大学物理——机械振动

大学物理机械振动总结在物理学领域中，机械振动是指物体在受到外力作用后发生的周期性或非周期性的振动运动。

它是研究物体运动规律和能量传递的重要课题之一。

机械振动存在于我们日常生活的各个方面，从钟摆的摆动到汽车的悬挂系统，无处不体现着机械振动的存在。

首先，机械振动的基本特点是周期性。

在一个振动过程中，物体会在一定的时间间隔内不断重复同样的运动。

这种周期性运动可以用正弦函数或余弦函数来表达，而周期T则是振动的一个重要参数，表示一个完整振动过程所需要的时间。

其次，机械振动的频率是指单位时间内振动次数的多少。

频率f的倒数称为周期T，即T=1/f。

振动的频率越高，单位时间内振动次数越多，相应的周期也就越短。

频率与周期之间存在着倒数的关系，是彼此相互依存的。

频率和周期都是描述振动特征的重要参数，能够直观地表达出振动的快慢和紧凑程度。

再次，机械振动的振幅是指物体在振动过程中离开平衡位置的最大距离。

振幅越大，物体的运动范围也就越大，相应的振动能量也越大。

振幅与振动的能量之间存在着正相关的关系，振幅越大，能量传输的效果越明显。

此外，机械振动还有一个重要的参数叫做相位，用来描述物体在振动过程中的运动状态。

相位可以通过相位角来度量，它的变化范围在0到2π之间。

当相位角为0或2π时，物体达到最大振幅的正向运动；当相位角为π时，物体达到最大振幅的负向运动；当相位角为π/2或3π/2时，物体经过平衡位置，速度达到最大值。

机械振动的实际应用非常广泛。

例如，在建筑领域中，为了保证建筑物的稳定性和抗震性，需要对建筑结构进行振动分析和工程设计。

而在工业生产中，机械设备的振动也是一个重要的研究方向，可以通过合理的设计和调整来降低噪音和振动对设备和操作人员的影响。

此外，机械振动还有许多其他的应用，比如声学研究、航空航天技术等等。

总之，机械振动作为物理学领域中的一个重要分支，在科学研究和工程应用中都具有重要意义。

它的基本特征包括周期性、频率、振幅和相位等，这些特征参数可以用来描述和分析振动的规律和性质。

课程名称：大学物理授课班级：XX级XX班授课时间：2课时教学目标：1. 理解机械振动的概念，掌握简谐振动的特点。

2. 掌握机械振动的基本方程和运动规律。

3. 理解能量守恒原理在机械振动中的应用。

4. 能够分析简单的机械振动问题。

教学重点：1. 简谐振动的定义和特点。

2. 机械振动的基本方程和运动规律。

3. 能量守恒原理在机械振动中的应用。

教学难点：1. 简谐振动方程的推导和应用。

2. 能量守恒原理在复杂机械振动问题中的应用。

教学过程：第一课时一、导入1. 回顾初中物理中学过的振动和波的基本概念。

2. 提出问题：在物理学中，如何描述一个物体在平衡位置附近做周期性运动？二、新课讲解1. 机械振动的概念：物体在平衡位置附近做周期性运动的现象称为机械振动。

2. 简谐振动的定义和特点：- 定义：物体在回复力作用下，沿着某一方向做周期性运动。

- 特点：振动周期T与振幅A无关，振动方程具有正弦或余弦函数形式。

3. 简谐振动方程的推导：- 根据牛顿第二定律，推导简谐振动的微分方程。

- 解微分方程，得到简谐振动方程。

4. 机械振动的基本方程和运动规律：- 位置方程：x = A cos(ωt + φ)- 速度方程：v = -Aω sin(ωt + φ)- 加速度方程：a = -Aω^2 cos(ωt + φ)三、课堂练习1. 已知一个简谐振动的振幅为5cm，周期为4s，求该振动的频率和角频率。

