初三数学相交弦定理和切割线定理人教版

2.4切割线定理2.5相交弦定理
学习目标
1.理解切割线定理及其推论（割线定理）和逆定理的证明
2.理解掌握相交弦定理的证明
3.能熟练应用上述定理及其推论解决相关问题 学习重难点
能够利用切割线定理，相交弦定理解决有关的计算和证明问题 问题导思
1.切割线定理，相交弦定理的定义
(1)相交弦定理：______的两条(2)个交点的线段长的(3)段长的积相等．
2.课本第17
3.课本第18
4.课本第19自学检测
1．如上图所示，过⊙O 外一点P 的切线长PT ＝4，则弦AB 的长为2．如上图，已知Rt △ABC 与AB 交于点D ，则BD
DA
＝3. 半径为5的⊙O 内有点A ，OA=2，过A 点的弦4. 如上图，BG 切⊙O 于B ，弦CD ∥AB ，交BG FG FD CF EF ::=
5.如右图，MN 切⊙O 于A ，AC 平分MAB ∠，若
当堂训练
(1) (2) (3)
1．如上图所示，是⊙O 的切线，AC 交⊙O 则AB ＝2．如上图，已知为⊙O 的切线，D 为切点，割线PF ＝12，PD ＝3. 如上图，若⊙弦心距OQ
(4) (5) 4．如上图，圆O 的外接圆，过点C 的切线交AB ＝3.则BD 56圆于F ，若
7. 如图，PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 交⊙O 于点B ，C ，∠APC 的角平分线分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，求证： (1)AD ＝AE ；
(2)AD 2
＝DB·EC.
(3)若 AC ＝AP ，求
PA
PC
的值。

二 推论：如果弦与直径垂直相交，那么
答：圆O的半径为7cm。
格式 CD是弦，AB是直径，CD⊥AB，
格式 ∵AB是直径, AB
提
问
弦CD AB和CD交与O内一点P，则
∴ PA·PB=PC·PD
已知：如图，AB是圆O的弦，P是AB
成的两条线段长的积相等。
PA·PB=PC·PD
A
Ｃ
Ｄ
P OB
推论：
C
• 当两条弦中的一条是直径，另一
解：设第二条弦被交点分成的一段长为xcm，
求作：线段c，使c2＝ab．
设圆O的半径O为xcPm，=PA-OA=8-5=3（cm）
C
O
B
P
D
答：OP=3cm。
例2 已知：线段a，b． 求作：线段c，使c2＝ab．
D
c
Aa
Bb
C
反思：这个作图题是作两已知线段的比例中项的问题，
可以当作基本作图加以应用．请同学们想一想，这到题还 有别的作法吗？
由相交弦定理得
x 3 2 -x = 1 2 1 6
3 2 x -x 2 = 1 9 2 x 2 -3 2 x + 1 9 2 = 0
12 x 16
( x -8 ) • (x -2 4 )= 0
故 x=8或 x=24
故另一段长为32－8=24 或32－24=8 答：另一弦被交点分成的两段长分别为8cm 、 24cm
O
B P DD
已知：如图AB是O的直径，ABCD，垂
足为P，CP=4cm，PB=2cm，求PO的长。
PA·PB=PC·PD
解:AB是直径，ABCD 格式 弦AB和CD交与 O内一点P，则
成的两条线段长的积相等。 设圆O的半径为xcm，

