极坐标参数方程15道典型题(有答案)

适用标准文案《极坐标与参数方程》综合测试题1．在极坐标系中，已知曲线C：ρ=2cosθ，将曲线C 上的点向左平移一个单位，而后纵坐标不变，横坐标伸长到本来的 2 倍，获得曲线 C1，又已知直线 l 过点P（ 1,0 ），倾斜角为，且直线l与曲线C1交于A，B两点．3（1）求曲线 C1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）求+．2．在直角坐标系xOy 中，圆 C 的参数方程（φ为参数），以O为极点， x 轴的非负半轴为极轴成立极坐标系．（ 1）求圆 C 的极坐标方程；（ 2）直线 l 的极坐标方程是2ρsin （θ +）=3，射线OM：θ =与圆C的交点为 O、P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ的长．3．在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：ρ2=4ρ（ cosθ+sin θ）﹣ 6．若以极点 O为原点，极轴所在直线为 x 轴成立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆 C 的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点 P（x，y）是圆 C上动点，试求 x+y 的最大值，并求出此时点 P 的直角坐标．4．若以直角坐标系xOy 的 O为极点， Ox为极轴，选择同样的长度单位成立极坐标系，得曲线 C 的极坐标方程是ρ =．（ 1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（ 2）若直线 l 的参数方程为（ t 为参数），P 3，当直线 l 与曲线 C ,02AB2.订交于 A，B 两点，求PA PB5．在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴，成立极坐标系，曲线x 3cos 为参数），曲线 C 的极坐标方C 的参数方程为(12sin2y 程为．（ 1）求曲线 C 1 的一般方程和曲线 C 2 的直角坐标方程；（ 2）设 P 为曲线 C 1 上一点， Q 曲线 C 2 上一点，求 |PQ|的最小值及此时 P 点极坐标．6．在极坐标系中，曲线 C 的方程为ρ 2= ，点 R （ 2 ，）．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，成立平面直角坐标系，把曲线 C的极坐标方程化为直角坐标方程， R 点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设 P 为曲线 C 上一动点，以 PR 为对角线的矩形 PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形 PQRS 周长的最小值．7．已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）求曲线 C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线θ =（ρ∈ R）与曲线C1交于P，Q两点，求|PQ|的长度．8．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以同样的长度单位成立极坐标系，己知直线 l 的极坐标方程为ρ cosθ﹣ρ sin θ =2，曲线 C 的极坐标方程为ρ sin 2θ=2pcosθ（ p＞ 0）．（ 1）设 t 为参数，若 x=﹣ 2+ t ，求直线 l 的参数方程；（2）已知直线 l 与曲线 C交于 P、Q，设 M（﹣ 2，﹣ 4），且 |PQ| 2 =|MP|? |MQ|，务实数 p 的值．9．在极坐标系中，射线l ：θ =与圆C：ρ =2交于点A，椭圆Γ的方程为ρ2=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴成立平面直角坐标系xOy （Ⅰ）求点 A 的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；（Ⅱ）若 E 为椭圆Γ的下极点， F 为椭圆Γ上随意一点，求?的取值范围．10．已知在直角坐标系中，曲线的 C 参数方程为（φ为参数），现以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ =．（1）求曲线 C 的一般方程和直线 l 的直角坐标方程；（2）在曲线 C 上能否存在一点 P，使点 P 到直线 l 的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点 P 的直角坐标；若不存在，请说明原因．11．已知曲线 C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（I ）求曲线 C2的直角坐标系方程；（II ）设 M1是曲线 C1上的点， M2是曲线 C2上的点，求 |M1M2| 的最小值．12．设点 A 为曲线 C：ρ=2cosθ在极轴 Ox上方的一点，且 0≤θ≤，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴成立平面直角坐标系xOy，（1）求曲线 C 的参数方程；（2）以 A 为直角极点， AO为一条直角边作等腰直角三角形 OAB（B 在 A 的右下方），求 B 点轨迹的极坐标方程．13．在平面直角坐标系xOy中，曲线 C1：（φ为参数，实数a＞ 0），曲线 C2：（φ为参数，实数b＞ 0）．在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ =α（ρ≥ 0， 0≤α≤）与C1交于O、A 两点，与 C2交于 O、B 两点．当α =0 时，|OA|=1；当α =时，|OB|=2．（Ⅰ）求 a，b 的值；（Ⅱ）求 2|OA| 2 +|OA|? |OB| 的最大值．14．在平面直角坐标系中，曲线 C1：（a为参数）经过伸缩变换后，曲线为 C2，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建极坐标系．（Ⅰ）求 C2的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C3的极坐标方程为ρ sin （﹣θ）=1，且曲线C3与曲线C2订交于 P，Q两点，求 |PQ| 的值．15．已知半圆 C 的参数方程为，a为参数，a∈[﹣，] ．（Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴成立极坐标系，求半圆 C 的极坐标方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设T 是半圆 C 上一点，且 OT= ，试写出 T 点的极坐标．16．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ =2sin θ．（Ⅰ）把 C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求 C1与 C2交点的极坐标（ρ≥ 0， 0≤θ＜ 2π）《极坐标与参数方程》综合测试题答案一．解答题（共16 小题）1．在极坐标系中，已知曲线 C：ρ =2cosθ，将曲线 C 上的点向左平移一个单位，而后纵坐标不变，横坐标伸长到本来的 2 倍，获得曲线 C1，又已知直线 l 过点 P （ 1,0 ），倾斜角为，且直线l与曲线C1交于A，B两点．3（ 1）求曲线 C1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）求+．【解答】解：（1）曲线 C 的直角坐标方程为： x2+y2﹣2x=0 即（ x﹣1）2+y2=1．∴曲线 C1的直角坐标方程为=1，∴曲线 C 表示焦点坐标为（﹣，0），（， 0），长轴长为 4 的椭圆（ 2）将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的方程=1 中，得13t24t 12 0 ．设 A、B 两点对应的参数分别为t 1， t 2，∴+=210 ．32．在直角坐标系xOy 中，圆 C 的参数方程（φ为参数），以O为极点， x 轴的非负半轴为极轴成立极坐标系．（ 1）求圆 C 的极坐标方程；（ 2）直线 l 的极坐标方程是2ρsin （θ +）=3，射线OM：θ =与圆C的交点为 O、 P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ的长．【解答】解：（I ）利用 cos2φ +sin 2φ =1，把圆 C 的参数方程为参数）化为（ x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣ 2ρ cosθ =0，即ρ =2cosθ．（ II ）设（ρ1，θ1）为点 P 的极坐标，由，解得．（ρ 2 ，θ 2 ）点Q 的极坐，由，解得．∵θ 1=θ2 ，∴|PQ|=|ρ1ρ 2|=2．∴|PQ|=2 ．3．在极坐系中， C 的极坐方程：ρ2=4ρ（ cosθ+sin θ） 6．若以极点 O原点，极所在直 x 成立平面直角坐系．（Ⅰ）求 C 的参数方程；（Ⅱ）在直角坐系中，点 P（x，y）是 C上点，求 x+y 的最大，并求出此点 P 的直角坐．【解答】（本小分 10 分）修 4 4：坐系与参数方程解：（Ⅰ）因ρ2=4ρ（ cosθ +sin θ） 6，因此 x2+y2=4x+4y 6，因此 x2+y24x 4y+6=0，即（ x 2）2+（y 2）2=2C的一般方程．⋯（ 4 分）因此所求的 C 的参数方程（θ 参数）．⋯（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，⋯（7 分）当，即点 P 的直角坐（3，3），⋯（9 分）x+y 取到最大 6．⋯（10 分）4．若以直角坐系xOy 的 O极点， Ox极，同样的度位成立极坐系，得曲 C 的极坐方程是ρ =．（ 1）将曲 C 的极坐方程化直角坐方程，并指出曲是什么曲；（ 2）若直线 l 的参数方程为（ t 为参数），P 3,0，当直线 l 与曲线 C 2AB2.订交于 A， B 两点，求PA PB【解答】解：（1）∵ρ =，∴ρ 2sin2θ =6ρcosθ，∴曲线 C 的直角坐标方程为y2=6x．曲线为以（，0）为焦点，张口向右的抛物线．（ 2）直线 l的参数方程可化为，代入 y2=6x 得 t 2﹣4t ﹣12=0．解得 t 1=﹣2，t 2=6．22AB∴ | |=|t 1﹣t 2|=8 ．3PA PB5．在平面直角坐标系xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴，成立x3cos为参数），曲线 C 的极坐标方程为极坐标系，曲线 C 的参数方程为(12sin 2y．（1）求曲线 C1的一般方程和曲线 C2的直角坐标方程；（2）设 P 为曲线 C1上一点， Q曲线 C2上一点，求 |PQ|的最小值及此时 P 点极坐标．【解答】解：（ 1）由消去参数α，得曲线C1的一般方程为．