yyf§7.1 数学物理方程的导出

数学物理方程第三版答案第一章． 波动方程§1 方程的导出。

定解条件1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程()⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x u E x t u x t ρ 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。

证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ∆。

现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。

在时刻t 这段杆两端的坐标分别为：),();,(t x x u x x t x u x ∆++∆++其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u xxt x u x t x x u x x x ∆+=∆∆-+-∆++∆+θ令0→∆x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。

由虎克定律，张力),(t x T 等于),()(),(t x u x E t x T x =其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。

设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ∆+两端的力分别为x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(∆+∆+).,(t x x ∆+于是得运动方程tt u x x s x ⋅∆⋅)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-∆+∆+利用微分中值定理，消去x ∆，再令0→∆x 得tt u x s x )()(ρx∂∂=x ESu () 若=)(x s 常量，则得22)(tu x ∂∂ρ=))((x u x E x ∂∂∂∂即得所证。

2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。

解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为 .0),(,0),0(==t l u t u(2)若l x =为自由端，则杆在l x =的张力x ux E t l T ∂∂=)(),(|lx =等于零，因此相应的边界条件为x u∂∂|lx ==0 同理，若0=x 为自由端，则相应的边界条件为xu∂∂∣00==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支承的伸长为)(),(t v t l u -。

§7.1 数学物理方程的导出1、拿图7-7的B 段弦作为代表，推导弦振动方程． 解答：如图图7-7B 段弦的动力学方程：112222112222cos cos 0sin sin ()()T T d u d u T T dm ds dt dt ααααρ-=⎧⎪⎨-==⎪⎩，考虑微小振动，有10α≈、20α≈、1cos 1α≈、2cos 1α≈、11sin tan x u x αα∂≈=-∂、22sin tan x dxu xαα+∂≈=-∂，∴12T T T ==，22x x dxu uu d uT TT dx ds x xx x dtρ+∂∂∂∂⎛⎫-+== ⎪∂∂∂∂⎝⎭，又2222()()11tan dy ds dx dy dx dx dx dx α⎛⎫=+=+=+≈ ⎪⎝⎭，得22220d u u T dt x ρ∂-=∂，若令2Ta ρ=，则222220d u u a dt x ∂-=∂． 3、弦在阻尼介质中振动，单位长度的弦所受阻力t F Ru =-（比例常数R 叫作阻力系数），试推导弦在这阻力介质中的振动方程．解答：如图，对于纵振动弦，阻力F 作用在纵向，B 段弦的动力学方程：221122221122cos cos 0sin sin ()()T T d u d u T T F dm ds dt dt ααααρ-=⎧⎪⎨-+==⎪⎩，考虑微小振动，有10α≈、20α≈、1cos 1α≈、2cos 1α≈、11sin tan x u x αα∂≈=∂、22sin tan x dxu xαα+∂≈=∂，∴12T T T ==，22t t x x dxu uu d uT TRu T dx Ru ds x xx x dt ρ+∂∂∂∂⎛⎫-+-=-= ⎪∂∂∂∂⎝⎭，又2222()()11tan dy ds dx dy dx dx dx dx α⎛⎫=+=+=+≈ ⎪⎝⎭，得22220t d u u T Ru dt x ρ∂-+=∂，若令2Ta ρ=，则222220t d u u R a u dt x ρ∂-+=∂． 4、试推导一维和三维的热传导方程（7.1.37）和（7.1. 38）． 解答：由Fourier （热传导）定律qk u 可知， x 方向的分量xuq kx．如图，在有源的情况下，若仅在x 方向有热传导，从能量守恒定律得单位时间内传入体元dxdydz 的热量为(,)xxx dxxu c mq q dydz F x t dxdydz t ，∴(,)(,)x dxxu u u uc dxdydz k k dydzF x t dxdydzk dxdydz F x t dxdydz txxxx得 (,)u u ckF x t txx，对于均匀物体，热传导系数为常数，若令2kac和(,)(,)F x t f x t c，则222(,)u uaf x t t x （一维热传导方程）．同理，在y 方向，有222(,)uu af y t ty ，在z 方向，有222(,)uu af z t tz即22(,,,)u a u f x y z t t（三维热传导方程）6、均质导线电阻率为r ，通有均匀分布的直流电，电流密度为j ．试推导导线内的热传导方程． 解答：电功率密度2p j r =，由Fourier （热传导）定律x 方向的分量xu q kx，在有源的情况下，从能量守恒定律得单位时间内传入体元dxdydz 的热量为xx x dxxu c mq q dydz pdxdydz t， ∴2x dxxu u u uc dxdydzkkdydzpdxdydzk dxdydz j rdxdydz t x xxx，对于均质导线得 222u u ckj r tx ．§7.2定解条件1、长为l 的均匀弦，两端0x和xl 固定，弦中的张力为0T ，在x h 点，以横向力0F 拉弦，达到稳定后放手任其自由振动，写出初始条件． 解答：参考§8.18.1齐次方程的分离变量质点平衡：210sin sin T T F θθ'''+=，21cos cos T T θθ'''= 考虑是微小纵振动，21coscos1T TT ；112200sin tan ,sin tan h h x l x θθθθ≈=≈=- 000210000000()sin sin ()F l x x h h ThlT T F TT F F h l x x l x x Tlθθ-'''+=⇒+=⇒=⇒=-- ∴00000000()0()()F l x hx x u x x x TlF x h x x l u l x l x l x Tl-⎧≤≤==⎪⎪⎨⎪≤≤=-=-⎪-⎩。

