2019-2020学年高中数学 2.基本初等函数 指数函数及其性质(一)教案 新人教A版必修1.doc

2.1.2 指数函数及其性质课标要点课标要点学考要求高考要求1.指数函数的概念b b2.指数函数的图象c c3.指数函数的性质c c4.利用函数图象解决问题c c学法指导1.明确指数函数的概念，会求指数函数的解析式．2．借助指数函数的图象来学习函数性质，学会用数形结合的方法解决有关问题．3．在掌握指数函数的图象与性质的基础上，学会解决与指数函数有关的复合函数问题．第1课时指数函数及其性质知识点一指数函数的定义函数y＝a x(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量．指数函数解析式的3个特征(1)底数a为大于0且不等于1的常数．(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.(3)a x的系数是1.知识点二 指数函数的图象与性质a >1 0<a <1图象性 质定义域 R 值域(0，＋∞)过定点 过点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1函数值 的变化 当x >0时，y >1； 当x <0时，0<y <1 当x >0时，0<y <1； 当x <0时，y >1 单调性 是R 上的增函数是R 上的减函数底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a>1时，指数函数的图象是“上升”的；当0<a<1时，指数函数的图象是“下降”的．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y ＝x 2是指数函数．( )(2)指数函数y ＝a x中，a 可以为负数．( ) (3)指数函数的图象一定在x 轴的上方．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√2．下列各函数中，是指数函数的是( ) A ．y ＝(－3)xB ．y ＝－3xC ．y ＝3x －1D ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x解析：根据指数函数的定义y ＝a x(a >0且a ≠1)可知只有D 项正确． 答案：D 3．函数f (x )＝12x－1的定义域为( ) A ．R B ．(0，＋∞) C ．[0，＋∞) D．(－∞，0) 解析：要使函数有意义，则2x －1>0，∴2x>1，∴x >0. 答案：B4．已知集合A ＝{x |x <3}，B ＝{x |2x>4}，则A ∩B ＝( ) A ．∅ B ．{x |0<x <3} C ．{x |1<x <3} D ．{x |2<x <3}解析：依据函数y ＝2x是增函数，可得B ＝{x |2x>4}＝{x |x >2}，则A ∩B ＝{x |2<x <3}． 答案：D类型一 指数函数概念的应用例1 (1)若y ＝(a 2－3a ＋3)a x是指数函数，则有( ) A ．a ＝1或2 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a >0且a ≠1(2)指数函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14，那么f (4)·f (2)等于________． 【解析】 (1)由指数函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0，a ≠1.解得a ＝2.(2)设y ＝f (x )＝a x (a >0，a ≠1)，所以a －2＝14，所以a ＝2，所以f (4)·f (2)＝24×22＝64. 【答案】 (1)C (2)64(1)根据指数函数的定义可知，底数a>0且a≠1，a x的系数是1.(2)先设指数函数为f(x)＝a x，借助条件图象过点(－2，14)求a ，最后求值．方法归纳(1)判断一个函数是指数函数的方法①看形式：只需判定其解析式是否符合y ＝a x(a >0，且a ≠1)这一结构特征．②明特征：指数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是指数函数． (2)已知某函数是指数函数求参数值的基本步骤跟踪训练1 (1)若函数y ＝(3－2a )x为指数函数，则实数a 的取值范围是________； (2)下列函数中是指数函数的是________．(填序号) ①y ＝2·(2)x②y ＝2x －1③y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ④y ＝x x⑤y ＝3－1x ⑥y ＝x 13.解析：(1)若函数y ＝(3－2a )x为指数函数，则⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，3－2a ≠1，解得a <32且a ≠1.(2)①中指数式(2)x的系数不为1，故不是指数函数；②中y ＝2x －1＝12·2x ，指数式2x 的系数不为1，故不是指数函数；④中底数为x ，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；⑤中指数不是x ，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填③.答案：(1)(－∞，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 (2)③(1)指数函数系数为1. (2)底数>0且≠1.类型二 指数函数的图象问题例2 (1)如图所示是下列指数函数的图象： ①y ＝a x②y ＝b x③y ＝c x④y ＝d x则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是( ) A ．a <b <1<c <d B ．b <a <1<d <c C ．1<a <b <c <d D ．a <b <1<d <c (2)当a >0且a ≠1时，函数f (x )＝ax －3－2必过定点________．