下载文档原格式
系统仿真课程设计题目：专业：小组成员：用偏微分方程进行人口仿真摘要：建立中国人口增长的数学模型，由建立的人口发展的偏微分方程来预测中国未来人口的数量和结构。
在预测的基础上，考虑到降低生育率与人口数量和老龄化有着直接的关系，所以在预测人口基础之上，我们进一步拓展对未来人口控制进行研究。
即在对人口数量预测的同时对其控制及其优化做出探讨。
关键词：一、提出背景人口增长预测是随着社会经济发展而提出来的。
由于人类社会生产力水平低，生产发展缓慢，人口变动和增长也不明显，生产自给自足或进行简单的以货易货，因而对未来人口发展变化的研究并不重要，根本不用进行人口增长预测。
人口是社会经济活动的主体, 人口的发展变动趋势, 对社会经济发展的影响关系极大, 因此人口预测在社会经济实践中占有十分重要的地位。
现阶段，中国在享受计划生育政策带来的红利的同时，依然面连着人口结构性失调的严重性问题，而当今社会，经济发展迅速，生产力达到空前水平，这时的生产不仅为了满足个人需求，还要面向社会的需求，所以必须了解供求关系的未来趋势。
而人口增长预测是对未来进行预测的各环节中的一个重要方面。
准确地预测未来人口的发展趋势，制定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和实用意义。
二、问题重述与分析1）、基本假设1．假设本问题所使用的数据均真实有效，具有统计分析价值。
2．假设本问题所研究的是一个封闭系统，也就是说不考虑我国与其它国家的人口迁移问题。
3. 无重大毁灭性自然灾害和疾病，无战争等暴烈活动，即扰动人口发展的因素只有人。
4.在对人口进行分段处理时，假设同一年龄段的人死亡率相同，同一年龄段的育龄妇女生育率相同。
5.生育模式在预测时间内保持不变，并且假设一胎只生一个孩子。
6．人类的生育观念不发生太大改变，如没有集体不愿生小孩的想法7. 中国各地各民族的人口政策相同。
8. 人口生存环境为一般常态的自然和社会环境。
9. 中短期内，总和生育率、死亡率和出生性别比不发生大的波动。
§4.3 偏微分方程模型如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。
本节以人口增长模型和扩散模型为例说明偏微分方程的建模过程以及相应的数值解法。
4.3.1 人口增长模型统计数据表明，世界人口在1800年达到10亿，1930年达到20亿，1960年达到30亿，1974年达到40亿，1987年达到50亿，1999年达到60亿，2011年10月31日突破70亿。
可以看出，人口每增加10亿的时间由100多年缩短为10余年。
人口的剧增导致资源消费量增加，引起资源蓄积量减少甚至枯竭，出现诸如过度开垦土地、沙漠化日益严重、不合理地砍伐森林、绿色空间缩小、能源紧张等问题。
人口剧增还会带来空气污染，引起全球气候变化异常等环境问题，造成全球性生态平衡失调。
而且，这么多数量的人口空间分布极其不均衡。
全球45个发达国家的生育率都低于人口平均增长率。
在世界出生率最低的25个国家中，有22个在欧洲。
人口数量的减少成为这些国家最大的危机，对经济发展和国家安全带来严峻挑战。
同时，世界上人口增长率最高的都是一些最不发达的国家，如阿富汗、布隆迪、刚果、利比里亚等，而发展速度较快的发展中国家，如中国、印度、埃及等，也身负人口增加给经济和环境带来的巨大压力。
中国是世界上人口最多的国家，根据2010年第六次人口普查登记的全国总人口为13.3972亿（不包括港澳台地区），其中，男性人口6.8685亿，女性5287亿；60岁以上人口为1.7765亿，占总人口的13.26%；城市人口为6.6558亿，农村人口为6.7415亿。
老龄化问题、男女比例失调、城镇化建设加速等问题成为我国人口问题的一些新特点，直接影响着我国人口的发展趋势[1]。
准确地对人口进行预测，有效地控制人口增长并制定合理的人口政策，是全面落实科学发展观、实现适当生育水平、提高人口素质、改善人口结构、引导人口合理分布、保障人口安全、促进人口与经济社会资源环境的协调和可持续发展的重要手段。
应用微分方程求解世界各国人口发展问题近年来，人口问题成为世界关注的热点之一。
不同国家的人口增长率不同，人口老龄化、人口减少等问题也开始受到世界各国的重视。
但是，应用微分方程求解人口问题的方法似乎比较少见。
本文将探讨如何应用微分方程解决世界各国人口发展问题。
一、人口增长率的微分方程模型首先，我们需要知道人口增长率的微分方程模型是什么。
假设一个国家的人口数量为P，其增长率为r（单位为人/人年），则有：dP/dt = rP其中，dP/dt表示P对t的导数，即人口数量随时间变化的速率。
