2020届全国大联考高三第三次联考数学试题

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A=(){}*,,,x y x y N y x ∈≥，B=(){},8x y x y +=，则A B 中元素个数为A. 2B. 3C. 4D. 6解：有下列（1，7）（2，6）（3，8）（4，4）2.复数113i -的虚部是 A. 310- B. 110- C. 110D. 310解：1131313101010i z i i +===+-3.在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为1p ，2p ，3p ，4p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是 A. 14230.1,0.4p p p p ==== B ．14230.4,0.1p p p p ==== C ．14230.2,0.3p p p p ==== D ．14230.3,0.2p p p p ==== 解：B4. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：()()0.23531--=+t K I t e，其中K 为的最大确诊病例数.当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（ln19≈3）A.60B.63C.66D.69()()()()()0.23530.23530.2353-10.951100511====1995951930010.2353=3,53132323153136623解：则，则------==++--===+≈t t t KI t Kee e t t t5. 设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线2:2(0)=>C y px p 交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为A. (14,0)B. (12,0)C. (1,0)D. (2,0)1212222122212124y y 0又由点在曲线2上y =4,y =4(y y )16,y y 44,1OD OEOD OE y px p p P p p →→⊥•=+====-=-=6. 已知向量a,b 满足5a =，6b =，·6a b =-，则cos(,)a a b += A. 3135-B. 1935-C. 1735D. 1935222解：（）=++2253612497()19cos(,)5735a b a b a b a b a a b a a a ba ab a a b+•=+-=+=•+•+•+===⨯+7. 在△ABC 中，2cos =3C ，4AC =，3BC =,则cos B =A. 19B. 13C. 12D. 23222222222解：由余弦定理得：AB =AC +BC -2AC BC cos 216924393AB 3由余弦定理得：AB AC3341cosB=23392AB BCC BC=+-⨯⨯⨯==+-+-==⨯⨯8. 右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A. 6+42 B. 442+ C. 623+ D. 423+表面积122221222sin 602323S VAB S VAC S ABC S VBC S ∆∆∆∆===⨯⨯==⨯⨯⨯= 9.已知2tan tan()74πθθ-+=，则tan θ=A. -2B. -1C. 1D. 222221tan 解：原式=2tan 71tan 则2tan -2tan -1-tan 77tan 则2tan -8tan +8=0则tan -4tan +4=（tan 2)0则tan 2θθθθθθθθθθθθθ+-=-=--==10.若直线l 与曲线y x =2215x y +=都相切，则l 的方程为 A. 21y x =+ B. 122y x =+ C. 112y x =+ D. 1122y x =+设00000000000设的切点P(x ,x )(x 0)111,,则切线方程为：y-x (x )222化为：-2x 0x 1又与圆相切则：d=x 114x 511直线方程为：y=22y x y k x 解：xx x x x y x =>'===-+==⇒=+∴+11. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F , 2F ，离心率为5. P 是C 上一点，且12F P F P ⊥.若△12PF F 的面积为4，则a=A ．1B ．2C ．4D ．82222121212121222212121212222222222解：,则+=（2c)414,82又-=2a,-24164,4又5,54,1,1PF PF PF PF cS PF F PF PF PF PFPF PF PF PF PF PF PF PFc a c ace c a a a a aa∆⊥=====+-=-=-===⇒=-===12. 已知5458<，45138<，设5a log3=，8b=log5，13c log8=，则A. a b c<<B. b a c<<C. b c a<<D. c a b<<5445544588131381381325822222解;58,138,则log5log8,log13log8445log54,45log8;log5,log8,则55lg3lg5lg3lg8lg5log3log5lg5lg8lg5lg8lg3lg8lg24lg252lg5lg30,lg80,lg3lg8()()()()lg52222c ba b<<<<<<<>>•--=-=-=•+>>•<=<== 0,a b a b-<<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届河北省衡水中学高三下学期全国第三次联考数学（理）试卷★祝考试顺利★ (解析版)一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}20M x x x =+>,(){}ln 10N x x =->,则（ ）A. M N ⊇B. M N ⊆C. ()1,M N ⋂=+∞D. ()2,M N ⋃=+∞【答案】A 【解析】解出集合M 、N ,利用集合的包含关系和交集、并集的定义可判断各选项的正误.【详解】{}()()20,10,M x x x =+>=-∞-⋃+∞,(){}{}()ln 10112,N x x x x =->=->=+∞,所以,M N ⊇,()2,M N =+∞,()(),10,M N =-∞-+∞.故选：A.2. 已知复数2(2)z i =+,则z 的虚部为（ ） A. 3 B. 3iC. 4D. 4i【答案】C 【解析】根据复数的代数形式的乘法法则计算即可得解； 【详解】解：2(2)34z i i =+=+,所以z 的虚部为4. 故选：C .3. 以下统计表和分布图取自《清华大学2019年毕业生就业质量报告》.国内1583 55.8％94 3.8％290 19.9％1967 29.0％出国（境）699 24.6％137 5.5％199 13.7％1035 15.3％就业490 17.3％2224 89.2％943 64.8％3657 53.9％签三方就154 5.4％1656 66.4％864 59.4％2674 39.4％业灵活就业336 11.8％568 22.8％79 5.4％983 14.5％未就业64 2.3％39 1.6％23 1.6％126 1.9％合计2836 100.0％2494 100.0％1455 100.0％6785 100.0％清华大学2019年毕业生去向分布情况统计表清华大学2019年毕业生签三方就业单位所在省（区、市）分布图则下列选项错误．．的是（）.A. 清华大学2019年毕业生中,大多数本科生选择继续深造,大多数硕士生选择就业B. 清华大学2019年毕业生中,硕士生的就业率比本科生高C. 清华大学2019年签三方就业的毕业生中,本科生的就业城市比硕士生的就业城市分散D. 清华大学2019年签三方就业毕业生中,留北京人数超过一半【答案】D【解析】选项A在表中找出本科生选择继续深造达80.4％,硕士生选择就业达89.2％,则判断选项A正确；选项B在表中找出硕士生的就业率达89.2％,本科生的就业率达17.3％,则判断选项B正确；。

