【精选3份合集】2020-2021年长沙市某实验中学九年级上学期数学期末考试试题

2020-2021学年湖南省长沙市九年级上学期期末考试数学试卷一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．下列各组数的大小关系正确的是（）A．+0.3＜﹣0.1B．0＜﹣|﹣7|C．−√2＜−1.414D．−13＞−14【解答】解：A、+0.3＞﹣0.1，故本选项不符合题意；B、0＞﹣|﹣7|，故本选项不符合题意；C、∵1.4142＝1.999396，∴−√2＜−1.414，故本选项符合题意；D、−13＜−14，故本选项不符合题意；故选：C．2．随着电子技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占有面积0.00000065mm2，0.00000065用科学记数法表示为（）A．6.5×107B．6.5×10﹣6C．6.5×10﹣8D．6.5×10﹣7【解答】解：0.00000065＝6.5×10﹣7．故选：D．3．下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．（a3）2＝a5C．（a•b）2＝a2•b2D．√a+√b=√a+b【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；B、原式＝a6，不符合题意；C、原式＝a2b2，符合题意；D、原式不能合并，不符合题意，故选：C．4．下列说法正确的是（）A．了解一批灯泡的使用寿命采用全面调查B．一组数据6，5，3，5，4 的众数是5，中位数是3C．“367 人中必有2 人的生日是同一天”是必然事件D．一组数据10，11，12，9，8 的平均数是10，方差是1.5【解答】解：A、要了解一批灯泡的使用寿命，因破坏性强，范围广，采用抽样调查方式，第1 页共20 页。

2020-2021学年湖南省长沙市九年级上学期期末考试数学试卷一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列各组数的大小关系正确的是（）
A．+0.3＜﹣0.1B．0＜﹣|﹣7|C．−√2＜−1.414D．−1
3＞−
1
4
2．（3分）随着电子技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占有面积0.00000065mm2，0.00000065用科学记数法表示为（）
A．6.5×107B．6.5×10﹣6C．6.5×10﹣8D．6.5×10﹣7 3．（3分）下列运算正确的是（）
A．a2+a3＝a5B．（a3）2＝a5
C．（a•b）2＝a2•b2D．√a+√b=√a+b
4．（3分）下列说法正确的是（）
A．了解一批灯泡的使用寿命采用全面调查
B．一组数据6，5，3，5，4 的众数是5，中位数是3
C．“367 人中必有2 人的生日是同一天”是必然事件
D．一组数据10，11，12，9，8 的平均数是10，方差是1.5
5．（3分）已知一个组合体是由几个相同的正方体叠合在一起组成，该组合体的主视图与俯视图如图所示，则该组合体中正方体的个数最多是（）
A．10B．9C．8D．7
6．（3分）若△ABC与△A1B1C1相似且对应中线之比为2：5，则周长之比和面积比分别是（）
A．2：5，4：5B．2：5，4：25C．4：25，4：25D．4：25，2：5 7．（3分）如图，AE是四边形ABCD外接圆⊙O的直径，AD＝CD，∠B＝50°，则∠DAE 的度数为（）
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2020－2021学年度第一学期九年级期末考试试题卷·数学一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 3的相反数是（ ） A.3-B.13-C.3D.132.下列水平放置的几何体中，俯视图不是圆的是（ ）A. B. C.D.3.国家实施“精准扶贫”政策，很多贫困人口走上了致富的道路，据统计，2019年末全国农村贫困人口比2018年末全国农村贫围人口减少了11 090 000人，其中数据11 090 000用科学记数法可表示为（ ） A.511.0910⨯B.71.10910⨯C.80.110910⨯D.81.10910⨯4.下列运算正确的是（ ） A.()2326aba b =B.2532a a a -=C.235a b ab +=D.()2224a a +=+5.不等式组10420x x -≥⎧⎨->⎩的解集在数轴上表示为（ ）A.B. C.D.6.关于x 的方程240x x m -+=有一个根为1-，则另一个根为（ ） A.5B.2C.5-D.2-7.如图，把一块含直45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上.若∠1=20°，则∠2的度数（ ）A.15°B.20°C.25°D.30°第7题图 第9题图 第10题图8.一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则它的周长为（ ） A.8B.10C.9D.8或109.如图，是小明绘制的他在一周内每天跑步固数的折线统计图.下列结论正确的是（ ） A.众数是9B.中位数是8.5C.平均数是9D.方差是710.如图，在⊙O 中，点A 、B 、C 在圆上，OD ⊥AB ，∠ACB=45°，OA =O 的AD 的长是（ ）B.2C. D.311.如图，在A 处测得点P 在北偏东60°方向上，在B 处测得点P 在北偏东30°方向上，若AP =A ，B 两点的距离为（ ）千米.A.4B. C.2 D.6第11题图 第15题图12.己知抛物线()22263y x m x m =+-+-与y 轴交于点A ，与直线4x =交于点B ，当2x >时，y 值随x 值的增大而增大，记抛物线在线段AB 下方的部分为G （包含A 、B 两D CB AO点），M 为G 上任意一点，设M 的纵坐标为t ，若3t ≥-，则m 的取值范围是（ ） A.32m ≥ B.332m ≤≤ C.3m ≥ D.13m ≤≤二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13. 因式分解2mn m -= .14. 圆锥底面圆半径为5.母线长为6，则圆锥侧面积等于 . 15. 如图，反比例函数11k y x=的图象与正比例函数22y k x =的图象交于点（2，l ），则使12y y >的x 的取值范围是 .16. 《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列成语中描述的事件必然发生的是（ ）A ．水中捞月B ．日出东方C ．守株待兔D ．拔苗助长 【答案】B【分析】根据事件发生的可能性大小判断．【详解】解：A 、水中捞月，是不可能事件；B 、日出东方，是必然事件；C 、守株待兔，是随机事件；D 、拔苗助长，是不可能事件；故选B ．【点睛】本题主要考查随机事件和必然事件的概念,解决本题的关键是要熟练掌握随机事件和必然事件的概念.2．已知一斜坡的坡比为1:，坡长为26米，那么坡高为（ ）A ．米B ．3米C ．13米D ． 【答案】C【分析】根据坡比算出坡角,再根据坡角算出坡高即可.【详解】解：设坡角为α∵坡度=铅直高度水平宽度∴30α=.∴.坡高=坡长sin 13α⨯=.故选：C.【点睛】本题考查三角函数的应用,关键在于理解题意,利用三角函数求出坡角.3．用一圆心角为120°，半径为6cm 的扇形做成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面的半径是（ ） A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm 【答案】B【解析】∵扇形的圆心角为120°，半径为6cm ，∴根据扇形的弧长公式，侧面展开后所得扇形的弧长为1206=4180ππ⋅⋅ ∵圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，∴根据圆的周长公式，得2r=4ππ，解得r=2cm ．故选B ．考点：圆锥和扇形的计算．4．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，:1:2BD DF =，那么:AC AE 的值是（ ）A ．13B ．12C ．23D ．2【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到AC ：CE=BD ：DF=1：2，然后利用比例性质即可得出答案进行选择．【详解】解：∵AB ∥CD ∥EF ，∴AC ：CE=BD ：DF ，∵:1:2BD DF =，∴AC ：CE=BD ：DF=1：2，即CE=2AC ，∴AC ：AE=1：3=13. 故选A.【点睛】本题考查平行线分线段成比例即三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．5．如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，M 、N 是其中两个正方形对角线的交点，则两个阴影部分面积之和是（ ）A ．1B ．2C 2D ．4【答案】A 【分析】连接AN,CN,通过ANB CND ≅将每部分阴影的面积都转化为正方形ACFE 的面积的14，则答案可求.【详解】如图，连接AN,CN∵四边形ACFE 是正方形∴,45,90AN CN NAB NCD ANC =∠=∠=︒∠=︒∵,ANC ANB BNC BND CND BNC ∠=∠+∠∠=∠+∠,90ANC BND ∠=∠=︒∴ANB CND ∠=∠∴()ANB CND ASA ≅∴ANB CND S S =所以四边形BCDN 的面积为正方形ACFE 的面积的14同理可得另一部分阴影的面积也是正方形ACFE 的面积的14∴两部分阴影部分的面积之和为正方形ACFE 的面积的12 即12212=故选A【点睛】本题主要考查不规则图形的面积，能够利用全等三角形对面积进行转化是解题的关键.6．若关于x 的方程()222110x k x k +++-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A ．54k ≤- B ．54k <- C ．54k -≥ D ．54k >-【答案】D【分析】利用一元二次方程的根的判别式列出不等式即可求出k 的取值范围.【详解】解：由题意得=（2k+1）2-4（k 2-1）=4k+5＞0解得：k ＞-54故选D【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式是解题的关键.7．下列是一元二次方程的是（ ）A ．21x =B ．223x x -+C ．20ax bx c ++=D ．220x y +=【答案】A【分析】用一元二次方程的定义，1看等式，2看含一个未知数，3看未知数次数是2次，4看二次项系数不为零，5看是整式即可．【详解】A 、由定义知A 是一元二次方程，B 、不是等式则B 不是一元二次方程，C 、二次项系数a 可能为0，则C 不是一元二次方程，D 、含两个未知数，则D 不是一元二次方程．【点睛】本题考查判断一元二次方程问题，关键是掌握定义，注意特点1看等式，2看含一个未知数，3看未知数次数是2次，4看二次项数系数不为零，5看是整式．8．10件产品中有2件次品，从中任意抽取1件，恰好抽到次品的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】D 【分析】由于10件产品中有2件次品，所以从10件产品中任意抽取1件，抽中次品的概率是21105=． 【详解】解：()21P 105==次品 ． 故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是用概率公式求事件的概率，根据题目找出全部情况的总数以及符合条件的情况数目是解此题的关键．9．如图，直线12l l //，等腰Rt ABC 的直角顶点C 在1l 上，顶点A 在2l 上，若14β∠=︒，则α∠=（ ）A ．31°B ．45°C ．30°D ．59°【答案】A 【分析】过点B 作BD//l 1，，再由平行线的性质即可得出结论．【详解】解：过点B 作BD//l 1，则∠α=∠CBD ．∵12l l //，∴BD//2l ，∴∠β=∠DBA,∵∠CBD+∠DBA=45°，∴∠α+∠β=45°,∵14β∠=︒∴∠α=45°-∠β=31°.故选A ．【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．10．如图，已知，M ，N 分别为锐角∠AOB 的边OA ，OB 上的点，ON=6，把△OMN 沿MN 折叠，点O 落在点C 处，MC 与OB 交于点P ，若MN=MP=5，则PN=( )A ．2B ．3C ．83D ．103【答案】D 【分析】根据等边对等角，得出∠MNP=∠MPN ，由外角的性质和折叠的性质，进一步证明△CPN ∽△CNM ，通过三角形相似对应边成比例计算出CP ，再次利用相似比即可计算出结果．【详解】解：∵MN=MP ，∴∠MNP=∠MPN ，∴∠CPN=∠ONM ，由折叠可得，∠ONM=∠CNM ，CN=ON=6，∴∠CPN=∠CNM ，又∵∠C=∠C ，∴△CPN ∽△CNM ，CP CN CN CM=，即CN 2=CP×CM ， ∴62=CP×(CP+5)，解得：CP=4， 又∵PN CP NM CN=，∴4 56 PN，∴PN=103，故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．11．下列立体图形中，主视图是三角形的是（）.A．B．C．D．【答案】B【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得图形的主视图．【详解】A、C、D主视图是矩形，故A、C、D不符合题意；B、主视图是三角形，故B正确；故选B．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，圆锥的主视图是三角形．12．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是A．（6，0）B．（6，3）C．（6，5）D．（4，2）【答案】B【解析】试题分析：△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=1．A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=1，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；B 、当点E 的坐标为（6，3）时，∠CDE=90°，CD=1，DE=1，则AB ：BC≠CD ：DE ，△CDE 与△ABC 不相似，故本选项符合题意；C 、当点E 的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=1，DE=4，则AB ：BC=DE ：CD ，△EDC ∽△ABC ，故本选项不符合题意；D 、当点E 的坐标为（4，1）时，∠ECD=90°，CD=1，CE=1，则AB ：BC=CD ：CE ，△DCE ∽△ABC ，故本选项不符合题意．故选B ．二、填空题（本题包括8个小题）13．设12211112S =++，22211123S =++，32211134S =++，设...S =S=________________ (用含有n 的代数式表示，其中n 为正整数)． 【答案】221n n n ++n 的式子表示其规律，再计算S 的值即可． 【详解】解：∵1221191=124S =++311122===+-； ∵222114912336S =++=7111116623===+=+-； ∵32211169134144S =++=1311111121234===+=+-； …… ∵()()()222222111111n n n S n n n n ++=++=++，()()2111111111n n n n n n n n ++===+=+-+++；∴...S =1111111112231n n =+-++-++-+…+ 111n n =+-+． 221n n n +=+故答案为：221n n n ++ 【点睛】本题为规律探究问题，难度较大，根据提供的式子发现规律，并表示规律是解题的关键，同时要注意对于式子()11111n n n n =-++的理解． 14．一件商品的标价为108元，经过两次降价后的销售价是72元，求平均每次降价的百分率．若设平均每次降价的百分率为x ，则可列方程_________．【答案】()2108172x -=【分析】设平均每次降价的百分率为x ，根据“一件商品的标价为108元，经过两次降价后的销售价是72元”即可列出方程．【详解】解：设平均每次降价的百分率为x ，根据题意可得：()2108172x -=，故答案为：()2108172x -=．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系是解题的关键．15．如果关于x 的方程x 2-5x + a = 0有两个相等的实数根，那么a=_____. 【答案】254【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则方程的根的判别式等于0，由此可列出关于a 的等式，求出a 的值．【详解】∵关于x 的方程x 2-5x+a=0有两个相等的实数根，∴△=25-4a=0，即a=254． 故答案为：254. 【点睛】一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．16．三角形两边长分别是4和2，第三边长是2x 2﹣9x+4＝0的一个根，则三角形的周长是_____．【答案】1．【分析】先利用因式分解法求出方程的解，再由三角形的三边关系确定出第三边，最后求周长即可．【详解】解：方程2x 2﹣9x+4＝0，分解因式得：（2x ﹣1）（x ﹣4）＝0，解得：x ＝12或x ＝4， 当x ＝12时，12+2＜4，不能构成三角形，舍去； 则三角形周长为4+4+2＝1．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，正确使用因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键.17．如图，在Rt △ABC 中∠B=50°，将△ABC 绕直角顶点A 顺时针旋转得到△ADE ．当点C 在B 1C 1边所在直线上时旋转角∠BAB 1=____度．【答案】100【分析】根据Rt △ABC 中∠B=50°，推出∠BCA=40°，根据旋转的性质可知，AC=AC 1，∠BCA=∠C 1=40°，求出 ∠CAC 1的度数，即可求出∠BAB 1的度数.【详解】∵Rt △ABC 中∠B=50°，∴∠BCA=40°，∵△ABC 绕直角顶点A 顺时针旋转得到△ADE ．当点C 在B 1C 1边所在直线上，∴∠C 1=∠BCA=40°，AC=AC 1，∠CAB=∠C 1AB 1，∴∠ACC 1=∠C 1=40°，∴∠BAB 1=∠CAC 1=100°，故答案为：100.【点睛】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的判定和性质，熟练掌握其判定和性质是解题的关键.18．如图，45AOB ∠=，点P 、Q 都在射线OA 上，2OP =，6OQ =，M 是射线OB 上的一个动点，过P 、Q 、M 三点作圆，当该圆与OB 相切时，其半径的长为__________．【答案】4223-【分析】圆C 过点P 、Q ，且与OB 相切于点M ，连接CM ，CP ，过点C 作CN ⊥PQ 于N 并反向延长，交OB 于D ，根据等腰直角三角形的性质和垂径定理，即可求出ON 、ND 、PN ，设圆C 的半径为r ，再根据等腰直角三角形的性质即可用r 表示出CD 、NC ，最后根据勾股定理列方程即可求出r ．【详解】解：如图所示，圆C 过点P 、Q ，且与OB 相切于点M ，连接CM ，CP ，过点C 作CN ⊥PQ 于N 并反向延长，交OB 于D∵2OP =，6OQ =，∴PQ=OQ －OP=4 根据垂径定理，PN=122PQ = ∴ON=PN ＋OP=4在Rt △OND 中，∠O=45°∴ON=ND=4，∠NDO=∠O=45°，242ON =设圆C 的半径为r ，即CM=CP=r∵圆C 与OB 相切于点M ， ∴∠CMD=90°∴△CMD 为等腰直角三角形∴CM=DM=r ，22CM r =∴NC=ND －CD=42r根据勾股定理可得：NC 2＋PN 2=CP 2即()222422r r -+=解得：124223,4223r r -+==DM ＞OD ，点M 不在射线OB 上，故舍去） 故答案为：4223【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的判定及性质、垂径定理、勾股定理和切线的性质，掌握垂径定理和勾股定理的结合和切线的性质是解决此题的关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．如果一条抛物线2y ax bx c =++(0)a ≠与坐标轴有三个交点．那么以这三个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）命题“任意抛物线都有抛物线三角形”是___________（填“真”或“假”）命题；（2）若抛物线解析式为243y x x =-+，求其“抛物线三角形”的面积． 【答案】（1）假；（2）3【分析】（1）判定是真假命题，要看抛物线与坐标轴交点的个数，当有3个交点时是真命题，有两个或一个交点时不能构成三角形．（2）先求抛物线与坐标轴的交点坐标，再求面积即可．【详解】解：（1）假命题.如果抛物线与x 坐标轴没有交点时，不能形成三角形．（2）抛物线解析式为243y x x =-+∴与y 轴交点坐标为()0,3，与x 轴交点坐标为()1,0，()3,0∴“抛物线三角形”的面积为3【点睛】本题考查了抛物线的性质，再求抛物线与坐标轴的交点组成的三角形的面积．20．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC ，AC 分别交于D ，E 两点，过点D 作DH ⊥AC 于点H ．（1）求证：BD ＝CD ；（2）连结OD 若四边形AODE 为菱形，BC ＝8，求DH 的长．【答案】（1）见解析；（2）DH ＝3【分析】（1）连接AD ，根据直径所对的圆周角是直角，即可求出∠ADB ＝90°，从而得出AD ⊥BC ，最后根据三线合一即可证出结论；（2）连接OE ，根据菱形的性质可得OA ＝OE ＝AE ，从而证出△AOE 是等边三角形，从而得出∠A ＝60°，然后根据等边三角形的判定即可证出△ABC 是等边三角形，从而求出∠C ，根据（1）的结论即可求出CD ，最后根据锐角三角函数即可求出DH.【详解】（1）证明：如图，连接AD ．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD．（2）解：如图，连接OE．∵四边形AODE是菱形，∴OA＝OE＝AE，∴△AOE是等边三角形，∴∠A＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，∵CD＝BD=142BC ，∴DH＝CD•sinC＝23．【点睛】此题考查的是圆周角定理推论、等腰三角形的性质、菱形的性质、等边三角形的判定及性质和解直角三角形，掌握直径所对的圆周角是直角、三线合一、菱形的性质、等边三角形的判定及性质和利用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键.21．如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D'落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为____．【答案】52或53．【分析】连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE．【详解】解：如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，∴MD′=PD′，设MD′=x，则PD′=BM=x，∴AM=AB-BM=7-x，又折叠图形可得AD=AD′=5，∴x2+（7-x）2=25，解得x=3或1，即MD′=3或1．在Rt△END′中，设ED′=a，①当MD′=3时，AM=7-3=1，D′N=5-3=2，EN=1-a，∴a2=22+（1-a）2，解得a=52，即DE=52，②当MD′=1时，AM=7-1=3，D′N=5-1=1，EN=3-a，∴a2=12+（3-a）2，解得a=53，即DE=53．故答案为：52或53．【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的．22．计算：（1）sin30°-（5- tan75°）0；（2）3 tan230°2sin453sin60°．【答案】（1）﹣12（2）32【分析】（1）根据特殊角的三角函数值和非零的数的零次幂，即可求解；（2）根据特殊角的三角函数值，即可求解．【详解】（1）sin30°-（5- tan75°）0=12－1=﹣12； （2） 3 tan 230°-2sin45°＋3sin60°=3×（33）2－2×2＋3×32=1－1＋32 =32． 【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值和非零的数的零次幂，掌握特殊角的三角函数值，是解题的关键． 23．解方程：（1）x 2+4x ﹣5=0（2）x （2x+3）=4x+6【答案】（1）x 1=-5,x 2=1；（2）x 1=-1.5,x 2=2【分析】（1）根据因式分解法即可求解；（2）根据因式分解法即可求解.【详解】解：（1）x²+4x-5=0因式分解得， (x+5)(x-1)=0则，x+5=0或者x-1=0∴x 1=-5,x 2=1（2）x(2x+3)=4x+6提公因式得，x(2x+3)=2(2x+3)移项得，x(2x+3)-2(2x+3)=0则，(2x+3)(x-2)=0∴2x+3=0或者x-2=0∴x 1=-1.5,x 2=2.【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知因式分解法解方程.24．如图，已知ABC ∆中，3045ABC ACB ∠=︒∠=︒，，8AB =.求ABC ∆的面积.【答案】8+83 【分析】过点A 作AD ⊥BC,垂足为点D ，构造直角三角形，利用三角函数值分别求出AD 、BD 、CD 的值即可求三角形面积．【详解】解：过点A 作AD ⊥BC,垂足为点D ，在Rt △ADB 中，∵sin AD ABC AB ∠=， ∴sin AD AB ABC =⋅∠= 1842⨯= ∵cos BD ABC AB∠=， ∴3cos 843BD AB ABC =⋅∠=⨯= 在Rt △ADC 中，∵45ACB ︒∠=，∴45CAD ︒∠=，∴AD=DC=4∴ 111()(443)4883222ABC S BC AD BD CD AD ∆=⋅=+⋅=⨯+⨯=+【点睛】本题考查的知识点是利用勾股定理求三角形面积，通过作辅助线构造直角三角形结合三角函数值是解此题的关键．25．解方程：3x （x ﹣1）=2﹣2x ．【答案】x 1=1，x 2=﹣23． 【解析】把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解求出方程的根．【详解】解：3x （x ﹣1）+2（x ﹣1）=0，（x ﹣1）（3x+2）=0，∴x ﹣1=0，3x+2=0，解得x 1=1，x 2=﹣23． 考点：解一元二次方程-因式分解法；因式分解-提公因式法．26．受非洲猪瘟的影响，2019年的猪肉价格创历史新高，同时其他肉类的价格也有一定程度的上涨，某超市11月份的猪肉销量是羊肉销量的3倍，且猪肉价格为每千克70元羊肉价格为每千克110元.（1）若该超市11月份猪肉、羊肉的总销售额不低于27.2万元，则11月份的猪肉销量至少多少千克？ （2）12月份香肠腊肉等传统美食的制作，使得市场的猪肉需求加大，12月份猪肉的销量比11月份增长了20%a ，由于国家对猪肉价格的调控，12 月份的猪肉价格比11月份降低了%a ，羊肉的销量是11月份猪肉销量的13，且价格不变.最终，该超市12月份猪肉和.羊肉的销售额比11月份这两种肉的销售额增加了21%2a ，求a 的值. 【答案】（1）11月份猪肉销量至少为2550千克；（2）a 的值为15【分析】（1）根据“总销售额不低于27.2万元”建立一元一次不等式，解不等式即可；（2）根据“12月份猪肉和羊肉的销售额比11月份这两种肉的销售额增加了21%2a ”建立方程，解方程求解即可．【详解】解：（1）设11月份猪肉销量为x 千克， 则：1701102720003x x +⨯≥， 解得：2550x ≥，答： 11月份猪肉销量至少为2550千克；（2）设11月份羊肉销量为m 千克，猪肉销量为3m 千克，则：()()()213120%701 %110()7031101%2m a a m m m a ⋅+⋅⋅-+=⨯+⋅+， 令%a t =，则()()()21312070111()070311012m t t m m m t ⋅+⋅⋅-+=⨯+⋅+， 整理得：22030t t -=，解得：0t =或320t =， 0a ∴=(舍)或15a =，答：a 的值为15．【点睛】本题考查一元一次不等式及一元二次方程的实际应用，明确题意，正确找出数量关系是解题的关键． 27．省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：（1）根据表格中的数据，可计算出甲的平均成绩是 环（直接写出结果）；（2）已知乙的平均成绩是9环，试计算其第二次测试成绩的环数；（3）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差，根据计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由.（计算方差的公式：()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦） 【答案】（1） 9 ；（2） 7 ；（3）22=3S 甲，24=3S 乙，选甲，理由见解析. 【分析】（1）根据图表中的甲每次数据和平均数的计算公式列式计算即可；（2）根据图表中的乙每次数据和平均数的计算公式列式计算即可；（3）分别从平均数和方差进行分析，即可得出答案．【详解】（1）甲的平均成绩是：()1089810969+++++÷=；（2）设第二次的成绩为a ，则乙的平均成绩是：()1010109869a +++++÷=，解得：7a = ；（3）()()()()()()2222222121098999891099963S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-=⎣⎦甲， ()()()()()()22222221410979109109998963S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-=⎣⎦乙， 推荐甲参加全国比赛更合适，理由如下：两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适．【点睛】此题主要考查了平均数的求法、方差的求法以及运用方差做决策，正确的记忆方差公式是解决问题的关键，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2019次旋转结束时，点D的坐标为（）A．（3，﹣10）B．（10，3）C．（﹣10，﹣3）D．（10，﹣3）【答案】C【分析】先求出AB=1，再利用正方形的性质确定D（-3，10），由于2019=4×504+3，所以旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转3次，由此求出点D坐标即可．【详解】∵A(﹣3，4)，B(3，4)，∴AB=3+3=1．∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB=1，∴D(﹣3，10)．∵2019=4×504+3，∴每4次一个循环，第2019次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转''''的位置．3次，每次旋转90︒，刚好旋转到如图O A B C D∴点D的坐标为(﹣10，﹣3)．故选：C．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，10°，90°，180°．2．下列成语描述的事件为随机事件的是（ ）A ．水涨船高B ．守株待兔C ．水中捞月D ．缘木求鱼【答案】B【解析】试题解析：水涨船高是必然事件，A 不正确；守株待兔是随机事件，B 正确；水中捞月是不可能事件，C 不正确缘木求鱼是不可能事件，D 不正确；故选B ．考点：随机事件.3．如图，随意向水平放置的大⊙O 内部区域抛一个小球，则小球落在小⊙O 内部(阴影)区域的概率为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．19【答案】B【分析】针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与外切圆面积的比．【详解】解：∵如图所示的正三角形，∴∠CAB ＝60°，∴∠OAB ＝30°，∠OBA ＝90°，设OB ＝a ，则OA ＝2a ，则小球落在小⊙O 内部(阴影)区域的概率为()22142a a ππ=． 故选：B ．【点睛】本题考查了概率问题，掌握圆的面积公式是解题的关键．4．抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =，与x 轴的一个交点坐标为()4,0A ，其部分图象如图所示．下列叙述中：①24b ac <；②关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根是122,4x x =-=；③20a b +=；④0a b c ++<；⑤当04x <<时，y 随x 增大而增大．正确的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B 【分析】由抛物线的对称轴是 1x =，可知系数a b ，之间的关系，由题意，与x 轴的一个交点坐标为() 4,0A ，根据抛物线的对称性，求得抛物线与 x 轴的一个交点坐标为() 0B -2，，从而可判断抛物线与x 轴有两个不同的交点，进而可转化求一元二次方程根的判别式，当 1x =时，代入解析式，可求得函数值，即可判断其y 的值是正数或负数. 【详解】抛物线的对称轴是 1x =1202b a b a∴-=+=，；③正确， 与x 轴的一个交点坐标为() 4,0A ∴抛物线与与 x 轴的另一个交点坐标为() 0B -2，∴关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根是122,4x x =-=；②正确， 当x=1时，y=0a b c ++<；④正确∴抛物线与x 轴有两个不同的交点 ∴2b -4ac>0，2b >4ac 则①错误；当01x <<时，y 随x 增大而减小 当14x ≤<时，y 随x 增大而增大，⑤错误； ∴②③④正确，①⑤错误故选：B.【点睛】本题考查二次函数图象的基本性质：对称性、增减性、函数值的特殊性、二次函数与一元二次方程的综合运用，是常见考点，难度适中，熟练掌握二次函数图象基本性质是解题关键.5．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是( )A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B【解析】过点O作OC⊥AB，垂足为C，则有AC=12AB=12×24=12，在Rt△AOC中，∠ACO=90°，AO=13，∴OC=22AO AC=5，即点O到AB的距离是5.6．下列说法正确的是（）A．垂直于半径的直线是圆的切线B．经过三点一定可以作圆C．平分弦的直径垂直于弦D．每个三角形都有一个外接圆【答案】D【分析】根据圆的切线的定义、圆的定义、垂径定理、三角形外接圆的定义逐项判断即可．【详解】A、垂直于半径且与圆只有一个交点的直线是圆的切线，此项说法错误B、不在同一直线上的三点一定可以作圆，此项说法错误C、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，此项说法错误D、每个三角形都有一个外接圆，此项说法正确故选：D．【点睛】本题考查了圆的切线的定义、圆的定义、垂径定理、三角形外接圆的定义，熟记圆的相关概念和定理是解题关键．7．某商场举行投资促销活动，对于“抽到一等奖的概率为110”，下列说法正确的是（）A．抽一次不可能抽到一等奖B．抽10次也可能没有抽到一等奖C．抽10次奖必有一次抽到一等奖D．抽了9次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖【答案】B【解析】根据大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，可得答案．【详解】A. “抽到一等奖的概率为110”，抽一次也可能抽到一等奖，故错误；B. “抽到一等奖的概率为110”，抽10次也可能抽不到一等奖，故正确；C. “抽到一等奖的概率为110”，抽10次也可能抽不到一等奖，故错误；D. “抽到一等奖的概率为110”，抽第10次的结果跟前面的结果没有关系，再抽一次也不一定抽到一等奖，故错误；故选B.【点睛】关键是理解概率是反映事件的可能性大小的量.概率小的有可能发生,概率大的有可能不发生.概率等于所求情况数与总情况数之比.8．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若AD＝4，DB＝2，则EC：AE的值为（）A．12B．23C．34D．16【答案】A【分析】根据平行线截线段成比例定理，即可得到答案．【详解】∵DE∥BC，∴BD EC AD AE=，∵AD＝4，DB＝2，∴12 ECAE=，故选：A．【点睛】本题主要考查平行线截线段成比例定理，，掌握平行线截线段成比例，是解题的关键．9．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，在下列说法中①ac＞0；②方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝3；③a+b+c＜0；④当x＞1时，y随x的增大而增大，正确的是( )A ．①③B ．②④C ．①②④D ．②③④【答案】D 【分析】①依据抛物线开口方向可确定a 的符号、与y 轴交点确定c 的符号进而确定ac 的符号；②由抛物线与x 轴交点的坐标可得出一元二次方程ax 2+bx+c=0的根；③由当x=1时y ＜0，可得出a+b+c ＜0；④观察函数图象并计算出对称轴的位置，即可得出当x ＞1时，y 随x 的增大而增大．【详解】①由图可知：0a >，0c <，0ac ∴<，故①错误；②由抛物线与x 轴的交点的横坐标为1-与3，∴方程20ax bx c ++=的根是11x =-，23x =，故②正确；③由图可知：1x =时，0y <，0a b c ∴++<，故③正确；④由图象可知：对称轴为：1312x -+==， 1x ∴>时，y 随着x 的增大而增大，故④正确；故选D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x 轴的交点以及二次函数的性质，观察函数图象，逐一分析四条说法的正误是解题的关键．10．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的顶点A 在y 轴上，顶点D ，F 在x 轴上，点C 在DE 边上，反比例函数y ＝kx（k≠0）的图象经过点B 、C 和边EF 的中点M ．若S 正方形ABCD ＝2，则正方形DEFG 的面积为（ ）A ．103B ．329C ．4D ．154【分析】作BH⊥y轴于H，连接EG交x轴于N，进一步证明△AOD和△ABH都是等腰直角三角形，然后再求出反比例函数解析式为y＝2x，从而进一步求解即可.【详解】作BH⊥y轴于H，连接EG交x轴于N，如图，∵正方形ABCD和正方形DEFG的顶点A在y轴上，顶点D、F在x轴上，点C在DE边上，∴∠EDF＝45°，∴∠ADO＝45°，∴∠DAO＝∠BAH＝45°，∴△AOD和△ABH都是等腰直角三角形，∵S正方形ABCD＝2，∴AB＝AD2，∴OD＝OA＝AH＝BH22＝1，∴B点坐标为（1，2），把B（1，2）代入y＝kx得k＝1×2＝2，∴反比例函数解析式为y＝2x，设DN＝a，则EN＝NF＝a，∴E（a+1，a），F（2a+1，0），∵M点为EF的中点，∴M点的坐标为（322a+，2a），∵点M在反比例函数y＝2x的图象上，∴322a+×2a=2，整理得3a2+2a﹣8＝0，解得a1＝13，a2＝﹣2（舍去），∴正方形DEFG的面积＝2∙12EN∙DF＝2∙148233⋅⋅＝329．故选：B．本题主要考查了正方形的性质与反比例函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.11．如图，PA 、PB 分别与O 相切于A 、B 两点，点C 为O 上一点，连接AC ，BC ，若80P ∠=︒，则ACB ∠的度数为（ ）A ．30B ．40︒C ．50︒D ．60︒【答案】C 【分析】先利用切线的性质得∠OAP=∠OBP=90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB 的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB 的度数．【详解】解：连接OA 、OB ，∵PA 、PB 分别与O 相切于A 、B 两点，∴OA PA ⊥，OB PB ⊥，∴90OAP OBP ∠=∠=︒．∴180********AOB P ∠=︒-∠=︒-︒=︒， ∴111005022ACB AOB ∠=∠=⨯︒=︒． 故选C ．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．12．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．20ax bx c ++=B ．2221x x x +=-C ．()()130x x --=D ．212x x【答案】C【解析】试题解析：A 、20ax bx c ++=，没有给出a 的取值，所以A 选项错误；B 、2221x x x +=-不含有二次项，所以B 选项错误；C 、(1)(3)0x x --=是一元二次方程，所以C 选项正确；D 、212x x-=不是整式方程，所以D 选项错误．故选C ． 考点：一元二次方程的定义．二、填空题（本题包括8个小题）13．点(2，3)关于原点对称的点的坐标是_____．【答案】（-2，-3）．【解析】根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”可知：点P(2,3)关于原点对称的点的坐标是(−2,−3).故答案为（－2，－3）.14．已知杭州市某天六个整点时的气温绘制成的统计图，则这六个整点时气温的中位数是 .【答案】15.6【解析】试题分析：此题考查了折线统计图和中位数，掌握中位数的定义是本题的关键，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数.把这些数从小到大排列为：4.5，10.5，15.3，15.9，19.6，20.1，最中间的两个数的平均数是（15.3+15.9）÷2=15.6（℃），则这六个整点时气温的中位数是15.6℃．考点：折线统计图；中位数15．若一个反比例函数的图像经过点(),Aa a 和()3,2B a -，则这个反比例函数的表达式为__________． 【答案】36y x= 【分析】这个反比例函数的表达式为k y x=，将A 、B 两点坐标代入，列出方程即可求出k 的值，从而求出反比例函数的表达式． 【详解】解：设这个反比例函数的表达式为k y x =将点(),A a a 和()3,2B a -代入，得23k a a k a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．已知抛物线243y x x =-+与x 轴相交于点A ，B （点A 在点B 左侧），顶点为M ．平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M '落在x 轴上，点B 平移后的对应点B '落在y 轴上，则平移后的抛物线解析式为（ ）A ．221y x x =++B ．221y x x =+-C ．221y x x =-+D ．221y x x =--【答案】A【解析】解：当y=0，则2043x x =-+，（x ﹣1）（x ﹣3）=0，解得：x 1=1，x 2=3，∴A （1，0），B （3，0），243y x x =-+=221x --（），∴M 点坐标为：（2，﹣1）． ∵平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M'落在x 轴上，点B 平移后的对应点B'落在y 轴上， ∴抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移3个单位长度即可，∴平移后的解析式为：21y x =+（）=221x x ++． 故选A ．2．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 和CD 相交于点F ，且S △EFC ＝3S △EFD ，则S △ADE ：S △ABC 的值为（ ）A ．1：3B ．1：8C ．1：9D ．1：4【答案】C 【分析】根据题意，易证△DEF ∽△CBF ，同理可证△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形面积比是对应边比例的平方即可解答．【详解】∵S △EFC ＝3S △DEF ，∴DF ：FC ＝1：3 （两个三角形等高，面积之比就是底边之比），∵DE ∥BC ，∴△DEF ∽△CBF ，∴DE ：BC ＝DF ：FC ＝1：3同理△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE ：S △ABC ＝1：9，故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比是对应边比例的平方．3．已知正多边形的边心距与边长的比为12，则此正多边形为（）A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正十二边形【答案】B【分析】边心距与边长的比为12，即边心距等于边长的一半，进而可知半径与边心距的夹角是15度．可求出中心角的度数，从而得到正多边形的边数．【详解】如图，圆A是正多边形的内切圆；∠ACD＝∠ABD＝90°，AC＝AB，CD＝BD是边长的一半，当正多边形的边心距与边长的比为12，即如图有AB＝BD，则△ABD是等腰直角三角形，∠BAD＝15°，∠CAB＝90°，即正多边形的中心角是90度，所以它的边数＝360÷90＝1．故选：B．【点睛】本题利用了正多边形与它的内切圆的关系求解，转化为解直角三角形的计算．4．下列调查中，适合采用全面调查(普查)方式的是( )A．了解重庆市中小学学生课外阅读情况B．了解重庆市空气质量情况C．了解重庆市市民收看重庆新闻的情况D．了解某班全体同学九年级上期第一次月考数学成绩得分的情况【答案】D【解析】调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查.【详解】解：A、了解重庆市中小学学生课外阅读情况，由于范围较大，适合用抽样调查；故此选项错误；B、了解重庆市空气质量情况，适合抽样调查，故此选项错误；C、了解重庆市市民收看重庆新闻的情况，由于范围较大，适合用抽样调查；故此选项错误；D、了解某班全体同学九年级上期第一次月考数学成绩得分的情况，范围较小，采用全面调查；故此选项正确；故选：D.【点睛】此题主要考查了适合普查的方式，一般有以下几种：①范围较小；②容易掌控；③不具有破坏性；④可操作性较强．基于以上各点，“了解全班同学本周末参加社区活动的时间”适合普查，其它几项都不符合以上特点，不适合普查．5．如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD＝21：7；④FB2＝OF•DF．其中正确的是（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①③【答案】B【分析】①正确．只要证明EC=EA=BC，推出∠ACB=90°，再利用三角形中位线定理即可判断．②错误．想办法证明BF=2OF，推出S△BOC=3S△OCF即可判断．③正确．设BC=BE=EC=a，求出AC，BD即可判断．④正确．求出BF，OF，DF（用a表示），通过计算证明即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，OD=OB，OA=OC，∴∠DCB+∠ABC=180°，∵∠ABC=60°，∴∠DCB=120°，∵EC平分∠DCB，∴∠ECB=12∠DCB=60°，∴∠EBC=∠BCE=∠CEB=60°，∴△ECB是等边三角形，∴EB=BC，∵AB=2BC，∴EA=EB=EC ，∴∠ACB=90°，∵OA=OC ，EA=EB ，∴OE ∥BC ，∴∠AOE=∠ACB=90°，∴EO ⊥AC ，故①正确，∵OE ∥BC ，∴△OEF ∽△BCF ， ∴12OE OF BC FB == ， ∴OF=13OB ， ∴S △AOD =S △BOC =3S △OCF ，故②错误，设BC=BE=EC=a ，则AB=2a ，3，223(72)a a +a ， ∴7a ，∴AC ：3721：7，故③正确，∵OF=13OB=76a ， ∴7a ， ∴BF 2=79a 2，7a•7779⎫=⎪⎪⎝⎭ a 2， ∴BF 2=OF•DF ，故④正确，故选：B ．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．6．用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．2(1)6x -=B ．2(1)6x +=C ．2(1)9x +=D ．2(1)9x -=【答案】A【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形即可得到结果．【详解】方程移项得：x 2−2x ＝5，配方得：x 2−2x ＋1＝1，即（x−1）2＝1．故选：A ．【点睛】此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7．如图，□ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF:FC 等于（ ）A ．3:2B ．3:1C ．1:1D ．1:2【答案】D 【分析】根据题意得出△DEF ∽△BCF ，进而得出=DE EF BC FC ，利用点E 是边AD 的中点得出答案即可． 