3、8、4）；（4、5、6）；观察九个数字在上述8种情况下出现的次数看，数字2、4、5、6、8都均出现了三次，其他数字均只出现两次，所以，符合题意的组合中的2、8、5和4、5、6可填入图中的圆圈内，这样就得到本题的两个解.解：例7 在有大小六个正方形的方框下左图中的圆圈内，填入1～9这九个自然数，使每一个正方形角上四个数字之和相等.分析为了叙述方便，我们将各个圆圈内填入字母，如上右图所示.如果设每个正方形角上四个数字之和为S，那么图中六个正方形可得到：a1+a2+b1+b2=S,a2+b2+a3+b3=S,b1+b2+c1+b2=S,a2+b3+b2+b1=S,b2+b2+b3+c3=S,a1+a3+c3+c1=S.将上面的六个等式相加可得到：2（a1+a3+c3+c1）+3（a2+b3+b2+b1）+4b2=6S.则4b2＝S4（a1+a3+c3+c1）+4（a2+b3+b2+b1）+4b2=9S.于是有：4（a1+a2+a3+b1+b2+b3+c1+b2+c3）=4×45=9S.9S=4×45S=20.这就说明每个正方形角上四个数字之和为20.所以：b2=5.从而得到：a1+a2+b1=a2+a3+b3=15，b1+c1+b2=b2+c3+b3=15.由上面两式可得：a1+b1=a3+b3,b1+c1=b3+c3.如果a2为奇数，则a1+b1和a3+b3均为偶数.①若a1为奇数，a3为偶数，则b1为奇数，b3为偶数.因为a2+b3+b2+b1=20，所以b2为偶数，则c1为偶数，c3为奇数.但是a1+a2+5+b1=20，而奇数1、3、5、7、9中含有5的任意四个奇数的和不等于20，有矛盾.②若a1为偶数，a3为偶数，则b1也为偶数，b3也为偶数.因为a2+b3+b2+b1=20，所以b2为奇数，则c1为偶数，c3为偶数，但1～9中只有4个偶数，有矛盾.③若a1为奇数，a3为奇数，则b1、b3也为奇数，这样1～9中有六个奇数，有矛盾.④若a1为偶数，a3为奇数，情况与①相同.综合上述，a2必为偶数.由对称性易知：b2、b2、b1也为偶数.因此a1、a3、c3、c1全为奇数.这样，就比较容易找到此解.解：注：也可以这样想：因为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，中心数用5试填后，余下40，那么大正方形、中正方形对角数字之和一定为10，比如：2+8=10、3+7=10、1+9=10、4+6=10.再利用小正方形调整一下，便可以凑出结果了.习题十1.将1～6六个自然数字分别填入下图的圆圈内，使三角形每边上的三数之和都等于定数S，指出这个定数S的取值范围.并对S=11时给出一种填法.2.将1～10这十个自然数分别填入下左图中的10个圆圈内，使五边形每条边上的三数之和都相等，并使值尽可能大.3.将1～8填入上右图中圆圈内，使每个大圆周上的五个数之和为21.。

