北京四中2021届高三第一学期期中考试数学试题及答案

2020-2021学年北京四中高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知全集为U ，集合{1,2,3,4,5}A =，{3,2}B =-，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{3}B ．{3,2}-C ．{2}D ．{2,3}-【答案】C【分析】根据韦恩图得阴影部分表示集合A 与B 的交集，再根据集合交集运算即可. 【详解】解：根据韦恩图得阴影部分表示集合A 与B 的交集， 所以{}{1,2,3,4,5}{3,2}2AB =-=.故选：C. 2．不等式021x x ≤-+的解集是 （ ） A ．(1)(12]-∞--，， B ．[12]-，C ．(1)[2)-∞-+∞，，D ．(12]-， 【答案】D【分析】将“不等式21x x -+≤0”转化为“不等式组()()12010x x x ⎧+-≤⎨+≠⎩”，由一元二次不等式的解法求解．【详解】依题意，不等式化为()()12010x x x ⎧+-≤⎨+≠⎩，解得﹣1＜x≤2，故选D ．【点睛】本题主要考查不等式的解法，关键是将分式不等式转化为二次不等式来求解 3．下列函数中，在区间（0，+∞）上为减函数的是（ ）A ．y ＝x 2﹣2xB ．y ＝|x |C ．y ＝2x +1D ．y =【答案】D【分析】求出每一个选项的函数的单调减区间即得解.【详解】A. y ＝x 2﹣2x ,函数的减区间为(,1)-∞，所以选项A 不符； B. y ＝|x |，函数的减区间为(,0)-∞，所以选项B 不符； C.y ＝2x +1,函数是增函数，没有减区间，所以选项C 不符；D. y =0，+∞），所以选项D 符合. 故选D【点睛】本题主要考查函数的单调区间的判定方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．已知函数()351f x x x =-+，则下列区间中一定包含()f x 零点的区间是（ ）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,2【答案】C【分析】计算出各端点的函数值，利用零点存在性定理即可判断. 【详解】()351f x x x =-+，()32252130f ∴-=-+⨯+=>，()31151150f -=-+⨯+=>，()010f => ()31151130f =-⨯+=-<，()32252110f =-⨯+=-<，根据零点存在性定理可得一定包含()f x 零点的区间是()0,1. 故选：C.5．若函数()f x 是偶函数，且在区间[0,3]上单调递减，则（ ） A ．()()1(2)3f f f ->> B ．()()()312f f f >-> C ．()()()213f f f >-> D ．()()()321f f f >>-【答案】A【分析】由(1)(1)f f -=，结合单调性得出()()1(2)3f f f ->>.【详解】因为函数()f x 是偶函数，所以(1)(1)f f -= 又()f x 在区间[0,3]上单调递减，且123<< 所以(1)(2)(3)f f f ∴>>，即()()1(2)3f f f ->> 故选：A6．已知12,x x 是方程2710x x -+=的两根，则2212x x +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D【分析】由韦达定理的127x x +=，121=x x ，再根据()2221212122x x x x x x +=+-即可求出. 【详解】12,x x 是方程2710x x -+=的两根，127x x ∴+=，121=x x ，()2221212122725x x x x x x +=+-=-=故选：D.7．设,a b ∈R ，且a b >，则下列结论中正确的是（ ） A ．1ab> B ．11a b< C ．||||a b >D ．33a b >【答案】D【分析】取特殊值判断ABC ，由幂函数3y x =的单调性判断D. 【详解】当1,1a b ==-时，11ab =-<，11a b>，||||a b = 因为幂函数3y x =在R 当单调递增，a b >，所以33a b > 故选：D8．“2a =”是“函数()f x x a =-在区间[2,)+∞上为增函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：当2a =，则()f x x a=-在[2,)+∞上为增函数，故充分性成立；当函数()f x x a =-在区间[2,)+∞上为增函数，则，故必要性不成立.【解析】充分必要性．9．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h 随时间t 变化的函数h ＝f (t )的图象如图所示，则杯子的形状是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由图可知，高度的增长速率是先慢后快，且都是运算增长，所以只有A 满足． 故选A ．10．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y ＝x 2＋1，值域为{1,3}的同族函数有 ( )． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】试题分析：由得，由得，∴函数的定义域可以是{02}，{02}，{022，共3个．． 【解析】函数的定义域和值域．11．已知非零实数,,a b c 满足：a b c >>，下列不等式中一定成立的有（ ） ①ab bc >； ②22ac bc ≥； ③a b a bc c+->.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【分析】由不等式的性质结合作差法逐个判断即可得解. 【详解】对于①，若a c >，0b <，则ab bc <，故①错误； 对于②，由()2220ac bc c a b -=-≥可得22ac bc ≥，故②正确；对于③，因为2a b a b b c c c +--=，若20b c <，则a b a bc c+-<，故③错误. 故选：B.12．已知a 、b R ∈，则“0a b +=”是“3220a a b a ab a b +--++=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】将代数式322a a b a ab a b +--++因式分解，找出使得3220a a b a ab a b +--++=成立的等价条件，进而可得出结论.【详解】()()()()()322221a a b a ab a b a a b a a b a b a b a a +--++=+-+++=+-+， 对任意的a R ∈，22131024a a a ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以，32200a a b a ab a b a b +--++=⇔+=.因此，“0a b +=”是“3220a a b a ab a b +--++=”的充要条件. 故选：C.13．已知{},;min ,,.a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩设()f x {}2min 6,246x x x =-+-++，则函数()f x 的最大值是（ ） A ．8 B ．7C ．6D ．5【答案】C【分析】画出函数图像求得解析式，再求最大值即可 【详解】根据题目的定义得，{}2()min 6,246f x x x x =-+-++2226,6246246,6246x x x x x x x x x ⎧-+-+≤-++=⎨-++-+>-++⎩，化简得，()256,0,2()5246,,0(,)2x x f x x x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎪-++∈-∞⋃+∞⎪⎩，可根据该分段函数做出图像，显然在左边的交点处取得最大值，此时，0x =，得(0)6f =即为所求； 故选：C【点睛】关键点睛：解题关键在于利用定义得到()256,0,2()5246,,0(,)2x x f x x x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎪-++∈-∞⋃+∞⎪⎩，进而作出图像求解，属于基础题二、双空题14．设全集U =R ，集合{|2},A x x =<集合{|1}B x x =<，则集合UA___________，集合()UA B =___________.【答案】[)2,+∞ ()[),12,-∞+∞【分析】利用集合的交集和并集进行求解即可【详解】{|2},A x x =<}{2UA x x =≥[)2,=+∞；{|1}B x x =<，()U A B =()[),12,-∞+∞；故答案为：①[)2,+∞；②()[),12,-∞+∞15．函数1()1f x x x =+-(1)x >的最小值是_____，此时x =_____. 【答案】3 2【分析】由题知10x ->，又由()1111f x x x =-++-，结合基本不等式即可求解． 【详解】∵1x >， ∴10x ->，由基本不等式可得()12111131f x x x =-+++=-≥=， 当且仅当111x x -=-即2x =时，函数取得最小值3． 故答案为：①3；②2．【点睛】关键点点睛：该题主要考查了利用基本不等式求解最值，在求解的过程中，时刻关注利用基本不等式求最值的三个条件：一正、二定、三相等，考查学生的运算求解能力．16．若函数()2f x x x a =-+为偶函数，则实数a =________，函数()f x 的单调递增区间是___________. 【答案】0 1,02⎛⎫-⎪⎝⎭、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】由偶函数的定义得出x a x a +=-，等式两边平方可求得实数a 的值，求出函数()f x 在()0,∞+上的增区间和减区间，利用偶函数的基本性质可得出函数()f x 的单调递增区间.【详解】函数()2f x x x a =-+的定义域为R ，且该函数为偶函数，则()()f x f x -=，即()22x x a x x a ---+=-+，所以，x a x a -=+， 等式x a x a -=+两边平方可得222222x ax a x ax a -+=++， 可知0ax =对任意的x ∈R 恒成立，所以，0a =，则()2f x x x =-.当0x >时，()2f x x x =-，则函数()f x 在()0,∞+上的减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 由于函数()f x 为偶函数，因此，函数()f x 的单调递增区间为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：0；1,02⎛⎫-⎪⎝⎭、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】求函数的单调区间：首先应注意函数的单调区间是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．求函数单调区间的常用方法：根据定义、利用图象、单调函数的性质.三、填空题 17．命题“11,1x x∀<>”的否定是___________. 【答案】11,1x x∃<≤ 【分析】直接根据全称命题的否定为特称命题解答即可； 【详解】解：命题“11,1x x∀<>”为全称命题，又全称命题的否定为特称命题，故其否定为“11,1x x∃<≤” 故答案为：11,1x x∃<≤18．某班共38人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，16人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为______. 【答案】12【分析】设两者都喜欢的人数为x 人，则只喜爱篮球的有(15)x -人，只喜爱乒乓球的有(10)x -人，由此可得(15)(10)1638x x x -+-++=，解之即可两者都喜欢的人数，然后即可得出喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数．【详解】设两者都喜欢的人数为x 人，则只喜爱篮球的有(15)x -人，只喜爱乒乓球的有(10)x -人，由此可得(15)(10)1638x x x -+-++=，解得3x =， 所以1512x -=， 即所求人数为12人，故答案为：12．19．能够说明“设,,a b c 是任意实数,若a b c >>,则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为__________.【答案】1,2,3---【解析】试题分析：()123,1233->->--+-=->-，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．20．某学校运动会上，6名选手参加100米决赛.观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1､2､6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4､5､6道的选手都不可能得第一名.比赛后发现并没有并列名次，且甲､乙､丙､丁中只有1人猜对比赛结果，则此人是___________. 【答案】丁【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．【详解】若甲对,则乙也对,所以甲错;若甲错乙对,则丙也对,所以乙错,即3道的选手得第一名,此时只有丁对 故答案为：丁【点睛】关键点睛：解题关键在于根据题意，进行合情推理即可，属于基础题 21．已知关于x 的不等式32ax a x+≤在区间0,上有解，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】()[),03,-∞+∞【分析】由题意可得，当0x >时，2230ax ax -+能成立，分类讨论a 的范围，利用二次函数的性质，求得实数a 的取值范围． 【详解】关于x 的不等式32ax a x+在区间(0,)+∞上有解， 即当0x >时，不等式32ax a x+能成立，即2230ax ax -+能成立． 当0a =时，不等式不成立，故0a ≠．当0a >时，则1x =时，函数223y ax ax =-+的最小值为2124304a a a a-=-，求得3a ．当0a <时，二次函数223y ax ax =-+的图象开口向下，满足条件． 综上可得，实数a 的范围为3a 或0a <， 故答案为：()[),03,-∞+∞【点睛】易错点睛：解答本题时要注意审题，本题不是恒成立问题，而是能成立问题，所以等价于当0x >时，不等式2230ax ax -+能成立．即函数2()23f x ax ax =-+的最小值大于零，而不是最大值大于零.四、解答题22．已知0a >，记关于x 的不等式()()10-+<x a x 的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q .（1）若3a =，求集合P ； （2）若Q P ⊆，求a 的取值范围.【答案】（1）{}13x x -<<；（2）(2)，+∞. 【分析】（1）直接解不等式得解；（2）先化简集合,P Q ,再根据Q P ⊆，得到关于a 的不等式得解. 【详解】（1）由()()310x x -+<，得{}13P x x =-<<； （2）{}{}1102Q x x x x =-≤=≤≤. 由0a >，得{}1P x x a =-<<， 又Q P ⊆， 所以2a >，即a 的取值范围是(2)，+∞. 23．已知定义在R 上的奇函数21()x mf x x =++,m ∈R . （1）求m ；（2）用定义证明：()f x 在区间[)1,+∞上单调递减； （3）若实数a 满足()22225f a a ++<，求a 的取值范围. 【答案】（1）0m =；（2）证明见解析；（3）()(),20,-∞-+∞.