由于r是为常数，我们可以将其写成：dP/P = rdt对上述式子两边同时求积分，得到：ln(P) = rt + C其中，C为积分常数。
解出P，得到：P = e^(rt+C)由于e^C是一个常数，我们可以将其表示为K，即：P = Ke^(rt)这个式子被称为人口数量的微分方程模型。
通过这个模型，我们可以预测一个国家在未来的某个时间点的人口数量。
二、应用微分方程预测人口数量根据上面的式子，我们可以计算未来某个时间点的人口数量。
例如，我们可以应用这个式子预测中国未来10年的人口数量。
首先，我们需要知道中国目前的人口数量和增长率。
根据联合国的统计数据，中国在2019年的人口数量为13.91亿人，增长率为0.44%。
因此，我们可以将r和P代入上面的式子，得到：P = Ke^(0.0044t)假设我们要预测中国10年后的人口数量，即t=10，则有：P = Ke^(0.044)我们可以通过以下方式计算K值：K = P/e^(rt)将t=0、P=13.91亿代入上面的式子，得到：K = 13.91亿/e^0 = 13.91亿因此，代入上面的式子，我们可以计算出中国未来10年的人口数量为：P = 13.91亿*e^(0.044*10) = 15.92亿通过微分方程模型，我们得出了中国未来10年的人口增长情况。
类似地，我们也可以预测其他国家的人口增长情况。
人口增长问题数学模型人口增长问题是一个复杂的社会现象，它涉及到众多因素，如生育率、死亡率、移民、出生性别比等。
为了更好地理解和预测人口增长趋势，人们常常建立数学模型来描述人口变化的规律。
下面是一个简单的人口增长问题数学模型的示例。
假设人口数量为P(t)，时间t为以年为单位。
则人口增长可以用以下微分方程表示：dP(t)/dt = rP(t)其中，r是人口自然增长率，是一个常数。
这个微分方程描述了人口数量随着时间的变化情况，即人口数量呈指数增长。
然而，实际情况要复杂得多。
以下是一个更复杂的人口增长模型，考虑到生育率、死亡率和移民等因素：dP(t)/dt = (b - d)P(t) + I其中，b是每单位时间的出生率，d是每单位时间的死亡率，I是每单位时间的移民人数。
这个模型可以更好地描述人口增长的趋势，特别是当存在外部干扰（如战争、自然灾害等）时。
除了以上两个模型，还有其他更复杂的模型，如Logistic增长模型、Malthusian模型等。
这些模型考虑的因素更加全面，可以更准确地描述人口增长的趋势。
例如，Logistic增长模型考虑了环境承载能力对人口增长的限制，而Malthusian 模型则考虑了人口增长与资源供给之间的关系。
建立数学模型有助于我们更好地理解和预测人口增长趋势。
这些模型可以帮助我们评估不同政策对人口增长的影响，如计划生育政策、移民政策等。
此外，这些模型还可以帮助我们预测未来人口数量和结构的变化情况，从而为社会发展规划提供科学依据。
然而，需要注意的是，数学模型只是对现实世界的近似描述，它可能无法完全准确地预测未来情况。
因此，在使用数学模型进行人口增长预测时，需要结合实际情况和专家意见进行综合分析。
总之，数学模型是研究人口增长问题的重要工具之一。
通过建立数学模型，我们可以更好地理解和预测人口增长的规律和趋势。
这些模型可以帮助我们评估不同政策对人口增长的影响，为社会发展规划提供科学依据。
微分方程模型习题解答（人口的预测和控制模型）在人口的预测和控制模型中，总和生育率β(t)和生育模式h(r,t)两种控制人口增长的手段。
试说明我国目前的人口政策,如提倡一对夫妻只生一个孩子、晚婚晚育，及生育第2 胎的一些规定，可以怎样通过这两种手段加以实施。
一、问题分析目前，我国人口总数占世界人口总数的1/5，居世界第一。
虽然在二十世纪八十年代开始就已经开始控制人口，但现在人口的增长仍然很快，人口老年化问题也越来越严重,所以现在开始提倡晚婚晚育,一对夫妻只能生一个孩子以及定下了一些关于生第二胎的政策。
所以在此我们可以考虑用微分方程中生育率和生育模式来求解问题。
二、模型的假设⑴时刻 t 年龄小于 r 的人口即人口分布函数记作F(r,t);⑵婴儿的出生率记为 p( 0, t)= f( t)；⑶时刻 t 年龄 r 的人的死亡率记为μ(r,t)⑷ μ(r,t) p(r,t)dr表示时刻 t 年龄在 [r, r +dr] 内单位时间死亡人数;⑸ p(r)是人口调查得到的已知函数;⑹婴儿的出生率记为 f(t );三模型的建立与求解由问题假设我们可以得到各个年龄的人口数,即人口分布函数为:F(r,t)=∫p(s,t)ds由于在社会安定的局面下和不太长的时间里,死亡率大致与时间无关,于是可近似的假设μ(r,t)= μ(r)因为p0(r)与μ(r)可由人口统计数据得到,所以) , μ(r,t)可由μ(r,0)粗略估计，为了预测和控制人口的发展状况,我们需要关注和可以用作控制的就是婴儿的出生率f(t)了,下面我们就来讨论f(t) 。
