2019年北京四中新高一入学分班考试数学试题-真题-含详细解析2019.8

2019年重点高中高一新生分班考试数学卷姓名：__________班级：__________考号：__________一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．一个数的倒数的绝对值是3，这个数是（）A．3 B． C．3或﹣3 D．或﹣2．如图，已知∠1＝120°，则∠2的度数是( )A．120° B．90° C．60° D．30°3．的值是（）A．±16 B．±4 C．16 D．−164．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE过点C且平行于AB，若∠BCE=35°，则∠A的度数为( )A．35°B．45°C．55°D．65°5．已知等边三角形的边长为，则它面积与边长之间的关系用图象大致可表示为（）A．B． C．D．6．现有2cm，5cm长的两根木棒，再从下列长度的四根木棒中选取一根，可以围成一个三角形的是（）A．2cm B．3cm C．5cm D．7cm7．若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab，那么另一个因式是（）A．1-3x-4y B．-1-3x-4y C．1+3x-4y D．-1-3x+4y8．函数y=与y=x+1的图象的交点坐标为（a，b），则a2+b2的值为（）A．1 B．11 C．25 D．无法求解9．用一个半径为30，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（）A．10 B．20 C．10π D．20π10．如图，在菱形纸片ABCD中，，P为AB中点折叠该纸片使点C落在点处且点P在上，折痕为DE，则的大小为A． B． C． D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．已知是整数，则n是自然数的值是_____．12．用反证法证明∠A＞60°时，应先假设_____．13．如果不等式组有解，那么m的范围是______．14．已知点，轴，且，则点N的坐标为______．15．如图，矩形的顶点在坐标原点，，分别在轴，轴的正半轴上，点的坐标为，点的坐标为，当此矩形绕点旋转到如图位置时的坐标为________．16．已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，点 D、E 分别在边AC、BC上，且CD:CE=3︰4．将△CDE绕点D顺时针旋转，当点C落在线段DE上的点 F处时，BF恰好是∠ABC的平分线，此时线段CD的长是________.三、解答题（本大题共8小题，共66分）17．（本题8分）解方程组和分式方程：（1）解方程组（2）解分式方程．18．（本题8分）平面上有3个点的坐标：，，在A，B，C三个点中任取一个点，这个点既在直线上又在抛物线上上的概率是多少？从A，B，C三个点中任取两个点，求两点都落在抛物线上的概率．19．（本题10分）某校组织学生开展课外社会实践活动，现有甲、乙两种大客车可租，已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元．（1）求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元？（2）学校计划租用甲、乙两种客车共8辆，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人，共有师生330人，求最节省的租车费用是多少元？20．（本题8分）周末，小亮一家人去水库游玩，他在大坝上的点A处看到一棵大树的影子刚好落在坝底的BE处点A与大树及其影子在同一平面内，此时太阳光与地面夹角为，在A处测得树顶D的仰角为如图所示，已知背水坡AB的坡度：3，AB的长为10米，请你帮助小亮算一算这颗大树的高度结果精确到米，参考数据：，注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比21．（本题10分）据统计，某小区2011年底拥有私家车125辆，2013年底私家车的拥有量达到180辆．(1)若该小区2011年底到2014年底私家车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2014年底私家车将达到多少辆？(2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资3万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位1 000元/个，露天车位200元/个．考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案．22．（本题10分）已知：如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，该抛物线的顶点为M．（1）求点A、B、C的坐标．（2）求直线BM的函数解析式．（3）试说明：∠CBM+∠CMB=90°．（4）在抛物线上是否存在点P，使直线CP把△BCM分成面积相等的两部分？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．（本题12分）如图1，正方形ABCD中，F为AB中点，连接DF，CE⊥DF于E，连接BE．（1）作出△ADF关于F成中心对称的图形，并探究BE和BC数量关系；（2）如图2，BM平分∠ABE交CE延长线于M，连接MD，试探究DM、CM、BM线段关系并给出证明；（3）若点F在线段AB上运动（不与端点重合），AB＝4，写出BE长度的取值范围．答案分析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。

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在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．一个数的倒数的绝对值是3，这个数是（）A．3 B． C．3或﹣3 D．或﹣2．如图，已知∠1＝120°，则∠2的度数是( )A．120° B．90° C．60° D．30°3．的值是（）A．±16 B．±4 C．16 D．−164．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE过点C且平行于AB，若∠BCE=35°，则∠A的度数为( )A．35°B．45°C．55°D．65°5．已知等边三角形的边长为，则它面积与边长之间的关系用图象大致可表示为（）A．B．C．D．6．现有2cm，5cm长的两根木棒，再从下列长度的四根木棒中选取一根，可以围成一个三角形的是（）A．2cm B．3cm C．5cm D．7cm 7．若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab，那么另一个因式是（）A．1-3x-4y B．-1-3x-4y C．1+3x-4y D．-1-3x+4y8．函数y=与y=x+1的图象的交点坐标为（a，b），则a2+b2的值为（）A．1 B．11 C．25 D．无法求解9．用一个半径为30，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（）A．10 B．20 C．10π D．20π10．如图，在菱形纸片ABCD中，，P为AB中点折叠该纸片使点C落在点处且点P在上，折痕为DE，则的大小为A． B． C． D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．已知是整数，则n是自然数的值是_____．12．用反证法证明∠A＞60°时，应先假设_____．13．如果不等式组有解，那么m的范围是______．14．已知点，轴，且，则点N的坐标为______．15．如图，矩形的顶点在坐标原点，，分别在轴，轴的正半轴上，点的坐标为，点的坐标为，当此矩形绕点旋转到如图位置时的坐标为________．16．已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，点 D、E 分别在边AC、BC上，且CD:CE=3︰4．将△CDE绕点D顺时针旋转，当点C落在线段DE上的点 F处时，BF恰好是∠ABC的平分线，此时线段CD的长是________.三、解答题（本大题共8小题，共66分）17．（本题8分）解方程组和分式方程：（1）解方程组（2）解分式方程．18．（本题8分）平面上有3个点的坐标：，，在A，B，C三个点中任取一个点，这个点既在直线上又在抛物线上上的概率是多少？从A，B，C三个点中任取两个点，求两点都落在抛物线上的概率．19．（本题10分）某校组织学生开展课外社会实践活动，现有甲、乙两种大客车可租，已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元．（1）求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元？（2）学校计划租用甲、乙两种客车共8辆，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人，共有师生330人，求最节省的租车费用是多少元？20．（本题8分）周末，小亮一家人去水库游玩，他在大坝上的点A处看到一棵大树的影子刚好落在坝底的BE处点A与大树及其影子在同一平面内，此时太阳光与地面夹角为，在A处测得树顶D的仰角为如图所示，已知背水坡AB的坡度：3，AB的长为10米，请你帮助小亮算一算这颗大树的高度结果精确到米，参考数据：，注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比21．（本题10分）据统计，某小区2011年底拥有私家车125辆，2013年底私家车的拥有量达到180辆．(1)若该小区2011年底到2014年底私家车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2014年底私家车将达到多少辆？(2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资3万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位1 000元/个，露天车位200元/个．考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案．22．（本题10分）已知：如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，该抛物线的顶点为M．（1）求点A、B、C的坐标．（2）求直线BM的函数解析式．（3）试说明：∠CBM+∠CMB=90°．（4）在抛物线上是否存在点P，使直线CP把△BCM分成面积相等的两部分？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．（本题12分）如图1，正方形ABCD中，F为AB中点，连接DF，CE⊥DF于E，连接BE．（1）作出△ADF关于F成中心对称的图形，并探究BE和BC数量关系；（2）如图2，BM平分∠ABE交CE延长线于M，连接MD，试探究DM、CM、BM线段关系并给出证明；（3）若点F在线段AB上运动（不与端点重合），AB＝4，写出BE长度的取值范围．答案分析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。

2018-2019学年北京四中新高一入学分班考试数学试题一、选择题（每题2分，共30分）1.如图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，S主=a2，S左=a2+a，则S俯=()A. a2+aB. 2a2C. a2+2a+1D. 2a2+a第1题图第2题图2.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为()A. 85°B. 75°C. 65°D. 60°3.如图1，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；第三步：画射线BP.射线BP即为所求．下列正确的是()DE的长A. a，b均无限制B. a>0，b>12DE的长C. a有最小限制，b无限制D. a≥0，b<12=8×10×12，则k=()4.若(92−1)(112−1)kA. 12B. 10C. 8D. 65. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块(可重复选取)按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是( )A. 1，4，5B. 2，3，5C. 3，4，5D. 2，2，4第5题图 第6题图6. 如图，现要在抛物线y =x(4−x)上找点P(a,b)，针对b 的不同取值，所找点P 的个数，三人的说法如下，甲：若b =5，则点P 的个数为0；乙：若b =4，则点P 的个数为1；丙：若b =3，则点P 的个数为1． 下列判断正确的是( )A. 乙错，丙对B. 甲和乙都错C. 乙对，丙错D. 甲错，丙对7. 已知P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)是抛物线y =ax 2−2ax 上的点，下列命题正确的是( )A. 若|x 1−1|>|x 2−1|，则y 1>y 2B. 若|x 1−1|>|x 2−1|，则y 1<y 2C. 若|x 1−1|=|x 2−1|，则y 1=y 2D. 若y 1=y 2，则x 1=x 28. 如图，抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴是x =1，下列结论：①abc >0；②b 2−4ac >0；③8a +c <0；④5a +b +2c >0，正确的有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个9. 如图，根据图中的信息，可得正确的方程是( )A. π×(82)2x =π×(62)2×(x −5)B. π×(82)2x =π×(62)2×(x +5) C. π×82x =π×62×(x +5) D. π×82x =π×62×510.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0，c>1)经过点(2,0)，其对称轴是直线x=12.有下列结论：①abc>0；②关于x的方程ax2+bx+c=a有两个不等的实数根；③a<−12．其中，正确结论的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 311.如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为()A. 1013√13 B. 913√13 C. 813√13 D. 713√13第11题图第12题图第13题图12.如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将△ABC在直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为()A. B. C. D.13.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE.若AD平分∠OAE，反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过AE上的两点A，F，且AF=EF，△ABE的面积为18，则k的值为()A. 6B. 12C. 18D. 2414.如图，在△ABC中，∠A=90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB=CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为()A. 2√5B. 5C. 4√5D. 1015.如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC=80°.点D为弦AC的中点，点E为BC⏜上任意一点．则∠CED的大小可能是()A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°二、填空题（每题2分，共28分）16.《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件：(1)阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数；(2)阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数；(3)阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数．若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为______．17.2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图1)，且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b.如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为______．18.如图，在四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.筝形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.以点B为圆心，BO长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F.若∠ABD=∠ACD=30°，AD=1，则EF⏜的长为______(结果保留π)．19.如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作T m(m为1～8的整(x<0)的图象为曲线L．数).函数y=kx(1)若L过点T1，则k=______；(2)若L过点T4，则它必定还过另一点T m，则m=______；(3)若曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有______个．第19题图第20题图20.矩形纸片ABCD，长AD=8cm，宽AB=4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点A′处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA′，EA′，不再添加其它线段．当图中存在30°角时，AE的长为______厘米．21.设A，B，C，D是反比例函数y=k图象上的任意四点，现有以下结论：x①四边形ABCD可以是平行四边形；②四边形ABCD可以是菱形；③四边形ABCD不可能是矩形；④四边形ABCD不可能是正方形．其中正确的是______.(写出所有正确结论的序号)22.如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC=______度．第22题图第23题图23.有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC=90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN=4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为______．24.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上，且AB=5．3(Ⅰ)线段AC的长等于______．(Ⅱ)以BC为直径的半圆与边AC相交于点D，若P，Q分别为边AC，BC上的动点，当BP+PQ取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，Q，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的(不要求证明)______．25.如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交BC⏜于点D，点E为半径OB上一动点．若OB=2，则阴影部分周长的最小值为______．第25题图第26题图26.在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R 处．请完成下列探究：(1)∠PAQ的大小为______°；(2)当四边形APCD是平行四边形时，AB的值为______．QR27.火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊(简称摆摊)三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3：5：2.随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的2，则摆摊的营业额将达到75，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份月份总营业额的720总营业额之比是______．28.如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为______．第28题图第29题图29.我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点A(2,1)到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为______．三、解答题（本大题共8小题，共42分）30.已知⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2.以O1为圆心，以r1+r2的长为半径画弧，再以线段O1O2的中点P为圆O1O2的长为半径画弧，两弧交于点A，连接O1A，O2A，O1A交⊙O1于点B，过点B作O2A的平行线心，以12BC交O1O2于点C．(1)求证：BC是⊙O2的切线；(2)若r1=2，r2=1，O1O2=6，求阴影部分的面积．31.如图(1)放置两个全等的含有30°角的直角三角板ABC与DEF(∠B=∠E=30°)，若将三角板ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动(点C与点E重合时移动终止)，移动过程中始终保持点B、F、C、E在同一条直线上，如图(2)，AB与DF、DE分别交于点P、M，AC与DE交于点Q，其中AC=DF=√3，设三角板ABC移动时间为x秒．(1)在移动过程中，试用含x的代数式表示△AMQ的面积；(2)计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？32.如图，甲、乙两人(看成点)分别在数轴−3和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动．①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位．(1)经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率P；(2)从如图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错．设乙猜对n次，且他最终停留的位置对应的数为m，试用含n的代数式表示m，并求该位置距离原点O最近时n的值；(3)从如图的位置开始，若进行了k次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位，直接写出k的值．33.已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．(1)如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN=80°，求∠ACB的度数；(2)如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由；(3)若PC交⊙O于点D，求第(2)问中对应的阴影部分的周长(用含r的式子表示)．34.某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究(1)如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1=∠2=∠3，则面积S1，S2，S3之间的关系式为______；推广验证(2)如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为边向外侧作任意△ABD，△ACE，△BCF，满足∠1=∠2=∠3，∠D=∠E=∠F，则(1)中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用(3)如图4，在五边形ABCDE中，∠A=∠E=∠C=105°，∠ABC=90°，AB=2√3，DE=2，点P在AE上，∠ABP=30°，PE=√2，求五边形ABCDE的面积．35.如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．(1)求证：∠BAC=2∠ABD；(2)当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；(3)当AD=2，CD=3时，求边BC的长．36.已知抛物线y=ax2−2ax−3+2a2(a≠0)．(1)求这条抛物线的对称轴；(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；(3)设点P(m,y1)，Q(3,y2)在抛物线上，若y1<y2，求m的取值范围．37.如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC=60°，点E是边AB上任意一点(端点除外)，线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N．(1)求证：AF=EF；(2)求MN+NG的最小值；(3)当点E在AB上运动时，∠CEF的大小是否变化？为什么？答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵S主=a2=a⋅a,S左=a2+a=a(a+1)，∴俯视图的长为a+1，宽为a，=a⋅(a+1)=a2+a，∴S俯故选：A．由主视图和左视图的宽为a，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，即可得出结论．本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图与几何体的长、宽、高的关系，进而求得俯视图的长和宽是解答的关键．2.【答案】B【解析】解：如图所示，∵∠BCD=60°，∠BCA=45°，∴∠ACD=∠BCD−∠BCA=60°−45°=15°，∠α=180°−∠D−∠ACD=180°−90°−15°=75°，故选：B．先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．3.【答案】B【解析】解：以B为圆心画弧时，半径a必须大于0，分别以D，E为圆心，以b为半径画弧时，b必须大于1DE，否则没有交点，2故选：B．根据角平分线的画法判断即可．本题考查作图−基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．4.【答案】B【解析】解：方程两边都乘以k，得(92−1)(112−1)=8×10×12k，∴(9+1)(9−1)(11+1)(11−1)=8×10×12k，∴80×120=8×10×12k，∴k=10．经检验k=10是原方程的解．故选：B．根据平方差公式和分式方程的解法，即可得到k的值．此题考查了平方差公式和解分式方程，熟练掌握平方差公式和解分式方程的方法是解本题的关键．5.【答案】B【解析】解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是√1×√42=√42，当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是√2×√32=√62；当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是√2×√22=√42，∵√62>√42，∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，故选：B．根据题意可知，三块三角形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，再根据三角形的面积，分别计算出各个选项中围成的直角三角形的面积，比较大小，即可解答本题．本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．6.【答案】C【解析】解：y=x(4−x)=−x2+4x=−(x−2)2+4，∴抛物线的顶点坐标为(2,4)，∴在抛物线上的点P的纵坐标最大为4，∴甲、乙的说法正确；若b=3，则抛物线上纵坐标为3的点有2个，∴丙的说法不正确；故选：C．求出抛物线的顶点坐标为(2,4)，由二次函数的性质对甲、乙、丙三人的说法分别进行判断，即可得出结论．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．7.【答案】C【解析】解：∵抛物线y=ax2−2ax=a(x−1)2−a，∴该抛物线的对称轴是直线x=1，当a>0时，若|x1−1|>|x2−1|，则y1>y2，故选项B错误；当a<0时，若|x1−1|>|x2−1|，则y1<y2，故选项A错误；若|x1−1|=|x2−1|，则y1=y2，故选项C正确；若y1=y2，则|x1−1|=|x2−1|，故选项D错误；故选：C．根据题目中的抛物线和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．本题考查二次函数的性质，命题与定理，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．8.【答案】B【解析】解：由抛物线的开口向下可得：a<0，根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b异号，所以b>0，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c>0，∴abc<0，故①错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，故②正确；=1，可得b=−2a，∵直线x=1是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴，所以−b2a由图象可知，当x=−2时，y<0，即4a−2b+c<0，∴4a−2×(−2a)+c<0，即8a+c<0，故③正确；由图象可知，当x=2时，y=4a+2b+c>0；当x=−1时，y=a−b+c>0，两式相加得，5a+b+2c>0，故④正确；∴结论正确的是②③④3个，故选：B．根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题．本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．9.【答案】B【解析】解：依题意，得：π×(82)2x =π×(62)2×(x +5)．故选：B ．根据圆柱体的体积计算公式结合水的体积不变，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 10.【答案】C【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x =12，而点(2,0)关于直线x =12的对称点的坐标为(−1,0)，∵c >1，∵抛物线开口向下，∴a <0，∵抛物线对称轴为直线x =12，∴−b 2a =12，∴b =−a >0，∴abc <0，故①错误；∵抛物线开口向下，与x 轴有两个交点，∴顶点在x 轴的上方，∵a <0，∴抛物线与直线y =a 有两个交点，∴关于x 的方程ax 2+bx +c =a 有两个不等的实数根；故②正确；∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过点(2,0)，∴4a +2b +c =0，∵b =−a ，∴4a −2a +c =0，即2a +c =0，∴−2a =c ，∵c >1，∴−2a>1，∴a<−12，故③正确，故选：C．由题意得到抛物线的开口向下，对称轴−b2a =12，b=−a，判断a，b与0的关系，得到abc<0，即可判断①；根据题意得到抛物线开口向下，顶点在x轴上方，即可判断②；根据抛物线y=ax2+bx+c经过点(2,0)以及b=−a，得到4a−2a+c=0，即可判断③．本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c)；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x 轴没有交点．11.【答案】D【解析】解：由勾股定理得：AC=√22+32=√13，∵S△ABC=3×3−12×1×2−12×1×3−12×2×3=3.5，∴12AC⋅BD=72，∴√13⋅BD=7，∴BD=7√1313，故选：D．根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．12.【答案】A【解析】解：如图1所示：当0<x≤2时，过点G作GH⊥BF于H．∵△ABC和△DEF均为等边三角形，∴△GEJ为等边三角形．∴GH=√32EJ=√32x，∴y=12EJ⋅GH=√34x2．当x=2时，y=√3，且抛物线的开口向上．如图2所示：2<x≤4时，过点G作GH⊥BF于H．y=12FJ⋅GH=√34(4−x)2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．故选：A．分为0<x≤2、2<x≤4两种情况，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式可求得y与x的函数关系式，于是可求得问题的答案．本题主要考查的是动点问题的函数图象，求得函数的解析式是解题的关键．13.【答案】B【解析】解：如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．∵AN//FM，AF=FE，∴MN=ME，∴FM=12AN，∵A，F在反比例函数的图象上，∴S△AON=S△FOM=k2，∴12⋅ON⋅AN=12⋅OM⋅FM，∴ON=12OM，∴ON=MN=EM，∴ME=13OE，∴S△FME=13S△FOE，∵AD平分∠OAE，∴∠OAD=∠EAD，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OD，∴∠OAD=∠ODA=∠DAE，∴AE//BD，∴S△ABE=S△AOE，∴S△AOE=18，∵AF=EF，∴S△EOF=12S△AOE=9，∴S△FME=13S△EOF=3，∴S△FOM=S△FOE−S△FME=9−3=6=k2，∴k=12．故选：B．如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M.证明BD//AE，推出S△ABE=S△AOE=18，推出S△EOF=12S△AOE=9，可得S△FME=13S△EOF=3，由此即可解决问题．本题考查反比例函数的性质，矩形的性质，平行线的判断和性质，等高模型等知识，解题的关键是证明BD//AE，利用等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题．14.【答案】A【解析】解：过A作AH⊥BC于H，∵D是AB的中点，∴AD=BD，∵DE//BC，∴AE=CE，∴DE=12BC，∵DF⊥BC，∴DF//AH，DF⊥DE，∴BF=HF，∴DF=12AH，∵△DFE的面积为1，∴12DE⋅DF=1，∴DE⋅DF=2，∴BC⋅AH=2DE⋅2DF=4×2=8，∴AB⋅AC=8，∵AB=CE，∴AB=AE=CE=12AC，∴AB⋅2AB=8，∴AB=2(负值舍去)，∴AC=4，∴BC=√AB2+AC2=2√5．故选：A．过A作AH⊥BC于H，根据已知条件得到AE=CE，求得DE=12BC，求得DF=12AH，根据三角形的面积公式得到DE⋅DF=2，得到AB⋅AC=8，求得AB=2(负值舍去)，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积的计算，勾股定理，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．15.【答案】C【解析】解：连接OD、OE，∵OC=OA，∴△OAC是等腰三角形，∵点D为弦的中点，∴∠DOC=40°，∠BOC=100°，设∠BOE=x，则∠COE=100°−x，∠DOE=100°−x+40°，∵OC=OE，∠COE=100°−x，∴∠OEC=∠OCE=40°+12x，∵OD<OE，∠DOE=100°−x+40°=140°−x，∴∠OED<20°+12x，∴∠CED=∠OEC−∠OED=(40°+12x)−(20°+12x)>20°，∵∠CED<∠ABC=40°，∴20°<∠CED<40°故选：C．连接OD、OE，设∠BOE=x，则∠COE=100°−x，∠DOE=100°−x+40°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DEO和∠CEO，即可求出答案．本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，能求出∠OEC和∠OED的度数是解此题的关键．16.【答案】6【解析】解：设阅读过《西游记》的人数是a，阅读过《水浒传》的人数是b(a,b均为整数)，依题意，得：{a>bb>4 a<8，∵a，b均为整数∴4<b<7，∴b最大可以取6．故答案为：6．设阅读过《西游记》的人数是a，阅读过《水浒传》的人数是b(a,b均为整数)，根据给定的三个条件，即可得出关于a，b的二元一次不等式组，结合a，b均为整数即可得出b的取值范围，再取其中最大的整数值即可得出结论．本题考查二元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出二元一次不等式组是解题的关键．17.【答案】27【解析】解：由题意可得在图1中：a2+b2=15，(b−a)2=3，图2中大正方形的面积为：(a+b)2，∵(b−a)2=3a2−2ab+b2=3，∴15−2ab=32ab=12，∴(a+b)2=a2+2ab+b2=15+12=27，故答案为：27．根据题意得出a2+b2=15，(b−a)2=3，图2中大正方形的面积为：(a+b)2，然后利用完全平方公式的变形求出(a+b)2即可．本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方式的形式是解题关键．18.【答案】12π【解析】解：在△ABD与△CBD中，{AB=CB AD=CD BD=BD，∴△ABD≌△CBD(SSS)，∴∠ABD=∠CBD=30°，∠ADB=∠CDB，CD=AD=1，∴∠ABC=60°，∵AD=CD，∠ADB=∠CDB，∴BD⊥AC，且AO=CO，∴∠ACB=90°−30°=60°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，在Rt△BCD中，∵∠CBD=30°，∴BD=2CD=2，在Rt△COD中，∵∠ACD=30°，∴OD=12CD=12，∴OB=BD−OD=2−12=32，∴EF⏜的长为：60π⋅3 2180=12π，故答案为12π．利用SSS证明△ABD≌△CBD，根据全等三角形的对应角相等即可得出∠ABD=∠CBD=30°，∠ADB=∠CDB，CD=AD=1，即可求得∠ABC=60°，根据等腰三角形三线合一的性质得出BD⊥AC，且AO=CO，进一步求得∠ACB=60°，即可求得∠BCD=90°，根据含30°角的直角三角形的性质即可求得OB，然后根据弧长公式求得即可．本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，弧长的计算等，熟练掌握性质定理是解题的关键．19.【答案】−16 5 7【解析】解：(1)∵每个台阶的高和宽分别是1和2，∴T1(−16,1)，T2(−14,2)，T3(−12,3)，T4(−10,4)，T5(−8,5)，T6(−6,6)，T7(−4,7)，T8(−2,8)，∵L过点T1，∴k=−16×1=−16，故答案为：−16；(2)∵L过点T4，∴k=−10×4=−40，∴反比例函数解析式为：y=−40x，当x=−8时，y=5，∴T5在反比例函数图象上，∴m=5，故答案为：5；(3)若曲线L过点T1(−16,1)，T8(−2,8)时，k=−16，若曲线L过点T2(−14,2)，T7(−4,7)时，k=−14×2=−28，若曲线L过点T3(−12,3)，T5(−8,5)时，k=−12×3=−36，若曲线L过点T4(−10,4)，T5(−8,5)时，k=−40，∵曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，∴−36<k<−28，∴整数k=−35，−34，−33，−32，−31，−30，−29共7个，∴答案为：7．(1)由题意可求T1～T8这些点的坐标，将点T1的坐标代入解析式可求解；(2)将点T4的坐标代入解析式可求k的值，将点T5代入，可求解；(3)由曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，可得T1，T2，T7，T8与T3，T4，T5，T6在曲线L的两侧，即可求解．本题考查了反比例函数的应用，求出各点的坐标是本题的关键．20.【答案】4√33厘米或4√3厘米或8−4√3【解析】解：①当∠ABE=30°时，AE=AB×tan30°=4√33；②当∠AEB=30°时，AE=ABtan30∘=√33=4√3；③∠ABE=15°时，∠ABA′=30°，延长BA′交AD于F，如下图所示，设AE=x，则EA′=x，EF=xsin60∘=2√3x3，∵AF=AE+EF=ABtan30°=4√33，∴x+2√3x3=4√33，∴x=8−4√3，∴AE=8−4√3．故答案为：4√33厘米或4√3厘米或8−4√3厘米．根据翻折可得∠ABE=∠A′BE，分3种情况讨论：当∠ABE=30°时或当∠AEB=30°时或当∠ABA′=30°时求AE的长．本题考查了翻折变换、矩形的性质，解决本题的关键是掌握矩形性质．21.【答案】①④【解析】解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．由对称性可知，OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，当OA=OC=OB=OD时，四边形ABCD是矩形．∵反比例函数的图象在一，三象限，∴直线AC与直线BD不可能垂直，∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，故选项①④正确，故答案为①④，如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD.证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．本题考查反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22.【答案】30=120°，【解析】解：正六边形的每个内角的度数为：(6−2)⋅180°6所以∠ABC=120°−90°=30°，故答案为：30．由于六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，所以这个六边形是正六边形，先算出正六边形每个内角的度数，即可求出∠ABC的度数．本题考查了多边形内角和定理．解题的关键是会计算正六边形的每个内角的度数．23.【答案】2√5−2【解析】解：如图，连接BE，BD．由题意BD=√22+42=2√5，∵∠MBN=90°，MN=4，EM=NE，MN=2，∴BE=12∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的圆，∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，∴DE的最小值为2√5−2．故答案为2√5−2．如图，连接BE，BD.求出BE，BD，根据DE≥BD−BE求解即可．本题考查点与圆的位置关系，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24.【答案】√13取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点B′，连接B′C，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接B′P并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求【解析】解：(Ⅰ)线段AC的长等于√32+22=√13；(Ⅱ)如图，取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点B′，连接B′C，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接B′P并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求．(Ⅰ)利用网格根据勾股定理即可求出线段AC的长；(Ⅱ)取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点B′，连接B′C，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接B′P并延长，与BC相交于点Q，即可得点P，Q．本题考查了作图−复杂作图、勾股定理、圆周角定理、轴对称−最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称性质．25.【答案】6√2+π3【解析】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，此时E′C+E′C最小，即：E′C+E′C=CD′，由题意得，∠COD=∠DOB=∠BOD′=30°，∴∠COD′=90°，∴CD′=√OC2+OD′2=√22+22=2√2，CD⏜的长l=30π×2180=π3，∴阴影部分周长的最小值为2√2+π3=6√2+π3．故答案为：6√2+π3．利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可．本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键．26.【答案】30 √3【解析】解：(1)由折叠的性质可得：∠B=∠AQP，∠DAQ=∠QAP=∠PAB，∠DQA=∠AQR，∠CQP=∠PQR，∠D=∠ARQ，∠C=∠QRP，∵∠QRA+∠QRP=180°，∴∠D+∠C=180°，∴AD//BC，∴∠B+∠DAB=180°，∵∠DQR+∠CQR=180°，∴∠DQA+∠CQP=90°，∴∠AQP=90°，∴∠B=∠AQP=90°，∴∠DAB=90°，∴∠DAQ=∠QAP=∠PAB=30°，故答案为：30；(2)由折叠的性质可得：AD=AR，CP=PR，∵四边形APCD是平行四边形，∴AD=PC，∴AR=PR，又∵∠AQP=90°，AP，∴QR=12∵∠PAB=30°，∠B=90°，∴AP=2PB，AB=√3PB，∴PB=QR，=√3，∴ABQR故答案为：√3．(1)由折叠的性质可得∠B=∠AQP，∠DAQ=∠QAP=∠PAB，∠DQA=∠AQR，∠CQP=∠PQR，∠D=∠ARQ，∠C=∠QRP，由平角的性质可得∠D+∠C=180°，∠AQP=90°，可证AD//BC，由平行线的性质可得∠DAB= 90°，即可求解；(2)由平行四边形和折叠的性质可得AR=PR，由直角三角形的性质可得AP=2PB=2QR，AB=√3PB，即可求解．。