【分析】（1）由()f x 是定义在R 上的奇函数，得到(0)0f =，即可求解； （2）根据函数的单调性的定义，即可证得函数()f x 在[)1,+∞单调递减.（3）结合()f x 在[)1,+∞单调递减，转化为2222a a ++>，即可求解实数a 的取值范围.【详解】（1）由题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可得(0)0f =，解得0m =. （2）任取12,[1,)x x ∈+∞且12x x <， 则12221212121122121222222212()(1)()()(),(1)111111()()()(1)x x x x x x f x x f x x x x x x x x x x +-+-++++--==+-=+ 因211x x >>，故221221121,0,10,10x x x x x x >->+>+>，从而21()()0f x f x -<，即21()()f x f x <，所以函数()f x 在[)1,+∞单调递减.（3）由()2222111a a a ++=++≥，又由2(2)5f =， 因为()22225f a a ++<，结合()f x 在[)1,+∞单调递减，可得2222a a ++>， 即220a a +>，解得2a <-或0a >，即实数a 的取值范围()(),20,-∞-+∞.【点睛】含有“f ”的不等式的解法：1、首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式；2、根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式（组），此时要注意()g x 和()h x 的取值应再外层函数的定义域内；3、结合不等式（组）的解法，求得不等式（组）的解集，即可得到结论.24．二次函数()f x 满足(0)1f =，再从条件①和条件②两个条件中选择一个作为已知，求：（1）求()f x 的解析式；（2）在区间[]1,1-上，函数()f x 的图像总在一次函数2y x m =+图像的上方，试确定实数m 的取值范围.条件①：()()12f x f x x +-=；条件②：不等式()4<+f x x 的解集为()1,3-.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】条件选择见解析；（1）2()1f x x x =-+；（2）1m <-.【分析】（1）选择①：设出二次函数的解析式，根据条件①，结合待定系数法求出()f x 的解析式；选择②：根据一元二次不等式与二次函数的关系求出()f x 的解析式；（2）由题意可知231x x m -+>，构造函数2()31g x x x =-+，由min ()g x m >得出m的范围.【详解】解（1）由f (0)=1，可设f (x )=ax 2+bx +1(a ≠0).选择①，则有()22(1)()(1)(1)1122f x f x a x b x ax bx ax a b x +-=++++-++=++= 由题意，得22,0,a a b =⎧⎨+=⎩解得1,1,a b =⎧⎨=-⎩故2()1f x x x =-+ 选择②，则()4<+f x x 可化为2(1)30ax b x +--<.由题，方程2(1)3=0ax b x +--的两实根分别为1-和3 所以1132b a --=-+=即21a b +=，及3133a-=-⨯=-即1a =，所以1b =-. 故2()1f x x x =-+（2）由题意，得212x x x m -+>+，即231x x m -+>，对[1,1]x ∈-恒成立.令2()31g x x x =-+，则问题可转化为min ()g x m >又因为g (x )在[1,1]-上递减，所以min ()(1)1g x g ==-，故1m <-【点睛】对于问题（2），在解决不等式的恒成立问题时，可以构造函数，将不等式问题转化为最值问题进行处理.25．区间[],αβ的长度定义为βα-.函数()22()1f x a x ax =+-，其中0a >，区间{}|()0I x f x =≤.（1）求I 的长度；（2）求I 的长度的最大值.【答案】（1）21a a+；（2）12. 【分析】（1）解出()0f x ≤，即可利用区间长度定义求出；（2）利用基本不等式可求出.【详解】解：（1）令2()(1)0f x x a x a ⎡⎤=+-=⎣⎦，解得：10x =，2201a x a=>+， 则{}2|()001a x f x x x a ⎧⎫≤=≤≤⎨⎬+⎩⎭ ，20,1a I a ⎡⎤∴=⎢⎥+⎣⎦， 则I 的长度为22011a a a a -=++； （2）0a >，I ∴的长度211112a a a a =≤=++，当且仅当1a =时等号成立. ∴当1a =时，I 的长度的最大值为12. 26．若函数()f x 的定义域为D ，集合M D ⊆，若存在非零实数t 使得任意x M ∈都有x t D +∈，且()()f x t f x +>，则称()f x 为M 上的t -增长函数.（1）已知函数()g x x =，函数()2h x x =，判断()g x 和()h x 是否为区间[]1,0-上的32-增长函数，并说明理由； （2）已知函数()f x x =，且()f x 是区间[4,2]--上的n -增长函数，求正整数n 的最小值；（3）请在以下两个问题中任选一个作答：(如果两问都做，按（i ）得分计入总分) （i ）如果对任意正有理数q ，()f x 都是R 上的q -增长函数，判断()f x 是否一定为R 上的单调递增函数，并说明理由；（ii ）如果()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，22()f x x a a =--，且()f x 为R 上的4-增长函数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()g x x =是，()2h x x =不是，理由见解析；（2）9；（3）（i ）不是，理由见解析；（ii ）()1,1-.【分析】（1）()g x x =用新定义证明，()2h x x =举反例否定. （2）由新定义得出x 的一次不等式恒成立问题求解.（3）(i)构造反例,()1,R x x Q f x x x Q ∈⎧=⎨-∈⎩说明；(ii)由分段函数逐一讨论即可. 【详解】解：（1）()g x x =是；因为[]1,0x ∀∈-，()3330222g x g x x x ⎛⎫⎛⎫+-=+-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()2h x x =不是，反例：当1x =-时，()31111=1224h h h ⎛⎫⎛⎫-+==<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）由题意得，x n x +>对[4,2]x ∈--恒成立等价于2222x nx n x ++>，即220nx n +>对[4,2]x ∈--恒成立因为0n >，所以22nx n +是关于x 的一次函数且单调递增，于是只需280n n -+>， 解得8n >，所以满足题意的最小正整数n 为9.（3）（i ）不是构造,()1,R x x Q f x x x Q ∈⎧=⎨-∈⎩，则对任意正有理数q ， 若x Q ∈，则x q Q +∈，因此()()f x q x q x f x +=+>=；若R x Q ∈，则R x q Q +∈，因此()11()f x q x q x f x +=+->-=.因此()f x 是R 上的q -增长函数，但()f x 不是增函数.（ii ）由题意知2222222,(),2,x a x a f x x a x a x a x a ⎧+≤-⎪=--<<⎨⎪-≥⎩已知任意x ∈R ，(4)()f x f x +≥，因为()f x 在22[,]a a -上递减，所以,4x x +不能同时在区间22[,]a a -上，因此2224()2a a a >--=注意到()f x 在2[2,0]a -上非负，在2[0,2]a 上非正若22244a a <≤，当22x a =-时，24[0,2]x a +∈，此时(4)()f x f x +≤，矛盾因此244a >，即(1,1)a ∈-.当244a >时，下证()f x 为R 上的4-增长函数：①当24x a +≤-，(4)()f x f x +>显然成立②当224a x a -<+<时，2243x a a <-<-，此时2(4)(4)f x x a +=-+>-，22()2f x x a a =+<-，(4)()f x f x +>③当24x a +≥时，22(4)422()f x x a x a f x +=+->+≥因此()f x 为R 上的4-增长函数综上，为使得()f x 为R 上的4-增长函数a 的取值范围是()1,1-.【点睛】此题是新定义题，属于难题；肯定命题时根据所给定义证明，否定结论要举出相应反例，方可获证.。

北京市第四中学2024-2025学年高三上学期期中测试数学试卷一、单选题1．已知全集R U =，集合{}240A x x =-<，{}1B x x =≥，则()U A B ⋂=ð（）A ．()1,2B ．()2,2-C ．(),2∞-D ．()2,1-2．不等式111xx >-的解集为（）A ．(0,)+∞B ．(1,)+∞C ．(0,1)D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭3．已知边长为2的正方形ABCD 中，AC 与BD 交于点E ，则AE BC ⋅=（）A ．2B ．2-C ．1D ．1-4．已知函数()23f x x x=--，则当0x <时，()f x 有（）A ．最大值3+B ．最小值3+C ．最大值3-D ．最小值3-5．设,a b R ∈，则“a b >”是“22a b >”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β的终边关于y 轴对称.若2cos 23α=，则cos β=（）A ．19B ．19-C D ．7．近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物的释放对大气臭氧层的破坏作用.科学研究表明，臭氧含量Q 与时间t （单位：年）的关系为0e ta Q Q -=，其中0Q 是臭氧的初始含量，a 为常数.经过测算，如果不对氟化物的使用和释放进行控制，经过280年将有一半的臭氧消失.如果继续不对氟化物的使用和释放进行控制，再．经过n 年，臭氧含量只剩下初始含量的20%，n 约为（）（参考数据：ln 20.7≈，ln10 2.3≈）A ．280B ．300C ．360D ．6408．已知函数()1,2,xx x af x x a +≤⎧=⎨>⎩，若()f x 的值域为R ,则实数a 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．[0,1]C ．[0,)+∞D ．(,1]-∞9．已知0a >，记sin y x =在[],2a a 的最小值为a s ，在[]2,3a a 的最小值为a t ，则下列情况不可能的是（）A ．0a s >，0a t >B ．0a s <，0a t <C ．0a s >，0a t <D ．0a s <，0a t >10．已知在数列{}n a 中，1a a =，命题:p 对任意的正整数n ，都有12nn n a a a +=-．若对于区间M 中的任一实数a ，命题p 为真命题，则区间M 可以是（）A ．()3,4B ．()2,3C ．3216,115⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．832,311⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题11．已知复数5i2iz =-，则z =.12．已知函数()33log ,0,,0.x x f x x x >⎧=⎨<⎩若()()273f f a =，则a =.13．已知幂函数y x α=的图像经过()0,0A ，()1,1B ，()1,1C -，()4,2D 中的三个点，写出满足条件的一个α的值为.14．在ABC V 中，1tan 4A =，3tan 5B =.（1）C ∠=；（2）若ABC V，则最短边的长为.15．以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[],M M -.例如，当()31x x ϕ=，()2sin x x ϕ=时，()1x A ϕ∈，()2x B ϕ∈.给出下列命题：①“函数()f x A ∈”的充要条件是“t R ∀∈，关于x 的方程()f x t =都有实数解”；②“函数()f x B ∈”的充要条件是“()f x 既有最大值，也有最小值”；③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()()f x g x B ⋅∈，则()g x B ∈；④若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()()f x g x B +∉.其中，正确命题的序号是.三、解答题16．已知函数()sin cos cos sin f x x x ωϕωϕ=+，其中0ω>，π2ϕ<.记()f x 的最小正周期为T ，()2f T =.(1)求ϕ的值；(2)若()f x 与x 轴相邻交点间的距离为π2，求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.17．在ABC V 中，2cos 2c A b a =-.(1)求C ∠的大小；(2)若c =，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC V 存在，求AC 边上中线的长.条件①：ABC V 的面积为条件②：1b a -=；条件③：1sin sin 2B A -=.注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18．已知函数()()2121ln 22f x x x x x =+--.(1)求()f x 的单调区间；(2)若关于x 的不等式()f x x a '<-+有解，求实数a 的取值范围.19．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左顶点为A ，C 的长轴长为4，焦距为过定点(),0T t （2t ≠±）作与x 轴不重合的直线交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与y 轴交于点M ，N .(1)求C 的方程；(2)是否存在点T ，使得OM ON ⋅等于定值13？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由.20．已知函数()e xf x x ax =-，R a ∈.(1)当e a =时，求曲线=在点1,1处的切线方程；(2)若函数()f x 是单调递增函数，求a 的取值范围；(3)当0a ≥时，是否存在三个实数123x x x <<且()()()123f x f x f x ==？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.21．已知集合{}1,2,3,,A n =⋅⋅⋅，其中*N n ∈，1A ，2A ，…，m A 是A 的互不相同的子集.记i A 的元素个数为i M （1,2,,i m =⋅⋅⋅），i j A A 的元素个数为ij N （1i j m ≤<≤）.(1)若4n =，3m =，{}11,2A =，{}21,3A =，13231N N ==，写出所有满足条件的集合3A （结论不要求证明）；(2)若5n =，且对任意的1i j m ≤<≤，都有0ij N >，求m 的最大值；(3)若给定整数7n ≥，3i M ≤（1,2,,i m =⋅⋅⋅）且对任意1i j m ≤<≤，都有1ij N =，求m 的最大值.。

