大学物理机械振动ppt

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大学物理机械振动和机械波ppt课件

2024/1/26
12
03
驻波形成条件及其性质分析
Chapter
2024/1/26
13
驻波产生条件及特点描述
产生条件
两列沿相反方向传播、振幅相同、频率相同的波叠加。
特点描述
波形不传播，能量在波节和波腹之间来回传递，形成稳定的振动形态。
2024/1/26
14
驻波能量分布规律探讨
能量分布
驻波的能量主要集中在波腹处，波节处能量为零。
2024/1/26
16
04
多普勒效应原理及应用举例
Chapter
2024/1/26
17
多普勒效应定义及公式推导
2024/1/26
定义
当波源与观察者之间存在相对运动时，观察者接收到的波的频率会发生变化，这种现象称为多普勒效应。
公式推导
设波源发射频率为f0，波速为v，观察者与波源相对运动速度为vr，则观察者接收到的频率为f=(v±vr)/v×f0，其中“+”号表示观察者向波源靠近，“-”号表示观察者远离
Chapter
2024/1/26
25
非线性振动概念引入和分类
非线性振动定义
描述系统振动特性不满足叠加原理的振动现象。
分类
根据振动性质可分为自治、非自治、周期激励和随机激励等类型。
与线性振动的区别
线性振动满足叠加原理，而非线性振动则不满足。
2024/1/26
26Biblioteka 混沌理论基本概念阐述混沌定义
确定性系统中出现的内在随机性现象。
受迫振动
物体在周期性外力作用下所发生的振动。
共振现象
当外力的频率与物体的固有频率相等时，物体的振幅达到最大的现象。

大学物理振动

第二象限
P
A
M
第三象限
第一象限
x
第四象限
注意：旋转矢量在第3象限速度V〉0
第二象限
P
A
第三象限 M
第一象限
x
第四象限
注意：旋转矢量在第3象限速度V〉0
第二象限
P
A
第三象限
M
第一象限
x
第四象限
注意：旋转矢量在第3象限速度V〉0
第二象限
P
第三象限
A
M
第一象限
x
第四象限
注意：旋转矢量在第3象限速度V〉0
第二象限
第三象限
第一象限
P
A
x
M
第四象限
注意：旋转矢量在第4象限速度V〉0
第二象限
第三象限
第一象限
P
A
x
M
第四象限
注意：旋转矢量在第4象限速度V〉0
第二象限
第三象限
第一象限
A
M Px
第四象限
注意：旋转矢量在第4象限速度V〉0
第二象限
第三象限
第一象限
A
M Px
第四象限
第二象限第三象限
t=t
51
一、同方向同频率的简谐振动的合成
1、解析法
x1=A1cos( t+ 1) x2=A2cos( t+ 2)
合振动 :
x x1 x2 A1 cos( t 1) A2 cos( t 2 )
(A1 cos1 A2 cos2) cos t (A1 sin1 A2 sin2)sin t
Acos
d 2t l
令 g l 2 则有：
d 2 2 0

大学物理机械振动课件

当 = (2k+1) , k=0,±1,±2...
两振动步调相反,称反相
当0
2 超前于1 或 1 滞后于 2
位相差反映了两个振动不同程度的参差错落
三、简谐振动的旋转矢量表示法
t=t A
t+0
0
A t=0
o
x
x
x Acos(t 0 )
旋转矢量—— 确定和研究振动合成很方便
t
A
t=0
k J
R2
T 2 2 m J R2
k
例：已知某简谐振动的速度与时间的关系曲线如图所
示，试求其振动方程。解：设振动方程为
v(cms 1)
31.4
x Acos(t 0 )
15.7
v0 Asin0 15.7
0 15.7
1
t(s)
x0 Acos0 0
31.4
Q A vm 31.4
sin2 (
t
0 )
1 kA2 2
cos2 (t
0 )
谐振动的动能和势能是时间的周期性函数
动能
Ek
1 2
mv 2
1 2
kA2
sin2 (
t
0
)
Ek max
1 2
kA2
Ekmin 0
1
Ek T
t T t
Ek dt
1 4
kA2
势
Ep
1 2
kx 2
能
1 2
kA2
cos 2 ( t
0
)
E pmax , E pmin , E p
J
mgh
例4.1 证明竖直弹簧振子的振动是简谐振动（自学）
§4.2 简谐振动的运动学