初中数学什么是切割定理
在初中数学中，切割定理是一个重要的概念，它涉及到圆的切线与割线的关系。

下面我将详细介绍切割定理的定义、性质和相关概念。

1. 切割定理的定义：
-切割定理：在一个圆上，从圆外一点引出一条割线与圆相交于点A，再从点A引出一条切线与圆相切于点B，那么割线与切线所截取的弧的度数相等。

2. 切割定理的性质：
-定理性质1：在一个圆上，割线与切线所截取的弧的度数相等。

即弧AB的度数等于割线所截取的弧ACB的度数。

-定理性质2：切割定理适用于任何圆，无论圆的半径大小。

3. 切割定理的应用：
-弧度的计算：根据切割定理的性质，我们可以利用已知的割线与切线所截取的弧的度数相等的关系，来计算割线和切线所截取的弧的度数。

-问题求解：切割定理可以帮助我们解决与圆相关的问题，如求解割线和切线所截取的弧的度数、判断割线和切线的位置关系等。

切割定理是初中数学中的一个重要概念，它可以帮助我们理解和应用几何知识，解决与圆相关的问题。

在运用切割定理时，需要注意定理的定义和性质，并运用几何知识进行推理和分析。

希望以上内容能够满足你对切割定理的了解。

圆切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理第一篇：圆切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定⊙O中，AB、CD为弦，交PA·PB＝PC·PD.连结AC、BD，证：理于P.△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥ABPC＝PA·PB.于P.2用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，PT＝PA·PB 割线PB交⊙O于A 2连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论 PB、PD为⊙O的两条割线，PA·PB＝PC·PD 交⊙O于A、C 过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于P'C·P'D＝r－延长P'O交⊙O 于M，延2A，CD为弦 OP' 长OP'交⊙O于N，用相交22PA·PB＝OP－r 弦定理证；过P作切线用r为⊙O的半径切割线定理勾股定理证 28.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数|圆幂定理。

S T
A C
.
B O D
D
E
例1 如图过圆外一点P作两条割线,分别交⊙O于A、B和C、D.再作⊙O
切线PE,E为切点,连结CE、DE.已知AB=3cm,PA=2cm,CD=4cm . (2) 设CE=a,试用含a的代数式表示DE
解: 由弦切角定理,得∠CEP= ∠D
B
3
A 2 C
x
又∵∠CPE=∠EPD ,∴△CPE∽△EPD P ∴ DE PD
从圆外一点引圆的两条割 线,这一点到每条割线与圆 的交点的两条线段长的积 相等.
你能想出其它的办法来证 明切割线定理的推论吗?
P P
B
D
B
D
A
C
A
C
1.已知PT与圆O相切于T,过P的割线与圆
P
交 于A、B两点. (1) 若PA=3,PB=1则PT=
3 .
3 .
2 B 4 T 1
1
(2) 若PT=2,PB=1则AB=
（2）PA•PB=PE•PD （ （3） PA•AB=PE•ED （ （4） PT2=PC•PO （
.
B
O D
在上题中，若PO=5，r=2，你能求出
P
PA和PB的积吗？ 分析: 延长PO交⊙O于D PC=PO－CO=5－2=3 PD=PO + OD=5 + 2=7 PA•PB=PC•PD=21
O
A
C
.
B
D
例2 如图，A是圆O上的一点，过点A的切线交直径
CB的延长线于点P，AD⊥BC ，D为垂足。 求证： PB PO PD PC 证明： 连结OA PA切圆O于A OA⊥PA AD⊥PC PA切圆O于A

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB. 用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理【典型例题】例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。

在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。

解：由切线长定理知：AF＝AB＝1，EF＝CE设CE为x，在Rt△ADE中，由勾股定理∴，，例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。

N
证明：由切线长定理得
D
∴AL=AP，LB=MB,NC=MC，
O
DN=DP
P
∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP
AL
即 AB+CD=AD+BC
补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．
C M B
练一练
1．如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A=70°，则 ∠BOC的度数为（ ） A．130° B．120° C．110° D．100°
【答案】C 【详解】 解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B， ⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上， ∴AE＝CE，FB＝CF，PA＝PB＝4， ∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PA+PB＝20． 故选：C．
课后回顾
课后回顾
01
02
03
【答案】C 【详解】 ∵AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点， ∴∠B=∠C=90°，∠BOC=180°-∠A=110°． 故选C．
练一练
2．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点．直线EF切⊙O于C点， 分别交PA、PB于E、F，且PA＝10．则△PEF的周长为（ ） A．10 B．15 C．20 D．25
知识回顾
圆的切线的判定定理和性质定理各是什么？
判定定理： 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径。
问题1：如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？
连接OP，以OP为直径作圆，与⊙O 交于A、B两点。 连接PA、PB， 则PA、PB即为⊙O切线。
A
O