2023北京四中高三（上）期中数 学（试卷满分150分，考试时间为120分钟）一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1. 已知集合{|51}A x x =-<≤<，2{|9}B x x =≤，则A B = （A ）[3,1)-（B ）[3,1]-（C ）(5,3]-（D ）[3,3]-2. 若复数()()3i 1i z =-+，则z = （A）（B）（C（D）3. 化简5sin(π)2cos(π)αα+=- （A ）tan α（B ）tan α-（C ）1（D ）1-4. 下列函数中，值域为(1)+∞，的是 （A ）1sin y x=（B）1y =+（C ）lg(||1)y x =+（D ）21x y =+5. 函数sin 2y x =的图像向右平移(0)ϕϕ>个单位后经过点(3π，则ϕ的最小值为（A ）12π（B ）6π（C ）3π（D ）65π6. 若1a >，则141a a +-的最小值为 （A ）4 （B ）6（C ）8（D ）无最小值7. 已知函数35()log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是 （A ）(2,3)（B ）(3,4)（C ）(4,5) （D ）(5,6)8．已知函数()sin()f x x ϕ=+．则“(0)1f =”是“()f x 为偶函数”的 （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件9. 已知a ，0b >，且1≠a ，1≠b ，若log 1a b >，则 （A ）(1)(1)0a b -->（B ）(1)()0a a b -->（C ）(1)()0b a b -->（D ）(1)()0b b a -->10. 已知()f x =21|1|,02,0x x x x x -+<⎧⎨-≥⎩，若实数[]2,0m ∈-，则1|()(|2f x f --在区间[,1]m m +上的最大值的取值范围是（A ）15[,]44（B ）13[,]42（C ）13[,22（D ）1[,2]2二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知α为第二象限角，且sin α=πtan()4α+=_______．12. 已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若1316,2a S a ==，则公差d =_______，n S 的最大值为_________． 13．设(),()f x g x 分别是定义域为R的奇函数和偶函数，当0x >时，()()()()0f x g x f x g x ''-->，且(3)0g -=，则不等式()()0f x g x >的解集为 .14. 如图，为了测量湖两侧的A ，B 两点之间的距离，某观测小组的三位同学分别在B 点，距离A 点30km 处的C 点，以及距离C 点10km 处的D 点进行观测. 甲同学在B 点测得30DBC ∠= ，乙同学在C 点测得45ACB ∠= ，丙同学在D 点测得45BDC ∠= ，则A ，B 两点间的距离为_______km.15. 设函数()f x 定义域为D ，对于区间I D ⊆，若存在1212,,x x I x x ∈≠，使得12()()f x f x k +=，则称区间I 为函数()f x 的k T 区间. 给出下列四个结论：①当2a <时，(,)-∞+∞是3x y a =+的4T 区间；②若[,]m n 是2y x x =-的4T 区间，则n m -的最小值为3；③当3ω≥时，[π,2π]是cos y x ω=的2T 区间；④当5π10πA ≤≤时，[π,+)∞不是2sin +1A xy x =的2T 区间； 其中所有正确结论的序号为 . 三、解答题：（本大题共6小题，共85分）16．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足234a b ==，6516a b ==．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求和：135b b b +++…21n b -+．17.（本小题满分13分）已知函数2π()cos 22sin (6f x x x =--．（Ⅰ）求π()2f 的值；（Ⅱ）求()f x 的对称轴；（Ⅲ）若方程()1f x =-在区间[0,]m 上恰有一个解，求m 的取值范围．18.（本小题满分14分）在△ABC 中，sin cos 02B b A a -=.（Ⅰ）求B ∠；（Ⅱ）若b =ABC 存在且唯一确定，并求a 及△ABC 的面积.条件①：c =条件②：sin sin 2sin A C B +=；条件③：21ac =.19．（本小题满分15分）已知函数()2e [(21)1]xf x x a x =-++.（Ⅰ）若12a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性；（Ⅲ）当0a >时，若对任意实数x ，2()(23)e a f x a >-恒成立，求a 的取值范围.20.（本小题满分15分）已知函数22ln ()(1)xf x a x x=+-.（Ⅰ）当0a =时，求()f x 的极值；（Ⅱ）当1a =时，求()f x 在[1,)+∞上的最小值；（Ⅲ）若()f x 在(1,e)上存在零点，求a 的取值范围.21.（本小题满分15分）已知集合12{,,,}(3)n S a a a n =≥ ，集合{(,)|,,}T x y x S y S x y ⊆∈∈≠，且满足,(,1,2,,,)i j a a S i j n i j ∀∈=≠ ，(,)i j a a T ∈与(,)j i a a T ∈恰有一个成立. 对于T 定义1,(,)(,)0,(,)T a b Td a b b a T ∈⎧=⎨∈⎩，以及1,()(,)nT i T i j j j i l a d a a =≠=∑，其中1,2,,i n = .例如22123242()(,)(,)(,)(,)T T T T T n l a d a a d a a d a a d a a =++++ .（Ⅰ）若1232244,(,),(,),(,)n a a a a a a T =∈，求2()T l a 的值及4()T l a 的最大值；（Ⅱ）从1(),,()T T n l a l a 中任意删去两个数，记剩下的数的和为M ，求M 的最小值（用n 表示）；（Ⅲ）对于满足()1(1,2,,)T i l a n i n <-= 的每一个集合T ，集合S 中是否都存在三个不同的元素,,e f g ，使得(,)(,)(,)3T T T d e f d f g d g e ++=恒成立？请说明理由.改：（Ⅱ）若6n =，从1(),,()T T n l a l a 中删去一个最大值和一个最小值，记剩下的数的和为M ，求M 的最小值；16,()()15T T n n l a l a =++= ，最大值5A ≤，最小值2B ≤，否则3615⨯>于是15528M ≥--=，构造16(),,()T T l a l a 为5，2，2，2，2，2构造121314151624253234434654566263{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}T a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =，即\,1,1,1,1,10,\,0,1,1,00,1,\,0,1,00,0,1,\,0,10,0,0,1,\,10,1,1,0,0,\⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，恰好取得等号.参考答案一、选择题CBDDB CBADC 二、填空题11. 1212. 2,12- 13. (3,0)(3,+)-∞14. 15. ①③④12题：前3分后2分15题：2分，3分，5分三、解答题16．（共13分）解：（Ⅰ）因为 21614,516,a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩ ……2分所以 11,3.a d =⎧⎨=⎩ ……4分从而 32n a n =-. ……6分（Ⅱ）因为2314514,16,b b q b b q ⎧==⎨==⎩ ……8分所以 121,4.b q =⎧⎨=⎩ ……10分所以22211211()4n n n n b b q q ----=⋅== ， ……11分所以135211441143n n n b b b b ---+++==- . ……13分17. 解：（1）5()22f π=- ……3分（2）()13f x x π=+- ……8分1()212x k k Z ππ=+∈ ……10分（3）5[,)36m ππ∈ ……13分18. 解：（Ⅰ）由正弦定理得，由题设得，，因为，所以所以.,. ……4分（Ⅱ）选条件①：c =由正弦定理sin sin b c B C =得sin C =，sin sin b A a B =sin cos02Ba B a -=2sincos cos 0222B B Ba a -=022B π<<cos 0.2B a ≠1sin22B =26B π=3B π=因为，所以cos C =sin sin()A B C =+=，进而a =1sin 2S bc A ==+……14分选条件②：由正弦定理得2a c b +==由余弦定理得2222cos ,18b a c ac B ac =+-=，所以1sin 2S ac B ==由18a c ac ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得a c ==……14分19. 解：（1）1y x =-+ ……4分（2）2()[(12)2](2)(1)x x f x e x a x a e x a x '=+--=-+ ……6分①12a >-，(,1),(2,)a -∞-+∞增，(1,2)a -减 ……8分②12a <-，(,2),(1,)a -∞-+∞增，(2,1)a -减 ……10分③12a =-，(,)-∞+∞增 ……11分（3）首先(2)f a 为()f x 在(1,)-+∞上的极小值，也是最小值。

2024北京四中高一（上）期中数 学试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，满分150分，考试时间120分钟卷（I ）一、 选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分 1. 已知集合{0,1,2,3}A =，{1,3,5,7}B =，则集合AB =A. {1,2,3}B. {3}C. {1,3}D. {0,1,2,3,5,7}2. 函数()f x =的定义域是A. [2,1]−B. (,2][1,)−∞−+∞C. (,2)(1,)−∞−+∞D. [2,)−+∞ 3. 命题“R x ∀∈，3210x x −+≤”的否定是A. R x ∃∉，3210x x −+>B. R x ∃∈，3210x x −+>C. R x ∃∈，3210x x −+≥D. R x ∀∈，3210x x −+> 4. 如果0b a >>，那么下列不等式中正确的是A ．2ab b −<B <C ．22a b <D ．11a b< 5. 下列函数中，在区间()0,+∞上为减函数的是A ．22y x x =− B. y =31x y x +=+ D. 21y x =+ 6. 函数()|1||1|f x x x =+−−的图像关于A ．原点对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．点(1,0)对称 7. 已知0a b >>，则“0c >”是“a ba cb c>++”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件8. 函数31()2f x x x=−−在区间(0,)+∞内的零点个数是A ．0B ．1C ．2D ．3 9. 下列函数中，满足(2)2()f x f x =的是A ．2()(2)f x x =+B ．()1f x x =+C ．4()f x x=D ．()f x x x =− 10. 两个不同的函数()f x ，()g x 满足R x ∀∈，()()0f x g x ⋅>，则可能的情况是A ．()f x 是一次函数，()g x 是二次函数B ．()f x 在R 上递增，()g x 在R 上递减C ．()f x ，()g x 都是奇函数D ．()f x 是奇函数，()g x 是偶函数 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 11．若{21,3,5}x x ∈−，则实数x 的值为 .12. 不等式210ax bx +−≥的解集为1(,1][,)4−∞−+∞，则a = ，b = .13. 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()3f x x x =−，则((1))f f = ．14. 函数231, 02()2, 20x x f x x x x +≤≤⎧=⎨+−≤<⎩，则()f x 的减区间为 ，()f x 的值域是 .15. 已知函数2()(,4)2R x af x a a x +=∈≠−−. ①当1a =时，()f x 在定义域内单调递减； ②当4a <−时，一定有(3)(4)(1)f f f <<；③若存在实数k ，使得函数()y f x x k =−+没有零点，则一定有4a <−； ④若存在实数k ，使得函数2()1y f x kx =−+恰有三个零点，则一定有4a >−； 以上结论中，所有正确结论的序号是 . 三、解答题：本大题共3小题，共35分 16. （12分）设集合{||1|2}A x x =−>，4{|0}23x B x x +=≤−，{|2121}C x k x k =−<<+. （I ）求()U A B ；（II ）求AB ；（III ）若C A B ⊆，求实数k 的取值范围.17. （11分）某学校课外活动小组根据预报的当地某天（0 ~ 24时）空气质量指数数据绘制成散点图，并选择函数2118,08264,824at t y t t b t +≤≤⎧=⎨−+<≤⎩来近似刻画空气质量指数y 随时间t 变化的规律（如下图所示）：（I ）求,a b 的值；（II ）当空气质量指数大于150时，有关部门建议市民外出活动应戴防雾霾口罩，并禁止特殊行业施工. 请结合上面选择的函数模型，回答以下问题，并说明理由：①某同学该天7:00出发上学，是否应戴防雾霾口罩？ ②当天特殊行业可以连续施工的最长时间为多少小时？ 18. （12分）已知函数1()(2)f x x x =−.（I ）判断)(x f 在(1,2)上的单调性，并用定义证明； （II ）若()()g x f x a =+是偶函数，求a 的值.卷（Ⅱ）一、 选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分1. 已知集合{1,1}A =−，{|,,}B z z x y x A y A ==+∈∈，{|,,}C z z x y x A y A ==−∈∈，则A ．BC = B ．B CC ．B C =∅D ．B C A =2. 当2x >时，142x a x +≥−恒成立，则a 的最大值为 A ．6 B ．10C ．12D ．133. 设集合A 的最大元素为M ，最小元素为m ，记A 的特征值为A X M m =−，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知1A ，2A ，3A，，n A 是集合*N 的元素个数均不相同的非空真子集，且123120n A A A A X X X X ++++=，则n 的最大值为A ．14B ．15C ．16D ．18 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分4. 13213410.125()25627−−+−−−=________.5. 若二次函数()f x 的图像关于2x =对称，且()()()01f a f f <<，则实数a 的取值范围是 .6. 设函数2(),0()1,0x a x f x x x x ⎧−≤⎪=⎨+>⎪⎩. 当12a =时，()f x 的最小值是________；若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围是________. 三、解答题：本大题共2小题，共20分 7. （10分）已知函数()(2)1f x x x =−+.