多阶段决策问题-最短路径--算法

多阶段决策过程最优化问题——动态规划的基本模型在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。

因此各个阶段决策的选取不能任意确定，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展。

当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线。

这种把一个问题看做是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题称为多阶段决策最优化问题。

【例题1】最短路径问题。

图中给出了一个地图，地图中每个顶点代表一个城市，两个城市间的连线代表道路，连线上的数值代表道路的长度。

现在，想从城市A到达城市E，怎样走路程最短，最短路程的长度是多少?【分析】把从A到E的全过程分成四个阶段，用k表示阶段变量，第1阶段有一个初始状态A，两条可供选择的支路ABl、AB2；第2阶段有两个初始状态B1、 B2，B1有三条可供选择的支路，B2有两条可供选择的支路……。

用dk(x k，x k+1)表示在第k阶段由初始状态x k到下阶段的初始状态x k+1的路径距离，Fk(x k)表示从第k阶段的x k到终点E的最短距离，利用倒推方法求解A到E的最短距离。

具体计算过程如下：S1：K=4，有：F4(D1)=3，F4(D2)=4，F4(D3)=3S2: K=3，有：F3(C1)=min{d3(C1,D1)+F4(D1),d3(C1,D2)+F4(d2)}=min{8,10}=8F3(C2)=d3(C2,D1)+f4(D1)=5+3=8F3(C3)=d3(C3,D3)+f4(D3)=8+3=11F3(C4)=d3(C4,D3)+f4(D3)=3+3=6S2: K=2，有F2(B1)=min{d2(B1,C1)+F3(C1),d2(B1,C2)+f3(C2),d2(B1,C3)+F3(C3)}=min{9,12,14}=9F2(m)=min{d2(B2,c2)+f3(C2),d2(B2,C4)+F3(C4)}=min{16,10}=10 S4：k=1，有：F1(A)=min{d1(A,B1)+F2(B1),d1(A,B2)+F2(B2)}=min{13,13}=13因此由A点到E点的全过程的最短路径为A—>B2一>C4—>D3—>E。

走完所有点的最短路径算法在日常生活中，我们经常需要规划一些路线，比如游览某个城市景点、配送快递等等。

在规划路线时，我们往往关心的是所走的路程是否能最小化，最短路径算法就是为了解决这个问题而生的。

而当我们需要遍历所有点时，走完所有点的最短路径算法就成为了我们的关注重点。

那么，怎样才能找到走完所有点的最短路径呢？下面我们将从三个方面来介绍相关算法：1. 蛮力算法蛮力算法又被称为暴力算法，其思路比较简单，即对每种可能的路径进行计算和比较，找出最短路径。