高一新生入学分班考试数 学试 题总分：150分 时量：120分钟第Ⅰ卷一. 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．下列运算正确的是（ ）。

A 、a 2·a 3=a 6B 、a 8÷a 4=a 2 C 、a 3+a 3=2a 6 D 、(a 3)2=a 62．一元二次方程2x 2-7x+k=0的一个根是x 1=2,则另一个根和k 的值是 ( )A ．x 2=1 ，k=4B ．x 2= - 1, k= -4C ．x 2=32,k=6 D ．x 2= 32-,k=-6 3．如果关于x 的一元二次方程220x kx -+=中，k 是投掷骰子所得的数字（1，2，3，4，5，6），则该二次方程有两个不等实数根的概率P= ( ) A ．23B ．12C ．13D ．164．二次函数y=-x 2-4x+2的顶点坐标、对称轴分别是( )A.(-2,6)，x=-2B.(2,6)，x=2C.(2,6)，x=-2D.(-2,6)，x=25．已知关于023,034,045=+-=+-=+-c x b x a x x 有两个解无解的方程只有一个解，则化简b a bc c a ---+-的结果是 （ ）A 、2aB 、2bC 、2cD 、06. 在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y （单位N ）与铁块被提起的高度x （单位cm ）之间的函数关系的大致图象是 （ ）A BC B 7． 下列图中阴影部分的面积与算式12221(|43|-++-的结果相同的是 （ ）8．已知四边形1S 2S ，顺次连结2S 各边中点得四边形3S ，以此类推，则2006S 为（ ）A ．是矩形但不是菱形； B. 是菱形但不是矩形； C.既是菱形又是矩形； D.既非矩形又非菱形.9．如图 ,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β. 若10,αβ=︒则的度数是 A ．40︒B ． 50︒C ． 60︒D ．不能确定10．如图为由一些边长为1cm 正方体堆积在桌面形成的立方体的三视图，则该立方体露在外面部分的表面积是________ cm 2。

A BC 北京高一新生入学分班考试数学(2)一. 选择题1．下列运算正确的是（ ）。

A 、a 2·a 3=a 6B 、a 8÷a 4=a 2C 、a 3+a 3=2a 6D 、(a 3)2=a 62．一元二次方程2x 2-7x+k=0的一个根是x 1=2,则另一个根和k 的值是 ( )A ．x 2=1 ，k=4B ．x 2= - 1, k= -4C ．x 2=32,k=6 D ．x 2= 32-,k=-6 3．如果关于x 的一元二次方程220x kx -+=中，k 是投掷骰子所得的数字（1，2，3，4，5，6），则该二次方程有两个不等实数根的概率P= ( ) A ．23B ．12C ．13D ．164．二次函数y=-x 2-4x+2的顶点坐标、对称轴分别是( )A.(-2,6)，x=-2B.(2,6)，x=2C.(2,6)，x=-2D.(-2,6)，x=25．已知关于023,034,045=+-=+-=+-c x b x a x x 有两个解无解的方程只有一个解，则化简b a bc c a ---+-的结果是 （ ）A 、2aB 、2bC 、2cD 、06. 在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y （单位N ）与铁块被提起的高度x （单位cm ）之间的函数关系的大致图象是 （ ）7． 下列图中阴影部分的面积与算式122)21(|43|-++-的结果相同的是（ ）8．如图为由一些边长为1cm 正方体堆积在桌面形成的立方体的三视图，则该立方体露在外面部分的表面积是________ cm 2。

A ． 11B ．15C ．18D ．22 二. 填空题9．函数21--=x x y 中，自变量x 的取值范围是． 10．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD AB D ⊥于，AC ＝10， CD ＝6，则sinB 的值为_____。