（I ）求方程组()20y f x x y =⎧⎨−=⎩的解集；（II ）在答题纸的坐标系中，画出函数()f x 的图像；（III ）若()f x 在(,1)a a +上具有单调性，求实数a 的取值范围.8. （10分）如果正整数集的子集{}*12,,,(,2)N n A a a a n n =∈≥满足：①121n a a a =<<<；②()2k a A k n ∀∈≤≤，(),1i j a a A i j n ∃∈≤≤≤，使得k i j a a a =+， 则称A 为ψ集.（I ）分别判断{}1,3,5A =与{}1,2,3,6B =是否为ψ集（直接写出结论）； （II ）当5n =时，对于ψ集{}12345,,,,A a a a a a =，设15S a a =++，求证：521a S +≤；（III ）当7n ≥时，若36n a =，求ψ集A 中所有元素的和的最小值.参考答案I 卷一、单项选择题（每题4分，共40分）11. 1或5 12. 4，3 13. 214. 124⎛⎫−− ⎪⎝⎭，，178⎡⎤−⎢⎥⎣⎦，15. ②③ 注：12、14题第一空3分，第二空2分；15题少选3分，错选漏选0分. 三、解答题（共35分） 16. 由题意()()13A =−∞−+∞，，，A R []1,3=，34,2B ⎡⎫=−⎪⎢⎣⎭，(I)31,2A B ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭R ； (II) ()3,3,2A B ⎛⎫=−∞+∞ ⎪⎝⎭；(III) 显然2121,k k C −<+≠∅，3212132k k +≤−≥或，解得124k k ≤≥或，因此k 的取值范围是[)124⎛⎤−∞+∞ ⎥⎝⎦，，. 17. (I) 8118206264648206a b +=⎧⎨⨯−⨯+=⎩，解得11590a b =⎧⎨=⎩(II) ①是. 711118195150⨯+=>.②08t ≤≤时，11118150t +≤，解得32011t ≤≤； 824t ≤≤时，2264590150t t −+≤，解得1022t ≤≤；3222101211−=>, 所以可以连续施工的最长时间为12小时. 18. (I))(x f 在()1,2上单调递减.定义域为()()()00,22−∞+∞，，， 任取()12,1,2x x ∈且12x x <，()()()()1211221122f x f x x x x x −=−−− ()()()22221112122222x x x x x x x x −−−=−−()()()()211212122220x x x x x x x x −+−=−−>所以)(x f 在()1,2上单调递减. (II)()()1(2)g x x a x a =++−，()g x 是偶函数，则定义域关于原点对称，()(2)0a a −+−=，则1a =， 此时()()11(1)g x x x =+−，定义域()()()11,11−∞−−+∞，，， ()()()()111(1)1(1)g x g x x x x x −===−+−−+−，符合题意，所以1a =.II 卷一、单项选择题（每题5分，共15分） 1. A 2. C 3. C二、填空题（每题5分，共15分） 4. 15− 5. ()(),04,−∞+∞ 6.14，⎡⎣ 注：6题第一空3分，第二空2分. 三、解答题（共20分）7. ()()()()()21,121,1x x x f x x x x −+≥−⎧⎪=⎨−−−<−⎪⎩ ，(I) ()2()0202y f x x f x x y y x=−=⎧⎧⇔⎨⎨−==⎩⎩，当1x ≥−，()()2210x x x −−+=，2320x x −−=即，解得323x y ⎧−=⎪⎨⎪=⎩或323x y ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩；当1x <−，()()2210x x x −−−−= ，即220x x +−=，解得24x y =−⎧⎨=−⎩或12x y =⎧⎨=⎩（舍）；综上，方程组的解集是()33,,3,2,422⎧⎫⎛⎛−+⎪⎪+−− ⎨⎬ ⎪⎪⎝⎝⎩⎭. (II)（作图过程略）(III) ()f x 在()112⎛⎫−∞−+∞ ⎪⎝⎭，，，递增，在112⎛⎫− ⎪⎝⎭，递减，所以11a +≤−或12a ≥或1112a a ≥−⎧⎪⎨+≤⎪⎩，因此实数a 的取值范围是(]112122⎡⎤⎡⎫−∞−−−+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，，，. 8. (I) 注意到：311≠+，因此数集{}1,3,5不是ψ集.注意到：211,312,633=+=+=+，因此数集{}1,2,3,6是ψ集. (II) 由于集合{}12,,,n A a a a =是ψ集，即对任意的2k n ≤≤，存在(),1i j i j n ≤≤≤，使得k i j a a a =+成立。

北京四中~第一学期高三年级期中测试试题数学试卷（文）（试卷满分150分，考试时间为1）一、选择题共8小题,每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．若全集，集合，，则集合A． B．C．D．2.“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．函数的图像大致为4．设，则A. B. C. D.5．将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是A．B．C．D．6．函数的零点个数为A．3 B．2 C．1 D．07．若，则的值为A．B． C．4 D．88. 对于函数,若存在区间，使得，则称区间为函数的一个“稳定区间”.给出下列4个函数：①；②；③；④.其中存在稳定区间的函数有A．①② B．①③ C．②③D．②④二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9．已知，则____________.10．若函数则不等式的解集为______.11．等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列。

若=1，则____________.12．函数的图象如图所示，则的解析式为___.13．已知函数.（），那么下面命题中真命题的序号是____________.①的最大值为②的最小值为③在上是减函数④在上是减函数14．已知数列的各项均为正整数，为其前项和，对于，有，当时，的最小值为______；当时，______.三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15．（本小题满分12分）已知函数的最小正周期为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的单调增区间及其图象的对称轴方程.16．（本小题满分13分）已知：若是公差不为0的等差数列的前项和，且、、成等比数列.（Ⅰ）求数列、、的公比；（Ⅱ）若，求数列的通项公式.17．（本小题满分14分）已知函数()．（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）内角的对边长分别为，若且试求角B和角C.18. （本小题满分14分）已知函数，的图象经过和两点，且函数的值域为.过函数的图象上一动点作轴的垂线，垂足为，连接.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）记的面积为，求的最大值.19．（本小题满分13分）设且，函数.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间.本小题满分14分）设集合由满足下列两个条件的数列构成：①②存在实数，使．（为正整数）（Ⅰ）在只有项的有限数列，中，其中，试判断数列，是否为集合的元素；（Ⅱ）设是等差数列，是其前项和，，证明数列；并求出的取值范围.参考答案及解析一．选择题（2. A解析：当时，，反之，当时，有，或，故应选A.3. A解析：函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A.4．D解析：.故选D.5．B解析：将函数的图象向左平移个单位,得到函数即的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为,故选B.7．D解析：8．C解析：①中，若存在“稳定区间”则，，即有解，即图像有交点，事实上两函数图像没有交点，故函数不存在“稳定区间”。

2020-2021北京市北京四中高一数学上期中模拟试题(带答案)一、选择题1．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭2．函数()ln f x x x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．函数()log a x xf x x =（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数()25,1,,1,x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -≤<B ．0a <C ．2a ≤-D ．32a --≤≤5．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， 6．如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()()U M P S ⋂⋂ðD ．()()U M P S ⋂⋃ð7．已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()a f x x =为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的值是( )A ．1,3-B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,332 8．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞9．已知函数2()log (23)(01)a f x x x a a =--+>≠,，若(0)0f <，则此函数的单调减区间是（）A ．(,1]-∞-B ．[1)-+∞，C ．[1,1)-D ．(3,1]--10．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．()1,3 D ．()2,311．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b 12．三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（ ） A ．a c b << B ．b a c << C ．a b c << D ．b c a <<二、填空题13．如果定义在区间[3＋a ，5]上的函数f(x)为奇函数，那么a 的值为________.14．给出下列四个命题：（1）函数()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件是0c =；（2）函数()20x y x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<；（3）若函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，则4a ≤-或0a ≥； （4）若函数()1y f x =-是偶函数，则函数()y f x =的图像关于直线0x =对称. 其中所有正确命题的序号是______.15．1232e 2(){log (1)2x x f x x x ，，-<=-≥，则f （f （2））的值为____________． 16．某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10000元,每天需要房租水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P 与店面经营天数x 的关系是P(x)=21300,0300245000,300x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪≥⎩则总利润最大时店面经营天数是___.17．已知偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则(2)0f x ->的解集为___ ___ 18．设，则________19．用max{,,}a b c 表示,,a b c 三个数中的最大值，设{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->，则()f x 的最小值为_______. 20．已知函数(12)(1)()4(1)xa x f x a x x ⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩，且对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是________三、解答题 21．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike ”计划在甲、乙两座城市共投资160万元，根据行业规定，每个城市至少要投资30万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P 与投入(a 单位：万元)满足426P a =，乙城市收益Q 与投入(b 单位：万元)满足124Q b =+，设甲城市的投入为(x 单位：万元)，两个城市的总收益为()(f x 单位：万元)．（1）写出两个城市的总收益()(f x 万元)关于甲城市的投入(x 万元)的函数解析式，并求出当甲城市投资72万元时公司的总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？22．已知函数2()(2)3f x x a x =+--．（1）若函数()f x 在[]2,4-上是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）当5a =，[1,1]x ∈-时，不等式()24f x m x >+-恒成立，求实数m 的范围． 23．已知函数()()()lg 2lg 2f x x x =++-.（1）求函数()f x 的定义域；（2）若不等式f ()x m >有解，求实数m 的取值范围.24．已知函数()1ln 1x f x x+=-的定义域为集合A ，集合(),1B a a =+，且B A ⊆. （1）求实数a 的取值范围；（2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数.25．2018年1月8日，中共中央､国务院隆重举行国家科学技术奖励大会，在科技界引发热烈反响，自主创新正成为引领经济社会发展的强劲动力.某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y 与这种新材料的含量x （单位：克）的关系为：当06x ≤<时，y 是x 的二次函数；当6x ≥时，13x t y -⎛⎫= ⎪⎝⎭测得数据如下表（部分）：（1）求y 关于x 的函数关系式()y f x =；（2）当该产品中的新材料含量x 为何值时，产品的性能指标值最大.26．有一种候鸟每年都按一定的路线迁陟，飞往繁殖地产卵．科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数301log lg 2100x v x =-，单位是min km ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（参考数据：lg 20.30=， 1.23 3.74=， 1.43 4.66=）（1）若02x =，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少min km ？ （2）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（3）若雄鸟的飞行速度为2.5min km ，雌鸟的飞行速度为1.5min km ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果. 