2. 已知一个简谐振动的位置方程为x = 3cm cos(πt/2)，求该振动的速度和加速度。

四、小结1. 简谐振动的定义和特点。

2. 机械振动的基本方程和运动规律。

第二课时一、复习1. 回顾上节课所学内容，重点强调简谐振动的定义、特点、方程和运动规律。

二、新课讲解1. 能量守恒原理在机械振动中的应用：- 机械振动过程中，总能量保持不变。

- 机械能包括动能和势能，动能和势能之间可以相互转化。

2. 机械振动中能量守恒的推导：- 根据牛顿第二定律和简谐振动方程，推导机械振动中的能量守恒公式。

大学物理(第四版)课后习题及答案机械振动13 机械振动解答13-1 有一弹簧振子，振幅A=2.0×10-2m，周期T=1.0s，初相ϕ=3π/4。

试写出它的运动方程，并做出x--t图、v--t 图和a--t图。

13-1分析弹簧振子的振动是简谐运动。

振幅A、初相ϕ、角频率ω是简谐运动方程x=Acos(ωt+ϕ)的三个特征量。

求运动方程就要设法确定这三个物理量。

题中除A、ϕ已知外，ω可通过关系式ω=2π确定。

振子运动的速度T和加速度的计算仍与质点运动学中的计算方法相同。

解因ω=2π，则运动方程 T⎛2πt⎛x=Acos(ωt+ϕ)=Acos t+ϕ⎛⎛T⎛根据题中给出的数据得x=(2.0⨯10-2m)cos[(2πs-1)t+0.75π]振子的速度和加速度分别为v=dx/dt=-(4π⨯10-2m⋅s-1)sin[(2πs-1)t+0.75π] a=d2x/dt2=-(8π2⨯10-2m⋅s-1)cos[(2πs-1)t+0.75πx-t、v-t及a-t图如图13-l所示π⎛⎛13-2 若简谐运动方程为x=(0.01m)cos⎛(20πs-1)t+⎛，求：（1）振幅、频率、角频率、周期和4⎛⎛初相；（2）t=2s 时的位移、速度和加速度。

13-2分析可采用比较法求解。

将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式x=Acos(ωt+ϕ)作比较，即可求得各特征量。

运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入t值后，即可求得结果。

解（l）将x=(0.10m)cos[(20πs-1)t+0.25π]与x=Acos(ωt+ϕ)比较后可得：振幅A= 0.10 m，角频率ω=20πs-1，初相ϕ=0.25π，则周期T=2π/ω=0.1s，频率ν=1/T=10Hz。

（2）t= 2s时的位移、速度、加速度分别为x=(0.10m)cos(40π+0.25π)=7.07⨯10-2m v=dx/dt=-(2πm⋅s-1)sin(40π+0.25π)a=d2x/dt2=-(40π2m⋅s-2)cos(40π+0.25π)13-3 设地球是一个半径为R的均匀球体，密度ρ5.5×103kg•m。

大学物理-机械振动习题-含答案一、选择题1. 质点作简谐振动，距平衡位置 2。

0cm 时， ，则该质点从一端运动到 C )C:2.2s --- 加速度 a=4.0cm /s 另一端的时间为( A:1.2s B: 2.4sD:4.4sX ,22.2s.2上 2 42 •—个弹簧振子振幅为2 10 2m 当t 0时振子在x 1.0 10 2m 处，且向 正方向运动，则振子的振动方 程是：[A ]A : 1.2题图22 10 cos( t )m ；3’6)m； 3)m；2 10 2 cos( t2 10 2 cos( tD :2x 2 10 cos( t —)m；解：由旋转矢量可 以得出振动的出现初相为：？3 •用余弦函数描述一简谐振动，若其速度与时间 -1v (m.s )1.3题图t (s )—►o 1 —v 2 m vm如图示，则振动的初相位为: (v —t )关系曲线[A ]A: e ； B : 3 ； C ： 2 ；D : 2- ;E :「3丁6解：振动速度为：V V max Si n( t 0)t 0时,sin 01，所以。

-或。

2 6由知1.3图，t 0时，速度的大小是在增加，由旋转矢量图知，旋转矢量在 第一象限内，对应质点的运动是由正最大 位移向平衡位置运动，速度是逐渐增加的， 旋转矢量在第二象限内，对应质点的运动 是由平衡位置向负最大位移运动，速度是 逐渐减小的，所以只有。

