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2.4切割线定理2.5相交弦定理
学习目标
1.理解切割线定理及其推论（割线定理）和逆定理的证明
2.理解掌握相交弦定理的证明
3.能熟练应用上述定理及其推论解决相关问题 学习重难点
能够利用切割线定理，相交弦定理解决有关的计算和证明问题 问题导思
1.切割线定理，相交弦定理的定义
(1)相交弦定理：______的两条(2)个交点的线段长的(3)段长的积相等．
2.课本第17
3.课本第18
4.课本第19自学检测
1．如上图所示，过⊙O 外一点P 的切线长PT ＝4，则弦AB 的长为2．如上图，已知Rt △ABC 与AB 交于点D ，则BD
DA
＝3. 半径为5的⊙O 内有点A ，OA=2，过A 点的弦4. 如上图，BG 切⊙O 于B ，弦CD ∥AB ，交BG FG FD CF EF ::=
5.如右图，MN 切⊙O 于A ，AC 平分MAB ∠，若
当堂训练
(1) (2) (3)
1．如上图所示，是⊙O 的切线，AC 交⊙O 则AB ＝2．如上图，已知为⊙O 的切线，D 为切点，割线PF ＝12，PD ＝3. 如上图，若⊙弦心距OQ
(4) (5) 4．如上图，圆O 的外接圆，过点C 的切线交AB ＝3.则BD 56圆于F ，若
7. 如图，PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 交⊙O 于点B ，C ，∠APC 的角平分线分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，求证： (1)AD ＝AE ；
(2)AD 2
＝DB·EC.
(3)若 AC ＝AP ，求
PA
PC
的值。
初中数学什么是切割定理
在初中数学中，切割定理是一个重要的概念，它涉及到圆的切线与割线的关系。
下面我将详细介绍切割定理的定义、性质和相关概念。
1. 切割定理的定义：
-切割定理：在一个圆上，从圆外一点引出一条割线与圆相交于点A，再从点A引出一条切线与圆相切于点B，那么割线与切线所截取的弧的度数相等。
2. 切割定理的性质：
-定理性质1：在一个圆上，割线与切线所截取的弧的度数相等。
即弧AB的度数等于割线所截取的弧ACB的度数。
-定理性质2：切割定理适用于任何圆，无论圆的半径大小。
3. 切割定理的应用：
-弧度的计算：根据切割定理的性质，我们可以利用已知的割线与切线所截取的弧的度数相等的关系，来计算割线和切线所截取的弧的度数。
-问题求解：切割定理可以帮助我们解决与圆相关的问题，如求解割线和切线所截取的弧的度数、判断割线和切线的位置关系等。
切割定理是初中数学中的一个重要概念，它可以帮助我们理解和应用几何知识，解决与圆相关的问题。
在运用切割定理时，需要注意定理的定义和性质，并运用几何知识进行推理和分析。
希望以上内容能够满足你对切割定理的了解。
圆切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理第一篇：圆切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定⊙O中，AB、CD为弦，交PA·PB＝PC·PD.连结AC、BD，证：理于P.△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥ABPC＝PA·PB.于P.2用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，PT＝PA·PB 割线PB交⊙O于A 2连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论 PB、PD为⊙O的两条割线，PA·PB＝PC·PD 交⊙O于A、C 过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于P'C·P'D＝r－延长P'O交⊙O 于M，延2A，CD为弦 OP' 长OP'交⊙O于N，用相交22PA·PB＝OP－r 弦定理证；过P作切线用r为⊙O的半径切割线定理勾股定理证 28.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数|圆幂定理。
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB. 用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理【典型例题】例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。
在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。
解：由切线长定理知：AF＝AB＝1，EF＝CE设CE为x，在Rt△ADE中，由勾股定理∴，，例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。
初三数学相交弦定理和切割线定理一. 本周教学内容：相交弦定理和切割线定理二. 重点、难点：1.[例yBP=，则y关于x的函数关系式为。