大学物理知识点总结(振动及波动)省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件

2、波旳干涉（含驻波）。 3、波旳能量旳求法。 4、多普勒效应。
相位、相位差和初相位旳求法：解析法和旋转矢量法。
1、由已知旳初条件求初相位：
①已知初位置旳大小、正负以及初速度旳正负。
[例1]已知某质点振动旳初位置
y0
A 2
且v0
0
。
y A cos(t ) y Acos(t )
3
3
2
1
2
r2 r1
干涉加强： 2k (k 0,1,2,...)
若1 2 r2 r1 k
干涉减弱： (2k 1) (k 0,1,2,...)
若1 2
(2k 1)
2
3）驻波（干涉特例）能量不传播
波节：振幅为零旳点波腹：振幅最大旳点
多普勒效应：（以媒质为参照系）
所以y
2cos(πt 2
π3 );
(2)u
T
1,y
2cos[π(t 2
-
x)π3 ]
t(s)
[例2] 一平面简谐波在 t = 0 时刻旳波形图，设此简谐波旳频率
为250Hz，且此时质点P 旳运动方向向下 , 200m 。
求：1）该波旳波动方程；
2）在距O点为100m处质点旳振动方程与振动速度体现式。
动能势能相互转化
简谐振动旳描述
一、描述简谐振动旳物理量
① 振幅A：
A
x02
v02
2
② 角频率： k
ห้องสมุดไป่ตู้
2
m
T
③ 相位( t + ) 和初相：
tg v0 x0
旳拟定！！
④相位差： (2t 2 ) (1t 1 )
⑤周期 T 和频率 ν ： T 2

大学物理-机械振动

交通工具的不舒适
机械振动也会影响交通工具的舒适度，如火车、汽车等在行驶过程中产生的振动，会让乘客感到不适。
机械振动在工程中的应用
振动输送
利用振动原理实现物料的输送，如振动筛、振动输送机等。
振动破碎
利用振动产生的冲击力破碎硬物，如破碎机、振动磨等。
振动减震
在建筑、桥梁等工程中，采用减震措施来减小机械振动对结构的影响，提高结构的稳定性和安全性。
感谢您的观看
THANKS
机械振动理论的发展可以追溯到古代，如中国的编钟和古代乐器的制作。
近代发展
随着物理学和工程学的发展，人们对机械振动的认识不断深入，应用范围也不断扩大。
未来展望
随着科技的不断进步，机械振动在新能源、新材料、航空航天等领域的应用前景将更加广阔。
02
机械振动的类型与模型
简谐振动
总结词
简谐振动是最基本的振动类型，其运动规律可以用正弦函数或余弦函数描述。
机械振动在科研中的应用
振动谱分析
01
通过对物质在不同频率下的振动响应进行分析，可以研究物质
的分子结构和性质。
振动控制
02
通过控制机械振动的参数，实现对机械系统性能的优化和控制，
如振动减震、振动隔离等。
振动实验
03
利用振动实验来研究机械系统的动态特性和响应，如振动台实
验、共振实验等。
05
机械振动的实验与测量
根据实验需求设定振动频率、幅度和波形等参数。
启动实验
启动振动台和数据采集器，开始记录数据。
数据处理
将采集到的数据导入计算机，进行滤波、去噪和整理，以便后续分析。
绘制图表
将处理后的数据绘制成图表，如时域波形图、频谱图等，以便观察和分析。

