33各种近似法
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数学中的近似算法近似算法是指通过一系列计算步骤,近似地求解某个数学问题。
在数学领域中,我们经常会遇到一些难以精确求解的问题,这时候,近似算法就能帮助我们在可接受的误差范围内获得近似的解。
一、近似算法简介近似算法通常是在充分利用已知信息和资源的情况下,通过适当的逼近和调整,得出一个接近于准确解的结果。
它的优势在于其可行性和实用性,虽然无法保证完全准确,但却能在较短的时间内给出一个比较好的解。
二、常见的近似算法1. 近似求解函数极值的方法在数学中,我们经常会面临求函数的极值问题,通常可以通过近似求解的方法得到一个较优的解。
例如,梯度下降法、模拟退火算法等都是常用的近似求解函数极值的方法。
这些算法通过调整函数的自变量,以逐步优化目标函数的值,最终得到一个极值点。
2. 近似计算积分的方法计算复杂函数的积分往往是一项具有挑战性的任务,而近似计算积分的方法可以大大简化计算过程。
例如,辛普森法则、梯形法则等都是常用的近似计算积分的方法。
这些方法通过将区间分割为若干个小段,并在每个小段上做线性或非线性逼近,从而得到整个区间上的近似积分值。
3. 近似求解方程的方法求解非线性方程在数学中也是一项困难的任务,而近似求解方程的方法可以提供一个接近准确解的答案。
例如,牛顿迭代法、二分法等都是常用的近似求解方程的方法。
这些方法通过不断迭代的方式,逐步逼近方程的根,从而得到一个近似解。
4. 近似计算特殊函数值的方法特殊函数在数学中广泛应用,但其计算常常十分复杂。
而近似计算特殊函数值的方法可以在保证一定精度的情况下,大大简化计算。
例如,泰勒展开、二项式展开等都是常用的近似计算特殊函数值的方法。
这些方法通过将函数在某一点展开为幂级数或多项式,再仅计算有限项,从而得到特殊函数的近似值。
三、近似算法的应用案例1. 图像压缩图像压缩是一种常见的应用场景。
在图像压缩中,我们可利用近似算法,通过降低图像色彩的精度或其他方法,以减少图像文件的大小,同时尽量保留图像的质量。
第 33 次课 2 学时§ 11.5 典型复合反应1. 对行反应(opposite reaction)在正、逆两个方向同时进行的反应称为对行 反应,俗称可逆反应。
正、逆反应可以为相同级 数,也可以为具有不同级数的反应;可以是基元 反应,也可以是非基元反应。
例如:A B A B C D A B C+++为简单起见,考虑一级对行反应A Bt =0 c A,0 0 t =t c A c A,0- c A t =t e c A,e c A,0- c A,e 对行反应的净速率等于正向 速率减去逆向速率,当达到平衡时,净速率为零。
1,-1,0,()0A e A e A A e dck c k c c dt-=--=,A 的消耗速率1-1,0()A A A A dck c k c c dt-=--,,0,1,,1B e A A eC A eA ec c c kK c c k --=== 对行反应的微分式A A,e 1-1A A,e d()/d =(+)()c c t k k c c --- 式中c A -c A,0=Δc A ,称为反应物的距平衡浓度差A 1-1A d /d =(+)c t k k c ∆∆-当K c 很大,平衡大大倾向于产物一边,即k 1»k -1则表现为一级单向反应。
典型反应 重点理解A 1A d /d =c t k c -当K c 较小,产物将显著影响总反应速率,若想测正向反应的真正级数,最好用初浓度法。
对行反应的积分式AA,0A A,e 110A A,ed()d c tc c c k k t c c ---=+-⎰⎰(),0,11,ln()A A e A A ec c k k t c c --=+-可见ln(c A -c A,e )-t 图为一条直线。
由直线的斜率可求出(k 1+k -1)再由实验测得K c ,可求出k 1/k -1,联立得出k 1和k -1。
对行反应的特点1.净速率等于正、逆反应速率之差值2.达到平衡时,反应净速率等于零3.正、逆速率系数之比等于平衡常数K C =k 1/k -14.在c ~t 图上,达到平衡后,反应物和产物的浓度不再随时间而改变2. 平行反应(parallel reaction)相同反应物同时进行若干个不同的反应称为平行反应。
