基于奇异摄动理论的电驱动机器人神经网络控制
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３ 控 制 器 设 计 与 稳 定 性 分 析
在 实 际物 理应 用 中 ， 电容 相对 于 电压 钆 和 电阻 Ｒ 是 一个 很 小 的参数 ，这样 模 型系
统（ 一 ） １ （ 可以看为一个奇异摄动系统。根据奇异摄动理论［’系统（） ２可以近似地分解成两 ）２ ７ 】 １ （） 一
个独立 的子系统 ，即降阶系统和边界层 系统 。如果将控 制变量 钆分解 成独立的两个部 分，那 么 ，这两部分将分别 出现在 降阶 系统 和边 界层 系统 中。这样 ，我们可通过分别对降阶系统和边 界层系统设计适当控制 ，以达到对原系统的控制 目的。这就是混合控制 的思想 。
收稿 日 ２０ －６０． 作者简介： 倪元华（９ ｓ ２ 期： ０ ５ －６ ０ １ ７年 月生） ，男，硕 士，讲师，研究方向：机器人学与随机控制
基金项目：曲阜师范大学校科 ：基于奇异摄动理论的 电驱动机器 人神经 网络控制
其中 ｑ ｄ为给定的期望轨迹 ，一般可选取为三阶光滑 且有界 的曲线 ，即存 在常数 ｑ Ｂ＞０使得
ｌ 爵， ｉ）ｌ ｑ ， Ｖ ０ ｌ （ ， 爵， ｌ Ｂ ． ｔ
由ｒ ） （ 得到上界控制ｌ。Ｙ选取为 Ｙ ｇ ， 砑， ， ）。则方程（ 等价于 ｔ 。 】 ＝（ 爵， ｅ ｒ Ｔ ＴＴ １ ）
２５ ０
根据物理意义，模型中各变量有几个重要的性质在此不再赘述，可参考文献［或其它相关 ６ ］
文献 。
注１ 矩阵 Ｄ（ ） ｑ 和向量 Ｇ ｑ） １ （１ 的每一个元素都是 由 连杆质量 ｍ、连杆长度 ０和关节角正
余 组 的 限 多 式； 力 离 力 选 为Ｃｑ香 ＝ （） 一 Ｔ 弦 成 有 维 项 哥氏 和 心 项可 取 （，） Ｄｑ４ 等 。 ｌ１ １１
文章￣ － ０５ ０ ５ ０７０— ０— ： ０— ８（ ０ ） ０ ４ ５ １ ３ ２ ２２ ０
基 于奇异摄动理论 的电驱动机器人神经 网络控制木
倪元华 桂克锋。 ，
ｆ一曲阜师范大学数学科学学 院，山东 曲阜 ２ ３ ６ ； １ ７１５ ２ 一山东轻工业学 院信息科学与技术学院，济南 ２０ ５ ） ５ ３ ３ 摘 要：在驱动 回路 电容较小的情况下 ，对 电驱动刚性机器人操作手的轨迹跟踪 问题 ，提 出了一种基 于奇 异摄动理论的神经网络控制设计方法。稳定性分析表 明系统跟踪误差最 终一致有界，数值实验验 证 了所提的算法的可行性和有效性 。 关键词：电驱动机器人 ；神经 网络；奇异摄动
着 重要 的作用 ，它影响机器人控制性 能的提高 ，因而在设计控制器时不容 忽略 。 目前 ，这种 由 连杆机械系统和关节驱动系统组成 的机器人操作手的控制 问题 已成为机器人控制系统研究中重
要 的课题之一【５ ２］ －。
在实 际应用 中，由于驱 动回路的 电容相对于其 它量（ 电阻、 电势常数 、电压） 是一个 很微小 的量 ，因而整个电驱 动机器人系统可 以看为一个标准的奇异摄动系统 。基于此 ，本文 从奇异摄
动理论 的观 点上来 构造不同于ｆ 的神经 网络控 制器 。稳定性分析得 到系统滤化误差（ ５ 】 以及跟踪 误差） 最终一致有界 。与文献ｆ 中的方法相 比，本文方法 结构简单。数值试验验证 了该算法 的 ５ １
有效性和可行性。
２ 机 器人模型
电驱动刚性机器人 的动力学模型为
（ ｇ ＋Ｃ ｑｑｑ （ ：ＫＮ ， ） （ ） ＋Ｇ ｑ ， ） Ｉ
具体地，设 钆＝钆 ＋钆 ，其中 钆 和 ， 。 ， 。 分别称为控制变量的慢部和快部。代入子系统（ ， ２ ）
则有
＋Ｒ ＋ 圣 。 －ｆ ． ＝钆 ４ｕ ．
于是联合方程（） ３，并求 Ｌ＝０时的解，以 钆 代 有 １和（） 。
（ ３ ）
（ 百 ， 舂 （） Ⅳ ， 虿 ＋ｃ 舂 ＋Ｇ虿 ＝ ７ ） ）
（ ６ Ｊ ）
