212指数函数及其性质第二课时

第二课时指数函数及其性质的应用利用函数单调性比较大小问题[例1] 比较下列各题中两个值的大小．(1)1.73.5,1.73(2)2.3－0.28,0.67－3.1[自主解答] (1)∵指数函数y＝1.7x是增函数，而3.5>3故而1.73.5>1.73.(2)∵y＝2.3x为增函数，∴2.3－0.28<2.30＝1.又∵y＝0.67x为减函数，∴0.67－3.1>0.670＝1.∴0.67－3.1>1>2.3－0.28，即0.67－3.1>2.3－0.28.——————————————————在进行指数式的大小比较时：(1)指数不同，底数相同，利用指数函数的单调性来解决；(2)底数不同，指数也不同；采用中介值法，取a0＝1作为中介来比较．————————————————————————————————————————1．比较下列各题中两个值的大小：(1)1.82.2,1.83；(2)0.7－0.3,0.7－0.4；(3)1.90.4,0.92.4.解：(1)∵1.82.2,1.83可看作函数y＝1.8x的两个函数值，∵1.8>1，∴y＝1.8x在R上为增函数，∴1.82.2<1.83.(2)∵y ＝0.7x在R 上为减函数， 又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4.(3)∵1.90.4>1.90＝1,0.92.4<0.90＝1， ∴1.90.4>0.92.4.[例2] 如果a－5x>ax ＋7(a >0，且a ≠1)，求x 的取值范围．[自主解答] ①当a >1时，∵a －5x>ax ＋7，∴－5x >x ＋7，解得x <－76.②当0<a <1时，∵a－5x>ax ＋7，∴－5x <x ＋7，解得x >－76.综上所述，当a >1时，x 的取值范围是：x <－76；当0<a <1时，x 的取值范围是：x >－76.若将“a－5x>ax ＋7(a >0，且a ≠1)”改为“(a 2＋a ＋2)－5x>(a 2＋a ＋2)x ＋7”，如何求解？解：∵a 2＋a ＋2＝(a ＋12)2＋74>1，∴y ＝(a 2＋a ＋2)x在R 上是增函数． ∴－5x >x ＋7，即x <－76，∴x 的取值范围是x <－76.——————————————————解指数不等式问题，需注意三点： 1形如a x >a y 的不等式，借助y ＝a x的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论；2形如a x>b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x的单调性求解；3形如a x>b x 的形式，利用图象求解.————————————————————————————————————————2．解下列不等式：(1)2x >8；(2)(12)x >2；(3)0.32－x 2>1.解：(1)∵2x >8＝23且y ＝2x为增函数， ∴x >3.(2)(12)x >2＝212＝(12)12 且y ＝(12)x为减函数，∴x <－12.(3)0.32－x 2>1＝0.30且y ＝0.3x为减函数， ∴2－x 2<0，x >2或x <－ 2.指数函数的实际应用题[例3] 某乡镇现在人均一年占有粮食360 kg ，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x 年后若人均一年占有y kg 粮食，求y 关于x 的函数解析式．[自主解答] 设该乡镇现在人口数量为M ，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M kg. 1年后，该乡镇粮食总产量为360M (1＋4%)kg ，人口数量为M (1＋1.2%)， 则人均一年占有粮食为360M 1＋4%M 1＋1.2%kg ，2年后，人均一年占有粮食为360M 1＋4%2M 1＋1.2%2kg ，x 年后，人均一年占有粮食为y ＝360M 1＋4%x M 1＋1.2%xkg ，即所求函数解析式为y ＝360(1.041.012)x (x ∈N *)．——————————————————某量原值为a ，通过若干次变化，每次比上一次的增长率或减少率为r ，则x 次后该量的值变为a (1＋r )x或a (1－r )x.————————————————————————————————————————3．1980年我国人均收入255美元，到2000年人民生活达到小康水平，人均收入为817美元，则年平均增长率是多少(精确到1%)？若以不低于此增长率的速度递增，则到2020年人均收入至少为多少美元(精确到1美元)?解：设年平均增长率是x ，由题意得y ＝255×(1＋x )n，因为到2000年人均收入为817美元，即n ＝2 000－1 980＝20时，y ＝817， 所以817＝255×(1＋x )20. 所以x ≈0.06.到2020年，即n ＝2 020－1 980＝40. 此时y ＝255×(1＋0.06)40≈2 623.即年平均增长率是6%，若以不低于此增长率的速度递增，则到2020年人均收入至少是2 623美元．解题高手 妙解题同样的结果，不一样的过程，节省解题时间，也是得分！已知a >0且a ≠1，讨论函数f (x )＝a －x 2＋3x ＋2的单调性．[巧思] 求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝f (u )，u ＝φ(x )，通过考查f (u )和φ(x )的单调性，求出y ＝f (φ(x ))的单调性．一般情况下，两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数；若两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，但一定要注意复合函数的定义域．这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性的题目，指数－x 2＋3x ＋2＝－(x －32)2＋174，当x ≥32时是减函数；当x <32时是增函数，而f (x )的单调性又与a 的取值范围有关，应分类讨论．[妙解] 设u ＝－x 2＋3x ＋2＝－(x －32)2＋174，则当x ≥32时，u 是减函数，当x <32时，u 是增函数．又因为当a >1时，y ＝a u是增函数， 当0<a <1时，y ＝a u是减函数，所以当a >1时，原函数f (x )＝a －x 2＋3x ＋2在[32，＋∞)上是减函数，在(－∞，32)上是增函数．当0<a <1时，原函数f (x )＝a －x 2＋3x ＋2在[32，＋ ∞)上是增函数，在(－∞，32)上是减函数．1．下列各关系中，正确的是( ) A ．(12)23<(15)23<(12)13B ．(12)13<(12)23<(15)23C ．