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第8卷第1期扬州大学学报(自然科学版)V ol.8No.1 2005年2月J ournal of Yang zhou University(Natural Science Edition)Feb.2005超声空化气泡运动方程的求解及过程模拟许文林,何玉芳,王雅琼(扬州大学化学化工学院,江苏扬州225002)摘 要:考虑液相的动力粘度、表面张力和溶剂的蒸气压对空化泡运动特性的影响,建立了超声作用于均相液体中空化泡运动的动力学模型,并用M A T L AB工具对建立的普遍化的模型方程进行了数值求解和过程模拟.探讨了超声在水介质中传播时超声的频率、功率和空化泡的初始平衡半径对空化泡运动规律的影响以及声压幅值和液相主体温度对空化泡崩溃时的泡内温度和压力的影响,为超声的空化效应在化工过程中的研究和应用提供了基础理论依据.关键词:超声;空化;动力学模型;过程模拟中图分类号:T Q021.9;T Q018 文献标识码:A 文章编号:1007824X(2005)010055050 引言将超声应用于化学化工过程,探讨其对化学反应和化工过程影响的规律已成为一个非常活跃的研究领域.[1]已有研究表明,超声在电化学反应、催化反应、高分子聚合与降解、化工分离过程、废水处理等方面均有着广阔的应用前景.[2～5]超声在化学化工中应用的原理主要取决于高强度声波对介质的独特作用,超声对物理或化学过程的作用机理主要源于其空化效应.[1～5]超声在液相中传播时能够产生一系列的物理、化学效应,通常产生这些效应的主要原因为超声的空化机理.[4]超声空化是液体的一种极其复杂的物理化学现象,液体中的微小泡核在超声波作用下被激化,随后表现为泡核的振荡、生长、收缩及崩溃等一系列动力学过程.空化泡崩溃时,极短时间内,在空化泡的极小空间中将产生局部高温、高压以及强烈的冲击波和快速射流.Plesset曾对流体力学空化气泡的运动过程进行研究,先后获得了改进的Rayleigh方程(RP方程)和RPNN P方程.[6]近年来,随着计算工具、测量技术的进步,人们对超声作用下液体中空化泡的运动开展了大量的基础研究[7],建立不同的模型,对影响空化泡运动状态以及空化泡内温度、压力、传递特性等因素进行了模拟求解[8～10],从理论上获得了一些非常重要的结论.但是由于空化泡运动过程的复杂性和实验条件的限制,人们对它的认识仍不完善.或者是建立的模型过于简化;或者是模型方程简化后进行模拟求解,其模拟结果与实际过程偏差较大,难以反映过程的真实情况.为此,本文建立了更为接近真实情况的超声空化泡运动的动力学模型,并采用M AT LAB这一近年来比较流行的计算工具对建立的模型方程进行求解.通过计算机模拟,为超声在实验研究及工业应用方面提供一定的理论指导.1 超声空化气泡运动模型及其模拟求解1.1 空化泡运动模型的基本方程空化过程实际上是空化泡壁的运动过程.当一束以p a sin k a t为波动特性的超声波在液体中传播收稿日期:20040212;修回日期:20050118基金项目:国家自然科学基金资助项目(20176047;20476087);江苏省教育厅自然科学基金资助项目(03K JB530164)E-mail:wlxu@扬州大学学报(自然科学版)第8卷时,液体中存在的微小气泡将受到超声波的拉伸和压缩作用.假设声场的强度恒定,液体为不可压缩的连续介质,在实验条件下的溶液主体温度保持恒定,空化泡中的气体和水蒸气满足理想气体变化规律,空化泡中的蒸气分压与该主体温度下相应的蒸气分压相等以及空化泡壁的运动满足球形对称运动.考虑到液体的粘度、表面张力和溶剂的蒸气压对气泡壁运动的影响,修正RPNN P方程[5～7],对气泡进行质量衡算、动量衡算并且联列求解,可以得到气泡的泡壁在声波作用下运动的基本模型方程为RR+(3/2)R2=d-1[(p0+2e/R0)(R0/R)3κ-2e/R-4g R/R-p0+p v+p a sin k a t],(1)式中R为气泡的瞬时半径(m),R0为气泡初始半径(m),R为空化泡壁上质点的运动速率(m·s-1), R为空化泡壁上质点的运动加速度(m·s-2),p0为空化泡外的初始压力(Pa),p v为空化泡内的蒸气压力(Pa,25℃时水为 3.2718k Pa),p a为超声的声压幅值(Pa),e为液体的表面张力(25℃时水为7. 