北京四中数学必修一【知识讲解】1.3奇偶性(基础)

函数的奇偶性1.偶函数: 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数.奇函数: 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)就叫奇函数.奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称判断函数的奇偶性,包括两个必备条件:一是定义域关于原点对称,先考虑定义域是解决问题的前提，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的条件；二是判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：(1)首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；(2)确定f(－x)与f(x)的关系；(3)作出相应结论．说明：根据奇偶性,函数可划分为四类：①偶函数②奇函数③既奇又偶函数④非奇非偶函数2.奇函数的性质：○1定义域关于原点对称；○2f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0；○3图象关于原点对称；○4在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；○5如果0在f(x)的定义域内，则一定有f(0)=0偶函数的性质：○1定义域关于原点对称；○2f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0；○3图象关于y轴对称；○4在关于原点对称的区间上具有相反的单调性；○5如果一个函数既是奇函数有是偶函数,那么有f(x)=03.判断函数的奇偶性为什么要判断定义域在x轴上所示的区间是否关于原点对称呢？答：由定义知，若x是定义域内的一个元素，－x也一定是定义域内的一个元素，所以函数y＝f(x)具有奇偶性的一个必不可少的条件是：定义域在x轴上所示的区间关于原点对称．即：如果所给函数的定义域在x轴上所示的区间不是关于原点对称，这个函数一定不具有奇偶性．例如：函数f(x)＝x3在R上是奇函数，但在[－2,1]上既不是奇函数也不是偶函数．4.函数奇偶性的判断：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件。

数学高一奇偶性知识点奇偶性，作为数学中的基础知识点，贯穿了数学的方方面面。

它不仅在数学的计算中起到了重要作用，还在现实生活和其他学科中有着广泛的应用。

本文将围绕着数学高一阶段的奇偶性知识点展开讨论，深入探究其在不同数学概念中的运用和意义。

首先，我们从基本的奇偶数的概念入手。

奇数是指不能被2整除的自然数，而偶数则恰恰相反。

这是在小学阶段就已经学习过的内容，但对于高一阶段的学生来说依然是一个基础知识。

在计算过程中，我们常常需要根据奇偶性进行分类讨论，来获得更准确的结果。

例如，在解方程的过程中，我们可以利用奇偶性来简化计算，从而提高解题效率。

在代数中，奇偶性也有着重要的应用。

首先，我们可以利用奇偶性来判断多项式的奇偶性。

对于一个多项式来说，如果每一项的次数都是偶数，那么这个多项式是一个偶函数；如果每一项的次数都是奇数，那么这个多项式是一个奇函数。

通过观察多项式的奇偶性，我们可以更加深入地了解其性质，进而为解题提供更多的线索。

此外，奇偶性也在函数的图像中有着重要的表现。

根据函数的奇偶性，我们可以知道函数图像关于哪个轴对称。

对于偶函数来说，其图像关于y轴对称；对于奇函数来说，其图像关于原点对称。

这种对称性不仅在理论上有着重要意义，也方便我们快速绘制函数的图像。

除了在代数中的应用，奇偶性在解几何题中也有着独特的价值。

在判断图形的对称性时，我们可以利用奇偶性进行分析。

例如，在研究二维图形的对称性时，我们可以通过观察图形的奇偶性来判断其是否有对称轴。

这种方法有助于我们快速判断图形的特征，并提供解题思路。

在概率论中，奇偶性也被广泛运用。

在进行排列组合的计算时，我们可以利用奇偶性来简化问题。

例如，在计算行列式的值时，我们可以通过调整行列式中的元素，使其具有更明显的奇偶性质，从而简化计算，得出更快速的结果。

此外，在数学的其他学科中，奇偶性也有着重要的应用。

在数论中，奇偶性是研究数字性质的重要工具。

在统计学中，奇偶性有助于进行数据的分类和分析。

高一数学奇偶性知识点高中数学中，奇偶性是一个重要的概念。

了解数的奇偶性可以在解题过程中提供便利，因此理解和掌握数的奇偶性知识点对于高一数学学习者来说至关重要。

本文将介绍高一数学中常见的奇偶性知识点，帮助学生更好地理解和应用这些知识。

一、奇数和偶数的基本概念在开始探讨更深入的奇偶性知识之前，我们先来回顾一下奇数和偶数的基本概念。

奇数是指不能被2整除的整数，偶数则恰好相反，是可以被2整除的整数。

我们可以用一个简单的公式来表示奇数和偶数：奇数：2n + 1 (n为整数)偶数：2n (n为整数)其中，n为任意整数，通过这个公式，我们可以得到所有的奇数和偶数。

二、整数性质与奇偶性的关系整数有一些特殊的性质与奇偶性密切相关。

下面介绍几个常见的性质：1. 两个奇数的和是偶数，两个偶数的和也是偶数；2. 一个奇数和一个偶数的和是奇数；3. 两个奇数的乘积是奇数，两个偶数的乘积是偶数；4. 一个奇数和一个偶数的乘积是偶数。

这些性质在解题过程中经常会被用到，同学们需要熟练掌握。

三、口诀“差奇和偶，乘偶和偶”在解题中的应用为了更好地应用奇偶性知识进行解题，我们可以借助一个简单的口诀：“差奇和偶，乘偶和偶”。

该口诀的含义是，两个数相减，若一个奇数一个偶数，则差为奇数；两个数相乘，若其中有一个数为偶数，则乘积为偶数。

通过使用这个口诀，我们可以在解答一些题目时迅速判断结果的奇偶性，从而节省时间和提高效率。

四、数列中的奇偶性在数列中，奇偶性也是一个重要的概念。

我们来看看一些常见的数列奇偶性规律：1. 交替数列：每一项与前一项的奇偶性相反。

比如：1，-2，3，-4，5，-6...2. 连续奇数数列：首项为奇数，公差为2。

3. 连续偶数数列：首项为偶数，公差为2。

通过了解数列中的奇偶性规律，我们可以更好地理解和分析数列，从而在解答与数列相关的问题时更加得心应手。

五、概率问题中的奇偶性在概率问题中，奇偶性也扮演着重要的角色。

考虑以下两个例子：1. 抛掷硬币：抛一枚公正的硬币，正面和反面的概率都是1/2。

辅导讲义――函数的奇偶性[例1] 下面四个结论中，错误有____________（填序号）①偶函数的图象一定与x 轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于原点对称；[巩固1] 已知函数f(x)为偶函数，则函数f(x-1)有（ ）.A.对称轴y 轴B.对称中心（0，0）C. 对称轴x=1D. 对称中心（1，0）[巩固2] 已知函数f (x )=x 2+2mx+1是偶函数，则m=_________；[例2] 设偶函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集是________．[巩固1] 已知函数f(x)是定义在（-3，3）上的奇函数，当0<x <3时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(-x )•x>0的解集 是__________________.[巩固2]若定义在[-1，1]上的两个函数f(x)，g(x)分别是偶函数和奇函数，且它们在[0，1]上图象如图所示，则不等式0)()(<x g x f 的解集是___________________.（例2） （巩固1） （巩固2）1、定义法：①先判断函数的定义域是不是关于原点对称；②判断f (-x )= f (x )或f (-x )=- f (x )是否成立；③若f (-x )= f (x )，则f (x )为偶函数；若f (-x )=- f (x )，则f (x )为奇函数；若f (-x )= f (x )且f (-x )=- f (x )，则f (x )既是奇函数又是偶函数,即f (x )=0，x ∈D ，D 关于原点对称； 若f (-x )≠f (x )且f (-x )≠- f (x )，则f (x )为非奇非偶函数.[例1]判断下列函数是否具有奇偶性.1、3)(2-=x x f2、11)(-+-=x x x f3、1)1)(1(2---=x x x y 4、 233)(x x x f -=知识模块3函数奇偶性的判断方法精典例题透析[巩固1]判断下列函数的奇偶性.1、11)(22-+-=xxxf2、xxxxf-+•-=11)1()(3、)0()(≠=aaxf4、11)(-++=xxxf2、图像法：奇（或偶）函数的充要条件就是它的图象关于原点（或y轴）对称；且在判断奇函数的时候，一定要注意在函数在原点处有无意义，如果有意义，则f(0)=0.[例1]下列图象表示的函数中具有奇偶性的是（）[巩固1] 画出下列函数的函数图象，并判断它们的奇偶性.（1）1)(2-=xxf；（2）3)(xxf=；（3）xxxf-=2)(.根据函数奇偶性的定义，判断一次函数、二次函数、反比例函数以及常数函数的单调性.奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称，即我们只需把（0，+∞）上函数的图象和性质讨论清楚，就可以知道函数在（-∞，0）上的图象及性质.奇偶函数图象的对称性可做如下推广：（表中a，b，c为常数）f(x)在定义域内恒满足y= f(x)的图象关于_____对称f(a+x)= f(a-x)直线x=a精典例题透析知识模块4奇偶函数的对称性10。