解：由相交弦定理得xy2236-=，即xy27=，其中93≤≤x.OABPCD[例证明：作DN∥EC，交MF于N，则∠1=∠2，∠C=∠4由弦切角定理得：∠3=∠1 ∴∠2=∠3 ∴DN=DF由切割线定理，CBCACE⋅=2DADBDF⋅=2∵AC=DB ∴CB=DA ∴22DFCE=CE=DF∴CE=DN 又∵∠5=∠6 ∴DNMCEM∆≅∆（AAS）∴CM=MD[例3] 已知PT切⊙O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB长。
解：设TD=x ，BP=y ，由相交弦定理得：TD CD DB AD ⋅=⋅ 即x x )8(43-=⨯ 61=x ，22=x （舍）由切割线定理，BP AP PT ⋅=2 由勾股定理，222TD PT PD += ∴ 22TD BP AP PD +⋅= ∴ )7(6)4(22++=+y y y ∴ y =[例4] F ，若BC=9，解：连AB ，∴ ∠1=∴EF CE =由切割线定理得：1441692=⨯=⋅=CF CB AC ∴ AC=12[例5] P 为弦AB 上一点，C 在圆O 上，OP ⊥PC ，求证：（1）PB PA PC ⋅=2（2）若证明：（1）延长CP解：（2）易知321==OC PM ，设x AP =，y MB = 由相交弦定理，MN CM MB AM ⋅=⋅，即27)63(3)3(=+⨯=+y x ① 由垂径定理，CP=PD ，故在CPO Rt ∆中有2046222=-=PC ∴ 由（1）结论，20)3(=+y x ② 由①—②得：37+=x y 代②得，0203162=-+x x ∴ 0601632=-+x x ，36128±-=x （舍负）∴ AP 长为36128+-[例6] 如图，AB 切⊙O 于B ，OB 交割线ACD 于E ，AC=CE=3，OE=25，求AB 长。
相交弦定 COO 中，AB 为直径，CDLABPC = PA- PB.理的推论/于P.|（特殊情况）|127用相交弦定理切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］ 1. 切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线 上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
（PA 长）2. 切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等； （2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得4.弦切角定理： 弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5. 弄清和圆有关的角： 圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6. 遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定7. 与圆有关的比例线段 定理 已知结论证法OO 中，AB CD 为弦，交 PA- PB= PC- PD. 连 结 AC 、 BD ,证： 于 P.△ APCo A DPB.到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角 互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
直线AB 切OO 于P , PC PD 为弦，图中几个弦切角呢？（四个）相交弦定8. 圆幕定理：过一定点P向OO作任一直线，交OO于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数］L「一厂| （R为圆半径），因为--「叫做点对于OO的幕，所以将上述定理统称为圆幕定理。
解：由切线长定理知：AF= AB= 1, EF= CE 设CE为x，在Rt △ ADE中，由勾股定理+巴“丄A1_3「£)5 = 1--恥二1 + —二一4=4 4 43- = 3：5P T2=PA- PBPBPD为OO的两条割线，PA- PB= PC- PD交OO于A COO 中，割线PB交OO 于P'C - P'D = r2A, CD为弦OP'2PA- PB= OP—r2r为OO的半径连结TA、TB ,证：△PTB^A PAT过P作PT切OO于T,用两次切割线定理（记忆的方法方法）延长P'O交OO于M延长OP'交OO于N,用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证OO中，PT切OO于T,割线PB交OO于A【典型例题】例1.如图1,正方形ABCD的边长为1,以BC为直径。
初三数学相交弦定理和切割线定理
一. 本周教学内容：相交弦定理和切割线定理 二. 重点、难点：
1. 相交弦定理的使用特征。
2. 切割线定理的使用特征。
【典型例题】
[例1] 已知P 为⊙O 内一点，cm OP 3=，⊙O 半径为cm 6，过P 任作一弦AB ，设x AP =，
y BP =，则y 关于x 的函数关系式为 。
解：由相交弦定理得x y 2236-=，即x
y 27=，其中93≤≤x
.O
A
B P
C
D
[例2] 如图，AC=BD ，CE 、DF 切⊙O 于E 、F 两点，连EF ，求证：CM=MD 。