25×10-2N·m-1),g为液体的运动粘度(_/d,25℃时水为1×10-6m2·s-1),κ为气体的多变指数, _为液体的粘度(25℃时水为1×10-3Pa·s),k a为超声的角频率.初始条件为t=0,R=R0,R=d R/d t=0.1.2 瞬态空化泡崩溃时泡内的最高温度和最大压力假设瞬态空化泡的收缩(直到崩溃)过程是绝热过程,则空化泡崩溃时泡内的最高温度(T max)与最大压力(p max)可用下式表示[1]:T max=T min[p m(V-1)/p v],p max=p min[p m(V-1)/p v]V/(V-1),(2)式中T max为空化泡崩溃时泡内达到的最高温度(K),T min为液相的主体温度(K),p m为泡外作用于泡的总压力(Pa),p min为气泡初始半径R0时空化泡内总压力(Pa),p v为液相主体温度下液体的平衡蒸气压(Pa),V为气体的比热容比.1.3 模型方程的MATLAB模拟求解由于方程(1)是非线性常微分方程,故要直接得到它的解析解比较困难,可通过M ATLAB采用数值迭代法求其数值解进行模拟.[11]2 模型方程的计算结果与讨论2.1 超声频率对空化过程的影响在25℃的水中,当空化泡的初始半径R0为 2.6μm时,应用声压幅值p a分别为131.7, 2026.5k Pa,频率f a分别为19.6,24.0,48.0,76.0k Hz的正弦变化的超声作用,模拟得到的空化泡半径随时间的变化关系见图 1.由图1可见,(a)中曲线在它的一个周期内有10个波峰,为稳态空化过程,而(b)中曲线在它的两个周期内只有1个波峰,为瞬态空化过程.表明相同频率下,其他实验条件保持不变,声压幅值较小时空化泡的运动为稳态空化,声压幅值较大时空化泡的运动为瞬态空化.由图1还可发现,在相同声压和其他实验条件保持不变时,无论空化过程为稳态空化还是瞬态空化,随着超声波的频率变大,空化泡的振幅总是变小.因此在超声应用过程中,当其他实验条件保持相同时,为了提高超声作用的效果,应该采用低频的超声波.2.2 超声声压幅值变化对空化过程的影响在25℃的水中,取空化泡的初始平衡半径R0为2.6μm,在频率f a为19.6k Hz,不同声压幅值p a 的超声作用下,模拟所得的空化泡半径随时间变化的关系曲线如图2所示.由图2(a)可见,当声压幅值p a较小时,超声空化为稳态空化过程,随着p a的增加,空化泡半径变化幅度增加了,即相应的空化泡的运动加剧;空化泡的振动周期也随着p a的增加而增长了.这是由于p a 的增大,在超声的正压区,超声对空化泡的拉伸作用加强,使得空化泡的半径增加也变大了;而在超声的负压区域,超声对空化泡的压缩作用加强了,使得空化泡的半径减小得也更多了,这必然导致空化泡运动一次所需的时间加长,即运动周期变长了.56图1 水中空化泡半径随时间变化的关系曲线Fig .1 Radius -time curves for an air bubble in water .Time ismeasured in the units of the period T of the acoustic f ieldR 0= 2.6μm;(a)p a =131.7k Pa;(b)p a =2026.5k Pa;f a /k Hz :①19.6,②24.0,③48.0,④76.图2 水中空化泡半径随时间变化的关系曲线Fig .2 Radius -time curves for an air bubble in water .Time ismeasured in the units of the period T of the acoustic f ieldp 0=101.325k Pa;R 0= 2.6μm;f a =19.6k Hz ;p a /p 0:(a)① 1.3,② 1.4,③ 1.5,④ 1.6;(b)①1,②3,③5,④10,⑤15,⑥20,⑦25,⑧30,⑨40,1080,1100,12150,13200,14250,15300 图2(b )表明,当p a 增大到超过p 0时,气泡扩张到其初始大小的若干倍(一个比在图2(a )中稳态空化的最大半径大得多的半径值),随后就是一个快速猛烈的崩溃.随着p a 的增大,空化泡达到的最大半径增大,生长和崩溃都变得更加激烈,而且空化泡的生存时间也更长.当p a 增大到超过20倍p 0时,最后崩溃前的极大值从1个变为2个,甚至3个.