绝密★启用前2020届全国第三次（3月）在线大联考（新课标Ⅲ卷）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．设复数z 满足|i ||i |z z -=+，i 为虚数单位，且z 在复平面内对应的点为(,)Z x y ，则下列结论一定正确的是 A ．1x = B ．1y = C ．0x = D ．0y =答案:D 解：因为满足|i ||i |z z -=+的点Z 为复平面内到点(0,1)和(0,1)-的距离相等的点的集合，所以(,)Z x y 的轨迹为x 轴，其方程为0y =.故选D ． 2．已知集合{|20}A x x =-≥，{|ln(1)}B x y x =∈=+Z ，则A B =A ．[1,2]-B ．(1,2]-C ．{0,1,2}D ．{1,0,1,2}-答案:C 解：因为{|20}{|2}A x x x x =-≥=≤，{|ln(1)}{|1}B x y x x x =∈=+=∈>-Z Z ，所以{0,1,2}AB =.故选C ．3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若953S a =，则一定成立的是 A ．46S S = B ．45S S =C ．57S S =D ．56S S =答案:B 解：因为95593S a a ==，所以50a =，则5454S S a S =+=.故选B ．4．国家统计局发布数据显示，2020年1月份全国CPI （居民消费价格指数）同比上涨5.4%，环比上涨1.4%.下图是2019年1月到2020年1月全国居民消费价格同比（与去年同期相比）和环比（与上月相比）涨跌幅，则下列判断错误的是A ．各月同比全部上涨，平均涨幅超过3%B ．各月环比有涨有跌，平均涨幅超过0.3%C ．同比涨幅最大的月份，也是环比涨幅最大的月份D ．环比跌幅最大的月份，也是同比涨幅最小的月份 答案:D 解：由统计图可知，各月同比全部上涨，平均涨幅为(1.7 1.5 2.3 2.5 2.7 2.7 2.8 2.8++++++++3.0 3.84.5 4.55.4)131% 3.09%++++÷⨯≈，超过3%，故A 正确；各月环比有涨有跌，平均涨幅为(0.5+1.00.40.10.00.10.40.70.90.90.40.0 1.4)131%0.446%-++-+++++++÷⨯≈，超过0.3%，故B 正确；同比涨幅最大的是2020年1月，环比涨幅最大的也是2020年1月，故C 正确；环比跌幅最大的是2019年3月，同比涨幅最小的是2019年2月，故D 错误，故选D ．5．已知实数,x y 满足约束条件2202201,1x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥-≥-⎩，则2x y +的取值范围是A ．(3,6]-B ．[3,6]-C ．3(,6]2-D ．3[,6]2-答案:B 解：作出不等式组2202201,1x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥-≥-⎩表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设2z x y =+，则2y x z =-+，平移该直线，当直线2y x z =-+经过点A 时，z 取到最大值，由220220x y x y -+=⎧⎨--=⎩得22x y =⎧⎨=⎩，即(2,2)A ，则max 426=+=z ；当直线2y x z =-+经过点C 时，z 取到最小值，易得(1,1)C --，则min 213=--=-z ，所以2x y +的取值范围是[3,6]-.故选B ．6．函数52sin ()([π,0)(0,π])33x xx xf x x -+=∈--的图象大致为A ．B ．C ．D ．答案:A 解： 因为5()2sin()52sin ()()3333x x x xx x x xf x f x ---+-+-===--，所以()f x 是偶函数，排除B,D ，因为ππ5π(π)033f -=>-，排除C ，故选A.7．已知向量(1,),(2,)t y =-=a b ，其中22121y t t =-++，则当y 最小时，cos ,=a b A 25B ．25C ．55-D 5答案:B 解： 2222221112(1)32(1)31111y t t t t t t =-+=++-≥+⋅-=-+++，当且仅当22111t t +=+，即0t =时，取等号，y 取得最小值为1-，此时，(1,0),(2,1)=-=-a b ，则225cos ,||||515⋅-===-⋅⨯a b a b a b .故选B ．8．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得π的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值的表达式纷纷出现，使得π值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：π2244662133557⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯，根据该公式绘制出了估计圆周率π的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的 2.8T >，若判断框内填入的条件为?k m ≥，则正整数m 的最小值是A ．2B ．3C ．4D ．5答案:B 解：初始：1k =，2T =，第一次循环：2282 2.8133T =⨯⨯=<，2k =，继续循环；第二次循环：8441282.833545T =⨯⨯=>，3k =，此时 2.8T >，满足条件，结束循环， 所以判断框内填入的条件可以是3?k ≥，所以正整数m 的最小值是3，故选B ． 9．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，数列{}n a 满足，则数列{}n a的前60项的和为 A ．1830 B ．1830- C ．3660 D ．3660-答案:D 解：当43n k =-或42n k =-时，1[]2(1)1n --=；当41n k =-或4n k =时，1[]2(1)1n --=-，所以4342k k a a --+2222414(43)(42)(41)(4)3212k k a a k k k k k -++=-+----=-+，所以数列{}n a 的前60项和60S =32123215121536602-+-⨯+⨯=-.故选D ．10．将函数2()cos f x x x x =的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象.对于下列四种说法，正确的是 ①函数()g x 的图象关于点π(,0)3成中心对称②函数()g x 在(π,π)-上有8个极值点③函数()g x 在区间ππ[,]24--，最小值为2-④函数()g x 在区间ππ(,)44-上单调递增 A ．①② B ．②③C ．②③④D ．①③④答案:B 解：21cos2π()cos 2)26x f x x x x x x +=-+，将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到π())6g x x +的图象.对于①，π4ππ())336g +=()g x 的图象不关于点12{x y =-=成中心对称，所以①错误；对于②，由(π,π)x ∈-得π23π25π4(,)666x +∈-，结合函数图象可得()g x 在(π,π)-上有8个极值点，所以②正确；对于③，由ππ24x -≤≤-，得11ππ5π4666x -≤+≤-，则()g x ≤()g x 的最大值为，最小值为-，所以③正确；对于④，当ππ44x -<<时，5ππ7π4666x -<+<，故函数()g x 在区间ππ(,)44-上不单调，所以④错误.故选B ． 11．如图平面多边形中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，外侧4个三角形均为正三角形.若沿正方形的4条边将三角形折起，使顶点1234,,,S S S S 重合为S 点，得到四棱锥S ABCD -，则此四棱锥的外接球的表面积为A ．πB ．2πC ．3πD ．4π答案:D 解：连接,AC BD ，设ACBD H =，连接SH ，根据题意可得SH ⊥平面ABCD .设O为四棱锥S ABCD -的外接球的球心，则O 在SH 上，连接OC ，设此四棱锥的外接球的半径为R ，则OS OC R ==，如图所示.因为正方形ABCD 2，所以1,2,1CH SC SH ===，所以,H O 重合，即四棱锥的外接球的半径为1R =，所以四棱锥的外接球的表面积为24π4πS R ==.故选D ． 12．已知过点(4,0)M 的直线与抛物线C ：24y x =交于点,A B ，设O 为坐标原点，则||||||OA OB AB +的最大值为A ．1B ．2C 2D ．22答案:C 解：设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为4x my =+，与24y x =联立得24160y my --=，则124y y m+=，1216y y =-，所以212121212(4)(4)(1)4()1616(1OA OB my my y y m y y m y y ⋅=+++=++++=-22)16160m m +++=，所以OA OB ⊥，则222||||||OA OB AB +=,所以||||OA OB +≤|AB =（当且仅当||||OA OB =时等号成立），所以||||||OA OB AB +.故选C ． 二、填空题13．5(21)x y +-的展开式中22x y 的系数为___________. 答案:120- 解：由题意，5(21)x y +-的展开式中含22x y 的项为2222122531C C (2)C (1)120x y x y ⨯⨯⨯-=-，所以所求系数为120-.14．若π1sin(),(0,π)63αα+=-∈，则πsin(2)3α+=___________.答案:9解：因为(0,π)α∈，所以ππ7π(,)666α+∈，又因为π1sin()063α+=-<，所以π7π(π,)66α+∈，所以πcos()6α+==.则πππ1sin(2)2sin()cos()2()(3663ααα+=++=⨯-⨯=. 15．已知双曲线E ：2221(0)x y a a-=>的左、右焦点分别为12,F F ，M 在E 的右支上，若12ππ[,]43F MF ∠∈，则12MF MF ⋅的最大值为___________.答案:2 解：设12||,||MF m MF n ==，12F MF θ∠=，则22242cos c m n mn θ=+-.又2m n a -=，即22224m n mn a +-=，解得21cos mn θ=-，所以12122cos ||||cos cos 1cos MF MF MF MF mn θθθ=θ⋅=⋅⋅==-211cos θ-，因为ππ[,]43θ∈，所以1cos 2θ≤12cos θ≤≤1111cos θ-≤-≤，则2211cos θ≤≤-2=，所以12MF MF ⋅的最大值为2. 16．若存在直线l 与函数1()(0)f x x x=<及2()g x x a =+的图象都相切，则实数a 的最小值为___________． 答案:解：设直线l 与函数()f x 及()g x 的图象分别相切于1(,)(0)A m m m<，2(,)B n n a +，因为21()f x x'=-，所以函数()f x 的图象在点A 处的切线方程为211()y x m m m -=--，即212y x m m=-+，因为()2g x x '=，所以函数()g x 的图象在点B 处的切线方程为22()y n a n x n --=-，即22y nx n a =-+，因为存在直线l 与函数()f x 及()g x 的图象都相切，所以22122n m n a m ⎧=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，所以4124a m m =+， 令1(0)t t m =<，设41()2(0)4h t t t t =+<，则3()2h t t '=+，当t <()0h t '<，函数()h t单调递减；当0t <时，()0h t '>，函数()h t 单调递增，所以min ()(2h t h ==-，所以实数a的最小值为2-三、解答题17．已知四边形ABCD 中，AB AD ⊥，π6BDC ∠=，2AD =，4DC =.（1）若5cos 3ABD ∠=，求BD ，BC ； （2）若C ADC ∠=∠，求sin CBD ∠.答案:（1）3BD =，25123BC =-（2）15sin CBD +∠= 解：（1）在Rt ABD △中，由5cos ABD ∠=22sin 1cos 3ABD ABD ∠-∠，所以3sin ADBD ABD==∠.在BCD中，由余弦定理得2222232cos 3423425123BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=+-⨯⨯=-， 所以25123BC =-（2）设CBD x ∠=，由C ADC ∠=∠，π6BDC ∠=可得5π6C x ∠=-，π6ABD x ∠=-，在Rt ABD △中，因为2AD =，所以2πsin sin()6AD BD ABD x ==∠-，在BCD 中，由正弦定理得sin sin BD CDC CBD=∠，即45πsin sin()6BD x x =-，所以24π5πsin sin()sin()66x x x =--，整理得24sin 2sin 10x x --=.由sin 0x >得15sin x +=，所以15sin CBD +∠=. 18．如图所示，正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，MB ∥AN ，2NA AB ==，4BM =，23CN =（1）证明：平面DMN ⊥平面BCN ； （2）求二面角C MN D --的余弦值. 答案:（1）证明见解析；（2）22解：（1）因为正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABMN ，因为MN ⊂平面ABMN ，BN ⊂平面ABMN ，所以BC MN ⊥，BC BN ⊥，由2,23BC CN ==，得2222BN CN BC =-=，由2NA AB ==，可得AB AN ⊥，在直角梯形ABMN 中,可得22MN =，由4BM =，22BN MN ==，可得222BN MN BM +=，所以BN MN ⊥， 因为BCBN B =，所以MN ⊥平面BCN ，因为MN ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面BCN .（2）如图，以B 为坐标原点，,,BA BM BC 所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系B-xyz ，则(0,0,0),(0,0,2),(2,0,2)B C D ,(0,4,0),(2,2,0)M N ,(2,2,0)MN =-,(2,2,2)CN =-,(0,2,2)DN =-,设111(,,)x y z =n 是平面CMN 的法向量，则00MN CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即111112202220x y x y z -=⎧⎨+-=⎩，取11x =，得(1,1,2)=n .设222(,,)x y z =m 是平面DMN 的法向量，则00MN DN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即2222220220x y y z -=⎧⎨-=⎩， 取21z =，得(1,1,1)=m ， 设二面角C MN D--的平面角为θ，则cos ||||θ⋅===n m n m由图可知二面角C MN D --的余弦值为3. 19．为增强学生的法治观念，营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围，某学校开展了“宪法小卫士”活动，并组织全校学生进行法律知识竞赛.现从全校学生中随机抽取100名学生，统计了他们的竞赛成绩，已知这100名学生的竞赛成绩均在[50,100]内，并得到频数分布表（如下）.（1）将竞赛成绩在[70,100]内定义为“合格”，竞赛成绩在[50,70)内定义为“不合格”．请将下面的22⨯列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关？（2）根据（1）的数据分析，将频率视为概率，从该校学生中用随机抽样的方法抽取3人，记被抽取的3人中“不合格”的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列和数学期望()E X .附参考公式及临界值表：22(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++.答案:见解析 解：（1）补充完整的22⨯列联表如下：则2K的观测值2()100(24122836)8.654 6.635()()()()60404852n ad bc ka b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯． 因此有99%的把握认为“法律知识的竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关． （2）根据（1）的数据分析，可得随机抽取一人成绩“不合格”的概率为4021005=.根据题意得2(3,)5~X B ，X 的所有可能取值为0，1，2，3， 00332327(0)C ()()55125P X ==⨯⨯=，11232354(1)C ()()55125P X ==⨯⨯=，22132336(2)C ()()55125P X ==⨯⨯=，3303238(3)C ()()55125P X ==⨯⨯=.所以X 的分布列为所以X 的数学期望2()3 1.25E X =⨯=. 20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，过椭圆C 的左、右焦点12,F F 分别作倾斜角为π3的直线12,l l ，12,l l . （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 只有一个公共点，求点12,F F 到直线l 的距离之积.答案:（1）22143x y +=；（2）3. 解：（1）设c =12,l l π2sin 3c =1c =，由椭圆C 的离心率为12，得12c a =，所以2a =，b == 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =±，点12,F F 到直线l 的距离之积为3；当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，联立y kx m =+及22143x y+=，消去y 得222(34)84120k x kmx m +++-=，因为直线l 与椭圆C 只有一个公共点，所以22222(8)4(34)(412)48(43)0km k m m k ∆=-+-=---=，所以2243m k =+.点1(1,0)F -到直线l ：y kx m =+的距离1d =点2(1,0)F 到直线l ：y kx m =+的距离2d =所以22221222|||43|311m k k k d d k k -+-===++， 综上可得，若直线l 与椭圆C 只有一个公共点，则点12,F F 到直线l 的距离之积为3. 21．已知函数()cos(1)(1ln )f x x x x =-+-. （1）设()()g x f x '=，求证：1()g x x<； （2）讨论()f x 的单调性.答案:（1）证明见解析；（2）()f x 在(0,1]上是增函数，在(1,)+∞上是减函数 解：（1）因为()cos(1)(1ln )f x x x x =-+-，所以()()sin(1)ln (0)g x f x x x x '==--->，设1()ln (0)h x x x x =-->，则22111()xh x x x x-'=-+=，当(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 是增函数；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 是减函数,所以()(1)1h x h ≤=-，即1ln 1x x --≤-，所以1ln 1x x-≤-，当1x =时取等号. 因为sin(1)1x --≤，所以1()sin(1)ln 1ln g x x x x x=---≤-≤，等号不同时成立， 所以1()g x x<. （2）因为()sin(1)ln g x x x =---，所以1()cos(1)g x x x'=---， 当(0,1]x ∈时，1cos(1)0,0x x->>，()0g x '<，所以()g x 在(0,1]上是减函数，当(0,1]x ∈时()(1)0g x g ≥=， 即(0,1]x ∈时()0f x '≥，所以()f x 在(0,1]上是增函数；(1,1π)x ∈+时，1(0,π)x -∈，所以sin(1)0,ln 0x x --<-<，所以()0<g x ，当[1π,)x ∈++∞时,sin(1)1,ln 1x x --≤-<-，所以()0<g x ，所以当(1,)x ∈+∞时()0<g x ，即()0f x '<，所以()f x 在(1,)+∞上是减函数， 综上，可得()f x 在(0,1]上是增函数，在(1,)+∞上是减函数.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为8242x tt y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若射线(0)4πθρ=>与l 和C 分别交于点,A B ，求||AB ．答案:(1)直线l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠;曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=;（2）||AB =解： （1）由82x t=+可得0x ≠， 由8242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去参数t ，可得直线l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠．由2sin ρθ=可得22sin ρρθ=，将sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式，可得2220x y y +-=，所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=． （2）由（1）得，l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠， 将其化为极坐标方程可得cos sin 40()2ρθρθθπ+-=≠，当()04θρπ=>时，A ρ=B ρ=所以|||||A B AB ρρ=-== 23．已知函数()|21||1|f x x ax =+--，a R ∈． （1）当2a =时，求不等式1()1f x -≤≤的解集；（2）当1(,0)2x ∈-时，不等式()2f x x >恒成立，求实数a 的取值范围．答案:(1)11[,]44-；（2）[4,0)-解：（1）当2a =时，12,211()|21||21|4,2212,2x f x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+--=-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，当21x <-或12x >时，|()|2f x =，所以1()1f x -≤≤可转化为1124211x x -≤-≤≤⎧≤⎪⎨⎪⎩，解得1144x -≤≤，所以不等式1()1f x -≤≤的解集为11[,]44-． （2）因为1(,0)2x ∈-，所以|21|21x x +=+，所以()2f x x >，即21|1|2x ax x +-->，即|1|1ax -<． 当0a ≥时，因为1(,0)2x ∈-，所以|1|1ax -≥，不符合题意． 当0a <时，解|1|1ax -<可得20x a<<， 因为当1(,0)2x ∈-时，不等式()2f x x >恒成立，所以12(,0)(,0)2a -⊆，所以212a ≤-，解得40a -≤<，所以实数a 的取值范围为[4,0)-．。

