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多元函数微分学6.7多元函数的极值

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《数学分析》第十七章多元函数微分学

《数学分析》第十七章多元函数微分学


06 曲线积分与曲面积分在多 元函数中的应用
曲线积分计算及其在电磁学中的应用
曲线积分的定义与计算方法
包括第一类曲线积分和第二类曲线积分的概念、性质及计算 方法。
曲线积分在电磁学中的应用
通过曲线积分可以计算电场强度、磁场强度等物理量，进而 研究电磁场的分布和变化规律。
曲面积分计算及其在流体力学中的应用
如果函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$ 的某一邻域内有定义，且$lim_{(x,y) to (x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$，则称 函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$连续。
如果函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$ 不连续，则称$P_0(x_0,y_0)$为函数 $f(x,y)$的间断点。
全微分概念与计算
全微分的定义
全微分是多元函数微分学中的一个重要概念，表示函数在某一点附 近的变化量可以近似地用一个线性函数来表示。
全微分的计算
全微分可以通过偏导数来计算，具体为将函数的增量表示为各自变 量增量的线性组合，系数即为偏导数。
全微分的几何意义
全微分表示函数在某一点附近的变化量，可以用来近似计算函数值 的增量。
多元反函数微分法
多元反函数存在定理
若函数$f: D subseteq mathbb{R}^n to mathbb{R}^n$在点$x_0$处可逆，即存在反函数$f^{-1}$，则$f^{1}$在点$f(x_0)$处也可微。
多元反函数微分法
设$y = f(x)$在点$x_0$处可微，且$f'(x_0)$可逆，则反函数$x = f^{-1}(y)$在点$y_0 = f(x_0)$处也可微，且其 导数为$[f^{-1}]'(y_0) = [f'(x_0)]^{-1}$。
高等数学上下册完整版教材

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高等数学上下册完整版教材高等数学是大学数学的一门基础课程，旨在培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。

下面是《高等数学上下册完整版教材》的内容概述：第一章导数与微分1.1 导数的定义与几何意义1.2 基本求导法则1.3 函数的微分1.4 高阶导数与高阶微分1.5 隐函数与参数方程的导数1.6 微分中值定理与导数的应用第二章不定积分2.1 定积分的概念2.2 不定积分与不定积分的性质2.3 基本不定积分法2.4 特殊函数的不定积分2.5 不定积分的应用第三章定积分3.1 定积分的定义与几何意义3.2 定积分的性质3.3 定积分的计算方法3.4 牛顿-莱布尼茨公式3.5 定积分的应用第四章微分方程4.1 微分方程的概念与分类4.2 一阶微分方程4.3 高阶线性微分方程4.4 变量可分离的方程4.5 齐次线性微分方程4.6 非齐次线性微分方程4.7 常系数线性齐次微分方程4.8 微分方程的应用第五章多元函数的微分学5.1 多元函数的极限5.2 多元函数的偏导数5.3 多元复合函数的偏导数5.4 隐函数与参数方程的偏导数5.5 高阶偏导数5.6 多元函数的全微分5.7 多元函数的极值与最值第六章重积分与曲线积分6.1 二重积分的概念与性质6.2 二重积分的计算方法6.3 极坐标下的二重积分6.4 三重积分的概念与性质6.5 三重积分的计算方法6.6 曲线积分的概念与性质6.7 曲线积分的计算方法6.8 曲线积分在物理学中的应用第七章曲面积分与格林公式7.1 曲面积分的概念与性质7.2 曲面积分的计算方法7.3 散度与无源场7.4 格林公式的推广与应用第八章空间解析几何与向量代数8.1 空间直角坐标系与向量8.2 空间曲线与曲面8.3 向量的运算与坐标表示8.4 点、直线与平面的方程8.5 空间向量的夹角与投影8.6 空间点、直线与平面的位置关系8.7 空间曲线与曲面的位置关系第九章广义与特殊函数9.1 广义积分的概念9.2 常数项一般项相消法9.3 幂函数、指数函数与对数函数9.4 三角函数与反三角函数9.5 常见特殊函数第十章数项级数10.1 级数概念与性质10.2 收敛级数的判定方法10.3 常见级数的和10.4 绝对收敛与条件收敛10.5 幂级数与泰勒展开10.6 常见函数的泰勒展开第十一章函数级数11.1 函数列与函数项级数11.2 函数列极限与函数项级数的一致收敛11.3 函数列极限的性质11.4 一致收敛级数的和函数的性质11.5 函数项级数的逐项积分与逐项求导11.6 Fourier级数以上是《高等数学上下册完整版教材》的内容概述。

