正确用判别式法求值域着重点辨析

判别式法求值域的原理
判别式法是一种用来求解值域和解的有效方法，更加有效地求取微分方程的解。

判别式法求解值域的思想就是把给定微分方程中的每一维常量作为参数来通过构建判别式来进行确定，然后判断该判别式的值，并根据值来求出对应的解的值域。

判别式法的定义：判别式（Discriminant）是指一个多项式，其中除了零外不存在其他的常数，它可以完成给定方程组的一般解的确定，以决定原方程的有解性。

通常的应用：判别式法分析许多种不同的微分方程，通常这种方法用于确定含有不定积分的方程的解的存在范围。

比如在解二阶线性微分方程，可以根据判别式值是否小于零来判断是否有解。

举例说明：假设有一个三阶线性微分方程$\frac{dy}{dt}+Py+Qy+Ry=0$，设P，Q，R 是系数，t是变量，y是函数，可以求得其判别式
$D=Q^2-4PR$ ,有两种情况
(1) D>0时：令D=a*a，同时有a=±√D，此时方程有实数解两个，解的形式为
$y=e^{-\frac{P+a}{2}t}(C_1cos(at)+C_2sin(at))$
根据上述情况，可以求得此多项式方程的解的值域。

此外，通过判别式法也可以用于求解高阶微分方程的系数，从而求得解的值域。

百花园地新课程NEW CURRICULUM判别式法是求形如y =ax 2+bx+c dx 2+ex+f（a 2+d 2≠0）的分式型二次函数值域的常用方法。

但是很多学生在学习和运用判别式法的过程中，发现运用判别式法求值域时，有时候是对的，有时候又是错的，其中的原因究竟为何并不清楚，后来干脆不用判别式法而改用其他方法。

其实只要你掌握了判别式法的理论依据及易错点，一般来说，求形如y =ax 2+bx+c dx 2+ex+f（a 2+d 2≠0）的分式型二次函数值域还是比较方便的。

下面就本人对判别式法的一些理解，来分析一下为什么用判别式法有时是对的，有时候又是错的。

首先，让我们通过一道例题来看一下，判别式法求形如y =ax 2+bx+c dx 2+ex+f （a 2+d 2≠0）的分式型二次函数值域的一般步骤及其理论依据。

例1：求函数y =x 2+x -1x 2+x -6的值域。

解：由y =x 2+x -1x 2+x -6可得（y -1）x 2+（y -1）x -6y +1=0★10当y -1=0即y =1时，★式可化为-5=0显然不成立。

20当y -1≠0即y ≠1时，★式为关于x 的一元二次方程Δ=（y -1）2-4（y -1）（1-6y ）≥0得y ≥1或y ≤15由10、20可得y ∈（-∞，15）∪（1，+∞）即所求函数的值域为y ∈（-∞，15）∪（1，+∞）。

例2：求函数y =2x 2-x +1x 2+2x -3的值域。

解：由y =2x 2-x +1x 2+2x -3可得（y -2）x 2+（2y +1）x -3y -1=0★10当y -2=0即y =2时，★式可化为5x -7=0得x =75因为函数y =2x 2-x +1x 2+2x -3的定义域为（-∞，-3）∪（-3，1）（1，+∞）而x =75∈（-∞，-3）∪（-3，1）（1，+∞）所以，y =2符合题意。

20当y -2≠0即y ≠2时，★式为关于x 的一元二次方程Δ=（2y +1）2+4（y -2）（3y+1）≥0得y ≥2+11√4或y ≤2-11√4由10、20可得y ≥2+11√4或y ≤2-11√4即所求函数的值域为(-∞,2-11√4］∪［2+11√4，+∞）注：由上述例1和例2可以看出，用判别式法求值域大致可分为四步：1.将分式形如y =ax 2+bx +c dx 2+ex+f （a 2+d 2≠0）的分式型二次函数转化为关于x 的整式方程（dy-a ）x 2+（ye-b ）x +yf -c =0★。

判别式的妙用
一元二次方程的根的判别式（△）是数学中的一个重要基础知识，它不仅能用于直接判断一元二次方程根的情况，而且在其它方面，如求函数的值域、取值范围、不等式的证明等方面也有着重要的应用，熟练掌握这些应用，可提高解题能力和知识的综合应用能力。

下面以几个实例来说明如何应用判别式来解题。

一、求函数的值域
此时方程的判别式△=-8＜0，故上述关于x的一元二次方程无实根，所以符合题设条件的直线m不存在。

评注：一般在解有关直线与二次曲线相交问题时，往往运用韦达定理采用“设而不求”的方法，这样做的好处是避免了复杂的运算，但由于韦达定理在方程有解的前提下才存在，所以在运用韦达定理求出参数的值后，必须检验判别式的值是否为正。

