2019北京四中高一(上)期中数学含答案

北京市第四中学2019届高三第一学期期中考试数学试卷（理）一、选择题1．设函数的定义域为，函数的值域为，则（）A．B．C．D．2．下列函数，其中既是偶函数又在区间上单调递减的函数为（）A．B．C．D．3．函数（）的大致图象是（）A．B．C．D．4．执行如图所示的程序框图．若输出的结果是，则判断框内的条件是（）A．? B．? C．? D．?5．函数（）的部分图像如图所示，则函数表达式为（）A．B．C．D．6．原命题：“，为两个实数，若，则，中至少有一个不小于1”，下列说法错误的是（）A．逆命题为：若，中至少有一个不小于1，则，为假命题B．否命题为：若，则，都小于1，为假命题C．逆否命题为：若，都小于1，则，为真命题D．“”是“，中至少有一个不小于1”的必要不充分条件7．设，定义符合函数，则下列等式正确的是（）A．B．C．D．8．已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（）A．3 B．1或3 C．4或6 D．3或4或6二、填空题9．i为虚数单位，计算_______________。

10．.11．命题“，使得成立”的否定是____________。

12．在极坐标系中，为极点，点为直线上一点，则的最小值为______．13．已知函数，则，的最小值是．14．对于函数，若存在一个区间，使得，则称A为的一个稳定区间，相应的函数叫“局部稳定函数”，给出下列四个函数：①；②；③；④，所有“局部稳定函数”的序号是_____________。

三、解答题15．已知集合A＝，B＝{x|x2－2x－m<0}，(1)当m＝3时，求A∩ ∁R B)；(2)若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m的值．16．已知的三个内角分别为A,B,C,且（Ⅰ）求A的度数；（Ⅱ）若求的面积S.17．已知函数。

（I）求的最小正周期；（II）当时，求函数的单调递减区间。

18．已知实数，函数(x∈R).(1) 求函数的单调区间；(2) 若函数有极大值32，求实数a的值.19．已知函数。

北京四中高一上学期期中考试试卷数学试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，满分共计150分考试时间：120分钟卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1. 如果A ＝{}1->x x ，那么正确的结论是A ． 0⊆A B. {0}∈A C. {0}⊂≠ A D. φ∈A 2. 函数f （x ）＝22-x ，则f （21）＝ A. 0 B. －2 C. 22 D. －22 3. 设全集I ＝{}33<<-∈x Z x ，A ＝{1，2}，B ＝{－2，－1，2}，则A （C I B ）等于A. {1}B. {1，2}C. {2} D{0，1，2}4. 与函数y ＝10)1lg(-x 的定义域相同的函数是A. y ＝x －1B. y ＝1-xC. y ＝11-x D. y ＝1-x 5. 若函数f （x ）＝3x ＋3x -与g （x ）＝3x －3x -的定义域均为Ｒ，则A. f （x ）与g （x ）均为偶函数B. f （x ）为偶函数，g （x ）为奇函数C. f （x ）与g （x ）均为奇函数D. f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数6. 设a ＝log 32，b ＝ln2，c ＝521，则A. a<b<cB. b<c<aC. c<a<bD. c<b<a7. 设函数y ＝x 3与y ＝x ⎪⎭⎫ ⎝⎛21的图象的交点为（x 0，y 0），则x 0所在的区间是 A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，4）8. 已知函数f （x ）是Ｒ上的偶函数，当x ≥0时1)(-=x x f ，则f （x ）<0的解集是A. （－1，0）B. （0，1）C. （－1，1）D. ()()∞+-∞-，，119. 某商店同时卖出两套西服，售价均为168元，以成本计算，一套盈利20%，另一套亏损20%，此时商店A. 不亏不盈B. 盈利37.2元C. 盈利14元D. 亏损14元10. 设函数f （x ）在()∞+∞-，上是减函数，则A. f （a ）>f （2a ）B. f （a 2）<f （a ）C. f （a 2＋a ）<f （a ）D. f （a 2＋1）<f （a ）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11. log 64＋ log 69－832＝____.12. 已知函数y ＝f （x ）为奇函数，若f （3）－f （2）＝1，则f （－2）－f （－3）＝____。

2019届北京四中高三第一学期期中考试数学（文科）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题 1．设函数的定义域为，函数的值域为，则A ．B ．C ．D ．2．在下列函数中，是偶函数,且在内单调递减的是A ．B ．C ．D ．3．执行如图所示的程序框图．若输出的结果是，则判断框内的条件是A ．? B ．? C ．? D ．?4．在△ABC 中，a ＝3，b ＝3，A ＝，则C 为A ．B ．C ．D ．5．函数（）的部分图像如图所示，则函数表达式为A ．B ．C ．D ．6．设m,n 为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号7．已知函数()2222,2{log ,2x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2054f x m m ≤- 成立，则实数m 的取值范围为A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．设，定义符合函数，则下列等式正确的是A ．B ．C ．D ．二、填空题9．i 为虚数单位，计算_______________。

10．命题“，使得成立”的否定是____________。

11．已知向量，则a 与b 夹角的大小为_________.12．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为___________．13．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有点，且，则___________．14．对于函数，若存在一个区间，使得，则称A 为的一个稳定区间，相应的函数叫“局部稳定函数”，给出下列四个函数：①；②；③；④，所有“局部稳定函数”的序号是_____________。

北京四中-高一上学期期中考试试卷数学试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，满分共计150分考试时间：120分钟卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 1O如果A ＝{}1->x x ，那么正确的结论是A O0⊆A B O{0}∈A C O{0}⊂≠A D Oφ∈A2O函数f （x ）＝22-x，则f （21）＝ A O0 B O－2 C O22 D O－22 3O设全集I ＝{}33<<-∈x Z x ，A ＝{1，2}，B ＝{－2，－1，2}，则A （C I B ）等于A O{1} B O{1，2} C O{2} D{0，1，2}4O与函数y ＝10)1lg(-x 的定义域相同的函数是A Oy ＝x －1 B Oy ＝1-x C Oy ＝11-x D Oy ＝1-x5O若函数f （x ）＝3x ＋3x-与g （x ）＝3x－3x-的定义域均为Ｒ，则AOf （x ）与g （x ）均为偶函数B Of （x ）为偶函数，g （x ）为奇函数 C Of （x ）与g （x ）均为奇函数DOf （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数6O设a ＝log 32，b ＝ln2，c ＝521，则A Oa<b<c B Ob<c<a C Oc<a<b D Oc<b<a7O设函数y ＝x 3与y ＝x⎪⎭⎫⎝⎛21的图象的交点为（x 0，y 0），则x 0所在的区间是A O（0，1） B O（1，2） C O（2，3） D O（3，4）8O已知函数f （x ）是Ｒ上的偶函数，当x ≥0时1)(-=x x f ，则f （x ）<0的解集是A O（－1，0） B O（0，1） C O（－1，1） D O()()∞+-∞-，，11 9O某商店同时卖出两套西服，售价均为168元，以成本计算，一套盈利20%，另一套亏损20%，此时商店A O不亏不盈 B O盈利37O2元 C O盈利14元 D O亏损14元10O设函数f （x ）在()∞+∞-，上是减函数，则A Of （a ）>f （2a ）B Of （a 2）<f （a ）C Of （a 2＋a ）<f （a ）D Of （a 2＋1）<f （a ）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 11Olog 64＋ log 69－832＝____O12O已知函数y ＝f （x ）为奇函数，若f （3）－f （2）＝1，则f （－2）－f （－3）＝____O13O若函数f （x ）＝221x －2x ＋3在[0，m]有最大值3，最小值1，则m 的取值范围是____O14O已知函数f （x ）＝⎩⎨⎧>≤--)0()0(22x x x x x ，若函数g （x ）＝f （x ）－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是____O三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）15O已知：函数f （x ）＝x -4＋lg （3x－9）的定义域为A ，集合B ＝{}Ｒa a x x ∈<-,0，（1）求：集合A ； （2）求：A B O16O已知：函数f （x ）＝x 2－bx ＋3，且f （0）＝f （4）O（1）求函数y ＝f （x ）的零点，写出满足条件f （x ）<0的x 的集合； （2）求函数y ＝f （x ）在区间[0，3]上的最大值和最小值O17O已知：函数f （x ）＝xax x ++22，x [)+∞∈,1，（1）当a ＝－1时，判断并证明函数的单调性并求f （x ）的最小值； （2）若对任意x [)+∞∈,1，f （x ）>0都成立，试求实数a 的取值范围O卷（Ⅱ）一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分1O下列函数中，满足“对任意x 1，x 2()+∞∈,0，当x 1<x 2时，都有f （x 1）>f （x 2）”的是A Of （x ）＝（x －1）2B Of （x ）＝x1 C Of （x ）＝e xD Of （x ）＝ln x2O设二次函数f （x ）＝x 2＋2x ＋3， x 1，x 2∈ R ，x 1≠x 2，且f （x 1）＝f （x 2），则f （x 1＋x 2）＝A O1B O 2C O 3D O43O若函数f （x ）＝x ＋x 3， x 1，x 2∈ R ，且x 1＋x 2>0，则f （x 1）＋f （x 2）的值A O一定大于0 B O一定小于0 C O一定等于0 D O正负都有可能二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 4O函数y ＝22321x x -+⎪⎭⎫⎝⎛的定义域为____，值域为____O5O已知函数f （x ）＝ax 2＋（1－3a ）x ＋a 在区间[)+∞,1上递增，则实数a 的取值范围是____O6O若0<a<b<1，则在a b ，b a，log a b ，log b a 这四个数中最大的一个是____O三、解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分 7O已知：函数f （x ）＝a x （0<a<1），（Ⅰ）若f （x 0）＝2，求f （3x 0）；（Ⅱ）若f （2x 2－3x ＋1）≤f （x 2＋2x －5），求x 的取值范围O8O已知：集合M 是满足下列性质的函数f （x ）的全体：在定义域内存在x 0，使得f （x 0＋1）＝f （x 0）＋f （1）成立O（1）函数f （x ）＝x1是否属于集合M ？说明理由； （2）设函数f （x ）＝lg M x a∈+12，求实数a 的取值范围； （3）证明：函数f （x ）＝2x ＋x 2∈M O【试题答案】卷Ⅰ 1O C 2O A 3O D 4OC 5OB6OA7O B8O C9O D10OD11O－2 12O113O[2，4] 14O（0，1）15O解：（1）42334093042≤<⇒⎩⎨⎧>≤⇒⎩⎨⎧>-≥-x x x x x ，定义域A ＝(]4,2； 4分 （2）B ＝{}Ｒa a x x ∈<-,0＝（－∞，a ） O 当a φ=≤B ，A 时2， 6分②当2<a a ）（B ，A ,24=≤ 时， 8分 ③当a>4时，(]42，B A = O10分 16O解：（1）由f （0）＝f （4），得b ＝4， 2分所以，f （x ）＝x 2－4x ＋3，函数的零点为1，3， 4分 依函数图象，所求集合为{}31<<x x O6分（2）由于函数f （x ）的对称轴为x ＝2，开口向上，所以，f （x ）的最小值为f （2）＝－1， 8分 f （x ）的最大值为f （0）＝3 10分17O解：（1）当a ＝－1时f （x ）＝21122+-=-+xx x x x ， 1分 对任意211x x <≤，212121212121221121)1)(()(2121)()(x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f +-=-+-=-+-+-=- 3分∵211x x <≤，∴,1,02121><-x x x x ∴,0121>+x x∴f （x 1）－f （x 2）<0，f （x 1）<f （x 2）所以f （x ）在[)+∞,1上单调递增 5分所以x ＝1时f （x ）取最小值，最小值为2 6分（2）若对任意x [)+∞∈,1，f （x ）>0恒成立，则xax x ++22>0对任意x [)+∞∈,1恒成立，所以x 2＋2x ＋a>0对任意x [)+∞∈,1恒成立，令g （x ）＝x 2＋2x ＋a ， x [)+∞∈,1因为g （x ）＝ x 2＋2x ＋a 在[)+∞,1上单调递增，所以x ＝1时g （x ）取最小值，最小值为3＋a ，∵ 3＋a>0，∴ a>－3O10分卷Ⅱ 1OB2O C3OA4O Ｒ，⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,161； 5O[0，1] 6Olog b a7O解：（Ⅰ）f （3x 0）＝a3x ＝（ax ）3＝8； 4分（Ⅱ）因为0<a<1，所以f （x ）＝a x单调递减；所以2x 2－3x ＋1≥x 2＋2x －5，解得x≤2或x≥3； 10分 8O解：（Ⅰ）f （x ）＝x1的定义域为()()∞+∞-，，00 ， 令1111+=+xx ，整理得x 2＋x ＋1＝0，△＝－3<0， 因此，不存在x ∈()()∞+∞-，，00 使得f （x ＋1）＝f （x ）＋f （1）成立，所以f （x ）＝M x∉1； 3分 （Ⅱ）f （x ）＝lg12+x a 的定义域为Ｒ，f （1）＝lg 2a，a>0，若f （x ）＝ lg12+x a ∈M ，则存在x ∈Ｒ使得lg 1)1(2++x a＝lg 12+x a ＋lg 2a ， 整理得存在x ∈Ｒ使得（a 2－2a ）x 2＋2a 2x ＋（2a 2－2a ）＝0O（1）若a 2－2a ＝0即a ＝2时，方程化为8x ＋4＝0，解得x ＝－21，满足条件：（2）若a 2－2a ≠0即a ∈()()∞+，，220 时，令△≥0，解得a ∈[)(]532253+-，， ，综上，a ∈[3－5，3＋5]； 7分（Ⅲ）f （x ）＝2x＋x 2的定义域为Ｒ， 令２1+x ＋（x ＋1）2＝（2x ＋x 2）＋（2＋1），整理得2x＋2x －2＝0，令g （x ）＝2x＋2x －2，所以g （0）·g （1）＝－2<0， 即存在x 0∈（0，1）使得g （x ）＝2x＋2x －2＝0， 亦即存在x 0∈Ｒ使得21+x ＋（x ＋1）2＝（2x ＋x 2）＋（2＋1），故f （x ）＝2x ＋x 2∈M O10分。