大学物理机械振动ppt资料

x
o
to
o
t
t
上一页下一页
x Acost
A为位移振幅
v
dx dt
Asint
vm
cos(t
2
)
vm A为速度振幅
a
d2x dt 2
2 Acost
am
cos(t
)
am 2 A为加速度振幅
a 2x
上一页下一页
x （a）o
v （b）o
T
t1 t2
t1
t2
a （c）o
t1 t2
t3 t
（2）
将
动
力
学
方
程
变
为d 2x dt 2
2
x
0的
形
式
，
如果能化为这种形式，也就证明了振动为简谐振动。
（3）由动力学方程写出, 求出周期T或频率。
上一页下一页
例 . 确定单摆固有角频率及周期T。
解：根据牛顿第二定律
Ft mg sin
当很小时，sin
d 2
dt 2
g
l
0
ml
d 2
dt 2
mg
ml
l
et
d 2
m
dt2 Ft mg
单摆的小角摆
g
l
T 2 l
g
动是简谐振动
微分方程的解为 0 cost
上一页下一页
上一页下一页
例: 确定复摆 ( 5 )的固有周期T。
M mgl sin mgl
mgl
J
d 2
dt 2
o
d 2
dt 2

上海交通大学大学物理课件-机械振动

y A
y
F [(V0 yS)]g mg
A
O
(V0g mg) ySg
m
ySg
m
m
d2 y dt 2
ySg
d2 dt
y
2

Sg
m
y

0
Sg
m
[例7-4]质量为m的刚体可绕固定水平轴o摆动。设刚体重心
C到轴o的距离为b，刚体对轴o的转动惯量为J。试证刚体
T 2π
T 2π 2π m

k
T 2π
－由振子性质确定－固有周期
= 1/T (Hz) －谐振动的频率
T 2π 2π m

k
T 2π
－由振子性质确定－固有周期
= 1/T (Hz) －谐振动的频率
而 2π k
Tm
－谐振动的角频率
—2秒内的振动次数
t =1s时x =-2cm且向x正向运动，写出振动表达式。
A t=0
解：由题意，T = 2 s
t=1s 时的振动矢量如图所示。
t=0s 时的振动矢量方向应为

x
A1 矢量前1s时的旋转矢量。
（即半个周期前）
t = 1s
A1
与 A1 矢量夹角为，如图。时矢量位置
由图， = /3
x
=
4cos(t
第 7 章机械振动
物理系统受到外界扰动时，系统状态在平衡态附近往复变化－周期运动或称振动。
物理量（如位移、电流等）在某一数值附近反复变化。
振动有各种不同的形式：
•机械振动
L
•电磁振动
•微观振动(如晶格点阵

