最全函数值域的12种求法(附例题,习题)[1]

函数值域十三种求法1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用)例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+=即当22222x 41-+=时，原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

求值域方法常用求值域方法(1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域对于一些比较简单的函数,如正比例，反比例，一次函数,指数函数，对数函数，等等, 其值域可通过观察直接得到。

例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域.例2、 求函数x 3y -=的值域。

【同步练习1】函数221xy +=的值域.（2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例1、求函数225,y x x x R =-+∈的值域.例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。

例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y .(配方法、换元法)例4、设02x ≤≤，求函数1()4321x x f x +=-+的值域．例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。

（配方法、换元法）例6、求函数x x y 422+--=的值域。

（配方法) 【同步练习2】1、求二次函数242y x x =-+-([]1,4x ∈)的值域。

2、求函数342-+-=x x e y 的值域.3、求函数421,[3,2]xx y x --=-+∈-的最大值与最小值。

4、求函数])8,1[(4log 2log 22∈⋅=x xx y 的最大值和最小值。

5、已知[]0,2x ∈，求函数12()4325x x f x -=-⋅+的值域。

6、若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。

（3)、换元法：(三角换元法）有时候为了沟通已知与未知的联系,我们常常引进一个(几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质,发现解题方向，这就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域．例1、求()f x x =+【同步练习3】求函数x x y 21--=的值域。

求函数值域（最值）的方法大全函数是中学数学的一个重点,而函数值域(最值)的求解方法更是一个常考点, 对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，因此能熟练掌握其值域(最值)求法就显得十分的重要，求解过程中若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。

本文旨在通过对典型例题的讲解来归纳函数值域(最值)的求法，希望对大家有所帮助。

一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 常见函数的值域：一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦.，反比例函数()0ky k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠. 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R. 二、求函数值域（最值）的常用方法 1. 直接观察法适用类型：根据函数图象.性质能较容易得出值域(最值)的简单函数例1、求函数y =211x +的值域 解： 22111,011x x +≥∴<≤+ 显然函数的值域是：(]0,1例2、求函数y =2－x 的值域。

解： x ≥0 ∴－x ≤0 2－x ≤2故函数的值域是：[-∞，2 ]2 、配方法适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

对于形如()20y ax bx c a =++≠或()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例3、求函数y=2x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。

函数值域的求法大全题型一求函数值：特别是分段函数求值1 2例 1 已知f (x) = -(x € R,且x 工一1) , g(x) = x + 2( x €R).1十—(1) 求f(2) , g(2)的值；(2) 求f [ g(3)]的值.” 1 1 1解(1) ••• f(x) = ,••• f(2)= =-.1 十x 1 +2 32又•/ g(x) = x 十 2,2•g(2) = 2 + 2= 6.2(2) ••• g(3) = 3 + 2= 11,1 1•-f[g(3)] = f(11) = 1—11 =悝.反思与感悟求函数值时，首先要确定出函数的对应关系f的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f[g(x)]型的求值，按由内到外”的顺序进行，要注意f[g(x)]与g[f(x)] 的区别.—十1跟踪训练4已知函数f(x)= .—十2(1) 求f(2) ； (2)求f[f(1)].—十 1 2 + 1 3解(1)•••f(x)= X+2，•f(2)= 2十2 = 4.1十1 2(2) f(1)=乐=3, f[f(1)]5.已知函数f (x)=—十x— 1.1(1) 求f(2) , f(—)；z\.(2) 若f (—) = 5,求—的值.解(1) f (2) = 22十 2— 1 = 5,21 1 1 1 十———f ( ) = 2 十—1 = 2 -------.XXX —2f2 3十15=f(3)=厂=8.3十2⑵■/ f (x) = x2+ x— 1 = 5,「. x2+ x— 6= 0,•- —= 2，或—=—3.⑶4.函数f (x)对任意自然数—满足f (x十1) = f (x)十1, f (0) = 1,则f (5) = ______答案 6解析 f (1) = f (0) + 1 = 1 + 1 = 2, f (2) = f (1) + 1 = 3,f (3) = f (2) + 1 = 4, f (4) = f (3) + 1 = 5, f (5) = f (4) + 1 = 6.二、值域是函数y=f （x ）中y 的取值范围。

