《三角恒等变换》复习课(课堂PPT)

4
3.（原创题）函数f（x）＝sin2
2x
π 4
－1的
最小正周期为（ ）
A．π B． π C．π D．2π
4
2
答案：B 解1 s析in：4x由－于1f（，x所）以＝最si小n2正2x周 π4 期－为1＝2π1
cos
π
4x
π 2
2
。
－1＝
2
2
42
4．（2011浙江宁波高一期中检测）
若 sin A． 7
α22
2sin
α2－cos
α 2
sin ＝－
α2＋cos
α 2＋sin
α2－cos
α 2
2
2
＝－ 2cos α2。
点评：1±sin α和1±cos α都可以通过升幂而转化为完全平方式， 如果需要开方，则一定要注意角的范围，必要时需进行讨论。
专题三：三角恒等式的证明
三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条 件恒等式。
1－tan2
α＝12cos2 2
αtan
α
＝12sin αcos α＝14sin 2α。
专题四：三角变换的综合应用
【例7】 已知 A、B、C 三点的坐标分别是 A（3，0）、B（0，3）、 C（cos α，sin α），其中π2＜α＜32π。 （1）若 |A→C|＝|B→C|，求角 α 的值； （2）若A→C·B→C＝－1，求2sin1＋2α＋tansinα 2α的值。
检测题
1.（2011北京高一期末检测）已知角α的终边经
过点P（1， ）3，则cos 2α的值为（ ）
A． 1 2
B． 3 2
C． 1
2
D． 3 2
答案：A 解析：依题意知，cos

偶函数
A sin( x ) 的图象（A>0, 2、函数 y
第一种变换:
>0 )
y sin( x )
y sin x
图象向左( 向右(
0
)或
1 1)或缩短( 1)到原来的 横坐标伸长( 0 纵坐标不变
纵坐标伸长(A>1 )或缩短( 0<A<1 )到原来的A倍


例3:已知函数
2 2 y sin x 2 sin x cos x 3 cos x , x R ,
求：⑴函数的最小正周期；⑵函数的单增区间；⑶函数的最大值 及相应的x的值； ⑷函数的图象可以由函数 的图象经过怎样的变换得到。 y 2 sin 2 x ,x R
2 2 2 y sin x 2 sin x cos x 3 cos x 1 sin 2 x 2 cos x 解： 1 sin 2 x cos 2 x 1 2 2 sin( 2 x ) 4 2 ⑴ T 2 3 k x k , k Z ⑵由 2 k 2 x 2 k , 得
3 函数的单增区间为 [ k , k ]( k Z ) 8 8 2 x 2 k , 即 x k ( k Z ) 时 , y 2 2 ⑶当 最大值 4 2 8 y 2 sin( 2 x ) 2x 图象向左平移 8 个单位 ⑷ y 2sin 4
1
2 -1
o
2

3 2
2 x

2 -1

3 2
2 x
R [-1，1] T=2
R


[-1，1] T=2

5
2．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°( ) A．cos 100° B．sin 100°
3
1
C. 2
D.2
解析：cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°＝cos(65°－35°)
＝cos 30°＝ 23.
答案：C
6
3．cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°的值为( )
21
归纳升华 给值求值问题的解题策略
1．从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函 数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与 所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角 的变换．
22
α＋ β 2．常见角的变换：(1)α＝(α－ β )＋ β；(2)α＝ 2 α－ β ＋2； (3)2α＝(α＋ β )＋(α－ β )；(4)2 β ＝(α＋ β )－(α－ β )．
A．－12
B.12
C.
3 2
D．－
3 2
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝________．
12
解析：(1)原式＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23°＝
cos(83°－23°)＝cos 60°＝12.
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝
cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°＝
cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝
2 2.
答案：(1)B
(2)
2 2
13
归纳升华 两角差的余弦公式常见题型及解法
1．两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式 直接展开求解．