1．函数的奇偶性(1)奇偶性的定高中数学函数的奇偶性(解析版)义奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数关于原点对称(2)函数奇偶性常用结论结论1：如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有意义，那么f (0)＝0．结论2：如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (－x )＝f (|x |)．结论3：若函数y ＝f (x ＋b )是定义在R 上的奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b ，0)中心对称．结论4：若函数y ＝f (x ＋a )是定义在R 上的偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．结论5：已知函数f (x )是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f (x )＋f (－x )＝0．特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0．推论1：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (－x )＋g (x )＝2c ．推论2：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (x )max ＋g (x )min ＝2c ．结论6：在公共定义域内有：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇±偶＝非奇非偶；奇)(÷⨯奇＝偶，偶)(÷⨯偶＝偶，奇)(÷⨯偶＝奇．结论7：若函数f (x )的定义域关于原点对称，则函数f (x )能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记g (x )＝12[f (x )＋f (－x )]，h (x )＝12[f (x )－f (－x )]，则f (x )＝g (x )＋h (x )．结论8：奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．结论9：偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．结论10：复合函数y ＝f [g (x )]的奇偶性：内偶则偶，两奇为奇．结论11：指数型函数的奇偶性(1)函数f (x )＝a x ＋a －x (a >0且a ≠1)是偶函数；(2)函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)是奇函数；(3)函数f (x )＝a x ＋1a x －1(a >0且a ≠1)是奇函数；(4)函数f (x )＝a x －a －x a x ＋a －x ＝a 2x ＋1a 2x－1(a >0且a ≠1)是奇函数；结论12：对数型函数的奇偶性(1)函数f (x )＝log a m －x m ＋x (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a m ＋xm －x (a >0且a ≠1)是奇函数；(2)函数f (x )＝log a x －m x ＋m (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a x ＋mx －m (a >0且a ≠1)是奇函数；(3)函数f (x )＝log a mx －b mx ＋b (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a mx ＋bmx －b(a >0且a ≠1)是奇函数；(4)函数f(x)＝log a(1＋m2x2±mx)(a>0且a≠1)是奇函数．2．函数的对称性(奇偶性的推广)(1)函数的轴对称定理1：如果函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＝f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0（y轴）对称，就是偶函数的定义，它是上述定理1的简化．(2)函数的点对称定理2：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于原点(0，0)对称，就是奇函数的定义，它是上述定理2的简化．(3)两个等价关系若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三式成立且等价：f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(2a－x)＝f(x)⇔f(2a＋x)＝f(－x)若函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称，则以下三式成立且等价：f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(2a－x)＝－f(x)⇔f(2a＋x)＝－f(－x)考点一判断函数的奇偶性【方法总结】判断函数的奇偶性：首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系作出判断．分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．用函数奇偶性常用结论6或特值法可秒杀．【例题选讲】[例1](1)下列函数为偶函数的是()A．y＝B．y＝x2＋e|x|C．y＝x cos x D．y＝ln|x|－sin x答案B解析对于选项A，易知y＝tan B，设f(x)＝x2＋e|x|，则f(－x)＝(－x)2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f(x)，所以y＝x2＋e|x|为偶函数；对于选项C，设f(x)＝x cos x，则f(－x)＝－x cos(－x)＝－x cos x＝－f(x)，所以y＝x cos x为奇函数；对于选项D，设f(x)＝ln|x|－sin x，则f(2)＝ln2－sin 2，f(－2)＝ln2－sin(－2)＝ln2＋sin2≠f(2)，所以y＝ln|x|－sin x为非奇非偶函数，故选B．(2)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A．y＝x＋sin2x B．y＝x2－cos x C．y＝2x＋12xD．y＝x2＋sin x 答案D解析对于A，定义域为R，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；对于C，定义域为R，f(－x)＝2－x＋12－x＝2x＋12x＝f(x)，为偶函数；对于D，y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数．(3)设函数f(x)＝e x－e－x2，则下列结论错误的是()A．|f(x)|是偶函数B．－f(x)是奇函数C．f(x)|f(x)|是奇函数D．f(|x|)f(x)是偶函数答案D解析∵f(x)＝e x－e－x2，则f(－x)＝e－x－e x2＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数．(4)已知f(x)＝4－x2，g(x)＝|x－2|，则下列结论正确的是()A．h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数B．h(x)＝f(x)·g(x)是奇函数C．h(x)＝g(x)·f(x)2－x是偶函数D．h(x)＝f(x)2－g(x)是奇函数答案D解析h(x)＝f(x)＋g(x)＝4－x2＋|x－2|＝4－x2＋2－x，x∈[－2,2]．h(－x)＝4－x2＋2＋x≠h(x)，且h(－x)≠－h(x)，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．B．h(x)＝f(x)·g(x)＝4－x2|x－2|＝4－x2(2－x)，x∈[－2,2]．h(－x)＝4－x2(2＋x)≠h(x)，且h(－x)≠－h(x)，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．C．h(x)＝g(x)·f(x)2－x＝4－x2，x∈[－2，2)，定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数．D．h(x)＝f(x)2－g(x)＝4－x2x，x∈[－2，0)∪(0，2]，是奇函数．(5)已知函数f(x)满足f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，则以下四个选项一定正确的是()A．f(x－1)＋1是偶函数B．f(x－1)－1是奇函数C．f(x＋1)＋1是偶函数D．f(x＋1)－1是奇函数答案－12解析法一：因为f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，所以f(x)＋f(2－x)＝2，所以函数y＝f(x)的图象关于点(1，1)中心对称，而函数y＝f(x＋1)－1的图象可看作是由y＝f(x)的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，所以函数y＝f(x＋1)－1的图象关于点(0，0)中心对称，所以函数y＝f(x＋1)－1是奇函数，故选D．法二：由f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，得f(x＋1)－1＋f(－x＋1)－1＝0，令F(x)＝f(x＋1)－1，则F(x)＋F(－x)＝0，所以F(x)为奇函数，即f(x＋1)－1为奇函数，故选D．【对点训练】1．下列函数为奇函数的是()A．f(x)＝x3＋1B．f(x)＝ln1－x1＋xC．f(x)＝e x D．f(x)＝x sin x1．答案B解析对于A，f(－x)＝－x3＋1≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于B，f(－x)＝ln1＋x1－x＝－ln 1－x 1＋x＝－f(x)，所以其是奇函数；对于C，f(－x)＝e－x≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于D，f(－x)＝－x sin(－x)＝x sin x＝f(x)，所以其不是奇函数．故选B．2．函数f(x)＝9x＋13x的图象()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于坐标原点对称D．关于直线y＝x对称2．答案B解析因为f(x)＝9x＋13x＝3x＋3－x，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称．3．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是()A．y＝2|x|B．y＝lg(x＋x2＋1)C．y＝2x＋2－x D．y＝lg1x＋13．答案D解析对于D项，1x＋1>0，即x>－1，其定义域关于原点不对称，是非奇非偶函数．4．已知f(x)＝x2x－1，g(x)＝x2，则下列结论正确的是()A．f(x)＋g(x)是偶函数B．f(x)＋g(x)是奇函数C．f(x)g(x)是奇函数D．f(x)g(x)是偶函数4．答案A解析令h(x)＝f(x)＋g(x)，因为f(x)＝x2x－1，g(x)＝x2，所以h(x)＝x2x－1＋x2＝x·2x＋x2(2x－1)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．因为h(－x)＝－x·2－x－x2(2－x－1)＝x(1＋2x)2(2x－1)＝h(x)，所以h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数，令F(x)＝f(x)g(x)＝x22(2x－1)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．所以F(－x)＝(－x)22(2－x－1)＝x2·2x2(1－2x)，因为F(－x)≠F(x)且F(－x)≠－F(x)，所以F(x)＝g(x)f(x)既不是奇函数也不是偶函数．5．设f(x)＝e x＋e－x，g(x)＝e x－e－x，f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是() A．|g(x)|是偶函数B．f(x)g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是偶函数D．f(x)＋g(x)是奇函数5．答案D解析f(－x)＝e－x＋e x＝f(x)，f(x)为偶函数．g(－x)＝e－x－e x＝－g(x)，g(x)为奇函数．|g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；f(－x)g(－x)＝f(x)[－g(x)]＝－f(x)g(x)，所以f(x)g(x)为奇函数，B正确；f(－x)|g(－x)|＝f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是偶函数，C正确；f(x)＋g(x)＝2e x，f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠－(f(x)＋g(x))，且f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠f(x)＋g(x)，所以f(x)＋g(x)既不是奇函数也不是偶函数，D错误，故选D．6．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是() A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数6．答案C解析对于A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错．对于B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错．对于C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确．对于D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，D错．考点二已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值【方法总结】已知函数的奇偶性求函数解析式中参数的值：常常利用待定系数法，由f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或对方程求解．对于选填题可用特值法进行秒杀．【例题选讲】[例2](1)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________．答案1解析f(x)为偶函数，则y＝ln(x＋a＋x2)为奇函数，所以ln(x＋a＋x2)＋ln(－x＋a＋x2)＝0，则ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1．(2)已知函数f(x)＝2×4x－a2x的图象关于原点对称，g(x)＝ln(ex＋1)－bx是偶函数，则log a b＝()A．1B．－1C．－12D．14答案B解析由题意得f(0)＝0，∴a＝2.∵g(1)＝g(－1)，∴ln(e＋1)－b＝ln(1e＋1)＋b，∴b＝12，∴log212＝－1．故选B．(3)若函数f(x)－1，0<x≤2，1，－2≤x≤0，g(x)＝f(x)＋ax，x∈[－2，2]为偶函数，则实数a＝答案－12解析因为f (x )－1，0<x ≤2，1，－2≤x ≤0，所以g (x )＝f (x )＋ax －1，－2≤x ≤0，1＋a )x －1，0<x ≤2，因为g (x )－1，－2≤x ≤0，＋a )x －1，0<x ≤2为偶函数，所以g (－1)＝g (1)，即－a －1＝1＋a －1＝a ，所以2a ＝－1，所以a ＝－12．(4)已知函数f (x )＝a －2e x ＋1(a ∈R )是奇函数，则函数f (x )的值域为()A ．(－1，1)B ．(－2，2)C ．(－3，3)D ．(－4，4)答案A解析法一：由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，所以a －2e －x ＋1＝－a ＋2e x ＋1，得2a ＝2e x＋1＋2e －x ＋1，所以a ＝1e x ＋1＋e x e x ＋1＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1．因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1，1)．法二：函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝a －1＝0，即a ＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1．因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1，1)．(5)已知f (x )是奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝－e ax ，若f (ln 2)＝8，则a ＝________．答案－3解析当x ＞0，－x ＜0，f (－x )＝－e－ax．因为f (x )是奇函数，所以当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝e－ax，所以f (ln 2)＝e－a ln2＝(e ln 2)－a ＝2－a ＝8．解得a ＝－3．【对点训练】7．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.7．答案－32解析函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln(1＋e 3x )－ln e 3x －ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，即－3x －ax ＝ax ，所以2ax ＋3x ＝0恒成立，所以a ＝－328．若函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，则a 的值为________．8．答案12解析解法1：因为函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即(－x )3(12－x －1＋a )＝x 3(12x －1＋a )，所以2a ＝－(12－x －1＋12x －1)，所以2a ＝1，解得a ＝12.解法2：因为函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，所以f (－1)＝f (1)，所以(－1)3×(12－1－1＋a )＝13×(121－1＋a )，解得a ＝12，经检验，当a ＝12时，函数f (x )为偶函数．