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的知域为.点评：算术xx具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。

（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。

此时－x2+x+2=－（x－）2＋∈[0，∴0≤√－x2+x+2≤函数的值域是点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四．判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

函数值域求法十一种函数值域求法十一种1.直接观察法对于一些简单的函数，可以通过观察得到其值域。

例如，求函数 $y=\frac{1}{x}$ 的值域。

解：由于 $x\neq 0$，显然函数的值域是：$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。

2.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例如，求函数 $y=x^2+2x+3$ 在 $x\in[-1,2]$ 时的值域。

解：将函数配方得：$y=(x+1)^2+2$。

由二次函数的性质可知：当 $x=-1$ 时，$y_{\max}=2$，当 $x=1$ 时，$y_{\min}=4$。

故函数的值域是：$[2,4]$。

3.判别式法例如，求函数 $y=\frac{1+x+x^2}{1+x^2}$ 在 $x\in[-1,2]$ 时的值域。

解：将函数化为关于 $x$ 的一元二次方程 $(y-1)x^2+(y-1)x+(1-y)=0$。

1）当 $y\neq 1$ 时，$\Delta=(-1)^2-4(y-1)(1-y)\geq 0$，解得：$y\in[\frac{1}{2},2]$。

2）当 $y=1$ 时，$x=\pm 1$，故函数的值域是：$[\frac{1}{2},2]$。

4.反函数法例如，求函数 $y=3x+4$ 的值域。

解：由原函数式可得其反函数为：$x=\frac{y-4}{3}$，其定义域为 $\mathbb{R}$，故函数的值域也为 $\mathbb{R}$。

注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

函数的值域为：XXX11(x1)2 2令x1t，(t0)则XXX11t2 2化简得XXX11t2函数的值域为(0,1]。

例13.求函数y sinx cosx的值域。

解：由三角函数的性质可知。

1sinx1，1cosx 1故2sinx cosx 2由于sinx cosx的周期为2，所以只需考虑[0,2)的值域即可。

函数值域求法十一种函数值域求法十一种1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1. 求函数x1y =的值域。

解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x3y -=的值域。

解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数]2,1[x ,5x 2xy 2-∈+-=的值域。

解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域。

解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域。

解：两边平方整理得：0y x )1y (2x222=++-（1）∵R x ∈ ∴0y 8)1y (42≥-+=∆解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤ 由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+=即当22222x 41-+=时，原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

函数值域求法十一种在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。

研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。

确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。

对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。

本文就函数值域求法归纳如下，供参考。

1.直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

1y1. 求函数x 的值域。

解：∵x01∴x显然函数的值域是：(,0)(0,)2. 求函数y3x的值域。

解：∵x 0x 0,3x 3故函数的值域是：[,3]2.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

3.求函数yx 22x5, x[ 1,2] 的值域。

解：将函数配方得：y(x1) 24∵ x [1,2]由二次函数的性质可知：当 x=1时，ymin4，当 x1时， y max 8故函数的值域是：[4，8]3.判别式法y1 x x 24.1x 2求函数的值域。

解：原函数化为关于 x 的一元二次方程( y 1)x2( y 1) x 0 （1）当 y 1时，x R( 1) 2 4( y 1)( y1)解得：1y3 22（2）当 y=1时， x 0 ，而11 , 3 故函数的值域为 1,3222 25. 求函数 y xx( 2 x )的值域。

解：两边平方整理得：2x22(y 1) x y2（1）∵ x R∴4(y 1) 28y解得：12 y 1 2但此时的函数的定义域由x( 2x)0 ，得0x 2由0 ，仅保证关于 x 的方程：2x22(y 1) x y 2在实数集 R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0求出的范围可能比 y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为 1 ,3。

求函数值域的十种方法一．直接法〔观察法〕：对于一些比拟简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1．求函数1y =的值域。

【解析】0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。

【练习】1．求以下函数的值域：①32(11)y x x =+-≤≤； ②x x f -+=42)(；③1+=x xy ；○4()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x 。