2024版大学物理PPT完整全套教学课件pptx

大学物理的研究对象和任务研究物质的基本结构、相互作用和物质最基本最普遍的运动形式及其相互转化规律的学科。

作为自然科学的带头学科，物理学研究大至宇宙、小至基本粒子等一切物质最基本的运动形式和规律。

它的理论结构充分地运用数学作为自己的工作语言，以实验作为检验理论正确性的唯一标准，它是当今最精密的一门自然科学学科。

03物理学是一门以实验为基础的自然科学，观察和实验是物理学的基本研究方法，通过实验可以验证物理假说和理论，发现新的物理现象和规律。

观察和实验理想模型是物理学中经常采用的一种研究方法，它忽略了次要因素，突出了主要因素，使物理问题得到简化。

建立理想模型数学是物理学的重要工具，通过数学方法可以精确地描述物理现象和规律，推导物理公式和定理。

数学方法大学物理的研究方法学习大学物理首先要掌握基本概念和基本规律，理解它们的物理意义和适用范围。

掌握基本概念和基本规律大学物理实验是学习物理学的重要环节，通过实验可以加深对物理概念和规律的理解，培养实验技能和动手能力。

注重实验和实践学习大学物理要注重培养物理思维，即运用物理学的方法和观点去分析和解决问题的能力。

培养物理思维大学物理涉及的知识面很广，包括力学、热学、电磁学、光学、原子物理学等，因此要拓宽知识面，掌握不同领域的知识。

拓宽知识面大学物理的学习方法和要求01位置矢量与位移02位置矢量的定义和性质03位移的计算方法和物理意义010203速度的定义、种类和计算加速度的定义、种类和计算速度与加速度质点运动的描述01运动学方程与运动图像02运动学方程的建立和求解03运动图像的绘制和分析圆周运动的描述圆周运动的定义和分类圆周运动的物理量描述1 2 3匀速圆周运动匀速圆周运动的特点和性质匀速圆周运动的实例分析01变速圆周运动02变速圆周运动的特点和性质03变速圆周运动的实例分析01 02 03参考系与坐标系参考系的选择和建立坐标系的种类和应用相对速度与牵连速度相对速度的定义和计算牵连速度的定义和计算01加速度合成定理与科里奥利力02加速度合成定理的内容和应用03科里奥利力的定义、性质和应用01牛顿第一定律物体在不受外力作用时，保持静止或匀速直线运动状态。

大学物理机械振动(课堂PPT)

k , k串k,串, k并k,并
m
.
12
上一页下一页
t :相位，或位相(r， ad)或相相位决定谐振子某
: t 0时的相,称位为初. 相一瞬时的运动状态
: 相位差,即两个相位之差。
1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状
态间变化所需的时间.
t t2
t1
(t2) (t1)
4 上一页下一页
要定义或证明一个运动是简谐振动，可以从是否满足下面三个方程之一为依据。
Fkx
d2x dt2
2x
0
动力学特点
x A c o t s
运动学特点
某物理量如果满足后两个方程，那么这个物理量
是简谐振动量。
.
5
上一页下一页
A （振幅决定谐振子运动的范围）
振子偏离平衡位大置位的移最的绝对 m）值
T
对于弹 :簧 k振 , T 子 2 m, 1 k
m
k 2 m
☆ 确定振动系统周期的方法：
（1）分析受力情F况 m，a或M 由J,写出动力学
（2）将动力学方dd2程 t2x变 2x为 0的形式，
如果能化为这种也形就式证，明了振动振为动
（3）由动力学方程 , 求写出出周T或期频率。
cos x0 0
A
sin v0 0
2
A
物体的振动 x方 0.1c程 o1st0 为： m
.
2 19
上一页下一页
振 A 幅矢 A 的量长
角频率矢量逆时针匀角速速度旋转的
周期 T矢量旋转一圈所 T需 2 时间
频率矢量单位时间内圈旋数转的P

大学物理-振动和波

t0
（静止）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
tT 4
12
3
4
5
67
8
（振动状态传 9 10 11 12 13 至4）
tT 2
（振动状 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 态传至7）
t 3T 4
（振动状
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 态传至10 )
各类波的本质不同, 但都伴有能量的传播, 都能产生反射、折射、干涉和衍射等现象, 且有相似的数学描述。
基本内容:
机械波的产生与传播机械波的几个特征量波动方程
波的叠加原理—（特例）波的干涉。
§16.1 机械波的产生与传播
一、产生机械波的条件
1、波源 2. 弹性媒质
二、机械波的分类
横波: 质点的振动方向和波的传播方向垂直特点: 具有波峰和波谷（如绳子上的波）
( k =0 、+ 1、+ 2 ...)
A1
A = A2+A1
相位相同
A2
（2）若φ 2 φ 1 =(2k+1)π 合振动减弱
( k =0 、+ 1、+ 2 ...)
A = A2 A1
相位相反
A2 A1
一般情形: 二分振动既不同相位也不反相位，合振动振幅在A1+A2与|A1-A2| 之间。
二、同方向、不同频率的两个谐振动的合成
x x1 x2 (A1Cos1 A2Cos2 )Cost (A1Sin1 A2Sin2 )Sint
令 A1Cos1 A2Cos2 ACos A1Sin1 A2Sin2 ASin