【解析】(1)可先分为两类，③④的底数一定大于1，①②的底数一定小于1，然后再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象向下越靠近x轴，故选B.(2)当a>0且a≠1时，总有f(3)＝a3－3－2＝－1，所以函数f(x)＝a x－3－2必过定点(3，－1)．【答案】(1)B (2)(3，－1)(1)先由a>1,0<a<1两个角度来判断函数的单调性，确定函数图象．(2)由y＝a x过定点(0,1)来求f(x)过定点．方法归纳指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：(1)无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝a x(a>0，a≠1)的图象与直线x＝1相交于点(1，a)，由图象可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大．(2)指数函数的底数与图象间的关系可概括记忆为：在第一象限内，底数自下而上依次增大．跟踪训练2 (1)已知1>n>m>0，则指数函数①y＝m x，②y＝n x的图象为( )(2)若a>1，－1<b<0，则函数y＝a x＋b的图象一定在( )A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限解析：(1)由于0<m<n<1，所以y＝m x与y＝n x都是减函数，故排除A、B，作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝m x的图象，故选C.(2)∵a>1，且－1<b<0，故其图象如右图所示．答案：(1)C (2)A,由底数的范围判断函数图象．类型三 指数函数的定义域、值域问题 例3 (1)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132x －1－27的定义域是( ) A ．[－2，＋∞) B ．[－1，＋∞) C ．(－∞，－1] D ．(－∞，－2] (2)已知f (x )＝3x －b(2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为( )A ．[9,81]B ．[3,9]C ．[1,9]D ．[1，＋∞)【解析】 (1)由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫132x －1－27≥0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫132x －1≥27，即⎝ ⎛⎭⎪⎫132x －1≥⎝ ⎛⎭⎪⎫13－3，又指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 为R 上的单调减函数，所以2x －1≤－3，解得x ≤－1.(2)由f (x )的图象过点(2,1)可知b ＝2，由f (x )＝3x －2在[2,4]上是增函数，可知f (x )min＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9，可知C 正确．【答案】 (1)C (2)C(1)首先根式有意义，然后根据函数的单调性解指数不等式． (2)根据函数的单调性求值域． 方法归纳 (1)对于y ＝af (x )这类函数，①定义域是指使f (x )有意义的x 的取值范围． ②值域问题，应分以下两步求解： ⅰ由定义域求出u ＝f (x )的值域；ⅱ利用指数函数y ＝a u的单调性或利用图象求得此函数的值域． (2)对于y ＝(a x )2＋b ·a x＋c 这类函数， ①定义域是R .②值域可以分以下两步求解： ⅰ设t ＝a x，求出t 的范围；ⅱ利用二次函数y ＝t 2＋bt ＋c 的配方法求函数的值域．跟踪训练3 (1)求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2的定义域与值域．(2)函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a .解析：(1)由x －2≥0，得x ≥2，所以定义域为{x |x ≥2}．当x ≥2时，x －2≥0，又因为0<13<1，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2的值域为{y |0<y ≤1}． (2)①若a ＞1，则f (x )在[1,2]上单调递增，最大值为a 2，最小值为a ，所以a 2－a ＝a2，即a ＝32或a ＝0(舍去)．②若0＜a ＜1，则f (x )在[1,2]上单调递减，最大值为a ，最小值为a 2，所以a －a 2＝a2，即a ＝12或a ＝0(舍去)．综上所述，a 的值为12或32.(1)偶次根式被开方数大于等于0. (2)先判断函数单调性，再求最值.[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －3·a x 是指数函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．－2 2 D ．2 2解析：∵函数f (x )是指数函数，∴12a －3＝1，∴a ＝8.∴f (x )＝8x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝812＝2 2. 答案：D2．在同一坐标系中，函数y ＝2x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象之间的关系是( )A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称解析：由作出两函数图象可知，两函数图象关于y 轴对称，故选A. 答案：A3．当x ∈[－1,1]时，函数f (x )＝3x－2的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，53 B ．[－1,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－53，1 D ．[0,1] 解析：因为指数函数y ＝3x在区间[－1,1]上是增函数，所以3－1≤3x ≤31，于是3－1－2≤3x－2≤31－2，即－53≤f (x )≤1.