北京市房山四中2019-2020学年上学期期中考试高一数学试卷一、选择题（本答题共10小题，每小题5分，共50分）1．函数y=的定义域为（）A．{x|x≤1} B．{x|x＜1} C．{x|x≥1} D．{x|x＞1}2．设集合A={x|x2﹣1＞0}，B={x|logx＞0|}，则A∩B等于（）2A．{x|x＞1} B．{x|x＞0} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x＞1或x＜﹣1}3． =（）A．14 B．0 C．1 D．64．如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a取值范围是（）A．a≤﹣3 B．a≥﹣3 C．a≤5 D．a≥55．已知函数，那么f[f（）]的值为（）A．9 B．C．﹣9 D．﹣6．若a=30.3，b=（0.3）2，c=log0.2，则a，b，c的大小关系是（）3A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b7．函数f（x）=log（x﹣1）（a＞0，a≠1）的反函数的图象过定点（）aA．（0，2）B．（2，0）C．（0，3）D．（3，0）8．函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A． B． C．D．x+x+2的零点个数为（）9．函数f（x）=log2A．0 B．1 C．2 D．310．函数y=（）的单调增区间为（）A．[1，2] B．R C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）．11．已知集合M={0，x}，N={1，2}，若M∩N={1}，则M∪N=______．12．函数f（x）=3x﹣1，若f[g（x）]=2x+3，则g（x）=______．13．不等式的解集是______．14．函数 y=3+a x﹣1（a＞0且a≠1）的图象必过定点P，P点的坐标为______．15．如果函数f（x）=是奇函数，则a=______．16．定义运算，例如，1*2=1，则函数f（x）=1*2x的值域是______．三、解答题（本大题共3小题，共26分）17．已知函数f（x）=1+．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性，并证明；（Ⅲ）求f（x）的值域．18．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|=3米，|AD|=2米，（1）设AN的长为x米，用x表示矩形AMPN的面积？（2）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？19．已知：f（x）=lg（a x﹣b x）（a＞1＞b＞0）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）在其定义域内的单调性；（3）若f（x）在（1，+∞）内恒为正，试比较a﹣b与1的大小．卷（II）四、选填题（本大题共3小题，每小题5分，共30分）．2的值等于（）20．若3a=4，则log3A．2a B．a C．D．21．若函数f（x）=|4x﹣x2|+a有4个零点，则实数a的取值范围是（）A．[﹣4，0] B．（﹣4，0）C．[0，4] D．（0，4）22．定义域为R的奇函数f（x）是减函数，当f（a）+f（a2）＞0成立时，实数a的取值范围是（）A．a＜﹣1或a＞0 B．﹣1＜a＜0 C．a＜0或a＞1 D．a＜﹣1或a＞1五、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）23．若关于实数x的不等式|x+2|+|x﹣3|＜a无解，则实数a的取值范围是______．24．已知函数f（x）=（）x﹣（）x+1的定义域是[﹣3，2]，则该函数的值域为______．25．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）的最小正周期为3，且f（1）＞1，f（2）=，则m的取值范围是______．五、解答题：（本大题共2小题，26题8分，27题12分，共20分）26．解关于x的不等式2log4（x﹣1）＞log4[a（x﹣2）+1]（a为常数且a＞2）的解集．27．已知函数f（x）=m（x+）的图象与函数h（x）=（x+）+2的图象关于点A（0，1）对称．（1）求m的值；（2）若g（x）=f（x）+在区间（0，2]上为减函数，求实数a的取值范围．北京市房山四中2019-2020学年上学期期中考试高一数学试卷参考答案一、选择题（本答题共10小题，每小题5分，共50分）1．函数y=的定义域为（）A．{x|x≤1} B．{x|x＜1} C．{x|x≥1} D．{x|x＞1}【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则1﹣x≥0，解得x≤1，故函数的定义域为{x|x≤1}，故选：Ax＞0|}，则A∩B等于（）2．设集合A={x|x2﹣1＞0}，B={x|log2A．{x|x＞1} B．{x|x＞0} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x＞1或x＜﹣1}【考点】交集及其运算．【分析】先化简集合，即解一元二次不等式x2＞1，和对数不等式logx＞0，再求交集．2【解答】解：根据题意：集合A={x|x＜﹣1或x＞1}，集合B={x|x＞1}∴A∩B={x|x＞1}．故选A3． =（）A．14 B．0 C．1 D．6【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【分析】根据指数幂和对数的运算法则计算即可．【解答】解： =4﹣﹣lg10﹣2+3lne=4﹣9+2+3=0，故选：B．4．如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a取值范围是（）A．a≤﹣3 B．a≥﹣3 C．a≤5 D．a≥5【考点】二次函数的性质．【分析】先用配方法将二次函数变形，求出其对称轴，再由“在（﹣∞，4]上是减函数”，知对称轴必须在区间的右侧，求解即可得到结果．【解答】解：∵f（x）=x2+2（a﹣1）x+2=（x+a﹣1）2+2﹣（a﹣1）2其对称轴为：x=1﹣a∵函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数∴1﹣a≥4∴a≤﹣3故选A5．已知函数，那么f[f（）]的值为（）A．9 B．C．﹣9 D．﹣【考点】函数的值．【分析】首先判断自变量是属于哪个区间，再代入相应的解析式，进而求出答案．【解答】解：∵，∴==﹣2，而﹣2＜0，∴f（﹣2）=3﹣2=．∴=．故选B．0.2，则a，b，c的大小关系是（）6．若a=30.3，b=（0.3）2，c=log3A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数与对数函数的单调性，分析出三个数与0和1的关系，即可得出答案．0.2＜0，【解答】解：∵a=30.3＞1，b=（0.3）2∈（0，1），c=log3则a，b，c的大小关系是c＜b＜a，故选：C．（x﹣1）（a＞0，a≠1）的反函数的图象过定点（）7．函数f（x）=logaA．（0，2）B．（2，0）C．（0，3）D．（3，0）【考点】反函数．【分析】先求函数过的定点，再求关于y=x的对称点，对称点就是反函数过的定点．（x﹣1）恒过（2，0），【解答】解：函数f（x）=loga函数和它的反函数关于y=x对称，那么（2，0）关于y=x的对称点是（0，2），即（0，2）为反函数图象上的定点．故选A．8．函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A． B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】讨论a与1的大小，根据函数的单调性，以及函数恒过的定点进行判定即可．【解答】解：函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可以看成把函数y=a x的图象向下平移个单位得到的．当a＞1时，函数y=a x﹣在R上是增函数，且图象过点（﹣1，0），故排除A，B．当1＞a＞0时，函数y=a x﹣在R上是减函数，且图象过点（﹣1，0），故排除C，故选D．9．函数f（x）=log2x+x+2的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意可得，函数y=log2x 的图象和直线y=﹣x﹣2的交点个数，数形结合可得β结论．【解答】解：函数f（x）=log2x+x+2的零点的个数，即函数y=log2x 的图象和直线y=﹣x﹣2的交点个数，画出图象如图所示：函数y=log2x 的图象和直线y=﹣x﹣2的交点个数为1，即函数f（x）=log2x+x+2的零点的个数为1．故选：B．10．函数y=（）的单调增区间为（）A．[1，2] B．R C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）【考点】复合函数的单调性．【分析】令t=﹣3+4x﹣x2，则y=，本题即求函数t的单调减区间，利用二次函数的性质可得函数t 的减区间．【解答】解：令t=﹣3+4x﹣x2=﹣（x﹣2）2+1，则y=，本题即求函数t的单调减区间．利用二次函数的性质可得函数t的减区间为[2，+∞），故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）．11．已知集合M={0，x}，N={1，2}，若M∩N={1}，则M∪N= {0，1，2} ．【考点】并集及其运算；交集及其运算．【分析】由M，N，以及两集合的交集确定出x的值，进而确定出M，求出M与N的并集即可．【解答】解：∵M={0，x}，N={1，2}，且M∩N={1}，∴x=1，即M={0，1}，则M∪N={0，1，2}，故答案为：{0，1，2}12．函数f（x）=3x﹣1，若f[g（x）]=2x+3，则g（x）= ．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】直接利用函数的解析式，求解即可．【解答】解：函数f（x）=3x﹣1，若f[g（x）]=2x+3，可得3g（x）﹣1=2x+3，解得g（x）=．