载流长直导线的磁场

习题8-6 一根无限长直导线有交变电流0sin i I t ω=，它旁边有一与它共面的矩形线圈ABCD ，如图所示，长为l 的AB 和CD 两边与直导向平行，它们到直导线的距离分别为a 和b ，试求矩形线圈所围面积的磁通量，以及线圈中的感应电动势。

解 建立如图所示的坐标系，在矩形平面上取一矩形面元dS ldx =，载流长直导线的磁场穿过该面元的磁通量为02m id B dS ldx xμφπ=⋅=通过矩形面积CDEF 的总磁通量为0000ln ln sin 222bm ai il I l b bldx t x a aμμμφωπππ===⎰由法拉第电磁感应定律有00ln cos 2m d I l bt dt aφμωεωπ=-=- 8-7 有一无限长直螺线管，单位长度上线圈的匝数为n ，在管的中心放置一绕了N 圈，半径为r 的圆形小线圈，其轴线与螺线管的轴线平行，设螺线管内电流变化率为dI dt，球小线圈中感应的电动势。

解 无限长直螺线管内部的磁场为0B nI μ=通过N 匝圆形小线圈的磁通量为20m NBS N nI r φμπ==由法拉第电磁感应定律有20m d dIN n r dt dtφεμπ=-=- 8-8 一面积为S 的小线圈在一单位长度线圈匝数为n ，通过电流为i 的长螺线管内，并与螺线管共轴，若0sin i i t ω=，求小线圈中感生电动势的表达式。

解 通过小线圈的磁通量为0m BS niS φμ==由法拉第电磁感应定律有000cos m d dinS nSi t dt dtφεμμωω=-=-=- 8-9 如图所示，矩形线圈ABCD 放在16.010B T -=⨯的均匀磁场中，磁场方向与线圈平面的法线方向之间的夹角为60α=︒，长为0.20m 的AB 边可左右滑动。

若令AB 边以速率15.0v m s -=•向右运动，试求线圈中感应电动势的大小及感应电流的方向。

解 利用动生电动势公式0.20()50.6sin(60)0.30()2B Av B dl dl V πε=⨯•=⨯⨯-︒=⎰⎰感应电流的方向从A B →.8-10 如图所示，两段导体AB 和BC 的长度均为10cm ，它们在B 处相接成角30︒；磁场方向垂直于纸面向里，其大小为22.510B T -=⨯。

磁场强度的基本单位介绍磁场强度是描述磁场强弱的物理量，它在电磁学中起着非常重要的作用。

本文将介绍磁场强度的基本单位，包括国际单位制中的标准单位以及其他常用的单位。

国际单位制中的标准单位在国际单位制中，磁场强度的标准单位是特斯拉（T），它表示每秒通过垂直于电流方向的单位面积的磁通量。

特斯拉是以奥斯特·迈克尔·冯·韦伯（OttoJulius Viktor Wertheim Aurnhammer）的名字命名的，他是一位德国物理学家。

特斯拉的符号为T。

其他常用单位除了特斯拉，还有一些其他常用的单位用于表示磁场强度，例如高斯（G）和欧（Oe）。

1.高斯（G）：高斯是一种较小的磁场强度单位，1高斯等于1×10^-4特斯拉。

高斯的符号为G。

2.欧（Oe）：欧是一种非国际单位制的磁场强度单位，它表示1安培/米所产生的磁场强度。

欧的符号为Oe。

磁场强度的计算方法磁场强度的计算方法根据具体情况可以有多种不同的公式，以下是一些常见的计算方法：1.直线电流产生的磁场强度：对于直线电流，可以使用比奥萨法·萨伊（Biot-Savart）定律来计算磁场强度。