2020年3月高三第三次在线大联考（新课标Ⅰ卷）理科数学 全解全析1 2 3 4 5 6 7 89 10 11 12 CDBDBBABDBDC1．C 【解析】因为{|20}{|2}A x x x x =-≥=≤，{|ln(1)}{|1}B x y x x x =∈=+=∈>-Z Z ，所以{0,1,2}A B =I .故选C ．2．D 【解析】因为满足|i ||i |z z -=+的点Z 为复平面内到点(0,1)和(0,1)-的距离相等的点的集合，所以(,)Z x y 的轨迹为x 轴，其方程为0y =.故选D ．3．B 【解析】因为95593S a a ==，所以50a =，则5454S S a S =+=.故选B ．4．D 【解析】由统计图可知，各月同比全部上涨，平均涨幅为(1.7 1.5 2.3 2.5 2.7 2.7 2.8 2.8++++++++ 3.0 3.8 4.5 4.5 5.4)131% 3.09%++++÷⨯≈，超过3%，故A 正确；各月环比有涨有跌，平均涨幅为(0.5+ 1.00.40.10.00.10.40.70.90.90.40.0 1.4)131%0.446%-++-+++++++÷⨯≈，超过0.3%，故B 正确；同比涨幅最大的是2020年1月，环比涨幅最大的也是2020年1月，故C 正确；环比跌幅最大的是2019年3月，同比涨幅最小的是2019年2月，故D 错误，故选D ．5．B 【解析】初始：1k =，2T =，第一次循环：2282 2.8133T =⨯⨯=<，2k =，继续循环；第二次循环：8441282.833545T =⨯⨯=>，3k =，此时 2.8T >，满足条件，结束循环， 所以判断框内填入的条件可以是3?k ≥，所以正整数m 的最小值是3，故选B ．6．B 【解析】作出不等式组2202201,1x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥-≥-⎩表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设2z x y =+，则2y x z =-+，平移该直线，当直线2y x z =-+经过点A 时，z 取到最大值，由220220x y x y -+=⎧⎨--=⎩得22x y =⎧⎨=⎩，即(2,2)A ，则max 426z =+=；当直线2y x z =-+经过点C 时，z 取到最小值，易得(1,1)C --，则min 213z =--=-，所以2x y +的取值范围是[3,6]-.故选B ．7．A 【解析】因为5()2sin()52sin ()()3333x x x xx x x xf x f x ---+-+-===--，所以)(x f 是偶函数，排除B,D ，因为ππ5π(π)033f -=>-，排除C ，故选A. 8．B 【解析】2222221112(1)32(1)31111y t t t t t t =-+=++-≥+⋅-=-+++，当且仅当22111t t +=+，即0t =时，取等号，y 取得最小值为1-，此时，(1,0),(2,1)=-=-a b ，则25cos ,||||15⋅===-⋅⨯a b a b a b .故选B ．9．D 【解析】当43n k =-或42n k =-时，1[]2(1)1n --=；当41n k =-或4n k =时，1[]2(1)1n --=-，所以4342k k a a --+2222414(43)(42)(41)(4)3212k k a a k k k k k -++=-+----=-+，所以数列{}n a 的前60项和60S =32123215121536602-+-⨯+⨯=-.故选D ．10．B 【解析】2261cos22π()6sin cos 2cos sin 222sin(2)26x f x x x x x x +=+-=+⋅-=+，将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到π()2sin(4)6g x x =+的图象.对于①，π4ππ()2sin()2336g =+=-，故函数()g x 的图象不关于点π(,0)3成中心对称，所以①错误；对于②，由(π,π)x ∈-得π23π25π4(,)666x +∈-，结合函数图象可得()g x 在(π,π)-上有8个极值点，所以②正确；对于③，由ππ24x -≤≤-，得11ππ5π4666x -≤+≤-，则2()2g x -≤≤，所以()g x 的最大值为2，最小值为2-，所以③正确；对于④，当ππ44x -<<时，5ππ7π4666x -<+<，故函数()g x 在区间ππ(,)44-上不单调， 所以④错误.故选B ．11．D 【解析】连接,AC BD ，设AC BD H =I ，连接SH ，根据题意可得SH ⊥平面ABCD .设O 为四棱锥S ABCD -的外接球的球心，则O 在SH 上，连接OC ，设此四棱锥的外接球的半径为R ，则OS OC R ==，如图所示.因为正方形ABCD 21,2,1CH SC SH ===，所以,H O 重合，即四棱锥的外接球的半径为1R =，所以四棱锥的外接球的表面积为24π4πS R ==.故选D ．12．C 【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为4x my =+，与24y x =联立得24160y my --=，则124y y m +=，1216y y =-，所以212121212(4)(4)(1)4()1616(1OA OB my my y y m y y m y y ⋅=+++=++++=-u u u r u u u r22)16160m m +++=，所以OA OB ⊥，则222||||||OA OB AB +=,所以||||OA OB +≤|AB =（当且仅当||||OA OB =时等号成立），所以||||||OA OB AB +.故选C ．13．120- 【解析】由题意，5(21)x y +-的展开式中含22x y 的项为2222122531C C (2)C (1)120x y x y ⨯⨯⨯-=-，所以所求系数为120-. 14．9【解析】因为(0,π)α∈，所以ππ7π(,)666α+∈，又因为π1sin()063α+=-<，所以π7π(π,)66α+∈，所以πcos()63α+=-.则πππ1sin(2)2sin()cos()2()(3663ααα+=++=⨯-⨯. 15．2 【解析】设12||,||MF m MF n ==，12F MF θ∠=，则22242cos c m n mn θ=+-.又2m n a -=，即22224m n mn a +-=，解得21cos mn θ=-，所以12122cos ||||cos cos 1cos MF MF MF MF mn θθθ=θ⋅=⋅⋅==-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r211cos θ-，因为ππ[,]43θ∈，所以1cos 2θ≤12cos θ≤≤1111cos θ≤-≤，则2211cos θ≤≤-2=，所以12MF MF ⋅u u u u r u u u u r的最大值为2+. 16．【解析】设直线l 与函数()f x 及()g x 的图象分别相切于1(,)(0)A m m m <，2(,)B n n a +，因为21()f x x '=-，所以函数()f x 的图象在点A 处的切线方程为211()y x m m m -=--，即212y x m m=-+，因为()2g x x '=，所以函数()g x 的图象在点B 处的切线方程为22()y n a n x n --=-，即22y nx n a =-+，因为存在直线l 与函数()f x 及()g x 的图象都相切，所以22122n mn a m ⎧=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，所以4124a m m =+， 令1(0)t t m =<，设41()2(0)4h t t t t =+<，则3()2h t t '=+，当t <()0h t '<，函数()h t单调递减；当0t <时，()0h t '>，函数()h t 单调递增，所以min()(h t h ==，所以实数a的最小值为 17．（本小题满分12分）【解析】（1）在Rt ABD △中，由cos ABD ∠2sin 3ABD ∠，所以3sin ADBD ABD==∠.（3分）在BCD △中，由余弦定理得2222232cos 3423425123BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=-，所以25123BC =-.（6分）（2）设CBD x ∠=，由C ADC ∠=∠，π6BDC ∠=可得5π6C x ∠=-，π6ABD x ∠=-， 在Rt ABD △中，因为2AD =，所以2πsin sin()6AD BD ABD x ==∠-，（8分）在BCD △中，由正弦定理得sin sin BD CDC CBD =∠，即45πsin sin()6BD x x =-， 所以24π5πsin sin()sin()66xx x =--，整理得24sin 2sin 10x x --=.（10分） 由sin 0x >得15sin x +=，所以15sin CBD +∠=.（12分） 18．（本小题满分12分）【解析】（1）因为正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABMN ， 因为MN ⊂平面ABMN ，BN ⊂平面ABMN ，所以BC MN ⊥，BC BN ⊥，由2,23BC CN ==，得2222BN CN BC =-=，由2NA AB ==，可得AB AN ⊥，（3分） 在直角梯形ABMN 中, 可得22MN =，由4BM =，22BN MN ==，可得222BN MN BM +=，所以BN MN ⊥， 因为BC BN B =I ，所以MN ⊥平面BCN ，因为MN ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面BCN .（6分）（2）如图，以B 为坐标原点，,,BA BM BC 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系B-xyz ，则(0,0,0),(0,0,2),(2,0,2)B C D ,(0,4,0),(2,2,0)M N ,(2,2,0)MN =-u u u u r ,(2,2,2)CN =-u u u r ,(0,2,2)DN =-u u u r,设111(,,)x y z =n 是平面CMN 的法向量，则00MN CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r n n ，即111112202220x y x y z -=⎧⎨+-=⎩， 取11x =，得(1,1,2)=n .（8分）设222(,,)x y z =m 是平面DMN 的法向量，则0MN DN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u r m m ，即2222220220x y y z -=⎧⎨-=⎩，取21z =，得(1,1,1)=m ，（10分）设二面角C MN D --的平面角为θ，则cos ||||θ⋅===n m n m由图可知二面角C MN D --.（12分） 19．（本小题满分12分）【解析】（1）设c =，由12,l lπ2sin 3c 1c =，（2分） 由椭圆C 的离心率为12，得12c a =，所以2a =，b 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（5分）（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =±，点12,F F 到直线l 的距离之积为3；（6分） 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，联立y kx m =+及22143x y +=，消去y 得222(34)84120k x kmx m +++-=，（8分） 因为直线l 与椭圆C 只有一个公共点，所以22222(8)4(34)(412)48(43)0km k m m k ∆=-+-=---=， 所以2243m k =+.点1(1,0)F -到直线l ：y kx m =+的距离1d =点2(1,0)F 到直线l ：y kx m =+的距离2d =，所以22221222|||43|311m k k k d d k k -+-===++，（11分） 综上可得，若直线l 与椭圆C 只有一个公共点，则点12,F F 到直线l 的距离之积为3.（12分） 20．（本小题满分12分）【解析】（1）（ⅰ）样本的平均数为1(23212219221917192117)2010⨯+++++++++=，样本的标准2=，因此20μ=，2σ=.（2分）（ⅱ）学校7点30分上课，若该学生7点04分准时从家出发，则该学生到达教室所花时间最多为26分钟，若该学生7点06分准时从家出发，则该学生到达教室所花时间最多为24分钟，由于11(26)(3)1[(1(33)]1(10.9974)0.998722P X P X P X μσμσμσ<=<+=-⨯--<<+=-⨯-=，11(24)(2)1[(1(22)]1(10.9544)0.977222P X P X P X μσμσμσ<=<+=-⨯--<<+=-⨯-=.（4分）所以该学生上学不迟到的概率的范围是(0.9772,0.9987).（6分）（2）把该学生这10天早上从家出发到教室所花的时间从小到大排列为17，17，19，19，19，21，21，22，22，23.在这10天中任取2天，所花时间的差的绝对值为Y ，则Y 的可能值为0,1,2,3,4,5,6，且22222322210C C C C 62(0)C 4515P Y +++====，11112221210C C C C 62(1)C 4515P Y +====， 111111232321210C C C C C C 14(2)C 45P Y ++===，1132210C C 62(3)C 4515P Y ====，11112231210C C C C 7(4)C 45P Y +===， 1122210C C 4(5)C 45P Y ===，1121210C C 2(6)C 45P Y ===，（10分）所以Y 的分布列是Y 的数学期望是22142742112()01234561515451545454545E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（12分） 21．（本小题满分12分）【解析】（1）因为()cos(1)(1ln )f x x x x =-+-，所以()()sin(1)ln (0)g x f x x x x '==--->，（1分） 设1()ln (0)h x x x x =-->，则22111()xh x x x x-'=-+=，当(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 是增函数；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 是减函数, 所以()(1)1h x h ≤=-，即1ln 1x x --≤-，所以1ln 1x x-≤-，当1x =时取等号.（4分） 因为sin(1)1x --≤，所以1()sin(1)ln 1ln g x x x x x=---≤-≤，等号不同时成立， 所以1()g x x<.（6分） （2）因为()sin(1)ln g x x x =---，所以1()cos(1)g x x x'=---， 当(0,1]x ∈时，1cos(1)0,0x x->>，()0g x '<，所以()g x 在(0,1]上是减函数，当(0,1]x ∈时()(1)0g x g ≥=， 即(0,1]x ∈时()0f x '≥，所以()f x 在(0,1]上是增函数；（8分）(1,1π)x ∈+时，1(0,π)x -∈，所以sin(1)0,ln 0x x --<-<，所以()0g x <，当[1π,)x ∈++∞时,sin(1)1,ln 1x x --≤-<-，所以()0g x <，所以当(1,)x ∈+∞时()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 在(1,)+∞上是减函数， 综上，可得()f x 在(0,1]上是增函数，在(1,)+∞上是减函数.（12分） 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程【解析】（1）由82x t=+可得0x ≠， 由8242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去参数t ，可得直线l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠．（2分）由2sin ρθ=可得22sin ρρθ=，将sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式，可得2220x y y +-=， 所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=．（5分） （2）由（1）得，l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠，将其化为极坐标方程可得cos sin 40()2ρθρθθπ+-=≠，（7分）当()04θρπ=>时，A ρ=B ρ=所以|||||A B AB ρρ=-==（10分） 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲【解析】（1）当2a =时，12,211()|21||21|4,2212,2x f x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+--=-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，（2分）当12x <-或12x >时，|()|2f x =，所以1()1f x -≤≤可转化为1124211x x -≤-≤≤⎧≤⎪⎨⎪⎩，解得1144x -≤≤，所以不等式1()1f x -≤≤的解集为11[,]44-．（5分）（2）因为1(,0)2x ∈-，所以|21|21x x +=+，所以()2f x x >，即21|1|2x ax x +-->，即|1|1ax -<．当0a ≥时，因为1(,0)2x ∈-，所以|1|1ax -≥，不符合题意．（7分）当0a <时，解|1|1ax -<可得20x a<<，（8分） 因为当1(,0)2x ∈-时，不等式()2f x x >恒成立，所以12(,0)(,0)2a-⊆，所以212a ≤-，解得40a -≤<，所以实数a 的取值范围为[4,0)-．（10分）。