故答案为：．13．不等式的解集是（﹣∞，0]∪[6，+∞）．．【考点】其他不等式的解法．【分析】转化指数不等式为二次不等式，然后求解即可．【解答】解：不等式可以转化为x2+x+6≤2x2﹣5x+6，即x2﹣6x≥0，解得x≤0或x≥6．所以不等式的解集为（﹣∞，0]∪[6，+∞）．故答案为：（﹣∞，0]∪[6，+∞）．14．函数 y=3+a x﹣1（a＞0且a≠1）的图象必过定点P，P点的坐标为（1，4）．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】通过图象的平移变换得到y=3+a x﹣1与y=a x的关系，据y=a x的图象恒过（0，1）得到f（x）恒过（1，4）【解答】解：y=3+a x﹣1的图象可以看作把y=a x的图象向右平移一个单位再向上平移3个单位而得到，且y=a x一定过点（0，1），则y=a x﹣1+3应过点（1，4）故答案为：（1，4）15．如果函数f（x）=是奇函数，则a= 2 ．【考点】函数奇偶性的判断．【分析】由奇函数的定义可得，f（﹣x）+f（x）=0，再化简整理，即可得到a．【解答】解：函数f（x）=是奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，即有+=0，则=0，化简得到， =0，即=1，故a=2．故答案为：216．定义运算，例如，1*2=1，则函数f（x）=1*2x的值域是（0，1] ．【考点】函数的值域．【分析】为了求函数f（x）=1*2x的值域，先将其化成分段函数的形式，再画出其图象，最后结合图象即得函数值的取值范围，即可得到数f（x）=1*2x的值域．【解答】解：当1≤2x时，即x≥0时，函数y=1*2x=1当1＞2x时，即x＜0时，函数y=1*2x=2x∴f（x）=作出函数的图象，由图知，函数y=1*2x的值域为：（0，1]．故答案为：（0，1]．三、解答题（本大题共3小题，共26分）17．已知函数f（x）=1+．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性，并证明；（Ⅲ）求f（x）的值域．【考点】函数奇偶性的性质；函数的值域．【分析】（Ⅰ）利用分母不为0，求f（x）的定义域；（Ⅱ）利用函数奇偶性的定义，判断、证明f（x）的奇偶性；（Ⅲ）x＞0时，f（x）＞1，即可求f（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）由2x﹣1≠0，可得x≠0，∴函数的定义域为{x|x≠0}．（Ⅱ）奇函数证明：f（﹣x）=1+==﹣1﹣=﹣f（x）．∴f（x）是奇函数；（Ⅲ）x＞0时，f（x）＞1，∴值域为（﹣∞，1）∪（1，+∞）18．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|=3米，|AD|=2米，（1）设AN的长为x米，用x表示矩形AMPN的面积？（2）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？【考点】根据实际问题选择函数类型．【分析】本题考查的是根据实际问题选择函数模型的问题．在解答时：对（1）根据实际问题：由AN的长为x米，利用相似关系即可转化出边长AM，从而建立函数解析式，要注意自变量的取值范围．对（2）利用（1）的结论由于矩形AMPN的面积大于32平方米，即可找到不等关系，变形后是解关于X在定义域内的一元二次不等式即可获得问题的解答．【解答】解：（1）设AN的长为x米（x＞2）∵，∴|AM|==|AN|•|AM|=（x＞2）∴SAMPN（2）由S＞32得＞32，AMPN∵x＞2，∴3x2﹣32x+64＞0，即（3x﹣8）（x﹣8）＞0∴或x ＞8；AN 长的取值范围是．19．已知：f （x ）=lg （a x ﹣b x ）（a ＞1＞b ＞0）．（1）求f （x ）的定义域；（2）判断f （x ）在其定义域内的单调性；（3）若f （x ）在（1，+∞）内恒为正，试比较a ﹣b 与1的大小．【考点】函数的定义域及其求法；函数单调性的性质．【分析】（1）由对数的真数大于零得，a x ﹣b x ＞0，再由a ＞1＞b ＞0和指数函数的性质，求出不等式解集即函数的定义域；（2）先在定义域任取两个自变量，即x 2＞x 1＞0，利用指数函数的性质比较对应真数的大小，再根据y=lgx 在定义域上是增函数，得出f （x 2）与f （x 1）的大小，判断出此函数的单调性；（3）根据（2）证出的函数单调性，求出此区间内的函数的最小值f （1），只要f （1）≥0成立即可，代入函数解析式，利用lg1=0判断a ﹣b 与1的大小．【解答】解：（1）要使函数有意义，则a x ﹣b x ＞0，∴，∵，∴x ＞0，∴f （x ）的定义域为（0，+∞）． （2）设x 2＞x 1＞0，∵a ＞1＞b ＞0，∴，，则，∴，∴．∵函数y=lgx 在定义域上是增函数，∴f （x 2）﹣f （x 1）＞0，即f （x 2）＞f （x 1），∴f （x ）在（0，+∞）是增函数．（3）由（2）知，函数f （x ）在（0，+∞）是增函数，∴f （x ）在（1，+∞）是增函数，即有f （x ）＞f （1），要使f （x ）＞0恒成立，必须函数的最小值f （1）≥0，即lg （a ﹣b ）≥0=lg1，则a ﹣b ≥1．卷（II ）四、选填题（本大题共3小题，每小题5分，共30分）．20．若3a =4，则log 32的值等于（ ）A ．2aB ．aC ．D ．【考点】对数的运算性质．【分析】先将指数式3a =4转化为对数式a=log 34，再根据对数的运算性质得到a=log 34=log 322=2log 32，所以log 32=．【解答】解：根据3a =4，得a=log 34，根据对数的运算性质得到，a=log 34=log 322=2log 322=∴log3故选C．21．若函数f（x）=|4x﹣x2|+a有4个零点，则实数a的取值范围是（）A．[﹣4，0] B．（﹣4，0）C．[0，4] D．（0，4）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】函数f（x）=|4x﹣x2|+a零点的个数，即为函数y=|4x﹣x2|与函数y=﹣a交点个数，结合图象可得实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=|4x﹣x2|+a有4个零点函数y=|4x﹣x2|与函数y=﹣a有4个交点，如图所示：结合图象可得 0＜﹣a＜4，∴﹣4＜a＜0故选B22．定义域为R的奇函数f（x）是减函数，当f（a）+f（a2）＞0成立时，实数a的取值范围是（）A．a＜﹣1或a＞0 B．﹣1＜a＜0 C．a＜0或a＞1 D．a＜﹣1或a＞1【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】先根据函数是定义在R上的奇函数，把不等式f（a）+f（a2）＞0变形为f（a2）＞f（﹣a），再根据f（x）在R上是减函数，去函数符号，再解关于a的二次不等式即可．【解答】解：∵f（a）+f（a2）＞0，∴f（a2）＞﹣f（a），又∵f（x）为奇函数，∴f（a2）＞f（﹣a），∵f（x）在R上是减函数，∴a2＜﹣a，解得﹣1＜a＜0．故选：B．五、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）23．若关于实数x的不等式|x+2|+|x﹣3|＜a无解，则实数a的取值范围是（﹣∞，5] ．【考点】绝对值不等式．【分析】由绝对值的意义可得|x+2|+|x﹣3|的最小值为5，故当a≤5时，关于实数x的不等式|x+2|+|x﹣3|＜a无解，从而得到要求的a的范围．【解答】解：由于|x+2|+|x﹣3|表示数轴上的x对应点到﹣2和3对应点的距离之和，它的最小值为5，故当a≤5时，关于实数x的不等式|x+2|+|x﹣3|＜a无解，故答案为：（﹣∞，5]．24．已知函数f（x）=（）x﹣（）x+1的定义域是[﹣3，2]，则该函数的值域为[] ．【考点】指数型复合函数的性质及应用．【分析】由于x∈[﹣3，2]，可得≤≤8，令 t=，有y=t2﹣t+1=+，再利用二次函数的性质求出它的最值．【解答】解：由于x∈[﹣3，2]，∴≤≤8，令 t=，则有y=t2﹣t+1=+，故当t=时，y有最小值为，当t=8时，y有最大值为57，故答案为[]．25．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）的最小正周期为3，且f（1）＞1，f（2）=，则m的取值范围是﹣1＜m＜．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性和周期性的关系，即可得到结论．【解答】解：∵若f（x）的最小正周期为3，且f（1）＞1，∴f（2）=f（2﹣3）=f（﹣1），∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（2）=f（﹣1）=﹣f（1）＜﹣1，即f（2）=＜﹣1，即+1==，则等价为（m+1）（3m﹣2）＜0，解得﹣1＜m＜，故答案为：﹣1＜m＜．五、解答题：（本大题共2小题，26题8分，27题12分，共20分）26．解关于x的不等式2log4（x﹣1）＞log4[a（x﹣2）+1]（a为常数且a＞2）的解集．【考点】指、对数不等式的解法．【分析】利用对数函数的单调性把已知不等式变形，由a的范围求得的范围，求解不等式组得答案．【解答】解：原不等式等价于⇔，∵a＞2，∴，则2﹣，从而不等式组等价于：，即x＞a或．∴不等式的解集为{x|x＞a或}．27．已知函数f（x）=m（x+）的图象与函数h（x）=（x+）+2的图象关于点A（0，1）对称．（1）求m的值；（2）若g（x）=f（x）+在区间（0，2]上为减函数，求实数a的取值范围．【考点】函数的图象与图象变化；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）由题意，h（1）=，从而可得（1，）关于（0，1）的对称点（﹣1，﹣）在函数f（x）=m（x+）的图象上，从而求m；（2）由对勾函数的单调性求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由h（1）=得，（1，）关于（0，1）的对称点（﹣1，﹣）在函数f（x）=m（x+）的图象上，故﹣=﹣2m，解得，m=；（2）g（x）=（x+）+==+，故1+a＞0，≥2，解得a≥3．。

