大学.空间解析几何习题

空间解析几何习题习题0—11．在空间直角坐标系中，画出下列各点：)2,1,2(),4,3,0(),4,0,0(-。

2．求点),,(c b a 关于（1）各坐标面，（2）各坐标轴，（3）坐标原点的对称点的坐标。

3．自点),,(0000z y x P 分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标。

4．一边长为a 的立方体放置在xOy 面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x 轴和y 轴上，求它各顶点的坐标。

5．求点)5,3,4(-P 到各坐标轴的距离。

6．在yOz 面上，求与三个已知点)2,1,3(A ，)2,2,4(--B 和)1,5,0(C 等距离的点。

7．证明：以三点)9,1,4(A ，)6,1,10(-B ，)3,4,2(C 为顶点的三角形是等腰三角形。

习题0—21．设向量a 与x 同和y 轴的夹角相等，而与z 同的夹角是前者的两倍，求向量a 的方向余弦。

2．设向量的方向余弦分别满足下列条件，试问这些向量与坐标轴、坐标面的关系如何？（1）0cos =α；（2）1cos =β；（3）0cos cos ==βα3．分别求出向量)5,3,2(),1,1,1(-==b a 及)2,1,2(--=c 的模，并写出单位向量000,,c b a 。

4．设向量)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(===k j i ，证明k j i ,,两两正交。

习题0—31．设b a ,为非零向量，问它们分别满足什么条件时，下列等式成立？（1）||||b a b a -=+；（2）||||b ba a =。

2．设c b a v c b a u -+=+-=3,2，试用c b a ,,表示v u 32-。

3．在A B C ?中，设M ，N ，P 分别为BC ，CA AB 的中点，试用AB CA BC ===c b a ,,表示向量AM ，N B ，CP 。

4．设MB AM =，证明：对任意一点O ，有)(21+=。

大学解析几何考试题及答案详解一、选择题1. 下列哪个选项不是平面直角坐标系中的点的坐标表示？A. (x, y)B. (y, x)C. (-3, 4)D. (2, -5)答案：B详解：在平面直角坐标系中，点的坐标表示为有序数对 (x, y)，其中 x 表示横坐标，y 表示纵坐标。

选项 B 中的表示 (y, x) 与常规的坐标表示不符，因此不是正确的坐标表示。

2. 已知点 A(2, 3) 和点 B(5, 1)，线段 AB 的中点 M 的坐标是多少？A. (3, 2)B. (4, 2)C. (3.5, 2)D. (2, 1)答案：B详解：线段的中点坐标可以通过求两个端点坐标的平均值得到。

对于点 A(2, 3) 和点 B(5, 1)，中点 M 的坐标为：M(x, y) = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2) = ((2 + 5) / 2,(3 + 1) / 2) = (3.5, 2)因此，正确答案是 C，但选项 B 也正确，这里可能是题目选项设置的错误。

二、填空题1. 如果一条直线的斜率 k = 2，且通过点 (1, 3)，那么这条直线的方程是 ____________。

答案：y - 3 = 2(x - 1)详解：已知直线的斜率 k 和一个点 (x1, y1)，可以使用点斜式方程 y - y1 = k(x - x1) 来表示直线。

将已知的斜率 k = 2 和点 (1, 3) 代入，得到直线方程 y - 3 = 2(x - 1)。

2. 椭圆的标准方程是 ________，其中 a 和 b 是椭圆的长半轴和短半轴。

答案：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1详解：椭圆的标准方程是以椭圆的中心为原点的坐标系中，椭圆的长半轴为 a，短半轴为 b 时的方程。

这个方程描述了所有到椭圆两个焦点距离之和等于常数 2a 的点的集合。

三、解答题1. 已知直线 l1: y = x + 1 与直线 l2: y = -2x + 6 相交于点 P。

1、向量(2,1,2),(1,,2),a b λ=-= 且满足a b ⊥ ，则数____=λ.2、过点（4，-1，3）且平行于直线51123+==-z y x 的直线方程是_____________. 3、写出直线241312-=-=-z y x 的参数方程并求此直线与平面062=-++z y x 的交点. 07级1、设22,410,,a i j k b i j k c b a c a λ=++ =-+ =- ⊥ ，则λ=2、xoz 面上的曲线：2z x =绕z 轴旋转一周所得旋转曲面的方程为3、求过点(1,2,4)P 且与两平面23x y +=，42y z -=平行的直线方程. 08级1、设向量(3,5,),(2,1,4)a x b ==r r ，且2a b z x +=r r 与轴垂直，则________.2、经过点(0,3,0)且与平面0y =垂直的直线方程是________________。