(15)23<(12)13<(12)23D ．(15)23<(12)23<(12)13解析：函数y ＝(12)x 为减函数，而13<23.∴(12)13>(12)23，又∵12>15，∴(12)23>(15)23. 答案：D2．已知函数f (x )＝(13)x在[－1,0]上的最大值是( )A ．－1B ．0C ．1D ．3解析：∵函数y ＝(13)x在[－1,0]上为单调减函数，∴y 最大＝(13)－1＝3.答案：D3．若(14)2a ＋1<(14)3－2a，则实数a 的取值范围是( )A ．(12，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，12)解析：∵函数y ＝(14)x为单调减函数，且(14)2a ＋1<(14)3－2a，则有2a ＋1>3－2a ， 4a >2，∴a >12.答案：A 4．方程4x－2x ＋1－3＝0的解是________．解析：原方程可化为(2x )2－2(2x)－3＝0，解得2x＝3或2x＝－1， ∵2x>0，∴2x＝3，∴x ＝log 23.故答案为log 23. 答案：log 235．已知函数f (x )＝a －12x ＋1，若f (x )为奇函数，则a ＝________.解析：∵函数f (x )为奇函数， ∴f (0)＝a －12＝0.∴a ＝12.答案：126．已知2x≤(14)x －3，求函数y ＝(12)x 的值域．解：∵2x ≤(14)x －3，即2x ≤26－2x，∴x ≤6－2x ，∴x ≤2. ∴y ＝(12)x ≥(12)2＝14，∴函数值域是[14，＋∞)．一、选择题1．已知集合M ＝{－1,1}，N ＝{x |12<2x ＋1<4，x ∈Z }，则M ∩N 等于( )A ．{－1,1}B ．{－1}C ．{0}D ．{－1,0}解析：∵12<2x ＋1<4,2－1<2x ＋1<22，且y ＝2x是增函数．∴－1<x ＋1<2， －2<x <1.∴N ＝{x |－2<x <1，x ∈Z }＝{－1,0}． ∴M ∩N ＝{－1}． 答案：B2．如果函数f (x )＝(1－2a )x 在实数集R 上是减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．(0，12)B ．(12，＋∞)C ．(－∞，12) D ．(－12，12) 解析：∵f (x )＝(1－2a )x 为减函数，∴0<1－2a <1，－1<2a －1<0，0<2a <1,0<a <12. 答案：A3．预测人口的变化趋势有多种方法，最常用的是“直接推算法”，使用的公式是P n ＝P 0(1＋k )n (k 为常数)，其中P n 为预测期内n 年后的人口数，P 0为初期人口数，k 为预测期内的年增长率，如果－1<k <0，那么在这期间人口数( )A ．呈上升趋势B ．呈下降趋势C ．先上升后下降D ．先下降后上升 解析：P n ＝P 0(1＋k )n 是指数型函数，∵－1<k <0，∴0<1＋k <1.由y ＝a x(0<a <1)是(－∞，＋∞)上的减函数可知，人口数呈下降趋势． 答案：B4．已知实数a ，b 满足等式(12)a ＝(13)b ，下列五个关系式： ①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析：如图所示，在同一坐标系中作出函数y ＝(12)x 和y ＝(13)x 的图象，由(12)a ＝(13)b 可知点(a ，(12)a )和点(b ，(13)b )的纵坐标相同，此时有三种情况，第一种是a ＝b ＝0时，即两点都在(0,1)处时取得，另外两种情况如图所示的两直线与两函数相交时的a ，b 关系，由图易知可能是a <b <0和0<b <a ，因此只有①②⑤是可能成立的．答案：B二、填空题5．函数y ＝2x－1的定义域是________．解析：要使函数有意义则2x －1≥0即x ≥0.答案：[0，＋∞)6．设函数f (x )＝x (e x ＋a ·e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________． 解析：∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )．而f (－x )＝－x (e －x ＋a ·e x )＝－ax e x －x e －x ＝x e x ＋ax e －x，∴－a ＝1，即a ＝－1. 答案：－1 7．函数f (x )＝(13)x －1，x ∈[－1,2]的值域为________． 解析：∵函数f (x )＝(13)x －1为[－1,2]上单调减函数，∴f (x )max ＝f (－1)＝3－1＝2. f (x )min ＝f (2)＝19－1＝－89.答案：[－89，2] 8．若函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >1)在[－1,1]上有最大值14，则实数a 的值为________．解析：令t ＝a x ∈[1a ，a ]，则原函数可化为：y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2，易知在[1a，a ]上是单调增函数．则a 2＋2a －1＝14，解之得a ＝3或a ＝－5(舍去)．∴实数a 的值为3.答案：3三、解答题9．已知函数f (x )＝a x 在x ∈[－2,2]上恒有f (x )<2，求实数a 的取值范围． 解：当a >1时，f (x )＝a x 在[－2,2]上为增函数，∴f (x )max ＝f (2)．又∵x ∈[－2,2]时，f (x )<2恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，f 2<2即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a 2<2 解得1<a < 2. 同理，当0<a <1时， ⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，f x max ＝f －2<2 解得22<a <1. 综上所述，a ∈(22，1)∪(1，2)． 10．讨论函数f (x )＝(13)x 2－2x 的单调性．解：∵函数f (x )的定义域是R .令u ＝x 2－2x ，则f (u )＝(13)u∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上是减函数， 又∵f (u )＝(13)u 在其定义域内是减函数，∴函数f (x )在(－∞，1]上是增函数；又u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在[1，＋∞)上是增函数， ∵f (u )＝(13)u 在其定义域内是减函数，∴函数f (x )在[1，＋∞)上是减函数．。