但这种算法对于大量点的情况下，计算量非常大，所需时间也随之增加，并且准确性也难以保证。

因此，蛮力算法并不适用于需要处理大量问题的场合。

但如果数据量不大，这种算法也可作为一种求解方案。

2. 贪心算法贪心算法的核心思想是“贪心选择性质”，即每次选择局部最优解。

因此，每次选择时只关心当前问题，而不考虑以后的影响。

在寻找最短路径时，每次选择距离当前点最近的一个点作为下一个旅行节点。

贪心算法，由于其简单性和速度优势，在实际应用中也有着广泛的应用。

例如，Dijkstra算法就是以贪心策略为核心的最短路径算法。

3. 动态规划算法动态规划算法是一种解决多阶段决策问题的优化算法。

在求解最短路径问题时，可以通过“子问题最优解则父问题最优解”的方法，将所有点枚举成子问题。

接下来根据子问题集合所构成的状态集合，使用递归或循环来计算并记录状态之间的关系，最后得到问题最优解。

动态规划算法的优点在于计算结果可靠，可用于较大规模的场合。

但由于其需要枚举所有情况，计算过程相对较慢。

总结每种算法各有特点，可以根据不同实际情况选择使用。

对于需要快速解决问题的场合，建议使用贪心算法和蛮力算法；对于对效率和结果准确性有较高要求的场合，则可以选择动态规划算法进行求解。

当我们需要寻找走完所有点的最短路径时，各种算法都可以发挥出一定的作用。

在实际应用过程中，需要根据业务场景和数据规模来选择最合适的算法，保证所求结果的准确性和效率。

noi常用算法NOI（National Olympiad in Informatics）是指全国青少年信息学奥林匹克竞赛，是我国高中阶段最高水平的信息学竞赛。

在NOI 竞赛中，常用的算法是指在解决问题时经常使用的算法，下面将介绍一些常用的NOI算法。

一、深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法。

它从一个顶点开始，沿着路径直到无法继续，然后返回到前一个节点，继续搜索其他路径。

DFS通常使用递归或栈来实现。

它常用于解决迷宫问题、连通性问题等。

二、广度优先搜索（BFS）广度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法。

它从一个顶点开始，先访问其所有相邻节点，然后访问这些相邻节点的相邻节点，以此类推。

BFS通常使用队列来实现。

它常用于解决最短路径问题、连通性问题等。

三、动态规划（Dynamic Programming）动态规划是一种解决多阶段决策问题的算法。

它将问题划分为若干个子问题，并分别求解这些子问题的最优解，然后利用子问题的最优解来推导出原问题的最优解。

动态规划常用于解决最优路径问题、背包问题等。

四、贪心算法（Greedy Algorithm）贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前状态下最优的选择，从而希望最终能得到全局最优解的算法。

贪心算法不一定能得到最优解，但在某些问题上表现出良好的效果。

贪心算法常用于解决最小生成树问题、哈夫曼编码问题等。

五、最短路径算法最短路径算法用于求解两个节点之间的最短路径。

常用的最短路径算法有Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法和Bellman-Ford算法等。

这些算法可以求解有向图或无向图中的最短路径问题，用于解决网络路由问题、导航问题等。

六、最大流算法最大流算法用于求解网络中从源节点到汇节点的最大流量。

常用的最大流算法有Ford-Fulkerson算法、Edmonds-Karp算法和Dinic算法等。

最大流算法可以用于解决网络优化问题、流量分配问题等。

求解最短路径问题的几种算法和应用总结最短路径问题在生活中随处可见，只要在各种现实问题上，我们能够结合现代智能交通的利用，并且成分考虑实地的不同的交通资源，从而能够真正的实现最短路径，那么首先第一有利的是可以有效地减少交通事故的发生频率。

并且在环境方面来讲，也符合了国际可持续性发展的理念，即达到了节能的效果，有有效的减少了汽车尾气，缓解了大气污染，并且在车辆越来越多的今天，减轻了市民旅途停车位不足的情况，并且能够节约人们的时间。

本文就是对于最短路径问题的几种算法及应用的研究，本文首先从最短路径问题研究背景以及研究意义出发，然后对于最短路径问题国内外研究现状进行了探讨，接着对于研究方法进行了总结，最后对于本文要用到的一些理论知识进行了总结，比如：图的概念，有向图以及无向图的说明，最短路径的一些概述，以及一般求解最短路径的步骤，还有一些求解最短路径的基本方法做了一些说明。

最后基于迪杰斯特拉算法以及改进的Floyd算法二种算法进行了详细的分析推到计算，最后本文将最短路径问题应用到了在生产车间中智能AGV小车的最短路径规划问题上，并且对于二种方法进行了仿真分析，对仿真的结果进行了分析，得到了相关的结论。