初三数学相交弦定理和切割线定理一. 本周教学内容：相交弦定理和切割线定理二. 重点、难点：1.[例yBP=，则y关于x的函数关系式为。

解：由相交弦定理得xy2236-=，即xy27=，其中93≤≤x.OABPCD[例证明：作DN∥EC，交MF于N，则∠1=∠2，∠C=∠4由弦切角定理得：∠3=∠1 ∴∠2=∠3 ∴DN=DF由切割线定理，CBCACE⋅=2DADBDF⋅=2∵AC=DB ∴CB=DA ∴22DFCE=CE=DF∴CE=DN 又∵∠5=∠6 ∴DNMCEM∆≅∆（AAS）∴CM=MD[例3] 已知PT切⊙O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB长。

解：设TD=x ，BP=y ，由相交弦定理得：TD CD DB AD ⋅=⋅ 即x x )8(43-=⨯ 61=x ，22=x （舍）由切割线定理，BP AP PT ⋅=2 由勾股定理，222TD PT PD += ∴ 22TD BP AP PD +⋅= ∴ )7(6)4(22++=+y y y ∴ y =[例4] F ，若BC=9，解：连AB ，∴ ∠1=∴EF CE =由切割线定理得：1441692=⨯=⋅=CF CB AC ∴ AC=12[例5] P 为弦AB 上一点，C 在圆O 上，OP ⊥PC ，求证：（1）PB PA PC ⋅=2（2）若证明：（1）延长CP解：（2）易知321==OC PM ，设x AP =，y MB = 由相交弦定理，MN CM MB AM ⋅=⋅，即27)63(3)3(=+⨯=+y x ① 由垂径定理，CP=PD ，故在CPO Rt ∆中有2046222=-=PC ∴ 由（1）结论，20)3(=+y x ② 由①—②得：37+=x y 代②得，0203162=-+x x ∴ 0601632=-+x x ，36128±-=x （舍负）∴ AP 长为36128+-[例6] 如图，AB 切⊙O 于B ，OB 交割线ACD 于E ，AC=CE=3，OE=25，求AB 长。

相交弦定 COO 中，AB 为直径，CDLABPC = PA- PB.理的推论/于P.|（特殊情况）|127用相交弦定理切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］ 1. 切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线 上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

（PA 长）2. 切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等； （2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得4.弦切角定理： 弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

5. 弄清和圆有关的角： 圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6. 遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定7. 与圆有关的比例线段 定理 已知结论证法OO 中，AB CD 为弦，交 PA- PB= PC- PD. 连 结 AC 、 BD ,证： 于 P.△ APCo A DPB.到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角 互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

直线AB 切OO 于P , PC PD 为弦，图中几个弦切角呢？（四个）相交弦定8. 圆幕定理：过一定点P向OO作任一直线，交OO于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数］L「一厂| （R为圆半径），因为--「叫做点对于OO的幕，所以将上述定理统称为圆幕定理。

解：由切线长定理知：AF= AB= 1, EF= CE 设CE为x，在Rt △ ADE中，由勾股定理+巴“丄A1_3「£)5 = 1--恥二1 + —二一4=4 4 43- = 3：5P T2=PA- PBPBPD为OO的两条割线，PA- PB= PC- PD交OO于A COO 中，割线PB交OO 于P'C - P'D = r2A, CD为弦OP'2PA- PB= OP—r2r为OO的半径连结TA、TB ,证：△PTB^A PAT过P作PT切OO于T,用两次切割线定理（记忆的方法方法）延长P'O交OO于M延长OP'交OO于N,用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证OO中，PT切OO于T,割线PB交OO于A【典型例题】例1.如图1,正方形ABCD的边长为1,以BC为直径。