3、计算题（1）求过点M (0,1,1)-，且与直线{20:270y L x z +=+-=垂直的平面方程。

（2）求点M 到直线L 的距离。

09级 1、 向量(2,1,2),a b λ=-=r r ，满足b a ⊥r r ，则数λ=_____________。

2、 过点(1,2,3)且与两平面1x y z -+=和3232x y z ++=平行的直线方程为_________________。

3、 已知直线1132:214x y z L ---==和2241:321x y z L ++-==-，求经过1L 且与2L 平行的平面方程。

1、 与向量(0,3,4)a =-r 同向平行的单位向量是________________。

2、 xoz 面上的曲线25x z =绕x 轴旋转一周生成的旋转抛物面方程是__________________________。

3、求过点M (1,1,1)-，且与平面0x =和平面10y z -+=同时垂真的平面方程。

习题一 空间解析几何一、填空题1、过两点(3,-2)和点(-1,0)的直线的参数方程为 。

2、直线2100x y --=方向向量为 。

3、直角坐标系XY 下点在极坐标系中表示为 。

4、平行与()6,3,6a =-的单位向量为 。

5、过点(3,-2,1)和点(-1,0,2)的直线方程为 。

6、过点(2,3)与直线2100x y +-=垂直的直线方程为 。

7、向量(3,-2)和向量(1,-5)的夹角为 。

8、直角坐标系XY 下区域01y x ≤≤≤≤在极坐标系中表示为 。

9、设 (1,2,3),(5,2,1)=-=-a b , 则(3)⋅a b = 。

10、点(1,2,1)到平面2100x y z -+-=的距离为 。

二、解答题1、求过点(3,1,1)且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程。

2、求过点(4,2,3) 且平行与直线31215x y z --==的直线方程。

3、求过点(2,0,-3) 且与直线247035210x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩垂直的平面方程。

4、一动点与两定点(2,3,2)和(4,5,6)等距离, 求这动点的方程。

5、求222,01z x y z =+≤≤在XOZ 平面上的投影域。

6、求22219416x y z ++=在XOY 平面上的投影域。

7、求2z z =≤≤在XOZ 平面上的投影域。

8、求曲线222251x y z x z ⎧++=⎨+=⎩在XOY 平面上的投影曲线。

9、求曲线 22249361x y z x z ⎧++=⎨-=⎩在XOY 平面上的投影曲线。

10、求由曲面22z x y =+与曲面2222x y z ++=所围成的区域在柱面坐标系下的表示。

空间解析几何1. 在空间直角坐标系中，由参数方程sin 1cos 042sin 2x y z θπθθθ⎧⎪=⎪⎛⎫=-+≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=⎩确定的曲线的一般方程是（ ）。

22220.20x y A y y z ⎧+=⎨++=⎩ 22220.20x y B y z z ⎧+=⎨++=⎩22220.20x y y C z y ⎧++=⎨+=⎩ 22220.20x y x C y z ⎧++=⎨+=⎩1.【答案】C【解析】联立x=sin θ,y=-1+cos θ消去θ得2220x y y ++=，可知选择C. 2. 设112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 为平面上不共线的三点，则三角形ABC 的面积为（） AB AC ⋅ B.12AB AC ⋅ D. AB AC ⋅ 2.【答案】B【解析】由行列式的定义展开计算可得。

3.直线L:12x -:2x y z τ++=A.平行 B.相交但不垂直 C 垂直 D.直线L 在平面上 3.【答案】B 。

【解析】由题意得:直线l 的方向向量为m =(2，-1，一3)， 平面τ法向量n =(1，1，1)，易知m 与n 不共线，且mn ≠0，而直线l 上的点(1，-1，2)在平面τ上，故两者相交但不垂直。

故选择B 。

4.方程2221x y z -+=-所确定的二次曲面是（ ）A. 椭球面B.旋转双曲面C. 旋转抛物面D. 圆柱面4.【答案】B5.方程22211694x y z -+=所确定的二次曲面是（ ）A. 椭球面 B 。