：钆 一历 ． 钆一 ・ ， 叩
为了实现关节角轨迹跟踪的 目的，我们引入变量
ｒ ＝ ＋ Ａｅ ｅ＝ ｑ ， ｄ— ｇ ，
ｌＪ （） ７
ｆｖ ＝ （ （ ＋Ａ ） （ 香（ ４Ａ ） （ ＋ＫＮ 一 香 （） ｇ ） 邑 ＋Ｃ ｑ ） － ｅ ＋Ｇ ｑ ， ） Ｒ ，
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第２卷 第２ ４ 期
２ ０ 年Ｏ 月 ０７ ４
工
程
数
学
学
报
Ｖ Ｉ２ ｏ ２ ０ ４ ． ． Ｎ
Ａｐ ． ０ ７ ｒ ２ ０
ＣＨＩ ＮＥＳ Ｊ Ｅ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＥＮＧＩ ＮＥＥＲＩ ＮＧ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩ ＣＳ
（ ４ ）
了＝Ｒ 钆 一ｇｏ ． ［ 。 ａ １
（ ５ ）
（ 式称为原系统的降阶系统。令 了 ＝Ｒ ［ 一 剖 叩 ４ ） １ 钆 ， ：Ｉ １ ． —ｔ 。 一了， ：Ｌ ，则系统（ 等价于 ７ ２ ）
：ｕ —Ｒ 一Ｌ １ ｆ 叩 ７ ． 一 一
进而，令 Ｌ：０可得原系统 的边 界层系统
分类号： ＡＭ Ｓ２０ ） ０ ６ （ ０ ７Ｅ ０ ０
中图分类号： Ｐ ４ Ｔ ２
文献标识码 ： Ａ
１ 引言
随着 科技和工业的进步 ，人们对机器人 操作手 的控制设计 要求 日益提高 。研 究表 明【，在 １ Ｊ 操作臂 高速运动和负载快速变化的情况下 ，关节驱动系统 的动力学特性在整个机器人系统中起
Ｌ ＋ ＲＩ Ｉ ＋Ｋ ｅ ｕ 矗＝ ，
（ １ ）
（ ２ ）
其中 ｑ∈Ｒ 为关节角向量，Ｍ（ ∈Ｒ ｑ ） 是对称正定惯性阵，Ｃ ｑｑ （，） ｑ∈Ｒ 表示哥氏力 矩和离心力矩向量，ａ（ ∈Ｒ ｑ ） 表示重力矩 向量，Ｉ∈Ｒ 为电驱电流，ｕ∈Ｒ 为电驱 电
压； ， Ｒ， ∈Ｒ Ｌ 电势常量 。 均为正定对角阵 ，分别表示驱动子系统的转矩常数 、电感 、电阻和
在 实 际物 理应 用 中 ， 电容 相对 于 电压 钆 和 电阻 Ｒ 是 一个 很 小 的参数 ，这样 模 型系
统（ 一 ） １ （ 可以看为一个奇异摄动系统。根据奇异摄动理论［’系统（） ２可以近似地分解成两 ）２ ７ 】 １ （） 一
个独立 的子系统 ，即降阶系统和边界层 系统 。如果将控 制变量 钆分解 成独立的两个部 分，那 么 ，这两部分将分别 出现在 降阶 系统 和边 界层 系统 中。这样 ，我们可通过分别对降阶系统和边 界层系统设计适当控制 ，以达到对原系统的控制 目的。这就是混合控制 的思想 。
收稿 日 ２０ －６０． 作者简介： 倪元华（９ ｓ ２ 期： ０ ５ －６ ０ １ ７年 月生） ，男，硕 士，讲师，研究方向：机器人学与随机控制
基金项目：曲阜师范大学校科 ：基于奇异摄动理论的 电驱动机器 人神经 网络控制
其中 ｑ ｄ为给定的期望轨迹 ，一般可选取为三阶光滑 且有界 的曲线 ，即存 在常数 ｑ Ｂ＞０使得
ｌ 爵， ｉ）ｌ ｑ ， Ｖ ０ ｌ （ ， 爵， ｌ Ｂ ． ｔ
由ｒ ） （ 得到上界控制ｌ。Ｙ选取为 Ｙ ｇ ， 砑， ， ）。则方程（ 等价于 ｔ 。 】 ＝（ 爵， ｅ ｒ Ｔ ＴＴ １ ）
２５ ０
根据物理意义，模型中各变量有几个重要的性质在此不再赘述，可参考文献［或其它相关 ６ ］
文献 。
注１ 矩阵 Ｄ（ ） ｑ 和向量 Ｇ ｑ） １ （１ 的每一个元素都是 由 连杆质量 ｍ、连杆长度 ０和关节角正
余 组 的 限 多 式； 力 离 力 选 为Ｃｑ香 ＝ （） 一 Ｔ 弦 成 有 维 项 哥氏 和 心 项可 取 （，） Ｄｑ４ 等 。 ｌ１ １１
文章￣ － ０５ ０ ５ ０７０— ０— ： ０— ８（ ０ ） ０ ４ ５ １ ３ ２ ２２ ０
基 于奇异摄动理论 的电驱动机器人神经 网络控制木
