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复变函数第二章解析函数优秀课件

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第2章复变函数与解析函数精品PPT课件

第2章复变函数与解析函数精品PPT课件

①在 z
(分母在 z 0
0不连为续0的)在两z个0 处函连数续f(z;)与g(z)的和,差,积,商
②若函数 hg(z)在点 z 0 处连续，函数 w f(h)
在 h0 g(z0连) 续，则复合函数 wf[g(z)]
在 z 0 处连续（证略）.
例3 求 lim z 1 zi z 2
解: 因为 z 1 在点zi 处连续，故 z2
注:连续的条件:
(1) 在z 0处有定义;
(2) z 0 处的极限值等于该点的函数值.
2)连续充要条件: 定理 函数 f(z) u (x ,y ) i(v x ,y ),在 z0 x0iy0 处连续的充要条件是u(x, y) 和 v(x, y) 都 在点(x0, y0)处连续.
3)连续函数性质:
x2 y2
x2 y2
化为一个复变函数.
解 设 zxiy ，wuiv， 则 wuiv 2xiy x2 y2
将 x 1 (z z) ，y 1 (z z) 以及 x2 y2 zz 得 2 w312i (z0)
2z 2z
二.复变函数的极限与连续性 1.极限:
1)定义 设函数f(z) 在 z 0 的去心邻域内有定义，若对任
2. 可导与连续的关系
若函数wf(z)在点z 0 处可导，则 f (z)在点 z 0 处必
连续.反之不一定.
3.用定义求导的步骤 1)求增量比; 2)求增量比的极限.
例1 求 f ( z) z 2 的导数.
二.解析函数的概念及求导法则
1. 解析函数的定义
1) 点处解析: 如果f(z)不仅在点 z 0处可导,且在点 z 0 的某邻域内的处处可导,则称f(z)在点 z 0处解析;
3)运算法则:类似于实函数极限的运算法则. 例

第四版复变函数第二章精品PPT课件

第四版复变函数第二章精品PPT课件

定 理一 ： f (z) u(x, y) v(x, y)i
x
y
在 一点z x iy可 导的 充 分必 要 条：件 为
u(x, y),v(x, y)在 点z(x, y)可 导；
满 足柯 西 黎 曼方 程u： v , u v x y y x
定理二f(： z)u(x, y)v(x, y)i 在 区D域内 解 析 的 充 分 必为要：条 件 u(x, y),v(x, y)在D内可导； 在D内 （ CR方 程 ）： u v, u v x y y x
g ( z )2
6、 f [ g ( z )] f ( w ) g ( z ) w g ( z )
2、解析函数
w f (z)在点z0解析： f (z)在z0及z0的邻域内处处可导
在区D 域 内解析f(： z)在D内每一点解析。
f(z)在z0不解 析 z0为奇点。
定理： 1） 如果f (z)，g(z)在区域D内解析，有 :
a,b,c,d?可f使 (z)处 处 解 析 。
例 3 、 f'(z)0 在 D 内 f(z)常数
例 4、如f果 (z)： uiv为解析函 f(z)数 0 ， 则曲 ：线 u(x组 ,y)c1和 v(x,y)c2互 相 正
证明：
f (z)
1 i uy
vy
0
u y ,v y不全为
0
uy,v
都不为
f (z) g(z), f (z) g(z), f (z) , 在D内都解析。 g(z)
2） h=g(z)在D内解析，w=f(h)在G内解析， 如果函数h=g(z)的函数值集合落在G内，则 复合函数w=f[g(z)]在D内解析
有 理 函 数 （ 多 项整式个）复在平 面 上 解 析 。 wP(z)a0 a1zanzn 有理分w式 P(z)（两个多项式的分商母）不除 0的 为