课 题 利用等差规律计算【精品】教学内容在小学数学竞赛中，常出现一类有规律的数列求和问题在三年级我们已介绍过高斯的故事，他之所以算得快，算得正确，就在于他善于观察，发现了等差数列求和规律．1+2+3+---+98+99+10050101=1+100+2+99++50+51 1444442444443共（）（）（）= 101×50,即 (100 +1)×(100÷2)=101×50=5050.按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项……最后一个数叫末项．如果一个数列从第二项开始，每一项与它前面一项的差都相等，就称这个数列为等差数列．后项与前项的差叫做这个数列的公差．如：1，2，3，4．…是等差数列，公差为l ；l ，3，5，7，…是等差数列，公差为2；5，10，15，20，…是等差数列，公差为5．由高斯的巧算可知，在等差数列中，有如下规律：项数=（末项首项）÷公差+1第几项=首项+（项-1）×公差总和=（首项十末项）×项数÷2本讲用各种实例展示了等差数列的广泛应用价值，我们要求同学们注意灵活应用这三个公式计算下面各题：(1) 2+5+8+…+23+26+29;(2)(2+4+6+...+100) - (1+3+5+ (99)解(1)这是一个公差为3、首项为2、末项为29、项数为(29 -2) ÷3+1=10的等差数列求和，原式= (2+29)×10÷2=31×10÷2=155.(2)解法一原式=(2+100)×50÷2-(1+99)×50÷2=2550 - 2500=50,解法二原式= (2-1)+(4-3)+(6-5)+…+（100 - 99）=l×50= 50.两种解法相比较，解法一直接套公式，平平淡淡；解法二从整体上把握了题目的运算结构和数字特点，运用交换律和结合律把原式转化成了整齐的结构“1+1+…+1”，因而解得更巧、更好计算：l÷2010 +2÷2010 +3÷2010 +…+2008÷2010+2009÷2010+ 2010÷2010如果按照原式的顺序，先算各个商，再求和，既繁又难，由于除数都相同，被除数组成一个等差数列：1，2，3，4，…，2008，2009，2010.所以可根据除法的运算性质，先求全部被除数的和，再求商解原式= (1+1+2+3+…+2009+2010)÷2010= (1- 2010)×2010÷2÷2010=1000. 5此题解法巧在根据题目特点，运用除法性质进行转化计算中又应用乘除混合运算的简化运算．使整个解答显得简捷明快。

课 题 利用等差规律计算教学内容在小学数学竞赛中，常出现一类有规律的数列求和问题在三年级我们已介绍过高斯的故事，他之所以算得快，算得正确，就在于他善于观察，发现了等差数列求和规律．1+2+3+---+98+99+10050101=1+100+2+99++50+51 1444442444443共（）（）（）= 101×50,即 (100 +1)×(100÷2)=101×50=5050.按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项……最后一个数叫末项．如果一个数列从第二项开始，每一项与它前面一项的差都相等，就称这个数列为等差数列．后项与前项的差叫做这个数列的公差．如：1，2，3，4．…是等差数列，公差为l ；l ，3，5，7，…是等差数列，公差为2；5，10，15，20，…是等差数列，公差为5．由高斯的巧算可知，在等差数列中，有如下规律：项数=（末项首项）÷公差+1第几项=首项+（项-1）×公差总和=（首项十末项）×项数÷2本讲用各种实例展示了等差数列的广泛应用价值，我们要求同学们注意灵活应用这三个公式计算下面各题：(1) 2+5+8+…+23+26+29;(2)(2+4+6+...+100) - (1+3+5+ (99)解(1)这是一个公差为3、首项为2、末项为29、项数为(29 -2) ÷3+1=10的等差数列求和，原式= (2+29)×10÷2=31×10÷2=155.(2)解法一原式=(2+100)×50÷2-(1+99)×50÷2=2550 - 2500=50,解法二原式= (2-1)+(4-3)+(6-5)+…+（100 - 99）=l×50= 50.两种解法相比较，解法一直接套公式，平平淡淡；解法二从整体上把握了题目的运算结构和数字特点，运用交换律和结合律把原式转化成了整齐的结构“1+1+…+1”，因而解得更巧、更好计算：l÷2010 +2÷2010 +3÷2010 +…+2008÷2010+2009÷2010+ 2010÷2010如果按照原式的顺序，先算各个商，再求和，既繁又难，由于除数都相同，被除数组成一个等差数列：1，2，3，4，…，2008，2009，2010.所以可根据除法的运算性质，先求全部被除数的和，再求商解原式= (1+1+2+3+…+2009+2010)÷2010= (1- 2010)×2010÷2÷2010=1000. 5此题解法巧在根据题目特点，运用除法性质进行转化计算中又应用乘除混合运算的简化运算．使整个解答显得简捷明快。