由得，曲线 C2的直角坐标方程为．（2）设 P（2 cosα， 2sin α），则点P到曲线C2的距离为．当时， d 有最小值，因此|PQ|的最小值为．6．在极坐标系中，曲线 C 的方程为ρ2=，点 R（2 ，）．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，成立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设 P 为曲线 C 上一动点，以 PR为对角线的矩形 PQRS的一边垂直于极轴，求矩形 PQRS周长的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为 x=ρcosθ， y=ρsin θ，则：曲线 C 的方程为ρ2=，转变成．点 R 的极坐标转变成直角坐标为： R（2，2）．（Ⅱ）设 P（）依据题意，获得 Q（ 2， sin θ），则： |PQ|=，|QR|=2﹣sin θ，因此： |PQ|+|QR|=．当时，（ |PQ|+|QR| ）min=2，矩形的最小周长为 4．7．已知平面直角坐标系中，曲线 C1的参数方程为（φ为参数），以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为ρ2=2cosθ．（Ⅰ）求曲线 C1的极坐标方程与曲线 C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线θ =（ρ∈ R）与曲线 C1交于 P，Q两点，求 |PQ| 的长度．【解答】解：（I ）曲线 C1的参数方程为（φ为参数），利用平方关系消去φ可得：+（y+1）2 =9，睁开为： x2+y2﹣ 2 x+2y﹣ 5=0，可得极坐标方程：ρcosθ+2ρ sin θ﹣ 5=0．2曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ=2ρ cos θ，可得直角坐标方程：（ II ）把直线θ =（ρ∈ R）代入ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0，整理可得：ρ2﹣ 2ρ﹣ 5=0，∴ρ 1+ρ2 =2，ρ 1?ρ2=﹣5，∴ |PQ|=| ρ1﹣ρ2|===2．8．在直角坐标系中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，以同样的长度单位成立极坐标系，己知直线 l 的极坐标方程为ρ cosθ﹣ρ sin θ=2，曲线 C的极坐标方程为ρ sin 2θ=2pcosθ（ p＞0）．（ 1）设 t 为参数，若 x=﹣ 2+ t ，求直线 l 的参数方程；（2）已知直线 l 与曲线 C 交于 P、Q，设 M（﹣ 2，﹣ 4），且 |PQ| 2=|MP|? |MQ|，务实数 p 的值．【解答】解：（ 1）直线 l 的极坐标方程为ρ cosθ﹣ρ sin θ=2，化为直角坐标方程： x﹣y﹣2=0．∵ x=﹣2+ t ，∴ y=x﹣2=﹣ 4+ t ，∴直线l的参数方程为：（t为参数）．（2）曲线 C 的极坐标方程为ρ sin 2θ =2pcosθ（ p＞0），即为ρ2 sin 2θ=2pρ cos θ（ p＞0），可得直角坐标方程： y2=2px．把直线 l 的参数方程代入可得： t 2﹣（ 8+2p）t+8p+32=0．∴ t 1+t 2=（8+2p），t1t2=8p+32．不如设 |MP|=t 1， |MQ|=t 2．|PQ|=|t 1﹣ t 2 |===．∵|PQ| 2=|MP|? |MQ|，∴ 8p2+32p=8p+32，化为： p2+3p﹣4=0，解得 p=1．9．在极坐标系中，射线 l ：θ =与圆C：ρ =2 交于点 A，椭圆Γ的方程为ρ2=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴成立平面直角坐标系 xOy （Ⅰ）求点 A 的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；（Ⅱ）若 E 为椭圆Γ的下极点， F 为椭圆Γ上随意一点，求?的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）射线 l ：θ =与圆 C：ρ =2 交于点 A（ 2，），点 A 的直角坐标（，1）；椭圆Γ 的方程为ρ2=，直角坐标方程为+y2=1，参数方程为（θ为参数）；（Ⅱ）设 F（ cosθ， sin θ），∵ E（ 0，﹣ 1），∴=（﹣，﹣ 2）， =（cosθ﹣， sin θ﹣ 1），∴?=﹣3cosθ +3﹣2（sin θ﹣ 1）=sin （θ +α） +5，∴?的取值范围是 [5 ﹣，5+] ．10．已知在直角坐标系中，曲线的 C 参数方程为（φ为参数），现以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ=．（1）求曲线 C 的一般方程和直线 l 的直角坐标方程；（2）在曲线 C 上能否存在一点 P，使点 P 到直线 l 的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点 P 的直角坐标；若不存在，请说明原因．【解答】解：（1）曲线的 C 参数方程为（φ为参数），一般方程为（x﹣ 1）2+（y﹣ 1）2=4，直线 l 的极坐标方程为ρ =，直角坐标方程为x﹣ y﹣ 4=0；（ 2）点 P 到直线 l 的距离 d==，∴φ﹣=2kπ﹣，即φ =2kπ﹣（k∈ Z），距离的最小值为2﹣2，点P 的直角坐标（ 1+，1﹣）．11．已知曲线 C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（I ）求曲线 C2的直角坐标系方程；（II ）设 M1是曲线 C1上的点， M2是曲线 C2上的点，求 |M1M2| 的最小值．【解答】解：（I ）由可得ρ =x﹣2，∴ρ 2=（x﹣2）2，即y2=4（x﹣1）；（Ⅱ）曲线 C1的参数方程为（t为参数），消去t得：2x+y+4=0．∴曲线 C1的直角坐标方程为2x+y+4=0．∵ M1是曲线 C1上的点， M2是曲线 C2上的点，∴|M1M2| 的最小值等于 M2到直线 2x+y+4=0 的距离的最小值．设 M2（r 2﹣ 1，2r ）， M2到直线 2x+y+4=0 的距离为 d，则 d==≥．∴ |M1M2| 的最小值为．12．设点 A 为曲线 C：ρ=2cosθ在极轴 Ox上方的一点，且 0≤θ≤，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴成立平面直角坐标系xOy，（1）求曲线 C 的参数方程；（2）以 A 为直角极点， AO为一条直角边作等腰直角三角形 OAB（B 在 A 的右下方），求点 B 轨迹的极坐标方程．【解答】（1）x1 cos(0，θ为参数）y sin2（ 2）：设 A（ρ0，θ0），且知足ρ0=2cosθ0，B（ρ，θ），依题意，即代入ρ 0=2cosθ0 并整理得，，，因此点 B 的轨迹方程为，．13．在平面直角坐标系xOy中，曲线 C1：（φ为参数，实数a＞ 0），曲线 C2：（φ为参数，实数b＞0）．在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ =α（ρ≥ 0， 0≤α≤）与C1交于O、A两点，与 C2交于 O、 B 两点．当α =0 时， |OA|=1 ；当α =时，|OB|=2．（Ⅰ）求 a，b 的值；（Ⅱ）求 2|OA| 2 +|OA|? |OB| 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由曲线 C1：（φ为参数，实数a＞0），化为一般方程为（ x﹣ a）2+y2 =a2，睁开为： x2+y2﹣ 2ax=0，其极坐标方程为ρ2=2aρ cos θ，即ρ =2acosθ，由题意可适当θ=0 时， |OA|=ρ =1，∴ a= ．曲线 C2：（φ为参数，实数b＞0），化为一般方程为x2 +（ y﹣ b）2=b2，睁开可得极坐标方程为ρ=2bsin θ，由题意可适当时， |OB|= ρ=2，∴ b=1．（Ⅱ）由（ I ）可得 C1，C2的方程分别为ρ =cosθ，ρ =2sin θ．∴2|OA| 2+|OA| ? |OB|=2cos 2θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2 θ+1=+1，∵ 2θ + ∈，∴+1 的最大值为+1，当 2θ+ =时，θ =时取到最大值．14．在平面直角坐标系中，曲线 C1：（a 为参数）经过伸缩变换后的曲线为 C ，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴成立极坐标系．2（Ⅰ）求 C2的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线 C3的极坐标方程为ρ sin （﹣θ） =1，且曲线 C3与曲线 C2订交于 P，Q两点，求 |PQ| 的值．【解答】解：（Ⅰ）C2的参数方程为（α为参数），一般方程为（ x′﹣ 1）2+y′2=1，∴ C2的极坐标方程为ρ =2cosθ；（Ⅱ）C2是以（1，0）为圆心， 2 为半径的圆，曲线 C3的极坐标方程为ρ sin （﹣θ） =1，直角坐标方程为x﹣y﹣2=0，∴圆心到直线的距离d== ，∴ |PQ|=2=．15．已知半圆 C 的参数方程为，a为参数，a∈[﹣，] ．（Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴成立极坐标系，求半圆 C 的极坐标方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设T 是半圆 C 上一点，且 OT=，试写出T点的极坐标．【解答】解：（Ⅰ）由半圆 C的参数方程为，a为参数，a∈[﹣，] ，则圆的一般方程为x2+（y﹣1）2=1（0≤x≤1），由 x=ρ cosθ， y=ρ sin θ， x2+y2=ρ2，可得半圆 C 的极坐标方程为ρ =2sin θ，θ∈ [0 ，] ；（Ⅱ）由题意可得半圆 C 的直径为 2，设半圆的直径为OA，则 sin ∠TAO=，因为∠ TAO∈ [0 ，] ，则∠ TAO=，因为∠ TAO=∠TOX，因此∠ TOX=，T 点的极坐标为（，）．16．已知曲线 C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ =2sin θ．（Ⅰ）把 C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求 C1与 C2交点的极坐标（ρ≥ 0， 0≤θ＜ 2π）【解答】解：（Ⅰ）曲线 C1的参数方程式（t为参数），得（ x﹣4）2+（y﹣5）2=25 即为圆 C1的一般方程，即 x2+y2﹣8x﹣10y+16=0．将 x=ρ cosθ， y=ρ sin θ代入上式，得．ρ2﹣8ρcosθ﹣ 10ρsin θ +16=0，此即为 C1的极坐标方程；（Ⅱ）曲线 C2的极坐标方程为ρ =2sin θ化为直角坐标方程为：x2+y2﹣2y=0，由，解得或．∴ C1与 C2交点的极坐标分别为（，），（2，）．。