复变函数第二章课件

复变函数第二章课件
9
例 判断下列函数的解析性.
1) w z ;2) f ( z ) e x (cos y i sin y );3)w z Re( z )
例 设函数
f ( z ) x 2 axy by 2 i (cx 2 dxy y 2 ).
问：常数 a, b, c, d 取何值时， ( z ) 在复平面 f 内处处解析？
注
Lnz n nLnz n 1 Ln z n Lnz
不成立！！
18
对数函数的解析性 y z
z e
w
v
i
O
w
O
x
w ln z
u
i
arg z v
ln z 在除去原点和负实轴的平面内解析，且有
d ln z 1 1 w de dz z dw (Lnz )k (k Z) 在除去原点和负实轴的平面内解析.
19
3.3 幂函数
对 z 0, ; C
w z e Lnz e (ln z 2k i ) w0e2k i (k Z), 其中 w0 e ln z 是 z 的一个主值.
(sin z )' cos z, (cos z )' sin z
iz
（3）遵从通常的三角恒等式；
22
（4）周期为 2 ; （5） sin z 0 z n , n Z; ； 1 ; ; cos z 0 z (n ) , n Z; ； 2 (6) sin z 1 和 cos z 1不成立； (7) cos( z ) cos z , sin( z ) sin z ; (8) e cos z i sin z.

复变函数与积分变换课件第2章

复变函数与积分变换课件第2章

例：设f(z)在z0处连续，且f(z0)不等于0，那么可以
找到z0的一个邻域，在这个邻域内f(z)不等于0
1 导数的定义
定义 设函数w=f(z)在包含z0的某邻域D内有定义 ，点z0+⊿z∈D. 如果极限
f ( z0 Δ z ) - f ( z0 ) lim Δ z 0 Δz
存在, 则称f(z)在z0可导, 此极限值就称为f(z)在z0 的导数, 记作
பைடு நூலகம்
定义 如果函数f(z)不仅在z0可导，而且在z0的某 个邻域内的任一点都可导, 则称f(z)在z0解析。 如果f(z)在区域D内每一点解析, 则称f(z)在D内解 析, 或称f(z)是D内的一个解析函数(全纯函数 或正则函数)
如果f (z)在点z0不解析，就称z0是f (z)的奇 点。
(1) w=f (z) 在 D 内解析等价于在D内可导。 (2) 函数f (z)在 z0 点可导，未必在z0解析。 （3）函数在区域D内的点z处解析，则z 一 定是D的内点。
（4） f ( z ) z Re( z )
例3. 证明 sin ' z cos z
例4 如果f '(z)在区域D处处为零, 则f(z)在D内为一常
数 .
4.高阶导数
二阶及二阶以上的导数称为高阶导数
例 应用公式
sin( z

2
) cos z ,
（n) 求 sin z
1.解析函数的概念
例2
求f ( z) z 在z 0时的极限. z
z z0
例3 求极限 lim cos z 例4 证明 f ( z ) Re z
在z 0时的极限不存在 .
z
定理2
若 lim f ( z ) A lim g ( z ) B, 则

复变函数与积分变换课堂PPT第二章

复变函数与积分变换课堂PPT第二章
由加法定理, 可以推出exp z的周期性。 它的周期是 ,即
其中k为任何整数。这个性质是实变指数函数没有的。
2.对数函数
和实变函数一样，对数函数定义为指数函数的反 函数。将满足方程
的函数w = f (z)称为对数函数。令
,则
所以 因此
由于Arg z为多值函数，所以对数函数 w = f (z)为多 值函数，并且每两个值相差 的整数倍,记作
是两个互为
反函数的单值函数，且
。
iv) 微分的概念 设函数w =f (z)在z0可导, 则有
其中
因此,
是 的高阶无穷
小量, 而
是函数w=f (z) 的改变量 的线性部
分, 称为函数w = f (z)在点z0的微分, 记作
如果函数在z0的微分存在, 则称函数 f (z)在z0可微。
特别, 当f (z) = z时, 得
如果在曲线交点处 uy与 vy都不为零，由隐函数求导
法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为
和
利用柯西-黎曼方程得
例4 如果 f (z) = u + iv为一解析函数，且 f '(z)0， 则曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必互相正交，其中c1, c2为 常数。
[证] 利用柯西-黎曼方程得
例3 研究函数
和
的解析性。
[解] 由解析函数的定义与前面的例题可知，
在复平面内是解析的，而
却是处
处不解析的。下面研究
的解析性。
由于
如果 ，那么当
时，上式的极限是零。如果
，令
沿直线
趋于 ，由于k 的任意性，
不趋于一个确定的值。所以当
时，
的极限不存在。
因此，

