北京四中：高一《数学》第一学期期中考试和答案

2020-2021学年北京四中高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知全集为U ，集合{1,2,3,4,5}A =，{3,2}B =-，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{3}B ．{3,2}-C ．{2}D ．{2,3}-【答案】C【分析】根据韦恩图得阴影部分表示集合A 与B 的交集，再根据集合交集运算即可. 【详解】解：根据韦恩图得阴影部分表示集合A 与B 的交集， 所以{}{1,2,3,4,5}{3,2}2AB =-=.故选：C. 2．不等式021x x ≤-+的解集是 （ ） A ．(1)(12]-∞--，， B ．[12]-，C ．(1)[2)-∞-+∞，，D ．(12]-， 【答案】D【分析】将“不等式21x x -+≤0”转化为“不等式组()()12010x x x ⎧+-≤⎨+≠⎩”，由一元二次不等式的解法求解．【详解】依题意，不等式化为()()12010x x x ⎧+-≤⎨+≠⎩，解得﹣1＜x≤2，故选D ．【点睛】本题主要考查不等式的解法，关键是将分式不等式转化为二次不等式来求解 3．下列函数中，在区间（0，+∞）上为减函数的是（ ）A ．y ＝x 2﹣2xB ．y ＝|x |C ．y ＝2x +1D ．y =【答案】D【分析】求出每一个选项的函数的单调减区间即得解.【详解】A. y ＝x 2﹣2x ,函数的减区间为(,1)-∞，所以选项A 不符； B. y ＝|x |，函数的减区间为(,0)-∞，所以选项B 不符； C.y ＝2x +1,函数是增函数，没有减区间，所以选项C 不符；D. y =0，+∞），所以选项D 符合. 故选D【点睛】本题主要考查函数的单调区间的判定方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．已知函数()351f x x x =-+，则下列区间中一定包含()f x 零点的区间是（ ）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,2【答案】C【分析】计算出各端点的函数值，利用零点存在性定理即可判断. 【详解】()351f x x x =-+，()32252130f ∴-=-+⨯+=>，()31151150f -=-+⨯+=>，()010f => ()31151130f =-⨯+=-<，()32252110f =-⨯+=-<，根据零点存在性定理可得一定包含()f x 零点的区间是()0,1. 故选：C.5．若函数()f x 是偶函数，且在区间[0,3]上单调递减，则（ ） A ．()()1(2)3f f f ->> B ．()()()312f f f >-> C ．()()()213f f f >-> D ．()()()321f f f >>-【答案】A【分析】由(1)(1)f f -=，结合单调性得出()()1(2)3f f f ->>.【详解】因为函数()f x 是偶函数，所以(1)(1)f f -= 又()f x 在区间[0,3]上单调递减，且123<< 所以(1)(2)(3)f f f ∴>>，即()()1(2)3f f f ->> 故选：A6．已知12,x x 是方程2710x x -+=的两根，则2212x x +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D【分析】由韦达定理的127x x +=，121=x x ，再根据()2221212122x x x x x x +=+-即可求出. 【详解】12,x x 是方程2710x x -+=的两根，127x x ∴+=，121=x x ，()2221212122725x x x x x x +=+-=-=故选：D.7．设,a b ∈R ，且a b >，则下列结论中正确的是（ ） A ．1ab> B ．11a b< C ．||||a b >D ．33a b >【答案】D【分析】取特殊值判断ABC ，由幂函数3y x =的单调性判断D. 【详解】当1,1a b ==-时，11ab =-<，11a b>，||||a b = 因为幂函数3y x =在R 当单调递增，a b >，所以33a b > 故选：D8．“2a =”是“函数()f x x a =-在区间[2,)+∞上为增函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：当2a =，则()f x x a=-在[2,)+∞上为增函数，故充分性成立；当函数()f x x a =-在区间[2,)+∞上为增函数，则，故必要性不成立.【解析】充分必要性．9．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h 随时间t 变化的函数h ＝f (t )的图象如图所示，则杯子的形状是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由图可知，高度的增长速率是先慢后快，且都是运算增长，所以只有A 满足． 故选A ．10．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y ＝x 2＋1，值域为{1,3}的同族函数有 ( )． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】试题分析：由得，由得，∴函数的定义域可以是{02}，{02}，{022，共3个．． 【解析】函数的定义域和值域．11．已知非零实数,,a b c 满足：a b c >>，下列不等式中一定成立的有（ ） ①ab bc >； ②22ac bc ≥； ③a b a bc c+->.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【分析】由不等式的性质结合作差法逐个判断即可得解. 【详解】对于①，若a c >，0b <，则ab bc <，故①错误； 对于②，由()2220ac bc c a b -=-≥可得22ac bc ≥，故②正确；对于③，因为2a b a b b c c c +--=，若20b c <，则a b a bc c+-<，故③错误. 故选：B.12．已知a 、b R ∈，则“0a b +=”是“3220a a b a ab a b +--++=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】将代数式322a a b a ab a b +--++因式分解，找出使得3220a a b a ab a b +--++=成立的等价条件，进而可得出结论.【详解】()()()()()322221a a b a ab a b a a b a a b a b a b a a +--++=+-+++=+-+， 对任意的a R ∈，22131024a a a ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以，32200a a b a ab a b a b +--++=⇔+=.因此，“0a b +=”是“3220a a b a ab a b +--++=”的充要条件. 故选：C.13．已知{},;min ,,.a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩设()f x {}2min 6,246x x x =-+-++，则函数()f x 的最大值是（ ） A ．8 B ．7C ．6D ．5【答案】C【分析】画出函数图像求得解析式，再求最大值即可 【详解】根据题目的定义得，{}2()min 6,246f x x x x =-+-++2226,6246246,6246x x x x x x x x x ⎧-+-+≤-++=⎨-++-+>-++⎩，化简得，()256,0,2()5246,,0(,)2x x f x x x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎪-++∈-∞⋃+∞⎪⎩，可根据该分段函数做出图像，显然在左边的交点处取得最大值，此时，0x =，得(0)6f =即为所求； 故选：C【点睛】关键点睛：解题关键在于利用定义得到()256,0,2()5246,,0(,)2x x f x x x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎪-++∈-∞⋃+∞⎪⎩，进而作出图像求解，属于基础题二、双空题14．设全集U =R ，集合{|2},A x x =<集合{|1}B x x =<，则集合UA___________，集合()UA B =___________.【答案】[)2,+∞ ()[),12,-∞+∞【分析】利用集合的交集和并集进行求解即可【详解】{|2},A x x =<}{2UA x x =≥[)2,=+∞；{|1}B x x =<，()U A B =()[),12,-∞+∞；故答案为：①[)2,+∞；②()[),12,-∞+∞15．函数1()1f x x x =+-(1)x >的最小值是_____，此时x =_____. 【答案】3 2【分析】由题知10x ->，又由()1111f x x x =-++-，结合基本不等式即可求解． 【详解】∵1x >， ∴10x ->，由基本不等式可得()12111131f x x x =-+++=-≥=， 当且仅当111x x -=-即2x =时，函数取得最小值3． 故答案为：①3；②2．【点睛】关键点点睛：该题主要考查了利用基本不等式求解最值，在求解的过程中，时刻关注利用基本不等式求最值的三个条件：一正、二定、三相等，考查学生的运算求解能力．16．若函数()2f x x x a =-+为偶函数，则实数a =________，函数()f x 的单调递增区间是___________. 【答案】0 1,02⎛⎫-⎪⎝⎭、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】由偶函数的定义得出x a x a +=-，等式两边平方可求得实数a 的值，求出函数()f x 在()0,∞+上的增区间和减区间，利用偶函数的基本性质可得出函数()f x 的单调递增区间.【详解】函数()2f x x x a =-+的定义域为R ，且该函数为偶函数，则()()f x f x -=，即()22x x a x x a ---+=-+，所以，x a x a -=+， 等式x a x a -=+两边平方可得222222x ax a x ax a -+=++， 可知0ax =对任意的x ∈R 恒成立，所以，0a =，则()2f x x x =-.当0x >时，()2f x x x =-，则函数()f x 在()0,∞+上的减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 由于函数()f x 为偶函数，因此，函数()f x 的单调递增区间为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：0；1,02⎛⎫-⎪⎝⎭、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】求函数的单调区间：首先应注意函数的单调区间是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．求函数单调区间的常用方法：根据定义、利用图象、单调函数的性质.三、填空题 17．命题“11,1x x∀<>”的否定是___________. 【答案】11,1x x∃<≤ 【分析】直接根据全称命题的否定为特称命题解答即可； 【详解】解：命题“11,1x x∀<>”为全称命题，又全称命题的否定为特称命题，故其否定为“11,1x x∃<≤” 故答案为：11,1x x∃<≤18．某班共38人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，16人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为______. 【答案】12【分析】设两者都喜欢的人数为x 人，则只喜爱篮球的有(15)x -人，只喜爱乒乓球的有(10)x -人，由此可得(15)(10)1638x x x -+-++=，解之即可两者都喜欢的人数，然后即可得出喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数．【详解】设两者都喜欢的人数为x 人，则只喜爱篮球的有(15)x -人，只喜爱乒乓球的有(10)x -人，由此可得(15)(10)1638x x x -+-++=，解得3x =， 所以1512x -=， 即所求人数为12人，故答案为：12．19．能够说明“设,,a b c 是任意实数,若a b c >>,则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为__________.【答案】1,2,3---【解析】试题分析：()123,1233->->--+-=->-，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．20．某学校运动会上，6名选手参加100米决赛.观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1､2､6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4､5､6道的选手都不可能得第一名.比赛后发现并没有并列名次，且甲､乙､丙､丁中只有1人猜对比赛结果，则此人是___________. 【答案】丁【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．【详解】若甲对,则乙也对,所以甲错;若甲错乙对,则丙也对,所以乙错,即3道的选手得第一名,此时只有丁对 故答案为：丁【点睛】关键点睛：解题关键在于根据题意，进行合情推理即可，属于基础题 21．已知关于x 的不等式32ax a x+≤在区间0,上有解，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】()[),03,-∞+∞【分析】由题意可得，当0x >时，2230ax ax -+能成立，分类讨论a 的范围，利用二次函数的性质，求得实数a 的取值范围． 【详解】关于x 的不等式32ax a x+在区间(0,)+∞上有解， 即当0x >时，不等式32ax a x+能成立，即2230ax ax -+能成立． 当0a =时，不等式不成立，故0a ≠．当0a >时，则1x =时，函数223y ax ax =-+的最小值为2124304a a a a-=-，求得3a ．当0a <时，二次函数223y ax ax =-+的图象开口向下，满足条件． 综上可得，实数a 的范围为3a 或0a <， 故答案为：()[),03,-∞+∞【点睛】易错点睛：解答本题时要注意审题，本题不是恒成立问题，而是能成立问题，所以等价于当0x >时，不等式2230ax ax -+能成立．即函数2()23f x ax ax =-+的最小值大于零，而不是最大值大于零.四、解答题22．已知0a >，记关于x 的不等式()()10-+<x a x 的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q .（1）若3a =，求集合P ； （2）若Q P ⊆，求a 的取值范围.【答案】（1）{}13x x -<<；（2）(2)，+∞. 【分析】（1）直接解不等式得解；（2）先化简集合,P Q ,再根据Q P ⊆，得到关于a 的不等式得解. 【详解】（1）由()()310x x -+<，得{}13P x x =-<<； （2）{}{}1102Q x x x x =-≤=≤≤. 由0a >，得{}1P x x a =-<<， 又Q P ⊆， 所以2a >，即a 的取值范围是(2)，+∞. 23．已知定义在R 上的奇函数21()x mf x x =++,m ∈R . （1）求m ；（2）用定义证明：()f x 在区间[)1,+∞上单调递减； （3）若实数a 满足()22225f a a ++<，求a 的取值范围. 【答案】（1）0m =；（2）证明见解析；（3）()(),20,-∞-+∞.【分析】（1）由()f x 是定义在R 上的奇函数，得到(0)0f =，即可求解； （2）根据函数的单调性的定义，即可证得函数()f x 在[)1,+∞单调递减.（3）结合()f x 在[)1,+∞单调递减，转化为2222a a ++>，即可求解实数a 的取值范围.【详解】（1）由题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可得(0)0f =，解得0m =. （2）任取12,[1,)x x ∈+∞且12x x <， 则12221212121122121222222212()(1)()()(),(1)111111()()()(1)x x x x x x f x x f x x x x x x x x x x +-+-++++--==+-=+ 因211x x >>，故221221121,0,10,10x x x x x x >->+>+>，从而21()()0f x f x -<，即21()()f x f x <，所以函数()f x 在[)1,+∞单调递减.（3）由()2222111a a a ++=++≥，又由2(2)5f =， 因为()22225f a a ++<，结合()f x 在[)1,+∞单调递减，可得2222a a ++>， 即220a a +>，解得2a <-或0a >，即实数a 的取值范围()(),20,-∞-+∞.【点睛】含有“f ”的不等式的解法：1、首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式；2、根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式（组），此时要注意()g x 和()h x 的取值应再外层函数的定义域内；3、结合不等式（组）的解法，求得不等式（组）的解集，即可得到结论.24．二次函数()f x 满足(0)1f =，再从条件①和条件②两个条件中选择一个作为已知，求：（1）求()f x 的解析式；（2）在区间[]1,1-上，函数()f x 的图像总在一次函数2y x m =+图像的上方，试确定实数m 的取值范围.条件①：()()12f x f x x +-=；条件②：不等式()4<+f x x 的解集为()1,3-.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】条件选择见解析；（1）2()1f x x x =-+；（2）1m <-.【分析】（1）选择①：设出二次函数的解析式，根据条件①，结合待定系数法求出()f x 的解析式；选择②：根据一元二次不等式与二次函数的关系求出()f x 的解析式；（2）由题意可知231x x m -+>，构造函数2()31g x x x =-+，由min ()g x m >得出m的范围.【详解】解（1）由f (0)=1，可设f (x )=ax 2+bx +1(a ≠0).选择①，则有()22(1)()(1)(1)1122f x f x a x b x ax bx ax a b x +-=++++-++=++= 由题意，得22,0,a a b =⎧⎨+=⎩解得1,1,a b =⎧⎨=-⎩故2()1f x x x =-+ 选择②，则()4<+f x x 可化为2(1)30ax b x +--<.由题，方程2(1)3=0ax b x +--的两实根分别为1-和3 所以1132b a --=-+=即21a b +=，及3133a-=-⨯=-即1a =，所以1b =-. 故2()1f x x x =-+（2）由题意，得212x x x m -+>+，即231x x m -+>，对[1,1]x ∈-恒成立.令2()31g x x x =-+，则问题可转化为min ()g x m >又因为g (x )在[1,1]-上递减，所以min ()(1)1g x g ==-，故1m <-【点睛】对于问题（2），在解决不等式的恒成立问题时，可以构造函数，将不等式问题转化为最值问题进行处理.25．区间[],αβ的长度定义为βα-.函数()22()1f x a x ax =+-，其中0a >，区间{}|()0I x f x =≤.（1）求I 的长度；（2）求I 的长度的最大值.【答案】（1）21a a+；（2）12. 【分析】（1）解出()0f x ≤，即可利用区间长度定义求出；（2）利用基本不等式可求出.【详解】解：（1）令2()(1)0f x x a x a ⎡⎤=+-=⎣⎦，解得：10x =，2201a x a=>+， 则{}2|()001a x f x x x a ⎧⎫≤=≤≤⎨⎬+⎩⎭ ，20,1a I a ⎡⎤∴=⎢⎥+⎣⎦， 则I 的长度为22011a a a a -=++； （2）0a >，I ∴的长度211112a a a a =≤=++，当且仅当1a =时等号成立. ∴当1a =时，I 的长度的最大值为12. 26．若函数()f x 的定义域为D ，集合M D ⊆，若存在非零实数t 使得任意x M ∈都有x t D +∈，且()()f x t f x +>，则称()f x 为M 上的t -增长函数.（1）已知函数()g x x =，函数()2h x x =，判断()g x 和()h x 是否为区间[]1,0-上的32-增长函数，并说明理由； （2）已知函数()f x x =，且()f x 是区间[4,2]--上的n -增长函数，求正整数n 的最小值；（3）请在以下两个问题中任选一个作答：(如果两问都做，按（i ）得分计入总分) （i ）如果对任意正有理数q ，()f x 都是R 上的q -增长函数，判断()f x 是否一定为R 上的单调递增函数，并说明理由；（ii ）如果()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，22()f x x a a =--，且()f x 为R 上的4-增长函数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()g x x =是，()2h x x =不是，理由见解析；（2）9；（3）（i ）不是，理由见解析；（ii ）()1,1-.【分析】（1）()g x x =用新定义证明，()2h x x =举反例否定. （2）由新定义得出x 的一次不等式恒成立问题求解.（3）(i)构造反例,()1,R x x Q f x x x Q ∈⎧=⎨-∈⎩说明；(ii)由分段函数逐一讨论即可. 【详解】解：（1）()g x x =是；因为[]1,0x ∀∈-，()3330222g x g x x x ⎛⎫⎛⎫+-=+-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()2h x x =不是，反例：当1x =-时，()31111=1224h h h ⎛⎫⎛⎫-+==<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）由题意得，x n x +>对[4,2]x ∈--恒成立等价于2222x nx n x ++>，即220nx n +>对[4,2]x ∈--恒成立因为0n >，所以22nx n +是关于x 的一次函数且单调递增，于是只需280n n -+>， 解得8n >，所以满足题意的最小正整数n 为9.（3）（i ）不是构造,()1,R x x Q f x x x Q ∈⎧=⎨-∈⎩，则对任意正有理数q ， 若x Q ∈，则x q Q +∈，因此()()f x q x q x f x +=+>=；若R x Q ∈，则R x q Q +∈，因此()11()f x q x q x f x +=+->-=.因此()f x 是R 上的q -增长函数，但()f x 不是增函数.（ii ）由题意知2222222,(),2,x a x a f x x a x a x a x a ⎧+≤-⎪=--<<⎨⎪-≥⎩已知任意x ∈R ，(4)()f x f x +≥，因为()f x 在22[,]a a -上递减，所以,4x x +不能同时在区间22[,]a a -上，因此2224()2a a a >--=注意到()f x 在2[2,0]a -上非负，在2[0,2]a 上非正若22244a a <≤，当22x a =-时，24[0,2]x a +∈，此时(4)()f x f x +≤，矛盾因此244a >，即(1,1)a ∈-.当244a >时，下证()f x 为R 上的4-增长函数：①当24x a +≤-，(4)()f x f x +>显然成立②当224a x a -<+<时，2243x a a <-<-，此时2(4)(4)f x x a +=-+>-，22()2f x x a a =+<-，(4)()f x f x +>③当24x a +≥时，22(4)422()f x x a x a f x +=+->+≥因此()f x 为R 上的4-增长函数综上，为使得()f x 为R 上的4-增长函数a 的取值范围是()1,1-.【点睛】此题是新定义题，属于难题；肯定命题时根据所给定义证明，否定结论要举出相应反例，方可获证.。