2019-2020学年北京四中高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．设集合A ={4,5,7,9},B ={3,4,7,8,9}，全集U =A ∪B ，则集合C U (A ∩B)中的元素共有A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．函数()f x =的定义域是（ ）． A ．(),2-∞ B ．[)2,+∞ C ．(],2-∞ D ．()2,+∞3．设集合A={（x ，y ）|4x+y=6}，B={（x ，y ）|3x+2y=7}，则满足C ⊆A ∩B 的集合C 的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．下列函数中，在（-∞，0）上为减函数的是（ ）A ．y =−x 2+2B ．y =4x −1C ．y =x 2+4xD ．y =1x5．已知函数f(x)=(23)x ，则函数y=f （x+1）的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．6．如果二次函数y=x2-（k+1）x+k+4有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(−∞,−3)∪(5,+∞)B ．(−∞,−5)∪(3,+∞)C ．(−3,5)D ．(−5,3)7．下列大小关系正确的是（ ）A ．0.43<30.4<log 40.3B ．0.43<log 40.3<30.4C ．log 40.3<0.43<30.4D ．log 40.3<30.4<0.438．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，32()2f x x x =-，则当0x <时，()f x =（ ）A ．322x x +B ．322x x -C ．322x x -+D ．322x x --二、填空题9．计算：e ln1＝________.10．已知集合A ={x|x >1}，B ={x|x >a}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是______.11．函数f(x)=log a (a −a x ) (0<a <1)的定义域为__________.12．已知f(x)＝{x 2−1, x ≤1−x +1, x >1，则f[f(−1)]＝_________；若f(x)=−1，则x =________．13．已知函数f(x)=ax 2−2x −2在区间[1,+∞)上不单调，则实数a 的取值范围是________.14．如图放置的边长为2的正三角形ABC 沿x 轴滚动，记滚动过程中顶点A 的横、纵坐标分别为x 和y ，且y 是x 在映射f 作用下的象，则下列说法中：① 映射f 的值域是[0,√3]；② 映射f 不是一个函数；③ 映射f 是函数，且是偶函数；④ 映射f 是函数，且单增区间为[6k,6k +3](k ∈Z)，其中正确说法的序号是___________.说明：“正三角形ABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动．沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点B 为中心顺时针旋转，当顶点C 落在x 轴上时，再以顶点C为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正三角形ABC可以沿x轴负方向滚动．15．已知函数f(x)=x 12−log12x，若0＜a＜b＜c，且满足f(a)f(b)f(c)<0(0<a<b<c)，则下列说法一定正确的是______.①f(x)有且只一个零点②f(x)的零点在(0,1)内③f(x)的零点在(a,b)内④f(x)的零点在(c,+∞)内16．关于函数f(x)=√x2−x4|x−1|−1的性质描述，正确的是___①f(x)的定义域为[−1,0)∪(0,1]②f(x)的值域为(−1,1)③f(x)在定义域上是增函数④f(x)的图象关于原点对称17．在同一直角坐标系下，函数y= a x与y= log a x(a>0,a≠1)的大致图象如图所示，则实数a的可能值为______①. 32②. 43③. 75④. 10718．已知函数f(x)={x3+a,x>0x+1, x≤0在R上是增函数，则实数a的取值范围是________．19．非空有限数集S满足：若a,b∈S，则必有ab∈S．请写出一个满足条件的二元数集S＝________．20．已知直线y=ax上恰好存在一个点关于直线y=x的对称点在函数y=lnx 的图象上．请写出一个符合条件的实数a的值：________．三、解答题21．已知集合A={x|x2−x<0}，B={x|x2−2x−m<0}.（1）求∁R A；（2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．22．已知函数f(x)=a−2是定义在R上的奇函数．1+2x（1）求f(x)的解析式及值域；（2）判断f(x)在R上的单调性，并用单调性定义予以证明．23．某公司共有60位员工，为提高员工的业务技术水平，公司拟聘请专业培训机构进行培训．培训的总费用由两部分组成：一部分是给每位参加员工支付400元的培训材料费；另一部分是给培训机构缴纳的培训费．若参加培训的员工人数不超过30人，则每人收取培训费1000元；若参加培训的员工人数超过30人，则每超过1人，人均培训费减少20元．设公司参加培训的员工人数为x人，此次培训的总费用为y元．（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）请你预算：公司此次培训的总费用最多需要多少元？24．若函数f(x)的图象恒过(0,0)和(1,1)两点，则称函数f(x)为“0-1函数”. （1）判断下面两个函数是否是“0-1函数”，并简要说明理由：①y=x−1；②y=−x2+2x.（2）若函数f(x)=a x+b是“0-1函数”，求f(x)；（3）设g(x)=log a x(a>0,a≠1)，定义在R上的函数ℎ(x)满足：①对∀x1,x2∈R，均有ℎ(x1x2+1)=ℎ(x1)⋅ℎ(x2)−ℎ(x2)−x1+2；②g[ℎ(x)]是“0-1函数”，求函数ℎ(x)的解析式及实数a的值．2018-2019学年北京市人大附中高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9}，全集U=A∪B，则集合C U(A∩B)中的元素共有A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】A【解析】试题分析：U =A ∪B ={3,4,5,7,8,9},A ∩B ={4,7,9},所以C U (A ∩B)={3,5,8}，即集合C U (A ∩B)中共有3个元素，故选A ．【考点】集合的运算．2．函数()f x =的定义域是（ ）． A ．(),2-∞ B ．[)2,+∞ C ．(],2-∞ D ．()2,+∞【答案】D【解析】要使函数有意义，则需20x ->，解得： 2x >，所以函数的定义域是：()2,+∞，故选D ．3．设集合A={（x ，y ）|4x+y=6}，B={（x ，y ）|3x+2y=7}，则满足C ⊆A ∩B 的集合C 的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】先求出A ∩B ，然后根据A ∩B 中元素的个数确定C 的个数．【详解】A ∩B ={(x ，y)|{4x +y =63x +2y =7 }={（1，2）}， ∴C 是∅或{（1，2）}，共有2个．故选：C ．【点睛】本题考查子集的性质和应用，属于基础题．4．下列函数中，在（-∞，0）上为减函数的是（ ）A ．y =−x 2+2B ．y =4x −1C ．y =x 2+4xD ．y =1x【答案】D【解析】根据二次函数，一次函数，反比例函数的单调性，逐一判断四个答案中的函数在区间（﹣∞，0）上的单调性，比照后，即可得到答案．【详解】 A 中，函数y ＝﹣x 2+2在（﹣∞，0）上为增函数；B 中，函数y ＝4x ﹣1在（﹣∞，0）上为增函数；C 中，函数y ＝x 2+4x 在（﹣∞，﹣2）上为减函数，在（﹣2，0）上为增函数；D 中，函数y =1x 在（﹣∞，0）上为减函数故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，熟练掌握各种基本初等函数的单调性，是解答本题的关键．5．已知函数f(x)=(23)x ，则函数y=f （x+1）的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】根据题意，先求f （x +1）的表达式，可得f(x +1)=(23)x+1=23⋅(23)x ，进而分析可得f （x ）单调递减，且其图象与y 轴交点在（0，1）之下，比较选项可得答案．【详解】根据题意，可得f(x +1)=(23)x+1=23⋅(23)x ，f （x ）单调递减； 同时有f(0)=23＜1，23＜1，即函数图象与y 轴交点在（0，1）之下； A 、D 选项的图象为增函数，不符合；C 选项的图象与y 轴交点在（0，1）之上，不符合；只有B 的图象符合两点，故选：B ．【点睛】本题考查指数函数的性质和函数图象的变化，掌握指数函数的性质是解题的关键．6．如果二次函数y=x2-（k+1）x+k+4有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(−∞,−3)∪(5,+∞)B ．(−∞,−5)∪(3,+∞)C ．(−3,5)D ．(−5,3)【答案】A【解析】二次函数y ＝x 2﹣（k +1）x +k +4有两个不同的零点可得，x 2﹣（k +1）x +k +4＝0有两个不同的实根，则△＞0，解不等式可求.【详解】∵二次函数y ＝x 2﹣（k +1）x +k +4有两个不同的零点∴x 2﹣（k +1）x +k +4＝0有两个不同的实根∴△＝（k +1）2﹣4（k +4）＝k 2﹣2k ﹣15＝（k +3）（k ﹣5）＞0∴k ＜﹣3或k ＞5故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次函数的零点与二次方程的根的存在情况的判断，属于基础题.7．下列大小关系正确的是（ ）A ．0.43<30.4<log 40.3B ．0.43<log 40.3<30.4C ．log 40.3<0.43<30.4D ．log 40.3<30.4<0.43【答案】C【解析】试题分析：根据指数的性质可知：0<0.43<0.4<12，30.4>1，根据对数的性质12<log 43<1,所以0.43<12<log 43<1<30.4，故选择D.【考点】1.指数对数的比较大小；2.指数、对数的运算性质.8．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，32()2f x x x =-，则当0x <时，()f x =（ ）A ．322x x +B ．322x x -C ．322x x -+D ．322x x --【答案】A【解析】试题分析：设0x <，则0x ->，因为函数()f x 是R 上的奇函数，所以()()3232f x f x x x x x=--=----=+，故选A．[()2()]2【考点】函数的奇偶性的应用．二、填空题9．计算：e ln1＝________.【答案】1【解析】利用对数的运算规则a log a N=N可得计算结果.【详解】因为e ln1=e log e1=1，故填1.【点睛】对数有如下的运算规则：（1）log a M+log a N=log a(MN)(a>0,a≠1,M>0,N>0)，(a>0,a≠1,M>0,N>0)；log a M−log a N=log a MN（2）a log a N=N(a>0,a≠1,N>0)；log a b(a>0,a≠1,b>0,p≠0)；（3）log a p b q=qp(a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1) .（4）log a b=log c blog c a10．已知集合A={x|x>1}，B={x|x>a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是______.【答案】(−∞,1]【解析】在数轴上画出两个集合对应的范围，利用A⊆B可得实数a的取值范围. 【详解】如图，在数轴表示A,B，因为A⊆B，故a≤1，填(−∞,1].【点睛】含参数的集合之间的包含关系，应借助于数轴、韦恩图等几何工具直观地讨论参数的取值范围，解决此类问题时，还应注意区间端点处的值是否可取. 11．函数f(x)=log a(a−a x)(0<a<1)的定义域为__________.【答案】(1,+∞)【解析】解不等式a−a x>0可得函数的定义域.【详解】由题设有a−a x>0即a>a x，因0<a<1，故x>1，故函数的定义域为(1,+∞)，填(1,+∞).【点睛】函数的定义域一般从以下几个方面考虑：（1）分式的分母不为零；（2）偶次根号√an（n∈N∗,n≥2，n为偶数）中，a≥0；（3）零的零次方没有意义；（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为1.12．已知f(x)＝{x2−1, x≤1−x+1, x>1，则f[f(−1)]＝_________；若f(x)=−1，则x=________．【答案】－1 0或2【解析】根据自变量的范围选择合适的解析式计算函数值即可，分段讨论可得何时f(x)=−1.【详解】f(−1)=(−1)2−1=0，故f[f(−1)]=f(0)=−1，因为f(x)=−1，故{x≤1x2−1=−1或者{x>1−x+1=−1，解得x=0或x=2 . 综上，填−1，0或2.【点睛】分段函数的求值问题，应该自变量的范围选择适当的解析式去求函数值，如果知道分段函数的函数值，则应分类讨论求出不同范围上的自变量的值，也可以先刻画出分段函数的函数图像，结合图像求函数值或相应的自变量的值.13．已知函数f(x)=ax2−2x−2在区间[1,+∞)上不单调，则实数a的取值范围是________.【答案】(0,1)【解析】∈[1,+∞)，从而得到实数a的取值范根据函数在[1,+∞)不单调可得a≠0且1a围.【详解】若a=0，则f(x)=−2x−2，f(x)在[1,+∞)为减函数，不符题意，舎；，因为f(x)在[1,+∞)不单调，若a≠0，则f(x)为二次函数，对称轴为x=1a>1，所以0<a<1，填(0,1).故1a【点睛】含参数的多项式函数，我们要首先确定最高次项的系数是否为零，因为它确定了函数种类（一次函数、二次函数、三次函数等）.其中，一次函数y=kx+b 的单调性取决于k的正负，二次函数的单调性取决对称轴的位置及开口方向. 14．如图放置的边长为2的正三角形ABC沿x轴滚动，记滚动过程中顶点A 的横、纵坐标分别为x和y，且y是x在映射f作用下的象，则下列说法中：①映射f的值域是[0,√3]；②映射f不是一个函数；③映射f是函数，且是偶函数；④映射f是函数，且单增区间为[6k,6k+3](k∈Z)，其中正确说法的序号是___________.“正三角形ABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿说明：x轴正方向滚动指的是先以顶点B为中心顺时针旋转，当顶点C落在x轴上时，再以顶点C为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正三角形ABC可以沿x轴负方向滚动．【答案】③。