-是符合条件的。

64 •某人欲测钟摆摆长，将钟摆摆锤上移 1毫 米，测得此钟每分快0。

1秒，则此钟摆的 ) B:30cm C:45cm丄理丁 160mm 30cm2 dT 2 ( 0.1)：、填空题1 •有一放置在水平 面上的弹簧振子。

振幅A = 2.0 X 0_2m 周期摆长为( A:15cm D:60cm 解：单摆周期 有： 他2 . g,两侧分别对「和l 求导，j*T = 0.50s ,根据所给初始条件,作出简谐振动的矢量图,并写出振动方程式或初位相。

5-1 有一弹簧振子，振幅m A 2100.2-⨯=，周期s T 0.1=，初相.4/3πϕ=试写出它的振动位移、速度和加速度方程。

分析 根据振动的标准形式得出振动方程，通过求导即可求解速度和加速度方程。

解：振动方程为：]2cos[]cos[ϕπϕω+=+=t TA t A x 代入有关数据得：30.02cos[2]()4x t SI ππ=+ 振子的速度和加速度分别是：3/0.04sin[2]()4v dx dt t SI πππ==-+ 2223/0.08cos[2]()4a d x dt t SI πππ==-+5-2若简谐振动方程为m t x ]4/20cos[1.0ππ+=，求： （1）振幅、频率、角频率、周期和初相； （2）t=2s 时的位移、速度和加速度.分析 通过与简谐振动标准方程对比，得出特征参量。

解：(1)可用比较法求解.根据]4/20cos[1.0]cos[ππϕω+=+=t t A x 得：振幅0.1A m =，角频率20/rad s ωπ=，频率1/210s νωπ-==， 周期1/0.1T s ν==，/4rad ϕπ=（2）2t s =时，振动相位为：20/4(40/4)t rad ϕππππ=+=+ 由cos x A ϕ=，sin A νωϕ=-，22cos a A x ωϕω=-=-得 20.0707, 4.44/,279/x m m s a m s ν==-=-5-3质量为kg 2的质点，按方程))](6/(5sin[2.0SI t x π-=沿着x 轴振动.求： （1）t=0时，作用于质点的力的大小；（2）作用于质点的力的最大值和此时质点的位置.分析 根据振动的动力学特征和已知的简谐振动方程求解，位移最大时受力最大。

解：（1）跟据x m ma f 2ω-==，)]6/(5sin[2.0π-=t x 将0=t 代入上式中，得： 5.0f N =（2）由x m f 2ω-=可知，当0.2x A m =-=-时，质点受力最大，为10.0f N =5-4为了测得一物体的质量m ，将其挂到一弹簧上并让其自由振动，测得振动频率Hz 0.11=ν；而当将另一已知质量为'm 的物体单独挂到该弹簧上时，测得频率为Hz 0.22=ν.设振动均在弹簧的弹性限度内进行，求被测物体的质量.分析 根据简谐振动频率公式比较即可。

一、教学目标1. 知识目标：（1）理解机械振动的概念，掌握振动的分类和特点。

（2）掌握简谐振动的基本概念、特征量及其相互关系。

（3）掌握谐振动的能量、运动学特征和动力学特征。

（4）了解振动合成、频谱分析、阻尼振动和受迫振动等概念。

2. 能力目标：（1）能运用简谐振动的基本理论解决实际问题。

（2）能分析振动系统的稳定性，掌握振动控制方法。

3. 情感目标：（1）激发学生对物理学的兴趣，培养学生严谨的科学态度。

（2）培养学生团队合作精神，提高学生的综合素质。

二、教学内容1. 机械振动的概念及分类2. 简谐振动的基本概念、特征量及其相互关系3. 简谐振动的能量、运动学特征和动力学特征4. 振动合成5. 频谱分析6. 阻尼振动和受迫振动三、教学过程第一课时1. 导入新课通过生活中的实例，如钟摆、弹簧振子等，引入机械振动的概念。