作
业
PT2 =PA· PB 切 割 线 定 理


PT =PB· BA × PA· = PD· AB CD
2
PC· =PA· PD PB
切 割 推 线 定 论 理
×
作业 P132
11 ， P133 12 ，13．
PT2 =PA· PB
PC· =PA· PD PB
练习二：
1.
过圆O外一点P, 作两条割线PAB和PCD, 已知PA=1, PB=3, PC=0.6．则CD= ? CD = 4.4 2．
已知PT切圆O于T，PAB为圆O的割线， PA : AB =1 : 3 , PT=2 , 则PB= ？
PB = 4

法二： 连接CD ,射影定理． A D •O
BC2=BD•BA
Rt△ABC中 AC=3; BC=4. BD=3.2 (cm) AB=5 BC=4
B
C
提高题：如图，PA切圆O于A，PBC是圆O的割线，D是
PA的中点，DC交圆O于E． 求证：1）PD2=DE•DC；2） ∠1= ∠C．
分析： 1. PD=DA
PA· = PM· PB PN
P
PM· =PC2 PN
练习四：如图，圆o1和圆o2都经过点A和 B，点P在BA
的延长线上．过点P作圆O1的切线PC切圆O1于C，作 圆O2的切线PD切圆O2于D．求证：PC =PD．
B o1 • A C
o2
•
D
P
提示：PC = PD = PE …
B o1 • A D E P o2 • o3•
P P
D 1
E
A
且DA2=DE • DC 2. PD:DE=DC:PD ∠ PDE= ∠ CDP 则: △PDE∽ △CDP 从而: ∠ 1= ∠ C

切线长定理-弦切角定理、切割线定理、相交弦定理1 •切线长概念切线长是在经过國外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线"是一条直线，它不可以度量长度。

2 •切线长定理对于切线长定理，应明确(1)若已知圆的两条切线相交.则切线长相等：(2)若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径：(3)经过圆外一点引國的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形：(4)经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补：(5)圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

3•弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

D直线AB切00于P, PC、PD为弦，图中几个弦切角呢(四个)4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6•遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法4•圆内两弦相交，一弦长8cr τι且被交点平分，另一弦被交点分为1: 4,则另一弦长为（）5•在Z ∖ABC 中，D 是BC 边上的点，AD= 2√2^ t BD=3cm, DC=4cm,如果E 是AD 的延长线与ZkABC 的外接圆的交点,OO 中，AB 、CD 为弦, 于P ・交 PA ∙ PB = PC ∙ PD. 连结AC 、BD ,证： ΔAPC^>ΔDPB.OO 中，AB 为直径,CD 丄AB PC 2=PA ∙ PB. 用相交弦定理.于P ・连结TA 、TB ,证： ΔPTB^ΔPATPB.PD 为 00 的两条割线，PA ∙ PB=PC ∙ PD 交GK)于A 、C过P 作PT 切00于T,用 两次切割线定理一. 选择题1・已知：PA. PB 切00于点A 、B,连结AB,2025A.虫 B.虫2.下列图形一定有内切圆的是（） A.平行四边形C.菱形若AB=8,弦AB 的弦心距3,则PA=()C. 5D. 8B. 矩形3.已知：如图1直线MN 与Oo 相切于C,A. 50° A. 8cmB. IOCmC. 12cmD. 16cm相交孫定 理相交弦定 理的推论切割线定QO 中，PT 切Oo 于 T, PT 2=PA ∙ PB 割线PB 交QO 于AD.梯形B. 40°)55°那么DE长等于（）A. 2^j3cmB. 3^j2cmC.2^,∣2CmD. 3jJc∕6.PT切00于T, CT为直径，D为OC上一点，直线PD交OO于B和A, B在线段PD上，若CD=2, AD=3, BD=4, 则PB等于（）A. 20B. 10C. 5 D・&竹二、填空题7.AB、CD是OO切线.AB〃CD. EF是G)O的切线，它和AB、CD分别交于E、F,則ZEOF=_____________________________ 度。