北京四中高中一年级期中考试数学试卷卷（I）一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题6分，共48分）1.的值为（）A. B. C. 1 D.【答案】D【解析】【分析】根据对数的运算法则及性质即可求解.【详解】因为，故选D.【点睛】本题主要考查了对数的性质和运算法则，属于容易题.2.集合，则下列关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据元素与集合的关系即可判断.【详解】因为，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，属于容易题.3.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】函数要有意义，则需解析式有意义，分式的分母不为0即可.【详解】要是函数有意义，则需，解得，所以函数的定义域为，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的定义域，属于中档题.4.若，则（）A. 1B.C. 0D.【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式，只需把代入即可求出函数值.【详解】因为，所以当时，，故选A.【点睛】本题主要考查了根据函数解析式求函数值，属于中档题.5.下列函数中，在区间上为增函数的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性，逐项分析即可.【详解】A选项中是一次函数，，所以在R上是减函数，错误；B选项是幂函数，幂指数，在区间上为增函数，故正确；C选项是二次函数，对称轴为，在区间上无单调性，错误；D选项是指数函数，，在R上是减函数，错误.故选B.【点睛】本题主要考查了函数的单调性，属于中档题.6.下列函数中，值域是的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数性质，逐项分析各选项即可.【详解】A中的值域为R,错误，B中的值域为，正确；C中，值域为，错误；D中的值域为R,错误.故选B.【点睛】本题主要考查了基本初等函数的值域，属于中档题.7.函数的零点所在的一个区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意可知函数是R上的减函数，只需根据即可判断零点所在区间. 【详解】因为是R上的减函数，所以是R上的减函数，又，可知零点在区间上，故选C.【点睛】本题主要考查了函数零点的存在性，函数的单调性，属于中档题.8.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据指数及对数的性质可分析出范围，从而得到结果.【详解】因为，所以，因为，所以，所以选B.【点睛】本题主要考查了指数的性质，对数的性质，属于容易题.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9.计算:________；________.【答案】(1). 1(2). 4【解析】【分析】分别根据对数的运算法则及指数的运算法则计算即可求解.【详解】;故填(1). 1 (2). 4【点睛】本题主要考查了对数及指数运算法则，属于中档题.10.若函数的定义域为，则函数的定义域为________.【答案】【解析】【分析】根据的定义域为知，要有意义则需，即可求出的定义域.【详解】因为的定义域为，则要有意义则需，解得，所以的定义域为.故填.【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域，属于中档题.11.函数，则其图象的对称轴方程为________；的增区间是________.【答案】(1). 2(2).【解析】【分析】根据二次函数的性质知，对称轴方程为，当时，增区间为,据此可写出答案.【详解】因为函数，所以对称轴方程为，的增区间是.故填：(1). 2(2).【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴和单调区间，属于容易题.12.已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】函数有3个零点，即方程有3个根，因此在同一坐标系内做出的图象与直线，观察它们公共点的个数即可得到答案.【详解】因为有3个零点，所以的图象与直线有3个公共点在同一坐标系内作出它们的图象，如下：根据图象可知，当时，有三个交点.故则实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了分段函数，函数的零点，函数零点与方程的根，数形结合思想，属于中档题.三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）13.设集合.（I）用列举法写出集合；（II）求和.【答案】（I）；（II）,.【解析】【分析】（I）根据集合的描述法写出集合中的元素即可列举法表示（II）根据交集和并集的运算即可求解.【详解】（I）因为x，所以,所以.（II）因为，所以,.【点睛】本题主要考查了集合的描述法，列举法，交集，并集，属于中档题.14.已知函数.（I）当时，判断的奇偶性，并证明你的结论；（II）当时，求的值域.【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】【分析】（I）当时,,,为偶函数，可根据定义证明（II）当时，，配方可写出值域.【详解】（I）当时,,,为偶函数,证明：由知，,,.即函数为偶函数.（II）当时，即函数的值域为.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，二次函数的值域，属于中档题.15.设函数.（I）利用单调性定义证明：在区间上是单调递减函数；（II）当时，求在区间上的最大值.【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】【分析】（I）根据函数单调性的定义证明即可（II）先证明函数在区间[2，+∞）上是单调递增函数，再结合（I）的结论且，对分类讨论写出函数最大值.【详解】（I）任取，∈（0，2]，设<，则∵，∴∵，∴∴所以，故在区间（0，2]上是单调递减函数.（II）由（I）可知，在区间（0，2]上是单调递减函数；当，设<，易知总有<，所以在区间[2，+∞）上是单调递增函数，又，所以在区间上最大值为.【点睛】本题主要考查了函数单调性的定义证明，分类讨论的思想，属于中档题.卷（II）一、选填题：（本大题共5小题，每小题6分，共30分）16.不等式的解集是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的增减性可转化为，即可求解.【详解】，即.所以不等式的解集为.故选C.【点睛】本题主要考查了指数函数的增减性，属于中档题.17.如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定是偶函数的是A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意得，因为函数是定义在上的奇函数，所以，设，则，所以函数为偶函数，故选B．考点：函数奇偶性的判定．18.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前5天监测到的数据：第天 1 2 3 4 5被感染的计算机数量（台）10 20 39 81 160则下列函数模型中，能较好地反映计算机在第天被感染的数量与之间的关系的是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据选项中的函数，依次代入x值求出y的值，通过y的值与表格中所给出的y的值进行比较，误差越小则拟合度越高，误差越大则拟合度越小，计算即可求解.【详解】对于A选项，当时，对应的y值分别为,对于B选项，当时，对应的y值分别为,对于C选项，当时，对应的y值分别为,对于D选项，当时，对应的y值分别为,而表中所给的数据为，，当时，对应的y值分别为，通过比较，即可发现选项D中y的值误差最小，即能更好的反映与之间的关系. 故选D.【点睛】本题主要考查了选择合适函数模型来拟合实际问题，属于中档题.19.设全集，集合,则_______；_______.【答案】(1). (2).【解析】【分析】根据集合的补集的运算及交集的运算即可求解.【详解】因为全集，集合,所以,.【点睛】本题主要考查了集合的交集、补集运算，属于中档题.20.如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为, ，则_________；的解集为________.【答案】(1). 2(2).【解析】【分析】根据函数的图象，观察即可得出答案.【详解】根据图象知，所以，根据图象知，所以，当时，由图象可知，即的解集为.【点睛】本题主要考查了函数的图象，属于中档题.二、解答题：（本大题共2小题，共22分）21.（12分）设函数.（I）若，求的取值范围；（II）记的反函数为,若在上恒成立，求的最小值.【答案】（I）或；（II）.【解析】【分析】（I）根据对数函数的增减性转化为，并注意真数大于零即可求解（II）由题意知，原不等式可转化为在区间[2，）上恒成立即可求解.【详解】（I）由已知log a（x2－x）>log a2，因为0<a<1，所以0<x2－x<2，解，得－1<x<2,解，得x>1或x<0,所以x的取值范围是{x|－1<x<0或1<x<2）.（II）为的反函数，所以,由已知在区间[2，）上恒成立，因为，所以在区间[2，）上恒成立，即大于等于的最大值,因为0<a<1，所以>1，又x－2∈[0，），所以（）的最小值为1，－（）的最大值为－1，所以k≥－1，所以k的最小值为－1.【点睛】本题主要考查了对数函数的增减性，反函数，指数函数，恒成立问题，属于中档题.22.（10分）给定数集,若对于任意,有,且，则称集合为闭集合. （I）判断集合是否为闭集合，并给出证明；（II）若集合为闭集合，则是否一定为闭集合?请说明理由；（III）若集合为闭集合，且,证明：.【答案】（I）证明见解析；（II）不一定，证明见解析；（III）证明见解析.【解析】【分析】（I）根据特值，但是4+4=8A，判断A不为闭集合，设，可证出，，B为闭集合（II）取特例A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=3k，k∈Z}，集合为闭集合，但不为闭集合即可（III）用反正正法，若A B=R，存在a∈R且a A，故a∈B，同理，因为B R，存在b∈R且b B，故b∈A，若，则由A为闭集合，，与a A矛盾，同理可知若，，与b B矛盾，即可证明.【详解】（I）因为，但是4+4=8A，所以，A不为闭集合；任取，设,则且所以，同理，，故B为闭集合.（II）结论：不一定.令A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=3k，k∈Z}，则由（I）可知，A，B为闭集合，但2，3∈A B，2+3=5A B，因此，A B不为闭集合.（III）证明：（反证）若A B=R,则因为A R，存在a∈R且a A，故a∈B,同理，因为B R，存在b∈R且b B，故b∈A,因为a+b∈R=A B，所以，a+b∈A或a+b∈B,若，则由A为闭集合，，与a A矛盾,若，则由B为闭集合，，与b B矛盾,综上，存在c∈R，使得c（A B）.【点睛】本题主要考查了集合子集、真子集，反证法，考查了学生分析推理能力，属于难题.。

