下载文档原格式
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB. 用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数| |（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
弦切角、切割线定理、相交弦定理【知识点】（一）弦切角1．定义顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角。
2．定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
3．值得注意的问题（1）弦切角必须具备三个条件：①顶点在圆上（切点）；②一边和圆相切；③另一边和圆相交（弦），三者缺一不可。
（2）定理中的“弦切角所夹的弧”，是指构成弦切角的弦所对的夹在弦切角内部的一条弧。
（3）弦切角也可以看作圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时所成的角。
4.弦切角定理的运用解决有关证明角相等、比例式、等积式的问题。
（二）切割线1.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
2.切割线定理推论（割线定理）：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
（三）相交弦1.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
2.相交弦定理推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
【定理证明】（一）弦切角定理的证明1、如图，AB是⊙O的切线，切点为P，弦CD//AB，则2、已知如图1，图2，图3所示，AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，是弦切角所夹的弧，是所对的圆周角。
求证：（二）切割线定理及推论的证明1、切割线定理2、割线定理（三）相交弦定理证明【例题精讲】例1 如图，∠1=∠2，EF切⊙O于D，求证BC∥EF.例2如图，AB切⊙O于点B，BC⊥AO于C，求证∠1=∠2.例3如图，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，CE∥AB交于⊙O于D、E，求证BE2=CD·AB.例4如图，已知PE 切⊙O 于E ，割线PBA 交圆于B 、A 两点，∠APE 的平分线和AE 、BE 分别交于C 、D ，求证（1）CE=DE ；（2）PBPE CE CA例5 如图，AB 和AC 与⊙O 相切B 、C ，P 是⊙O 上一点，且PE ⊥AB 于E ，PD ⊥BC 于D ，PF ⊥AC 于F ，求证PD 2=PE ·PF.例6如图，△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，直线XY 切⊙O 于点C ，弦BD ∥XY ，AC 、BD 相交于E.（1）求证△ABE ≌△ACD ；（2）若AB=6cm,BC=4cm ，求AE 的长.例7 如图，TQ 切⊙O 于A ，∠BAQ=60°，连结BO ，并延长与⊙O 相交于C ，与TQ 相交于T ，若TC=2cm,求TA 的长.例8 如图，MT 为⊙O 的切线，A 是MT 的中点，ABC 是⊙O 的割线.求证∠AMB=∠MCA ；∠MBA=∠AMC.例9如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=10，PB=5，∠BAC的平分线与BC和⊙O分别交于点D和E. 求AD·AE的值.例10如图，⊙O和⊙O＇都经过点A和点B,点P在BA的延长线上,过P作⊙O的割线PCD交⊙O于C、D,作⊙O＇的切线PE切⊙O＇于F，若PC=4，CD=8，求PE的长.例11 如图,⊙O中弦AB与EF、GH分别交于C、D，且C、D三等分AB，求证CE·CF=DH·DG. 例12如图，AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10cm,PA=4cm,OP=5cm,求⊙O半径.例13如图，△ABC内接于⊙O，PA切⊙O于A，过BC的中点D作割线PGF交AB于E，且AC//PF。
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
（PA长）2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB.（特殊情况）用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB 连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD 过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理（记忆的方法方法）圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
中公教育——给人改变未来的力量2014年青海教师招聘考试数学专业考点十三：切线长定理、弦切角定理、相交弦定理、切割线定理
切线性质定理：圆的切线垂直于过其切点的半径；经过半径的非圆心一端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线。
切线判定定理：一直线若与一圆有交点，且连接交点与圆心的直线与该直线垂直，那么这条直线就是圆的切线。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
弦切角概念：顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角。
它是继圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角。
弦切角定理：弦切角等于它所夹的孤对的圆周角。
它是圆中证明角相等的重要定理之一。
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到与圆交点的两条线段长的比例中项。
割线定理：从圆外一点引圆的两条割线则有这点到割线与圆交点的两条线段的积相等。
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
（PA长）2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB.（特殊情况）用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理（记忆的方法方法）圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
九年级数学导学稿第3章对圆的进一步认识课题：3.4+相交弦定理、切割线定理、弦切角定理(1课时)学习目标1．掌握相交弦定理及推论、切割线定理及推论、弦切角定理，并会灵活应用。
2．会用相交弦定理及推论、切割线定理及推论、弦切角定理进行证明和计算。
难点：定理及推论的应用【温故知新】1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
相交弦定理推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦长的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项。
切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线和一条切线，这一点到割线与圆的交点的两条线段长的乘积等于切线长的平方。