该定律可以表示为H = I/(2πr)，其中H表示磁场强度，I表示电流强度，r表示离电流所在位置的距离。

2.无限长载流直螺线管产生的磁场强度：对于无限长载流直螺线管，磁场强度的计算可以使用安培环规则。

根据该规则，磁场强度的大小与螺线管的电流强度和螺线管所在的位置有关。

3.长载流导线产生的磁场强度：对于长载流导线，磁场强度的计算可以使用毕奥-沙法定律。

该定律可以表示为H = I/(2πd)，其中H表示磁场强度，I表示电流强度，d表示导线所在位置与观察点的距离。

磁场强度的应用磁场强度在众多领域中都有着重要的应用。

以下是一些常见的应用领域：1.电磁感应：磁场强度在电磁感应中起着重要的作用。

当导线通过磁场时，磁场强度的改变将导致感应电动势的产生。

几种典型电流的磁（一）感应强度公式（1）一段载流I 、长为L 的直导线的磁场为：。

)( 4210θθπμCos Cos a I B -=磁场B 的方向与电流方向构成右手螺旋关系。

上式中a 为场点到载流直导线的垂直距离，1θ和2θ分别为导线的电流流入端和流出端电流元与矢径之间的夹角。

无限长直线载流导线的磁场为：（即：当1θ＝0，2θ＝π时）a IB 20πμ=无 。

磁场B 的方向与电流I 方向构成右手螺旋关系。

（2）载流I 的圆形导线在其轴线上（距圆心为x 处）的磁场为：。

或写成矢量式：。

)(2 )(2232220232220i x R IR B x R IR B +•=+•=μμ 其中R 为圆形导线的圆周半径，x 为其圆心到轴线上场点的距离，今I R p m 2 π=， 称为该圆电流的磁矩，轴线上远处（x >>R ） 的磁场为：303024 24x p B x p B m m •=•=πμπμ或写成矢量式：。

。

上式在形式上与电偶极子的在其延长线上远处的电场强度的表达式相似。

圆电流在圆心（x ＝0）处的磁场为：R I B 20μ= 。

磁场B 的方向沿圆电流面积的法线方向0n 或圆电流磁矩m p 的方向。

（3）载流I 的无限长直导体圆柱形导体在距柱轴为r 处的磁场为：： 20 2R Ir B πμ=。

（柱内） r I B 20πμ= 。

（柱外）（4）载流I 的无限长直导体圆筒状导体在距轴线为r 处的磁场为： 0=B 。

（柱内）r I B 20πμ= 。

（柱外）（5）载流I 密绕直螺线管内的磁场及载流I 的无限长直螺线管在管内的磁场为： )cos (cos 21120ββμ-=nI B ； 式中：n 为单位长度的匝数。

。

0nI B μ= （式中：n 为单位长度的匝数。

）以上诸式为必须记忆的公式，注意直线或直的圆柱电流，其公式的系数中有π，但圆电流的系数中无π。

（6）一无限长薄金属板均匀通有电流I ，金属板宽度为a 。

无限长载流圆柱导体内外磁场的分布载流圆柱导体内外磁场的分布是电磁学中的一个重要问题。

在这篇文章中，我们将以此为主题，详细讨论这个问题，并一步一步解答。

一、导体内外磁场的形成原理载流圆柱导体内外磁场的形成原理可以通过安培环路定理来解释。

根据安培环路定理，磁场的总磁通量等于该环路上所有电流元的磁通量之和。

对于一段长度为L的导线，其磁通量可以表示为：Φ= B ×A ，其中，B表示磁感应强度，A表示过该面积的磁场线的数量。

由于导线内部存在电流，通过安培环路定理可知，导体内外磁场的形成原理是由导体内部的电流元和其它电流元产生的。

导体内外的磁场由导体内部电流元的磁场叠加而成，并随着距离导体表面的距离不断减小。

二、导体内磁场的分布在讨论导体内磁场的分布之前，我们首先需要确定正交坐标系。

在本文中，我们选择柱坐标系。

在柱坐标系中，磁场的分布可以表示为B = (B_r, B_θ, B_z)。

其中，B_r表示径向磁场分量，B_θ表示角向磁场分量，B_z表示轴向磁场分量。

为了计算导体内磁场的分布，我们可以应用安培定理。

根据安培定理，电流周围的磁场线是以电流元为轴线的圆周。

根据对称性，我们可以得出导体内电流元的磁场与其它电流元在磁场线中的贡献是一样的。

这意味着在任意一个彼此距离相等的电流元上，它们对磁场的贡献相等。

所以，在导体内部的圆柱体积元上，径向磁场分量B_r = 0。

同理，角向磁场分量B_θ= 0。

因此，在导体内部，只存在轴向磁场分量B_z。

它的大小可以通过安培环路定理计算。

假设导体内流过的电流为I，半径为R，那么在径向表面上环路定理可以表示为：B_z ×2πrL = μ_0I,其中，r是径向表面到轴线的距离，L是导体的长度，μ_0是真空中的磁导率。