极坐标与参数方程高考题1.在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（I ）求12,C C 的极坐标方程. （II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积. 解：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.（Ⅱ）将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=2ρ，|MN|=1ρ－2ρ，因为2C 的半径为1，则2C MN 的面积o 11sin 452⨯=12.2.已知曲线194:22=+y x C ，直线⎩⎨⎧-=+=t y t x l 222:（t 为参数） （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值. 解：(1)曲线C 的参数方程为(θ为参数).直线l 的普通方程为2x+y-6=0. (2)曲线C 上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l 的距离为|4cos θ+3sin θ-6|, 则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α=43.当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,3.在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,(1)求C 的参数方程;(2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D 的坐标.解：(1)C 的普通方程为(x-1)2+y 2=1(0≤y ≤1).可得C 的参数方程为: x 1cos sin y θθ=+⎧⎨=⎩(0≤θ≤π).(2)设D(1+cos θ,sin θ).由(1)知C 是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为C 在点D 处的切线与l 垂直,所以直线GD 与l 的斜率相同,tan θ=,θ=3π.故D 的直角坐标为32（. 4.将圆x 2+y 2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.解：(1)设(x 1,y 1)为圆上的点,经变换为C 上点(x,y),由22x y +=1得x 2+22y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1,即曲线C 的方程为4x 2+2y =4.故C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 2cos x y (θ为参数).(2)由解得或不妨设P 1(1,0),P 2(0,2),则线段P 1P 2的中点坐标为12（，1）,所求直线斜率为k=12,于是所求直线方程为y-1=12（x-12）,化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3,即ρ=θθsin 4cos 23--. 5.在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M 、N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标；(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2，当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)M 点的直角坐标为(2,0)．N 点的直角坐标为(0，233)．所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．6.在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin (θ－π4)＝22，(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ，即x2＋y 2－x －y ＝0.直线l ：ρsin(θ－π4)＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为(1，π2)．7.在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程．解：由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.8.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |. 解：(1)ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5.(4分) (2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得(3－22t )2＋(22t )2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.9.在直角坐标版权法xOy 吕，直线l的参数方程为132(x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=.(I)写出C 的直角坐标方程；(II)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的坐标. 解：(I)由ρθ=，得2sin ρθ=，从而有22x y +=，所以(223x y +-=(II)设132P t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又C，则PC ==， 故当0t =时，PC 取得最小值，此时P 点的坐标为(3,0).。