参考文献：[1] 张默.Dijkstra最短路径算法的研究[J].数学学习与研究,2018(16):152.[2]司连法,王文静.快速Dijkstra最短路径优化算法的实现[J].测绘通报,2005(08):15-18.[3] Thomas H.Cormen,Charles E.Leiserson,Ronald L.Rivest,Clifford Stein,殷建平,徐云,王刚,刘晓光,苏明,邹恒明,王宏志.算法导论(原书第3版)[J].计算机教育,2013(10):51[4]张引发,刘乾,王鲸鱼.必经节点约束下的光网络最短路径算法[J].光通信技术,2018,42(10):30-32.[5]虞谦,高岳毅,李俊.最短路径算法在事故应急救援中的应用[J].安全,2018,39(09):15-17.[6]郑海虹.常用最短路径算法分析与比较[J].安徽电子信息职业技术学院学报,2013,12(04):31-33.[7]肖金声.关于最短路径算法[J].中山大学学报(自然科学版),1987(03):42-47.[8]姜启源.数学模型（第三版）[M].北京:高等教育出版社,2003:250-300.[9]俞飞蝶,罗杰.最短路径算法在外卖配送中的应用[J].福建电脑,2018,34(08):155-156.[10]宋青,汪小帆.最短路径算法加速技术研究综述[J].电子科技大学学报,2012,41(02):176-184.致谢本课题是在我的指导老师李敏的悉心指导和严格要求下由本人独立完成的，从课题选择、方案论证到具体设计和调试的每个环节，无不凝聚着李敏的心血和汗水，在四年的本科学习和生活期间，也始终感受着导师的精心指导和无私的关怀，我受益匪浅。

动态规划算法实现多段图的最短路径问题算法设计与分析实验报告算法设计与分析实验报告实验名称 动态规划算法实现多段图的最短路径问题 评分 实验日期 年 月 日 指导教师 姓名 专业班级 学号一.实验要求1. 理解最优子结构的问题。

有一类问题的活动过程可以分成若干个阶段，而且在任一阶段后的行为依赖于该阶段的状态，与该阶段之前的过程如何达到这种状态的方式无关。

这类问题的解决是多阶段的决策过程。

在50年代，贝尔曼（Richard Bellman ）等人提出了解决这类问题的“最优化原理”，从而创建了最优化问题的一种新的算法设计方法－动态规划。

对于一个多阶段过程问题，是否可以分段实现最优决策，依赖于该问题是否有最优子结构性质，能否采用动态规划的方法，还要看该问题的子问题是否具有重叠性质。

最优子结构性质：原问题的最优解包含了其子问题的最优解。

子问题重叠性质：每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。

问题的最优子结构性质和子问题重叠性质是采用动态规划算法的两个基本要素。

2.理解分段决策Bellman 方程。

每一点最优都是上一点最优加上这段长度。

即当前最优只与上一步有关。

U s 初始值，u j 第j 段的最优值。

⎪⎩⎪⎨⎧+==≠}.{min ,0ijiji js w u u u3.一般方法1）找出最优解的性质，并刻画其结构特征；2）递归地定义最优值（写出动态规划方程）；3）以自底向上的方式计算出最优值；4）根据计算最优值时得到的信息，构造一个最优解。