2
α是 的二倍角,
2是的二倍角，在倍角公式cos 2α=1－2sin2α中，利用换
元法，

用代替2，用
2
代替，得
cos α=1－2sin2

2
1－
2
=
2
2
新知探究
同理，在倍角公式cos

2
2α=2cos α－1中，用代替2，用
cos

2
α=2
2
−1
2
1+
(1)sin αcos β＝
2
(2)sin θ＋sin φ=2sin θ＋φcos θ－φ
2
2
思考1:(2)式与(1)式有什么相同点和不同点？
θ＋φ
θ－φ
(换元法)如果我们令α＝
，β＝
,
2
2
θ＋φ θ－φ
θ＋φ θ－φ
即α＋β＝
+
= ，α－β＝
=φ，代入(1)中得
2
2
2
2
θ＋φ
θ－φ
2sin
cos
＝sin θ＋sin φ
(＋)＋(－)
同理，我们还可以得到公式
cos αsin
cos αcos
1
β＝
2
1
β＝
2
(＋)－(－)
(＋)＋(－)
1
2
sin αsin β＝ (－)－(＋)
我们把以上四个公式叫做“积化和差公式”
例2、求证：
1
[sin(α＋β)＋sin(α－β)]

2

2

2
， 2 ，2 .
新知探究
例1、试以cos α表示2

例3 :已知 A、B、C是△ABC三内角，向量
m (1 , 3) , n (cos A , sin A) , m n 1 .
（1）求角
A；（2）若
1 sin2B cos2 B sin2
B
3
,
求
tanC
.
解：(1) m n 1 ,
(1 , 3 ) (cos A , sin A) 1 ,
tan2 sin Asin B tan (sin Acos B cos Asin B) cos Acos B 2
5
典型例题
tan2 sin Asin B tan sin( A B) cos Acos B 2 ①
5
因为 C 3π ，A＋B＝ π ， 所以 sin(A＋B)＝ 2 ，
θ
为第二象限角，若
tan
π 4
1 2
，则
sin θ＋cos θ＝__________.
分析：由 tan
π 4
1 1
tan tan
1 ，得 2
tan
θ＝ 1 ， 3
即 sin θ＝ 1 cos θ. 3
将其代入 sin2θ＋cos2θ＝1，得 10 cos2 1 .
9
因为 θ 为第二象限角，所以 cos θ＝ 3 10 ，sin θ＝ 10 ，
4
4
2
因为 cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，
即 3 2 －sin Asin B＝ 2 ，解得 sin Asin B＝ 3 2 2 2 .
5
2
5 2 10
由①得 tan2 5 tan 4 0
解得 tan 1或tan 4.
变式3：
（2013·辽宁理）设向量 a

θ π θ (2)由 θ∈(0，π)，得 0< < ，∴cos >0. 2 2 2 因此 2＋2cosθ＝ θ 4cos ＝2cos . 2 2
2θ
θ θ 又(1＋sinθ＋cosθ)(sin －cos ) 2 2 θ θ θ θ 2θ ＝(2sin2cos2＋2cos 2)(sin2－cos2) θ θ θ θ ＝2cos2(sin22－cos22)＝－2cos2cosθ.
第三章 三角函数、三角恒等变换、解三角形
第五节 ►►三角恒等变换
读教材· 抓基础
研考点· 知规律
拓思维· 培能力
高考这样考 1.主要考查利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角 公式进行化简、求值． 2.考查形式既有选择题、填空题，也有解答题，且常与三角函 数的性质、向量、解三角形的知识相结合命题.
备考这样做 1.牢记和角公式、倍角公式把握公式特征． 2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、 正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键.
D 读教材· 抓基础
回扣教材 扫除盲点
课 本 导 读 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C(α－β)：cos(α－β)＝
【思维启迪】
π (1)可利用配角公式得到 sin(θ＋ )的值，结合 4
答案
3
Y 研考点· 知规律
探究悟道 点拨技法
题型一 【例 1】
三角函数式的化简
化简：(1)sin50° (1＋ 3tan10° )；
θ θ 1＋sinθ＋cosθsin －cos 2 2 (2) (0<θ<π)． 2＋2cosθ 【思维启迪】 (1)切化弦，逆用两角和的正弦公式；
θ (2)统一为2的三角函数，变形化简．