专题：极坐标与参数方程1、已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为14cos 24sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线l 经过定点(3,5)P ，倾斜角为3π. （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求||||PA PB 的值.2、在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos C ρθθ=，过点(2,1)P -的直线2cos 45:1sin 45x t l y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）与曲线C 交于,M N 两点.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）求22||||PM PN +的值.3、在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线：23cos 3sin x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：(cos sin )6ρθθ-=.（1）求曲线C 上点P 到直线l 距离的最大值；（2）与直线l 平行的直线1l 交C 于,A B 两点，若||2AB =，求1l 的方程．4、在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（为参数），曲线 2C 的极坐标方程为cos 2sin 40ρθρθ--=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上一点，Q 为曲线2C 上一点，求||PQ 的最小值．5.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），在以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立的极坐标系中，曲线2C 是圆心为3,2π⎛⎫⎪⎝⎭，半径为1的圆.（1）求曲线1C 的普通方程，2C 的直角坐标方程；（2）设M 为曲线1C 上的点，N 为曲线2C 上的点，求||MN 的取值范围.6. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），曲线2C ：2220x y y +-=，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，射线():0l θαρ=≥与曲线1C ，2C 分别交于,A B （均异于原点O ）.（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）当02πα<<时，求22||||OA OB +的取值范围.7. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(,1)P a ，其参数方程为212x a ty t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，a R ∈），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=.（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线1C 与2C 交于,A B 两点，且||2||PA PB =，求实数a 的值.8. 在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )43ρθθ+=，若射线6πθ=，3πθ=，分别与l 交于,A B两点.（1）求||AB ；（2）设点P 是曲线2219y x +=上的动点，求ABP ∆面积的最大值.极坐标与参数方程——练习1.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t ，(t 为参数),椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点，求线段AB 的长.2.在直角坐标系xOy 中,曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α(t 为参数,t≠0),其中0≤α＜π,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ＝2sin θ,C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A,C 1与C 3相交于点B ,求|AB |的最大值.3.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标.4.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的方程为x 2－2x ＋y 2＝0,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R ).(1)写出C 的极坐标方程,并求l 与C 的交点M,N 的极坐标； (2)设P 是椭圆x 23＋y 2＝1上的动点,求△PMN 面积的最大值.5.直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数),曲线C 的极坐标方程为(1＋sin 2θ)ρ2＝2. (1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程.(2)设直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,若点P 为(1,0),求1|PA |2＋1|PB |2的值.6. 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为325:45x t C y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为sin a ρθ=． （1）若2a =，求圆C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程； （2）设直线l 截圆C 的弦长等于圆Ca 的值．7. 在直角坐标系xOy 中，直线1C ：y =，曲线2C 的参数方程是cos 2sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求1C 的极坐标方程和2C 的普通方程； （2）把1C 绕坐标原点沿顺时针方向旋转3π得到直线3C ，3C 与2C 交于A ，B 两点，求||AB ．8.将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.极坐标与参数方程参考答案1.【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ，得曲线C的普通方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=16；∵直线l经过定点P（3，5），倾斜角为，∴直线l的参数方程为：，t为参数．（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程，得t2+（2+3）t﹣3=0，设t1、t2是方程的两个根，则t1t2=﹣3，∴|PA|•|PB|=|t1|•|t2|=|t1t2|=3．2．【解答】解：（1）曲线C：ρsin2θ=2cosθ，即ρ2sin2θ=2ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；直线l：（t为参数），消去t，可得直线l的普通方程x﹣y﹣3=0；（2）将直线l：代入曲线C的标准方程：y2=2x得：t2﹣4t﹣6=0，∴|PM|2+|PN|2=|t1|2+|t2|2=（t1﹣t2）2+2t1t2=32．3、【解答】（1）直线l ：(cos sin )6ρθθ-=化成普通方程为60x y --=．曲线化成普通方程为22(2)3x y -+=∴圆心(2,0)C 到直线l 的距离为d ==∴曲线C 上点P 到直线l 距离的最大值为（2）设直线1l 的方程为0x y λ-+=， (2,0)C 到直线1l 的距离为d === ∴或∴直线1l 的方程为或4.【解答】（1）由曲线C 1的参数方程为（θ为参数），消去参数θ得，曲线C 1的普通方程得+=1．由ρcos θ﹣ρsin θ﹣4=0得，曲线C 2的直角坐标方程为x ﹣y ﹣4=0…（2）设P （2cos θ，2sin θ），则点P 到曲线C 2的距离为d==，当cos （θ+45°）=1时，d 有最小值0，所以|PQ|的最小值为0.5．【解答】解：（1）消去参数φ可得C1的直角坐标方程为+y2=1，∵曲线C2是圆心为（3，），半径为1的圆曲线C2的圆心的直角坐标为（0，3），∴C2的直角坐标方程为x2+（y﹣3）2=1；（2）设M（2cosφ，sinφ），则|MC2|====，∴﹣1≤sinφ≤1，∴由二次函数可知2≤|MC2|≤4，由题意结合图象可得|MN|的最小值为2﹣1=1，最大值为4+1=5，∴|MN|的取值范围为[1，5]6.【解答】解：（1）∵，∴，由得曲线C1的极坐标方程为，∵x2+y2﹣2y=0，∴曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ；（2）由（1）得，|OB|2=ρ2=4sin2α，∴∵，∴1＜1+sin2α＜2，∴，∴|OA|2+|OB|2的取值范围为（2，5）．7．【解答】解：（1）曲线C1参数方程为，∴其普通方程x﹣y﹣a+1=0，由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0，∴ρ2cos2θ+4ρcosθ﹣ρ2=0∴x2+4x﹣x2﹣y2=0，即曲线C2的直角坐标方程y2=4x．（2）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解得要有两个不同的交点，则，即a＞0，由韦达定理有根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，又由|PA|=2|PB|可得2|t1|=2×2|t2|，即t1=2t2或t1=﹣2t2∴当t1=2t2时，有t1+t2=3t2=，t1t2=2t22=，∴a=＞0，符合题意．当t1=﹣2t2时，有t1+t2=﹣t2=，t1t2=﹣2t22=，∴a=＞0，符合题意．综上所述，实数a的值为或．8．【解答】解：（1）直线，令，解得，∴，令，解得ρ=4，∴又∵，∴，∴|AB|=2．（2）∵直线，曲线，∴=当且仅当，即时，取“=”，∴，∴△ABP面积的最大值为3．极坐标与参数方程——练习参考答案1．【解答】解：由，由②得，代入①并整理得，．由，得，两式平方相加得．联立，解得或．∴|AB|=．2．【解答】解：（1）曲线C2：ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y，①C 3：ρ=2cosθ，则ρ2=2ρcosθ，即x2+y2=2x，②由①②得或，即C2与C3交点的直角坐标为（0，0），（，）；（2）曲线C1的直角坐标方程为y=tanαx，则极坐标方程为θ=α（ρ∈R，ρ≠0），其中0≤a＜π．因此A得到极坐标为（2sinα，α），B的极坐标为（2cosα，α）．所以|AB|=|2sinα﹣2cosα|=4|sin（α）|，当α=时，|AB|取得最大值，最大值为4．3．【解答】解：（1）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（2）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．4．【解答】解：（1）因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的直角坐标方程为y=x，联立方程组，解得或，所以点M，N的极坐标分别为（0，0），（，）．（2）由（1）易得|MN|=因为P是椭圆+y2=1上的点，设P点坐标为（cosθ，sinθ），则P到直线y=x的距离d=，所以S△PMN==≤1，当θ=kπ﹣，k∈Z时，S△PMN取得最大值1．5．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t得直线l的普通方程为x﹣y﹣=0，曲线C的极坐标方程ρ2+ρ2sin2θ=2，化成直角坐标方程为x2+2y2=2，即+y2=1．（2）将直线l的参数方程代入曲线C：x2+2y2=2，得7t2+4t﹣4=0．设A，B两点在直线l的参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣，t1t2=﹣，∴+=+==．6．【解答】解：（1）当a=2时，ρ=asinθ转化为ρ=2sinθ整理成直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2=1直线的参数方程（t为参数）．转化成直角坐标方程为：4x+3y﹣8=0 （2）圆C的极坐标方程转化成直角坐标方程为：直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，所以：2|3a﹣16|=5|a|，利用平方法解得：a=32或．7．【解答】解：（1）∵直线，∴直线C1的极坐标方程为，∵曲线C2的参数方程是（θ为参数），∴消去参数θ，得曲线C2的普通方程为．（2）∵把C1绕坐标原点沿逆时针方向旋转得到直线C3，∴C3的极坐标方程为，化为直角坐标方程为．圆C2的圆心（，2）到直线C3：的距离：．∴．8．【解答】解：（1）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，∴x2+=1，即曲线C的方程为x2+=1，化为参数方程为（0≤θ＜2π，θ为参数）．（2）由，可得，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），则线段P1P2的中点坐标为（，1），再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y﹣1=（x﹣），即x﹣2y+ =0．再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0，即ρ=．。