【详解】解：∵▱ABCD ，故AD ∥BC ，∴△DEF ∽△BCF ， ∴=DE EF BC FC， ∵点E 是边AD 的中点，∴AE=DE=12AD ， ∴12EF FC =． 故选D ．8．矩形的长为4，宽为3，它绕矩形长所在直线旋转一周形成几何体的全面积是（ ）A ．24πB ．33πC ．56πD ．42π【答案】D【分析】旋转后的几何体是圆柱体，先确定出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的表面积公式计算即可求解．【详解】解：π×3×2×4＋π×32×2＝24π＋18π＝42π（cm 2）；故选：D ．【点睛】本题主要考查的是点、线、面、体，根据图形确定出圆柱的底面半径和高的长是解题的关键．9．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝23，以点B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交AB 于点D ，若点D 为AB 的中点，则阴影部分的面积是（ ）A ．2233π-B ．2433πC ．4233π-D ．23π 【答案】A 【详解】解：∵D 为AB 的中点， ∴BC=BD=12AB ， ∴∠A=30°，∠B=60°．∵AC=3∴BC=AC•tan30°=33=2， ∴S 阴影=S △ABC ﹣S 扇形CBD =216022322360π⨯⨯-=2233π-． 故选A ．【点睛】本题考查解直角三角形和扇形面积的计算，掌握公式正确计算是本题的解题关键．10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若1cos 2B =，则sin A 的值为（ ） A ．1B ．12C 3D 3【答案】B 【分析】根据互余角的三角函数间的关系：sin （90°-α）=cosα，cos （90°-α）=sinα解答即可．【详解】解：解：∵在△ABC 中，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴sinA= cosB=12， 故选：B ．【点睛】本题考查了互余两角的三角函数关系式，掌握当∠A+∠B=90°时， sinA= cosB 是解题的关键．11．下列方程是一元二次方程的是（ ）A．2x﹣3y+1 B．3x+y＝z C．x2﹣5x＝1 D．x2﹣1x+2＝0【答案】C【分析】根据一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为1．逐一判断即可．【详解】解：A、它不是方程，故此选项不符合题意；B、该方程是三元一次方程，故此选项不符合题意；C、是一元二次方程，故此选项符合题意；D、该方程不是整式方程，故此选项不符合题意；故选：C．【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为1．12．下列成语所描述的事件是不可能事件的是（）A．日行千里B．守株待兔C．水涨船高D．水中捞月【答案】D【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．【详解】解：A、日行千里是随机事件，故本选项错误；B、守株待兔是随机事件，故本选项错误；C、水涨船高是必然事件，故本选项错误；D、水中捞月是不可能事件，故本选项正确．故选：D．【点睛】此题考查是不可能事件的判断,掌握不可能事件的定义是解决此题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．若菱形的两条对角线长分别是6㎝和8㎝，则该菱形的面积是㎝1．【答案】14【解析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．解：根据对角线的长可以求得菱形的面积，根据S=12ab=12×6×8=14cm1，故答案为14．14．如图，边长为1的正六边形在足够长的桌面上滚动(没有滑动)一周，则它的中心O点所经过的路径长为______．【答案】2π【分析】首先求得从B 到B ´时，圆心O 的运动路线与点F 运动的路线相同，即是´FF 的长,又由正六边形的内角为120°，求得´FF 所对 的圆心角为60°，根据弧长公式180n R l π=计算即可. 【详解】解：∵正六边形的内角为120°，∴∠BAF=120°,∴∠FAF ´=60°, ∴6011,180´3FF ππ⨯== ∴正六边形在桌子上滚动(没有滑动)一周，则它的中心O 点所经过的路径长为：11623ππ⨯⨯= 故答案为：2π【点睛】本题考查的是正六边形的性质及正六边形中心的运动轨迹长，找到其运动轨迹是解决本题的关键． 15．如图，面积为6的矩形OABC 的顶点B 在反比例函数()0k y x x=<的图像上，则k =__________．【答案】-1【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义可得|k|=1，再根据函数所在的象限确定k 的值．【详解】解：∵反比例函数()0k y x x=<的图象经过面积为1的矩形OABC 的顶点B ， ∴|k|=1，k=±1，∵反比例函数()0k y x x=<的图象经过第二象限， ∴k=-1．故答案为：-1．【点睛】 主要考查了反比例函数()0k y x x =<中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k|．16．已知反比例函数y ＝k x的图象经过点（3，﹣4），则k ＝_____． 【答案】-1． 【分析】直接把点（3，﹣4）代入反比例函数y ＝k x ，求出k 的值即可． 【详解】解：∵反比例函数y ＝k x 的图象经过点（3，﹣4）， ∴﹣4＝3k ，解得k ＝﹣1. 故答案为：﹣1．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．17．若m 是关于x 的方程x 2-2x-3=0的解，则代数式4m-2m 2+2的值是______．【答案】-1【分析】先由方程的解的含义，得出m 2-2m-3=0，变形得m 2-2m=3，再将要求的代数式提取公因式-2，然后将m 2-2m=3代入，计算即可．【详解】解：∵m 是关于x 的方程x 2-2x-3=0的解，∴m 2-2m-3=0，∴m 2-2m=3，∴1m-2m 2+2= -2（m 2-2m ）+2= -2×3+2= -1．故答案为：-1．【点睛】本题考查了利用一元二次方程的解的含义在代数式求值中的应用，明确一元二次方程的解的含义并将要求的代数式正确变形是解题的关键．18．如图，原点O 为平行四边形A ．BCD 的对角线A ．C 的中点，顶点A ，B ，C ，D 的坐标分别为(4，2)，(a，b)，(m，n)，(－3，2)．则（m+n）（a+b）=__________．【答案】-6【分析】易知点A与点C关于原点O中心对称，由平行四边形的性质可知点B和点D关于原点O对称，根据关于原点对称横纵坐标都互为相反数可得点B、点C坐标，求解即可.【详解】解：根据题意得点A与点C关于原点O中心对称，点B和点D关于原点O对称(4,2),(3,2)A D-(3,2),(4,2)B C∴---3,2,4,2a b m n∴==-=-=-()()616m n a b∴++=-⨯=-故答案为：6-【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的中心对称，正确理解题意是解题的关键.三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的表达式；（2）在直线AC的上方的抛物线上，有一点P（不与点M重合），使△ACP的面积等于△ACM的面积，请求出点P的坐标；（3）在y轴上是否存在一点Q，使得△QAM为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为：（2，3）；（3）存在，点Q的坐标为：（0，1）或（0，3）或（0，72）或（0，﹣32）【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即可求解；（2）过点M作直线m∥AC，在AC下方作等距离的直线n，直线n与抛物线交点即为点P，即可求解；（3）分AM时斜边、AQ是斜边、MQ是斜边三种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），故﹣3a＝1，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）过点M作直线m∥AC，直线m与抛物线交点即为点P，设直线m的表达式为：y＝﹣x+b，点M（1，4），则直线m的表达式为：y＝﹣x+5，联立方程组2235y x xy x⎧++⎨+⎩＝﹣＝﹣，解得：x＝1（舍去）或2；故点P的坐标为：（2，3）；（3）设点Q的坐标为：（0，m），而点A、M的坐标分别为：（3，0）、（1，4）；则AM2＝20，AQ2＝9+m2，MQ2＝（m﹣4）2+1＝m2﹣8m+17；当AM时斜边时，则20＝9+m2+m2﹣8m+17，解得：m＝1或3；当AQ是斜边时，则9+m2=20+ m2﹣8m+17，解得m＝72；当MQ是斜边时，则m2﹣8m+17=20+9+m2，解得m＝﹣32，综上，点Q的坐标为：（0，1）或（0，3）或（0，72）或（0，﹣32）【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理的运用等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．20．初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？【答案】（1）y=−19(x−4)2+4；能够投中；（2）能够盖帽拦截成功． 【分析】（1）根据题意可知：抛物线经过（0，209），顶点坐标是（4，4），然后设出抛物线的顶点式，将（0，209）代入，即可求出抛物线的解析式，然后判断篮圈的坐标是否满足解析式即可；（2）当1x =时，求出此时的函数值，再与3.1m 比较大小即可判断. 【详解】解：由题意可知，抛物线经过（0，209），顶点坐标是（4，4）． 设抛物线的解析式是()244y a x =-+，将（0，209）代入，得()2200449a =-+ 解得19a =-，所以抛物线的解析式是()21449y x =--+；篮圈的坐标是（7，3），代入解析式得()2174439y =--+=，∴这个点在抛物线上， ∴能够投中答：能够投中． （2）当1x =时，()2114439y =--+=<3.1， 所以能够盖帽拦截成功. 答：能够盖帽拦截成功. 【点睛】此题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的顶点式和利用二次函数解析式解决实际问题是解决此题的关键.21．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P （元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？ 【答案】（1）y=﹣20x+1600；（2）当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P （元）最大，最大利润是8000元； （3）超市每天至少销售粽子440盒．【解析】试题分析：（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式； （2）根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；（3）先由（2）中所求得的P 与x 的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x 的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式即可求解．试题解析：（1）由题意得，y =70020(45)x --=201600x -+；（2）P=(40)(201600)x x --+=220240064000x x -+-=220(60)8000x --+，∵x≥45，a=﹣20＜0，∴当x=60时，P 最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P （元）最大，最大利润是8000元；（3）由题意，得220(60)8000x --+=6000，解得150x =，270x =，∵抛物线P=220(60)8000x --+的开口向下，∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润，又∵x≤58，∴50≤x≤58，∵在201600y x =-+中，20k =-＜0，∴y 随x 的增大而减小，∴当x=58时，y 最小值=﹣20×58+1600=440，即超市每天至少销售粽子440盒． 考点：二次函数的应用．22．在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的位置如图所示．（1）分别写出△ABC 各个顶点的坐标；（2）分别写出顶点A 关于x 轴对称的点A ′的坐标、顶点B 关于y 轴对称的点B ′的坐标及顶点C 关于原点对称的点C ′的坐标；（3）求线段BC的长．【答案】（1）A（-4，3），C（-2，5），B（3，0）；（2）点A′的坐标为：（-4，-3），B′的坐标为：（-3，0），点C′的坐标为：（2，-5）；（3）52．.【分析】（1）直接利用坐标系得出各点坐标即可；（2）利用关于坐标轴对称点的性质分别得出答案；（3）直接利用勾股定理得出答案．【详解】（1）A（-4，3），C（-2，5），B（3，0）；（2）如图所示：点A′的坐标为：（-4，-3），B′的坐标为：（-3，0），点C′的坐标为：（2，-5）；（3）线段BC的长为：22=52．55【点睛】此题主要考查关于坐标轴对称点的性质,勾股定理，正确得出对应点位置是解题关键．23．某学校为了解学生“第二课堂“活动的选修情况，对报名参加A．跆拳道，B．声乐，C．足球，D．古典舞这四项选修活动的学生（每人必选且只能选修一项）进行抽样调查．并根据收集的数据绘制了图①和图②两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生共有人；在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是；（2）将条形统计图补充完整；（3）在被调查选修古典舞的学生中有4名团员，其中有1名男生和3名女生，学校想从这4人中任选2人进行古典舞表演．请用列表或画树状图的方法求被选中的2人恰好是1男1女的概率．【答案】（1）200、144；（2）补全图形见解析；（3）被选中的2人恰好是1男1女的概率12．【分析】（1）由A活动的人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以B活动人数所占比例即可得；（2）用总人数减去其它活动人数求出C的人数，从而补全图形；（3）列表得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率．【详解】（1）本次调查的学生共有30÷15%＝200（人），扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是360°×80200＝144°，故答案为200、144；（2）C活动人数为200﹣（30+80+20）＝70（人），补全图形如下：（3）画树状图为：或列表如下：男女1 女2 女3男﹣﹣﹣（女，男）（女，男）（女，男）女1 （男，女）﹣﹣﹣（女，女）（女，女）女2 （男，女）（女，女）﹣﹣﹣（女，女）女3 （男，女）（女，女）（女，女）﹣﹣﹣∵共有12种等可能情况，1男1女有6种情况，∴被选中的2人恰好是1男1女的概率61 122．【点睛】本题考查了扇形统计图，条形统计图，树状图等知识点，解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比． 24．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽（AB ）为4m 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ．当水面下降1m 时，求水面的宽度增加了多少？【答案】水面宽度增加了（26﹣4）米【分析】根据已知建立直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y ＝-1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x 通过AB ，纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点，则通过画图可得知O 为原点，抛物线以y 轴为对称轴，且经过A ，B 两点，OA 和OB 可求出为AB 的一半2米，抛物线顶点C 坐标为（0，2），设顶点式y ＝ax 2+2，代入A 点坐标（﹣2，0）， 得出：a ＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y ＝﹣0.5x 2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y ＝﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y ＝﹣1与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把y ＝﹣1代入抛物线解析式得出： ﹣1＝﹣0.5x 2+2， 解得：x ＝±6，所以水面宽度增加了（26﹣4）米．【点睛】此题考查的是二次函数的应用，建立适当的坐标系，利用待定系数法求二次函数的解析式是解决此题的关键．25．已知，如图，AD 是直角三角形ABC 斜边上的中线，,AE AD AE 交CB 的延长线于点E .()1求证: BAEACE ；()2若AF BD ⊥，垂足为点F ，且9BE CE ⋅=，求EF DE ⋅的值.【答案】（1）证明见解析；（2）9.【分析】（1）首先根据直角三角形斜边中线的性质，得出12AD BD CD BC ===，进而得出DAC C ∠=∠，然后由垂直的性质得出EAB DAC C ∠=∠=∠，最后由E E ∠=∠，即可得出BAEACE ；（2）首先由相似三角形的性质得出2AE BE CE =⋅，然后由cos E ∠得出2AE EF ED =⋅，进而即可得出EF DE ⋅的值.【详解】()1AD 是直角三角形ABC 斜边上的中线12AD BD CD BC ∴===. DAC C ∴∠=∠ AE AD ⊥90EAD ∴∠=︒90EAB BAD ∴∠+∠=，而90DAC BAD ∠+∠=︒EAB DAC ∴∠=∠ EAB C ∴∠=∠又E E ∠=∠;BAEACE ∴ ()2由(1)知;BAEACEBE AEAE CE∴=即2AE BE CE =⋅. EF AEcos E AE ED∴∠==2AE EF ED ∴=⋅BE CE EF ED ∴⋅=⋅. 9BE CE ⋅= 9EF DE ∴⋅=【点睛】此题主要考查直角三角形斜边中线性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握，即可解题.．求作：菱形DBEC，使菱形26．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：ABC的顶点D落在AC边上．【答案】作图见解析．【分析】由D在AC上，结合菱形的性质，可得D在AC的垂直平分线上，利用菱形的四条边相等确定E 的位置即可得到答案．【详解】解：作BC的垂直平分线交AC于D，以C为圆心，CD为半径作弧，交垂直平分线于E，连BD BE CE，则四边形DBEC即为所求．接,,【点睛】本题考查的是菱形的判定与性质，同时考查了设计与作图，掌握以上知识是解题的关键．27．有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示，已知箱体长AB=50cm，拉杆BC的伸长距离最大时可达35cm，点A,B,C在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒轮⊙A，⊙A与水平地面相切于点D，在拉杆伸长到最大的情况下，当点B距离水平地面34cm时，点C到水平地面的距离CE为55cm.设AF∥ MN.（1）求⊙A的半径.（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感到较为舒服，某人将手自然下垂在C端拉旅行箱时，CE为76cm，∠CAF=64°,求此时拉杆BC的伸长距离（结果精确到1cm，参考数据：sin64°≈0.9,cos64°≈0.39,tan64°≈2.1).【答案】（1）4；（2）BC=30cm【分析】（1）作BK⊥AF于点H,交MN于点K,通过△ABH∽△ACG，根据相似三角形的性质可得关于x的方程，求解即可；（2）在Rt△ACG中利用正弦值解线段AC长，即可得. 【详解】（1）解：作BK⊥AF于点H,交MN于点K,则BH∥CG, △ABH∽△ACG,设圆形滚轮的半径AD长为xcm,∴BH AB CG AC即3450 555035xx解得，x=4∴⊙A的半径是4cm.（2）在Rt△ACG中，CG=76-4=72cm,则sin∠CAF=CG AC∴AC=7280sin640.9CGcm,∴BC=AC-AB=80-50=30cm.【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，构建相似三角形及建立模型是解答此题的关键.九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．若点B 是直线2y x =-+上一点，已知()0,2A -，则AB OB +的最小值是（ ）A ．4B ．25C ．23D ．2【答案】B【分析】根据题意先确定点B 在哪个位置时AB OB +的最小值，先作点A 关于直线CD 的对称点E,点B 、E 、O 三点在一条直线上，再根据题意，连结OE 与CD 的交点就是点B,求出OE 的长即为所求．【详解】解：在y=-x+2中，当x=0时， y=2,当y=0时， 0=-x+2，解得x=2,∴直线y=-x+2与x 的交点为C(2.0)，与y 轴的交点为D(0，2)，如图，∴OC=OD=2,∵OC ⊥OD,:OC ⊥OD,∴△OCD 是等腰直角三角形，∴∠OCD=45°，∴A(0,-2)，∴OA=OC=2连接AC ，如图，∵OA ⊥OC,∴△OCA 是等腰直角三角形，∴∠OCA= 45°，∴∠ACD=∠OCA+∠OCD=90°，∴.AC ⊥CD,延长AC 到点E ，使CE=AC,连接BE ，作EF ⊥轴于点F ，则点E 与点A 关于直线y= -x+2对称，∠EFO= ∠AOC=90，点O 、点B 、点E 三点共线时，OB+AB 取最小值，最小值为OE 的长,在△CEF 和△CAO 中，EFC AOC ECF ACO CE AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CEF ≌OCAO(AAS),∴EF=OA=2，CF=OC=2∴OF=OC+CF=4, 22224225OE OF EF ∴=+=+=即OB+AB 的最小值为25．故选:B【点睛】本题考查的是最短路线问题，找最短路线是解题关键．找一点的对称点连接另一点和对称点与对称轴的交点就是B 点．2．气象台预报“铜陵市明天降水概率是75%”．据此信息，下列说法正确的是（ ）A ．铜陵市明天将有75％的时间降水B ．铜陵市明天将有75％的地区降水C ．铜陵市明天降水的可能性比较大D ．铜陵市明天肯定下雨【答案】C【分析】根据概率表示某事情发生的可能性的大小，依次分析选项可得答案．【详解】解：根据概率表示某事情发生的可能性的大小，分析可得：A 、铜陵市明天将有75%的时间降水，故此选项错误；B 、铜陵市明天将有75%的地区降水，故此选项错误；C 、明天降水的可能性为75%，比较大，故此选项正确；D 、明天肯定下雨，故此选项错误；故选：C ．【点睛】此题主要考查了概率的意义，关键是理解概率表示随机事件发生的可能性大小：可能发生，也可能不发生． 3．如图，正三角形ABC 的边长为4cm ，D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 的中点，以A ，B ，C 三点为圆心，2cm 为半径作圆．则图中阴影部分面积为（ ）A ．（23-π）cm 2B ．（π-3）cm 2C ．（43-2π）cm 2D ．（2π-23）cm 2【答案】C 【分析】连接AD ，由等边三角形的性质可知AD ⊥BC ，∠A=∠B=∠C=60°，根据S 阴影=S △ABC -3S 扇形AEF 即可得出结论．【详解】连接AD ，∵△ABC 是正三角形，∴AB=BC=AC=4，∠BAC=∠B=∠C=60°，∵BD=CD ，∴AD ⊥BC ，∴AD=22AB BD -=224223-=，∴S 阴影=S △ABC -3S 扇形AEF =12×4×23﹣26023360π⨯⨯=(43﹣2π)cm 2， 故选C ．【点睛】本题考查了有关扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．4．已知一扇形的圆心角为60︒，半径为5，则以此扇形为侧面的圆锥的底面圆的周长为（ ） A ．53π B ．10π C ．56π D ．16π 【答案】A【分析】利用弧长公式计算出扇形的弧长，以此扇形为侧面的圆锥的底面圆的周长即是扇形的弧长.【详解】解：扇形的弧长＝60?••55=180?3， 以此扇形为侧面的圆锥的底面圆的周长为53π． 故选：A ．【点睛】本题考查了弧长的计算：••180n r l . 5．二次函数2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：且当12x =-时，与其对应的函数值0y >．有下列结论：①0abc >；②2-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根；③0m <203n +<．其中，正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C 【分析】首先确定对称轴，然后根据二次函数的图像和性质逐一进行分析即可求解．【详解】∵由表格可知当x=0和x=1时的函数值相等都为-2∴抛物线的对称轴是：x=-2b a =12； ∴a 、b 异号，且b=-a ；∵当x=0时y=c=-2∴c 0<∴abc >0，故①正确；∵根据抛物线的对称性可得当x=-2和x=3时的函数值相等都为t∴2-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根；故②正确；∵b=-a ，c=-2∴二次函数解析式：2-a -2=y ax x ∵当12x =-时，与其对应的函数值0y >． ∴3204a ->，∴a 83>； ∵当x=-1和x=2时的函数值分别为m 和n ，∴m=n=2a-2，∴m+n=4a-4203>；故③错误 故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程等知识点，要会利用数形结合的思想，根据给定自变量x 与函数值y 的值结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键．6．在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是（）A．4个B．5个C．不足4个D．6个或6个以上【答案】D【解析】由取出红球的可能性大知红球的个数比白球个数多，据此可得答案．【详解】解：∵袋子中白球有5个，且从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，∴红球的个数比白球个数多，∴红球个数满足6个或6个以上，故选：D．【点睛】本题主要考查可能性大小，只要在总情况数目相同的情况下，比较其包含的情况总数即可．7．如图，该图形围绕点O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是( )A．72︒B．108︒C．144︒D．216︒【答案】B【解析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．【详解】解：由该图形类同正五边形，正五边形的圆心角是360725︒=．根据旋转的性质，当该图形围绕点O旋转后，旋转角是72°的倍数时，与其自身重合，否则不能与其自身重合．由于108°不是72°的倍数，从而旋转角是108°时，不能与其自身重合．故选B．【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．8．如图，在平行四边形ABCD中，E为CB延长线上一点，且:2:5BE CE=，连接DE交AB于F，则△ADF与△BEF的周长之比为（）。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．若23a b =，则32a b a b -+的值是（ ） A ．75 B ．23 C ．125 D ．0【答案】D 【分析】设23a b k ==，则a=2k ，b=3k ，代入式子化简即可． 【详解】解：设23a b k ==， ∴a=2k ，b=3k ，∴32a b a b-+=322323k k k k ⨯-⨯+=0， 故选D.【点睛】本题考查比例线段，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．2．如图，有一块三角形余料ABC ，它的面积为362cm ，边12BC =cm ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上，则加工成的正方形零件的边长为( )cmA ．8B ．6C ．4D ．3【答案】C 【分析】先求出△ABC 的高，再根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即△AEF ∽△ABC ，从而根据相似三角形的性质求出正方形的边长.【详解】作AH ⊥BC ，交BC 于H ，交EF 于D.设正方形的边长为xcm ，则EF=DH= xcm ，∵△AB 的面积为362cm ，边12BC =cm ，∴AH=36×2÷12=6.∵EF ∥BC,∴△AEF ∽△ABC, ∴EF ADBC AH=, ∴6126x x -=, ∴x=4.故选C.【点睛】本题考查综合考查相似三角形性质的应用以及正方形的有关性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形．3．如图，在平行四边形ABCD 中AE ：1BE =：2.若2AEF S ∆=，则DFC S ∆=（ ）A ．18B ．12C ．10D ．8【答案】A 【分析】先根据平行四边形的性质得到AB=CD ，AB ∥CD ，再计算出AE ：CD=1：3，接着证明△AEF ∽△CDF ，然后根据相似三角形的性质求解．【详解】∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB=CD ，AB ∥CD ， ∵:1:2AE EB =，∴:1:3AE AB =，∴:1:3AE CD =，∵AE ∥CD ，∴AEF CDF ∽，∴2AEF CDF AE 1()CD 9S S==， ∴()2DFC AEF 99218S S cm ==⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 4．若⊙O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离为4cm ，那么点A 与⊙O 的位置关系是A ．点A 在圆外B ．点A 在圆上C ．点A 在圆内D ．不能确定【答案】C【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d ＞r 时，点在圆外；当d=r 时，点在圆上；当d ＜r 时，点在圆内判断出即可．【详解】解：∵⊙O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离为4cm ，∴d ＜r ，∴点A 与⊙O 的位置关系是：点A 在圆内，故选C ．5．不等式5131x x +≥-的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【详解】解：5131x x +≥-，移项得：5311x x -≥--，合并同类项得：22x ≥-，系数化为1得，1x ≥-， 在数轴上表示为：故选：B ．【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．6．如图，半径为3的⊙O 内有一点A ，OA=3，点P 在⊙O 上，当∠OPA 最大时，PA 的长等于（ ）A 3B 6C ．3D ．3【答案】B【解析】如图所示：∵OA 、OP 是定值，∴在△OPA 中，当∠OPA 取最大值时，PA 取最小值，∴PA ⊥OA 时，PA 取最小值；在直角三角形OPA 中,OA=3√，OP=3，∴22=6OP OA -故选B.点睛：本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理的应用.解答此题的关键是找出“PA ⊥OA 时，∠OPA 最大”这一隐含条件. 当PA ⊥OA 时，PA 取最小值，∠OPA 取得最大值，然后在直角三角形OPA 中利用勾股定理求PA 的值即可．7．若一元二次方程x 2﹣4x ﹣4m ＝0有两个不等的实数根，则反比例函数y ＝2m x +的图象所在的象限是（ ）A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限 【答案】B【分析】首先根据一元二次方程根的判别式确定m 的取值范围，进而可得m+2的取值范围，然后再根据反比例函数的性质可得答案．【详解】∵一元二次方程x 2﹣4x ﹣4m =0有两个不等的实数根，∴△=b 2﹣4ac =16+16m ＞0，∴m ＞﹣1，∴m+2＞1，∴反比例函数y =2m x+的图象所在的象限是第一、三象限， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质以及一元二次方程根的判别式，关键是正确确定m 的取值范围．8．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴过点(1,0)且平行于y 轴，若点(4,0)P 在抛物线上，则下列4个结论：①0abc >；②24b ac <；③0a b c ++=；④420a b c -+=．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】根据二次函数的图象与性质对各个结论进行判断，即可求出答案．【详解】解：∵抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴过点(1,0)，∴抛物线的对称轴为1x =，即12b a-=，可得2b a =- 由图象可知0a >， 0c <，则0b <，∴0abc >，①正确；∵图象与x 轴有两个交点，∴240b ac ∆=->，即24b ac >，②错误；∵抛物线的顶点在x 轴的下方，∴当x=1时，0y a b c =++<，③错误；∵点(4,0)P 在抛物线上，即(4,0)P 是抛物线与x 轴的交点，由对称轴1x =可得，抛物线与x 轴的另一个交点为(2,0)-，故当x=−2时，420=-+=y a b c ，④正确；综上所述：①④正确，故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x 轴的交点，解题的关键是逐一分析每条结论是否正确．解决该题型题目时，熟练掌握二次函数的图象与性质是关键．9．下列所给的事件中，是必然事件的是（ ）A ．一个标准大气压下，水加热到100C ︒时会沸腾B ．买一注福利彩票会中奖C ．连续4次投掷质地均匀的硬币，4次均硬币正面朝上D ．2020年的春节小长假辛集将下雪【答案】A【分析】直接利用时间发生的可能性判定即可．【详解】解：A 、一个标准大气压下，水加热到100℃时会沸腾，是必然事件；B 买一注福利彩票会中奖，是随机事件；C 、连续4次投掷质地均匀的硬币，4次均硬币正面朝上，是随机事件；D ，2020年的春节小长假辛集将下雪，是随机事件．故答案为A ．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，掌握三类事件的定义以及区别与联系是解答本题的关键．10．将抛物线23y x =-向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ）A ．23(2)y x =-+B ．232y x =-+C ．23(2)y x =--D ．232y x =--【答案】A【详解】解：∵抛物线23y x =-向左平移2个单位后的顶点坐标为（﹣2，0）， ∴所得抛物线的解析式为23(2)y x =-+．故选A ．【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，利用数形结合思想解题是关键．11．在一幅长60 cm 、宽40 cm 的长方形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅长方形挂图，如图.如果要使整个挂图的面积是2816 cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是( )A ．(60＋2x)(40＋2x)＝2816B ．(60＋x)(40＋x)＝2816C ．(60＋2x)(40＋x)＝2816D ．(60＋x)(40＋2x)＝2816【答案】A【解析】根据题意可知，挂画的长和宽分别为（60+2x ）cm 和(40＋2x)cm ，据此可列出方程(60＋2x)(40＋2x)＝2816【详解】若设金色纸边的宽为x cm ，则挂画的长和宽分别为（60+2x ）cm 和(40＋2x)cm ，可列方程(60＋2x)(40＋2x)＝2816故答案为A.【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解题关键.12．把两个大小相同的正方形拼成如图所示的图案.如果可以随意在图中取点.则这个点取在阴影部分的慨率是（ ）A ．13B ．12C ．37D ．38【答案】C【分析】先设图中阴影部分小正方形的面积为x ，则整个阴影部分的面积为3x ，而整个图形的面积为7x.再根据几何概率的求法即可得出答案.【详解】解：设图中阴影部分小正方形的面积为x ，，则整个阴影部分的面积为3x ，而整个图形的面积为7x,∴这个点取在阴影部分的慨率是3377x x = 故答案为：C.【点睛】本题考查的知识点是事件的概率问题，解题的关键是根据已给图形找出图中阴影部分的面积与整个图形的面积.二、填空题（本题包括8个小题）13．再读教材：如图，钢球从斜面顶端静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加1.5m/s ，在这个问题中，距离=平均速度v ⨯时间t ，02t v v v +=，其中0v 是开始时的速度，t v 是t 秒时的速度.如果斜面的长是18m ，钢球从斜面顶端滚到底端的时间为________s.【答案】26 【分析】根据题意求得钢球到达斜面低端的速度是1.5t ．然后由“平均速度v ⨯时间t”列出关系式，再把s=18代入函数关系式即可求得相应的t 的值．【详解】依题意得s=0 1.52t +×t=34t 2， 把s=18代入，得18=34t 2， 解得 t=26，或t=-26（舍去）．故答案为26【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据实际问题列出二次函数关系式．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．14．在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果AB=6，1cos 3A =，那么AC=_____． 【答案】2【解析】如图所示，在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=6,cosA=13， ∴cosA=13AC AB =， 则AC=13AB=13×6=2， 故答案为2.15．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________.【答案】1；【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用360°÷45°可求得边数．【详解】∵多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45°，∴360°÷45°=1即该正多边形的边数是1．【点睛】本题主要考查了多边形外角和是360度和正多边形的性质（正多边形的各个内角相等，各个外角也相等）．16．二次函数y＝x2﹣bx+c的图象上有两点A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2），则此抛物线的对称轴是直线x＝________．【答案】-3【分析】观察A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2）两点坐标特征，纵坐标相等，可知A,B两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为经过线段AB中点且平行于y轴的直线.【详解】解：∵ A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2）两点纵坐标相等，∴A,B两点关于对称轴对称，根据中点坐标公式可得线段AB的中点坐标为(-3,-2)，∴抛物线的对称轴是直线x= -3.【点睛】本题考查二次函数图象的对称性及对称轴的求法，常见确定对称轴的方法有，已知解析式则利用公式法确定对称轴，已知对称点利用对称性确定对称轴，根据条件确定合适的方法求对称轴是解答此题的关键.17．反比例函数kyx=的图象具有下列特征：在所在象限内，y的值随x值增大而减小．那么k的取值范围是_____________．【答案】0k>【分析】直接利用当k＞1，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜1，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，进而得出答案．【详解】解：∵反比例函数kyx=的图象在所在象限内，y的值随x值的增大而减小，∴k＞1．故答案为：k＞1．【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，掌握基本性质是解题的关键．18．如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O1，半圆O2，…，半圆O n与直线l相切．设半圆O1，半圆O2，…，半圆O n的半径分别是r1，r2，…，r n，则当直线l与x轴所成锐角为30°，且r1＝1时，r2018＝________.【答案】1【解析】分别作O1A⊥l，O2B⊥l，O3C⊥l，如图，∵半圆O1，半圆O2，…，半圆O n与直线L相切，∴O1A=r1，O2B=r2，O3C=r3，∵∠AOO1=30°，∴OO 1=2O 1A=2r 1=2，在Rt △OO 2B 中，OO 2=2O 2B ，即2+1+r 2=2r 2，∴r 2=3，在Rt △OO 2C 中，OO 3=2O 2C ，即2+1+2×3++r 3=2r 3，∴r 3=9=32，同理可得r 4=27=33，所以r 2018=1．故答案为1．点睛：找规律题需要记忆常见数列1,2,3,4……n1,3,5,7……2n -12,4,6,8……2n2,4,8,16,32……2n1,4,9,16,25……2n2,6,12,20……n(n+1)一般题目中的数列是利用常见数列变形而来，其中后一项比前一项多一个常数，是等差数列，列举找规律.后一项是前一项的固定倍数，则是等比数列，列举找规律.三、解答题（本题包括8个小题）19．已知O 的半径长为5R =，弦AB 与弦CD 平行，6AB =，8CD =，求,AB CD 间的距离．【答案】1或7【分析】先根据勾股定理求出OF=4，OE=3，再分AB 、CD 在点O 的同侧时，AB 、CD 在点O 的两侧时两种情况分别计算求出EF 即可.【详解】如图，过点O 作OE ⊥CD 于E ，交AB 于点F ，∵//AB CD ，∴OE ⊥AB ，在Rt △AOF 中，OA=5，AF=12AB=3，∴OF=4， 在Rt △COE 中，OC=5，CE=12CD=4，∴OE=3， 当AB 、CD 在点O 的同侧时，AB 、CD 间的距离EF=OF-OE=4-3=1；当AB 、CD 在点O 的两侧时，AB 、CD 间的距离EF=OE+OF=3+4=7，故答案为：1或7.【点睛】此题考查了圆的垂径定理，勾股定理，在圆中通常利用垂径定理和勾股定理求半径、弦的一半、弦心距三者中的一个量.20．已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．（1）求证：AB=AF；（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）结论：四边形ACDF是矩形．理由见解析.【分析】（1）只要证明AB=CD，AF=CD即可解决问题；（2）结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠AFC=∠DCG，∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，∴△AGF≌△DGC，∴AF=CD，∴AB=AF．（2）解：结论：四边形ACDF是矩形．理由：∵AF=CD，AF∥CD，∴四边形ACDF是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD=120°，∴∠FAG=60°，∵AB=AG=AF ，∴△AFG 是等边三角形，∴AG=GF ，∵△AGF ≌△DGC ，∴FG=CG ，∵AG=GD ，∴AD=CF ，∴四边形ACDF 是矩形．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.21．关于x 的一元二次方程2220x x m ++=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若1x ，2x 是一元二次方程2220x x m ++=的两个根，且22128x x +=，求m 的值．【答案】（1）m ＜12；（2）﹣1． 【解析】试题分析：（1）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）根据方程的解析式结合根与系数的关系得出122x x +=-，122x x m =，再结合完全平方公式可得出222121212()2x x x x x x +=+-，代入数据即可得出关于关于m 的一元一次方程，解方程即可求出m 的值，经验值m=﹣1符合题意，此题得解．试题解析：（1）∵一元二次方程2220x x m ++=有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4×1×2m=4﹣8m ＞0，解得：m ＜12，∴m 的取值范围为m ＜12． （2）∵1x ，2x 是一元二次方程2220x x m ++=的两个根，∴122x x +=-，122x x m =，∴222121212()2x x x x x x +=+-=4﹣4m=8，解得：m=﹣1．当m=﹣1时，△=4﹣8m=12＞0，∴m 的值为﹣1．考点：根与系数的关系；根的判别式．22．不透明的袋子中装有1个相同的小球，它们除颜色外无其它差别，把它们分别标号：1、2、3、1．(1)随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，用列表或画树状图的方法求出“两次取的球标号相同”的概率；(2)随机摸出两个小球，直接写出“两次取出的球标号和为奇数”的概率．【答案】(1)14；(2)23．【解析】（1）画树状图展示所有16种等可能的结果数，找出两次取的球标号相同的结果数，然后根据概率公式求解（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次取出的球标号和为奇数的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】(1)画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中两次取的球标号相同的结果数为1，所以“两次取的球标号相同”的概率=416=14；(2)画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两次取出的球标号和为奇数的结果数为8，所以“两次取出的球标号和为奇数”的概率=812=23．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A 或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．23．如图，某中学有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地上修筑宽都为2米的两条互相垂直的道路（阴影部分），余下的四块矩形小场地建成草坪．（1）请分别写出每条道路的面积（用含a或b的代数式表示）；（2）若:2:1a b=，并且四块草坪的面积之和为144平方米，试求原来矩形场地的长与宽各为多少米？【答案】（1）这两条道路的面积分别是2a平方米和2b平方米；（2）原来矩形的长为20米，宽为10米．【分析】（1）由题意矩形场地的长为a米，宽为b米以及道路宽为2米即可得出每条道路的面积；（2）根据题意四块草坪的面积之和为144平方米这一等量关系建立方程进行分析计算即可.【详解】解：（1）由题意可知这两条道路的面积分别是2a平方米和2b平方米.（2）a:b2:1=，∴a2b=，根据题意得：()()2b 2b 2144--=解得：1b 10=，2b 7=-（舍去），∴a 2b 20==（米）答：原来矩形的长为20米，宽为10米.【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意并根据题意列方程求解是解题的关键.24．西安市某中学数学兴趣小组在开展“保护环境，爱护树木”的活动中，利用课外时间测量一棵古树的高，由于树的周围有水池，同学们在低于树基3.3米的一平坝内(如图)．测得树顶A 的仰角∠ACB=60°，沿直线BC 后退6米到点D ，又测得树顶A 的仰角∠ADB=45°．若测角仪DE 高1.3米，求这棵树的高AM ．(结果保留两位小数，3≈1.732)【答案】12.20米【分析】可在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，利用已知角的三角函数，用AB 表示出BD 、BC ，根据CD=BD ﹣BC=6即可求出AB 的长；已知HM 、DE 的长，易求得BM 的值，由AM=AB ﹣BM 即可求出树的高度．【详解】设AB=x 米．Rt △ABD 中，∠ADB=45°，BD=AB=x 米．