复变函数课件(二)

复变函数课件(二)

f ′(z) = ux + ivx = vy −iuy .
例题1
已 f ( z) = x2 − y2 + i2xy = u + iv， f ′( z) 知 求
解： 因为 u = x2 − y2 , v = 2xy 处处可微，且
∂u ∂v ∂u ∂v = 2x = , = −2y = − . ∂x ∂y ∂y ∂x
⇒ f ′(z) = ux + ivx = vy −iuy .
∂u ∂v ∂v ∂u 为 Cauchy-Riemann方 程 称 = , =− ∂x ∂y ∂x ∂y
即 = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在 内 点( x,y) 解 ⇒ w D 一 析
u(x,y) 与 v(x,y) 在该点可微, 并且满足
z
( ez+2kπi = eze2kπi = ez ( cos2kπ +i sin2kπ ) = ez , k ∈Z)
( lim ez = +∞ , lim ez = 0) (5)lime 不 在 z=x→+∞ 存 . z=x→−∞
z z→∞
2、 三角函数
e −e 定义： sin z = 2i
iz −iz
2
2 2 ∆w f (z + ∆z) − f (z) = = z + ∆z − z 解： ∆z ∆z ∆z (z + ∆z)(z + ∆z) − z z ∆z = = z + ∆z + z ∆z ∆z
所以
∆w z = 0: = ∆z → 0 (∆z → 0) ⇒ f ′(0) = 0 ∆z ∆w z ≠ 0 : 取∆z = ∆x → 0 ⇒ ∆z → z + z ∆w 取 z = i∆y →0 ⇒ ∆ →z − z ∆z 2

复变函数PPT第二章


(3) w z Re z.
解: (1) w z 2 x2 y2 , u x2 y2 , v 0,
u 2x, u 2 y, v 0, v 0.
x
y
x
y
z 偏导数在复平面上处处连续，但只在 =0满足C－R方程，
故函数 w z 2仅在 z 0 处可导, 且 f (z) 0．
在复平面内处处不解析.
x x y y 故 u v u v 0,
x y y x 所以 u 常数, v 常数,
因此 f (z) 在区域 D内为一常数.
参照以上例题可进一步证明:
如果 f (z) 在区域 D内解析, 则以下条件彼此等价.
(1) f (z)为常数;
(2) f (z) 0;
(3) f (z) 常数;
(2) f (z) e x (cos y i sin y) 指数函数 u e x cos y, v e x sin y,
u e x cos y, u e x sin y,
x
y
四个偏导数均连续
v e x sin y, v e x cos y,
x
y
且 u v , u v . x y y x
(4) f (z)解析;
(5) Re[ f (z)] 常数; (6) Im[ f (z)] 常数;
(7) v u2;
(8) arg f (z) 常数.
(9) au bv c（a，b，c为不全为零的实常数）.
思考题
(1)复变函数 f (z) 在点z0 可导与在z0 解析有无区别? (2)用柯西－黎曼条件判断f (z) u( x, y) iv( x, y) 解析时应注意什么?
6z6 10z4 z2 6z 1 . (z2 1)2