9．函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 3为奇函数，则a ＝________．9．答案－1解析由题意得f (－1)＋f (1)＝0，即2(a ＋1)＝0，解得a ＝－1，经检验，a ＝－1时，函数f (x )为奇函数．10．已知奇函数f (x )x ＋a ，x ＞0，－2－x，x ＜0，则实数a ＝________．10．答案－4解析因为函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，f (－1)＝－f (1)，所以4－21＝－(21＋a )，解得a ＝－4．11．已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝()A ．17B ．－1C ．1D ．711．答案A解析因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝17.又因为f (x )为偶函数，所以b ＝0，即a ＋b ＝17．故选A ．12．若函数f (x )＝ax ＋b ，x ∈[a －4，a ]的图象关于原点对称，则函数g (x )＝bx ＋ax ，x ∈[－4，－1]的值域为________．12．答案－2，－12解析由函数f (x )的图象关于原点对称，可得a －4＋a ＝0，即a ＝2，则函数f (x )＝2x ＋b ，其定义域为[－2，2]，所以f (0)＝0，所以b ＝0，所以g (x )＝2x ，易知g (x )在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g (－1)，g (－4)]，即－2，－12．考点三已知函数的奇偶性，求函数的值【方法总结】已知函数的奇偶性求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．【例题选讲】[例3](1)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝____．答案12解析∵x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，且f (x )在R 上为奇函数，∴f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12．(2)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (1)＝________．答案52解析由题意知f (0)＝20＋2×0＋b ＝0，解得b ＝－1．所以当x ≤0时，f (x )＝2x ＋2x －1，所以f (1)＝－f (－1)＝－[2－1＋2×(－1)－1]＝52(3)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )3(x ＋1)，x ≥0，(x )，x <0，，则g (－8)＝()A ．－2B ．－3C ．2D ．3答案A解析法一当x <0时，－x >0，且f (x )为奇函数，则f (－x )＝log 3(1－x )，所以f (x )＝－log 3(1－x )．因此g (x )＝－log 3(1－x )，x <0，故g (－8)＝－log 39＝－2．法二由题意知，g (－8)＝f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2．【对点训练】13．若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－1，则f (－6)＝()A ．2B ．4C ．－2D ．－413．答案C解析根据题意得f (－6)＝－f (6)＝1－log 2(6＋2)＝1－3＝－2．14．已知函数f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝ln x ，则21(())f f e 的值为________．14．答案ln 2解析由已知可得21(f e ＝ln 1e 2＝－2，所以21((f f e＝f (－2)．又因为f (x )是偶函数，所以21(())f f e ＝f (－2)＝f (2)＝ln 2．15．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)＝()A ．－6B ．6C ．4D ．－415．答案D解析因为f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m ，所以f (0)＝1＋m ＝0⇒m ＝－1，则f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4．16．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )3x ＋1，x ≥0，x ，x ＜0，则g (f (－8))＝()A ．－1B ．－2C ．1D ．216．答案A解析因为f (x )为奇函数，所以f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2，所以g (f (－8))＝g (－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1．考点四已知函数的奇偶性，求函数的解析式【方法总结】已知函数的奇偶性求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．对于奇函数可在x 以及解析式前同时加负号，对于偶函数可在x 前加负号进行秒杀．【例题选讲】[例4](1)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x ＜0时，f (x )＝()A ．e －x －1B ．e －x ＋1C ．－e －x －1D ．－e －x ＋1答案D 解析通解：依题意得，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(e －x －1)＝－e －x ＋1，选D ．优解：依题意得，f (－1)＝－f (1)＝－(e 1－1)＝1－e ，结合选项知，选D ．(2)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则f (x )＝________．答案－x －1－x ，x ≤0x －1＋x ，x ＞0解析当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝e x －1＋x ，又f (－x )＝f (x )，因此f (x )＝e x －1＋x ．所以f (x )－x －1－x ，x ≤0x －1＋x ，x ＞0．(3)若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝()A ．e x －e －xB ．12(e x ＋e －x )C ．12(e －x －e x )D ．12(e x －e －x )答案D解析因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x ，所以g (x )＝12(e x －e －x )．【对点训练】17．已知f (x )是奇函数，且x ∈(0，＋∞)时的解析式是f (x )＝－x 2＋2x ，若x ∈(－∞，0)，则f (x )＝________．17．答案x 2＋2x解析由题意知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，所以f (－x )＝－(－x )2＋2×(－x )＝－x 2－2x ＝－f (x )，所以f (x )＝x 2＋2x ．18．函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝()A ．－2xB ．2－xC ．－2－xD ．2x18．答案C解析当x >0时，－x <0，∵x <0时，f (x )＝2x ，∴当x >0时，f (－x )＝2－x ．∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x ．19．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________．19．答案2－4x ，x ＞0x 2－4x ，x ≤0解析∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0．又当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝x 2＋4x ．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x (x ＜0)，∴f (x )2－4x ，x ＞0，x 2－4x ，x ≤0.20．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为________．20．答案14解析法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x ．又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14．法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x －14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14．考点五与奇函数相关的函数的求值【方法总结】对于可表示成奇函数加常数的函数，如果已知一个数的函数值，求它的相反数的函数值或求两个相反数的函数值的问题，可用奇函数的结论5的推论1：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (－x )＋g (x )＝2c ，如果是涉及到函数的最大值与最小值的问题则可用推论2：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (x )max ＋g (x )min ＝2c 进行秒杀．【例题选讲】[例5](1)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋1(lg )2f 等于()A ．－1B ．0C ．1D ．2答案D解析设g (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＝f (x )－1，g (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )＝ln11＋9x 2－3x＝－g (x )．∴g (x )是奇函数，∴f (lg 2)－1＋1(lg 2f －1＝g (lg 2)＋1(lg )2g ＝0，因此f (lg 2)＋1(lg 2f ＝2．(2)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________．若g (10)＝2019，则g (－10)的值为()A ．－2219B ．－2019C ．－1919D ．－1819答案D解析由题意，因为f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴f (0＋0)＝f (0)＋f (0)＝f (0)，即f (0)＝0，令y ＝－x ，则有f (x －x )＝f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0，即f (－x )＝－f (x )，即f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋sin x ＋x 2，g (10)＝2019，则g (10)＝f (10)＋sin 10＋100＝2019，则g (－10)＝f (－10)－sin 10＋100＝－f (10)－sin 10＋100，两式相加得200＝2019＋g (－10)，得g (－10)＝200－2019＝－1819，故选D(4)已知函数f (x )＝a sin x ＋b ln 1－x1＋x＋t ，若1()2f ＋1()2f ＝6，则实数t ＝()A ．－2B ．－1C ．1D ．3答案D 解析令g (x )＝a sin x ＋b ln1－x1＋x ，则易知g (x )为奇函数，所以1(2g ＋1()2g -＝0，则由f (x )＝g (x )＋t ，得1()2f ＋1()2f -＝1()2g ＋1(2g -＋2t ＝2t ＝6，解得t ＝3．故选D ．(5)已知函数f (x )＝2|x |＋1＋x 3＋22|x |＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m 等于()A ．0B ．2C ．4D ．8答案C解析易知f (x )的定义域为R ，f (x )＝2·(2|x |＋1)＋x 32|x |＋1＝2＋x 32|x |＋1，设g (x )＝x 32|x |＋1，则g (－x )＝－g (x )(x ∈R )，∴g (x )为奇函数，∴g (x )max ＋g (x )min ＝0．∵M ＝f (x )max ＝2＋g (x )max ，m ＝f (x )min ＝2＋g (x )min ，∴M ＋m ＝2＋g (x )max ＋2＋g (x )min ＝4，故选C ．【对点训练】21．已知函数f (x )＝x ＋1x－1，f (a )＝2，则f (－a )＝________．21．答案－4解析法一：因为f (x )＋1＝x ＋1x ，设g (x )＝f (x )＋1＝x ＋1x ，易判断g (x )＝x ＋1x故g (x )＋g (－x )＝x ＋1x －x －1x＝0，即f (x )＋1＋f (－x )＋1＝0，故f (x )＋f (－x )＝－2．所以f (a )＋f (－a )＝－2，故f (－a )＝－4．法二：由已知得f (a )＝a ＋1a －1＝2，即a ＋1a ＝3，所以f (－a )＝－a －1a －11＝－3－1＝－4．22．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为()A ．3B ．0C ．－1D ．－222．答案B解析设F (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，显然F (x )为奇函数，又F (a )＝f (a )－1＝1，所以F (－a )＝f (－a )－1＝－1，从而f (－a )＝0．故选B ．23．对于函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋cx ＋1(a ，b ，c ∈R )，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)，f (－1)，所得出的正确结果可能是()A ．2和1B ．2和0C ．2和－1D ．2和－223．答案B解析设g (x )＝a sin x ＋bx 3＋cx ，显然g (x )为定义域上的奇函数，所以g (1)＋g (－1)＝0，所以f (1)＋f (－1)＝g (1)＋g (－1)＋2＝2，只有B 选项中两个值的和为2．24．已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg2))＝()A ．－5B ．－1C ．3D ．424．答案C解析设g (x )＝ax 3＋b sin x ，则f (x )＝g (x )＋4，且函数g (x )为奇函数．又lg(lg2)＋lg(log 210)＝lg(lg2·log 210)＝lg1＝0，所以f (lg(lg2))＋f (lg(log 210))＝2×4＝8，所以f (lg(lg2))＝3．故选C ．25．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝()A ．－3B ．－1C ．1D ．325．答案C解析用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1．故选C ．26．设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________．26．答案2解析显然函数f (x )的定义域为R ，f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )，∴g (x )为奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2．27．设函数f(x)＝(e x＋e－x)sin x＋t，x∈[－a，a]的最大值和最小值分别为M，N．若M＋N＝8，则t＝() A．0B．2C．4D．827．答案4解析设g(x)＝(e x＋e－x)sin x，x∈[－a，a]，因为g(x)是奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0，所以M＋N＝g(x)max＋g(x)min＋2t＝2t＝8，所以t＝4．28．若定义在[－2020，2020]上的函数f(x)满足：对任意x1∈[－2020，2020]，x2∈[－2020，2020]都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－2019，且x＞0时有f(x)＞2019，f(x)的最大值、最小值分别为M，N，则M＋N ＝()A．2019B．2020C．4040D．403828．答案D解析令x1＝x2＝0得f(0)＝2f(0)－2019，所以f(0)＝2019，令x1＝－x2得f(0)＝f(－x2)＋f(x2)－2019＝2019，所以f(－x2)＋f(x2)＝4038，令g(x)＝f(x)－2019，则g(x)max＝M－2019，g(x)min＝N －2019，因为g(－x)＋g(x)＝f(－x)＋f(x)－4038＝0，所以g(x)是奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0，即M－2019＋N－2019＝0，所以M＋N＝4038．29．已知函数f(x)＝(x2－2x)·sin(x－1)＋x＋1在[－1，3]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝() A．4B．2C．1D．029．答案A解析f(x)＝[(x－1)2－1]sin(x－1)＋x－1＋2，令t＝x－1，g(t)＝(t2－1)sin t＋t，则y＝f(x)＝g(t)＋2，t∈[－2，2]．显然M＝g(t)max＋2，m＝g(t)min＋2．又g(t)为奇函数，则g(t)max＋g(t)min＝0，所以M＋m＝4，故选A．30．若关于x的函数f(x)＋cos xt≠0)的最大值为a，最小值为b，且a＋b＝2，则t＝____．30．答案1解析f(x)＋cos x t＋t sin x＋x2x2＋cos x，设g(x)＝t sin x＋x2x2＋cos x，则g(x)为奇函数，g(x)max＝a－t，g(x)min＝b－t．∵g(x)max＋g(x)min＝0，∴a＋b－2t＝0，即2－2t＝0，解得t＝1．。