2．1.2指数函数及其性质(第二课时)一、教学目标：知识与技能：进一步掌握指数函数的性质以及指数函数性质的应用，培养学生实际应用函数的能力。

过程与方法：通过进一步观察图象，归纳、总结提升指数函数的性质。

结合性质的应用过程，领会数形结合、转化与化归的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。

情感态度与价值观：通过学生的参与过程，让学生体验到数学的科学价值和应用价值，培养学生多思勤练的学习习惯和勇于探索，锲而不舍的治学精神。

二、教学重点、难点：教学重点：指数函数性质及其应用。

教学难点：指数函数的性质在指数型函数中的应用。

三、教学过程：（一）性质的简单应用1、回顾上节课学习的指数函数的性质。

2、讲评昨天的作业P59 5，引出求定义域的问题。

练习：优化设计P32 例2求值域.3、解决上节课留下的思考题：比较2a 和3a()10≠>a a 且的大小.探究完以后，完成习题2.1B 组1.求不等式()101472≠>>--a a a a x x 且 中x 的取值范围.练习：（优化P34 例2）如果()10512≠>>-+a a a ax x 且，求x 的取值范围.设计意图：让学生应用指数函数的性质，解简单的指数不等式. 4、课本例6.结合优化设计P33随堂练习 4. （二）性质的进一步探究1、课本P57 例7 （3） 比较下列各题中两个值的大小：()1.33.09.07.13与解：由指数函数的性质可知，17.17.103.0=> 19.09.001.3=<所以1.33.09.07.1<.结合这道题目，将表将表格填充完整。

函数的定义域为R 非奇非偶函数 函数的值域为()0,+∞过定点（0），即x =0时,y =1在R 上增函数在R 上减函数1,0>>x a x 1,0<>x a x 练习：（优化设计P33 例1（2））()1.328.067.03.22--与（二）指数函数及指数型函数的应用课本P57 例8.练习1：用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的43，写出存留污垢y 与漂洗次数x 的函数关系式，若要使存留的污垢，不超过原有的1%，则少要漂洗几次（此题为人教社B 版101页第6题）. 四、课后作业习题2.1 A 8、9 B 3、4y=a x (a >1)y =1xyy=a x (0<a <1) y =1 yx O。