北京四中2008～2009学年度第一学期期中测试高一年级数学试卷(试卷满分150分，考试时间为120分钟) 试卷分为两卷，卷(I)100分，卷(II)50分 卷(I)一．选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．集合{}1,2,3的真子集的个数为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．82．函数y =( )A ．{}|0x x ≥B ．{}|1x x ≥C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤3．函数()22x x f x -=-12f ⎛⎫=⎪⎝⎭( ) A ． B ． C ． D ．4．设全集，若，，则(e1M)∩N=( )A ．B ．C ．D ．5．下列函数的值域是的是( )A ．B ．C ．D ．6．下列函数中，在区间上为增函数的是( )A ．B ．C ．D ．7．函数的图象关于( )A ．轴对称 B ．直线对称 C ．坐标原点对称 D ．直线对称8．( )A．12 B．-12 C．-16 D．-49．函数的图象是下列图象中的( )10．设且，则( )A．B．C．D．二．填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．若、、，则的大小关系是____________。

12．若函数满足，则____________。

13．已知：集合，，若，则____________。

14．函数的定义域是____________，单调减区间是____________。

三．解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)15．已知：函数的定义域为，集合，(1)求：集合；(2)求：。

16．某厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为9.5万件、18万件、25.5万件。

如果该厂每月生产此种产品的产量与月份之间满足二次函数关系：，(1)求：此二次函数的解析式；(2)求：哪个月的产量最大，最大产量是多少？17．已知：函数，(1)求：函数的定义域；(2)判断函数的奇偶性并说明理由；(3)判断函数在()上的单调性，并用定义加以证明。

北京四中-高一上学期期中考试试卷数学试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，满分共计150分考试时间：120分钟卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 1Q如果A ＝，那么正确的结论是A Q0 A B Q{0} A C Q{0}A D QA2Q函数f （x ）＝2，则f （）＝ A Q0 B Q－ C QD Q－ зQ设全集I ＝，A ＝{1，2}，B ＝{－2，－1，2}，则A （C I B ）等于A Q{1} B Q{1，2} C Q{2} D{0，1，2}4Q与函数y ＝10的定义域相同的函数是A Qy ＝x －1 B Qy ＝ C Qy ＝D Qy ＝5Q若函数f （x ）＝з＋з与g （x ）＝з－з的定义域均为Ｒ，则AQf （x ）与g （x ）均为偶函数B Qf （x ）为偶函数，g （x ）为奇函数 C Qf （x ）与g （x ）均为奇函数DQf （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数6Q设a ＝log 2，b ＝ln2，c ＝5，则A Qa<b<c B Qb<c<a C Qc<a<b D Qc<b<a7Q设函数y ＝x 与y ＝的图象的交点为（x ，y ），则x 所在的区间是A Q（0，1） B Q（1，2） C Q（2，з） D Q（з，4）8Q已知函数f （x ）是Ｒ上的偶函数，当x 0时，则f （x ）<0的解集是A Q（－1，0） B Q（0，1） C Q（－1，1） D Q9Q某商店同时卖出两套西服，售价均为168元，以成本计算，一套盈利20%，另一套亏损20%，此时商店{}1->x x ⊆∈⊂≠φ∈2-x2122222{}33<<-∈x Z x )1lg(-x 1-x 11-x 1-x xx-xx-3213x⎪⎭⎫ ⎝⎛21000≥1)(-=x x f ()()∞+-∞-，，11A Q不亏不盈 B Q盈利з7Q2元 C Q盈利14元 D Q亏损14元10Q设函数f （x ）在上是减函数，则A Qf （a ）>f （2a ）B Qf （a ）<f （a ）C Qf （a ＋a ）<f （a ）D Qf （a ＋1）<f （a ）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 11Qlog 4＋ log 9－8＝____Q12Q已知函数y ＝f （x ）为奇函数，若f （з）－f （2）＝1，则f （－2）－f （－з）＝____Q1зQ若函数f （x ）＝－2x ＋з在[0，m]有最大值з，最小值1，则m 的取值范围是____Q14Q已知函数f （x ）＝，若函数g （x ）＝f （x ）－m 有з个零点，则实数m 的取值范围是____Q三、解答题（本大题共з小题，每小题10分，共з0分）15Q已知：函数f （x ）＝＋lg （з－9）的定义域为A ，集合B ＝，（1）求：集合A ； （2）求：A B Q16Q已知：函数f （x ）＝x －bx ＋з，且f （0）＝f （4）Q（1）求函数y ＝f （x ）的零点，写出满足条件f （x ）<0的x 的集合； （2）求函数y ＝f （x ）在区间[0，з]上的最大值和最小值Q17Q已知：函数f （x ）＝，x ，（1）当a ＝－1时，判断并证明函数的单调性并求f （x ）的最小值； （2）若对任意x ，f （x ）>0都成立，试求实数a 的取值范围Q卷（Ⅱ）一、选择题：本大题共з小题，每小题5分，共15分1Q下列函数中，满足“对任意x ，x ，当x <x 时，都有f （x ）>f （x ）”的是A Qf （x ）＝（x －1）()∞+∞-，2226632221x ⎩⎨⎧>≤--)0()0(22x x x x x x -4x{}Ｒa a x x ∈<-,0 2xax x ++22[)+∞∈,1[)+∞∈,112()+∞∈,012122B Qf （x ）＝C Qf （x ）＝eD Qf （x ）＝ln x2Q设二次函数f （x ）＝x ＋2x ＋з， x ，x R ，x x ，且f （x ）＝f （x ），则f（x ＋x ）＝A Q 1B Q 2C Q зD Q4зQ若函数f （x ）＝x ＋x ， x ，x R ，且x ＋x >0，则f （x ）＋f （x ）的值A Q一定大于0 B Q一定小于0 C Q一定等于0 D Q正负都有可能二、填空题：本大题共з小题，每小题5分，共15分 4Q函数y ＝的定义域为____，值域为____Q5Q已知函数f （x ）＝ax ＋（1－зa ）x ＋a 在区间上递增，则实数a 的取值范围是____Q6Q若0<a<b<1，则在a ，b ，log b ，log a 这四个数中最大的一个是____Q三、解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分 7Q已知：函数f （x ）＝a x （0<a<1），（Ⅰ）若f （x ）＝2，求f （зx ）；（Ⅱ）若f （2x －зx ＋1）f （x ＋2x －5），求x 的取值范围Q8Q已知：集合M 是满足下列性质的函数f （x ）的全体：在定义域内存在x ，使得f （x ＋1）＝f （x ）＋f （1）成立Q（1）函数f （x ）＝是否属于集合M ？说明理由； （2）设函数f （x ）＝lg，求实数a 的取值范围； （з）证明：函数f （x ）＝2＋x M Qx1x212∈1≠21212312∈121222321x x -+⎪⎭⎫ ⎝⎛2[)+∞,1b aa b 002≤2000x1M x a∈+12x 2∈【试题答案】卷Ⅰ 1Q C 2Q A зQ D 4QC 5QB6QA7Q B8Q C9Q D10QD11Q－2 12Q11зQ[2，4] 14Q（0，1）15Q解：（1），定义域A ＝； 4分 （2）B ＝＝（－，a ） Q 当a ， 6分②当2<a ， 8分 ③当a>4时，Q10分 16Q解：（1）由f （0）＝f （4），得b ＝4， 2分所以，f （x ）＝x －4x ＋з，函数的零点为1，з， 4分 依函数图象，所求集合为Q6分（2）由于函数f （x ）的对称轴为x ＝2，开口向上，所以，f （x ）的最小值为f （2）＝－1， 8分 f （x ）的最大值为f （0）＝з 10分17Q解：（1）当a ＝－1时f （x ）＝， 1分 对任意，з分∵，∴ ∴∴f （x ）－f （x ）<0，f （x ）<f （x ）42334093042≤<⇒⎩⎨⎧>≤⇒⎩⎨⎧>-≥-x x x x x (]4,2{}Ｒa a x x ∈<-,0∞φ=≤B ，A 时2a ）（B ，A ,24=≤ 时(]42，B A = 2{}31<<x x 21122+-=-+xx x x x 211x x <≤212121212121221121)1)(()(2121)()(x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f +-=-+-=-+-+-=-211x x <≤,1,02121><-x x x x ,0121>+x x 1212所以f （x ）在上单调递增 5分所以x ＝1时f （x ）取最小值，最小值为2 6分（2）若对任意x ，f （x ）>0恒成立，则>0对任意x 恒成立，所以x ＋2x ＋a>0对任意x 恒成立，令g （x ）＝x ＋2x ＋a ， x因为g （x ）＝ x ＋2x ＋a 在上单调递增，所以x ＝1时g （x ）取最小值，最小值为з＋a ，∵ з＋a>0，∴ a>－зQ10分卷Ⅱ 1QB2Q CзQA4Q Ｒ，； 5Q[0，1] 6Qlog a7Q解：（Ⅰ）f （зx ）＝a＝（a）＝8； 4分（Ⅱ）因为0<a<1，所以f （x ）＝a 单调递减；所以2x －зx ＋1≥x ＋2x －5，解得x≤2或x≥з； 10分8Q解：（Ⅰ）f （x ）＝的定义域为， 令，整理得x ＋x ＋1＝0，△＝－з<0， 因此，不存在x 使得f （x ＋1）＝f （x ）＋f （1）成立，所以f （x ）＝； з分 （Ⅱ）f （x ）＝lg的定义域为Ｒ，f （1）＝lg ，a>0，若f （x ）＝ lgM ，则存在x Ｒ使得lg ＝lg ＋lg ，整理得存在x Ｒ使得（a －2a ）x ＋2a x ＋（2a －2a ）＝0Q[)+∞,1[)+∞∈,1xax x ++22[)+∞∈,12[)+∞∈,12[)+∞∈,12[)+∞,1⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,161b 003x 0x 3x22x1()()∞+∞-，，00 1111+=+xx 2∈()()∞+∞-，，00 M x∉112+x a 2a12+x a ∈∈1)1(2++x a12+x a 2a ∈2222（1）若a －2a ＝0即a ＝2时，方程化为8x ＋4＝0，解得x ＝－，满足条件： （2）若a －2a 0即a 时，令△≥0，解得a ，综上，a [з－，з＋]； 7分（Ⅲ）f （x ）＝2＋x 的定义域为Ｒ， 令２＋（x ＋1）＝（2＋x ）＋（2＋1），整理得2＋2x －2＝0，令g （x ）＝2＋2x －2，所以g （0）·g （1）＝－2<0， 即存在x （0，1）使得g （x ）＝2＋2x －2＝0， 亦即存在x Ｒ使得2＋（x ＋1）＝（2＋x ）＋（2＋1），故f （x ）＝2＋x M Q10分2212≠∈()()∞+，，220 ∈[)(]532253+-，， ∈55x21+x 2x 2xx0∈x0∈1+x 2x 2x 2∈。