本题若不将k的值代入检验，就直接得出结论，显然就错了，但若在得出方程后先去求k的取值范围，将是一项复杂的过程，此中宜用求出k值后代入检验的方法，减少计算量。

2022年高考数学判断函数值域的方法_函数值域的判断高中数学知识点：常见函数值域y=kx+b(k≠0)的值域为Ry=k/x的值域为(-∞,0)∪(0,+∞)y=√x的值域为x≥0y=ax?+bx+c当a>0时，值域为[4ac-b?/4a,+∞);当a<0时，值域为(-∞，4ac-b?/4a]高中数学知识点：判断函数值域的方法1、配方法:利用二次函数的配方法求值域，需注意自变量的取值范围。

2、换元法：常用代数或三角代换法，把所给函数代换成值域容易确定的另一函数，从而得到原函数值域，如y=ax+b+_√cx-d(a,b,c,d均为常数且ac不等于0)的函数常用此法求解。

3、判别式法：若函数为分式结构，且分母中含有未知数x?，则常用此法。

通常去掉分母转化为一元二次方程，再由判别式△≥0，确定y的范围，即原函数的值域4、不等式法：利用a+b≥2√ab(其中a,b∈R+)求函数值域时，要时刻注意不等式成立的条件，即“一正，二定，三相等”。

5、反函数法：若原函数的值域不易直接求解，则可以考虑其反函数的定义域，根据互为反函数的两个函数定义域与值域互换的特点，确定原函数的值域，如y=cx+d/ax+b(a≠0)型函数的值域，可采用反函数法，也可用分离常数法。

6、单调性法：首先确定函数的定义域，然后在根据其单调性求函数值域，常用到函数y=x+p/x(p>0)的单调性：增区间为(-∞,-√p)的左开右闭区间和(√p,+∞)的左闭右开区间，减区间为(-√p,0)和(0,√p)7、数形结合法：分析函数解析式表达的集合意义，根据其图像特点确定值域。

高中数学知识点：求函数值域的12种方法一、观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2-3x)的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2-3x)的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2-3x)≥0，故3+√(2-3x)≥3。

用判别式法求函数值域的方法例1求函数y=1223222++--x x x x 的值域 解：∵2x 2+2x+1=2(x+21)2+21>0 ∴函数的定义域为R ，将原函数等价变形为（2y-1）x 2+(2y+2)x+y+3=0,我认为在此后应加上：关于．．x ．的方程（．．．．2．y ．-．1．）．x ．2．+(2y+2)x+y+3=0．．．．．．．．．．．．．．有实数解．．．．例2求函数y=63422-+++x x x x 的值域 解：由x 2+x-6≠0得x ≠2,x ≠-3∴函数的定义域为{x|x ∈R ，x ≠2,x ≠-3}由原函数变形得：（y-1）x 2+(y-4)x-6y-3=0我认为在此之后应加上：关于．．x ．的方程（．．．．y ．-．1．）．x ．2．+(y ．．．-．4)x ．．．-．6y ．．-．3=0．．．有实数根且至少．．．．．．．有一根不为．．．．．2．且不为．．．-．3．例1及例2也需要作此修正，本人认为，这些文字说明对于整个题目的解题过程起着统帅作用．．．．，同时也暴露出作者的思维过程，不能略去。

思考之二：对于形如y=fex dx c bx ax ++++22中分子分母都有公因式的处理方法 中处理方法是要验证△=0时对应的y 值，该文中是这样的说明的：由于函数变形为方程时不是等价转化，故在考虑判别式的同时，还需对△=0进行检验，若对应的自变量在函数的定义域内，则y 值在值域内，否则舍去。