2020届高三基地学校第三次大联考数学参考答案与评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． {}102−，， 2．3． 5 4．24 5． 236．必要不充分 7． 8 8． 1− 9．13 10． 45 11．9 12．1()2−∞−， 13． 14．2参考解析：12．【解】作出函数()f x 的图象，结合图象及1x x −<−可得， 当1x −≥，即1x −≤时，不等式成立； 当11x −≤，即0x ≥时，不等式不成立； 当10x −<<时，(01)x −∈，，1(12)x −∈，， 所以222(1)2(1)x x x x +<−−−，解得112x −<<−．综上，不等式()(1)f x f x −<−的解集为1()2−∞−，．13．【解】由0AB BC AD DC ⋅=⋅=，得90ABC ADC ∠=∠=，所以四边形ABCD 的外接圆是以AC 为直径的圆． 设AC ，BD 的中点分别为O ，E ，则OE BD ⊥，所以2AC BD AO BD ⋅=⋅2()AB BE EO BD =++⋅212()2AB BD BD =⋅+，结合4AC BD ⋅=1AC BD ⋅=，2AB BD ⋅=−32AB BD ⋅=−， 得2142(2)2BD =−+，所以28BD =，即22BD =BD 的长为14．【解】方程24()()ln(e 1)2x f x g x x a −=⇔+=+−242e1e 0x x a −+−⇔+−=． 令242()e 1e x x a h x x −+−=+−∈R ，，则显然()h x 为偶函数，所以方程()()f x g x =有四个实根⇔函数242()e 1e 0x x a h x x −+−=+−>，有2个零点． 令2e 0x t x −=>，，则关于t 的方程2e 10a t t −+=， 即1e a t t=+在2(e )−+∞，内有2个不相等的实根， 结合函数21e y t t t−=+>，的图象，得222<e e e a −<+，即4ln 2ln(e 1)2a <<+−．AB CDOE从而存在[1]()a n n n Z ∈+∈，，使得4ln 2ln(e 1)2a <<+−， 所以4ln(e 1)2ln 21n n ⎧<+−⎨<+⎩，，结合n ∈Z ，得max 2n =．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)【证】（1）因为EA ABC ⊥平面，AB AC ABC ⊂，平面，所以EA AB ⊥，EA AC ⊥． …… 2分又DC EA ∥，所以DC AB ⊥，DC AC ⊥． …… 4分 因为ABAC A =，AB AC ABC ⊂，平面， 所以DC ABC ⊥平面． …… 6分 （2）取AB 中点M ，连结CM ，FM ．在△ABE 中，F ，M 分别为EB ，AB 中点， FM ∥EA ，且2EA FM =． 又DC EA ∥且2EA DC =， 于是DC ∥FM ，且DC FM =．所以四边形DCMF 为平行四边形． …… 10分则DF CM ∥，CM ABC ⊂平面，DF ABC ⊄平面，所以DF ABC ∥平面． …… 14分16．(本小题满分14分)【证】（1）在△ABC 中，πA B C ++=，所以()3sin sin 5C A B =+=，即3sin cos cos sin 5A B A B +=，① …… 2分又()1sin 5A B −=，即1sin cos cos sin 5A B A B −=， ② …… 4分由①②得，21sin cos cos sin 55A B A B ==，.因为2A B π≠，，所以两式相除得，tan 2tan A B =． …… 6分【解】（2）由题意，22tan tan AB A B +=，得3tan AB B=． …… 8分在△ABC中，4cos 5C ==，所以sin 3tan cos 4C C C ==． …… 10分A DC BEFM又()()2tan tan 3tan 3tan tan tan 1tan tan 412tan A B B C A B A B A B B +=π−+=−+=−=−=⎡⎤⎣⎦−−，…… 12分即22tan 4tan 10B B −−=，解得tan 1B =+所以2)AB =． …… 14分17．(本小题满分14分)【解】（1）由题意知OM OA R ==，且060θ︒<︒≤． …… 2分在OMN △中，由正弦定理得sin 60sin(120)MN OM θ=︒−，于是)MN θ=︒−， …… 4分从而市民从点O 出发沿道路OM，MN 行走所经过的路径长 ())f OM MN R θθ=+=︒−，060θ︒<︒≤．当12090θ︒−=︒，即30θ=︒时，()f θ取最大值．即当30θ=︒时，市民从点O 出发沿道路OM ，MN 行走所经过的路径最长．6分 （2）市民从点A 出发沿道路AM ，MN 行走所经过的路径长())g AM MN R θθθ=+=+︒−1sin )2R θθθ=++，060θ︒<︒≤． ……8分1()cos )2g R θθθ'=++30)R θ=−−︒，当060θ︒<︒≤时，11sin(30)22θ−<−︒≤，从而()0g θ'>恒成立， 所以()g θ在区间(03π⎤⎥⎦，上单调递增，所以当60θ=︒时，()g θ取最大值． 即当60θ=︒时，市民从点A 出发沿道路AM ，MN 行走所经过的路径最长．14分 18．(本小题满分16分)【解】（1）设圆C 的方程为222()()(0)x a y b r r −+−=>，由题设，222222()))()a b r a b r r ⎧+−=⎪⎪+−=⎪⎨=，，，①②③ …… 3分①−②整理得a b =2r −=，结合①得222((2)a a ++=− 所以0a =，从而0b =，2r =，所以圆C 的方程为224x y +=． …… 5分 （2）（i ）设0(4)P y ，，因为PM ，PN 是圆C 的两条切线，所以PM MC ⊥，PN NC ⊥，所以P M N C ，，，在以PC 为直径的圆上，该圆方程为22040x y x y y +−−=． …… 7分设11()M x y ，，22()N x y ，，则221110140x y x y y +−−=④． 因为11()M x y ，在圆C 上，所以22114x y +=⑤， 由④⑤得101440x y y +−=，同理202440x y y +−=， 由此得直线MN 的方程为0440x y y +−=，所以直线MN 过定点(10)，． …… 10分 （ii ）由（i ），(10)Q ，，设直线PQ 的方程为(1)y k x =−，则(0)D k −，． 设3344()()A x y B x y ，，，，由22(1)4y k x x y =−⎧⎨+=⎩，，得2222(1)2(4)0k x k x k +−+−=， 所以23422342214.1k x x k k x x k ⎧=⎪⎪+⎨−⎪=⎪+⎩+，…… 12分 由DA QA λ=，DB QB μ=，得3344(1)(1)x x x x λμ=−⎧⎨=−⎩，，即334411x x x x λμ⎧=⎪−⎪⎨⎪=⎪−⎩，， …… 14分所以33443434342211()1x x x xx x x x x x λμ+−+=+=+−−−++22222222281223342111k k k k k k−+=+=+=−−+++． …… 16分 19．(本小题满分16分)【解】（1）当1b=−时，1()ln f x ax x x=++，所以222111()ax x f x a x x x+−'=−+=． …… 2分若函数()f x 有两个极值，则0102140a aa <⎧⎪⎪−>⎨⎪+>⎪⎩，，，解得104a −<<．故a 的取值范围是1(0)4−，． …… 4分（2）当1a b +=时，1()(1)ln f x ax a x x=+−−，所以2222(1)1(1)(1)11()ax a x x ax a f x a x x x x +−−+−−'=−+==． 当0a ≤时，()0f x '<，所以()f x 是(0)+∞，上的减函数，所以函数()f x 无最小值，舍去； …… 6分 当0a >时，由()0f x '>得，1x a>，所以()f x 在1(0)a ，上单调递减，在1()a+∞，上单调递增， 所以函数()f x 的最小值为1()1(1)ln f a a a a =++−．由1(1)ln 2a a a ++−=，得(1)(1ln )0a a −−=，解得1a =，或e a =． …… 9分 （3）对任意给定的正实数a b ，，有()1ln ln f x ax b x ax b x x=+−>−． …… 11分（方法一）设()ln g x ax b x =−，则()ax b g x x −'=，所以()g x 在(0)b a ，上单调递减，在(+)b a∞，)上单调递增， 所以min ()()(1ln )b b g x g b a a ==−． 当e b a≤时，()0g x ≥恒成立，所以存在0b x a=，当0x x >时，()0g x >，即当0x x >时，()0f x >． …… 13分当>e b a 时，()0b g a<， 以下证明e b a b a <，且(e )0bag >．令e bx a=>，2()e x h x x =−，则()e 2x h x x '=−， 因为(e 2)e 20x x x '−=−>，所以()e 2x h x x '=−是(e,)+∞上的增函数， 由()(e)0h x h ''>>，得2()e x h x x =−是(e,)+∞上的增函数， 所以()(e)0h x h >>，故当e x >时，2e x x x >>．故<e b a b a ，2(e )e ln e e ()0b b bb a a aa b g a b a a ⎡⎤=⋅−=−>⎢⎥⎣⎦， 由零点存在性定理知，存在0(e )ba b x a∈，，使0()0g x =，故当0x x >时，()0g x >，即当0x x >时，()0f x >． …… 16分（方法2）设()ln ln )g x ax b x ax b x =−=−+． …… 13分设ln y x =，0x >，则1y x'=−=，易知当4x =时，min 22ln 20y =−>，故ln 0y x >．又由0ax −，得2()b x a ≥，对于任意给定的正实数a b ，，取0x 为2()b a与4中的较大者，则当0x x >时，恒有()0g x >，即当0x x >时，()0f x >． …… 16分20．(本小题满分16分)【解】（1）因为12n n nS a a =+，所以221n n n S a a =+．当2n n *∈N ，≥时，2112()()1n n n n n S S S S S −−−=−+， 即2211n n S S −=+，2211(2)n n S S n n *−−=∈N ≥，． 又1n =时，11112S a a =+，得11a =（舍负）所以{}2n S 是以1为首项公差为1的等差数列． …… 4分（2）由（1）知，211n S n n =+−=．又{}n a 是各项都为正数，0n S >，所以n S =．当2n n *∈N ，≥时，1n n n a S S −=−又11a =，所以)n a n *=∈N ．于是(1)nn n b ==−+． …… 6分 当n 为奇数时，123n n T b b b b =++++1)(n =−−++−+=当n 为偶数时，123n n T b b b b =++++1)(n =−−++++=所以(1)n T =−． …… 8分（3）由22122p m m pT T −=得122m p p m −=，即222m pp m ⨯=． …… 10分 设2n n n c =，则11111222n n nn n n n n c c ++++−−=−=， 所以12345c c c c c =>>>>． …… 12分由222m ppm ⨯=，2p m m c c c =>，所以m p >，则1m p +≥． 当1m p =+时，222m ppm ⨯=显然不成立； 当1m p >+时，222m pp m ⨯=，则12m p m p −−=． 记1m p t −−=，则t *∈N ，12t p tp ++=，得121t t p +=−． …… 14分记121n n n d +=−，则1111112102121(21)(21)nn n n n n n n n n d d ++++++−⨯−−=−=<−−−−恒成立， 故数列{}n d 单调递减．又12342117d d d ===<，，，则3n ≥时，1n d <恒成立． 从而方程121t t p +=−的解为12t p ==，或21t p ==，． 所以满足条件的m p ，存在，4142m p m p ====，或，． 所以()(){}221()414222p m m p T T m p m p *−⎧⎫⎪⎪=∈=⎨⎬⎪⎪⎩⎭N ，，，，，，． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）【解】设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A （a b c d ∈R ，，，），则152103101a b c d −⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦AA ， …… 3分 所以5312053021a b a b c d c d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，，，，解得1a =−，2b =，3c =，5d =−，所以1235−⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦A ．… 7分 因为12133527−⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以点(12)P ，在矩阵A 对应的变换作用下得到点Q 的坐标为(37)−，． …… 10分 21B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）【解】将sin()13ρθπ+=20y +−=， …… 2分将2ρ=化为普通方程为224x y +=． …… 4分联立22204y x y +−=+=⎪⎩，，消y 得240x −=，所以0x =或x = 所以AB 的中点M 的直角坐标为1)2，， …… 8分 所以点M 的极坐标为(1)6π，． …… 10分 21C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）【解】因为22262a b c −=+ …… 2分22222122(2)(1)()(3)3233b c b c a =+++=−≥， …… 6分即25120a a −≤，所以 1205a ≤≤． …… 10分22．（本小题满分10分）【解】三棱锥P ABC −中，因为PA ⊥平面ABC ，所以AP AB ⊥，AP AC ⊥，又AB AC ⊥，所以，可以以{}AB AC AP ，，建立如图所示空间直角坐标系A xyz −． 因为1PA =，2AB AC ==，所以(000)A ，，，(200)B ，，，(020)C ，，，(001)P ，，． 所以(020)AD AC λλ==，，，即(020)D λ，，．…… 2分 所以(201)PB =−，，，(021)PD λ=−，，． 设平面PBD 的法向量为1111()x y z =n ，，，则1111112020PB x z PD y z λ⎧⋅=−=⎪⎨⋅==⎪⎩n n ，-，取1(12)λλ=n ，，． …… 4分（1）当12λ=时，11(11)2=n ，，，又可取2(001)=n ，，为平面BDC 的一个法向量，所以1212122cos ||||3⋅<>===⋅n n n n n n ，，由图可知二面角P BD C −−的余弦值值为23−． …… 6分（2）(021)PC =−，，，平面PBD 的一个法向量为1(12)λλ=n ，，． 设直线PC 与平面PBD 所成角为θ，则111||sin cos ||||PC PC PC θ⋅=<>==⋅n nn ， …… 8分=22940λλ−+=， 解得12λ=或4λ=−， 因为01λ<<，所以12λ=． …… 10分 23．（本小题满分10分）【解】（1）因为每个服务区入口处设置宣传标语A 的概率为23， 所以每个服务区入口处设置宣传标语B 的概率为13，所以1~(2)3X B n ，，所以12()233E X n n =⨯=． …… 2分（2）长途司机在走该高速全程中，随机的选取3个服务区，共有32n C 种选取方法．长途司机在走该高速全程中，随机的选取3个服务区，记这3个服务区看到相同的宣传标语的事件数为M ，则其概率32nMP C =． …… 4分设该高速公路全程2(4)n n n *∈N ≥，个服务区中，入口处设置醒目的宣传标语A 的有 m (2)m m n ∈N ，≤个．①当323m n −≤≤时，332m n m M C C −=+．令332()m n m f m C C −=+，323m n −≤≤， 则当324m n −≤≤时，33331212(1)()m n m m n m f m f m C C C C +−−−+−=+−−33331221()()m m n m n m C C C C +−−−=−−−2221m n m C C −−=−212(1)()2n n m −=−− 所以当1m n −≤时，(1)()f m f m +<；当m n ≥时，(1)()f m f m +>，所以当m n =时，3min [()]()2n f m f n C ==，即3min ()2n M f n C ==． …… 6分②当3m <，m ∈N 时，32n m M C −=．显然33322122n n n C C C −−>>，所以33222n m n M C C −−=≥．因为4n ≥，所以23n n −>，所以322(22)(23)(24)4(1)(2)(23)66n n n n n n n C −−−−−−−==334(1)(2)426n n n n n C C −−>=>，即32n M C >． …… 8分③当232n m n −<≤，m ∈N 时，3m M C =．因为232n m n −<≤，m ∈N 时，22m n =−，或21m n =−，或2m n =，所以同②，32n M C >．综上，m n =时，3min ()2nM f n C ==，3min min33222242nn n C M n P n C C −===−， 即两种宣传标语1∶1设置时，符合题设的概率最小，其最小值为242n n −−．… 10分。

2020年3月高三第三次在线大联考（新课标Ⅰ卷）理科数学（满分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合{|20}A x x =-≥，{|ln(1)}B x y x =∈=+Z ，则A B =I A ．[1,2]-B ．(1,2]-C ．{0,1,2}D ．{1,0,1,2}-2．设复数z 满足|i ||i |z z -=+，i 为虚数单位，且z 在复平面内对应的点为(,)Z x y ，则下列结论一定正确的是A ．1x =B ．1y =C ．0x =D ．0y =3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若953S a =，则一定成立的是 A ．46S S = B ．45S S = C ．57S S =D ．56S S =4．国家统计局发布数据显示，2020年1月份全国CPI （居民消费价格指数）同比上涨5.4%，环比上涨1.4%.下图是2019年1月到2020年1月全国居民消费价格同比（与去年同期相比）和环比（与上月相比）涨跌幅，则下列判断错误的是A ．各月同比全部上涨，平均涨幅超过3%B ．各月环比有涨有跌，平均涨幅超过0.3%C ．同比涨幅最大的月份，也是环比涨幅最大的月份D ．环比跌幅最大的月份，也是同比涨幅最小的月份5．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得π的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值的表达式纷纷出现，使得π值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：π2244662133557⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯L L，根据该公式绘制出了估计圆周率π的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的 2.8T >，若判断框内填入的条件为?k m ≥，则正整数m 的最小值是A ．2B ．3C ．4D ．56．已知实数,x y 满足约束条件2202201,1x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥-≥-⎩，则2x y +的取值范围是A ．(3,6]-B ．[3,6]-C ．3(,6]2-D ．3[,6]2-7．函数52sin ()([π,0)(0,π])33x xx xf x x -+=∈--U 的图象大致为8．已知向量(1,),(2,)t y =-=a b ，其中22121y t t =-++，则当y 最小时，cos ,=a b A 25B ．25C ．5D 5 9．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，数列{}n a 满足1[]22(1)n n a n -=-，则数列{}n a 的前60项的和为A ．1830B ．1830-C ．3660D ．3660-10．将函数22()6sin cos 2cos f x x x x =+-的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象.对于下列四种说法，正确的是 ①函数()g x 的图象关于点π(,0)3成中心对称②函数()g x 在(π,π)-上有8个极值点③函数()g x 在区间ππ[,]24--上的最大值为2，最小值为2-④函数()g x 在区间ππ(,)44-上单调递增A ．①②B ．②③C ．②③④D ．①③④11．如图平面多边形中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，外侧4个三角形均为正三角形.若沿正方形的4条边将三角形折起，使顶点1234,,,S S S S 重合为S 点，得到四棱锥S ABCD -，则此四棱锥的外接球的表面积为A ．πB ．2πC ．3πD ．4π12．已知过点(4,0)M 的直线与抛物线C ：24y x =交于点,A B ，设O 为坐标原点，则||||||OA OB AB +的最大值为 A ．1B ．2C 2D ．22二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．5(21)x y +-的展开式中22x y 的系数为___________. 14．若π1sin(),(0,π)63αα+=-∈，则πsin(2)3α+=___________.15．已知双曲线E ：2221(0)x y a a-=>的左、右焦点分别为12,F F ，M 在E 的右支上，若12ππ[,]43F MF ∠∈，则12MF MF ⋅u u u u r u u u u r的最大值为___________.16．若存在直线l 与函数1()(0)f x x x=<及2()g x x a =+的图象都相切，则实数a 的最小值为___________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知四边形ABCD 中，AB AD ⊥，π6BDC ∠=，2AD =，4DC =.（1）若5cos ABD ∠=，求BD ，BC ； （2）若C ADC ∠=∠，求sin CBD ∠. 18．（本小题满分12分）如图所示，正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，MB ∥AN ，2NA AB ==，4BM =，23CN =.（1）证明：平面DMN ⊥平面BCN ； （2）求二面角C MN D --的余弦值. 19．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，过椭圆C 的左、右焦点12,F F 分别作倾斜角为π3的直线12,l l ，12,l l 3 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 只有一个公共点，求点12,F F 到直线l 的距离之积. 20．（本小题满分12分）某位学生为了分析自己每天早上从家出发到教室所花的时间，随机选取了10天的数据，统计如下（单位：分钟）：23，21，22，19，22，19，17，19，21，17.（1）若每天上学所花的时间X 服从正态分布2(,)N μσ，用样本的平均数和标准差分别作为μ和σ的估计值.（ⅰ）求μ和σ的值；（ⅱ）若学校7点30分上课，该学生在7点04分到7点06分之间任意时刻从家出发，求该学生上学不迟到的概率的范围；（2）在这10天中任取2天，记该学生早上从家出发到教室所花时间的差的绝对值为Y ，求Y 的分布列和数学期望.附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)P X μσμσ-<<+= 0.9544，(33)0.9974P X μσμσ-<<+=.21．（本小题满分12分）已知函数()cos(1)(1ln )f x x x x =-+-. （1）设()()g x f x '=，求证：1()g x x<； （2）讨论()f x 的单调性.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为8242x tt y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若射线(0)4θρπ=>与l 和C 分别交于点,A B ，求||AB ． 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|21||1|f x x ax =+--，a ∈R ． （1）当2a =时，求不等式1()1f x -≤≤的解集；（2）当1(,0)2x ∈-时，不等式()2f x x >恒成立，求实数a 的取值范围．。