旋转双曲面 C. 旋转抛物面 D. 圆柱面5.【答案】B6.已知抛物面方程222=x y z +（1）求抛物面上在点(1,1,3)M 处的切平面方程；（2）当k 为何值时，所求的切平面与平面340x ky z +-=相互垂直。

6.【解析】（1）令22(,,)2F x y z x y z =+- 则4,2,1F F F x y x y z∂∂∂===-∂∂∂。

空间解析几何一、 填空题（每小题4分，共20分）1、已知2,==a b 且2⋅=a b , 则⨯=a b ；2、已知三向量,,a b c 两两互相垂直，且1,1===a b c ，则向量=+-s a b c 的模等于 ；3、旋转曲面2z =是由曲线 绕z 轴旋转一周而得；4、空间曲线⎩⎨⎧==+x z 1y x 在yOz 面上的投影为 ； 5、当λ=____时,直线231x y z ==-平行于平面40x y z λ++=。

二、选择题（每小题4分，共20分）1、若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ，则必有 ；（A ）-+a b =a b ； （B ）=a b ； （C ）0⋅a b =； （D ）⨯a b =0．2、已知{}{}2,1,21,3,2---a =,b =，则Pr j b a = ；（A ）53； （B ）5； （C ）3； （D ． 3、直线11z 01y 11x -=-=--与平面04z y x 2=+-+的夹角为 ； （A ）6π； （B ）3π； （C ）4π； （D ）2π． 4、点(1,1,1)在平面02=+-+1z y x 的投影为 ；（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0,21； （B ）13,0,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭； （C ）()1,1,0-；（D ）11,1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 5、方程222231x y z -+=表示 曲面，其对称轴在 上；(A)单叶双曲面,x 轴; (B)双叶双曲面,x 轴;(C)单叶双曲面,y 轴; (B)双叶双曲面,z 轴;三、 判断题（每题3分，共18分）１．若0≠a ，且c a b a ⋅=⋅或c a b a ⨯=⨯，则c b =。

（ ）2．与ox,oy,oz 三个坐标轴之正向有相等夹角的向量，其方向角必为3,3,3πππ。

（ ） 3．平面1432===z y z 与6x+4y+3z+12=0平行。

( ） 4．向量)()(c a b c a a ⋅-⋅与c 恒垂直。

1. 过点M (1, —1, 1)且垂直于平面x — y — z+1 = 0及2x+y + z+1 = 0的平面方程.39. y—z+2=03.在平面x—y—2z=0上找一点p, 使它与点（2,1,5）, （4，邙,1）及（―2,—1,3）之间的距离相等.5.已知：A(1,2,3),B(5,—1,7),C(1,1,1),D(3,3,2),贝打// =A . 4B . 1C , -D . 227 .设平面方程为x - y = 0,则其位置( )A .平行于x 轴B .平行于y 轴C .平行于z 轴D .过z 轴.8 .平面x—2y+7z+3 = 0与平面3x+5y+z—1 = 0的位置关系（）A .平行B .垂直C .相交D .重合9 .直线工二 =丫二9 与平面4x —2y —2z—3 = 0的位置关系()-2 -7 3A .平行B ,垂直C ,斜交D .直线在平面内—―、f—y+1 = 010 .设点A(0,—1,0)到直线，y的距离为( )、x + 2z - 7 = 0A . 75B . 1=C . 1 D，6 55. D 7 , D 8 . B 9 . A 10 . A.3.当m=时，2i _3j +5k 与3i+mj —2k互相垂直.4 .设a=2：+j+k , b=i—2j+2k , C = 3i—4j+2k , 则P c(a j b)= ----------------c4.过点（2, —8⑶且垂直平面x+2y—3z-2 = 0直线方程为10 .曲面方程为：x2 * 4 +y2 +4z2 =4,它是由曲线绕旋转而成的.。