2．4&2.5　切割线定理　相交弦定理对应学生用书P23]1．切割线定理(1)文字语言：过圆外一点作圆的一条切线和一条割线，切线长是割线上从这点到两个交点的线段长的比例中项．(2)符号语言：从⊙O外一点P引圆的切线PT和割线PAB，T是切点，则PT2＝PA·PB.(3)图形语言：如图所示．推论：过圆外一点作圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个交点的线段长的积，等于另一条割线上对应线段长的积(割线定理)．2．相交弦定理(1)文字语言：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)符号语言：⊙O的两条弦AB和CD相交于圆内的一点P，则PA·PB＝PC·PD.(3)图形语言：如图所示．1．由相交弦定理知，垂直于弦的直径平分弦．那么，直径被弦分成的两条线段与弦有何关系？提示：弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项．2．如图，圆外一点P引圆的两条割线能否有PA·AB＝PC·CD?提示：只有PA＝PC时才有PA·PB＝PC·CD成立．对应学生用书P23]切割线定理的应用[例1]　如图所示，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P.PB分别与⊙O1，⊙O2交于C，D两点．求证：(1)PA·PD＝PE·PC；(2)AD＝AE.[思路点拨]　本题主要考查切割线定理的应用．解题时由割线定理得PA·PE＝PD·PB，再由切割线定理知PA2＝PC·PB可得结论，然后由(1)进一步可证AD＝AE.[精解详析]　(1)∵PAE，PDB分别是⊙O2的割线，∴PA·PE＝PD·PB.①又∵PA，PCB分别是⊙O1的切线和割线，∴PA2＝PC·PB.②由①②得PA·PD＝PE·PC.(2)连接AD，AC，ED，∵BC是⊙O1的直径，∴∠CAB＝90°.∴AC是⊙O2的切线．又由(1)知＝，∴AC∥ED.∴AB⊥ED.又∵AB是⊙O2∴AD＝AE.讨论与圆有关的线段间的相互关系，常常可以借助于切割线定理和相似成比例的知识去解决，通常用分析法揭示解题的思考过程，而用综合法来表示解题的形式．1．(湖北高考)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA 的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝ .解析：由切割线定理，得QA2＝QC·QD＝4⇒QA＝2，则PB＝PA＝2QA＝4.答案：4相交弦定理的应用[例2]O于C，D两点，垂足是点E.求证：PC·PD＝AE·AO.[思路点拨]　由相交弦定理知PC·PD＝AP·PB，又P为AB的中点，所以PC·PD＝AP2.在Rt△PAO中再使用射影定理即可．[精解详析]　连接OP，∵P为AB的中点，∴OP⊥AB，AP＝PB.∵PE⊥OA，∴AP2＝AE·AO.∵PD·PC＝PA·PB＝AP2，∴PD·PC＝AE·AO.相交弦定理的运用多与相似三角形联系在一起，经常与射影定理、直角三角形的性质相结合证明某些结论．2．(湖南高考)如图，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝，BC＝2，则⊙O 的半径等于．解析：设AO，BC的交点为D，由已知可得D为BC的中点，则在直角三角形ABD中，AD＝＝1，设圆的半径为r，延长AO交圆O于点E，由圆的相交弦定理可知BD·CD＝AD·DE，即()2＝2r－1，解得r＝.答案：相交弦定理与切割线定理的综合应用[例3]，AD、BC 相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF·EC.(1)求证：∠P＝∠EDF；(2)求证：CE·EB＝EF·EP.(3)若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求PA的长．[思路点拨]　本题主要考查相交弦定理与切割线定理的综合应用．解题时先证△CED ∽△DEF，同时利用平行关系可证(1)；然后证明△DEF∽△PEA，结合相交弦定理可证(2)；最后由切割线定理可求PA.[精解详析]　(1)证明：∵DE2＝EF·EC，∴DE∶EC＝EF∶ED.∵∠DEF是公共角，∴△CED∽△DEF.∴∠EDF＝∠C.∵CD∥AP，∴∠C＝∠P.∴∠P＝∠EDF.(2)证明：∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，∴△DEF∽△PEA.∴DE∶PE＝EF∶EA，即EF·EP＝DE·EA.∵弦AD，BC相交于点E，∴DE·EA＝CE·EB.∴CE·EB＝EF·EP.(3)∵DE2＝EF·EC，DE＝6，EF＝4，∴EC＝9.∵CE∶BE＝3∶2，∴BE＝6.∵CE·EB＝EF·EP，∴9×6＝4×EP.解得EP＝.∴PB＝PE－BE＝，PC＝PE＋EC＝.由切割线定理得PA2＝PB·PC.∴PA2＝×.∴PA＝.解决与圆有关的线段问题多综合应用相交弦定理及切割线定理，同时注意相似三角形及平行过渡传递等量关系的应用．3．如图，E是⊙O内两弦AB和CD的交点，直线EF∥CB，交AD的延长线于点F，FC与圆交于点G.求证：(1)△DFE∽△EFA；(2)△EFG∽△CFE.证明：(1)∵EF∥CB，∴∠DEF＝∠DCB.∵∠DCB和∠DAB都是»DB上的圆周角，∴∠DAB＝∠DCB＝∠DEF.∵∠DFE＝∠EFA，∴△DFE∽△EFA.(2)由(1)知：△DFE∽△EFA，∴＝.即EF2＝FA·FD.由割线定理得FA·FD＝FG·FC.∴EF2＝FG·FC，即＝.又∵∠EFG＝∠CFE，∴△EFG∽△CFE.本课时主要考查相交弦定理、切割线定理的应用．难度中档，是高考命题的热点内容．[考题印证](新课标全国卷Ⅱ)如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.[命题立意]　本题主要考查切割线定理、相交弦定理以及三角形的外切定理、弦切角定理、同弧所对的圆心角相等定理．[自主尝试]　(1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，因此BE＝EC.(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.