切割线定理推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每一条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等。
【探索定理新知】图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD.连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB. 用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理【典型例题】例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。
弦切角、相交弦定理、割线定理、切割线定理一、弦切角1、定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
满足三个条件：（1）顶点在圆上；（2）一边和圆相交；（3）一边和圆相切2、弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
推论1：弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
推论2：在同圆或等圆中，如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
例题解析：例1、如图2，已知PA与⊙O切于点A，PO交⊙O于点B，AB＝BP，求∠P的度数。
例2、如图3（1），已知AB是⊙O的直径，C在AB的延长线上，CD切⊙O于D，DE⊥AB于E。
求证：∠1＝∠2例3、已知AB是⊙O的弦，TA切⊙O于点A，∠TAB＝110°，点C在圆周上，但与A、B两点不重合，求∠ACB的度数。
二、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 几何语言：∵弦AB 、CD 交于点P ∴PA·PB=PC·PD（相交弦定理）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 几何语言：∵AB 是直径，CD⊥AB 于点P ∴PC2=PA·PB（相交弦定理推论）例1、已知：如图，AB 是圆O 的弦，P 是AB 上的一点，AB=8.5cm ，OP=3cm，PA=6cm ，求圆O 的半径。
例2、已知：如图，P 是圆O 内的一点，AB 是过点P 的一条弦。
设圆的半径为r,OP=d求证：PA*PB=练习题：1、如图：在⊙O 中，P 是弦AB 上一点，OP ⊥PC ，PC 交⊙O 于C ． 求证：PC2＝PA·PB三、切割线定理：如图:PA 切⊙O 于A,PBC,PDE 是过P 点的两条割线,连结AE 交PC 于F,用数学式子表示上述定理:(1)相交弦定理 ,(2)切割线定理 ,(3)割线定理 .dr PB PA 22-=∙例1、已知：如图，过圆O 外一点B 作圆O 的切线BM ，M 为切点。
弦切角定理及其应用顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
(弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定义图1如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角。
弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.如上图，∠PCA=1/2∠COA=∠CBA弦切角定理证明：证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。
∵∠TCB=90°-∠OCB∵∠BOC=180°-2∠OCB∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍）∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：（弦切角定理）证明：分三种情况：（1）圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA∵为半圆,∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角（2）圆心O在∠BAC的内部. (B点应在A点左侧)过A作直径AD交⊙O于D,E若在优弧m所对的劣弧上有一点那么，连接EC、ED、EA则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB∴∠CEA=∠CAB∴（弦切角定理）（3）圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90°∴∠CDA=∠CAB∴（弦切角定理）3弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在⊙O中，⊙O的切线AC、BC交与点C，求证：∠CAB=∠CBA。
解：⊙O的切线AC、BC交与点C，∴AC=BC（切线长定理）。
∴∠CAB=∠CBA。
（等腰三角形“等边对等角”）。
例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F. 求证：EF//BC.证明：连接DFAD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC ∠EFD=∠BAD ∠EFD=∠DAC⊙O切BC于D ,∠FDC=∠DAC ∠EFD=∠FDCEF∥BC例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.证明：∵AB是⊙O直径∴∠ACB=90∵CD⊥AB ∴∠ACD=∠B，∵MN切⊙O于C ∴∠MCA=∠B，∴∠MCA=∠ACD，即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD。
1.弦分线段定理（二弦定理）：在一个圆中，两条弦AB、CD相交于点E，则有：
AE × EB = CE × ED。
2.弦切定理（切割定理）：在一个圆中，一条切线与外一条弦相交于点A，则有：
AE × EB = CE²（其中CE为切线，AE、EB为弦）。
3.弦切角定理：在一个圆中，一条切线与一条弦的夹角等于该弦所对的圆周角的一
半。
4.弦心角定理：在一个圆中，弦所对的圆周角等于其所对的弦心角的一半。
5.弦的垂直定理：在圆的内部，若弦AB与直径CD垂直相交于点E，则有：AE ×
EB = CE × ED = CE²。
这些是一些常用的弦定理公式，可以用于在圆形几何问题中进行推导和计算。
它们能够帮助我们研究和解决与圆相关的几何问题。
在使用这些定理时，记得根据具体情况选择适用的公式，并注意理解公式的含义和使用条件。
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB. 用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
弦切角定理及其应用顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
(弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定义图1如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角。
弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.如上图，∠PCA=1/2∠COA=∠CBA弦切角定理证明：证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。