河北衡水中学2020届全国高三第三次联合考试(Ⅰ)理科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2M x x x =+>，(){}ln 10N x x =->，则( ）A 。

M N⊇ B 。

M N⊆C.()1,M N ⋂=+∞D.()2,M N ⋃=+∞【答案】A 【解析】 【分析】解出集合M 、N ，利用集合的包含关系和交集、并集的定义可判断各选项的正误. 【详解】{}()()20,10,M x x x =+>=-∞-⋃+∞，(){}{}()ln 10112,N x x x x =->=->=+∞,所以，M N ⊇，()2,M N =+∞，()(),10,MN =-∞-+∞。

故选:A 。

【点睛】本题考查集合包含关系的判断,同时也考查了集合的交集和并集运算、二次不等式与对数不等式的求解,考查计算能力，属于基础题.2. 已知复数2(2)z i =+，则z 的虚部为（ ）A 。

3B 。

3i C. 4 D.4i【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的代数形式的乘法法则计算即可得解；【详解】解：2=+=+，所以z的虚部为4.(2)34z i i故选：C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘法，复数的相关概念，属于基础题。

3。

以下统计表和分布图取自《清华大学2019年毕业生就业质量报告》.清华大学2019年毕业生去向分布情况统计表清华大学2019年毕业生签三方就业单位所在省（区、市）分布图的是( ）。

则下列选项错误．．A. 清华大学2019年毕业生中，大多数本科生选择继续深造，大多数硕士生选择就业B。

清华大学2019年毕业生中，硕士生的就业率比本科生高C。

清华大学2019年签三方就业的毕业生中,本科生的就业城市比硕士生的就业城市分散D。

清华大学2019年签三方就业毕业生中，留北京人数超过一半【答案】D【解析】【分析】选项A在表中找出本科生选择继续深造达80.4％，硕士生选择就业达89.2％，则判断选项A正确；选项B在表中找出硕士生的就业率达89.2％,本科生的就业率达17.3％，则判断选项B正确；选项C在表中分析出本科生的就业城市主要分散在北京、广东、上海，硕士生的就业城市主要集中在北京，则判断选项C正确；选项D在表中分析出留北京人数仅博士生达到了51。

绝密★启用前（在此卷上答题无效）姓名：________________准考证号：________________2020届全国示范性名校高三三联数学（理科）试题（150分，120分钟）一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)1.设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7}，则满足S A 且S ∩B ≠∅的集合S 的个数为( ) A ． 57 B ． 56 C ． 49 D ． 82.一个样本a,3,5,7的平均数是b ，且a ，b 是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，则这个样本的方差是( )A ． 3B ． 4C ． 5D ． 63.在球O 内任取一点P ，使得点P 在球O 的内接正方体中的概率是( ) A ．π B ．π C ．π D ．π4.在某学校组织的数学竞赛中，学生的竞赛成绩ξ～N(95，σ2)，p(ξ＞120)＝a ，P(70＜ξ＜95)＝b ，则直线ax ＋by ＋＝0与圆x 2＋y 2＝2的位置关系是( ) A ． 相离 B ． 相交 C ． 相离或相切 D ． 相交或相切5.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足＝ (a ＋b ).曲线C ＝{P|＝a cos θ＋b sin θ，0≤θ＜2π}，区域Ω＝{P|0＜r ≤| |≤R ，r ＜R}.若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( )A ． 1＜r ＜R ＜3B ． 1＜r ＜3≤RC ．r ≤1＜R ＜3D ． 1＜r ＜3＜R6.已知二次函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)>1的解集为( )A ． (－∞，－1)∪(0，＋∞)B ． (－∞，0)∪(1，＋∞)C ． (－1,0)D ． (0,1)7.如图所示，有三根柱子和套在一根柱子上的n 个盘子，按下列规则，把盘子从一根柱子上全部移到另一根柱子上.(1)每次只能移动一个盘子；(2)在每次移动过程中，每根柱子上较大的盘子不能放在较小的盘子上面.若将n 个盘子从1号柱子移到3号柱子最少需要移动的次数记为f(n)，则f(5)等于( )A ． 33B ． 31C ． 17D ． 15 8.已知z 1，z 2是复数，定义复数的一种运算“”为：z 1z 2＝若z 1＝2＋i 且z 1z 2＝3＋4i ，则复数z 2等于( )A ． 2＋iB ． 1＋3iC ． 2＋i 或1＋3iD ． 条件不够，无法求出9.已知函数f(x)＝ x 3＋ax 2－bx ＋1(a ，b ∈R ) 在区间[－1,3]上是减函数，则b 的最小值是( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 410.由9个互不 相 等 的 正 数 组 成 的 数 阵中，每 行 中 的 三 个 数 成 等 差 数 列，且、、成等比数列，下列四个判断正确的有（ ） ①第2列必成等比数列 ②第1列不一定成等比数列-1-（20-GSSL-QGYB ） -24-52GH-③④若9个数之和等于9，则A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个11.tan(π－θ)＋tan(π＋θ)＋tan(π－θ)tan(π＋θ)的值是( )A． B． C． 2 D．12.已知偶函数f(x)：Z Z，且f(x)满足：f(1)＝1，f(2 015)≠1，对任意整数a，b都有f(a＋b)≤max{f(a)，f(b)}，其中max(x，y)＝则f(2 016)的值为( )A． 0 B． 1 C． 2 015 D． 2 016二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.已知正数a，b，c满足3a－b＋2c＝0，则的最大值为________．14.已知平面区域C1：x2＋y2≤4(＋|y|)，则平面区域C1的面积是________．15.已知(x＋2)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值为________．16.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1，第二次取2个连续偶数2、4；第三次取3个连续奇数5、7、9；第四次取4个连续偶数10、12、14、16；第五次取5个连续奇数17、19、21、23、25.按此规则一直取下去，得到一个子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，….则在这个子数列中，由1开始的第29个数是________；（2分）第2 014个数是________.（3分）三、解答题(共70分)（一）必考题（60分）17.（本小题满分12分）设f(x)＝cos2x＋asinx－－(0≤x≤π).(1)用a表示f(x)的最大值M(a)；(2)当M(a)＝2时，求a的值.18.（本小题满分12分）一种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，；若前次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，记第n(n∈Z，n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为P n.(1)当n∈Z，n≥2时，用P n－1表示P n；(2)求P n关于n的表达式．19.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝e x－ln (x＋m)．(1)设x＝0是f(x)的极值点，求函数f(x)在[1,2]上的最值．(2)若对任意x1，x2∈[0,2]且x1>x2，都有>－1，求m的取值范围．(3)当m≤2时，证明f(x)>0.-2-（20-GSSL-QGYB） -24-52GH-20.（本小题满分12分）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上顶点M与左、右焦点F1，F2构成△MF1F2的面积为，又椭圆C的离心率为.(1)若直线l与椭圆C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且x1＋x2＝2，又直线l1：y＝k1x＋m是线段AB的垂直平分线，求实数m的取值范围；(2)椭圆C的下顶点为N，过点T(t,2)(t≠0)的直线TM，TN分别与椭圆C交于E，F两点．若△TMN的面积是△TEF的面积的k倍，求k的最大值．21.（本小题满分12分）已知Q2＝称为x，y的二维平方平均数，A2＝称为x，y的二维算术平均数，G2＝称为x，y的二维几何平均数，H2＝称为x，y的二维调和平均数，其中x，y均为正数.(1)试判断G2与H2的大小，并证明你的猜想；(2)令M＝A2－G2，N＝G2－H2，试判断M与N的大小，并证明你的猜想；(3)令M＝A2－G2，N＝G2－H2，P＝Q2－A2，试判断M，N，P三者之间的大小关系，并证明你的猜想. （二）选考题（10分）（请从22，23题中任选一题作答，如果多做，按22题记分）-3-（20-GSSL-QGYB） -24-52GH-23.（选修4-5：不等式选讲）伯努利不等式，又称贝努利不等式，是分析不等式中最常见的一种不等式，由数学家伯努利提出。

xx 届高三第三次联考数学试卷本试卷分选择题和非选择题两部分,共4页,满分150,考试时间120分钟,答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班级、姓名、座位号填写在答题卷的密封线内.所有题目必须用黑色字迹的钢笔或签字笔答在答题卷上,否则答案无效.一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）．1、设集合{}1,2,3P =，集合{}23Q x R x =∈≤≤，那么下列结论正确的是： ( ) A ．P Q P ⋂= B. Q P Q ⊆⋂ C. P Q P ⋂⊆ D. P Q Q ⋂= 2、设(32()log f x x x =+，则对任意实数,a b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的（ ）A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件 3、方程2sin 2sin 0x x a ++=一定有解，则a 的取值范围是 （ ）A ．[3,1]-B ．(,1]-∞C ．[1,)+∞D ．4、如果执行下面的程序框图，那么输出的S = （ ）． Ａ．2450 Ｂ.2500 Ｃ．2550 Ｄ．26525、将函数sin(2)3y x π=-的图象先向左平移6π，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为（ ）． A ．cos y x =- B ．sin 4y x = C ．sin y x =D ．sin()6y x π=-6、等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且3457-+=n n T S n n ，则使得nn b a为整数的正整数n 的个数是（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．67、右图是一个正方体，它的展开图可能是下面四个展开图中的（ ）A ．B ．C ．D ．8、 如图，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ， AQ uuu r ＝23AB u u u r ＋14AC u u ur ，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为( ) A ．15 B ． 45 C ． 14 D ．13第8题第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）．9、化简：2(1)i i+= ．10、 一物体在力F （x ）=4x+2（力的单位：N ）的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x =0处运动到x =5处（单位：m ），则力F （x ）所作的功___________11、已知点(,)P x y 的坐标满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，点O 为坐标原点，那么||PO 的最大值等于_______,最小值等于____________.12、从装有1n +个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球()0,,m n m n N <≤∈,共有1mn C +种取法。

河北衡水中学2020届全国高三第三次联合考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。

2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案用0.5 mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的。