数的估算与近似估算是指通过一定的方法和技巧,对某个数值进行粗略的计算或估计。
而近似则是指在数值计算中,用一个接近但不完全等于原数的数值来代替原数。
估算和近似在日常生活中随处可见,无论是在购物时估算总价,还是在科学研究中进行近似计算,都起到了重要的作用。
本文将探讨数的估算与近似的方法和应用。
一、数的估算数的估算是以大致数值作为参考进行计算,不追求精确结果。
以下列举几种常用的数的估算方法。
1. 用近似数代替:例如,计算数的平方根时,可以找到一个近似的平方数进行代替,如计算√14时,可以使用√16=4来代替。
2. 用整数代替:例如,计算小数时,可以用整数近似代替,如计算3.2×5.6时,可以估算为3×6=18。
3. 用类似数代替:例如,计算购物总价时,可以用类似的数进行估算,如饭店里一盘菜的价格为8元,如果点了5盘菜,可以估算总价为40元左右。
二、数的近似数的近似是指用一个接近但不完全等于原数的数值来代替原数。
以下列举几种常用的数的近似方法。
1. 舍入法:将小数位数减少到指定的位数。
例如,将3.567近似为3.6,将2.144近似为2.1。
2. 截位法:截掉小数位数后面的数字。
例如,将4.999截位为4,将6.789截位为6。
3. 利用其他数进行近似:例如,利用分数来近似小数,将0.25近似为1/4,将0.6近似为3/5。
三、估算与近似的应用数的估算与近似在日常生活和各行各业中都有广泛的应用。
1. 商业领域:在购物时,估算商品的总价可以帮助我们做出合理的消费决策。
在商业投资中,对于收入和支出的估算可以帮助我们进行风险评估和预测。
2. 科学研究:在大数据分析和统计学中,估算和近似是建立模型和假设的基础,可以帮助我们对未知的数据进行推测和预测。
3. 工程建设:在工程设计中,估算和近似可以帮助工程师们快速计算出结果,并在实际操作中做出合理的调整。
总之,数的估算与近似是数值计算中常用的方法。
近似计算技巧近似计算是数学中常用的一种技巧,用于快速估算一个数的大小或一个式子的结果。
在生活中,我们经常遇到需要快速计算的情况,例如购物时计算折扣后的价格、规划旅行时估算路程时间等。
近似计算可以帮助我们在短时间内获得一个大致的结果,方便日常生活和工作。
近似计算的基本原理是忽略掉计算中的小数点后几位或将一个数替换为一个与之接近的整数。
通过减少计算步骤和简化计算过程,近似计算可以在很大程度上节省我们的时间和精力。
下面以几个具体的例子来说明近似计算的应用。
首先是购物时计算折扣后的价格。
假设某件商品原价为349元,我们知道商家正在进行7折的优惠活动,我们可以使用近似计算来快速得到折扣后的价格。
将349除以10,得到34.9,然后将小数点后的一位数四舍五入为整数,得到35。
再用35乘以7,得到245。
所以折扣后的价格为245元。
通过近似计算,我们可以在短时间内得到一个近似的结果。
其次是规划旅行时估算路程时间。
假设我们要从A城市驾车到B城市,两地相距230公里,我们的车速为80公里/小时。
使用近似计算,我们可以很快地估算出需要的行驶时间。
将230除以80,得到2.875,接近3。
所以我们可以估计需要的行驶时间为3小时。
当然,这只是一个近似值,实际情况可能因为交通状况等因素而有所不同。
近似计算还可以在科学研究中起到重要的作用。
在实验中,我们常常需要进行测量和计算,得到一个近似的结果。
由于测量仪器的精度或实验操作的局限性,我们无法得到完全准确的结果,只能得到近似值。
通过合理地运用近似计算,我们可以在短时间内得到近似的结果,并进一步进行数据处理和分析。
当然,近似计算也有一些局限性。
由于近似计算是简化计算过程的一种方法,所以在某些情况下会产生一定的误差。
这种误差可能会累积,导致最终结果与准确值之间有较大的差距。
因此,在进行近似计算时,我们需要根据具体情况和需要的精度来选择合适的方法。
总之,近似计算是一种在日常生活和工作中非常常用的技巧。
计算结果的近似处理方法作者:于梦梅来源:《试题与研究·中考物理》2015年第03期在解答物理计算问题时,计算结果往往会出现非整数(小数点位数较多或除不尽)的情况,需对其作必要的近似处理。
由于物理计算是应用物理知识通过一定的计算研究物理量之间的关系,其计算结果不仅是数量关系的表述,而且具有一定的实际的物理意义,若近似处理不当,会使整个解题功亏一篑,因此,能否正确处理计算结果是解题成功与否的关键一步,掌握正确处理计算结果的方法,是运用物理知识分析解决相关问题的必备的技能之一。