函数的奇偶性知识点总结本节主要知识点 （1）函数的奇偶性; （2）函数奇偶性的判定; （3）奇函数和偶函数的性质; （4）函数的奇偶性的应用. 知识点一 函数的奇偶性常见函数的奇偶性（1）二次函数和都是偶函数;()0)(2≠=a ax x f ()0)(2≠+=a c ax x f （2）正比例函数和反比例函数都是奇函数. ()0)(≠=k kx x f ()0)(≠=k xkx f 一个函数是奇函数或偶函数,我们就说这个函数具有奇偶性.对函数奇偶性定义的理解（1）注意定义中的的任意性,如果函数的定义域中存在,有,或x )(x f 0x )()(00x f x f ≠-,则函数不是偶函数或奇函数.)()(00x f x f -≠-)(x f （2）函数的奇偶性和单调性都是函数的重要性质.单调性是函数的局部性质,是研究函数值随自变量的变化趋势;而奇偶性是函数的整体性质,是研究函数的图象在整个定义域上的对称性.（3）偶函数和奇函数的定义域都是关于原点对称的,所以在判断一个函数的奇偶性时,要先确定函数的定义域,若定义域关于原点对称,则根据奇、偶函数的定义接着往下判断)(x f -与的关系;若定义域关于原点不对称,则函数既不是偶函数,也不是奇函数. )(x f 即判断函数的奇偶性仍然遵循“定义域优先”的原则.（4）如果函数是偶函数,则,若,则还有;如果)(x f 0)()(=--x f x f 0)(≠x f 1)()(=-x f x f 函数是奇函数,则,若,则还有. )(x f 0)()(=+-x f x f 0)(≠x f 1)()(-=-x f x f （5）既是偶函数,又是奇函数的函数只有一类,即,D ,且D 关于原点对称. 0)(=x f ∈x （6）偶函数的图象关于轴对称,反过来,图象关于轴对称的函数是偶函数;奇函数的图y y 象关于原点对称,反过来,图象关于原点对称的函数是奇函数.因此,对于比较容易画出图象的函数,我们可以利用图象法来判断函数的奇偶性. （7）若函数是偶函数,点在函数的图象上,则点,即)(x f ())(,a f a )(x f ())(,a f a --也在函数的图象上,点与点关于轴对称;())(,a f a -)(x f ())(,a f a ())(,a f a -y 若函数是奇函数,点在函数的图象上,则点,即)(x f ())(,a f a )(x f ())(,a f a --也在函数的图象上.点与点关于原点对称.())(,a f a --)(x f ())(,a f a ())(,a f a --★（8）如果函数在区间或上为偶函数或奇函数,则区间的两个端点互为相)(x f []b a ,()b a ,反数,即（因为这个区间关于原点对称）.0=+b a （9）特别说明,若函数是偶函数,则有. )(x f ()x f x f x f ==-)()(偶函数的图象特征若一个函数是偶函数,则这个函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形;反之,若一个函y 数的图象关于轴对称,则这个函数是偶函数.y 下面分别是函数和函数的图象,它们都是偶函数.4x y =1+=x y奇函数的图象特征若一个函数是奇函数,则这个函数的图象关于原点对称;反之,若一个函数的图象关于原点对称,则这个函数是奇函数. 下面分别是函数和对勾函数的图象,它们都是奇函数. x y 2=xx y 4+=知识点二 函数奇偶性的判定判断函数奇偶性的方法有三种:定义法、图象法和性质法. 用定义法判断函数的奇偶性（1）求 求函数的定义域,若定义域关于原点对称,则进行第（2）步;若定义域关于原点不对称,则函数是非奇非偶函数.（2）判 求出,然后根据与的关系,确定函数的奇偶性;)(x f -)(x f -)(x f ①若,或,或（）,则函数是偶)()(x f x f =-0)()(=--x f x f 1)()(=-x f x f 0)(≠x f )(x f 函数;②若,或,或（）,则函数是)()(x f x f -=-0)()(=+-x f x f 1)()(-=-x f x f 0)(≠x f )(x f 奇函数;③若,则函数是非奇非偶函数.)()(x f x f ±≠-)(x f 说明: 若要说明一个函数不是偶函数（或奇函数）,只需在函数定义域内找到一个数,有a （或）即可.(见后面的相关例题))()(a f a f ≠-)()(a f a f -≠-图象法判断函数的奇偶性对于容易画出图象的函数,若函数的图象关于轴对称,则它是偶函数;若函数的图象关于y 原点对称,则它是奇函数. 性质法判断函数的奇偶性两个在公共定义域上具有奇偶性的函数,它们的和与积所构成的函数的奇偶性为: 奇奇奇; 偶偶偶;（一奇一偶的和的单调性不能确定） +=+=奇奇偶; 偶偶偶; 奇偶奇. ⨯=⨯=⨯=知识点三 奇函数和偶函数的性质（1）定义域的对称性 奇函数和偶函数的定义域都关于原点对称;（2）图象的对称性 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于轴对称; y （3）单调性的“奇同偶异”性如果函数是奇函数,那么函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;如果)(x f )(x f 函数是偶函数,那么函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.简记为)(x f )(x f “奇同偶异”.函数的奇偶性与函数值及最值的关系与函数值的关系 当函数的自变量互为相反数时,偶函数的函数值相等,奇函数的函数值互为相反数.与最值的关系 奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数（其中一个是最大值,另一个是最小值）;偶函数在关于原点对称的区间上具有相同的最值. 复合函数的奇偶性对于复合函数,若为偶函数,则为偶函数;若为奇函数,则())(x g f )(x g ())(x g f )(x g 的奇偶性与的奇偶性相同.其中的定义域关于原点对称.())(x g f )(x f ())(x g f题型一 已知函数解析式用定义法判断函数的奇偶性例1. 判断下列函数的奇偶性:（1）; （2）; （3）.1)(23--=x x x x f x x x f 1)(-=22)(+--=x x x f 分析:例1中三个函数的解析式结构都比较简单,可以用定义法判断其奇偶性.先求出函数的定义域,若定义域关于原点对称,则继续往下判断;若定义域关于原点不对称,则函数是非奇非偶函数.解:（1）函数的定义域为,不关于原点对称,所以该1)(23--=x x x x f ()()+∞∞-,11, 函数是非奇非偶函数; （2）函数的定义域为,关于原点对称. xx x f 1)(-=()()+∞∞-,00, ∵ )(111)(x f x x x x x x x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=---=-∴该函数是奇函数;（3）函数的定义域为R ,关于原点对称.22)(+--=x x x f ∵ ()())(222222)(x f x x x x x x x f -=--+=---+-=+----=-∴该函数是奇函数. 例2. 判断函数（R ）的奇偶性. xax x f +=2)(∈a 分析:该函数的解析式里面含有参数,当参数影响到判断与的关系时,要a )(x f -)(x f 对参数进行分类讨论.x当时, 0=a 2)(x x f =∵())()(22x f x x x f ==-=-∴为偶函数; )(x f 当时,,且. 0≠a ())()(22x f x a x x a x x f ≠-=-+-=-xa x x f x f --=-≠-2)()(∴函数是非奇非偶函数.)(x f 综上所述,当时,函数为偶函数;当时,函数是非奇非偶函数. 0=a )(x f 0≠a )(x f 例3. 已知函数,R ,为实数,判断的奇偶性. 1)(2+-+=a x x x f ∈x a )(x f 分析:上面例2已经提到:对于含有参数的函数的奇偶性的判断,要充分考虑参数的不同取值情况,看是否会影响到与的关系,必要时要对参数进行分类讨论.)(x f -)(x f 在判断函数的奇偶性时,若在函数的定义域内能找到一个,使或a )()(a f a f ≠-,则函数就不是偶函数或减函数. )()(a f a f -≠-)(x f 解:由题意可知函数的定义域关于原点对称. )(x f 当时,. 0=a 11)(22++=+-+=x x a x x x f ∵())(11)(22x f x x x x x f =++=+-+-=-∴函数为偶函数;)(x f 当时,∵, 0≠a 1)(2+=a a f 12)(2++=-a a a f ∴,且 )()(a f a f ≠-1)()(2--=-≠-a a f a f ∴函数为非奇非偶函数.)(x f 综上所述,当时,函数为偶函数;当时, 函数既不是奇函数,也0=a )(x f 0≠a )(x f 不是偶函数.例4. 已知函数,其中为实数,判断函数的奇偶性. xax x f 1)(2+=a )(x fx当时,,函数为奇函数; 0=a xx f 1)(=)(x f 当时,∵ 0≠a ()xax x x a x f 11)(22-=-+-=-∴,且 )()(x f x f ≠-)()(x f x f -≠-∴函数既不是偶函数,也不是奇函数.)(x f 综上所述,当时, 函数为奇函数;当时,函数既不是偶函数,也0=a )(x f 0≠a )(x f 不是奇函数. 例5. 判断函数的奇偶性.1111)(22+++-++=x x x x x f 分析:该函数的解析式结构较为复杂,如果用定义法来判断其奇偶性,研究与)(x f -的关系时会比较困难,我们可以研究与的和、差、商,来进行奇偶)(x f )(x f -)(x f 性的判断.解:函数的定义域为R ,关于原点对称. )(x f ∵11111111)()(2222+++-++++-+--+=+-x x x x x x x x x f x f()()()()()()()()11111211211111111122222222222222=++++-+-+-++---+=++++-+--+++-+=x x x xx x x x x x x x x x x x x x ∴ )()(x f x f -=-∴函数为奇函数.)(x f 解法二:函数的定义域为R ,关于原点对称. )(x f 当时,;当时,0=x 0)(=x f 0≠x 0)(≠x f∵ ()()()()1111111111111111)()(22222222-+++-++++--+=+++-+++-+--+=-x xx xx x x x x x x x x x x x x f x f 1221211212222-=-=-+-+---+=xx x x x x x x ∴)()(x f x f -=-综上所述,函数为奇函数.)(x f 注意:的前提是. 1)()(-=-x f x f 0)(≠x f 题型二 分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性,可以用定义法,也可以用图象法.用定义法时,必须验证在每一段内都有或成立,而不能只验证一段解析式. )()(x f x f =-)(-)(x f x f =- 在判断时,要特别注意与的范围,然后选择合适的解析式代入.x x -总结 若,则,把代入上的解析式即可得到.[]b a x ,∈[]a b x --∈-,x -[]a b --,)(x f -例6. 判断函数的奇偶性.()()⎩⎨⎧>+<-=0,10,1)(x x x x x x x f 解:由题意可知,函数的定义域为,关于原点对称. )(x f ()()+∞∞-,00, 当时,0>x 0<-x ∴; ())(1)(x f x x x f -=+-=-当时,0<x 0>-x ∴. ())(1)(x f x x x f -=--=-综上所述,函数为奇函数.)(x f 例7. 函数,则【 】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-->+=0,1210,121)(22x x x x x f )(x f （A ）是奇函数（B ）是偶函数（C ）既不是奇函数,也不是偶函数 （D ）无法判断解:由题意可知函数的定义域为,关于原点对称. )(x f ()()+∞∞-,00, 当时, 0>x 0<-x ∴; ())(121121)(22x f x x x f -=--=---=-当时, 0<x 0>-x ∴. ())(121121)(22x f x x x f -=+=+-=-综上所述,函数是奇函数.选择【 A 】.)(x f 方法二:（图象法）,函数的图象如下图所示,其图象关于原点对称,所以函数)(x f 是奇函数.)(x f例8. 已知函数是奇函数,则_________.⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+-=0,0,00,2)(22x mx x x x x x x f =m 解:当时,0>x 0<-x ∴()mx x mx x x f -=--=-22)(∵函数是奇函数,∴ )(x f )()(x f x f -=-∴ ()x x x x mx x 22222-=+--=-∴.2=m 题型三 抽象函数奇偶性的判断例9. 已知函数,R ,若对于任意实数,都有.)