故选C.答案：C4．如果指数函数f (x )＝(a －1)x是R 上的单调减函数，那么a 的取值范围是( ) A ．a <2 B ．a >2 C ．1<a <2 D ．0<a <1解析：由题意知0<a －1<1，即1<a <2. 答案：C5．在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝ax 与g (x )＝a x的图象可能是( )解析：需要对a 讨论：①当a >1时，f (x )＝ax 过原点且斜率大于1，g (x )＝a x是递增的；②当0<a <1时，f (x )＝ax 过原点且斜率小于1，g (x )＝a x是减函数，显然B 正确．答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．若指数函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，116，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝________.解析：设f (x )＝a x(a >0且a ≠1)． 因为f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，116， 所以116＝a －2，所以a ＝4. 所以f (x )＝4x， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝4－32＝18. 答案：187．函数f (x )＝1－e x的值域为________．解析：由1－e x≥0得，e x≤1，故函数f (x )的定义域为{x |x ≤0}，所以0<e x≤1，－1≤－e x<0,0≤1－e x<1，函数f (x )的值域为[0,1)．答案：[0,1)8．已知函数f (x )＝4＋ax －1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________．解析：令x －1＝0，得x ＝1，此时f (1)＝5.所以函数f (x )＝4＋a x －1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点P (1,5)．答案：(1,5)三、解答题(每小题10分，共20分)9．设f (x )＝3x，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x .(1)在同一坐标系中作出f (x )，g (x )的图象；(2)计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？解析：(1)函数f (x )与g (x )的图象如图所示：(2)f (1)＝31＝3，g (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3；f (π)＝3π，g (－π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－π＝3π；f (m )＝3m ，g (－m )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ＝3m .从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y 轴对称．10．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝21x－1；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1322 2.x －解析：(1)要使y ＝21x－1有意义，需x ≠0，则21x≠1；故21x－1>－1且21x－1≠0，故函数y ＝21x－1的定义域为{x |x ≠0}，函数的值域为(－1,0)∪(0，＋∞)．(2)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1322 2.x －的定义域为实数集R ，由于2x 2≥0，则2x 2－2≥－2.故0<⎝ ⎛⎭⎪⎫1322 2.x －≤9，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1322 2.x －的值域为(0,9]． [能力提升](20分钟，40分)11．函数y ＝a x在区间[0,1]上的最大值和最小值的和为3，则函数y ＝3ax －1在区间[0,1]上的最大值是( )A ．6B ．1C ．5 D.32解析：由于函数y ＝a x在[0,1]上为单调函数， 所以有a 0＋a 1＝3，即a ＝2.所以函数y ＝3ax －1，即y ＝6x －1在[0,1]上单调递增，其最大值为y ＝6×1－1＝5.故选C.答案：C12．若关于x 的方程2x－a ＋1＝0有负根，则a 的取值范围是________． 解析：因为2x＝a －1有负根， 所以x <0， 所以0<2x<1. 所以0<a －1<1. 所以1<a <2. 答案：(1,2)13．求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋2，x ∈[－2,2]的值域．解析：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2，令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则y ＝t 2－3t ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－14.∵x∈[－2,2]，∴14≤t＝⎝⎛⎭⎪⎫12x≤4，当t＝32时，y min＝－14；当t＝4时，y max＝6.∴函数y＝⎝⎛⎭⎪⎫14x－3×⎝⎛⎭⎪⎫12x＋2，x∈[－2,2]的值域是[－14，6]．14．若函数f(x)＝a x－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．解析：当a>1时，f(x)在[0,2]上递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧f0＝0，f2＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧a0－1＝0，a2－1＝2.∴a＝± 3.又a>1，∴a＝3；当0<a<1时，f(x)在[0,2]上递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧f0＝2，f2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a0－1＝2，a2－1＝0.解得a∈∅.综上所述，实数a的值为 3.- 11 -。