数学试卷（试卷满分为150分，考试时间为120分钟） 试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分卷（I ）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 1．集合{1，2，3}的真子集的个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．82．函数y = ） A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x U ≥ D ．{}|01x x ≤≤3．函数()22x x f x -=-，则1()2f =（ ）A ．2-B ．C ． 2D ．4．设全集{,,,,}I b c d e f =，若{,,}M b c f =，{,,}N b d e =，则()I M N =I ð（ ） A ．∅ B ．{}d C ．{,}d e D ．{,}b e5．下列函数中的值域是(0,)+∞的是（ ） A ．2()log f x x = B ．2()1f x x =- C ．1()12f x x =+D ．()2x f x =6．下列函数中，在区间()0,2上为增函数的是（ ）A ．1y x =-+B ．y =C ．245y x x =-+D ．2y x=7．函数3()f x x x =+的图象关于（ ） A ．y 轴对称B ． 直线x y -=对称C ． 坐标原点对称D ． 直线x y =对称8．4366312log 2log 9log 89+--=（ ）A ．12B ．12-C ．16-D ．4-9．函数111y x -=+-的图象是下列图象中的（ ）A ．B ．C ．D ．10．设2()f x x bx c =++且(0)(2)f f =，则（ ）A ．3(2)()2f c f -<<B ．3()(2)2f c f <<-C ．3()(2)2f f c <-<D ．3()(2)2c f f <<-二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11．若 3.40.5a =、0.5log 4.3b =、0.5log 6.7c =，则,,a b c 的大小关系是____________。

北京市第四中学2024-2025学年高三上学期期中测试数学试卷一、单选题1．已知全集R U =，集合{}240A x x =-<，{}1B x x =≥，则()U A B ⋂=ð（）A ．()1,2B ．()2,2-C ．(),2∞-D ．()2,1-2．不等式111xx >-的解集为（）A ．(0,)+∞B ．(1,)+∞C ．(0,1)D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭3．已知边长为2的正方形ABCD 中，AC 与BD 交于点E ，则AE BC ⋅=（）A ．2B ．2-C ．1D ．1-4．已知函数()23f x x x=--，则当0x <时，()f x 有（）A ．最大值3+B ．最小值3+C ．最大值3-D ．最小值3-5．设,a b R ∈，则“a b >”是“22a b >”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β的终边关于y 轴对称.若2cos 23α=，则cos β=（）A ．19B ．19-C D ．7．近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物的释放对大气臭氧层的破坏作用.科学研究表明，臭氧含量Q 与时间t （单位：年）的关系为0e ta Q Q -=，其中0Q 是臭氧的初始含量，a 为常数.经过测算，如果不对氟化物的使用和释放进行控制，经过280年将有一半的臭氧消失.如果继续不对氟化物的使用和释放进行控制，再．经过n 年，臭氧含量只剩下初始含量的20%，n 约为（）（参考数据：ln 20.7≈，ln10 2.3≈）A ．280B ．300C ．360D ．6408．已知函数()1,2,xx x af x x a +≤⎧=⎨>⎩，若()f x 的值域为R ,则实数a 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．[0,1]C ．[0,)+∞D ．(,1]-∞9．已知0a >，记sin y x =在[],2a a 的最小值为a s ，在[]2,3a a 的最小值为a t ，则下列情况不可能的是（）A ．0a s >，0a t >B ．0a s <，0a t <C ．0a s >，0a t <D ．0a s <，0a t >10．已知在数列{}n a 中，1a a =，命题:p 对任意的正整数n ，都有12nn n a a a +=-．若对于区间M 中的任一实数a ，命题p 为真命题，则区间M 可以是（）A ．()3,4B ．()2,3C ．3216,115⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．832,311⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题11．已知复数5i2iz =-，则z =.12．已知函数()33log ,0,,0.x x f x x x >⎧=⎨<⎩若()()273f f a =，则a =.13．已知幂函数y x α=的图像经过()0,0A ，()1,1B ，()1,1C -，()4,2D 中的三个点，写出满足条件的一个α的值为.14．在ABC V 中，1tan 4A =，3tan 5B =.（1）C ∠=；（2）若ABC V，则最短边的长为.15．以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[],M M -.例如，当()31x x ϕ=，()2sin x x ϕ=时，()1x A ϕ∈，()2x B ϕ∈.给出下列命题：①“函数()f x A ∈”的充要条件是“t R ∀∈，关于x 的方程()f x t =都有实数解”；②“函数()f x B ∈”的充要条件是“()f x 既有最大值，也有最小值”；③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()()f x g x B ⋅∈，则()g x B ∈；④若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()()f x g x B +∉.其中，正确命题的序号是.三、解答题16．已知函数()sin cos cos sin f x x x ωϕωϕ=+，其中0ω>，π2ϕ<.记()f x 的最小正周期为T ，()2f T =.(1)求ϕ的值；(2)若()f x 与x 轴相邻交点间的距离为π2，求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.17．在ABC V 中，2cos 2c A b a =-.(1)求C ∠的大小；(2)若c =，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC V 存在，求AC 边上中线的长.条件①：ABC V 的面积为条件②：1b a -=；条件③：1sin sin 2B A -=.注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18．已知函数()()2121ln 22f x x x x x =+--.(1)求()f x 的单调区间；(2)若关于x 的不等式()f x x a '<-+有解，求实数a 的取值范围.19．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左顶点为A ，C 的长轴长为4，焦距为过定点(),0T t （2t ≠±）作与x 轴不重合的直线交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与y 轴交于点M ，N .(1)求C 的方程；(2)是否存在点T ，使得OM ON ⋅等于定值13？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由.20．已知函数()e xf x x ax =-，R a ∈.(1)当e a =时，求曲线=在点1,1处的切线方程；(2)若函数()f x 是单调递增函数，求a 的取值范围；(3)当0a ≥时，是否存在三个实数123x x x <<且()()()123f x f x f x ==？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.21．已知集合{}1,2,3,,A n =⋅⋅⋅，其中*N n ∈，1A ，2A ，…，m A 是A 的互不相同的子集.记i A 的元素个数为i M （1,2,,i m =⋅⋅⋅），i j A A 的元素个数为ij N （1i j m ≤<≤）.(1)若4n =，3m =，{}11,2A =，{}21,3A =，13231N N ==，写出所有满足条件的集合3A （结论不要求证明）；(2)若5n =，且对任意的1i j m ≤<≤，都有0ij N >，求m 的最大值；(3)若给定整数7n ≥，3i M ≤（1,2,,i m =⋅⋅⋅）且对任意1i j m ≤<≤，都有1ij N =，求m 的最大值.。

北京四中-高一上学期期中考试试卷数学试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，满分共计150分考试时间：120分钟卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 1O如果A ＝{}1->x x ，那么正确的结论是A O0⊆A B O{0}∈A C O{0}⊂≠A D Oφ∈A2O函数f （x ）＝22-x，则f （21）＝ A O0 B O－2 C O22 D O－22 3O设全集I ＝{}33<<-∈x Z x ，A ＝{1，2}，B ＝{－2，－1，2}，则A （C I B ）等于A O{1} B O{1，2} C O{2} D{0，1，2}4O与函数y ＝10)1lg(-x 的定义域相同的函数是A Oy ＝x －1 B Oy ＝1-x C Oy ＝11-x D Oy ＝1-x5O若函数f （x ）＝3x ＋3x-与g （x ）＝3x－3x-的定义域均为Ｒ，则AOf （x ）与g （x ）均为偶函数B Of （x ）为偶函数，g （x ）为奇函数 C Of （x ）与g （x ）均为奇函数DOf （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数6O设a ＝log 32，b ＝ln2，c ＝521，则A Oa<b<c B Ob<c<a C Oc<a<b D Oc<b<a7O设函数y ＝x 3与y ＝x⎪⎭⎫⎝⎛21的图象的交点为（x 0，y 0），则x 0所在的区间是A O（0，1） B O（1，2） C O（2，3） D O（3，4）8O已知函数f （x ）是Ｒ上的偶函数，当x ≥0时1)(-=x x f ，则f （x ）<0的解集是A O（－1，0） B O（0，1） C O（－1，1） D O()()∞+-∞-，，11 9O某商店同时卖出两套西服，售价均为168元，以成本计算，一套盈利20%，另一套亏损20%，此时商店A O不亏不盈 B O盈利37O2元 C O盈利14元 D O亏损14元10O设函数f （x ）在()∞+∞-，上是减函数，则A Of （a ）>f （2a ）B Of （a 2）<f （a ）C Of （a 2＋a ）<f （a ）D Of （a 2＋1）<f （a ）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 11Olog 64＋ log 69－832＝____O12O已知函数y ＝f （x ）为奇函数，若f （3）－f （2）＝1，则f （－2）－f （－3）＝____O13O若函数f （x ）＝221x －2x ＋3在[0，m]有最大值3，最小值1，则m 的取值范围是____O14O已知函数f （x ）＝⎩⎨⎧>≤--)0()0(22x x x x x ，若函数g （x ）＝f （x ）－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是____O三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）15O已知：函数f （x ）＝x -4＋lg （3x－9）的定义域为A ，集合B ＝{}Ｒa a x x ∈<-,0，（1）求：集合A ； （2）求：A B O16O已知：函数f （x ）＝x 2－bx ＋3，且f （0）＝f （4）O（1）求函数y ＝f （x ）的零点，写出满足条件f （x ）<0的x 的集合； （2）求函数y ＝f （x ）在区间[0，3]上的最大值和最小值O17O已知：函数f （x ）＝xax x ++22，x [)+∞∈,1，（1）当a ＝－1时，判断并证明函数的单调性并求f （x ）的最小值； （2）若对任意x [)+∞∈,1，f （x ）>0都成立，试求实数a 的取值范围O卷（Ⅱ）一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分1O下列函数中，满足“对任意x 1，x 2()+∞∈,0，当x 1<x 2时，都有f （x 1）>f （x 2）”的是A Of （x ）＝（x －1）2B Of （x ）＝x1 C Of （x ）＝e xD Of （x ）＝ln x2O设二次函数f （x ）＝x 2＋2x ＋3， x 1，x 2∈ R ，x 1≠x 2，且f （x 1）＝f （x 2），则f （x 1＋x 2）＝A O1B O 2C O 3D O43O若函数f （x ）＝x ＋x 3， x 1，x 2∈ R ，且x 1＋x 2>0，则f （x 1）＋f （x 2）的值A O一定大于0 B O一定小于0 C O一定等于0 D O正负都有可能二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 4O函数y ＝22321x x -+⎪⎭⎫⎝⎛的定义域为____，值域为____O5O已知函数f （x ）＝ax 2＋（1－3a ）x ＋a 在区间[)+∞,1上递增，则实数a 的取值范围是____O6O若0<a<b<1，则在a b ，b a，log a b ，log b a 这四个数中最大的一个是____O三、解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分 7O已知：函数f （x ）＝a x （0<a<1），（Ⅰ）若f （x 0）＝2，求f （3x 0）；（Ⅱ）若f （2x 2－3x ＋1）≤f （x 2＋2x －5），求x 的取值范围O8O已知：集合M 是满足下列性质的函数f （x ）的全体：在定义域内存在x 0，使得f （x 0＋1）＝f （x 0）＋f （1）成立O（1）函数f （x ）＝x1是否属于集合M ？说明理由； （2）设函数f （x ）＝lg M x a∈+12，求实数a 的取值范围； （3）证明：函数f （x ）＝2x ＋x 2∈M O【试题答案】卷Ⅰ 1O C 2O A 3O D 4OC 5OB6OA7O B8O C9O D10OD11O－2 12O113O[2，4] 14O（0，1）15O解：（1）42334093042≤<⇒⎩⎨⎧>≤⇒⎩⎨⎧>-≥-x x x x x ，定义域A ＝(]4,2； 4分 （2）B ＝{}Ｒa a x x ∈<-,0＝（－∞，a ） O 当a φ=≤B ，A 时2， 6分②当2<a a ）（B ，A ,24=≤ 时， 8分 ③当a>4时，(]42，B A = O10分 16O解：（1）由f （0）＝f （4），得b ＝4， 2分所以，f （x ）＝x 2－4x ＋3，函数的零点为1，3， 4分 依函数图象，所求集合为{}31<<x x O6分（2）由于函数f （x ）的对称轴为x ＝2，开口向上，所以，f （x ）的最小值为f （2）＝－1， 8分 f （x ）的最大值为f （0）＝3 10分17O解：（1）当a ＝－1时f （x ）＝21122+-=-+xx x x x ， 1分 对任意211x x <≤，212121212121221121)1)(()(2121)()(x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f +-=-+-=-+-+-=- 3分∵211x x <≤，∴,1,02121><-x x x x ∴,0121>+x x∴f （x 1）－f （x 2）<0，f （x 1）<f （x 2）所以f （x ）在[)+∞,1上单调递增 5分所以x ＝1时f （x ）取最小值，最小值为2 6分（2）若对任意x [)+∞∈,1，f （x ）>0恒成立，则xax x ++22>0对任意x [)+∞∈,1恒成立，所以x 2＋2x ＋a>0对任意x [)+∞∈,1恒成立，令g （x ）＝x 2＋2x ＋a ， x [)+∞∈,1因为g （x ）＝ x 2＋2x ＋a 在[)+∞,1上单调递增，所以x ＝1时g （x ）取最小值，最小值为3＋a ，∵ 3＋a>0，∴ a>－3O10分卷Ⅱ 1OB2O C3OA4O Ｒ，⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,161； 5O[0，1] 6Olog b a7O解：（Ⅰ）f （3x 0）＝a3x ＝（ax ）3＝8； 4分（Ⅱ）因为0<a<1，所以f （x ）＝a x单调递减；所以2x 2－3x ＋1≥x 2＋2x －5，解得x≤2或x≥3； 10分 8O解：（Ⅰ）f （x ）＝x1的定义域为()()∞+∞-，，00 ， 令1111+=+xx ，整理得x 2＋x ＋1＝0，△＝－3<0， 因此，不存在x ∈()()∞+∞-，，00 使得f （x ＋1）＝f （x ）＋f （1）成立，所以f （x ）＝M x∉1； 3分 （Ⅱ）f （x ）＝lg12+x a 的定义域为Ｒ，f （1）＝lg 2a，a>0，若f （x ）＝ lg12+x a ∈M ，则存在x ∈Ｒ使得lg 1)1(2++x a＝lg 12+x a ＋lg 2a ， 整理得存在x ∈Ｒ使得（a 2－2a ）x 2＋2a 2x ＋（2a 2－2a ）＝0O（1）若a 2－2a ＝0即a ＝2时，方程化为8x ＋4＝0，解得x ＝－21，满足条件：（2）若a 2－2a ≠0即a ∈()()∞+，，220 时，令△≥0，解得a ∈[)(]532253+-，， ，综上，a ∈[3－5，3＋5]； 7分（Ⅲ）f （x ）＝2x＋x 2的定义域为Ｒ， 令２1+x ＋（x ＋1）2＝（2x ＋x 2）＋（2＋1），整理得2x＋2x －2＝0，令g （x ）＝2x＋2x －2，所以g （0）·g （1）＝－2<0， 即存在x 0∈（0，1）使得g （x ）＝2x＋2x －2＝0， 亦即存在x 0∈Ｒ使得21+x ＋（x ＋1）2＝（2x ＋x 2）＋（2＋1），故f （x ）＝2x ＋x 2∈M O10分。