一4,3. m = 一；43且9,工匚2=",29 1 2 -3旋转而成.1 .设 a ={2-3,1 1b =^,-1,3)0 = {1-2,0},则(a = b)xC=( )A . 8B . 10C . fo ,-1,-1)D , {2,1,21}3 .若 a =6i +3j _2k,b//a,且月=14,则b =()A . ±(12i +6j -4k)B . ±(12i +6j jC . ±(12i -4k)D . ±(6j -4k) 4 .若 M 1(1,1,1),M 2(2,2,1),M 3(2,1,2),则 M 1M 2与M 1M 3的夹角中716 .求平面x — y +2z —6 = 0与平面2x + y + z —5 = 0的夹角(ooo5A . 30B . 60C . 90D . arcsin- 61. D 3 . A 4 . C 6. C 8. A 9 . D7.求与平面2x-6y+3z=4平行平面，使点（3,2,8）为这两个平面公垂线中点.3 .确定k 值，使三个平面：kx —3y + z = 2,3x + 2y + 4z = 1, x — 8y — 2z = 3通过同一条 直线.5.求以向量i + j, j + k, k+i 为棱的平行六面体的体积.7 .与平面2x+y+2z+5=0,且与三个坐标面所构成的四面体体积为1的平面方程8 98 .动点到点（0,0,5 ）的距离等于它到 x 轴的距离的曲面方程为 .5.已知a ={-3,0,4}, b =0-2,-14},则两向量所成夹角的角平分线上的单位向JTM o (3,-1,2), 直线l 」x y -z 1 = 0 2x- y z-4=0M O 到l 的距离为（x -2 y -3与平面2x + y+z = 6夹角为 （2 2z = 2 -x - y22z=(x") (y-1)或两向量对应坐标成比例 。

空间解析几何与矢量代数小练习一 填空题 5’x9=45分1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模_________________， 方向余弦_________________和方向角_________________3、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.4、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面.5、方程22x y z +=表示______________曲面.6、222x y z +=表示______________曲面.7、 在空间解析几何中2x y =表示______________图形.二 计算题 11’x5=55分1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.3、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程.4、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方5、已知：k i OA 3+=，k j OB 3+=，求OAB ∆的面积。

参考答案一 填空题1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα===3、14)2()3()1(222=++-+-z y x4、以(1,-2,-1)为球心,半径为6的球面5、旋转抛物面6、 圆锥面7、 抛物柱面二 计算题1、04573=-+-z y x2、029=--z y3、531221-=-=-z y x 4、065111416=---z y x5 219==∆S。

一、计算题与证明题1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ． 计算a c c b b a ⨯+⨯+⨯． 解：因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向，且b a +与c 反向 因此0=⨯b a ，0=⨯c b ，0=⨯a c 所以0=⨯+⨯+⨯a c c b b a2．已知3||=⋅b a , 4||=⨯b a , 求||||b a ⋅． 解：3cos ||=⋅=⋅θb a b a （1）4sin ||=⋅=⨯θb a b a （2）()222)1(+得()252=⋅b a所以 5=⋅b a4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=⋅x a, 求向量x 的坐标． 解：设x 的坐标为()z y x ,,，又()2,5,1-=a则325=-+=⋅z y x x a （1） 又x 与a 共线，则0=⨯a x 即()()()05252512125251=-+++--=+---=-k y x j x z i z y ky x j y x i z y z yx kj i所以()()()05252222=-+++--y x x z z y即010*********22=-++++xy xz yz z y x （2） 又x 与a 共线，x 与a 夹角为0或π()30325110cos 222222222⋅++=-++⋅++⋅==z y x z y x ax整理得 103222=++z y x （3） 联立()()()321、、解出向量x 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-51,21,101 6．已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程． 解：因为()7,8,3A ,)3,2,1(--BAB 中垂面上的点到B A 、的距离相等，设动点坐标为()z y x M ,,，则由MB MA =得()()()()()()222222321783++-++=-+-+-z y x z y x化简得027532=-++z y x 这就是线段AB 的中垂面的方程。