【参考答案】①[1,5]-；②[2,)+∞；③(,1)(1,)-∞+∞；○4{1,0,3}-。

二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。

形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。

例2．求函数242y x x =-++〔[1,1]x ∈-〕的值域。

【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。

∵11x -≤≤，∴321x -≤-≤-，∴21(2)9x ≤-≤，∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤。

∴函数242y x x =-++〔[1,1]x ∈-〕的值域为[3,5]-。

例3．求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。

【解析】此题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：)0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ⎡∈⎣。

说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，此题为：0)(≥x f 。

例4．假设,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。

【分析与解】此题可看成第一象限内动点(,)P x y 在直线42=+y x 上滑动时函数xy y x lg lg lg =+的最大值。

利用两点(4,0)，(0,2)确定一条直线，作出图象易得：2(0,4),(0,2),lg lg lg lg[(42)]lg[2(1)2]x y x y xy y y y ∈∈+==-=--+而，y=1时，y x lg lg +取最大值2lg 。

函数值域的求法1、（观察法）求下列函数的值域 （1）求函数y1=1211x +的值域 (]1,0（2）求函数y1=2－x 的值域。

(]2-，∞2、（配方法）求下列函数的值域（1）求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域 ][84，（2）求函数y =的值域： ][20，（3）,x y 是关于m 的方程2260m am a -++=的根,则()()2211x y -+-的最小值是（ ） C 41 D.433、（换元法）求下列函数的值域（1）21y x =++[)∞+，3 （2）4y x =+ ][234,1+（3）求函数y=32++x x 的值域 ⎢⎣⎡⎥⎦⎤21,0（4）求函数y = ][2,1（5）求函数 y=12243++-x x x x 的值域 ⎢⎣⎡⎥⎦⎤41,41-4、（分离常数法）求下列函数的值域（1）求值域（1）1(4)2x y x x -=≥-+ ()⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+∞，，251-（2）求函数122+--=x x x x y 的值域。

⎪⎭⎫⎢⎣⎡131-，5、（判别式法）求下列函数的值域（1）求函数的值域22221x x y x x -+=++][51，（2）求函数3274222++-+=x x x x y 的值域。

⎪⎭⎫⎢⎣⎡229-，（3）已知函数12)(22+++=x bax x f x 的值域是[1，3 ]，求实数a ，b 的值. a=2或-2，b=26、(单调性法)求下列函数的值域（1）求函数32()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值。

(2)-48f =（2）设函数f(x)＝ln(2x ＋3)＋x 2.求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，14上的最大值和最小值．max 171()=ln +4216()f f x = min 11(-)=ln 2+24()f f x =7、(数形结合法)求下列函数的值域（1）求函数y=71362+-x x7-542++x x的值域 (]265-，（2）求函数y=712++x x7-1 - 2+x x 的值域 ()1,1-（2）若(0x y =,求x y -的最大、最小值 ][12-，（3）求函数3x sin xcos y -=的值域。

高中数学求函数值域解题方法大全一、观察法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。

【例1】求函数1y =的值域。

0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。

【例2】求函数的值域。

【解析】∵ ∴ 显然函数的值域是：【例3】已知函数()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。

【解析】因为{}2,1,0,1-∈x ，而()()331==-f f ，()()020==f f ，()11-=f 所以：{}3,0,1-∈y注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为R x ∈，则函数的值域为{}1|-≥y y 。

二． 配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。

形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。

【例1】 求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域。

【解析】将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]时，，当时， 故函数的值域是：[4，8]【变式】已知，求函数的最值。

【解析】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。

将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标x 1y =0x ≠0x 1≠),0()0,(+∞-∞Y，且图象开口向上。

显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。

函数的最小值为，最大值为。

图2【例2】 若函数2()22,[,1]f x x x x t t =-+∈+当时的最小值为()g t ，（1）求函数()g t （2）当∈t [-3,-2]时，求g(t)的最值。

（说明：二次函数在闭区间上的值域二点二分法，三点三分法） 【解析】(1)函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。

图1图2图3①如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值。

②如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。

当时，函数取得最小值。

③如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。

高考数学函数求值域的十二种方法出国留学为大家供给高考数学函数求值域的十二种方法，更多高考资讯请关注我们网站的更新 !高考数学函数求值域的十二种方法一. 察看法经过对函数定义域、性质的察看，联合函数的分析式，求得函数的值域。