1．在极坐标系中，以点(2,)2C π为圆心，半径为3的圆C 与直线:()3l R πθρ=∈交于,A B 两点.〔1〕求圆C 及直线l 的普通方程.〔2〕求弦长AB .2．在极坐标系中，曲线2:sin 2cos L ρθθ=，过点A 〔5，α〕〔α为锐角且3tan 4α=〕作平行于()4R πθρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点.(Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程；(Ⅱ)求|BC|的长.3．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． 〔1〕写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；〔2〕求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值． 4．已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=．〔1〕求圆心C 的直角坐标；〔2〕由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t ty ta x ,3⎩⎨⎧=+=.在极坐标系〔与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴〕中，圆C 的方程为θρcos 4=. 〔Ⅰ〕求圆C 在直角坐标系中的方程； 〔Ⅱ〕假设圆C 与直线l 相切，求实数a 的值.6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆Cr=1，P 在圆C 上运动。

〔I 〕求圆C 的极坐标方程；〔II 〕在直角坐标系〔与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴〕中，假设Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。

7．在极坐标系中，极点为坐标原点O ，已知圆C，直线l 的极坐标〔1〕求圆C 的极坐标方程；〔2〕假设圆C 和直线l 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.8．平面直角坐标系中，将曲线⎩⎨⎧==ααsin cos 4y x 〔α为参数〕上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线1C ．以坐标原点为极点，x 的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线2C 的方程为θρsin 4=，求1C 和2C 公共弦的长度． 9．在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=.21, 233t y t x 〔t 为参数〕。

极坐标参数方程高考练习含答案非常好的练习题公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]极坐标与参数方程高考精练（经典39题）1．在极坐标系中，以点(2,)2C π为圆心，半径为3的圆C 与直线:()3l R πθρ=∈交于,A B两点.（1）求圆C 及直线l 的普通方程.（2）求弦长AB .2．在极坐标系中，曲线2:sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α）（α为锐角且3tan 4α=）作平行于()4R πθρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点.(Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程；(Ⅱ)求|BC|的长.3．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ．（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值．4．已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=．（1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t ty ta x ,3⎩⎨⎧=+=.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρcos 4=.（Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程；（Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值.6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为(2,)3π，半径r=1，P 在圆C 上运动。

（I ）求圆C 的极坐标方程；（II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。

1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知直线l的参数方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=.（Ⅰ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB .2．已知直线l 经过点1(,1)2P ，倾斜角α＝6π，圆C的极坐标方程为)4πρθ=-.(1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程；(2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=．（I ）求圆心C 的直角坐标；(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 4．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C 的参数方程为12cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数），点Q的极坐标为7)4π。

（1）化圆C 的参数方程为极坐标方程；（2）直线l 过点Q 且与圆C 交于M ，N 两点，求当弦MN 的长度为最小时，直线l 的直角坐标方程。

5．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值．6．（本小题满分10分） 选修4-4坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 22cos 2y x ，(α为参数) M 是曲线1C 上的动点，点P 满足2=，（1）求点P 的轨迹方程2C ；（2）在以D 为极点，X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与曲线1C ，2C 交于不同于原点的点A,B 求AB7．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐V 标方程为πcos =13ρθ⎛⎫-⎪⎝⎭，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点． （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标；（2）求直线OM 的极坐标方程． 8．在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为：2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C 2是极坐标方程为：cos ρθ=， (1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若P ，Q 分别是曲线C 1和C 2上的任意一点，求PQ 的最小值.9．已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l的参数方程为1221122x x t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数），点A的极坐标为4π⎫⎪⎪⎝⎭，设直线l 与圆C 交于点P 、Q .（1）写出圆C 的直角坐标方程；（2）求AP AQ ⋅的值.10．已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos 2sin x ty t =⎧⎨=⎩（β为参数）上，对应参数分别为t α=与2t α=（0＜α＜2π），M 为PQ 的中点。

极坐标与参数方程单元练习1一、选择题（每小题5分，共25分）1、已知点M 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。

A. 53，-⎛⎝ ⎫⎭⎪πB. 543，π⎛⎝ ⎫⎭⎪C. 523，-⎛⎝ ⎫⎭⎪πD. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-355π， 2、直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心3、在参数方程⎩⎨⎧+=+=θθsin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ）4、曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ）A 、线段B 、双曲线的一支C 、圆D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2＋2y 2=6x ，则x 2＋y 2的最大值为（ ）A 、27 B 、4 C 、29D 、5二、填空题（每小题5分，共30分）1、点()22-，的极坐标为 。

2、若A 33，π⎛⎝ ⎫⎭⎪，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-64π，，则|AB|=___________，S AOB ∆=___________。

（其中O 是极点）3、极点到直线()cos sin 3ρθθ+=的距离是________ _____。

4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-⋅=表示的曲线是_______ _____。

5、圆锥曲线()为参数θθθ⎩⎨⎧==sec 3tan 2y x 的准线方程是 。

6、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是3π，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为 。