2019北京四中高一（上）期中数 学试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，满分共计150分考试时间：120分钟卷（I ）一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知全集U ={1，2，3，4，5}，集合A ={1，3}，B ={3，4，5}，则集合A ∩B =（）A.{2，3，4，5}B.{3}C.{1，4，5}D.{1，3，4，5}2.函数f (x )=√x−1x−2的定义域是（ ）A.RB.{x x ⁄>2}C.{x x ⁄≥1}D.{x x ⁄≥1且x ≠2}3.若a >b ，则下列各式中正确的是（ ）A.ac >bcB.ac 2>bc 2C.a +c 2>b +c 2D.1a <1b4.下列函数中，在区间(0，+∞)上为减函数的是（ ）A.y =x 2−2xB.y =|x |C.y =2x +1D.y =−√x5.命题“∀x ∈R ，x 3−x 2+1≤0”的否定是（ ）A.∃x ∉R ，x 3−x 2+1>0B.∃x ∈R ，x 3−x 2+1>0C.∃x ∈R ，x 3−x 2+1≥0D.∀x ∈R ，x 3−x 2+1>06.下列函数中：① y =2x ② y =1(x+1)2 ③ y =x 2+1 ④ f (x )={x +1，x <01−x ，x >0偶函数的个数是（ ）A.0B.1C.2D.37.“x>1”是“x2−x>0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.函数f(x)=x3−2x−3一定存在零点的区间是（）A.(2，+∞)B.(1，2)C.(0，1)D.(−1，0)9.下列函数中，满足f(2x)=2f(x)的是（）A.f(x)=(x+2)2B.f(x)=x+1C.f(x)=4xD.f(x)=x−|x|10.函数f(x)=ax+b(x+c)2的图像如图所示，则下列结论成立的是（）A.a>0，b>0，c<0B.a<0，b>0，c>0C.a<0，b>0，c<0D.a<0，b<0，c<0二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分11.设全集U=R，集合A={x0⁄<x<2}，B={−3，−1，1，3}，则集合(C U A)∩B=12.已知f(x)={2x−1，x≥03x2，x<0，则f(f(−1))的值为13.函数y=x2+3x−1，x∈[−2，3]的值域是14.若x>0，则f(x)=4x+19x的最小值为15.若二次函数f(x)的图像关于x=2对称，且f(a)≤f(0)<f(1)，则实数a的取值范围是16.某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数.（1）若教师人数为4，则女学生人数的最大值为；（2）该小组人数的最小值为 .三.解答题：本大题共3小题，共30分17.（10分）设集合A ={x x 2⁄−2x −3>0}，B ={x x 2⁄+4x +3<0}，C ={x 2k ⁄−1<x <2k +3}.（1）求A ∪B ；（2）若C ⊆A ∪B ，求实数k 的取值范围.18.（8分）已知：a ，b >0，求证：a 3+b 3≥a 2b +ab 2.19.（12分）已知函数f (x )=2x −1a ，g (x )=2x −1a (a ∈R ，a ≠0).（1）当a =1时，解关于x 的不等式f (x )>0；（2）若f (x )+g(x)≥0在(0，+∞)上恒成立，求a 的取值范围.卷（II ）一.过程性评价（考生不必作答），共10分二.填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分1.已知集合M ={0，1，2，3}，N ={x x ⁄=2a ，a ∈M}，则集合M ∩N =2.不等式|x −1|+|x +2|≤5的解集为3.已知x >y >z ，x +y +z =0，则 ① xz <yz ② xy >yz ③ xy >xz④ x |y |>z |y |四个式子中正确的是 （只填写序号）4.设f (x )={(x −a )2，x ≤0x +1x ，x >0（1）当a =12时，f (x )的最小值是 ；（2）若f(0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围是 .5.已知集合M={x∈N∕1≤x≤15}，集合A1，A2，A3满足①每个集合都恰有5个元素；②A1∪A2∪A3=M，集合A i中元素的最大值与最小值之和称为集合A i的特征数，记为X i(i=1,2,3)，则X1+X2+X3的最大值与最小值的和为 .三.解答题：本大题共2小题，共20分6.（10分）已知函数f(x)=x2+a|x−1|.（1）当a=2时，解方程f(x)=2；（2）若f(x)在[0，+∞)上单调递增，求实数a的取值范围.7.（10分）设a，b，c，d不全为0，给定函数f(x)=bx2+cx+d，g(x)=ax5+bx2+cx+d.若f(x)，g(x)满足①f(x)有零点；②f(x)的零点均为g(f(x))的零点；③g(f(x))的零点均为f(x)的零点. 则称f(x)，g(x)为一对“K函数”.（1）当a=c=d=1，b=0时，验证f(x)，g(x)是否为一对“K函数”，并说明理由；（2）若f(x)，g(x)为任意一对“K函数”，求d的值；（3）若a=1，f(1)=0，且f(x)，g(x)为一对“K函数”，求c的取值范围.word下载地址。