但在文2中例2中第2小题并没有对△=0进行检验，得出正确结果，这就使读者很困惑，究竟什么情况要检验，什么情况不进行检验呢？我认为有关形如y=fex dx c bx ax ++++22中分子分母都有公因式的处理方法第一种可以按例2中约去公因式的方法，这已经不是判别式法的范围之内，不在讨论之列，第二种处理方法仍然用判别式法，只不过在例1的解法基础上稍加改动即可，例3 求函数求函数y=63422-+++x x x x 的值域 解：由x 2+x-6≠0得x ≠2,x ≠-3∴函数的定义域为{x|x ∈R ，x ≠2,x ≠-3}由原函数变形得：（y-1）x 2+(y-4)x-6y-3=0我认为在此之后应加上：关于．．x ．的方程（．．．．y ．-．1．）．x ．2．+(y ．．．-．4)x ．．．-．6y ．．-．3=0．．．有实数根且至少．．．．．．．有一根不为．．．．．2．且不为．．．-．3．（1）当y=1时，代入方程求得x= -3,而x ≠-3，因此y ≠1（2）当y ≠1时关于x 的方程（y-1）x 2+(y-4)x-6y-3=0为一元二次方程，可以验证x=-3为该方程的根，x=2不是该方程的根，因此只有两个根都为-3时不满足题意，其余都符合题意，因此只需△≠0，即可得出即可得出y ≠52 由上可知：原函数的值域为{y|y ≠1, y ≠52} 上述作题步骤也适用于分子分母没有公因式的情况，例4 求函数y=32122--+-x x x x 的值域 解：由已知得x ≠-1且x ≠3,将原函数化为（y-1）x 2-(2y-1)x-3y-1=0由题意得关于x 的方程（y-1）x 2-(2y-1)x-3y-1=0有解且至少有一解不为3和-1（1）当y=1时，x= -4，∴y 可以取1（2）当y ≠1时，关于x 的方程（y-1）x 2-(2y-1)x-3y-1=0为一元二次方程， 显然可以验证x=3和x= -1不是该方程的解因此只需△≥0即可，以下过程略思考之三：该方法的适用范围不仅适用于分式形式，对于二次函数．．．．同样适用， 如：求函数y=x 2-3x+5的值域解：由已知得关于x 的方程x 2-3x+5-y=0有实数解,因此△≥0即（-3）2-4（5-y ）≥0∴y ≥411 ∴所求函数的值域为{y| y ≥411} 练习： 求函数322122+-+-=x x x x y 的值域。

一、忽视对方程的二次项系数是否为零加以讨论致错例1 求函数y=6122++-+x x x x 的值域。

错解： y=6122++-+x x x x , ∴yx 2+yx+6y=x 2+x-1，∴(y-1)x 2+(y-1)x+6y+1=0 ，①因为方程①是关于x 的二次方程，它有实根的充要条件是 ∆=(y-1)2-4(y-1)(6y+1)≥0， 即(y-1)(23y+5) ≤0, 解得，1235≤≤-y 。

∴原函数的值域为{y| 1235≤≤-y }. 剖析：事实上，当y-1=0，即y=1时，方程①不再是关于x 的二次方程了，就不能再用判别式了。

正解： y=6122++-+x x x x , ∴(y-1)x 2+(y-1)x+6y+1=0 ，①当y-1=0，即y=1时，方程①为7=0，不成立，故y ≠1； 当y-1≠0，即y ≠1时，∆=(y-1)2-4(y-1)(6y+1)≥0，即(y-1)(23y+5) ≤0，解得，1235≤≤-y 综上，得原函数的值域为{y| 1235<≤-y }. 例2．求函数322122+-+-=x x x x y 的值域。

错解：原式变形为0)13()12()12(2=-+---y x y x y ，① ∵R x ∈，∴0)13)(12(4)12(2≥----=∆y y y ，解得21103≤≤y 。

故所求函数的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡21103，。

剖析：把21=y 代入方程①显然无解，因此21=y 不在函数的值域内。

事实上，21=y 时，方程①的二次项系数为0，显然不能用“∆”来判定其根的存在情况。

正解：原式变形为0)13()12()12(2=-+-+-y x y x y ，① （1）当21=y 时，方程①无解；（2）当21≠y 时，∵R x ∈，∴0)13)(12(4)12(2≥----=∆y y y ，解得21103<≤y 。

综合（1）、（2）知此函数的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡21103，。

关于判别式法求值域增根的研究我们都知道对于形如f ( x ) =的二次分式函数我们通常使用判别式来求其值域。

但这是在分子分母没有公因式的前提下进行的，若分子分母有公因式时，我们须先约去公因式，化成f(x) =的形式，然后再求出其值域。

但如果我们用判别式法求这类函数的值域时，会出现什么情况呢？让我们比较吧！例：求二次分式函数y =的值域．通过比较，我们发现用判别式法求值域的结果，比先化成一次分式函数来求解其值域的结果多了一个值y = 2。

这就是说，用判别式法求值域会产生增根。

这是为什么呢？下面让我们首先来研究一下用判别式法来求值域的原理吧！函数是定义域到值域的映射，在定义域内任何一个x值，在值域内都有唯一一个y值与之对应。

反过来，值域内每一个y值，都会有一个或多个x值与之对应。

将某一函数化为关于x 的方程（将y看作是x的系数），只是将x和y的对应关系用另一种形式表示出来，其对应实质并未改变。

判别式法求值域就是基于这种思想而产生的。

将二次分式函数的分母乘到另一侧，得到一个关于x的方程。

如果二次项系数不为0，此方程为关于x的一元二次方程。

其中，当△≥0时（△是含字母y的式子），将这个范围内的y值代入方程，都能够得到一个或两个与之对应的x值；而当△＜0时，方程无解，这说明在此范围内的y值没有x值与之对应，因此此范围内的值y不属于值域。