多元函数的极值及其求法

多元函数的极值及其求法


求函数f ， 例1 求函数 (x，y)= x3－y3+3x2+3y2－9x的极值 的极值
f x (x, y) = 3x2 + 6x − 9 = 0, 解 先解方程组 f y (x, y) = −3y2 + 6y = 0. 求得驻点为( ， ),( ),(1， ),( ),(－ ， ),( ),(－ , ). 求得驻点为(1，0),( ，2),(－3，0),(－3,2).
为最小值. f (4,2) = −64为最小值
某厂要用铁板做成一个体积为2m 例3 某厂要用铁板做成一个体积为 3的有盖长 方体水箱。问长、 高各取怎么样的尺寸时， 方体水箱。问长、宽、高各取怎么样的尺寸时，才 能使用料最省。 能使用料最省。 2 m 设水箱的长为xm，宽为ym， 解 设水箱的长为 ，宽为 ，则其高应为 xy 此水箱所用材料的面积 A = 2(xy + y ⋅ 2 + x 2 ), xy xy 2 2 A = 2(xy + + ) (x > 0, y > 0). 即 x y 可见材料面积A是 和 的二元函数 的二元函数， 可见材料面积 是x和y的二元函数，这就是目标函 下面求使函数取得最小值的点(x， 。 数，下面求使函数取得最小值的点 ，y)。
得区域 D 内唯一驻点( 2,1), 且 f ( 2 ,1) = 4 ,
边界上的最值， 再求 f ( x , y ) 在 D 边界上的最值，
在边界 x = 0 和 y = 0 上 f ( x , y ) = 0 ,
y
在边界 x + y = 6 上，即 y = 6 − x
于是 f ( x , y ) = x ( 6 − x )( −2) , x ∈ [0,6] o
多元函数的极值与最值的求法

多元函数的极值与最值的求法

2.4数形结合法………………………………………………………………20
2.5柯西不等式法………………………………………………………………21
2.6向量法………………………………………………………………………22
2.7 利用极值求最值……………………………………………………………23
小结…………………………………………………………………………………25
1.2利用拉格朗日（Lagrange）乘数法求极值………………………………2
1.3利用几何模型法求解极值…………………………………………………3
1.4 通过雅可比(Jacobi)矩阵求条件极值…………………………………5
1.5利用参数方程求解条件极值………………………………………………11
1.6 利用方向导数判别多元函数的极值………………………………………12
1.7 用梯度法求极值……………………………………………………………15
2多元函数最值的求法……………………………………………………………17
2.1消元法………………………………………………………………………18
2.2均值不等式法………………………………………………………………18
2.3换元法………………………………………………………………………19
又方程（1）对x求偏导: ,得 ， .
方程（1）对y求偏导: ,得 .
方程（2）对y求偏导: ,得 ，
在点（1，-1,6）有 ，且A<0，所以 是极大值。
在点（1，-1,2）处有 ,且A>0，所以 是极小值。
综上所述,知由方程 在点（1，-1,6）的某邻域内确定的函数, 是极大值；在点（1，-1,2）的某邻域内确定的函数， 是极小值.
第9讲多元函数的极值

第9讲多元函数的极值


定理（n 元可微函数取极值的必要条件）
若 u f (X ) 在点 X 0 具有偏导数, 且在 X 0 处取极值, 则必有 f ( X 0 ) 0 (i 1,2,,n).
xi
该结论还可写为
Jf (X0 ) 0, f (X0 ) 0, grad f (X0 ) 0.
处的切平面方程为
f x(x0 , y0 )( x x0 ) f y(x0 , y0 )( y y0 ) (z z0 ) 0
由可微函数取极值的必要条件：
f x(x0 , y0 ) f y(x0 , y0 ) 0
故切平面方程实际为 z z0.
此时, 切平面平行于 xy 平面.
目标函数: f (x, y) 3x2 3y2 2x 2y 2
最值问题: max f (x, y) D
min f (x, y) D
max f (x, y) : D
min f (x, y) : D
f (1, 0) 3 f (0,1) 3
f
(
1 3
,
1 3
)

4 3
所求最值点为：……
使函数 u f (X ) 的一阶偏导数全为 零的点 X 0 称为函数的驻点.
函数的驻点以及使函数的一阶偏导数 不存在的点, 称为函数的极值可疑点.
函数在其极值可疑点处, 可能取极值, 也可能不取极值.
这就产生了一个问题: 如何判断函数在 极值可疑点处是否取极值.
定理 (可微的二元函数极值判别法)
区域： D { (x, y)| x 0, y 0, x y 1}
目标函数： f (x, y) 3x2 3y2 2x 2 y 2
高等数学d类教材目录