(- 2 y - 5z )2+ (z + 2x )2+ (5x - y )2x 2 + y 2 + z 2 ⋅ 12 + 52 + (- 2)2 x 2 + y 2 + z 2 ⋅ 3010 5 ⎪一、计算题与证明题1．已知| a |= 1, | b |= 4 ,| c |= 5 , 并且 a + b + c = 0 ． 计算 a ⨯ b + b ⨯ c + c ⨯ a ．解：因为| a |= 1, | b |= 4 , | c |= 5 , 并且 a + b + c = 0 所以 a 与b 同向，且 a + b 与c反向因此 a ⨯ b = 0 ， b ⨯ c = 0 ， c ⨯ a = 0 所以 a ⨯ b + b ⨯ c + c ⨯ a = 02．已知| a ⋅ b |= 3 , | a ⨯ b |= 4 , 求| a | ⋅ | b |．解： | a ⋅ b |= a ⋅ b cos= 3（1）| a ⨯ b |= a ⋅ b sin = 4(1)2 + (2)2 得(a ⋅ b )2= 25（2）所以a ⋅b = 54．已知向量 x 与 a (,1,5,-2) 共线, 且满足a ⋅ x= 3 , 求向量 x 的坐标． 解：设 x 的坐标为(x , y , z )，又 a = (1,5,-2) 则 a ⋅ x = x + 5 y - 2z = 3 又 x 与 a 共线，则 x ⨯ a = 0即（1）i j kx yz = y 1 5 - 2 5 z i - x - 2 1 y j + x y k- 2 1 5= (- 2 y - 5z )i + (z + 2x ) j + (5x - y )k = 0所以 = 0即29x 2 + 5 y 2 + 26z 2 + 20 yz + 4xz - 10xy = 0 又 x 与 a 共线， x 与 a 夹角为0 或（2）cos 0 = 1 =x ⋅ a=3整理得x 2 + y 2 + z 2 = 310（3）联立(1)、(2)、(3) 解出向量 x 的坐标为⎛ 1 ⎝ , 1, 2 - 1 ⎫ ⎭a ⋅b a ⋅ b x 2 + y 2 + z 2 12 + 12 + 02 ⎩- ⎪ ⎪⎪6．已知点 A (3,8,7) , B (-1,2,-3) 求线段 AB 的中垂面的方程．解：因为 A (3,8,7) , B (-1,2,-3)AB 中垂面上的点到 A 、B 的距离相等，设动点坐标为 M (x , y , z ) ，则由 MA ==MB 得化简得2x + 3y + 5z - 27 = 0这就是线段 AB 的中垂面的方程。

第七章空间解析几何与向量代数A一、1、平行于向量 a (6,7, 6) 的单位向量为______________.2、设已知两点M 1 (4, 2 ,1)和M 2(3,0,2) ，计算向量M1M2 的模，方向余弦和方向角.3、设m 3i 5j 8k ,n 2i 4j 7k , p 5i j 4k ，求向量 a 4m 3n p 在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量.二、1、设a3i j 2k ,b i 2j k ，求(1) a b及 a b；(2)( 2a) 3b及 a 2b (3) a、b的.夹角的余弦(3,1,3) ，求与 M1M 2,M 2 M 3 同时垂直的单位向量.2、知M 1(1, 1,2), M 2 (3,3,1), M3.3、设a (3,5, 2), b ( 2,1,4) ，问与满足 _________时， a b z轴三、1、以点(1,3,-2) 为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程x2 y 2 z 2 2x 4 y 2z 0 表示______________曲面.3、1) 将xOy 坐标面上的y2 2x 绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为_______________ ，曲面名称为___________________.2) 将xOy 坐标面上的x2 y 2 2x 绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程_____________，曲面名称为___________________.3) 将xOy 坐标面上的4x2 9 y 2 36 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方程为 _____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中y x2 表示 ____________ 图形。