1．设集合{}22A x x =-<<，{}20B x x x m =-+<，若{}23A B x x =-<<，则实数m =A ．6-B ．6C ．5D ．22．已知()()2i i 55i a ++=+，则实数a =A ．0B ．1C ．2D ．33．已知双曲线2212x y a a -=-与椭圆2215x y +=的焦点相同，则该双曲线的离心率为A B ．43C.D ．34．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(],0-∞上单调递增，则 A ．2321(log 3)(log 2)(log )3f f f <<B ．2231(log )(log 3)(log 2)3f f f <<C ．2321(log )(log 2)(log 3)3f f f <<D ．3221(log 2)(log )(log 3)3f f f <<5．为庆祝中华人民共和国成立70周年，2019年10月1日晚，金水桥南，百里长街成为舞台，3290名联欢群众演员跟着音乐的旋律，用手中不时变幻色彩的光影屏，流动着拼组出五星红旗、祖国万岁、长城等各式图案和文字.光影激滟间，以《红旗项》《我们走在大路上》《在希望的田野上》《领航新时代》四个章节，展现出中华民族从站起来、富起来到强起来的伟大飞跃，在每名演员的手中都有一块光影屏，每块屏有1024颗灯珠，若每个灯珠的开、关各表示一个信息，则每块屏可以表示出不同图案的个数为A ．2048B ．10242C ．21024D ．102410246．已知等差数列{}n a 中，前5项的和n S 满足51525S <<，则公差d 的取值范围为A ．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(1,4)C ．(1,3)D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭7．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例，据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年.如图，在矩形ABCD 中，ABC △满足“勾3股4弦5”，且AB= 3，E 为AD 上的一点，BE AC ⊥，若BA BE AC λμ=+，则λμ+的值为 A ．925- B ．725C ．1625D ．18．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为 A ．0 BC．1D．19．在长方体1111ABCD A B C D -中，E F G 、、分别为棱111AA C D DD 、、的中点，1=2AB AA AD =，则异面直线EF 与BG 所成角的大小为A ．30B ．60C ．90D ．12010．将函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位长度，然后再将所得图像上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为A ．cos 12y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．7cos 412y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．sin 412y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．sin 12y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭11．已知5123456012345671(2)(1)x x a x a a x a x a x a x a x a x x-+--=+++++++，则4a =A ．21B ．42C ．35-D ．210-12．已知函数22,0()=ln(1),0x x x f x x x ⎧--≤⎨+>⎩，若方程1()2f x mx m =+-恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是A ．121,e 2-⎡⎫⎢⎪⎢⎭⎣B ．121,e 2-⎛⎫⎪⎝⎭C ．121,e 2⎛⎫⎪⎝⎭D ．121e ,2⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年3月高三第三次在线大联考（山东卷）数学 全解全析（满分：150分 考试时间：120分钟）1．C 【解析】因为{|20}{|2}A x x x x =-≥=≤，{|ln(1)}{|1}B x y x x x =∈=+=∈>-Z Z ，所以{0,1,2}A B =I .故选C ．2．D 【解析】因为满足|i ||i |z z -=+的点Z 为复平面内到点(0,1)和(0,1)-的距离相等的点的集合，所以(,)Z x y 的轨迹为x 轴，其方程为0y =.故选D ．3．C 【解析】由题可得0.00520.02020.040(1)10a ⨯++⨯+⨯=，解得0.010a =， 则(0.0050.0100.020)100.35++⨯=，0.350.040100.750.5+⨯=>，所以这部分男生的身高的中位数的估计值为0.50.3517010173.75(cm)100.040-+⨯=⨯，故选C ．4．B 【解析】2222112(1)33111y t t t t =-+=++-≥=-++，当且仅当22111t t +=+，即0t =时取等号，y 取得最小值为1-.此时，(1,0),(2,1)=-=-a b ，则cos ,||||⋅===⋅a b a b a b .故选B ． 5．A 【解析】因为5()2sin()52sin ()()3333x x x xx x x xf x f x ---+-+-===--，所以函数()f x 是偶函数，排除B 、D ，又5()033f π-πππ=>-，排除C ，故选A ．6．D 【解析】当43n k =-或42n k =-时，1[]2(1)1n --=；当41n k =-或4n k =时，1[]2(1)1n --=-，所以4342k k a a --+2222414(43)(42)(41)(4)3212k k a a k k k k k -++=-+----=-+，所以数列{}n a 的前60项和60S =32123215121536602-+-⨯+⨯=-.故选D ．7．D 【解析】如图，连接BD ，因为,AB a AD b==，AA'a b =+，所以222()A'B a a b =++，222()A'D b a b =++， 222BD a b =+，结合余弦定理得222222222cos 2A'B A'D BD BA'D A'B A'D +-∠===⋅=cos cos BA'A DA'A ∠⋅∠．又因为tan tan 1a b BA'A DA'A a b a b∠+∠=+==++sin sin cos cos BA'A DA'ABA'A DA'A∠∠+∠∠，所以sin()cos cos cos BA'A DA'A BA'A DA'A BA'D ∠+∠=∠⋅∠=∠，所以BA'D ∠+90DA'A BA'A ∠+∠=︒，故选D ．8．C 【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为4x my =+，与24y x =联立得24160y my --=，则124y y m +=，1216y y =-，所以212121212(4)(4)(1)4()1616(1OA OB my my y y m y y m y y ⋅=+++=++++=-u u u r u u u r22)16160m m +++=，所以OA OB ⊥，则222||||||OA OB AB +=,所以||||OA OB +≤|AB =（当且仅当||||OA OB =时等号成立），所以||||||OA OB AB +故选C ．9．CD 【解析】A ，举反例，取4,1a b =-=可知A 错误；B ，举反例，取1,2a b ==-可知B 错误；而C ，D 显然正确．故选CD ．10．AD 【解析】首先，函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称，因为21()ln ||()()1f x x f x x -=--=-+，所以函数()f x 为偶函数，故A 正确；当0x >时，21()ln +1f x x x =-，由复合函数的单调性可知，函数()f x 单调递增，由偶函数的图象关于y 轴对称，可知当0x <时，函数()f x 单调递减，故B 错误，C错误；由函数()f x 是偶函数及其单调性，得(1)(2)f x f x ->等价于|1||2|x x ->，即22(1)(2)x x ->，结合定义域解得110,03x x -<<<<或，故D 正确．故选AD ．11．BCD 【解析】21cos2π()cos 2)26x f x x x x x x +=-+，将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得函数π())6g x x +的图象．对于选项A ，π4ππ())336g =+=()g x 的图象不关于点π(,0)3成中心对称，A 错误；对于选项B ，由(π,π)x ∈-得π23π25π4(,)666x +∈-，结合函数图象可得函数()g x 在(π,π)-上有8个极值点，B 正确；对于选项C ，由ππ24x -≤≤-，得11ππ5π4666x -≤+≤-，则()g x ≤所以函数()g x 的最大值为，最小值为，C 正确；对于选项D ，由242262k x k k πππ-+π≤+≤+π,∈Z ，解得,62122k k x k ππππ-+≤≤+∈Z ，取0k =，得612x ππ-≤≤，故函数()g x 在π(0,)12上单调递增，D 正确．故选BCD ．12．CD 【解析】如图所示，连接,AC BD ，设AC BD H =I ，连接SH ，根据题意可得SH ⊥平面ABCD ．设O 为四棱锥S ABCD -的外接球的球心，则O 在SH 上．连接OC ，设此四棱锥的外接球的半径为R ，则OS OC R ==．因为正方形ABCD1CH =，SC =1SH =，所以,H O 重合，即四棱锥的高1SH =，四棱锥的外接球的半径1R =，直径为2，所以四棱锥的外接球的表面积24π4πS R ==，体积34433V R =π=π．故选CD ．13．11- 【解析】35(2)()x y x y +-的展开式中含35x y 的项为303232223233535C (2)C ()C (2)C ()x y x y x y x y -+-+1244030505353535C (2)C ()C (2)C ()11x y x y x y x y x y -+-=-，所以35(2)()x y x y +-的展开式中35x y 的系数为11-． 14．2 【解析】设12||,||MF m MF n ==，12F MF θ∠=，则22242cos c m n mn θ=+-.又2m n a -=，即22224m n mn a +-=，解得21cos mn θ=-，所以12122cos ||||cos cos 1cos MF MF MF MF mn θθθ=θ⋅=⋅⋅==-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r211cos θ-，因为ππ[,]43θ∈，所以1cos 22θ≤≤12cos θ≤≤1111cos θ≤-≤，则2211cos θ≤≤-2=，所以12MF MF ⋅u u u u r u u u u r的最大值为2． 15．【解析】设直线l 与函数()f x 及()g x 的图象分别相切于1(,)(0)A m m m <，2(,)B n n a +，因为21()f x x '=-，所以函数()f x 的图象在点A 处的切线方程为211()y x m m m -=--，即212y x m m=-+，因为()2g x x '=，所以函数()g x 的图象在点B 处的切线方程为22()y n a n x n --=-，即22y nx n a =-+，因为存在直线l 与函数()f x 及()g x 的图象都相切，所以22122n mn a m ⎧=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，所以4124a m m =+， 令1(0)t t m =<，设41()2(0)4h t t t t =+<，则3()2h t t '=+，当t <()0h t '<，函数()h t单调递减；当0t <时，()0h t '>，函数()h t 单调递增，所以min()(h t h ==，所以实数a的最小值为 16．408，517【解析】如果上午第一节课排数学，则语文、英语、信息技术、体育、地理可任意排在其余5节课，故有55A种排法；如果上午第一节课不排数学，则可排语文、英语、信息技术、地理中的任何一门，有14C 种排法，数学应该排在上午第二节、第三节或第四节，有13C 种排法，余下的四门课程可任意排列，有44A 种排法，故上午第一节课不排数学共有114434C C A ⋅⋅种排法，综上，有51145434A 4C C A 08⋅+=⋅种不同的排法．数学排第一节课的概率55A 540817P ==．故答案为408，517．17．（本小题满分10分）【解析】（1）因为112(2)n n n n a an a a +-+=≥，所以0n a ≠，所以11112n n n a a a +-+=， 所以数列1{}n a 是等差数列，设数列1{}na 的公差为d ，由12a a ≠可得0d ≠，（2分） 因为125,,a a a 成等比数列，所以2152a a a =，所以2152111a a a ⋅=，所以2333111(2)(2)()d d d a a a -+=-， 因为315a =，所以2(52)(52)(5)d d d -+=-，（4分） 解得0d =（舍去）或2d =，所以311(3)21n n d n a a =+-=-，所以121n a n =-．（5分） （2）由（1）知121n a n =-，2(121)2n n n S n +-==， 所以2+1111111()(21)(21)44(21)(21)482121n n n n n b a a S n n n n n n ===+=+--+-+-+， 所以21111111111(1)(1)483352121482142n n nT n n n n n n +=+⨯-+-++-=+⨯-=-+++L ．（10分）18．（本小题满分12分）【解析】（1）在Rt ABD △中，由cos ABD ∠2sin 3ABD ∠， 所以3sin ADBD ABD==∠.（3分）在BCD △中，由余弦定理得222222cos 3423425BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=+-⨯⨯=-，所以BC =.（6分）（2）设CBD x ∠=，由C ADC ∠=∠，π6BDC ∠=可得5π6C x ∠=-，π6ABD x ∠=-， 在Rt ABD △中，因为2AD =，所以2πsin sin()6AD BD ABD x ==∠-，（8分）在BCD △中，由正弦定理得sin sin BD CDC CBD =∠∠，即45πsin sin()6BD x x =-， 所以24π5πsin sin()sin()66xx x =--，整理得24sin 2sin 10x x --=.（10分） 由sin 0x >得sin x =sin CBD ∠=.（12分）19．（本小题满分12分）【解析】（1）因为正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABMN ， 因为MN ⊂平面ABMN ，BN ⊂平面ABMN ，所以BC MN ⊥，BC BN ⊥，由2,BC CN ==，得BN =2NA AB ==，可得AB AN ⊥，（3分） 在直角梯形ABMN 中,可得MN =由4BM =，BN MN ==222BN MN BM +=，所以BN MN ⊥， 因为BC BN B =I ，所以MN ⊥平面BCN ，因为MN ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面BCN .（6分）（2）如图，以B 为坐标原点，,,BA BM BC 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系B -xyz ，则(0,0,0),(0,0,2),(2,0,2)B C D ,(0,4,0),(2,2,0)M N ,(2,2,0)MN =-u u u u r ,(2,2,2)CN =-u u u r ,(0,2,2)DN =-u u u r,设111(,,)x y z =n 是平面CMN 的法向量，则00MN CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r n n ，即111112202220x y x y z -=⎧⎨+-=⎩， 取11x =，得(1,1,2)=n .（8分）设222(,,)x y z =m 是平面DMN 的法向量，则0MN DN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u r m m ，即2222220220x y y z -=⎧⎨-=⎩，取21z =，得(1,1,1)=m ，（10分）设二面角C MN D --的平面角为θ，则cos ||||3θ⋅===n m n m ，由图可知二面角C MN D --的余弦值为3.（12分） 20．（本小题满分12分）【解析】（1）补充完整的22⨯列联表如下：（3分）则2K 的观测值22()100(24122836)8.654 6.635()()()()60404852n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯． 因此有99%的把握认为“法律知识的竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关．（6分） （2）根据（1）的数据分析，可得随机抽取一人成绩“不合格”的概率为4021005=.（7分） 根据题意得2~(3,)5X B ，X 的所有可能取值为0，1，2，3，00332327(0)C ()()55125P X ==⨯⨯=，11232354(1)C ()()55125P X ==⨯⨯=，22132336(2)C ()()55125P X ==⨯⨯=，3303238(3)C ()()55125P X ==⨯⨯=.（10分） 所以X 的分布列为（11分）所以X 的数学期望2()3 1.25E X =⨯=.（12分） 21．（本小题满分12分）【解析】（1）设c =，由12,l l π2sin 3c =1c =，（2分）由椭圆C 的离心率为12，得12c a =，所以2a =，b ==， 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（5分）（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =±，点12,F F 到直线l 的距离之积为3；（6分） 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，联立y kx m =+及22143x y +=，消去y 得222(34)84120k x kmx m +++-=，（8分） 因为直线l 与椭圆C 只有一个公共点，所以22222(8)4(34)(412)48(43)0km k m m k ∆=-+-=---=， 所以2243m k =+.点1(1,0)F -到直线l ：y kx m =+的距离1d =点2(1,0)F 到直线l ：y kx m =+的距离2d =，所以22221222|||43|311m k k k d d k k -+-===++，（11分） 综上可得，若直线l 与椭圆C 只有一个公共点，则点12,F F 到直线l 的距离之积为3.（12分） 22．（本小题满分12分）【解析】（1）因为()cos(1)(1ln )f x x x x =-+-，所以()()sin(1)ln (0)g x f x x x x '==--->，（1分） 设1()ln (0)h x x x x =-->，则22111()xh x x x x-'=-+=，当(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 是增函数；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 是减函数, 所以()(1)1h x h ≤=-，即1ln 1x x --≤-，所以1ln 1x x-≤-，当1x =时取等号.（4分） 因为sin(1)1x --≤，所以1()sin(1)ln 1ln g x x x x x=---≤-≤，等号不同时成立， 所以1()g x x<.（6分） （2）因为()sin(1)ln g x x x =---，所以1()cos(1)g x x x'=---， 当(0,1]x ∈时，1cos(1)0,0x x->>，()0g x '<，所以()g x 在(0,1]上是减函数，当(0,1]x ∈时()(1)0g x g ≥=， 即(0,1]x ∈时()0f x '≥，所以()f x 在(0,1]上是增函数；（8分）(1,1π)x ∈+时，1(0,π)x -∈，所以sin(1)0,ln 0x x --<-<，所以()0g x <，当[1π,)x ∈++∞时,sin(1)1,ln 1x x --≤-<-，所以()0g x <，所以当(1,)x ∈+∞时()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 在(1,)+∞上是减函数， 综上，可得()f x 在(0,1]上是增函数，在(1,)+∞上是减函数.（12分）。