2. 讲解机械振动的分类及特点（1）机械振动的分类：自由振动、受迫振动、阻尼振动。

（2）自由振动的特点：周期性、等幅性、能量守恒。

3. 讲解简谐振动的基本概念、特征量及其相互关系（1）简谐振动的定义：物体在平衡位置附近作等幅、周期性、有规律的往复运动。

（2）简谐振动的特征量：振幅、周期、频率、相位。

（3）特征量之间的关系：T = 2π/ω，f = 1/T。

4. 讲解简谐振动的能量、运动学特征和动力学特征（1）能量：动能和势能。

（2）运动学特征：速度、加速度。

（3）动力学特征：弹性力、恢复力。

第二课时1. 讲解振动合成（1）同方向同频率谐振动的合成：叠加原理。

（2）同方向不同频率谐振动的合成：矢量合成。

（3）相互垂直的两个振动的合成：平行四边形法则。

2. 讲解频谱分析（1）频谱的定义：将信号分解为不同频率的成分。

（2）频谱分析的方法：傅里叶变换。

3. 讲解阻尼振动和受迫振动（1）阻尼振动：系统受到阻力作用，能量逐渐耗散。

（2）受迫振动：系统受到外部周期性力的作用，产生振动。

第三课时1. 课堂小结回顾本节课所学内容，强调重点和难点。

大学物理学中的机械振动是指物体在受到外力作用后，产生周期性的来回振动运动的现象。

以下是关于机械振动的一些基本概念和内容：
1. 振动的基本特征
-周期性：振动是一个周期性的过程，即物体在围绕平衡位置来回振动。

-频率：振动的频率指的是单位时间内振动的周期数，通常用赫兹（Hz）表示。

-振幅：振动的振幅是物体从平衡位置最大偏离的距离。

2. 单自由度振动系统
-弹簧振子：是一种经典的单自由度振动系统，由弹簧和质点组成，受到弹簧的恢复力驱使质点振动。

-简谐振动：在没有阻尼和外力干扰的情况下，弹簧振子的振动是简谐的，即振动周期固定，频率与系统的固有频率相关。

3. 振动的参数和描述
-角频率：振动描述中常用的参数之一，表示振动的快慢程度，与频率之间有一定的关系。

-相位：描述振动状态的参数，表示振动的相对位置或状态。

-能量：振动系统具有动能和势能，能量在振动过程中不断转换，影响着振动的特性。

4. 阻尼振动和受迫振动
-阻尼振动：在振动系统中存在阻尼，会导致振动逐渐减弱，最终趋于稳定。

-受迫振动：当振动系统受到外力周期性作用时，会产生受迫振动，其频率与外力频率相同或有关。

5. 振动的应用
-工程领域：振动理论在工程领域有着广泛的应用，如建筑结构的抗震设计、机械系统的振动分析等。

-科学研究：振动理论也在物理学、工程学、生物学等领域中发挥重要作用，帮助解释和研究各种现象和问题。

以上是关于大学物理学中机械振动的一些基本内容和相关概念，希望能帮助您更好地理解这一领域的知识。

习题7-1. 原长为m 5.0的弹簧，上端固定，下端挂一质量为kg 1.0的物体，当物体静止时，弹簧长为m 6.0．现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。

（g 取9.8）解：振动方程：cos()x A t ωϕ=+,在本题中，kx mg =，所以9.8k =；ω=== 振幅是物体离开平衡位置的最大距离，当弹簧升长为0.1m 时为物体的平衡位置，以向下为正方向。

所以如果使弹簧的初状态为原长，那么：A=0.1，当t=0时，x=-A ，那么就可以知道物体的初相位为π。

所以：0.1cos x π=+） 即)x =-7-2. 有一单摆，摆长m 0.1=l ，小球质量g 10=m .0=t 时，小球正好经过rad 06.0-=θ处，并以角速度rad/s 2.0=•θ向平衡位置运动。

设小球的运动可看作简谐振动，试求：（g 取9.8）（1）角频率、频率、周期；（2）用余弦函数形式写出小球的振动式。

解：振动方程：cos()x A t ωϕ=+ 我们只要按照题意找到对应的各项就行了。

（1）角频率： 3.13/rad s ω===，频率：0.5Hz ν=== ，周期：22T s π=== （2）根据初始条件：A θϕ=0cos可解得：32.2088.0-==ϕ，A所以得到振动方程：0.088cos 3.13 2.32t θ=-（）7-3. 一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体，最初用手将物体在弹簧原长处托住，然后放手，此系统便上下振动起来，已知物体最低位置是初始位置下方cm 0.10处,求：（1）振动频率；（2）物体在初始位置下方cm 0.8处的速度大小。