数学物理方程的导出过程主要介绍数学物理方程的建立方法．具体通过五种物理模型详细介绍数学物理方程的建立方法．其中弦的横振动、杆的纵振动以及传输线方程的建立是需要掌握的基本内容．为了描述定解问题的系统完整性，我们在对波动方程的定解条件也进行了讨论．(一)弦的横振动方程（均匀弦的微小横振动）弦的横振动问题是数理方程中的典型问题．它模型简单，且具有代表性．演奏弦乐用（二胡，提琴）的人用弓在弦上来回拉动，弓所接触的是弦的很小的一段，似乎只能引起这个小段的振动，实际上振动总是传播到整个弦，弦的各处都振动起来。

振动如何传播呢？1. 物理模型实际问题：设有一根细长而柔软的弦，紧绷于A，B两点之间，在平衡位置附近产生振幅极为微小的横振动（以某种方式激发，在同一个平面内，弦上各点的振动方向相互平行，且与波的传播方向（弦的长度方向）垂直），求弦上各点的运动规律。

2.分析：弦是柔软的，即在放松的条件下，把弦弯成任意的形状，它都保持静止。

绷紧后，相邻小段之间有拉力，这种拉力称为弦中的张力，张力沿线的切线方向。

由于张力的作用，一个小段的振动必带动它的邻段，邻段又带动它自己的邻段…，这样一个小段的振动必然传播到整个弦，这种振动传播现象叫作波。

我们考察一根长为且两端固定、水平拉紧的弦．讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题．要确定弦的运动方程，需要明确：(1) 要研究的物理量是什么？对于本模型是讨论弦的运动规律，并研究弦沿垂直方向的位移．（2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？本模型所研究的物理量遵循牛顿第二定律.（3）按物理定理写出数学物理方程（即建立泛定方程）注意：由于物理问题涉及因素较多，往往还需要引入适当假设才能使方程简化．数学物理方程必须反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍规律，所以考察点不能取在端点上，但可以取除端点之外的任何位置作为考察点．开始建立模型：① 模型实际上就是：柔软轻质细弦（“没有质量”的弦）；弦是轻质弦（其质量只有张力的几万分之一）。

第一章 定解问题§1 大体概念1．数学物理方程：是指从物理问题中所导出的反映客观物理量在各个地址、各个时刻之间彼此制约的一些偏微分方程（有时也包括常微分方程和积分方程）2．数学物理方程的分类数学物理方程按其所代表的物理进程可分为如下三类：（1）描述振动和波动特征的波动方程f u a u tt +∆=2（2）反映输运进程的扩散（或热传导）方程f u D u t +∆=（3）描述稳固进程或稳固状态的poisson 方程h u -=∆其中 222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∆ 22t u u tt ∂∂=，t u u t ∂∂= 而未知函数u (x , y , z , t )在三类方程中别离表示位移、浓度（或温度）和稳固现象特征；a 和D 表示波速和扩散（或热传导）系数；f 和h 是与源（汇）有关的已知函数，当f =0或h =0时，相应的方程称为齐次方程。