三、解答题（第1题14分，第2题16分，第3题15分；共45分）1、求圆心为C 36，π⎛⎝ ⎫⎭⎪，半径为3的圆的极坐标方程。

2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程。

1、在直角坐标系中，圆的方程为，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆的极坐标方程； （2与圆交于点，求线段的长.2、在直角坐标系中，以原点为极点，点的，点，曲线．（1和直线的极坐标方程；（2）过点的射线交曲线于点，交直线于点，若，求射线所在直线的直角坐标方程.3、在平面直角坐标系中，直线（为参数）．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，圆的方程为 （1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）若点坐标为，圆与直线交于两点，求xOy C O xC C ,M N MN O A B 22:(1)1C x y -+=AB O l C M AB N ||||2OM ON =l xOy l t O x C l C P C l B A ,4、在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求直线和曲线的普通方程； （2）已知点，且直线和曲线交于两点，求的值5、在平面直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为. （1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程； （2）设直线与曲线相交于两点，求.6、在平面直角坐标系中，直线（为参数）.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为.（1）求直线的极坐标方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若是直线C最大值.xOy C 244x k y k ⎧=⎨=⎩k x l l C (2,0)P l C A B ，||||||PA PB -l ()0,1P x C 4sin ρθ=l C l C A B 、xoy l t x 2sin ρθ=l ()1,A ρθl参考答案1、【答案】（1（2试题分析：（1）由，得到圆的极坐标方程；（2）将直线的极坐标代入，得到，所以试题解析： （1（2得，∴，，∴2、【答案】（1）,；（2）.试题分析：（1）将代入化简得.同理求出点,的直角坐标分别为,，所以的直角坐标方程为，极坐标方程为；（2）设射线，代入曲线得,代入直线得：，代入求得，即方程为. 试题解析：(1)点,的直角坐标分别为,，所以直线的极坐标方程为；曲线化为极坐标为(2)设射线，代入曲线得,代入直线得：所以射线所在直线的直角坐标方程为 考点：坐标系与参数方程.cos ,sin x y ρθρθ==2250ρρ--=2250ρρ--=122ρρ+=125ρρ=-2cos ρθ=sin 3ρθ=3y x =cos ,sin x y ρθρθ==22(1)1x y -+=2cos ρθ=A B (0,3)A AB 3y =sin 3ρθ=:l θα=C 2cos M ρα=AB ||||2OM ON =tan 3α=3y x =A B (0,3)A AB sin 3ρθ=C 2cos ρθ=:l θα=C 2cos M ρα=AB l 3y x =3、【答案】（1（2试题分析：（1)将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取恰当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法；(2）将参数方程转化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若有范围限制，要标出的取值范围；（2）直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式及直接代入并化简即可；而极坐标方程化为极坐标方程要通过变形，构造形如，，的形式，进行整体代换，其中方程的两边同乘以（或同除以）及方程的两边平方是常用的变形方法．试题解析：（1得直线得圆的直角坐标方程为把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得故可设，又直线l ，两点对应的参数分别为，，考点：1、参数方程与普通方程的互化；2、直线与圆的综合问题．4、【答案】（1）（2试题分析：（1）消去曲线C 中的参数可得C 的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可得直线的普通方程.（2）由直线的普通方程可知直线过P ，写出直线的参数方程，与曲线C 的普通方程联立，利用直线参数的几何意义及韦达定理可得结果. 【详解】（1）因为曲线的参数方程为（为参数），所以消去参数，得曲线的普通方程为y x ,y x ,θρcos =x θρsin =y θρcos θρsin 2ρρl C l C 1t 2t B A ,1t 2t 24y x =l l l C 244x k y k ⎧=⎨=⎩k k C 24y x =因为直线所以直线（2）因为直线经过点，所以得到直线（为参数）把直线的参数方程代入曲线的普通方程，得【点睛】本题考查了直角坐标方程与极坐标方程及参数方程的互化，考查了直线参数方程及参数的几何意义，属于中档题.5、【答案】（1）直线(为参数）；曲线的直角坐标方程为；（2试题分析：（1）先根据直线参数方程标准式写直线的参数方程，利用化简极坐标方程为直角坐标方程；（2）将直线参数方程代入圆方试题解析：（1）直线(为参数）. ∵，∴，∴，即， 故曲线的直角坐标方程为.l l l 20P （，）l t l C l t C ()2224x y +-=l y sin ,x cos ρθρθ==l t 4sin ρθ=24sin ρρθ=224x y y +=()2224x y +-=C ()2224x y +-=（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，显然,∴,∴6、【答案】（1，曲线；（2）2试题分析：（1）消去参数可得直线的普通方程，利用公式可把极坐标方程与直角坐标方程互化；（2这个最大值易求．【详解】（1）∵直线（为参数），∴消去参数，得直线由，得直线C的极坐标方程为，即，∴由，，得曲线C的直角坐标方程为.（2）∵在直线C上，l C230t t--=∆>2121,3lt t t t+==-2220x y y+-=cos,sinx yρθρθ==l tlcos,sinx yρθρθ==l2sinρθ=22sinρρθ=222x yρ=+sin yρθ=2220x y y+-=()1,Aρθl2【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，掌握公是解题基础，在求论易得，学习时应注意体会．cos,sinx yρθρθ==。

极坐标参数方程解答题训练1．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为11x mty t=+⎧⎨=-⎩m R t ∈（，为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=-． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若曲线C 上的点到直线l1，求实数m 的值．2．在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为612x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数），曲线2C 的参数方程22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线12,C C 的极坐标方程；（2）若射线:(0)l θαρ=分别交12C ,C 于A ，B 两点，求||||OB OA 的最大值.3．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点O 为坐标原点，极轴为x 的正半轴建立平面直角坐标系xOy . （1）求1C 和2C 的参数方程； （2）已知射线1:(0)2l πθαα=<<，将1l 逆时针旋转6π得到2:6l πθα=+，且1l 与1C 交于,O P 两点，2l 与2C 交于,O Q 两点，求OP OQ ⋅取得最大值时点P 的极坐标.4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,2sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），已知点(4,0)Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（2）已知直线l ：y kx =与曲线2C 交于,A B 两点，若3OA AB =，求k 的值.5．在直角坐标系xOy 中，直线1C的参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（其中t为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin ρθθ=.（1）求1C 和2C 的直角坐标方程；（2）设点()0,2P ，直线1C 交曲线2C 于,M N 两点，求22PM PN +的值.6．已知在极坐标系中，点(2,)6A π，2(23,)3B π，C 是线段AB 的中点，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线Ω的参数方程是2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=-+⎩（θ为参数）.（1）求点C 的直角坐标，并求曲线Ω的普通方程；（2）设直线l 过点C 交曲线Ω于,P Q 两点，求CP CQ ⋅的值.7．在直角坐标系xOy 中，直线1:3C x =-，圆()()222:211C x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求12,C C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设23,C C 的交点为A ，B ，求2C AB ∆的面积．8．在极坐标系下，已知圆和直线（1）求圆和直线的直角坐标方程； （2）当时，求圆和直线的公共点的极坐标.9．已知曲线C 的极坐标方程是2221sin θρ=+，直线l的参数方程是1(x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数） （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴的交点是P ，直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求11||||PM PN +的值．10．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为22cos 28cos 8ρθρθρ+=+（1）求曲线1C 的直角坐标方程;（2）曲线2C 的方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），若曲线1C 与曲线2C 交于A 、B 两点，且8AB ＝，求直线AB 的斜率.11．已知极点与坐标原点O 重合，极轴与x 轴非负半轴重合，M 是曲线1:2sin C ρθ=上任一点P 满足3OP OM =，设点P 的轨迹为Q .（1）求曲线Q 的平面直角坐标方程；（2）将曲线Q 向右平移1个单位后得到曲线N ，设曲线N 与直线:1x tl y t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数）相交于A 、B 两点，记点()0,1T ，求TA TB +.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为32cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2ρ=. （1）设点,M N 分别为曲线1C 与曲线2C 上的任意一点，求||MN 的最大值；（2）设直线1cos :sin x t l y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线1C 交于,P Q 两点，且||1PQ =，求直线l 的普通方程.13．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝6sinθ，建立以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴的平面直角坐标系．直线l 的参数方程是cos 2sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩，(t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB k ．14．在直角坐标系xOy 中，射线l 的方程为(1)(1)3y x x =+≥-，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的方程为10cos ρθ=.一只小虫从点(1,0)A -沿射线l 向上以2单位/min 的速度爬行（1）以小虫爬行时间t 为参数，写出射线l 的参数方程； （2）求小虫在曲线1C 内部逗留的时间.15．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（[0,2),απα∈为参数），在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换'2,'x x y y=⎧⎨=⎩得到曲线1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（ρ为极径，θ为极角）．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和曲线1C 的极坐标方程；（Ⅱ）若射线():0OA θβρ=>与曲线1C 交于点A ，射线():02OB πθβρ=+>与曲线1C 交于点B ，求2211OAOB+的值．16．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程是222813(1)1k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（k 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()4πρθ+=（1）曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的取值范围．17．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ++=．（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．18．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为512x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），圆C 的极坐标方程为4cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求直线l 和圆C 的直角坐标方程；（2）若点(),P x y 在圆Cy -的取值范围.19．在直角坐标系xoy 中,以原点O 为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线1C 的极坐标方程为22312cos ρθ=+,直线的极坐标方程为4sin cos ρθθ=+.(1)写出曲线1C 与直线的直角坐标方程;(2)设Q 为曲线1C 上一动点，求Q 点到直线距离的最小值.20．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cosx y αα=⎧⎪⎨⎪⎩，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点()1,0P -，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求11PA PB +的值．。