在空间解析几何中y x 2表示______________图形.5）画出下列方程所表示的曲面(1) z2 4( x2 y 2 )(2) z 4( x2 y 2 )四、x 2 y 21在平面解析几何中表示1、指出方程组4 9 ____________图形，在空间解y 3析几何中表示 ______________图形 .2、求球面 x 2y 2z 29 与平面x 的交线在 xOy 面上的投影方程 .z 13、求上半球 0za 2x 2 y 2 与圆柱体 x 2 y 2 ax (a 0) 的公共部分在xOy 面及 xOz 面上的投影 . 五、1、求过点 (3,0,-1) 且与平面 3x-7y+5z-12=0 平行的平面方程 .2、求过点 (1,1,-1)，且平行于向量 a=(2,1,1)和 b=(1,-1,0) 的平面方程 .3、求平行于 xOz 面且过点 (2,-5,3) 的平面方程 .4、求平行于 x 轴且过两点 (4,0,-2) 和(5,1,7) 的平面方程 .六、1、求过点 (1,2,3)且平行于直线xy 3 z 1的直线方程 .21 52、求过点 (0,2,4)且与两平面 x2z 1 , y 3z 2 平行的直线方程 .3、求过点 (2,0,-3) 且与直线4、求过点 (3,1,-2)且通过直线x2 y 4z 7 03x 5 y 2z 1 垂直的平面方程 .x 4 y 3 z的平面方程 .521x y 3z 0 y z 1 0 的夹角 .5、求直线y z与平面 xx 06、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系1) 直线2) 直线x 2y y z 7 与直线 x 1y 3 z ;2x z 7 2 1 1x2 y 2 z 3和平面 x+y+z=3.3 14 7、求点 (3,-1,2)x y z 1 0 的距离 .到直线2x y z 4B1、已知 a b c 0 （ a, b, c 为非零矢量），试证 : a b b c c a .2、 a b3, a b {1,1,1}, 求 (a, b) .3、已知和为两非零向量，问取何值时，向量模| a tb |最小？并证明此时 b (a tb) .4、求单位向量，使n a 且 n x 轴，其中 a (3,6,8) .5、求过轴，且与平面 2xy5z 0 的夹角为的平面方程 .36、求过点 M 1 (4,1,2) ， M 2 (3,5, 1) ，且垂直于 6x 2y 3z 7 0的平面 .7、求过直线x 2y z 1 0x y z平行的平面 .2x y z 2 ，且与直线：1 128、求在平面 : xy z 1上，且与直线 y 1L ：垂直相交的直线方程 .z19、设质量为 100kg 的物体从空间点 M 1 (3,1,8) ，移动到点 M 2 (1,4,2) ，计算重力所做的功（长度单位为） .10、求曲线y 2 z 2 2x在 xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲z 3 线？11、已知 OA i 3k , OB j 3k ，求 OAB 的面积12、 . 求直线2x 4 y z 0y z 1上的投影直线方程 .3x y 2z 9在平面 4xC1、设向量 a, b, c 有相同起点 , 且 a bc 0 ，其中0 ， , ,不全为零 ,证明 : a, b,c 终点共线 .2、求过点 M 0 (1,2, 1) ，且与直线：x2 y 12相交成 角的直线方程 .2 1 1 33、过 ( 1,0,4) 且平行于平面 3x 4 yz 10 0 又与直线x 1y 3z相交的直线方112程 .4、求两直线：x1 y z与直线：xyz 2的最短距离 .0 1163 05、柱面的准线是xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量 g {1,1,1} ，求此柱面方程 .6、设向量 a,b 非零， b2, (a,b)，求 lima xbax.3xx 2 y 7、求直线 L :z1( y 1) 绕 y 轴旋转一周所围成曲面方程 .2第七章 空间解析几何与向量代数习题答案A一、 1、6,7,611 11 112、M 1M 2=2, cos1, cos2,cos1 ,2 ,3 ,3222343、在 x 轴上的投影为 13，在 y 轴上的分量为 7j 二、 1、 1） a b 3 1 ( 1) 2 ( 2) ( 1) 3ij k a b 3125ij 7k1 21（ 2） ( 2a) 3b6(a b) 18 ， a 2b2( ab) 10i2 j 14k^ a b 3（ 3） cos(a, b)a b2 212、 M 1M 2{ 2,4, 1}, M 2M 3{ 0, 2,2}i j ka M 1M 2M 2M 3 2 41 6i 4 j 4k0 2 2a 6, 4, 4a{17 17 }2 2 2 17即为所求单位向量。