∵∠TCB=90°-∠OCB∵∠BOC=180°-2∠OCB∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍）∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：（弦切角定理）证明：分三种情况：（1）圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA∵为半圆,∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角（2）圆心O在∠BAC的内部. (B点应在A点左侧)过A作直径AD交⊙O于D,E若在优弧m所对的劣弧上有一点那么，连接EC、ED、EA则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB∴∠CEA=∠CAB∴（弦切角定理）（3）圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90°∴∠CDA=∠CAB∴（弦切角定理）3弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在⊙O中，⊙O的切线AC、BC交与点C，求证：∠CAB=∠CBA。
解：⊙O的切线AC、BC交与点C，∴AC=BC（切线长定理）。
∴∠CAB=∠CBA。
（等腰三角形“等边对等角”）。
例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F. 求证：EF//BC.证明：连接DFAD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC ∠EFD=∠BAD ∠EFD=∠DAC⊙O切BC于D ,∠FDC=∠DAC ∠EFD=∠FDCEF∥BC例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.证明：∵AB是⊙O直径∴∠ACB=90∵CD⊥AB ∴∠ACD=∠B，∵MN切⊙O于C ∴∠MCA=∠B，∴∠MCA=∠ACD，即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD。
∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：（弦切角定理）证明：分三种情况：（1） 圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA∵为半圆,∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角（2） 圆心O在∠BAC的内部. (B点应在A点左侧)过A作直径AD交⊙O于D,若在优弧m所对的劣弧上有一点E那么，连接EC、ED、EA则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB∴∠CEA=∠CAB∴（弦切角定理）（3） 圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90°∴∠CDA=∠CAB∴（弦切角定理）3弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在⊙O中，⊙O的切线AC、BC交与点C，求证：∠CAB=∠CBA。
解：⊙O的切线AC、BC交与点C，∴AC=BC（切线长定理）。
∴∠CAB=∠CBA。
（等腰三角形“等边对等角”）。
例2：如图，经过点A的⊙OA D是ΔABC中∠BAC的平分线，A C分别相交于E，F. 求证：EF//BC.与BC切于点D，与AB，证明：连接DFAD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC ∠EFD=∠BAD ∠EFD=∠DAC⊙O切BC于D ,∠FDC=∠DAC ∠EFD=∠FDCEF∥BC例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB 于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.则有LA·LB=LC·LD=LT^2。
为切线）那么或许割线定理就可以从圆内接四边形。
的割线，一条交圆于A、B，另一条交圆于C、D证明：连接AC、BD由圆内接四边形定理得∠ABD+∠DCA=∠CAB+∠BDC=180°又∵∠ACP+∠DCA=∠DCP=180°，∠CAP+∠CAB=∠BAP=180°（平角的定义）∴∠ABD=∠ACP，∠BDC=∠CAP（同角的补角相等）∴△ACP∽△DBP（两角对应相等的三角形相似）∴AP/DP=CP/BP（相似三角形对应边成比例）∴AP·BP=CP·DP（比例基本性质）[1]4证明三根据切割线定理求证。
弦切角定理及其应用顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
(弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定义图1如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角。
弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.如上图，∠PCA=1/2∠COA=∠CBA弦切角定理证明：证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。
∵∠TCB=90°-∠OCB∵∠BOC=180°-2∠OCB∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍）∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：（弦切角定理）证明：分三种情况：（1）圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA∵为半圆,∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角（2）圆心O在∠BAC的内部. (B点应在A点左侧)过A作直径AD交⊙O于D,E若在优弧m所对的劣弧上有一点那么，连接EC、ED、EA则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB∴∠CEA=∠CAB∴（弦切角定理）（3）圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90°∴∠CDA=∠CAB∴（弦切角定理）3弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在⊙O中，⊙O的切线AC、BC交与点C，求证：∠CAB=∠CBA。
解：⊙O的切线AC、BC交与点C，∴AC=BC（切线长定理）。
∴∠CAB=∠CBA。
（等腰三角形“等边对等角”）。
例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F. 求证：EF//BC.证明：连接DFAD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC ∠EFD=∠BAD ∠EFD=∠DAC⊙O切BC于D ,∠FDC=∠DAC ∠EFD=∠FDCEF∥BC例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.证明：∵AB是⊙O直径∴∠ACB=90∵CD⊥AB ∴∠ACD=∠B，∵MN切⊙O于C ∴∠MCA=∠B，∴∠MCA=∠ACD，即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD。
弦切角定理及其应用顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
(弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定义图1如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角。
弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.如上图，∠PCA=1/2∠COA=∠CBA弦切角定理证明：证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。
∵∠TCB=90°-∠OCB∵∠BOC=180°-2∠OCB∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍）∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：（弦切角定理）证明：分三种情况：（1）圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA∵为半圆,∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角（2）圆心O在∠BAC的内部. (B点应在A点左侧)过A作直径AD交⊙O于D,E若在优弧m所对的劣弧上有一点那么，连接EC、ED、EA则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB∴∠CEA=∠CAB∴（弦切角定理）（3）圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90°∴∠CDA=∠CAB∴（弦切角定理）3弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在⊙O中，⊙O的切线AC、BC交与点C，求证：∠CAB=∠CBA。
解：⊙O的切线AC、BC交与点C，∴AC=BC（切线长定理）。
∴∠CAB=∠CBA。
（等腰三角形“等边对等角”）。
例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F. 求证：EF//BC.证明：连接DFAD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC ∠EFD=∠BAD ∠EFD=∠DAC⊙O切BC于D ,∠FDC=∠DAC ∠EFD=∠FDCEF∥BC例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.证明：∵AB是⊙O直径∴∠ACB=90∵CD⊥AB ∴∠ACD=∠B，∵MN切⊙O于C ∴∠MCA=∠B，∴∠MCA=∠ACD，即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD。
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1. 切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长度,“切线长〞是切线上一条线段的长, 具有数量的特征,而“切线〞是一条直线,它不可以度量长度.2. 切线长定理对于切线长定理,应明确〔1〕假设圆的两条切线相交,那么切线长相等；〔2〕假设两条切线平行,那么圆上 两个切点的连线为直径；〔3〕经过圆外一点引圆的两条切线,连结两个切点可得到一个等腰三角形； 〔4〕经过圆外 一点引圆的两条切线,切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；〔5〕圆外一点与圆心的连线,平分过这点向圆引的两条切线所夹的角.直线AB 切OO 于P, PC PD 为弦,图中几个弦切角呢？〔四个〕4. 弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角.5. 弄清和圆有关的角： 圆周角,圆心角,弦切角,圆内角,圆外角.6. 遇到圆的切线,可联想“角〞弦切角,“线〞切线的性质定理及切线长定理.7. 与圆有关的比例线段结论 证法 ③.中,AB CD 为弦,交 PA ・PA PC ・PD. 连 结 AC 、BD, 证： 于 P. △ AP〔^A DPB. 00 中,AB 为直径,C8AB PC2= PA ・ PB. 于P. 3.弦切角：顶点在圆上,一边和圆相交,另结论 用相交弦定理.连结 TA 、TB , 证：△ PTE^A PA T过P 作PT 切OO 于T,用两次切割线定理00中,割线PB 交00于P'C - P'D = r 2—延长P'O 交00于M,延 …一、 2 … 、一 .一一、A, CD 为弦 OP' 长OP'交00于N,用相交PA ・PA O0— r 2 弦定理证；过P 作切线用r 为00的半径 切割线定理勾股定理证8. 圆藉定理：过一定点P 向O0作任一直线,交O0于两点,贝U 自定点P 到两交点的两条线段之积为常数 〕.尸" | 〔R 为圆半径〕,由于.尹_ R'叫做点对于O0的藉,所以将上述定理统称为圆藉定理. PB PD 为DO 的两条割线,PA ・PA PC ・PD交OO 于A C 切割线定 理推论。
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理之南宫帮珍创作以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不成以度量长度。
2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD.连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB.用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
圆切线长定理弦切角定理切割线定理相交弦定理部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
b5E2RGbCAP2.切线长定理对于切线长定理，应明确<1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；<2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；<3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；<4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；<5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
p1EanqFDPw3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？<四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O 中，AB 、CD 为弦，交于P. PA·PB ＝PC·PD. 连结AC 、BD ，证：△APC∽△DPB. 相交弦定理的推论⊙O 中，AB 为直径，CD⊥AB 于P. PC2＝PA·PB. 用相交弦定理. 切割线定理⊙O 中，PT 切⊙O 于T ，割线PB 交⊙O 于APT2＝PA·PB 连结TA 、TB ，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB 、PD 为⊙O 的两条割线，交⊙O 于A 、C PA·PB ＝PC·PD 过P 作PT 切⊙O 于T ，用两次切割线定理圆幂定理⊙O 中，割线PB 交⊙O 于A ，CD 为弦 P'C·P'D ＝r2－OP'2 PA·PB ＝OP2－r2 r 为⊙O 的半径 延长P'O 交⊙O 于M ，延长OP'交⊙O于N ，用相交弦定理证；过P 作切线用切割线定理勾股定理证 8.圆幂定理：过一定点P 向⊙O 作任一直线，交⊙O 于两点，则自定点P 到两交点的两条线段之积为常数||<R 为圆半径），因为叫做点对于⊙O 的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