Rt △ACB 中，∠ACB=60°，BC=AB ÷tan60°3=x 米． CD=BD ﹣BC=(133-)x=6， 解得：3即3米．∵BM=HM ﹣DE=3.3﹣1.3=2，∴AM=AB ﹣3≈12.20(米)．答：这棵树高12.20米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题．25．已知二次函数21y x bx =+-的图象经过点()32，． （1）求这个函数的解析式；（2）画出它的简图，并指出图象的顶点坐标；（3）结合图象直接写出使2y ≥的x 的取值范围．【答案】（1）221y x x =--；（1）图见解析，顶点坐标是()1,2-；（3）3x ≥或1x ≤-． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（1）先化为2221(1)2y x x x =--=--，即可得出顶点坐标，并作出图像；（3）根据图象即可得出，3x ≥或1x ≤-时，y≥1．【详解】（1）函数21y x bx =+-的图象经过点(3,2)，∴9+3b -1=1，解得2b =-，∴函数的解析式为221y x x =--； （1）2221(1)2y x x x =--=--如图，顶点坐标是(1,2)-；（3）当2y =-时, 221=-2x x --解得：121,3x x =-=根据图象知，当3x ≥或1x ≤-时，2y ≥,∴使2y ≥的x 的取值范围是3x ≥或1x ≤-．【点睛】考查待定系数法求二次函数的解析式以及函数图象的性质，要根据图象所在的位置关系求相关的变量的取值范围．26．抛物线2y ax bc c =++的对称轴为直线1x =，该抛物线与x 轴的两个交点分别为A 和B ，与y 轴的交点为C ，其中(1,0),(0,3)A C --．（1）写出点B 的坐标________；（2）若抛物线上存在一点P ，使得POC ∆的面积是BOC ∆的面积的2倍，求点P 的坐标； （3）点M 是线段BC 上一点，过点M 作x 轴的垂线交抛物线于点D ，求线段MD 长度的最大值．【答案】（1）(3,0)；（2）点P 的坐标为(6,21)或()6,45-；（3）MD 长度的最大值为94． 【分析】（1）抛物线的对称轴为x=1，点A 坐标为（-1，0），则点B （3，0），即可求解；（2）由S △POC =2S △BOC ，则x=±2OB=6，即可求解；（3）设：点M 坐标为（x ，x-3），则点D 坐标为（x ，x 2-2x-3），则MD=x-3-x 2+2x+3，即可求解．【详解】解：（1）抛物线的对称轴为1x =，点A 坐标为(1,0)-，则点(3,0)B ，故：答案为(3,0)；（2）二次函数表达式为：2(1)(3)(23)y a x x a x x =+-=﹣﹣， 即：33a -＝-，解得：1a ＝，故抛物线的表达式为：223y x x --＝， 所以11933222BOC S OB OC =⨯⨯=＝ 由题意得：29POC BOC S S =＝，设P （x, 223x x ﹣﹣）则13922POC OC x S x === 所以6x =则6x ±＝，所以当6x =时，223x x ﹣﹣=-21，当6x =-时，223x x ﹣﹣=45故点P 的坐标为(6,21)或()6,45-；（3）如图所示，将点B C 、坐标代入一次函数y kx b +＝得表达式得330c k b =-⎧⎨+=⎩，解得：13k b =⎧⎨=-⎩， 故直线BC 的表达式为：3y x -＝，设：点M 坐标为(3)x x -，，则点D 坐标为2(23)x x x --，，则2239323()24MD x x x x =--++=--+， 故MN 长度的最大值为94． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．27．计算（1）()222(2)150a a ----= （2）22)42x x -=-（ （3200001345sin 30tan 60sin 602-+（4）001032018sin60tan3038--+--（π）（）【答案】 (1) 121,7a a =-=；(2)120,2x x ==；3；(4)3 【分析】（1）先运用去括号原则以及完全平方差公式去括号，再合并同类项，最后利用因式分解法求解即可；（2）先运用完全平方差公式去括号，再移项和合并同类项，最后利用因式分解法求解即可； （3）由题意代入特殊三角函数值，并利用二次根式运算法则进行计算；（4）由题意代入特殊三角函数值，并利用二次根式运算法则以及负指数幂和去绝对值的运算方法进行计算.【详解】解：（1）()222(2)150a a ----= 24424150a a a +--+-=2670a a --=(1)(7)0a a +-=解为：121,7a a =-=；（2）22)42x x -=-（ 24442x x x +-=-220x x -=(2)0x x -=解为：120,2x x ==；（320000145sin 30tan 60sin 602-+2112222⎛-⨯ ⎝⎭=4； （4）00102018sin60tan30--+-（π）（）=112-++⎝⎭=1233++ =3.【点睛】本题考查一元二次方程的解法和实数的计算，用到的知识点是因式分解法求一元二次方程和负整数指数幂、零指数幂和特殊角的三角函数值，关键是根据式子的特点灵活运用解方程的方法进行求解．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A(6，6)，B(8，2)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，则端点C 的坐标为( )A ．(3，3)B ．(4，3)C ．(3，1)D ．(4，1)【答案】A 【分析】利用位似图形的性质和两图形的位似比，并结合点A 的坐标即可得出C 点坐标．【详解】解：∵线段AB 的两个端点坐标分别为A （6，6），B （8，2），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ， ∴端点C 的横坐标和纵坐标都变为A 点的一半，∴端点C 的坐标为：（3，3）．故选A ．【点睛】本题主要考查位似变换、坐标与图形性质，解题的关键是结合位似比和点A 的坐标．2．如图，,AC BD 是O 内两条互相垂直的直径，则ACB 的度数是（ ）A ．30B ．36C ．45D ．72【答案】C 【分析】根据直径的定义与等腰三角形的性质即可求解．【详解】∵,AC BD 是O 内两条互相垂直的直径，∴AC ⊥BD又OB=OC∴ACB ∠=180902︒-︒=45 故选C ．【点睛】 此题主要考查圆内的角度求解，解题的关键是熟知圆内等腰三角形的性质．3．若ABC DEF ∽，相似比为2，且ABC 的面积为12，则DEF 的面积为 （ ）A ．3B ．6C ．24D ．48 【答案】A【解析】试题分析：∵△ABC ∽△DEF ，相似比为2，∴△ABC 与△DEF 的面积比为4，∵△ABC 的面积为12，∴△DEF 的面积为：12×14=1． 故选A ．考点：相似三角形的性质．4．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐项进行判断即可.【详解】A 、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；B 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；C 、既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；D 、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意.故选：C.【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的定义，熟练掌握定义是关键.5．某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0-9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同，才能将锁打开，如果仅忘记了所设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】试题分析：根据题意可知总共有10种等可能的结果，一次就能打开该密码的结果只有1种，所以P （一次就能打该密码）＝，故答案选A.考点：概率. 6．如图所示，矩形纸片ABCD 中，6AD cm =，把它分割成正方形纸片ABFE 和矩形纸片EFCD 后，分别裁出扇形ABF 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB 的长为（ ）A ．3.5cmB ．4cmC ．4.5cmD ．5cm【答案】B 【分析】设AB=xcm ，则DE=（6-x ）cm ，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可．【详解】设AB x =，则DE=（6-x ）cm ， 由题意，得()906180x x ππ⋅=-， 解得4x =.故选B ．【点睛】本题考查了圆锥的计算，矩形的性质，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．7．如图所示，把一张矩形纸片对折，折痕为AB ，再把以AB 的中点O 为顶点的平角AOB ∠三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O 为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是( )A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形【答案】D 【解析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．【详解】由第二个图形可知：∠AOB 被平分成了三个角，每个角为60°，它将成为展开得到图形的中心角，那么所剪出的平面图形是360°÷60°=6边形．故选D ．【点睛】本题考查了剪纸问题以及培养学生的动手能力及空间想象能力，此类问题动手操作是解题的关键．8．二次函数22(2)3=-+-y x 的顶点坐标是（ ）A ．（-2,3）B ．（-2，-3）C ．（2,3）D ．（2，-3） 【答案】B【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．【详解】解：∵二次函数的顶点式为y ＝-2（x ＋2）2−3，∴其顶点坐标为：（−2，−3）．故选：B ．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点坐标特征是解答此题的关键．9．在围棋盒中有x 颗白色棋子和y 颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是25，如再往盒中放进3颗黑色棋子，取得白色棋子的概率变为14，则原来盒里有白色棋子（ ） A ．1颗B ．2颗C ．3颗D ．4颗【答案】B 【解析】试题解析：由题意得25134x x y x x y ⎧⎪+⎪⎨⎪⎪++⎩＝＝， 解得：23x y ⎧⎨⎩＝＝． 故选B ．10．要得到抛物线2(1)3y x =-+，可以将2y x （ ）A ．向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度B ．向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度C ．向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度D ．向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度【答案】C【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【详解】解：∵y=（x-1）2+1的顶点坐标为（1，1），y=x 2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y=x 2向右平移1个单位，再向上平移1个单位，可得到抛物线y=（x-1）2+1．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标． 11．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，将△ABC 绕C 点按逆时针方向旋转α角(0°＜α＜90°)得到△DEC，设CD交AB于点F，连接AD，当旋转角 度数为________，△ADF是等腰三角形．A．20°B．40°C．10°D．20°或40°【答案】D【分析】根据旋转的性质可得AC=CD，根据等腰三角形的两底角相等求出∠ADF=∠DAC，再表示出∠DAF，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠AFD，然后分①∠ADF=∠DAF，②∠ADF=∠AFD，③∠DAF=∠AFD三种情况讨论求解．【详解】∵△ABC绕C点逆时针方向旋转得到△DEC，∴AC=CD，∴∠ADF=∠DAC=12（180°-α），∴∠DAF=∠DAC-∠BAC=12（180°-α）-30°，根据三角形的外角性质，∠AFD=∠BAC+∠DCA=30°+α，△ADF是等腰三角形，分三种情况讨论，①∠ADF=∠DAF时，1 2（180°-α）=12（180°-α）-30°，无解，②∠ADF=∠AFD时，12（180°-α）=30°+α，解得α=40°，③∠DAF=∠AFD时，12（180°-α）-30°=30°+α，解得α=20°，综上所述，旋转角α度数为20°或40°．故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A．点P B．点DC．点M D．点N【答案】A【解析】试题分析：根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．解：∵位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，所以位似中心在M、N所在的直线上，因为点P在直线MN上，所以点P为位似中心．故选A．考点：位似变换．2．抛物线y＝（x﹣1）2﹣2 的顶点是（）A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（﹣1，﹣2）【答案】A【分析】根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标即可解决．【详解】解：∵y＝（x﹣1）2﹣2是抛物线解析式的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，﹣2）．故选：A．【点睛】本题考查了顶点式，解决本题的关键是正确理解二次函数顶点式中顶点坐标的表示方法.3．下列说法中错误的是（）A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件B．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件C．“抛一枚硬币，正面向上的概率为12”表示每抛两次就有一次正面朝上D．“抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为16”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定在16附近【答案】C【分析】根据随机事件的定义可判断A 项，根据中心对称图形和必然事件的定义可判断B 项，根据概率的定义可判断C 项，根据频率与概率的关系可判断D 项，进而可得答案．【详解】解：A 、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件，故本选项说法正确，不符合题意； B 、“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，故本选项说法正确，不符合题意； C 、“抛一枚硬币，正面向上的概率为12”表示每抛两次就有一次正面朝上，故本选项说法错误，符合题意；D 、“抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为16”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定在16附近，故本选项说法正确，不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查了随机事件、必然事件、中心对称图形以及频率与概率的关系等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．4．使关于x 的二次函数()223y x a x =-+--在y 轴左侧y 随x 的增大而增大，且使得关于x 的分式方程21111ax x x+-=--有整数解的整数a 的和为（ ） A ．10B ．4C ．0D ．3 【答案】A【分析】根据“二次函数在y 轴左侧y 随x 的增大而增大”求出a 的取值范围，然后解分式方程，最后根据整数解及a 的范围即可求出a 的值，从而得到结果．【详解】∵关于x 的二次函数2(2)3y x a x =-+--在y 轴左侧y 随x 的增大而增大， 202(1)a -∴-≥⨯-，解得2a ≥， 把21111ax x x+-=--两边都乘以1x -，得211ax x +-+=-， 整理，得(1)4a x -=-，当1a ≠时，41x a =--， 1x ≠，∴使x 为整数，且2a ≥的整数a 的值为2、3、5，∴满足条件的整数a 的和为23510++=．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质与对称轴，解分式方程，解分式方程时注意符号的变化．5．已知：如图，矩形ABCD 中，AB ＝2cm ，AD ＝3cm ．点P 和点Q 同时从点A 出发，点P 以3cm/s 的速度沿A →D 方向运动到点D 为止，点Q 以2cm/s 的速度沿A →B →C →D 方向运动到点D 为止，则△APQ 的面积S （cm 2）与运动时间t （s ）之间函数关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】研究两个动点到矩形各顶点时的时间，分段讨论求出函数解析式即可求解．【详解】解：分三种情况讨论：（1）当0≤t≤1时，点P 在AD 边上，点Q 在AB 边上，∴S ＝212332t t t ⨯⨯=， ∴此时抛物线经过坐标原点并且开口向上；（1）当1＜t≤1．5时，点P 与点D 重合，点Q 在BC 边上，∴S ＝1322⨯⨯＝2， ∴此时，函数值不变，函数图象为平行于t 轴的线段；（2）当1．5＜t≤2．5时，点P 与点D 重合，点Q 在CD 边上，∴S ＝12×2×（7﹣1t ））＝﹣t+212． ∴函数图象是一条线段且S 随t 的增大而减小．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数与几何问题,用分类讨论的数学思想解题是关键，解答时注意研究动点到达临界点时的时间以此作为分段的标准，逐一分析求解．6．用一个平面去截一个圆锥，截面的形状不可能是( )A ．圆B ．矩形C ．椭圆D ．三角形【答案】B【分析】利用圆锥的形状特点解答即可.【详解】解：平行于圆锥的底面的截面是圆，故A 可能;截面不可能是矩形，故B 符合题意；斜截且与底面不相交的截面是椭圆，故C 可能;过圆锥的顶点的截面是三角形，故D 可能.故答案为B.【点睛】本题主要考查了截一个几何体所得的截面的形状，解答本题的关键在于明确截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关.7．下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．正三角形B ．正五边形C ．等腰直角三角形D ．矩形【答案】D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一进行分析判断即可得.【详解】A ．正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；B ．正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形；C ．等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；D ．矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故选D ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．8．关于x 的一元二次方程()22m 2x x m 40-++-=有一个根为0，则m 的值应为（ ） A ．2B ．2-C ．2或2-D ．1【答案】B 【分析】把x=0代入方程可得到关于m 的方程，解方程可得m 的值，根据一元二次方程的定义m-2≠0，即可得答案. 【详解】关于x 的一元二次方程()22240m x x m -++-=有一个根为0， 240m ∴-=且20m -≠，解得，2m =-．故选B ．【点睛】本题考查一元二次方程的解及一元二次方程的定义，使等式两边成立的未知数的值叫做方程的解，明确一元二次方程的二次项系数不为0是解题关键.9．已知⊙O 的半径为5，若OP=6，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．点P 在⊙O 内B ．点P 在⊙O 外C ．点P 在⊙O 上D ．无法判断 【答案】B【解析】比较OP 与半径的大小即可判断.【详解】r 5=，d OP 6==，d r ∴>，∴点P 在O 外，故选B ．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，记住：点与圆的位置关系有3种.设O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP d =，则有：①点P 在圆外d r ⇔>；②点P 在圆上d r ⇔=；①点P 在圆内d r ⇔<. 10．用小立方块搭成的几何体，从正面看和从上面看的形状图如下，则组成这样的几何体需要的立方块个数为( )A ．最多需要8块，最少需要6块B ．最多需要9块，最少需要6块C ．最多需要8块，最少需要7块D ．最多需要9块，最少需要7块【答案】C 【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可知第一层正方体的个数为4，由主视图可知第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，第三层只有一块，相加即可.【详解】由主视图可得：这个几何体共有3层，由俯视图可知第一层正方体的个数为4，由主视图可知第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，第三层只有一块，故：最多为3+4+1=8个最少为2+4+1=7个故选C【点睛】本题考查由三视图判断几何体，熟练掌握立体图形的三视图是解题关键.11．已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据左视图的定义: 由物体左边向右做正投影得到的视图(不可见的用虚线),判断即可.【详解】解:根据左视图的定义可知:该几何体的左视图为:故选:B.【点睛】此题考查的是判断一个几何体的左视图,掌握左视图的定义: 由物体左边向右做正投影得到的视图(不可见的用虚线),是解决此题的关键.12．如图，重庆欢乐谷的摩天轮是西南地区最高的摩天轮，号称“重庆之限”．摩天轮是一个圆形，直径AB垂直水平地面于点C，最低点B离地面的距离BC为1.6米．某天，妈妈带着洋洋来坐摩天轮，当她站在点D仰着头看见摩天轮的圆心时，仰角为37º，为了选择更佳角度为洋洋拍照，妈妈后退了49米到达点D’，当洋洋坐的桥厢F与圆心O在同一水平线时，他俯头看见妈妈的眼睛，此时俯角为42º，已知妈妈的眼睛到地面的距离为1.6米，妈妈两次所处的位置与摩天轮在同一平面上，则该摩天轮最高点A离地面的距离AC约是（）（参考数据：sin37º≈0.60，tan37º≈0.75，sin42º≈0.67，tan42º≈0.90）A．118.8米B．127.6米C．134.4米D．140.2米【答案】B【分析】连接EB，根据已知条件得到E′，E，B在同一条直线上，且E′B⊥AC，过F做FH⊥BE于H，则四边形BOFH是正方形，求得BH=FH=OB，设AO=OB=r，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：连接EB，∵D′E′=DE=BC=1.6∴E′，E ，B 在同一条直线上，且E′B ⊥AC ，过F 做FH ⊥BE 于H ，则四边形BOFH 是正方形，∴BH=FH=OB ，设AO=OB=r ，∴FH=BH=r ，∵∠OEB=37°，∴tan37°=0.75OB BE=， ∴BE=43r ， ∴EH=BD-BH=13r ，∵EE′=DD′=49，∴E′H=49+13r ，∵∠FE′H=42°， ∴tan42°=0.91493FH r E H r =='+， 解得r≈63，∴AC=2×63+1.6=127.6米，故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形——仰角与俯角问题，正方形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴相交于点A ，B(m ＋2，0)，与y 轴相交于点C ，点D 在该抛物线上，坐标为(m ，c)，则点A 的坐标是________．【答案】 (－2，0)【解析】由C(0,c),D(m,c),得函数图象的对称轴是2m x = ， 设A 点坐标为(x,0),由A . B 关于对称轴2m x =对称得222x m m ++= ， 解得x =−2，即A 点坐标为(−2,0)，故答案为(−2,0). 14．如图，在平面直角坐标系中，点A 是函数 (0)k y x x=<图象上的点，AB⊥x 轴，垂足为 B ，若 △ABO 的面积为3，则k 的值为__.【答案】-6【解析】根据反比例函数k 的几何性质,矩形的性质即可解题.【详解】解：由反比例函数k 的几何性质可知,k 表示反比例图像上的点与坐标轴围成的矩形的面积, ∵△ABO 的面积为3，由矩形的性质可知,点A 与坐标轴围成的矩形的面积=6,∵图像过第二象限,∴k=-6.【点睛】本题考查了反比例函数k 的几何性质,属于简单题,熟悉性质内容是解题关键.15．已知小明身高1.8m ，在某一时刻测得他站立在阳光下的影长为0.6m .若当他把手臂竖直举起时，测得影长为0.78m ，则小明举起的手臂超出头顶______m .【答案】0.54【分析】在同一时刻，物体的高度和影长成比例，根据此规律列方程求解.【详解】解：设小明举起的手臂超出头顶xm,根据题意得，1.8 1.80.60.78x ， 解得x=0.54即举起的手臂超出头顶0.54m.故答案为：0.54.【点睛】本题考查同一时刻物体的高度和影长成比例的投影规律，根据规律列比例式求解是解答此题的关键.， 16．如图，已知ABC ∠是直角，在射线BC 上取一点O 为圆心、12BO 为半径画圆，射线BA 绕点B 顺时针旋转__________度时与圆O 第一次相切.【答案】60【分析】根据题意，画出旋转过程中，与圆相切时的切线BA 1，切点为D,连接OD ，根据切线的性质可得∠ODB=90°，然后根据已知条件，即可得出∠OBD=30°，从而求出旋转角∠ABA 1．【详解】解：如下图所示，射线BA 1为射线BA 与圆第一次相切时的切线，切点为D,连接OD∴∠ODB=90°根据题意可知：12OD BO =∴∠OBD=30°∴旋转角：∠ABA 1=∠ABC －∠OBD=60°故答案为：60【点睛】此题考查的是切线的性质和旋转角，掌握切线的性质是解决此题的关键．17．将方程257x x +=化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，则一次项系数、常数项分别为____．【答案】5，7-．【分析】一元二次方程化为一般形式后，找出一次项系数与常数项即可．【详解】解：方程整理得：2570x x +-=，则一次项系数、常数项分别为5，7-；故答案为：5，7-．【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为20(a 0)++=≠ax bx c ．18．若m 是方程22310x x -+=的根，则2692019m m ++-的值为__________．【答案】1【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．【详解】由题意可知：2m 2−3m+1＝0，∴2m 2−3m ＝-1∴原式＝-3（2m 2−3m ）＋2019＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．三、解答题（本题包括8个小题）19．数学活动课上老师带领全班学生测量旗杆高度.如图垂直于地面的旗杆顶端A 垂下一根绳子.小明同学将绳子拉直钉在地上，绳子末端恰好在点C 处且测得旗杆顶端A 的仰角为75°；小亮同学接着拿起绳子末端向前至D 处，拉直绳子，此时测得绳子末端E 距离地面1.5 m 且与旗杆顶端A 的仰角为60°根据两位同学的测量数据，求旗杆AB 的高度.（参考数据:sin75°≈0.97，cos75°≈0.26,sin60°≈0.87,结果精确到1米）【答案】15米.【分析】根据题意分别表示出AB 、AF 的长，进而得出等式求出答案．【详解】过E 作EF ⊥AB 于F ，设AC=AE=x∵AB ⊥CD ，ED ⊥CD ，∴四边形FBDE 为矩形，∴ 1.5BF ED ==，在Rt AEF ⊿中 ∵AF sin AEF AE∠= ， ∴60?AF xsin =︒，∴AB=AF+BF 60 1.5xsin =︒+，在Rt ACB ⊿中， ∵AB sin ACB AC∠=， ∴75AB xsin =︒，∴75?60 1.5xsin xsin ︒=︒+，1.57560x sin sin =︒-︒， ∴ 1.5 1.5750.970.97151575600.970.87AB sin sin sin =︒⨯≈⨯=⨯=︒-︒-(米). ∴旗杆AB 的高度为15米.【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．20．已知二次函数223y x x =--．（1）在平面直角坐标系xOy 中画出该函数的图象；（2）当0≤x≤3时，结合函数图象，直接写出y 的取值范围．【答案】（1）详见解析；（2）4-≤y ≤1【分析】（1）按照列表，取点，连线的步骤画图即可；（2）根据图象即可得出答案.【详解】解：（1）列表如下： x -2 -1 1 1 2 3223y x x=-- 5 1 -3 -4 -3 1函数图象如下图所示：（2）由图象可知，当1≤x≤3时，4-≤y≤1．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.21．甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定，转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为奇数时，甲获胜；为偶数时，乙获胜．（1）用列表法（或画树状图）求甲获胜的概率；（2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？请简要说明理由．【答案】(1) 12；（2）公平，理由见解析【分析】本题考查了概率问题中的公平性问题，解决本题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可．【详解】方法一画树状图：由上图可知，所有等可能的结果共有12种，指针所指的两个数字之和为奇数的结果有6种．∴P （和为奇数）= 12． 方法二列表如下：由上表可知，所有等可能的结果共有12种，指针所指的两个数字之和为奇数的结果有6种．∴P （和为奇数）=12； （2）∵P （和为奇数）=12，∴P （和为偶数）= 12，∴这个游戏规则对双方是公平的． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．如图，O 的直径10AB =，点C 为O 上一点，连接AC 、BC .（1）作ACB ∠的角平分线，交O 于点D ；（2）在（1）的条件下，连接AD .求AD 的长.【答案】（1）见解析；（2）52【分析】（1）以点C 为圆心，任意长为半径(不大于AC 为佳)画弧于AC 和BC 交于两点，然后以这两个交点为圆心，大于这两点之间距离的一半为半径画两段弧交于一点，过点C 和该交点的线就是ACB ∠的角平分线；（2）连接OD ，先根据角平分线的定义得出45ACD ∠=︒，再根据圆周角定理得出90AOD ∠=︒，最后再利用勾股定理求解即可.【详解】解：（1）如图，CD 为所求的角平分线；（2）连接OD ， O 的直径10AB =，90ACB ∴∠=︒，5AO DO ==. CD 平分ACB ∠， 1452ACD ACB ∴∠=∠=︒. 290AOD ACD ∴∠=∠=︒.在Rt AOD ∆中，22225552AD AO DO =+=+=.【点睛】本题主要考察基本作图、角平分线定义、圆周角定理、勾股定理，准确作出辅助线是关键.23．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，60BAC ∠=，2AC =.将Rt ABC ∆绕点A 逆时针方向旋转60°得到AB C ''∆，连接B C '，求线段B C '的长．【答案】7【分析】连BB'，根据旋转的性质及已知条件可知△ABB'是等边三角形，进而得出∠CBB'=90°，再由勾股定理计算B C '的长度即可．【详解】解：连BB'.∵∠ACB=90°，∠BAC=60°∴∠ABC=30°，AB=2AC=4，BC=3由旋转可知：AB=AB'，∠BAB'=60°∴△ABB'是等边三角形∴BB'=AB=4，∠ABB'=60°∴∠CBB'=90°∴2227B B BC '+=【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质，灵活运用旋转的性质是解题的关键． 24．如图是由相同的5个小正方体组成的几何体，请画出它的三种视图，若每个小正方体的棱长为a ，试求出该几何体的表面积.【答案】图形见解析；20a 2.【解析】试题分析：分别利用三视图的观察角度不同进而得出其三视图，底层有四个小正方体，上层有一个小正方体，其中看不到的面有10个，可以根据不同的方法来求表面积.试题解析：该几何体的三种视图如图所示；()2222233420S a a a a =++=表，或222562520S a a a =⨯-⨯=表【点睛】本题考查了简单组合体的三视图和表面积，解题的关键是明确三视图要从不同的方向看，求表面积时的关键是要结合图形确定重叠的部分．25．（1）计算：04sin458(31)2-++-．（2）用适当方法解方程：29(2x 5)40--=（3）用配方法解方程：22x 4x 30--=【答案】（1）3;(2) x 1=176,x 2=136；(3) x 1＝1+102，x 2＝1−102． 【解析】（1）先根据特殊角的三角函数值、二次根式的性质、零指数幂和绝对值的意义逐项化简，再合并同类二次根式或同类项即可；（2）用直接开平方法求解即可；（3）先把-3移项，再把二次项系数化为1，两边都加1，把左边写成完全平方的形式，两边同时开平方即可.【详解】解：（1）原式=4×2-22 +1+2 =3； （2）（2x-5）2=49 ， 2x-5=±23， 所以x 1=176,x 2=136 ； (3) 解：∵2x 2-4x-3=0，∴2x 2-4x=3，∴x 2−2x ＝32， ∴x 2−2x+1＝32+1， ∴(x −1)2＝52， ∴x -1=±10， ∴x 1＝1+102，x 2＝1−102． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，一元二次方程的解法，熟练掌握二次方程的解法是解答本题的关键. 26．如图，点D 、E 分别在ABC 的边AB 、AC 上，若40A ∠=，65B ∠=，75AED ∠=． ()1求证：ADE ∽ABC ；()2已知，AD ：2BD =：3，3AE =，求AC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）152AC = 【分析】（1）根据三角形内角和证明C AED ∠=∠即可证明三角形相似,（2）根据相似三角形对应边成比例即可解题.【详解】（1）证明：40A ∠=︒，65B ∠=︒180406575C ∴∠=︒-︒-︒=︒C AED ∴∠=∠A A ∠=∠ADE ABC ∴∽（2）由ADE ABC ∽得：AD AE AB AC= 235AC∴= 152AC = 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,中等难度,熟悉证明三角形相似的方法是解题关键.27．关于x 的一元二次方程220x mx m ++-=（1）若方程的一个根为1，求方程的另一个根和m 的值（2）求证：不论m 取何实数，方程总有两个不相等的实数根．【答案】（1）12m =，另一个根是32-；（2）详见解析． 【分析】（1）代入x=1求出m 值，从而得出方程，解方程即可；（2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＞0，由此可证出：不论m 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．【详解】解：（1）把1x =代入原方程得120m m ++-=解得：12m = 当12m =时，原方程为213022x x +-= 解得：1231,2x x ==- ∴方程的另一个根是32- （2）证明：224(m 2)(2)4m m ∆=--=-+∵2(2)0m -≥∴2(2)40,m -+≥0∆>即∴不论m 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，由判别式的符号得到方程根的情况是解题的关键．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（）.A．20海里B．103海里C．202海里D．30海里【答案】C【分析】如图，根据题意易求△ABC是等腰直角三角形，通过解该直角三角形来求BC的长度．【详解】如图，∵∠ABE=15°，∠DAB=∠ABE，∴∠DAB=15°，∴∠CAB=∠CAD+∠DAB=90°．又∵∠FCB=60°，∠CBE=∠FCB=60°，∠CBA+∠ABE=∠CBE，∴∠CBA=45°．∴在直角△ABC中，sin∠ABC=ACBC =140222BC⨯=，∴BC=202海里．故选C．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．2．有三张正面分别写有数字－1，1，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第二象限的概率为（）A ．16B ．13C ．12D ．23 【答案】B【详解】试题分析：根据题意，画出树状图如下：一共有6种情况，在第二象限的点有（﹣1，1）（﹣1，2）共2个，所以，P=2163=．故选B ． 考点：列表法与树状图法求概率．3．在反比例函数1y x=-的图像上有三点()11,x y 、()22,x y 、()33,x y ，若1230x x x >>>，而，则下列各式正确的是（ ）A ．312y y y >>B ．321y y y >>C ．123y y y >>D ．132y y y >> 【答案】A【分析】首先判断反比例函数的比例系数为负数，可得反比例函数所在象限为二、四，其中在第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，进而判断在同一象限内的点（x 1，y 1）和（x 1，y 1）的纵坐标的大小即可．【详解】∵反比例函数的比例系数为-1＜0，∴图象的两个分支在第二、四象限；∵第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，点（x 1，y 1）、（x 1，y 1）在第四象限，点（x 3，y 3）在第二象限，∴y 3最大，∵x 1＞x 1，y 随x 的增大而增大，∴y 1＞y 1，∴y 3＞y 1＞y 1．故选A ．【点睛】考查反比例函数图象上点的坐标特征；用到的知识点为：反比例函数的比例系数小于0，图象的1个分支在第二、四象限；第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标；在同一象限内，y 随x 的增大而增大．4．二次函数2y ax bx c =++的图象如右图所示，那么一次函数y bx a =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】可先根据二次函数的图象判断a 、b 的符号，再判断一次函数图象与实际是否相符，判断正误． 【详解】解：由二次函数图象，得出a ＞0，02ba->，b ＜0， A 、由一次函数图象，得a ＜0，b ＞0，故A 错误； B 、由一次函数图象，得a ＞0，b ＞0，故B 错误； C 、由一次函数图象，得a ＜0，b ＜0，故C 错误； D 、由一次函数图象，得a ＞0，b ＜0，故D 正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数图象，应该熟记一次函数y=kx+b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等.5．如图是一斜坡的横截面，某人沿斜坡上的M 点出发，走了13米到达N 处，此时他在铅直方向升高了5米．则该斜坡的坡度i 为（ ）A ．1:2.4B ．1:1.2C ．3D ．1:2【答案】A【分析】如图，过点M 做水平线，过点N 做直线垂直于水平线垂足为点A ，则△MAN 为直角三角形，先根据勾股定理，求出水平距离，然后根据坡度i 定义解答即可．【详解】解：如图，过点M 做水平线，过点N 做垂直于水平线交于点A ．在Rt △MNA 中，222213512MA MN NA =+==-，∴坡度i =5:12=1:2.1．故选：A 【点睛】本题考查的知识点为：坡度=垂直距离：水平距离，通常写成1：n 的形式，属于基础题． 6．将2281y x x =--化成()2y a x m n =++的形式为（ ） A ．()2227y x =-+ B ．()2241y x =-- C ．()2229y x =-- D ．()2247y x =--【答案】C【分析】本小题先将二次项的系数提出后再将括号里运用配方法配成完全平方式即可． 【详解】由2281y x x =--得：22(4)1y x x =-- 22(44)81y x x ∴=-+-- 22(2)9y x ∴=--故选Ｃ 【点睛】本题考查的知识点是配方法，掌握配方的方法及防止漏乘是关键． 7．反比例函数y=kx的图象经过点（3，﹣2），下列各点在图象上的是（ ） A ．（﹣3，﹣2） B ．（3，2）C ．（﹣2，﹣3）D ．（﹣2，3）【答案】D【解析】分析：直接利用反比例函数图象上点的坐标特点进而得出答案． 详解：∵反比例函数y=kx的图象经过点（3，-2）， ∴xy=k=-6，A 、（-3，-2），此时xy=-3×（-2）=6，不合题意；B 、（3，2），此时xy=3×2=6，不合题意；C 、（-2，-3），此时xy=-3×（-2）=6，不合题意；D 、（-2，3），此时xy=-2×3=-6，符合题意； 故选D ．点睛：此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确得出k 的值是解题关键． 8．下列一元二次方程，有两个不相等的实数根的是（ ） A ．2690x x ++= B ．2x x = C ．()2110x ++= D ．232x x +=【答案】B【分析】分别计算出各选项中方程根的判别式的值，找出大于0的选项即可得答案． 【详解】A.方程x 2+6x+9=0中，△=62-4×1×9=0，故方程有两个相等的实数根，不符合题意， B.方程2x x =中，△=（-1）2-4×1×0=1＞0，故方程有两个不相等的实数根，符合题意， C.方程()2110x ++=可变形为（x+1）2=-1＜0，故方程没有实数根，不符合题意， D.方程232x x +=中，△=(-2)2-4×1×3=-8＜0，故方程没有实数根，不符合题意， 故选：B ． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)，根的判别式为△=b 2-4ac ，当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根． 9．⊙O 的半径为4，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．无法确定 【答案】A【解析】∵圆心O 到直线l 的距离d=3，⊙O 的半径R=4，则d ＜R ， ∴直线和圆相交．故选A ．10．如图是二次函数y =ax 2+bx + c(a≠0)图象如图所示，则下列结论，①c<0，②2a + b=0；③a+b+c=0，④b 2–4ac<0，其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4【答案】B【分析】由抛物线的开口方向判断a 与1的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与1的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】①抛物线与y 轴交于负半轴，则c ＜1，故①正确；②对称轴x 2ba=-=1，则2a+b=1．故②正确； ③由图可知：当x=1时，y=a+b+c ＜1．故③错误；④由图可知：抛物线与x 轴有两个不同的交点，则b 2﹣4ac ＞1．故④错误． 综上所述：正确的结论有2个． 故选B ． 【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的值求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．11．点P 1（﹣1，1y ），P 2（3，2y ），P 3（5，3y ）均在二次函数22y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．321y y y >>B ．312y y y >=C ．123y y y >>D ．123y y y =>【答案】D【解析】试题分析：∵22y x x c =-++，∴对称轴为x=1，P 2（3，2y ），P 3（5，3y ）在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，∵3＜5，∴23y y >，根据二次函数图象的对称性可知，P 1（﹣1，1y ）与（3，2y ）关于对称轴对称，故123y y y =>，故选D ． 考点：二次函数图象上点的坐标特征．12．二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，且a≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：给出下列说法：①抛物线与y 轴的交点为（0，6）； ②抛物线的对称轴在y 轴的左侧； ③抛物线一定经过（3，0）点； ④在对称轴左侧y 随x 的增大而减增大． 从表中可知，其中正确的个数为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】试题分析：当x=0时y=6，x=1时y=6，x=﹣2时y=0，。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意） 1．若一元二次方程kx 2﹣3x ﹣94＝0有实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．k ＝﹣1 B ．k ≥﹣1且k ≠0C ．k ＞﹣1且k ≠0D ．k ≤﹣1且k ≠0【答案】B【分析】根据一元二次方程根的判别式△＝9+9k ≥0即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：△＝9+9k ≥0， ∴k ≥﹣1， ∵k ≠0，∴k ≥﹣1且k ≠0， 故选：B ． 【点睛】本题考查了根据一元二次方程根的情况求方程中的参数，解题的关键是熟知一元二次方程根的判别式的应用．2．方程x （x ﹣5）=x 的解是（ ） A ．x=0 B ．x=0或x=5C ．x=6D ．x=0或x=6【答案】D 【分析】先移项，然后利用因式分解法解方程． 【详解】解：x （x ﹣5）﹣x=0， x （x ﹣5﹣1）=0， x=0或x ﹣5﹣1=0， ∴x 1=0或x 2=1． 故选：D ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．3．如图直角三角板∠ABO ＝30°，直角项点O 位于坐标原点，斜边AB 垂直于x 轴，顶点A 在函数的y 1＝1(0)k x x >图象上，顶点B 在函数y 2＝2k (x 0)x>的图象上，则12k k ＝（ ）A ．33B ．3C ．13D ．13-【答案】D【分析】设AC ＝a ，则OA ＝2a ，OC 3，根据直角三角形30°角的性质和勾股定理分别计算点A 和B的坐标，写出A 和B 两点的坐标，代入解析式求出k 1和k 2的值，即可求12k k 的值．【详解】设AB 与x 轴交点为点C ， Rt △AOB 中，∠B ＝30°，∠AOB ＝90°， ∴∠OAC ＝60°， ∵AB ⊥OC ， ∴∠ACO ＝90°， ∴∠AOC ＝30°，设AC ＝a ，则OA ＝2a ，OC 3， ∴A 3a ，a ）， ∵A 在函数y 1＝1(0)k x x>的图象上， ∴k 13×a 32， Rt △BOC 中，OB ＝2OC ＝3a ， ∴BC 22OB OC -3a ， ∴B 3，﹣3a ）， ∵B 在函数y 2＝2k (x 0)x>的图象上， ∴k 2＝﹣3a 3＝﹣32，∴12k k ＝2231333a a =--， 故选：D ．【点睛】此题考查反比例函数的性质，勾股定理，直角三角形的性质，设AC ＝a 是解题的关键，由此表示出其他的线段求出k 1与k 2的值，才能求出结果.4．如图，ADC 是由等腰直角EOG △经过位似变换得到的，位似中心在x 轴的正半轴，已知1EO =，D 点坐标为()2,0D ，位似比为1:2，则两个三角形的位似中心P 点的坐标是（ ）A ．2,03⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,0C ．()0,0D ．1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】先确定G 点的坐标，再结合D 点坐标和位似比为1：2，求出A 点的坐标；然后再求出直线AG 的解析式，直线AG 与x 的交点坐标，即为这两个三角形的位似中心的坐标．. 