数学试卷(试卷满分140分考试时间120分钟)Ⅰ卷(满分90分)一､选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.)1. 已知全集为U ，集合{1,2,3,4,5}A =，{3,2}B =-，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A. {3}B. {3,2}-C. {2}D. {2,3}-C根据韦恩图得阴影部分表示集合A 与B 的交集，再根据集合交集运算即可. 解：根据韦恩图得阴影部分表示集合A 与B 的交集， 所以{}{1,2,3,4,5}{3,2}2A B =-=.故选：C. 2. 不等式021x x ≤-+的解集是 （ ） A. (1)(12]-∞--，， B. [12]-，C. (1)[2)-∞-+∞，， D. (12]-， D将“不等式21x x -+≤0”转化为“不等式组()()12010x x x ⎧+-≤⎨+≠⎩”，由一元二次不等式的解法求解． 依题意，不等式化为()()12010x x x ⎧+-≤⎨+≠⎩， 解得﹣1＜x≤2，故选D ．A. y ＝x 2﹣2x ,函数的减区间为(,1)-∞，所以选项A 不符；B. y ＝|x |，函数的减区间为(,0)-∞，所以选项B 不符； C.y ＝2x +1,函数是增函数，没有减区间，所以选项C 不符；D. y =0，+∞），所以选项D 符合.故选D4. 已知函数()351f x x x =-+，则下列区间中一定包含()f x 零点的区间是（ ）A. ()2,1--B. ()1,0-C. ()0,1D. ()1,2C计算出各端点的函数值，利用零点存在性定理即可判断.()351f x x x =-+，()32252130f ∴-=-+⨯+=>，()31151150f -=-+⨯+=>，()010f => ()31151130f =-⨯+=-<，()32252110f =-⨯+=-<，根据零点存在性定理可得一定包含()f x 零点的区间是()0,1.故选：C. 5. 若函数()f x 是偶函数，且在区间[0,3]上单调递减，则（ ） A. ()()1(2)3f f f ->> B. ()()()312f f f >-> C. ()()()213f f f >-> D. ()()()321f f f >>-A由(1)(1)f f -=，结合单调性得出()()1(2)3f f f ->>. 因为函数()f x 是偶函数，所以(1)(1)f f -= 又()f x 在区间[0,3]上单调递减，且123<<所以(1)(2)(3)f f f ∴>>，即()()1(2)3f f f ->>故选：A 6. 已知12,x x是方程210x +=的两根，则2212x x +=（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5D由韦达定理的12x x +=121=x x ，再根据()2221212122x x x x x x +=+-即可求出.12,x x 是方程2710x x -+=的两根，127x x ∴+=，121=x x ，()2221212122725x x x x x x +=+-=-=故选：D.7. 设,a b ∈R ，且a b >，则下列结论中正确的是（ ） A. 1a b> B.11a b< C. ||||a b >D. 33a b >D取特殊值判断ABC ，由幂函数3y x =的单调性判断D. 当1,1a b ==-时，11ab =-<，11a b>，||||a b = 因为幂函数3y x =在R 当单调递增，a b >，所以33a b >故选：D 8. “2a =”是“函数()f x x a =-在区间[2,)+∞上为增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 A试题分析：当2a =，则()f x x a=-在[2,)+∞上为增函数，故充分性成立；当函数()f x x a =-在区间[2,)+∞上为增函数，则，故必要性不成立.9. 向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h 随时间t 变化的函数h ＝f (t )的图象如图所示，则杯子的形状是( )A. B. C. D.A由图可知，高度的增长速率是先慢后快，且都是运算增长，所以只有A 满足．故选A ． 10. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y ＝x 2＋1，值域为{1,3}的同族函数有 ( )． A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个C试题分析：由得，由得，∴函数的定义域可以是{02}，{0，2}，{022}，共3个．．二､填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.)11. 设全集U =R ，集合{|2},A x x =<集合{|1}B x x =<，则集合UA___________，集合()UA B =___________.(1). [)2,+∞ (2). ()[),12,-∞+∞利用集合的交集和并集进行求解即可{|2},A x x =<}{2UA x x =≥[)2,=+∞；{|1}B x x =<，()U A B =()[),12,-∞+∞； 故答案为：①[)2,+∞；②()[),12,-∞+∞12. 命题“11,1x x∀<>”的否定是___________.11,1x x∃<≤直接根据全称命题的否定为特称命题解答即可；解：命题“11,1x x ∀<>”为全称命题，又全称命题的否定为特称命题，故其否定为“11,1x x ∃<≤” 故答案为：11,1x x∃<≤13. 某班共38人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，16人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为______. 12设两者都喜欢的人数为x 人，则只喜爱篮球的有(15)x -人，只喜爱乒乓球的有(10)x -人，由此可得(15)(10)1638x x x -+-++=，解之即可两者都喜欢的人数，然后即可得出喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数．设两者都喜欢的人数为x 人，则只喜爱篮球的有(15)x -人，只喜爱乒乓球的有(10)x -人， 由此可得(15)(10)1638x x x -+-++=，解得3x =， 所以1512x -=， 即所求人数为12人， 故答案为：12． 14. 函数1()1f x x x =+-(1)x >的最小值是_____，此时x =_____. (1). 3 (2). 2由题知10x ->，又由()1111f x x x =-++-，结合基本不等式即可求解． ∵1x >， ∴10x ->，由基本不等式可得()12111131f x x x =-+++=-≥=， 当且仅当111x x -=-即2x =时，函数取得最小值3． 故答案为：①3；②2．15. 能够说明“设,,a b c 是任意实数,若a b c >>,则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为__________.1,2,3---试题分析：()123,1233->->--+-=->-，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一． 三､解答题(本大题共3小题，共25分.)16. 已知0a >，记关于x 的不等式()()10-+<x a x 的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q . （1）若3a =，求集合P ； （2）若Q P ⊆，求a 的取值范围.（1）{}13x x -<<；（2）(2)，+∞.（1）直接解不等式得解；（2）先化简集合,P Q ,再根据Q P ⊆，得到关于a 的不等式得解. （1）由()()310x x -+<，得{}13P x x =-<<； （2）{}{}1102Q x x x x =-≤=≤≤. 由0a >，得{}1P x x a =-<<， 又Q P ⊆， 所以2a >，即a 的取值范围是(2)，+∞. 17. 已知定义在R 上的奇函数21()x mf x x =++,m ∈R . （1）求m ；（2）用定义证明：()f x 在区间[)1,+∞上单调递减；（3）若实数a 满足()22225f a a ++<，求a 的取值范围. （1）0m =；（2）证明见解析；（3）()(),20,-∞-+∞.【分析】（1）由()f x 是定义在R 上的奇函数，得到(0)0f =，即可求解； （2）根据函数的单调性的定义，即可证得函数()f x 在[)1,+∞单调递减.（3）结合()f x 在[)1,+∞单调递减，转化为2222a a ++>，即可求解实数a 的取值范围. （1）由题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可得(0)0f =，解得0m =. （2）任取12,[1,)x x ∈+∞且12x x <，则12221212121122121222222212()(1)()()(),(1)111111()()()(1)x x x x x x f x x f x x x x x x x x x x +-+-++++--==+-=+ 因211x x >>，故221221121,0,10,10x x x x x x >->+>+>，从而21()()0f x f x -<，即21()()f x f x <，所以函数()f x 在[)1,+∞单调递减. （3）由()2222111a a a ++=++≥，又由2(2)5f =，因为()22225f a a ++<，结合()f x 在[)1,+∞单调递减，可得2222a a ++>， 即220a a +>，解得2a <-或0a >， 即实数a 的取值范围()(),20,-∞-+∞.18. 二次函数()f x 满足(0)1f =，再从条件①和条件②两个条件中选择一个作为已知，求： （1）求()f x 的解析式；（2）在区间[]1,1-上，函数()f x 的图像总在一次函数2y x m =+图像的上方，试确定实数m 的取值范围.条件①：()()12f x f x x +-=；条件②：不等式()4<+f x x 的解集为()1,3-.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 条件选择见解析；（1）2()1f x x x =-+；（2）1m <-.（1）选择①：设出二次函数的解析式，根据条件①，结合待定系数法求出()f x 的解析式； 选择②：根据一元二次不等式与二次函数的关系求出()f x 的解析式；（2）由题意可知231x x m -+>，构造函数2()31g x x x =-+，由min ()g x m >得出m 的范围. 解（1）由f (0)=1，可设f (x )=ax 2+bx +1(a ≠0).选择①，则有()22(1)()(1)(1)1122f x f x a x b x ax bx ax a b x +-=++++-++=++=由题意，得22,0,a a b =⎧⎨+=⎩解得1,1,a b =⎧⎨=-⎩故2()1f x x x =-+选择②，则()4<+f x x 可化为2(1)30ax b x +--<. 由题，方程2(1)3=0ax b x +--的两实根分别为1-和3 所以1132b a --=-+=即21a b +=，及3133a-=-⨯=-即1a =，所以1b =-. 故2()1f x x x =-+（2）由题意，得212x x x m -+>+，即231x x m -+>，对[1,1]x ∈-恒成立. 令2()31g x x x =-+，则问题可转化为min ()g x m >又因为g (x )在[1,1]-上递减，所以min ()(1)1g x g ==-，故1m <-II 卷(满分50分)一､选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.)19. 已知非零实数,,a b c 满足：a b c >>，下列不等式中一定成立的有（ ） ①ab bc >； ②22ac bc ≥； ③a b a bc c+->. A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个B由不等式的性质结合作差法逐个判断即可得解. 对于①，若a c >，0b <，则ab bc <，故①错误；对于②，由()2220ac bc c a b -=-≥可得22ac bc ≥，故②正确；对于③，因为2a b a b b c c c +--=，若20b c <，则a b a bc c+-<，故③错误.故选：B. 20. 已知a 、b R ∈，则“0a b +=”是“3220a a b a ab a b +--++=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件C将代数式322a a b a ab a b +--++因式分解，找出使得3220a a b a ab a b +--++=成立的等价条件，进而可得出结论.()()()()()322221a a b a ab a b a a b a a b a b a b a a +--++=+-+++=+-+， 对任意的a R ∈，22131024a a a ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以，32200a a b a ab a b a b +--++=⇔+=.因此，“0a b +=”是“3220a a b a ab a b +--++=”的充要条件.故选：C.21. 已知{},;min ,,.a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩设()f x {}2min 6,246x x x =-+-++，则函数()f x 的最大值是（ ）A. 8B. 7C. 6D. 5C画出函数图像求得解析式，再求最大值即可根据题目的定义得，{}2()min 6,246f x x x x =-+-++2226,6246246,6246x x x x x x x x x ⎧-+-+≤-++=⎨-++-+>-++⎩，化简得， ()256,0,2()5246,,0(,)2x x f x x x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎪-++∈-∞⋃+∞⎪⎩，可根据该分段函数做出图像，显然在左边的交点处取得最大值，此时，0x =，得(0)6f =即为所求；故选：C(1). 0 (2). 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭由偶函数的定义得出x a x a +=-，等式两边平方可求得实数a 的值，求出函数()f x 在()0,∞+上的增区间和减区间，利用偶函数的基本性质可得出函数()f x 的单调递增区间.函数()2f x x x a =-+的定义域为R ，且该函数为偶函数，则()()f x f x -=，即()22x x a x x a ---+=-+，所以，x a x a -=+， 等式x a x a -=+两边平方可得222222x ax a x ax a -+=++，可知0ax =对任意的x ∈R 恒成立，所以，0a =，则()2f x x x =-.当0x >时，()2f x x x =-，则函数()f x 在()0,∞+上的减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 由于函数()f x 为偶函数，因此，函数()f x 的单调递增区间为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：0；1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.23. 某学校运动会上，6名选手参加100米决赛.观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1､2､6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4､5､6道的选手都不可能得第一名.比赛后发现并没有并列名次，且甲､乙､丙､丁中只有1人猜对比赛结果，则此人是___________. 丁先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．若甲对,则乙也对,所以甲错;若甲错乙对,则丙也对,所以乙错,即3道的选手得第一名,此时只有丁对故答案为：丁()[),03,-∞+∞由题意可得，当0x >时，2230ax ax -+能成立，分类讨论a 的范围，利用二次函数的性质，求得实数a 的取值范围． 关于x 的不等式32ax a x+在区间(0,)+∞上有解， 即当0x >时，不等式32ax a x+能成立，即2230ax ax -+能成立． 当0a =时，不等式不成立，故0a ≠．当0a >时，则1x =时，函数223y ax ax =-+的最小值为2124304a a a a-=-，求得3a ． 当0a <时，二次函数223y ax ax =-+的图象开口向下，满足条件． 综上可得，实数a 的范围为3a 或0a <， 故答案为：()[),03,-∞+∞三､解答题(本大题共2小题，共23分.)25. 区间[],αβ的长度定义为βα-.函数()22()1f x a x ax =+-，其中0a >，区间{}|()0I x f x =≤.（1）求I 的长度；（2）求I 的长度的最大值.（1）21a a +；（2）12. （1）解出()0f x ≤，即可利用区间长度定义求出；（2）利用基本不等式可求出.解：（1）令2()(1)0f x x a x a ⎡⎤=+-=⎣⎦，解得：10x =，2201a x a=>+， 则{}2|()001a x f x x x a ⎧⎫≤=≤≤⎨⎬+⎩⎭，20,1a I a ⎡⎤∴=⎢⎥+⎣⎦， 则I 的长度为22011a a a a -=++； （2）0a >，I ∴的长度211112a a a a =≤=++，当且仅当1a =时等号成立. ∴当1a =时，I 的长度的最大值为12. 26. 若函数()f x 的定义域为D ，集合M D ⊆，若存在非零实数t 使得任意x M ∈都有x t D +∈，且()()f x t f x +>，则称()f x 为M 上的t -增长函数.（1）已知函数()g x x =，函数()2h x x =，判断()g x 和()h x 是否为区间[]1,0-上的32-增长函数，并说明理由；（2）已知函数()f x x =，且()f x 是区间[4,2]--上的n -增长函数，求正整数n 的最小值； （3）请在以下两个问题中任选一个作答：(如果两问都做，按（i ）得分计入总分)（i ）如果对任意正有理数q ，()f x 都是R 上的q -增长函数，判断()f x 是否一定为R 上的单调递增函数，并说明理由；（ii ）如果()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，22()f x x a a =--，且()f x 为R 上的4-增长函数，求实数a 的取值范围.（1）()g x x =是，()2h x x =不是，理由见解析；（2）9；（3）（i ）不是，理由见解析；（ii ）()1,1-. （1）()g x x =用新定义证明，()2h x x =举反例否定.（2）由新定义得出x 的一次不等式恒成立问题求解.（3）(i)构造反例,()1,R x x Q f x x x Q ∈⎧=⎨-∈⎩说明；(ii)由分段函数逐一讨论即可. 解：（1）()g x x =是；因为[]1,0x ∀∈-，()3330222g x g x x x ⎛⎫⎛⎫+-=+-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()2h x x =不是，反例：当1x =-时，()31111=1224h h h ⎛⎫⎛⎫-+==<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）由题意得，x n x +>对[4,2]x ∈--恒成立等价于2222x nx n x ++>，即220nx n +>对[4,2]x ∈--恒成立因为0n >，所以22nx n +是关于x 的一次函数且单调递增，于是只需280n n -+>， 解得8n >，所以满足题意的最小正整数n 为9.（3）（i ）不是构造,()1,R x x Q f x x x Q∈⎧=⎨-∈⎩，则对任意正有理数q ， 若x Q ∈，则x q Q +∈，因此()()f x q x q x f x +=+>=；若R x Q ∈，则R x q Q +∈，因此()11()f x q x q x f x +=+->-=. 因此()f x 是R 上的q -增长函数，但()f x 不是增函数.（ii ）由题意知2222222,(),2,x a x a f x x a x a x a x a ⎧+≤-⎪=--<<⎨⎪-≥⎩已知任意x ∈R ，(4)()f x f x +≥，因为()f x 在22[,]a a -上递减，所以,4x x +不能同时在区间22[,]a a -上， 因此2224()2a a a >--=注意到()f x 在2[2,0]a -上非负，在2[0,2]a 上非正若22244a a <≤，当22x a =-时，24[0,2]x a +∈，此时(4)()f x f x +≤，矛盾 因此244a >，即(1,1)a ∈-.当244a >时，下证()f x 为R 上的4-增长函数：①当24x a +≤-，(4)()f x f x +>显然成立 ②当224a x a -<+<时，2243x a a <-<-，此时2(4)(4)f x x a +=-+>-，22()2f x x a a =+<-，(4)()f x f x +>③当24x a +≥时，22(4)422()f x x a x a f x +=+->+≥ 因此()f x 为R 上的4-增长函数 综上，为使得()f x 为R 上的4-增长函数a 的取值范围是()1,1-.。