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高等数学d类教材目录第一章：函数与极限1.1 实数与数集1.2 函数的概念1.3 函数的性质与运算1.4 映射与反函数1.5 极限的概念1.6 极限的运算法则1.7 无穷小与无穷大1.8 无穷大的比较与等价1.9 极限存在准则第二章：导数与微分2.1 切线与割线2.2 导数的定义与性质2.3 基本导数公式2.4 高阶导数与函数的近似2.5 隐函数与参数方程的导数2.6 微分的概念与计算2.7 导数在几何与物理中的应用2.8 铺垫篇：练习与思考第三章：微分中值定理3.1 极值与最值3.2 高阶导数与函数的凹凸性3.3 Rolle定理3.4 中值定理与拉格朗日中值定理3.5 洛必达法则与高阶导数的应用3.6 弧长与曲率3.7 泰勒公式与展开式3.8 微分中值定理的证明与扩展3.9 铺垫篇：练习与思考第四章：不定积分4.1 原函数与不定积分4.2 不定积分的基本性质4.3 简单的不定积分法4.4 第一类换元法4.5 第二类换元法4.6 分部积分法4.7 有理函数的积分4.8 特殊函数的积分4.9 定积分与无穷积分第五章：定积分与其应用5.1 定积分的概念与性质5.2 可积性与测度零函数5.3 函数的求积与积分区间5.4 牛顿-莱布尼兹公式5.5 定积分中值定理与平均值定理5.6 积分的应用：几何与物理5.7 主体思想解决问题5.8 微积分的历史渊源与思考第六章：多元函数微分学6.1 二元函数的概念与性质6.2 偏导数与全微分6.3 多元函数的链式法则6.4 隐函数与方程组的求导6.5 方向导数与梯度6.6 多元函数的极值与条件极值6.7 多元函数的二阶导数与Taylor公式第七章：重积分与曲线积分7.1 二重积分的概念与计算7.2 二重积分的性质7.3 二重积分的应用7.4 三重积分的概念与计算7.5 三重积分的性质7.6 三重积分的应用7.7 曲线积分的概念与计算7.8 曲线积分的应用7.9 广义积分的问题与思考第八章：曲面积分与散度定理8.1 曲面积分的概念与计算8.2 曲面积分的性质8.3 曲面积分的应用8.4 散度的概念与计算8.5 散度定理的推导与应用8.6 高斯定理的特殊情况8.7 广义积分的问题与思考第九章：曲线积分与环量定理9.1 曲线积分的概念与计算9.2 曲线积分的性质9.3 Green公式的推导与应用9.4 环量的概念与计算9.5 环量定理与Green公式的关系9.6 有向曲线积分的计算与应用9.7 广义积分的问题与思考第十章：无穷级数与幂级数10.1 数项级数的概念与性质10.2 正项级数的审敛法10.3 一般级数的审敛法10.4 绝对收敛与条件收敛10.5 幂级数的概念与性质10.6 幂级数的收敛半径10.7 幂级数的求和与展开10.8 项项可求和级数的特点10.9 广义积分的问题与思考结束语：本教材力求将高等数学的知识条理清晰地呈现给读者。

8-8第八节 多元函数的极值及其求法#

8-8第八节 多元函数的极值及其求法#

3. 于该邻域内不同于(x0,y0)的任何点(x,y),都有 f(x,y)<f(x0,y0)(或
4. f(x,y)>f(x0,y0))，则称函数f(x,y)在点(x0,y0)处有极大值(极 小值)
5. 极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极 值点.
6.
例1 z x2 y2 在点(0,0)处有极小值.因为在任何不 同于(0,0)的点处的函数值都大于函数在(0,0)处的 值.从几何图形上看这是显然的.因为点(0,0)是圆锥 z x2 y2 在（0，0）处的顶点。
0 x ,0 y ,0 x y .
f(x ,y ) sx isn y isnix n y )(
由于在边界上,函数值为0.在闭区域内函数值≥0.所以最大值
一定 在区域内得到.解方程组
f coxssinysinx(y)sinxsinycosx(y)0 x
,
L x2y2zy z0
Ly2x2zx z0,
L z 2 y 2 xy x 0 .
L ( x , y , z , ) 2 ( xy yz zx ) ( xyz 2 ).
Lx2y2zy z0,
Ly2x2zx z0,
L z2y2xy x0.
x2
x y y2
(0 ,0 ) A 8 ,B 2 ,C 2
B2AC 1 20,A80有极大 z=0 值 B2 AC120,不是极. 值点
二 最大值和最小值
由连续函数性质知,函数在有界闭区域D上连续,则函数在D上 一定有最大值和最小值.和一元函数一样,多元函数的最大值和 最小值可能在D内取得,也可能在D的边界上取得.因此,求可微 函数的最值的一般方法是:求出函数f(x,y)在D内所有的驻点处 的函数值及在D的边界上的最大值和最小值,把它们加以比较, 其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.有时根据问题的实 际意义或性质,知道函数的最大值(最小值)一定在区域D内取得,
高等数学 多元函数微分学