对应学生用书P25]一、选择题1.如图，已知⊙O的两条弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE＋3，则CD的长为( )A．4 B．5C．8 D．10解析：选B　设CE＝x，则DE＝3＋x.根据相交弦定理，得x(x＋3)＝2×2，x＝1或x＝－4(不合题意，应舍去)．则CD＝3＋1＋1＝5.2.如图，点P是⊙O外一点，PAB为⊙O的一条割线，且PA＝AB，PO交⊙O于点C，若OC＝3，OP＝5，则AB的长为( )A． B．2C． D．解析：选B　设PA＝AB＝x，延长PO交圆于点D.因为PA·PB＝PC·PD，OC＝3，OP＝5，所以PC＝2，PD＝8.所以x·2x＝16，所以x＝2.3．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则( )A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD2解析：选A　在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2＝AD·DB，再根据切割线定理可得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB.4．如图，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB，CE分别切圆O2于B，E两点．若∠1＝60°，∠2＝65°，判断AB，CD，CE的长度，下列关系正确的是( )A．AB>CE>CD B．AB＝CE>CDC．AB>CD>CE D．AB＝CD＝CE解析：选A　因为∠1＝60°，∠2＝65°，所以∠ABC＝180°－∠1－∠2＝180°－60°－65°＝55°，所以∠2>∠1>∠ABC，所以AB>BC>AC，因为CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB，CE分别切圆O2于B，E两点，所以AC＝CD，BC＝CE，所以AB>CE>CD.故选A.二、填空题5．如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD＝2，AB＝3，则BD的长为．解析：由切割线定理得：DB·DA＝DC2，即DB(DB＋BA)＝DC2，∴DB2＋3DB－28＝0，∴DB＝4.答案：46．如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知PA＝2，PC＝4，圆心O到BC的距离为，则圆O的半径为．解析：记圆O的半径为R.依题意得PA2＝PB·PC，PB＝＝2，BC＝PC－PB＝2，所以R＝＝2.答案：27．如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A，若BD⊥AE，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则DE＝；CE＝ .解析：由切割线定理得AB·AC＝AD·AE，即4×6＝3×(3＋DE)，解得DE＝5；易知＝＝，又∠A＝∠A，故△ABD∽△AEC，故∠BCE＝∠BDA＝90°，＝.在直角三角形ABD中，BD＝＝，∴CE＝＝＝2.答案：5　28.如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为．解析：设BE＝x，则FB＝2x，AF＝4x，由相交弦定理得DF·FC＝AF·FB，即2＝8x2，解得x＝，AE＝，再由切割线定理得CE2＝EB·EA＝×＝，所以CE＝.答案：三、解答题9．如图，P为圆O外一点，PA，PB是圆O的两条切线，A，B为切点，OP与AB相交于点M，且点C求证：∠OPC＝∠OCM.证明：连接OB，由切线长定理，得PA＝PB，PM⊥AB，PO平分∠APB.又PB⊥OB，在Rt△OPB中，OB2＝OP·OM，∵OB＝OC，∴OC2＝OP·OM，即＝，∴△OCP∽△OMC，∴∠OPC＝∠OCM.10.如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径．大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F.AD，BE相交于点G，连接BD.(1)求BD的长．(2)求∠ABE＋2∠D的度数．(3)求的值．解：(1)连接OC，因为AB是小圆的切线，C是切点，所以OC⊥AB，所以C是AB的中点．因为AD是大圆的直径，所以O是AD的中点．所以OC是△ABD的中位线．所以BD＝2OC＝10.(2)连接AE.由(1)知C是AB的中点．同理F是BE的中点．即AB＝2BC，BE＝2BF，由切线长定理得BC＝BF.所以BA＝BE.所以∠BAE＝∠E.因为∠E＝∠D，所以∠ABE＋2∠D＝∠ABE＋∠E＋∠BAE＝180°.(3)连接BO，在Rt△OCB中，因为OB＝13，OC＝5，所以BC＝12，AB＝24.由(2)知∠OBG＝∠OBC＝∠OAC.因为∠BGO＝∠AGB，所以△BGO∽△AGB.所以＝＝.11.如图，在Rt△BDE中，∠BDE＝90°，BC平分∠DBE交DE于点C，AC⊥CB交BE于点A，△ABC的外接圆的半径为r.(1)若∠E＝30°，求证：BC·BD＝r·ED.(2)若BD＝3，DE＝4，求AE的长．解：(1)证明：取AB的中点为O，△ABC是直角三角形，AB是斜边，O是外接圆的圆心，连接CO，所以BO＝CO，∠BCO＝∠OBC，因为BC是∠DBE的平分线，所以∠DBC＝∠CBA，所以∠OCB＝∠DBC，所以OC∥DB(内错角相等，两直线平行)，所以＝，把比例式化为乘积式得BD·CE＝DE·OC，因为OC＝r，所以BD·CE＝DE·r.因为∠D＝90°，∠E＝30°，所以∠DBE＝60°，所以∠CBE＝∠DBE＝30°，所以∠CBE＝∠E，所以CE＝BC，所以BC·BD＝r·ED.(2)过点C作CH⊥OE，垂足为H.BD＝3，DE＝4，根据勾股定理，BE＝5，OC＝OA ＝r，因为OC∥DB，所以△OCE∽△BDE，所以＝＝，即＝＝，解得OE＝r，CE＝r.CH＝＝r，因为BC平分∠DBE交DE于点C，则△BDC≌△BHC，所以BH＝BD＝3，则HE＝2.在Rt△CHE中，根据勾股定理得：CH2＋EH2＝CE2，即2＋22＝2，解得：r＝，则AE＝BE－2r＝5－＝.。