【详解】因为函数()43x f x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.2．A解析：A【解析】【分析】从图象来看图象关于原点对称或y 轴对称，所以分析奇偶性，然后再用特殊值确定.【详解】因为函数()ln f x x x =是奇函数，排除C ，D又因为2x = 时()0f x >，排除B故选：A【点睛】本题主要考查了函数的图象的判断，还考查了数形结合的思想，属于基础题.3．C解析：C【解析】【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论．【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ．故选C ．【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．4．D解析：D【解析】【分析】根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处的函数值.要使函数在R 上为增函数，须有()f x 在(,1]-∞上递增，在(1,)+∞上递增， 所以21,20,115,1a a a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪⎪--⨯-≤⎩，解得32a --≤≤.故选D.【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.5．B解析：B【解析】试题分析：依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-. 考点：集合的运算6．C解析：C【解析】【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可．【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S).故选C ．【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．7．B解析：B【解析】【分析】先根据奇函数性质确定a 取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项.【详解】因为()a f x x =为奇函数，所以11,3,3a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭因为()()0,f x +∞在上单调递增，所以13,3a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.8．D解析：D【解析】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数；x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数；y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)，故选D.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增； 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增. 简称为“同增异减”.9．D解析：D【解析】【分析】求得函数()f x 的定义域为(3,1)-，根据二次函数的性质，求得()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，再由(0)0f <，得到01a <<，利用复合函数的单调性，即可求解.【详解】由题意，函数2()log (23)a f x x x =--+满足2230x x --+>，解得31x -<<，即函数()f x 的定义域为(3,1)-，又由函数()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减， 因为(0)0f <，即(0)log 30a f =<，所以01a <<，根据复合函数的单调性可得，函数()f x 的单调递减区间为(3,1]--，故选D.本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．B解析：B【解析】【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增， ()301373a a a a ⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤< 所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ．【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 11．B解析：B【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gc log c ,log c lg a lg b==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. 12．B解析：B【解析】20.4200.41,log 0.40,21<<Q ,01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<，故选B.二、填空题13．－8【解析】∵f(x)定义域为3＋a5且为奇函数∴3＋a ＝－5∴a ＝－8点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值进而得解(2)求参数值：在定义域关于解析：－8【解析】 ∵f(x)定义域为[3＋a ，5]，且为奇函数，∴3＋a ＝－5，∴a＝－8.点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解．(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．14．（1）（2）（3）【解析】【分析】根据奇函数的定义得到（1）正确根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确由函数的值域是得出其真数可以取到所有的正数由二次函数判别式大于等于0求解可判断出（3）正确 解析：（1）（2）（3）【解析】【分析】根据奇函数的定义得到（1）正确，根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确， 由函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，得出其真数可以取到所有的正数，由二次函数判别式大于等于0求解，可判断出（3）正确，根据函数图像平移可判断（4）不正确.【详解】解：（1）当0c =时，()=+f x x x bx ，()()()-=---=-+=-f x x x bx x x bx f x ，当函数为奇函数时()()f x f x -=-，即()++=----+=+-x x bx c x x bx c x x bx c ，解得0c =，所以0c =是函数()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件，所以（1）正确；（2）由反函数的定义可知函数()20x y x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<，所以（2）正确；（3）因为函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，所以2y x ax a =+-能取遍(0,)+∞的所有实数，所以240a a =+≥△，解得0a ≥或4a ≤-，所以（3）正确； （4）函数()1y f x =-是偶函数，所以()1y f x =-图像关于y 轴对称，函数()y f x =的图像是由()1y f x =-向左平移一个单位得到的，所以函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称，故（4）不正确.故答案为：（1）（2）（3）【点睛】本题主要考查对函数的理解，涉及到函数的奇偶性、值域、反函数等问题.15．2【解析】【分析】先求f （2）再根据f （2）值所在区间求f （f （2））【详解】由题意f （2）=log3（22–1）=1故f （f （2））=f （1）=2×e1–1=2故答案为：2【点睛】本题考查分段函数解析：2【解析】【分析】先求f （2），再根据f （2）值所在区间求f （f （2））.【详解】由题意，f （2）=log 3（22–1）=1，故f （f （2））=f （1）=2×e 1–1=2，故答案为：2． 【点睛】本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.16．200【解析】【分析】根据题意列出总利润L(x)的分段函数然后在各个部分算出最大值比较大小就能确定函数的最大值进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数【详解】设总利润为L(x)则L(x)=则L(x)解析：200【解析】【分析】根据题意，列出总利润L(x)的分段函数，然后在各个部分算出最大值，比较大小，就能确定函数的最大值，进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数.【详解】设总利润为L(x),则L(x)=2120010000,0300210035000,300x x x x x ⎧-+-≤<⎪⎨⎪-+≥⎩则L(x)=21(200)10000,0300210035000,300x x x x ⎧--+≤<⎪⎨⎪-+≥⎩当0≤x<300时,L(x)max =10000,当x ≥300时,L(x)max =5000,所以总利润最大时店面经营天数是200.【点睛】本题主要考查分段函数的实际应用，准确的写出各个部分的函数关系式是解决本题的关键. 17．【解析】【分析】通过判断函数的奇偶性增减性就可以解不等式【详解】根据题意可知令则转化为由于偶函数在上为增函数则即即或即或【点睛】本题主要考查利用函数的性质（奇偶性增减性）解不等式意在考查学生的转化能 解析：{|40}x x x ><或【解析】 【分析】通过判断函数的奇偶性，增减性就可以解不等式. 【详解】根据题意可知(2)0f =，令2x t -=，则转化为()(2)f t f >，由于偶函数()f x 在()0,∞+上为增函数，则()(2)f t f >，即2t>，即22x -<-或22x ->，即0x <或4x >.【点睛】本题主要考查利用函数的性质（奇偶性，增减性）解不等式，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.18．-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出f(-2)的值并判定符号从而可得f(f(-2))的值【详解】∵fx=1-xx≥0x2x<0-2<0∴f-2=-22=4>0所以f(f(-2))=f4=1-解析：-1 【解析】 【分析】由分段函数的解析式先求出的值并判定符号，从而可得的值.【详解】， ，所以，故答案为-1. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于简单题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．19．0【解析】【分析】将中三个函数的图像均画出来再分析取最大值的函数图像从而求得最小值【详解】分别画出的图象取它们中的最大部分得出的图象如图所示故最小值为0故答案为0【点睛】本题主要考查数形结合的思想与解析：0 【解析】 【分析】将{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->中三个函数的图像均画出来,再分析取最大值的函数图像,从而求得最小值.【详解】分别画出ln y x =-,1y x =-,24y x x =-的图象,取它们中的最大部分,得出()f x 的图象如图所示,故最小值为0.故答案为0 【点睛】本题主要考查数形结合的思想与常见函数的图像等,需要注意的是在画图过程中需要求解函数之间的交点坐标从而画出准确的图像,属于中等题型.20．【解析】【分析】根据判断出函数在上为增函数由此列不等式组解不等式组求得的取值范围【详解】由于对任意的时都有所以函数在上为增函数所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围 解析：[1,0)-【解析】 【分析】 根据()()12120f x f x x x ->-判断出函数在R 上为增函数，由此列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】由于对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，所以函数在R 上为增函数，所以1210124a a a a ->⎧⎪<⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤<.故答案为：[)1,0-. 【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围，考查指数函数的单调性，考查分式型函数的单调性，属于基础题.三、解答题21．（1）()1364f x x =-+，30130x ≤≤，66万元（2）甲城市投资128万元，乙城市投资32万元 【解析】 【分析】() 1由题知，甲城市投资x 万元，乙城市投资160x -万元，求出函数的解析式，利用当甲城市投资72万元时公司的总收益；()()12364f x x =-+，30130x ≤≤，令t =，则t ∈，转化为求函数2,6143y t t ∈=-++最值，即可得出结论．【详解】()1由题知，甲城市投资x 万元，乙城市投资160x -万元，所以()()11616023644f x x x =+-+=-+， 依题意得3016030x x ≥⎧⎨-≥⎩，解得30130x ≤≤，故()1364f x x =-+，30130x ≤≤， 当72x =时，此时甲城市投资72万元，乙城市投资88万元，所以总收益()136664f x x =-+=． ()()12364f x x =-+，30130x ≤≤令t =t ∈．2,6143y t t ∈=-++当t =，即128x =万元时，y 的最大值为68万元， 故当甲城市投资128万元，乙城市投资32万元时， 总收益最大，且最大收益为68万元． 【点睛】本题考查实际问题的应用，二次函数的性质以及换元法的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．22．（1）(,6][6,+)∞∞--U ；（2）3(,)4∞-． 【解析】 【分析】（1）首先求函数的对称轴22a x -=-，令242a --≥或 222a --≤-，求实数a 的取值范围；（2）不等式等价于21x x m ++>恒成立，令()21g x x x =++，转化为()min g x m >，[]1,1x ∈-恒成立，求m 的取值范围. 【详解】解：（1）函数()f x 的对称轴为22a x -=-， 又函数()f x 在[]2,4-上是单调函数，242a -∴-≥或 222a --≤-， 解得6a ≤-或6a ≥．∴实数a 的取值范围为(,6][6,)-∞-+∞U ；（2）当5a =，[]1,1x ∈-时，()24f x m x >+-恒成立，即21x x m ++>恒成立， 令()21g x x x =++，()min g x m >恒成立，函数()g x 的对称轴[]11,12x =-∈-，∴()min 1324g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即34m >， m ∴的范围为3(,)4-∞．【点睛】本题考查二次函数单调性，恒成立的的综合问题，属于基础题型. 23．（1）(2,2)-；（2）lg 4m <． 【解析】试题分析：（1）由对数有意义，得20{20x x +>->可求定义域；（2）不等式()f x m >有解⇔max ()m f x <，由2044x <-≤，可得()f x 的最大值为lg 4，所以lg 4m <．