(x f ∈x b a ,)()()(b f a f b a f +=+求证:为奇函数.)(x f 分析:该函数的定义域是关于原点对称的,所以只需要判断与的关系即)(x f -)(x f 可.考虑到,所以我们可以先求出的值. 0=+-x x )0(f 证明:由题意可知的定义域关于原点对称. )(x f 令0==b a ∵对于任意实数,都有 b a ,)()()(b f a f b a f +=+∴ )0()0()00(f f f +=+∴0)0(=f 令,则 x b x a =-=,0)()()0()(=+-==+-x f x f f x x f ∴ )()(x f x f -=-∴函数为奇函数.)(x f 例10. 已知函数,R ,若对于任意实数,都有:)(x f ∈x 21,x x .()()()()2121212x f x f x x f x x f ⋅=-++求证:为偶函数.)(x f 证明: 由题意可知的定义域关于原点对称. )(x f 令,则有0,21==x x x ① )0()(2)(2)()(f x f x f x f x f ⋅==+令,则有:x x x ==21,0② )()0(2)()(x f f x f x f ⋅=-+由①②得:)()()(2x f x f x f -+=∴ )()(x f x f =-∴函数为偶函数.)(x f例11. 已知是定义在上的函数,且满足对任意,都有)(x f ()2,2-()2,2,-∈y x .)(5)(y f xy y x f x f -⎪⎭⎫⎝⎛-+=（1）求的值;)0(f （2）判断的奇偶性并证明. )(x f （1）解:令0==y x ∵对任意,都有()2,2,-∈y x )(5)(y f xy y x f x f -⎪⎭⎫⎝⎛-+=∴; ()0)0(0)0(=-=f f f （2）函数为奇函数.)(x f 理由如下:由题意可知,函数的定义域关于原点对称. )(x f ()2,2-令,则有 x y -=)(0)()0()(x f x f f x f --=--=∴ )()(x f x f -=-∴函数为奇函数.)(x f 例12. 已知对一切都成立,且,试判断)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++y x ,0)0(≠f 的奇偶性.)(x f 解:由题意可知函数的定义域为R ,关于原点对称. )(x f 令,则有 0==y x )0()0(2)0()0(f f f f =+∴, )0(2)0(22f f =()01)0()0(=-f f ∵,∴0)0(≠f 1)0(=f 令,则有 0=x )()0(2)()(y f f y f y f =-+∴ )(2)()(y f y f y f =-+∴)()(y f y f =-∴函数为偶函数.)(x f 注意本题与例10的区别及联系.例13. 已知是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意R ,都满足)(x f b a ,∈. )()()(a bf b af ab f +=（1）求,的值;)0(f )1(f （2）判断的奇偶性,并证明你的结论.)(x f （1）解:令,则. 0==b a 0)0(0)0(0)0(=⨯+⨯=f f f 令,则,∴; 1==b a )1(2)1(1)1(1)1(f f f f =⨯+⨯=0)1(=f （2）函数为奇函数.)(x f 理由如下:由题意可知函数的定义域关于原点对称. )(x f 令,则有 1-==b a 0)1(2)1()1()1(=--=----=f f f f ∴0)1(=-f 令,则有 1,-==b x a )()(0)()1()(x f x f x f xf x f -=-=--=-∴函数为奇函数.)(x f 例14. 若函数的定义域是R ,且对任意R 都有成)(x f ∈y x ,)()()(y f x f y x f +=+立.（1）试判断的奇偶性;)(x f （2）若,求的值.4)8(=f ⎪⎭⎫⎝⎛-21f 解:（1）∵函数的定义域是R )(x f ∴其定义域关于原点对称.令,则有 0==y x )0(2)0()0()0(f f f f =+=∴0)0(=f令,则有 x y -=0)()()0(=-+=x f x f f ∴ )()(x f x f -=-∴函数为奇函数;)(x f （2）令,则有 y x =)(2)()()2(x f x f x f x f =+=∴ 2)2()(x f x f =∵ 4)8(=f ∴,,, 2242)8()4(===f f 1222)4()2(===f f 212)2()1(==f f 412)1(21==⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ∵函数为奇函数)(x f ∴.412121-=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f 例15. 已知函数,R 对任意实数都有,且当时,)(x f ∈x b a ,)()()(b f a f ab f +=1>x .0)(>x f （1）试判断函数的奇偶性;)(x f （2）求证:函数在上是增函数.)(x f ()+∞,0（1）解:由题意可知函数的定义域关于原点对称. )(x f 令,则,∴.1==b a )1(2)1()1()1(f f f f =+=0)1(=f 令,则,∴. 1-==b a 0)1(2)1()1()1(=-=-+-=f f f f 0)1(=-f 令,则 1,-==b x a )()1()()(x f f x f x f =-+=-∴函数为偶函数;)(x f （2）任取,且,则∈21,x x ()+∞,021x x <112>x x ∵当时,,∴1>x 0)(>x f 012>⎪⎪⎭⎫⎝⎛x x f∴ ()()()()()0121121112112>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=-x x f x f x x f x f x f xx x f x f x f ∴()()21x f x f <∴函数在上是增函数. )(x f ()+∞,0题型四 函数奇偶性的应用 （1）求函数值; （2）求函数解析式;（3）求参数的值或取值范围; （4）求函数的值域或最值. 应用1 求函数值例16.（1）已知为奇函数,,,则_________; )(x f 9)()(+=x f x g 3)2(=-g =)2(f （2）设函数的最大值为M ,最小值为,则_________.()11)(22++=x x x f m =+m M 解:（1）∵为奇函数,∴ )(x f )()(x f x f -=-∵, 9)()(+=x f x g 3)2(=-g ∴ 6939)2()2(-=-=--=-g f ∴.6)2()2(=--=f f （2） ()12112111)(22222++=+++=++=x xx x x x x x f 设,其定义域为R ,关于原点对称. 12)(2+=x xx g ∵ )(12)(2x g x xx g -=+-=-∴为奇函数)(x g ∵奇函数在关于原点对称的区间上的最大值与最小值互为相反数 ∴0)()(min max =+x g x g ∴.2))(1())(1(min max =+++=+x g x g m M重要结论（1） 若函数为奇函数,则在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,即)(x f )(x f .0)()(min max =+x f x f （2）若函数为奇函数,（为常数）,则.)(x f k x f x g +=)()(k ()k x g x g 2)(min max =+例17. 已知,且,则【 】 8)(35-++=bx ax x x f 10)2(=-f =)2(f （A ）（B ）（C ）（D ）1026-18-10-解法一:设,易知函数为奇函数. bx ax x x g ++=35)()(x g ∴,)()(x g x g -=-8)()(-=x g x f ∵,∴,. 10)2(=-f 108)2(=--g 18)2(=-g ∴18)2()2(-=--=g g ∴.选择【 A 】. 268188)2()2(-=--=-=g f 解法二:①8222)2(35-++=b a f ②()()()8222)2(35--+-+-=-b a f ①②得: +16)2()2(-=-+f f ∵10)2(=-f ∴.261016)2(16)2(-=--=---=f f 例18. 已知,其中是偶函数,且,则【 】 1)()(--=x x f x g )(x g 1)2(=f =-)2(f （A ）（B ）1（C ）（D ）31-3-解:∵是偶函数,∴. )(x g )()(x g x g =-∵,∴1)()(--=x x f x g 1)()(++=x x g x f ∵,∴ 13)2(12)2()2(=+=++=g g f 2)2()2(-=-=g g ∴.选择【 C 】.312212)2()2(-=+--=+--=-g f 例19. 已知,均为R 上的奇函数,且在上)(x f )(x g 2)()()(++=x bg x af x F ()+∞,0的最大值为5,则在上的最小值为_________. )(x F ()0,∞-解:设,则 )()()(x bg x af x G +=2)()(+=x G x F ∵,均为R 上的奇函数)(x f )(x g ∴也是R 上的奇函数 )()()(x bg x af x G +=∵当时, ∈x ()+∞,052)()(max max =+=x G x F ∴3)(max =x G ∴根据奇函数图象的对称性,在的最小值为 )(x G ()0,∞-3)()(max min -=-=x G x G ∴.1232)()(min min -=+-=+=x G x F 注意:本题利用结论: 若函数为奇函数,（为常数）,则)(x f k x f x g +=)()(k .可以快速得出结果.()k x g x g 2)(min max =+例20. 已知是奇函数,则_________.⎩⎨⎧<>-=0),(0,3)(2x x g x x x f ()=-)3(g f 分析:先求出当时,函数的解析式,然后代入求值. 0<x )(x g 解:当时,0<x 0>-x ∴())(33)(22x f x x x f -=-=--=-∴3)(2+-=x x f ∴,∴⎩⎨⎧<+->-=0,30,3)(22x x x x x f 3)(2+-=x x g ∴()633)3(2-=+--=-g ∴.()()3336)6()3(2-=+--=-=-f g f 应用2 求函数解析式利用函数的奇偶性求函数解析式的一般方法是:（1）“求谁设谁”,即求函数在哪个区间上的解析式,就设在哪个区间上; x （2）利用已知区间的函数解析式矩形化简,得到的解析式;)(x f -（3）利用函数的奇偶性写出或,即可得到函数的解析式. )(x f )(x f -)(x f )(x f 注意:若是R 上的奇函数时,不要遗漏的情形.)(x f 0=x 例21. 已知是R 上的奇函数,当时,. )(x f 0>x 132)(2++-=x x x f （1）求的值; （2）求函数的解析式. )0(f )(x f 解:（1）∵是R 上的奇函数 )(x f ∴, )0()0()0(f f f -==-0)0(2=f ∴;0)0(=f （2）当时,则0<x 0>-x ∴ ())(132132)(22x f x x x x x f -=-+-=+--=-∴.132)(2-+=x x x f ∴函数的解析式为.)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧<-+=>++-=0,1320,00,132)(22x x x x x x x x f 例22. 若函数是偶函数,函数是奇函数,且,求函数)(x f )(x g 11)()(-=+x x g x f 的解析式.)(x f 解:∵函数是偶函数,函数是奇函数 )(x f )(x g ∴,)()(x f x f =-)()(x g x g -=-∵ 11)()(-=+x x g x f ∴,11)()(--=-+-x x g x f 11)()(+-=-x x g x f 解方程组得:.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=+11)()(11)()(x x g x f x x g x f 11)(2-=x x f ∴函数的解析式为. )(x f 11)(2-=x x f 例23. 已知是定义在R 上的偶函数,且≤0时,.)(x f x 1)(+-=x x f（1）求,; )0(f )2(f （2）求函数的解析式.)(x f 解:（1）∵当≤0时,,∴.x 1)(+-=x x f 1)0(=f ∵是定义在R 上的偶函数,∴; )(x f 31)2()2()2(=+--=-=f f （2）当时,则 0>x 0<-x ∴.()11)(+=+--=-x x x f ∴函数的解析式为.)(x f ⎩⎨⎧>+≤+-=0,10,1)(x x x x x f 例24. 已知函数是定义在R 上的奇函数,当时,,则函)(x f y =0>x x x x f 2)(2-=数在R 上的解析式为____________.)