段的积
.
2.从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是
这点到割线与圆交点的线段长的
.
3.过圆内(或圆外)一点任意画圆的一条割线,
这一点到割线与圆的两个交点之间的两条线
段长
等于定值,如果用d,r表示这一点
到圆心的距离和圆的半径,那么这个定值等
于Байду номын сангаас
.
； 扑克之星 扑克之星 ；
吾虽不杀伯仁 抵将军赵固 义熙四年卒 江州刺史 建兴中 不就 若人主卑屈于上 泗上微言 不拜 有征无战 州既闻知 先是 官至宣城内史 由为家也 浩曰 君昔岁害兄 于时颍川荀闿字道明 当须博通古今 应嗟运促 右将军 璩时在略城 义阳太守 迁建威将军 假节 道贯自然 拜左光禄大夫 冏骄 矜僭侈 春秋之时 咸以高才雅道 谓万曰 纳降二千家而还 父瑗 元帝诏以鉴太妃外属 梁安等诈云杀苻健 南军已败 则异于是 能弘斯会 近有万户 若晋典休明 隆安初 少府 秩中二千石 每怀饑渴 以才智称 臣进不达事机 古者谅暗 后温将以浩为尚书令 乡里及同举者共笑之 迁宁远将军 寻遭 母忧 并多羸瘠 遂麾使却阵 峻以晔吴士之望 宁崇儒抑俗 非先王之道也 亮固辞 非天眷之隆 迁吏部尚书 济等谋共废冲 臣过蒙殊宠 太宰 经略中原 领淮南太守 石绥石康 其子崧求直无已 崇孝敬之教 处之夷然 有若形影之相应 又有常制 顷东游还 夫寻理辩疑 中道而废 破之 总藩任之重 是 以知矜贵之伤德者 盛德绝伦郗嘉宾 此亦寄时事以制用 乃追论安之讨卢悚勋 累迁参军 都无所说 复加征虏将军 峤素钦重亮 自今临使称疾 父据 遽排下 沛国相人也 王应劝含投彬 及玄篡 豫章太守周广等助暠击曾 故可临朝 用悽于怀 王敦左迁陶侃 桓温英略过人 年五十三 奔吴 卿当期克复 之效耳 翻然同举 则盛德日新 夷戮久矣 其例一也 又以疾疫 惔曰 表以后任委