2019年北京四中新初一入学分班考试数学试题-真题2019.8姓名学校成绩一、选择题（本大题共13小题，共52分）1.一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：会员年卡类型办卡费用(元)每次游泳收费(元)A类5025B类20020C类40015例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费50+25×20=550元.若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45∼55次之间，则最省钱的方式为()A. 购买A类会员年卡B. 购买B类会员年卡C. 购买C类会员年卡D. 不购买会员年卡2.图1的直角柱由2个正三角形底面和3个矩形侧面组成，其中正三角形面积为a，矩形面积为b.若将4个图1的直角柱紧密堆叠成图2的直角柱，则图2中直角柱的表面积为何？()A. 4a+2bB. 4a+4bC. 8a+6bD. 8a+12b3.公园内有一矩形步道，其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成．如图表示此步道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列且总共有40个．求步道上总共使用多少个三角形地砖？()A. 84B. 86C. 160D. 1624.阿慧在店内购买两种蛋糕当伴手礼，如图为蛋糕的价目表．已知阿慧购买10盒蛋糕，花费的金额不超过2500元．若他将蛋糕分给75位同事，每人至少能拿到一个蛋糕，则阿慧花多少元购买蛋糕？()A. 2150B. 2250C. 2300D. 24505.图1的摩天轮上以等间隔的方式设置36个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为1号到36号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费30分钟．若图2表示21号车厢运行到最高点的情形，则此时经过多少分钟後，9号车厢才会运行到最高点？()A. 10B. 20C. 152D. 4526.某旅行团到森林游乐区参观，如表为两种参观方式与所需的缆车费用．已知旅行团的每个人皆从这两种方式中选择一种，且去程有15人搭乘缆车，回程有10人搭乘缆车．若他们缆车费用的总花费为4100元，则此旅行团共有多少人？()参观方式缆车费用去程及回程均搭乘缆车300元单程搭乘缆车，单程步行200元A. 16B. 19C. 22D. 257.小宜跟同学在某餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单．若他们所点的餐点总共为10份意大利面，x杯饮料，y份沙拉，则他们点了几份A餐？()A. 10−xB. 10−yC. 10−x+yD. 10−x−y8.某场音乐会贩卖的座位分成一楼与二楼两个区域．若一楼售出与未售出的座位数比为4：3，二楼售出与未售出的座位数比为3：2，且此场音乐会一、二楼未售出的座位数相等，则此场音乐会售出与未售出的座位数比为何？()A. 2：1B. 7：5C. 17：12D. 24：179.桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水．先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升．若过程中水没有溢出，则原本甲、乙两杯内的水量相差多少毫升？()A. 80B. 110C. 140D. 22010.小昱和阿帆均从同一本书的第1页开始，逐页依顺序在每一页上写一个数．小昱在第1页写1，且之后每一页写的数均为他在前一页写的数加2；阿帆在第1页写1，且之后每一页写的数均为他在前一页写的数加7.若小昱在某页写的数为101，则阿帆在该页写的数为何？()A. 350B. 351C. 356D. 35811.如图，有一内部装有水的直圆柱形水桶，桶高20公分；另有一直圆柱形的实心铁柱，柱高30公分，直立放置于水桶底面上，水桶内的水面高度为12公分，且水桶与铁柱的底面半径比为2：1.今小贤将铁柱移至水桶外部，过程中水桶内的水量未改变，若不计水桶厚度，则水桶内的水面高度变为多少公分？()A. 4.5B. 6C. 8D. 912.下表为小洁打算在某电信公司购买一支MAT手机与搭配一个号码的两种方案．此公司每个月收取通话费与月租费的方式如下：若通话费超过月租费，只收通话费；若通话费不超过月租费，只收月租费．若小洁每个月的通话费均为x元，x为400到600之间的整数，则在不考虑其他费用并使用两年的情况下，x至少为多少才会使得选择乙方案的总花费比甲方案便宜？()甲方案乙方案号码的月租费(元)400600MAT手机价格(元)1500013000注意事项：以上方案两年内不可变更月租费A. 500B. 516C. 517D. 60013.如图(一)，OP为一条拉直的细线，A、B两点在OP上，且OA：AP=1：3，OB：BP=3：5.若先固定B点，将OB折向BP，使得OB重迭在BP上，如图(二)，再从图(二)的A点及与A点重迭处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比为()A. 1：1：1B. 1：1：2C. 1：2：2D. 1：2：5二、填空题（本大题共8小题，共24分）14.从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时(单位：分钟)的数据，统计如下：公交车用时30≤t≤3535<t≤4040<t≤4545<t≤50合计公交车用时的频数线路A59151166124500B5050122278500C4526516723500早高峰期间，乘坐______(填“A”，“B”或“C”)线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．15.某公园划船项目收费标准如下：船型两人船(限乘两人)四人船(限乘四人)六人船(限乘六人)八人船(限乘八人)每船租金(元/小时)90100130150某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为______元．16.某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为______．17.数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．(以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》)请根据该图完成这个推论的证明过程．证明：S矩形NFGD=S△ADC−(S△ANF+S△FGC)，=S△ABC−(____+____)．S矩形EBMF易知，S△ADC=S△ABC，____=____，____=____．可得S矩形NFGD=S矩形EBMF．18.百子回归图是由1，2，3…，100无重复排列而成的正方形数表，它是一部数化的澳门简史，如：中央四位“19 99 12 20”标示澳门回归日期，最后一行中间两位“23 50”标示澳门面积，…，同时它也是十阶幻方，其每行10个数之和，每列10个数之和，每条对角线10个数之和均相等，则这个和为______．19.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术.其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两;牛二、羊五，直金八两.问：牛、羊各直金几何?”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两;2头牛、5只羊，值金8两.问：每头牛、每只羊各值金多少两?”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为.20.在下表中，我们把第i行第j列的数记为a i,j(其中i，j都是不大于5的正整数)，对于表中的每个数a i,j规定如下：当i≥j时，a i,j=1；当i<j时，a i,j=0.例如：当i=2，j=1时，a i,j=a2，1=1.按此规定，a 1,3=______；表中的25个数中，共有_____个1；计算a 1,1·a i ,1+a 1,2·a i ,2+a 1,3·a i, 3+ a 1,4 ·a i,4+a1，5·a i,5的值为________．a1,1a1,2a1,3a1,4a1,5a2,1a2,2a2,3a2,4a2,5a3,1a3,2a3,3a3,4a3,5a4,1a4,2a4,3a4,4a4,5a5,1a5,2a5,3a5,4a5,521.下图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D.请你按图中箭头所指方向(即A→B→C→D→C→B→A→B→C→⋯的方式)从A开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是________；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是________；当字母C第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是_________(用含n的代数式表示)．三、解答题（本大题共2小题，共24分）22.小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：①将诗词分成4组，第i组有x i首，i=1，2，3，4；②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第(i+1)天背诵第二遍，第(i+3)天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i=1，2，3，4；第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1组x1x1x1第2组x2x2x2第3组第4组x4x4x4③每天最多背诵14首，最少背诵4首．解答下列问题：(1)填入x3补全上表；(2)若x1=4，x2=3，x3=4，则x4的所有可能取值为______；(3)7天后，小云背诵的诗词最多为______首．23.在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的图柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为120公分．敏敏观察到高度90公分矮圆柱的影子落在地面上，其影长为60公分；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与墙面互相重直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题：(1)若敏敏的身高为150公分，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少公分？(2)若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为150公分，则高图柱的高度为多少公分？请详细解释或完整写出你的解题过程，并求出答案．2019年北京四中新初一入学分班考试数学试题-真题答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数关系式，属中档题．设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得到y1=30x，y A=50+25x，y B=200+20x，y C=400+15x，当x=45和x=55时，确定x的值，再根据函数的增减性即可解答．【解答】解：设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得：当不购买会员年卡时，y1=30x，当购买A类会员年卡时，y A=50+25x，当购买B类会员年卡时，y B=200+20x，当购买C类会员年卡时，y C=400+15x，当x=45时，y1=1350，y A=1175，y B=1100，y C=1075，此时y C最小，当x=55时，y1=1650，y A=1425，y B=1300，y C=1225，此时y C最小，∵y1，y A，y B，y C均随x的增大而增大，∴购买C类会员年卡最省钱．故选C．2.【答案】C【解析】解：∵正三角形面积为a，矩形面积为b，∴图2中直角柱的表面积=2×4a+6b=8a+6b，故选：C．根据已知条件即可得到结论．本题考查了等边三角形的性质，矩形的性质，列代数式，正确的识别图形是解题的关键．3.【答案】A【解析】解：3+40×2+1=84． 答：步道上总共使用84个三角形地砖． 故选：A ．中间一个正方形对应两个等腰直角三角形，从而得到三角形的个数为3+40×2+1．本题考查了等腰直角三角形：两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．也考查了规律型问题的解决方法，探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．4.【答案】D【解析】解：设阿慧购买x 盒桂圆蛋糕，则购买(10−x)盒金爽蛋糕，依题意有 {350x +200(10−x)≤250012x +6(10−x)≥75， 解得212≤x ≤313， ∵x 是整数， ∴x =3，350×3+200×(10−3) =1050+1400=2450(元)．答：阿慧花2450元购买蛋糕． 故选：D ．可设阿慧购买x 盒桂圆蛋糕，则购买(10−x)盒金爽蛋糕，根据不等关系：①购买10盒蛋糕，花费的金额不超过2500元；②蛋糕的个数大于等于75个，列出不等式组求解即可．本题考查一元一次不等式组的应用，解答此类问题的关键是明确题意，列出相应的一元一次不等式组，注意要与实际相联系．5.【答案】B【解析】解：36−21+936×30=20(分钟)．所以经过20分钟後，9号车厢才会运行到最高点． 故选：B ．先求出从21号旋转到9号旋转的角度占圆大小比例，再根据旋转一圈花费30分钟解答即可．本题主要考查了生活中的旋转现象，理清题意，得出从21号旋转到9号旋转的角度占圆大小比例是解答本题的关键．6.【答案】A【解析】解：设此旅行团有x 人单程搭乘缆车，单程步行，其中去程及回程均搭乘缆车的有y 人，根据题意得，{200x +300y =4100(15−y)+(10−y)=x ， 解得，{x =7y =9，则总人数为7+9=16(人) 故选：A ．设此旅行团有x 人单程搭乘缆车，单程步行，其中去程及回程均搭乘缆车的有y 人，根据题意列出二元一次方程，求出其解．本题是二元一次方程组的应用，主要考查了列二元一次方程组解应用题，关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程组．7.【答案】D【解析】解：x 杯饮料则在B 餐中点了x 份意大利面， y 份沙拉则在C 餐中点了y 份意大利面， ∴点A 餐为10−x −y ； 故选：D ．根据点的饮料和沙拉能确定点了x +y 份意大利面，根据题意可得点A 餐10−x −y ； 本题考查列代数式；能够根据题意，以意大利面为依据，准确列出代数式是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：设一楼座位总数为7x ，则一楼售出座位4x 个，未售出座位3x 个， 二楼座位总数为5y ，则二楼售出座位3y 个，未售出座位2y 个， 根据题意，知：3x =2y ，即y =32x ， 则4x+3y3x+2y =4x+3×32x3x+2×32x=172x 6x=1712，故选：C ．设一楼座位总数为7x ，二楼座位总数为5y ，分别表示出一、二楼售出、未售出的座位数，由一、二楼未售出的座位数相等得到y 关于x 的表达式，再列式表示此场音乐会售出与未售出的座位数比，将y 代入化简即可得．本题主要考查方程思想及分式的运算，根据一、二楼未售出的座位数相等得到关于y 关于x 的表达式是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：设甲杯中原有水a 毫升，乙杯中原有水b 毫升，丙杯中原有水c 毫升，{a +c −40=2a ①a +b +c +180=3b②②−①，得b −a =110，故选B ．根据题意可以分别设出甲、乙、丙三个杯子内原有水的体积，然后根据题意可以列出方程组，然后作差即可得到原本甲、乙两杯内的水量相差多少毫升，本题得以解决．本题考查三元一次方程组的应用，解题的关键是明确题目中的等量关系，列出相应的方程组，巧妙变形，得到所求问题的答案． 10.【答案】B【解析】解：小昱所写的数为1，3，5，7，…，101，…；阿帆所写的数为1，8，15，22，…， 设小昱所写的第n 个数为101，根据题意得：101=1+(n −1)×2，整理得：2(n −1)=100，即n −1=50，解得：n =51，则阿帆所写的第51个数为1+(51−1)×7=1+50×7=1+350=351．故选：B ．根据题意确定出小昱和阿帆所写的数字，设小昱所写的第n 个数为101，根据规律确定出n 的值，即可确定出阿帆在该页写的数．此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键．11.【答案】D【解析】解：∵水桶底面半径：铁柱底面半径=2：1，∴水桶底面积：铁柱底面积=22：12=4：1，设铁柱底面积为a ，水桶底面积为4a ，则水桶底面扣除铁柱部分的环形区域面积为4a −a =3a ，∵原有的水量为3a ×12=36a ，=9(公分)．∴水桶内的水面高度变为36a4a故选D．由水桶底面半径：铁柱底面半径=2：1，得到水桶底面积：铁柱底面积=22：12=4：1，设铁柱底面积为a，水桶底面积为4a，于是得到水桶底面扣除铁柱部分的环形区域面积为4a−a=3a，根据原有的水量为3a×12=36a，即可得到结论．本题考查了圆柱的计算，正确的理解题意是解题的关键．12.【答案】C【解析】解：∵x为400到600之间的整数，∴若小洁选择甲方案，需以通话费计算，若小洁选择乙方案，需以月租费计算，甲方案使用两年总花费=24x+15000；乙方案使用两年总花费=24×600+13000=27400．由已知得：24x+15000>27400，，即x至少为517．解得：x>51623故选C．由x的取值范围，结合题意找出甲、乙两种方案下两年的总花费各是多少，再由乙方案比甲方案便宜得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是结合题意找出关于x的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出不等式(方程或方程组)是关键．13.【答案】B【解析】解：设OP的长度为8a，∵OA：AP=1：3，OB：BP=3：5，∴OA=2a，AP=6a，AB=a，OB=3a，BP=5a，又∵先固定B点，将OB折向BP，使得OB重迭在BP上，如图(二)，再从图(二)的A点及与A点重迭处一起剪开，使得细线分成三段，∴这三段从小到大的长度分别是：2a、2a、4a，∴此三段细线由小到大的长度比为：2a：2a：4a=1：1：2，故选：B．根据题意可以设出线段OP的长度，从而根据比值可以得到图(一)中各线段的长，根据题意可以求出折叠后，再剪开各线段的长度，从而可以求得三段细线由小到大的长度比，本题得以解决．本题考查比较线段的长短，解题的关键是理解题意，求出各线段的长度．14.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握频率估计概率思想的运用．分别计算出A ，B ，C 三个线路的公交车用时不超过45分钟的可能性大小即可得．【解答】解：∵A 线路公交车用时不超过45分钟的可能性为59+151+166500=0.752， B 线路公交车用时不超过45分钟的可能性为50+50+122500=0.444，C 线路公交车用时不超过45分钟的可能性为45+265+167500=0.954， ∴C 线路上公交车用时不超过45分钟的可能性最大，故答案为：C ．15.【答案】380【解析】解：∵共有18人，当租两人船时，∴18÷2=9(艘)，∵每小时90元，∴租船费用为90×9=810元，当租四人船时，∵18÷4=4余2人，∴要租4艘四人船和1艘两人船，∵四人船每小时100元， ∴租船费用为100×4+90=490元，当租六人船时，∵18÷6=3(艘)，∵每小时130元，∴租船费用为130×3=390元，当租八人船时，∵18÷8=2余2人，∴要租2艘八人船和1艘两人船，∵8人船每小时150元， ∴租船费用150×2+90=390元当租1艘四人船，1艘六人船，1艘八人船，100+130+150=380元∵810>490>390>380，∴当租1艘四人船，1艘六人船，1艘八人船费用最低是380元，故答案为：380．分四类情况，分别计算即可得出结论．此题主要考查了有理数的运算，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．16.【答案】{x −y =34x +5y =435【解析】【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 根据题意可得等量关系：①4个篮球的花费+5个足球的花费=435元，②篮球的单价−足球的单价=3元，根据等量关系列出方程组即可．【解答】解：设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，由题意得：{x −y =34x +5y =435, 故答案为：{x −y =34x +5y =435． 17.【答案】S △AEF ；S △FCM ；S △ANF ；S △AEF ；S △FGC ；S △FMC【解析】【分析】本题考查矩形的性质，解题的关键是灵活运用矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分这个性质，属于中考常考题型．根据矩形的性质：矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分，由此即可证明结论．【解答】证明：S 矩形NFGD =S △ADC −(S △ANF +S △FGC )，S 矩形EBMF =S △ABC −(S △ANF +S △FCM ).易知，S △ADC =S △ABC ，S △ANF =S △AEF ，S △FGC =S △FMC ，可得S 矩形NFGD =S 矩形EBMF ．故答案分别为S △AEF ，S △FCM ，S △ANF ，S △AEF ，S △FGC ，S △FMC ．18.【答案】505【解析】解：1～100的总和为：(1+100)×1002=5050，一共有10行，且每行10个数之和均相等，所以每行10个数之和为：5050÷10=505，故答案为：505．根据已知得：百子回归图是由1，2，3…，100无重复排列而成，先计算总和；又因为一共有10行，且每行10个数之和均相等，所以每行10个数之和=总和÷10．本题考查了数字变化类的规律题，是常考题型；一般思路为：按所描述的规律从1开始计算，从计算的过程中慢慢发现规律，总结出与每一次计算都符合的规律，就是最后的答案；此题非常简单，跟百子碑简介没关系，只考虑行、列就可以，同时，也可以利用列来计算．19.【答案】{5x +2y =102x +5y =8【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是找到题目中所存在的等量关系．根据“假设有5头牛、2只羊，值金10两;2头牛、5只羊，值金8两，”得到等量关系，即可列出方程组．【解答】解：由译文可知，5x +2y =10，2x +5y =8，这两个条件要同时满足，所以可列方程组为{5x +2y =102x +5y =8． 故答案为{5x +2y =102x +5y =8． 20.【答案】0 15 1【解析】本题属阅读理解题，难度较大．当i ≥j 时，a i,j =1，当i <j 时，a i,j =0，所以a 1，1=1，而i ≥1，所以a i, 1=1；a 1，2=0，所以a 1，2·a i, 2=0；...，所以a 1，1·a i, 1+a 1 , 2·a i, 2+a 1 , 3·a i, 3+a 1 , 4·a i, 4+a 1 , 5·a i, 5=1+0+0+0+0=1．21.【答案】B 603 6n +3【解析】本题为规律探索型题，考查了学生的分析综合能力．观察图形，可得出规律：22.【答案】解：(1)(2)依题意可知{4≤x1+x3+x4≤144≤x2+x4≤144≤x4≤14，若x1=4，x2=3，x3=4，∴4≤x4≤6，又x4是整数，∴x4的所有可能取值为4，5，6，故答案为：4，5，6；(3)∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，∴由第2天，第3天，第4天，第5天得，x1+x2≤14①，x2+x3≤14②，x1+x3+x4≤14③，x2+x4≤14④，①+②+2③+④得，3(x1+x2+x3+x4)≤70，∴x1+x2+x3+x4≤2313，∴7天后，小云背诵的诗词最多为23首，此时x1=5，x2=9，x3=5，x4=4满足题意，故答案为：23．【解析】本题考查了规律型：数字的变化类，不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．(1)根据表中的规律即可得到结论；(2)根据题意列不等式即可得到结论；(3)根据题意列不等式，即可得到结论．23.【答案】解：(1)设敏敏的影长为x公分．由题意：150x =9060，解得x=100(公分)，经检验：x=100是分式方程的解．∴敏敏的影长为100公分．(2)如图，连接AE，作FB//EA．∵AB//EF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴AB=EF=150公分，设BC=y公分，由题意BC落在地面上的影从为120公分．∴y120=9060，∴y=180(公分)，∴AC=AB+BC=150+180=330(公分)，答：高图柱的高度为330公分．【解析】(1)根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题．(2)如图，连接AE，作FB//EA.分别求出AB，BC的长即可解决问题．本题考查相似三角形的应用，平行投影，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．。