2019-2020学年北京四中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共13小题，共65.0分） 1. log 223+log 26等于( )．A. 1B. 2C. 5D. 6 2. 已知集合M ={x|x 2−x −6=0}，则下列正确的是( )A. {−2}∈MB. 2∈MC. −3∈MD. 3∈M3. 函数y =log 2(x 2−2x −3)的定义域为( )A. (−∞,−1)∪(3,+∞)B. [−1,3]C. (−∞,−1]∪[3,+∞)D. (−1,3)4. 已知f(x)={x −6,(x ≥6)f(x +2),(x <6)，则f(3)为( )A. 1B. 2C. 4D. 55. 下列函数中，在区间(0,+∞)上为增函数的是( )A. y =√x +1B. y =(x −1)2C. y =2−xD. y =log 0.5(x +1)6. 函数y =x 2−2x 定义域为{0,1，2，3}，则值域为( )A. {−1,0，3}B. {0,1，2，3}C. [−1,3]D. [0,3] 7. 函数f (x )=−|x −5|+2x−1的零点所在的区间是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)8. 设a =log 123.b =ln4，c =(13)0.2，则( ) A. a <b <c B. a <c <b C. c <a <b D. b <c <a 9. 若函数f (x )=(x +1)(x −a )为偶函数，则a =( )A. −2B. −1C. 1D. 210. 已知函数f (x )=a ⋅2x −1与函数g (x )=x 3+ax 2+1(a ∈R )，下列选项中不可能是函数f (x )与g (x )图象的是( )A.B.C.D.11. 不等式23x−5>(12)2x+3的解集为 ( )A. (−∞,25) B. (25,+∞)C. (−∞,8)D. (8,+∞)12. 下列函数中，f(x)是偶函数的是( )A. f(x)=2|x|−1B. f(x)=x 2，x ∈[−2,2)C. f(x)=x 2+xD. f(x)=x 313. 某种豆类生长枝数随时间增长，前6月数据如下：第x 月 1 2 3 4 5 6 枝数y(枝)247163363( )A. y =2xB. y =x 2−x +2C. y =2xD. y =log 2x +2二、填空题（本大题共7小题，共35.0分）14. 计算：2log 23+lg √5+lg √20=__________________.15. 已知y =f(x)是定义在[1,4)上的函数，则函数y =f(2x +1)的定义域为__________． 16. 若函数f(x)=x 2−2x(x ∈[0,3])，则f(x)的最小值是______ ．17. 已知函数f(x)=x 2+2mx +3m +4有两个零点，一个零点在(−1,1)内，另一个零点在(1,2)内，则实数m 的取值范围是________．18. 已知全集U ={1,2，3，4，5}，集合A ={1,3，5}，B ={3,4，5}，则集合∁U (A ∩B)=______． 19. 设f(x)={2e x−1,x <2,log 3(x 2−1),x ≥2,则f(f(1))=________，不等式f(x)>2的解集为________．20. 已知−1<a +b <3且2<a −b <4，求2a +3b 的取值范围______ ． 三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）21. 已知集合A ={−1,2}，B ={x|x 2−ax −4=0}．(1)若a =0，求A ∪B ．(2)若a=3，求A∩B．22.已知函数f(x)=log21+x1−x．(1)判断f(x)奇偶性并证明你的结论；(2)解方程f(x)<−1．23.f(x)=−12x2+132在区间[a,b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a,b]．24.已知函数f(x)=2x−1的反函数为y=f−1(x)，记g(x)=f−1(x−1)．(1)求函数y=2f−1(x)−g(x)的最小值；(2)若函数F(x)=2f−1(x+m)−g(x)在区间[1,+∞)上是单调递增函数，求实数m的取值范围．25.集合A={1,2，3}，B={1,2}，定义集合间的运算A+B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B}，则集合A+B中元素的最大值是________．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查了对数运算性质，属于基础题．利用对数运算性质即可得出．【解答】×6)=log222=2．解：原式=log2(23故选B．2.答案：D解析：【分析】本题考查元素与集合的关系，是基础题．求出集合M，根据元素与集合间的关系即可判断．【解答】解：M={x|x2−x−6=0}={−2,3}，所以−2∈M,3∈M，所以D正确，故选D．3.答案：A解析：解：要使函数有意义，则x2−2x−3>0，即x>3或x<−1，即函数的定义域为(−∞,−1)∪(3,+∞)，故选：A．根据函数成立的条件即可求函数的定义域．本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．4.答案：A解析：【分析】直接利用分段函数的解析式求解函数值即可．本题考查函数的解析式的应用，函数值的求法，是基础题． 【解答】解：f(x)={x −6,(x ≥6)f(x +2),(x <6)，则f(3)=f(5)=f(7)=7−6=1． 故选：A ．5.答案：A解析：利用函数的单调性或函数的图像逐项验证.A.函数y =√x +1在[−1,+∞)上为增函数，所以函数在(0,+∞)上为增函数，故正确；B.函数y =(x −1)2在(−∞,1)上为减函数，在[1,+∞)上为增函数，故错误；C.函数y =2−x =(12)x 在R 上为减函数，故错误；D.函数y =log 0.5(x +1)在(−1,+∞)上为减函数，故错误．6.答案：A解析： 【分析】本题考查了函数的值域问题，属于基础题． 根据所给定义域代入函数，解得值域． 【解答】解：∵y =x 2−2x ， 又∵x ∈{0,1，2，3}， ∴y =−1，0，3． 即函数值域为{−1,0，3}． 故选A ．7.答案：C解析： 【分析】本题考查函数零点存在性定理问题，属于基础题．对于连续函数只要满足两端点的函数值符号相反即可，分别代入判断符号即可． 【解答】解：因为f (0)=−92，f (1)=−3，f (2)=−1，f (3)=2，所以f(x)的零点所在的区间是(2,3)，故选C．8.答案：B解析：解：∵a=log123<0，b=ln4>1，c=(13)0.2∈(0,1)．∴a<c<b．故选：B．利用指数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.答案：C解析：f(x)=x2+(1−a)x−a,f(x)为偶函数，∴1−a=0,a=1，故选C．10.答案：D解析：【分析】本题考查的知识点是三次函数的图象和性质，指数函数的图象和性质，分类讨论思想，难度中档．对a进行分类讨论，利用排除法，可得答案．【解答】解：a=0时，函数f(x)与g(x)图象为：故排除A；g′(x)=3x2+2ax，令g′(x)=0，则x=0，或x=−2a3，当a<0时，0为函数g(x)的极大值点，函数f(x)与g(x)图象为：故排除C ；当a >0时，0为函数g(x)的极小值点， 函数f(x)与g(x)图象为：故排除B ； 故选D ．11.答案：B解析： 【分析】本题考查了指数不等式的求解，属基础题目．解题的关键是熟练掌握指数函数的单调性.可将原不等式转化为3x −5>−2x −3，解此不等式即可． 【解答】解：不等式23x−5>(12)2x+3可化为23x−5>2−2x−3，∴3x −5>−2x −3， 解得x >25，所以原不等式的解集为(25,+∞)． 故选B ．12.答案：A解析：【分析】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据偶函数的定义是解决本题的关键，属于基础题．根据函数奇偶性的定义进行判断即可．解析：解：A.f(−x)=2|−x|−1=2|x|−1=f(x)，x∈R，因此该函数为偶函数，B.函数f(x)的定义域不关于原点对称，函数f(x)是非奇非偶函数，C.f(−x)=x2−x≠f(x)，不是偶函数，D.f(−x)=−x3=−f(x)，x∈R，则f(x)是奇函数．故选A．13.答案：C解析：【分析】本题考查函数模型的选择，解题的关键是看出函数的变化趋势和所过的特殊点，属于基础题．本题要选择合适的模型，从所给数据可以看出图象大约过(1,2)和(2,4)，和(4,16)和(6,63)，把这四个点代入所给的四个解析式发现只有y=2x最合适．【解答】解：从所给数据可以看出图象大约过(1,2)和(2,4)和(4,16)和(6,63)，把这四个点代入所给的四个解析式发现只有y=2x最合适，故选：C．14.答案：4解析：【分析】本题考查了指数恒等式、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用指数恒等式、对数运算性质即可得出．【解答】解：原式=3+lg(√5×√20)=3+lg10=4．故答案为4．)15.答案：[0,32解析：因为函数y =f(x)的定义域为[1,4)，令1≤2x +1<4，解得0≤x <32，所以函数y =f(2x +1)的定义域为[0,32).故答案为：[0,32)．16.答案：−1解析：解：函数f(x)=x 2−2x 的对称轴为：x =1∈[0,3]，二次函数的开口向上， 函数的最小值为：f(1)=1−2=−1． 故答案为：−1．求出函数的对称轴，利用二次函数的性质求解函数的最小值即可．本题考查二次函数的最值的求法，求出函数的对称轴判断开口方向是解题的关键．17.答案：(−87,−1)解析： 【分析】本题考查二次函数的零点问题解法，注意运用转化思想，以及数形结合思想方法，考查运算能力，属于基础题．由二次函数f(x)的图象，结合两个零点的范围，可得f(−1)>0，f(1)<0，f(2)>0，解不等式即可得到所求范围． 【解答】解：函数f(x)=x 2+2mx +3m +4有两个零点， 一个零点在(−1,1)之间，另一个零点在(1,2)之间， 可得{f(−1)>0f(1)<0f(2)>0，即{5+m >05+5m <08+7m >0，即有{m >−5m <−1m >−87，可得−87<m <−1， 即有m 的范围是(−87,−1)． 故答案为(−87,−1)．18.答案：{1,2，4}解析： 【分析】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题． 由条件根据交集的定义求得A ∩B ，再根据补集的定义求得∁U (A ∩B)．【解答】解：因为集合A ={1,3，5}，B ={3,4，5}，所以A ∩B ={3,5}，又U ={1,2，3，4，5}，所以∁U (A ∩B)={1,2，4}，故答案为{1,2，4}．19.答案：1 (1,2)∪(√10,+∞)解析：【分析】本题考查了分段函数，指数、对数不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题.根据函数的解析式求出f(1)的值是2，从而求出f(2)的值即可；不等式f(x)>2即2e x−1>2或log 3(x 2−1)>2，即e x−1>1=e 0，或x 2−1>9，解出即可．【解答】解：f (x )={2e x−1,x <2log 3(x 2−1),x ≥2， f(1)=2⋅e 1−1=2，故f(f(1))=f(2)=log 3(4−1)=1，若f(x)>2，则2e x−1>2(x <2)或log 3(x 2−1)>2(x ≥2)，即e x−1>1=e 0，或x 2−1>9，解得：1<x <2或x >√10，故答案为1 (1,2)∪(√10,+∞)．20.答案：−92<2a +3b <132解析：解：2a +3b =m(a +b)+n(a −b)，∴{m +n =2m −n =3∴m =52，n =−12.∴2a +3b =52(a +b)−12(a −b)． ∵−1<a +b <3，2<a −b <4，∴−52<52(a +b)<152，−2<−12(a −b)<−1， ∴−92<52(a +b)−12(a −b)<132即−92<2a +3b <132． 故答案为：−92<2a +3b <132．把2a +3b 设为m(a +b)+n(a −b)，解出m ，n ，回代，然后利用不等式的性质，求出2a +3b 的取值范围．本题考查不等式及其不等关系，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．21.答案：解：(1)因为a =0，所以B ={x|x 2−4=0}={2,−2}，所以A ∪B ={−2,−1,2}．(2)因为a =3，所以B ={x|x 2−3x −4=0}={−1,4}，所以A ∩B ={−1}．解析：本题考查了交、并集运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．属于基础题．(1)求出集合B ，再利用并集运算即可求解；(2)求出集合B ，再利用交集运算即可求解．22.答案：解：(1)根据题意，f(x)为奇函数；证明：1+x 1−x >0⇒−1<x <1，所以f(x)定义为(−1,1)，关于原点对称；任取x ∈(−1,1)，则f(−x)+f(x)=log 21−x 1+x +log 21+x 1−x =log 2(1−x 1+x ⋅1+x 1−x )=log 21=0．则有f(−x)=−f(x)，f(x)为奇函数；(2)由(1)知−1<x <1，f(x)<−1⇒log 2(1+x)(1−x)<−1,即1+x 1−x <2−1=12， 1+x 1−x−12=(2+2x)−(1−x)2(1−x)=3x+12(1−x)<0， 即3x+1x−1>0，∴x <−13或x >1，又由−1<x <1，则有−1<x <−13，综上，不等式解集为(−1,−13)解析：(1)根据题意，先求出函数的定义域，再分析f(−x)与f(x)的关系，结合奇偶性的定义分析可得结论；(2)根据题意，f(x)<−1⇒log 2(1+x)(1−x)<−1,即1+x 1−x <2−1=12，求出x 的取值范围，结合函数的定义域分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数的运算性质，注意分析函数的定义域． 23.答案：解：(1)因为f(x)对称轴为x =0若0≤a <b ，则f(x)在[a,b]上单调递减，所以f(a)=2b ，f(b)=2a ，于是{2b =−12a 2+1322a =−12b 2+132， 解得[a,b]=[1,3]．(2)若a <b ≤0，则f(x)在[a,b]上单调递增，所以f(a)=2a ，f(b)=2b ，于是{2a =−12a 2+1322b =−12b 2+132，方程两根异号， 故不存在满足a <b ≤0的a ，b ．(3)若a <0<b ，则f(x)在[a,0]上单调递增，在[0,b]上单调递减，所以2b =132⇒b =134． 所以f(b)=−12⋅(134)2+132=1932>0， 又a <0，所以2a ≠1932，故f(x)在x =a 处取得最小值2a ，即2a =−12a 2+132，得a =−2−√17，所以[a,b]=[−2−√17,134]．综上所述，[a,b]=[1,3]或[−2−√17,134]．解析：求出二次函数的对称轴，通过对区间与对称轴x =0的位置关系分三类，求出二次函数f(x)的最值，列出方程组，求出a ，b 的值．解决二次函数在区间上的单调性、最值问题，应该先求出二次函数的对称轴，根据对称轴与区间的关系来解决．24.答案：解：(1)由f(x)=2x −1得x =log 2(y +1)，即f −1(x)=log 2(x +1)(x >−1) g(x)=f −1(x −1)=log 2x ，(x >0)∴函数y =2f −1(x)−g(x)=2log 2(x +1)−log 2x =log 2(x+1)2x =log 2x 2+2x+1x =log 2(x +1x +2)， ∵x >0，∴x +1x +2≥4，当且仅当x =1时取等号，∴函数y =2f −1(x)−g(x)的最小值为：log 24=2．(2)由f −1(x)=log 2(x +1)(x >−1)得，函数F(x)=2f −1(x +m)−g(x)=2log 2(x +m +1)−log 2x …(8分)∴F(x)=log 2(x+m+1)2x =log 2[x +(m+1)2x +2(m +1)]，在区间[1,+∞)上是单调递增函数需满足：当x ≥1时，x +m +1>0，即m >−2…(10分)[|m +1|,+∞)⊆[1，+∞)…(12分)，即|m +1|≤1⇔−2≤m ≤0，…(13分)，∴−2<m ≤0…(14分)解析：(1)求出原函数的反函数，然后推出函数y =2f −1(x)−g(x)的表达式，即可求解其最小值；(2)利用(1)函数的解析式，通过化简表达式，利用函数F(x)=2f −1(x +m)−g(x)在区间[1,+∞)上是单调递增函数，转化不等式，然后求实数m 的取值范围．本题考查函数恒成立问题，反函数以及对数函数基本不等式以及函数单调性的应用，考查转化思想以及分析问题解决问题的能力．25.答案：5解析：【分析】本题考查集合的新定义，属于基础题型，理解题意是关键．【解答】解：∵A={1,2，3}，B={1,2}，定义集合间的运算A+B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B}，∴A+B={2,3，4，5}故集合A+B中元素的最大值是5；故答案为5．。