高等数学 多元函数微分学

高等数学多元函数微分学
多元函数微分学是高等数学中的重要学科，它探讨的是多元函数的微分。

主要内容包括了定义偏导数、向量偏导数、局部变换与偏导数的关系、一阶多元函数的极值点与极值线、曲面的渐近线及局部曲率，以及多元函
数的极大值、极小值的确定方法等内容。

此外，多元函数微分学还讨论了
多元函数的极值处的特性，如局部极大值、局部极小值、拐点、拐点与可
微曲线的关系、拐点分类等内容。

此外，还介绍了多元函数微积分的基本
概念，如多元积分、曲面积分、椭圆积分、康托尔积分及多元分析中常用
的应用。

多元函数微分法应用-极值与最值

多元函数微分法应用-极值与最值


2)0 x2 2)0 y2
得驻点 ( 3 2 , 3 2 )
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
高为 3 23
2 2
3 2 时, 水箱所用材料最省.
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例3. 要设计一个容量为 V0 的长方体开口水箱, 试问
2( x y 2 z 2) 2 x 0 Fx
令
2( x y 2 z 2) 2 y 0 Fy
Fz 2( x y 2 z 2)(2) 0
z x2 y2
1 1 1 解此方程组得唯一驻点 x , y , z . 4 4 8 由实际意义最小值存在 , 故
f x ( x, y ) 0 f ( x, y ) 0 y 第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 . 2. 函数的条件极值问题
(1) 简单问题用代入法
(2) 一般问题用拉格朗日乘数法
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结束
如求二元函数 z f ( x, y )在条件 ( x, y ) 0下的极值, 设拉格朗日函数 F f ( x, y ) ( x, y )
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定理2 (充分条件) 若函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 A<0 时取极大值;
2
A>0 时取极小值.
2
结束
二、 多元函数的极值的一般步骤
1. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 如对二元函数 z f ( x, y ) , 即解方程组
会计类高等数学教材目录

会计类高等数学教材目录

会计类高等数学教材目录第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限的基本概念1.3 极限的计算方法1.4 极限的性质与存在准则1.5 无穷小量与无穷大量1.6 函数的连续性及其判定1.7 函数的一致连续性第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质2.2 基本初等函数的导数2.3 导数的四则运算及其求导法则2.4 高阶导数与高阶微分2.5 隐函数与参数方程的导数2.6 微分的概念与性质2.7 高阶微分与多元函数的微分第三章：不定积分与定积分3.1 不定积分的概念与性质3.2 基本初等函数的不定积分3.3 第一类换元积分法3.4 第二类换元积分法3.5 分部积分法3.6 有理函数的积分3.7 定积分的概念与性质3.8 定积分的计算方法3.9 定积分的应用第四章：微分方程4.1 微分方程的基本概念4.2 可分离变量的微分方程4.3 齐次方程和恰当方程4.4 一阶线性微分方程4.5 可降阶的高阶线性微分方程4.6 常系数齐次线性微分方程4.7 欧拉方程和常系数非齐次线性微分方程4.8 高阶线性齐次微分方程的解法第五章：多元函数微分学5.1 多元函数的极限与连续性5.2 偏导数与全微分5.3 多元复合函数的求导法则5.4 隐函数的导数与全微分5.5 多元函数的极值与条件极值5.6 多元函数的泰勒展开式5.7 多元函数的极值问题第六章：多元函数积分学6.1 二重积分的概念与性质6.2 二重积分的计算方法6.3 二重积分的应用6.4 三重积分的概念与性质6.5 三重积分的计算方法6.6 三重积分的应用6.7 曲线积分与曲面积分6.8 格林公式与高斯公式6.9 向量场的积分与斯托克斯定理第七章：级数与幂级数7.1 数列的极限与级数的概念7.2 数项级数的性质与判敛法7.3 幂级数的收敛域和收敛半径7.4 幂级数的性质与运算7.5 泰勒级数与麦克劳林级数7.6 幂级数在函数展开中的应用通过本教材的学习，学生将能够全面掌握会计类高等数学的基本理论与方法，提高数学运用能力，并为日后的会计和金融相关学科的学习打下坚实的数学基础。