复变函数和积分变换第2章解析函数


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复变函数与积分变换
出版社 理工分社
即函数 但由于
在点z=0处满足C.-R.条件式(2.3).
不存在，所以
在点z=0处是不可导．
由定义2.3及定理2.2，便可得到复变函数f(z)解析的等价刻画．
页 退出
复变函数与积分变换
出版社 理工分社
定理2.3f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充分必要条件是u(x,y)与 v(x,y)在D内处处可微，且在D内处处满足C.-R.条件式(2.3)． 定理2.4若u(x,y)与v(x,y)在区域D内有连续偏导数，且在D内满足C.-R.条件 式(2.3)，则f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内解析． 例2.5判别下列函数的可导性与解析性，并在可导点处求出导数.
① 的定义域为有限复平面 ，且
② 是C上的解析函数，且(ez)′=ez；
③
，有
④ 是以2π i为周期的周期函数；
⑤函数
(w≠0,∞)把z平面上的宽度为2π 的带形区域
均映射为w平面上的角形区域G=C \{负实轴及原点}．
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复变函数与积分变换
证①因为 ②依定义知：
，故
出版社 理工分社
它们在全平面上处处可微且满足C.-R.条件，故 在 上处处解析，且
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复变函数与积分变换
出版社 理工分社
证必要性．记Δ z=Δ x+iΔ y，f(z+Δ z)－f(z)=Δ u+iΔ v，f′(z)=a+ib， 若f(z)在点z=x+iy可微，则有
其中 ，得
，且
根据复数相等的意义
页 退出
复变函数与积分变换