2024大学物理力学第八章机械振动

动contents •简谐振动•阻尼振动与受迫振动•振动的合成与分解•振动在介质中的传播•多自由度系统的振动•非线性振动与混沌目录01简谐振动简谐振动的定义与特点定义简谐振动是最基本、最简单的振动形式，指物体在跟偏离平衡位置的位移成正比，并且总是指向平衡位置的回复力的作用下的振动。

特点简谐振动的物体所受的回复力F与物体偏离平衡位置的位移x成正比，且方向始终指向平衡位置；振动过程中，系统的机械能守恒。

动力学方程根据牛顿第二定律，简谐振动的动力学方程可以表示为F=-kx，其中F为回复力，k为比例系数，x为物体偏离平衡位置的位移。

运动学方程简谐振动的运动学方程可以表示为x=Acos(ωt+φ)，其中A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相。

势能与动能在简谐振动过程中，系统的势能Ep和动能Ek都在不断变化，但它们的总和保持不变，即机械能守恒。

能量转换在振动过程中，势能和动能之间不断相互转换。

当物体向平衡位置运动时，势能减小、动能增加；当物体远离平衡位置时，势能增加、动能减小。

同方向同频率简谐振动的合成当两个同方向、同频率的简谐振动同时作用于同一物体时，它们的合振动仍然是一个简谐振动，其振幅等于两个分振动振幅的矢量和，其初相等于两个分振动初相的差。

同方向不同频率简谐振动的合成当两个同方向、不同频率的简谐振动同时作用于同一物体时，它们的合振动一般不再是简谐振动，而是比较复杂的周期性振动。

在某些特定条件下（如两个分振动的频率成简单整数比），合振动可能会呈现出一定的规律性。

相互垂直的简谐振动的合成当两个相互垂直的简谐振动同时作用于同一物体时，它们的合振动轨迹一般是一条复杂的曲线。

在某些特定条件下（如两个分振动的频率相同、相位差为90度），合振动轨迹可能会呈现出一定的规律性，如圆形、椭圆形等。

02阻尼振动与受迫振动阻尼振动的定义与分类定义阻尼振动是指振动系统在振动过程中，由于系统内部摩擦或外部介质阻力的存在，使振动幅度逐渐减小，能量逐渐耗散的振动。

大学物理第五章机械振动

A0 B C
提交
例题2. 弹簧振子放在光滑的水平面上，已知k=1.60N/m，m=0.4kg.
试就下列两种情形分别求运动方程. (1)将物体从平衡位置向右移到
x=0.10m处后释放; (2)将物体从平衡位置向右移到x=0.10m处后并给
物体以向左的速度0.20m/s.
解： k m 1.6 0.4 2rad s1
k
m
(1) t 0， x0 0.10m， v0 0
o
x
A
x02
v02
2
x0 0.10m
cos x0 1
A
0
x 0.1cos2t (m)
(2)
t
0，
x0
0.10m，
v0
0.20m/s
cos
x0
1
A
x02
v02
2
0.1
2m
A2
sin v0 0
A
x 0.1 2 cos(2t ) (m)
设弹簧振子在任一时刻 t 的位移为x，速度为v，则
振动系统所具有的弹性势能Ep和动能Ek分别为：
Ep
1 kx2 2
x Acos( t )
Ep
1 2
kA2
cos2 (
t
)
Ek
1 2
mv2
v A sin( t )
Ek
1 2
m 2 A2
sin2 (
t
)
2 k /m
1 kA2 sin2 ( t )
大加速度为 4.0 ms-2. 求：(1) 振动的周期；(2) 通过平衡位置的动
能；(3) 总能量；(4) 物体在何处其动能和势能相等？
解: (1) amax A 2