2019-2020学年北京四中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共13小题，共65.0分） 1. log 223+log 26等于( )．A. 1B. 2C. 5D. 6 2. 已知集合M ={x|x 2−x −6=0}，则下列正确的是( )A. {−2}∈MB. 2∈MC. −3∈MD. 3∈M3. 函数y =log 2(x 2−2x −3)的定义域为( )A. (−∞,−1)∪(3,+∞)B. [−1,3]C. (−∞,−1]∪[3,+∞)D. (−1,3)4. 已知f(x)={x −6,(x ≥6)f(x +2),(x <6)，则f(3)为( )A. 1B. 2C. 4D. 55. 下列函数中，在区间(0,+∞)上为增函数的是( )A. y =√x +1B. y =(x −1)2C. y =2−xD. y =log 0.5(x +1)6. 函数y =x 2−2x 定义域为{0,1，2，3}，则值域为( )A. {−1,0，3}B. {0,1，2，3}C. [−1,3]D. [0,3] 7. 函数f (x )=−|x −5|+2x−1的零点所在的区间是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)8. 设a =log 123.b =ln4，c =(13)0.2，则( ) A. a <b <c B. a <c <b C. c <a <b D. b <c <a 9. 若函数f (x )=(x +1)(x −a )为偶函数，则a =( )A. −2B. −1C. 1D. 210. 已知函数f (x )=a ⋅2x −1与函数g (x )=x 3+ax 2+1(a ∈R )，下列选项中不可能是函数f (x )与g (x )图象的是( )A.B.C.D.11. 不等式23x−5>(12)2x+3的解集为 ( )A. (−∞,25) B. (25,+∞)C. (−∞,8)D. (8,+∞)12. 下列函数中，f(x)是偶函数的是( )A. f(x)=2|x|−1B. f(x)=x 2，x ∈[−2,2)C. f(x)=x 2+xD. f(x)=x 313. 某种豆类生长枝数随时间增长，前6月数据如下：第x 月 1 2 3 4 5 6 枝数y(枝)247163363( )A. y =2xB. y =x 2−x +2C. y =2xD. y =log 2x +2二、填空题（本大题共7小题，共35.0分）14. 计算：2log 23+lg √5+lg √20=__________________.15. 已知y =f(x)是定义在[1,4)上的函数，则函数y =f(2x +1)的定义域为__________． 16. 若函数f(x)=x 2−2x(x ∈[0,3])，则f(x)的最小值是______ ．17. 已知函数f(x)=x 2+2mx +3m +4有两个零点，一个零点在(−1,1)内，另一个零点在(1,2)内，则实数m 的取值范围是________．18. 已知全集U ={1,2，3，4，5}，集合A ={1,3，5}，B ={3,4，5}，则集合∁U (A ∩B)=______． 19. 设f(x)={2e x−1,x <2,log 3(x 2−1),x ≥2,则f(f(1))=________，不等式f(x)>2的解集为________．20. 已知−1<a +b <3且2<a −b <4，求2a +3b 的取值范围______ ． 三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）21. 已知集合A ={−1,2}，B ={x|x 2−ax −4=0}．(1)若a =0，求A ∪B ．(2)若a=3，求A∩B．22.已知函数f(x)=log21+x1−x．(1)判断f(x)奇偶性并证明你的结论；(2)解方程f(x)<−1．23.f(x)=−12x2+132在区间[a,b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a,b]．24.已知函数f(x)=2x−1的反函数为y=f−1(x)，记g(x)=f−1(x−1)．(1)求函数y=2f−1(x)−g(x)的最小值；(2)若函数F(x)=2f−1(x+m)−g(x)在区间[1,+∞)上是单调递增函数，求实数m的取值范围．25.集合A={1,2，3}，B={1,2}，定义集合间的运算A+B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B}，则集合A+B中元素的最大值是________．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查了对数运算性质，属于基础题．利用对数运算性质即可得出．【解答】×6)=log222=2．解：原式=log2(23故选B．2.答案：D解析：【分析】本题考查元素与集合的关系，是基础题．求出集合M，根据元素与集合间的关系即可判断．【解答】解：M={x|x2−x−6=0}={−2,3}，所以−2∈M,3∈M，所以D正确，故选D．3.答案：A解析：解：要使函数有意义，则x2−2x−3>0，即x>3或x<−1，即函数的定义域为(−∞,−1)∪(3,+∞)，故选：A．根据函数成立的条件即可求函数的定义域．本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．4.答案：A解析：【分析】直接利用分段函数的解析式求解函数值即可．本题考查函数的解析式的应用，函数值的求法，是基础题． 【解答】解：f(x)={x −6,(x ≥6)f(x +2),(x <6)，则f(3)=f(5)=f(7)=7−6=1． 故选：A ．5.答案：A解析：利用函数的单调性或函数的图像逐项验证.A.函数y =√x +1在[−1,+∞)上为增函数，所以函数在(0,+∞)上为增函数，故正确；B.函数y =(x −1)2在(−∞,1)上为减函数，在[1,+∞)上为增函数，故错误；C.函数y =2−x =(12)x 在R 上为减函数，故错误；D.函数y =log 0.5(x +1)在(−1,+∞)上为减函数，故错误．6.答案：A解析： 【分析】本题考查了函数的值域问题，属于基础题． 根据所给定义域代入函数，解得值域． 【解答】解：∵y =x 2−2x ， 又∵x ∈{0,1，2，3}， ∴y =−1，0，3． 即函数值域为{−1,0，3}． 故选A ．7.答案：C解析： 【分析】本题考查函数零点存在性定理问题，属于基础题．对于连续函数只要满足两端点的函数值符号相反即可，分别代入判断符号即可． 【解答】解：因为f (0)=−92，f (1)=−3，f (2)=−1，f (3)=2，所以f(x)的零点所在的区间是(2,3)，故选C．8.答案：B解析：解：∵a=log123<0，b=ln4>1，c=(13)0.2∈(0,1)．∴a<c<b．故选：B．利用指数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.答案：C解析：f(x)=x2+(1−a)x−a,f(x)为偶函数，∴1−a=0,a=1，故选C．10.答案：D解析：【分析】本题考查的知识点是三次函数的图象和性质，指数函数的图象和性质，分类讨论思想，难度中档．对a进行分类讨论，利用排除法，可得答案．【解答】解：a=0时，函数f(x)与g(x)图象为：故排除A；g′(x)=3x2+2ax，令g′(x)=0，则x=0，或x=−2a3，当a<0时，0为函数g(x)的极大值点，函数f(x)与g(x)图象为：故排除C ；当a >0时，0为函数g(x)的极小值点， 函数f(x)与g(x)图象为：故排除B ； 故选D ．11.答案：B解析： 【分析】本题考查了指数不等式的求解，属基础题目．解题的关键是熟练掌握指数函数的单调性.可将原不等式转化为3x −5>−2x −3，解此不等式即可． 【解答】解：不等式23x−5>(12)2x+3可化为23x−5>2−2x−3，∴3x −5>−2x −3， 解得x >25，所以原不等式的解集为(25,+∞)． 故选B ．12.答案：A解析：【分析】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据偶函数的定义是解决本题的关键，属于基础题．根据函数奇偶性的定义进行判断即可．解析：解：A.f(−x)=2|−x|−1=2|x|−1=f(x)，x∈R，因此该函数为偶函数，B.函数f(x)的定义域不关于原点对称，函数f(x)是非奇非偶函数，C.f(−x)=x2−x≠f(x)，不是偶函数，D.f(−x)=−x3=−f(x)，x∈R，则f(x)是奇函数．故选A．13.答案：C解析：【分析】本题考查函数模型的选择，解题的关键是看出函数的变化趋势和所过的特殊点，属于基础题．本题要选择合适的模型，从所给数据可以看出图象大约过(1,2)和(2,4)，和(4,16)和(6,63)，把这四个点代入所给的四个解析式发现只有y=2x最合适．【解答】解：从所给数据可以看出图象大约过(1,2)和(2,4)和(4,16)和(6,63)，把这四个点代入所给的四个解析式发现只有y=2x最合适，故选：C．14.答案：4解析：【分析】本题考查了指数恒等式、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用指数恒等式、对数运算性质即可得出．【解答】解：原式=3+lg(√5×√20)=3+lg10=4．故答案为4．)15.答案：[0,32解析：因为函数y =f(x)的定义域为[1,4)，令1≤2x +1<4，解得0≤x <32，所以函数y =f(2x +1)的定义域为[0,32).故答案为：[0,32)．16.答案：−1解析：解：函数f(x)=x 2−2x 的对称轴为：x =1∈[0,3]，二次函数的开口向上， 函数的最小值为：f(1)=1−2=−1． 故答案为：−1．求出函数的对称轴，利用二次函数的性质求解函数的最小值即可．本题考查二次函数的最值的求法，求出函数的对称轴判断开口方向是解题的关键．17.答案：(−87,−1)解析： 【分析】本题考查二次函数的零点问题解法，注意运用转化思想，以及数形结合思想方法，考查运算能力，属于基础题．由二次函数f(x)的图象，结合两个零点的范围，可得f(−1)>0，f(1)<0，f(2)>0，解不等式即可得到所求范围． 【解答】解：函数f(x)=x 2+2mx +3m +4有两个零点， 一个零点在(−1,1)之间，另一个零点在(1,2)之间， 可得{f(−1)>0f(1)<0f(2)>0，即{5+m >05+5m <08+7m >0，即有{m >−5m <−1m >−87，可得−87<m <−1， 即有m 的范围是(−87,−1)． 故答案为(−87,−1)．18.答案：{1,2，4}解析： 【分析】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题． 由条件根据交集的定义求得A ∩B ，再根据补集的定义求得∁U (A ∩B)．【解答】解：因为集合A ={1,3，5}，B ={3,4，5}，所以A ∩B ={3,5}，又U ={1,2，3，4，5}，所以∁U (A ∩B)={1,2，4}，故答案为{1,2，4}．19.答案：1 (1,2)∪(√10,+∞)解析：【分析】本题考查了分段函数，指数、对数不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题.根据函数的解析式求出f(1)的值是2，从而求出f(2)的值即可；不等式f(x)>2即2e x−1>2或log 3(x 2−1)>2，即e x−1>1=e 0，或x 2−1>9，解出即可．【解答】解：f (x )={2e x−1,x <2log 3(x 2−1),x ≥2， f(1)=2⋅e 1−1=2，故f(f(1))=f(2)=log 3(4−1)=1，若f(x)>2，则2e x−1>2(x <2)或log 3(x 2−1)>2(x ≥2)，即e x−1>1=e 0，或x 2−1>9，解得：1<x <2或x >√10，故答案为1 (1,2)∪(√10,+∞)．20.答案：−92<2a +3b <132解析：解：2a +3b =m(a +b)+n(a −b)，∴{m +n =2m −n =3∴m =52，n =−12.∴2a +3b =52(a +b)−12(a −b)． ∵−1<a +b <3，2<a −b <4，∴−52<52(a +b)<152，−2<−12(a −b)<−1， ∴−92<52(a +b)−12(a −b)<132即−92<2a +3b <132． 故答案为：−92<2a +3b <132．把2a +3b 设为m(a +b)+n(a −b)，解出m ，n ，回代，然后利用不等式的性质，求出2a +3b 的取值范围．本题考查不等式及其不等关系，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．21.答案：解：(1)因为a =0，所以B ={x|x 2−4=0}={2,−2}，所以A ∪B ={−2,−1,2}．(2)因为a =3，所以B ={x|x 2−3x −4=0}={−1,4}，所以A ∩B ={−1}．解析：本题考查了交、并集运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．属于基础题．(1)求出集合B ，再利用并集运算即可求解；(2)求出集合B ，再利用交集运算即可求解．22.答案：解：(1)根据题意，f(x)为奇函数；证明：1+x 1−x >0⇒−1<x <1，所以f(x)定义为(−1,1)，关于原点对称；任取x ∈(−1,1)，则f(−x)+f(x)=log 21−x 1+x +log 21+x 1−x =log 2(1−x 1+x ⋅1+x 1−x )=log 21=0．则有f(−x)=−f(x)，f(x)为奇函数；(2)由(1)知−1<x <1，f(x)<−1⇒log 2(1+x)(1−x)<−1,即1+x 1−x <2−1=12， 1+x 1−x−12=(2+2x)−(1−x)2(1−x)=3x+12(1−x)<0， 即3x+1x−1>0，∴x <−13或x >1，又由−1<x <1，则有−1<x <−13，综上，不等式解集为(−1,−13)解析：(1)根据题意，先求出函数的定义域，再分析f(−x)与f(x)的关系，结合奇偶性的定义分析可得结论；(2)根据题意，f(x)<−1⇒log 2(1+x)(1−x)<−1,即1+x 1−x <2−1=12，求出x 的取值范围，结合函数的定义域分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数的运算性质，注意分析函数的定义域． 23.答案：解：(1)因为f(x)对称轴为x =0若0≤a <b ，则f(x)在[a,b]上单调递减，所以f(a)=2b ，f(b)=2a ，于是{2b =−12a 2+1322a =−12b 2+132， 解得[a,b]=[1,3]．(2)若a <b ≤0，则f(x)在[a,b]上单调递增，所以f(a)=2a ，f(b)=2b ，于是{2a =−12a 2+1322b =−12b 2+132，方程两根异号， 故不存在满足a <b ≤0的a ，b ．(3)若a <0<b ，则f(x)在[a,0]上单调递增，在[0,b]上单调递减，所以2b =132⇒b =134． 所以f(b)=−12⋅(134)2+132=1932>0， 又a <0，所以2a ≠1932，故f(x)在x =a 处取得最小值2a ，即2a =−12a 2+132，得a =−2−√17，所以[a,b]=[−2−√17,134]．综上所述，[a,b]=[1,3]或[−2−√17,134]．解析：求出二次函数的对称轴，通过对区间与对称轴x =0的位置关系分三类，求出二次函数f(x)的最值，列出方程组，求出a ，b 的值．解决二次函数在区间上的单调性、最值问题，应该先求出二次函数的对称轴，根据对称轴与区间的关系来解决．24.答案：解：(1)由f(x)=2x −1得x =log 2(y +1)，即f −1(x)=log 2(x +1)(x >−1) g(x)=f −1(x −1)=log 2x ，(x >0)∴函数y =2f −1(x)−g(x)=2log 2(x +1)−log 2x =log 2(x+1)2x =log 2x 2+2x+1x =log 2(x +1x +2)， ∵x >0，∴x +1x +2≥4，当且仅当x =1时取等号，∴函数y =2f −1(x)−g(x)的最小值为：log 24=2．(2)由f −1(x)=log 2(x +1)(x >−1)得，函数F(x)=2f −1(x +m)−g(x)=2log 2(x +m +1)−log 2x …(8分)∴F(x)=log 2(x+m+1)2x =log 2[x +(m+1)2x +2(m +1)]，在区间[1,+∞)上是单调递增函数需满足：当x ≥1时，x +m +1>0，即m >−2…(10分)[|m +1|,+∞)⊆[1，+∞)…(12分)，即|m +1|≤1⇔−2≤m ≤0，…(13分)，∴−2<m ≤0…(14分)解析：(1)求出原函数的反函数，然后推出函数y =2f −1(x)−g(x)的表达式，即可求解其最小值；(2)利用(1)函数的解析式，通过化简表达式，利用函数F(x)=2f −1(x +m)−g(x)在区间[1,+∞)上是单调递增函数，转化不等式，然后求实数m 的取值范围．本题考查函数恒成立问题，反函数以及对数函数基本不等式以及函数单调性的应用，考查转化思想以及分析问题解决问题的能力．25.答案：5解析：【分析】本题考查集合的新定义，属于基础题型，理解题意是关键．【解答】解：∵A={1,2，3}，B={1,2}，定义集合间的运算A+B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B}，∴A+B={2,3，4，5}故集合A+B中元素的最大值是5；故答案为5．。