(x f 结论 若奇函数在原点处有定义,则.0)0(=f 解:∵函数是定义在R 上的奇函数∴. )(x f y =0)0(=f ∵当时,0>x x x x f 2)(2-=∴当时,, 0<x 0>-x ())(22)(22x f x x x x x f -=---=+=-∴.x x x f 2)(2--=∴函数的解析式为.)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧<--=>-0,20,00,222x x x x x x x 例25. 函数为R 上的奇函数,且. 1)(2++=x b ax x f 5221=⎪⎭⎫ ⎝⎛f （1）求函数的解析式;)(x f （2）若≤在区间上恒成立,求的取值范围.)(x f 532-m []4,2m 解:（1）∵函数为R 上的奇函数1)(2++=x bax x f ∴,∴0)0(==b f 1)(2+=x axx f∵,∴,解之得:. 5221=⎪⎭⎫ ⎝⎛f 5252121212==+⎪⎭⎫ ⎝⎛a a1=a ∴函数的解析式为; )(x f 1)(2+=x xx f （2）∵≤在区间上恒成立)(x f 532-m []4,2∴≤恒成立 12+x x 532-m 设,只需≤即可.1)(2+=x x x g max )(x g 532-m 任取,且,则有[]4,2,21∈x x 21x x < ()()()()()()()()111111111)()(22212121222121222122221121++--=+++-+=+-+=-x x x x x x x x x x x x x x x x x g x g ∵,且[]4,2,21∈x x 21x x <∴ ()()011,01,022212121>++<-<-x x x x x x ∴,∴ 0)()(21>-x g x g ()()21x g x g >∴函数在上为减函数 )(x g []4,2∴ 52122)2()(2max =+==g x g ∴≤,解之得:≥1或≤. 52532-m m m 1-∴实数的取值范围是.m (][)+∞-∞-,11, 例26. 已知函数是定义在R 上的奇函数,当时,,求. )(x f 0>x 32)(x x x f +=)(x f 解:∵函数是定义在R 上的奇函数,∴. )(x f 0)0(=f ∵当时,0>x 32)(x x x f +=∴当时,，∴.0<x ,0>-x ())()(3232x f x x x x x f -=+--=-=-32)(x x x f +-=∴.⎪⎩⎪⎨⎧<+-=>+=0,0,00,)(3232x x x x x x x x f应用3 求参数的值例27. 已知函数为偶函数,其定义域为,则()b a x b ax x f ++-+=31)(2[]a a 2,1-的值为_________.b a +结论 如果函数在区间或上为偶函数或奇函数,则区间的两个端点互为相)(x f []b a ,()b a ,反数,即（因为这个区间关于原点对称）.0=+b a 解:∵偶函数的定义域关于原点对称 ∴,解之得:. 021=+-a a 31=a ∴ ()b x b x x f ++-+=1131)(2∵)()(x f x f =-∴ ()()b x b x b x b x ++-+=++--1131113122∴,解之得: ()11-=--b b 1=b ∴. 34131=+=+b a 例28. 若函数为奇函数,则_________.()()a x x xx f -+=12)(=a 解:∵函数为奇函数 )(x f ∴, )()(x f x f -=-()()()()a x x xa x x x -+-=--+--1212∴ ()()()()a x x a x x -+=--+-1212展开并整理得: ()()x a x a 2112-=-∴,解之得:. a a 2112-=-21=a 例29. 若函数为偶函数,则_________. ()()a x x x f -+=1)(=a 解:∵函数为偶函数,∴ )(x f )()(x f x f =-∴ ()()()()a x x a x x -+=--+-11∴()()x a x a -=-11∴,解之得:.a a -=-111=a 例30. 若函数为偶函数,则函数在区间上()321)(2++-=mx x m x f )(x f ()3,5--【 】（A ）先增后减 （B ）先减后增 （C ）单调递减（D ）单调递增分析: 结论 对于函数：c bx ax y ++=2（1）当时,它是偶函数; 0=b （2）当时,它是奇函数.0==c a 对于本题,因为函数为偶函数,所以不难得到. ()321)(2++-=mx x m x f 0=m 解:∵函数为偶函数()321)(2++-=mx x m x f ∴, )()(x f x f =-()()32132122++-=+--mx x m mx x m ∴,解之得:m m 22=-0=m ∴,其图象开口向下,对称轴为轴. 3)(2+-=x x f y ∵函数在区间单调递增.选择【 D 】.)(x f ()3,5--例31. 设为常数,函数.若为偶函数,则_________. a 34)(2+-=x x x f ()a x f +=a 分析:将函数的图象向左或向右平移个单位长度,即可得到)(x f ()0>a ()0<a a 函数的图象.偶函数的图象关于轴对称.()a x f +y 结论 若函数满足,则函数的图象关于直线对称.)(x f )()(x a f x a f -=+)(x f a x =解法一:∵()1234)(22--=+-=x x x x f ∴()()122--+=+a x a x f ∵为偶函数()a x f +∴其图象的对称轴为轴,∴,解之得:.y 02=-a 2=a 解法二:,其图象的对称轴为直线.()1234)(22--=+-=x x x x f 2=x ∵为偶函数()a x f +∴,即 )()(a x f a x f +=+-)()(x a f x a f +=-∴函数的图象关于直线对称. )(x f a x =∴. 2=a例32. 已知是定义在上的偶函数,则_______. ()231)(bx x a x f +-=[]b b +2,=+b a 解:∵偶函数的定义域关于原点对称 ∴,解之得: 02=++b b 1-=b ∴()231)(x x a x f --=∵,∴ )()(x f x f =-()()232311x x a x x a --=---∴,解之得:. ()11-=--a a 1=a ∴0.=+b a 例33. 已知函数是奇函数,则_________.⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+-=0,0,00,2)(22x mx x x x x x x f =m 解:当时,,∴ 0<x 0>-x x x x f 2)(2--=-∵函数是奇函数 )(x f ∴ )(2)(2x f x x x f -=--=-∴（） mx x x x x f +=+=222)(0<x ∴.2=m 例34. 已知函数为偶函数.()()21)(xt x x x f -+=（1）求实数的值;t （2）是否存在实数,使得当时,函数的值域为?0>>a b ∈x []b a ,)(x f ⎦⎤⎢⎣⎡--b a 22,22若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.b a ,分析:,设,因为与均为()()21)(x t x x x f -+=()()()t x x x h x x g -+==1,1)(2)(x f )(x g 偶函数,所以也是偶函数,故,得到. ()t x t x x h --+=1)(201=-t 1=t 解:∵函数为偶函数()()21)(xt x x x f -+=∴()()()()2211)(x t x x x t x x x f -+=--+-=-∴ ()()()()t x x t x x -+=--+-11∴,解之得:. t t -=-111=t ∴; ()()222211111)(xx x x x x x f -=-=-+=（2）∵ 0>>a b ∴函数在区间上为增函数 211)(xx f -=[]b a ,∴,2min11)()(a a f x f -==2max 11)()(bb f x f -==∵函数的值域为)(x f ⎦⎤⎢⎣⎡--b a 22,22∴,解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-b b a a 2211221122⎩⎨⎧==11b a ∵0>>a b ∴不存在实数,使得当时,函数的值域为.0>>a b ∈x []b a ,)(x f ⎦⎤⎢⎣⎡--b a 22,22例35. 已知函数是R 上的偶函数. 211)(x mx x f ++=（1）求实数的值;m （2）判断并用定义法证明函数在上的单调性.)(x f y =()0,∞-解:（1）∵函数是R 上的偶函数 211)(x mx x f ++=∴,)()(x f x f =-221111x mx x mx ++=++-∴,,解之得:;11+=+-mx mx m m =-0=m（2）由（1）知:. 211)(x x f +=函数在上为增函数,理由如下: )(x f y =()0,∞-任取,且,则有()0,,21∞-∈x x 21x x < ()()()()()()()()222112122221212222212111111111x x x x x x x x x x x x x f x f ++-+=++-=+-+=-∵,且()0,,21∞-∈x x 21x x <∴ ()()011,0,022211212>++>-<+x x x x x x ∴ ()()()()2121,0x f x f x f x f <<-∴函数在上为增函数.)(x f y =()0,∞-例36. 已知函数是奇函数,且,其中R .nmx x x f ++=2)(23)1(=f ∈n m ,（1）求的值;n m ,（2）判断在上的单调性,并加以证明. )(x f (]2,-∞-解:（1）∵,∴,∴. 3)1(=f 33=+nm 1=+n m ∵函数为奇函数)(x f ∴, )()(x f x f -=-nmx x n mx x --+=+-+2222∴,解之得:n n -=0=n 解方程组得:;⎩⎨⎧==+01n n m ⎩⎨⎧==01n m （2）由（1）可知:（可见函数为对勾函数）xx x x x f 22)(2+=+=)(x f 函数在上为增函数,理由如下: )(x f (]2,-∞-任取,且,则有∈21,x x (]2,-∞-21x x <()()()()()212121212122112122222x x x x x x x x x x x x x x x f x f --=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=-∵,且 ∈21,x x (]2,-∞-21x x <∴ 02,0,0212121>-<->x x x x x x ∴∴ ()()()()2121,0x f x f x f x f <<-∴函数在上为增函数. )(x f y =()0,∞-应用4 函数的奇偶性与单调性的综合例37. 已知在定义域上是奇函数,又是减函数,若)(x f []1,1-,求实数的取值范围.()()0112<-+-a f a f a 解:∵ ()()0112<-+-a f a f ∴()()a f a f --<-112∵在定义域上是奇函数 )(x f []1,1-∴ ()()()1)1(1-=--=--a f a f a f ∴()()112-<-a f a f 由题意可得:,解之得:0≤.⎪⎩⎪⎨⎧->-≤-≤-≤-≤-1111111122a a a a 1<a ∴实数的取值范围是.a [)1,0例38. 定义在上的偶函数在上单调递减,若,求实[]2,2-)(x f []2,0()()m f m f <-1数的取值范围.m 结论:若函数为偶函数,则有.)(x f ()x f x f x f ==-)()(解:∵函数是定义在上的偶函数)(x f []2,2-∴,,.()()m f m f -=-11()()m f m f =[]2,0,1∈-m m∵在上单调递减, )(x f []2,0()()m f m f <-1∴,.()()m f m f <-1m m >-1由题意可得:,解之得:≤.⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-≤-≤-mm m m 1222121-m 21<∴实数的取值范围是.m ⎪⎭⎫⎢⎣⎡-21,1注意:的同解不等式为.m m >-1()221m m >-例39. 定义在R 上的奇函数,满足,且在上单调递减,求不等)(x f 021=⎪⎭⎫⎝⎛f ()+∞,0式的解集.0)(>x xf 分析:奇函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.解:∵定义在R 上的奇函数,满足)(x f 021=⎪⎭⎫⎝⎛f ∴021=⎪⎭⎫⎝⎛-f ∵函数在上单调递减 )(x f ()+∞,0∴函数在上单调递增 )(x f ()0,∞-∴当时,;当时, 210<<x 0)(>x f 021<<-x 0)(<x f ∴不等式的解集为.0)(>x xf ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,00,21 注意:对于奇函数的理解,可结合下面的图象.