如果二次项系数为0，此方程为关于x的一次方程，将此时y的取值代入解析式可得到一个与之对应的x值，如果所得x值在定义域内，则该y值属于值域；如果所得x值不在定义域内，或所得解析式根本没有意义，则该y值不属于值域。

但这样做不禁会使人产生疑问：将分式两边都乘以分母，x的定义域扩大了，不会产生增根吗？上面题中出现的增根是否源于此呢？让我们一起分析一下吧！倘若分子、分母均为二次整式，且没有公因式存在，例如：y = ，(其中a、b、c、d为互不相等的实数)，我们通常须将其整理成为(x-c)(x-d)y = (x-a)(x-b)的形式，当x = c或x = d即分母为0时，方程左边等于0，而(x-a)(x-b)≠0，即当x的取值使分母为0时，方程左右不相等，即没有y值与之对应，所以此时不必担心增根的问题。

二次函数的值域与判别式关系二次函数的值域与判别式关系二次函数的基本形式二次函数一般表示为：y=ax2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。

二次函数的判别式二次函数的判别式Δ用来判断二次函数的图像和方程的性质。

判别式的表达式为：Δ=b2−4ac。

值域与判别式的关系•若Δ≥0，即判别式大于等于0，二次函数的图像与x轴有交点，其值域为整个实数集ℝ。

•若Δ<0，即判别式小于0，二次函数的图像不与x轴相交，其值域有一定的限制范围。

当a>0时•当Δ<0时，二次函数的值域为y≥Δ。

4a•当Δ=0时，二次函数的值域为y≥0。

当a<0时•当Δ<0时，二次函数的值域为y≤Δ。

4a•当Δ=0时，二次函数的值域为y≤0。

解释说明二次函数的值域与判别式之间存在一定的关系。

当判别式大于等于0时，二次函数的图像与x轴有交点，因此其值域为整个实数集ℝ。

而当判别式小于0时，二次函数的图像不与x轴相交，其值域有一定的局限性。

具体而言，当二次函数的系数a大于0时，如果判别式小于0，即；而当判别式等于0时，二次函数的图像不与x轴相交，值域为y≥Δ4a二次函数的图像与x轴仅有一个交点，值域为y≥0。

当系数a小于0时，或y≤0。

值域为y≤Δ4a通过判别式可以更好地理解二次函数的图像特征以及其值域的限制范围，有助于我们在解决相关问题时进行更准确的分析和计算。

•当a>0时，二次函数的图像开口向上。

这是因为判别式Δ=b2−4ac，对于a>0，如果Δ>0，则函数的图像与x轴有两个交点，值域为整个实数集ℝ；如果Δ=0，则函数的图像与x轴有一个交点，值域为y≥0；如果Δ<0，则函数的图像不与x轴相交，值域为y≥Δ。

4a•当a<0时，二次函数的图像开口向下。

这是因为判别式Δ=b2−4ac，对于a<0，如果Δ>0，则函数的图像与x轴；如果Δ=0，则函数的图像与x轴有有两个交点，值域为y≤Δ4a一个交点，值域为y≤0；如果Δ<0，则函数的图像不与x轴相。

判别式法求值域原理
嘿，朋友们！今天咱就来讲讲判别式法求值域原理。

这可真是个神奇的东西啊，就好像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开值域这个神秘大门！
比如说有个函数，像 y=(x^2+2x+3)/(x^2+x+1)，哇，这么复杂，怎么知道它的值域呢？这时候判别式法就闪亮登场啦！其实啊，判别式法就像是个侦探，能从那些复杂的式子中找出线索。

我们把函数变形一下，然后看成是一个关于 x 的二次方程。

这就像是给这个函数穿上了一件特定的衣服，让我们更容易看清它。

然后呢，我们利用判别式大于等于 0 这个条件，为啥呢？因为不能有不存在的解呀！
好比说，我们要找一个人的踪迹，判别式法就是那个能嗅出蛛丝马迹的高手。

有时候我们觉得迷茫，哎呀，这个函数值域到底是啥呀，但判别式法就像一盏明灯，给我们指明方向。

咱再看看这个例子，当我们把它变成方程后，判别式就出现啦。

它就像一个严格的守卫，告诉我们哪些值是可以的，哪些是不行的。

是不是很有意思？
你想想，如果没有判别式法，我们面对这些复杂的函数该多头疼啊！但有了它，就好像有了依靠，心里踏实多了。

所以啊，判别式法求值域原理真的是超级重要的武器啊！它能帮我们解决那么多难题，让我们在数学的海洋里畅游得更畅快！千万别小瞧了它，一定要好好掌握哦！相信我，一旦你学会了，你会惊叹不已，哇，原来这么好用啊！。