解：（1）由题知 2A=10cm ，所以A=5cm ；1961058.92=⨯=∆=-x g m K 又ω=14196==m k ,即 （2）物体在初始位置下方cm 0.8处，对应着是x=3cm 的位置，所以：03cos 5x A ϕ== 那么此时的04sin 5v A ϕω=-=± 那么速度的大小为40.565v A ω== 7-4. 一质点沿x 轴作简谐振动，振幅为cm 12，周期为s 2。

大学物理机械振动 篇一：大学物理——机械振动 第十章 机械振动 基本要求 1．掌握简谐振动的基本概念和描述简谐振动的特征量的意义及相互关系。

2．掌握和熟练应用旋转 矢量法分析与解决有关简谐振动的问题。

3．掌握简谐振动的动力学与运动学特征，从而判定一个运动是否为简谐振动。

4．理解简谐振动的 能量特征，并能进行有关的计算。

5．理解两个同振动方向、同频率的简谐振动的合成。

6．了解同振动方向不同频率的简谐振动的合成和相互垂直的两个振动的合成。

7．了解频谱分析、阻尼振动与受迫振动。

8．了解混沌的概念和电磁振荡。

10-1 简谐振动 一． 弹簧振子 ?? f??kx１． 弹性力：2．运动学特征： dxdt 22 特征方程： 2 ??x?0 式中 ?2?K m 其解： x?Acos(?t??) 二． 描述谐振动的物理量 １． ２． 振幅：A 角频率：?? km ３． 频率：?? ? 2?2? ４． ５． ６． 三． 周期：T? ? 相位：?t?? 初相位：? 谐振动中的速度和加速度 v? dxdt??A?sin(?t??)?vmcos(?t??? ? 2 ) a? dvdt ? dxdt 2 2 ??A? 2 cos(?t??)?amcos(?t????) 四． 决定?,A,?的因素 1．? 决定于振动系统，与振动方式无关； 2．A,?决定于初始条件： v0 22 公式法: A?分析法： x0? 2 ? ，??arctg(? v0 ?x0 ) x0?Acos? ? cos?? x0Av0 ??1,?2 { ?0(1,2 象限）?0(3,4 象限） v0??Asin??sin??? 六．谐振动的能量 Ek? 1212mv 2 A? ? 1212 m?Asin(?t??)2 2 222 Ep? kx 2 ?kAcos(?t??)?12 12 12 m?Acos(?t??) 222 E?Ek?Ep? kA 2 ? ?Am 22 Ek? 1T ?0 T 12 m?Asin(?t??)dt? 222 14 mA? 22 ? 14 kA 2 Ep?Ek 例１． 已知 t?0 时 x0? 例２． 已知 t?0 时 x0?0,v0?0,求?思考： １． 地球， M,R 已知， 中间开一遂道； 小球 m， 从离表面 h 处掉入隧道， 问， 小球是否作谐振动？ ２． 复 摆问题（I,m,lc 已知） d?dt 22 A2,v0?0,求? ? mglI c ??0 ３． 弹簧串、并联 串联： 1k?1k1 ?1k2 并联：k?k1?k2 10-2 谐振动的旋转矢量表示法 一、幅矢量法 1. 2. 作 x 轴，O 为平衡位置； ? A 在 x 轴上的投影点 P 作谐振动： x?Acos(?t??) 3. T? O ? A 以角速度?旋转一周，P 正好来回一次： 2? P P0 ? 二、参考圆法 1. 2.三、相位差 1. 同频率、同方向的两谐振动的相位差就是它们的初相差，即：????2??1 2. 超前与落后 例 1. 一物体沿 x 轴作简谐振动，振幅 A?12cm，周期 T?2s，t?0 时，位移为 6cm 且向 x 正方向运动，求： 1) 初位相及振动方程； 2) t?0.5s 时，物体的位置、速度和加速度； 3) x0??6cm 处，向 x 轴负方向运动时，物体的速度和加速度，以及从这一位置回到平衡位置所需的最 短时间； 例 2. 设有一音叉的振动为谐振动，角频率为??6.28?10s 2 ?1 以 O 为原点，A 为半径作圆，x 轴； 在图上根据已知求未知 ，音叉尖端的 振幅 A?1mm。