专升本高数知识点归纳浙江

专升本高数知识点归纳浙江

专升本高数知识点归纳浙江专升本高数是许多专科生在追求本科学位过程中必须面对的挑战之一。

在浙江省，高数的知识点广泛，涵盖了多个领域。

以下是对专升本高数知识点的归纳总结：一、函数与极限- 函数的概念：定义域、值域、奇偶性、周期性等。

- 极限的概念：数列极限、函数极限、无穷小量、无穷大量。

- 极限的运算法则：四则运算、复合函数的极限。

二、导数与微分- 导数的定义：导数的几何意义、物理意义。

- 基本导数公式：幂函数、三角函数、指数函数、对数函数等。

- 高阶导数：二阶导数、三阶导数等。

- 微分的概念：一阶微分、高阶微分。

三、积分学- 不定积分：换元积分法、分部积分法。

- 定积分：定积分的性质、定积分的计算。

- 广义积分：无穷限积分、无界函数的积分。

- 应用问题：面积、体积、平均值等。

四、级数- 级数的概念：收敛性、发散性。

- 正项级数：比较判别法、比值判别法、根值判别法。

- 幂级数：泰勒级数、麦克劳林级数。

- 函数展开：傅里叶级数、傅里叶变换。

五、多元函数微分学- 多元函数的概念：偏导数、方向导数、梯度。

- 多元函数的极值：拉格朗日乘数法。

- 多重积分：二重积分、三重积分。

六、常微分方程- 一阶微分方程：可分离变量方程、一阶线性微分方程。

- 高阶微分方程：特征方程、欧拉方程。

- 微分方程的应用：物理问题、经济问题等。

七、线性代数基础- 向量空间：基、维数、线性组合。

- 矩阵运算：加法、乘法、行列式。

- 线性变换：特征值、特征向量。

- 线性方程组：克拉默法则、高斯消元法。

结束语专升本高数的学习是一个系统性的过程，需要同学们扎实掌握每一个知识点，并能够灵活运用到实际问题中。

希望以上的归纳能够帮助同学们更好地复习和掌握专升本高数的知识，为考试做好充分的准备。

8-8第八节 多元函数的极值及其求法

学 数
三 条 件 极 值
(1) 其中x,y,z须满足约束条件 xyz=2(米3) (2) 依题意,例6成为求(1)式满足条件(2)的最小值.这类附有
解条件极值问题的一个办法是化为无条件极值,即普通极值 问题.
高 等 数 学 电 子 教 案
例如由(2)得到z=2/xy,代入(1),象例6那样去解普通极值问题. 但是对于一般的条件φ(x,y,z)=0,解出其中的某个变量,有时 是复杂的,困难的,甚至是不可能的.例如,不能显化的隐函数 就是这样.下面我们介绍Lagrange乘数法是求解条件极值的 常用方法. 例如要求函数 u=f(x,y,z,t)
3
2
表面积为 6 3 4。
高 等 数 学 电 子 教 案
例7. 在已知的椭球面内一切内接的长方体(各边分别平行坐 标轴)中,求其体积最大的. 椭球面方程为
x2 y2 z2 + 2 + 2 =1 2 a b c
x2 y2 z 2 长方体体积为V = 8 xyz.而( x, y, z )必须满足 2 + 2 + 2 = 1. a b c
高 等 数 学 电 子 教 案
第八节 多元函数的极值及其求法
在实际问题中常常遇到多元函数的最值问题.在一元函 数的微分学中,我们曾经用导数求解极值和最值问题;现 在讨论如何利用偏导数来求多元函数的极值与最值,讨论 时以二元函数为例,其结论可类似地推广到三元及三元以 上的函数.
学 数
多元函数的极值及最大值,最小值 一. 多元函数的极值及最大值 最小值
高 等 数 学 电 子 教 案 二 最大值和最小值
由连续函数性质知,函数在有界闭区域D上连续,则函数在D上 一定有最大值和最小值.和一元函数一样,多元函数的最大值和 最小值可能在D内取得,也可能在D的边界上取得.因此,求可微 函数的最值的一般方法是:求出函数f(x,y)在D内所有的驻点处 的函数值及在D的边界上的最大值和最小值,把它们加以比较,

多元函数微分学及其应用归纳总结

第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念1平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概 念 2、多元函数的极限lim f(x, y)=A (或 lim f(x,y)=A )的；-' 定义(x,y)「(x °,y o)P「P )掌握判定多元函数极限不存在的方法：(1) 令P(x, y)沿y 二kx 趋向P(x o ,y o )，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在；(2) 找两种不同趋近方式，若 lim f (x, y)存在，但两者不相等，(x,y )Tx o ，y o )此时也可断言极限不存在。