其原因是:当p a 增加到一定值以后,空化泡的半径在超声的正压区内变得很大,以至于它在随后的负压区内无法完全崩溃,于是在下一个正压区内会进行第二次生长,并且在第二个正压区的峰值附近达到一个最大值后才发生更加猛烈的崩溃.由上述模拟结果与分析可以得知,无论是瞬态空化还是稳态空化,要使空化泡的运动比较剧烈,都须采用声压幅值比较高的超声波,即采用功率较大的超声波发生仪.2.3 空化泡初始平衡半径对空化过程的影响在25℃的水中,在声压幅值p a 为101.325k Pa 、频率f a 为19.6k Hz 的超声作用下,不同初始平衡半径R 0的空化泡模拟所得的空化泡半径随时间的变化关系见图3.由图3(a)可见,当空化泡的R 0较小时,尚未达到共振半径,产生的是稳态空化,空化泡的振幅较小,而且随着R 0的增加,空化泡振动时的振幅迅速增加,空化泡的运动也越来越剧烈.由图3(a )中曲线3和图3(b )中曲线4可见,空化泡初始平衡半径的微小变化(在本条件下R 0由0.60μm 变为0.61μm )就使得空化过程由瞬态空化转化为稳态空化,而且空化泡半径所达到的最大值57第1期许文林等:超声空化气泡运动方程的求解及过程模拟图3 水中空化泡半径随时间变化的关系曲线Fig .3 Radius -time curves for an air bubble in water .Time ismeasured in the units of the period T a of the acoust ic f ieldf a =19.6k Hz ;p a =101.325k Pa;R 0/μm:(a)①0.2,②0.4,③0.6;(b )④0.61,⑤0.65,⑥0.7,⑦ 1.0;(c)⑧ 5.3,⑨ 5.4,10 6.0增加了几十倍.由图3(b )还可以看出,产生瞬态空化时,随着R 0的增加,空化泡半径的最大值先增加而后减小,当R 0为某一值时(在本条件下为0.7μm)时,该最大值半径达到最大,此时的R 0为该条件下发生共振空化泡的初始平衡半径.因此,可以由模型模拟来预测一定条件下空化泡的共振半径.由图3(c )可以看出,当R 0继续增加到某一值(在本条件下R 0由5.3μm 增加到5.4μm )时,瞬态空化的峰由1个增加到3个.由模拟计算可知,此后随着R 0的增加,空化泡振动的峰越来越多,当大于一定值(在本条件下R 0>10μm)时,空化泡的运动又成为稳态空化,但是空化运动的最大半径要比图3(a )中大得多,这主要是因R 0增加所致.由上述模拟结果和分析可知,在实际应用超声强化过程中,当其他条件已经保持恒定时,应根据不同的操作目的,采取适当的手段来改变空化泡的初始半径,如通过预先脱气、向溶液中鼓气等手段获得一定的R 0,以满足一定的空化条件.2.4 溶液主体温度和超声声压幅值对空化泡崩溃时泡内的最高温度和最大压力的影响由式(2)进行模拟计算,可得空化泡崩溃时泡内的最高温度T max 、最大压力p max 随p a 和T min 的变化关系(图4～7).图4 空化泡崩溃时最高温度随声压幅值的变化关系Fig .4 Relat ion between T maxin bubble and p a /p 0图5 空化泡崩溃时最高压力随声压幅值的变化关系Fig .5 Relation between p max in bubble and p a /p 0 由图4～7可见,由模拟所得的空化泡崩溃时泡内的最高温度T max 随p a 的增加而增加,泡内的最大压力p max 随p a 的微小增加而迅速升高;当环境温度T min 升高时,T max 快速降低,而p max 在较低温度下很大,当T min 略有升高时,p max 迅速降低,当T min 升高到313.15K 以后,p max 已经很小了.根据热化学理论,空化泡崩溃时产生的高温、高压是产生反应的主要原因.要将超声作为化学反应的能量源,必须58扬州大学学报(自然科学版)第8卷图6 空化泡崩溃时最高温度随主体温度的变化关系Fig .6 Relat ion between T maxin bubble and T m in 图7 空化泡崩溃时最高压力随主体温度的变化关系Fig .7 Relation between p max in bubble and T min采取能够使空化泡在崩溃时产生高温高压的操作条件,在实验过程中必须采用声压幅值比较高的超声发生装置,而且系统的操作温度不宜太高.因此,超声化学反应对温度要求低或在通常温度下的反应过程特别有利.