绝密★启用前 北京市北京第四中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1． 的值为（ ） A ． B ． C ．1 D ． 2．集合 ，则下列关系正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．函数 的定义域是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．若 ，则 （ ） A ．1 B ． C ．0 D ． 5．下列函数中，在区间 上为增函数的是（ ） A ． B ． C ． D ． 6．下列函数中，值域是 的是（ ） A ． B ． C ． D ．……○…………订…………○…※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………订…………○…7．函数的零点所在的一个区间是（）A．B．C．D．8．若，则（）A．B．C．D．9．已知函数是上的偶函数，当时，，则的解集是（）A．B．C．D．10．若，则函数的图象有可能是（）A．B．C．D．11．不等式的解集是A．B．C．D．12．如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定是偶函数的是A．B．C．D．13．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前5天监测到的数据：则下列函数模型中，能较好地反映计算机在第天被感染的数量与之间的关系的是A．B．C．D．…装…………○……不※※要※※在※※装※※订※※…装…………○……第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题14．计算:________；________.15．若函数的定义域为，则函数的定义域为________.16．函数，则其图象的对称轴方程为________；的增区间是________.17．已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是________.18．设全集，集合,则_______；_______.19．如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为, ，则_________；的解集为________.20．当时，不等式恒成立，则的取值范围是________.三、解答题21．设集合.（I）用列举法写出集合；（II）求和.22．已知函数.（I）当时，判断的奇偶性，并证明你的结论；（II）当时，求的值域.（I）利用单调性定义证明：在区间上是单调递减函数；（II）当时，求在区间上的最大值.24．设函数.（I）若，求的取值范围；（II）记的反函数为,若在上恒成立，求的最小值.25．给定数集,若对于任意,有,且，则称集合为闭集合. （I）判断集合是否为闭集合，并给出证明；（II）若集合为闭集合，则是否一定为闭集合?请说明理由；（III）若集合为闭集合，且,证明：.参考答案1．D【解析】【分析】根据对数的运算法则及性质即可求解.【详解】因为，故选D.【点睛】本题主要考查了对数的性质和运算法则，属于容易题.2．A【解析】【分析】根据元素与集合的关系即可判断.【详解】因为，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，属于容易题.3．C【解析】【分析】函数要有意义，则需解析式有意义，分式的分母不为0即可.【详解】要是函数有意义，则需，解得，所以函数的定义域为，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的定义域，属于中档题.4．A【解析】【分析】根据函数解析式，只需把代入即可求出函数值.【详解】因为，所以当时，，故选A.【点睛】本题主要考查了根据函数解析式求函数值，属于中档题.5．B【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性，逐项分析即可.【详解】A选项中是一次函数，，所以在R上是减函数，错误；B选项是幂函数，幂指数，在区间上为增函数，故正确；C选项是二次函数，对称轴为，在区间上无单调性，错误；D选项是指数函数，，在R上是减函数，错误.故选B.【点睛】本题主要考查了函数的单调性，属于中档题.6．B【解析】【分析】根据函数性质，逐项分析各选项即可.【详解】A中的值域为R,错误，B中的值域为，正确；C中，值域为，错误；D中的值域为R,错误.故选B.【点睛】本题主要考查了基本初等函数的值域，属于中档题.7．C【解析】【分析】根据题意可知函数是R上的减函数，只需根据即可判断零点所在区间.【详解】因为是R上的减函数，所以是R上的减函数，又，可知零点在区间上，故选C.【点睛】本题主要考查了函数零点的存在性，函数的单调性，属于中档题.8．B【解析】【分析】根据指数及对数的性质可分析出范围，从而得到结果.【详解】因为，所以，因为，所以，所以选B.【点睛】本题主要考查了指数的性质，对数的性质，属于容易题.9．D【解析】【分析】根据函数是上的偶函数，可知函数图象关于y轴对称，解出当时的解，由函数图像的对称性，可知时，的解.【详解】当时,，所以解得，由是上的偶函数知，函数图象关于y轴对称，所以当时，的解为，综上知，的解集为.故选D.【点睛】本题主要考查了偶函数的性质及图象，属于中档题.10．A【解析】【分析】根据，可知函数是增函数，当时，，由知，可选出答案. 【详解】根据，可知函数是增函数，排除B,D选项，当时，，由知，排除C选项，故选A.【点睛】本题主要考查了指数函数的增减性，指数函数的图象，属于中档题.11．C【解析】【分析】根据指数函数的增减性可转化为，即可求解.【详解】，即.所以不等式的解集为.故选C.【点睛】本题主要考查了指数函数的增减性，属于中档题.12．B【解析】试题分析：由题意得，因为函数是定义在上的奇函数，所以，设，则，所以函数为偶函数，故选B．考点：函数奇偶性的判定．13．D【解析】【分析】根据选项中的函数，依次代入x值求出y的值，通过y的值与表格中所给出的y的值进行比较，误差越小则拟合度越高，误差越大则拟合度越小，计算即可求解.【详解】对于A选项，当时，对应的y值分别为,对于B选项，当时，对应的y值分别为,对于C选项，当时，对应的y值分别为, 对于D选项，当时，对应的y值分别为,而表中所给的数据为，，当时，对应的y值分别为，通过比较，即可发现选项D中y的值误差最小，即能更好的反映与之间的关系. 故选D.【点睛】本题主要考查了选择合适函数模型来拟合实际问题，属于中档题.14．14【解析】【分析】分别根据对数的运算法则及指数的运算法则计算即可求解.【详解】;故填(1). 1 (2). 4【点睛】本题主要考查了对数及指数运算法则，属于中档题.15．，【解析】【分析】根据的定义域为知，要有意义则需，即可求出的定义域.【详解】因为的定义域为，则要有意义则需，解得，所以的定义域为.故填.【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域，属于中档题.16．2【解析】【分析】根据二次函数的性质知，对称轴方程为，当时，增区间为,据此可写出答案.【详解】因为函数，所以对称轴方程为，的增区间是.故填：(1). 2(2).【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴和单调区间，属于容易题.17．【解析】【分析】函数有3个零点，即方程有3个根，因此在同一坐标系内做出的图象与直线，观察它们公共点的个数即可得到答案.【详解】因为有3个零点，所以的图象与直线有3个公共点在同一坐标系内作出它们的图象，如下：根据图象可知，当时，有三个交点.故则实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了分段函数，函数的零点，函数零点与方程的根，数形结合思想，属于中档题. 18．【解析】【分析】根据集合的补集的运算及交集的运算即可求解.【详解】因为全集，集合,所以,.【点睛】本题主要考查了集合的交集、补集运算，属于中档题.19．2【解析】【分析】根据函数的图象，观察即可得出答案.【详解】根据图象知，所以，根据图象知，所以，当时，由图象可知，即的解集为.【点睛】本题主要考查了函数的图象，属于中档题.20．()【解析】【分析】通过指数函数，对数函数的图像特征即可得解.【详解】显然log a x＞0，因此0＜a＜1.在同一坐标系内作出y＝4x与y＝log a x的图象依据图象特征，只需满足log a＞＝2，∴＜a2，因此＜a＜1.21．（I）；（II）,.【解析】【分析】（I）根据集合的描述法写出集合中的元素即可列举法表示（II）根据交集和并集的运算即可求解.【详解】（I）因为x且，所以,所以.（II）因为，所以,.【点睛】本题主要考查了集合的描述法，列举法，交集，并集，属于中档题.22．（I）证明见解析；（II）.【解析】【分析】（I）当时,,,为偶函数，可根据定义证明（II）当时，，配方可写出值域.【详解】（I）当时,,,为偶函数,证明：由知，,,.即函数为偶函数.（II）当时，即函数的值域为.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，二次函数的值域，属于中档题.23．（I）证明见解析；（II）.【解析】【分析】（I）根据函数单调性的定义证明即可（II）先证明函数在区间[2，+∞）上是单调递增函数，再结合（I）的结论且，对分类讨论写出函数最大值.【详解】（I）任取，∈（0，2]，设<，则∵，∴∵，∴∴所以，故在区间（0，2]上是单调递减函数.（II）由（I）可知，在区间（0，2]上是单调递减函数；当，设<，易知总有<，所以在区间[2，+∞）上是单调递增函数，又，所以在区间上最大值为.【点睛】本题主要考查了函数单调性的定义证明，分类讨论的思想，属于中档题.24．（I）或；（II）.【解析】【分析】（I）根据对数函数的增减性转化为，并注意真数大于零即可求解（II）由题意知，原不等式可转化为在区间[2，）上恒成立即可求解.【详解】（I）由已知log a（x2－x）>log a2，因为0<a<1，所以0<x2－x<2，解，得－1<x<2,解，得x>1或x<0,所以x的取值范围是{x|－1<x<0或1<x<2）.（II）为的反函数，所以,由已知在区间[2，）上恒成立，因为，所以在区间[2，）上恒成立，即大于等于的最大值,因为0<a<1，所以>1，又x－2∈[0，），所以（）的最小值为1，－（）的最大值为－1，所以k≥－1，所以k的最小值为－1.【点睛】本题主要考查了对数函数的增减性，反函数，指数函数，恒成立问题，属于中档题. 25．（I）证明见解析；（II）不一定，证明见解析；（III）证明见解析.【解析】【分析】（I）根据特值，但是4+4=8A，判断A不为闭集合，设，可证出，，B为闭集合（II）取特例A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=3k，k∈Z}，集合为闭集合，但不为闭集合即可（III）用反正正法，若A B=R，存在a∈R且a A，故a∈B，同理，因为B R，存在b∈R且b B，故b∈A，若，则由A为闭集合，，与a A矛盾，同理可知若，，与b B矛盾，即可证明.【详解】（I）因为，但是4+4=8A，所以，A不为闭集合；任取，设,则且所以，同理，，故B为闭集合.（II）结论：不一定.令A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=3k，k∈Z}，则由（I）可知，A，B为闭集合，但2，3∈A B，2+3=5A B，因此，A B不为闭集合.（III）证明：（反证）若A B=R,则因为A R，存在a∈R且a A，故a∈B,同理，因为B R，存在b∈R且b B，故b∈A,因为a+b∈R=A B，所以，a+b∈A或a+b∈B,若，则由A为闭集合，，与a A矛盾,若，则由B为闭集合，，与b B矛盾,综上，存在c∈R，使得c（A B）.【点睛】本题主要考查了集合子集、真子集，反证法，考查了学生分析推理能力，属于难题.。