【详解】解：∵△ADC 与△EOG 都是等腰直角三角形 ∴OE=OG=1∴G 点的坐标分别为（0，-1）∵D 点坐标为D （2，0），位似比为1：2， ∴A 点的坐标为（2，2） ∴直线AG 的解析式为y=32x-1 ∴直线AG 与x 的交点坐标为（23，0） ∴位似中心P 点的坐标是2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故答案为A ． 【点睛】本题考查了位似中心的相关知识，掌握位似中心是由位似图形的对应项点的连线的交点是解答本题的关键．5．若数据1x ，2x ，…，n x 的众数为a ，方差为b ，则数据12x +，22x +，…，2n x +的众数、方差分别是（ ） A ．a ，b B ．a ，2b +C ．2a +，bD ．2a +，2b +【答案】C【分析】根据众数定义和方差的公式来判断即可，数据12x +，22x +，…，2n x +原来数据相比都增加2，,则众数相应的加2，平均数都加2，则方差不变．【详解】解：∵数据1x ，2x ，…，n x 的众数为a ，方差为b ，∴数据12x +，22x +，…，2n x +的众数是a+2，这组数据的方差是b ． 故选：C 【点睛】本题考查了众数和方差，当一组数据都增加时，众数也增加，而方差不变．6．如图，是一个可以自由转动的转盘，它被分成三个面积相等的扇形，任意转动转盘两次，当转盘停止后，指针所指颜色相同的概率为( )A ．13B ．23C ．19D ．16【答案】A 【解析】列表得： 红 黄 蓝 红 （红，红） （黄，红） （蓝，红） 黄 （红，黄） （黄，黄） （蓝，黄） 蓝（红，蓝）（黄，蓝）（蓝，蓝）由表格可知，所有等可能的情况数有9种，其中颜色相同的情况有3种，则任意转动转盘两次，当转盘停止后，指针所指颜色相同的概率为3193= ．故选A. 7．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝12，P 是AB 上一点，将△PBC 沿直线PC 折叠，顶点B 的对应点是G ，过点B 作BE ⊥CG ，垂足为E ，且在AD 上，BE 交PC 于点F ，则下列结论，其中正确的结论有（ ） ①BP ＝BF ；②若点E 是AD 的中点，那么△AEB ≌△DEC ；③当AD ＝25，且AE ＜DE 时，则DE ＝16；④在③的条件下，可得sin ∠PCB 310BP ＝9时，BE•EF ＝1．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【分析】①根据折叠的性质∠PGC ＝∠PBC ＝90°，∠BPC ＝∠GPC ，从而证明BE ⊥CG 可得BE ∥PG,推出∠BPF ＝∠BFP ,即可得到BP=BF;②利用矩形ABCD 的性质得出AE=DE,即可利用条件证明△ABE ≌△DCE;③先根据题意证明△ABE ∽△DEC,再利用对应边成比例求出DE 即可;④根据勾股定理和折叠的性质得出△ECF ∽△GCP,再利用对应边成比例求出BP,即可算出sin 值;⑤连接FG,先证明▱BPGF 是菱形,再根据菱形的性质得出△GEF ∽△EAB,再利用对应边成比例求出BE ·EF ． 【详解】①在矩形ABCD ，∠ABC ＝90°， ∵△BPC 沿PC 折叠得到△GPC ，∴∠PGC ＝∠PBC ＝90°，∠BPC ＝∠GPC ， ∵BE ⊥CG ， ∴BE ∥PG ， ∴∠GPF ＝∠PFB ， ∴∠BPF ＝∠BFP ， ∴BP ＝BF ； 故①正确；②在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，AB ＝DC ， ∵E 是AD 中点， ∴AE ＝DE ， 在△ABE 和△DCE 中，=90AB DCA D AE DE =⎧⎪∠=∠︒⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△DCE (SAS )； 故②正确； ③当AD ＝25时， ∵∠BEC ＝90°， ∴∠AEB+∠CED ＝90°， ∵∠AEB+∠ABE ＝90°，∴∠CED＝∠ABE，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABE∽△DEC，∴AB DE AE CD=，设AE＝x，∴DE＝25﹣x，∴122512xx-=，∴x＝9或x＝16，∵AE＜DE，∴AE＝9，DE＝16；故③正确；④由③知：CE20==，BE15==，由折叠得，BP＝PG，∴BP＝BF＝PG，∵BE∥PG，∴△ECF∽△GCP，∴EF EC PG CG=，设BP＝BF＝PG＝y，∴152025yy-=，∴y＝253，∴BP＝253，在Rt△PBC中，PC＝==，∴sin∠PCB＝2532510 PBPC==；故④不正确；⑤如图，连接FG，由①知BF∥PG，∵BF＝PG＝PB，∴▱BPGF是菱形，∴BP∥GF，FG＝PB＝9，∴∠GFE＝∠ABE，∴△GEF∽△EAB，∴EF GF AB BE=，∴BE•EF＝AB•GF＝12×9＝1；故⑤正确，所以本题正确的有①②③⑤，4个，故选：C．【点睛】本题考查矩形与相似的结合、折叠的性质,关键在于通过基础知识证明出所需结论,重点在于相似对应边成比例．8．如图，A 、B是曲线5yx=上的点，经过A、B两点向x 轴、y轴作垂线段，若S阴影＝1 则S1+S2 =( )A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D【分析】B是曲线5yx=上的点，经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段围成的矩形面积都是5，从而求出S1和S2的值即可【详解】∵A、B是曲线5yx=上的点，经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段围成的矩形面积都是5，,∵S阴影＝1，∴S1=S2=4，即S1+S2=8，故选D【点睛】本题主要考查反比例函数上的点向坐标轴作垂线围成的矩形面积问题，难度不大9．已知点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）在反比例函数y=-5x的图象上，当x1＜x2＜0＜x3时，y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y3＜y2B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1【答案】C【分析】根据反比例函数为y=-5x，可得函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大，进而得到y1，y2，y3的大小关系．【详解】解：∵反比例函数为y=-5x，∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大，又∵x1＜x2＜0＜x3，∴y1＞0，y2＞0，y3＜0，且y1＜y2，∴y3＜y1＜y2，故选：C．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．10．下列说法正确的是（）A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件B．某种彩票的中奖率为11000，说明每买1000张彩票，一定有一张中奖C．抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为1 3D．“概率为1的事件”是必然事件【答案】D【解析】试题解析：A、“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，选项错误；B. 某种彩票的中奖概率为11000，说明每买1000张，有可能中奖，也有可能不中奖，故B错误；C. 抛掷一枚质地均匀的硬币一次,出现正面朝上的概率为12.故C错误；D. “概率为1的事件”是必然事件,正确.故选D.11．下列事件中，属于必然事件的是（）A．明天我市下雨B ．抛一枚硬币，正面朝上C ．走出校门，看到的第一辆汽车的牌照的末位数字是偶数D ．一个口袋中装有2个红球和一个白球，从中摸出2个球，其中有红球 【答案】D【分析】根据确定事件和随机事件的概念对各个事件进行判断即可．【详解】解：明天我市下雨、抛一枚硬币，正面朝上、走出校门，看到的第一辆汽车的牌照的末位数字是偶数都是随机事件，一个口袋中装有2个红球和一个白球，从中摸出2个球，其中有红球是必然事件， 故选：D ． 【点睛】本题考查的是确定事件和随机事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．12．已知一元二次方程22530x x -+=，则该方程根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．两个根都是自然数 D ．无实数根【答案】A【详解】解:∵a=2，b=-5，c=3， ∴△=b 2-4ac=（-5）2-4×2×3=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选A ． 【点睛】本题考查根的判别式，熟记公式正确计算是解题关键，难度不大． 二、填空题（本题包括8个小题）13．一元二次方程240x x -=的解是_________. 【答案】x 1=0，x 2=4【分析】用因式分解法求解即可. 【详解】∵240x x -=， ∴x(x-4)=0, ∴x 1=0，x 2=4. 故答案为x 1=0，x 2=4. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.14．抛物线y=x 2﹣4x+3的顶点坐标为_____． 【答案】（2，﹣1）．【解析】先把函数解析式配成顶点式得到y=（x-2）2-1，然后根据顶点式即可得到顶点坐标． 解：y=（x-2）2-1，所以抛物线的顶点坐标为（2，-1）． 故答案为（2，-1）．“点睛”本题考查了二次函数的性质．二次函数的三种形式：一般式：y=ax 2+bx+c ，顶点式：y=（x-h ）2+k ；两根式：y=a （x-x 1）（x-x 2）．15．如图，直线x=2与反比例函数2y x=和1y x =-的图象分别交于A 、B 两点，若点P 是y 轴上任意一点，则△PAB 的面积是_____．【答案】32． 【详解】解：∵把x=1分别代入2y x =、1y x =-，得y=1、y=12-，∴A （1，1），B （1，1x -）．∴13AB 122⎛⎫=--= ⎪⎝⎭． ∵P 为y 轴上的任意一点，∴点P 到直线BC 的距离为1． ∴△PAB 的面积1133AB 222222=⨯=⨯⨯=． 故答案为：32． 16．如图，已知A(1，y 1)，B(2，y 2)为反比例函数y ＝2x图象上的两点，一个动点P(x ，0)在x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是_________．【答案】(3,0)【分析】根据图意，连接AB 并延长交x 轴于点P'，此时线段AP 与线段BP 之差的最大值为''AP BP AB -=，通过求得直线AB 的解析式，然后令0y =即可求得P 点坐标．【详解】如下图，连接AB 并延长交x 轴于点P'，此时线段AP 与线段BP 之差的最大值为''AP BP AB -=， 将1(1,)A y ，2(2,)B y 代入2y x=中得(1,2)A ，(2,1)B ， 设直线AB 的解析式为y kx b =+，代入A ，B 点的坐标得221k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得13x y =-⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为3y x =-+，令0y =，得3x =，∴此时P 点坐标为(3,0)，故答案为：(3,0)．【点睛】本题主要考查了线段差最大值的相关内容，熟练掌握相关作图方法及解析式的求解方法是解决本题的关键．17．若6a b +=，4ab =，则22a b +=______.【答案】28【分析】先根据完全平方公式把22a b +变形，然后把6a b +=，4ab =代入计算即可.【详解】∵6a b +=，4ab =，∴22a b +=(a+b)2-2ab=36-8=28.故答案为：28.【点睛】本题考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式(a±b)2=a 2±2ab+b 2是解答本题的关键. 18．如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm （即相邻两弧半径相差32cm ），测得AB=200cm ，AC=BD=40cm ，则弧AB 所在的圆的半径为_______________cm【答案】1【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB 所在的圆的半径为r ，利用勾股定理列出方程即可解答．【详解】解：设弧AB 所在的圆的半径为r ，如图．作OE ⊥AB 于E ，连接OA ，OC ，则OA=r ，OC=r+32，∵OE ⊥AB ，∴AE=EB=100cm ，在RT △OAE 中22222100OE OA AE r =-=-，在RT △OCE 中，()2222232140OE OC CE r =-=+-，则()222210032140r r -=+-解得：r=1．故答案为：1．【点睛】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．三、解答题（本题包括8个小题） 19．解不等式组532,31204x x x +≥⎧⎪⎨--<⎪⎩，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】13x -≤<，在数轴上表示见解析.【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．【详解】解：解5+3231504x x x ≥⎧⎪⎨--⎪⎩①＜② 解不等式①得1x ≥-；解不等式②得3x <；把解集在数轴上表示为所以不等式组的解集为13x -≤<.【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．20．中国古贤常说万物皆自然，而古希腊学者说万物皆数.同学们还记得我们最初接触的数就是“自然数”吧!在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的自然数进行研究，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等.现在我们来研究另一种特珠的自然数—“n 喜数”.定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上的数字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的n 倍（n 为正整数），我们就说这个自然数是一个“n 喜数”.例如：24就是一个“4喜数”，因为()24424=⨯+25就不是一个“n 喜数”因为()2525n ≠+（1）判断44和72是否是“n 喜数”？请说明理由；（2）试讨论是否存在“7喜数”若存在请写出来，若不存在请说明理由.【答案】（1）44不是一个“n 喜数”， 72是一个“8喜数”，理由见解析；（2）“7喜数”有4个：21、42、63、1【分析】（1）根据“n 喜数”的定义解答即可；（2）设存在“7喜数”，设其个位数字为a ，十位数字为b ，(a ，b 为1到9的自然数)，则10b+a=7(a+b)，化简得：b=2a ，由此即可得出结论．【详解】（1）44不是一个“n 喜数”，因为()4444n ≠+，72是一个“8喜数”，因为()72827=⨯+；（2）设存在“7喜数”，设其个位数字为a ，十位数字为b ，(a ，b 为1到9的自然数)，由定义可知：()107b a a b +=+化简得：2b a =因为a ，b 为1到9的自然数，∴1a =，2b =；2a =，4b =；3a =，6b =；4a =，8b =；∴“7喜数”有4个：21、42、63、1．【点睛】本题考查了因式分解的应用．掌握“n 喜数”的定义是解答本题的关键．21．关于x 的一元二次方程x 2+（m+4）x ﹣2m ﹣12＝0，求证：（1）方程总有两个实数根；（2）如果方程的两根相等，求此时方程的根．【答案】（1）见解析；（1）x 1＝x 1＝1．【分析】（1）由△＝（m ＋4）1−4（−1m−11）＝（m ＋8）1≥0知方程有两个实数根；（1）如果方程的两根相等，则△＝（m ＋8）1＝0，据此求出m 的值，代入方程求解可得．【详解】（1）∵△＝（m+4）1﹣4（﹣1m﹣11）＝m1+16m+64＝（m+8）1≥0，∴方程总有两个实数根；（1）如果方程的两根相等，则△＝（m+8）1＝0，解得m＝﹣8，此时方程为x1﹣4x+4＝0，即（x﹣1）1＝0，解得x1＝x1＝1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax1＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b1−4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．22．如图，把Rt△ABC绕点A．逆时针旋转40°，得到在Rt△ABʹCʹ，点Cʹ恰好落在边AB上，连接BBʹ，求∠BBʹCʹ的度数．【答案】20°【分析】利用旋转的性质及等腰三角形的性质可得∠ABBʹ，再根据直角三角形两锐角互余可得解.【详解】解：由旋转可知：∠BABʹ=40°，AB=ABʹ．∴∠ABBʹ=∠ABʹB．∴∠ABBʹ=00 180402=70°．∴∠BBʹCʹ=90°－70°=20°．【点睛】本题考查了三角形的旋转，灵活利用旋转对应边相等，对应角相等且等于旋转角的性质是解题的关键. 23．如图，等边△ABC内接于⊙O，P是AB上任一点（点P不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM∥BP 交PA的延长线于点M．（1）填空：∠APC=度，∠BPC=度；（2）求证：△ACM≌△BCP；（3）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面积．【答案】（1）60；60；（2）证明见解析；（3153.【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角；（2）利用（1）中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等即可；（3）利用（2）证得的两三角形全等判定△PCM为等边三角形，进而求得PH的长，利用梯形的面积公式计算梯形的面积即可．【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°，故答案为60，60；（2）∵CM∥BP，∴∠BPM+∠M=180°，∠PCM=∠BPC，∵∠BPC=∠BAC=60°，∴∠PCM=∠BPC=60°，∴∠M=180°-∠BPM=180°-（∠APC+∠BPC）=180°-120°=60°，∴∠M=∠BPC=60°，又∵A、P、B、C四点共圆，∴∠PAC+∠PBC=180°，∵∠MAC+∠PAC=180°∴∠MAC=∠PBC，∵AC=BC，∴△ACM≌△BCP；（3）作PH⊥CM于H，∵△ACM≌△BCP，∴CM=CP AM=BP，又∠M=60°，∴△PCM为等边三角形，∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，在Rt△PMH中，∠MPH=30°，∴PH=332，∴S梯形PBCM=12（PB+CM）×PH=12×(2+3)×332=1534.【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、全等三角形的性质及梯形的面积计算方法，是一道比较复杂的几何综合题，解题的关键是熟练掌握和灵活运用相关的性质与判定定理.24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与两坐标轴分别交于点A、B、C，直线y＝﹣45x+4经过点B，与y轴交点为D，M（3，﹣4）是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）已知点N在对称轴上，且AN+DN的值最小．求点N的坐标．（3）在（2）的条件下，若点E与点C关于对称轴对称，请你画出△EMN并求它的面积．（4）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、N、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣6x+5；（2）N(3，85)；（3）画图见解析，S△EMN＝425；（4）存在，满足条件的点P的坐标为（3，﹣85）或（7，85）或（﹣1，85）．【分析】（1）先确定出点B坐标，最后用待定系数法即可得出结论；（2）先判断出点N是直线BC与对称轴的交点，即可得出结论；（3）先求出点E坐标，最后用三角形面积公式计算即可得出结论；（4）设出点P坐标，分三种情况利用用平行四边形的两条对角线互相平分和中点坐标公式求解即可得出结论．【详解】解：（1）针对于直线y＝﹣45x+4，令y＝0，则0＝﹣45x+4，∴x＝5，∴B（5，0），∵M（3，﹣4）是抛物线的顶点，∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2﹣4，∵点B（5，0）在抛物线上，∴a（5﹣3）2﹣4＝0，∴a＝1，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2﹣4＝x2﹣6x+5；（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2﹣4，∴抛物线的对称轴为x＝3，∵点A，B关于抛物线对称轴对称，∴直线y＝﹣45x+4与对称轴x＝3的交点就是满足条件的点N，∴当x＝3时，y＝﹣45×3+4＝85，∴N（3，85）；（3）∵点C是抛物线y＝x2﹣6x+5与y轴的交点，∴C（0，5），∵点E与点C关于对称轴x＝3对称，∴E（6，5），由（2）知，N（3，85），∵M（3，﹣4），∴MN＝85﹣（﹣4）＝285，∴S△EMN＝12MN•|x E﹣x M|＝12×285×3＝425；（4）设P（m，n），∵A（1，0），B（5，0），N（3，85），当AB为对角线时，AB与NP互相平分，∴12（1+5）＝12（3+m），12（0+0）＝12（85+n），∴m ＝3，n ＝﹣85， ∴P （3，﹣85）； 当BN 为对角线时，12（1+m ）＝12（（3+5），12（0+n ）＝12（0+85）， ∴m ＝7，n ＝85， ∴P （7，85）； 当AN 为对角线时，12（1+3）＝12（5+m ），12（0+85）＝12（0+n ）， ∴m ＝﹣1，n ＝85， ∴P （﹣1，85）， 即：满足条件的点P 的坐标为（3，﹣85）或（7，85）或（﹣1，85）． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形面积公式，对称性，平行四边形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．25．按要求解答下列各小题．（1）解方程：2243(2)x x -=+；（22sin 45tan 45cos 60+-°°°°． 【答案】（1）173x =；21x =-；（2）52． 【分析】（1）去括号整理后利用因式分解法解方程即可；（2）直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【详解】(1)去括号得：224344x x x -=++移项合并得：23470x x --=因式分解得：()()3710x x -+=即：370x -=或10x += ∴12713x x ==-，；(22sin 45tan 45cos 60+-°°°°2231212⎛⎝⎭=+-312=+52=．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，特殊角的三角函数值，正确分解因式、熟记特殊角的三角函数值是解题关键．26．（1）解方程组:2427x yx y-=-⎧⎨+=⎩（2）计算24421111a a aaa a-+--⎛⎫÷-+⎪++⎝⎭【答案】（1）23xy=⎧⎨=⎩；（2）2aa-【分析】（1）利用加减消元法进行求解即可；（2）根据分式混合运算的法则及运算顺序进行计算即可．【详解】解：（1）2427x yx y-=-⎧⎨+=⎩①②，①×2得：248x y-=-③，②－③得：515y=，解得：3y=，将3y=代入①得：2x=，∴原方程组的解为23xy=⎧⎨=⎩；（2）原式()()()22211111a a a aa a-----+=÷++()222211a a aa a---+÷=++()()22112a aa a a--+⨯-=+-2aa-=．【点睛】本题考查了二元一次方程组的求解及分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．27．为落实立德树人的根本任务，加强思改、历史学科教师的专业化队伍建设．某校计划从前来应聘的思政专业（一名研究生，一名本科生）、历史专业（一名研究生、一名本科生）的高校毕业生中选聘教师，在政治思想审核合格的条件下，假设每位毕业生被录用的机会相等（1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是：（2）若从中录用两人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率．【答案】（1）12；（2）恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率为16．【解析】（1）由概率公式即可得出结果；（2）设思政专业的一名研究生为A、一名本科生为B，历史专业的一名研究生为C、一名本科生为D，画树状图可知：共有12个等可能的结果，恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的结果有2个，即可得出结果．【详解】（1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是21 42 =；故答案为：12；（2）设思政专业的一名研究生为A、一名本科生为B，历史专业的一名研究生为C、一名本科生为D，画树状图如图：共有12个等可能的结果，恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的结果有2个，∴恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率为21 126=．故答案为：1 6【点睛】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；根据题意画出树状图是解题的关键．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．一元二次方程3x2﹣x＝0的解是（）A．x＝13B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝0，x2＝13D．x＝0【答案】C【解析】根据题意对方程提取公因式x,得到x( 3x-1)=0的形式,则这两个相乘的数至少有一个为0,由此可以解出x的值.【详解】∵3x2﹣x=0，∴x（3x﹣1）=0，∴x=0或3x﹣1=0，∴x1=0，x2=，故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根据方程的提点灵活选用合适的方法.2．以下五个图形中，是中心对称图形的共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，进行判断．【详解】解：从左起第2、4、5个图形是中心对称图形.故选：B．【点睛】本题考查了中心对称的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.3．我们知道，一元二次方程可以用配方法、因式分解法或求根公式进行求解．对于一元三次方程ax3+bx2+cx+d＝0（a，b，c，d为常数，且a≠0）也可以通过因式分解、换元等方法，使三次方程“降次”为二次方程或一次程，进而求解．这儿的“降次”所体现的数学思想是（）A．转化思想B．分类讨论思想C．数形结合思想D．公理化思想【答案】A【分析】解高次方程的一般思路是逐步降次，所体现的数学思想就是转化思想．【详解】由题意可知，解一元三次方程的过程是将三次转化为二次，二次转化为一次，从而解题，在解题技巧上是降次，在解题思想上是转化思想．故选：A．【点睛】本题考查高次方程；通过题意，能够从中提取出解高次方程的一般方法，同时结合解题过程分析出所运用的解题思想是解题的关键．4．下列图形中，成中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据中心对称图形的概念求解.【详解】A. 不是中心对称图形；B. 是中心对称图形；C. 不是中心对称图形；D. 不是中心对称图形.故答案选：B.【点睛】本题考查了中心对称图形，解题的关键是寻找对称中心，旋转180°后与原图重合.5．一元二次方程（x+2）（x﹣1）＝4的解是（）A．x1＝0，x2＝﹣3 B．x1＝2，x2＝﹣3C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2【答案】B【解析】解决本题可通过代入验证的办法或者解方程．【详解】原方程整理得：x1+x-6=0∴（x+3）（x-1）=0∴x+3=0或x-1=0∴x1=-3，x1=1．故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法-因式分解法．把方程整理成一元二次方程的一般形式是解决本题的关键．6．如图，平行于x 轴的直线与函数y ＝1k x（k 1＞0，x ＞0），y ＝2k x （k 2＞0，x ＞0）的图象分别相交于A ，B 两点，点A 在点B 的右侧，C 为x 轴上的一个动点，若△ABC 的面积为6，则k 1﹣k 2的值为（ ）A ．12B ．﹣12C ．6D ．﹣6【答案】A 【分析】△ABC 的面积＝12•AB•y A ，先设A 、B 两点坐标（其y 坐标相同），然后计算相应线段长度，用面积公式即可求解． 【详解】解：设：A 、B 点的坐标分别是A （1k m ，m ）、B （2k m，m ）， 则：△ABC 的面积＝12•AB•y A ＝12•（1k m ﹣2k m ）•m ＝6， 则k 1﹣k 2＝1．故选：A ．【点睛】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，以及图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设A 、B 两点坐标，表示出相应线段长度即可求解问题．7．将抛物线y ＝﹣3x 2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是（ ） A ．y ＝﹣3（x ﹣1）2﹣2B ．y ＝﹣3（x ﹣1）2+2C ．y ＝﹣3（x+1）2﹣2D ．y ＝﹣3（x+1）2+2 【答案】C【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线y ＝﹣3x 1向左平移1个单位所得直线解析式为：y ＝﹣3（x+1）1；再向下平移1个单位为：y ＝﹣3（x+1）1﹣1，即y ＝﹣3（x+1）1﹣1．故选C ．【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 8．下列实数中，介于23与32之间的是( ) A 2B 3C ．157D ．【答案】A【解析】估算无理数的大小问题可解．【详解】解：由已知23≈0.67,3=2 1.5,1.414≈ 1.732≈,152.1437≈,π>323与32之间 故选：A ．【点睛】本题考查了无理数大小的估算，解题关键是对无理数大小进行估算．9．下列各数中，属于无理数的是（ ）AB C ．0 D ．1 【答案】A【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合选项进行判断即可．【详解】A 是无理数，故本选项正确；B =2，是有理数，故本选项错误；C 、0，是有理数，故本选项错误；D 、1，是有理数，故本选项错误；故选：A ．【点睛】本题考查了无理数的定义，属于基础题，掌握无理数的三种形式是解答本题的关键．10．cos30︒的值等于（ ）．A ．12B ．2CD ．1【答案】C【分析】根据特殊三角函数值来计算即可.【详解】cos30︒故选：C.【点睛】本题考查特殊三角函数值，熟记特殊三角函数值是解题的关键.11．如图，菱形ABCD 的边长是4,60cm C ∠=︒，动点,P Q 同时从点A 出发，以1/cm s 的速度分别沿 ,A B C A D C →→→→运动，设运动时间为xs ，四边形PBDQ 的面积为2ycm ，则y 与x 的函数关系图象大致为（ ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据题意可以求出各段对应的函数解析式，再根据函数解析式即可判断哪个选项是符合题意的，本题得以解决．【详解】解：∵菱形ABCD的边长为4cm，∠A=60°，动点P，Q同时从点A出发，都以1cms的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，∴△ABD是等边三角形，∴当0＜x≤4时，y=12×4×4×sin60°−12332=34x23当4＜x≤8时，y=12×4×4×sin60°−12×(8−x)×(8−x)×sin60°=323−3=3−8)23；∴选项C中函数图像符合题意，故选：C.【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，求出各段对应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．12．下列事件中是随机事件的个数是（）①投掷一枚硬币，正面朝上；②五边形的内角和是540°；③20件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是次品；④一个图形平移后与原来的图形不全等．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】①掷一枚硬币正面朝上是随机事件；②五边形的内角和是540°是必然事件；③20件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是次品是随机事件；④一个图形平移后与原来的图形不全等是不可能事件；则是随机事件的有①③，共2个；故选：C．【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．二、填空题（本题包括8个小题）13．扫地机器人能够自主移动并作出反应，是因为它发射红外信号反射回接收器，机器人在打扫房间时，若碰到障碍物则发起警报．若某一房间内A、B两点之间有障碍物，现将A、B两点放置于平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A，B的坐标分别为(0，4)，(6，4)，机器人沿抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a运动．若机器人在运动过程中只触发一次报警，则a的取值范围是_____．【答案】﹣45＜a＜47【分析】根据题意可以知道抛物线与线段AB有一个交点，根据抛物线对称轴及其与y轴的交点即可求解．【详解】解：由题意可知：∵点A、B坐标分别为（0，1），（6，1），∴线段AB的解析式为y＝1．机器人沿抛物线y＝ax2﹣1ax﹣5a运动．。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，如果3AD =，6BD =，2AE =，那么AC 的值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．9【答案】B 【分析】由平行线分线段成比例可得到AD AE AB AC =，从而AC 的长度可求. 【详解】∵DE ∥BC ∴AD AE AB AC = ∴3236AC=+ ∴6AC =故选B【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键.2．我市某家快递公司，今年8月份与10月份完成投递的快递总件数分别为6万件和8.64万件，设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x ，则下列方程正确的是（ ）A ．6（1+x ）＝8.64B ．6（1+2x ）＝8.64C ．6（1+x ）2＝8.64D ．6+6（1+x ）+6（1+x ）2＝8.64【答案】C【分析】设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x ，根据今年8月份与10月份完成投递的快递总件数，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x ，根据题意得：6（1+x ）2＝8.1．故选：C ．【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟知增长率的问题.3．已知反比例函数y ＝2x ﹣1，下列结论中，不正确的是（ ）A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上B．y随x的增大而减小C．图象在第一、三象限D．若x＜0时，y随x的增大而减小【答案】B【分析】由反比例函数的关系式，可以判断出（-2，-1）在函数的图象上，图象位于一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，进而作出判断，得到答案．【详解】A、把（﹣2，﹣1）代入y＝2x﹣1得：左边＝右边，故本选项正确，不符合题意；B、k＝2＞0，在每个象限内，y随x的增大而减小，故本选项错误，符合题意；C、k＝2＞0，图象在第一、三象限，故本选项正确，不符合题意；D、若x＜0时，图象在第三象限内，y随x的增大而减小，故本选项正确，不符合题意；不正确的只有选项B，故选：B．【点睛】考查反比例函数的图象和性质，特别注意反比例函数的增减性，当k＞0，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0，在每个象限内，y随x的增大而增大．4．已知某种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h=﹣(t﹣4)2+1．若此礼炮在升空到最高处时引爆，则引爆需要的时间为()A．3s B．4s C．5s D．6s【答案】B【分析】根据顶点式就可以直接求出结论；【详解】解：∵﹣1＜0，∴当t=4s时，函数有最大值．即礼炮从升空到引爆需要的时间为4s，故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数的应用是解题的关键.5．已知将二次函数y=x²+bx+c的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x²-4x-5，则b，c的值为（）A．b=1，c=6 B．b=1．c= -5 C．b=1．c= -6 D．b=1,c=5【答案】C【分析】首先抛物线平移时不改变a的值，其中点的坐标平移规律是上加下减，左减右加，利用这个规律即可得到所求抛物线的顶点坐标，然后就可以求出抛物线的解析式．【详解】解：∵y=x2-4x-5=x2-4x+4-9=（x-2）2-9，∴顶点坐标为（2，-9），∴由点的平移可知：向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得（1，-2），则原二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，-2），∵平移不改变a的值，∴a=1，∴原二次函数y=ax2+bx+c=x2-2，∴b=1，c=-2．故选：C．【点睛】此题主要考查了二次函数图象与平移变换，首先根据平移规律求出已知抛物线的顶点坐标，然后求出所求抛物线的顶点坐标，最后就可以求出原二次函数的解析式．6．某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，x，1，1，1．已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是（）A．7 B．1 C．5 D．4【答案】C【分析】本题可先算出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数．【详解】解：∵某班七个兴趣小组人数分别为4，4，3，x，1，1，2．已知这组数据的平均数是3，∴x=3×2-4-4-3-1-1-2=3，∴这一组数从小到大排列为：3，4，4，3，1，1，2，∴这组数据的中位数是：3．故选：C．【点睛】本题考查的是中位数，熟知中位数的定义是解答此题的关键．7．抛物线y＝x2﹣2x+3的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，2）D．（﹣1，2）【答案】C【分析】把抛物线解析式化为顶点式可求得答案．【详解】解：∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴顶点坐标为（1，2），故选：C．【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标的求解，解题的关键是熟悉配方法．8．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）A ．长方体B ．圆锥C ．三棱柱D ．圆柱【答案】D 【分析】首先根据俯视图排除正方体、三棱柱，然后跟主视图和左视图排除圆锥，即可得到结论．【详解】∵俯视图是圆，∴排除A 和C ，∵主视图与左视图均是长方形，∴排除B ，故选：D ．【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，用到的知识点为：三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．9．如图，在平面直角坐标系内，正方形OABC 的顶点A ，B 在第一象限内，且点A ，B 在反比例函数y ＝k x（k ≠0）的图象上，点C 在第四象限内．其中，点A 的纵坐标为2，则k 的值为（ ）A ．3 2B ．5 2C ．3 4D ．5﹣4【答案】B 【分析】作AE ⊥x 轴于E ，BF ∥x 轴，交AE 于F ，根据图象上点的坐标特征得出A （2k ，2），证得△AOE ≌△BAF （AAS ），得出OE=AF ，AE=BF ，即可得到B （2k +2，2-2k ），根据系数k 的几何意义得到k=（2k +2）（2-2k ），解得即可．【详解】解：作AE ⊥x 轴于E ，BF//x 轴，交AE 于F ，∵∠OAE+∠BAF ＝90°＝∠OAE+∠AOE ，∴∠BAF ＝∠AOE ，在△AOE 和△BAF 中AOE BAF AEO BFA 90OA AB ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴△AOE ≌△BAF （AAS ），∴OE ＝AF ，AE ＝BF ，∵点A ，B 在反比例函数y ＝k x （k≠0）的图象上，点A 的纵坐标为2， ∴A （2k ，2）， ∴B （2k +2，2﹣2k ）， ∴k ＝（2k +2）（2﹣2k ）， 解得k ＝﹣2±25（负数舍去），∴k ＝25﹣2，故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，反比例函数的图象与性质，关键是构造全等三角形． 10．如图，在⊙O 中，弦AC ∥半径OB ，∠BOC ＝50°，则∠OAB 的度数为( )A ．25°B ．20°C ．15°D ．30°【答案】A 【分析】根据圆周角定理可得∠BAC=25°，又由AC ∥OB ，∠BAC=∠B=25°，再由等边对等角即可求解答．【详解】解：∵∠BOC=2∠BAC ，∠BOC=50°，∴∠BAC=25°，又∵ AC ∥OB∴∠BAC=∠B=25°∵.OA=OB∴∠OAB=∠B=25°故答案为A ．【点睛】本题考查了圆周角定理和平行线的性质，灵活应用所学定理以及数形结合思想的应用都是解答本题的关键．11．关于x 的一元一次方程122a x m -+=的解为1x =，则a m -的值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D【分析】满足题意的有两点，一是此方程为一元一次方程，即未知数x 的次数为1；二是方程的解为x=1,即1使等式成立，根据两点列式求解.【详解】解：根据题意得，a-1=1,2+m=2,解得，a=2,m=0,∴a-m=2.故选：D.【点睛】本题考查一元一次方程的定义及方程解的定义，对定义的理解是解答此题的关键.12．一元二次方程26100x x -+-=的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根 【答案】D【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【详解】∵△=62-4×（-1）×（-10）=36-40=-4＜0，∴方程没有实数根．故选D ．【点睛】此题考查一元二次方程的根的判别式，解题关键在于掌握方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．二、填空题（本题包括8个小题）13．有4根细木棒，长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm ，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是__________． 【答案】34 【分析】根据题意，使用列举法可得从有4根细木棒中任取3根的总共情况数目以及能搭成一个三角形的情况数目，根据概率的计算方法，计算可得答案．【详解】根据题意，从有4根细木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共4种取法，而能搭成一个三角形的有2、3、4；3、4、5，2、4、5，三种，得P=34. 故其概率为：34． 【点睛】 本题考查概率的计算方法，使用列举法解题时，注意按一定顺序，做到不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．如图，直线x=2与反比例函数2y x=和1y x =-的图象分别交于A 、B 两点，若点P 是y 轴上任意一点，则△PAB 的面积是_____．【答案】32． 【详解】解：∵把x=1分别代入2y x =、1y x =-，得y=1、y=12-， ∴A （1，1），B （1，1x -）．∴13AB 122⎛⎫=--= ⎪⎝⎭． ∵P 为y 轴上的任意一点，∴点P 到直线BC 的距离为1．∴△PAB 的面积1133AB 222222=⨯=⨯⨯=． 故答案为：32． 15．已知一段公路的坡度为1:20，沿着这条公路前进，若上升的高度为2m ，则前进了________米【答案】401【分析】利用垂直高度，求出水平宽度，利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示:根据题意，在Rt△ABC中，BC=2m，1 tan20BCAAC==,解得AC=40m，根据勾股定理22224022401AB AC BC=+=+=m.故答案为：2401.【点睛】此题主要考查解直角三角形的应用，勾股定理.理解坡度坡角的定义，由勾股定理得出AB是解决问题的关键．16．如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠B′AB等于_____．【答案】50°【解析】由平行线的性质可求得∠C/CA的度数，然后由旋转的性质得到AC=AC/，然后依据三角形的性质可知∠AC/C的度数，依据三角形的内角和定理可求得∠CAC/的度数，从而得到∠BAB/的度数.解：∵CC/∥AB，∴∠C/CA=∠CAB=65°，∵由旋转的性质可知：AC=AC/,∴∠ACC/=∠AC/C=65°.∴∠CAC/=180°-65°-65°=50°.∴∠BAB/=50°.17．若反比例函数31(my mx-=为常数）的图象在第二、四象限，则m的取值范围是_____．【答案】13 m＜．【分析】根据反比例函数的性质，当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x 的增大而增大，即可求解.【详解】解：因为反比例函数31my mx-=（为常数）的图象在第二、四象限．所以310m﹣＜，13m ＜． 故答案为：13m ＜．【点睛】本题考查的知识点是反比例函数的性质，（1）反比例函数y=xk （k≠0）的图象是双曲线；（2）当k ＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小；（3）当k ＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．18．如图，AC 是⊙O 的直径，∠ACB=60°，连接AB ，过A 、B 两点分别作⊙O 的切线，两切线交于点P ．若已知⊙O 的半径为1，则△PAB 的周长为_____．【答案】33【解析】根据圆周角定理的推论及切线长定理，即可得出答案解：∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC=90°，∵∠ACB=60°，∴∠BAC=30°，∴CB=1，3∵AP 为切线，∴∠CAP=90°，∴∠PAB=60°，又∵AP=BP ，∴△PAB 为正三角形，∴△PAB 的周长为3点睛：本题主要考查圆周角定理及切线长定理.熟记圆的相关性质是解题的关键.三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，已知ABC ：()1AC 的长等于________；()2若将ABC 向右平移2个单位得到'''A B C ，则A 点的对应点'A 的坐标是________； ()3若将ABC 绕点C 按顺时针方向旋转90后得到111A B C △，则A 点对应点1A 的坐标是________． 【答案】10； ()1,2, ()3,0.【分析】（1）直接利用勾股定理求出AC 的长即可；（2）利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案．【详解】2213+10；10；(2)如图所示：△A′B′C′即为所求，A 点的对应点A′的坐标为：(1,2)；故答案为(1,2)；(3)如图所示：△A 1B 1C 1，即为所求；A 点对应点A 1的坐标是：(3,0).故答案为(3,0).【点睛】本题考查了坐标系中作图，解题的关键是根据图形找出相对应的点即可. 20．