采用有机溶剂时,因为溶剂的挥发性大,故超声空化的效应一般较小.3 结论建立了超声作用于均相液体时的空化泡运动的动力学模型,用M AT LAB 对模型方程进行了模拟求解.结果表明:在其他条件一定的情况下,超声频率变大,空化泡的振幅变小;随着p a 的增加,空化泡的运动加剧,振动周期也随之增长;对于瞬态空化泡,p a /p 0在2～300之间改变时,随着p a 的增加,空化泡达到的最大半径增大,生长和崩溃都变得更加剧烈,而且空化泡的生存时间更长.p a 增加到超过25倍于p 0时,最后崩溃前的极大值从1个变为2个乃至3个;当其他条件一定时,随着空化泡初始平衡半径R 0的增加,液体由稳态空化变为瞬态空化又变为振幅更大的稳态空化,稳态空化泡的振幅随着R 0值的增加而增大,瞬态空化则是在共振频率时振幅值达到最大值;随着声压幅值p a 的增加,空化泡崩溃时泡内的最高温度T max 、最大压力p max 也大幅度增加,环境温度T min 升高,T max 快速降低,p max 也迅速减小,且当T min 高于313.15K 以后,p max 很小;在实际应用中,应根据不同操作目的,选择所用的条件和参数,以调控空化的形式及其产生的结果.参考文献:[1] 陈思忠,袁易全.近代超声原理与应用[M ].南京:南京大学出版社,1996.[2] 许文林,王雅琼,孙彦平.超声波在电化学反应过程中的应用[J].太原科技,1995,(4):6～8.[3] 许文林,王雅琼.超声在有机废水处理中的应用[J].水处理技术,2001,27(1):70～73.[4] 王雅琼,傅相林,李 敏,等.超声对电解水阳极放氧过程的影响[J].扬州大学学报(自然科学版),2003,6(1):29～32.[5] 许文林,傅相林,王雅琼,等.超声对铁氰化钾电化学还原反应速率的影响[J].扬州大学学报(自然科学版),2003,6(2):21～24.[6] N EPPI RA S E A.Aco ustic cav ita tio n [J].Physics Repo r ts (Rev iew Sec tion of Physics Le tters),1980,61(3):159～251.[7] SERV AN T G,CA L T A GI RO N E J P,G EV A RD A ,et a l.N umerical simulatio n o f cavita tio n bubble dynamics in-duced by ultraso und wav es in a high f requency r eacto r [J ].Ultra so n Sonochem ,2000,7:217～227.[8] R AE J ,ASHO K K U M A R M ,EU L A ERT S O ,et al.Estimation of ult rasound induced cavita tio n bubble tem per a-tur es in a queous solutio ns [J ].Ultr ason Sonochem ,2005,12:325～329.(下转第68面)59第1期许文林等:超声空化气泡运动方程的求解及过程模拟扬州大学学报(自然科学版)第8卷The effect of membrane treatment processes onbiological stability of drinking waterJI Ro ng-ping1,2,LU Xi-w u2(1.Coll of Environ Sci&Engin,Yangzhou Univ,Yang zhou225009,China;2.Dept of Environ Engin,Southeas t Univ,Nanjing210096,China)Abstract:The effect of microfiltratio n,ultrafiltratio n,na nofiltratio n and rev erse osmosis o n removal o rganic po llutants in drinking w ater w as discussed in this pa per.The influence of membrane trea tment processes o n biolo gical stability of drinking w ater wa s analy zed.The