记女性的性别函数为k(r,t)即时刻t 年龄在 [r, r +dr] 的女性人数为k(r,t)μ(r,t)dr将这些女性在单位时间内平均每人的生育数记作b(r,t)则育龄区间为[r1,r2]则:f(t)= ∫b(r,t)k(r,t)p(r,t)dr再将 b( r,t) 定义为b(r,t)=β(t)h(r,t)其中h(r,t)满足∫ h(r,t)dr=1于是就有β(t)= ∫B(r,t)drf(t)=β(t) ∫b(r,t)k(r,t)dr可以看出β(t)就是时刻t 单位时间内平均每个育龄女性的生育率。
偏微分方程在人口问题中的应用研究近年来，人口结构的变化引起了人口问题的重要关注。
偏微分方程（PDE）通过应用数学方法来研究人口问题，受到了广泛关注。
事实上，在解决人口问题时，偏微分方程可以很好地加以利用。
因此，越来越多的研究者开始应用偏微分方程来解决人口问题。
鉴于以上原因，本文旨在探讨偏微分方程在人口问题中的应用研究。
首先，结合偏微分方程的性质和特征，讨论了偏微分方程在人口问题中的基本概念。
偏微分方程是一类常微分方程的推广，它可以用来描述包括人口分布在内的许多物理及社会问题。
在人口问题中，偏微分方程主要可以表达人口强度及分布规律，它可以用来描述人口数量的变化情况，给出人口分布在时间上的变化，分析人口分布在空间上的分布规律，并可用来构建人口模型。
其次，本文针对偏微分方程在人口问题中的应用，进行了深入的研究。
首先，本文着重讨论了偏微分方程在人口问题中的理论应用。
偏微分方程的一些复杂的数学模型可以用来描述人口的规模、结构及流动，从而帮助研究人才增减及居住分布。
本文还探究了偏微分方程在人口问题中的优势和局限性，提到了偏微分方程在人口问题中的实际应用。
最后，本文探讨了偏微分方程在人口问题中的发展前景。
偏微分方程将持续为人口问题的研究和讨论提供新的方法，并将为政府及社会提供可靠的研究数据和有效解决方案。
此外，随着科学技术的发展，偏微分方程在人口问题中的研究也将更加深入和广泛。
总之，偏微分方程可以很好地应用于人口问题的研究和讨论，它的应用不仅可以加深对人口问题的理解，而且能够提供更多可靠的数据和有效的解决方案。
通过研究偏微分方程在人口问题中的应用，可以帮助我们更好地了解人口问题，从而提供可靠的政策建议和可行的解决方案，促进人口问题的有效解决。
偏微分方程的应用作者：范俊杰来源：《科技视界》 2014年第31期范俊杰（武汉理工大学数学系，湖北武汉 430070）【摘要】本文在简要的介绍偏微分方程的发展历史的基础上，详细的讨论了其在弦振动及人口问题中的应用。
其目的在于了解偏微分方程曲折的发展史及其广阔的应用前景，从而激励读者深入的学习和研究偏微分方程。
【关键词】偏微分方程；弦振动；人口问题在科学技术日新月异的发展过程中，人们研究的许多问题用一个自变量的函数来描述已经不够精确了，所以不少问题必须用多个变量的函数来描述，才能够更精确地得到人们所需要的结果。
这样就产生了研究某些物理现象的理想的含有多个变量的函数及其偏导数的方程，这种方程就是偏微分方程。
实际上，偏微分方程的解一般有无穷多个，而在解决具体物理问题时，我们必须从众多一般解中找到能够满足题目给定的特殊条件的解，这样我们才能够了解具体问题的特殊性。
本文在简要的介绍偏微分方程的发展历史的基础上，详细的讨论了其在弦振动及人口问题中的应用。
1 偏微分方程的发展1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。
由此开创了偏微分方程这门学科。
和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。
偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。
这里应该提一提法国数学家傅立叶，他在从事热流动的研究中，写出了《热的解析理论》，在文章中他提出了三维空间的热方程，也就是一种偏微分方程。
他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的[3]。
2 偏微分方程在某些具体问题中的应用2.1 偏微分方程在弦振动中的应用弦是一个力学系统，是一个质点组，故它的运动符合牛顿第二定律。
设弦在未受扰动时平衡位置是x轴，其上各点均以该点的横坐标表示。