北京四中2022-2022学年高一上学期期中考试试卷数学试卷分为两卷，卷〔Ⅰ〕100分，卷〔Ⅱ〕50分，总分值共计150分考试时间：120分钟卷〔Ⅰ〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分1. 如果A ＝{}1->x x ，那么正确的结论是A ．0⊆A B. {0}∈A C. {0}⊂≠ A D. φ∈A 2. 函数f 〔x 〕＝22-x ，那么f 〔21〕＝ A. 0 B. －2 C. 22 D. －22 3. 设全集I ＝{}33<<-∈x Z x ，A ＝{1，2}，B ＝{－2，－1，2}，那么A 〔C I B 〕等于A. {1}B. {1，2}C. {2} D{0，1，2}4. 与函数y ＝10)1lg(-x 的定义域相同的函数是A. y ＝x －1B. y ＝1-xC. y ＝11-x D. y ＝1-x5. 假设函数f 〔x 〕＝3x ＋3x -与g 〔x 〕＝3x －3x -的定义域均为Ｒ，那么A. f 〔x 〕与g 〔x 〕均为偶函数B. f 〔x 〕为偶函数，g 〔x 〕为奇函数C. f 〔x 〕与g 〔x 〕均为奇函数D. f 〔x 〕为奇函数，g 〔x 〕为偶函数6. 设a ＝log 32，b ＝ln2，c ＝521，那么A. a<b<cB. b<c<aC. c<a<bD. c<b<a7. 设函数y ＝x 3与y ＝x ⎪⎭⎫ ⎝⎛21的图象的交点为〔x 0，y 0〕，那么x 0所在的区间是 A. 〔0，1〕 B. 〔1，2〕 C. 〔2，3〕 D. 〔3，4〕8. 函数f 〔x 〕是Ｒ上的偶函数，当x ≥0时1)(-=x x f ，那么f 〔x 〕<0的解集是A. 〔－1，0〕B. 〔0，1〕C. 〔－1，1〕D. ()()∞+-∞-，，119. 某商店同时卖出两套西服，售价均为168元，以本钱计算，一套盈利20%，另一套亏损20%，此时商店A. 不亏不盈B. 盈利37.2元C. 盈利14元D. 亏损14元10. 设函数f 〔x 〕在()∞+∞-，上是减函数，那么A. f 〔a 〕>f 〔2a 〕B. f 〔a 2〕<f 〔a 〕C. f 〔a 2＋a 〕<f 〔a 〕D. f 〔a 2＋1〕<f 〔a 〕二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分11. log 64＋ log 69－832＝____.12. 函数y ＝f 〔x 〕为奇函数，假设f 〔3〕－f 〔2〕＝1，那么f 〔－2〕－f 〔－3〕＝____。

2019-2020学年北京四中高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．设集合A ={4,5,7,9},B ={3,4,7,8,9}，全集U =A ∪B ，则集合C U (A ∩B)中的元素共有A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．函数()f x =的定义域是（ ）． A ．(),2-∞ B ．[)2,+∞ C ．(],2-∞ D ．()2,+∞3．设集合A={（x ，y ）|4x+y=6}，B={（x ，y ）|3x+2y=7}，则满足C ⊆A ∩B 的集合C 的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．下列函数中，在（-∞，0）上为减函数的是（ ）A ．y =−x 2+2B ．y =4x −1C ．y =x 2+4xD ．y =1x5．已知函数f(x)=(23)x ，则函数y=f （x+1）的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．6．如果二次函数y=x2-（k+1）x+k+4有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(−∞,−3)∪(5,+∞)B ．(−∞,−5)∪(3,+∞)C ．(−3,5)D ．(−5,3)7．下列大小关系正确的是（ ）A ．0.43<30.4<log 40.3B ．0.43<log 40.3<30.4C ．log 40.3<0.43<30.4D ．log 40.3<30.4<0.438．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，32()2f x x x =-，则当0x <时，()f x =（ ）A ．322x x +B ．322x x -C ．322x x -+D ．322x x --二、填空题9．计算：e ln1＝________.10．已知集合A ={x|x >1}，B ={x|x >a}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是______.11．函数f(x)=log a (a −a x ) (0<a <1)的定义域为__________.12．已知f(x)＝{x 2−1, x ≤1−x +1, x >1，则f[f(−1)]＝_________；若f(x)=−1，则x =________．13．已知函数f(x)=ax 2−2x −2在区间[1,+∞)上不单调，则实数a 的取值范围是________.14．如图放置的边长为2的正三角形ABC 沿x 轴滚动，记滚动过程中顶点A 的横、纵坐标分别为x 和y ，且y 是x 在映射f 作用下的象，则下列说法中：① 映射f 的值域是[0,√3]；② 映射f 不是一个函数；③ 映射f 是函数，且是偶函数；④ 映射f 是函数，且单增区间为[6k,6k +3](k ∈Z)，其中正确说法的序号是___________.说明：“正三角形ABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动．沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点B 为中心顺时针旋转，当顶点C 落在x 轴上时，再以顶点C为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正三角形ABC可以沿x轴负方向滚动．15．已知函数f(x)=x 12−log12x，若0＜a＜b＜c，且满足f(a)f(b)f(c)<0(0<a<b<c)，则下列说法一定正确的是______.①f(x)有且只一个零点②f(x)的零点在(0,1)内③f(x)的零点在(a,b)内④f(x)的零点在(c,+∞)内16．关于函数f(x)=√x2−x4|x−1|−1的性质描述，正确的是___①f(x)的定义域为[−1,0)∪(0,1]②f(x)的值域为(−1,1)③f(x)在定义域上是增函数④f(x)的图象关于原点对称17．在同一直角坐标系下，函数y= a x与y= log a x(a>0,a≠1)的大致图象如图所示，则实数a的可能值为______①. 32②. 43③. 75④. 10718．已知函数f(x)={x3+a,x>0x+1, x≤0在R上是增函数，则实数a的取值范围是________．19．非空有限数集S满足：若a,b∈S，则必有ab∈S．请写出一个满足条件的二元数集S＝________．20．已知直线y=ax上恰好存在一个点关于直线y=x的对称点在函数y=lnx 的图象上．请写出一个符合条件的实数a的值：________．三、解答题21．已知集合A={x|x2−x<0}，B={x|x2−2x−m<0}.（1）求∁R A；（2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．22．已知函数f(x)=a−2是定义在R上的奇函数．1+2x（1）求f(x)的解析式及值域；（2）判断f(x)在R上的单调性，并用单调性定义予以证明．23．某公司共有60位员工，为提高员工的业务技术水平，公司拟聘请专业培训机构进行培训．培训的总费用由两部分组成：一部分是给每位参加员工支付400元的培训材料费；另一部分是给培训机构缴纳的培训费．若参加培训的员工人数不超过30人，则每人收取培训费1000元；若参加培训的员工人数超过30人，则每超过1人，人均培训费减少20元．设公司参加培训的员工人数为x人，此次培训的总费用为y元．（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）请你预算：公司此次培训的总费用最多需要多少元？24．若函数f(x)的图象恒过(0,0)和(1,1)两点，则称函数f(x)为“0-1函数”. （1）判断下面两个函数是否是“0-1函数”，并简要说明理由：①y=x−1；②y=−x2+2x.（2）若函数f(x)=a x+b是“0-1函数”，求f(x)；（3）设g(x)=log a x(a>0,a≠1)，定义在R上的函数ℎ(x)满足：①对∀x1,x2∈R，均有ℎ(x1x2+1)=ℎ(x1)⋅ℎ(x2)−ℎ(x2)−x1+2；②g[ℎ(x)]是“0-1函数”，求函数ℎ(x)的解析式及实数a的值．2018-2019学年北京市人大附中高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9}，全集U=A∪B，则集合C U(A∩B)中的元素共有A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】A【解析】试题分析：U =A ∪B ={3,4,5,7,8,9},A ∩B ={4,7,9},所以C U (A ∩B)={3,5,8}，即集合C U (A ∩B)中共有3个元素，故选A ．【考点】集合的运算．2．函数()f x =的定义域是（ ）． A ．(),2-∞ B ．[)2,+∞ C ．(],2-∞ D ．()2,+∞【答案】D【解析】要使函数有意义，则需20x ->，解得： 2x >，所以函数的定义域是：()2,+∞，故选D ．3．设集合A={（x ，y ）|4x+y=6}，B={（x ，y ）|3x+2y=7}，则满足C ⊆A ∩B 的集合C 的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】先求出A ∩B ，然后根据A ∩B 中元素的个数确定C 的个数．【详解】A ∩B ={(x ，y)|{4x +y =63x +2y =7 }={（1，2）}， ∴C 是∅或{（1，2）}，共有2个．故选：C ．【点睛】本题考查子集的性质和应用，属于基础题．4．下列函数中，在（-∞，0）上为减函数的是（ ）A ．y =−x 2+2B ．y =4x −1C ．y =x 2+4xD ．y =1x【答案】D【解析】根据二次函数，一次函数，反比例函数的单调性，逐一判断四个答案中的函数在区间（﹣∞，0）上的单调性，比照后，即可得到答案．【详解】 A 中，函数y ＝﹣x 2+2在（﹣∞，0）上为增函数；B 中，函数y ＝4x ﹣1在（﹣∞，0）上为增函数；C 中，函数y ＝x 2+4x 在（﹣∞，﹣2）上为减函数，在（﹣2，0）上为增函数；D 中，函数y =1x 在（﹣∞，0）上为减函数故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，熟练掌握各种基本初等函数的单调性，是解答本题的关键．5．已知函数f(x)=(23)x ，则函数y=f （x+1）的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】根据题意，先求f （x +1）的表达式，可得f(x +1)=(23)x+1=23⋅(23)x ，进而分析可得f （x ）单调递减，且其图象与y 轴交点在（0，1）之下，比较选项可得答案．【详解】根据题意，可得f(x +1)=(23)x+1=23⋅(23)x ，f （x ）单调递减； 同时有f(0)=23＜1，23＜1，即函数图象与y 轴交点在（0，1）之下； A 、D 选项的图象为增函数，不符合；C 选项的图象与y 轴交点在（0，1）之上，不符合；只有B 的图象符合两点，故选：B ．【点睛】本题考查指数函数的性质和函数图象的变化，掌握指数函数的性质是解题的关键．6．如果二次函数y=x2-（k+1）x+k+4有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(−∞,−3)∪(5,+∞)B ．(−∞,−5)∪(3,+∞)C ．(−3,5)D ．(−5,3)【答案】A【解析】二次函数y ＝x 2﹣（k +1）x +k +4有两个不同的零点可得，x 2﹣（k +1）x +k +4＝0有两个不同的实根，则△＞0，解不等式可求.【详解】∵二次函数y ＝x 2﹣（k +1）x +k +4有两个不同的零点∴x 2﹣（k +1）x +k +4＝0有两个不同的实根∴△＝（k +1）2﹣4（k +4）＝k 2﹣2k ﹣15＝（k +3）（k ﹣5）＞0∴k ＜﹣3或k ＞5故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次函数的零点与二次方程的根的存在情况的判断，属于基础题.7．下列大小关系正确的是（ ）A ．0.43<30.4<log 40.3B ．0.43<log 40.3<30.4C ．log 40.3<0.43<30.4D ．log 40.3<30.4<0.43【答案】C【解析】试题分析：根据指数的性质可知：0<0.43<0.4<12，30.4>1，根据对数的性质12<log 43<1,所以0.43<12<log 43<1<30.4，故选择D.【考点】1.指数对数的比较大小；2.指数、对数的运算性质.8．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，32()2f x x x =-，则当0x <时，()f x =（ ）A ．322x x +B ．322x x -C ．322x x -+D ．322x x --【答案】A【解析】试题分析：设0x <，则0x ->，因为函数()f x 是R 上的奇函数，所以()()3232f x f x x x x x=--=----=+，故选A．[()2()]2【考点】函数的奇偶性的应用．二、填空题9．计算：e ln1＝________.【答案】1【解析】利用对数的运算规则a log a N=N可得计算结果.【详解】因为e ln1=e log e1=1，故填1.【点睛】对数有如下的运算规则：（1）log a M+log a N=log a(MN)(a>0,a≠1,M>0,N>0)，(a>0,a≠1,M>0,N>0)；log a M−log a N=log a MN（2）a log a N=N(a>0,a≠1,N>0)；log a b(a>0,a≠1,b>0,p≠0)；（3）log a p b q=qp(a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1) .（4）log a b=log c blog c a10．已知集合A={x|x>1}，B={x|x>a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是______.【答案】(−∞,1]【解析】在数轴上画出两个集合对应的范围，利用A⊆B可得实数a的取值范围. 【详解】如图，在数轴表示A,B，因为A⊆B，故a≤1，填(−∞,1].【点睛】含参数的集合之间的包含关系，应借助于数轴、韦恩图等几何工具直观地讨论参数的取值范围，解决此类问题时，还应注意区间端点处的值是否可取. 11．函数f(x)=log a(a−a x)(0<a<1)的定义域为__________.【答案】(1,+∞)【解析】解不等式a−a x>0可得函数的定义域.【详解】由题设有a−a x>0即a>a x，因0<a<1，故x>1，故函数的定义域为(1,+∞)，填(1,+∞).【点睛】函数的定义域一般从以下几个方面考虑：（1）分式的分母不为零；（2）偶次根号√an（n∈N∗,n≥2，n为偶数）中，a≥0；（3）零的零次方没有意义；（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为1.12．已知f(x)＝{x2−1, x≤1−x+1, x>1，则f[f(−1)]＝_________；若f(x)=−1，则x=________．【答案】－1 0或2【解析】根据自变量的范围选择合适的解析式计算函数值即可，分段讨论可得何时f(x)=−1.【详解】f(−1)=(−1)2−1=0，故f[f(−1)]=f(0)=−1，因为f(x)=−1，故{x≤1x2−1=−1或者{x>1−x+1=−1，解得x=0或x=2 . 综上，填−1，0或2.【点睛】分段函数的求值问题，应该自变量的范围选择适当的解析式去求函数值，如果知道分段函数的函数值，则应分类讨论求出不同范围上的自变量的值，也可以先刻画出分段函数的函数图像，结合图像求函数值或相应的自变量的值.13．已知函数f(x)=ax2−2x−2在区间[1,+∞)上不单调，则实数a的取值范围是________.【答案】(0,1)【解析】∈[1,+∞)，从而得到实数a的取值范根据函数在[1,+∞)不单调可得a≠0且1a围.【详解】若a=0，则f(x)=−2x−2，f(x)在[1,+∞)为减函数，不符题意，舎；，因为f(x)在[1,+∞)不单调，若a≠0，则f(x)为二次函数，对称轴为x=1a>1，所以0<a<1，填(0,1).故1a【点睛】含参数的多项式函数，我们要首先确定最高次项的系数是否为零，因为它确定了函数种类（一次函数、二次函数、三次函数等）.其中，一次函数y=kx+b 的单调性取决于k的正负，二次函数的单调性取决对称轴的位置及开口方向. 14．如图放置的边长为2的正三角形ABC沿x轴滚动，记滚动过程中顶点A 的横、纵坐标分别为x和y，且y是x在映射f作用下的象，则下列说法中：①映射f的值域是[0,√3]；②映射f不是一个函数；③映射f是函数，且是偶函数；④映射f是函数，且单增区间为[6k,6k+3](k∈Z)，其中正确说法的序号是___________.“正三角形ABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿说明：x轴正方向滚动指的是先以顶点B为中心顺时针旋转，当顶点C落在x轴上时，再以顶点C为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正三角形ABC可以沿x轴负方向滚动．【答案】③。