步骤1-3是动态规划算法的基本步骤。

在只需要求出最优值的情形，步骤4可以省略，步骤3中记录的信息也较少；若需要求出问题的一个最优解，则必须执行步骤4，步骤3中记录的信息必须足够多以便构造最优解。

二.实验内容1.编程实现多段图的最短路径问题的动态规划算法。

2.图的数据结构采用邻接表。

3.要求用文件装入5个多段图数据，编写从文件到邻接表的函数。

4.验证算法的时间复杂性。

算法最短路径最短路径算法是一种在图中寻找两个节点之间最短路径的方法。

它在许多实际应用中都有广泛的应用，比如导航系统、网络路由和物流规划等。

本文将介绍几种常见的最短路径算法，并对它们的原理和应用进行详细解析。

一、Dijkstra算法Dijkstra算法是最短路径算法中最常用的一种。

它通过不断更新起始节点到其他节点的距离，逐步找到最短路径。

具体步骤如下：1. 初始化起始节点的距离为0，其他节点的距离为无穷大。

2. 选择距离起始节点最近的节点，并标记为已访问。

3. 更新与该节点相邻节点的距离，如果经过该节点到达相邻节点的距离更短，则更新距离。

4. 重复步骤2和3，直到所有节点都被访问过或者没有可更新的节点。

Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为节点的数量。

它适用于没有负权边的图，可以求解单源最短路径问题。

二、Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是一种可以处理带有负权边的图的最短路径算法。

它通过对所有边进行松弛操作，逐步逼近最短路径。

具体步骤如下：1. 初始化起始节点的距离为0，其他节点的距离为无穷大。

2. 对所有边进行V-1次松弛操作，其中V为节点的数量。

3. 检查是否存在负权环，如果存在，则说明图中存在无穷小的最短路径，算法结束。

Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V为节点的数量，E为边的数量。

它适用于解决单源最短路径问题，并且可以处理带有负权边的图。

三、Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是一种可以求解任意两个节点之间最短路径的算法。

它通过动态规划的思想，逐步更新节点之间的距离。

具体步骤如下：1. 初始化节点之间的距离矩阵，如果两个节点之间有直接边，则距离为边的权重，否则为无穷大。

2. 对于每一个节点k，遍历所有节点对(i, j)，如果经过节点k的路径比直接路径更短，则更新距离矩阵中的值。

3. 重复步骤2，直到所有节点对的距离都被更新。

C语言算法及三种基本程序结构C语言是一种广泛应用于系统程序开发和嵌入式开发的编程语言。

在编写C语言程序时，我们需要掌握各种算法和程序结构，以实现不同的功能和解决各种问题。

本文将介绍C语言中的常用算法以及三种基本程序结构。

一、常用算法1. 排序算法：排序是计算机编程中最常见的问题之一、C语言提供了多种排序算法，包括冒泡排序、选择排序、插入排序、快速排序等。

排序算法根据其时间复杂度和稳定性可以进行选择。

例如，冒泡排序是一种简单但效率较低的算法，时间复杂度为O(n^2)，而快速排序是一种高效的排序算法，平均时间复杂度为O(nlogn)。

2. 查找算法：查找是在一组数据中寻找特定元素的过程。

C语言提供了多种查找算法，包括线性查找、二分查找、哈希查找等。

线性查找是最简单的查找算法，但效率较低，时间复杂度为O(n)；而二分查找是一种高效的查找算法，时间复杂度为O(logn)，但要求数据必须有序。

3.图算法：图是由节点和边组成的数据结构，用于描述各种实际问题。

C语言提供了多种图算法，包括深度优先、广度优先、最短路径算法、最小生成树算法等。

这些算法可以解决许多实际问题，如网络路由、社交网络分析等。

4.动态规划：动态规划是一种解决多阶段决策问题的算法。

C语言中可以用动态规划来解决各种优化问题，如背包问题、最长公共子序列等。

动态规划算法需要构建状态转移方程，并利用已求解的子问题结果来求解当前问题。

1.顺序结构：顺序结构是最基本的程序结构，其中的代码按照顺序执行。

C语言中的语句就是按照从上到下的顺序执行的。

例如，以下代码实现了计算两个整数的和并输出结果的功能。

```#include <stdio.h>int maiint a = 10, b = 20;int sum = a + b;printf("Sum is %d", sum);return 0;```2. 选择结构：选择结构根据条件的真假来执行不同的语句块。

几种常用的最短路径算法最短路径算法是在图中查找两个节点之间最短路径的方法。

它是图论中非常重要的问题，被广泛应用于网络路由、地图导航、路径规划等领域。