对于具体问题,应在应用相关物理知识对计算结果进行分析的基础上,以符合有关的物理规律和实际情况为前提,确定正确、合理的处理方法。
常用的计算结果的近似处理方法有以下几种:一、四舍五入法一般情况下,可依数学上的“四舍五入法”来处理计算结果(计算结果用有限小数表示),即根据题意确定保留位数,之后的那一位数字若小于或等于4,则将它和后面的数字全部舍去;若大于或等于5,则在需保留的最后一位数字上加1,再舍去后面的数字。
1.根据题目要求“四舍五入”有些计算中,考题明确提出“保留×位小数”,只需按要求对计算结果“四舍五入”即可。
图1例1.有一种电子秤的原理图如图1所示,它主要由三部分构成:踏板和压力杠杆ABO,压力传感器R(电阻值会随所受压力大小发生变化的可变电阻),显示重力大小的仪表(实质是电流表),其中AO长20cm,BO长5cm,压力传感器R的阻值与所受压力的关系如下表所示。
踏板和杠杆组件的质量可以忽略不计,电源电压为6V。
(1)重300N的学生站在踏板上时,双脚与踏板的接触面积为0.07m2,此时对踏板的压强是多大?(2)当重300N的学生站在踏板上时,通过压力传感器R的电流为________________________________________A。
(保留两位小数)解析:(1)学生对踏板的压强p=FNS=GS=300N0.07m2≈4285.71428571Pa采用“四舍五入法”,因保留的两位小数后的那一位是“4”,应舍去“4”及其后面的所有数字,故学生对踏板的压强p≈4285.71Pa。
取近似值的三种方法在人们的生产和生活中,常常遇到各种各样的数据,有的数据是与实际完全符合的,叫准确数。
例如,某班有55名同学,这里的55就是准确数。
还有些数据只是与实际大体符合,或者说接近实际的数,这样的数叫近似数,例如:我们在测量物体的长度、质量等等,由于测量工具的限制必然产生误差,所得的结果都是近似数;对大的数目进行统计时,一般只取近似数;在计算中,有时只能得到一个近似数。
所以在解决在生产和生活问题时,往往要根据需要取一个数的近似值。
取近似值常用的方法有以下几种:1、四舍五入法。
取近似值时,四舍五入法是最常用的方法。
这种方法是省略一个数的尾数时,考虑两点:①“四舍”,去掉部分的首位数是0~4,就把尾数舍去,保留部分不变。
②“五入”,去掉部分的首位是5~9,省略尾数后,保留部分最后一位要加1。
如果求整数的近似值,舍去部分的数全部改写成0。
645870省略万位后面的尾数:645870≈65万 1÷3≈0.33(结果保留两位数)进一法在实际生活中,根据题意把一个数的尾数省略后,在保留部分的最后一位上加上1,叫做进一法,例如:一个油桶装油100千克,装750千克油需要多少个油桶?因为750÷100=7.5 装了7桶之后还余下50千克的油,所以还要增加一个油桶,即省略尾数后,向前一位进一,750÷100≈8(桶)去尾法在实际生活中,根据题意,在截取近似值时,不管多余部分上的数是多少,一概去掉,这种方法叫做去尾法。
例如:制造一台机器用1.2吨钢材,现有39吨钢材,可以制造多少台机器?39÷1.2=32.5就是说制造32台机器还余下0.6吨钢材(0.5×1.2=0.6吨),余下的钢材不够制造一台机器,所以商中的0.5就去掉。
39÷1.2≈32(台)这三种取近似值的方法各自适用不同的情况,一般来说,如果没有特殊要求或其他条件限制时,我们都采用四舍五入法。
数的估算与近似计算数学在我们的日常生活中扮演着重要的角色,而数的估算与近似计算则是数学的一项基本技能。
无论是工作中还是生活中,我们都需要对数字进行估算和计算。
本文将介绍数的估算和近似计算的方法和应用。
一、数的估算数的估算是一种快速且近似的计算方法,可以帮助我们快速获取一个大约正确的结果。
以下是几种常见的数的估算方法:1. 简化法:对于较为复杂的运算,可以使用简化法来近似计算。
例如,计算112乘以97,我们可以将112近似为100,97近似为100,然后计算100乘以100得到10000,再调整结果得到一个近似值。
2. 分段估算法:当我们需要计算较大的数字时,可以将其分解为更小的数字相加或相乘来估算。