北京四中高中一年级期中考试数学试卷卷（I）一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题6分，共48分）1.的值为（）A. B. C. 1 D.【答案】D【解析】【分析】根据对数的运算法则及性质即可求解.【详解】因为，故选D.【点睛】本题主要考查了对数的性质和运算法则，属于容易题.2.集合，则下列关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据元素与集合的关系即可判断.【详解】因为，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，属于容易题.3.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】函数要有意义，则需解析式有意义，分式的分母不为0即可.【详解】要是函数有意义，则需，解得，所以函数的定义域为，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的定义域，属于中档题.4.若，则（）A. 1B.C. 0D.【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式，只需把代入即可求出函数值.【详解】因为，所以当时，，故选A.【点睛】本题主要考查了根据函数解析式求函数值，属于中档题.5.下列函数中，在区间上为增函数的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性，逐项分析即可.【详解】A选项中是一次函数，，所以在R上是减函数，错误；B选项是幂函数，幂指数，在区间上为增函数，故正确；C选项是二次函数，对称轴为，在区间上无单调性，错误；D选项是指数函数，，在R上是减函数，错误.故选B.【点睛】本题主要考查了函数的单调性，属于中档题.6.下列函数中，值域是的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数性质，逐项分析各选项即可.【详解】A中的值域为R,错误，B中的值域为，正确；C中，值域为，错误；D中的值域为R,错误.故选B.【点睛】本题主要考查了基本初等函数的值域，属于中档题.7.函数的零点所在的一个区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意可知函数是R上的减函数，只需根据即可判断零点所在区间. 【详解】因为是R上的减函数，所以是R上的减函数，又，可知零点在区间上，故选C.【点睛】本题主要考查了函数零点的存在性，函数的单调性，属于中档题.8.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据指数及对数的性质可分析出范围，从而得到结果.【详解】因为，所以，因为，所以，所以选B.【点睛】本题主要考查了指数的性质，对数的性质，属于容易题.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9.计算:________；________.【答案】(1). 1(2). 4【解析】【分析】分别根据对数的运算法则及指数的运算法则计算即可求解.【详解】;故填(1). 1 (2). 4【点睛】本题主要考查了对数及指数运算法则，属于中档题.10.若函数的定义域为，则函数的定义域为________.【答案】【解析】【分析】根据的定义域为知，要有意义则需，即可求出的定义域.【详解】因为的定义域为，则要有意义则需，解得，所以的定义域为.故填.【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域，属于中档题.11.函数，则其图象的对称轴方程为________；的增区间是________.【答案】(1). 2(2).【解析】【分析】根据二次函数的性质知，对称轴方程为，当时，增区间为,据此可写出答案.【详解】因为函数，所以对称轴方程为，的增区间是.故填：(1). 2(2).【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴和单调区间，属于容易题.12.已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】函数有3个零点，即方程有3个根，因此在同一坐标系内做出的图象与直线，观察它们公共点的个数即可得到答案.【详解】因为有3个零点，所以的图象与直线有3个公共点在同一坐标系内作出它们的图象，如下：根据图象可知，当时，有三个交点.故则实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了分段函数，函数的零点，函数零点与方程的根，数形结合思想，属于中档题.三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）13.设集合.（I）用列举法写出集合；（II）求和.【答案】（I）；（II）,.【解析】【分析】（I）根据集合的描述法写出集合中的元素即可列举法表示（II）根据交集和并集的运算即可求解.【详解】（I）因为x，所以,所以.（II）因为，所以,.【点睛】本题主要考查了集合的描述法，列举法，交集，并集，属于中档题.14.已知函数.（I）当时，判断的奇偶性，并证明你的结论；（II）当时，求的值域.【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】【分析】（I）当时,,,为偶函数，可根据定义证明（II）当时，，配方可写出值域.【详解】（I）当时,,,为偶函数,证明：由知，,,.即函数为偶函数.（II）当时，即函数的值域为.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，二次函数的值域，属于中档题.15.设函数.（I）利用单调性定义证明：在区间上是单调递减函数；（II）当时，求在区间上的最大值.【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】【分析】（I）根据函数单调性的定义证明即可（II）先证明函数在区间[2，+∞）上是单调递增函数，再结合（I）的结论且，对分类讨论写出函数最大值.【详解】（I）任取，∈（0，2]，设<，则∵，∴∵，∴∴所以，故在区间（0，2]上是单调递减函数.（II）由（I）可知，在区间（0，2]上是单调递减函数；当，设<，易知总有<，所以在区间[2，+∞）上是单调递增函数，又，所以在区间上最大值为.【点睛】本题主要考查了函数单调性的定义证明，分类讨论的思想，属于中档题.卷（II）一、选填题：（本大题共5小题，每小题6分，共30分）16.不等式的解集是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的增减性可转化为，即可求解.【详解】，即.所以不等式的解集为.故选C.【点睛】本题主要考查了指数函数的增减性，属于中档题.17.如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定是偶函数的是A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意得，因为函数是定义在上的奇函数，所以，设，则，所以函数为偶函数，故选B．考点：函数奇偶性的判定．18.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前5天监测到的数据：第天 1 2 3 4 5被感染的计算机数量（台）10 20 39 81 160则下列函数模型中，能较好地反映计算机在第天被感染的数量与之间的关系的是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据选项中的函数，依次代入x值求出y的值，通过y的值与表格中所给出的y的值进行比较，误差越小则拟合度越高，误差越大则拟合度越小，计算即可求解.【详解】对于A选项，当时，对应的y值分别为,对于B选项，当时，对应的y值分别为,对于C选项，当时，对应的y值分别为,对于D选项，当时，对应的y值分别为,而表中所给的数据为，，当时，对应的y值分别为，通过比较，即可发现选项D中y的值误差最小，即能更好的反映与之间的关系. 故选D.【点睛】本题主要考查了选择合适函数模型来拟合实际问题，属于中档题.19.设全集，集合,则_______；_______.【答案】(1). (2).【解析】【分析】根据集合的补集的运算及交集的运算即可求解.【详解】因为全集，集合,所以,.【点睛】本题主要考查了集合的交集、补集运算，属于中档题.20.如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为, ，则_________；的解集为________.【答案】(1). 2(2).【解析】【分析】根据函数的图象，观察即可得出答案.【详解】根据图象知，所以，根据图象知，所以，当时，由图象可知，即的解集为.【点睛】本题主要考查了函数的图象，属于中档题.二、解答题：（本大题共2小题，共22分）21.（12分）设函数.（I）若，求的取值范围；（II）记的反函数为,若在上恒成立，求的最小值.【答案】（I）或；（II）.【解析】【分析】（I）根据对数函数的增减性转化为，并注意真数大于零即可求解（II）由题意知，原不等式可转化为在区间[2，）上恒成立即可求解.【详解】（I）由已知log a（x2－x）>log a2，因为0<a<1，所以0<x2－x<2，解，得－1<x<2,解，得x>1或x<0,所以x的取值范围是{x|－1<x<0或1<x<2）.（II）为的反函数，所以,由已知在区间[2，）上恒成立，因为，所以在区间[2，）上恒成立，即大于等于的最大值,因为0<a<1，所以>1，又x－2∈[0，），所以（）的最小值为1，－（）的最大值为－1，所以k≥－1，所以k的最小值为－1.【点睛】本题主要考查了对数函数的增减性，反函数，指数函数，恒成立问题，属于中档题.22.（10分）给定数集,若对于任意,有,且，则称集合为闭集合. （I）判断集合是否为闭集合，并给出证明；（II）若集合为闭集合，则是否一定为闭集合?请说明理由；（III）若集合为闭集合，且,证明：.【答案】（I）证明见解析；（II）不一定，证明见解析；（III）证明见解析.【解析】【分析】（I）根据特值，但是4+4=8A，判断A不为闭集合，设，可证出，，B为闭集合（II）取特例A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=3k，k∈Z}，集合为闭集合，但不为闭集合即可（III）用反正正法，若A B=R，存在a∈R且a A，故a∈B，同理，因为B R，存在b∈R且b B，故b∈A，若，则由A为闭集合，，与a A矛盾，同理可知若，，与b B矛盾，即可证明.【详解】（I）因为，但是4+4=8A，所以，A不为闭集合；任取，设,则且所以，同理，，故B为闭集合.（II）结论：不一定.令A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=3k，k∈Z}，则由（I）可知，A，B为闭集合，但2，3∈A B，2+3=5A B，因此，A B不为闭集合.（III）证明：（反证）若A B=R,则因为A R，存在a∈R且a A，故a∈B,同理，因为B R，存在b∈R且b B，故b∈A,因为a+b∈R=A B，所以，a+b∈A或a+b∈B,若，则由A为闭集合，，与a A矛盾,若，则由B为闭集合，，与b B矛盾,综上，存在c∈R，使得c（A B）.【点睛】本题主要考查了集合子集、真子集，反证法，考查了学生分析推理能力，属于难题.。