2019年北大附中新高一分班考试数学试题-真题一、选择题（本大题共8小题，共24分）1.如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽(PT的长)可以表示为()A. 200tan70°米B. 200tan70∘米 C. 200sin 70°米 D. 200sin70∘米2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(−1,n)，其部分图象如图所示．以下结论错误的是()A. abc>0B. 4ac−b2<0C. 3a+c>0D. 关于x的方程ax2+bx+c=n+1无实数根3.如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=12.将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD和边BC上．连接BG，交CD于点K，FG交CD于点H.给出以下结论：①EF⊥BG；②GE=GF；③△GDK和△GKH的面积相等；④当点F与点C重合时，∠DEF=75°，其中正确的结论共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.下列图中所有小正方形都是全等的．图(1)是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片，图(2)是一张由6个小正方形组成的3×2方格纸片．把“L”形纸片放置在图(2)中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图(3)中的4种不同放置方法．图(4)是一张由36个小正方形组成的6×6方格纸片，将“L”形纸片放置在图(4)中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n种不同放置方法，则n的值是()A. 160B. 128C. 80D. 485.如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O.若AE=5，BF=3，则AO的长为()A. √5B. 3√5 C. 2√5 D. 4√526.将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度ℎ(cm)与注水时间t(min)的函数图象大致为图中的()A. B.C. D.7.在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2−2x−3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，连接AB，将Rt△OAB向右上方平移，得到Rt△O′A′B′，且点O′，A′落在抛物线的对称轴上，点B′落在抛物线上，则直线A′B′的表达式为()D. y=x+2A. y=xB. y=x+1C. y=x+128.已知P1(x1,y1)，P2(x2,y2)是抛物线y=ax2−2ax上的点，下列命题正确的是()A. 若|x1−1|>|x2−1|，则y1>y2B. 若|x1−1|>|x2−1|，则y1<y2C. 若|x1−1|=|x2−1|，则y1=y2D. 若y1=y2，则x1=x2二、填空题（本大题共8小题，共24分）9.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E．DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F．②分别以点D、E为圆心，大于12③作射线BF交AC于点G．如果AB=8，BC=12，△ABG的面积为18，则△CBG的面积为______．10.如图，在▱ABCD中，∠B=60°，AB=10，BC=8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使DE，以EC、EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为______．得DF=1411.抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c为常数，a<0)经过A(2,0)，B(−4,0)两点，下列四个结论：①一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x1=2，x2=−4；②若点C(−5,y1)，D(π,y2)在该抛物线上，则y1<y2；③对于任意实数t，总有at2+bt≤a−b；④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数，p>0)的根为整数，则p的值只有两个．其中正确的结论是______(填写序号)．12.如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，EF为折痕，AB=1，AD=2.设AM的长为t，用含有t的式子表示四边形CDEF的面积是______．第12题图第13题图13.如图，在△ABC中，O为BC边上的一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC相切于点M，N.已知∠BAC=⏜的长为π，则图中阴影部分的面积为______．120°，AB+AC=16，MN14.矩形纸片ABCD，长AD=8cm，宽AB=4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点A′处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA′，EA′，不再添加其它线段．当图中存在30°角时，AE的长为______厘米．第14题图第15题图15.如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC=______度．16.设A，B，C，D是反比例函数y=k图象上的任意四点，现有以下结论：x①四边形ABCD可以是平行四边形；②四边形ABCD可以是菱形；③四边形ABCD不可能是矩形；④四边形ABCD不可能是正方形．其中正确的是______.(写出所有正确结论的序号)三、计算题（本大题共1小题，共6分）17.某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD=4m，宽AB=3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．(1)按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y=kx2+m(k≠0)表示．求该抛物线的函数表达式；(2)现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2.已知GM=2m，求每个B型活动板房的成本是多少？(每个B型活动板房的成本=每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本)(3)根据市场调查，以单价650元销售(2)中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n(元)定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大？最大利润是多少？四、解答题（本大题共12小题，共46分）18. 如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．进货单商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%． 王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件． 请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．19. 阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x 、y 满足3x −y =5①，2x +3y =7②，求x −4y 和7x +5y 的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x 、y 的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①−②可得x −4y =−2，由①+②×2可得7x +5y =19.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题：(1)已知二元一次方程组{2x +y =7,x +2y =8,则x −y =______，x +y =______；(2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？(3)对于实数x 、y ，定义新运算：x ∗y =ax +by +c ，其中a 、b 、c 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3∗5=15，4∗7=28，那么1∗1=______．20.如图，已知点A(1,2)、B(5,n)(n>0)，点P为线段AB上的一个动点，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点P.小明说：“点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．”(1)当n=1时．①求线段AB所在直线的函数表达式．②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值．(2)若小明的说法完全正确，求n的取值范围．21.背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放(点E、A、D在同一条直线上)，发现BE=DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：(1)将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转(如图1)，还能得到BE=DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；(2)把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转(如图2)，试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由；(3)把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且AEAG =ABAD=23，AE=4，AB=8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转(如图3)，连接DE，BG.小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值．22.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，AE与过点D的切线互相垂直，垂足为E．(1)求证：AD平分∠BAE；(2)若CD=DE，求sin∠BAC的值．23.某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y(万元)与产品数量x(件)之间具有函数关系y=ax2+bx+c.当x=10时，y=400；当x=20时，y=1000.B城生产产品的每件成本为70万元．(1)求a，b的值；(2)当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？(3)从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在(2)的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值(用含有m的式子表示)．24.实际问题：某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？问题建模：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a(1<a<n)个整数，这a个整数之和共有多少种不同的结果？模型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．探究一：(1)从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表①如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．(2)从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表②如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．(3)从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．(4)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．探究二：(1)从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．(2)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥4)这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．探究三：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥5)这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有______种不同的结果．归纳结论：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a(1<a<n)个整数，这a个整数之和共有______种不同的结果．问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽取5张奖券，共有______种不同的优惠金额．拓展延伸：(1)从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？(写出解答过程)(2)从3，4，5，…，n+3(n为整数，且n≥2)这(n+1)个整数中任取a(1<a<n+1)个整数，这a个整数之和共有______种不同的结果．25.在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．特例感知：(1)将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B.通过观察、测量BF与CG的长度，得到BF=CG.请给予证明．猜想论证：(2)当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC于点D，过点D作DE⊥BA垂足为E.此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想．联系拓展：(3)当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置(点F在线段AC上，且点F与点C不重合)时，请你判断(2)中的猜想是否仍然成立？(不用证明)26.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…−2−1012…y…m0−3n−3…(1)根据以上信息，可知抛物线开口向______，对称轴为______；(2)求抛物线的表达式及m，n的值；(3)请在图1中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P′，描出相应的点P′，再把相应的点P′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？(4)设直线y=m(m>−2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系______．27.某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究(1)如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1=∠2=∠3，则面积S1，S2，S3之间的关系式为______；推广验证(2)如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为边向外侧作任意△ABD，△ACE，△BCF，满足∠1=∠2=∠3，∠D=∠E=∠F，则(1)中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用(3)如图4，在五边形ABCDE中，∠A=∠E=∠C=105°，∠ABC=90°，AB=2√3，DE=2，点P在AE上，∠ABP=30°，PE=√2，求五边形ABCDE的面积．28.已知直线l1：y=−2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，BC=4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，当x1>x2≥5时，总有y1>y2．(1)求二次函数的表达式；(2)若直线l2：y=mx+n(n≠10)，求证：当m=−2时，l2//l1；(3)E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y=−2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：在Rt△PQT中，∵∠QPT=90°，∠PQT=90°−70°=20°，∴∠PTQ=70°，∴tan70°=PQPT，∴PT=PQtan70∘=200tan70∘，即河宽200tan70∘米，故选：B．在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．此题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键．2.【答案】C【解析】解：A.∵抛物线开口向下，∴a<0，∵对称轴为直线x=−b2a=−1，∴b=2a<0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0，∴abc>0，故A正确；B.∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，即4ac−b2<0，故B正确；C.∵抛物线的对称轴为直线x=−1，抛物线与x轴的一个交点在(−3,0)和(−2,0)之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在(0,0)和(1,0)之间，∴x=1时，y<0，即a+b+c<0，∵b=2a，∴3a+c<0，故C错误；D.∵抛物线开口向下，顶点为(−1,n)，∴函数有最大值n，∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点，∴一元二次方程ax2+bx+c=n+1无实数根，故D正确．故选：C．根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对B 进行判断；x=1时，y<0，可对C进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点，可对D进行判断．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．3.【答案】C【解析】解：如图，连接BE，设EF与BG交于点O，∵将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，∴EF垂直平分BG，∴EF⊥BG，BO=GO，BE=EG，BF=FG，故①正确，∵AD//BC，∴∠EGO=∠FBO，又∵∠EOG=∠BOF，∴△BOF≌△GOE(ASA)，∴BF=EG，∴BF=EG=GF，故②正确，∵BE=EG=BF=FG，∴四边形BEGF是菱形，∴∠BEF=∠GEF，当点F与点C重合时，则BF=BC=BE=12，∵sin∠AEB=ABBE =612=12，∴∠AEB=30°，∴∠DEF=75°，故④正确，由题意无法证明△GDK和△GKH的面积相等，故③错误；故选：C．连接BE，设EF与BG交于点O，由折叠的性质可得EF垂直平分BG，可判断①；由“ASA”可证△BOF≌△GOE，可得BF=EG=GF，可判断②；通过证明四边形BEGF是菱形，可得∠BEF=∠GEF，由锐角三角函数可求∠AEB=30°，可得∠DEF=75°，可判断④，由题意无法证明△GDK和△GKH的面积相等，即可求解．本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．4.【答案】A【解析】解：观察图象可知(4)中共有4×5×2=40个3×2的长方形，由(3)可知，每个3×2的长方形有4种不同放置方法，则n的值是40×4=160．故选：A．对于图形的变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．此题考查了规律型：图形的变化类，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：∵矩形ABCD，∴AD//BC，AD=BC，AB=CD，∴∠EFC=∠AEF，∴AE=AF=3，由折叠得，FC=AF，OA=OC，∴BC=3+5=8，在Rt△ABF中，AB=√52−32=4，在Rt△ABC中，AC=√42+82=4√5，∴OA =OC =2√5，故选：C ．由矩形的性质，折叠轴对称的性质，可求出AF =FC =AE =5，由勾股定理求出AB ，AC ，进而求出OA 即可． 本题考查矩形的性质、折叠轴对称的性质，勾股定理等知识，根据图形直观，求出线段的长是得出答案的前提． 6.【答案】B【解析】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A 、D 一定错误，用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间h 不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，h 随t 的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度h 不再变化．故选：B ．根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可求出小水杯内水面的高度ℎ(cm)与注水时间t(min)的函数图象．本题考查了函数的图象．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．7.【答案】B【解析】解：如图，∵抛物线y =x 2−2x −3与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，令y =0，解得x =−1或3，令x =0，求得y =−3，∴A(3,0)，B(0,−3)，∵抛物线y =x 2−2x −3的对称轴为直线x =−−22×1=1，∴A′的横坐标为1，设A′(1,n)，则B′(4,n +3)，∵点B′落在抛物线上，∴n +3=16−8−3，解得n =2，∴A′(1,2)，B′(4,5)，设直线A′B′的表达式为y =kx +b ，∴{k +b =24k +b =5， 解得{k =1b =1∴直线A′B′的表达式为y =x +1，故选：B．求得A、B的坐标以及抛物线的对称轴，根据题意设出A′(1,n)，则B′(4,n+3)，把B′(4,n+3)代入抛物线解析式求得n，即可求得A′、B′的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线A′B′的表达式．本题考查了抛物线与x轴的交点，坐标和图形变换−平移，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，根据题意表示出A′、B′的坐标是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵抛物线y=ax2−2ax=a(x−1)2−a，∴该抛物线的对称轴是直线x=1，当a>0时，若|x1−1|>|x2−1|，则y1>y2，故选项B错误；当a<0时，若|x1−1|>|x2−1|，则y1<y2，故选项A错误；若|x1−1|=|x2−1|，则y1=y2，故选项C正确；若y1=y2，则|x1−1|=|x2−1|，故选项D错误；故选：C．根据题目中的抛物线和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．本题考查二次函数的性质，命题与定理，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．9.【答案】27【解析】解：如图，过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥AC于点N，根据作图过程可知：BG是∠ABC的平分线，∴GM=GN，∵△ABG的面积为18，∴1×AB×GM=18，2∴4GM=18，∴GM=9，2∴△CBG的面积为：12×BC×GN=12×12×92=27．故答案为：27．过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥AC于点N，根据作图过程可得AG是∠ABC的平分线，根据角平分线的性质可得GM=GN，再根据△ABG的面积为18，求出GM的长，进而可得△CBG的面积．本题考查了作图−基本作图、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质．10.【答案】9√3【解析】解：作CH⊥AB于点H，∵在▱ABCD中，∠B=60°，BC=8，∴CH=4√3，∵四边形ECGF是平行四边形，∴EF//CG，∴△EOD∽△GOC，∴EOGO =DOOC=EDGC，∵DF=14DE，∴DEEF =45，∴EDGC =45，∴EOGO =45，∴当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，当EO⊥CD时，EO取得最小值，∴CH=EO，∴EO=4√3，∴GO=5√3，∴EG的最小值是9√3，故答案为：9√3．根据题意和平行四边形的性质，可以得到BD和EF的比值，再根据三角形相似和最短距离，即可得到EG的最小值，本题得以解决．本题考查平行四边形的性质、三角形的相似、垂线段最短，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11.【答案】①③【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c为常数，a<0)经过A(2,0)，B(−4,0)两点，∴当y=0时，0=ax2+bx+c的两个根为x1=2，x2=−4，故①正确；该抛物线的对称轴为直线x=2+(−4)2=−1，函数图象开口向下，若点C(−5,y1)，D(π,y2)在该抛物线上，则y1>y2，故②错误；当x=−1时，函数取得最大值y=a−b+c，故对于任意实数t，总有at2+bt+c≤a−b+c，即对于任意实数t，总有at2+bt≤a−b，故③正确；对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数，p>0)的根为整数，则两个根为−3和1或−2和0或−1和−1，故p的值有三个，故④错误；故答案为：①③．根据题目中的抛物线和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．12.【答案】14t2−14t+1【解析】解：连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，设DE=x=EM，则EA=2−x，∵AE2+AM2=EM2，∴(2−x)2+t2=x2，解得x=t24+1，∴DE=t24+1，∵折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，∴EF⊥DM，∠ADM+∠DEF=90°，∵EG⊥AD，∴∠DEF+∠FEG=90°，∴∠ADM=∠FEG，∴tan∠ADM=AMAD =t2=FG1，∴FG=t2，∵CG=DE=t24+1，∴CF=t24−t2+1，∴S四边形CDEF =12(CF+DE)×1=14t2−14t+1．故答案为：14t2−14t+1．连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，设DE=x=EM，则EA=2−x，由勾股定理得出(2−x)2+t2=x2，证得∠ADM=∠FEG，由锐角三角函数的定义得出FG，求出CF，则由梯形的面积公式可得出答案．本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握折叠的性质及方程的思想是解题的关键．13.【答案】3(8−√3−π)【解析】解：如图，连接OM、ON，∵半圆分别与AB，AC相切于点M，N．∴OM⊥AB，ON⊥AC，∵∠BAC=120°，∴∠MON=60°，∴∠MOB+∠NOC=120°，∵MN⏜的长为π，∴60πr180=π，∴r=3，∴OM=ON=r=3，连接OA，在Rt△AON中，∠AON=30°，ON=3，∴AN=√3，∴AM=AN=√3，∴BM+CN=AB+AC−(AM+AN)=16−2√3，∴S阴影=S△OBM+S△OCN−(S扇形MOE+S扇形NOF)=12×3×(BM+CN)−(120π×32360)=32(16−2√3)−3π=24−3√3−3π=3(8−√3−π)．故答案为：3(8−√3−π)．连接OM、ON，根据半圆分别与AB，AC相切于点M，N.可得OM⊥AB，ON⊥AC，由∠BAC=120°，可得∠MON=60°，得∠MOB+∠NOC=120°，再根据MN⏜的长为π，可得OM=ON=r=3，连接OA，根据Rt△AON中，∠AON=30°，ON=3，可得AM=AN=√3，进而可求图中阴影部分的面积．本题考查了切线的性质、弧长的计算、扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握弧长和扇形面积的计算公式．14.【答案】4√33厘米或4√3厘米或8−4√3【解析】解：①当∠ABE=30°时，AE=AB×tan30°=4√33；②当∠AEB=30°时，AE=ABtan30∘=4√33=4√3；③∠ABE=15°时，∠ABA′=30°，延长BA′交AD于F，如下图所示，设AE=x，则EA′=x，EF=xsin60∘=2√3x3，∵AF=AE+EF=ABtan30°=4√33，∴x+2√3x3=4√33，∴x=8−4√3，∴AE=8−4√3．故答案为：4√33厘米或4√3厘米或8−4√3厘米．根据翻折可得∠ABE=∠A′BE，分3种情况讨论：当∠ABE=30°时或当∠AEB=30°时或当∠ABA′=30°时求AE的长．本题考查了翻折变换、矩形的性质，解决本题的关键是掌握矩形性质．15.【答案】30=120°，【解析】解：正六边形的每个内角的度数为：(6−2)⋅180°6所以∠ABC=120°−90°=30°，故答案为：30．由于六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，所以这个六边形是正六边形，先算出正六边形每个内角的度数，即可求出∠ABC的度数．本题考查了多边形内角和定理．解题的关键是会计算正六边形的每个内角的度数．16.【答案】①④【解析】解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．由对称性可知，OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，当OA=OC=OB=OD时，四边形ABCD是矩形．∵反比例函数的图象在一，三象限，∴直线AC与直线BD不可能垂直，∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，故选项①④正确，故答案为①④，如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD.证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．本题考查反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17.【答案】解：(1)∵长方形的长AD=4m，宽AB=3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．∴OH=AB=3，∴EO=EH−OH=4−3=1，∴E(0,1)，D(2,0)，∴该抛物线的函数表达式y=kx2+1，把点D(2,0)代入，得k=−14，∴该抛物线的函数表达式为：y=−14x2+1；(2)∵GM=2，∴OM=OG=1，∴当x=1时，y=34，∴N(1,34)，∴MN=34，∴S矩形MNFG =MN⋅GM=34×2=32，∴每个B型活动板房的成本是：425+32×50=500(元)．答：每个B型活动板房的成本是500元；(3)根据题意，得w=(n−500)[100+20(650−n)10]=−2(n−600)2+20000，∵每月最多能生产160个B型活动板房，∴100+20(650−n)10≤160，解得n≥620，∵−2<0，∴n≥620时，w随n的增大而减小，∴当n=620时，w有增大值为19200元．答：公司将销售单价n(元)定为620元时，每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大，最大利润是19200元．【解析】(1)根据图形和直角坐标系可得点D和点E的坐标，代入y=kx2+m，即可求解；(2)根据M和N的横坐标相等，求出N点坐标，再求出矩形FGMN的面积，即可求解；(3)根据题意得到w关于n的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．18.【答案】解：设乙商品的进价为x元/件，则甲商品的进价为(1+50%)x元/件，依题意，得：7200(1+50%)x −3200x=40，解得：x =40，经检验，x =40是原方程的解，且符合题意，∴(1+50%)x =60，3200x =80，7200(1+50%)x =120． 答：甲商品的进价为60元/件，乙商品的进价为40元/件，购进甲商品120件，购进乙商品80件．【解析】设乙商品的进价为x 元/件，则甲商品的进价为(1+50%)x 元/件，根据数量=总价÷单价结合购进的甲商品比乙商品多40件，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出x 的值，再将其分别代入(1+50%)x ，3200x ，7200(1+50%)x 中即可得出结论． 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．19.【答案】−1 5 −11【解析】解：(1){2x +y =7 ①x +2y =8 ②． 由①−②可得：x −y =−1，由13(①+②)可得：x +y =5．故答案为：−1；5．(2)设铅笔的单价为m 元，橡皮的单价为n 元，日记本的单价为p 元，依题意，得：{20m +3n +2p =32 ①39m +5n +3p =58 ②， 由2×①−②可得m +n +p =6，∴5m +5n +5p =5×6=30．答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．(3)依题意，得：{3a +5b +c =15 ①4a +7b +c =28 ②， 由3×①−2×②可得：a +b +c =−11，即1∗1=−11．故答案为：−11．(1)利用①−②可得出x −y 的值，利用13(①+②)可得出x +y 的值；(2)设铅笔的单价为m 元，橡皮的单价为n 元，日记本的单价为p 元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于m ，n ，p 的三元一次方程组，由2×①−②可得除m +n +p 的值，再乘5即可求出结论；(3)根据新运算的定义可得出关于a ，b ，c 的三元一次方程组，由3×①−2×②可得出a +b +c 的值，即1∗1的值．。