全国大联考2020届高三第三次联考·数学试卷考生注意：1.本试卷共150分.考试时间120分钟.2.请将试卷答案填在试卷后面的答题卷上.3.本试卷主要考试内容：前两次联考内容（30%），数列（35%），不等式（35%）.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.集合{|60},{|27}M x x N x x =-<=-<<，则M N ⋂=（ ） A.{|76}x x -<< B.{|72}x x -<< C.{|26}x x -<< D.{|27}x x -<<2.在等差数列{}na 中，28310,7aa a +==，则数列{}n a 的公差为（ ）A.1-B.2-C.1D.23.设0.40.831.2, 1.2,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A.b c a >>B.b a c >>C.c b a >>D.a b c >>4.数列{}n a 满足12019a =，且对任意的*n N ∈，有32n n n a a +-=，则7a =（ ）A.2021B.2035C.2037D.20415.若0,0a b d c >><<，则一定有（ ）A.ac bcB.11a b b>- C.a c b d ->- D.ad bc <6.已知数列{}n a 为等比数列，21416,64a a a ==，数列的前n 项和为nS ，则6S 等于（ ）A.634B.6316C.638D.63327.若3log (2)1a b +=+，则42a b +的最小值为（ ）A.6B.83 C.163D.1738.意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，即()*(1)(2)1,()(1)(2)3,F F F n F n F n n n N ===-+-∈，此数列在物理、化学等领域都有广泛的应用，若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2020项的和为（ ） A.1347B.1348C.1349D.13469.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“()12n n n a a S +=”是“数列{}n a 是等差数列”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.在ABC ∆中，5,6,7AB BC AC ===，点E 为BC 的中点，过点E 作EF BC ⊥交AC 所在的直线于点F ，则向量AF 在向量BC 方向上的投影为（ ）A.2B.32C.1D.311.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*125n n S S n n n N++=-+∈，则1213aa +等于（ ）A.2-B.0C.2D.412.已知函数()2sin cos 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象与直线y =相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为123,,,M M M ，则114M M =（ ）A.193πB.376πC.7πD.316π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中的横线上. 13.不等式40x x-≥的解集为________. 14.曲线(1ln )y x x =⋅+在点(1,1)处的切线方程为________.15.若下实数,,a b c ，满足1a b c ++=，则411a b c+++的最小值为_________. 16.已知数列{}n a 满足()()*115,(1)n n n a n a a a n n n N +=--=++∈，若对于任意的*n N ∈，不等式2217n a t -恒成立，则实数t 的取值范围为__________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知关于x 的不等式()2(3)40ax x a --<的解集为M . （1）当1a =时，求集合； （2）当1N ∈且12M ∉时，求实数a 的取值范围. 18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2533,413nnn n n na S ab n +=⨯-=-. （1）证明：数列{}23n n a -⨯为常数列. （2）求数列{}n b 的前n 项和n T . 19.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin 2sin cos()0A B C π+-=. （1）判断ABC ∆的形状；（2若7cos 9A =，ABC ∆的周长为16，求ABC ∆外接圆的面积. 20.（本小题满分12分） 已知,,a b c 都是正数，求证：（1）222a b c a b c b c a++++；（2）111111222a b c a c c a a b+++++++. 21.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()*111,21n n a S S n N +=-=∈. （1）令1n n c S =+，求数列{}n c 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：11111,2n n n b b b a ++==+. ①求数列{}n b 的通项公式；②是否存在正整数n ，使得()1123252n n b b b b n -++++⋅=+成立？若存在，求出所有n 的值；若不存在，请说明理由. 22.（本小题满分12分） 已知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-. （1）若1a >，讨论函数()f x 的单调性；（2）()()(1)ln g x f x a x x =+--，是否存在实数a ，对任意1212,(0,),x x x x ∈+∞≠，有()()12120g x g x a x x -+>-恒成立，若存在，求出a 的范围；若不存在，请说明理由.2020届高三第三次联考·数学试卷参考答案1.C 本题考查集合的交集运算.由题知，{|6},{|27}M x x N x x =<=-<<，所以{|26}M N x x ⋂=-<<.2.A 本题考查等差数列的公差.由题知，因为2810a a +=，所以5210a =，即55a =，所以数列{}n a 的公差为57153-=--. 3.B 本题考查比较数的大小.由 1.2xy =在区间(0,)+∞是单调增函数可知，0.80.401.2 1.2 1.21>>=，又因为33log 2log 31c =<=，所以b a c >>.4.C 本题考查数列指定项.∵32n n n a a +-=，∴4774411122a a a a a a a =-+-+=++，∵12019a =，∴72037a =.5.D 本题考查不等关系.由不等式的性质知，A 选项错误；令5,1,1,8a b c d ===-=-，有11,a c b d a b b<-<--，所以B ，C 选项错误；因为0,0a b d c >><<，所以,ad bd bd bc <<，所以ad bc <.6.A 本题考查等比数列的性质.设数列{}n a 的公比为q ，由题知，3164q =，解得2111,42a q a q =====，所以数列是以8为首项，12为公比的等比数列，所以661812631412S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-. 7.C 本题考查基本不等式.因为3log (2)1a b +=+23a b ab +=，且0a >，0b >，所以222(2)232a b a b ab +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为20a b +>，所以823a b +，当且仅当2a b =，即24,33a b ==时取等号，故42a b +的最小值为163. 8.A 本题考查数列的周期性.由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，各项除以2的余数，可得数列{}n a为1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，所以数列{}n a 是周期为3的周期数列，前三项和为1102++=，又因为202067331=⨯+，所以数列{}n a 的前2020项的和为673211347⨯+=.9.C 本题考查等差数列及充分必要条件.必要性显然成立，若()12n n n a a S +=，所以当2n 时，()111(1)2n n n a a S ---+=，所以()()1112(1)n n n a n a a n a a -=+--+，化简得11(1)(2)n n n a a n a --=+-，①，所以当3n 时，211(2)(3)n n n a a n a ---=+-，②，由①-②得()122(2)(2)n n n n a n a a ---=-+，所以122n n n a a a --=+，故“()12n n n a a S +=”是“数列{}n a 是等差数列”的充要条件. 10.A 本题考查向量的综合应用.因为点E 为BC 的中点，所以1()2AF AE EF AB AC EF =+=++，又因为EF BC ⊥，所以()22111()()()12222AF BC AB AC BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅=+⋅-=-=，所以向量AF 在向量BC 方向上的投影为2||AF BCBC ⋅=.11.C 本题考查数列的最值.因为()2*125n n S S n n n N ++=-+∈，所以当2n 时，21(1)25(1)n n S S n n -+=--+-，两式相减得1262(2)n n a a n n ++=-，∴12132a a +=.12.B 本题考查三角函数的性质.由题意可知，()2sin cos sin 266f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为函数()2sin cos 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象与直线y =相交，所以sin 22x =，解得1237,,636M M M πππ⎛⎛⎛ ⎝⎝⎝，…，由此可知114113131437666M M M M M M πππ=+=+=.13.{|04}x x x <≥或 本题考查分式不等式.40x x -等价于(4)00x x x -⎧⎨≠⎩，解得0x <或4x ≥，所以不等式的解集为{|04}x x x <或.14.210x y --= 本题考查导数的几何意义.1(1ln )y x x x'=++⋅，∴1|2x y ='=，∴所求的切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=.15.92本题考查基本不等式的应用.由题知(1)2a b c +++=，∴4114114()119[1)()]41(54)1212122b c a ca b c a b c a b c a b c ++⎛⎫⎡⎤+=++++=++++= ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎣⎦. 16.[2,2]- 本题考查数列的综合应用.因为()()*1(1)n n n n a a a n n n N +-=++∈，整理得111n na a n n+-=+，因为15a =-，所以6n a n n=-，所以2(6)(3)99n a n n n =-=---，所以29217t --，解得22t -，故实数t 的取值范围[2,2]-.17.解：本题考查解不等式.（1）当1a =时，()2(3)40(3)(2)(2)0x x x x x --<⇔-+-<，所以{|223}M x x x =<-<<或.（2）因为1M ∈，所以(3)(14)0a a --<，所以14a <或3a >，又因为12M ∉，所以1134024a a ⎛⎫⎛⎫--< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭不成立，即1134024a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得1616a ，综上可得，实数a 的取值范围11,(3,6]164⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭. 18.解：本题考查数列的通项公式及裂项求和.（1）当1n =时，11153312a a +=⨯-=，所以16a =.当2n 时，111533n n n S a ---+=⨯-，所以112103n n n a a ---=⨯.所以()11123232nn n n a a ---⨯=-⨯，因为16a =，所以11230a -⨯=，所以230n n a -⨯=，故数列{}23n na-⨯为常数列.（2）由（1）知，23nn a =⨯，所以()2223211412121413n n nb n n n n ⨯===---+-，所以12311111111335572121n n T b b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212121n n n =-=++.19.解：本题考查解三角形.（1）因为sin 2sin cos()0A B C π+-=，所以sin()2sin cos 0B C B C +-=，所以sin cos cos sin 2sin cos 0B C B C B C +-=，所以cos sin sin cos 0B C B C -=，即sin()0C B -=，又因为,B C 为ABC ∆的内角，所以B C =，所以ABC ∆为等腰三角形.（2）由（1）知，22222227,cos 229b c a b a b c A bc b +--====，解得32a b =，又因为16a b c ++=，解得4,6a b c ===，因为7cos ,(0,)9A A π=∈，所以sin 9A = 设ABC ∆外接圆的半径为R，所以29R =R =，故ABC ∆外接圆的面积为818π. 20.解：本题考查基本不等式的应用.（1）∵0,0,0a b c >>>，∴2222a a b b a b b+⋅=，当且仅当a b =时等号成立，同理可得222,2b c c b a c c a++， ∴222222a b c b c a a b c b c a +++++++，即222a b c a b c b c a++++.（2）因为0,0,0a b c >>>，所以11112222a b a bab⎛⎫+⎪+⎝⎭，当且仅当a b =时等号成立，同理可得1111222b c b c ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，1111222c a c a⎛⎫+ ⎪+⎝⎭， ∴111111111111222222222a b b c c a a b b c c a⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即111111222a b c b c c a a b+++++++. 21.解：本题考查数列的综合应用.（1）因为121n n S S +-=，所以()1121n n S S ++=+，即12n n c c +=，又因为11a =，所以11S =，即12c =，所以数列{}n c 是以2为公比和首项的等比数列，所以2n n c =.（2）①由（1）知，21n n S =-，当2n 时，112n n n n a S S --=-=，又因为11a =也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为12n -，因为1112n n n b b a ++=+，所以1122n n n b b +=+，所以11221n n n n b b -+=+，即11221n n n n b b -+-=，因为11b =，所以数列{}12n n b -是以1为首项和公差的等差数列，所以12n n b n -=，故12n n nb -=. ②设123n n T b b b b =+++⋯+，则01211232222n n nT -=+++⋯+， 所以123112322222n n nT =+++⋯+，两式相减得， 0121111111122212222222212n n n n n n n n n T --+=+++⋯+-=-=--， 所以12424422n n n n n T -++=-=-，∵()1123252n n b b b b n -++++⋅=+，∴12(2)52n n n +-+=+，即：2270n n --=.令()227(1)x f x x x =--，()2ln 212ln 210x f x '=⋅-->，∴()227xf x x =--在[1,)+∞上单调递增，且(5)0f =，所以存在唯一正整数5n =，使得()1123252n n b b b b n -++++⋅=+成立.22.解：本题考查函数与导数的综合应用.（1）211(1)[(1)]()(1)x ax a x x a f x x a a x x x -+----'=-+-==，①若11a -=，则2(1)2,()0,()x a f x f x x-'==>在(0,)+∞上单调递增； ②若11a -<，则2a <，而1a >，∴12a <<，当(1,1)x a ∈-时()0f x '<；当(0,1)x a ∈-及(1,)+∞时()0f x '<，所以()f x 在(1,1)a -上单调递减，在(0,1)a -及(1,)+∞上单调递增；③若11a ->，则2a >，同理可得()f x 在(1,1)a -上单调递减，在(0,1)及(1,)a -+∞上单调递增.（2）21()(2)ln 2g x x x a x =-+-， 假设存在a ，对任意1212,(0,),x x x x ∈+∞≠，有()()12120g x g x a x x -+>-恒成立，不妨设120x x <<，只要()()12120g x g x a x x -+>-，即()()2211g x ax g x ax +>+，令()()h x g x ax =+，只要()h x 在(0,)+∞上为增函数，21()(1)(2)ln 2h x x a x a x =+-+-， 22(1)2(1)(2)()(1)a x a x a x x a h x x a x x x-+-+-++-'=+-+==，只要()0h x '在(0,)+∞恒成立，只要20,2x a a +-，故存在[2,)a ∈+∞时，对任意1212,(0,),x x x x ∈+∞≠，有()()12120g x g x a x x -+>-恒成立.。