试题解析：（1）x 须满足20{20x x +>->，∴22x -<<，∴所求函数的定义域为(2,2)-.（2）∵不等式()f x m >有解，∴max ()m f x <()()()lg 2lg 2f x x x =++-=2lg(4)x -令24t x =-，由于22x -<<，∴04t <≤∴()f x 的最大值为lg 4.∴实数m 的取值范围为lg 4m <. 考点：对数性质、对数函数性、不等式有解问题． 24．（1）[1,0]- ;（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）由对数的真数大于0，可得集合A ，再由集合的包含关系，可得a 的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得()f x 的定义域，计算()f x -与()f x 比较，即可得到所求结论． 试题解析：（1）令101xx+>-，解得11x -<<，所以()1,1A =-， 因为B A ⊆，所以111a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得10a -≤≤，即实数a 的取值范围是[]1,0-（2）函数()f x 的定义域()1,1A =-，定义域关于原点对称()()()1ln 1x f x x ---=+- ()1111ln ln ln 111x x x f x x x x -+--⎛⎫===-=- ⎪-++⎝⎭而1ln32f ⎛⎫=⎪⎝⎭，11ln 23f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1122f f ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数()f x 是奇函数但不是偶函数.25．（1）()2712,0641,63x x x x f x x -⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）4x = 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，结合所给数据可求函数关系式()y f x =； （2）分段求解函数的最大值，比较可得结果. 【详解】（1）当06x ≤<时，由题意，设()2f x ax bx c =++（0a ≠），由表格数据得()()()007142423f c f a b c f a b c ⎧==⎪⎪=++=⎨⎪=++=⎪⎩，解得1420a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，所以，当06x ≤<时，()2124f x x x =-+， 当6x ≥时，()13x tf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，由表格数据可得()911939tf -⎛⎫==⎪⎝⎭， 解得7t =，所以当6x ≥时，()713x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，综上，()2712,0641,63x x x x f x x -⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. （2）当06x ≤<时，()()221124444f x x x x =-+=--+， 可知4x =时，()()max 44f x f ==，当6x ≥时，()713x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭单凋递减，可知6x =时，()()67max1633f x f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭.综上可得，当4x =时，产品的性能指标值最大. 【点睛】本题主要考查函数解析式的求解及最值，待定系数法是求解析式的常用方法，根据函数的类型设出解析式，结合条件求解未知系数，侧重考查数学抽象 26．（1）1.70/min km ；（2）466；（3）9 【解析】试题分析：（1）直接代入求值即可，其中要注意对数的运算；（2）还是代入求值即可；（3）代入后得两个方程，此时我们不需要解出1x 、2x ，只要求出它们的比值即可，所以由对数的运算性质，让两式相减，就可求得129x x =． 试题解析：（1）将02x =，8100x =代入函数式可得：31log 81lg 22lg 220.30 1.702v =-=-=-= 故此时候鸟飞行速度为1.70/min km ． （2）将05x =，0v =代入函数式可得：310log lg 52100x =-即3log 2lg52(1lg 2)20.70 1.40100x ==⋅-=⨯= 1.43 4.66100x∴==于是466x =． 故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位．（3）设雄鸟每分钟的耗氧量为1x ，雌鸟每分钟的耗氧量为2x ，依题意可得：13023012.5log lg 2100{11.5log lg 2100x x x x =-=-两式相减可得：13211log 2x x =，于是129x x =． 故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍．考点：1．函数代入求值；2．解方程；3．对数运算．。

2023-2024学年北京四中高一（上）期中数学试卷一、选择题。

（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．设集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝（）A．{x|x＞﹣1}B．{x|x≥1}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|1≤x＜2}2．已知下列表格表示的是函数y＝f（x），则f（﹣1）+f（2）的值为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．13．函数f(x)=13x3−2x−2一定存在零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）4．函数f(x)=√3x+61−x的定义域为（）A．[﹣2，1）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣2]∪（1，+∞）5．关于x，y的方程组{x 2+y2−1=0y−x−m=0有唯一的一组解，则实数m的值是（）A．√2B．−√2C．±√2D．16．已知a，b为非零实数，则“a＞b”是“1a ＜1b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知函数f（x）为奇函数，其局部图象如图所示，那么（）A．f（2）＝2B．f（2）＝﹣2C．f（2）＞﹣2D．f（2）＜﹣28．《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》被称为中国古典小说四大名著．学校读书社共有100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的人数为90，阅读过《红楼梦》的人数为80，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的人数为60，则这100名学生中，阅读过《西游记》的学生人数为（）A．80B．70C．60D．509．已知函数f（x）={x2+4x+3，x≤0−2x2+4x−1，x＞0，若关于x的方程f（x）﹣a＝0有两个不同的实数根，那么实数a的取值范围是（）A．（1，3]∪{﹣1}B．（1，3）∪{﹣1}C．（1，3）D．（1，3]10．已知函数f(x)=√x+1+k，若存在区间[a，b]，使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a+1，b+1]，则实数k的取值范围为（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，0]C．[−14，+∞)D．(−14，0]二、填空题。

（试卷满分：150分考试时间：120分钟）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.（1）设集合，2{|320}N x x x=-+≤，则＝（A）{1} （B）{2}（C）{0，1} （D）{1，2}（2）设11533114,log,73a b c⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（A）（B）（C）（D）（3）已知i是虚数单位，，则“”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（4）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（A）向右平移个单位（B）向左平移个单位（C）向右平移个单位（D）向左平移个单位（5）函数的图象大致为（A）（B）（C）（D）（6）设，向量，，，且，，则＝（A）（B）（C）（D）（7）已知11,1,()ln, 01,xf x xx x⎧-≥⎪=⎨⎪<<⎩若函数只有一个零点，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）④存在经过点的直线与函数的图象不相交.（A）①②（B）①③（C）②③（D）②④二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.（8）在等差数列中，已知，则该数列前11项和＝. （9）如图，阴影区域是由函数的一段图象与x轴围成的封闭图形，则该阴影区域的面积是.（10）在△中，角的对边分别为.，，，则.（11）已知实数满足，则的最大值是.（12）若直线上存在点满足约束条件30,230,,x yx yx m+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数的取值范围为.（13）设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，那么称为集合的聚点.则在下列集合中①；②；①；④整数集.以0为聚点的集合有 .（请写出所有满足条件的集合的编号）三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （14） （本题满分13分）已知函数()sin )sin f x x x x =-,. （Ⅰ）求函数的最小正周期与单调增区间； （Ⅱ）求函数在上的最大值与最小值. （15） （本题满分13分）已知数列满足：，1221,N n n a a n *+=+∈.数列的前项和为，219,N 3n n S n -*⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求数列，的通项公式； （Ⅱ）设，.求数列的前项和. （16） （本题满分13分）已知函数2()(1)2ln(1)f x x a x =+-+.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若，，求函数图象上任意一点处切线斜率的取值范围.（Ⅰ）问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?（Ⅱ）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?（17） （本小题满分14分）已知函数32()ln(21)2(0).3x f x ax x ax a =++--≥（Ⅰ）若为的极值点，求实数a 的值； （Ⅱ）若在上为增函数，求实数a 的取值范围. （18） (本小题满分14分) 已知123{(,,,,)n n S A A a a a a ==，或1，，对于，表示U 和V 中对应位置的元素不同的个数．（Ⅰ）令，求所有满足，且的的个数；（Ⅱ）令，若，求证：(,)(,)(,)d U W d V W d U V +≥； （Ⅲ）给定，，若，求所有之和．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分三、解答题：本大题共6小题，共80分15.解：()2cos21f x x x=+-12cos2)12x x=+-.（Ⅰ）的最小正周期为令222,262k x k kπππππ-++≤+≤+∈Z，解得36k x kππππ-+≤≤+，所以函数的单调增区间为[,],36k k kππππ-+∈Z.（Ⅱ）因为，所以，所以，于是，所以.当且仅当时取最小值当且仅当，即时最大值.16．解:（Ⅰ）由得，又，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，于是11(1)2nna a n d+=+-=，.当时，1211196,3b S-⎛⎫==-=⎪⎝⎭当时，，231211299333n nn n n nb S S----⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=---=⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，又时，所以，.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，所以21(1),N 3n n n n c a b n n -*⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭.所以1121111234(1)3333n n T n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1)17.解：（Ⅰ）函数的定义域为.22(1)2'()2(1)11x a a f x x x x ⎡⎤+-⎣⎦=+-=++ 当时，在上恒成立，于是在定义域内单调递增.当时，得12111()x x =-=--舍 当变化时，变化情况如下所以的单调递增区间是，单调递减区间是. 综上，当时，单调递增区间是，当时，的单调递增区间是，单调递减区间是.（Ⅱ）当时，2()(1)2ln(1)f x x x =+-+，令2()'()2(1)(1)1h x f x x x x==+-≠-+， 则，故为区间上增函数，所以，根据导数的几何意义可知. 18．解: （Ⅰ）∵,∴∴,∴63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=（） 根据得sin 1040m sin ACAB C B==,所以乙在缆车上的时间为（min ）. 设乙出发（）分钟后,甲、乙距离为,则222212(130)(10050)2130(10050)200(377050)13d t t t t t t =++-⨯⨯+⨯-+∴时,即乙出发分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短.（Ⅱ）由正弦定理sin sin BC AC A B =得12605sin 50063sin 1365AC BC A B==⨯=(m ).乙从出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710m 才能到达. 设乙步行速度为,则 .解得.∴为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在范围内.19. （Ⅰ）解：222[2(14)(42)]2()222121x ax a x a a f x x x a ax ax +--+'=+--=++ 1分因为x = 2为f (x )的极值点，所以 2分即，解得：a = 0 3分 又当a = 0时，，当时，时，从而x = 2为f (x )的极值点成立． 6分 （Ⅱ）解：∵f (x )在区间[3，+∞)上为增函数，∴22[2(14)(42)]()021x ax a x a f x ax +--+'=+≥在区间[3，+∞)上恒成立．8分①当a = 0时，在[3，+∞)上恒成立，所以f (x )在[3，+∞)上为增函数，故a = 0符合题意． 9分 ②当a > 0时，222(14)(42)0ax a x a +--+≥在区间[3，+∞)上恒成立．令22()2(14)(42)g x ax a x a =+--+，其对称轴为∵a > 0，∴，从而g (x )≥0在[3，+∞)上恒成立，只要g (3)≥0即可， 由2(3)4610g a a =-++≥a∵a > 0，∴． 13分综上所述，a 的取值范围为[0，] 14分 20. 解：（Ⅰ）； ………4分 （Ⅱ）证明：令， ∵或1，或1； 当，时， 当，时， 当，时， 当，时， 故 ∴123(||||||)n a a a a =++|++|123(||||||)n b b b b +++|++|112233(||||||)n n a b a b a b a b ≥-+-+--|++| ………9分（Ⅲ）解：易知中共有个元素，分别记为∵的共有个，的共有个． ∴=1111111122(2|0|2|1|2|0|2|120|21|)n n n n n n n n a a a a a a -------+-+-+---|++|+|=∴=． ……14分 法二：根据（Ⅰ）知使的共有个∴=012012nnn n n C C C n C ++++=12(1)(2)0n n n nn n n n C n C n C C --+-+-++两式相加得=。