例如,计算538加上472,我们可以将538拆分为500和38,472拆分为400和72,然后分别计算这四个数字相加得到1010,再进行调整得到一个近似结果。
3. 基数估算法:基数估算法是一种估算计算结果的方法,其中基数是一个容易计算的数字。
例如,对于计算37乘以26,我们可以选择基数为25,然后将37拆分为25和12,计算25乘以26得到650,并将12乘以26得到近似值300,最后将这两个结果相加得到950。
二、近似计算近似计算是一种粗略计算数值的方法,通常用于快速获取一个接近精确结果的数值。
以下是几种常见的近似计算方法:1. 近似值法:近似值法是一种使用近似值来代替精确值的近似计算方法。
例如,计算3.14乘以5.8,可以将3.14近似为3,5.8近似为6,然后计算3乘以6得到近似值18。
2. 舍入法:舍入法是一种对数字进行近似计算的方法,通常通过截取小数位或整数位来进行。
例如,计算4.67加上9.86,我们可以将4.67近似为4.7,9.86近似为9.9,然后相加得到14.6。
3. 可估计数法:可估计数法是一种利用易于计算的数来近似计算复杂运算的方法。
例如,计算57除以13,我们可以选择可估计数为60,然后将57近似为60,13近似为12,计算60除以12得到5,并对结果进行调整得到近似值4.8。
第5课时商的近似值教学内容冀教版小学数学五年级上册第32、33页商的近似值。
教学提示“商的近似值”是一节计算课,它是由“小数除法”和“求近似值”两个知识点组成。
学生对于这两个知识点并不陌生,因此,一般都能较快地理解并掌握这节课的知识。
教学目标1、知识与技能:使学生掌握求商的近似数的方法。
能根据实际情况和要求求商的近似数。
2、过程与方法:掌握用“四舍五入”法求商的近似值的一般方法,会用“四舍五入”法求商的近似值。
3、情感态度与价值观:培养学生在实际生活中灵活运用数学知识的能力,能根据实际情况进行求近似数。
重点、难点教学重点:掌握小数除法计算中用“四舍五入”法求商的近似数的一般方法。
教学难点:根据题意正确求出商的近似数。
教学准备教具准备:多媒体课件。
学具准备:计算纸。
教学过程一、复习铺垫1、口算下列各题,看谁算的又对又快。
0.63÷70.24÷0.30.6 5÷0.1372÷144 1.44÷0.6 5.6÷0.082、按“四舍五入法”求出下面各小数的近似数。
保留整数保留一位小数保留两位小数保留三位小数2.94560.5429提问:除数是小数的除法应该怎样计算?(学生讨论交流算法)【设计意图:课前复习求一个数的近似数,和除数是小数的除法计算方法,为学生完整地认识取商的近似值作铺垫。
引导学生温故知新,做好知识的迁移。
】二、探究新知1、教学例题。
(多媒体课件出示例题)(1)学生读题(2)学生独立列式:158÷7(3)师生交流师:同学们在计算的过程当中发现什么?生:怎么除也除不尽师:这下可难倒五(1)班的同学们了,怎么也算不出一个一个果篮里大约有多少钱的水果。
现在同学们开动你们聪明的大脑,怎么解决这一问题呢?生:可以求商的近似数师:用什么方法?生:四舍五入法师,同学真聪明,想出了这么好的办法。
该怎样求商的近似数呢?(板书课题:商的近似值)【设计意图:多媒体出示同学们买回水果的情境,贴近学生的生活实际,调动学生参与学习的积极性和主动性。
§3-3 各种近似法
一个解的精确性及其收敛程度取决于书采取的近似方法,§3-2的解可以采用以下对 更精确的计算来改善。
对于mn l ,在式(3-13)中可以包括另外的项,但这并不明显地影响收敛性,且在极限Δ0→n C 时,式(3-14)是精确的。
对于n m ≠时的mn l 项,我们可以将式(3-11)的被积分函数在),(n n y x 附近展开成台劳级数,而将主项用解析方法进行积分。
这将同时改善精确性和当 ∞→N 时趋于精确解的收敛性。
我们发现,对于z J ,如用分段线性近似代替阶梯近似,则收敛的程度几乎增加一倍,
换句话说,第N 级的线性解给出的精确度几乎与2N 级的阶梯解相同,为了得到分段线性解,我们用式(3-50)的三角形代替式(3-8)的阶梯,如§1-5中所讨论过的那样。
mn l 的计算与计算脉冲函数相似]4[。
也可以用以脉冲函数作展开函数和检验函数的伽略金法求解。
我们发现对于分域型的解,伽略金解的精确性和收敛性都与点选配解相同,伽略金法显示其最大效用是在微扰解中,即当解只由一个或少数几个展开函数表示的情况。