t a n70∘米si n70∘米2019年北大附中新高一分班考试数学试题-真题一、选择题（本大题共8小题，共24分）1.如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽(PT的长)可以表示为()A.200tan70°米B.200C.200sin70°米D.2002.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(−1,n)，其部分图象如图所示．以下结论错误的是()A.abc>0B.4ac−b2<0C.3a+c>0D.关于x的方程ax2+bx+c=n+1无实数根3.如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=12.将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD和边BC上．连接BG，交CD于点K，FG交CD于点H.给出以下结论：①EF⊥BG；②GE=GF；③△GDK△和GKH的面积相等；④当点F与点C重合时，∠DEF=75°，其中正确的结论共有()A.1个B.2个C.3个D.4个4.下列图中所有小正方形都是全等的．图(1)是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片，图(2)是一张由6个小正方形组成的3×2方格纸片．把“L”形纸片放置在图(2)中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图(3)中的4种不同放置方法．图(4)是一张由36个小正方形组成的6×6方格纸片，将“L”形纸片放置在图(4)中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n种不同放置方法，则n的值是()B. 若|x − 1| > |x − 1|，则y < yD. 若y = y ，则x = xA. 160B. 128C. 80D. 485.如图，将矩形 ABCD 折叠，使点 C 和点 A 重合，折痕为 EF ，EF 与 AC 交于点O.若AE = 5，BF = 3，则 AO的长为( )A. √5B. 3 √52C. 2√5D. 4√56.将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度ℎ(cm)与注水时间t (mi n )的函数图象大致为图中的()A.B.C. D.7.在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线y = x 2 − 2x − 3与 y 轴交于点 A ，与 x 轴正半轴交于点 B ，连接 AB ，将Rt △ OAB 向右上方平移，得到Rt △ O′A′B′，且点O′，A′落在抛物线的对称轴上，点B′落在抛物线上，则直线A′B′的表达式为()A. y = xB. y = x + 1C. y = x + 1D. y = x + 228.已知P 1(x 1, y 1)，P 2(x 2, y 2)是抛物线y = ax 2 − 2ax 上的点，下列命题正确的是()A. 若|x 1 − 1| > |x 2 − 1|，则y 1 > y 2 C. 若|x 1 − 1| = |x 2 − 1|，则y 1 = y 21 2 1 21 2 1 2⏜二、填空题（本大题共 8 小题，共 24 分）9.如图，在△ ABC 中，按以下步骤作图：①以点 B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 AB 、BC 于点 D 、E ．②分别以点 D 、E 为圆心，大于1 DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点 F ．2③作射线 BF 交 AC 于点 G ．如果AB = 8，BC = 12△，ABG 的面积为 18△，则 CBG 的面积为______．10. 如图，在▱ABCD 中，∠B = 60°，AB = 10，BC = 8，点 E 为边 AB 上的一个动点，连接 ED 并延长至点 F ，使得DF = 1 DE ，以 EC 、EF 为邻边构造▱EFGC ，连接 EG ，则 EG 的最小值为______．411. 抛物线y = ax 2 + bx + c(a,b ，c 为常数，a < 0)经过A(2,0)，B(−4,0)两点，下列四个结论：①一元二次方程ax 2 + bx + c = 0的根为x 1 = 2，x 2 = −4； ②若点C(−5, y 1)，D(π, y 2)在该抛物线上，则y 1 < y 2；③对于任意实数 t ，总有a t 2 + bt ≤ a − b ；④对于 a 的每一个确定值，若一元二次方程ax 2 + bx + c = p(p 为常数，p > 0)的根为整数，则 p 的值只有两个．其中正确的结论是______(填写序号)．12. 如图，折叠矩形纸片 ABCD ，使点 D 落在 AB 边的点 M 处，EF 为折痕，AB = 1，AD = 2.设 AM 的长为 t ，用含有 t 的式子表示四边形 CDEF 的面积是______．第 12 题图第 13 题图13. 如图，在△ ABC 中，O 为 BC 边上的一点，以 O 为圆心的半圆分别与 AB ，AC 相切于点 M ，N.已知∠BAC =120°，AB + AC = 16，MN 的长为π，则图中阴影部分的面积为______．14.矩形纸片ABCD，长AD=8cm，宽AB=4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点A′处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA′，EA′，不再添加其它线段．当图中存在30°角时，AE的长为______厘米．第14题图第15题图15.如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC=______度．16.设A，B，C，D是反比例函数y=k图象上的任意四点，现有以下结论：x①四边形ABCD可以是平行四边形；②四边形ABCD可以是菱形；③四边形ABCD不可能是矩形；④四边形ABCD不可能是正方形．其中正确的是______.(写出所有正确结论的序号)三、计算题（本大题共1小题，共6分）17.某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD=4m，宽AB=3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．(1)按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y=kx2+m(k≠0)表示．求该抛物线的函数表达式；(2)现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2.已知GM=2m，求每个B型活动板房的成本是多少？(每个B型活动板房的成本=每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本)(3)根据市场调查，以单价650元销售(2)中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n(元)定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大？最大利润是多少？(1)已知二元一次方程组{四、解答题（本大题共 12 小题，共 46 分）18. 如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．进货单商品甲乙进价(元/件) 数量(件) 总金额(元)72003200商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%．王师傅：甲商品比乙商品的数量多 40 件．请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．19. 阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数 x 、y 满足3x − y = 5①，2x + 3y = 7②，求x − 4y 和7x + 5y 的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得 x 、y 的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由① − ②可得x − 4y = −2，由① + ② × 2可得7x + 5y = 19.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．解决问题：2x + y = 7,x + 2y = 8,则x − y =______，x + y =______；(2)某班级组织活动购买小奖品，买 20 支铅笔、3 块橡皮、2 本日记本共需 32 元，买 39 支铅笔、5 块橡皮、3本日记本共需 58 元，则购买 5 支铅笔、5 块橡皮、5 本日记本共需多少元？(3)对于实数 x 、y ，定义新运算：x ∗ y = ax + by + c ，其中 a 、b 、c 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3 ∗ 5 = 15，4 ∗ 7 = 28，那么1 ∗ 1 =______．20.如图，已知点A(1,2)、B(5,n)(n>0)，点P为线段AB上的一个动点，反比例函数y=k(x>0)的图象经过点x P.小明说：“点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．”(1)当n=1时．①求线段AB所在直线的函数表达式．②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值．(2)若小明的说法完全正确，求n的取值范围．21.背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放(点E、A、D在同一条直线上)，发现BE=DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：(1)将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转(如图1)，还能得到BE=DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；(2)把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转(如图2)，试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由；(3)把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且AE=AB=2，AE=4，AB=8，将矩形AEFGAG AD3绕点A按顺时针方向旋转(如图3)，连接DE，BG.小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值．22.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，AE与过点D的切线互相垂直，垂足为E．(1)求证：AD平分∠BAE；(2)若CD=DE，求sin∠BAC的值．23.某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y(万元)与产品数量x(件)之间具有函数关系y=ax2+bx+c.当x=10时，y=400；当x=20时，y=1000.B城生产产品的每件成本为70万元．(1)求a，b的值；(2)当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？(3)从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在(2)的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值(用含有m的式子表示)．24.实际问题：某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？问题建模：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a(1<a<n)个整数，这a个整数之和共有多少种不同的结果？模型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．探究一：(1)从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表①所取的2个整数2个整数之和1，231，342，35如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．(2)从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表②所取的2个整数2个整数之和1，231，341，452，352，463，47如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．(3)从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．(4)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．探究二：(1)从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．(2)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥4)这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．探究三：果．归纳结论：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a(1<a<n)个整数，这a个整数之和共有______种不同的结果．问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽取5张奖券，共有______种不同的优惠金额．拓展延伸：(1)从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？(写出解答过程)(2)从3，4，5，…，n+3(n为整数，且n≥2)这(n+1)个整数中任取a(1<a<n+1)个整数，这a个整数之和共有______种不同的结果．25.在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．特例感知：(1)将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B.通过观察、测量BF与CG的长度，得到BF=CG.请给予证明．猜想论证：(2)当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC于点D，过点D作DE⊥BA垂足为E.此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想．联系拓展：(3)当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置(点F在线段AC上，且点F与点C不重合)时，请你判断(2)中的猜想是否仍然成立？(不用证明)26. 已知抛物线y = ax 2 + bx + c(a,b ，c 是常数，a ≠ 0)的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表：x …−2−1 01 2… y… m−3n−3…(1)根据以上信息，可知抛物线开口向______，对称轴为______；(2)求抛物线的表达式及 m ，n 的值；(3)请在图 1 中画出所求的抛物线．设点 P 为抛物线上的动点，OP 的中点为P′，描出相应的点P′，再把相应的点P′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？(4)设直线y = m(m > −2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A 1，A 2，A 3，A 4，请根据图象直接写出线段A 1A 2，A 3A 4之间的数量关系______．27. 某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图 1 中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S 1，S 2，S 3之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究(1)如图 2，在Rt △ ABC 中，BC 为斜边，分别以 AB ，AC ，BC 为斜边向外侧作Rt △ ABD ，Rt △ ACE ，Rt △BCF ，若∠1 = ∠2 = ∠3，则面积S 1，S 2，S 3之间的关系式为______；推广验证(2)如图 3，在Rt △ ABC 中，BC 为斜边，分别以 AB ，AC ，BC 为边向外侧作任意△ ABD △， ACE △， BCF ，满足∠1 = ∠2 = ∠3，∠D = ∠E = ∠F ，则(1)中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用(3)如图 4，在五边形 ABCDE 中，∠A = ∠E = ∠C = 105°，∠ABC = 90°，AB = 2√3，DE = 2，点 P 在 AE上，∠ABP = 30°，PE = √2，求五边形 ABCDE 的面积．28. 已知直线l 1：y = −2x + 10交 y 轴于点 A ，交 x 轴于点 B ，二次函数的图象过 A ，B 两点，交 x 轴于另一点 C ，BC = 4，且对于该二次函数图象上的任意两点P 1(x 1, y 1 )，P 2(x 2, y 2 )，当x 1 > x 2 ≥ 5时，总有y 1 > y 2．(1)求二次函数的表达式；(2)若直线l 2：y = mx + n(n ≠ 10)，求证：当m = −2时，l 2//l 1；(3)E 为线段 BC 上不与端点重合的点，直线l 3：y = −2x + q 过点 C 且交直线 AE 于点 F △，求ABE △与 CEF 面积之和的最小值．t a n70∘=t a n70∘，即河宽t a n70∘米，2a =−1，答案和解析1.【答案】B【解析】解：在Rt△PQT中，∵∠QPT=90°，∠PQT=90°−70°=20°，∴∠PTQ=70°，∴tan70°=PQ，PT∴PT=PQ200200故选：B．在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．此题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键．2.【答案】C【解析】解：A.∵抛物线开口向下，∴a<0，∵对称轴为直线x=−b∴b=2a<0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0，∴abc>0，故A正确；B.∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，即4ac−b2<0，故B正确；C.∵抛物线的对称轴为直线x=−1，抛物线与x轴的一个交点在(−3,0)和(−2,0)之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在(0,0)和(1,0)之间，∴x=1时，y<0，即a+b+c<0，∴3a+c<0，故C错误；D.∵抛物线开口向下，顶点为(−1,n)，∴函数有最大值n，∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点，∴一元二次方程ax2+bx+c=n+1无实数根，故D正确．故选：C．根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对B 进行判断；x=1时，y<0，可对C进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点，可对D进行判断．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．3.【答案】C【解析】解：如图，连接BE，设EF与BG交于点O，∵将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，∴EF垂直平分BG，∴EF⊥BG，BO=GO，BE=EG，BF=FG，故①正确，∵AD//BC，∴∠EGO=∠FBO，又∵∠EOG=∠BOF，∴△BOF≌△GOE(ASA)，∴BF=EG，∴BF=EG=GF，故②正确，∵BE=EG=BF=FG，12=1，∴∠BEF=∠GEF，当点F与点C重合时，则BF=BC=BE=12，∵sin∠AEB=AB=BE 62∴∠AEB=30°，∴∠DEF=75°，故④正确，由题意无法证明△GDK△和GKH的面积相等，故③错误；故选：C．连接BE，设EF与BG交于点O，由折叠的性质可得EF垂直平分BG，可判断①；由“ASA”可证△BOF≌△GOE，可得BF=EG=GF，可判断②；通过证明四边形BEGF是菱形，可得∠BEF=∠GEF，由锐角三角函数可求∠AEB=30°，可得∠DEF=75°，可判断④，由题意无法证明△GDK△和GKH的面积相等，即可求解．本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．4.【答案】A【解析】解：观察图象可知(4)中共有4×5×2=40个3×2的长方形，由(3)可知，每个3×2的长方形有4种不同放置方法，则n的值是40×4=160．故选：A．对于图形的变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．此题考查了规律型：图形的变化类，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：∵矩形ABCD，∴AD//BC，AD=BC，AB=CD，∴∠EFC=∠AEF，∴AE=AF=3，由折叠得，FC=AF，OA=OC，∴BC=3+5=8，在Rt△ABF中，AB=√52−32=4，2×1 = 1， 解得{ ∴ OA = OC = 2√5，故选：C ．由矩形的性质，折叠轴对称的性质，可求出AF = FC = AE = 5，由勾股定理求出 AB ，AC ，进而求出 OA 即可．本题考查矩形的性质、折叠轴对称的性质，勾股定理等知识，根据图形直观，求出线段的长是得出答案的前提．6.【答案】B【解析】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于 0，则可以判断 A 、D 一定错误，用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间 h 不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，h 随 t 的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度 h 不再变化．故选：B ．根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可求出小水杯内水面的高度ℎ(cm)与注水时间t (mi n )的函数图象．本题考查了函数的图象．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．7.【答案】B【解析】解：如图，∵抛物线y = x 2 − 2x − 3与 y 轴交于点 A ，与 x 轴正半轴交于点 B ，令y = 0，解得x = −1或 3，令x = 0，求得y = −3，∴ A(3,0)，B(0, −3)，∵抛物线y = x 2 − 2x − 3的对称轴为直线x = −∴ A′的横坐标为 1，设A ′(1, n)，则B′(4, n + 3)，∵点B′落在抛物线上，∴ n + 3 = 16 − 8 − 3，解得n = 2，∴ A′(1,2)，B′(4,5)，设直线A′B′的表达式为y = kx + b ，∴{ k + b = 2 ， 4k + b = 5k = 1−2故选：B．求得A、B的坐标以及抛物线的对称轴，根据题意设出A′(1,n)，则B′(4,n+3)，把B′(4,n+3)代入抛物线解析式求得n，即可求得A′、B′的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线A′B′的表达式．本题考查了抛物线与x轴的交点，坐标和图形变换−平移，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，根据题意表示出A′、B′的坐标是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵抛物线y=ax2−2ax=a(x−1)2−a，∴该抛物线的对称轴是直线x=1，当a>0时，若|x1−1|>|x2−1|，则y1>y2，故选项B错误；当a<0时，若|x1−1|>|x2−1|，则y1<y2，故选项A错误；若|x1−1|=|x2−1|，则y1=y2，故选项C正确；若y1=y2，则|x1−1|=|x2−1|，故选项D错误；故选：C．根据题目中的抛物线和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．本题考查二次函数的性质，命题与定理，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．9.【答案】27【解析】解：如图，过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥AC于点N，根据作图过程可知：BG是∠ABC的平分线，∴GM=GN，∵△ABG的面积为18，∴1×AB×GM=18，2∴4GM=18，∴△CBG的面积为：1×BC×GN=1×12×9=27．222故答案为：27．过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥AC于点N，根据作图过程可得AG是∠ABC的平分线，根据角平分线的性质可得GM=GN，再根据△ABG的面积为18，求出GM的长，进而可得△CBG的面积．本题考查了作图−基本作图、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质．10.【答案】9√3【解析】解：作CH⊥AB于点H，∵在ABCD中，∠B=60°，BC=8，∴CH=4√3，∵四边形ECGF是平行四边形，∴EF//CG，∴△EOD∽△GOC，∴EO=DO=ED，GO OC GC∵DF=1DE，4∴DE=4，EF5∴ED=4，GC5∴EO=4，GO5∴当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，当EO⊥CD时，EO取得最小值，∴CH=EO，∴EO=4√3，∴GO=5√3，∴EG的最小值是9√3，故答案为：9√3．根据题意和平行四边形的性质，可以得到BD和EF的比值，再根据三角形相似和最短距离，即可得到EG的最小值，本题得以解决．本题考查平行四边形的性质、三角形的相似、垂线段最短，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11.【答案】①③【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c为常数，a<0)经过A(2,0)，B(−4,0)两点，∴当y=0时，0=ax2+bx+c的两个根为x1=2，x2=−4，故①正确；该抛物线的对称轴为直线x=2+(−4)=−1，函数图象开口向下，若点C(−5,y1)，D(π,y2)在该抛物线上，则y1>y2，故②错误；当x=−1时，函数取得最大值y=a−b+c，故对于任意实数t，总有a t2+b t+c≤a−b+c，即对于任意实数t，总有at2+b t≤a−b，故③正确；对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数，p>0)的根为整数，则两个根为−3和1或−2和0或−1和−1，故p的值有三个，故④错误；故答案为：①③．根据题目中的抛物线和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．12.【答案】1t2−1t+144【解析】解：连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，设DE=x=EM，则EA=2−x，∵AE2+AM2=EM2，∴(2−x)2+t2=x2，解得x=t 2+1，4∴DE=t2+1，4∵折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，∴EF⊥DM，∠ADM+∠DEF=90°，∵EG⊥AD，∴∠DEF+∠FEG=90°，∴∠ADM=∠FEG，211⏜∴FG=t，2∵CG=DE=t2+1，4∴CF=t2−t+1，42∴S四边形CDEF=1(CF+DE)×1=4t2−4t+1．故答案为：1t2−1t+1．44连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，设DE=x=EM，则EA=2−x，由勾股定理得出(2−x)2+t2=x2，证得∠ADM=∠FEG，由锐角三角函数的定义得出FG，求出CF，则由梯形的面积公式可得出答案．本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握折叠的性质及方程的思想是解题的关键．13.【答案】3(8−√3−π)【解析】解：如图，连接OM、ON，∵半圆分别与AB，AC相切于点M，N．∴OM⊥AB，ON⊥AC，∵∠BAC=120°，∴∠MON=60°，∴∠MOB+∠NOC=120°，∵MN的长为π，∴60πr=π，180∴r=3，∴OM=ON=r=3，连接OA，在Rt△AON中，∠AON=30°，ON=3，∴AN=√3，∴AM=AN=√3，∴BM+CN=AB+AC−(AM+AN)=16−2√3，⏜②当∠AEB=30°时，AE=t a n30∘=si n60∘=2√3x，1120π×32=×3×(BM+CN)−()23603=(16−2√3)−3π2=24−3√3−3π=3(8−√3−π)．故答案为：3(8−√3−π)．连接OM、ON，根据半圆分别与AB，AC相切于点M，N.可得OM⊥AB，ON⊥AC，由∠BAC=120°，可得∠MON=60°，得∠MOB+∠NOC=120°，再根据MN的长为π，可得OM=ON=r=3，连接OA，根据Rt△AON中，∠AON=30°，ON=3，可得AM=AN=√3，进而可求图中阴影部分的面积．本题考查了切线的性质、弧长的计算、扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握弧长和扇形面积的计算公式．14.【答案】4√3厘米或4√3厘米或8−4√33【解析】解：①当∠ABE=30°时，AE=AB×tan30°=4√3；3AB4√3=4√3；3③∠ABE=15°时，∠ABA′=30°，延长BA′交AD于F，如下图所示，设AE=x，则EA′=x，EF=x3∵AF=AE+EF=ABtan30°=4√3，3∴x+2√3x=4√3，33∴x=8−4√3，∴AE=8−4√3．故答案为：4√3厘米或4√3厘米或8−4√3厘米．3根据翻折可得∠ABE=∠A′BE，分3种情况讨论：当∠ABE=30°时或当∠AEB=30°时或当∠ABA′=30°时求AE的长．本题考查了翻折变换、矩形的性质，解决本题的关键是掌握矩形性质．15.【答案】30【解析】解：正六边形的每个内角的度数为：(62)⋅180°=120°，6所以∠ABC=120°90°=30°，故答案为：30．由于六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，所以这个六边形是正六边形，先算出正六边形每个内角的度数，即可求出∠ABC的度数．本题考查了多边形内角和定理．解题的关键是会计算正六边形的每个内角的度数．16.【答案】①④【解析】解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．由对称性可知，OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，当OA=OC=OB=OD时，四边形ABCD是矩形．∵反比例函数的图象在一，三象限，∴直线AC与直线BD不可能垂直，∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，故选项①④正确，故答案为①④，如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD.证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．本题考查反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17.【答案】解：(1)∵长方形的长AD=4m，宽AB=3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．∴OH=AB=3，∴EO=EH OH=43=1，∴E(0,1)，D(2,0)，32依题意，得：∴该抛物线的函数表达式y = kx 2 + 1，把点D(2,0)代入，得k = − 1，4∴该抛物线的函数表达式为：y = − 1 x 2 + 1；4(2) ∵ GM = 2，∴ OM = OG = 1，∴当x = 1时，y = 3，4∴ N(1, 3)，4∴ MN = 3，4矩形MNFG = MN ⋅ GM = 4 × 2 = 3，∴ S∴每个 B 型活动板房的成本是：425 + 3 × 50 = 500(元)．2答：每个 B 型活动板房的成本是 500 元；(3)根据题意，得w = (n − 500)[100 +20(650 − n)10]= −2(n − 600)2 + 20000，∵每月最多能生产 160 个 B 型活动板房，∴ 100 + 20(650−n) ≤ 160，10解得n ≥ 620，∵ −2 < 0，∴ n ≥ 620时，w 随 n 的增大而减小，∴当n = 620时，w 有增大值为 19200 元．答：公司将销售单价n(元)定为 620 元时，每月销售 B 型活动板房所获利润w(元)最大，最大利润是 19200 元．【解析】(1)根据图形和直角坐标系可得点 D 和点 E 的坐标，代入y = kx 2 + m ，即可求解；(2)根据 M 和 N 的横坐标相等，求出 N 点坐标，再求出矩形 FGMN 的面积，即可求解；(3)根据题意得到 w 关于 n 的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．18.【答案】解：设乙商品的进价为 x 元/件，则甲商品的进价为(1 + 50%)x 元/件，7200(1+50%)x− 3200 = 40，x第23页，共36页∴(1+50%)x=60，3200=80，(1+50%)x=120．x ，(1+50%)x中即可得出结论．解得：x=40，经检验，x=40是原方程的解，且符合题意，7200x答：甲商品的进价为60元/件，乙商品的进价为40元/件，购进甲商品120件，购进乙商品80件．【解析】设乙商品的进价为x元/件，则甲商品的进价为(1+50%)x元/件，根据数量=总价÷单价结合购进的甲商品比乙商品多40件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再将其分别代入(1+50%)x，32007200本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．19.【答案】−15−112x+y=7 ①【解析】解：(1){．x+2y=8 ②由①−②可得：x−y=−1，由1(①+②)可得：x+y=5．3故答案为：−1；5．(2)设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，依题意，得：{20m+3n+2p=32 ①，39m+5n+3p=58 ②由2×①−②可得m+n+p=6，∴5m+5n+5p=5×6=30．答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．(3)依题意，得：{3a+5b+c=15 ①，4a+7b+c=28 ②由3×①−2×②可得：a+b+c=−11，即1∗1=−11．故答案为：−11．(1)利用①−②可得出x−y的值，利用1(①+②)可得出x+y的值；3(2)设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于m，n，p的三元一次方程组，由2×①−②可得除m+n+p的值，再乘5即可求出结论；(3)根据新运算的定义可得出关于a，b，c的三元一次方程组，由3×①−2×②可得出a+b+c的值，即1∗1的值．。