北京四中2021届高三第一学期期中考试数学试卷（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知全集U =R ，集合{}12<=xx A ，{}20B x x =-<，则()UA B =A ． {|2}x x >B ． {}02x x ≤<C ． {|02}x x <≤D ． {|2}x x ≤2.下列命题中的假命题．．．是A. ,sin R x x ∃∈=B. ,ln R x x ∃∈=C. 2,0R ∀∈≥x xD. ,20R ∀∈>x x3.已知向量()5,m =a ，()2,2=-b ，若a b -与b 共线，则实数m =A. 1-B. 1C. 2D. 5-4.已知()f x 是R 上的奇函数，当0>x 时,()12log =f x x ,则()0>f x 的解集是A ．()1,0-B ．()0,1C ．()(),10,1-∞-D ．()()1,00,1-5.将函数()sin(2)6π=-f x x 的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()=g xA ．sin(2)6x π+B ．2sin(2)3x π+C ．cos2xD ．cos2x -6.若,R ∈a b ，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是A ．222a b ab +>B ．a b +≥C ．11a b +>D ．2b aa b+≥ 7.已知三角形ABC ，那么“+>-AB AC AB AC ”是“三角形ABC 为锐角三角形”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 8.声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2/W m ）满足12()10lg110-=⨯⨯x f x . 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 A ．105倍B ．108倍C. 1010倍D ．1012倍9.函数2sin =-y x x ，,22∈⎡⎤-⎢⎥⎣ππ⎦x 的大致图象是10.已知函数1,0,()|ln |,0.⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩ax x f x x x 给出下列三个结论：① 当2=-a 时，函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞； ② 若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞；③ 若1a <且0≠a ，则b ∃∈R ，使得函数()y f x b =-恰有3个零点1x ,2x ,3x ，且1231x x x =-. 其中，所有正确结论的个数是 A ．0 B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11.函数=y _________．12.已知2α∈⎛,ππ⎫⎪⎝⎭，且3sin 5α=. 则cos α=_________，tan 4απ⎛⎫- ⎪⎝⎭=_________．13.已知非零向量a ，b 满足||=||-a a b ，则12a b -与b 的夹角等于_________．14.圆2220+-+=x y ax 与直线l 相切于点(3,1)A ，则圆的半径为_________，直线l 的方程为_________． 15.关于x 的方程()()g x t t =∈R 的实根个数记为()f t ．若()ln g x x =，则()f t =_________；若2,0,()2,0,≤⎧=⎨-++>⎩x x g x x ax a x ()a ∈R ，存在t 使得(2)()f t f t +>成立，则a 的取值范围是_________． 三、解答题（本大题共6小题，共85分） 16．（本小题满分14分）在ABC 中，=3a ，-=2b c ，cos =-12B ．（Ⅰ）求,b c 的值； （Ⅱ）求()sin -B C 的值．已知函数()()32,3-=-=x x g x x x f .（Ⅰ）求曲线)(x f y =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在[]0,2上的最大值； （Ⅲ）求证：存在唯一的0x ，使得()()00x g x f =.18．（本小题满分14分）已知函数212()2cos sin f x x x ωω=+． （Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）从①11=ω，22ω=；②11ω=，21ω=这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件， 求函数()f x 在,26ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值，并直接写出函数()f x 的一个周期.19．（本小题满分14分）已知：函数()sin cos =-f x x x x ． （Ⅰ）求()'πf ；（Ⅱ）求证：当(0,)2π∈x 时，31()3f x x <； （Ⅲ）若()cos f x kx x x >-对(0,)2π∈x 恒成立，求实数k 的最大值．20．（本小题满分14分）已知O 为平面直角坐标系的原点，过点(20)M -，的直线l 与圆221x y +=交于P ，Q 两点． （Ⅰ）若12⋅=-OP OQ ，求直线l 的方程； （Ⅱ）若OMP ∆与OPQ ∆的面积相等，求直线l 的斜率．对于集合M ，定义函数1,,()1,.-∈⎧=⎨∉⎩M x M f x x M 对于两个集合M ，N ，定义集合{()()1}M N M N x f x f x ∆=⋅=-. 已知{2,4,6,8,10}A ，{1,2,4,8,16}B.（Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并用列举法写出集合A B ∆；（Ⅱ）用()Card M 表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B ∆+∆的最小值； （Ⅲ）有多少个集合对(),P Q ，满足,P Q A B ⊆，且()()P A Q B A B ∆∆∆=∆？参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，请将答案填涂在答题卡上三、解答题（本大题共6小题，共85分） 16.解：（Ⅰ）13,2,cos 2=-==-a b c B ，∴由余弦定理2222cos =+-b a c ac B ，∴b ＝7，∴c ＝b ﹣2＝5； （Ⅱ）在ABC 中，1cos 2=-B ，3sin 2∴=B ，由正弦定理有：sin sin =c bC B，∴53sin 14=C ，∵>b c ，∴>B C ，∴C 为锐角，∴11cos 14=C ，∴()sin -B C =sin cos cos sin -B C B C 7=． 17.解：（Ⅰ）由3()f x x x =-，得13)(2-='x x f , 所以(1)2f '=，又(1)0f =所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为：()120-=-x y ， 即：022=--y x . （Ⅱ）令()0='x f ，得33±=x . ()f x 与()f x '在区间[0,2]的情况如下：因为()00,f =()26,f =所以函数)(x f 在区间[]2，0上的最大值为6. （Ⅲ）证明：设()()()x g x f x h -==333+-x x ，则()()1132+-=-='x x x x h 33)(，令()0h x '=，得1x =±.()h x 与()h x '随x 的变化情况如下：则()x h 的增区间为()1,-∞-，()+∞,1，减区间为()1,1-.又()110h =>，()()011>>h h -，所以函数)(x h 在()+∞,1-没有零点， 又()03<=-15-h ，所以函数)(x h 在()1,-∞-上有唯一零点0x .综上，在()+∞∞-,上存在唯一的0x ，使得)()(00x g x f =. 18.解：（Ⅰ）2(0)2cos 0sin 02f =+=.（Ⅱ）选择条件①.()f x 的一个周期为π.2()2cos sin 2f x x x =+(cos21)sin 2x x =++22)1x x =++2)14x π=++（.因为[,]26x ππ∈-,所以372+[,]4412x πππ∈-.所以1sin 2)14x π-≤+≤（.所以1()1f x ≤≤当2=42x ππ+-时，即3π=8x -时，()f x 在[,]26ππ-取得最小值1选择条件②.()f x 的一个周期为2π.2()2cos sin f x x x =+22(1sin )sin x x =-+21172(sin )48x =--+.因为[,]26x ππ∈-,所以1sin [1,]2x ∈-.所以当sin =1x -时，即π=2x -时，()f x 在[,]26ππ-取得最小值1-.19.解：()cos (cos sin )sin f x x x x x x x '=--=（Ⅰ）()0f 'π= （Ⅱ）令31()()3g x f x x =-，则2()sin (sin )g x x x x x x x '=-=-， 当(0)2x π∈，时，设()sin t x x x =-，则()cos 10t x x '=-< 所以()t x 在(0)2x π∈，单调递减，()sin (0)0t x x x t =-<= 即sin x x <，所以()0g x '<所以()g x 在(0)2π，上单调递减，所以()(0)0g x g <=， 所以31()3f x x <． （Ⅲ）原题等价于sin x kx >对(0)2x ∈，π恒成立，即sin x k x <对(0)2x π∈，恒成立， 令sin ()x h x x =，则22cos sin ()()x x x f x h x x x -'==-． 易知()sin 0f x x x '=>，即()f x 在(0)2π，单调递增， 所以()(0)0f x f >=，所以()0h x '<， 故()h x 在(0)2π，单调递减，所以2()2k h π≤=π． 综上所述，k 的最大值为2π．20.解：（Ⅰ）依题意，直线l 的斜率存在，因为直线l 过点(2,0)M -，可设直线l ：(2)y k x =+． 因为P Q 、两点在圆221x y +=上，所以1OP OQ ==， 因为12OP OQ ⋅=-，所以1cos 2OP OQ OP OQ POQ ⋅=⋅⋅∠=- 所以120POQ ︒∠=所以O 到直线l 的距离等于12． 12=， 得15k =±， 所以直线l 的方程为20x +=或20x +=．（Ⅱ）（解法一）因为OMP ∆与OPQ ∆的面积相等，所以2MQ MP =， 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，所以22(2,)MQ x y =+，11(2,)MP x y =+．所以212122(2)2x x y y +=+⎧⎨=⎩即21212(1)2x x y y =+⎧⎨=⎩ （*）；因为 P ，Q 两点在圆上，所以2211222211x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩把（*）代入，得2211221114(1)41x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，所以11788x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩，所以直线l的斜率9MP k k ==±，即9k =±． （解法二）因为OMP ∆与OPQ ∆的面积相等，所以2MQ MP =， 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，所以22(2,)MQ x y =+，11(2,)MP x y =+． 所以2122(2)x x +=+，即1222x x -=- ①；联立22(2)1y k x x y =+⎧⎨+=⎩ 消去y 得2222(1)4(41)0k x k x k +++-=． 由韦达定理知21224,1k x x k +=-+ ②2122411k x x k -⋅=+ ③由①②可知，212623(1)k x k +=-+，222623(1)k x k -=-+，带入③得42222364419(1)1k k k k --=++，所以k =．21.解：（Ⅰ）(1)=1A f ，(1)=1B f -，{1,6,10,16}A B ∆=.（Ⅱ）根据题意可知：对于集合,C X ，①若a C 且a X ，则(({}))()1Card C X a Card C X ∆=∆-；②若aC 且a X ，则(({}))()1Card C X a Card C X ∆=∆+.所以要使()()Card X A Card X B ∆+∆的值最小，2，4，8一定属于集合X ；1，6，10，16是否属于X 不影响()()Card X A Card X B ∆+∆的值；集合X 不能含有A B 之外的元素.所以当X 为{1,6,10,16}的子集与{2,4,8}的并集时，()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值4.…8分 （Ⅲ）因为{()()1}A B A B x f x f x ∆=⋅=-， 所以A B B A ∆=∆.由定义可知：()()()A B A B f x f x f x ∆=⋅.所以对任意元素x ，()()()()()()()A B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x ∆∆∆=⋅=⋅⋅，()()()()()()()A B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x ∆∆∆=⋅=⋅⋅.所以()()()()A B C A B C f x f x ∆∆∆∆=. 所以()()A B C A B C ∆∆=∆∆.由()()P A Q B A B ∆∆∆=∆知：()()P Q A B A B ∆∆∆=∆. 所以()()()()()P Q A B A B A B A B ∆∆∆∆∆=∆∆∆. 所以P Q ∆∆∅=∅.∆=∅，即P Q.所以P Q⊆，因为,P Q A B=. 所以满足题意的集合对（P，Q）的个数为72128。