第1课时 指数函数的图象及性质【基础练习】1．若函数f (x )＝(a 2－3a ＋3)a x是指数函数，则( ) A ．a ＝1B ．a ＝2C ．a ＝1或a ＝2D ．a >0且a ≠1【答案】B【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0且a ≠1，解得a ＝2.2.当x >0时，函数f (x )＝(a 2－1)x的值总大于1，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<|a |< 2 B ．|a |<1 C ．|a |>1 D ．|a |> 2【答案】D【解析】依题意得a 2－1>1，a 2>2，∴|a |> 2.3.函数y ＝xa x|x |(0<a <1)的图象的大致形状是( )【答案】D【解析】当x >0时，y ＝a x(0<a <1)，故去掉A ，B ；当x <0时，y ＝－a x，与y ＝a x(0<a <1，x <0)的图象关于x 轴对称，故选D ．4.若a >1，－1<b <0，则函数y ＝a x＋b 的图象一定在( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、三、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、二、四象限【答案】A【解析】∵a >1，且－1<b <0，∴函数图象如图所示.5.指数函数y ＝(2－a )x在定义域内是减函数，则实数a 的取值范围是________. 【答案】(1,2)【解析】由题意可知，0＜2－a ＜1，即1＜a ＜2.6.函数y ＝ax －5＋1(a ≠0)的图象必经过点________.【答案】(5,2)【解析】指数函数的图象必过点(0,1)，即a 0＝1，由此变形得a 5－5＋1＝2，所以所求函数图象必过点(5,2).7.函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象有什么特征？你能根据图象指出其值域和单调区间吗？【解析】因为|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，所以当x ≥0时，函数为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；当x <0时，函数为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2x ，其图象由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x (x ≥0)和y ＝2x (x <0)的图象合并而成.而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x (x ≥0)和y ＝2x(x <0)的图象关于y 轴对称，所以原函数图象关于y 轴对称.由图象可知值域是(0,1]，递增区间是(－∞，0)，递减区间是[0，＋∞).8.若关于x 的方程a x＝3m －2(a ＞0且a ≠1)有负根，求实数m 的取值范围.【解析】若a ＞1，由x ＜0，则0＜a x＜1，即0＜3m －2＜1，∴23＜m ＜1；若0＜a ＜1，由x ＜0，则a x ＞1，即3m －2＞1，∴m ＞1.综上可知，当a >1时，23<m <1；当0<a <1时，m >1.【能力提升】9.函数y ＝5－|x |的图象是( )【答案】D【解析】当x ＞0时，y ＝5－|x |＝5－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ，又原函数为偶函数，故选D ．10.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＞0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3【答案】A【解析】依题意，f (a )＝－f (1)＝－21＝－2，∵2x＞0，∴a ≤0.∴f (a )＝a ＋1＝－2，故a ＝－3.故选A ．11．方程|2x－1|＝a 有唯一实数解，则a 的取值范围是________． 【答案】{a |a ≥1，或a ＝0}【解析】作出y ＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y ＝a 与图象的交点只有一个，则a ≥1或a ＝0.12．已知函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)，在区间[1,2]上的最大值为m ，最小值为n . (1)若m ＋n ＝6，求实数a 的值； (2)若m ＝2n ，求实数a 的值．【解析】(1)∵无论0<a <1还是a >1，函数f (x )的最大值都是a 和a 2的其中一个，最小值为另一个，∴a 2＋a ＝6，解得a ＝2或a ＝－3(舍去)，故a 的值为2.(2)当0<a <1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，其最小值为f (2)＝a 2，最大值为f (1)＝a .由a ＝2a 2，解得a ＝0(舍去)或a ＝12，∴a ＝12.当a >1时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，其最小值为f (1)＝a ，最大值为f (2)＝a 2. 由a 2＝2a ，解得a ＝0(舍去)或a ＝2.∴a ＝2. 综上，实数a 的值为12或2.。