process o f microfiltra tio n and ul-trafiltra tion is not biological stable.The effluent of nano filtratio n a nd rev erse osmo sis has better bio-sta bility.Keywords:membrane trea tment process;biolo gical stability;drinking w ater treatm ent(责任编辑 晓 文)(上接第59面)[9] M EID AN I A R,HA SAN M.M athema tical and physical modelling of bubble g ro w th due to ultraso und[J].ApplM ath M odelling,2004,28:333～351.[10] BA L ASU BRA M AN IAM R.Brief co mmunicatio n ther mocapilla ry and buo yant bubble mo tio n[J].Int J M ulti-phase Flo w,1998,24(4):679～683.[11] 许文林,王雅琼,傅相林,等.化工过程计算和过程模拟中的M A T L AB求解[J].扬州大学学报(自然科学版),2004,7(1):49～54.Modeling and simulation of bubble motion caused by ultrasoundXU Wen-lin,HE Yu-fang,W AN G Ya-qiong(Coll of Chem&Chem Engin,Yang z h ou Univ,Yang z h ou225002,China)Abstract:The mo del to describe bubble dy namic m otio n ca used by ultraso und w as presented,w hich included the effects of fluid viscosity,surface tensio n and va po r pressure o f the solv ent.The general m odel equa tion w as solved and the cav itatio n process was simulated using M ATLAB.The effects of the factors,such as ultra sonic frequency,ultrasonic intensity and initial radius of the bubble,on the bubble mo tion and cavitation process,and the maxim um tem perature and pressure affected by bulk solutio n tem perature a nd the ultrasonic intensity in collapsing bubble w ere discussed in aqueo us solu-tion.The sim ulation results show that the frequency,the ultrasonic intensity and the initial radius of the bubble hav e g reat effects on the bubble dy namics a nd cav itatio n process a nd bo th of the maxim um tempera ture and pressure a re v ery sensitiv e to the bulk solution temperature and the ultrasonic inten-sity.This w o rk provides a v ery important basis fo r the a pplicatio n o f ultrasound to a v ariety of chemi-cal systems.Keywords:ultrasound;cavitatio n;dy namic m odel;simulation(责任编辑 时 光) 68。