北京四中高一上学期期中考试试卷数学试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，满分共计150分考试时间：120分钟卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1. 如果A ＝{}1->x x ，那么正确的结论是A ． 0⊆A B. {0}∈A C. {0}⊂≠ A D. φ∈A 2. 函数f （x ）＝22-x ，则f （21）＝ A. 0 B. －2 C. 22 D. －22 3. 设全集I ＝{}33<<-∈x Z x ，A ＝{1，2}，B ＝{－2，－1，2}，则A （C I B ）等于A. {1}B. {1，2}C. {2} D{0，1，2}4. 与函数y ＝10)1lg(-x 的定义域相同的函数是A. y ＝x －1B. y ＝1-xC. y ＝11-x D. y ＝1-x 5. 若函数f （x ）＝3x ＋3x -与g （x ）＝3x －3x -的定义域均为Ｒ，则A. f （x ）与g （x ）均为偶函数B. f （x ）为偶函数，g （x ）为奇函数C. f （x ）与g （x ）均为奇函数D. f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数6. 设a ＝log 32，b ＝ln2，c ＝521，则A. a<b<cB. b<c<aC. c<a<bD. c<b<a7. 设函数y ＝x 3与y ＝x ⎪⎭⎫ ⎝⎛21的图象的交点为（x 0，y 0），则x 0所在的区间是 A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，4）8. 已知函数f （x ）是Ｒ上的偶函数，当x ≥0时1)(-=x x f ，则f （x ）<0的解集是A. （－1，0）B. （0，1）C. （－1，1）D. ()()∞+-∞-，，119. 某商店同时卖出两套西服，售价均为168元，以成本计算，一套盈利20%，另一套亏损20%，此时商店A. 不亏不盈B. 盈利37.2元C. 盈利14元D. 亏损14元10. 设函数f （x ）在()∞+∞-，上是减函数，则A. f （a ）>f （2a ）B. f （a 2）<f （a ）C. f （a 2＋a ）<f （a ）D. f （a 2＋1）<f （a ）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11. log 64＋ log 69－832＝____.12. 已知函数y ＝f （x ）为奇函数，若f （3）－f （2）＝1，则f （－2）－f （－3）＝____。

2019-2020学年北京四中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共13小题，共65.0分） 1. log 223+log 26等于( )．A. 1B. 2C. 5D. 6 2. 已知集合M ={x|x 2−x −6=0}，则下列正确的是( )A. {−2}∈MB. 2∈MC. −3∈MD. 3∈M3. 函数y =log 2(x 2−2x −3)的定义域为( )A. (−∞,−1)∪(3,+∞)B. [−1,3]C. (−∞,−1]∪[3,+∞)D. (−1,3)4. 已知f(x)={x −6,(x ≥6)f(x +2),(x <6)，则f(3)为( )A. 1B. 2C. 4D. 55. 下列函数中，在区间(0,+∞)上为增函数的是( )A. y =√x +1B. y =(x −1)2C. y =2−xD. y =log 0.5(x +1)6. 函数y =x 2−2x 定义域为{0,1，2，3}，则值域为( )A. {−1,0，3}B. {0,1，2，3}C. [−1,3]D. [0,3] 7. 函数f (x )=−|x −5|+2x−1的零点所在的区间是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)8. 设a =log 123.b =ln4，c =(13)0.2，则( ) A. a <b <c B. a <c <b C. c <a <b D. b <c <a 9. 若函数f (x )=(x +1)(x −a )为偶函数，则a =( )A. −2B. −1C. 1D. 210. 已知函数f (x )=a ⋅2x −1与函数g (x )=x 3+ax 2+1(a ∈R )，下列选项中不可能是函数f (x )与g (x )图象的是( )A.B.C.D.11. 不等式23x−5>(12)2x+3的解集为 ( )A. (−∞,25) B. (25,+∞)C. (−∞,8)D. (8,+∞)12. 下列函数中，f(x)是偶函数的是( )A. f(x)=2|x|−1B. f(x)=x 2，x ∈[−2,2)C. f(x)=x 2+xD. f(x)=x 313. 某种豆类生长枝数随时间增长，前6月数据如下：第x 月 1 2 3 4 5 6 枝数y(枝)247163363( )A. y =2xB. y =x 2−x +2C. y =2xD. y =log 2x +2二、填空题（本大题共7小题，共35.0分）14. 计算：2log 23+lg √5+lg √20=__________________.15. 已知y =f(x)是定义在[1,4)上的函数，则函数y =f(2x +1)的定义域为__________． 16. 若函数f(x)=x 2−2x(x ∈[0,3])，则f(x)的最小值是______ ．17. 已知函数f(x)=x 2+2mx +3m +4有两个零点，一个零点在(−1,1)内，另一个零点在(1,2)内，则实数m 的取值范围是________．18. 已知全集U ={1,2，3，4，5}，集合A ={1,3，5}，B ={3,4，5}，则集合∁U (A ∩B)=______． 19. 设f(x)={2e x−1,x <2,log 3(x 2−1),x ≥2,则f(f(1))=________，不等式f(x)>2的解集为________．20. 已知−1<a +b <3且2<a −b <4，求2a +3b 的取值范围______ ． 三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）21. 已知集合A ={−1,2}，B ={x|x 2−ax −4=0}．(1)若a =0，求A ∪B ．(2)若a=3，求A∩B．22.已知函数f(x)=log21+x1−x．(1)判断f(x)奇偶性并证明你的结论；(2)解方程f(x)<−1．23.f(x)=−12x2+132在区间[a,b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a,b]．24.已知函数f(x)=2x−1的反函数为y=f−1(x)，记g(x)=f−1(x−1)．(1)求函数y=2f−1(x)−g(x)的最小值；(2)若函数F(x)=2f−1(x+m)−g(x)在区间[1,+∞)上是单调递增函数，求实数m的取值范围．25.集合A={1,2，3}，B={1,2}，定义集合间的运算A+B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B}，则集合A+B中元素的最大值是________．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查了对数运算性质，属于基础题．利用对数运算性质即可得出．【解答】×6)=log222=2．解：原式=log2(23故选B．2.答案：D解析：【分析】本题考查元素与集合的关系，是基础题．求出集合M，根据元素与集合间的关系即可判断．【解答】解：M={x|x2−x−6=0}={−2,3}，所以−2∈M,3∈M，所以D正确，故选D．3.答案：A解析：解：要使函数有意义，则x2−2x−3>0，即x>3或x<−1，即函数的定义域为(−∞,−1)∪(3,+∞)，故选：A．根据函数成立的条件即可求函数的定义域．本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．4.答案：A解析：【分析】直接利用分段函数的解析式求解函数值即可．本题考查函数的解析式的应用，函数值的求法，是基础题． 【解答】解：f(x)={x −6,(x ≥6)f(x +2),(x <6)，则f(3)=f(5)=f(7)=7−6=1． 故选：A ．5.答案：A解析：利用函数的单调性或函数的图像逐项验证.A.函数y =√x +1在[−1,+∞)上为增函数，所以函数在(0,+∞)上为增函数，故正确；B.函数y =(x −1)2在(−∞,1)上为减函数，在[1,+∞)上为增函数，故错误；C.函数y =2−x =(12)x 在R 上为减函数，故错误；D.函数y =log 0.5(x +1)在(−1,+∞)上为减函数，故错误．6.答案：A解析： 【分析】本题考查了函数的值域问题，属于基础题． 根据所给定义域代入函数，解得值域． 【解答】解：∵y =x 2−2x ， 又∵x ∈{0,1，2，3}， ∴y =−1，0，3． 即函数值域为{−1,0，3}． 故选A ．7.答案：C解析： 【分析】本题考查函数零点存在性定理问题，属于基础题．对于连续函数只要满足两端点的函数值符号相反即可，分别代入判断符号即可． 【解答】解：因为f (0)=−92，f (1)=−3，f (2)=−1，f (3)=2，所以f(x)的零点所在的区间是(2,3)，故选C．8.答案：B解析：解：∵a=log123<0，b=ln4>1，c=(13)0.2∈(0,1)．∴a<c<b．故选：B．利用指数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.答案：C解析：f(x)=x2+(1−a)x−a,f(x)为偶函数，∴1−a=0,a=1，故选C．10.答案：D解析：【分析】本题考查的知识点是三次函数的图象和性质，指数函数的图象和性质，分类讨论思想，难度中档．对a进行分类讨论，利用排除法，可得答案．【解答】解：a=0时，函数f(x)与g(x)图象为：故排除A；g′(x)=3x2+2ax，令g′(x)=0，则x=0，或x=−2a3，当a<0时，0为函数g(x)的极大值点，函数f(x)与g(x)图象为：故排除C ；当a >0时，0为函数g(x)的极小值点， 函数f(x)与g(x)图象为：故排除B ； 故选D ．11.答案：B解析： 【分析】本题考查了指数不等式的求解，属基础题目．解题的关键是熟练掌握指数函数的单调性.可将原不等式转化为3x −5>−2x −3，解此不等式即可． 【解答】解：不等式23x−5>(12)2x+3可化为23x−5>2−2x−3，∴3x −5>−2x −3， 解得x >25，所以原不等式的解集为(25,+∞)． 故选B ．12.答案：A解析：【分析】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据偶函数的定义是解决本题的关键，属于基础题．根据函数奇偶性的定义进行判断即可．解析：解：A.f(−x)=2|−x|−1=2|x|−1=f(x)，x∈R，因此该函数为偶函数，B.函数f(x)的定义域不关于原点对称，函数f(x)是非奇非偶函数，C.f(−x)=x2−x≠f(x)，不是偶函数，D.f(−x)=−x3=−f(x)，x∈R，则f(x)是奇函数．故选A．13.答案：C解析：【分析】本题考查函数模型的选择，解题的关键是看出函数的变化趋势和所过的特殊点，属于基础题．本题要选择合适的模型，从所给数据可以看出图象大约过(1,2)和(2,4)，和(4,16)和(6,63)，把这四个点代入所给的四个解析式发现只有y=2x最合适．【解答】解：从所给数据可以看出图象大约过(1,2)和(2,4)和(4,16)和(6,63)，把这四个点代入所给的四个解析式发现只有y=2x最合适，故选：C．14.答案：4解析：【分析】本题考查了指数恒等式、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用指数恒等式、对数运算性质即可得出．【解答】解：原式=3+lg(√5×√20)=3+lg10=4．故答案为4．)15.答案：[0,32解析：因为函数y =f(x)的定义域为[1,4)，令1≤2x +1<4，解得0≤x <32，所以函数y =f(2x +1)的定义域为[0,32).故答案为：[0,32)．16.答案：−1解析：解：函数f(x)=x 2−2x 的对称轴为：x =1∈[0,3]，二次函数的开口向上， 函数的最小值为：f(1)=1−2=−1． 故答案为：−1．求出函数的对称轴，利用二次函数的性质求解函数的最小值即可．本题考查二次函数的最值的求法，求出函数的对称轴判断开口方向是解题的关键．17.答案：(−87,−1)解析： 【分析】本题考查二次函数的零点问题解法，注意运用转化思想，以及数形结合思想方法，考查运算能力，属于基础题．由二次函数f(x)的图象，结合两个零点的范围，可得f(−1)>0，f(1)<0，f(2)>0，解不等式即可得到所求范围． 【解答】解：函数f(x)=x 2+2mx +3m +4有两个零点， 一个零点在(−1,1)之间，另一个零点在(1,2)之间， 可得{f(−1)>0f(1)<0f(2)>0，即{5+m >05+5m <08+7m >0，即有{m >−5m <−1m >−87，可得−87<m <−1， 即有m 的范围是(−87,−1)． 故答案为(−87,−1)．18.答案：{1,2，4}解析： 【分析】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题． 由条件根据交集的定义求得A ∩B ，再根据补集的定义求得∁U (A ∩B)．【解答】解：因为集合A ={1,3，5}，B ={3,4，5}，所以A ∩B ={3,5}，又U ={1,2，3，4，5}，所以∁U (A ∩B)={1,2，4}，故答案为{1,2，4}．19.答案：1 (1,2)∪(√10,+∞)解析：【分析】本题考查了分段函数，指数、对数不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题.根据函数的解析式求出f(1)的值是2，从而求出f(2)的值即可；不等式f(x)>2即2e x−1>2或log 3(x 2−1)>2，即e x−1>1=e 0，或x 2−1>9，解出即可．【解答】解：f (x )={2e x−1,x <2log 3(x 2−1),x ≥2， f(1)=2⋅e 1−1=2，故f(f(1))=f(2)=log 3(4−1)=1，若f(x)>2，则2e x−1>2(x <2)或log 3(x 2−1)>2(x ≥2)，即e x−1>1=e 0，或x 2−1>9，解得：1<x <2或x >√10，故答案为1 (1,2)∪(√10,+∞)．20.答案：−92<2a +3b <132解析：解：2a +3b =m(a +b)+n(a −b)，∴{m +n =2m −n =3∴m =52，n =−12.∴2a +3b =52(a +b)−12(a −b)． ∵−1<a +b <3，2<a −b <4，∴−52<52(a +b)<152，−2<−12(a −b)<−1， ∴−92<52(a +b)−12(a −b)<132即−92<2a +3b <132． 故答案为：−92<2a +3b <132．把2a +3b 设为m(a +b)+n(a −b)，解出m ，n ，回代，然后利用不等式的性质，求出2a +3b 的取值范围．本题考查不等式及其不等关系，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．21.答案：解：(1)因为a =0，所以B ={x|x 2−4=0}={2,−2}，所以A ∪B ={−2,−1,2}．(2)因为a =3，所以B ={x|x 2−3x −4=0}={−1,4}，所以A ∩B ={−1}．解析：本题考查了交、并集运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．属于基础题．(1)求出集合B ，再利用并集运算即可求解；(2)求出集合B ，再利用交集运算即可求解．22.答案：解：(1)根据题意，f(x)为奇函数；证明：1+x 1−x >0⇒−1<x <1，所以f(x)定义为(−1,1)，关于原点对称；任取x ∈(−1,1)，则f(−x)+f(x)=log 21−x 1+x +log 21+x 1−x =log 2(1−x 1+x ⋅1+x 1−x )=log 21=0．则有f(−x)=−f(x)，f(x)为奇函数；(2)由(1)知−1<x <1，f(x)<−1⇒log 2(1+x)(1−x)<−1,即1+x 1−x <2−1=12， 1+x 1−x−12=(2+2x)−(1−x)2(1−x)=3x+12(1−x)<0， 即3x+1x−1>0，∴x <−13或x >1，又由−1<x <1，则有−1<x <−13，综上，不等式解集为(−1,−13)解析：(1)根据题意，先求出函数的定义域，再分析f(−x)与f(x)的关系，结合奇偶性的定义分析可得结论；(2)根据题意，f(x)<−1⇒log 2(1+x)(1−x)<−1,即1+x 1−x <2−1=12，求出x 的取值范围，结合函数的定义域分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数的运算性质，注意分析函数的定义域． 23.答案：解：(1)因为f(x)对称轴为x =0若0≤a <b ，则f(x)在[a,b]上单调递减，所以f(a)=2b ，f(b)=2a ，于是{2b =−12a 2+1322a =−12b 2+132， 解得[a,b]=[1,3]．(2)若a <b ≤0，则f(x)在[a,b]上单调递增，所以f(a)=2a ，f(b)=2b ，于是{2a =−12a 2+1322b =−12b 2+132，方程两根异号， 故不存在满足a <b ≤0的a ，b ．(3)若a <0<b ，则f(x)在[a,0]上单调递增，在[0,b]上单调递减，所以2b =132⇒b =134． 所以f(b)=−12⋅(134)2+132=1932>0， 又a <0，所以2a ≠1932，故f(x)在x =a 处取得最小值2a ，即2a =−12a 2+132，得a =−2−√17，所以[a,b]=[−2−√17,134]．综上所述，[a,b]=[1,3]或[−2−√17,134]．解析：求出二次函数的对称轴，通过对区间与对称轴x =0的位置关系分三类，求出二次函数f(x)的最值，列出方程组，求出a ，b 的值．解决二次函数在区间上的单调性、最值问题，应该先求出二次函数的对称轴，根据对称轴与区间的关系来解决．24.答案：解：(1)由f(x)=2x −1得x =log 2(y +1)，即f −1(x)=log 2(x +1)(x >−1) g(x)=f −1(x −1)=log 2x ，(x >0)∴函数y =2f −1(x)−g(x)=2log 2(x +1)−log 2x =log 2(x+1)2x =log 2x 2+2x+1x =log 2(x +1x +2)， ∵x >0，∴x +1x +2≥4，当且仅当x =1时取等号，∴函数y =2f −1(x)−g(x)的最小值为：log 24=2．(2)由f −1(x)=log 2(x +1)(x >−1)得，函数F(x)=2f −1(x +m)−g(x)=2log 2(x +m +1)−log 2x …(8分)∴F(x)=log 2(x+m+1)2x =log 2[x +(m+1)2x +2(m +1)]，在区间[1,+∞)上是单调递增函数需满足：当x ≥1时，x +m +1>0，即m >−2…(10分)[|m +1|,+∞)⊆[1，+∞)…(12分)，即|m +1|≤1⇔−2≤m ≤0，…(13分)，∴−2<m ≤0…(14分)解析：(1)求出原函数的反函数，然后推出函数y =2f −1(x)−g(x)的表达式，即可求解其最小值；(2)利用(1)函数的解析式，通过化简表达式，利用函数F(x)=2f −1(x +m)−g(x)在区间[1,+∞)上是单调递增函数，转化不等式，然后求实数m 的取值范围．本题考查函数恒成立问题，反函数以及对数函数基本不等式以及函数单调性的应用，考查转化思想以及分析问题解决问题的能力．25.答案：5解析：【分析】本题考查集合的新定义，属于基础题型，理解题意是关键．【解答】解：∵A={1,2，3}，B={1,2}，定义集合间的运算A+B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B}，∴A+B={2,3，4，5}故集合A+B中元素的最大值是5；故答案为5．。