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1－2sin2α 2cos2α－1
3．正弦的二倍角公式的变形
(1)sin
αcos
α＝12sin
2α，cos
sin 2α α＝___2_s_in__α__.
(2)1±sin 2α＝ (sin α±cos α)2 .
1－cos 2α 2
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15°cos 15°＝12sin 30°＝14.]
栏目导航
3.12－cos2π8＝________.
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课件－Leabharlann 2 4[12－cos2π8＝12－1＋2cosπ4
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记法
公式
S2α
sin 2α＝ 2sin αcos α
C2α
cos 2α＝ cos2α－sin2α
tan 2α＝ 2tan α
T2α

[解析] (1)f(x)＝61＋cos2x－ 3sin2x 2
＝3cos2x－ 3sin2x＋3
＝2 3( 3cos2x－1sin2x)＋3
2
2
＝2 3cos(2x＋π)＋3， 6
故 f(x)的最大值为 2 3＋3； 最小正周期 T＝2π＝π.
2
(2)由f(α)＝3－2 3，得2 3cos(2α＋π6)＋3＝3－2 3， 故cos(2α＋6π)＝－1. 又由0<α<2π，得π6<2α＋6π<π＋π6， 故2α＋6π＝π，解得α＝152π. 从而tan45α＝tanπ3＝ 3.
三角恒等变换复习
基本思想：
理解三角函数中的4个“三”：
（1）从知识层面看：三角函数公式系统的三条主线 ——同角关系式、诱导公式、变换公式（和、差、 倍角）.
（2）从问题层面看：三角变换三大问题——求值、化 简、证明.
（3）从方法层面看：“三个统一”——解决三角函数 问题时要从“统一角度、统一函数名、统一运算 结构”方面思考.
2．三角函数式化简的基本技巧．
(1)sinα，cosα→凑倍角公式．
(2)1±cosα→升幂公式．
(3)1±sinα化为 1±cos(π±α)，再升幂或化为(sinα±cosα)2.
2
22
(4)asinα ＋ bcosα→ 辅 助 角 公 式 asinα ＋ bcosα ＝
a2＋b2sin(α＋φ)，其中 tanφ＝b
故cosβ＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα ＝(－1114)×17＋5143×4 7 3＝12.
专题三 三角恒等式的证明 1．三角恒等式的证明问题主要有两种类型：不附加条件 的恒等式证明和条件恒等式证明． (1)不附加条件的恒等式证明． 就是通过三角恒等变换，消除三角等式两端的差异，这是 三角变换的重要思想之一．证明的一般思路是由繁到简，如果 两边都较繁，则采用左右互推的思路，找一个桥梁过渡．