题目：使用Ricker 子波，刚性边界条件，并且初值为零，在均匀各向同性介质条件下，利用交错网格法求解一阶二维声波方程数值解。
解：一阶二维声波方程：22222221zPx P t P c ∂∂+∂∂=∂∂ (1)将其分解为：21P c t Px P z x z x z V V x z V tV t ∂∂∂⎧=+⎪∂∂∂⎪∂∂⎪=⎨∂∂⎪∂∂⎪=⎪∂∂⎩(2)对分解后的声波方程进行离散，可得到：112211,-1,,,122[]N n n n n m i m j i m j xi j xi j m t VVc P P h +-+---=∆=+-∑ 112211,1,,,122[]Nn n n n m i j m i j m zi j zi j m t VV c P P h +-++---=∆=+-∑ 1111212222,,m 1,,,,11[]Nn n n n n n i ji jmxi j xi m j zi j m zi j m m tc PP cVVVVh+++++++-+--=∆=+-+-∑h z x =∆=∆针对公式(1)，使用二阶中心差商公式：2P(,,1)2(,,)(,,1)i j n P i j n P i j n t +-+-∆222(1,,)2(,,)(1,,)(,1,)2(,,)(,1,)P i j n P i j n P i j n xc P i j n P i j n P i j n z +-+-⎧⎫+⎪⎪⎪⎪∆=⎨⎬+-+-⎪⎪⎪⎪⎩∆⎭(3)变形：P(,,1)=2(,,)(,,1)i j n P i j n P i j n +--2222(1,,)2(,,)(1,,)t (,1,)2(,,)(,1,)P i j n P i j n P i j n xc P i j n P i j n P i j n z +-+-⎧⎫+⎪⎪⎪⎪∆+∆⎨⎬+-+-⎪⎪⎪⎪⎩∆⎭(4)对离散格式作时间和空间三重Fourier 变换：0P(,,)(,,)x z i j n P k k w ↔ ，0P(,,1)(,,)*exp()x z i j n P k k w iw t +↔∆0P(1,,)(,,)*exp(k )x z x i j n P k k w i x +↔-∆，0z P(,1,)(,,)*exp(k )x z i j n P k k w i z +↔-∆对公式(4)进行Fourier 变换：2222exp()2exp()h exp()2()exp()2exp()h x x z z ik x ik x iw t iw t t c ik z ik z -∆-+∆⎡⎤+⎢⎥∆=--∆+∆⎢⎥-∆-+∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦2222exp()2exp()h exp()2()=exp()2exp()h x x z z ik x ik x iw t iw t t c ik z ik z -∆-+∆⎡⎤+⎢⎥∆-+-∆∆⎢⎥-∆-+∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦222222sin sin 22sin (2x z k x k zw tt c h∆∆+∆=∆） (5) 公式(5)右端必须满足下列条件：22222sin sin 220(x z k x k zt c h∆∆+≤∆≤）1 取x k 和z k 最大值，即=x x k π∆，z =k z π∆，则有：22220t c h≤∆≤1因此tc ∆≤即为所求得的稳定性条件。
波动方程的声波问题波动方程是数学中一个重要的概念，被广泛用于描述各种波动现象。
在声学方面，波动方程特别适用于描述声波的传播。
声波是指通过介质传播的机械波，其传播的速度和方向受到介质的物理特性限制，比如介质的密度、弹性模量、粘度等。
本文将介绍波动方程的声波问题，以及其在实际应用中的应用。
1.声波问题是波动方程的一种常见应用，其数学表达式如下：∂²p/∂t²=c²∇²p其中p为声音信号的压力，c为声音在介质中传播的波速。
式中的∇²表示拉普拉斯算子，是对p的三个空间坐标的二阶偏导数之和。
显然，这个方程是一个偏微分方程，需要使用相应的数学方法来求解。
声波问题包括声源、传播介质和接收器三个部分。
声源产生的声音信号通过传播介质，最终被接收器接收。