单摆机械振动的能量与合成.ppt

x＝Acos cos t Asin sin t
＝Acos t
1、应用解析法
x x1 x2
A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 )
＝A1 cos t 1 ＋A2 cos t 2
A1 cos1 A2 cos2 cos t A1 sin1 A2 sin2 sin t
二、同方向不同频率的简谐振动的合成
质点同时参与两个不同频率且在同一条直线上的简谐振动
A
x1 A1 cos 1t 1 x2 A2 cos 2t 2
2 A2
合振动假设Βιβλιοθήκη A1x A2
xA1 0，x12

2

0

1 A1
1 2 1 2

1 2
mA 2
2
sin2 t

＋ 1
2
kA2
cos2 t

简谐运动的能量与振幅的平方成正比
二、应用
•振幅
1 2
mv
2 0

1 2
kx02

1 2
kA2
•简谐运动方程
d2 x m v dt 2 k xv 0
d2x k dt 2 m x 0
d
dt Ek E p 0
x2 A12

y2 A22

2 xy A1 A2
cos 2
1

sin2 2
1
是个椭圆方程，具体形状由相位差决定。
讨论1
2 1 0
x2 y2 2xy A12 A22 A1 A2 0
y A2 x A1

大学物理机械波课件

能流密度
单位时间内通过垂直于传播方向上单位面积的能量，反映机械波传播过程中能量的流动情况。
衰减原因及影响因素分析
衰减原因
机械波在传播过程中，由于介质阻尼、内摩擦等因素导致能量逐渐转化为热能或其他形式的能量而耗散。
影响因素
介质性质（如密度、弹性模量等）、波的传播速度、波长以及环境温度等都会对机械波的衰减产生影响。
表面波和体波区别
1 2
传播范围表面波沿物体表面传播，能量集中在物体表面附近；体波在物体内部传播，能量分布在物体内部。
传播速度表面波的传播速度通常小于体波的传播速度。
3
影响因素
表面波的传播特性受物体表面形状、粗糙度等因素的影响较大；体波的传播特性受物体内部结构和成分等因素的影响较大。
色散现象和群速度概念
声子与格波关系
声子是格波的量子化形式，描述晶体中原子或分子的集体振动行为。声子与格波之间存在对应关系。
声子概念及其在固体物理中应用
声子概念
声子是描述晶体中原子或分子集体振动行为的量子化粒子，类似于光子在电磁场中的角色。
声子与热传导
在固体物理中，声子对热传导起到重要作用。晶体的热传导性能与声子的传播和散射行为密切相关。
机械波分类
根据质点振动方向与波传播方向的关系，机械波可分为横波和纵波。
波动现象与振动关系
波动现象
波动是振动在介质中的传播过程，表现为质点在平衡位置附近的往复运动。
振动与波动关系
振动是波动的起因，波动是振动的传播。无振动则无波动，有波动则必有振动。
传播介质与波速关系
传播介质
机械波需要在介质中传播，介质可以是固体、液体或气体。
干涉、衍射和叠加原理

大学物理课件0机械振动[优质ppt]

1 4
kA2
1
Ek Ep 2 E
在一个周期内的平均动能与平均势能相
等，各是总能量的一半。
10.3 简谐运动的合成
一、同频率同方向简谐振动合成
特点: ω1=ω2=ω , x1 // x2 表示: 对如下两个振动
x1 A1 cos(t 1)
x2 A2 cos(t 2)
简谐函数形式，称为简谐运动。
弹簧振子单摆复摆
二、基本特征
以弹簧振子为例, 振子受力是
F kx
由牛顿第二定律得
F弹 x
a

d2x dt 2

F m

k m
x

2x
ox
式中: 2 k (ω称为角频率）
m
物体受力和加速度与位移 x 成正比,
且方向相反（动力学特征）
上式可以改写为微分方程形式
对同频情况：φ φ2 φ1
1o Δ 反映两振动的步调情况： Δ =0（或2π整数倍)，同步振动 Δ =π（或π奇数倍），振动步调相反 Δ >0, x2振动超前; Δ <0, x1振动超前
2o 两振动到达同一状态的时间差是
(ωt2 φ2 ) (ωt1 φ1 )

t

振动：任何一个物理量在某一数值定附近作周期性的变化，称为振动；义
机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动，称为机械振动。
M (t T ) M (t) x(t T ) x(t)
简谐振动；简谐振动合成；阻尼振动、受迫振动、共振。
10.1 简谐运动
一、简谐运动（Simple Harmonic Motion) 物体在一定位置附近的位移变化满足