3．用数学物理方程研究问题的一般步骤（1）导出或写出定解问题（它包括数学物理方程和定解条件两部份）（2）求解已导出或写出的定解问题（3）对求得的解讨论其适应性（即解的存在性、惟一性、稳固性），并作出适当的物理解释4．求解数学物理方程的方式求解数学物理方程的方式大致能够分为如下几种：行波法（达朗贝尔法）；分离变量法；积分变换法；Green 函数法；保角变换法；复变函数法；变分法；数值方式§2 数学物理方程的成立或推导1．成立（或推导）数学物理方程的步骤成立数学物理方程一般步骤step1：从所研究的系统中任取一单元体，分析该单元体与临近单元体之间的彼此关系；step2：按照有关的物理定律（如牛顿第二定律、能量守恒定律、奥—高定律等）；用算式表达那个作用；step3：化简、整理即得所研究问题知足的数学物理方程。

2．成立（导出）方程时经常要用到的物理定律（1）Newton 第二定律：F=ma（2）Fourier 实验定律（即热传导定律），当物体内部存在温度差时会产生热量的流动。

第二部分 数学物理方程在物理学中，很多物理规律、物理现象、物理过程和物理状态的变化等都需要用微分方程来描述。

有些是用常微分方程来描述，如经典力学中质点和质点组的运动方程是常微分方程，而在研究连续介质和场（如电磁场、引力场、温度场）时会遇到偏微分方程，量子力学中的运动方程（薛定谔方程）也是偏微分方程。

在本课程的第二部分“数学物理方程”部分，我们主要学习如何求解在物理学中经常遇到的几种典型的偏微分方程。

在开始学习之前， 我们先简要复习一下：（1）什么叫常微分方程？（2）什么叫偏常微分方程？（3）什么叫微分方程的定解问题？1、常微分方程：联系一个自变量x ，该自变量的一个未知函数)(x y 和它的某些阶导数：出现在方程（或方程组）中的最高阶导数称为该常微分方程的阶数。

常微分方程中要求解的未知函数是一元函数（只有一个自变量）。

例： 22220 ()?d y xy x y x dx ++=⇒=（ 二阶常微分方程）2、 偏微分方程：联系几个自变量,,,,...x y z t ，这些自变量的一个未知函数(,,,...)u x y z t 和它的某些阶偏导数：出现在方程中的最高阶偏导数称为该偏微分方程的阶数。

常微分方程中要求解的未知函数是一元函数（只有一个自变量）, 而偏微分方程中要求解的未知函数是多元函数（有几个自变量）。

例： 2222230 (,)?u u u u u x y x y x y∂∂∂∂+++=⇒=∂∂∂∂（ 二阶偏微分方程）3、微分方程的定解问题：给定一个微分方程，通常能找到很多不同的解。

为了唯一地确定一个微分方程的解，需要有一些辅助条件，这些辅助条件叫定解条件。

找出一个微分方程的满足某些特定定解条件的解，就称为定解问题。

一个微分方程，如果没有给出定解条件，就叫泛定方程（其解是不确定的）。

例： 22220 ()?d y xy x y x dx++=⇒= 这是泛定方程，其解不确定。

例：定解问题 2220'020()|0 ()?()1x x d y xy x dx y x y x y x ==⎧⎫++=⎪⎪⎪⎪=⇒=⎨⎬⎪⎪=⎪⎪⎪⎪⎩⎭（ 定解条件：0'0()|0()1x x y x y x ===⎧⎫⎪⎪⎨⎬=⎪⎪⎩⎭ ）第六章数学物理方程的导出和定解问题【刘连寿、王正清编著《数学物理方法》P107-121】物理学中经常遇到的几种典型二阶偏微分方程：波动方程、热传导方程（扩散方程）、泊松方程、拉普拉斯方程、亥姆霍兹方程, ………。