在介质中，声波会受到反射、折射、衍射等影响，因此声波的传播路径十分复杂。
通过解决波动方程，可以计算出声波的传播路径和强度分布，为实际应用提供依据。
2.波动方程的应用波动方程的声波问题在实际应用中有着广泛的应用。
以下列举几个代表性的应用领域。
（1）声学成像：声学成像是指通过声波来成像的技术，可以用于地质勘探、医学成像等领域。
在地质勘探中，利用地下介质的物理特性和声波的传播规律，通过测量声波的传播时间和强度分布，来探测地下的矿藏、油气储层等信息。
（2）声波障碍物检测：声波障碍物检测是指利用声波来检测物体表面的缺陷和裂纹等缺陷。
在实际应用中，通常是将声波通过物体表面传递，并通过接收器捕获反弹回来的声波。
通过分析反射回来的声波信号，可以确定物体表面的缺陷位置和大小。
（3）无损检测：无损检测是工程领域中的一种常用检测技术，可以用于检测工程材料的裂纹、疲劳损伤等缺陷。
声波是一种非常有用的无损检测方法，因为它可以穿透材料，在材料内部产生反射和散射，从而捕获材料内部缺陷的信息。
3.结语波动方程是数学中一个重要的概念，在各个领域中都有着广泛的应用。
声波方程数值模拟实验报告实验要求：1、应用声波方程作为正演模拟的波动方程；2、将所提供震源函数离散后绘图；3、给定两个二维速度-深度模型（一个小模型；一个大模型），绘出图形来；4、对于小模型，整个区域的速度值可设为常数，即只有一种介质，将震源点放在模型中间，分别记录两个时刻的波前快照（即该时刻区域内所有网格点的波场值）。
第一时刻为地震波还未传播到边界上的某时刻，第二时刻为地震波已经传播到边界上的某时刻，体会其人工边界反射；5、对于大模型，定义为水平层状速度模型（至少两层）；做两个实验，一是将震源点放在区域表层任一点，记录下某些时刻的波前快照，体会地震波在两种介质的分界面上传播规律；二是合成一个地震记录，即记录下与震源同一深度点的各点所有时刻的波场值，并指出记录上的同向轴分别对应哪些波。
实验目的：1.通过本次作业，加深对波动方程的理解，明白波动方程所代表的物理意义。
2. 通过模拟地震波在介质中的传播，理解实际勘探中地震波在地层中的传播规律。
3. 通过模拟水平层状速度模型，体会地震波在两种介质分界面的传播规律，并能够从地震记录中识别出反射波，透射波，多次波，折射波和绕射波。
4. 通过模拟人工合成的地震记录，体会地震勘探基本原理和方法，验证地震波传播能量波形变化趋势。
需要的已知条件包括：1）震源函数2）地层速度（波速）3）边界条件2．弹性波方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂)()()(22222222222222z w x w v t w t S z u x u v t u s p 声波方程的有限差分法数值模拟对于二维速度-深度模型，地下介质中地震波的传播规律可以近似地用声波方程描述：)()(2222222t S zu x u v t u +∂∂+∂∂=∂∂ （4-1） (,)v x z 是介质在点（x , z ）处的纵波速度，u 为描述速度位或者压力的波场，)(t s 为震源函数。
声场亥姆霍兹方程一、亥姆霍兹方程的引出（一）波动方程在声学中，对于小振幅声波的传播，在均匀的、静止的理想流体介质中，声波的波动方程为：∇^2p - (1)/(c^2)frac{∂^2p}{∂ t^2} = 0其中p是声压，∇^2是拉普拉斯算符，c是声速，t是时间。
（二）时谐声波假设当考虑时谐声波（即声波随时间作简谐变化）时，设p(→r,t)=P(→r)e^-iω t，这里→r是空间位置矢量，ω = 2π f是角频率，f是频率，P(→r)是仅与空间位置有关的复声压幅值。
将p(→r,t)=P(→r)e^-iω t代入波动方程∇^2p - (1)/(c^2)frac{∂^2p}{∂ t^2} = 0，可得：∇^2(P(→r)e^-iω t)-(1)/(c^2)frac{∂^2(P(→r)e^-iω t)}{∂ t^2} = 0由于(∂)/(∂ t)(e^-iω t)=-iω e^-iω t，frac{∂^2}{∂ t^2}(e^-iω t)=-ω^2e^-iωt方程变为：e^-iω t∇^2P(→r)+frac{ω^2}{c^2}P(→r)e^-iω t= 0两边同时消去e^-iω t，就得到了亥姆霍兹方程：∇^2P(→r)+k^2P(→r) = 0，其中k = (ω)/(c)称为波数。