例 1 求函数 y=3+√(2 -3x) 的值域。

点拨：依据算术平方根的性质，先求出√ (2 -3x) 的值域。

解：由算术平方根的性质，知√ (2 - 3x) ≥0，故 3+√(2 - 3x) ≥3。

∴函数的值域为 {y ∣y≥3｝ .评论：算术平方根拥有两重非负性，即：(1) 被开方数的非负性，(2)值的非负性。

此题经过直接察看算术平方根的性质而获解，这类方法对于一类函数的值域的求法，简捷了然，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0 ≤x≤5) 的值域。

( 答案：值域为： {0 ，1，2，3，4，5｝)二.反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例 2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

其定解：明显函数y=(x+1)/(x+2) 的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),义域为 y≠1的实数 , 故函数 y 的值域为 {y ∣y≠1,y ∈R｝。

评论：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这类方法表现逆向思想的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数 y=(10x+10-x)/(10x-10-x) 的值域。

( 答案：函数的值域为{y ∣y1｝ )三. 配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时 , 能够利用配方法求函数值域例 3：求函数 y=√(-x2+x+2) 的值域。

点拨：将被开方数配方成完整平方数，利用二次函数的最值求。

解：由 - x2+x+2≥0, 可知函数的定义域为x∈[-1 ，2] 。

此时 -x2+x+2=-(x- 1/2)2+9/4 ∈[0 ，9/4] ∴0≤√ - x2+x+2≤3/2, 函数的值域是 [0,3/2]评论：求函数的值域不只要重视对应关系的应用 , 并且要特别注意定义域对值域的限制作用。

求函数值域的十种方法一．直接法（察看法）：对于一些比较简单的函数，其值域可经过察看获得。

例 1．求函数y x1的值域。

【分析】∵ x0 ，∴x11，∴函数 y x1的值域为[1,) 。

【练习】1．求以下函数的值域：① y 3x 2( 1 x 1) ；② f ( x)2 4 x ；x；○4y21,0,1,2 。

③ y x 1 1 ， xx1【参照答案】① [ 1,5]；② [2,)；③ (,1)(1,) ；{1,0,3} 。

4二．配方法：合用于二次函数及能经过换元法等转变为二次函数的题型。

形如F (x) af 2 ( x) bf ( x) c 的函数的值域问题，均可使用配方法。

例 2．求函数y x24x 2（ x[ 1,1] ）的值域。

【分析】y x24x 2( x2)2 6 。

∵ 1 x 1 ，∴ 3 x2 1 ，∴1 (x2)29，∴ 3(x 2)2 6 5 ，∴ 3 y 5。

∴函数 y x24x 2 （ x[ 1,1]）的值域为 [3,5]。

例 3 ．求函数y2x24x( x0, 4 ) 的值域。

【分析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不如设：f (x)x2 4 x( f (x)0) 配方得： f (x)(x2)24(x0, 4 ) 利用二次函数的有关知识得f (x)0, 4，从而得出： y0,2 。

说明：在求解值域 (最值 ) 时，碰到分式、根式、对数式等种类时要注意函数自己定义域的限制，本题为：f ( x)0 。

例 4 ．若x 2 y4, x0, y0，试求 lg x lg y 的最大值。

【剖析与解】 本题可当作第一象限内动点P(x, y) 在直线 x 2 y 4 上滑动时函数 lg x lg y lg xy 的最大值。

利用两点(4,0) ， (0,2) 确立一条直线，作出图象易得：x (0,4), y (0,2), 而 lg x lg y lg xy lg[ y(4 2y)] lg[ 2( y 1)2 2] ，y=1 时， lg xlg y 取最大值 lg 2 。