多元函数的极限的运算法则(包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等)与一元类似：例1•用…定义证明(侧0,0)(x 2+y 2)sin 击=02 + 2例2(03年期末考试三、15 分当X>0,y >0时，函数x2；(；2_y)2的极限是否存在？证明你的结论。

xy 2 2 2 2 , x y = 0x y ，讨论 lim f (x, y)是否存在?(x,y )T(0,0)3卫， x 2+ y 2=0(JiH ,。

)f (X,y )是否存在?例 3 设 f (x, y) =2 例4(07年期末考试 一、2，3分)设f(x, y)=Q2 xy2 .4x y2 2小,x y =0 ，讨论x 2y 2二 0x3、多元函数的连续性台(Jim )f (x, y)= f (X o ,y o )(x，y) --- (X 0，y 0 )一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。

在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。

4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理二、多元函数的偏导数 1、二元函数z = f (x, y)关于x, y 的一阶偏导数的定义(二元以上类似定义)f(X0pX,y 0)— f(X 0,y 0)存在，则有y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。

多元函数

4、有界集与无界集
2 E R 设集合 ，如果存在常数 k 0 ，使得对所有的
P( x, y) E ，都有 OP x 2 y 2 k ，则称 E 是 R 2 中
的有界集。一个集合如果不是有界集，就称为无界集。
第八章 多元函数微分学
§1 多元函数的基本概念
5、区域、闭区域
设 E 是 R 2 中的非空开集，如果对于 E 中任意两点 P1 与 P2 ，在存在 E 中的折线把 P1 与 P2 连接起来，则称
2 是 中的区域（或开区域）。开区域连同它的边界一 R E
起，称为闭区域。
第八章 多元函数微分学
§1 多元函数的基本概念
二 、多元函数的概念
1、多元函数的定义 定义
设 D 是 R n 的非空开集，从 D 到实数集 R n 元（实值）函数， f 的任一映射 称为定义在 D 上的一个 记作
f :D R R
例4
，求 f ( x, y ) 的
偏导数并讨论 f ( x, y ) 在(0,0) 处的连续性。
第八章 多元函数微分学
§2 偏导数及其在经济分析中的应用
三 、 高阶偏导数
设函数 z f ( x, y) 在平面区域 内处处存在偏导数
f x ( x, y) 与 f y ( x, y) ，如果这两个偏导数仍可偏导，则称 它们的偏导数为函数 z f ( x, y) 的二阶偏导数，按照求导
z x f ( x0 , y0 ) , z x ( x0 , y0 ), x
( x0 , y 0 )
, 或f x ( x0 , y0 )
第八章 多元函数微分学
§2 偏导数及其在经济分析中的应用
类似地，如果
f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) lim （ 2） y 0 y 存在，则称此极限为函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 )对 y 的偏

第八章 多元函数微分学(6)


函数在 D 内只有唯一的驻点 ( 3 2 , 3 2 ), 因此可断定当 x = 3 2 , y = 3 2时， A 取得最小值。 2 3 3 ∴ 当水箱的长为 2 m 、宽为 2 m 、高为 3 = 3 2 m时，水箱 2 ⋅3 2 所用的材料最省。 即体积一定的长方体中 立方体的表面积最小 ) (
导数，
B − AC
2
< 0 > 0 = 0
A < 0 > 0
f ( P0 ) 是 极大值 极小值 非极值 不能确定的
5. 极值的充分条件 极值的充分条件
′′ ′′ ′′ 并设：A = f xx ( P0 ), B = f xy ( P0 ), C = f yy ( P0 ), 则： B 2 − AC <0 >0 =0
.
x
定义：若在点 定义：若在点(a,b)的某邻域内恒有 f(x,y)≤ f(a,b),称 f(a,b)为极大值 的某邻域内恒有 称 为
8.
二元函数
( x,y) ≠ (0,0) ( x,y) = (0,0)
xy ( x 2 − y 2 ) , f ( x, y ) = x 2 + y 2 0 ,
3. 多元函数极值 驻 点 定 义
设z = f ( x, y )在P0 ( x0 , y0 )可偏导，且f x′( P0 ) = f y′( P0 ) = 0 则称点P0是二元函数z = f ( x, y )的一个驻点。
注：) P0是f ( x, y )的一个驻点 ⇒ P0是f ( x, y )的极值点。 (1 / 反例：z = y 2 − x 2 , z ′ (O) = −2 x | x =0 = 0 = z ′y (O) = 2 y | y =0 x 但O(0,0)点却不是函数z = y 2 − x 2的极值点。 (2) P0是f ( x, y )的一个极值点，且f x′( P0 )、f y′ ( P0 )∃