计算：|－34820200；【答案】331-+【分析】先根据绝对值的意义、二次根式的性质、零指数幂的意义逐项化简，再合并同类二次根式即可．【详解】原式=3431-+ =331-+．【点睛】本题考查了实数的混合运算，正确化简各数是解答本题的关键．21．如图，抛物线22y ax bx =++交x 轴于点()30A -,和点()10B ,，交y 轴于点C .(1)求这个抛物线的函数表达式；(2)若点D 的坐标为()1,0-，点P 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值.【答案】 (1)224233y x x =--+；(2)S 的最大值为174. 【分析】（1）根据A,B 两点坐标可得出函数表达式；（2）设点224,233P x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，根据 +APO CPO ODC ADCP S S S S S ==-△△△四边形列出S 关于x 的二次函数表达式，再根据二次函数的性质求最值.【详解】解：（1）将A,B 两点的坐标代入解析式得，9320,20,a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得2,34.3a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故抛物线的表达式为：224233y x x =--+； （2）连接OP ，设点224,233P x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， 由（1）中表达式可得点()0,2C ，则 +APO CPO ODC ADCP S S S S S ==-△△△四边形111222p P AO y OC x CO OD =⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯ 222411221()213=3323222x x x x x ⎛⎫--++⨯⨯--⨯⨯=--+ ⎪⎝⎭⨯⨯，∵10-<，故S 有最大值，当32x =-时，S 的最大值为174.【点睛】本题主要考查二次函数表达式的求法以及二次函数的图像与性质，有一定的综合性.对于二次函数中的面积问题，常需用到“割补法”.22．综合与实践问题背景：综合与实践课上，同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相一次相关问题的研究． 下面是创新小组在操作过程中研究的问题， 如图一，△ABC ≌△DEF ， 其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°．操作与发现：（1）如图二，创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置，四边形ACBF 的形状是 ，CF= ；（2）创新小组在图二的基础上，将△DEF 纸片沿AB 方向平移至图三的位置，其中点E 与AB 的中点重合．连接CE ，BF ．四边形BCEF 的形状是 ，CF= ．操作与探究 ：（3）创新小组在图三的基础上又进行了探究，将△DEF 纸片绕点E 逆时针旋转至DE 与BC 平行的位置，如图四所示，连接AF ， BF ． 经过观察和推理后发现四边形ACBF 也是矩形，请你证明这个结论．【答案】（1）矩形，4 ；（2）菱形，23（3）详见解析．【分析】（1）由题意及图形可直接解答；（2）根据题意及图形，结合直角三角形的性质定理可直接得到答案；（3）根据旋转的性质及题意易得AE EF BC ==，然后得到四边形ACBF 为平行四边形，最后问题得证．【详解】（1）如图所示：△ABC ≌△DEF ， 其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，∴60,2ABC FED BC EF ∠=∠=︒==，∴90C F FAC ∠=∠=∠=︒，∴四边形ACBF 是矩形，AB=4∴，∴AB=CF=4；故答案为：矩形，4 ；（2）如图所示：△ABC ≌△DEF ， 其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，∴60,2ABC FED BC EF ∠=∠=︒==，∴//BC EF ，∴四边形ECBF 是平行四边形，点E 与AB 的中点重合，∴CE=BE ，∴CBE △是等边三角形，∴EC=BC ，∴四边形ECBF 是菱形，∴CF 与EB 互相垂直且平分， ∴332OC EC ==∴23CF =， 故答案为：菱形，23（3）证明：如图所示：∵90,3060C A ABC ∠=︒∠=︒∴∠=︒∵//,DE BC DEF ABC ≌∴60DEB DEF ABC ∠=∠=∠=︒∴60AEF ∠=︒∵24,2AB BC AE ==∴=∵2EF BC AE EF ==∴=∴AEF ∆为等边三角形∴60FAE ABC ∠=︒=∠∴//BC AF∵AE EF BC ==∴四边形ACBF 为平行四边形∵90C ∠=︒∴四边形ACBF 为矩形．【点睛】本题主要考查特殊平行四边形的性质及判定、全等三角形的性质，关键是由题意图形的变化及三角形全等的性质得到线段的等量关系，然后结合特殊平行四边形的判定方法证明即可．23．如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点C 的直线交AB 的延长线于点D ，AE ⊥DC ，垂足为E ，F 是AE 与⊙O 的交点，AC 平分∠BAE（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）阴影部分的面积为8833π-． 【分析】（1）连接OC ，先证明∠OAC=∠OCA ，进而得到OC ∥AE ，于是得到OC ⊥CD ，进而证明DE 是⊙O 的切线；（2）分别求出△OCD 的面积和扇形OBC 的面积，利用S 阴影=S △COD ﹣S 扇形OBC 即可得到答案．【详解】解：（1）连接OC ， ∵OA=OC ， ∴∠OAC=∠OCA ，∵AC 平分∠BAE ， ∴∠OAC=∠CAE ，∴∠OCA=∠CAE ， ∴OC ∥AE ， ∴∠OCD=∠E ，∵AE ⊥DE ， ∴∠E=90°， ∴∠OCD=90°， ∴OC ⊥CD ，∵点C 在圆O 上，OC 为圆O 的半径， ∴CD 是圆O 的切线；（2）在Rt △AED 中， ∵∠D=30°，AE=6， ∴AD=2AE=12，在Rt △OCD 中，∵∠D=30°，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC ，∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8，∴CD=22228443-=-=DO OC ∴S △OCD =43422⋅⨯=CD OC =83， ∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴∠DOC=60°， ∴S 扇形OBC =16×π×OC 2=83π， ∵S 阴影=S △COD ﹣S 扇形OBC ∴S 阴影=83﹣83π， ∴阴影部分的面积为83﹣83π．24．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4.随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，求下列事件的概率：（1）两次取出的小球标号相同；（2）两次取出的小球标号的和等于4.【答案】（1）14（2）316 【解析】试题分析：首先根据题意进行列表，然后求出各事件的概率．试题解析：（1）P（两次取得小球的标号相同）=41 164=；（2）P（两次取得小球的标号的和等于4）=3 16．考点：概率的计算．25．2019年11月5日，第二届中国国际进口博览会（The 2nd China International lmport Expo）在上海国家会展中心开幕.本次进博会将共建开放合作、创新共享的世界经济，见证海纳百川的中国胸襟，诠释兼济天下的责任担当.小滕、小刘两人想到四个国家馆参观：A.中国馆；B.俄罗斯馆；C.法国馆；D.沙特阿拉伯馆.他们各自在这四个国家馆中任意选择一个参观，每个国家馆被选择的可能性相同.（1）求小滕选择A.中国馆的概率；（2）用画树状图或列表的方法，求小滕和小刘恰好选择同一国家馆的概率.【答案】（1）14；（2）14.【分析】（1）由于每个国家馆被选择的可能性相同，即可得到中国馆被选中的概率为14；（2）画树状图列出所有可能性，即可求出概率.【详解】.解：（1）在这四个国家馆中任选一个参观，每个国家馆被选择的可能性相同∴在这四个国家馆中小滕选择A.中国馆的概率是14；（2）画树状图分析如下：共有16种等可能的结果，小滕和小刘恰好选择同一国家馆参观的结果有4种∴小滕和小刘恰好选择同一国家馆参观的概率41164 P==.【点睛】本题考查了树状图求概率，属于常考题型.26．已知，如图，点A 、D 、B 、E 在同一直线上，AC ＝EF ，AD ＝BE ，∠A ＝∠E ，（1）求证：△ABC ≌△EDF ；（2）当∠CHD ＝120°，求∠HBD 的度数．【答案】（1）详见解析；（2）60°．【分析】（1）根据SAS 即可证明：△ABC ≌△EDF ；（2）由（1）可知∠HDB ＝∠HBD ，再利用三角形的外角关系即可求出∠HBD 的度数．【详解】（1）∵AD ＝BE ，∴AB ＝ED ，在△ABC 和△EDF 中，AC EF A E AB ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△EDF （SAS ）；（2）∵△ABC ≌△EDF ，∴∠HDB ＝∠HBD ，∵∠CHD ＝∠HDB+∠HBD ＝120°，∴∠HBD ＝60°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 27．如图，在正方形ABCD 中，点M 是BC 边上的任一点，连接AM 并将线段AM 绕M 顺时针旋转90°得到线段MN ，在CD 边上取点P 使CP ＝BM ，连接NP ，BP ．（1）求证：四边形BMNP 是平行四边形；（2）线段MN 与CD 交于点Q ，连接AQ ，若△MCQ ∽△AMQ ，则BM 与MC 存在怎样的数量关系？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）BM=MC ．理由见解析．【分析】（1）根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABC=∠C，然后利用“边角边”证明△ABM和△BCP全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=BP，∠BAM=∠CBP，再求出AM⊥BP，从而得到MN∥BP，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）根据同角的余角相等求出∠BAM=∠CMQ，然后求出△ABM和△MCQ相似，根据相似三角形对应边成比例可得AB AMMC MQ=，再求出△AMQ∽△ABM，根据相似三角形对应边成比例可得AB AMBM MQ=，从而得到AB ABMC BM=，即可得解．【详解】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠C，在△ABM和△BCP中，，∴△ABM≌△BCP（SAS），∴AM=BP，∠BAM=∠CBP，∵∠BAM+∠AMB=90°，∴∠CBP+∠AMB=90°，∴AM⊥BP，∵AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，∴AM⊥MN，且AM=MN，∴MN∥BP，∴四边形BMNP是平行四边形；（2）解：BM=MC．理由如下：∵∠BAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠CMQ=90°，∴∠BAM=∠CMQ，又∵∠ABC=∠C=90°，∴△ABM∽△MCQ，∴AB AMBM MQ=，∵△MCQ∽△AMQ，∴△AMQ∽△ABM，∴AB AMBM MQ=，∴AB ABMC BM=，∴BM=MC．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图，则下列叙述正确的是( )A ．abc ＜0B ．－3a ＋c ＜0C ．b 2－4ac≥0D ．将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y ＝ax 2＋c【答案】B 【解析】解：A ．由开口向下，可得a ＜0；又由抛物线与y 轴交于负半轴，可得c ＜0，然后由对称轴在y 轴右侧，得到b 与a 异号，则可得b ＞0，故得abc ＞0，故本选项错误；B ．根据图知对称轴为直线x=2，即2b a -=2，得b=﹣4a ，再根据图象知当x=1时，y=a+b+c=a ﹣4a+c=﹣3a+c ＜0，故本选项正确；C ．由抛物线与x 轴有两个交点，可得b 2﹣4ac ＞0，故本选项错误；D ．y=ax 2+bx+c=224()24b ac b a x a a -++，∵2b a - =2，∴原式=224(2)4ac b a x a --+，∴向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为224ac b y ax 4a -=+，故本选项错误； 故选B ．2．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(1,0),(5,0)A B --,下列说法正确的是（ ）A ．0c >B ．240b ac -<C ．0a b c ++>D ．图象的对称轴是直线3x =-【答案】D 【分析】根据抛物线2y ax bx c =++与y 轴交点的位置即可判断A 选项；根据抛物线与x 轴有两个交点即可判断B 选项；由图象可知，当x=1时，图象在x 轴的下方可知0a b c ++<，故C 错误；根据图象经过点(1,0),(5,0)A B --两点，即可得出对称轴为直线3x =-．【详解】解：A 、由图可知，抛物线交于y 轴负半轴，所以c ＜0，故A 错误；B 、由图可知，抛物线与x 轴有两个交点，则240b ac ∆=->，故B 错误；C 、由图象可知，当x=1时，图象在x 轴的下方，则0a b c ++<，故C 错误；D 、因为图象经过点(1,0),(5,0)A B --两点，所以抛物线的对称轴为直线3x =-，故D 正确； 故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【详解】（1）是轴对称图形，不是中心对称图形．不符合题意；（2）不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；（3）是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；（4）是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．4．1米长的标杆直立在水平的地面上，它在阳光下的影长为0.8米；在同一时刻，若某电视塔的影长为100米，则此电视塔的高度应是( )A ．80米B ．85米C ．120米D ．125米【答案】D【解析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．解：设电视塔的高度应是x ，根据题意得：=， 解得：x=125米．命题立意：考查利用所学知识解决实际问题的能力．5．某专卖店专营某品牌女鞋，店主对上一周中不同尺码的鞋子销售情况统计如表：尺码35 36 37 38 39平均每天销售2 8 10 6 2数量（双）该店主决定本周进货时，增加一些37码的女鞋，影响该店主决策的统计量是（）A．平均数B．方差C．众数D．中位数【答案】C【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．【详解】由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．故选：C．【点睛】本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义.6．如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（）A．主视图改变，左视图改变B．俯视图不变，左视图不变C．俯视图改变，左视图改变D．主视图改变，左视图不变【答案】D【解析】试题分析：将正方体①移走前的主视图正方形的个数为1，2，1；正方体①移走后的主视图正方形的个数为1，2；发生改变．将正方体①移走前的左视图正方形的个数为2，1，1；正方体①移走后的左视图正方形的个数为2，1，1；没有发生改变．将正方体①移走前的俯视图正方形的个数为1，3，1；正方体①移走后的俯视图正方形的个数，1，3；发生改变．故选D．【考点】简单组合体的三视图．7．已知点P在线段AB上，且AP∶PB=2∶3，那么AB∶PB为（）A．3∶2 B．3∶5 C．5∶2 D．5∶3【答案】D【分析】根据比例的合比性质直接求解即可．【详解】解：由题意AP∶PB=2∶3，AB∶PB=（AP+PB）∶PB=（2+3）∶3=5∶3；本题主要考查比例线段问题，关键是根据比例的合比性质解答．8．如图是抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(1，3)，与x 轴的一个交点B(4，0)，直线y 2＝mx ＋n(m≠0)与抛物线交于A ，B 两点，下列结论：①2a ＋b ＝0；②abc>0；③方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是(－1，0)；⑤当1<x<4时，有y 2<y 1，其中正确的是（ ）A ．①④⑤B ．①③④⑤C ．①③⑤D ．①②③【答案】C 【分析】①根据对称轴x=1，确定a ，b 的关系，然后判定即可；②根据图象确定a 、b 、c 的符号，即可判定；③方程ax 2+bx+c=3的根，就y=3的图象与抛物线交点的横坐标判定即可；④根据对称性判断即可；⑤由图象可得，当1<x<4时，抛物线总在直线的上面，则y 2<y 1．【详解】解：①∵对称轴为：x=1， ∴12b a-= 则a=-2b,即2a+b=0，故①正确; ∵抛物线开口向下∴a ＜0∵对称轴在y 轴右侧，∴b ＞0∵抛物线与y 轴交于正半轴∴c ＞0∴abc<0,故②不正确；∵抛物线的顶点坐标A （1,3）∴方程ax 2+bx+c=3有两个相等的实数根是x=1，故③正确；∵抛物线对称轴是：x=1，B （4,0），∴抛物线与x 轴的另一个交点是（-2,0）故④错误；由图象得：当1<x<4时，有y 2<y 1；故⑤正确．本题考查了二次函数的图像,考查知识点较多,解答的关键在于掌握并灵活应用二次函数知识．9．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝12，则sinA 的值为（ ）A 5B 5C 5D 25【答案】B【分析】由题意直接根据三角函数的定义进行分析即可求解．【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝12，∴可以假设BC ＝k ，AC ＝2k ，∴AB 5，∴sinA 5k 5．故选：B ． 【点睛】本题考查同角三角函数的计算，解题本题的关键是明确sinA 等于对边与斜边的比．10．在反比例函数y ＝2k x -图象的每一条曲线上，y 都随x 的增大而增大，则k 的取值范围是（）A ．k ＞2B ．k ＞0C ．k≥2D ．k ＜2【答案】D【分析】根据反比例函数的性质，可求k 的取值范围．【详解】∵反比例函数y ＝2k x -图象的每一条曲线上，y 都随x 的增大而增大，∴k ﹣2＜0，∴k ＜2故选：D ．【点睛】 考核知识点：反比例函数.理解反比例函数性质是关键.111x -x 的取值范围是（ ）A ．0x >B ．1x -C ．1xD ．1x ≤【答案】C【详解】由题意得：x-1≥0，解得：x≥1，故选C.【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数为非负数是解题的关键. 12．如图，点A、B、C在⊙O上，则下列结论正确的是（）A．∠AOB＝∠ACBB．∠AOB＝2∠ACBC．∠ACB的度数等于AB的度数D．∠AOB的度数等于12AB的度数【答案】B【分析】根据圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系逐个判断即可．【详解】A．根据圆周角定理得：∠AOB=2∠ACB，故本选项不符合题意；B．根据圆周角定理得：∠AOB=2∠ACB，故本选项符合题意；C．∠ACB的度数等于AB的度数的一半，故本选项不符合题意；D．∠AOB的度数等于AB的度数，故本选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，能熟记知识点的内容是解答本题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，DP=__．【答案】1或4或2.1．【分析】需要分类讨论：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC，根据该相似三角形的对应边成比例求得DP的长度．【详解】设DP=x，则CP=1-x，本题需要分两种情况情况进行讨论，①、当△PAD∽△PBC时，ADBC=DPCP。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，AB 为O 的直径，点C 在O 上，若AB=4，=22AC ，则O 到AC 的距离为( )A ．1B ．2C ．2D ．22【答案】C 【分析】连接OC ，BC,过点O 作OD ⊥AC 于D ，可得OD//BC ，利用平行线段成比例可知12AD AO AC AB == 和AD=122AC =，利用勾股定理，可得222AD OD OA ，列出方程222(2)2OD +=， 即可求出OD 的长.【详解】解：连接OC ，BC,过点O 作OD ⊥AC 于D ，∴∠ADO=90°，∵AB 为O 的直径，AB=4，=22AC ，∴∠ACB=90°，OA=OC=122AB =， ∴OD//BC， ∴12AD AO AC AB ==， ∴AD=122AC = 在t R ADO ∆中，222AD OD OA ，∴2222)2OD +=，解得2；故选C.【点睛】本题主要考查了平行线段成比例，勾股定理，掌握平行线段成比例，勾股定理是解题的关键.2．若关于x 的方程2220x x a -+-=有两个相等的实数根，则a 的值是（ ）A ．-1B ．-3C ．3D ．6 【答案】C【分析】根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求解即可．【详解】∵关于x 的方程2220x x a -+-=有两个相等的实数根，∴()()22424120b ac a =-=--⨯⨯-=，解得：3a =．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．3．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α等于（ ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60° 【答案】B【解析】解：∵关于x 的一元二次方程22sin 0x x a -+=有两个相等的实数根，∴△=()224sin 0α--=，解得：sinα=12，∵α为锐角，∴α=30°．故选B ． 4．如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M ，则OM =（ ）A ．12B ．22C 31D 21【答案】D【分析】过点M 作MP ⊥CD 垂足为P ，过点O 作OQ ⊥CD 垂足为Q ，根据正方形的性质得到2，∠DCB=∠COD=∠BOC=90°，根据折叠的性质得到∠EDF ＝∠CDF ，设OM ＝PM ＝x ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】过点M 作MP ⊥CD 垂足为P ，过点O 作OQ ⊥CD 垂足为Q ，∵ 2 ，∴OD ＝1, OC ＝1, OQ ＝DQ 2 ,由折叠可知，∠EDF ＝∠CDF. 又∵AC ⊥BD, ∴OM ＝PM,设OM ＝PM ＝x∵OQ ⊥CD ，MP ⊥CD∴∠OQC ＝∠MPC ＝900， ∠PCM ＝∠QCO,∴△CMP ∽△COQ ∴MP CM OQ CO =, 121x -= ， 解得x 2－1∴OM ＝PM 2－1.故选D【点睛】此题考查正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，解题关键在于作辅助线5．若关于x 的方程260x mx +=+的一个根是2x =﹣，则m 的值是（ ）A ．5B ．6-C ．2D ．5-【答案】A【分析】把2x =﹣代入方程，即可求出m 的值.【详解】解：∵方程260x mx +=+的一个根是2x =﹣，∴2(2)260m --+=，∴5m =，故选：A.【点睛】本题考查了一元二次方程的解，以及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解方程的步骤.6．若不等式组11324x x x m+⎧<-⎪⎨⎪<⎩无解，则m 的取值范围为（ ）A ．2m ≤B ．2m <C ．2m ≥D ．2m > 【答案】A【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了可得关于m 的不等式，解之可得．【详解】解不等式1132x x +<-，得：x ＞8， ∵不等式组无解，∴4m≤8，解得m≤2，故选A ．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．7．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．【详解】A 、不是中心对称图形，故本选项不合题意；B 、是中心对称图形，故本选项符合题意；C 、不中心对称图形，故本选项不合题意；D 、不中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念：关键是找到相关图形的对称中心，旋转180度后与原图重合．8．若a 、b 、c 、d 是成比例线段，其中a=5cm ，b=2.5cm ，c=10cm ，则线段d 的长为（ ）A ．2cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm【答案】C【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad=cb ，将a ，b 及c 的值代入即可求得d ．【详解】已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，根据比例线段的定义得：ad=cb ，代入a=5cm ，b=2.5cm ，c=10cm ，解得：d=5.故线段d 的长为5cm.故选：C.【点睛】本题主要考查成比例线段，解题突破口是根据定义ad=cb ，将a ，b 及c 的值代入计算.9．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m ，另一边减少了2m ，剩余空地的面积为18m 2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm ，则可列方程为（ ）A ．（x+1）（x+2）=18B ．x 2﹣3x+16=0C ．（x ﹣1）（x ﹣2）=18D ．x 2+3x+16=0【答案】C 【详解】试题分析：可设原正方形的边长为xm ，则剩余的空地长为（x ﹣1）m ，宽为（x ﹣2）m ．根据长方形的面积公式列方程可得()()-1-2x x =1．故选C ．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．10．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，点F 在边AC 上，且2CF =，点E 为边BC 上的动点，将CEF ∆沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是（ ）A ．3.2B ．2C ．1.2D ．1【答案】C【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF=FC，故此点P在以F为圆心，以1为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP⊥AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】如图所示：当PE∥AB．在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=2268+=10，由翻折的性质可知：PF=FC=1，∠FPE=∠C=90°．∵PE∥AB，∴∠PDB=90°．由垂线段最短可知此时FD有最小值．又∵FP为定值，∴PD有最小值．又∵∠A=∠A，∠ACB=∠ADF，∴△AFD∽△ABC．∴AF DFAB BC=，即4108DF=，解得：DF=2.1．∴PD=DF-FP=2．1-1=1.1．故选：C．【点睛】本题考查翻折变换，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题11．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC∆相似的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】求出△ABC的三边长，再分别求出选项A、B、C、D中各三角形的三边长，根据三组对应边的比相等判定两个三角形相似，由此得到答案.【详解】如图，223110AB=+=，AC=2，22212BC=+=, A、三边依次为：22，5，1，∵1021225≠≠，∴A选项中的三角形与ABC∆不相似；B、三边依次为：5、2、1，∵102152==，∴B选项中的三角形与ABC∆相似；C、三边依次为：3、5、2，∵102352≠≠，∴C选项中的三角形与ABC∆不相似；D、三边依次为：13、5、2，∵1022135≠≠，∴D选项中的三角形与ABC∆不相似；故选：B.【点睛】此题考查网格中三角形相似的判定，勾股定理，需根据勾股定理分别求每个三角形的边长，判断对应边的比是否相等是解题的关键.12．从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则满足4ac≤的概率为()A．14B．13C．12D．23【答案】C【分析】根据题意列出树状图，得到所有a、c的组合再找到满足4ac≤的数对即可．【详解】如图：符合4ac≤的共有6种情况，而a、c的组合共有12种，故这两人有“心灵感应”的概率为61 122=．故选：C．【点睛】此题考查了利用树状图法求概率，要做到勿漏、勿多，同时要适时利用概率公式解答．二、填空题（本题包括8个小题）13．为估计全市九年级学生早读时间情况，从某私立学校随机抽取100人进行调查，在这个问题中，调查的样本________（填“具有”或“不具有”)代表性.【答案】不具有【分析】根据抽取样本的注意事项即要考虑样本具有广泛性与代表性，其代表性就是抽取的样本必须是随机的，以此进行分析．【详解】解：要估计全市九年级学生早读时间情况，应从该市所以学校九年级中随机抽取100人进行调查，所以在这个问题中调查的样本不具有代表性.故此空填“不具有”.【点睛】本题考查抽样调查的可靠性，解题时注意：样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．14．如图，ABC 的顶点均在O 上，4,30AB C =∠=︒，则O 的半径为_________．【答案】1【分析】连接AO,BO ，根据圆周角的性质得到60AOB ∠=︒,利用等边三角形的性质即可求解．【详解】连接AO,BO ，∵30C ∠=︒∴60AOB ∠=︒又AO=BO∴△AOB 是等边三角形，∴AO=BO=AB=1即O 的半径为1故答案为1．【点睛】此题主要考查圆的半径，解题的关键是熟知圆周角的性质．15．如图,利用标杆BE 测量建筑物的高度,已知标杆BE 高1.2m ,测得 1.6,12.4AB m BC m ==,则建筑物CD 的高是__________m ．【答案】10.5【解析】先证△AEB ∽△ABC ，再利用相似的性质即可求出答案.【详解】解：由题可知，BE ⊥AC ，DC ⊥AC∵BE//DC ，∴△AEB ∽△ADC ， ∴BE AB CD AC=， 即：1.2 1.61.612.4CD =+， ∴CD ＝10.5（m ）.故答案为10.5.【点睛】本题考查了相似的判定和性质.利用相似的性质列出含所求边的比例式是解题的关键.16．若a 是方程22410x x --=的一个根，则式子2201924a a +-的值为__________．【答案】1【分析】将a 代入方程中得到2241a a -=，将其整体代入2201924a a +-中，进而求解．【详解】由题意知，22410a a --=，即2241a a -=，∴2201924201912020a a +-=+=，故答案为：1．【点睛】本题考查了方程的根，求代数式的值，学会运用整体代入的思想是解题的关键．17．如图，ABO 三个顶点的坐标分别为(24),(60),(00)A B ，，，，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，可以得到A B O ''△，已知点B '的坐标是30（，），则点A '的坐标是______.【答案】（1，2）【解析】解：∵点A 的坐标为（2，4），以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，∴点A′的坐标是（2×12，4×12），即（1，2）．故答案为（1，2）． 18．已知∠AOB ＝60°，OC 是∠AOB 的平分线，点D 为OC 上一点，过D 作直线DE ⊥OA ，垂足为点E ，且直线DE 交OB 于点F ，如图所示．若DE ＝2，则DF ＝_____．【答案】1．【分析】过点D 作DM ⊥OB ，垂足为M ，则DM=DE=2，在Rt △OEF 中，利用三角形内角和定理可求出∠DFM=30°，在Rt △DMF 中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出DF 的长，此题得解．【详解】过点D 作DM ⊥OB ，垂足为M ，如图所示．∵OC 是∠AOB 的平分线，∴DM ＝DE ＝2．在Rt △OEF 中，∠OEF ＝90°，∠EOF ＝60°，∴∠OFE ＝30°，即∠DFM ＝30°．在Rt △DMF 中，∠DMF ＝90°，∠DFM ＝30°，∴DF ＝2DM ＝1．故答案为1．【点睛】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分线的性质及30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出DF的长是解题的关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．（1）求∠ODC的度数；（2）若OB=4，OC=5，求AO的长．【答案】（1）60°；（2）41【分析】（1）根据旋转的性质得到三角形ODC为等边三角形即可求解；（2）由旋转的性质得：AD=OB=1，结合题意得到∠ADO=90°．则在Rt△AOD中，由勾股定理即可求得AO的长．【详解】（1）由旋转的性质得：CD=CO，∠ACD=∠BCO．∵∠ACB=∠ACO+∠OCB=60°，∴∠DCO=∠ACO+∠ACD=∠ACO+∠OCB=60°，∴△OCD为等边三角形，∴∠ODC=60°．（2）由旋转的性质得：AD=OB=1．∵△OCD为等边三角形，∴OD=OC=2．∵∠BOC=120°，∠ODC=60°，∴∠ADO=90°．在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO=2222AD OD+=+=．4541【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质和勾股定理，解题的关键是掌握旋转的性质、等边三角形的性质和勾股定理.20．装潢公司要给边长为6米的正方形墙面ABCD进行装潢，设计图案如图所示（四周是四个全等的矩形，用材料甲进行装潢；中心区是正方形MNPQ，用材料乙进行装潢）．两种装潢材料的成本如下表：设矩形的较短边AH 的长为x 米，装潢材料的总费用为y 元．（1）MQ 的长为 米（用含x 的代数式表示）；（2）求y 关于x 的函数解析式；（3）当中心区的边长不小于2米时，预备资金1760元购买材料一定够用吗？请说明理由．【答案】（1）（6﹣1x ）；（1）y ＝﹣40x 1+140x+2；（3）预备资金4元购买材料一定够用，理由见解析【分析】（1）根据大正方形的边长减去两个小长方形的宽即可求解；（1）根据总费用等于两种材料的费用之和即可求解；（3）利用二次函数的性质和最值解答即可．【详解】解：（1）∵AH=GQ=x ，AD=6，∴MQ=6-1x ；故答案为：6-1x ；（1）根据题意，得AH ＝x ，AE ＝6﹣x ， S 甲＝4S 长方形AENH ＝4x （6﹣x ）＝14x ﹣4x 1，S 乙＝S 正方形MNQP ＝（6﹣1x ）1＝36﹣14x+4x 1．∴ y ＝50（14x ﹣4x 1）+40（36﹣14x+4x 1）＝﹣40x 1+140x+2．答：y 关于x 的函数解析式为y ＝﹣40x 1+140x+2．（3）预备资金4元购买材料一定够用．理由如下：∵y ＝﹣40x 1+140x+2＝﹣40（x －3）1+1800，由﹣40＜0，可知抛物线开口向下，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大．由x －3=0可知，抛物线的对称轴为直线x=3．∴ 当x ＜3时，y 随x 的增大而增大．∵ 中心区的边长不小于1米，即6﹣1x≥1，解得x≤1，又x ＞0，∴0＜x≤1．当x=1时，y ＝﹣40（x －3）1+1800=﹣40（1－3）1+1800=4，∴ 当0＜x≤1时，y≤4．∴ 预备资金4元购买材料一定够用．答：预备资金4元购买材料一定够用．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及配方法求最值和正方形的性质等知识，正确得出各部分的边长是解题关键．21．计算:(1)()3122;x x x -=-(2)23740x x -+=【答案】 (1)1221,3x x ==-;(2) 1241,3x x == 【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【详解】（1）解:()()3121x x x -=-()()31210x x x -+-=()()3210x x ∴+-=.320x ∴+=或10x -=解之: 1221,3x x ==- （2）解:将原方程整理为:()()3410x x --=10x ∴-=或340x -=，解之: 1241,3x x ==【点睛】 本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．22．关于x 的一元二次方程为（ｍ－1）x 2－2ｍx ＋ｍ＋1＝0（1）求出方程的根；（2）ｍ为何整数时，此方程的两个根都为正整数？【答案】（1）∴12m 1x x 1m 1+==-，． （2）ｍ=2或3 ．【解析】（1）利用一元二次方程求根根式解方程．（2）利用（1）中x 的值来确定m 的值．【详解】解：（1）根据题意得ｍ≠1，△＝（–2ｍ）2－4（ｍ－1）（ｍ＋1）＝4 ，∴()()122m 2m 12m 2x x 12m 1m 12m 1++-====---，． （2）由（1）知1m 12x 1m 1m 1+==+--， ∵方程的两个根都是正整数，∴2m 1-是正整数． ∴ｍ－1=1或2. ．∴ｍ=2或3 ．考点：公式法解一元二次方程，一元二次方程的解．23．如图，是由两个等边三角形和一个正方形拼在-起的图形，请仅用无刻度的直尺按要求画图，(1)在图①中画一个60的角，使点C 或点E 是这个角的顶点，且以CE 为这个角的一边：(2)在图②画一条直线AP ，使得//AP CE ．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】(1)连接CF,EF ，得到△ECF 为等边三角形，即可求解：(2)连接CF,BD ，交点即为P 点，再连接AP 即可.【详解】() 1FCE ∠或FEC ∠即为所求；()2直线AP 即为所求.【点睛】此题主要考查四边形综合的复杂作图，解题的关键是熟知正方形、等边三角形的性质.24．为了测量山坡上的电线杆PQ 的高度，某数学活动小组的同学们带上自制的测倾器和皮尺来到山脚下，他们在A 处测得信号塔顶端P 的仰角是45°，信号塔底端点Q 的仰角为30°，沿水平地面向前走100米到B 处，测得信号塔顶端P 的仰角是60°，求信号塔PQ 得高度．【答案】100米【分析】延长PQ 交直线AB 于点M ，连接AQ ，设PM 的长为x 米，利用锐角三角函数即可求出x ，再利用锐角三角函数即可求出QM ，从而求出结论．【详解】解：延长PQ 交直线AB 于点M ，连接AQ ，如图所示：则∠PMA ＝90°，设PM 的长为x 米，在Rt PAM 中，∠PAM ＝45°，∴AM ＝PM ＝x 米，∴BM ＝x ﹣100（米），在Rt PBM 中，∵tan ∠PBM PM BM=， ∴tan60°3100x x ==- 解得：x ＝50（33，在Rt QAM 中，∵tan ∠QAM QM AM=， ∴QM ＝AM •tan ∠QAM ＝50（33tan30°＝5031）（米），∴PQ ＝PM ﹣QM ＝100（米）答：信号塔PQ 的高度约为100米．【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键． 25．如图，AB 和DE 是直立在地面上的两根立柱．AB ＝6m ，某一时刻AB 在阳光下的投影BC ＝4m （1）请你在图中画出此时DE 在阳光下的投影．（2）在测量AB 的投影时，同时测量出DE 在阳光下的投影长为9m ，请你计算DE 的长．【答案】（1）见解析；（2）13.5m.【分析】（1）直接利用平行投影的性质得出答案；（2）利用同一时刻实际物体的影子与物体的高度比值相同进而得出答案．【详解】解：（1）如图所示：EF即为所求；（2）∵AB＝6m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝4m，DE在阳光下的投影长为9m，∴64＝DE9，解得：DE＝13.5m，答：DE的长为13.5m．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题法的关键是熟知平行线的性质.26．一名大学毕业生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价为80元/件，经市场调查发现，该产品的日销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元/件)之间满足一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W(单位：元)与销售单价x之间的函数关系式，并求出每件销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）这名大学生计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？【答案】（1）5600y x =-+(80120x ≤≤)；（2）25100048000W x x =-+-，每件销售单价为100元时，每天的销售利润最大，最大利润为2000元；（3）该产品的成本单价应不超过65元．【分析】（1）设y 与x 之间的函数解析式为：y ＝kx ＋b ，根据题意列方程组即可得到结论；（2）根据题意得到合适解析式，然后根据二次函数的性质即可得到结论；（3）设产品的成本单价为b 元，根据题意列不等式即可得到结论．【详解】（1）设y 关于x 的函数解析式为y kx b =+．由图象，得85175,95125.k b k b +=⎧⎨+=⎩解得5,600.k b =-⎧⎨=⎩ 即y 关于x 的函数解析式是5600y x =-+(80120x ≤≤)．（2）根据题意，得()()()22560080510004800051002000W x x x x x =-+-=-+-=--+，∴当100x =时，W 取得最大值，此时2000W =．即每件销售单价为100元时，每天的销售利润最大，最大利润为2000元．（3）设科技创新后成本为b 元．当90x =时，()()590600903750b -⨯+-≥．解得65b ≤．答：该产品的成本单价应不超过65元．【点睛】此题主要考查了二次函数和一次函数的应用以及一元二次方程的应用，正确得出函数解析式是解题关键． 27．如图，AB 是⊙O 的直径，弦DE 垂直半径OA ，C 为垂足，DE ＝6，连接DB ，30B，过点E 作EM ∥BD ，交BA 的延长线于点M ．（1）求的半径；（2）求证：EM 是⊙O 的切线；（3）若弦DF 与直径AB 相交于点P ，当∠APD ＝45°时，求图中阴影部分的面积．【答案】⑴ OE ＝3；⑵ 见详解 ⑶36π-【分析】（1） 连结OE,根据垂径定理可以得到AD AE =，得到∠AOE =60º，OC=12OE ，根据勾股定理即可求出. （2） 只要证明出∠OEM=90°即可，由(1)得到∠AOE =60º，根据EM ∥BD ，∠B=∠M=30°，即可求出. （3） 连接OF,根据∠APD ＝45°，可以求出∠EDF ＝45º，根据圆心角为2倍的圆周角，得到∠BOE ，用扇形OEF 面积减去三角形OEF 面积即可.【详解】（1）连结OE∵DE 垂直OA ，∠B=30°∴CE ＝12DE ＝3，AD AE = ∴∠AOE ＝2∠B=60º，∴∠CEO=30°，OC=12OE由勾股定理得OE ＝（2） ∵EM ∥BD ，∴∠M ＝∠B ＝30º，∠M+∠AOE=90º∴∠OEM ＝90º，即OE ⊥ME ，∴EM 是⊙O 的切线（3）再连结OF ，当∠APD ＝45º时，∠EDF ＝45º， ∴∠EOF ＝90ºS 阴影＝((221142π- ＝36π- 【点睛】本题主要考查了圆的切线判定、垂径定理、平行线的性质定理以及扇形面积的简单计算，熟记概念是解题的关键.九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，⊙O 外接于△ABC ，AD 为⊙O 的直径，∠ABC=30°，则∠CAD=（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【答案】D 【分析】首先由∠ABC=30°，推出∠ADC=30°，然后根据AD 为⊙O 的直径，推出∠DCA=90°，最后根据直角三角形的性质即可推出∠CAD=90°-∠ADC ，通过计算即可求出结果．【详解】解：∵∠ABC=30°，∴∠ADC=30°，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD=90°，∴∠CAD=90°-30°=60°．故选D ．【点睛】本题主要考查圆周角定理，直角三角形的性质，角的计算，关键在于通过相关的性质定理推出∠ADC 和∠DCA 的度数．2．如图，AB 为O 的直径，,C D 为O 上两点，若40BCD ∠︒＝，则ABD ∠的大小为（ ）．A ．60°B ．50°C ．40°D ．20°【答案】B 【分析】根据题意连接AD ，再根据同弧的圆周角相等，即可计算的ABD ∠的大小.【详解】解：连接AD ，∵AB 为O 的直径，∴90ADB ∠=︒．∵40BCD ∠=︒，∴40A BCD ∠=∠=︒，∴904050ABD ∠=︒-︒=︒．故选B ．【点睛】本题主要考查圆弧的性质，同弧的圆周角相等,这是考试的重点，应当熟练掌握.3．如图，以AB 为直径的⊙O 上有一点C ，且∠BOC ＝50°，则∠A 的度数为（ ）A ．65°B ．50°C ．30°D ．25°【答案】D 【分析】根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：由圆周角定理得，1252A BOC ∠=∠=︒， 故选：D ．【点睛】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．4．如图，要证明平行四边形ABCD 为正方形，那么我们需要在四边形ABCD 是平行四边形的基础上，进一步证明（ ）A ．AB =AD 且AC ⊥BD B ．AB =AD 且AC =BD C ．∠A =∠B 且AC =BD D ．AC 和BD 互相垂直平分【答案】B【解析】解：A ．根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能判断平行四边形ABCD 是正方形；B ．根据邻边相等的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，所以能判断四边形ABCD 是正方形；C ．根据一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，即只能证明四边形ABCD 是矩形，不能判断四边形ABCD 是正方形；D ．根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以不能判断四边形ABCD 是正方形．故选B ．5．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，过对角线交点O 作EF AC ⊥交AD 于点E ，交BC 于点F ，则DE 的长是( )A ．1B ．74C ．2D ．125【答案】B 【分析】连接CE ，由矩形的性质得出90ADC ∠=，6CD AB ==，8AD BC ==，OA OC =，由线段垂直平分线的性质得出AE CE =，设DE x =，则8CE AE x ==-，在Rt CDE ∆中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】如图：连接CE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴90ADC ∠=，6CD AB ==，8AD BC ==，OA OC =，∵EF AC ⊥，∴AE CE =，设DE x =，则8CE AE x ==-，在Rt CDE ∆中，由勾股定理得：()22268x x +=-，解得：74x =， 即74DE =；故选B ．【点睛】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．6．一元二次方程240x-=的解是（）A．2-B．2C．2±D．2±【答案】D【分析】这个式子先移项，变成x2=4，从而把问题转化为求4的平方根．【详解】移项得，x2=4开方得，x=±2，故选D．【点睛】（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．7．