2019-2020学年北京四中高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．设集合A ={4,5,7,9},B ={3,4,7,8,9}，全集U =A ∪B ，则集合C U (A ∩B)中的元素共有A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．函数()f x =的定义域是（ ）． A ．(),2-∞ B ．[)2,+∞ C ．(],2-∞ D ．()2,+∞3．设集合A={（x ，y ）|4x+y=6}，B={（x ，y ）|3x+2y=7}，则满足C ⊆A ∩B 的集合C 的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．下列函数中，在（-∞，0）上为减函数的是（ ）A ．y =−x 2+2B ．y =4x −1C ．y =x 2+4xD ．y =1x5．已知函数f(x)=(23)x ，则函数y=f （x+1）的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．6．如果二次函数y=x2-（k+1）x+k+4有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(−∞,−3)∪(5,+∞)B ．(−∞,−5)∪(3,+∞)C ．(−3,5)D ．(−5,3)7．下列大小关系正确的是（ ）A ．0.43<30.4<log 40.3B ．0.43<log 40.3<30.4C ．log 40.3<0.43<30.4D ．log 40.3<30.4<0.438．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，32()2f x x x =-，则当0x <时，()f x =（ ）A ．322x x +B ．322x x -C ．322x x -+D ．322x x --二、填空题9．计算：e ln1＝________.10．已知集合A ={x|x >1}，B ={x|x >a}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是______.11．函数f(x)=log a (a −a x ) (0<a <1)的定义域为__________.12．已知f(x)＝{x 2−1, x ≤1−x +1, x >1，则f[f(−1)]＝_________；若f(x)=−1，则x =________．13．已知函数f(x)=ax 2−2x −2在区间[1,+∞)上不单调，则实数a 的取值范围是________.14．如图放置的边长为2的正三角形ABC 沿x 轴滚动，记滚动过程中顶点A 的横、纵坐标分别为x 和y ，且y 是x 在映射f 作用下的象，则下列说法中：① 映射f 的值域是[0,√3]；② 映射f 不是一个函数；③ 映射f 是函数，且是偶函数；④ 映射f 是函数，且单增区间为[6k,6k +3](k ∈Z)，其中正确说法的序号是___________.说明：“正三角形ABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动．沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点B 为中心顺时针旋转，当顶点C 落在x 轴上时，再以顶点C为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正三角形ABC可以沿x轴负方向滚动．15．已知函数f(x)=x 12−log12x，若0＜a＜b＜c，且满足f(a)f(b)f(c)<0(0<a<b<c)，则下列说法一定正确的是______.①f(x)有且只一个零点②f(x)的零点在(0,1)内③f(x)的零点在(a,b)内④f(x)的零点在(c,+∞)内16．关于函数f(x)=√x2−x4|x−1|−1的性质描述，正确的是___①f(x)的定义域为[−1,0)∪(0,1]②f(x)的值域为(−1,1)③f(x)在定义域上是增函数④f(x)的图象关于原点对称17．在同一直角坐标系下，函数y= a x与y= log a x(a>0,a≠1)的大致图象如图所示，则实数a的可能值为______①. 32②. 43③. 75④. 10718．已知函数f(x)={x3+a,x>0x+1, x≤0在R上是增函数，则实数a的取值范围是________．19．非空有限数集S满足：若a,b∈S，则必有ab∈S．请写出一个满足条件的二元数集S＝________．20．已知直线y=ax上恰好存在一个点关于直线y=x的对称点在函数y=lnx 的图象上．请写出一个符合条件的实数a的值：________．三、解答题21．已知集合A={x|x2−x<0}，B={x|x2−2x−m<0}.（1）求∁R A；（2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．22．已知函数f(x)=a−2是定义在R上的奇函数．1+2x（1）求f(x)的解析式及值域；（2）判断f(x)在R上的单调性，并用单调性定义予以证明．23．某公司共有60位员工，为提高员工的业务技术水平，公司拟聘请专业培训机构进行培训．培训的总费用由两部分组成：一部分是给每位参加员工支付400元的培训材料费；另一部分是给培训机构缴纳的培训费．若参加培训的员工人数不超过30人，则每人收取培训费1000元；若参加培训的员工人数超过30人，则每超过1人，人均培训费减少20元．设公司参加培训的员工人数为x人，此次培训的总费用为y元．（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）请你预算：公司此次培训的总费用最多需要多少元？24．若函数f(x)的图象恒过(0,0)和(1,1)两点，则称函数f(x)为“0-1函数”. （1）判断下面两个函数是否是“0-1函数”，并简要说明理由：①y=x−1；②y=−x2+2x.（2）若函数f(x)=a x+b是“0-1函数”，求f(x)；（3）设g(x)=log a x(a>0,a≠1)，定义在R上的函数ℎ(x)满足：①对∀x1,x2∈R，均有ℎ(x1x2+1)=ℎ(x1)⋅ℎ(x2)−ℎ(x2)−x1+2；②g[ℎ(x)]是“0-1函数”，求函数ℎ(x)的解析式及实数a的值．2018-2019学年北京市人大附中高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9}，全集U=A∪B，则集合C U(A∩B)中的元素共有A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】A【解析】试题分析：U =A ∪B ={3,4,5,7,8,9},A ∩B ={4,7,9},所以C U (A ∩B)={3,5,8}，即集合C U (A ∩B)中共有3个元素，故选A ．【考点】集合的运算．2．函数()f x =的定义域是（ ）． A ．(),2-∞ B ．[)2,+∞ C ．(],2-∞ D ．()2,+∞【答案】D【解析】要使函数有意义，则需20x ->，解得： 2x >，所以函数的定义域是：()2,+∞，故选D ．3．设集合A={（x ，y ）|4x+y=6}，B={（x ，y ）|3x+2y=7}，则满足C ⊆A ∩B 的集合C 的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】先求出A ∩B ，然后根据A ∩B 中元素的个数确定C 的个数．【详解】A ∩B ={(x ，y)|{4x +y =63x +2y =7 }={（1，2）}， ∴C 是∅或{（1，2）}，共有2个．故选：C ．【点睛】本题考查子集的性质和应用，属于基础题．4．下列函数中，在（-∞，0）上为减函数的是（ ）A ．y =−x 2+2B ．y =4x −1C ．y =x 2+4xD ．y =1x【答案】D【解析】根据二次函数，一次函数，反比例函数的单调性，逐一判断四个答案中的函数在区间（﹣∞，0）上的单调性，比照后，即可得到答案．【详解】 A 中，函数y ＝﹣x 2+2在（﹣∞，0）上为增函数；B 中，函数y ＝4x ﹣1在（﹣∞，0）上为增函数；C 中，函数y ＝x 2+4x 在（﹣∞，﹣2）上为减函数，在（﹣2，0）上为增函数；D 中，函数y =1x 在（﹣∞，0）上为减函数故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，熟练掌握各种基本初等函数的单调性，是解答本题的关键．5．已知函数f(x)=(23)x ，则函数y=f （x+1）的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】根据题意，先求f （x +1）的表达式，可得f(x +1)=(23)x+1=23⋅(23)x ，进而分析可得f （x ）单调递减，且其图象与y 轴交点在（0，1）之下，比较选项可得答案．【详解】根据题意，可得f(x +1)=(23)x+1=23⋅(23)x ，f （x ）单调递减； 同时有f(0)=23＜1，23＜1，即函数图象与y 轴交点在（0，1）之下； A 、D 选项的图象为增函数，不符合；C 选项的图象与y 轴交点在（0，1）之上，不符合；只有B 的图象符合两点，故选：B ．【点睛】本题考查指数函数的性质和函数图象的变化，掌握指数函数的性质是解题的关键．6．如果二次函数y=x2-（k+1）x+k+4有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(−∞,−3)∪(5,+∞)B ．(−∞,−5)∪(3,+∞)C ．(−3,5)D ．(−5,3)【答案】A【解析】二次函数y ＝x 2﹣（k +1）x +k +4有两个不同的零点可得，x 2﹣（k +1）x +k +4＝0有两个不同的实根，则△＞0，解不等式可求.【详解】∵二次函数y ＝x 2﹣（k +1）x +k +4有两个不同的零点∴x 2﹣（k +1）x +k +4＝0有两个不同的实根∴△＝（k +1）2﹣4（k +4）＝k 2﹣2k ﹣15＝（k +3）（k ﹣5）＞0∴k ＜﹣3或k ＞5故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次函数的零点与二次方程的根的存在情况的判断，属于基础题.7．下列大小关系正确的是（ ）A ．0.43<30.4<log 40.3B ．0.43<log 40.3<30.4C ．log 40.3<0.43<30.4D ．log 40.3<30.4<0.43【答案】C【解析】试题分析：根据指数的性质可知：0<0.43<0.4<12，30.4>1，根据对数的性质12<log 43<1,所以0.43<12<log 43<1<30.4，故选择D.【考点】1.指数对数的比较大小；2.指数、对数的运算性质.8．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，32()2f x x x =-，则当0x <时，()f x =（ ）A ．322x x +B ．322x x -C ．322x x -+D ．322x x --【答案】A【解析】试题分析：设0x <，则0x ->，因为函数()f x 是R 上的奇函数，所以()()3232f x f x x x x x=--=----=+，故选A．[()2()]2【考点】函数的奇偶性的应用．二、填空题9．计算：e ln1＝________.【答案】1【解析】利用对数的运算规则a log a N=N可得计算结果.【详解】因为e ln1=e log e1=1，故填1.【点睛】对数有如下的运算规则：（1）log a M+log a N=log a(MN)(a>0,a≠1,M>0,N>0)，(a>0,a≠1,M>0,N>0)；log a M−log a N=log a MN（2）a log a N=N(a>0,a≠1,N>0)；log a b(a>0,a≠1,b>0,p≠0)；（3）log a p b q=qp(a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1) .（4）log a b=log c blog c a10．已知集合A={x|x>1}，B={x|x>a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是______.【答案】(−∞,1]【解析】在数轴上画出两个集合对应的范围，利用A⊆B可得实数a的取值范围. 【详解】如图，在数轴表示A,B，因为A⊆B，故a≤1，填(−∞,1].【点睛】含参数的集合之间的包含关系，应借助于数轴、韦恩图等几何工具直观地讨论参数的取值范围，解决此类问题时，还应注意区间端点处的值是否可取. 11．函数f(x)=log a(a−a x)(0<a<1)的定义域为__________.【答案】(1,+∞)【解析】解不等式a−a x>0可得函数的定义域.【详解】由题设有a−a x>0即a>a x，因0<a<1，故x>1，故函数的定义域为(1,+∞)，填(1,+∞).【点睛】函数的定义域一般从以下几个方面考虑：（1）分式的分母不为零；（2）偶次根号√an（n∈N∗,n≥2，n为偶数）中，a≥0；（3）零的零次方没有意义；（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为1.12．已知f(x)＝{x2−1, x≤1−x+1, x>1，则f[f(−1)]＝_________；若f(x)=−1，则x=________．【答案】－1 0或2【解析】根据自变量的范围选择合适的解析式计算函数值即可，分段讨论可得何时f(x)=−1.【详解】f(−1)=(−1)2−1=0，故f[f(−1)]=f(0)=−1，因为f(x)=−1，故{x≤1x2−1=−1或者{x>1−x+1=−1，解得x=0或x=2 . 综上，填−1，0或2.【点睛】分段函数的求值问题，应该自变量的范围选择适当的解析式去求函数值，如果知道分段函数的函数值，则应分类讨论求出不同范围上的自变量的值，也可以先刻画出分段函数的函数图像，结合图像求函数值或相应的自变量的值.13．已知函数f(x)=ax2−2x−2在区间[1,+∞)上不单调，则实数a的取值范围是________.【答案】(0,1)【解析】∈[1,+∞)，从而得到实数a的取值范根据函数在[1,+∞)不单调可得a≠0且1a围.【详解】若a=0，则f(x)=−2x−2，f(x)在[1,+∞)为减函数，不符题意，舎；，因为f(x)在[1,+∞)不单调，若a≠0，则f(x)为二次函数，对称轴为x=1a>1，所以0<a<1，填(0,1).故1a【点睛】含参数的多项式函数，我们要首先确定最高次项的系数是否为零，因为它确定了函数种类（一次函数、二次函数、三次函数等）.其中，一次函数y=kx+b 的单调性取决于k的正负，二次函数的单调性取决对称轴的位置及开口方向. 14．如图放置的边长为2的正三角形ABC沿x轴滚动，记滚动过程中顶点A 的横、纵坐标分别为x和y，且y是x在映射f作用下的象，则下列说法中：①映射f的值域是[0,√3]；②映射f不是一个函数；③映射f是函数，且是偶函数；④映射f是函数，且单增区间为[6k,6k+3](k∈Z)，其中正确说法的序号是___________.“正三角形ABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿说明：x轴正方向滚动指的是先以顶点B为中心顺时针旋转，当顶点C落在x轴上时，再以顶点C为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正三角形ABC可以沿x轴负方向滚动．【答案】③。

北京四中高中一年级期中考试数学试卷卷（I）一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题6分，共48分）1.的值为（）A. B. C. 1 D.【答案】D【解析】【分析】根据对数的运算法则及性质即可求解.【详解】因为，故选D.【点睛】本题主要考查了对数的性质和运算法则，属于容易题.2.集合，则下列关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据元素与集合的关系即可判断.【详解】因为，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，属于容易题.3.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】函数要有意义，则需解析式有意义，分式的分母不为0即可.【详解】要是函数有意义，则需，解得，所以函数的定义域为，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的定义域，属于中档题.4.若，则（）A. 1B.C. 0D.【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式，只需把代入即可求出函数值.【详解】因为，所以当时，，故选A.【点睛】本题主要考查了根据函数解析式求函数值，属于中档题.5.下列函数中，在区间上为增函数的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性，逐项分析即可.【详解】A选项中是一次函数，，所以在R上是减函数，错误；B选项是幂函数，幂指数，在区间上为增函数，故正确；C选项是二次函数，对称轴为，在区间上无单调性，错误；D选项是指数函数，，在R上是减函数，错误.故选B.【点睛】本题主要考查了函数的单调性，属于中档题.6.下列函数中，值域是的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数性质，逐项分析各选项即可.【详解】A中的值域为R,错误，B中的值域为，正确；C中，值域为，错误；D中的值域为R,错误.故选B.【点睛】本题主要考查了基本初等函数的值域，属于中档题.7.函数的零点所在的一个区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意可知函数是R上的减函数，只需根据即可判断零点所在区间. 【详解】因为是R上的减函数，所以是R上的减函数，又，可知零点在区间上，故选C.【点睛】本题主要考查了函数零点的存在性，函数的单调性，属于中档题.8.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据指数及对数的性质可分析出范围，从而得到结果.【详解】因为，所以，因为，所以，所以选B.【点睛】本题主要考查了指数的性质，对数的性质，属于容易题.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9.计算:________；________.【答案】(1). 1(2). 4【解析】【分析】分别根据对数的运算法则及指数的运算法则计算即可求解.【详解】;故填(1). 1 (2). 4【点睛】本题主要考查了对数及指数运算法则，属于中档题.10.若函数的定义域为，则函数的定义域为________.【答案】【解析】【分析】根据的定义域为知，要有意义则需，即可求出的定义域.【详解】因为的定义域为，则要有意义则需，解得，所以的定义域为.故填.【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域，属于中档题.11.函数，则其图象的对称轴方程为________；的增区间是________.【答案】(1). 2(2).【解析】【分析】根据二次函数的性质知，对称轴方程为，当时，增区间为,据此可写出答案.【详解】因为函数，所以对称轴方程为，的增区间是.故填：(1). 2(2).【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴和单调区间，属于容易题.12.已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】函数有3个零点，即方程有3个根，因此在同一坐标系内做出的图象与直线，观察它们公共点的个数即可得到答案.【详解】因为有3个零点，所以的图象与直线有3个公共点在同一坐标系内作出它们的图象，如下：根据图象可知，当时，有三个交点.故则实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了分段函数，函数的零点，函数零点与方程的根，数形结合思想，属于中档题.三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）13.设集合.（I）用列举法写出集合；（II）求和.【答案】（I）；（II）,.【解析】【分析】（I）根据集合的描述法写出集合中的元素即可列举法表示（II）根据交集和并集的运算即可求解.【详解】（I）因为x，所以,所以.（II）因为，所以,.【点睛】本题主要考查了集合的描述法，列举法，交集，并集，属于中档题.14.已知函数.（I）当时，判断的奇偶性，并证明你的结论；（II）当时，求的值域.【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】【分析】（I）当时,,,为偶函数，可根据定义证明（II）当时，，配方可写出值域.【详解】（I）当时,,,为偶函数,证明：由知，,,.即函数为偶函数.（II）当时，即函数的值域为.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，二次函数的值域，属于中档题.15.设函数.（I）利用单调性定义证明：在区间上是单调递减函数；（II）当时，求在区间上的最大值.【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】【分析】（I）根据函数单调性的定义证明即可（II）先证明函数在区间[2，+∞）上是单调递增函数，再结合（I）的结论且，对分类讨论写出函数最大值.【详解】（I）任取，∈（0，2]，设<，则∵，∴∵，∴∴所以，故在区间（0，2]上是单调递减函数.（II）由（I）可知，在区间（0，2]上是单调递减函数；当，设<，易知总有<，所以在区间[2，+∞）上是单调递增函数，又，所以在区间上最大值为.【点睛】本题主要考查了函数单调性的定义证明，分类讨论的思想，属于中档题.卷（II）一、选填题：（本大题共5小题，每小题6分，共30分）16.不等式的解集是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的增减性可转化为，即可求解.【详解】，即.所以不等式的解集为.故选C.【点睛】本题主要考查了指数函数的增减性，属于中档题.17.如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定是偶函数的是A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意得，因为函数是定义在上的奇函数，所以，设，则，所以函数为偶函数，故选B．考点：函数奇偶性的判定．18.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前5天监测到的数据：第天 1 2 3 4 5被感染的计算机数量（台）10 20 39 81 160则下列函数模型中，能较好地反映计算机在第天被感染的数量与之间的关系的是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据选项中的函数，依次代入x值求出y的值，通过y的值与表格中所给出的y的值进行比较，误差越小则拟合度越高，误差越大则拟合度越小，计算即可求解.【详解】对于A选项，当时，对应的y值分别为,对于B选项，当时，对应的y值分别为,对于C选项，当时，对应的y值分别为,对于D选项，当时，对应的y值分别为,而表中所给的数据为，，当时，对应的y值分别为，通过比较，即可发现选项D中y的值误差最小，即能更好的反映与之间的关系. 故选D.【点睛】本题主要考查了选择合适函数模型来拟合实际问题，属于中档题.19.设全集，集合,则_______；_______.【答案】(1). (2).【解析】【分析】根据集合的补集的运算及交集的运算即可求解.【详解】因为全集，集合,所以,.【点睛】本题主要考查了集合的交集、补集运算，属于中档题.20.如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为, ，则_________；的解集为________.【答案】(1). 2(2).【解析】【分析】根据函数的图象，观察即可得出答案.【详解】根据图象知，所以，根据图象知，所以，当时，由图象可知，即的解集为.【点睛】本题主要考查了函数的图象，属于中档题.二、解答题：（本大题共2小题，共22分）21.（12分）设函数.（I）若，求的取值范围；（II）记的反函数为,若在上恒成立，求的最小值.【答案】（I）或；（II）.【解析】【分析】（I）根据对数函数的增减性转化为，并注意真数大于零即可求解（II）由题意知，原不等式可转化为在区间[2，）上恒成立即可求解.【详解】（I）由已知log a（x2－x）>log a2，因为0<a<1，所以0<x2－x<2，解，得－1<x<2,解，得x>1或x<0,所以x的取值范围是{x|－1<x<0或1<x<2）.（II）为的反函数，所以,由已知在区间[2，）上恒成立，因为，所以在区间[2，）上恒成立，即大于等于的最大值,因为0<a<1，所以>1，又x－2∈[0，），所以（）的最小值为1，－（）的最大值为－1，所以k≥－1，所以k的最小值为－1.【点睛】本题主要考查了对数函数的增减性，反函数，指数函数，恒成立问题，属于中档题.22.（10分）给定数集,若对于任意,有,且，则称集合为闭集合. （I）判断集合是否为闭集合，并给出证明；（II）若集合为闭集合，则是否一定为闭集合?请说明理由；（III）若集合为闭集合，且,证明：.【答案】（I）证明见解析；（II）不一定，证明见解析；（III）证明见解析.【解析】【分析】（I）根据特值，但是4+4=8A，判断A不为闭集合，设，可证出，，B为闭集合（II）取特例A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=3k，k∈Z}，集合为闭集合，但不为闭集合即可（III）用反正正法，若A B=R，存在a∈R且a A，故a∈B，同理，因为B R，存在b∈R且b B，故b∈A，若，则由A为闭集合，，与a A矛盾，同理可知若，，与b B矛盾，即可证明.【详解】（I）因为，但是4+4=8A，所以，A不为闭集合；任取，设,则且所以，同理，，故B为闭集合.（II）结论：不一定.令A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=3k，k∈Z}，则由（I）可知，A，B为闭集合，但2，3∈A B，2+3=5A B，因此，A B不为闭集合.（III）证明：（反证）若A B=R,则因为A R，存在a∈R且a A，故a∈B,同理，因为B R，存在b∈R且b B，故b∈A,因为a+b∈R=A B，所以，a+b∈A或a+b∈B,若，则由A为闭集合，，与a A矛盾,若，则由B为闭集合，，与b B矛盾,综上，存在c∈R，使得c（A B）.【点睛】本题主要考查了集合子集、真子集，反证法，考查了学生分析推理能力，属于难题.。