1、只要有坚强的意志力，就自然而然地会有能耐、机灵和知识。2、你们应该培养对自己，对自己的力量的信心，百这种信心是靠克服障碍，培养意志和锻炼意志而获得的。 3、坚强的信念能赢得强者的心，并使他们变得更坚强。4、天行健，君子以自强不息。5、有百折不挠的信念的所支持的人的意志，比那些似乎是无敌的物质力量有更强大 的威力。6、永远没有人力可以击退一个坚决强毅的希望。7、意大利有一句谚语：对一个歌手的要求，首先是嗓子、嗓子和嗓子……我现在按照这一公式拙劣地摹仿为：对 一个要成为不负于高尔基所声称的那种“人”的要求，首先是意志、意志和意志。8、执着追求并从中得到最大快乐的人，才是成功者。9、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 10、发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚持自己发现的意志，并把研究继续下去。11、我的本质不是我的意志的结果， 相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志。12、公共的利益，人类的福利，可以使可憎的工作变为可 贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。13、立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶，叶而后花。14、意志的出现不是对愿 望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识水平上。15、无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。16、即使 遇到了不幸的灾难，已经开始了的事情决不放弃。17、最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。18、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下 去。19、意志若是屈从，不论程度如何，它都帮助了暴力。20、有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。21、意志坚强，就战斗的人，才能取得胜利。23、卓越的人的一大优点是：在不利和艰难的遭遇里百折不挠。24、疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。25、能 够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。26、钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的，所以才能坚硬和什么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中 锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。27、只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。28、立志不坚，终不济事。29、功崇惟志，业广惟勤。30、一个崇高 的目标，只要不渝地追求，就会居为壮举；在它纯洁的目光里，一切美德必将胜利。31、书不记，熟读可记；义不精，细思可精；惟有志不立，直是无着力处。32、您得相 信，有志者事竟成。古人告诫说：“天国是努力进入的”。只有当勉为其难地一步步向它走去的时候，才必须勉为其难地一步步走下去，才必须勉为其难地去达到它。33、 告诉你使我达到目标的奥秘吧，我唯一的力量就是我的坚持精神。34、成大事不在于力量的大小，而在于能坚持多久。35、一个人所能做的就是做出好榜样，要有勇气在风 言风语的社会中坚定地高举伦理的信念。36、即使在把眼睛盯着大地的时候，那超群的目光仍然保持着凝视太阳的能力。37、你既然期望辉煌伟大的一生，那么就应该从今 天起，以毫不动摇的决心和坚定不移的信念，凭自己的智慧和毅力，去创造你和人类的快乐。38、一个有决心的人，将会找到他的道路。39、在希望与失望的决斗中，如果 你用勇气与坚决的双手紧握着，胜利必属于希望。40、富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈。41、生活的道路一旦选定，就要勇敢地走到底，决不回头。42、生命里最重 要的事情是要有个远大的目标，并借助才能与坚持来完成它。43、事业常成于坚忍，毁于急躁。我在沙漠中曾亲眼看见，匆忙的旅人落在从容的后边；疾驰的骏马落在后头， 缓步的骆驼继续向前。44、有志者事竟成。45、穷且益坚，不坠青云之志。46、意志目标不在自然中存在，而在生命中蕴藏。47、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。 48、思想的形成，首先是意志的形成。49、谁有历经千辛万苦的意志，谁就能达到任何目的。50、不作什么决定的意志不是现实的意志；无性格的人从来不做出决定。我终 生的等待，换不来你刹那的凝眸。最美的不是下雨天，是曾与你躲过雨的屋檐。征服畏惧、建立自信的最快最确实的方法，就是去做你害怕的事，直到你获得成功的经验。 真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。生活真象这杯浓酒，不经三番五次的提炼呵，就不会这样可口！人格的完善是本，财富的确立是末能力可以慢 慢锻炼，经验可以慢慢积累，热情不可以没有。不管什么东西，总是觉得，别人的比自己的好！只有经历过地狱般的折磨，才有征服天堂的力量。只有流过血的手指才能弹 出世间的绝唱。对时间的价值没有没有深切认识的人，决不会坚韧勤勉。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。不要因为寂寞而恋爱，孤独是为了幸福而 等待。每天清晨，当我睁开眼睛，我告诉自己：我今天快乐或是不快乐，并非由我所遭遇的事情造成的，而应该取决于我自己。我可以自己选择事情的发展方向。昨日已逝，

π 0<α<2.
因为 tan2α＝1－2tatannα2α＝12－×13132＝34>0，所以 0<2α<π2，所以 tan(2α－β)＝1t＋an2taαn－2αttaannββ＝
1－34＋34×17 17＝1.因为 tanβ＝－17<0，所以π2<β<π，所以－π<2α－β<0，所以 2α－β＝－34π.
三角函数的求值思路：(1) 先化简所求式子；(2) 观察已知条件与所求式子之间的 联系(从三角函数名及角入手)；(3) 将已知条件代入所求式子，化简求值．
三角函数的求角思路：(1) 先求角的某一个三角函数值；(2) 确定角的取值范围；(3) 根据角的取值范围写出所求的角的大小．
(1) 计算：cosπ9·cos29π·cos－239π＝__－__18____.
第2课时 三角恒等变换
研题型 ·融会贯通
分类解析
目标 1 三角函数式的化简
(1)
当
π<α<2π
1＋sin 时，化简：
α＋2c＋os2αcossiαnα2－cosα2＝__c_o_s_α___.
【解析】 原式＝2cos2α2＋2sinα2cosα2sinα2－cosα2 4cos2α2
＝2cosα2cosα2＋sinα2αsinα2－cosα2 2cos2
目标 3 辅助角公式应用 (2020·武汉一模)已知函数 f(x)＝ 3sin 2x－2cos2x＋1(x∈R)．
(1) 求 f(x)的单调增区间； (2) 当 x∈－π6，π4时，求 f(x)的值域． 【解答】 (1) f(x)＝ 3sin 2x－2cos2x＋1＝ 3sin 2x－cos 2x＝2sin2x－π6， 令 2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2(k∈Z)， 得 kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)， 故函数 f(x)的单调增区间为kπ－π6，kπ＋π3(k∈Z)．