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各个选项进行判断，即可得到答案.【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B错误；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C正确；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误；故选：C.【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，解题的关键是熟练掌握概念进行分析判断.8．某人从A处沿倾斜角为α的斜坡AB前进600米到B处，则它上升的高度BC是（）A．600sinα米B．600sinα米C．600cosα米D．600cosα米【答案】A【分析】利用坡角的正弦值即可求解．【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=α，AB=600， ∴sinα=600BC BC AB =， ∴BC=600sinα． 故选A ． 【点睛】 此题主要考查坡度坡角问题，正确掌握坡角的定义是解题关键． 9．我们把宽与长的比等于黄金比512⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的矩形称为黄金矩形.如图，在黄金矩形ABCD (AB <)BC 中，ABC ∠的平分线交AD 边于点E ，EF BC ⊥于点F ，则下列结论错误．．的是（ ）A ．AE BE AD AE =B ．CF BF BF BC = C ．AE BE BE BC =D ．DE AB EF BC= 【答案】C【分析】设()51AB a =-，则2AD a =，根据黄金矩形的概念结合图形计算，据此判断即可．【详解】因为矩形ABCD 宽与长的比等于黄金比512-， 因此，设()51AB a =-，则2AD a =， 则选项A.512AE DE AD AE -==，B.512CF BF BF BC -==，D.512DE AB EF BC -==正确， C.选项中等式22AE BE =，1022BE BC -= ， ∴AE BE BE BC≠； 故选：C.【点睛】51-是解题的关键．10．在平面直角坐标系中，对于二次函数()221y x =-+，下列说法中错误的是（ ）A ．y 的最小值为1B ．图象顶点坐标为()21，，对称轴为直线2x =C ．当2x <时，y 的值随x 值的增大而增大，当2x ≥时，y 的值随x 值的增大而减小D ．当2x <时，y 的值随x 值的增大而减小，当2x ≥时，y 的值随x 值的增大而增大【答案】C【分析】根据()221y x =-+，可知该函数的顶点坐标为（2,1），对称轴为x=2，最小值为1，当x<2时，y 随x 的增大而减小，当x≥2时，y 随x 的增大而增大，进行判断选择即可.【详解】由题意可知，该函数当x<2时，y 随x 的增大而减小，当x≥2时，y 随x 的增大而增大，故C 错误，所以答案选C.【点睛】本题考查的是一元二次函数顶点式的图像性质，能够根据顶点式得出其图像的特征是解题的关键. 11．关于x 的方程22370x x +-=的根的情况，正确的是（ ）．A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根【答案】A【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可得到方程根的情况.【详解】解：∵22370x x +-=，∴2342(7)956650∆=-⨯⨯-=+=>，∴原方程有两个不相等的实数根；故选择：A.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式.12．二次函数221y x =-的图象是一条抛物线，下列说法中正确的是（ ）A ．抛物线开口向下B ．抛物线经过点()1,1-C ．抛物线的对称轴是直线1x =D ．抛物线与x 轴有两个交点 【答案】D【分析】根据二次函数的性质对A 、C 进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对B 进行判断；利用方程2x 2-1=0解的情况对D 进行判断．【详解】A. a=2,则抛物线y=2x 2−1的开口向上，所以A 选项错误；B. 当x=1时,y=2×1−1=1,则抛物线不经过点(1,-1)，所以B 选项错误；C. 抛物线的对称轴为直线x=0，所以C选项错误；D. 当y=0时,2x2−1=0，此方程有两个不相等的实数解，所以D选项正确.故选D.【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，结合图像是解题的关键.二、填空题（本题包括8个小题）13．已知二次函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而_____（填“增大”或“减小”）．【答案】增大．【分析】根据二次函数的增减性可求得答案【详解】∵二次函数y=x2的对称轴是y轴，开口方向向上，∴当y随x的增大而增大，故答案为增大.【点睛】本题考查的知识点是二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质.14．方程x2﹣4x﹣6＝0的两根和等于_____，两根积等于_____．【答案】4 ﹣6【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得答案．【详解】设方程的两个根为x1、x2，∵a=1，b=-4，c=-6，∴x1+x2=-ba=4，x1·x2=ca=-6，故答案为4，﹣6【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程y=ax2+bx+c（a≠0）的两个根为x1、x2，那么，x1+x2=-ba，x1·x2=ca；熟练掌握韦达定理是解题关键．15．计算：2sin45︒=______．【答案】【分析】根据特殊角三角函数值和二次根式化简整理，合并同类二次根式即可求解．【详解】解：2sin4522︒=⨯--故答案为：【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和二次根式的计算，熟知特殊角的三角函数值是解题关键．16．下列四个函数：①21y x =-+②32y x =-③3y x =-④22y x =+中，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大的函数是______（选填序号）．【答案】②③【分析】分别根据一次函数、反比例函数和二次函数的单调性分别进行判断即可．【详解】解：①在y=-2x+1中，k=-2＜0，则y 随x 的增大而减少；②在y=3x+2中，k=3＞，则y 随x 的增大而增大；③在3y x=-中，k=-3＜0，当x ＜00时，在第二象限，y 随x 的增大而增大； ④在y=x 2+2中，开口向上，对称轴为x=0，所以当x ＜0时，y 随x 的增大而减小；综上可知满足条件的为：②③．故答案为：②③．【点睛】本题主要考查函数的增减性，掌握一次函数、反比例函数的增减性与k 的关系，以及二次函数的增减性是解题的关键．17．如图，在平面直角坐标系中，直线l 的函数表达式为y x =，点1Q 的坐标为(1,0)，以1O 为圆心，1O O为半径画圆，交直线l 于点1P ，交x 轴正半轴于点2O ，以2O 为圆心，2O O 为半径的画圆，交直线l 于点2P ，交x 轴的正半轴于点3O ，以3O 为圆心，3O O 为半径画圆，交直线l 与点3P ，交x 轴的正半轴于点4O ，… 按此做法进行下去，其中弧20192020P O 的长为_______．【答案】20172π.【分析】连接11PO ，22P O ，33P O ，易求得n n P O 垂直于x 轴，可得1n n P O +弧为14圆的周长，再找出圆半径的规律即可解题．【详解】连接11PO ，22P O ，33P O ⋯。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．80（1+x ）2=100B ．100（1﹣x ）2=80C ．80（1+2x ）=100D ．80（1+x 2）=100【答案】A【解析】利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x ，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．【详解】由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x ，根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x ）吨，2018年蔬菜产量为80（1+x ）（1+x ）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，即： 80（1+x ）2=100，故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．2．若将抛物线y=x 2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A ．()223y x =++ B ．()223y x =-+ C ．()223y x =+- D ．()223y x =--【答案】B 【解析】试题分析：∵函数y=x 2的图象的顶点坐标为()0,?0，将函数y=x 2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，∴其顶点也向右平移2个单位，再向上平移3个单位.根据根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加．上下平移只改变点的纵坐标，下减上加.∴平移后，新图象的顶点坐标是()()02,?032,?3++⇒. ∴所得抛物线的表达式为()223y x =-+. 故选B.考点：二次函数图象与平移变换．3．如图，在正方形ABCD 中，AB=4，AC 与BD 相交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，P 是OD 的中点，过点P 作PM ⊥BC 于点M ，交OC 于点N′，则PN-MN′的值为（ ）A．1B．2C．2D．22 3【答案】A【分析】根据正方形的性质可得点O为AC的中点，根据三角形中位线的性质可求出PN的长，由PM⊥BC 可得PM//CD，根据点P为OD中点可得点N′为OC中点，即可得出AC=4CN′，根据MN′//AB可得△CMN′∽△CBA，根据相似三角形的性质可求出MN′的长，进而可求出PN-MN′的长.【详解】∵四边形ABCD是正方形，AB=4，∴OA=OC，AD=AB=4，∵N是AO的中点，P是OD的中点，∴PN是△AOD的中位线，∴PN=12AD=2，∵PM⊥BC，∴PM//CD//AB，∴点N′为OC的中点，∴AC=4CN′，∵PM//AB，∴△CMN′∽△CBA，∴''MN CNAB AC=14=，∴MN′=1，∴PN-MN′=2-1=1，故选：A.【点睛】本题考查正方形的性质、三角形中位线的性质及相似三角形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；熟练掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定定理是解题关键.4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A．B．C．D．【答案】A【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故答案为A．【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念,理解这两个概念是解答本题的关键.5．把同一副扑克牌中的红桃2、红桃3、红桃4三张牌背面朝上放在桌子上，从中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的概率为（）A．49B．13C．12D．23【答案】D【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与从中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：根据题意画树状图如下：∵共有6种等可能的结果，从中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的有4种情况，∴从中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的概率为：4263=；故选：D．【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．6．如图，线段OA=2，且OA与x轴的夹角为45°，将点A 绕坐标原点O 逆时针旋转105°后得到点A'，则A'的坐标为（）A ．(13)-，B ．(13)-，C ．(31)-，D ．(3)1-，【答案】C 【分析】如图所示，过A '作A B '⊥y 轴于点B ，作A C '⊥x 轴于点C ，根据旋转的性质得出2OA OA '==，105AOA '∠=︒，从而得出1054560A OB '∠=︒-︒=︒，利用锐角三角函数解出CO 与OB 即可解答．【详解】解：如图所示，过A '作A B '⊥y 轴于点B ，作A C '⊥x 轴于点C ，由旋转可知，2OA OA '==，105AOA '∠=︒，∵AO 与x 轴的夹角为45°，∴∠AOB=45°，∴1054560A OB '∠=︒-︒=︒，∴3sin 6023CO A B A O ''==︒=⨯=， 1cos60212OB A O '=︒=⨯=， ∴(3,1)A '-，故选：C ．【点睛】本题考查了旋转的性质以及解直角三角形，解题的关键是得出60A OB '∠=︒，并熟悉锐角三角函数的定义及应用．7．二次函数2y ax bx c =++的图象如右图所示，那么一次函数y bx a =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】可先根据二次函数的图象判断a 、b 的符号，再判断一次函数图象与实际是否相符，判断正误．【详解】解：由二次函数图象，得出a ＞0，02b a->，b ＜0， A 、由一次函数图象，得a ＜0，b ＞0，故A 错误； B 、由一次函数图象，得a ＞0，b ＞0，故B 错误；C 、由一次函数图象，得a ＜0，b ＜0，故C 错误；D 、由一次函数图象，得a ＞0，b ＜0，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象，应该熟记一次函数y=kx+b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等.8．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=，30B ∠=，AD 平分BAC ∠，E 是AD 的中点，若8AB =，则CE 的长为（ ）A ．4B 43C 3D 23 【答案】B 【分析】首先证明AD BD =，然后再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即12CE AD =. 【详解】解：90,30,ACB B ∠=︒∠=︒60.CAB ∴∠=︒AD CAB ∠又平分30CAD DAB ∴∠=∠=︒DAB B ∴∠=∠.AD BD ∴=1.2Rt ACD CD AD =在中， 设,AD BD x == 则12CD x =, 142AC AB == 在Rt ACD 中，222AC CD AD += 即222142x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭解得x = E 为AD 中点， 12CE AD ∴== 故选B【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、直角三角形斜边上的中线，含30度角的直角三角形.9．口袋中有14个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，多次实验后发现摸到白球的频率稳定在0.3，则白球的个数是( )A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】B【分析】设白球的个数为x ，利用概率公式即可求得.【详解】设白球的个数为x ，由题意得，从14个红球和x 个白球中，随机摸出一个球是白球的概率为0.3， 则利用概率公式得：0.314x x =+， 解得：6x =，经检验，x=6是原方程的根，故选：B.【点睛】本题考查了等可能下概率的计算，理解题意利用概率公式列出等式是解题关键.10．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，前三天累计票房收入达10亿元，若设增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．()23110x +=B ．()()231110x x ++++=C ．()233110x ++=D ．()()23313110x x ++++= 【答案】D 【分析】根据题意可得出第二天的票房为()31x +，第三天的票房为()231x +，将三天的票房相加得到票房总收入，即可得出答案．【详解】解：设增长率为x ，由题意可得出，第二天的票房为()31x +，第三天的票房为()231x +，因此，()()23313110x x ++++=．故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找出等量关系式． 11．某细胞的直径约为0.0000008米，该直径用科学记数法表示为（ ）A ．7810⨯米B ．7810-⨯米C ．6810-⨯米D ．78010-⨯米 【答案】B【分析】根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯且()110a ≤≤，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：根据科学计数法得： 70.0000008=810-⨯．故选：B ．【点睛】本题主要考查科学计数法，熟记科学计数法的一般形式是10n a -⨯且()110a ≤≤是关键，注意负指数幂的书写规则是由原数左边第一个不为零的数字开始数起．12．如图：已知AD ∥BE ∥CF ，且AB ＝4，BC ＝5，EF ＝4，则DE ＝（ ）A ．5B ．3C ．3.2D ．4【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可．【详解】解：∵AD ∥BE ∥CF ， ∴AB DE BC EF =，即454DE ， 解得，DE ＝3.2，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，正确列出比例式是解题的关键．三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．二、填空题（本题包括8个小题）13．有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质：甲说：对称轴是直线2x =；乙说：与x 轴的两个交点的距离为6；丙说：顶点与x 轴的交点围成的三角形面积等于9，则这条抛物线解析式的顶点式是______.【答案】()21233y x =--，()21233y x =--+ 【分析】根据对称轴是直线x=2，与x 轴的两个交点距离为6，可求出与x 轴的两个交点的坐标为（-1，0），（5，0）；再根据顶点与x 轴的交点围成的三角形面积等于9，可得顶点的纵坐标为±1，然后利用顶点式求得抛物线的解析式即可．【详解】解：∵对称轴是直线x=2，与x 轴的两个交点距离为6，∴抛物线与x 轴的两个交点的坐标为（-1，0），（5，0），设顶点坐标为（2，y ），∵顶点与x 轴的交点围成的三角形面积等于9， ∴1692y ⨯⨯=， ∴y=1或y=-1，∴顶点坐标为（2，1）或（2，-1），设函数解析式为y=a （x-2）2+1或y=a （x-2）2-1；把点（5，0）代入y=a （x-2）2+1得a=-13； 把点（5，0）代入y=a （x-2）2-1得a=13； ∴满足上述全部条件的一条抛物线的解析式为y=-13（x-2）2+1或y=13（x-2）2-1． 故答案为：()21233y x =--，()21233y x =--+. 【点睛】此题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式．解题的关键是理解题意，采用待定系数法求解析式，若给了顶点，注意采用顶点式简单．14．如图，四边形ABCD 的项点都在坐标轴上，若//,AB CD AOB 与COD △面积分别为8和18，若双曲线k y x=恰好经过BC 的中点E ，则k 的值为__________．【答案】6【分析】根据AB//CD ，得出△AOB 与△OCD 相似，利用△AOB 与△OCD 的面积分别为8和18，得：AO ：OC=BO ：OD=2：3，然后再利用同高三角形求得S △COB =12，设B 、 C 的坐标分别为（a ，0）、（0，b ），E 点坐标为（12a ，12b ）进行解答即可. 【详解】解：∵AB//CD ，∴△AOB ∽△OCD ，又∵△ABD 与△ACD 的面积分别为8和18，∴△ABD 与△ACD 的面积比为4：9，∴AO ：OC=BO ：OD=2：3∵S △AOB =8∴S △COB =12设B 、 C 的坐标分别为（a ，0）、（0，b ），E 点坐标为（12a ，12b ） 则OB=| a | 、OC=| b | ∴12|a|×|b|=12即|a|×|b|=24 ∴|12a|×|12b|=6 又∵k y x=，点E 在第三象限 ∴k=xy=12a ×12b=6 故答案为6.【点睛】本题考查了反比例函数综合题应用，根据已知求出S △COB =12是解答本题的关键.15．如图，A ，B ，C 是⊙O 上三点，∠AOC=∠B ，则∠B=_______度．【答案】1【分析】连结OB，可知△OAB和△OBC都是等腰三角形，∠ABC=∠A+∠C=∠AOC，四边形内角和360゜，可求∠B．【详解】如图，连结OB，∵OA=OB=OC，∴△OAB和△OBC都是等腰三角形，∴∠A=∠OBA，∠C=∠OBC，∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=∠A+∠C，∴∠A+∠C=∠ABC=∠AOC∵∠A+ ∠ABC+∠C+∠AOC=360゜∴3∠ABC=360゜∴∠ABC=1゜即∠B=1゜．故答案为：1．【点睛】本题考查圆周角度数问题，要抓住半径相等构造两个等腰三角形，把问题转化为解∠B的方程是关键．16．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为_______．【答案】 (-1010,10102)【分析】根据二次函数性质可得出点A1的坐标，求得直线A1A2为y=x+2，联立方程求得A2的坐标，即可求得A3的坐标，同理求得A4的坐标，即可求得A5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点A2019的坐标．【详解】∵A点坐标为（1，1），∴直线OA为y=x，A1（-1，1），∵A1A2∥OA，∴直线A1A2为y=x+2，解22y x y x +⎧⎨⎩＝＝得11xy-⎧⎨⎩＝＝或24xy⎧⎨⎩＝＝，∴A2（2，4），∴A3（-2，4），∵A3A4∥OA，∴直线A3A4为y=x+6，解26y x y x +⎧⎨⎩＝＝得24xy-⎧⎨⎩＝＝或39xy⎧⎨⎩＝＝，∴A4（3，9），∴A5（-3，9）…，∴A2019（-1010，10102），故答案为（-1010，10102）．【点睛】此题考查二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．17．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形，点D恰好在双曲线上kyx=，则k值为_____．【答案】1【解析】作DH⊥x轴于H，如图，当y=0时，-3x+3=0，解得x=1，则A （1，0），当x=0时，y=-3x+3=3，则B （0，3），∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=AD ，∠BAD=90°，∴∠BAO+∠DAH=90°，而∠BAO+∠ABO=90°，∴∠ABO=∠DAH ，在△ABO 和△DAH 中AOB DHA ABO DAH AB DA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ABO ≌△DAH ，∴AH=OB=3，DH=OA=1，∴D 点坐标为（1，1），∵顶点D 恰好落在双曲线y=k x上， ∴a=1×1=1．故答案是：1.18．已知线段AB ，点P 是它的黄金分割点，AP PB >，设以AP 为边的正方形的面积为1S ，以PB AB ，为邻边的矩形的面积为2S ，则1S 与2S 的关系是__________．【答案】12S S 【分析】根据黄金分割比得出AP ，PB 的长度，计算出1S 与2S 即可比较大小．【详解】解：∵点P 是AB 的黄金分割点，AP PB >， ∴51AP AB -=AB=2， 则51AP =，251)35BP =-=∴21(51)625S ==-22(35)625S ==-∴12S S故答案为：12S S ． 【点睛】本题考查了黄金分割比的应用，熟知黄金分割比是解题的关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．解方程：x 2+2x ﹣1=1． 【答案】1212,12x x =-+=--．【分析】根据公式法解一元二次方程，即可得出结论.【详解】解：1a =，2b =，1c =-，244480b ac ==+=>﹣，方程有两个不相等的实数根，242221222b b ac x a -±--±===-±， 即121212x x =-+=--，，故答案为121212x x =-+=--，.【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程20(ax bx c a b c ++=，，是常数且0)a ≠.解题的关键是根据系数的特点选用适合的解题方法，选用公式法解题时，判别式24b ac =-，(1)当0>时，一元二次方程有两个不相等的实数根；(2)当0=时，一元二次方程有两个相等的实数根；(3)当0<时，一元二次方程没有实数根.20．小晗家客厅装有一种三位单极开关，分别控制着A(楼梯)、B(客厅)、C(走廊)三盏电灯，在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开．因刚搬进新房不久，不熟悉情况．(1)若小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是多少？(2)若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明．【答案】（1）13；（2）13.【解析】试题分析：(1)、3个等只有一个控制楼梯，则概率就是1÷3；(2)、根据题意画出树状图，然后根据概率的计算法则得出概率.试题解析：(1)、小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是：1 3(2)、画树状图得：结果：（A，B）、（A，C）、（B，A）、（B，C）、（C，A）、（C，B）∵共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况，∴正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是26=1 3.考点：概率的计算.21．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴、y轴的正半轴上（OA ＜OB）．且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个根，线段AB的垂直平分线CD交AB 于点C，交x轴于点D，点P是直线AB上一个动点，点Q是直线CD上一个动点．（1）求线段AB的长度：（2）过动点P作PF⊥OA于F，PE⊥OB于E，点P在移动过程中，线段EF的长度也在改变，请求出线段EF的最小值：（3）在坐标平面内是否存在一点M，使以点C、P、Q、M为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为12AB长？若存在，请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】（1）1；（2）245；（3）存在，所求点M的坐标为M1（4，11），M2（﹣4，5），M3（2，﹣3），M4（1，3）．【分析】（1）利用因式分解法解方程x2﹣14x+48＝0，求出x的值，可得到A、B两点的坐标，在Rt△AOB 中利用勾股定理求出AB即可．（2）证明四边形PEOF是矩形，推出EF＝OP，根据垂线段最短解决问题即可．（3）分两种情况进行讨论：①当点P与点B重合时，先求出BM的解析式为y＝34x+8，设M（x，34x+8），再根据BM＝5列出方程（34x+8﹣8）2+x2＝52，解方程即可求出M的坐标；②当点P与点A重合时，先求出AM的解析式为y＝34x﹣92，设M（x，34x﹣92），再根据AM＝5列出方程（34x﹣92）2+（x﹣6）2＝52，解方程即可求出M的坐标．【详解】解：（1）解方程x2﹣14x+48＝0，得x1＝6，x2＝8，∵OA＜OB，∴A（6，0），B（0，8）；在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，OA＝6，OB＝8，∴AB＝22OA OB+＝2268+＝1．（2）如图，连接OP．∵PE⊥OB，PF⊥OA，∴∠PEO＝∠EOF＝∠PFO＝90°，∴四边形PEOF是矩形，∴EF＝OP，根据垂线段最短可知当OP⊥AB时，OP的值最小，此时OP＝OB OAAB⋅＝245，∴EF的最小值为245．（3）在坐标平面内存在点M，使以点C、P、Q、M为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为12 AB长．∵AC＝BC＝12AB＝5，∴以点C、P、Q、M为顶点的正方形的边长为5，且点P与点B或点A重合．分两种情况：①当点P与点B重合时，易求BM的解析式为y＝34x+8，设M（x，34x+8），∵B（0，8），BM＝5，∴（34x+8﹣8）2+x2＝52，化简整理，得x2＝16，解得x＝±4，∴M1（4，11），M2（﹣4，5）；②当点P与点A重合时，易求AM的解析式为y＝34x﹣92，设M（x，34x﹣92），∵A（6，0），AM＝5，∴（34x﹣92）2+（x﹣6）2＝52，化简整理，得x2﹣12x+20＝0，解得x1＝2，x2＝1，∴M3（2，﹣3），M4（1，3）；综上所述，所求点M的坐标为M1（4，11），M2（﹣4，5），M3（2，﹣3），M4（1，3）．【点睛】本题是一次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数的解析式，一元二次方程的解法，正方形的性质，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．22．如图，反比例函数y＝kx（x＞0）和一次函数y＝mx+n的图象过格点（网格线的交点）B、P．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）观察图象，直接写出一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围是：．（3）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；②矩形的面积等于k的值．【答案】（1）y＝4x，y＝﹣12x+3；（2）2＜x＜1；（3）见解析【分析】（1）利用待定系数法即可求出反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象即可求得；（3）根据矩形满足的两个条件画出符合要求的两个矩形即可．【详解】（1）∵反比例函数y＝kx（x＞0）的图象过格点P（2，2），∴k＝2×2＝1，∴反比例函数的解析式为y＝4x，∵一次函数y＝mx+n的图象过格点P（2，2），B（1，1），∴2241m nm n+=⎧⎨+=⎩，解得123mn⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数的解析式为y＝﹣12x+3；（2）一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围是2＜x＜1，故答案为2＜x＜1．（3）如图所示：矩形OAPE、矩形ODFP即为所求作的图形．【点睛】此题是一道综合题，考查待定系数法求函数解析式、矩形的性质，（3）中画矩形时把握矩形特点即可正确解答.23．如图，在矩形ABCD中，E是边CD的中点，点M是边AD上一点（与点A，D不重合），射线ME与BC的延长线交于点N．（1）求证：△MDE≌△NCE；（2）过点E作EF//CB交BM于点F，当MB＝MN时，求证：AM＝EF．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）由平行线的性质得出∠DME＝∠CNE，∠MDE＝∠ECN，可证明△MDE≌△NCE（AAS）；（2）过点M作MG⊥BN于点G，由等腰三角形的性质得出BG＝BN＝12BN，由中位线定理得出EF＝12BN，则可得出结论．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD//BC，∴∠DME＝∠CNE，∠MDE＝∠ECN，∵E为CD的中点，∴DE＝CE，∴△MDE≌△NCE（AAS）；（2）证明：过点M作MG⊥BN于点G，∵BM＝MN，∴BG＝BN＝12 BN，∵矩形ABCD中，∠A＝∠ABG＝90°，又∵MG⊥BN，∴∠BGM＝90°，∴四边形ABGM为矩形，∴AM＝BG＝12 BN，∵EF//BN，E为DC的中点，∴F为BM的中点，∴EF＝12 BN，∴AM＝EF．【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．24．如图，点A 是我市某小学，在位于学校南偏西15°方向距离120米的C 点处有一消防车.某一时刻消防车突然接到报警电话，告知在位于C 点北偏东75°方向的F 点处突发火灾，消防队必须立即沿路线CF 赶往救火．已知消防车的警报声传播半径为110米，问消防车的警报声对学校是否会造成影响？若会造成影响，已知消防车行驶的速度为每小时60千米，则对学校的影响时间为几秒？（13≈3.6，结果精确到1秒）【答案】4秒【分析】作AB ⊥CF 于B ，根据方向角、勾股定理求出AB 的长，根据题意比较得到消防车的警报声对听力测试是否会造成影响；求出造成影响的距离，根据速度计算即可．【详解】解：作AB ⊥CF 于B ，由题意得：∠ACB=60°，AC=120米，则∠CAB=30°∴1602BC AC ==米， ∴cos30603AB AC ==∵603110，∴消防车的警报声对学校会造成影响， 造成影响的路程为222110(603)201372-=≈米，∵600007243600÷≈秒， ∴对学校的影响时间为4秒．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．25．组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，则比赛组织者应邀请多少个队参赛？【答案】比赛组织者应邀请8个队参赛.【解析】本题可设比赛组织者应邀请x 队参赛，则每个队参加（x-1）场比赛，则共有(1)2x x -场比赛，可以列出一个一元二次方程，求解，舍去小于0的值，即可得所求的结果．解：设比赛组织者应邀请x 个队参赛.依题意列方程得： ()11282x x -=， 解之，得18x =，27x =-.7x =-不合题意舍去，8x =.答：比赛组织者应邀请8个队参赛.“点睛”本题是一元二次方程的求法，虽然不难求出x 的值，但要注意舍去不合题意的解．26．有一水果店，从批发市场按4元/千克的价格购进10吨苹果，为了保鲜放在冷藏室里，但每天仍有一些苹果变质，平均每天有50千克变质丢弃，且每存放一天需要各种费用300元，据预测，每天每千克价格上涨0.1元．（1）设x 天后每千克苹果的价格为p 元，写出p 与x 的函数关系式；（2）若存放x 天后将苹果一次性售出，设销售总金额为y 元，求出y 与x 的函数关系式；（3）该水果店将这批水果存放多少天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为多少？【答案】()1?0.14p x =+；()22580040000y x x =-++；(3)该水果店将这批水果存放50天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为12500元．【分析】（1）根据按每千克4元的市场价收购了这种苹果10000千克，此后每天每千克苹果价格会上涨0.1元，进而得出x 天后每千克苹果的价格为p 元与x 的函数关系；（2）根据每千克售价乘以销量等于销售总金额，求出即可；（3）利用总售价-成本-费用=利润，进而求出即可.【详解】()1根据题意知，0.14p x =+；()()()220.141000050580040000y x x x x =+-=-++．()3300410000w y x =--⨯25500x x =-+25(50)12500x =--+∴当50x =时，最大利润12500元，答：该水果店将这批水果存放50天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为12500元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出w 与x 的函数关系是解题关键.27．如图，AD 是ABC ∆的角平分线，过点D 分别作AC 、AB 的平行线，交AB 于点E ，交AC 于点F .（1）求证：四边形AEDF 是菱形.（2）若13AF =，24AD =.求四边形AEDF 的面积.【答案】（1）详见解析；（2）120.【分析】（1）先利用两组对边分别平行证明四边形AEDF 是平行四边形，然后利用角平分线和平行线的性质证明一组邻边相等，即可证明四边形AEDF 是菱形.（2）连接EF 交AD 于点O ，利用菱形的性质及勾股定理求出OE,OF 的长度，则菱形的面积可求.【详解】（1）证明：//AB DF ，//AC DE∴四边形AEDF 是平行四边形 AD 是ABC ∆的角平分线BAD DAC ∴∠=∠又//AC DEADE DAC ∴∠=∠ADE BAD ∴∠=∠EA ED ∴=∴四边形AEDF 是菱形（2）连接EF 交AD 于点O四边形AEDF 是菱形2EF FO ∴=，1122AO AD ==，AD EF ⊥ 在Rt AOF ∆中，由勾股定理得5OF ===5OE OF ∴==11112452451202222AEDF S AD OF AD OE ∴=⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯=四边形 【点睛】本题主要考查菱形的判定及性质，掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键.九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．已知二次函数221y ax ax =--(a 是常数)，下列结论正确的是（ ）A ．当1a =-时，函数图象经过点()1,1-B ．当1a =-时，函数图象与x 轴没有交点C ．当2a <时，函数图象的顶点始终在x 轴下方D ．当0a >时，则1x ≥时，y 随x 的增大而增大．【答案】D【分析】将1a =-和点()1,1-代入函数解析式即可判断A 选项；利用24b ac =-⊿可以判断B 选项；根据顶点公式可判断C 选项；根据抛物线的增减性质可判断D 选项．【详解】A. 将1a =-和1x =-代入221y ax ax =--41=-≠，故A 选项错误；B. 当1a =-时，二次函数为221y x x =-+-， ()()22424110b ac =-=-⨯-⨯-=⊿，函数图象与x 轴有一个交点，故B 选项错误；C. 函数图象的顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，即()11a --，， 当2a <时，1a --不一定小于0，则顶点不一定在x 轴下方，故C 选项错误；D. 当0a >时，抛物线开口向上，由C 选项得，函数图象的对称轴为1x =，所以1x ≥时，y 随x 的增大而增大，故D 选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、根的判别式以及抛物线与x 轴的交点，掌握抛物线的对称轴、开口方向与系数a b c 、、之间的关系是解题的关键．2．菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）A ．对角相等B ．四个角相等C ．对角线相等D ．四条边相等【答案】D【分析】菱形和矩形都是平行四边形，具有平行四边形的所有性质，菱形还具有独特的性质：四边相等，对角线垂直；矩形具有独特的性质：对角线相等，邻边互相垂直．【详解】解答： 解：A 、对角相等，菱形和矩形都具有的性质，故A 错误；B 、四角相等，矩形的性质，菱形不具有的性质，故B 错误；C 、对角线相等是矩形具有而菱形不具有的性质，故C 错误；D 、四边相等，菱形的性质，矩形不具有的性质，故D 正确；故选D ．考点： 菱形的性质；矩形的性质．3．如果2是方程x 2-3x+k=0的一个根，则常数k 的值为（ ）A ．2B ．1C ．-1D ．-2 【答案】A【分析】把x=1代入已知方程列出关于k 的新方程，通过解方程来求k 的值．【详解】解：∵1是一元二次方程x 1-3x+k=0的一个根，∴11-3×1+k=0，解得，k=1．故选：A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．4．如图，矩形OABC 的OA 边在x 轴的正半轴上，点B 的坐标为()4,2，反比例函数k y x=的图象经过矩形对角线的交点P ，则k 的值是（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1【答案】C 【分析】根据矩形的性质求出点P 的坐标，将点P 的坐标代入k y x=中，求出k 的值即可． 【详解】∵点P 是矩形OABC 的对角线的交点，点B 的坐标为4,2 ∴点P ()2,1 将点P ()2,1代入k y x=中 12k = 解得2k =故答案为：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质以及反比例函数的性质，掌握代入求值法求出k 的值是解题的关键．5．若点()2,6--在反比例函数k y x =上，则k 的值是（ ） A ．3B ．3-C ．12D ．12- 【答案】C【分析】将点（-2，-6）代入k y x=，即可计算出k 的值． 【详解】∵点(-2，-6)在反比例函数k y x =上， ∴k=(-2)×(-6)=12，故选：C.【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，明确函数图象上点的坐标符合函数解析式是解题关键． 6．在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】A【分析】直接利用概率公式计算可得．【详解】解：从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为16， 故选A ．【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件A 的概率P （A ）＝事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 7．二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：则该函数图象的对称轴是（ ）A ．直线x ＝﹣3B ．直线x ＝﹣2C ．直线x ＝﹣1D ．直线x ＝0【答案】B【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可．【详解】解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，∴二次函数的对称轴为直线x=﹣1．故选B ．【点睛】。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．sin 30°的值为（ ）A ．2B ．12C ．1D 【答案】B【分析】直接根据特殊角的三角函数值进行选择.【详解】sin 30°=12， 故选：B .【点睛】此题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.2．二次函数2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：且当12x =-时，与其对应的函数值0y >．有下列结论：①0abc >；②2-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根；③0m <203n +<．其中，正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C 【分析】首先确定对称轴，然后根据二次函数的图像和性质逐一进行分析即可求解．【详解】∵由表格可知当x=0和x=1时的函数值相等都为-2∴抛物线的对称轴是：x=-2b a =12； ∴a 、b 异号，且b=-a ；∵当x=0时y=c=-2∴c 0<∴abc >0，故①正确；∵根据抛物线的对称性可得当x=-2和x=3时的函数值相等都为t∴2-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根；故②正确；∵b=-a ，c=-2∴二次函数解析式：2-a -2=y ax x∵当12 x=-时，与其对应的函数值0y>．∴3204a->，∴a83>；∵当x=-1和x=2时的函数值分别为m和n，∴m=n=2a-2，∴m+n=4a-4203>；故③错误故选C．【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程等知识点，要会利用数形结合的思想，根据给定自变量x与函数值y的值结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键．3．如图，若点M是y轴正半轴上的任意一点，过点M作PQ∥x轴，分别交函数y＝1kx（y＞0）和y＝2kx （y＞0）的图象于点P和Q，连接OP和OQ，则下列结论正确是（）A．∠POQ不可能等于90°B．12kPMQM k=C．这两个函数的图象一定关于y轴对称D．△POQ的面积是()121k k2+【答案】D【分析】利用特例对A进行判断；根据反比例函数的几何意义得到S△OMQ＝12OM•QM＝﹣12k1，S△OMP＝12OM•PM＝12k2，则可对B、D进行判断；利用关于y轴对称的点的坐标特征对C进行判断．【详解】解：A、当k1＝3k23，若Q（﹣13），P（33，则∠POQ＝90°，所以A选项错误；B、因为PQ∥x轴，则S△OMQ＝12OM•QM＝﹣12k1，S△OMP＝12OM•PM＝12k2，则PMQM＝﹣21kk，所以B 选项错误；C、当k2＝﹣k1时，这两个函数的图象一定关于y轴对称，所以C选项错误；D、S△POQ＝S△OMQ+S△OMP＝12|k1|+12|k2|，所以D选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是1||2k，且保持不变．4．点A（﹣3，y1），B（0，y2），C（3，y3）是二次函数y＝﹣（x+2）2+m图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＝y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y1＜y3＜y2【答案】C【解析】先确定抛物线的对称轴，然后比较三个点到对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应的函数值的大小．【详解】二次函数y＝﹣（x+2）2+m图象的对称轴为直线x＝﹣2，又a=-1, 二次函数开口向下，∴x＜-2时，y随x增大而增大，x＞-2时，y随x增大而减小，而点A（﹣3，y1）到直线x＝﹣2的距离最小，点C（3，y3）到直线x＝﹣2的距离最大，所以y3＜y2＜y1．故选：C．【点睛】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质.5．下列命题正确的是( )A．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧C．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等D．同弧或等弧所对的圆周角相等【答案】D【分析】根据圆的对称性、圆周角定理、垂径定理逐项判断即可．【详解】解：A．圆是轴对称图形,它有无数条对称轴,其对称轴是直径所在的直线或过圆心的直线，此命题不正确；B．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，此命题不正确；C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，此命题不正确；D．同弧或等弧所对的圆周角相等，此命题正确；故选：D．【点睛】本题考查的知识点是圆的对称性、圆周角定理以及垂径定理，需注意的是对称轴是一条直线并非是线段，而圆的两条直径互相平分但不一定垂直．6．一个不透明的盒子里只装有白色和红色两种颜色的球，这些球除颜色外没有其他不同。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．在圆内接四边形ABCD 中，ADC 与ABC 的比为3:2，则B 的度数为（ ）A ．36︒B ．72︒C ．108︒D ．216︒ 【答案】C【分析】根据圆内接四边形对角互补的性质即可求得．【详解】∵在圆内接四边形ABCD 中，ADC ：ABC ＝3：2，∴∠B ：∠D ＝3：2，∵∠B ＋∠D ＝180°，∴∠B ＝180°×35＝108︒． 故选C.【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．2．有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为20m 的篱笆围成．