由此可以得到导体内的轴向磁场分量为：B_z = (μ_0I)/(2πrL)。

在导体外，磁场的计算较为复杂。

但有一种常用的简化方法是采用比例法和对称性法。

有限长载流直导线的磁场公式
有限长载流直导线是指一根有限长度的导线，其所携带的电流为直流电流。

在物理学中，电流携带着磁场，因此有限长载流直导线周围也会形成一个磁场。

为了计算这个磁场，物理学家们推导出了一个公式。

这个公式叫做比奥-萨伐尔定律，它可以用来计算有限长载流直导线周围的磁感应强度。

比奥-萨伐尔定律的表达式如下：
B = μI/2πr
其中，B是磁感应强度，μ是真空磁导率，I是电流强度，r是在导线上某一点到导线的距离。

从这个公式可以看出，磁感应强度与距离的平方成反比，与电流强度成正比。

这意味着，离导线越远，磁感应强度越弱；电流越大，磁感应强度也越大。

如果我们把导线想象成一根无限长的导线，那么比奥-萨伐尔定律就变成了以下的形式：
B = μI/2πr
同样的，这个公式也可以用来计算无限长直导线周围的磁感应强度。

有限长载流直导线的磁场公式在电工、电子工程和物理学等领域有着广泛的应用。

它可以用于计算线圈和电路中的磁场，也可以用于理解电磁现象和电磁波的传播。

在实际应用中，我们可以使用磁场计或霍尔元件等仪器来测量有限长载流直导线周围的磁场强度，并通过比奥-萨伐尔定律计算出磁感应强度的数值。

总之，比奥-萨伐尔定律是计算有限长载流直导线周围磁场的基本公式，它在电工、电子等领域有着重要的应用价值，并为我们理解电磁现象和电磁波的传播提供了重要的理论支撑。

习题题10.1：如图所示，两根长直导线互相平行地放置，导线内电流大小相等，均为I = 10 A，方向相同，如图所示，求图中M、N两点的磁感强度B的大小和方向（图中r0 = 0.020 m）。

题10.2：已知地球北极地磁场磁感强度B的大小为6.0⨯10-5 T。

如设想此地磁场是由地球赤道上一圆电流所激发的（如图所示），此电流有多大？流向如何？题10.3：如图所示，载流导线在平面内分布，电流为I，它在点O的磁感强度为多少？题10.4：如图所示，半径为R的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此平行，且以单层线圈覆盖住半个球面，设线圈的总匝数为N，通过线圈的电流为I，求球心O处的磁感强度。

题10.5：实验中常用所谓的亥姆霍兹线圈在局部区域内获得一近似均匀的磁场，其装置简图如图所示，一对完全相同、彼此平行的线圈，它们的半径均为R，通过的电流均为I，且两线圈中电流的流向相同，试证：当两线圈中心之间的距离d等于线圈的半径R时，在两线圈中心连线的中点附近区域，磁场可看成是均匀磁场。

（提示：如以两线圈中心为坐标原点O，两线圈中心连线为x轴，则中点附近的磁场可看成是均匀磁场的条件为x B d d = 0；0d d 22=xB） 题10.6：如图所示，载流长直导线的电流为I ，试求通过矩形面积的磁通量。

题10.7：如图所示，在磁感强度为B 的均匀磁场中，有一半径为R 的半球面，B 与半球面轴线的夹角为α，求通过该半球面的磁通量。

题10.8：已知10 mm 2裸铜线允许通过50 A 电流而不会使导线过热。

电流在导线横截面上均匀分布。

求：（1）导线内、外磁感强度的分布；（2）导线表面的磁感强度。

题10.9：有一同轴电缆，其尺寸如图所示，两导体中的电流均为I ，但电流的流向相反，导体的磁性可不考虑。

试计算以下各处的磁感强度：（1）r <R 1；（2）R 1<r <R 2；（3）R 2<r <R 3；（4）r >R 3。