证明：
作DN ∥EC ，交MF 于N ，则∠1=∠2，∠C=∠4
由弦切角定理得：∠3=∠1 ∴ ∠2=∠3 ∴ DN=DF
由切割线定理，CB CA CE ⋅=2
DA DB DF ⋅=2
∵ AC=DB ∴ CB=DA ∴ 2
2
DF CE = CE=DF
∴ CE=DN 又 ∵ ∠5=∠6 ∴ DNM CEM ∆≅∆（AAS ） ∴ CM=MD [例3] 已知PT 切⊙O 于T ，PBA 为割线，交OC 于D ，CT 为直径，若OC=BD=4cm ，AD=3cm ，求PB 长。
解：
设TD=x ，BP=y ，由相交弦定理得：TD CD DB AD ⋅=⋅ 即x x )8(43-=⨯ 61=x ，22=x （舍）
由切割线定理，BP AP PT ⋅=2 由勾股定理，222TD PT PD += ∴ 22TD BP AP PD +⋅= ∴ )7(6)4(2
2
++=+y y y ∴ y =[例4] F ，若BC=9，解：
连AB ，∴ ∠1=∴
EF CE =由切割线定理得：1441692
=⨯=⋅=CF CB AC ∴ AC=12
[例5] P 为弦AB 上一点，C 在圆O 上，OP ⊥PC ，求证：
（1）PB PA PC ⋅=2
（2）若证明：
（1）延长CP
解：
（2）易知32
1
==
OC PM ，设x AP =，y MB = 由相交弦定理，MN CM MB AM ⋅=⋅，即27)63(3)3(=+⨯=+y x ① 由垂径定理，CP=PD ，故在CPO Rt ∆中有20462
2
2
=-=PC ∴ 由（1）结论，20)3(=+y x ② 由①—②得：37+
=x y 代②得，0203
162=-+x x ∴ 0601632
=-+x x ，3
61
28±-=
x （舍负）
∴ AP 长为
3
61
28+-
[例6] 如图，AB 切⊙O 于B ，OB 交割线ACD 于E ，AC=CE=3，OE=
2
5
，求AB 长。
解：
设⊙O 半径为r ，DE=a ，延长BO 交⊙O 于K
由相交弦定理，ED CE BE EK ⋅=⋅，故a r r 3)2
5)(25(=-+ ① 由AB 切⊙O 于B 知BE AB ⊥，故AD AC EB AE AB ⋅=-=2
2
2
∴ )6(3)2
5(62
2
a r +=-- ② 由②—①得：018522
=--r r ，2
9
1=
r ，22-=r （舍） ∴ 32)2
529(62
22=--=AB ，AB=24
[例7] 如图，⊙O 中直径AE ⊥BF ，M 为OE 中点，BM 延长交⊙O 于C ，连AC ，求ABC ∆中三个内角的正切值。
解：易知︒=∠=
∠452
1
BOA C ∴ 145tan tan =︒=C 连CF 、CE ∵ BF 为直径 ∴ ︒=∠90BCF 又 ∵ ︒=∠90BOM ∴ BCF BOM ∆∆~
∴ 2tan tan ==
=
∠=∠OM
OB FC
CB F BAC
∵ ︒=⋂
⋂
90m
BE
AB ∴ ︒=∠=∠4521
作MH ⊥AC 于H 点 则3tan tan =====
∠=∠ME
AM
HC AH MH AH CE AC E ABC
[例8] 如图，已知ABC ∆中︒=∠90ACB ，以C 为圆心，作圆与AB 相切于点D ，且AD=9，BD=16
（1）求⊙C 的半径 （2）求F ∠tan 的值
解：连CD 、ED ，则CD ⊥AB ，︒=∠90EDF
（1）由射影定理，1692
⨯=⋅=DB AD CD ∴ 12169=⨯=
CD ∴ EF=24 ∴ ⊙C 半径为12
（2）由弦切角定理，F ADE ∠=∠，故ADF AED ∆∆~ ∴ AD
AE
DF DE F =
=
∠tan 设x AE =，由AF AE AD ⋅=2
得：)24(92
+=x x ，故081242=-+x x
31=x ，272-=x （舍） ∴ =
∠F tan 3
193=
（答题时间：45分钟） 一. 选择题：
1. 如图，PT 切⊙O 于T ，PBA 、PDC 为⊙O 的割线，则下列等式成立的是（ ）
A. PC PD BA PB ⋅=⋅
B. PD PC PT ⋅=2
C.
AC
BD
PC PA =
D. PC CD PA AB ⋅=⋅
⊙O 半径长为 。
4. 如图，若⊙O 的半径为OA=5，P 在OA 上，PA=2，MN 过P 点，使2:1:=PN MP ，则弦心距OQ 的长为 。
参考答案
一. 选择题：
1. B
2. B
3. A
4. A
5. C 二. 填空题： 1. 2或9 2. 21 3. 7或1 4. 7 5. 2.4
三. 解答题： 1. 证明：
∵ CD ∥AB ∴ ∠1=∠2 ∵ BG 与⊙O 相切 ∴ ∠3=∠2 ∴ ∠3=∠1 又 ∵ GFB PFE ∠=∠ ∴ PFE ∆∽GFB ∆ ∴
FG
PF
BF EF =
∴ FB PF FG EF ⋅=⋅ 又由相交弦定理得FD CF FB PF ⋅=⋅ ∴
FD CF FG EF ⋅=⋅ ∴ FG FD CF EF ::=
2. 解：
由弦切角定理知31∠=∠，又 ∵
21∠=∠ ∴ 32∠=∠ ∴ AC=BC
由切割线定理，92
==NB
NA NC ∴ 5=-=NB NC BC ∴ AC=5 又由C ∠=∠4知NAB ∆∽NCA ∆，故NA
NB
AC AB =
∴ 3
10
564=⨯=⋅=
AC NA NB AB。