在本文中，将介绍几种常用的最短路径算法，包括Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法和A*算法。

1. Dijkstra算法Dijkstra算法是由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra于1959年提出的，常用于在图中查询单个源节点到所有其他节点的最短路径。

该算法使用贪心策略，不断选择距离最短的节点进行扩展，直至达到目标节点或所有节点都被遍历。

Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为节点的数量。

2. Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是由理查德·贝尔曼和阿瑟·福特于1958年提出的，用于求解带有负权边的图的最短路径。

与Dijkstra算法不同的是，Bellman-Ford算法每轮遍历所有边，进行松弛操作，直至没有可松弛的边为止。

该算法在每一轮遍历时对所有边进行松弛操作，需要进行V-1轮的遍历，其中V为节点的数量。

因此，Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)。

3. Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是由罗伯特·弗洛伊德和斯蒂芬·沃舍尔于1962年提出的，用于求解任意两个节点之间的最短路径。

该算法使用动态规划的思想，通过中间节点进行迭代计算。

具体来说，Floyd-Warshall算法维护一个距离矩阵，其中每一对节点之间的距离都被逐步更新。

该算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V为节点的数量。

4.A*算法A*算法是一种启发式算法，由彼得·哈特和诺尔曼·尼尔斯于1968年提出。

与前面介绍的算法不同的是，A*算法不仅考虑节点之间的距离，还引入了启发式函数来估计节点到目标节点的距离。

动态规划_多阶段决策问题的求解方法1.构造状态网络; :一:解决多阶段决策最优化的过程为动态规划方法在程序设计中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程2.根据状态转移关系和状态转移方程建立最优值的分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要做出决策，从而3.按阶段的先后次序计算每个状态的最优值。

使整个过程达到最好的活动效果。

因此各个阶段决策的选取不能任逆向思维法是指从问题目标状态出发倒推回初始意确定，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展。

当各个阶段态的思维方法。

动态规划的逆向思维法的要点可归纳为以决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条 1.分析最优值的结构，刻画其结构特征; 活动路线。

这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多 2.递归地定义最优值; 阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题称为多阶段决策问题。

3.按自底向上或自顶向下记忆化的方式计算最优在多阶段决策问题中，各个阶段采取的决策，一般来说是与时间有关的，决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移，一个决策序列如果原问题可以分解成几个本质相同、规模较小的就是在变化的状态中产生出来的，故有"动态"的含义，我们称这种就会联想到从逆向思维的角度寻求问题的解决。

一般解决多阶段决策最优化的过程为动态规划方法。

策问题多采用动态规划逆向思维方法解决。

二、举:二:动态规划最优化原理 pascal 语例说明本文以信息学奥赛用语言——最优化原理是动态规划的基础。

任何一个问题，如果失去了这言为编程个最优化原理的支持，就不可能用动态规划方法计算。

这个“最优化说明，其他编程语言编写方法相同，语句类似。

原理”如果用数学化一点的语言来描述的话，就是:假设为了解决某 :一:问题描述一优化问题，需要依次作出 n 个决策 D1，D2，，Dn，如若这个决策设有 N 个不相同的整数组成的数列，记为: 序列是最优的，对于任何一个整数 k，1 < k < n，不论前面 k 个决策是怎样的，以后的最优决策只取决于由前面决策所确定的当前状态，即 ()且 ?? a1 a2 an aiajij以后的决策 Dk+1，Dk+2，，Dn 也是最优的。