复变函数课件02章 解析函数


试求： f (i)
答案：－3
复变函数与积分变换
第2章 解析函数
定理2.3（解析的充要条件）
函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是： u(x,y)和v(x,y)在D内可微，且满足柯西——黎曼方程。
u v , v u x y x y
复变函数与积分变换
第2章 解析函数
和、差、积、商（除z 去0 分母为0点）仍为解析函数；
由解析函数构成的复合函数也是解析函数。
复变函数与积分变换
第2章 解析函数
§2.2 复变函数可导与 解析的充要条件
定理2.2（可导的充要条件）
函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定义域内一点z=x+iy可导的 充要条件是：u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微，且满足柯 西——黎曼方程。
u v , v u x y x y 则称v(x,y)为u(x,y)的共轭调和函数。
定理2.6
函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内是解析的函数的充 要条件为：虚部v(x,y)是实部u(x,y)的共轭调和函数。
复变函数与积分变换
第2章 解析函数
例2.12 试求一解析函数f(z) ，使其实部为 u(x,y)=x2+y2-2xy.
第2章 解析函数
例2.1 求函数 f (z) zn 的导数(n为正
整数)。
f (z) (zn ) lim (z z)n zn nzn1
z 0
z
例2.2 求函数 f (z) z2 的导数(n为正
整数)。
(z2 ) 2z
复变函数与积分变换
第2章 解析函数
某点可导
该点连续
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若z、z0
C,且limf zz0
(z)
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f
(z0)，
则f称 (z)
在 曲C线上 点 z0处 连.续
例4 证明f (z)=argz在原点及负实轴上不连续。 证明 (1)f(z)argz在原点没有定义，
故不连续。
( 2 ) 在负实轴上 P ( x , 0 )( x 0 )
lim arg z y 0 lim arg z y 0
例2
求 f(z)zz
z 在 z0时的.极限 z
f(z)2(xx22yy22)在(0,0)处极限不 . 存在
例3
证明 f(z)Rezz在z0时的极限不 . 存
函数的连续性
定义2.3
若limf(z) zz0
f
(z0)，
则f称 (z)在z0处
连;续
若 在 区D域 内 处 处 连 续 ， f (z则 )在D称 内 连;续
lim
zz0
f (z)
A
u0
iv0
lim u(
( x, y)( x0 , y0 )
lim v(
( x, y)( x0 , y0 )
x, x,
y) y)
u0 v0
定理2.2
若lim f (z) A limg(z) B,则
zz0
zz0
lim f (z) g(z) lim f (z) limg(z) A B
E 称为该函数的定义域.
A 若z 一个w值，称f (z)是单值函数;
z 多个w值，称f (z)是多值函数.
今后无特别声明， 论所 的讨 函数均为单值 。函
该函数的值域为：
Gf(E ) { w wf(z),z E }
zxiy (x,y);wuiv (u,v) wf(z)f(xiy)
u(x,y)iv(x,y)
故 u u (x ,y )v v (x ,y )
w f (z) u iv u u( x, y) v v(x, y)
例1 wz2 令 zxiywuiv
则 w(uiv )(xiy )2x2y22xyi w z2 u x 2 y 2 v 2 xy 实虚部部等等于于实虚部部
例2 若已 f(z)x 知 1 x 2 1y2 i y 1 x 2 1y2 将f(z)表示z成 的函. 数
v
w f(z)
z0 d
o
xo
(w)
e
A
u
几何意义: 当变点z一旦进
入z0 的充分小去 心邻域时,它的象
点f(z)就落入A的
一个预先给定的
ε邻域中
相关定理
复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：
定理2.1
设f (z) u( x, y) iv( x, y) z x iy z0 x0 iy0
则
邻域内有定义, A是复常数. 若对任意给定的e >0, 存在d >0, 使得对一切满足0<|z-z0|<d 的z , 都有
f(z)Ae
成立, 则称当z趋于z0时, f(z)以A为极限，并记做 limf(z)A 或 f(z) A (z z0 ).
zz0
注意: 定义中zz0的方式是任意的.
几何意义
y
(z)
zz0
zz0
zz0
lim f (z)g(z) lim f (z) limg(z) AB
zz0
zz0
zz0
lim
f (z)
lim
zz0
f (z)
(limg(z) 0)
A
zz0 g(z) lim g(z) zz0
B
zz0
A 以上定理用极限定义证!
例1
证明 wx2 yi(xy2)在平面上处处. x2 y, x y2在平面上处处有极限
A 在复变函数中用两个复平面上点集之间的
对应关系来表达两对变量 u，v 与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观.
A 以下不再区分函数与映射（变换）。
例3 研究wz所构成的映 . 射
解 设 zr(co issin )rie
zr e i —关于实轴对称的一个映射 Ø见图1-1~1-2
复变函数第二章解 析函数
§2.1 复变函数的概念、极限 与连续性
复变函数的概念
& 1. 复变函数的定义 & 2. 映射的概念 & 3. 反函数或逆映射
1. 复变函数的定义—与实变函数定义相类似
定义2.1设E是复平面上的点集, 若对任何z=x+iyE, 都存在一个或几个复数w=u+iv和z对应, 则称在 E上 确定了一个复变函数，用w=f (z)表示.
y (z)
v (w)
o
x
o
u
图1-1
y、v (z)、(w)
y、v (z)、(w)
o
x、u
x、u
图1-2
o 图2
例5 研究w z2 所构成的映. 射
y (z)
v (w)
w z2
2
o
x
o
u
y (z)
v (w)
w z2
w z2
o
6
x w z2 o
3
u
x2 y2 4
3. 反函数或逆映射
例 设 z=w2 则称w z为z=w2的反函数或逆映射
例4 研究weiz (实常数）所构成的. 映射
解 设 z ri e w e i z e i ri e ri( e )
w uiv (co issin )x (i)y (xco sysin )i(xsin ysin ) 即，
uxcos ysin vxsinysin
—旋转变换(映射)
Ø见图2
2k
w z ze 2 (k0,1)∴为多值函数,2支.
定义 设 w =f (z) 的定义集合为E，函数值集合为G， 那么
则称z=φ(w)为w=f(z)的反函数（逆映射）.
复变函数的极限与连续性
& 1. 函数的极限 & 2. 相关定理 & 3.函数的连续性
复变函数的极限
定义2.2 设复变函数w=f(z)在z0的某个去心
设 zx i,y 则 x1(z z)y ,1(z z)
2
2 i
f (z) z 1 z
2. 映射的概念 ——复变函数的几何意义
在几何上， w=f(z)可以看作：
称 w为 z的象 (映点 )， 象z而 称w 为 的原象。
y
(z)
v
(w)
w=f(z)
E w=f(z)
z
G w
o
x
o
u
•复变函数的几何意义是一个映射（变换）
arg z 在负实轴
y (z) z
P(x,0)
ox
z
上不连续。
定理2.3 连续函数的和、差、积、商 (分母不为0) 仍为连续函数;
定理2.4 连续函数的复合函数仍为连续函数。
定理2.5 设 f ( z ) u ( x ,y ) i v ( x ,y ) ,则 f (z)
在 z0x0iy0处连续的充分必要条件是 u(x, y), v( x, y) 都在 ( x0, y0 ) 点连续.