多元函数的极值及其应用正文

多元函数极值及其应用内容摘要从极值的相关定义、性质及定理出发，结合线性规划所定义的多元函数条件极值的相关理论，研究并讨论了多元函数在满足限制条件不论是方程组还是某些不等式组时的极值问题。

其次，从二元函数极值的定义、性质定理出发，对多元函数极值运用线性函数的理论加以讨论，并且用实际例子验证了上述推论及定理在判别多元函数极值问题中的实用性与灵活性。

文章最后又给出了多元函数极值在实际问题中的应用，以此说明研究极值问题的重要性与必要性。

关键词：多元函数极值正定矩阵稳定点极值判定应用序言多元函数的极值问题在近年来研究已经慢慢地完善起来，相关理论的完善也慢慢地越来越多，多元函数机制问题的应用也逐渐广泛。

然而，在常用书刊之中，与一元函数比较起来，多元函数极值问题的理论相对比较少。

但是，多元函数的应用却是比较广泛的。

在实际的生活之中，我们往往会遇到多元函数的最大值、最小值问题。

然而，多元函数的最大值、最小值与多元函数的极大值、极小值有着密切的联系。

求多元函数的极值，一般可以利用偏导数来解决。

同时，与一元函数相似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值，最小值。

但是由于自变量个数的增加，计算也相对复杂。

函数极值不仅是函数性态的一个重要特征，而且在实际问题中占有重要的地位。

尤其是在当今日益发展的社会生活中，工农业生产、自然科学和工程技术等发展带来了大量的问题，其实质都是函数极值问题。

多元函数极值则通过现在经济学中的热点问题——利润最大化和消费者效用最大化来体现。

一、 多元函数极值的定义定义1：设二元函数(,)f x y 在点(,)P a b 的领域C 有定义，在P 处给出自变量的增量(,)P h k ∆=，相应有函数增量(,)(,)f a h b k f a b ∆=++-。