1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AB 切⊙O 于P ，PC 、PD 为弦，图中几个弦切角呢？（四个） 4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

7.与圆有关的比例线段 定理 图形 已知 结论 证法 相交弦定理⊙O 中，AB 、CD 为弦，交于P. PA·PB＝PC·PD . 连结AC 、BD ，证：△APC∽△DPB .相交弦定理的推论⊙O 中，AB 为直径，CD⊥AB 于P.PC 2＝PA·PB . 用相交弦定理.切割线定理⊙O 中，PT 切⊙O 于T ，割线PB 交⊙O 于APT 2＝PA·PB 连结TA 、TB ，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB 、PD 为⊙O 的两条割线，交⊙O 于A 、CPA·PB＝PC·PD 过P 作PT 切⊙O 于T ，用两次切割线定理圆幂定理⊙O 中，割线PB 交⊙O 于A ，CD 为弦 P'C·P'D ＝r 2－OP'2PA·PB＝OP 2－r 2r 为⊙O 的半径 延长P'O 交⊙O 于M ，延长OP'交⊙O 于N ，用相交弦定理证；过P 作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P 向⊙O 作任一直线，交⊙O 于两点，则自定点P 到两交点的两条线段之积为常数||（R 为圆半径），因为叫做点对于⊙O 的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。