图中.)(x f 0)0(=f例40. 已知奇函数,是减函数,解不等式. )(x f y =∈x ()1,1-0)31()1(<-+-x f x f 解:∵ 0)31()1(<-+-x f x f ∴ )31()1(x f x f --<-∵是奇函数)(x f y =∴ ()()13)31()31(-=--=--x f x f x f ∴)13()1(-<-x f x f 由题意可得:,解之得:.⎪⎩⎪⎨⎧->-<-<-<-<-1311311111x x x x 210<<x ∴不等式的解集为. 0)31()1(<-+-x f x f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<210x x 例41. 已知偶函数在上单调递减,,若,则的取值)(x f [)+∞,0()02=f ()01>-x f x 范围是__________.解:由题意可得的解集为 0)(>x f ()2,2-∵()01>-x f ∴,解之得: 212<-<-x 31<<-x ∴的取值范围是.x ()3,1-例42. 已知函数是定义在上的偶函数,且当≥0时,单调递增,)(x f []a a 2,1-x )(x f则关于的不等式的解集为【 】x ()()a f x f >-1（A ）（B ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡35,34⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡35,3432,31 （C ）（D ）随的值的变化而变化⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛--32,3131,32 a 解:∵函数是定义在上的偶函数 )(x f []a a 2,1-∴,解之得: 021=+-a a 31=a ∴函数的定义域为)(x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,32∵,∴,∴ ()()a f x f >-1()⎪⎭⎫⎝⎛>-311f x f ()⎪⎭⎫ ⎝⎛>-311f x f ∵当≥0时,单调递增,≥0 x )(x f 1-x ∴. 311>-x 由题意可得: ,解之得:≤或≤.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤-≤-31132132x x 3132<x x <3435∴不等式的解集为.选择【 B 】.()()a f x f >-1⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡35,3432,31 例43. 已知是定义在R 上的偶函数,且在区间上单调递增.若实数满)(x f (]0,∞-a 足,则的取值范围是【 】()⎪⎭⎫⎝⎛->-211f a f a （A ）（B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21,⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,2321, （C ）（D ）⎪⎭⎫⎝⎛23,21⎪⎭⎫⎝⎛+∞,23解:∵是定义在R 上的偶函数,且在区间上单调递增)(x f (]0,∞-∴在区间上单调递减,. )(x f [)+∞,0⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-2121f f ∵()⎪⎭⎫⎝⎛->-211f a f ∴,∴,解之得:.()⎪⎭⎫⎝⎛>-211f a f 211<-a 2321<<a ∴的取值范围是.选择【 C 】.a ⎪⎭⎫⎝⎛23,21☆例44. 已知函数的定义域为,且是奇函数.)(x f ()+∞,0⎩⎨⎧><+=0),(0,2)(2x x f x x x x g （1）求的表达式;)(x f （2）若在上的值域是,求值:是方程的两个根.)(x f []b a ,⎦⎤⎢⎣⎡a b 1,1b a ,x x f 1)(=解:当时, 0>x 0<-x ∴ ()x x x g 22-=-∵是奇函数)(x g ∴ ()()()x g x x x g -=+--=-22∴（） x x x g 2)(2+-=0>x ∴（）; x x x f 2)(2+-=0>x （2）证明:由题意可知: 0>>a b ∵≤1()112)(22+--=+-=x x x x f ∴≤1,∴≥1 a1a ∴在上单调递减)(x f []b a ,∴, ()a a f 1=()bb f 1=∴是方程的两个根.b a ,xx f 1)(=例45. 设函数对任意R 都有,且当时,)(x f ∈y x ,()()()y f x f y x f +=+0>x,. 0)(<x f 2)1(-=f （1）证明:为奇函数; )(x f （2）证明:在R 上是减函数;)(x f （3）若,求的取值范围; ()()47652>-++x f x f x （4）求在上的最大值与最小值.)(x f []3,3-（1）证明:令,则,∴ 0==y x )0(2)0()0()0(f f f f =+=0)0(=f 令,则有 x y -=0)()()0(=-+=x f x f f ∴)()(x f x f -=-∵函数的定义域为R ,关于原点对称 )(x f ∴函数为奇函数;)(x f （2）证明:任取R ,且,则 ∈21,x x 21x x <012>-x x ∵当时,,∴0>x 0)(<x f ()012<-x x f ∴()()()()()()()1112211212)(x f x f x x f x f x x x f x f x f -+-=-+-=-.()012<-=x x f ∴,∴. ()()012<-x f x f ()()21x f x f >∴在R 上是减函数;)(x f （3）解:由（1）可知:2)1()1(=--=-f f 令,则 1-==y x 4)1(2)1()1()2(=-=-+-=-f f f f ∵()()47652>-++x f x f ∴, ())2(7652->-++f x x f ())2(511->-f x f ∵在R 上是减函数 )(x f ∴,解之得:. 2511-<-x 513>x∴的取值范围是; x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,513（4）令,则1,2-=-=y x 624)1()2()3(=+=-+-=-f f f ∵在R 上是减函数)(x f ∴在上的最大值为6)(x f []3,3-∵奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数∴在上的最小值为.)(x f []3,3-6-例46. 函数对任意R 都有,并且当时,)(x f ∈b a ,()()()1-+=+b f a f b a f 0>x .1)(>x f （1）判断函数是否为奇函数;)(x f （2）证明:在R 上是增函数;)(x f （3）解不等式.()1232<--m m f （1）解:令,则0==b a 1)0(21)0()0()0(-=-+=f f f f ∴01)0(≠=f ∴函数不是奇函数;)(x f （2）任取R ,且,则∈21,x x 21x x <012>-x x ∵当时,,∴0>x 1)(>x f ()112>-x x f ∴ ()()()()()()()11121112121)(x f x f x x f x f x x x f x f x f --+-=-+-=-()0112>--=x x f ∴()()12x f x f >∴在R 上是增函数;)(x f （3）由（1）可知:1)0(=f ∵()1232<--m m f∴())0(232f m m f <--∵在R 上是增函数)(x f ∴,解之得: 0232<--m m 132<<-m ∴不等式的解集为. ()1232<--m m f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,32例47. 设是定义在上的减函数,且满足, )(x f y =()+∞,0())()(y f x f xy f +=. 131=⎪⎭⎫ ⎝⎛f （1）求,,的值; )1(f ⎪⎭⎫ ⎝⎛91f )9(f （2）若,求的取值范围.2)2()(<--x f x f x 解:（1）令,则有,∴;1==y x )1(2)1()1()1(f f f f =+=0)1(=f 令,则有; 31==y x 212313191=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f f ∵ 01)3(31)3(313)1(=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=f f f f f ∴1)3(-=f ∴;()2)3(2)3()3(33)9(-==+=⨯=f f f f f （2）∵2)2()(<--x f x f ∴ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<91)2()(f x f x f ∴ ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-<x f x f 291)(∵是定义在上的减函数)(x f y =()+∞,0∴()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧->>->x x x x 29102910,解之得:251<<x . ∴的取值范围是. x ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,51☆例48. 设是定义在上的函数,且满足,当)(x f ()()+∞∞-,00, ()()()y f x f xy f +=时,.1>x ()0<x f （1）求的值,并证明是偶函数;)1(f )(x f （2）证明函数在上单调递减;)(x f ()+∞,0（3）若,≥,求的取值范围.1)3(-=f )8()(-+x f x f 2-x 解:（1）令,则有,∴;1==y x )1(2)1()1()1(f f f f =+=0)1(=f ∵是定义在上的函数)(x f ()()+∞∞-,00, ∴其定义域关于原点对称.令,则有,∴.1-==y x ()()()01211)1(=-=-+-=f f f f ()01=-f 令,则有1-=y ()())(1)(x f f x f x f =-+=-∴是偶函数;)(x f （2）证明:任取,且,则 ∈21,x x ()+∞,021x x <112>x x ∵当时,,∴ 1>x ()0<x f 012<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x f ∴ ()()()()()0121112111212<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-x x f x f x f x x f x f x x x f x f x f ∴.()()21x f x f >∴函数在上单调递减;)(x f ()+∞,0（3）解:∵1)3(-=f ∴令,则有 3==y x 2)3(2)3()3()9(-==+=f f f f ∴≥)8()(-+x f x f )9(f ∴≥())8(-x x f )9(f ∵函数是偶函数)(x f ∴≥()()8-x x f )9(f ∵函数在上单调递减;)(x f ()+∞,0∴,解之得:≤≤或≤≤9,且,. ()()⎩⎨⎧≠-≤-0898x x x x 1-x 74-74+x 0≠x 8≠x ∴的取值范围是. x [)(][)(]9,88,7474,00,1 +--例49. 若函数为区间上的奇函数,则它在这一区间上的最大1)(++-=bx a x x f []1,1-值为_________.解:∵函数为区间上的奇函数)(x f []1,1-∴,∴0)0(=f 0=a ∴ 1)(+-=bx x x f ∵,∴,解之得: ())1(1f f --1111+=+---b b 0=b ∴,在区间上为减函数x x f -=)([]1,1-∴.()11)(max =-=f x f 例50. 已知函数.32)(2-+-=x x x f （1）求在区间上的最小值; )(x f []2,12-a ()a g （2）求的最大值.)(a g 解:（1）由题意可知:,解之得:. 212<-a 23<a ,其图象的开口向下,对称轴为直线. ()2132)(22---=-+-=x x x x f 1=x当,即时, 12212<+-a 21<a 684)12()(2min -+-=-=a a a f x f ∴;()6842-+-=a a a g 当≥1,即≤时, 2212+-a 2123<a ()()32min -==f x f ∴.3)(-=a g 综上所述,; ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-<-+-=2321,321,684)(2a a a a a g （2）由（1）可知:.3)(max -=a g。