已知墙长为15,m 若平行于墙的一边长不小于8,m 则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（ ）A ．2248,37.5m mB ．2250,32m mC ．2250,37.5m mD ．2248,32m m【答案】C 【分析】设垂直于墙面的长为xm ，则平行于墙面的长为（20－2x ）m ，这个苗圃园的面积为ym 2，根据二次函数的图象及性质求最值即可．【详解】解：设垂直于墙面的长为xm ，则平行于墙面的长为（20－2x ）m ，这个苗圃园的面积为ym 2 由题意可得y=x （20－2x ）=-2（x －5）2＋50，且8≤20－2x ≤15解得：2.5≤x ≤6∵-2＜0，二次函数图象的对称轴为直线x=5∴当x=5时，y取最大值，最大值为50 ；当x=2.5时，y取最小值，最小值为37.5 ；故选C．【点睛】此题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的图象及性质是解题关键．3．某地区在一次空气质量检测中，收集到5天的空气质量指数如下：81，70，56，61，81，这组数据的中位数和众数分别是（）A．70，81 B．81，81 C．70，70 D．61，81【答案】A【分析】根据中位数的定义和众数的定义即可得出结论.【详解】解：将这5天的空气质量指数从小到大排列后为：56，61，70，81，81，故这组数据的中位数为：70根据众数的定义，出现次数最多的数据为81，故众数为81.故选：A.【点睛】此题考查的是求一组数据的中位数和众数，掌握中位数的定义和众数的定义是解决此题的关键.4．已知3是方程x2﹣23x+c＝0的一个根，则c的值是（）A．﹣3 B．3 C．3D．23【答案】B【分析】把x＝3代入方程得到关于c的方程，然后解方程即可．【详解】解：把x＝3代入方程x2﹣23x+c＝0，得（3）2﹣23×3+c＝0，所以c＝6﹣1＝1．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程根的性质，解答关键是将方程的根代入原方程求出字母系数．5．如图，路灯距离地面8米，若身高1.6米的小明在距离路灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM的长为（）A ．1.25米B ．5米C ．6米D ．4米【答案】B 【分析】易得：△ABM ∽△OCM ，利用相似三角形对应边成比例可得出小明的影子AM 的长．【详解】如图，根据题意，易得△MBA ∽△MCO ，根据相似三角形的性质可知AB AM OC OA AM =+ ，即1.6820AM AM=+， 解得AM=5m ． 则小明的影子AM 的长为5米．故选：B ．【点睛】此题考查相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．6．已知关于x 的一元二次方程2x 2x a 0+-=有两个相等的实数根，则a 的值是（ ）A ．4B ．﹣4C ．1D ．﹣1【答案】D【详解】解：根据一元二次方程根的判别式得，△()224a 0=-⋅-=， 解得a=﹣1．故选D ．7．两个相似三角形对应高之比为1:2，那么它们的对应中线之比为（ ）A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．1:8【答案】A【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，对应中线的比等于相似比解答．【详解】∵两个相似三角形对应高之比为1:2，∴它们的相似比是1:2，∴它们对应中线之比为1:2.故选A.【点睛】此题考查相似三角形的性质，解题关键在于掌握其性质.8．一元二次方程x 2－8x －1=0配方后为( )A ．(x －4)2=17B ．(x ＋4)2=15C ．(x ＋4)2=17D ．(x －4)2=17或(x ＋4)2=17【答案】A【解析】x 2－8x －1=0，移项，得x 2－8x=1，配方，得x 2－8x+42=1+42，即（x －4）2=17.故选A.点睛：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方.9．下列各式与2是同类二次根式的是（ ） A ．8B ．24C ．27D ．125 【答案】A【分析】根据同类二次根式的概念即可求出答案．【详解】解：（A ）原式＝22，故A 与2是同类二次根式；（B ）原式＝26，故B 与2不是同类二次根式；（C ）原式＝33，故C 与2不是同类二次根式；（D ）原式＝55，故D 与2不是同类二次根式；故选：A ．【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键．10．下列图像中，当0ab >时，函数2y ax =与y ax b =+的图象时（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D【分析】根据直线直线y=ax+b 经过的象限得到a ＞0，b ＜0，与ab ＞0矛盾，则可对A 进行判断；根据抛物线y=ax 2开口向上得到a ＞0，而由直线y=ax+b 经过第二、四象限得到a ＜0，由此可对B 进行判断；根据抛物线y=ax 2开口向下得到a ＜0，而由直线y=ax+b 经过第一、三象限得到a ＞0，由此可对C 进行判断；根据抛物线y=ax 2开口向下得到a ＜0，则直线y=ax+b 经过第二、四象限，并且b ＜0，得到直线与y 轴的交点在x 轴下方，由此可对D 进行判断．【详解】解：A 、对于直线y=ax+b ，得a ＞0，b ＜0，与ab ＞0矛盾，所以A 选项错误；B 、由抛物线y=ax 2开口向上得到a ＞0，而由直线y=ax+b 经过第二、四象限得到a ＜0，所以B 选项错误；C、由抛物线y=ax2开口向下得到a＜0，而由直线y=ax+b经过第一、三象限得到a＞0，所以C选项错误；D、由抛物线y=ax2开口向下得到a＜0，则直线y=ax+b经过第二、四象限，由于ab＞0，则b＜0，所以直线与y轴的交点在x轴下方，所以D选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图像与性质，掌握函数的性质，从而判断图像是解题的基础．11．在做针尖落地的实验中，正确的是（）A．甲做了4 000次，得出针尖触地的机会约为46%，于是他断定在做第4 001次时，针尖肯定不会触地B．乙认为一次一次做，速度太慢，他拿来了大把材料、形状及大小都完全一样的图钉，随意朝上轻轻抛出，然后统计针尖触地的次数，这样大大提高了速度C．老师安排每位同学回家做实验，图钉自由选取D．老师安排同学回家做实验，图钉统一发（完全一样的图钉）．同学交来的结果，老师挑选他满意的进行统计，他不满意的就不要【答案】B【解析】试题分析：根据模拟实验带有一定的偶然性，相应的条件性得到正确选项即可．A、在做第4001次时，针尖可能触地，也可能不触地，故错误，不符合题意；B、符合模拟实验的条件，正确，符合题意；C、应选择相同的图钉，在类似的条件下实验，故错误，不符合题意；D、所有的实验结果都是有可能发生，也有可能不发生的，故错误，不符合题意；故选B．考点：本题考查的是模拟实验的条件点评：解答本题的关键是注意实验器具和实验环境应相同，实验的结果带有一定的偶然性．12．在下列各式中，运算结果正确的是（）A．x2+x2＝x4B．x﹣2x＝﹣xC．x2•x3＝x6D．（x﹣1）2＝x2﹣1【答案】B【分析】根据合并同类项、完全平方公式及同底数幂的乘法法则进行各选项的判断即可．【详解】解：A、x2+x2＝2x2，故本选项错误；B、x﹣2x＝﹣x，故本选项正确；C、x2•x3＝x5，故本选项错误；D、（x﹣1）2＝x2﹣2x+1，故本选项错误．故选B．【点睛】本题主要考查了合并同类项、完全平方公式及同底数幂的乘法运算等，掌握运算法则是解题的关键. 二、填空题（本题包括8个小题）13．一个不透明的袋子里装有两双只有颜色不同的手套，小明已经摸出一只手套，他再任意摸取一只，恰好两只手套凑成同一双的概率为__________.【答案】1 3【分析】设一双为红色，另一双为绿色，画树状图得出总结果数和恰好两只手套凑成同一双的结果数，利用概率公式即可得答案.【详解】画树状图如下：∵共有6种可能情况，恰好两只手套凑成同一双的情况有2种，∴恰好两只手套凑成同一双的概率为21 63 =，故答案为：1 3【点睛】本题考查用列表法或树状图法求概率，熟练掌握概率公式是解题关键.14．反比例函数4yx=-的图象经过点()4nA-，，()4B m，，点C是y轴上一动点.当CA CB+的值最小时，点C的坐标是__________．【答案】17 0,5⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】先求出A，B点的坐标，找出点B关于y轴的对称点D，连接AD与y足轴交于点C，用待定系数法可求出直线AD的解析式，进而可求出点C的坐标．【详解】解：如下图，作点点B关于y轴的对称点D，连接AD与y足轴交于点C，∵反比例函数4y x=-的图象经过点()4n A -，，()4B m ，， ∴()4,(1,4),(1,4)A B D --，1设直线AD 解析式为：y=kx+b ，将A ，D 坐标代入可求出：317,55k b == ∴直线AD 解析式为：31755y x =+ ∴点C 的坐标是：170,5⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为：170,5⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】 本题考查的知识点是利用对称求线段的最小值，解题的关键是根据反比例函数求出各点的坐标． 15．设,m n 分别为一元二次方程2320220x x +-=的两个实数根，则24m m n ++=______．【答案】1【分析】先根据m 是2320220x x +-=的一个实数根得出2320220m m +-= ，利用一元二次方程根与系数的关系得出3m n +=- ，然后对原式进行变形后整体代入即可得出答案．【详解】∵m 是一元二次方程2320220x x +-=的一个实数根，∴2320220m m +-=，即232022m m +=．由一元二次方程根与系数的关系得出3m n +=-，∴2243()2022(3)2019m m n m m m n ++=+++=+-=．故答案为：1．【点睛】本题主要考查一元二次方程的根及根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 16．如图，是某公园一圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA ＝1.25m ，A 处是喷头，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，水落地后形成一个圆，圆心为O ，直径为线段CB ．建立如图所示的平面直角坐标系，若水流路线达到最高处时，到x 轴的距离为2.25m ，到y 轴的距离为1m ，则水落地后形成的圆的直径CB ＝_____m ．【答案】1【分析】设y 轴右侧的抛物线解析式为：y ＝a （x−1）2＋2.21，将A （0，1.21）代入，求得a ，从而可得抛物线的解析式，再令函数值为0，解方程可得点B 坐标，从而可得CB 的长．【详解】解：设y 轴右侧的抛物线解析式为：y ＝a （x ﹣1）2+2.21∵点A （0，1.21）在抛物线上∴1.21＝a （0﹣1）2+2.21解得：a ＝﹣1∴抛物线的解析式为：y ＝﹣（x ﹣1）2+2.21令y ＝0得：0＝﹣（x ﹣1）2+2.21解得：x ＝2.1或x ＝﹣0.1（舍去）∴点B 坐标为（﹣2.1，0）∴OB ＝OC ＝2.1∴CB ＝1故答案为：1．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的相关性质及正确的解方程，是解题的关键． 17．大润发超市对去年全年每月销售总量进行统计，为了更清楚地看出销售总量的变化趋势，应选用________统计图来描述数据.【答案】折线【解析】试题解析：根据题意，得要求清楚地表示销售总量的总趋势是上升还是下降，结合统计图各自的特点，应选用折线统计图， 18．已知1x =-是关于x 的方程220ax bx +-=的一个根，则202022a b +-=___________.【答案】2024【分析】把1x =-代入方程得出-a b 的值，再整体代入202022a b +-中即可求解.【详解】把1x =-代入方程220ax bx +-=得：20a b --=，即2a b -=∴20202220202()2020222024a b a b +-=+-=+⨯=故填：2024.【点睛】本题考查一元二次方程的解法，运用整体代入法是解题的关键.三、解答题（本题包括8个小题）19．2018年高一新生开始，某省全面启动高考综合改革，实行“3+1+2”的高考选考方案．“3”是指语文、数学、外语三科必考；“1”是指从物理、历史两科中任选一科参加选考，“2”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考（1）“1+2”的选考方案共有多少种？请直接写出所有可能的选法；（选法与顺序无关，例如：“物、政、化”与“物、化、政”属于同一种选法）（2）高一学生小明和小杰将参加新高考，他们酷爱历史和生物，两人约定必选历史和生物．他们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等，请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中政治的概率．【答案】（1）共有12种等可能结果，见解析；（2）见解析，他们恰好都选中政治的概率为19． 【解析】（1）利用树状图可得所有等可能结果；（2）画树状图展示所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．【详解】解：（1）画树状图如下，由树状图知，共有12种等可能结果；（2）画树状图如下由树状图知，共有9种等可能结果，其中他们恰好都选中政治的只有1种结果，所以他们恰好都选中政治的概率为19． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，求出概率．20．如图，⊙O 的直径AB 为10cm ，弦BC=8cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ．连接AD ，BD ．求四边形ABCD 的面积.【答案】S 四边形ADBC ＝49（cm 2）．【分析】根据直径所对的角是90°，判断出△ABC 和△ABD 是直角三角形，根据圆周角∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，判断出△ADB 为等腰直角三角形，根据勾股定理求出AD 、BD 、AC 的值，再根据S 四边形ADBC =S △ABD +S △ABC 进行计算即可.【详解】∵AB 为直径，∴∠ADB=90°，又∵CD 平分∠ACB ，即∠ACD=∠BCD ，∴AD BD =，∴AD=BD ，∵直角△ABD 中，AD=BD ，AD 2+BD 2=AB 2=102，则2则S △ABD =12AD•BD=12222)， 在直角△ABC 中，2222108AB BC --=6(cm)， 则S △ABC =12AC•BC=12×6×8=24(cm 2)， 则S 四边形ADBC =S △ABD +S △ABC =25+24=49(cm 2)．【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形的面积等，正确求出相关的数值是解题的关键.21．如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度.（1）画出ABC ∆关于x 轴的对称图形111A B C ∆；（2）将ABC ∆以C 为旋转中心顺时针旋转90°得到222A B C ∆，画出旋转后的图形，并求出旋转过程中线段BC 扫过的扇形面积.【答案】（1）见解析；（2）见解析，52π 【分析】（1）根据图形对称的性质，关于x 轴对称，x 相等，y 互为相反数.（2）根据扇形的面积S=2n π360r 即可解得. 【详解】解：（1）（2）10r BC == 253602n r S ππ== 【点睛】本题考查图形的对称，扇形的面积公式.22．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，∠AOD ＝60°，AB ＝23，AE ⊥BD 于点E ，求OE 的长．【答案】1【分析】矩形对角线相等且互相平分，即OA ＝OD ，根据∠AOD ＝60°可得△AOD 为等边三角形，即OA ＝AD ，∵AE ⊥BD ，∴E 为OD 的中点，即可求OE 的值．【详解】解：∵对角线相等且互相平分，∴OA＝OD∵∠AOD＝60°∴△AOD为等边三角形，则OA＝AD，BD＝2DO，AB＝3AD，∴AD＝2，∵AE⊥BD，∴E为OD的中点∴OE＝12OD＝12AD＝1，答：OE的长度为1．【点睛】本题考查了矩形对角线的性质,利用矩形对角线相等是解题关键.23．如图，在ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F．(1) 求证：△ABE∽△ECF；(2) 若AB=5，AD=8，BE=2，求FC的长．【答案】(1)详见解析；(2)12 5【分析】（1）由平行四边形的性质可知AB∥CD，AD∥BC．所以∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB，又因为又∠DAE＝∠F，进而可证明：△ABE∽△ECF；（2）由（1）可知：△ABE∽△ECF，所以AB BEEC CF，由平行四边形的性质可知BC＝AD＝1，所以EC＝BC−BE＝1−2＝2，代入计算即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC．∴∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB．又∵∠DAE＝∠F，∴∠AEB＝∠F．∴△ABE∽△ECF；（2）∵△ABE∽△ECF，∴AB BE EC CF=，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝1．∴EC＝BC−BE＝1−2＝2．∴526CF =．∴FC＝12 5.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，关键是由平行四边形的性质得出AB∥CD，AD∥BC．24．如图，正方形ABCD，△ABE是等边三角形，M是正方形ABCD对角线AC（不含点A）上任意一点，将线段AM绕点A逆时针旋转60°得到AN，连接EN、DM．求证：EN＝DM．【答案】证明见解析【分析】利用等边三角形的性质以及旋转的性质，即可判定△EAN≌△DAM（SAS），依据全等三角形的对应边相等，即可得到EN＝DM．【详解】证明：∵△ABE是等边三角形，∴∠BAE＝60°，BA＝EA，由旋转可得，∠MAN＝60°，AM＝AN，∴∠BAE＝∠MAN，∴∠EAN＝∠BAM，∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝DA，∠BAM＝∠DAM＝45°，∴EA＝DA，∠EAN＝∠DAM，在△EAN和△DAM中，EA＝DA．∠EAN=∠DAM，AN=AM，∴△EAN≌△DAM（SAS），∴EN＝DM．【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是要熟练掌握旋转图形的性质和全等三角形的判定和性质.25．某校九年级学生参加了中考体育考试．为了了解该校九年级（1）班同学的中考体育成绩情况，对全班学生的中考体育成绩进行了统计，并绘制出以下不完整的频数分布表（如表）和扇形统计图（如图），根据图表中的信息解答下列问题：分组分数段（分）频数A 36≤x＜41 2B 41≤x＜46 5C 46≤x＜51 15D 51≤x＜56 mE 56≤x＜61 10（1）m的值为；（2）该班学生中考体育成绩的中位数落在组；（在A、B、C、D、E中选出正确答案填在横线上）（3）该班中考体育成绩满分共有3人，其中男生2人，女生1人，现需从这3人中随机选取2人到八年级进行经验交流，请用“列表法”或“画树状图法”求出恰好选到一男一女的概率．【答案】（1）18；（2）D组；（3）图表见解析，2 3【分析】（1）利用C分数段所占比例以及其频数求出总数即可，进而得出m的值；（2）利用中位数的定义得出中位数的位置；（3）利用列表或画树状图列举出所有的可能，再根据概率公式计算即可得解．【详解】解：（1）由题意可得：全班学生人数：15÷30%＝50（人）；m＝50﹣2﹣5﹣15﹣10＝18（人）；故答案为：18；（2）∵全班学生人数有50人，∴第25和第26个数据的平均数是中位数，∴中位数落在51﹣56分数段，∴落在D段故答案为：D；（3）如图所示：将男生分别标记为A1，A2，女生标记为B1，A1A2B1A1（A1，A2）（A1，B1）A2（A2，A1）（A2，B1）B1（B1，A1）（B1，A2）∵共有6种等情况数，∴恰好选到一男一女的概率是＝46＝23．【点睛】此题主要考查了列表法求概率以及扇形统计图的应用，根据题意利用列表法得出所有情况是解题关键．26．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm. 点P从点A出发，沿AB边以2 cm/s的速度向点B 匀速移动；点Q从点B出发，沿BC边以1 cm/s的速度向点C匀速移动，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动，设运动的时间为t(s).（1）当PQ∥AC时，求t的值；（2）当t为何值时，△PBQ的面积等于245cm 2.【答案】（1）t=3011；（2）当t为2s或3s时，△PBQ的面积等于245cm 2.【分析】（1）根据PQ∥AC得到△PBQ∽△ABC，列出比例式即可求解；（2）解法一：过点Q作QE⊥AB于E，利用△BQE∽△BCA，得到BQ QEBA AC，得到QE=45t，根据S△PBQ=12BP·QE=245列出方程即可求解；解法二：过点P作PE⊥BC于E，则PE∥AC，得到△BPE∽△BAC，则BP PEBA AC=，求出PE=45(10-2t).，利用S△PBQ =12BQ·PE=245列出方程即可求解.【详解】（1）由题意得，BQ= tcm，AP=2 cm，则BP=（10—2t）cm 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm22228610AB AC BC cm=+=+=∵ PQ∥AC，∴△PBQ∽△ABC，∴BP BQBA BC=，即102106t t-=，解得t=30 11.（2）解法一:如图3，过点Q作QE⊥AB于E，则∠QEB =∠C=90°. ∵∠B =∠B,∴△BQE∽△BCA，∴BQ QEBA AC=，即108t QE=，解得QE=45t.∴ S△PBQ =12BP·QE=245，即12·(10-2t)·45t =245.整理，得t2-5t+6=0. 解这个方程，得t1=2，t2=3.∵ 0＜t＜5，∴当t为2s或3s时，△PBQ的面积等于245cm 2.解法二：过点P作PE⊥BC于E，则PE∥AC（如图4）. ∵ PE∥AC.∴△BPE∽△BAC，∴BP PEBA AC=，即102108t PE-=，解得PE=45(10-2t).∴ S△PBQ =12BQ·PE=245，即12·t·45(10-2t)=245整理，得t2-5t+6=0. 解这个方程，得t1=2，t2=3. ∵ 0＜t＜5，∴当t为2s或3s时，△PBQ的面积等于245cm 2.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理、适当构造辅助线进行求解.27．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了△ABC 格点(顶点是网格线的交点).请在网格中画出△ABC 以A 为位似中心放大到原来的3倍的格点△AB 1C 1，并写出△ABC 与△AB 1C 1，的面积比(△ABC 与△AB 1C 1，在点A 的同一侧)【答案】见解析，11 :1:9ABC AB C S S =【分析】根据网格特点，延长AB 、AC 到B 1、C 1，使AB 1=3AB ，AC 1=3AC ，连接B 1C 1，即可得△AB 1C 1，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可得答案.【详解】如图所示：延长AB 、AC 到B 1、C 1，使AB 1=3AB ，AC 1=3AC ，连接B 1C 1，∴△AB 1C 1，即为所求，∵AB ：AB 1=1：3,∴11 :1:9ABC AB C S S =.【点睛】本题考查位似图形及相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键.九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：由题意可得BQ=x．①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x，则△BPQ的面积=12BP•BQ，解y=12•3x•x=232x；故A选项错误；②1＜x≤2时，P点在CD边上，则△BPQ的面积=12BQ•BC，解y=12•x•3=32x；故B选项错误；③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9﹣3x，则△BPQ的面积=12AP•BQ，解y=12•（9﹣3x）•x=29322x x；故D选项错误．故选C．考点：动点问题的函数图象．2．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是( )A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3C．y＝2(x+3)2D．y＝2(x﹣3)2【答案】C【解析】按照“左加右减，上加下减”的规律，从而选出答案.【详解】y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是y＝2（x＋3）2，故答案选C.【点睛】本题主要考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变换规律，解本题的要点在于熟知“左加右减，上加下减”的变化规律.3．在ABC ∆中，C ∠=90〫，3sin 5A =，则cos A 的值是（ ） A ．45 B ．35 C ．34 D ．43【答案】A【分析】根据同角三角函数关系：2sin A +2cos A 1=求解．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，3sin 5A =， ∵2sin A +2cos A 1=， ∴2235co 1s A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1625= , ∴cos A =45 故选：A【点睛】本题考查了同角三角函数的关系的应用，能知道22sin cos 1A A +=是解题的关键．4．按如下方法，将△ABC 的三边缩小的原来的12，如图，任取一点O ，连AO 、BO 、CO ，并取它们的中点D 、E 、F ，得△DEF ，则下列说法正确的个数是（ ）①△ABC 与△DEF 是位似图形 ②△ABC 与△DEF 是相似图形③△ABC 与△DEF 的周长比为1：2 ④△ABC 与△DEF 的面积比为4：1．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】根据位似图形的性质，得出①△ABC 与△DEF 是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出 ②△ABC 与△DEF 是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．【详解】解：根据位似性质得出①△ABC 与△DEF 是位似图形，②△ABC 与△DEF 是相似图形，∵将△ABC 的三边缩小的原来的12， ∴△ABC 与△DEF 的周长比为2：1，故③选项错误，根据面积比等于相似比的平方，∴④△ABC 与△DEF 的面积比为4：1．故选C ．【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，中等难度,熟悉位似图形的性质是解决问题的关键．5．若关于x 的一元二次方程240ax bx ++=的一个根是1x =-，则2015a b -+的值是（ ） A ．2011B ．2015C ．2019D ．2020 【答案】C【分析】根据方程解的定义，求出a-b ，利用作图代入的思想即可解决问题．【详解】∵关于x 的一元二次方程240ax bx ++=的解是x=−1，∴a−b+4=0，∴a−b=-4，∴2015−(a−b)=2215−（-4）=2019.故选C.【点睛】此题考查一元二次方程的解，解题关键在于掌握运算法则.6．对于二次函数214y x =的图象，下列结论错误的是( ) A ．顶点为原点B ．开口向上C ．除顶点外图象都在x 轴上方D ．当0x =时，y 有最大值 【答案】D【分析】根据二次函数的性质逐项判断即可.【详解】根据二次函数的性质，可得： 二次函数214y x =顶点坐标为（0，0），104>开口向上，故除顶点外图象都在x 轴上方， 故A 、B 、C 正确；当x=0时，y 有最小值为0，故D 错误.故选：D.【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数顶点坐标，开口方向，最值与系数之间的关系是解题的关键. 7．4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439 000米．将439 000用科学记数法表示应为（ ）A ．0.439×106B ．4.39×106C ．4.39×105D ．139×103【答案】C【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：将439000用科学记数法表示为4.39×1．故选C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．8．2-的相反数是（）A．2-B．2 C．12D．12-【答案】B【分析】根据相反数的性质可得结果.【详解】因为-2+2=0，所以﹣2的相反数是2，故选B．【点睛】本题考查求相反数，熟记相反数的性质是解题的关键.9．如图，AD，BC相交于点O，AB∥CD．若AB=1，CD=2，则△ABO与△DCO的面积之比为A ．1:2B．1:4C．2:1D．4:1【答案】B【解析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．【详解】∵AB∥CD，∴△AOB∽△DOC，∵12 ABCD＝，∴14ABODCOSS＝，故选B．【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．10．下列式子中最简二次根式是（）A3B8C316D12【答案】A【解析】根据最简二次根式的定义：被开方数是整数或整式，且不含开得尽方的因数或因式进行判断即可.【详解】A.3是最简二次根式，符合题意； B. 8=42=22⨯，不是最简二次根式，不符合题意；C. 316被开方数是分数，不是最简二次根式，不符合题意； D.12被开方数是分数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选A.【点睛】本题考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键.11．抛物线2y ax bx c =++的部分图象如图所示，当0y <时，x 的取值范围是（ ）A ．x ＞2 或x ＜－3B ．－3＜x ＜2C ．x ＞2或x ＜－4D ．－4＜x ＜2【答案】C 【分析】先根据对称轴和抛物线与x 轴的交点求出另一交点；再根据开口方向，结合图形，求出y<0时，x 的取值范围．【详解】解：因为抛物线过点（2，0），对称轴是x= -1，根据抛物线的对称性可知，抛物线必过另一点（-1，0），因为抛物线开口向下，y<0时，图象在x 轴的下方，此时，x ＞2或x ＜－1．故选：C ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，解题的关键是利用二次函数的对称性，判断图象与x 轴的交点，根据开口方向，形数结合，得出结论．12．若关于x 的一元二次方程kx 2+2x+1＝0有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＜1且k ≠0B ．k ≤1且k ≠0C ．k ≥﹣1且k ≠0D ．k ＞﹣1且k ≠0【答案】B【分析】根据一元二次方程的根的判别式即可求出答案．【详解】解：由题意可知：△＝4﹣4k≥0，∴k≤1，∵k≠0，∴k≤1且k≠0，故选：B ．【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．二、填空题（本题包括8个小题）13．在二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：则m 的值为_____．【答案】－1【分析】二次函数的图象具有对称性，从函数值来看，函数值相等的点就是抛物线的对称点，由此可推出抛物线的对称轴，根据对称性求m 的值．【详解】解：根据图表可以得到，点（-2，7）与（4，7）是对称点，点（-1，2）与（3，2）是对称点，∴函数的对称轴是：x=1，∴横坐标是2的点与（0，-1）是对称点，∴m=-1．【点睛】正确观察表格，能够得到函数的对称轴，联想到对称关系是解题的关键．14．某县为做大旅游产业，在2018年投入资金3.2亿元，预计2020年投入资金6亿元，设旅游产业投资的年平均增长率为x ，则可列方程为____．【答案】23.2(1)6x +=【分析】根据题意，找出题目中的等量关系，列出一元二次方程即可.【详解】解：根据题意，设旅游产业投资的年平均增长率为x ，则 23.2(1)6x +=；故答案为：23.2(1)6x +=.【点睛】。

2020-2021学年湖南省长沙市实验教育集团九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 下列各数中是负数的是( )A. |−3|B. −3C. −(−3)D. 132. 下列立体图形中，主视图是圆的是( )A.B.C.D.3. 如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠BOC =70°，则∠A 的度数为( )A. 35°B. 40°C. 55°D. 70°4. 抛物线y =−2(x −3)2−4的顶点坐标是( )A. (−3,4)B. (−3,−4)C. (3,−4)D. (3,4)5. 下列计算正确的是( )A. m 4+m 3=m 7B. (m 4)3=m 7C. m(m −1)=m 2−mD. 2m 5÷m 3=m 26. 为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高(单位：cm)的平均数与方差为：x 甲−=x 丙−=13，x 乙−=x 丁−=15：s 甲2=s 丁2=3.6，s 乙2=s 丙2=6.3.则麦苗又高又整齐的是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁7. 一个不透明的袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个，下列说法中，错误的是( )A. 第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球B. 第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球C. 第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是红球D. 第一次摸出的球是红球的概率是13；两次摸出的球都是红球的概率是198. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡x 只，兔y 只，可列方程组为( )A. {x +y =352x +2y =94 B. {x +y =354x +2y =94 C. {x +y =354x +4y =94D. {x +y =352x +4y =949. 一次函数y =acx +b 与二次函数y =ax 2+bx +c 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )A.B.C. D.10. 如图，点A 在反比例函数y =3x (x >0)的图象上，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为点B ，点C 在y 轴上，则△ABC 的面积为( )A. 3B. 2C. 32 D. 111. 如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C(0,2)，B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan∠OBC 为( )A. 13 B. 2√2C. √24 D. 2√2312. 如图，在△ABC 中，D 是AC 边上的中点，连结BD ，把△BDC 沿BD 翻折，得到△BDC′，DC′与AB 交于点E ，连结AC′，若AD =AC′=2，B 到AC 的距离为3√32，求点D 到BC′的距离为( )A. √7B. √13C. 3√32D. 3√217二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.已知点P(2,1)是反比例函数上的一点，则这个反比例函数的解析式为______ ．14.因式分解：xy2−4x=______．15.抛物线y=x2−2x−3与y轴的交点坐标是______ ．16.圆心角为120°，半径长为6cm的扇形面积是______cm2．17.如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处，则小明的影子AM长为______米．18.已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1、x2，一元二次方程x2+b2x+14=0的两实根为x3、x4，且x2−x3=x1−x4=3，则二次函数的顶点坐标为______．三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）19.计算：|−√3|−(4−π)0−2sin60°+(14)−120.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=−x−1与反比例函数y2=mx(m为常数，且m≠0)的图象交于点A(−2,1)，B(1,n)．(1)求反比例函数的解析式；(2)连接OA，OB，求△AOB的面积．21.某中学开展以“我最喜欢的职业”为主题的调查活动，通过对学生的随机抽样调查得到一组数据，如图是根据这组数据绘制成的不完整统计图．(1)把折线统计图补充完整；(2)求出扇形统计图中，公务员部分对应的圆心角的度数；(3)若从被调查的学生中任意抽取一名，求取出的这名学生最喜欢的职业是“教师”的概率．22.如图，在一条笔直公路BD的正上方A处有一探测仪，AD=24m，∠D=90°，一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，测得∠ACD=50°.(参考数据：tan31°≈0.6，tan50°≈1.2)(1)求B，C两点间的距离(结果精确到1m)；(2)若规定该路段的速度不得超过15m/s，判断此轿车是否超速．23.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE=BD．(1)求证：△ABE∽△ACD；(2)若E是线段AD的中点，求BD的值．CD24.如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点(不与O，B重合)，作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．(1)求证：AC平分∠FAB；(2)求证：BC2=CE⋅CP；(3)当AB=4√3且CFCP =34时，求劣弧BD⏜的长度．25.若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60°，我们称这样的凸四边形为“完美四边形”．(1)在“平行四边形、梯形、菱形、正方形”中，一定不是“完美四边形”的有______ ；(2)如图1，“完美四边形”ABCD内接于⊙O，AC与BD相交于点P，且对角线AC为直径，AP=1，PC=5，求另一条对角线BD的长；(3)如图2，平面直角坐标系中，已知“完美四边形”ABCD的四个顶点A(−3,0)、C(2,0)，B在第三象限，D在第一象限，AC与BD交于点O，直线BD的解析式为y=√3x，且四边形ABCD的面积为15√3，若二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c 为常数，且a≠0)的图象同时经过这四个顶点，求a的值．26.抛物线y=x2+bx+c经过点A、B、C，已知A(−1,0)，C(0,−3)．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M(m,0)是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．(3)如图2，将抛物线平移，使其顶点E与原点O重合，直线y=kx+2(k>0)与抛物线相交于点P、Q(点P在左边)，过点P作x轴平行线交抛物线于点H，当k 发生改变时，请说明直线QH过定点，并求定点坐标．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查负数的定义，根据比0小的数叫做负数进行解答即可．【解答】解：A．|−3|=3>0，故本项不符合题意；B.−3<0，故本项符合题意；C.−(−3)=3>0，故本项不符合题意；>0，故本项不符合题意．D.13故选：B．2.【答案】C【解析】解：A、主视图是三角形，故不符合题意；B、主视图是矩形，故不符合题意；C、主视图是圆，故符合题意；D、主视图是正方形，故不符合题意；故选：C．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．3.【答案】A【解析】解：∵如图，∠BOC=70°，∴∠A=1∠BOC=35°．2故选：A．根据圆周角定理，同弧所对圆周角等于圆心角的一半，即可得出答案．此题主要考查了圆周角定理，圆周角定理是中考中考查重点，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键4.【答案】C【解析】解：抛物线y =2(x −3)2−4的顶点坐标为(3,−4)； 故选：C ．直接利用顶点式的特点可知顶点坐标．本题考查了二次函数的性质，由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．5.【答案】C【解析】解：m 4+m 3不能合并，故选项A 错误； (m 4)3=m 13，故选项B 错误； m(m −1)=m 2−m ，故选项C 正确； 2m 5÷m 3=2m 2，故选项D 错误； 故选：C ．根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．6.【答案】D【解析】解：∵x 乙−=x 丁−>x 甲−=x 丙−， ∴乙、丁的麦苗比甲、丙要高，∵s 甲2=s 丁2<s 乙2=s 丙2，∴甲、丁麦苗的长势比乙、丙的长势整齐， 综上，麦苗又高又整齐的是丁， 故选：D ．方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定，据此判断出小麦长势比较整齐的是哪种小麦即可．此题主要考查了方差的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定．7.【答案】A【解析】解：A 、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球，故本选项符合题意；B 、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是绿球，故本选项不符合题意；C 、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是红球，故本选项不符合题意；D 、第一次摸出的球是红球的概率是13；画树状图如图：共用9种等可能结果数，两次摸出的球都是红球的结果有1个， ∴两次摸出的球都是红球的概率是19，故本选项不符合题意； 故选：A ．由随机事件的定义、概率公式、画树状图法分别分析求解即可．此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8.【答案】D【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题． 【解答】 解：由题意可得， {x +y =352x +4y =94， 故选：D ．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查二次函数和一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是明确一次函数和二次函数的性质．先由二次函数y=ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y=acx+b 的图象相比较看是否一致．【解答】解：A、由抛物线可知，a>0，b<0，c>0，则ac>0，由直线可知，ac>0，b>0，故本选项错误；B、由抛物线可知，a>0，b>0，c>0，则ac>0，由直线可知，ac>0，b>0，故本选项正确；C、由抛物线可知，a<0，b>0，c>0，则ac<0，由直线可知，ac<0，b<0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a<0，b<0，c>0，则ac<0，由直线可知，ac>0，b>0，故本选项错误．故选：B．10.【答案】C【解析】解：连接OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC//AB，∴S△OAB=S△CAB，而S△OAB=12|k|=32，∴S△CAB=32，故选：C．连接OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB=S△CAB，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAB=12|k|，便可求得结果．本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．11.【答案】C【解析】【试题解析】【分析】本题考查的是圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．作直径CD，根据勾股定理求出OD，根据正切的定义求出tan∠CDO，根据圆周角定理得到∠OBC=∠CDO，等量代换即可．【解答】解：作直径CD，在Rt△OCD中，CD=6，OC=2，则OD=√CD2−OC2=4√2，tan∠CDO=OCOD =√24，由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO，则tan∠OBC=√24，故选：C．12.【答案】D【解析】解：过B作BM⊥DC于M，过D作DN⊥BC于N，如下图所示，∵把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，∴CD=C′D=2，∠CDB=∠C′DB，∵AD=AC′=2，∴△ADC′为等边三角形，∴∠C′DA=60°，∴∠CDB=180°−∠C′DA2=180°−60°2=60°，∵BM⊥DC，∴DM=√33BM=√33×3√32=32，∴MC=CD−DM=2−32=12，∴BC=√BM2+MC2=√274+14=√7，∵S△BDC=12×CD×BM=12×BC×DN，∴DN=CD×BMBC =2×3√32√7=3√217，故选：D．根据折叠的性质和点到直线的距离即可求解．本题考查了折叠的性质和点到直线的距离，解题的关键是求出CD和BC的长度．13.【答案】y=2x【解析】解：设反比例函数解析式为y=kx(k≠0)，∵点P(2,1)是反比例函数上的一点，∴k=xy=2×1=2，∴该反比例函数的解析式为：y=2x，故答案是：y=2x．将点P的坐标代入反比例函数解析式y=kx(k≠0)，利用待定系数法即可求得该函数解析式．本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解决问题的关键．14.【答案】x(y+2)(y−2)【解析】解：xy2−4x，=x(y2−4)，=x(y+2)(y−2)．先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次因式分解．15.【答案】(0,−3)【解析】解：∵抛物线y=x2−2x−3，∴当x=0时，y=−3，∴抛物线y=x2−2x−3与y轴的交点坐标是(0,−3)．故答案为：(0,−3)．由于抛物线与y轴的交点的横坐标为0，把x=0当然抛物线的解析式中即可求出纵坐标．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较简单，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．16.【答案】12π【解析】【分析】此题考查了扇形面积的计算，属于基础题，解答本题的关键是熟记扇形的面积公式及公式中字母所表示的含义，难度一般．将所给数据直接代入扇形面积公式S扇形=nπ⋅R2360进行计算即可得出答案．【解答】解：由题意得，n=120°，R=6cm，故S扇形=120π⋅62360=12πcm2．故答案为12π．17.【答案】5【解析】【分析】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．【解答】解：根据题意，易得△MBA∽△MCO，根据相似三角形的性质可知ABOC =AMOA+AM，即1.68=AM20+AM，解得AM=5m.则小明的影长为5米．18.【答案】(−32,−254)【解析】【分析】根据题意，得到x1=x4+3，x2=x3+3，进而可得x1+x2=x3+x4+6，根据二次函数与x轴有两个交点和一元二次方程有两个实数根，得到x1+x2=−b，x3+x4=−b2，x1⋅x2=c，进而可得b的值，将其带入一元二次方程，求出两个实数根，即可求得c的值，最后利用二次函数的顶点坐标公式，求得顶点坐标即可．本题主要考查抛物线与x轴的交点及二次函数的性质，解决此题的关键是能利用二次函数与x轴有两个交点、一元二次方程有两个实数根确、x1+x2=x3+x4+6求出b的值．