极坐标与参数方程练习1.把点P 的直角坐标(—6，2)化为极坐标为________．5)6π 2．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，2π3，则它的直角坐标是________．(－1，3) 3．极坐标为⎝⎛⎭⎫32，π的点M 的直角坐标是________．⎝⎛⎭⎫－32，0 4．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为________．x 2＋(y －2)2＝45．极坐标方程ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝4化为直角坐标系方程是________80y +-= 6．极坐标系中，曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1相交于点A ，B ，则||AB ＝_____________.2 37．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的圆心的极坐标是______，(1,0)8．已知圆的极坐标方程为ρ＝2cos θ，则圆心的直角坐标是_____；半径长为________．(1,0) 19．若直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，与直线3x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝____________.－3 10．在极坐标系中，点()1，0到直线ρ()cos θ＋sin θ＝2的距离为________．2211．极坐标系中，圆ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的动点到直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0的距离的最大值是________．42＋212．已知圆的极坐标方程ρ＝2cos θ，直线的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0，则圆心到直线距离为__________．85513．在极坐标系中，点A ⎝⎛⎭⎫1，π4到直线ρsin θ＝－2的距离是________．．2＋2214．在极坐标系中，过点A ⎝⎛⎭⎫4，－π2引圆ρ＝4sin θ的一条切线，则切线长为______． 15．参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3cos φy ＝2sin φ (φ为参数)化为 普通方程为________ 22194x y +=16．在直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θy ＝2＋2sin θ(θ为参数)，则圆C 的普通方程为________，x 2＋(y －2)2＝417．已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos θ＋1y ＝sin θ，(θ为参数)，则点P ()4，4与圆C 上的点的最远距离是_________．618．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t y ＝1－t (t 为参数)被圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝25所截得的弦长为________．.82 19．若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)与直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)垂直，则k ＝________.-1 20．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋cos θy ＝－2＋sin θ (θ为参数)没有公共点，则实数m 的取值范围是________________ (－∞，0)∪(10，＋∞)。

一．选择题（共4小题）1．在极坐标系中，圆C ：ρ2+k 2cos ρ+ρsin θ﹣k=0关于直线l ：θ=（ρ∈R ）对称的充要条件是（ ）2．过点A （4，﹣）引圆ρ=4sin θ的一条切线，则切线长为（ ）． B C二．填空题（共11小题） 5．极坐标系下，直线与圆的公共点个数是 __ ．6．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 1、C 2的极坐标方程分别为，，则曲线C 1上的点与曲线C 2上的点的最远距离为 _________ ．7．在极坐标系中，点M （4，）到直线l ：ρ（2cos θ+sin θ）=4的距离d= _________ ． 8．极坐标方程所表示曲线的直角坐标方程是 _________ ．9．已知直线（t 为参数）与曲线（y ﹣2）2﹣x 2=1相交于A ，B 两点，则点M （﹣1，2）到弦AB 的中点的距离为 _________ ． 10．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程是ρ=6sin θ，以极点为坐标原点，极轴为x的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是为参数），则直线l 与曲线C 相交所得的弦的弦长为 _________ ． 11．（坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C ：psin 2θ=2acos θ（a ＞0），过点P （﹣2，﹣4）的直线l 的参数方程为，直线l 与曲线C 分别交于M 、N ．若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，则实数a 的值为_________ ．12．已知曲线（t 为参数）与曲线（θ为参数）的交点为A ，B ，，则|AB|=13．在平面直角坐标下，曲线，曲，若曲线C 1、C 2有公共点，则实数a 的取值范围为 _________ ．14．（选修4﹣4：坐标系与参数方程） 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为． （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为，求|PA|+|PB|．15．已知过定点P （﹣1，0）的直线l ：（其中t 为参数）与圆：x 2+y 2﹣2x ﹣4y+4=0交于M ，N 两点，则PM ．PN= _________ ．三．解答题（共3小题）16．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C 的参数方程为．以直角坐标系原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．点P为曲线C上的一个动点，求点P到直线l距离的最小值．17．在平面直角坐标系xOy中，圆C 的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，1），倾斜角，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆圆C相交与两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．18．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为（θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为．（Ⅰ）求曲线C在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．在极坐标系中，圆C：ρ2+k2cosρ+ρsinθ﹣k=0关于直线l：θ=（ρ∈R）对称的充要条件是（）在直线所以，即2．过点A（4，﹣）引圆ρ=4sinθ的一条切线，则切线长为（），运算求得结果．）即==43．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（﹣1，1），若取原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建（|OP|=﹣．∴圆心的极坐标二．填空题（共11小题）5．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线与圆的公共点个数是1．解：直线，即x+y=圆心到直线的距离等于=6．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 1、C 2的极坐标方程分别为，，则曲线C 1上的点与曲线C 2上的点的最远距离为．d=|CQ||PQ|=d+r=故答案为：7．（2004•上海）在极坐标系中，点M （4，）到直线l ：ρ（2cos θ+sin θ）=4的距离d=．，）化成直角坐标方程为（）==故填：8．极坐标方程所表示曲线的直角坐标方程是．解：∵极坐标方程=59．已知直线（t 为参数）与曲线（y ﹣2）2﹣x 2=1相交于A ，B 两点，则点M （﹣1，2）到弦AB 的中点的距离为 ．=，，根据中点坐标的性质可得中点对应的参数为中点的距离为×…故答案为：．10．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程是ρ=6sin θ，以极点为坐标原点，极轴为x的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是为参数），则直线l 与曲线C 相交所得的弦的弦长为 4 ．，我们可以求出直线的一般方程，代入点到圆心距为．所以11．（坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C ：psin 2θ=2acos θ（a ＞0），过点P （﹣2，﹣4）的直线l 的参数方程为，直线l 与曲线C 分别交于M 、N ．若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，则实数a 的值为1 ．2|x 则由•，|x |x 12．已知曲线（t 为参数）与曲线（θ为参数）的交点为A ，B ，，则|AB|=．解：把曲线化为普通方程得：=，即把曲线联立得：，消去，﹣．213．在平面直角坐标下，曲线，曲线，若曲线C 1、C 2有公共点，则实数a 的取值范围为 ． 解：曲线曲线∴，﹣22，故答案为：14．（选修4﹣4：坐标系与参数方程） 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为． （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为，求|PA|+|PB|． 的方程为∴的直角坐标方程：（Ⅱ），即由于所以15．已知过定点P （﹣1，0）的直线l ：（其中t 为参数）与圆：x 2+y 2﹣2x ﹣4y+4=0交于M ，N 两点，则PM ．PN= 7 ．（其中×t=7=0三．解答题（共3小题）16．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为．以直角坐标系原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．点P为曲线C 上的一个动点，求点P 到直线l 距离的最小值．）=2化简为：ρ，即===﹣17．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为（θ为参数），直线l 经过点P （1，1），倾斜角，（1）写出直线l 的参数方程；（2）设l 与圆圆C 相交与两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积． 化为普通方程为，把直线，∴18．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为．（Ⅰ）求曲线C在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．的距离为=。