1．3.2奇偶性第1课时奇偶性的概念学习目标1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．知识点一函数奇偶性的几何特征思考下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？答案①②关于y轴对称，③④关于原点对称．梳理一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．知识点二函数奇偶性的定义函数奇偶性的概念：(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于y轴的对称点(－x，f(x))也在f(x)图象上．(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于原点的对称点(－x，－f(x))也在f(x)的图象上．知识点三奇(偶)函数的定义域特征及奇(偶)函数的性质1．奇(偶)函数的定义域关于原点对称．2．重要性质(1)奇函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相同的单调性．(2)偶函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相反的单调性．1．关于y 轴对称的图形都是偶函数的图象．(×) 2．若f (x )是奇函数，f (1)＝2，则f (－1)＝－2.(√) 3．存在既是奇函数又是偶函数的函数，且不止一个．(√) 4．有些函数既非奇函数，又非偶函数．(√)类型一 证明函数的奇偶性例1 (1)证明f (x )＝x 3－x 2x －1既非奇函数又非偶函数；(2)证明f (x )＝(x ＋1)(x －1)是偶函数；(3)证明f (x )＝1－x 2＋x 2－1既是奇函数又是偶函数． 考点 函数的奇偶性判定与证明 题点 判断简单函数的奇偶性证明 (1)因为它的定义域为{x |x ∈R 且x ≠1}，所以对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，所以f (x )＝x 3－x 2x －1既非奇函数又非偶函数．(2)函数的定义域为R ，因为函数f (x )＝(x ＋1)(x －1)＝x 2－1，又因为f (－x )＝(－x )2－1＝x 2－1＝f (x )，所以函数为偶函数．(3)定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x ，都有f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )＝－f (x )＝0，故函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1既是奇函数又是偶函数．反思与感悟 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定属于定义域． 跟踪训练1 (1)证明f (x )＝(x －2) 2＋x2－x既非奇函数又非偶函数； (2)证明f (x )＝x |x |是奇函数． 考点 函数的奇偶性判定与证明 题点 判断简单函数的奇偶性证明 (1)由2＋x 2－x ≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)函数的定义域为R ，因为f (－x )＝(－x )|－x |＝－x |x |＝－f (x )，所以函数为奇函数．类型二 奇偶性的应用命题角度1 奇(偶)函数图象的对称性的应用例2 定义在R 上的奇函数f (x )在[0，＋∞)上的图象如图所示．(1)画出f(x)的图象；(2)解不等式xf(x)>0.考点函数图象的对称性题点中心对称问题解(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如图．(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．引申探究把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．解(1)f(x)的图象如图所示：(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．反思与感悟可以用奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称，这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性．跟踪训练2已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．考点函数图象的对称性题点中心对称问题解(1)如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.分别描出它们关于原点的对称点O ′，A ′，B ′，C ′，D ′， 再用光滑曲线连接即得．(2)由(1)图可知，当且仅当x ∈(－2,0)∪(2,5)时，f (x )<0. ∴使f (x )<0的x 的取值集合为(－2,0)∪(2,5)． 命题角度2 利用函数奇偶性的定义求值例3 若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.考点 函数奇偶性的应用题点 由二次函数为偶函数求参数值 答案 13解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a －1＝－2a ，解得a ＝13，f (x )＝13x 2＋bx ＋b＋1.又f (x )为偶函数，所以f (－x )＝13(－x )2＋b (－x )＋b ＋1＝f (x )＝13x 2＋bx ＋b ＋1对定义域内任意x 恒成立，即2bx ＝0对任意x ∈⎣⎡⎦⎤－23，23恒成立， 所以b ＝0.综上，a ＝13，b ＝0.反思与感悟 函数奇偶性的定义有两处常用：①定义域关于原点对称；②对定义域内任意x ，恒有f (－x )＝f (x )(或－f (x ))成立，常用这一特点得一个恒成立的等式，或对其中的x 进行赋值．跟踪训练3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≤0，ax 2＋bx ，x >0为奇函数，则a ＋b ＝________.考点 函数奇偶性的应用题点 其他已知函数奇偶性求参数值问题 答案 0解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝－f (－2)，f (1)＝－f (－1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋2b ＝－2，a ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.当a ＝－1，b ＝1时，经检验知f (x )为奇函数，故a ＋b ＝0.1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )考点 函数的奇偶性概念 题点 函数奇偶性概念的理解 答案 B2．函数f (x )＝x (－1<x ≤1)的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 考点 函数的奇偶性判定与证明 题点 判断简单函数的奇偶性 答案 C3．已知函数y ＝f (x )＋x 是偶函数，且f (2)＝1，则f (－2)＝________. 考点 函数奇偶性的应用 题点 利用奇偶性求函数值 答案 5解析 函数y ＝f (x )＋x 是偶函数， ∴x ＝±2时函数值相等．∴f (－2)－2＝f (2)＋2，∴f (－2)＝5.4．若函数f (x )＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)为偶函数，则m 的值是________． 考点 函数奇偶性的应用题点 由二次函数为偶函数求参数值 答案 2解析 ∵f (x )为偶函数，∴对于任意x ∈R ，有f (－x )＝f (x )， 即(m －1)(－x )2＋(m －2)(－x )＋(m 2－7m ＋12) ＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)， ∴2(m －2)x ＝0对任意实数x 均成立，∴m ＝2.5．判断函数f (x )＝x ＋ax (a 为常数)的奇偶性，并证明你的结论．考点 函数的奇偶性判定与证明 题点 判断简单函数的奇偶性 解 f (x )为奇函数，证明如下：f (x )的定义域为{x |x ≠0}．对于任意x ≠0，f (－x )＝－x ＋a －x＝－⎝⎛⎭⎫x ＋a x ＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．1．两个定义：对于f (x )定义域内的任意一个x ，如果都有f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (x )为奇函数；如果都有f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (x )为偶函数．2．两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y 轴对称．3．证明一个函数是奇函数，必须对f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )．而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了.一、选择题1．已知一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，则a＋b等于()A．－1 B．1 C．0 D．2考点函数奇偶性的应用题点由奇偶函数定义域的对称性求参数值答案 A解析因为一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，根据奇函数的定义域关于原点对称，所以a与b有一个等于1，一个等于－2，所以a＋b＝1＋(－2)＝－1，故选A.2．(2017·葫芦岛检测)下列各图中，表示以x为自变量的奇函数的图象是()考点函数图象的对称性题点中心对称问题答案 B解析A，D不是函数；C不关于原点对称．3．f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是()A．f(－x)＋f(x)＝0 B．f(－x)－f(x)＝－2f(x)C．f(－x)·f(x)≤0 D.f(x)f(－x)＝－1 考点函数的奇偶性概念题点函数奇偶性概念的理解答案 D解析由于f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，①由此可推A，B，C正确，由于f(－x)可能为0，由①不能推出D.4．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于()A．－3 B．－1 C．1 D．3考点函数奇偶性的应用题点利用奇偶性求函数值答案 A解析∵f(x)是奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.5．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A．f(x)＋|g(x)|是偶函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．|f(x)|－g(x)是奇函数考点函数的奇偶性判定与证明题点判断抽象函数的奇偶性答案 A解析由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)，由g(x)是奇函数可得g(－x)＝－g(x)，故|g(x)|为偶函数，∴f(x)＋|g(x)|为偶函数．6．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数答案 C解析 A 中，令h (x )＝f (x )·g (x )，则h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，A 错；B 中，令h (x )＝|f (x )|g (x )，则h (－x )＝|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )＝h (x )，∴h (x )是偶函数，B 错；C 中，令h (x )＝f (x )|g (x )|，则h (－x )＝f (－x )·|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，C 正确；D 中，令h (x )＝|f (x )·g (x )|，则h (－x )＝|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )·g (x )|＝|f (x )·g (x )|＝h (x )． ∴h (x )是偶函数，D 错．7．函数f (x )＝|x ＋1|－|x －1|为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数考点 函数的奇偶性判定与证明题点 判断简单函数的奇偶性答案 A解析 f (x )的定义域为R ，对于任意x ∈R ，f (－x )＝|－x ＋1|－|－x －1|＝|x －1|－|x ＋1|＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．又f (－1)＝－2，f (1)＝2，f (－1)≠f (1)，∴f (x )不是偶函数．8．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (3)＝0，则不等式f (x )－f (－x )2>0的解集为( ) A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)考点单调性与奇偶性的综合应用题点利用奇偶性、单调性解不等式答案 A解析∵f(x)为奇函数，f(3)＝0，∴f(－3)＝0.又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴f(x)在(－∞，0)上也为增函数．由f(x)－f(－x)2＝f(x)>0，①当x>0时，得f(x)>f(3)＝0，∴x>3；②当x<0时，得f(x)>f(－3)＝0，∴－3<x<0，综上可得，原不等式的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．二、填空题9．已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是________．考点函数图象的对称性题点轴对称问题答案0解析由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.10．若函数f(x)＝x2－1＋a－x2为偶函数且非奇函数，则实数a的取值范围为________．考点函数奇偶性的应用题点其他已知函数奇偶性求参数值问题答案a>1解析∵函数f(x)＝x2－1＋a－x2为偶函数且非奇函数，∴f(－x)＝f(x)且f(－x)≠－f(x)．又∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，a －x 2≥0，∴a ≥1. 当a ＝1时，函数f (x )＝x 2－1＋a －x 2为偶函数且为奇函数，故a >1. 11．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，x <0，x (1＋x )，x >0为________函数．(填“奇”或“偶”) 考点 函数的奇偶性判定与证明题点 判断分段函数的奇偶性答案 奇解析 定义域关于原点对称，且f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x (1＋x )，－x <0，－x (1－x )，－x >0＝⎩⎪⎨⎪⎧－x (1＋x )，x >0，－x (1－x )，x <0＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．三、解答题12．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 3＋x 5；(2)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|；(3)f (x )＝2x 2＋2x x ＋1. 考点 函数的奇偶性判定与证明题点 判断简单函数的奇偶性解 (1)函数的定义域为R .∵f (－x )＝(－x )3＋(－x )5＝－(x 3＋x 5)＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)f (x )的定义域是R .∵f (－x )＝|－x ＋1|＋|－x －1|＝|x －1|＋|x ＋1|＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(3)函数f (x )的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f (x )是非奇非偶函数．13．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，求实数a 的值．考点 函数奇偶性的应用题点 其他已知函数奇偶性求参数值问题解 ∵函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即(－x )2－|－x ＋a |＝x 2－|x ＋a |，∴|－x ＋a |＝|x ＋a |，即|x －a |＝|x ＋a |，∴a ＝0.四、探究与拓展14．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝________. 考点 函数图象的对称性题点 中心对称问题答案 43解析 根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝x x 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43. 15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 考点 函数奇偶性的应用题点 其他已知函数奇偶性求参数值问题解 (1)因为f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，即1－m ＝－(－1＋2)，解得m ＝2.经检验当m ＝2时函数f (x )是奇函数．所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增， 结合f (x )的图象(图略)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．。