北京四中2011-2012学年高一上学期期中考试试卷数学试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，满分共计150分考试时间：120分钟卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1. 如果A ＝{}1->x x ，那么正确嘚结论是A ． 0⊆A B. {0}∈A C. {0}⊂≠ A D. φ∈A 2. 函数f （x ）＝22-x ，则f （21）＝ A. 0 B. －2 C. 22 D. －22 3. 设全集I ＝{}33<<-∈x Z x ，A ＝{1，2}，B ＝{－2，－1，2}，则A （C I B ）等于A. {1}B. {1，2}C. {2} D{0，1，2}4. 与函数y ＝10)1lg(-x 嘚定义域相同嘚函数是A. y ＝x －1B. y ＝1-xC. y ＝11-x D. y ＝1-x 5. 若函数f （x ）＝3x ＋3x -与g （x ）＝3x －3x -嘚定义域均为Ｒ，则A. f （x ）与g （x ）均为偶函数B. f （x ）为偶函数，g （x ）为奇函数C. f （x ）与g （x ）均为奇函数D. f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数6. 设a ＝log 32，b ＝ln2，c ＝521，则A. a<b<cB. b<c<aC. c<a<bD. c<b<a7. 设函数y ＝x 3与y ＝x ⎪⎭⎫ ⎝⎛21嘚图象嘚交点为（x 0，y 0），则x 0所在嘚区间是 A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，4）8. 已知函数f （x ）是Ｒ上嘚偶函数，当x ≥0时1)(-=x x f ，则f （x ）<0嘚解集是A. （－1，0）B. （0，1）C. （－1，1）D. ()()∞+-∞-，，119. 某商店同时卖出两套西服，售价均为168元，以成本计算，一套盈利20%，另一套亏损20%，此时商店A. 不亏不盈B. 盈利37.2元C. 盈利14元D. 亏损14元10. 设函数f （x ）在()∞+∞-，上是减函数，则A. f （a ）>f （2a ）B. f （a 2）<f （a ）C. f （a 2＋a ）<f （a ）D. f （a 2＋1）<f （a ）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11. log 64＋ log 69－832＝____.12. 已知函数y ＝f （x ）为奇函数，若f （3）－f （2）＝1，则f （－2）－f （－3）＝____。

2024北京四中高一（上）期中数 学试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，满分150分，考试时间120分钟卷（I ）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1. 已知集合，，则集合A. B. C. D.2. 函数的定义域是A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，4. 如果，那么下列不等式中正确的是A ． BC ． D．5. 下列函数中，在区间上为减函数的是A ． B. C. D. 6. 函数的图像关于A ．原点对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．点对称 7. 已知，则“”是“”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 函数在区间内的零点个数是A ．0 B ．1 C ．2 D ．39. 下列函数中，满足的是A ．B ．C ．D ．10. 两个不同的函数，满足，，则可能的情况是{0,1,2,3}A ={1,3,5,7}B =A B ={1,2,3}{3}{1,3}{0,1,2,3,5,7}()f x =[2,1]-(,2][1,)-∞-+∞ (,2)(1,)-∞-+∞ [2,)-+∞R x ∀∈3210x x -+≤R x ∃∉3210x x -+>R x ∃∈3210x x -+>R x ∃∈3210x x -+≥R x ∀∈3210x x -+>0b a >>2ab b -<<22a b <11a b <()0,+∞22y x x =-y =31x y x +=+21y x =+()|1||1|f x x x =+--(1,0)0a b >>0c >a b a c b c >++31()2f x x x=--(0,)+∞(2)2()f x f x =2()(2)f x x =+()1f x x =+4()f x x=()f x x x =-()f x ()g x R x ∀∈()()0f x g x ⋅>A ．是一次函数，是二次函数B ．在上递增，在上递减C ．，都是奇函数D ．是奇函数，是偶函数二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．若，则实数x 的值为 .12. 不等式的解集为，则 ， .13. 函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ．14. 函数，则的减区间为 ，的值域是 .15. 已知函数.①当时，在定义域内单调递减；②当时，一定有；③若存在实数，使得函数没有零点，则一定有；④若存在实数，使得函数恰有三个零点，则一定有；以上结论中，所有正确结论的序号是 .三、解答题：本大题共3小题，共35分16. （12分）设集合，，. （I ）求；（II ）求；（III ）若，求实数k 的取值范围.17. （11分）某学校课外活动小组根据预报的当地某天（0 ~ 24时）空气质量指数数据绘制成散点图，并选择函数来近似刻画空气质量指数随时间变化的规律（如下图所示）：（I ）求的值；（II ）当空气质量指数大于150时，有关部门建议市民外出活动应戴防雾霾口罩，并禁止特殊行业施工.请结合上面选择的函数模型，回答以下问题，并说明理由：()f x ()g x ()f x R ()g x R ()f x ()g x ()f x ()g x {21,3,5}x x ∈-210ax bx +-≥1(,1][,)4-∞-+∞U a =b =()f x R 0x >2()3f x x x =-((1))f f =231, 02()2, 20x x f x x x x +≤≤⎧=⎨+-≤<⎩()f x ()f x 2()(,4)2R x a f x a a x +=∈≠--1a =()f x 4a <-(3)(4)(1)f f f <<k ()y f x x k =-+4a <-k 2()1y f x kx =-+4a >-{||1|2}A x x =->4{|0}23x B x x +=≤-{|2121}C x k x k =-<<+()U A B ðA B C A B ⊆ 2118,08264,824at t y t t b t +≤≤⎧=⎨-+<≤⎩y t ,a b①某同学该天7:00出发上学，是否应戴防雾霾口罩？②当天特殊行业可以连续施工的最长时间为多少小时？18. （12分）已知函数.（I ）判断在上的单调性，并用定义证明；（II ）若是偶函数，求的值.卷（Ⅱ）一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分1. 已知集合，，，则A ．B ．C ．D ．2. 当时，恒成立，则的最大值为 A ．6 B ．10C ．12D ．133. 设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为.已知，，，，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为A ．14 B ．15 C ．16 D ．18二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分4. ________.5. 若二次函数的图像关于对称，且，则实数的取值范围是 .6. 设函数. 当时，的最小值是________；若是的最小值，则a 的取值范围是________.三、解答题：本大题共2小题，共20分7. （10分）已知函数.（I ）求方程组的解集；（II ）在答题纸的坐标系中，画出函数的图像；（III ）若在上具有单调性，求实数a 的取值范围.1()(2)f x x x =-)(x f (1,2)()()g x f x a =+a {1,1}A =-{|,,}B z z x y x A y A ==+∈∈{|,,}C z z x y x A y A ==-∈∈B C =B CÞB C =∅I B C A =U 2x >142x a x +≥-a A M m A A X M m =-01A 2A 3A n A *N 123120nA A A A X X X X ++++= n 13213410.125()25627--+---=()f x 2x =()()()01f a f f <<a 2(),0()1,0x a x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩12a =()f x (0)f ()f x ()(2)1f x x x =-+()20y f x x y =⎧⎨-=⎩()f x ()f x (,1)a a +8. （10分）如果正整数集的子集满足：①；②，，使得，则称为集.（I ）分别判断与是否为集（直接写出结论）；（II ）当时，对于集，设，求证：；（III ）当时，若，求集中所有元素的和的最小值.{}*12,,,(,2)N n A a a a n n =∈≥ 121n a a a =<<< ()2k a A k n ∀∈≤≤(),1i j a a A i j n ∃∈≤≤≤k i j a a a =+A ψ{}1,3,5A ={}1,2,3,6B =ψ5n =ψ{}12345,,,,A a a a a a =15S a a =++ 521a S +≤7n ≥36n a =ψA参考答案I 卷一、单项选择题（每题4分，共40分）题号12345678910答案C B B D C A A B DB 二、填空题（每题5分，共25分）11. 1或5 12. 4，3 13. 214. ， 15. ②③注：12、14题第一空3分，第二空2分；15题少选3分，错选漏选0分.三、解答题（共35分）16. 由题意，，，(I) ；(II) ；(III) 显然，，解得，因此的取值范围是.17. (I) ，解得(II) ①是. .②时，，解得；时，，解得；,所以可以连续施工的最长时间为12小时.18. (I)在上单调递减.124⎛⎫-- ⎪⎝⎭，178⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()()13A =-∞-+∞ ，，A R ð[]1,3=34,2B ⎡⎫=-⎪⎢⎣⎭31,2A B ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭R ð()3,3,2A B ⎛⎫=-∞+∞ ⎪⎝⎭ 2121,k k C -<+≠∅3212132k k +≤-≥或124k k ≤≥或k [)124⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ ，，8118206264648206a b +=⎧⎨⨯-⨯+=⎩11590a b =⎧⎨=⎩711118195150⨯+=>08t ≤≤11118150t +≤32011t ≤≤824t ≤≤2264590150t t -+≤1022t ≤≤3222101211-=>)(x f ()1,2定义域为，任取且，所以在上单调递减.(II)，是偶函数，则定义域关于原点对称，，则，此时，定义域，，符合题意，所以.II 卷一、单项选择题（每题5分，共15分）1. A2. C3. C二、填空题（每题5分，共15分）4. 5. 6. ，注：6题第一空3分，第二空2分.三、解答题（共20分）7. ，(I) ，()()()00,22-∞+∞ ，，()12,1,2x x ∈12x x <()()()()1211221122f x f x x x x x -=---()()()22221112122222x x x x x x x x ---=--()()()()211212122220x x x x x x x x -+-=-->)(x f ()1,2()()1(2)g x x a x a =++-()g x ()(2)0a a -+-=1a =()()11(1)g x x x =+-()()()11,11-∞--+∞ ，，()()()()111(1)1(1)g x g x x x x x -===-+--+-1a =15-()(),04,-∞+∞ 14⎡⎣()()()()()21,121,1x x x f x x x x -+≥-⎧⎪=⎨---<-⎪⎩()2()0202y f x x f x x y y x =-=⎧⎧⇔⎨⎨-==⎩⎩当，，，解得或当， ，即，解得或（舍）；综上，方程组的解集是.(II)（作图过程略）(III) 在递增，在递减，所以或或，因此实数a 的取值范围是.8. (I) 注意到：，因此数集不是集.注意到：，因此数集是集.(II) 由于集合是集，即对任意的，存在，使得成立。