【解答】解：∵x2−x3=x1−x4=3，∴x1=x4+3，x2=x3+3，∴x1+x2=x3+x4+6，∵二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴有两个交点，一元二次方程x2+b2x+14=0的两实根为x3、x4，∴x1+x2=−b，x3+x4=−b2，x1⋅x2=c，∴−b=−b2+6，解得：b=3或b=−2，当b=3时，一元二次方程x2+9x+14=0有两实根为x3=−2，x4=−7，当b=−2时，一元二次方程x2+4x+14=0无解，不合题意，故b=−2舍去，∴x1=−4，x2=1，∴c=−4，∴二次函数的解析式为：y=x2+3x−4，∴顶点坐标为(−b2a ,4ac−b24a)，即(−32,−254).故答案为：(−32,−254).19.【答案】解：|−√3|−(4−π)0−2sin60°+(14)−1=√3−1−2×√32+4=3【解析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．20.【答案】解：(1)∵A(−2,1)，∴将A坐标代入反比例函数解析式y2=mx中，得m=−2，∴反比例函数解析式为y=−2x；(2)将B(1,n)代入y=−2x，得n=−2，∴B(1,−2)．设直线AB与y轴交于点C，如图．∵y1=−x−1，∴令x=0，得y=−1，∴点C坐标(0,−1)，∴S△AOB=S△AOC+S△COB=12×1×2+12×1×1=1+1 2=32．【解析】(1)把A点坐标代入y2=mx中求出m，得到反比例函数解析式；(2)利用反比例函数解析式确定B点坐标，设直线AB与y轴交于点C，则C点坐标为(0,−1)，根据三角形面积公式，利用S△AOB=S△AOC+S△COB进行计算．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了三角形面积公式．21.【答案】解：(1)∵军人的人数为20，百分比为10%，∴学生总人数为20÷10%=200(人)；∵医生的人数占15%，∴医生的人数为：200×15%=30(人)，∴教师的人数为：200−30−40−20−70=40(人)，∴折线统计图如图所示；(2)∵由扇形统计图可知，公务员占20%，∴20%×360°=72°；(3)∵最喜欢的职业是“教师”的人数是40人，∴从被调查的学生中任意抽取一名，求抽取的这名学生最喜欢的职业是“教师”的概率=40200=15．【解析】(1)根据军人的人数与所占的百分比求解，再分别求出教师、医生的人数，补全统计图即可；(2)根据公务员的人数占总人数的比例即可得出结论；(3)根据教师的人数占总人数的比例即可得出结论．本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．22.【答案】解：(1)在Rt△ACD中，tan∠ACD=ADCD，∴CD=ADtan50∘≈241.2=20(m)，在Rt△ABD中，tan∠ABD=ADBD，∴BD=ADtan31∘≈240.6=40(m)．∴BC=BD−CD=20(m)；∴B，C两点间的距离为BD−CD=20(m)；(2)此轿车的速度v=BCt =202=10(m/s)<15(m/s)，所以此轿车在该路段没有超速．【解析】(1)分别在Rt△ACD，Rt△ABD中，求出BD、CD即可解决问题；(2)根据速度=路程时间，计算即可．本题考查解直角三角形的应用，路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23.【答案】(1)证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵BE=BD，∴∠BED=∠BDE，∴∠AEB=∠ADC，∴△ABE∽△ACD；(2)解：∵E是线段AD的中点，∴AE=12AD，∵△ABE∽△ACD，∴BECD =AEAD=12，∴BE=12CD，∵BE=BD，∴BD=12CD，∴BDCD =12．【解析】(1)先由角平分线的定义得∠BAE=∠CAD，再由等腰三角形的性质得∠BED=∠BDE，则∠AEB=∠ADC，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；(2)先由相似三角形的性质得BECD =AEAD=12，则BE=12CD，再由BE=BD得BD=12CD，即可得出答案．本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．24.【答案】(1)证明：∵PF是切线，∴OC⊥PF，∵AF⊥PF，∴AF//OC．∴∠FAC=∠ACO，∵OA=OC，∴∠OAC=∠ACO，∴∠FAC=∠CAB，即AC平分∠FAB．(2)证明：∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，∴∠OCP=∠CEB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，∴∠BCE=∠BCP，∵CD是直径，∴∠CBD=∠CBP=90°，∴△CBE∽△CPB，∴CBCP =CECB，∴BC2=CE⋅CP；(3)解：作BM⊥PF于M.则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，∵∠MCB+∠P=90°，∠P+∠PBM=90°，∴∠MCB=∠PBM，∵CD是直径，BM⊥PC，∴∠CMB=∠BMP=90°，∴△BMC∽△PMB，∴BMPM =CMBM，∴BM2=CM⋅PM=3a2，∴BM=√3a，∴tan∠BCM=BMCM =√33，∴∠BCM=30°，∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，∠BOD=120°∴BD⏜的长=120⋅π⋅2√3180=4√33π.【解析】(1)根据“平行+等腰”证角平分线；(2)只要证明△CBE∽△CPB，可得CBCP =CECB解决问题；(3)作BM⊥PF于M.则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，利用相似三角形的性质求出BM，求出tan∠BCM的值即可解决问题；本题考查切线的性质、角平分线的判定、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．25.【答案】菱形、正方形【解析】解：(1)∵菱形、正方形的对角线互相垂直，∴菱形、正方形不是“完美四边形”．故答案为：菱形、正方形；(2)过点O作OH⊥BD于点H，连接OD，如图1：∴∠OHP=∠OHD=90°，BH=DH=12BD，∵AP=1，PC=5，∴⊙O直径AC=AP+PC=6，∴OA=OC=OD=3，∴OP=OA−AP=3−1=2，∵四边形ABCD是“完美四边形”，∴∠OPH=60°，在Rt△OPH中，sin∠OPH=OHOP =√32，∴OH=√32OP=√3，在Rt△ODH中，由勾股定理得：DH=√OD2−OH2=√32−(√3)2=√6，∴BD=2DH=2√6．(3)过点B作BM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，如图2：∴∠BMO=∠DNO=90°，∵四边形ABCD是“完美四边形”，∴∠COD=60°，∴直线BD解析式为y=√3x，∵二次函数的图象过点A(−3,0)、C(2,0)，即与x轴交点为A、C，∴设二次函数解析式为y =a(x +3)(x −2)，联立{y =a(x +3)(x −2)y =√3x，整理得：ax 2+(a −√3)x −6a =0， ∴x B +x D =−a−√3a ，x B ⋅x D =−6，∴(x B −x D )2=(x B +x D )2−4x B ⋅x D =(−a−√3a )2+24，∵S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD=12AC ⋅BM +12AC ⋅DN =12AC(BM +DN) =12AC(y D −y B ) =12AC(√3x D −√3x B ) =5√32(x D −x B )，∵四边形ABCD 的面积为15√3，∴5√32(x D −x B )=15√3，∴x D −x B =6，∴(−a−√3a )2+24=36，解得：a 1=−6−√311，a 2=6−√311， ∴a 的值为−6−√311或6−√311．(1)由菱形、正方形的对角线互相垂直即可作出判断；(2)过点O 作OH ⊥BD 于点H ，连接OD ，由AP =1，PC =5可得直径的长，由“完美四边形”的定义可得∠OPH =60°，在Rt △OPH 中，由三角函数求得OH ；在Rt △ODH 中，由勾股定理求得DH 的长，由垂径定理可得BD =2DH ，计算即可；(3)过点B 作BM ⊥x 轴于点M ，过点D 作DN ⊥x 轴于点N ，求得直线BD 的解析式，设二次函数解析式为y =a(x +3)(x −2)，联立得方程组，整理得一元二次方程，根据韦达定理得出x B +x D =−a−√3a ，x B ⋅x D =−6，从而可用a 表示出(x B −x D )2，然后由四边形的面积可得x D −x B =6，则可得关于a 的方程，解方程即可．本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、新定义在几何图形中的应用、平行四边形的性质、圆的性质及相关计算、勾股定理、解直角三角形及一元二次方程的应用等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．26.【答案】解：(1)∵抛物线y =x 2+bx +c 经过点A 、C ，把点A(−1,0)，C(0,−3)代入，得：{0=1−b +c −3=c， 解得{b =−2c =−3， ∴抛物线的解析式为y =x 2−2x −3；(2)如图，作CH ⊥EF 于H ，∵y =x 2−2x −3=(x −1)2−4，∴抛物线的顶点坐标E(1,−4)，设N 的坐标为(1,n)，−4≤n ≤0∵∠MNC =90°，∴∠CNH +∠MNF =90°，又∵∠CNH +∠NCH =90°，∴∠NCH =∠MNF ，又∵∠NHC =∠MFN =90°，∴Rt △NCH∽△MNF ， ∴CH NF =HN FM ，即1−n =n+31−m 解得：m =n 2+3n +1=(n +32)2−54，∴当n =−32时，m 最小值为−54；当n =−4时，m 有最大值，m 的最大值=16−12+1=5．∴m 的取值范围是−54≤m ≤5．(3)设点P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，∵过点P 作x 轴平行线交抛物线于点H ，∴H(−x 1,y 1)，∵y =kx +2，y =x 2，消去y 得，x 2−kx −2=0，x 1+x 2=k ，x 1x 2=−2，设直线HQ 表达式为y =ax +t ，将点Q(x2,y2)，H(−x1,y1)代入，得{y2=ax2+ty1=−ax1+t，∴y2−y1=a(x1+x2)，即k(x2−x1)=ka，∴a=x2−x1，∵x22=(x2−x1)x2+t，∴t=−2，∴直线HQ表达式为y=(x2−x1)x−2，∴当k发生改变时，直线QH过定点，定点坐标为(0,−2)．【解析】(1)把点A(−1,0)，C(0,−3)代入抛物线表达式求得b，c，即可得出抛物线的解析式；(2)作CH⊥EF于H，设N的坐标为(1,n)，证明Rt△NCH∽△MNF，可得m=n2+3n+1，因为−4≤n≤0，即可得出m的取值范围；(3)设点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则点H(−x1,y1)，设直线HQ表达式为y=ax+t，用待定系数法和韦达定理可求得a=x2−x1，t=−2，即可得出直线QH过定点(0,−2)．本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了配方法求二次函数的最值、待定系数法求一次函数的解析式、(2)问通过相似三角形建立m与n的函数关系式是解题的关键．。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列抛物线中，与抛物线y=-3x2+1的形状、开口方向完全相同，且顶点坐标为(-1，2)的是（）A．y=-3(x+1)2+2 B．y=-3(x-2)2+2 C．y=-(3x+1)2+2 D．y=-(3x-1)2+2【答案】A【解析】由条件可设出抛物线的顶点式，再由已知可确定出其二次项系数，则可求得抛物线解析式．【详解】∵抛物线顶点坐标为（﹣1，1），∴可设抛物线解析式为y＝a（x+1）1+1．∵与抛物线y＝﹣3x1+1的形状、开口方向完全相同，∴a＝﹣3，∴所求抛物线解析式为y＝﹣3（x+1）1+1．故选A．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x－h）1+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．2．如图，在平行四边形ABCD中，F是边AD上的一点，射线CF和BA的延长线交于点E，如果1 2C EAFC CDF=，那么S EAFS EBC的值是（）A．12B．13C．14D．19【答案】D【解析】分析：根据相似三角形的性质进行解答即可．详解：∵在平行四边形ABCD中，∴AE∥CD，∴△EAF∽△CDF，∵12EAFCDFCC，=∴12AFDF=，∴11123AFBC==+，∵AF∥BC，∴△EAF∽△EBC，∴21139EAFEBCSS⎛⎫==⎪⎝⎭，故选D.点睛：考查相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方.3．如图，已知A点是反比例函数()0ky kx=≠的图象上一点，AB y⊥轴于B，且ABO∆的面积为3，则k的值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根据反比例函数的几何意义解答即可【详解】解：设A点坐标为（a,b），由题意可知：AB=a，OB=b因为11322ABOS OB AB ab∆=⨯⨯==∴ab=6将（a,b）带入反比例函数得：kba=解得：6k ab==故本题答案为：C【点睛】本题考查了反比例函数的图像与性质和三角形的基本概念4．已知关于x的一元二次方程kx2－2x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是( )．A．k<1 B．k≤1C．k≤1且k≠0D．k<1且k≠0【答案】C【解析】分析：判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了．关于x的一元二次方程kx2-2x+1=1有实数根，则△=b2-4ac≥1．详解：∵a=k，b=-2，c=1，∴△=b2-4ac=（-2）2-4×k×1=4-4k≥1，k≤1，∵k是二次项系数不能为1，k≠1，即k≤1且k≠1．故选C．点睛：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．5．如图，在菱形ABCD 中，点E,F 分别在AB,CD 上，且AE CF =，连接EF 交BD 于点O 连接AO.若25DBC ∠=︒,，则OAD ∠的度数为（ ）A ．50°B ．55°C ．65°D ．75°【答案】C 【分析】由菱形的性质以及已知条件可证明△BOE ≌△DOF ，然后根据全等三角形的性质可得BO=DO ，即O 为BD 的中点，进而可得AO ⊥BD ，再由∠ODA=∠DBC=25°，即可求出∠OAD 的度数.【详解】∵四边形ABCD 为菱形∴AB=BC=CD=DA ，AB ∥CD ，AD ∥BC∴∠ODA=∠DBC=25°，∠OBE=∠ODF ，又∵AE=CF∴BE=DF在△BOE 和△DOF 中，BOE=DOF OBE=ODF BE=DF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△BOE ≌△DOF （AAS ）∴OB=OD即O 为BD 的中点，又∵AB=AD∴AO ⊥BD∴∠AOD=90°∴∠OAD=90°-∠ODA=65°故选C.【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握菱形的性质，得出全等三角形的判定条件是解题的关键.6．如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（ ）A ．主视图改变，左视图改变B ．俯视图不变，左视图不变C ．俯视图改变，左视图改变D ．主视图改变，左视图不变【答案】D 【解析】试题分析：将正方体①移走前的主视图正方形的个数为1，2，1；正方体①移走后的主视图正方形的个数为1，2；发生改变．将正方体①移走前的左视图正方形的个数为2，1，1；正方体①移走后的左视图正方形的个数为2，1，1；没有发生改变．将正方体①移走前的俯视图正方形的个数为1，3，1；正方体①移走后的俯视图正方形的个数，1，3；发生改变．故选D ．【考点】简单组合体的三视图．7．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴为直线x ＝﹣1，与x 轴的一个交点B 的坐标为（1，0）其图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a ﹣b ＝0；③一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的两个根是﹣3和1；④当y ＞0时，﹣3＜x ＜1；⑤当x ＞0时，y 随x 的增大而增大：⑥若点E （﹣4，y 1），F （﹣2，y 2），M （3，y 3）是函数图象上的三点，则y 1＞y 2＞y 3，其中正确的有（ ）个A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性逐个进行判断，得出答案．【详解】由抛物线的开口向上，可得a ＞0，对称轴是x ＝﹣1，可得a 、b 同号，即b ＞0，抛物线与y 轴交在y 轴的负半轴，c ＜0，因此abc ＜0，故①不符合题意；对称轴是x ＝﹣1，即﹣2b a＝﹣1，即2a ﹣b ＝0，因此②符合题意； 抛物线的对称轴为x ＝﹣1，与x 轴的一个交点B 的坐标为（1，0），可知与x 轴的另一个交点为（﹣3，0），因此一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的两个根是﹣3和1，故③符合题意；由图象可知y ＞0时，相应的x 的取值范围为x ＜﹣3或x ＞1，因此④不符合题意；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，因此当x ＞0时，y 随x 的增大而增大是正确的，因此⑤符合题意； 由抛物线的对称性，在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，∵﹣4＜﹣2，∴y1＞y2，（3，y3）l离对称轴远因此y3＞y1，因此y3＞y1＞y2，因此⑥不符合题意；综上所述，正确的结论有3个，故选：C．【点睛】考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握a、b、c的值决定抛物线的位置，抛物线的对称性是解决问题的关键．8．下列正多边形中，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（）A．正方形B．正五边形C．正六边形D．正八边形【答案】B【解析】选项A，正方形的最小旋转角度为90°，绕其中心旋转90°后，能和自身重合；选项B，正五边形的最小旋转角度为72°，绕其中心旋转72°后，能和自身重合；选项C，正六边形的最小旋转角度为60°，绕其中心旋转60°后，能和自身重合；选项D，正八边形的最小旋转角度为45°，绕其中心旋转45°后，能和自身重合.故选B．9．如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，⊙O的直径AD=6，则BD的长为( )A．2 B．3 C．23D．33【答案】D【分析】连接OB，如图，利用弧、弦和圆心角的关系得到AB BC，则利用垂径定理得到OB⊥AC，所以∠ABO=12∠ABC=60°，则∠OAB=60°，再根据圆周角定理得到∠ABD=90°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算BD的长．【详解】连接OB，如图：∵AB=BC，∴AB BC =，∴OB⊥AC，∴OB 平分∠ABC， ∴∠ABO=12∠ABC=12×120°=60°， ∵OA=OB，∴∠OAB=60°，∵AD 为直径，∴∠ABD=90°，在Rt△ABD 中，AB=12AD=3，=故选D ．【点睛】考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和圆周角定理．10．抛物线y ＝(x ﹣4)2﹣5的顶点坐标和开口方向分别是( )A ．(4，﹣5)，开口向上B ．(4，﹣5)，开口向下C ．(﹣4，﹣5)，开口向上D ．(﹣4，﹣5)，开口向下【答案】A【解析】根据y ＝a （x ﹣h ）2+k ，a ＞0时图象开口向上，a ＜0时图象开口向下，顶点坐标是（h ，k ），对称轴是x ＝h ，可得答案．【详解】由y ＝(x ﹣4)2﹣5，得开口方向向上，顶点坐标(4，﹣5)．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用y ＝a （x ﹣h ）2+k ，a ＞0时图象开口向上，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；a ＜0时图象开口向下，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，顶点坐标是（h ，k ），对称轴是x ＝h.11．若关于x 的一元二次方程ax 2+bx+6=0（a≠0）的其中一个解是x=1，则2018﹣a ﹣b 的值是（ ） A ．2022B ．2018C ．2017D ．2024 【答案】D【分析】根据题意将x=1代入原方程并整理得出6a b +=-，最后进一步整体代入求值即可.【详解】∵x=1是原方程的一个解，∴把x=1代入方程，得：60a b ++=，即6a b +=-．∴()20182018201862024a b a b --=-+=+=，故选：D ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握相关概念是解题关键.12．如图2，在平面直角坐标系中，点A B C 、、的坐标为（1，4）、（5，4）、（1、2-），则ABC 外接圆的圆心坐标是A ．（2，3）B ．（3，2）C ．（1，3）D ．（3，1）【答案】D 【解析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心． 解答：解：根据垂径定理的推论，则作弦AB 、AC 的垂直平分线，交点O 1即为圆心，且坐标是（3，1）．故选D ．二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，点D 在ABC ∆的边BC 上，已知点E 、点F 分别为ABD ∆和ADC ∆的重心，如果12BC =，那么两个三角形重心之间的距离EF 的长等于________．【答案】4【分析】连接AE 并延长交BD 于G ，连接AF 并延长交CD 于H ，根据三角形的重心的概念可得12DG BD =，12DH CD =，2AE GE =，2AF HF =，即可求出GH 的长，根据对应边成比例，夹角相等可得EAF GAH ∆∆∽，根据相似三角形的性质即可得答案．【详解】如图，连接AE 并延长交BD 于G ，连接AF 并延长交CD 于H ，∵点E 、F 分别是ABD ∆和ACD ∆的重心，∴12DG BD =，12DH CD =，2AE GE =，2AF HF =， ∵12BC =， ∴111()126222GH DG DH BD CD BC =+=+==⨯=， ∵2AE GE =，2AF HF =，∴23AE AF AG AH ==， ∵EAF GAH ∠=∠，∴EAF GAH ∆∆∽，∴23EF AE GH AG ==， ∴4EF =，故答案为：4【点睛】本题考查了三角形重心的概念和性质及相似三角形的判定与性质，三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍．14．分解因式3218m m -=____________．【答案】2(3)(3)m m m -+【分析】先提取公因式，再利用平方差公式即可求解．【详解】3218m m -=22(9)2(3)(3)m m m m m -=-+故答案为：2(3)(3)m m m -+．【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法．15．如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，AE ⊥BD ，垂足为F ，则tan ∠BDE 的值是_____【答案】2 4【解析】证明△BEF∽△DAF，得出EF=12AF，EF=13AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出EF=13DE，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出22DE EF-2x，再由三角函数定义即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∵点E是边BC的中点，∴BE=12BC=12AD，∴△BEF∽△DAF，∴12 EF BEAF AD==∴EF=12 AF，∴EF=13 AE，∵点E是边BC的中点，∴由矩形的对称性得：AE=DE，∴EF=13DE，设EF=x，则DE=3x，∴22DE EF-2x，∴tan∠BDE=EFDF22x=24；2.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．16．如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足条件时，四边形EFGH是矩形．【答案】AB ⊥CD【解析】解：需添加条件AB ⊥DC ，∵E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 中AD 、BD 、BC 、CA 中点， ∴1//,2EF AB EF AB =，1//,2GH AB GH AB = ∴EF HG ∥，EF HG =．∴四边形EFGH 为平行四边形．∵E 、H 是AD 、AC 中点，∴EH ∥CD ，∵AB ⊥DC ，EF ∥HG∴EF ⊥EH ，∴四边形EFGH 是矩形．故答案为：AB ⊥DC ．17．超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查，若每千克涨价1元，日销售量减少20千克，现超市要保证每天盈利6000元，每千克应涨价为______元．【答案】5或1【分析】设每千克水果应涨价x 元，得出日销售量将减少20x 千克，再由盈利额＝每千克盈利×日销售量，依题意得方程求解即可．【详解】解：设每千克水果应涨价x 元，依题意得方程：（500－20x ）（1＋x ）＝6000，整理，得x 2－15x ＋50＝0，解这个方程，得x 1＝5，x 2＝1．答：每千克水果应涨价5元或1元．故答案为：5或1．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．18．已知一个不透明的盒子中装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外均相同，现从盒中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是________ ．【答案】35【分析】先求出这个口袋里一共有球的个数，然后用红球的个数除以球的总个数即可．【详解】因为共有5个球，其中红球由3个， 所以从中任意摸出一个球是红球的概率是35， 故答案为35． 【点睛】本题考查了概率公式，掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．用适当的方法解下列一元二次方程（1）x 2+2x ＝3；（2）2x 2﹣6x+3＝1．【答案】（1）x 1＝﹣3，x 2＝1；（2）12x x ==【分析】（1）移项，方程左边分解因式后，利用两数相乘积为1，两因式中至少有一个为1转化为两个一元一次方程来求解；（2）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，开方即可求出解．【详解】解：（1）移项得：x 2+2x ﹣3＝1，分解因式得：（x+3）（x ﹣1）＝1，可得x+3＝1或x ﹣1＝1，解得：x 1＝﹣3，x 2＝1；（2）方程变形得：x 2﹣3x ＝﹣32， 配方得：x 2﹣3x+94＝﹣32+94，即（x ﹣32）2＝34，解得：12x x ==． 【点睛】 此题考查了解一元二次方程-因式分解法及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．20．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 是斜边BC 上的两点，∠EAD ＝45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90°，得到△AFB ，连接EF ．（1）求证：EF ＝ED ；（2）若AB ＝CD ＝1，求FE 的长．【答案】（1）见解析；（2）EF＝5 3 .【解析】（1）由旋转的性质可求∠FAE＝∠DAE＝45°，即可证△AEF≌△AED，可得EF＝ED；（2）由旋转的性质可证∠FBE＝90°，利用勾股定理和方程的思想可求EF的长．【详解】（1）∵∠BAC＝90°，∠EAD＝45°，∴∠BAE+∠DAC＝45°，∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到△AFB，∴∠BAF＝∠DAC，AF＝AD，CD＝BF，∠ABF＝∠ACD＝45°，∴∠BAF+∠BAE＝45°＝∠FAE，∴∠FAE＝∠DAE，AD＝AF，AE＝AE，∴△AEF≌△AED（SAS），∴DE＝EF（2）∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，∴BC＝4，∵CD＝1，∴BF＝1，BD＝3，即BE+DE＝3，∵∠ABF＝∠ABC＝45°，∴∠EBF＝90°，∴BF2+BE2＝EF2，∴1+（3﹣EF）2＝EF2，∴EF＝5 3【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用方程的思想解决问题是本题的关键．21．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1,0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B．(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x＝－1 上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标．【答案】（1）y＝－x2－2x＋3，y＝x＋3；（2）M(－1，2)．【解析】试题分析：（1）根据题意得出关于a、b、c的方程组，求得a、b、c的值，即可得出抛物线的解析式，根据抛物线的对称性得出点B的坐标，再设出直线BC的解析式，把点B、C的坐标代入即可得出直线BC的解析式；（2）点A关于对称轴的对称点为点B，连接BC，设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，则此时MA+MC 的值最小，再求得点M的坐标．试题解析：（1）依题意得：12{03baa b cc-=-++==，解之得：1 {23abc=-=-=，∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3，∵对称轴为x=-1，且抛物线经过A（1，0），∴B（-3，0），∴把B（-3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，得30 {3m nn-+==，解得：1 {3mn==，∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；（2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得，y=2∴M（-1，2）．即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（-1，2）．考点：1.抛物线与x轴的交点；2.轴对称-最短路线问题．22．小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度．如图，他在某一时刻在地面上竖直立一个2米长的标杆CD，测得其影长DE=0.4米．（1）请在图中画出此时旗杆AB在阳光下的投影BF．（2）如果BF=1.6，求旗杆AB的高．【答案】 (1)见解析 (2) 8m【详解】试题分析：（1）利用太阳光线为平行光线作图：连结CE，过A点作AF∥CE交BD于F，则BF为所求；（2）证明△ABF∽△CDE，然后利用相似比计算AB的长．试题解析：（1）连结CE，过A点作AF∥CE交BD于F，则BF为所求，如图；（2）∵AF∥CE，∴∠AFB=∠CED，而∠ABF=∠CDE=90°，∴△ABF∽△CDE，∴AB BFCD DE=，即1.620.4AB=，∴AB=8（m）,答：旗杆AB的高为8m．23．在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm，求点D到AB的距离．【答案】2.6cm【分析】先要过D作出垂线段DE，根据角平分线的性质求出CD＝DE，再根据已知即可求得D到AB的距离的大小．【详解】解：过点D作DE⊥AB于E．∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DC ⊥AC∴CD ＝DE又BD ：DC ＝2：1，BC ＝7.8cm∴DC ＝7.8÷（2+1）＝7.8÷3＝2.6cm ．∴DE ＝DC ＝2.6cm ．∴点D 到AB 的距离为2.6cm ．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理,属于简单题,正确作出辅助线是解题关键.24．先化简，再求值：(1+11x -)2221x x x x +÷-+，其中，x ＝2﹣1． 【答案】11x x -+，1﹣2 【分析】根据分式混合运算的运算顺序及运算法则进行化简，再把x 的值代入计算即可．【详解】解：原式2211211x x x x x x-+-+=-+ ()()2111x x x x x -=-+ 11x x -=+， 当21x =-时，原式21122122112---===--+． 【点睛】本题主要考查分式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握分式通分和分式加减乘除运算法则． 25．如图，AB 是半圆O 的直径，C D 、是半圆上的点，且0D AC ⊥于点E ，连接,BE BC ，若8,2AC DE ==．()1求半圆的半径长;()2求BE 的长．【答案】()1半圆O 的半径为5；()2213 【分析】（1）根据垂径定理的推论得到OD ⊥AC ，AE=12AC ，设圆的半径为r ，根据勾股定理列出方程，解方程即可；（2）由题意根据圆周角定理得到∠C=90°，根据勾股定理计算即可．【详解】解：()1OD AC ⊥于点E 且8AC =142AE EC AC ∴===， 设半径为r ，则2OE r =-在Rt AOE 中有()22242r r =+-解得:=5r即半圆O 的半径为5； ()2AB 为半圆O 的直径90,10C AB ∴∠==则22221086BC AB AC =-=-=在Rt BCE 中有222264213CE BC CE =+=+=.【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．26．有四张背面相同的纸牌A 、B 、C 、D ，其正面上方分别画有四个不同的几何图形，下方写有四个不同算式，小明将四张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，将其余3张洗匀后再摸出一张．(1)用树状图(或列表法)表示两次摸牌所有可能出现的结果(纸牌用A 、B 、C 、D 表示)；(2)求摸出的两张纸牌的图形是中心对称图形且算式也正确的纸牌的概率．【答案】（1）详见解析；（2）16【分析】（1）分别用树状图和列表法表示所有可能的情况；（2）既是中心对称图形，算式也正确的有C、D，然后根据（1）中的树状图或列表得出概率．【详解】解: （1）树状图: 图中共有12种不同结果．列表: 表中共有12种不同结果(2) ∵在四张纸牌中，图形是中心对称图形且算式正确的只有C，D两张∴所求的概率为21P==．126【点睛】本题考查求解概率，列表法和树状图法是常考的两种方法，需要熟练掌握．27．如图是一根钢管的直观图，画出它的三视图．【答案】答案见解析【解析】试题分析：根据三视图的画法得出答案.试题解析：如图考点：三视图九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长，分别交对角线BD于点F，交BC边延长线于点E．若FG＝2，则AE的长度为( )A．6 B．8C．10 D．12【答案】D【解析】根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出AF ABGF GD==2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由AD∥BC，DG=CG，可得出AG=GE，即可求出AE=2AG=1．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴AF ABGF GD==2，∴AF=2GF=4，∴AG=2．∵AD∥BC，DG=CG，∴AG DGGE CG==1，∴AG=GE∴AE=2AG=1．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．2．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由520元降为312元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x ，下面所列的方程中正确的是( )A ．2520(1)312x -=B ．2520(1)312x +=C ．2520(12)312x -=D ．2520(1)312x -=【答案】A【分析】根据题意可得到等量关系：原零售价⨯（1-百分率）（1-百分率）=降价后的售价，然后根据等量关系列出方程即可．【详解】解：由题意得： 2520(1)312x -=，故答案选A ．【点睛】本题考查一元二次方程与实际问题，解题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程．3．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a<0）过A （－3，0），B （1，0），C （－5，y 1），D （5，y 2）四点，则y 1与y 2的大小关系是（ ）A ．y 1>y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1<y 2D ．不能确定 【答案】A【分析】根据二次函数图象的对称轴位置以及开口方向，可得C （－5，y 1）距对称轴的距离比D （5，y 2）距对称轴的距离小，进而即可得到答案．【详解】∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a<0）过A （－3，0），B （1，0），∴抛物线的对称轴是：直线x=-1，且开口向下，∵C （－5，y 1）距对称轴的距离比D （5，y 2）距对称轴的距离小，∴y 1>y 2，故选A ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握用抛物线的轴对称性比较二次函数值的大小，是解题的关键． 4．已知M(1，2)，则M 关于原点的对称点N 落在（ ）A ．2y x =的图象上B ．2y x 的图象上C ．22y x =的图象上D ．2y x =+的图象上 【答案】A【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数得出N 的坐标，再根据各函数关系式进行判断即可．【详解】点M （1，2）关于原点对称的点N 的坐标是（-1，-2），∴当x=-1时，对于选项A ，y=2×(-1)=-2，满足条件，故选项A 正确；对于选项B ，y=(-1)2=1≠-2故选项B 错误；对于选项C ，y=2×(-1)2=2≠-2故选项C 错误；对于选项 D ，y=-1+2=1≠-2故选项D 错误．故选A ．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，以及函数图象上点的坐标特征，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．5．如图是二次函数2y ax bx c =++图像的一部分，直线1x =-是对称轴，有以下判断：①20a b -=；②24b ac -＞0；③方程20ax bx c ++=的两根是2和-4；④若12(3,),(2,)y y --是抛物线上两点，则1y ＞2y ；其中正确的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】根据函数图象依次计算判断即可得到答案.【详解】∵对称轴是直线x=-1， ∴12b a-=-， ∴20a b -=，故①正确；∵图象与x 轴有两个交点，∴24b ac -＞0，故②正确；∵图象的对称轴是直线x=-1，与x 轴一个交点坐标是（2,0），∴与x 轴另一个交点是（-4,0），∴方程20ax bx c ++=的两根是2和-4，故③正确；∵图象开口向下，∴在对称轴左侧y 随着x 的增大而增大，∴12(3,),(2,)y y --是抛物线上两点，则1y <2y ，故④错误，∴正确的有①、②、③，故选：C.【点睛】此题考查二次函数的性质，根据函数图象判断式子的正负，正确理解函数图象，掌握各式子与各字母系数的关系是解题的关键.6．方程x 2＝3x 的解为（ ）A ．x ＝3B ．x ＝0C ．x 1＝0，x 2＝﹣3D ．x 1＝0，x 2＝3 【答案】D【分析】根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【详解】∵x 2﹣1x ＝0，∴x (x ﹣1)＝0，∴x ＝0或x ﹣1＝0，解得：x 1＝0，x 2＝1．故选：D ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，掌握因式分解法解方程，是解题的关键．7．若反比例函数(0)k y k x =≠的图象经过点(1,2)-，则这个函数的图象一定还经过点（ ） A ．(2,1)-B ．(,)122-C ．(2,1)--D ．1(,2)2 【答案】A【分析】根据反比例函数的定义，得122k xy ==-⨯=-，分别判断各点的乘积是否等于2-，即可得到答案. 【详解】解：∵反比例函数(0)k y k x =≠的图象经过点(1,2)-， ∴122k xy ==-⨯=-；∵2(1)2⨯-=-，故A 符合题意； ∵1()212-⨯=-，2(1)2-⨯-=，1212⨯=，故B 、C 、D 不符合题意； 故选：A.【点睛】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是熟记定义，熟练掌握=k xy .8．用一圆心角为120°，半径为6cm 的扇形做成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面的半径是（ ） A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm 【答案】B【解析】∵扇形的圆心角为120°，半径为6cm ，∴根据扇形的弧长公式，侧面展开后所得扇形的弧长为1206=4180ππ⋅⋅ ∵圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，∴根据圆的周长公式，得2r=4ππ，解得r=2cm ．故选B ．考点：圆锥和扇形的计算．9．已知坐标平面上有一直线L ，其方程式为y+2=0，且L 与二次函数y=3x 2+a 的图形相交于A ，B 两点：与二次函数y=﹣2x 2+b 的图形相交于C ，D 两点，其中a 、b 为整数．若AB=2，CD=1．则a+b 之值为何？（ ）A ．1B ．9C ．16D ．21 【答案】A【解析】分析：判断出A 、C 两点坐标，利用待定系数法求出a 、b 即可；详解：如图，由题意知：A （1，﹣2），C （2，﹣2），分别代入y=3x 2+a ，y=﹣2x 2+b 可得a=﹣5，b=6，∴a+b=1，故选A ．点睛：本题考查二次函数图形上点的坐标特征，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，判断出A 、C 两点坐标是解决问题的关键．10．如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使C 落在'C 处，'BC 交AD 于E ，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．'AD BC =B ．EBD EDB ∠=∠C ．ABE CBD ∆~∆D ．sin AE ABE ED ∠= 【答案】C 【解析】分析：主要根据折叠前后角和边相等对各选项进行判断，即可选出正确答案．详解：A 、BC=BC′，AD=BC ，∴AD=BC′，所以A 正确．B 、∠CBD=∠EDB ，∠CBD=∠EBD ，∴∠EBD=∠EDB ，所以B 正确．D 、∵sin ∠ABE=AE BE ， ∵∠EBD=∠EDB∴BE=DE∴sin ∠ABE=AE ED． 由已知不能得到△ABE∽△CBD．故选C ．点睛：本题可以采用排除法，证明A ，B ，D 都正确，所以不正确的就是C ，排除法也是数学中一种常用的解题方法．11．已知二次函数()22y x a b =---的图象如图所示，则反比例函数ab y x=与一次函数y ax b =+的图象可能是 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】观察二次函数图象，找出a ＞0，b ＞0，再结合反比例函数、一次函数图象与系数的关系，即可得出结论．【详解】观察二次函数图象，发现：抛物线()22y x a b =---的顶点坐标()a b -，在第四象限，即00a b >-<，， ∴0a >，0b >．∵反比例函数ab y x=中0ab >， ∴反比例函数图象在第一、三象限；∵一次函数0y ax b a =+>，，0b >，∴一次函数y ax b =+的图象过第一、二、三象限．故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据二次函数的图象找出0a >，0b >．解决该题型题目时，熟记各函数图象的性质是解题的关键．12．如图，已知AB 是ʘO 的直径，点P 在B 的延长线上，PD 与⊙O 相切于点D ，过点B 作PD 的垂线交PD 的延长线于点C ．若⊙O 的半径为1．BC ＝9，则PA 的长为（ ）A ．8B ．43C ．1D ．5【答案】C 【分析】连接OD,利用切线的性质可得∠PDO ＝90°，再判定△PDO ∽△PCB ，最后再利用相似三角形的性质列方程解答即可．【详解】解：连接DO∵PD 与⊙O 相切于点D ，∴∠PDO ＝90°，∵BC ⊥PC ，∴∠C ＝90°，∴∠PDO ＝∠C ，∴DO//BC ，∴△PDO ∽△PCB ，∴6293DO PO BC PB ===，设PA＝x，则62123xx+=+，解得：x＝1，∴PA＝1．故答案为C．【点睛】本题考查了圆的切线性质以及相似三角形的判定与性质，证得△PDO∽△PCB是解答本题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果CD＝4，那么AD•BD的值是_____．【答案】1【分析】先由角的互余关系，导出∠DCA＝∠B，结合∠BDC＝∠CDA＝90°，证明△BCD∽△CAD，利用相似三角形的性质，列出比例式，变形即可得答案．【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∴∠BCD+∠DCA＝90°，∠B+∠BCD＝90°∴∠DCA＝∠B，又∵∠BDC＝∠CDA＝90°，∴△BCD∽△CAD，∴BD：CD＝CD：AD，∴AD•BD＝CD2＝42＝1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定和性质. 14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为_____．【答案】24 5【分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN=AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．【详解】解：∵∠BAC ＝90°，且BA ＝6，AC ＝8，∴BC ＝22BA AC +＝10，∵DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，∴∠DMA ＝∠DNA ＝∠BAC ＝90°，∴四边形DMAN 是矩形，∴MN ＝AD ，∴当AD ⊥BC 时，AD 的值最小，此时，△ABC 的面积＝12AB×AC ＝12BC×AD ， ∴AD ＝AB AC BC ⋅＝245， ∴MN 的最小值为245； 故答案为：245． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3在坐标系中的位置如图所示，它与x 轴、y 轴的交点分别为A ，B ，点P 是其对称轴x ＝1上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①2a ＋b ＝0；②x ＝3是ax 2＋bx ＋3＝0的一个根；③△PAB 周长的最小值是10＋32.其中正确的是________.【答案】①②③【分析】①根据对称轴方程求得a b 、的数量关系；②根据抛物线的对称性知抛物线与x 轴的另一个交点的横坐标是3；③利用两点间线段最短来求△PAB 周长的最小值．【详解】①根据图象知，对称轴是直线12b x a=-=，则2b a =-，即20a b +=，故①正确； ②根据图象知，点A 的坐标是()10，-，对称轴是1x =，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是()30，，所以3x =是230ax bx ++=的一个根，故②正确； ③如图所示，点A 关于1x =对称的点是A '，即抛物线与x 轴的另一个交点．。