大学物理机械振动(1)

amax 20 s1
A
T 2 π 0.314 s
（2）Ek,max
1 2
mv2 max
1 2
m 2 A2
2.0103 J
2021/8/10
第五章机械振动
25
25
物理学
第五版
5-3 简谐运动的能量
已知 m 0.10 kg，A 1.0102 m，
a 4.0 m s2 求:(3) 总能量E； max (4)何处动势能相等?
物理学
5-1 简谐运动振幅周期和频率相位
第五版
第五章
机械振动
2021/8/10
第五章机械振动
11
物理学
5-1 简谐运动振幅周期和频率相位
第五版
选择进入下一节：
5-0 教学基本要求 5-1 简谐运动振幅周期和频率相位 5-2 旋转矢量 5-3 简谐运动的能量 5-4 一维简谐运动的合成拍现象
5-2 旋转矢量
t 1.0 s 代入上式得 x 0.069 m
F kx m 2x 1.70 103 N
m 0.01 kg
0.08 0.04
v o 0.04
x/m
0.08
2021/8/10
第五章机械振动
14
14
物理学
第五版
5-2 旋转矢量
（2）由起始位置运动到x = -0.04 m处所需
2021/8/10
第五章机械振动
5
5
物理学
第五版
5-2 旋转矢量
y
vm t π
2
t an
A
O
a
v
x
vm A v A cos(t )