专业专心专注值域12类归纳1.一、热点题型归纳题型一:值域基础1：幂函数求值域1若函数f (x )=ax 2+bx +c (a ,b ,c ∈R )的定义域和值域分别为集合A ,B ，且集合{(x ,y )|x ∈A ,y ∈B }表示的平面区域是边长为1的正方形，则b +c 的最大值为_________．【答案】5【详解】由题可知，a 0，b 2-4ac 0，则A =-b +b 2-4ac 2a ，-b -b 2-4ac 2a，B =0，4ac -b 24a，因为{x ，y |x ∈A ，y ∈B }表示的平面区域是边长为1的正方形，所以b 2-4ac -a =4ac -b 24a=1，可得a =-4，b 2+16c =16，c =1-b 216，所以b +c =-b 216+b +1=-116b -8 2+5，当b =8时有最大值5．方法归纳基本规律1.幂函数主要考察一元二次函数2.二次函数在进行讨论的时候要首先考虑二次项系数为0的情况，然后根据题意，去讨论开口或者讨论Δ.1设二次函数f x =mx 2-2x +n m ,n ∈R ，若函数f x 的值域为0,+∞ ，且f 1 ≤2，则m 2n 2+1+n 2m 2+1的取值范围为___________.【答案】[1,13]【详解】二次函数f (x )对称轴为x =1m，∵f (x )值域为0,+∞ ，∴m >0且f 1m =0⇒m ⋅1m 2-2m +n =0⇒n =1m⇒mn =1，n >0.f 1 ≤2⇒m -2+n ≤2⇒m +n ≤4，∵m 2n 2+1+n 2m 2+1=m 2m 2+1 +n 2n 2+1 m 2+1 n 2+1 =m 4+n 4+m 2+n 2m 2n 2+m 2+n 2+1=m 2+n 2 2-2m 2n 2+m 2+n 2m 2+n 2+2=m 2+n 2 2+m 2+n 2 -2m 2+n 2+2=m 2+n 2+2 m 2+n 2-1 m 2+n 2+2=m 2+n 2-1∴m 2+n 2-1≥2mn -1=1，m 2+n 2-1=(m +n )2-3≤42-3=13，∴m 2n 2+1+n 2m 2+1∈[1,13].故答案为：[1,13].2已知函数f (x )=x 3-3x 在x ∈5-m 2,m -1 的值域为a ,b b >a ，则实数m 的取值范围为________.【答案】6,7【详解】由解析式知：f (x )=3(x 2-1)，∴(-∞,-1)、(1,+∞)上f (x )>0，即f (x )单调递增；(-1,1)上f (x )<0，即f (x )单调递减；∴f (x )有极大值f (-1)=2，极小值f (1)=-2，第1页共28页自律自信自强博观而约取 厚积而薄发由题意知：a =-2,b =2，即有：m -1>5-m 25-m 2<-1m -1>1f (5-m 2)≥-2f (m -1)≤2，解得6<m ≤7，故答案为：6,7 3已知函数y =x 2+2x 在闭区间[a ,b ]上的值域为[-1,3]，则a ⋅b 的最大值为________.【答案】3【详解】432132111Oxy画出函数f x =x 2+2x 的图像可知,要使其在闭区间[a ,b ]上的值域为[-1,3],由于有且仅有f -1 =-1,所以-1∈[a ,b ]⇒a ≤-1≤b ,而f -3 =f 1 =3,所以有[a ,b ]⊆-3,1 ,a =-3或b =1,又∵a <0,a ⋅b 的最大值为正值时,b <0,∴b ≠1,a =-3,所以a ⋅b =-3b ,当b 取最小值时,,a ⋅b 有最大值.又∵b ≥-1,∴a ⋅b 的最大值为-3 ×-1 =3；故答案为：3.题型二:值域基础2：指数函数求值域1函数f (x )=a +b e x+1(a ,b ∈R )是奇函数，且图象经过点ln3,12 ，则函数f (x )的值域为____【答案】(-1,1)【详解】函数是奇函数，则:f (0)=a +b e 0+1=a +b2=0①,结合函数所过的点可得:f ln3 =a +b e ln3+1=a +b 4=12②,①②联立可得:a =1b =-2 ，则函数的解析式为:f (x )=1+-2e x +1，结合指数函数的性质可得:e x +1>1，-2e x +1∈(-2,0)，f (x )=1+-2e x +1∈(-1,1).故答案为：(-1,1).方法归纳基本规律1、底数讨论单增单减讨论。