倪元华 桂克锋。 ，
ｆ一曲阜师范大学数学科学学 院，山东 曲阜 ２ ３ ６ ； １ ７１５ ２ 一山东轻工业学 院信息科学与技术学院，济南 ２０ ５ ） ５ ３ ３ 摘 要：在驱动 回路 电容较小的情况下 ，对 电驱动刚性机器人操作手的轨迹跟踪 问题 ，提 出了一种基 于奇 异摄动理论的神经网络控制设计方法。稳定性分析表 明系统跟踪误差最 终一致有界，数值实验验 证 了所提的算法的可行性和有效性 。 关键词：电驱动机器人 ；神经 网络；奇异摄动
着 重要 的作用 ，它影响机器人控制性 能的提高 ，因而在设计控制器时不容 忽略 。 目前 ，这种 由 连杆机械系统和关节驱动系统组成 的机器人操作手的控制 问题 已成为机器人控制系统研究中重
要 的课题之一【５ ２］ －。
在实 际应用 中，由于驱 动回路的 电容相对于其 它量（ 电阻、 电势常数 、电压） 是一个 很微小 的量 ，因而整个电驱 动机器人系统可 以看为一个标准的奇异摄动系统 。基于此 ，本文 从奇异摄
动理论 的观 点上来 构造不同于ｆ 的神经 网络控 制器 。稳定性分析得 到系统滤化误差（ ５ 】 以及跟踪 误差） 最终一致有界 。与文献ｆ 中的方法相 比，本文方法 结构简单。数值试验验证 了该算法 的 ５ １
有效性和可行性。
２ 机 器人模型
电驱动刚性机器人 的动力学模型为
（ ｇ ＋Ｃ ｑｑｑ （ ：ＫＮ ， ） （ ） ＋Ｇ ｑ ， ） Ｉ
具体地，设 钆＝钆 ＋钆 ，其中 钆 和 ， 。 ， 。 分别称为控制变量的慢部和快部。代入子系统（ ， ２ ）
则有
＋Ｒ ＋ 圣 。 －ｆ ． ＝钆 ４ｕ ．
于是联合方程（） ３，并求 Ｌ＝０时的解，以 钆 代 有 １和（） 。
（ ３ ）
（ 百 ， 舂 （） Ⅳ ， 虿 ＋ｃ 舂 ＋Ｇ虿 ＝ ７ ） ）
（ ６ Ｊ ）
：钆 一历 ． 钆一 ・ ， 叩
为了实现关节角轨迹跟踪的 目的，我们引入变量
ｒ ＝ ＋ Ａｅ ｅ＝ ｑ ， ｄ— ｇ ，
ｌＪ （） ７
ｆｖ ＝ （ （ ＋Ａ ） （ 香（ ４Ａ ） （ ＋ＫＮ 一 香 （） ｇ ） 邑 ＋Ｃ ｑ ） － ｅ ＋Ｇ ｑ ， ） Ｒ ，
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第２卷 第２ ４ 期
２ ０ 年Ｏ 月 ０７ ４
工
程
数
学
学
报
Ｖ Ｉ２ ｏ ２ ０ ４ ． ． Ｎ
Ａｐ ． ０ ７ ｒ ２ ０
ＣＨＩ ＮＥＳ Ｊ Ｅ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＥＮＧＩ ＮＥＥＲＩ ＮＧ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩ ＣＳ
（ ４ ）
了＝Ｒ 钆 一ｇｏ ． ［ 。 ａ １
（ ５ ）
（ 式称为原系统的降阶系统。令 了 ＝Ｒ ［ 一 剖 叩 ４ ） １ 钆 ， ：Ｉ １ ． —ｔ 。 一了， ：Ｌ ，则系统（ 等价于 ７ ２ ）
：ｕ —Ｒ 一Ｌ １ ｆ 叩 ７ ． 一 一
进而，令 Ｌ：０可得原系统 的边 界层系统
分类号： ＡＭ Ｓ２０ ） ０ ６ （ ０ ７Ｅ ０ ０
中图分类号： Ｐ ４ Ｔ ２
文献标识码 ： Ａ
１ 引言
随着 科技和工业的进步 ，人们对机器人 操作手 的控制设计 要求 日益提高 。研 究表 明【，在 １ Ｊ 操作臂 高速运动和负载快速变化的情况下 ，关节驱动系统 的动力学特性在整个机器人系统中起
Ｌ ＋ ＲＩ Ｉ ＋Ｋ ｅ ｕ 矗＝ ，
（ １ ）
（ ２ ）
其中 ｑ∈Ｒ 为关节角向量，Ｍ（ ∈Ｒ ｑ ） 是对称正定惯性阵，Ｃ ｑｑ （，） ｑ∈Ｒ 表示哥氏力 矩和离心力矩向量，ａ（ ∈Ｒ ｑ ） 表示重力矩 向量，Ｉ∈Ｒ 为电驱电流，ｕ∈Ｒ 为电驱 电
压； ， Ｒ， ∈Ｒ Ｌ 电势常量 。 均为正定对角阵 ，分别表示驱动子系统的转矩常数 、电感 、电阻和
