zhuangti2.2图形的翻折

二、图形的综合图形平移讲方法一、平行四边形与平移由于在平移变换下,如图,□ABCD中,△ABE沿着AD方向平移后,成为△DCF,与平移方向不平行的线段例如AB、BE、AE,变为与之平行且相等的线段,即AB//DC,AE⊥DF，BE//CF,因此,对于已知条件中有平行四边形的几何题,我们可以考虑用平移变换二、共线相等线段与平移由于在平移变换下,如图,△ABC沿着BC方向平移至△DEF,与平移方向平行的线段例如BC,变为与之共线且相等的线段,即BC=EF,BC与EF共线,因此,对于已知条件中有共线且相等的线段的几何问题,也可以考虑用平移变换处理.三、不共线线段与平移两条线段既不平行也不共线,但是我们可以通过平移变换移动其中一条线段,使两条线段有一个公共端点,并且可以形成等腰三角形或其他特殊三角形,再利用特殊三角形的性质加上其他相关条件使问题解决.总结:线段相等不等腰,平移共点变等腰1.如图,若AB=CD,并相交,平移CD与AB共顶点,会出现平行四边形CDD/C/和等腰△AD/B2.如图,若AB=CD,无交点,平移CD与AB共顶点,同样会产生平行四边形CDD/C/和等腰△ABD/学思路如图,已知两条长度为1的线段AB和CD相交于O点,且∠AOC=600求证:AC+BD≥1思路:①相等线段,不共顶点,平移出等腰②夹角60度,平移后等腰变等边③线段不等关系,利用三角形三边关系证明压轴题1、已知∠ABC=90,D是直线AB上的点,AD=BC(1)如图1,过点A作AF⊥AB,并截取AF=BD,连接DC、DF、CF,判断△CDF的形状并证明;(2)如图2,E是直线BC上一点,且CE=BD,直线AE、CD相交于点P,∠APD的度数是一个固定的值吗?若是,请求出它的度数;若不是,请说明理由.图1 图21.如图,设P是矩形ABCD内一点,求证:PA2+PC2=PB2+PD22.阅读下面材料:小伟遇到这样一个问题,如图3,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O.若梯形ABCD的面积为1,试求以AC,BD,AD+BC的长度为三边长的三角形的面积.小伟是这样思考的:要想解决这个问题,首先应想办法移动这些分散的线段,构造一个三角形,再计算其面积即可.他先后尝试了翻折,旋转,平移的方法,发现通过平移可以解决这个问题.他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E,得到的△BDE即是以AC,BD,AD+BC的长度为三边长的三角形,如图4,可得S△BDE=1,∴以AC,BD,AD+BC的长度为三边长的三角形的面积等于1.参考小伟同学的思考问题的方法,解决下列问题如图5,△ABC的三条中线分别为AD,BE,CF.(1)在图5中利用图形变换画出并指明以AD,BE,CF的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹)(2)若△ABC的面积为1,则以AD,BE,CF的长度为三边长的三角形的面积等于__________图3 图4 图53.(1)如图6,在四边形ABCD 中,∠B=∠C=90°,E 为BC 上一点,且CE=AB,BE=CD,连接AE 、DE 、AD,则△ADE 的形状是__________________(2)如图7,在△ABC 中,∠A=90,D、E 分别为AB 、AC 上的点,连接BE 、CD,两线交于点P. ①当BD=AC,CE=AD 时,在图中补全图形,猜想∠BPD 的度数并给予证明BD; ②当AC BD =ADCE=3时,∠BPD 的度数是___________图6 图74.在△ABC 中,∠ABC=90°,D 为平面内一动点,AD=a,AC=b,其中a,b 为常数,且a<b.将△ABD 沿射线BC 方向平移,得到△FCE,点A 、B 、D 的对应点分别为点F 、C 、E,连接BE. (1)如图3-1-14,若D 在△A BC 内部,请在图中画出△FCE;(2)在(1)的条件下,若AD⊥BE,求BE 的长(用含a,b 的式子表示)5.阅读下面材料小伟遇到这样一个问题:如图8,在△ABC 中,AB=AC,在边AB 上取点E,在边AC 上取点F,使BE=AF(E,F 不是AB,AC 边的中点),连接EF.求证:EF>21BC 小伟是这样思考的:要想解决这个问题,首先应想办法移动这些分散的线段,构造全等三角形再证明线段的关系.他先后尝试了翻折,旋转,平移的方法,发现通过平移可以解决这个问题他的方法是过点C 作CH∥BE,并截取CH=BE,连接EH,构造出平行四边形EBCH,再连接FH,进而证明△AEF≌△CFH,得到FE=FH,使问题得以解决(如图9)(1)请回答:在证明△AEF≌△CFH 时,CH=____________,∠HCF=_____________; (2)参考小伟思考问题的方法,解决问题:如图10,△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,延长CA 到点D,延长AB 到点E,使AD=BE,∠DEA=15°.判断DE 与BC 的数量关系,并证明你的结论.图8 图9 图10图形翻折 讲方法一、图形翻折的特点1.对应边相等,对应角相等2.对称点连线被折痕垂直平分3.计算时多用勾股定理或相似比例式 二、什么样的条件是翻折问题的特征 1.折叠问题2.等腰三角形三线合3.角平分线4.线段和或差求最值问题5.垂线6.