通常用计算机获得较好近似的最方便的方法就是mn l 的数值计算,为此,我们将每个Δn C 分为较小的分区间,如无奇点时,用式(3-12)来近似沿每个分区间的积分,如有奇点时,则式(3-14)。
为明显起见,令图3-4(a)表示柱形导体外轮廓的一小段,把小段Δ1-n C ,Δn C ,Δ1+n C 进一步分小,如图上a,b,c,d 等点所示。
图3-4(b)表示同一段轮廓被拉成直线,而由三个脉冲组成一个展开函数,这个三阶梯函数近似为一个三角形函数,如虚线所示。
现在,记住每个mn l 代表由在),(n n y x 点的展开函数n f 在),(m m y x 点产生的场z E -,很容易证明,当n m =时
mn mn l l l l )2
121(232221++= 式中21l 和12l 是以ab C 和ba C 代替式(3-12)中的Δn C 而算出的,而22l 是以ba C 代替式(3-14)中的Δn C 而算出的(见图3-14)。
在式(3-24)中,第一项和第三项的因子
21是因为在ab C 和ba C 上脉冲只是ba C 上脉冲大小之半。
对于n m ≠的mn l 元素,除了式(3-12)是用于所有的ij l 以外,其程序是一样的,因为场点是决不与原点重合的。
为了说明以上程序获得的精确性,图3-5指出了其所得电流与安得列生结果的比较
]3[。
注意,我们在椭圆曲率迅速变化的部分取更小的ΔC 以获得更好的精确性。
我们发现,当m 点远离n 点时,如4/λρρ>-n m ,可以用式(3-12)代替式(3-24)而不太影响精确度,换句话说,对紧靠在一起的各个ΔC 细心地计算mn l 要比远离的重要得多。
利用图3-4型的展开函数等于将导体分为2N段,而在矩阵][mn l 求逆之前规定每个其余的n α是相邻各n α的平均值。
当然我们可以利用更多的脉冲去逼近一个三角形函数,但从图3-5的精确性来判断,在许多情况下是不必要的。
如果我们希望以伽略金近似解取代点选配解,则图3-4的函数可同时作为展开函数和检验函数。
然而,可以利用近似式(3-12)和(3-14)来进行书值计算,而不用解析方法计算第二积分,其结果为
mn mn l l l l l l l l l l )](8
1)(4121[333113113223211222++++++++= 式中ij l 与式(3-24)中的ij l 是一样的,一个2
1因子是由每个分量脉冲间隔ΔC 是Δn C 的21所引起的;另一个因子是由两边脉冲的幅度是中间脉冲的2
1所引起的(图3-4)。
从式(3-24)和式(3-25)的形式上很明显地看出两种mn l 的差别很小,因而两种解之间的差别很小。
当然,在伽略金解中,亦应该修改式(3-10)的m g ,使它代表具有图3-4那样的检验函数的i z E 的数值积分。
如果导体对某个轴是对称的,如为椭圆,问题就变为以两个N/2阶矩阵来取代单个N 阶矩阵,因为矩阵求逆所需的时间是与3N 成比例的,这样做将使矩阵求逆的时间减少到原来的四分之一。
此方法在参考资料[3,4]中讨论过。
最后,如果入射场i z E 也和导体一样绕一个轴对称的话,则只有一个N/2阶矩阵需要求逆。
§3-4 横电场
一个二维TE场在各向同性煤质中没有E的z 分量,而只有一个H的z 分量。
场的最方便的普遍表示式是以位函数的形式表示的⊗, A H ⨯∇=μ
1 Φ∇--=A j E ω
式中磁矢位A 和电标位φ满足
J A k A μ-=+∇22
εq
k -=Φ+Φ∇22
电荷密度q 与j 的关系可由连续性方程给出:
q j J ω-=⋅∇
式(3-28)和式(3-29)如同式(3-3)一样,都是亥姆霍兹方程组,因此,其解都具有式(3-5)的形式。
定义二维格林函数为
)(41),(')2(0'
ρρρρ-=k H j G 我们可以在二维无界空间将式(3-28)和式(3-29)的解表示为]1[ ')',()'()(ds G J A ρρρμρ⎰⎰=
')',()'(1)(ds G q ρρρερ⎰⎰=Φ
式中积分是沿z=常数的柱体截面进行的。
在计算本节中的公式时,应记住所有的量均与z 无关,因此,所有对z 的导数均为零。
⊗ 在资料[1]中矢量位是这样定义的,即从式(3-28)和式(3-29)中的A 都应该换成A μ,我们用Φ表示
标量位,而用q 表示电荷密度,以免与极坐标ρ和φ混淆。