二、亥姆霍兹方程在声场中的物理意义（一）描述稳态声场亥姆霍兹方程描述的是稳态（时谐）声场中声压幅值P(→r)的空间分布规律。
它反映了在给定频率ω下，声波在空间中的传播和分布特性，与声源的特性、传播介质的性质以及边界条件等因素密切相关。
（二）与能量分布的联系在声场中，声能量密度与声压的平方成正比。
亥姆霍兹方程通过确定声压幅值的分布，间接地反映了声场中能量的分布情况。
例如，在亥姆霍兹方程的解中，声压幅值较大的区域通常对应着较高的声能量密度区域，这有助于我们理解声波在空间中的聚焦、散射等能量相关的现象。
三、求解亥姆霍兹方程（一）分离变量法1. 直角坐标系下- 对于直角坐标系(x,y,z)，设P(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)，将其代入亥姆霍兹方程∇^2P + k^2P = 0，其中∇^2=frac{∂^2}{∂ x^2}+frac{∂^2}{∂ y^2}+frac{∂^2}{∂z^2}。
无限域中的声场波动方程1.1波动理论波动理论是研究声信号的振幅和相位在声场中的变化，它适用低频，数学上复杂、物理意义不直观的声场分析方法。
在封闭空间或半关闭空间，反射波的互相干涉要形成一系列的固有振动，称之为简正波。
简正方式理论是引用量子力学中本征值的概念并加以发展而形成的。
1.2建立波动方程为更清楚地了解声波的物理本质，我们先对介质条件和声波做出一定的限制，而得到形式简洁的波动方程，并通过它认识声波的物理本质。
假设条件：介质是处于静止、均匀、连续的状态：所处于的介质是一种理想的流体介质，即忽略粘滞性和热传导；声波是小振幅波。
连续性方程即质量守恒定律：介质流入体元的净质量等于密度变化引起的体元内质量的增加。
事实上，当介质本身有流动时，中含有介质流动速度的影响，相关理论可参阅朗道著《连续介质力学》。
考虑到假设介质是静止的，（1）式和（2）式中没有考虑介质流动速度的影响。
在理想流体介质声传播过程中，还没有来得及进行热交换，声波传播（介质的压缩和膨胀）的力学过程已经完成，这一过程近似为绝热过程，即无热传导。
绝热过程中，P为压强，p为密度，下标S表示绝热过程。
本节后面讨论波动方程的解时，可知c为声波在介质中的传播速度。
声速是介质固有的特性，是由介质的物理参数所确定的。
下面由理想流体介质的绝热状态方程导出声速c和介质参数的关系。
一定质量理想流体的绝热状态方程为其中，P。
和p，分别为平衡态下流体的压强和密度，y为流体定压比热和定容比热之比。
在绝热状态下，流体压强只是密度的函数。
更进一步，利用小振幅近似可以给出声速的近似表式。
由式（3）可知，c只是密度p的函数。
将c:在p，附近展开得，运动方程实质上连续流体介质中的牛顿第二定律。
式中，本地加速度、迁移加速度。
对于小振幅波，迁移加速度项为二阶小量，略去后再根据假设条件，求散度（两端同时左乘V），将（2）式两端对时间求偏导数，注意到时、空导数次序对调不变，消去振速项，可得波动方程。
水中三维声波的波动方程在水中产生声波的过程可以理解为一种波动现象，声波的波动方程是描述声波在水中传播的数学公式。
在三维空间中，声波的波动方程可以分为时间和空间两个方面考虑。
首先，我们来看声波在时间上的波动方程。
在水中产生声波的过程中，声源会以一定频率震动，产生波动并传播到水中。
因此声波在时间上的波动方程可以表示为：∂²P/∂t² - c²∇²P = 0其中，P是声波的压力变化， t是时间，∇²是空间弯曲度（即声波在三维空间中的摆动方式）， c是声波在水中的传播速度。
其次，我们再来看声波在三维空间中的波动方程。
由于空间中具有三个维度，因此声波在三个维度上的波动方程需要分别表示。
在直角坐标系中，声波在x、y、z三个方向上的波动方程可以表示为：∂²P/∂x² + ∂²P/∂y² + ∂²P/∂z² - 1/c² ∂²P/∂t² = 0其中， P是声波的压力变化， x、y、z是三维空间的坐标轴， t是时间， c是声波在水中的传播速度。
这个方程也可以用向量运算的形式表示：∇²P - 1/c² ∂²P/∂t² = 0其中，∇²是拉普拉斯算子，P是表示声波压力的矢量函数。
总结来说，声波的波动方程是描述声波在水中传播的数学公式。
在三维空间中，声波的波动方程可以分为时间和空间两个方面考虑，在直角坐标系中可以表示为∂²P/∂t² - c²∇²P = 0 或者∇²P - 1/c² ∂²P/∂t² = 0。
这个方程在声学研究和海洋工程等领域中具有重要的应用价值。