2.1.2 指数函数及其性质（二）（一）教学目标1．知识与技能：（1）理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质.（2）体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；2．过程与方法：展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质.3．情感、态度与价值观（1）让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理.（2）培养学生观察问题，分析问题的能力.（二）教学重点、难点1．教学重点：指数函数的概念和性质及其应用.2．教学难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用.（三）教学方法采用观察、分析、归纳、抽象、概括，自主探究，合作交流的教学方法，利用多媒体教学，使学生通过观察图象，总结出指数函数的性质，调动学生参与课堂教学的主动性和积极性．从而培养学生的观察能力，概括能力.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入复习指数函数的概念和图象.1.指数函数的定义一般地，函数xy a（a＞0且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.2.指数函数的图象生：复习回顾师：总结完善复习旧知，为新课作铺垫.问题：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性.形成概念图象特征a＞1 0＜a＜1向x轴正负方向无限延伸图象关于原点和y轴不对称函数图象都在x轴上方函数图象都过定点（0，1）自左向右，图象逐渐上升自左向右，图象逐渐下降在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1师：引导学生观察指数函数的图象，归纳出图象的特征.生：从渐进线、对称轴、特殊点、图象的升降等方面观察指数函数的图象，归纳出图象的特征.师：帮助学生完善.通过分析图象，得到图象特征，为进一步得到指数函数的性质作准备.概念深化函数性质a＞1 0＜a＜1函数的定义域为R非奇非偶函数函数的值域为R+a=1增函数减函数x＞0，x a＞1 x＞0，x a＜1生：从定义域、值域、定点、单调性、范围等方面研究指数函数的性质.师：帮助学生完善.获得指数函数的性质.x ＜0，xa ＜1x ＜0，xa ＞1问题：指数函数xy a =（a ＞0且a ≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系.师：画出几个提出问题.生：画出几个底数不同的指数函数图象，得到指数函数xy a=（a ＞0且a ≠1），当底数越大时，在第一象限的函数图象越高.（底大图高）明确底数是确定指数函数的要素.应用 举例例1 求下列函数的定义域、值域 （1）110.3x y -= （2）513x y -=课堂练习（P 64 2）例2（P 62例7）比较下列各题中的个值的大小（1）1.72.5 与 1.73例1分析：此题要利用指数函数的定义域、值域，并结合指数函数的图象.解：（1）由10x -≠得1x ≠ 所以函数定义域为{|1}x x ≠.由101x ≠-得1y ≠， 所以函数值域为{|01}y y y >≠且.（2）由510x -≥得15x ≥ 所以函数定义域为1{|}5x x ≥.由510x -≥得1y ≥， 所以函数值域为{|1}y y ≥.例2解法1：用数形结合的方法，如第（1）小题，用图形计算器或计算机画出掌握指数函数的应用.(x K R∈备选例题例1 求下列函数的定义域与值域 （1）412-=x y ；（2）||2()3x y =； （3）1241++=+x xy ；[分析]由于指数函数0(>=a a y x且)1≠a 的定义域是R ，所以函数)(x f a y =（0>a 且1≠a ）与函数)(x f 的定义域相同.利用指数函数的单调性求值域.[解析]（1）令,04≠-x 得4≠x∴定义域为,|{R x x ∈且}4≠x .12,04141≠∴≠--x x Θ，∴412-=x y 的值域为,0|{>y y 且}1≠y .（2）定义域为R x ∈.||x Θ≥0，||||23()()32x x y ∴==≥1)23(0=故||2()3x y =的值域为y y |{≥}1.（3）定义域为R x ∈.1421x x y +=++Q22(2)221(21),x x x =+⋅+=+且1,02>∴>y x. 故1241++=+x xy 的值域为}1|{>y y .[小结]求与指数函数有关的函数的值域时，要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性.例2用函数单调性定义证明a ＞1时，y = a x 是增函数. [解析]设x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2，并令x 2 = x 1 + h (h ＞0，h ∈R )， 则有)1(11112-=-=-+h x x h x x x a a a a a a ， ∵a ＞1，h ＞0，∴1,01>>h x a a ， ∴012>-x x a a ，即21x x a a < 故y = a x (a ＞1)为R 上的增函数，同理可证0＜a ＜1时，y = a x 是R 上的减函数.。