第二章　基本初等函数(Ⅰ)2.1　指数函数2.1.2　指数函数及其性质(第一课时)学习目标①通过实际问题了解指数函数的实际背景;②理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质;③体会从具体到一般的数学讨论方式及数形结合的思想.合作学习一、设计问题,创设情境情境1:我们来考虑一个与医学有关的例子:大家对“水痘”应该并不陌生,它与其他的传染病一样,有一定的潜伏期,这段时间里病原体在机体内不断地繁殖,病原体的繁殖方式有很多种,分裂就是其中的一种.我们来看一种球菌的分裂过程:某种球菌分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,4个分裂成8个,…一个这样的球菌分裂x次后,得到的球菌的个数y与x的关系式是y=2x.情景2:某种机器设备每年按6%的折旧率折旧,设机器的原来价值为1,经过x年后,机器的价值为原来的y倍,则y与x的关系为y=0.94x.问题1:你能从上面的两个例子中得到的关系式里找到什么异同点吗?共同点:　;不同点:　.二、自主探索,尝试解决指数函数的概念:一般地,函数y=a x(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.问题2:为什么指数函数对底数有“a>0,且a≠1”的要求呢?三、信息交流,揭示规律问题3:你能类比以前研究函数性质的思路,提出研究指数函数性质的方法和内容吗?研究方法:　.研究内容:定义域、值域、 、 、 .问题4:如何来画指数函数的图象呢?画函数图象通常采用: 、 、 .有时,也可以利用函数的有关性质画图.问题5:画出指数函数y=2x ,y=()x 的图象并观察图象有什么特征?12问题6:函数y=2x 与y=()x 的图象有什么关系?能否由y=2x 的图象得到y=()x 的图象?1212问题7:选取底数a 的若干不同的值,在同一平面直角坐标系内作出相应的指数函数的图象.观察图象,能否发现它们有类似于问题5与问题6中的性质?问题8:通过你们画的图象以及老师的演示,你们能发现怎样的规律呢?问题9:从特殊到一般,指数函数y=a x (a>1)有哪些性质?并类比得出y=a x (0<a<1)的性质.指数函数y=a x (a>0且a ≠1)的图象和性质如下表所示:a>10<a<1图象(1)定义域: (2)值域: (3)过定点 ,即x=0时,y=1性质(4)在 上是增函数 (4)在 上是减函数强调:利用函数图象研究函数性质是一种直观而形象的方法,记忆指数函数性质时可以联想它的图象,记住性质的关键在于要脑中有图.四、运用规律,解决问题【例1】已知指数函数f (x )=a x (a>0,且a ≠1)的图象经过点(3,π),求f (0),f (1),f (-3)的值.【例2】指出下列函数哪些是指数函数.(1)y=4x ;(2)y=x 4;(3)y=-4x ;(4)y=(-4)x ;(5)y=πx ;(6)y=4x 2;(7)y=x x ;(8)y=(2a-1)x (a>,且a ≠1).12五、变式演练,深化提高1.若函数y=(a 2-3a+3)·a x 是指数函数,则a= .2.函数f (x )=(a 2-1)x 在R 上是减函数,则a 的取值范围是( )A.|a|>1B.|a|<2C.a<D.1<|a|<223.函数f (x )=a x (a>0,且a ≠1)对于任意的实数x ,y 都有( )A.f (xy )=f (x )f (y )B.f (xy )=f (x )+f (y )C.f (x+y )=f (x )f (y )D.f (x+y )=f (x )+f (y )4.函数f (x )=a x 与g (x )=ax-a 的图象大致是( )5.若a>1,-1<b<0,则函数y=a x +b 的图象一定在( )A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限C.第二、三、四象限D.第一、二、四象限6.函数y=a |x|(a>1)的图象是( )六、反思小结,观点提炼本节课的目的是掌握指数函数的概念、图象和性质.在理解指数函数的定义的基础上,掌握指数函数的图象和性质是本节课的重点.1.知识点: 、 和 .2.研究步骤:定义→图象→性质→应用.3.思想方法: 、 .七、作业精选,巩固提高1.课本P 59习题2.1A 组第6,9题;2.课本P 60习题2.1B 组第3题.参考答案一、设计问题,创设情境问题1:共同点:变量x 与y 构成函数关系式,是指数的形式,自变量在指数位置,底数是常数不同点:底数的取值不同二、自主探索,尝试解决问题2:若a=0,当x>0时,a x 恒等于0,没有研究价值;当x ≤0时,a x 无意义;若a<0,例如当a=-2,x=时,无意义,没有研究价值;12-2若a=1,则1x =1,a x 是一个常量,也没有研究的必要.所以规定a>0且a ≠1.三、信息交流,揭示规律问题3:研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的性质研究内容:图象　单调性　奇偶性问题4:列表　描点　连线问题5:函数y=2x 的图象位于x 轴的上方,向左无限接近 x 轴,向上无限延伸,从左向右看,图象是上升的,与y 轴交于(0,1)点.函数y=()x 的图象位于x 轴的上方,向右无限接近x 轴,向上无限延伸,从左向右看,图象是12下降的,与y 轴交于(0,1)点.问题6:y=2x 与y=()x 的图象关于y 轴对称.实质是y=2x 上的点(-x ,y )与y=()x 上的点(x ,y )1212关于y 轴对称.所以可以先画其中一个函数的图象,利用轴对称的性质可以得到另一个函数的图象.问题7:分别取a=3,,4,,即在同一平面直角坐标系内作出指数函数y=3x ,y=()x ,y=4x ,y=(13141314)x 的图象.可用多媒体画出y=3x ,y=()x ,y=4x ,y=()x 的图象如下:1314问题8:底数分a>1和0<a<1两种情况.问题9:R (0,+∞)　(0,1)　R R。

指数函数及其性质一、【教学目标】1.知识与技能：理解指数函数的概念，画出具体指数函数图象，能通过观察图象得出两类指数函数图象的位置关系；在理解函数概念的基础上，能应用所学知识解决简单的数学问题；2.过程与方法：在教学过程中，利用画板作图加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；3.情感、态度、价值观：通过本节课自主探究研讨式教学，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识。