极坐标参数方程练习题1．在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程； (2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积． 解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.4．(2014·辽宁，23，10分，中)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，经变换为C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎨⎧x ＝x 1，y ＝2y 1，由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1.即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)．(2)由⎩⎨⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －12.化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝34sin θ－2cos θ.(2)(2015·吉林长春二模，23，10分)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x轴，y 轴的交点．①写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； ②设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．【解析】 (1)将2ρcos 2θ＝sin θ两边同乘以ρ，得2(ρcos θ)2＝ρsin θ，化为直角坐标方程为2x 2＝y ，①C 2：ρcos θ＝1化为直角坐标方程为x ＝1，② 联立①②可解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，所以曲线C 1与C 2交点的直角坐标为(1，2)． (2)①∵ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，∴ρcos θ·cosπ3＋ρsin θ·sin π3＝1. 又⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴12x ＋32y ＝1，即曲线C 的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0. 令y ＝0，则x ＝2；令x ＝0，则y ＝233. ∴M (2，0)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233.∴M 的极坐标为(2，0)，N 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.②M ，N 连线的中点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，P 的极角为θ＝π6.∴直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )． 注：极坐标下点的坐标表示不唯一．【点拨】 解答题(1)的关键是掌握直角坐标化为极坐标的方法；题(2)先转化为直角坐标问题求解，再转化为极坐标．(2013·课标Ⅰ，23，10分)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．【解析】 (1)将⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程为(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.联立C 1，C 2的方程⎩⎨⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0， 解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2. 【点拨】 本题主要考查圆的参数方程、极坐标方程和标准方程以及圆与圆的位置关系，解题的关键是将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程求解．(2012·辽宁，23，10分)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2知圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.解⎩⎨⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C 1与圆C 2的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)方法一：由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1，y ＝t (－3≤t ≤3)．⎝ ⎛⎭⎪⎫或参数方程写成⎩⎨⎧x ＝1，y ＝y ，－3≤y ≤ 3 方法二：将x ＝1代入⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1，y ＝tan θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤θ≤π3.5．(2015·河北邯郸二模，23，10分)已知圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋32t ，y ＝12＋12t (t 为参数)，点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，设直线l 与圆C 交于点P ，Q .(1)写出圆C 的直角坐标方程； (2)求|AP |·|AQ |的值．解：(1)因为圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ， 所以ρ2＝2ρcos θ，将其转化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ， 即(x －1)2＋y 2＝1.(2)由点A 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4得直角坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12.将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋32t ，y ＝12＋12t (t 为参数)代入圆C 的直角坐标方程(x －1)2＋y2＝1，得t 2－3－12t －12＝0.设t 1，t 2为方程t 2－3－12t －12＝0的两个根，则t 1t 2＝－12， 所以|AP |·|AQ |＝|t 1t 2|＝12.2．(2015·课标Ⅱ，23，10分，中)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α，(t为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值． 解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0， 曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0. 联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0， 解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α| ＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3.当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4. 3．(2015·陕西，23，10分，易)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t (t 为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解：(1)由ρ＝23sin θ，得 ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3.(2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，|PC |取得最小值， 此时，P 点的直角坐标为(3，0)．5．(2014·课标Ⅱ，23，10分，中)在直线坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.7．(2013·课标Ⅱ，23，10分，中)已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 解：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)， 因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0<α<2π)． (2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0<α<2π)． 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．(2014·课标Ⅰ，23，10分)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1.直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．【思路导引】 (1)由基本关系式可消参求出普通方程；(2)把|PA |用参数θ来表示，从而求其最值．【解析】 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43. 当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255. (2013·辽宁，23，10分)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2.(1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点，已知直线PQ 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．【解析】 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4， 直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0. 解⎩⎨⎧x 2＋（y －2）2＝4，x ＋y －4＝0得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎨⎧x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.由参数方程可得y ＝b 2(x －a )＋1＝b 2x －ab2＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧b2＝1，－ab 2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.【点拨】 解答本题的关键是明确转化思想的运用，即把极坐标化为直角坐标，把参数方程化为普通方程求解问题．2011·课标全国，23，10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.解：(1)设P (x ，y )， 则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y 2＝2＋2sin α，即⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)．(2)C 1化为普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，故曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，同理可得曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为 ρ1＝4sinπ3＝23， 射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为 ρ2＝8sinπ3＝4 3. 所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.5．(2014·辽宁锦州一模，23，10分)已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos(θ－π4)＋6＝0.(1)将极坐标方程化为普通方程；(2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值． 解：(1)原方程变形为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，化直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝2. (2)设圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，点P (x ，y )在圆上，则x ＋y ＝4＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4.所以x ＋y 的最大值为6，最小值为2.6．(2015·山西太原联考，23，10分)已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，π6，曲线C 的极坐标方程为ρ2＋23ρsin θ＝1.(1)写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；(2)若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l ：⎩⎨⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t(t 为参数)距离的最小值．解：(1)点P 的直角坐标为(3，3)．由ρ2＋23ρsin θ＝1，得x 2＋y 2＋23y ＝1，即x 2＋(y ＋3)2＝4，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y ＋3)2＝4.(2)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为x －2y －7＝0. 设Q (2cos θ，－3＋2sin θ)，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋cos θ，sin θ，那么点M 到直线l 的距离为 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32＋cos θ－2sin θ－712＋22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ－2sin θ－1125＝5sin （θ－φ）＋1125≥ －5＋1125＝11510－1，115 10－1.∴点M到直线l的最小距离为。

极坐标与参数方程测试一、选择题（每题 4 分）1．点 M 的极坐标 (5,2) 化为直角坐标为（C ）3A ． (5 , 5 3 ) B ．(5, 53) C ．(5,5 3) D ．(5,5 3)222222222．点 M 的直角坐标为 (3, 1) 化为极坐标为（B ）A ． (2, 5 )B． (2, 7 ) C ．(2,11 ) D ． (2, )66663．已知曲线 C 的参数方程为x 3t(t 为参数 ) 则点 M 1 (0,1), M 2 (5,4) 与曲线 Cy 2t21的地点关系是（ A ）A ． M 1 在曲线 C 上，但 M 2不在。

B ． M 1不在曲线C 上，但 M 2 在。

C ． M 1 ， M 2都在曲线 C 上。

D． M 1， M 2 都不在曲线 C 上。

4．曲线 5 表示什么曲线（ B）A ．直线B．圆C．射线D ．线段5．参数方程x t 1(t 为参数 ) 表示什么曲线（C ）y1 2 tA ．一条直线B．一个半圆C ．一条射线D ．一个圆x 3 cos)6．椭圆1( 为参数 ) 的两个焦点坐标是 (By5sinA ． (-3 ， 5) ， (-3 ， -3)B ．(3 ，3) ，(3，-5)C ．(1 ，1)， (-7 ， 1)D ．(7 ，-1) ， (-1 ，-1)7．曲线的极坐标方程 ρ=４sin θ 化 成直角坐标方程为 ( A)A ． x 2+(y+2) 2=4B ． x 2+(y-2) 2=4C ． (x-2) 2+y 2=4D ． (x+2) 2+y 2=48．极坐标方程 4sin2θ=3 表示曲线是 (D)A．两条射线 B ．抛物线C．圆D．两条订交直线x 2 cosD ) 9．直线： 3x-4y-9=0 与圆：，( θ为参数 ) 的地点关系是 (y2sinA．相切 B ．相离C．直线过圆心 D ．订交但直线可是圆心10．双曲线x2tanC ) y 1( θ为参数 ) 的渐近线方程为 (2 secA．y 11( x2) B ．y 1 x 22C．y 12( x 2) D ．y 12(x 2)二、填空题（每题 5 分，共 20 分）x t 12 t11．双曲线y t11tx cos12．参数方程1cosy sin1cos 的中心坐标是。