若f ∆0≤（0f ∆≥），则(,)P a b 是函数(,)f x y 的极大点（极小点）。

极大点（极小点）的函数值(,)f a b 称为函数(,)f x y 的极大点（极小点）。

第八章 多元函数微分学


例. 设 z = f ( xy, yg ( x)) 其中函数 f 具有二阶连续 偏导数，函数 可导， 偏导数，函数g(x)可导，且在 可导 且在x=1处取得极值 处取得极值 ∂2 z g(1)=1,求 求 x =1, y =1 ∂x∂y 可导且在x=1处取极值所以 g ′(1) = 0 解:由g(x)可导且在 由 可导且在 处取极值所以
′′′ fx′′′ (x, y, z) = f yz x (x, y, z) = fz′′′y (x, y, z) yz x
= fx′′′ y (x, y, z) = f y′′′ (x, y, z) = f z′′′ (x, y, z) z xz yx
4. 微分
∆z = fx′(x, y) ∆x + f y′(x, y) ∆ y
答案： （ 考研题） 答案：B（2012考研题） 考研题
x2 y2 2 2 , x + y ≠0 3 证明: 例. 证明 f (x, y) = (x2 + y2 ) 2 0 , x2 + y2 = 0 在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 . 在点 解: 利用 2xy ≤ x2 + y2 , 知 1 1 2 2 2 f (x, y) ≤ (x + y ) 4 ∴ lim f (x, y) = 0 = f (0, 0)
k −1
f ( x, y , z )
同乘以 t, 得
(tx) f1′(u, v, w) + (ty) f 2′(u, v, w) + (tz ) f 3′(u, v, w) = k ⋅ t k f ( x, y, z )
由条件f (tx, ty , tz ) = t k f ( x, y , z ), 及u = tx, v = ty , w = tz , 得
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题时，除了考虑函数的驻点外，还要
考虑偏导数不存在的点．
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现在来考虑多元函数的最值问题. 函数 f (x,y)在有界闭区域D上连续
函数 f (x,y)在有界闭区域D上可取到最大、最小值 使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内 部，也可能在D的边界上． 驻点 最值可疑点 偏导数不存在的点 边界上的最值点
f x( x, y) 0， f y ( x, y ) 0.
求得一切实数解，即可求出一切驻点． 第二步 对于每个驻点(x0,y0) ，求出二阶偏导数 的值A，B和C． 第三步 定出 B 2 AC 的符号，按定理6-9的结论 判定f(x0,y0)是不是极值，是极大值还是极小值．
首页 上页 下页 返回 －3,0)处，A=－12，B=0，C=6，B2－AC=72>0， 所以函数在(－3,0)处无极值 ．
在点(－3,2)处，A=－12，B=0，C=－6，B2－AC=－72<0，
又A<0，所以函数在(－3,2)处有极大值f(－3,2)=31 ．
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6.7 多元函数的极值
在管理科学、经济学和许多工程、科技 问题中，常常需要求出一个多元函数的最大 值或者最小值． 与一元函数的情形类似，多 元函数的最大值、最小值与极大值、极小值 有密切联系，因此我们以二元函数为例来讨 论多元函数的极值问题．
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6.7 多元函数的极值
多元函数的极值及最大值、最小值 条件极值
无极值．
怎样判定一个驻点是不是极值点？ 有如下定理： 定理6-9
设函数 z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内具 f y ( x0 , y0 ) 0， 有一阶及二阶连续偏导数， 又 f x( x0 , y0 ) 0， 记
( x0 , y0 ) A， f xy ( x0 , y0 ) C. ( x0 , y0 ) B， f yy f xx
f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ).
这表明一元函数f(x,y0)在x=x0处取极大值，因而必有
f x( x0 , y0 ) 0.
类似可证
f y ( x0 , y0 ) 0.
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和一元函数类似，凡是能使 f x( x0 , y0 ) 0，
讨论二元函数的极值问题时，如果函数在所讨论 的区域内具有偏导数，则由定理6-8可知，极值只可能 在驻点处取得． 然而，若函数在个别点处的偏导数不 存在．这样的点当然不是驻点，但也有可能是极值点．
2 2 z x y 例如前面提到过的函数 在点(0,0)处
的偏导数不存在，但它在该点却取得极小值0． 所以，在考虑多元函数的极值问
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6.7.1
多元函数的极值及最大值、最小值
设函数 z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有
定义6-6
定义，如果对该邻域的一切(x,y)，都有 f ( x, y) f ( x0 , y0 ) （或 f ( x, y) f ( x0 , y0 )） 则称 f(x,y)在点(x0,y0) 取得极大值（或极小值）f(x0,y0) 并称(x0,y0)是函数f(x,y)的极大值点（或极小值点）． 函数的极大值和极小值统称为 极值． 极大值点和 极小值点统称为 极值点．
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容易判断 函数 z 1 ( x y ) 在点(0,0)处有极大值1；
2 2
函数 z 函数 得极小值．
x y 在点(0,0)处有极小值0；
2 2
z xy 在点(0,0)处既不取得极大值也不取
对于可导的一元函数f(x)，在点x0处有极值的必要 条件是 f ( x0 ) 0. 多元函数也有类似的结论． 定理6-8 设函数 z=f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数， 且在点(x0,y0)处有极值，则必有：
( x, y ) 6 y 6. ( x, y ) 0， f yy ( x, y) 6 x 6， f xy f xx
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在点(1,0)处，A=12，B=0，C=6，B2－AC=－72<0，
又A>0，所以函数在(1,0)处有极小值f(1,0)=－5 ． 在点(1,2)处，A=12，B=0，C=－6，B2－AC=72>0，
f x( x0 , y0 ) 0,
f y ( x0 , y0 ) 0.
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证明
不妨设函数 z=f(x,y)在点(x0,y0)取极大值，
由极大值的定义，对点(x0,y0) 的某邻域内的点(x,y)，有
f ( x, y) f ( x0 , y0 ).
特殊地，在该邻域内的点(x,y0)≠(x0,y0) ，也有
f y ( x0 , y0 ) 0 同时成立的点 (x0,y0)称为函数z=f(x,y)的
驻点．
从定理 6-8可知， 具有偏导数的函数的极值点一
定是驻点． 但是，反过来讲，函数的驻点却不一定是极值 点， 例如 点(0,0)是函数
z xy 的驻点， 但函数在该点并
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3 3 2 2 f ( x , y ) x y 3 x 3 y 9x 例6-31 求函数
的极值． 解 解方程组
2 f x ( x, y ) 3x 6 x 9 0, 2 f ( x , y ) 3 y 6 y 0, y
求得驻点为(1,0)、(1,2)、(－3,0)、(－3,2)． 再求出二阶偏导数：
(1)
则f(x,y)在点(x0,y0)处是否取得极值的条件如下：
B 2 AC 0 时具有极值，且当A<0时有极大
值，当A>0时有极小值； (2) B 2 AC 0 时没有极值；
B 2 AC 0 时可能有极值，也可能没有极 值，还需另作讨论．
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(3)
利用上面的两个定理，我们把具有二阶连续偏 导数的函数z=f(x,y)的极值求法叙述如下： 第一步 解方程组