动态规划_多阶段决策问题的求解方法1.构造状态网络; :一:解决多阶段决策最优化的过程为动态规划方法在程序设计中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程2.根据状态转移关系和状态转移方程建立最优值的分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要做出决策，从而3.按阶段的先后次序计算每个状态的最优值。

使整个过程达到最好的活动效果。

因此各个阶段决策的选取不能任逆向思维法是指从问题目标状态出发倒推回初始意确定，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展。

当各个阶段态的思维方法。

动态规划的逆向思维法的要点可归纳为以决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条 1.分析最优值的结构，刻画其结构特征; 活动路线。

这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多 2.递归地定义最优值; 阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题称为多阶段决策问题。

3.按自底向上或自顶向下记忆化的方式计算最优在多阶段决策问题中，各个阶段采取的决策，一般来说是与时间有关的，决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移，一个决策序列如果原问题可以分解成几个本质相同、规模较小的就是在变化的状态中产生出来的，故有"动态"的含义，我们称这种就会联想到从逆向思维的角度寻求问题的解决。

一般解决多阶段决策最优化的过程为动态规划方法。

策问题多采用动态规划逆向思维方法解决。

二、举:二:动态规划最优化原理 pascal 语例说明本文以信息学奥赛用语言——最优化原理是动态规划的基础。

任何一个问题，如果失去了这言为编程个最优化原理的支持，就不可能用动态规划方法计算。

这个“最优化说明，其他编程语言编写方法相同，语句类似。

原理”如果用数学化一点的语言来描述的话，就是:假设为了解决某 :一:问题描述一优化问题，需要依次作出 n 个决策 D1，D2，，Dn，如若这个决策设有 N 个不相同的整数组成的数列，记为: 序列是最优的，对于任何一个整数 k，1 < k < n，不论前面 k 个决策是怎样的，以后的最优决策只取决于由前面决策所确定的当前状态，即 ()且 ?? a1 a2 an aiajij以后的决策 Dk+1，Dk+2，，Dn 也是最优的。

解最短路径问题的两种方法及其应用
最短路径问题是指在一张带权图中找到两个节点之间最短的路径。

最短路径问题是许多计算机科学和应用领域中的一个基本问题。

以下是解决这个问题的两种方法：
1. Dijkstra算法：Dijkstra算法是解决最短路径问题的一种
基本算法，它是基于贪心思想的。

该算法首先确定起始点到其他节
点的距离（记为d），然后不断扩大已确定最短距离的节点集，直
到覆盖所有节点。

Dijkstra算法适用于单源最短路径，即从一个节
点到所有其他节点的最短路径。

2. Floyd算法：Floyd算法也是一种经典的解决最短路径问题
的算法，它是一个动态规划算法。

该算法利用动态规划的思想，通
过比较任意两个节点之间经过第三点（中转点）的路径长度，更新
路径长度。

Floyd算法适用于多源最短路径，即从任意两个节点之
间的最短路径。

这两种算法可广泛应用于各种计算机科学和应用领域，如网页
排名算法、图像处理、计算机网络等。

在实际应用中，我们需要根
据实际问题的特点，选择最适合的算法。

最短路径问题最短路径问题是图论中一个重要的研究领域，即求解两个节点之间的最短路径。

在实际生活中，最短路径问题有着广泛的应用，例如导航系统、交通规划以及网络通信等领域。

本文将介绍最短路径问题的定义、常见算法以及应用实例。

一、定义最短路径问题可以用来求解从一个节点到另一个节点的最短路径。

在图论中，最短路径通常指的是路径上的边的权重之和最小。

图可以由节点和边组成，边可以有权重，表示两个节点之间的距离或成本。

最短路径问题的目标是找到两个节点之间的路径，使得路径上的边的权重之和最小。

二、算法1. Dijkstra算法Dijkstra算法是解决最短路径问题的经典算法之一。

该算法采用贪心策略，逐步确定起点到其他节点的最短路径。

具体步骤如下：（1）初始化距离数组，起点到起点的距离为0，所有其他节点的距离为无穷大。

（2）选择一个未被访问过的节点，标记为当前节点。

（3）对于当前节点的所有邻居节点，更新其距离为当前节点距离加上边的权重，并更新最短路径。

（4）继续选择未被访问过的节点中最短路径最小的节点，标记为当前节点，重复步骤（3）。

（5）重复步骤（3）和（4），直到所有节点都被访问过。

Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为节点的数量。

2. Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是另一种解决最短路径问题的算法。

与Dijkstra 算法不同，Bellman-Ford算法可以处理带有负权边的图。

该算法通过迭代更新距离数组，逐步确定最短路径。

具体步骤如下：（1）初始化距离数组，起点到起点的距离为0，其他节点的距离为无穷大。

（2）对于图中的每条边，重复以下步骤：a. 从边的起点到终点的距离是否可以通过起点到起点的距离加上边的权重来达到更小值。

b. 如果是，则更新终点的距离为该更小值。

（3）重复步骤（2）|V|-1次，其中V为节点的数量。

Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V为节点的数量，E为边的数量。

基于最短路的多阶段决策问题研究文秘宝/摘要：最短路问题是图论中的重要问题之一，许多实际问题都可以转化为最短路问题。

文章重点研究了多阶段决策问题，如设备更新和生产策略用Dijkstra算法求解的过程。

该方法清晰直观，具有通用性和实用性。

关键词：最短路问题；决策问题；Dijkstra算法；邻接矩阵一、引言图论中的最短路问题是研究多阶段决策问题的可行办法，关键在于将多阶段决策问题转化为最短路问题，构造出相应的图，使图的顶点、边、权值分别反映原问题的相关要素，从而清晰直观地显现出问题的实质，再通过求解图中某些顶点间的最短路来确定原问题的多阶段决策。

这一问题可以利用现成的Dijkstra算法和Floyd算法来解决。

二、最短路问题最短路是一条路径，它的任意一段也是最短路。

从某一点出发到其余顶点的最短路会构成一棵以该点为根的树，可以采用树生长的过程来求指定顶点到其余顶点的最短路。

Dijkstra 算法可以实现这一过程。

设G为赋权有向图或无向图，G边上的权均非负，S表示具有永久标号的顶点集。

对每个顶点，定义两个标记（l （v），z（v）），其中l（v）表示从顶点到v的一条路的权，z（v）表示v的父亲点，用以确定最短路的路线。

算法的基本思想就是在每一步改进这两个标记，是最终l（v）达到从顶点u0到v的最短路的权。

具体步骤为：输入G的带权邻接矩阵W，首先赋初值S={u0，l（u0）=0}，?v∈S=V＼S令l（v）=W（u0，v），z （v）=u0，u←u0；再更新l（v），z（v），?v∈S=V＼S，若l（v）>l（u）+W（u，v），则令l（v）=l（u）+W（u，v），z（v）=u；设v*是使得l（v）取最小值的S中的顶点，则令S=S∪{v*}；如果S≠?，继续更新l（v），z（v），直到S=?停止。

如此求出的l（v）就是从u0到v的最短路的权，再反向追溯得到u0到v的最短路的路线。

三、多阶段决策问题的转化在生产过程中需要考虑生产设备的更新问题。

多阶段决策过程(multistepdecisionpr（Shortest-paths ）7．1 问题描述在一个带权的无向或者有向图中，假如从图中某顶点（称源点）到达另顶点（称为终点）的路径可能不止一条，如何找到一条路径使得沿此路径上各边上的权值总和达到最小。

实际应用中，有把交通运输网络作为一个图，图中顶点表示都市，图中各边表示都市之间的交通运输线。

边上的权值就依照具体需要，能够用各种代价表示，比如路程，运费，时刻。

同时，能够用有向图表示往返代价的不一致。

运算机网络中，把网络结构看成带权图，路由选择的时候采纳的固定路由算法其中有使用最短路径算法。

此外，最短路径算法还应用于电子导航中，依照已知地理网络，得出合适的航线；应用于电力、通讯等各种管网、管线的布局设计，都市规划等等。

由于应用的需要，最短路径算法问题成为运算机科学、运筹学、地理信息系统和交通诱导、导航系统等领域研究的一个热点。

在最短路径问题中，给出的是一个带权有向图G ＝(V , E )，加权函数w:E →R 为从边到实型权值的映射。

路径p=(v0,v1,v2,…,vk)的权是指组成边的所有权值之和：w(p)=∑w(vi-1,vi) i=1—k;定义从u 到v 间的最短路径的权为：()(){}⎩⎨⎧∞−→−=otherelse v u v u p w v u p:min ,存在一条通路到若从δ 从顶点u 到v 的最短路径定义为权w(p)=&(u,v)的任何路径.不带权图的最短路径问题是一个特例，可将图视为没条边的权值均为1的带权图。

两种最常见的最短路径问题：● 从某个源点到其余各顶点的最短路径● 每对顶点间的最短路径7．2 放松技术Relaxation在后面介绍的几个算法中都用到了放松技术，现在就来看看放松技术。

关于每个顶点v∈V，都设置一个属性d[v]，用来描述从源点s到v的最短路径上权值的上界，称为最短路径估量（shortest-path estimate）。