二、【学情分析】指数函数式在学生系统学习了函数概念，基本掌握函数性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及其性质的第一次应用．教材在之前的学习中给出链各个实际的例子（GDP的增长问题和碳14的衰减问题），已经让学生感受到了指数函数的实际背景，但这两个例子的背景对于学生来说有些陌生．本节课先设计两个看似简单的问题，但能通过得到超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。

三、【教材分析】本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学1》（人教A版）第二章第一节第二课【（2．1．2）《指数函数及其性质》．根据实际情况，将《指数函数及其性质》划分为三节课指数函数及其性质、指数函数及其性质的应用（1）、指数函数及其性质的应用（2）】，这是第一节“指数函数及其性质”．指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。

四、【教学重难点】1.教学重点：指数函数的概念、底数互为倒数的指数函数的图象关于y轴对称。

2.教学难点:底数a的范围讨论，自变量的取值范围以及由函数的图象归纳指数函数的性质。

五、【教学方法】自主预习、合作探究、体验践行。

六、【教学设备】多媒体设备。

七、 【课时安排】第一课时(新知课)。

八、 【教学过程】(一) 创设情境，引出问题（约3分钟）师：观察图片，你能说出这是什么吗？生：国际象棋师：这盘象棋隐含了这么一个故事？生：．．．．师：国王为了奖励发明者达依尔特许诺满足他提的任意一个请求，那么达伊尔提出如下要求在棋盘第一格放2粒大米，第二格放4粒大米，第三格放8粒大米，…按这个规律．最后一格棋盘上的大米数就是我要的．请问：最后一格的大米数是多少呢？生：642师：那么国王能否满足他的要求呢？【学情预设】学生会说能．也有说不能的．教师公布数据体会指数函数的爆炸增长，642粒大米是每年全世界粮食产量的1000多倍，显然国王是满足不了他的请求．师：请写出米粒数与棋盘格数的函数关系式．生：{}2,1,2,,64xy x =∈L 师： “一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话来自著名的《庄子·天下篇》，哪位同学能用数学语言来表述它的含义？生：。

2.1.2 指数函数及其性质(一)学习目标 1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性；2.掌握指数函数图象的性质；3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域．知识点一 指数函数思考1 细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x 次分裂得到y 个细胞，那么细胞个数y 与次数x 的函数关系式是什么？这个函数式与y ＝x 2有什么不同？答案 y ＝2x .它的底为常数，自变量为指数，而y ＝x 2恰好反过来．一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 思考2 指数函数定义中为什么规定了a >0且a ≠1? 答案 原因如下：(1)如果a <0，比如y ＝(－4)x ，这时对于x ＝14，x ＝12等，在实数范围内函数值不存在；(2)如果a ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧当x >0时，a x恒等于0，当x ≤0时，a x无意义. (3)如果a ＝1，y ＝1x ＝1，是个常数函数，没有研究的必要． 知识点二 指数函数的图象和性质思考 函数的性质包括哪些？如何探索指数函数的性质？答案 函数性质通常包括定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性．可以通过描点作图，先研究具体的指数函数性质，再推广至一般． 指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象和性质：R类型一 求指数函数的解析式例1 已知指数函数f (x )的图象过点(3，π)，求函数f (x )的解析式．解 设f (x )＝a x，将点(3，π)代入，得到f (3)＝π，即a 3＝π，解得：a ＝13π，于是f (x )＝3πx . 反思与感悟 根据指数函数的定义，a 是一个常数，a x 的系数为1，且a >0，a ≠1.指数位置是x ，其系数也为1，凡是不符合这个要求的都不是指数函数．要求指数函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的解析式，只需要求出a 的值，要求a 的值，只需一个已知条件即可．跟踪训练1 已知指数函数y ＝(2b －3)a x 经过点(1,2)，求a ，b 的值． 解 由指数函数定义可知2b －3＝1，即b ＝2. 将点(1,2)代入y ＝a x ，得a ＝2. 类型二 指数函数图象的应用例2 直线y ＝2a 与函数y ＝|2x －1|图象有两个公共点，求实数a 的取值范围．解 y ＝|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，x <02x－1，x ≥0，图象如下：由图可知，要使直线y ＝2a 与函数y ＝|2x －1|图象有两个公共点， 需0<2a <1，即0<a <12.反思与感悟 指数函数是一种基本函数，与其他函数一道可以衍生出很多函数，本例就体现了指数函数图象的“原料”作用．跟踪训练2 函数y ＝a |x |(a >1)的图象是( )答案 B解析 函数y ＝a |x |是偶函数，当x >0时，y ＝a x .由已知a >1，故选B. 类型三 求指数函数与其他函数复合所得函数的定义域、值域 例3 求下列函数的定义域、值域． (1)y ＝3x 1＋3x ；(2)y ＝4x －2x＋1. 