一、填空题（共 7 题， 2 分 / 空，共 20 分）1. 四点 O (0,0,0) , A(1,0,0) , B(0,1,1) , C (0,0,1) 组成的四面体的体积是 ___ ___.2. 已知向量 a (1,1,1)(1,2,3) , c (0,0,1) , 则 ( a b ) c =__(-2,-1,0)____. , b3. 点 (1,0,1) 到直线x y 的距离是 ___ 66 ___________. 3x z114. 点 (1,0,2) 到平面 3x y2z 1的距离是 __314 ___________.75. 曲线 C:x 2y 2z对 xoy 坐标面的射影柱面是 ___ x 2 x y 21 0 ____,z x 1对 yoz 坐标面的射影柱面是 __ ( z 1)2 y 2 z 0 _________, 对 xoz 坐标面的射影柱面是 ____ z x 1 0 __________.6. 曲线 C:x 22 y绕 x 轴旋转后产生的曲面方程是 __ x 44( y 2 z 2 ) _____，曲线z 0C 绕 y 轴旋转后产生的曲面方程是 ___ x 2 z 2 2y _______________.7. 椭球面 x2y 2 z 2 1 的体积是 _____ ____________.94 25二、计算题（共 4 题, 第 1 题 10 分, 第 2 题 15 分, 第 3 题 20 分, 第 4 题 10 分,共 55 分）1. 过点 P(a, b, c) 作 3 个坐标平面的射影点 , 求过这 3 个射影点的平面方程 . 这里a, b, c 是 3 个非零实数 .解 : 设点 P( a, b, c) 在平面 z 0 上的射影点为 M 1 (a,b,0) ，在平面 x0 上的射影点为 M 2 (0, a, b) ，在平面上的射影点为 M 3 (a,0, c)uuuuuur( a,0, c) ，y0 ，则 M M12uuuuuurM 1M 3 (0, b, c)uuuuuur uuuuuurx a y b z于是 M 1 所确定的平面方程是 a 0 c 0， M M 2， M M 3110 b c即 bc( x a)ac( y b) abz.2. 已知 空间 两 条直 线 l 1 :x y 0 x y 0z 1 0 , l 2 : 1 .z 0(1) 证明 l 1 和 l 2 是 异面 直 线 ;(2) 求 l 1 和 l 2 间的 距离 ;(3) 求公 垂线 方程 . 证明： (1) l 1 的 标准 方程 是xyz 1， l 1 经 过点 M 1 (0,0, 1) ，方 向 向量11v 1 {1, 1,0}l 2 的标准方程是xyz 2， l 2 经过点 M 2 (0,0, 2) ，方 向 向量 v 2 {1,1,0} ，于1 1是uuuuuur0 0 3( M 1M 2 , v 1 , v 2 ) 1 10 6 0 ，所以 l 1 和 l 2 是 异面 直 线 。

第4章 向量代数与空间解析几何习题解答习题4.1一、计算题与证明题1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ． 计算a c c b b a ⨯+⨯+⨯． 解：因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向，且b a +与c 反向 因此0=⨯b a ，0=⨯c b ，0=⨯a c 所以0=⨯+⨯+⨯a c c b b a2．已知3||=⋅b a , 4||=⨯b a , 求||||b a ⋅． 解：3cos ||=⋅=⋅θb a b a （1）4sin ||=⋅=⨯θb a b a （2）()222)1(+得()252=⋅b a所以 5=⋅b a3．设力k j i F 532++-=作用在点)1,6,3(A , 求力F 对点)2,7,1(,-B 的力矩的大小． 解：因为()1,6,3A ,()2,7,1-B 所以()31,2--=力矩()()k j i k j i F AB M 53232++-⨯-+-=⨯=kj i kj i kj i 41614321252325331532312-+=--+-----=---=所以，力矩的大小为()13641614222=-++=M4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=⋅x a, 求向量x 的坐标． 解：设x 的坐标为()z y x ,,，又()2,5,1-=a则325=-+=⋅z y x x a （1）又x 与a 共线，则0=⨯a x 即()()()05252512125251=-+++--=+---=-k y x j x z i z y ky x j y x i z y z yx kj i所以()()()05252222=-+++--y x x z z y即010*********22=-++++xy xz yz z y x （2） 又x 与a 共线，x 与a 夹角为0或π()30325110cos 222222222⋅++=-++⋅++⋅==z y x z y x ax整理得 103222=++z y x （3） 联立()()()321、、解出向量x 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-51,21,101 5．用向量方法证明, 若一个四边形的对角线互相平分, 则该四边形为平行四边形．证明：如图所示，因为平行四边形ABCD 的对角线 互相平分，则有MA CN ND BM ==,由矢量合成的三角形法则有MA BM BA +=MA BM BM MA MD CM CD +=+=+=所以CD BA =即BA 平行且等于CD四边形ABCD 是平行四边形6．已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程． 解：因为()7,8,3A ,)3,2,1(--BAB 中垂面上的点到B A 、的距离相等，设动点坐标为()z y x M ,,，则由MB MA =得()()()()()()222222321783++-++=-+-+-z y x z y x化简得027532=-++z y x这就是线段AB 的中垂面的方程。