第10讲：数字谜（二）（含答案）例1 把下面算式中缺少的数字补上：分析与解：一个四位数减去一个三位数，差是一个两位数，也就是说被减数与减数相差不到100。

四位数与三位数相差不到100，三位数必然大于900，四位数必然小于1100。

由此我们找出解决本题的突破口在百位数上。

（1）填百位与千位。

由于被减数是四位数，减数是三位数，差是两位数，所以减数的百位应填9，被减数的千位应填1，百位应填0，且十位相减时必须向百位借1。

（2）填个位。

由于被减数个位数字是0，差的个位数字是1，所以减数的个位数字是9。

（3）填十位。

由于个位向十位借1，十位又向百位借1，所以被减数十位上的实际数值是18，18分解成两个一位数的和，只能是9与9，因此，减数与差的十位数字都是9。

所求算式如右式。

由例1看出，考虑减法算式时，借位是一个重要条件。

例 2 在下列各加法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，求出这两个算式：分析与解：（1）这是一道四个数连加的算式，其特点是相同数位上的数字相同，且个位与百位上的数字相同，即都是汉字“学”。

从个位相同数相加的情况来看，和的个位数字是8，有两种可能情况：2＋2＋2＋2＝8与7＋7＋7＋7＝28，即“学”＝2或7。

如果“学”＝2，那么要使三个“数”所代表的数字相加的和的个位数字为8，“数”只能代表数字6。

此时，百位上的和为“学”＋“学”＋1＝2＋2＋1＝5≠4。

因此“学”≠2。

如果“学”＝7，那么要使三个“数”所代表的数字相加再加上个位进位的2，和的个位数字为8，“数”只能代表数字2。

百位上两个7相加要向千位进位1，由此可得“我”代表数字3。

满足条件的解如右式。

（2）由千位看出，“努”=4。

由千、百、十、个位上都有“努”，5432-4444=988，可将竖式简化为左下式。

同理，由左下式看出，“力”=8，988-888=100，可将左下式简化为下中式，从而求出“学”=9，“习”=1。

备课说明：1、本讲分为两部分，第一部分为四年级上册课内新课分数的加减法（50分钟），第1大题4个小题介绍了分数的性质：分子与分母同时乘以（或除以）相同的数，分数的大小不变。

2介绍了分数计算的方法，3为分数加减计算的练习，4为分数计算的相关应用。

第二部分为鸡兔同笼问题（1小时左右），3道例题与练习再加1道思考题，例1为鸡兔同笼基础题，例2为鸡兔同笼的鸡兔互换类问题，可用拉手分组解决，例3为假设法的应用，关键在于正确算出“腿数差”。

2、重点：熟练掌握同分母分数加减法；利用假设法解决问题。

难点：利用假设法解决问题。

画一画，比一比：比较大小41○8241 82 答案：=比较大小32○6432 64答案：=从下面的分数墙中，找出相等的分数。

()631= ()1231= ()1261=()643=()1232=()1262=()1263= ()1286=()12106=答案：122,124,62 124,128,32 65,64,126你能用几种不同的方式画这个圆的21：解：图略。

可平均分两份取其中一份，平均分4份取其中2份等。

分数的加减计算：=+()() + ()() = ()()答案：535152=+＋＝83 + 82= ()()答案：85 =－()() － ()() = ()()答案：535154=- －＝1813 －182＝ ()()小结：分母相同的分数做加减， 不变， 相加减。

答案：1811，分母，分子。

计算：（1）=+6362 （2）=+7472 （3）=+8385 （4）=-9196 （5）=-103109 （6）=-521 （7）=++183181187 （8）=--1551521510（9）=+++1577415873 （10）=--979212答案（1）65 （2）76 （3）1 （4）95 （5）106 （6）53（7）1811 （8） 153（9）2 （10）11应用题：爸爸买回一块披萨，琳琳吃了这个披萨的52，爸爸和妈妈各吃了披萨的51，还剩下这个披萨的几分之几？ 解：515151521=---一袋化肥，第一天用去它的91，第二天用去了它的94，第三天用去的和第一天一样多，这三天共用去这袋化肥的几分之几？还剩化肥的几分之几？ 解：用去这袋化肥的96919491=++ 还剩化肥的 93961=-一堆沙有1吨，第一天用去250千克，第二天用去41吨，还剩下多少吨？ 解：t kg 41250=还剩下化肥 ()t 2141411=--答：还剩下t 21。