解 (1)函数的定义域为R (∵对一切x ∈R,3x ≠－1)． ∵y ＝(1＋3x )－11＋3x ＝1－11＋3x ，又∵3x >0,1＋3x >1， ∴0<11＋3x<1，∴－1<－11＋3x <0，∴0<1－11＋3x<1，∴值域为(0,1)． (2)定义域为R ，y ＝(2x )2－2x ＋1＝(2x －12)2＋34，∵2x >0，∴2x ＝12，即x ＝－1时，y 取最小值34，同时y 可以取一切大于34的实数，∴值域为[34，＋∞)．反思与感悟 指数函数y ＝a x 与y ＝f (x )的复合方式主要是y ＝a f (x )和y ＝f (a x )．函数y ＝a f (x )(a >0且a ≠1)与函数f (x )的定义域相同，求与指数函数有关的函数的值域时，要达到指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性．跟踪训练3 求下列函数的定义域、值域：()1110.3x y -＝；()2y ＝解 (1)由x －1≠0得x ≠1， 所以函数定义域为{x |x ≠1}． 由1x －1≠0得y ≠1，所以函数值域为{y |y >0且y ≠1}． (2)由5x －1≥0得x ≥15，所以函数定义域为{x |x ≥15}．由5x －1≥0得y ≥1，所以函数值域为{y |y ≥1}．1．下列各函数中，是指数函数的是( ) A ．y ＝(－3)x B ．y ＝－3x C ．y ＝3x －1D ．y ＝(13)x答案 D2．若函数y ＝(2a －1)x (x 是自变量)是指数函数，则a 的取值范围是( ) A ．a >0，且a ≠1 B ．a ≥0，且a ≠1 C ．a >12，且a ≠1D ．a ≥12答案 C3．曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x 和y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是( )A ．a <b <1<c <dB ．a <b <1<d <cC ．b <a <1<c <dD ．b <a <1<d <c答案 D4．已知3x ＝10，则这样的x ( ) A ．存在且只有一个 B ．存在且不只一个 C ．存在且x <2 D ．根本不存在 答案 A5．若集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |y ＝2x ，x ∈R }，则下列结论错误的是( ) A ．A ∩B ＝A B ．A ∩B ＝∅ C ．A ∪B ＝R D ．A ∪B ＝B答案 B1．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y ＝a x (a ＞0且a ≠1)这一结构形式，即a x 的系数是1，指数是x 且系数为1.2．指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的性质分底数a ＞1,0＜a ＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的．3．由于指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的定义域为R ，即x ∈R ，所以函数y ＝a f (x )(a ＞0且a ≠1)与函数f (x )的定义域相同．4．求函数y ＝a f (x )(a ＞0且a ≠1)的值域的方法如下： (1)换元，令t ＝f (x )，并求出函数t ＝f (x )的定义域； (2)求t ＝f (x )的值域t ∈M ；(3)利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t 在t ∈M 上的值域．一、选择题1．下列函数中指数函数的个数为( )①y ＝(12)x ；②y ＝(12)x －1；③y ＝2·3x ；④y ＝x 12；⑤y ＝1x ；⑥y ＝(12)2x －1.A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析 由定义知除(1)外都不是指数函数． 2．函数y ＝(a 2－4a ＋4)·a x 是指数函数，则有( ) A ．a ＝1或a ＝3B ．a ＝1C ．a ＝3D ．a >0且a ≠1答案 C解析 由a 2－4a ＋4＝1且a ≠1可得a ＝3.3．当a >2时，函数y ＝a x 和y ＝(a －1)x 2的图象只能是( )答案 A解析 由a >2，得a －1>0，故抛物线开口向上，指数函数在R 上递增，故选A. 4．已知0<a <1，b <－1，则函数y ＝a x ＋b 的图象必定不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 A解析 取a ＝12，b ＝－2，所以得函数y ＝(12)x －2，由图象平移的知识知，函数y ＝(12)x －2的图象是由函数y ＝(12)x 的图象向下平移两个单位得到的，故其图象一定不过第一象限．5．一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b %，则n 年后这批设备的价值为( ) A ．na (1－b %) B ．a (1－nb %) C ．a [1－(b %)n] D ．a (1－b %)n答案 D解析 一年后价值为a －ab %＝a (1－b %)，两年后价值为a (1－b %)－a (1－b %)b %＝a (1－b %)2，…，n 年后价值为a (1－b %)n ，故选D.6．设指数函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)，则下列等式中不正确的是( ) A ．f (x ＋y )＝f (x )f (y )B ．f (x －y )＝f (x )f (y )C ．f (nx )＝[f (x )]n (n ∈Q )D ．[f (xy )]n ＝[f (x )]n [f (y )]n (n ∈N *) 答案 D解析 f (x ＋y )＝a x ＋y ＝a x a y ＝f (x )f (y )，A 对； f (x －y )＝ax －y＝a x a －y＝a x ay ＝f xf y，B 对； f (nx )＝a nx ＝(a x )n ＝[f (x )]n ，C 对；[f (xy )]n ＝(a xy )n ，[f (x )]n [f (y )]n ＝(a x )n (a y )n ≠(a xy )n ，D 错． 