第五章 机械振动前言1. 振动是一种重要的运动形式2. 振动有各种不同的形式——机械振动:位移 x 随t 变化；电磁振动；微观振动广义振动:任一物理量(如位移、电流等)在某一数值附近反复变化。

3. 振动分类§5.1 简谐振动的动力学特征一、 弹簧振子的振动 二、谐振动方程 f = - k x x mk m f a -==令 2ω=m k 则有x dtxd a 222ω-== 即 0x dtx d 22=+2ω 其解为()()0t Acos t x ϕω+=振动 受迫自由 阻尼 无阻尼自由非谐 自由谐动mo x X 0 = 0 A x m o X 0 = Ax m o -A X 0 = -Aωt+ϕ解：选平板位于正最大位移处t=0(00=ϕ)，由πππω4212T2===则 t Acos4x π= t Acos4-16a 2ππ= （1）对物体 ma N -mg = t mAcos416mg ma -mg N2ππ+==物体对平板压力 t m Acos416--m g -N F 2ππ== （SI ）t cos41.28--19.62ππ=（N ）负号表示向上（2） N=0 时，物体离开平板。

即0t m Acos416m g 2=+ππ时，由（1）知当 -1t cos4=π时，N 最小，（即 当 x = -A 时）∴ 6.2116gm 16mg A 22≈==ππ（cm ）六 单摆如图所示，m 受合外力沿轨道切线方向分力θsin mg f t -=,负号表示力的方向与θ角的方向相反。

当 5<θ时θθmg mg f t -≈-=sin 有θθβmg dtd ml ml ma t -===22 即 022=θ+θlgdt d 令 l g =ω20222=θω+θdtd 所以，在角位移很小（ 5<θ）情况下，单摆的振动才是近似的简谐振动。

l g =ω ，gl T π=2 ，lgπ=ν21 。

讲 授 内 容 备 注第九章 振动 引言 1. 振动的概念（1）机械振动物体在某一确定位置附近作来回往复的运动称为机械振动。

如钟摆、发声体、开动的机器、行驶中的交通工具都有机械振动。

（2）广义振动概念 广义地说，一切物理量，包括非机械量的温度、电量、场强等量在一定值附近反复变化的过程均是振动。

例如：交流电压、电流的变化、无线电波电磁场的变化等等。

因此振动是自然界及人类生产实践中经常发生的一种普遍运动形式，其基本规律是光学、电学、声学、机械、造船、建筑、地震、无线电等工程技术中的重要基础知识。

2. 机械振动的特点（1）有平衡点。

（2）且具有重复性，即具有周期性。

3. 机械振动的分类 （1）按振动规律分： 简谐、非简谐、随机振动。

（2）按产生振动原因分： 自由、受迫、自激、参变振动。

（3）按自由度分： 单自由度系统、多自由度系统振动。

（4）按振动位移分： 角振动、线振动。

（5）按系统参数特征分： 线性、非线性振动。

第一节 机械振动、振幅、周期和相位 一、简谐振动1、概念 在右面的演示中，观察一小球的小角度摆动，小球上的指针在下面沿摆动垂直方向匀速移动的纸条上将划出一条余（正）弦曲线。

物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按余弦函数（或正弦函数〕的规律随时间变化，这种运动就叫简谐振动。

简谐振动（simple harmonic vibration ）是一种最简单最基本的振动，一切复杂振动均可看作多个简谐振动的合成，简谐振动是研究振动的基础。

2、简谐振动的动力学特征 (1)线性回复力以弹簧振子为例，它由劲度系数为k ，质量不计的轻弹簧和质量为m 的小球组成，弹簧一端固定，另一端连接小球。

当小球在无摩擦的水平面上受到弹簧弹性限度内的弹性力作用下，小球将作简谐振动，小球受到的弹性力： x k F -=，或 kx F -=这种力与位移成正比而反向，具有这种特征的力称为线性回复力。

可见当物体只在线性回复力或力矩作用下的运动必是简谐振动。