北京四中2018－2019学年上学期高中一年级期中考试数学试卷卷（I）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.的值为（）A. B. C. 1 D.【答案】D【解析】【分析】根据对数的运算法则及性质即可求解.【详解】因为，故选D.【点睛】本题主要考查了对数的性质和运算法则，属于容易题.2.集合，则下列关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据元素与集合的关系即可判断.【详解】因为，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，属于容易题.3.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】函数要有意义，则需解析式有意义，分式的分母不为0即可.【详解】要是函数有意义，则需，解得，所以函数的定义域为，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的定义域，属于中档题.4.若，则（）A. 1B.C. 0D.【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式，只需把代入即可求出函数值.【详解】因为，所以当时，，故选A.【点睛】本题主要考查了根据函数解析式求函数值，属于中档题.5.下列函数中，在区间上为增函数的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性，逐项分析即可.【详解】A选项中是一次函数，，所以在R上是减函数，错误；B选项是幂函数，幂指数，在区间上为增函数，故正确；C选项是二次函数，对称轴为，在区间上无单调性，错误；D选项是指数函数，，在R上是减函数，错误.故选B.【点睛】本题主要考查了函数的单调性，属于中档题.6.下列函数中，值域是的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数性质，逐项分析各选项即可.【详解】A中的值域为R,错误，B中的值域为，正确；C中，值域为，错误；D中的值域为R,错误.故选B.【点睛】本题主要考查了基本初等函数的值域，属于中档题.7.函数的零点所在的一个区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意可知函数是R上的减函数，只需根据即可判断零点所在区间. 【详解】因为是R上的减函数，所以是R上的减函数，又，可知零点在区间上，故选C.【点睛】本题主要考查了函数零点的存在性，函数的单调性，属于中档题.8.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据指数及对数的性质可分析出范围，从而得到结果.【详解】因为，所以，因为，所以，所以选B.【点睛】本题主要考查了指数的性质，对数的性质，属于容易题.9.已知函数是上的偶函数，当时，，则的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数是上的偶函数，可知函数图象关于y轴对称，解出当时的解，由函数图像的对称性，可知时，的解.【详解】当时,，所以解得，由是上的偶函数知，函数图象关于y轴对称，所以当时，的解为，综上知，的解集为.故选D.【点睛】本题主要考查了偶函数的性质及图象，属于中档题.10.若，则函数的图象有可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据，可知函数是增函数，当时，，由知，可选出答案.【详解】根据，可知函数是增函数，排除B,D选项，当时，，由知，排除C选项，故选A.【点睛】本题主要考查了指数函数的增减性，指数函数的图象，属于中档题.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.计算:________；________.【答案】(1). 1(2). 4【解析】【分析】分别根据对数的运算法则及指数的运算法则计算即可求解.【详解】;故填(1). 1 (2). 4【点睛】本题主要考查了对数及指数运算法则，属于中档题.12.若函数的定义域为，则函数的定义域为________.【答案】【解析】【分析】根据的定义域为知，要有意义则需，即可求出的定义域.【详解】因为的定义域为，则要有意义则需，解得，所以的定义域为.故填.【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域，属于中档题.13.函数，则其图象的对称轴方程为________；的增区间是________.【答案】(1). 2(2).【解析】【分析】根据二次函数的性质知，对称轴方程为，当时，增区间为,据此可写出答案.【详解】因为函数，所以对称轴方程为，的增区间是.故填：(1). 2(2).【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴和单调区间，属于容易题.14.已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】函数有3个零点，即方程有3个根，因此在同一坐标系内做出的图象与直线，观察它们公共点的个数即可得到答案.【详解】因为有3个零点，所以的图象与直线有3个公共点在同一坐标系内作出它们的图象，如下：根据图象可知，当时，有三个交点.故则实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了分段函数，函数的零点，函数零点与方程的根，数形结合思想，属于中档题.三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）15.设集合.（I）用列举法写出集合；（II）求和.【答案】（I）；（II）,.【解析】【分析】（I）根据集合的描述法写出集合中的元素即可列举法表示（II）根据交集和并集的运算即可求解.【详解】（I）因为x，所以,所以.（II）因为，所以,.【点睛】本题主要考查了集合的描述法，列举法，交集，并集，属于中档题.16.已知函数.（I）当时，判断的奇偶性，并证明你的结论；（II）当时，求的值域.【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】【分析】（I）当时,,,为偶函数，可根据定义证明（II）当时，，配方可写出值域.【详解】（I）当时,,,为偶函数,证明：由知，,,.即函数为偶函数.（II）当时，即函数的值域为.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，二次函数的值域，属于中档题.17.设函数.（I）利用单调性定义证明：在区间上是单调递减函数；（II）当时，求在区间上的最大值.【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】【分析】（I）根据函数单调性的定义证明即可（II）先证明函数在区间[2，+∞）上是单调递增函数，再结合（I）的结论且，对分类讨论写出函数最大值.【详解】（I）任取，∈（0，2]，设<，则∵，∴∵，∴∴所以，故在区间（0，2]上是单调递减函数.（II）由（I）可知，在区间（0，2]上是单调递减函数；当，设<，易知总有<，所以在区间[2，+∞）上是单调递增函数，又，所以在区间上最大值为.【点睛】本题主要考查了函数单调性的定义证明，分类讨论的思想，属于中档题.卷（II）一、选填题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）18.不等式的解集是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的增减性可转化为，即可求解.【详解】，即.所以不等式的解集为.故选C.【点睛】本题主要考查了指数函数的增减性，属于中档题.19.如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定是偶函数的是A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意得，因为函数是定义在上的奇函数，所以，设，则，所以函数为偶函数，故选B．考点：函数奇偶性的判定．20.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前5天监测到的数据：第天 1 2 3 4 5被感染的计算机数量（台）10 20 39 81 160则下列函数模型中，能较好地反映计算机在第天被感染的数量与之间的关系的是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据选项中的函数，依次代入x值求出y的值，通过y的值与表格中所给出的y的值进行比较，误差越小则拟合度越高，误差越大则拟合度越小，计算即可求解.【详解】对于A选项，当时，对应的y值分别为,对于B选项，当时，对应的y值分别为,对于C选项，当时，对应的y值分别为,对于D选项，当时，对应的y值分别为,而表中所给的数据为，，当时，对应的y值分别为，通过比较，即可发现选项D中y的值误差最小，即能更好的反映与之间的关系. 故选D.【点睛】本题主要考查了选择合适函数模型来拟合实际问题，属于中档题.21.设全集，集合,则_______；_______.【答案】(1). (2).【解析】【分析】根据集合的补集的运算及交集的运算即可求解.【详解】因为全集，集合,所以,.【点睛】本题主要考查了集合的交集、补集运算，属于中档题.22.如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为, ，则_________；的解集为________.【答案】(1). 2(2).【解析】【分析】根据函数的图象，观察即可得出答案【详解】根据图象知，所以，根据图象知，所以，当时，由图象可知，即的解集为.【点睛】本题主要考查了函数的图象，属于中档题.23.当时，不等式恒成立，则的取值范围是________.【答案】()【解析】试题分析：当时，，所以，画出和的图象，从图象可知，要使，需要考点：本小题主要考查指数函数、对数函数的图象和应用，考查学生的推理能力和数形结合思想的应用.点评：题目中给出的不等式涉及到指数函数和对数函数，所以要画出两个函数的图象，数形结合解决.二、解答题：（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24.设函数.（I）若，求的取值范围；（II）记的反函数为,若在上恒成立，求的最小值.【答案】（I）或；（II）.【解析】【分析】（I）根据对数函数的增减性转化为，并注意真数大于零即可求解（II）由题意知，原不等式可转化为在区间[2，）上恒成立即可求解.【详解】（I）由已知log a（x2－x）>log a2，因为0<a<1，所以0<x2－x<2，解，得－1<x<2,解，得x>1或x<0,所以x的取值范围是{x|－1<x<0或1<x<2）.（II）为的反函数，所以,由已知在区间[2，）上恒成立，因为，所以在区间[2，）上恒成立，即大于等于的最大值,因为0<a<1，所以>1，又x－2∈[0，），所以（）的最小值为1，－（）的最大值为－1，所以k≥－1，所以k的最小值为－1.【点睛】本题主要考查了对数函数的增减性，反函数，指数函数，恒成立问题，属于中档题.25.给定数集,若对于任意,有,且，则称集合为闭集合.（I）判断集合是否为闭集合，并给出证明；（II）若集合为闭集合，则是否一定为闭集合?请说明理由；（III）若集合为闭集合，且,证明：.【答案】（I）证明见解析；（II）不一定，证明见解析；（III）证明见解析.【解析】【分析】（I）根据特值，但是4+4=8A，判断A不为闭集合，设，可证出，，B为闭集合（II）取特例A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=3k，k∈Z}，集合为闭集合，但不为闭集合即可（III）用反正正法，若A B=R，存在a∈R且a A，故a∈B，同理，因为B R，存在b∈R且b B，故b∈A，若，则由A为闭集合，，与a A矛盾，同理可知若，，与b B矛盾，即可证明.【详解】（I）因为，但是4+4=8A，所以，A不为闭集合；任取，设,则且所以，同理，，故B为闭集合.（II）结论：不一定.令A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=3k，k∈Z}，则由（I）可知，A，B为闭集合，但2，3∈A B，2+3=5A B，因此，A B不为闭集合.（III）证明：（反证）若A B=R,则因为A R，存在a∈R且a A，故a∈B,同理，因为B R，存在b∈R且b B，故b∈A,因为a+b∈R=A B，所以，a+b∈A或a+b∈B,若，则由A为闭集合，，与a A矛盾,若，则由B为闭集合，，与b B矛盾,综上，存在c∈R，使得c（A B）.【点睛】本题主要考查了集合子集、真子集，反证法，考查了学生分析推理能力，属于难题。

2019北京四中高一（上）期中数学试卷分为两卷，卷（I）100分，卷（II）50分，满分共计150分考试时间：120分钟卷（I）一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知全集，集合，则集合（）A. B. C. D.2.函数的定义域是（）A. B.C. D.3.若，则下列各式中正确的是（）A. B.C. D.4.下列函数中，在区间上为减函数的是（）A. B.C. D.5.命题“”的否定是（）A. B.C. D.6.下列函数中：①②③④偶函数的个数是（）A.0B.1C.2D.37.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.函数一定存在零点的区间是（）A. B. C. D.9.下列函数中，满足的是（）A. B. C. D.10.函数的图像如图所示，则下列结论成立的是（）A. B.C. D.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分11.设全集，集合，则集合=12.已知，则的值为13.函数的值域是14.若，则的最小值为15.若二次函数的图像关于对称，且，则实数的取值范围是16.某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数.（1）若教师人数为4，则女学生人数的最大值为；（2）该小组人数的最小值为 .三.解答题：本大题共3小题，共30分17.（10分）设集合.（1）求；（2）若，求实数的取值范围.18.（8分）已知：，求证：.19.（12分）已知函数（1）当时，解关于的不等式；（2）若在上恒成立，求的取值范围.卷（II）一.过程性评价（考生不必作答），共10分二.填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分1.已知集合，则集合=2.不等式的解集为3.已知，则①②③④四个式子中正确的是（只填写序号）4.设（1）当时，的最小值是；（2）若是的最小值，则的取值范围是 .5.已知集合，集合满足①每个集合都恰有5个元素；②，集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的和为 .三.解答题：本大题共2小题，共20分6.（10分）已知函数.（1）当时，解方程；（2）若在上单调递增，求实数的取值范围.7.（10分）设不全为0，给定函数.若满足①有零点；②的零点均为的零点；③的零点均为的零点. 则称为一对“函数”.（1）当时，验证是否为一对“函数”，并说明理由；（2）若为任意一对“函数”，求的值；（3）若，且为一对“函数”，求的取值范围.。

北京市第四中学2019届高三第一学期期中考试数学试卷（理）一、选择题1．设函数的定义域为，函数的值域为，则（）A．B．C．D．2．下列函数，其中既是偶函数又在区间上单调递减的函数为（）A．B．C．D．3．函数（）的大致图象是（）A．B．C．D．4．执行如图所示的程序框图．若输出的结果是，则判断框内的条件是（）A．? B．? C．? D．?5．函数（）的部分图像如图所示，则函数表达式为（）A．B．C．D．6．原命题：“，为两个实数，若，则，中至少有一个不小于1”，下列说法错误的是（）A．逆命题为：若，中至少有一个不小于1，则，为假命题B．否命题为：若，则，都小于1，为假命题C．逆否命题为：若，都小于1，则，为真命题D．“”是“，中至少有一个不小于1”的必要不充分条件7．设，定义符合函数，则下列等式正确的是（）A．B．C．D．8．已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（）A．3 B．1或3 C．4或6 D．3或4或6二、填空题9．i为虚数单位，计算_______________。

10．.11．命题“，使得成立”的否定是____________。

12．在极坐标系中，为极点，点为直线上一点，则的最小值为______．13．已知函数，则，的最小值是．14．对于函数，若存在一个区间，使得，则称A为的一个稳定区间，相应的函数叫“局部稳定函数”，给出下列四个函数：①；②；③；④，所有“局部稳定函数”的序号是_____________。

三、解答题15．已知集合A＝，B＝{x|x2－2x－m<0}，(1)当m＝3时，求A∩ ∁R B)；(2)若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m的值．16．已知的三个内角分别为A,B,C,且（Ⅰ）求A的度数；（Ⅱ）若求的面积S.17．已知函数。

（I）求的最小正周期；（II）当时，求函数的单调递减区间。

18．已知实数，函数(x∈R).(1) 求函数的单调区间；(2) 若函数有极大值32，求实数a的值.19．已知函数。

北京市四中2019届高三上学期期中测试数学（理）试题试卷满分为150分，考试时间为120分钟。

考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。

第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.请把答案填写在答题卡的相应位置上.1. 已知集合{兀|工（片・3）“}, Q = k |时■< 2），则PD G =（）A •-一B • JC D. -T2. 函数—•匚的定义域为（）XA•丨「丨 B •「…一：C.D •一「一3 •下列命题中是假命题的是（）A . .：二「I ' - 都不是偶函数B. 「I」... ….一 -•有零点C. - . . ■ - T：.' I ■ ： , .■ - , : . + :上递减4.边长为’的三角形的最大角与最小角的和是（）A. ,、「 B . C 1 二 D .5•已知数列，「匚，一■■「」一 -，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项,则判断框内的条件是（）A . B. C . D .是6.已知函数/l''IJ-匚・■ ■■的图象如图所示则函数 --的图象是C .28定义在R 上的函数满足【，当•■匸［L_时，•「一.. 1 ,则（） 第二部分（非选择题共 110分） 、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共计30分.请把答案填写在答题纸的相应位置上.9•设1为虚数单位，则一一一______ .10.正项等比数列中，若' ____ ■'，则心宁匸等于211.已知兀y 满足＜査+”兰九且目标函热=引:+尹的最小值是5,贝y z的最大值是-2x +/+1 H 0<0)函数二；COG的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为（ B ./伽爭 >/(cos^B .-12. 设函数____________________________________________________________ -* |「二：「丨丨一I」-二—」•、-/ : . J ；i . - _______________________________________________13. 已知函数,--■「，给出下列四个说法：①若，「. 一「］，则匸二-7.■-；②；!的最小正周期是2；T ；7U 71③一;在区间—■上是增函数；④的图象关于直线二——对称.4 4 4其中正确说法的序号是________ .14 .定义一种运算7 ® B 二* ' ，令/(A)= (cos3 Jr + sin ® —，且兀吏\b t a >b4则函数的最大值是__________________ .三、解答题：本大题共6小题，共计80分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.角16. (本小题满分13分)已知函数■' ；n | I ：.(1 )求一…」函数图象的对称轴方程;(2)求」的单调增区间时，求函数厂■：'：的最大值，最小值17. (本小题满分13分)设等差数列，，一的首项心及公差d 都为整数，前n 项和为S n .（1）若■_-「，求数列［二」的通项公式; （2）若- \"求所有可能的数列的通项公式18. （本小题满分13分）已知函数丿IJ I 一（1 ）若厘二匕，试确定函数「的单调区间;若函数」；!在其图象上任意一点•，「j 处切线的斜率都小于」J ，求实数；的取值范围•（3）若匚［.丄亠」.-一，求二的取值范围•19. （本小题满分14分）（1）求.■「一的最小值;取值范围数列 '<!， 使得1. -. 1上」？若存在，请求出数列 仏卜卩」 的通项公式•若不存在，请说明理由.20.（本小题满分14分）X 1------------------------------------------ ，兀吐一1_ 2x2-［的图象上的任意两点（可以重合），点(2) 已知函数（史为自然对数的底数）•(2) 设不等式'的解集为F ,若.…；.'-.-，且T I ；'，求实数二的(3) 已知■: ■- ，且\ ，是否存在等差数列；■；, |和首项为」•；［公比大于0的等已知A （丙，乃）,B （花，乃）是函数 他）=〜2M在1 —. 一直线T -.上，且亠二一:二.(1)求+门的值及T： + L：的值(2) 已知匚一，当I；注时，■:，- ■+；；+_：】+…_」’'：，求二；冋竝丹«(3) 在(2)的条件下，设乙=_二，二为数列｛：；、｝的前、！项和，若存在正整数「、吨,使得不等式求.：和W的值.【参考答案】第一部分(选择题，共40分)一、选择题(每小题5分，共40分)1. B2. D3. A4. B5. B6. A7. A8. D提示：由题意可知，函数典令谒的图象关于y轴对称，且周期为2，故可画出它的大致图象，如图所示：I “- -且卜it I I"而函数沪朋总在;L」、J是减函数，二沈況一二.「…1、9. i10. 16.11. 1012. _213. ③④14. 1提示：令，贝U冒仗）=1 —sin*鲨+血鑒=—（血耳一扌）甘扌生?•••由运算定义可知，.•.当-，即.匸=〔时，该函数取得最大值 -.上由图象变换可知,所求函数f （丁专;的最大值与函数£衣［:在区间I门-上的最大值相同三、解答题：（本大题共6小题，共80分）15. （本小题满分13分）解：I）由已知得：…，二5 105 10tan（盘+ 0）=+tan1- tai:抚tan 0tan 2C£=2tan a1 - tan J ct—1 —tari 2a^ tan jS [—4 1 -H -一3 7丄「为锐角,13分16.（本小题满分13分）解：(I) f [J ^)= sm 2x + cos 2x = sm 2;r +人r 貝 ， 兀Fill上TT /T J _令^.422 Skn 7t 3 _X — - + — =血 E Z「函数图象的对称轴方程是2 S (II ).242jUlJ^TT- — < A <k7T+ - EZ.S S7T r —-- n 七？r + —] .kef.2 S J故_.，・.•」的单调增区间为..■： -(III) ；- .一 —1 £ sin 2畫 + I 4丿3TF 7i 7TT-T-^+7-T ，10分时，函数丁）的最大值为1,最小值为< .11分13分17.（本小题满分13分）解：(I)由 J'因此，［二」的通项公式是1■：'-：■> .■1, 2, 3，…,绍+13rf Mil.吃]4- 1CW > 0, (n)由彳&11 n 0,得2^+13^ <11, J-2^ -20^<07 I —2&] 5 —12.①②③由①+②得一7d<11，即.■/ ■- - _由①+③得二&三-1 ,即.--'13于是一_ 1八‘一又&三2T，故L； = -_..7 13将4代入①②得「二—门:又.'-，故 7 f 1所以，所有可能的数列〔■,.的通项公式是\ ■■ ■ 1 .1, 2, 3,…18.(本小题满分13分)(［)解：当-工二I；时，」I J I 、+ 八，所以■' I ■ : - : •…，由.■-，解得 _ ［，；：二忙］,由、-_|，解得.”，；：一〔或丁：；，3 ,所以函数一•’-.的单调增区间为L.i，减区间为.J 1和(n)解：因为广■:' ■“，由题意得：F' 一• ”■■- - : ■-对任意丁三丘恒成立,即1 一;...对任意让三恒成立，设，所以■.：'所以当二二：时，.-.….；T有最大值为［,因为对任意下汀，，恒成立，所以L. .■ ■,解得―门或■--,2所以，实数立的取值范围为亠匸」1或.7 _ .（III ）』；：:.19.（本小题满分14分）解：（1）/ /!=<- 1由_.「；，「.i二一II 当’• 一1一, •，「；当.• Z.二.，■-/⑵在（0严）上壇在（・曲）上减..= /（0）= 1（2 V ,'■■•十丿:L丨一二有解由? > ■ ： - K :即.八「一-］一| .；.上有解A 2令―二「一1 ' "，x 2 x■i -'. 丨丨上减，在［1，2］上增又. 2 - ? ' ［，且—）•役J=«（2）= y-l一一也丈——12（3）设存在公差为.,；的等差数列；和公比』'首项为L- 1■'的等比数列■「「，使2仏十錶）=比fc=l—1一——又乜工】时，r-- ——4- H + （跟一打&'= s （s — li — — 故故“2列有 j 2②-①X 2得，「丄一八-解得F ：弍』】一，（舍）满足二 J _" J£ 匕1存在满足条件的数列-\ t 一 •……14分20.（本小题满分14分）解：（I ）T 点M 在直线X=—上，设M._. _h一 1 — 1又丄二1=匚二：，即「 1 一 - ' . Ji . , “ - 一 " -「・：.， +二：=1.①当已=「时，十=.一，，7： +门=一’、一 ， ••一 - 1 -;— 1」 1②当 时，弋；2 2 2^ 2X 2 2画（1 —2比）+ 2也（1-NJ 2（西 +屯）-8西屁 + = -------- + ” = ^ •- ' '= 一耳=P oJ^ （耳处=J Q （e — e 处=© ~ I \ I * H 1 2 1 + E ）|0=阳--J2 -1 10分仇二/（〔） = £■ 1 ©+对二易L3 ']即&] -l-e — 1 = P — 2 「尹2d+U —扌 故T 「，此时r..- _”T （-D 二”1 21-2町1-2^ （1-2丙）（1 一加J ]_ 2（石 + 开』+4為眄2〔1-4祸）二_24码阳-1综合①②得，门+」=一：.(n)由(I)知，当+ * =1时,门 +」=一：：i - , k= 丄 1 .n > 2 时，气」”「+_「+••_"', ①«««n,②n n n n①+②得，2 ~.t=-2(n-1),则:=1-n.当n=1 时，：=0 满足：.=1-n. , =1-n.(出)f =— = _「，匚=1+「+''一.人7 1 2CT応-。