全国大联考2020届高三第三次联考数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（ ）A 1725B 1729C 17210D ．21722102．已知()()1133log 4log 32x y x y ++<+-，若9x y λλ-<+恒成立，则λ的取值范围是（ ）A ．()(),19,-∞⋃+∞B ．()1,9C ．()()0,19,⋃+∞D ．][()0,19,⋃+∞3．直线l 与抛物线C ：22y x =交于,A B 两点，O 为坐标原点，若直线OA ，OB 的斜率1k ，2k 满足1223k k =，则直线l 过定点（ ） A ．(3,0)B ．(0,3)C ．(3,0)-D ．(0,3)-4．将函数()sin 2f x x =向右平移4π个单位后得到函数()g x ，则()g x 具有性质（ ） A ．在(0,)4π上单调递增，为偶函数B ．最大值为1，图象关于直线34x π=对称 C ．在3(,)88ππ-上单调递增，为奇函数 D ．周期为π，图象关于点3(,0)8π对称5．函数2y 34x x =--+ ）A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-，D ．(11]-， 6．中国古代数学名著《九章算术》中记载：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共猜得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？其意是：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，他们共猎获五只鹿，欲按其爵级高低依次递减相同的量来分配，问各得多少.若五只鹿的鹿肉共500斤，则不更、簪袅、上造这三人共分得鹿肉斤数为A ．200B ．300C ．5003 D ．4007．设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数()y f x =是( )A ．奇函数，其图象关于点(),0π对称B ．奇函数，其图象关于直线2x π=对称C ．偶函数，其图象关于点(),0π对称D ．偶函数，其图象关于直线2x π=对称8．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，22AC =，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．12π B ．16π C ．20πD ．24π9．将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任意取两个，这两个都恰是两面涂色的概率是（ ）A ．92117B ．40117C ．28117D ．2211710．已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且的坐标为，则的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，2BC =，点D 为BC 的中点，则异面直线AD 与1A C 所成的角为（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π12．某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n 人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，则n 等于（ ）A ．660B ．720C ．780D ．800二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年全国卷Ⅲ数学(理科)（解析版）本试卷共23题(含选考题)．全卷满分150分．考试用时120分钟．一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析 选C.A ∩B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8，x ，y ∈N *，y ≥x }＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}．故选C. 2．复数11－3i 的虚部是( )A ．－310B ．－110C.110D ．310解析 选D.z ＝11－3i＝1＋3i 10＝110＋310i ，虚部为310.故选D.3．在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为p 1，p 2，p 3，p 4，且∑i ＝14p i ＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( ) A ．p 1＝p 4＝0.1，p 2＝p 3＝0.4 B ．p 1＝p 4＝0.4，p 2＝p 3＝0.1 C ．p 1＝p 4＝0.2，p 2＝p 3＝0.3 D ．p 1＝p 4＝0.3，p 2＝p 3＝0.2解析 选B.X 的可能取值为1,2,3,4，四种情形的数学期望E (X )＝1×p 1＋2×p 2＋3×p 3＋4×p 4都为2.5，方差D (X )＝[1－E (X )]2×p 1＋[2－E (X )]2×p 2＋[3－E (X )]2×p 3＋[4－E (X )]2×p 4，标准差为D (X ).A 选项的方差D (X )＝0.65；B 选项的方差D (X )＝1.85；C 选项的方差D (X )＝1.05；D 选项的方差D (X )＝1.45.可知选项B 的情形对应样本的标准差最大．故选B.4．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )＝K1＋e－0.23(t －53)，其中K 为最大确诊病例数．当I (t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( ) A ．60 B ．63 C ．66D ．69解析 选C.因为I (t )＝K 1＋e －0.23(t －53)，所以当I (t *)＝0.95K 时，K 1＋e －0.23(t *－53)＝0.95K ⇒11＋e －0.23(t *－53)＝0.95⇒1＋e －0.23(t *－53)＝10.95⇒e －0.23(t *－53)＝10.95－1⇒e0.23(t *－53)＝19⇒0.23(t *－53)＝ln 19⇒t *＝ln 190.23＋53≈30.23＋53≈66.故选C. 5．设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫14，0 B ．⎝⎛⎭⎫12，0 C ．(1,0)D ．(2,0)解析 选B.方法1：∵抛物线C 关于x 轴对称，∴D ，E 两点关于x 轴对称．可得出直线x ＝2与抛物线的两交点的坐标分别为(2,2p )，(2，－2p )．不妨设D (2,2p )，E (2，－2p )，则OD →＝(2,2p )，OE →＝(2，－2p )．又∵OD ⊥OE ，∴OD →·OE →＝4－4p ＝0，解得p ＝1，∴C 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0.故选B.方法2：∵抛物线C 关于x 轴对称，∴D ，E 两点关于x 轴对称．∵OD ⊥OE ，∴D ，E 两点横、纵坐标的绝对值相等．不妨设点D (2,2)，将点D 的坐标代入C ：y 2＝2px ，得4＝4p ，解得p ＝1，故C 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0.故选B.6．已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉＝( ) A ．－3135B ．－1935C.1735D ．1935解析 选D.∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25－12＋36＝49，∴|a ＋b |＝7，∴cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935.故选D.7．在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则cos B ＝( )A.19 B ．13C.12D ．23解析 选A.由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝42＋32－2×4×3×23＝9，所以AB ＝3，所以cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝9＋9－162×3×3＝19.故选A.8．右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( ) A ．6＋42 B ．4＋42 C ．6＋23 D ．4＋23解析 选C.如图，该几何体为其中三个面是腰长为2的等腰直角三角形、第四个面是边长为22的等边三角形的三棱锥，所以该几何体的表面积为3×12×2×2＋12×22×22×32＝6＋2 3.故选C.9．已知2tan θ－tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝7，则tan θ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析 选D.2tan θ－tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2tan θ－1＋tan θ1－tan θ＝7， 解得tan θ＝2.故选D.10．若直线l 与曲线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝15都相切，则l 的方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x ＋12C ．y ＝12x ＋1D ．y ＝12x ＋12解析 选D.圆x 2＋y 2＝15的圆心为原点，半径为55，经检验原点与选项A ，D 中的直线y ＝2x ＋1，y ＝12x ＋12的距离均为55，即两直线与圆x 2＋y 2＝15均相切，原点与选项B ，C 中的直线y ＝2x ＋12，y ＝12x ＋1的距离均不是55，即两直线与圆x 2＋y 2＝15均不相切，所以排除B ，C.将直线方程y ＝2x ＋1代入y ＝x ，得2(x )2－x ＋1＝0，判别式Δ<0，所以直线y ＝2x ＋1与曲线y ＝x 不相切，所以排除A.故选D.11．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为 5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 选A.由⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝5，c 2＝a 2＋b 2，得⎩⎨⎧c ＝5a ，b ＝2a ，∴|F 1F 2|＝2c ＝2 5 a ．∵△PF 1F 2中，F 1P ⊥F 2P ，∴|F 1P |2＋|F 2P |2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝20a 2.不妨设P 在C 的右支上，则|F 1P |－|F 2P |＝2a . ∵△PF 1F 2的面积为4，∴12|F 1P ||F 2P |＝4，即|F 1P |·|F 2P |＝8.∴(|F 1P |－|F 2P |)2＝|F 1P |2＋|F 2P |2－2|F 1P ||F 2P |＝20a 2－2×8＝4a 2，解得a ＝1.故选A.12．已知55<84,134<85.设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．b <c <aD ．c <a <b解析 选A.∵log 53－log 85＝log 53－1log 58＝log 53·log 58－1log 58<⎝⎛⎭⎫log 53＋log 5822－1log 58＝⎝⎛⎭⎫log 52422－1log 58<⎝⎛⎭⎫log 52522－1log 58＝0，∴log 53<log 85.∵55<84,134<85，∴5log 85<4,4<5log 138，∴log 85<log 138，∴log 53<log 85<log 138，即a <b <c .故选A.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，2x －y ≥0，x ≤1，则z ＝3x ＋2y 的最大值为__________．解析 作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．z ＝3x ＋2y 可化为y ＝－32x ＋12z .作直线y ＝－32x ，并平移该直线，易知当直线经过点A (1,2)时，z 最大，z max ＝7. 答案 714.⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 6的展开式中常数项是__________(用数字作答)． 解析 ⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·⎝⎛⎭⎫2x r ＝C r 62r x 12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4，得常数项为C 4624＝240.答案 24015．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为__________．解析 圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r .作出圆锥的轴截面P AB ，如图所示，则△P AB 的内切圆为圆锥的内切球的大圆．在△P AB 中，P A ＝PB ＝3，D 为AB 的中点，AB ＝2，E 为切点，则PD ＝22，△PEO ∽△PDB ，故PO PB ＝OE DB ，即22－r 3＝r 1，解得r ＝22，故内切球的体积为43π⎝⎛⎭⎫223＝23π. 答案23π 16．关于函数f (x )＝sin x ＋1sin x 有如下四个命题：①f (x )的图象关于y 轴对称． ②f (x )的图象关于原点对称． ③f (x )的图象关于直线x ＝π2对称．④f (x )的最小值为2.其中所有真命题的序号是__________．解析 ∵f (x )＝sin x ＋1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，f (－x )＝sin(－x )＋1sin (－x )＝－f (x )，而f (－x )≠f (x )，∴f (x )为奇函数，不是偶函数，①错误，②正确．∵f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos x ＋1cos x ，f ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝cos x ＋1cos x ，∴f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π2＋x ，∴f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，③正确． 当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0时，f (x )<0，④错误．故选②③. 答案 ②③三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答) (一)必考题：共60分．17．(12分)设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝3a n －4n . (1)计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； (2)求数列{2n a n }的前n 项和S n .解析 (1)解：a 2＝5，a 3＝7.猜想a n ＝2n ＋1. 证明：由已知可得a n ＋1－(2n ＋3)＝3[a n －(2n ＋1)]， a n －(2n ＋1)＝3[a n －1－(2n －1)]， …，a 2－5＝3(a 1－3)．因为a 1＝3，所以a n ＝2n ＋1. (2)解：由(1)得2n a n ＝(2n ＋1)2n ，所以S n＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n.①从而2S n＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n＋1)×2n＋1.②①－②得－S n＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n＋1)×2n＋1，所以S n＝(2n－1)2n＋1＋2.18．(12分)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：(1)(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：K2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，.解析(1)解：由所给数据，得该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计值如下表：(2)1100(100×20＋300×35＋500×45)＝350.(3)解：根据所给数据，可得2×2列联表：人次≤400人次>400空气质量好 33 37 空气质量不好228根据列联表得 K 2的观测值k ＝100×(33×8－22×37)255×45×70×30≈5.820.由于5.820>3.841，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．19.(12分)如图，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在棱DD 1，BB 1上，且2DE ＝ED 1，BF ＝2FB 1. (1)证明：点C 1在平面AEF 内；(2)若AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，求二面角A ­EF ­A 1的正弦值．解析 设AB ＝a ，AD ＝b ，AA 1＝c ，如图，以C 1为坐标原点，C 1D 1→的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系C 1­xyz .(1)证明：连接C 1F .C 1(0,0,0)，A (a ，b ，c )，E ⎝⎛⎭⎫a ，0，23c ，F ⎝⎛⎭⎫0，b ，13c ，EA →＝⎝⎛⎭⎫0，b ，13c ，C 1F →＝⎝⎛⎭⎫0，b ，13c ，得EA →＝C 1F →，因为EA ∥C 1F ，即A ，E ，F ，C 1四点共面，所以点C 1在平面AEF 内．(2)解：由已知得A (2,1,3)，E (2,0,2)，F (0,1,1)，A 1(2,1,0)，AE →＝(0，－1，－1)，AF →＝(－2,0，－2)，A 1E →＝(0，－1,2)，A 1F →＝(－2,0,1)． 设n 1＝(x ，y ，z )为平面AEF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AE →＝0，n 1·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－y －z ＝0，－2x －2z ＝0，可取n 1＝(－1，－1,1)．设n 2为平面A 1EF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·A 1E →＝0，n 2·A 1F →＝0，同理可取n 2＝⎝⎛⎭⎫12，2，1. 因为cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－77，所以二面角A ­EF ­A 1的正弦值为427. 20．(12分)已知椭圆C ：x 225＋y 2m 2＝1(0<m <5)的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．(1)求C 的方程；(2)若点P 在C 上，点Q 在直线x ＝6上，且|BP |＝|BQ |，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积． 解析 (1)解：由题设可得25－m 25＝154，得m 2＝2516，所以C 的方程为x 225＋y 22516＝1.(2)解：设P (x P ，y P )，Q (6，y Q )，根据对称性可设y Q >0， 由题意知y P >0.由已知可得B (5,0)，直线BP 的方程为y ＝－1y Q(x －5)，所以|BP |＝y P 1＋y 2Q ，|BQ |＝1＋y 2Q .因为|BP |＝|BQ |，所以y P ＝1.将y P ＝1代入C 的方程，解得x P ＝3或－3.由直线BP 的方程得y Q ＝2或8，所以点P ，Q 的坐标分别为P 1(3,1)，Q 1(6,2)；P 2(－3,1)，Q 2(6,8)．所以|P 1Q 1|＝10，直线P 1Q 1的方程为y ＝13x ，点A (－5,0)到直线P 1Q 1的距离为102， 故△AP 1Q 1的面积为12×102×10＝52；|P 2Q 2|＝130，直线P 2Q 2的方程为y ＝79x ＋103，点A 到直线P 2Q 2的距离为13026， 故△AP 2Q 2的面积为12×13026×130＝52.综上，△APQ 的面积为52.21．(12分)设函数f (x )＝x 3＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12处的切线与y 轴垂直．(1)求b ；(2)若f (x )有一个绝对值不大于1的零点，证明：f (x )所有零点的绝对值都不大于1. 解析 (1)解：f ′(x )＝3x 2＋b .依题意得f ′⎝⎛⎭⎫12＝0，即34＋b ＝0，故b ＝－34. (2)证明：由(1)知f (x )＝x 3－34x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－34.令f ′(x )＝0，解得x ＝－12或x ＝12.f ′(x )与f (x )的情况为：因为f (1)＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝c ＋14， 所以当c <－14时，f (x )只有大于1的零点．因为f (－1)＝f ⎝⎛⎭⎫12＝c －14， 所以当c >14时，f (x )只有小于－1的零点．由题设可知－14≤c ≤14.当c ＝－14时，f (x )只有两个零点－12和1.当c ＝14时，f (x )只有两个零点－1和12.当－14<c <14时，f (x )有三个零点x 1，x 2，x 3，且x 1∈⎝⎛⎭⎫－1，－12，x 2∈⎝⎛⎭⎫－12，12，x 3∈⎝⎛⎭⎫12，1. 综上，若f (x )有一个绝对值不大于1的零点，则f (x )所有零点的绝对值都不大于1.(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t －t 2，y ＝2－3t ＋t 2(t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A ，B 两点． (1)求|AB |；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程． 解析 (1)解：因为t ≠1，由2－t －t 2＝0得t ＝－2，所以C 与y 轴的交点为(0,12)．由2－3t ＋t 2＝0得t ＝2，所以C 与x 轴的交点为(－4,0)．故|AB |＝410.(2)解：由(1)可知，直线AB 的直角坐标方程为x －4＋y12＝1，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得直线AB 的极坐标方程为3ρcos θ－ρsin θ＋12＝0. 23．[选修4－5：不等式选讲](10分) 设a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1.(1)证明：ab ＋bc ＋ca <0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 的最大值，证明：max{a ，b ，c }≥34. 解析 (1)证明：由题设可知a ，b ，c 均不为零，所以ab ＋bc ＋ca ＝12[(a ＋b ＋c )2－(a 2＋b 2＋c 2)]＝－12(a 2＋b 2＋c 2)<0.(2)证明：不妨设max{a ，b ，c }＝a .因为abc ＝1，a ＝－(b ＋c )，所以a >0，b <0，c <0. 由bc ≤(b ＋c )24，可得abc ≤a 34，当且仅当b ＝c ＝－a 2时取等号，故a ≥34，所以max{a ，b ，c }≥34.。