2021年届高三第一次统测数学北京四中_届高三第一次统测数学(试卷满分150分,时间120分钟)一.选择题(每小题4分,共56分)1.(理)设f:_→_2是集合A到集合B的映射,如果B={1,2},则A∩B等于( )A.{1}B. C.或{1}D.或{2}2.(理)函数f(_)=+lg(3_+1)的定义域是( )A.(-,+∞)B.(-,1)C.(-,)D.(-∞,-)3.(理)函数y=(-1≤__lt;0)的反函数是( )A.y=-(_lt;_≤1)B.y=-(_≥)C.y=(_lt;_≤1)D.y=(_≥)4.(理)已知函数在f(_)=logsin1(_2-6_+5)在(a,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围为( )A.(5,+∞)B.[5,+∞)C.(-∞,3)D.(3,+∞)5.(理)设m,n是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面,考查下列命题,其中正确的命题是( )A.m⊥α,nβ,m⊥nα⊥βB.α∥β,m⊥α,n∥βm⊥nC.α⊥β,m⊥α,n∥βm⊥nD.α⊥β,α∩β=m,m⊥nn⊥β6.(理)已知直线m,n和平面α,那么m∥n的一个必要但非充分条件是( )A.m∥α,n∥αB.m⊥α,n⊥αC.m∥α且nαD.m,n与α成等角7.(理)正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为棱AB的中点,则直线C1E与平面ACC1A1所成角的正切值为( )A.B.C. D.8.(理)设直线过点(0,a),其斜率为1,且与圆_2+y2=2相切,则a的值为( )A.±4B.±C.±2D.±9.(理)若抛物线y2=2p_的焦点与椭圆的右焦点重合,则p的值为( )A.-2B.2C.-4D.410.(理)已知双曲线-y2=1(a_gt;0)的一条准线与抛物线y2=-6_的准线重合,则该双曲线的离心率为( )A.B.C. D.11.(理)在()24的展开式中,_的幂的指数是整数的项共有( )A.3项B.4项C.5项D.6项12.(理)显示屏有一排7个小孔,每个小孔可显示0或1,若每次显示其中3个孔,但相邻的两孔不能同时显示,则该显示屏能显示信号的种数共有( )A.10B.48C.60D.8013.(理)设Sn是无穷等比数列的前n项和,若Sn=,则首项a1的取值范围是( )A.(0,)B.(0,)C.(0,)∪()D.(0,)∪(,0)14.(理)已知函数f(_)=2+log3_(1≤_≤9),则函数y=[f(_)]2+f(_2)的最大值为( )A.6B.13C.22D.33二.填空题(每小题5分,共40分)15.(理)已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2},若BA,则实数m=_______________16.设g(_)=则g[g()]=___________________.17.(理)设有两个命题:①关于_的不等式m_2+1_gt;0的解集是R,②函数f(_)=logm_是减函数.如果这两个命题中有且只有一个真命题,则实数m的取值范围是____________________.18.(理)要得到函数y=3f(2_+)的图像,只须将函数y=3f(2_)的图像向_____________移动________________个单位.19.如图,将正方形按ABCD沿对角线AC折成二面角D-AC-B,使点B.D的距离等于AB的长.此时直线AB与CD所成的角的大小为____________________.20.(理)椭圆a_2+by2=1与直线y=-_+1交于A.B两点,过原点与线段AB中点的直线斜率为,则=______________.21.已知A箱内有1个红球和5个白球,B箱内有3个白球,现随意从A箱中取出3个球放入B箱,充分搅匀后再从中随意取出3个球放人4箱,共有_________种不同的取法,又红球由A箱移人到B箱,再返回到A箱的概率等于___________.22.定义在(-∞,+∞)上的偶函数f(_)满足f(_+1)=-f(_),且在[-1,0]上是增函数,下面是关于f(_)的判断:①f(_)是周期函数;②f(_)的图像关于直线_=1对称;③f(_)在[0,1]上是增函数;④f(2)=f(0).其中正确的判断是_____________________(把你认为正确的判断都填上)三.解答题23.(本小题13分)(理)已知函数f(_)=2_-1的反函数为f-1(_),g(_)=log4(3_+1)(1)用定义证明f-1(_)在定义域上的单调性;(2)若f-1(_)≤g(_),求_的取值集合D;(3)设函数H(_)=g(_)-f-1(_),当_∈D时,求函数H(_)的值域.24.(本小题13分)(理)设点P(_,y)(_≥0)为平面直角坐标系_Oy中的一个动点(其中O为坐标原点),点P到定点M(,0)的距离比点P到_轴的距离大.(1)求点P的轨迹方程,并说明它表示什么曲线;(2)若直线l与点P的轨迹相交于A.B两点,且=0,点O到直线l的距离为,求直线l 的方程.25.(本小题14分)(理)某人居住在城镇的A处,准备开车到单位B处上班,若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的,且在同一路段发生堵车事件最多只有一次,发生堵车事件的概率如图.(例如:A→C→D算作两个路段:路段AC发生堵车事件的概率为,路段CD发生堵车事件的概率为)(1)请你为其选择一条由A到B的最短路线(即此人只选择从西向东和从南向北的路线),使得途中发生堵车事件的概率最小;(2)若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量ξ,求ξ的数学期望Eξ.26.(本小题14分)(理)如图,矩形ABCD,AB=1,BC=a,PA⊥面ABCD且PA=1(1)BC边上是否存在点Q,使得FQ⊥QD,并说明理由;(2)若BC边上存在唯一的点Q使得FQ⊥QD,指出点Q的位置,并求出此时AD与平面PDQ所成的角的正弦值;(3)在(2)的条件下,求二面角Q-PD-A的正弦值.北京四中_届高三第一次统测数学参考答案一.选择题(每小题4分,共56分)1.(理)C 【解析】本题考查了映射的概念及集合的交集运算,属基础知识考查.由已知可得集合且是集合{-,-1,1,}的非空子集,则A∩B=或{1},应选C.2.(理)B 【解析】本题考查了函数的定义域及不等式组的求解.由已知可得_lt;__lt;1,故应选B.3.(理)A 【解析】本题考查了指数函数与二次函数的复合函数的反函数的求解.由-1≤__lt;0,得_2-1∈(-1,0],y=∈(,1].又_2=log3y+1(-1≤__lt;0),∴_=-,即函数y= (-1≤__lt;0)的反函数是y=-(_lt;_≤1),应选A.4.(理)B 【解析】本题考查了对数函数与二次函数的复合函数的单调性及字母参数的取值范围的求解问题.由0_lt;sin1_lt;1,可知y=logsin1u在(0,+∞)上为减函数,∵f(_)=logsin1(_2-6_+5)在(a,+∞)上是减函数,∴函数u=_2-6_+5在(a,+∞)上必为增函数,而u=_2-6_+5在(5,+∞)上是增函数,∴a≥5,故应选B.5.(理)B 【解析】本题考查了空间平行与垂直的关系的逻辑论证,考查了考生空间想象能力及解决问题的能力.可以利用实物模型虚拟直线与平面,替代摸不到的平面与直线,可简化思维,如B选项α∥β,m⊥α可得m⊥β,又n∥β,则必有m⊥n,应选B,其余选项均可排除.6.(理)D 【解析】本题考查了空间平行与垂直的关系及充要条件的逻辑论证,考查了考生空间想象能力及逻辑推理能力.〝必要但非充分条件是〞指的是可由条件〝m∥n〞推证得ABCD选项中的一个选项中的一个,但反之不成立,由此可得仅D正确.7.(理)C 【解析】本题以正方体为载体,考查了直线与平面所成角的角度求解问题,考查空间想象能力及空间几何体的构建能力.取AD中点F,交AC于点M,连接MC,则EF⊥AC,EF⊥A1A,得EF⊥面ACC1A1.∴∠EC1M就是直线C1E与平面ACC1A1所成角,设正方体棱长为4,则EM=2sin45°=,MC=AC-AM=,∴MC1=,ta n∠EC1M=,故应选C.8.(理)C 【解析】本题考查了直线与圆的位置关系及直线方程.圆方程在解题中的相互关系的转化与处理.设直线的方程为_-y+a=0,由直线与圆_2+y2=2相切,则有,解之得a=±2,故应选C.9.(理)D 【解析】本题考查了抛物线及椭圆的标准方程,圆锥曲线的基本量的关系式及字母参数值的求解.椭圆=1的右焦点坐标为(2,0),抛物线y2=2p_的焦点坐标为(,0)),∴=2,即p=4,故应选D.10.(理)A 【解析】本题考查了双曲线与抛物线的标准方程,圆锥曲线的基本量的关系式及字母参数值的求解.抛物线y2=-6_的准线方程为_=,则双曲线-y2=1(a_gt;0)的右准线方程为_=解之得a2=3或a2=-(舍去).∴e=.故应选A.11.(理)C 【解析】本题考查了二项式定理及二项式展开式的通项公式,无理项及有理项的项数求解问题.二项式()24展开式的通项公式为,其中r=0,1,2,…24.当r=0,6,12,18,24时其_的幂的指数是整数,即共有5项,故应选C.12.(理)D 【解析】本题考查了排列组合的应用,考查了考生灵活应用所学的知识分析与处理问题的能力.将显示的三个孔插入其余的4个不显示的孔中间及左右的5个空中有=10种插法,每个小孔均有显示0或1两种显示方法,则不同的显示信号数为10_2_2_2=80种,故应选D.13.(理)C 【解析】本题考查了无穷等比数列的前n项和公式,极限的运算法则及其不等式的解法问题.由,解得q=1-4a1,∵q_lt;1且q≠0,可得,1-4a1_lt;1且1-4a1≠0,解之得a1∈(0,)∪(,),故应选C.14.(理)B 【解析】本题考查了复合函数的定义域的求解模式及其最值的求法,考查了考生对基础知识及方法的掌握情况.y=[f(_)]2+f(_2)=[2+log3_]2+2+log3_2=[log3_]2+6log3_+6=[log3_+3]2-3(即1≤_≤3)∵log3_∈[0,1],∴当log3_=1,即_=3时,yma_=16-3=13,故应选B.二.填空题(每小题5分,共40分)15.(理)1 【解析】本题考查了集合的子集关系及集合中元素的特征.由BA可得m2=2m-1,解之得m=1.16.【解析】本题考查了分段函数概念及其意义,其函数值的求解问题.g[g()]=g[ln]=.17.(理)m≤0或m≥1【解析】本题考查了复合命题的真假判断及字母取值范围的逻辑判断与求解.由关于_的不等式m_2+1_gt;0的解集是R,知命题①是真命题.而由结论知两个命题中有且只有一个是真命题可得命题②为假命题,即得m≤0或m≥1.18.(理)左, 【解析】本题考查了函数图像的平移及自抽象函数的解析式的变量特征.在左右平移的过程中变量的量仅为_,与前面的系数是无关的.∵y=3f(2_+)=3f[2(_+)],∴只须将函数y=3f(2_)的图像向左平移个单位即可得到函数y=3f(2_+)的图像.19.60°【解析】本题以正方形的折叠为背景,考查了异面直线所成角问题.如上图所示,分别取AC.AB.BD边的中点O.E.F,连接DO.BO.EO.FO.EF,则有EF∥AD,OE∥BC∴∠FEO就是直线AB与CD所成的角.设正方形边长为2a,则DO=BO=,且DO⊥AC,BO⊥AC即∠DOB为二面角D-AC-B所成的角,由于DB=2a可得DO⊥BO,∴OF=DB=a=EF=EO,即得∠FEO=60°,即得直线AB与CD所成的角的大小为60°.20.(理) 【解析】本题考查了直线与椭圆的位置关系及中点弦问题的求解策略,考查了考生对〝设而不求法〞的掌握.设A(_1,y1),B(_2,y2),则a_12+by12=1 ①,a_22+by22=1②,①-②式可得a(_1-_2)(_1+_2)+b(y1-y2)(y1+y2)=0,从而得.21.400 0.25 【解析】本题考查了排列组合在投球入盒问题中的应用,相互独立事件同时发生的概率的事件的分析与概率的求解.从A箱中取出3个球有=20种取法,再从B箱中取出3个球有=20种取法,故共有20_20=400种不同的取法.红球由A箱中取出的概率为,再从B箱中取回红球的概率为.则红球由A箱移入到B箱,再返回到A箱的概率等于P(A·B)=P(A)·p(B)==0.25.22.①②④【解析】本题以开放题形式出现,全面地考查了抽象函数的周期性.奇偶性.单调性.函数图像的对称性等性质的探究,由f(_+1)=-f(_),可得f(_+2)=-f(_+1)=-[-f(_)]=f(_),∴f(_)是周期函数,且2是其一个周期,∴f(2)=f(0).即得①④正确;∵f(_)为偶函数,∴f(-_)=f(_)=f(_+2),∴f(_)的图像关于直线_=1对称,即得②正确;∴f(_)为偶函数,且在[-1,0]上是增函数,∴f(_)在[0,1]上是减函数,即得③错误.故应填①②④.三.解答题23.(理)(1)解:函数f(_)的值域为(-1,+∞),由y=2_-1得_=log2(y+1),所以f-1(_)=log2(_+1)(__gt;-1) (2分)任取-1_lt;_1_lt;_2,f-1(_1)-f-1(_2)=log2(_1+1)-log2(_2+1)-log2=由-1_lt;_1_lt;_2得0_lt;_1+1_lt;_2+1,因此0_lt;_lt;1得log2_lt;0所以f-1(_1)_lt;f-1(_2)故f-1(_)在(-1,+∞)上为单调增函数.(5分)(2)f-1(_)≤g(_)即log2(_+1)≤log4(3_+1)(7分)解之得0≤_≤1,所以D=[0,1] (9分)(3)H(_)=g(_)-f-1(_)=log4(3_+1)-log2(_+1)=(10分)由0≤_≤1得1≤3-≤2,所以0≤log2(3-)≤ (12分)因此函数H(_)的值域为[0,] (13分)24.(理)(1)用直接法或定义法求得点P轨迹方程为y2=2_,表示以原点为顶点,对称轴为_轴,开口向右的一条抛物线.(6分)(2)当直线l的斜率不存在时,由题设可知直线l的方程是_=,联立_=与y2=2_可求得A(),B(),不符合=0 (7分)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k_+b(k≠0,b≠0),联立y=k_+b与y2=2_,化简得ky2-2y+2b=0 (9分)设A(_1,y1),B(_2,y2),则y1y2==0_1_2+y1y2=0+y1y2=0y1y2+4=0+4=0b+2k=0 ①(11分)又O到直线l距离为得②(12分)联立①②解得k=1,b=-2或k=-1,b=2,所以直线l的方程为y=_-2或y=-_+2(13分)25.(理)解:(1)记路段MN发生堵车事件为MN.因为各路段发生堵车事件都是独立的,且在同一路段发生堵车事件最多只有一次,所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P1为1-P()=1-P()·P()·P()=1-[1-P(AC)][1-P(CD)][1-P(DB)]=1-;(3分)同理:路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P2为1-P()=(小于)(4分)路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P3为1-P()=(大于) (5分)显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小,只可能在以上三条路线中选择.因此选择路线A→C→F→B,可使得途中发生堵车事件的概率最小.(6分) (2)路线A→C→F→B中遇到堵车次数ξ可取值为0,1,2,3.(7分)P(ξ=0)=P()=.(8分)P(ξ=1)=P(AC·)+P(·CF·)+P()=(10分)P(ξ=2)=P(AC·CF·)+P(AC··FB)+P(·CF·FB)(12分)P(ξ=3)=P(AC·CF·FB)=,∴Eξ=0_+1_答:路线A→C→F→B中遇到堵车次数的数学期望为. (14分)26.(理)解:(1)若BC边上存在点Q,使PQ⊥QD,因PA⊥面ABCD知AQ⊥QD.(2分)矩形ABCD中,当a_lt;2时,直线BC与以AD为直径的圆相离,故不存在点Q使AQ⊥QD,(3分)故仅当a≥2时才存在点Q使PQ⊥QD;(4分)(2)当a=2时,以AD为直径的圆与BC相切于Q,此时Q是唯一的点使∠AQD为直角,且Q为BC的中点.作AH⊥PQ于H,可证∠ADH为AD与平面PDQ所成的角,且在Rt△PAQ中可求得sin∠ADH=(9分)(3)作AG⊥PD于G,可证∠AGH为二面角Q-PD-A的平面角,且在Rt△PAD中可求得sin∠AGH=(14分)。