二、填空题7．函数y ＝32－2x 的定义域是________． 答案 (－∞，5]解析 要使函数式有意义，需32－2x ≥0,32≥2x,25≥2x ，解得x ≤5. 8．函数y ＝3x 与y ＝(13)x 的图象关于________对称．答案 y 轴解析 y ＝(13)x ＝3－x ，(x ，y )与(－x ，y )关于y 轴对称．9．已知5a ＝0.3,0.7b ＝0.8，则ab 与0的大小关系是________． 答案 ab <0解析 由f (x )＝5x 与g (x )＝0.7x 的图象可知，5a ＝0.3<1时，a <0，同理b >0.所以ab <0.10．给出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥3，f (x ＋1)，x <3，则f (x )的值域为________．答案 [8，＋∞)解析 当x ≥3时，2x ≥23＝8；当x <3时，皆可通过有限次加1转化为第一类． 三、解答题11．若函数f (x )＝(a 2－7a ＋7)a x 是指数函数，求实数a 的值． 解 ∵函数f (x )＝(a 2－7a ＋7)a x 是指数函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－7a ＋7＝1，a ＞0，a ≠1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1或a ＝6，a ＞0，a ≠1.∴a ＝6，即a 的值为6.12．求函数y ＝32x －1－19的定义域、值域．解 要使函数有意义可得到不等式32x －1－19≥0，即32x －1≥3－2，又函数y ＝3x 是增函数，所以2x －1≥－2，即x ≥－12，即定义域是[－12，＋∞)，值域是[0，＋∞)．13．已知x ∈[－3,2]，求f (x )＝14x －12x ＋1的最小值与最大值．解 f (x )＝14x －12x ＋1＝4－x －2－x ＋1＝2－2x －2－x ＋1＝(2－x －12)2＋34，∵x ∈[－3,2]，∴14≤2－x≤8，则当2－x ＝12，即x ＝1时，f (x )有最小值34，当2－x ＝8，即x ＝－3时，f (x )有最大值57.。

知识导图明确指数函数的概念，会求指数函数的解析式．借助指数函数的图象来学习函数性质，学会用数形结合的方．在掌握指数函数的图象与性质的基础上，学会解决与指数函数有关的复合函数问题．第1课时　指数函数及其性质a>1过点(0,1)时，y＝1x>0时，0<y<1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1单调性是R上的增函数是R上的减函数底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a>1时，指数函数的图象是“上升”的；当0<a<1时，指数函数的图象是“下降”的．答案：D A ．a ＝1或2 B ．a ＝1C ．a ＝2 D ．a >0且a ≠1(2)指数函数y ＝f (x )的图象经过点，那么f (4)·f (2)等于(－2，14)________．【解析】　(1)由指数函数的定义得Error!解得a ＝2.1若函数y ＝(3－2a )x 为指数函数，则实数下列函数中是指数函数的是________．(填序号(π)⑥y ＝x .13解析：(1)若函数y ＝(3－2a )x 为指数函数，则Error!解得a <且a ≠1.32(2)①中指数式()x 的系数不为1，故不是指数函数；②中21类型二　指数函数的图象问题如图所示是下列指数函数的图象：的大小关系是( )(1)先由a>1,0<a<1两个角度来判断函数的单调性，确定函数图象．(2)由y＝a x过定点(0,1)来求f(x)过定点．方法归纳指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：(1)无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝a x(a>0，a≠1)1<b<0，则函数y＝a x＋b的图象一定在．第一、二、三象限　B．第一、三、四象限．第二、三、四象限D．第一、二、四象限0<m<n<1，所以y＝m x与y＝n x都是减函数，故排答案：　(1)C 由底数的范围判断函数图象．例3　(1)函数y ＝ 的定义域是( )(3)2x －1－27A ．[－2，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－2](2)已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为( )A ．[9,81]B ．[3,9]C ．[1,9]D ．[1，＋∞)解析：(1)由x －2≥0，得x ≥2，所以定义域为{x |x ≥2}．当x ≥2时，≥0，又因为0<<1，所以y ＝的值域为x －213(13)x －2{y |0<y ≤1}．(2)①若a ＞1，则f (x )在[1,2]上单调递增，最大值为a 2，最小值为a ，所以a 2－a ＝，即a ＝或a ＝0(舍去)．a 232)A.答案：A3．当x ∈[－1,1]时，函数f (x )＝3x －2的值域是( )A. B ．[－1,1][1，53][－53，1]讨论：＝ax 过原点且斜率大于1，g (②当0<a <1时，f (x )＝ax 过原点且斜率小于1，g (x )＝a x 是减函数，显然B 正确．答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．若指数函数y ＝f (x )的图象经过点，则(－2，116)(－3)x )的图象如图所示：(2)f (1)＝31＝3，g (－1)＝－1＝3；(13)f (π)＝3π，g (－π)＝－π＝3π；(13)为y＝6×1－1＝5.故选C.答案：C12．若关于x的方程2x－a＋1＝0有负根，则a的取值范围是________．解析：因为2x＝a－1有负根，所以x<0，所以0<2x<1.。