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k1 k2
两弹簧并联 k k1 k2
kx1x1
x1
k2 x2 x2
x2
k1
k1 k2
x
d2x dt 2
k m
x
0
若k1
k 2，则k
k1 2
若k1 k2，则k 2k1
上一页下一页
k,
m
k串 k,串 ,
k并 k,并
上一页下一页
t : 相位，或位相，或相(rad) 相位决定谐振子某
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Fm
ox
x
弹簧原长时小球所在处(平衡位置)为坐标原点.
d2x F kx m dt2
令 k 2
m
d2x dt 2
k m
x
0
d2x dt 2
2
x
0
x Acost 振动方程
由系统本身性质决定,与外界无关。
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要定义或证明一个运动是简谐振动，可以从是否满足下面三个方程之一为依据。
mgl J
0
转动正向
l
*C
令 2 mgl , mgl
J
J
T 2 2 π
J mgl
mg
（ C点为质心）
m cos(t )
上一页下一页
讨论：已知k1和k2，求两弹簧串联后的等效劲度系数。
k1
P
k2 F m
ox
x
F
k2 x2
m
d2x dt 2
k1k2 k1 k2
x
m
d2 dt
x
2
两弹簧串联 k k1k2
d 2
dt 2
g
l
0
ml
d 2
dt 2
mg
ml
l
et
d 2
m
dt2 Ft mg
单摆的小角摆
g
l
T 2 l
g
动是简谐振动
微分方程的解为 0 cost
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上一页下一页
例: 确定复摆 ( 5 )的固有周期T。
M mgl sin mgl
mgl
J
d 2
dt 2
o
d 2
dt 2
T 2
T 2
2)频率：单位时间内完成全振动的次数（Hz)
1 , 2 2
T
T
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3)角频率：2秒内完成全振动的次数（s-1)
2 2 （频率决定谐振动的频繁程度）
T
对于弹簧振子: k , T 2 m , 1 k
m
k
2 m
☆ 确定振动系统周期的方法：
（1）分析受力情况，由F ma或M J,写出动力学方程
2
(3)
cos
sin
x0
A v0
A
(4) ( tan v0 ) x0
注 :1.由(4)确定的值在 ~ 或0 ~ 2范围内
2.振幅不仅与振子的固有性质有关，还与初始条件有关。
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例. 一轻弹簧的下端挂一重物，上端固定在支架上，
弹簧伸长量l=9.8cm。如果给物体一个向下的瞬时冲击
周期T 矢量旋转一圈所需时间T 2
频率矢量单位时间内旋转的圈数相位(t ) t时刻矢量与x轴的夹角
P
P
t P0
初相 t 0时矢量与x轴的夹角 A
o
Ax
相位差两矢量A1, A2的夹角
t
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A1 A2
同相
A2 A1
k g 10(rad s1)
ml
初始条件：t 0时，x0 0，v0 1m s1
A
x02
v0
2
0
1
2
0.1m
10
cos x0 0
A
sin v0 0
2
A
物体的振动方程为：x 0.1cos10t m
2
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振幅A 矢量A的长
角频率矢量逆时针匀速旋转的角速度
F kx
d2x dt 2
2
x
0
动力学特点
x Acost
运动学特点
某物理量如果满足后两个方程，那么这个物理量是简谐振动量。
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A （振幅决定谐振子运动的范围）
振子偏离平衡位置的最大位移的绝对值（m）
1）周期 T ：完成一次全振动所需时间 (s)
Acos( t ) Acos[(t T ) ]
第二篇机械振动和机械波
第四章机械振动
(6.5.1)
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一、机械振动——物体在平衡位置附近的往复运动
m o
（a）单摆
m o
（b）扭摆
（d）浮体
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(1)、周期性 (2)、有一个平衡位置
(1)、回复力 (2)、惯性
振动——某物理量在定值上下往复变化二、研究简谐振动的意义（1）简谐振动是一种最简单的振动，容易研究。（2）复杂的振动是由简谐振动合成的。
落后
x
o
to
o
t
t
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x Acost
A为位移振幅
v
dx dt
Asint
vm
cos(t
2
)
vm A为速度振幅
a
d2x dt 2
2 Acost
am
cos(t
)
am 2 A为加速度振幅
a 2x
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x （a）o
v （b）o
T
t1 t2
t1
t2
a （c）o
t1 t2
t3 t
2
2
t3
t
T
t
T
t3 t
4
1, 将x t图左移T 便得v t图，再左移T 便得a t图。
4
4
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三、由初始条件确定振动的振幅和初相。
x Acost ,
v Asint
设t 0时，x x0，v v0
则
有v0x0AAcossin
(1) (2)
A
x02
v02
力，使它具有 1m s1的向下的速度，它就上下振动起
来。试证明物体是作简谐振动，并写出其振动方程式。
解 : 取物体的平衡位置为原点o，
向下为x轴正方g
k
x
l
m
d2 dt
x
2
整理可得
d2x dt 2
k m
x
0
由此可知物体作简谐振动。
v0 m
o
m
x
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当2 1时， 2 1
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若 2k , k 0，1， 2， 3 时, 称两个振动同相。
若 2k 1 , k 0，1， 2， 3 时, 称两个振动反相。
若t 2 t 1，称振动2超前于振动1。
若t 2 t 1，称振动2落后于振动1。
0同相 x
π 反相
x
超前
为其它
: t 0时的相位, 称为初相. 一瞬时的运动状态
: 相位差,即两个相位之差。
1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状
态间变化所需的时间. (t2 ) (t1 )
t
t2
t1
2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它
们间步调上的差异.（解决振动合成问题）
2t 2 1t 1 2 1t 2 1
（2）
将
动
力
学
方
程
变
为d 2x dt 2
2
x
0的
形
式
，
如果能化为这种形式，也就证明了振动为简谐振动。
（3）由动力学方程写出, 求出周期T或频率。
上一页下一页
例 . 确定单摆固有角频率及周期T。
解：根据牛顿第二定律
Ft mg sin
当很小时，sin

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