C
S S
C
C 2
C S
22
S 2
T
T2
T
2
T
2、辅助角公式
这个公式
有什么作
asixnbcoxs
用？
a2 b2
(
a
b
six n
cox)s
a2b2
a2b2
a2 b2 (co sis xn sin co x)s
a2 b2 sinx().
其 由 中 sin b ， co s a 确 . 定
A . 64 25
B . 48 25
C.1
D . 16 25
4 .已 ta 知 n 1 2 ,ta n )( 5 2 ,则 ta n 2 ( )等 （于 C ）
A. 1 4
B.1 8
C. 1 12
D. 1 12
sin 70co1s5 0si8 n0 5.co7s0si1 n5 0si8 n0
课后延伸
高考链接
1.(200四 7 川1理7)
已知cos 1,cos()13,且0.
7
14
2
（1）求tan2的值；
（2）求.
2 .， 为c 锐 o s ) 角 1 (,c 22 o ， s) (3 ,求 co 的 s . 值
13
5
3.已知函f(x数 )2cos(x)(其中 0,xR)的最小正周 10期 . 为
题型二、给值求值问题
例 1.已c知 os4,sin5,180 0270,0
5
13
90 0180,求 0co (s).
33
65 变式练习
已c知 os3,(,)求 , cos().
52
4

电磁学
在电磁学中，三角恒等变换可以用来描述电场和 磁场的变化规律。
光学
在光学中，三角恒等变换可以用来描述光的干涉 和衍射等现象。
05
总结与展望
总结
内容详尽
该PPT详细讲述了三角恒等变换的基本概念、公式和技巧，内容 全面且易于理解。
实用性强
通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握三角恒等变换的运用， 提高解题能力。
揭示函数性质
通过三角恒等变换，可以 进一步揭示三角函数的性 质和特点，为研究三角函 数提供有力的工具。
三角恒等变换的应用
解析几何
在解析几何中，常常需要 用到三角恒等变换来研究 点、线、圆等几何对象的 性质和位置关系。
微积分
在微积分中，三角恒等变 换被广泛应用于解决与极 坐标有关的问题，如计算 面积、体积等。
等变换的应用。
感谢您的观看
THANKS
总结词
利用泰勒级数展开式，将一个函数展开成幂级数形式。
详细描述
泰勒级数展开式是一种将一个函数展开成幂级数形式的方法。通过选择不同的幂级数展开式，我们可以得到不 同的形式的结果。在三角恒等变换中，我们常常利用泰勒级数展开式来进行幂级数展开式的计算，从而得到我 们需要的结论。
04
三角恒等变换在解题中的 应用
在几何中的应用
证明三角形全等
利用三角恒等变换可以证明两 个三角形全等，从而得出它们
的对应边和对应角相等。
计算角度和长度
通过三角恒等变换，可以计算出 三角形中的角度和边的长度，以 及三角形的高和中线等。
证明平行和垂直
利用三角恒等变换可以证明两条直 线平行或垂直，从而得出线段之间 的比例关系。
在代数中的应用
积化和差与和差化积公式可以将两个角度的积与和差表示为只含有一个角度的三角函数形式。积化和 差与和差化积公式可以用于解决一些涉及两个不同角度的乘积或和差的问题，例如求两个角的积、证 明恒等式等。