特殊角学思路铺垫如图,把正方形沿着EF折叠使点B落在AD上,B/C/交CD于点N,已知正方形的边长为1,求△DB/N的周长.①正方形四边都相等,四个角都为直角②折叠前后对应边相等,对应角相等③求周长,需要转化三边压轴题在正方形ABCD中,(1)如图1,若点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,且∠AOF=900.求证:AE=BF(2)如图2,将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折痕交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC边交于点G.若DC=5,CM=2,求EF的长.提能力1.在平面直角坐标系中,一张矩形纸片OBCD 按图3放置,已知OB=10,BC=6,将这张纸片折叠,使点O 落在边CD 上,记作点A,折痕与边OD(含端点)交于点E,与边OB(含端点)或其延长线交于点F.请回答⑴若点E 的坐标为(0,4),求点A 的坐标 ⑵将矩形沿直线y=-21x+n 折叠,求点A 的坐标; ⑶将矩形沿直线y=kx+n 折叠,点F 在边OB 上(含端点),直接写出k 的取值范围2. (山西中考)综合与实践背景阅读早在三千多年前,我国周朝数学家商高就提出:将一根直尺折成一个直角,如果勾等于三,股等于四,那么弦就等于五,即“勾三、股四、弦五”它被记载于我国古代著名数学著作《周牌算经》中,为了方便,在本题中,我们把三边的比为3:4:5的三角形称为(3,4,5)型三角形,例如:三边长分别为9,12,15或32,42,52的三角形就是(3,4,5)型三角形,用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形实践操作如图3,在矩形纸片ABCD中,AD=8cm,AB=12cm.第一步:如图4,将图3-2-5中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠,使点D落在AB上的点E 处,折痕为AF,再沿EF折叠,然后把纸片展平第二步:如图5,将图3-2-6中的矩形纸片再次折叠,使点D与点F重合,折痕为GH, 然后展平,隐去AF.第三步:如图6,将图3-2-7中的矩形纸片沿AH折叠,得到△AD/H,再沿AD/折叠, 折痕为AM,AM 与折痕EF交于点N,然后展平.【问题解决】(1)请在图4中,证明:四边形AEFD是正方形;(2)请在图6中,判断NF与ND/的数量关系,并加以证明;(3)请在图6中, 证明:ΔAEN是(3,4,5)型三角形;【探索发现】(4)在不添加字母的情况下,图6中还有哪些三角形是(3,4,5)型三角形?请找出并直接写出它们的名称.3. 如图7是一张矩形纸片ABCD,AB=5,BC=1,在边AB 上取一点M ，在边CD 上取一点N ，将纸片沿MN 折叠，使MB 与DN 交于点K,得到ΔMNK, 如图8.(1) 若∠1=700，求∠MKN 的度数; (2)△MNK 的面积能否小于21?若能，求出此时∠1的度数;若不能,请说明理由; (3)如何折叠能够使△MNK 的面积最大?请你画图探究可能出现的情况,求出最大值.4.如图,将一个正方形纸片AOCD,放置在平面直角坐标系中,已知点A(0,4),点O(0,0),点D 在第一象限.点P 为正方形AD 边上的一点(不与点A 、点D 重合),将正方形纸片折叠,使点O 落在点P 处,点C 落在点G 处,PG 交DC 于点H,折痕为EF,连接OP ，OH.设P 点的横坐标为m. (1)若∠APO=60°,求∠OPG 的大小;(2)当点P 在边AD 上移动时,△PDH 的周长l 是否发生变化?若变化,用含m 的式子表示l;若不变化,求出周长l;(3)设四边形EFGP 的面积为S,当S 取得最小值时,求点P 的坐标(直接写出结果即可)5.（浙江金华中考)如图9,将△ABC纸片沿中位线EH折叠,使点A的对称点D落在BC边上,再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF,HG折叠,折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形,类似地,对多边形进行折叠,若翻折后的图形恰能合成一个无缝隙,无重叠的矩形,这样的矩形称为叠台矩形.(1)将纸片按图10的方式折叠成一个叠合矩形AEFG,则操作形成的折痕分别是线段________，________；S矩形AEFG:S□ABCD=________;(2)□ABCD纸片还可以按图11的方式折叠成一个叠合矩形EFGH,若EF=5,EH=12,求AD的长；(3)如图12,四边形ABCD纸片满足AD∥BC,AD<BC,AB⊥BC,AB=8,CD=10,小明把该纸片折叠,得到叠合正方形,请你帮助画出叠合正方形的示意图,并求出AD、BC的长.图形旋转讲方法一、构造旋转全等三角形1.见60°,旋60°,如图12.见90°,旋90°,如图2,图3.图1 图2 图3旋转全等必备条件:共顶点,等线段旋转全等操作技巧:边怎么旋转,边所在的三角形也怎么旋转.二、旋转最值1.如图4,在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,则|a-b|<c<a+b2.如图5,点C在⊙A上运动,点B为一定点,则BC的最大值是BC2的长度,最小值是BC1的长度图4 图5三、旋转与中点综合在几何压轴题中,中点一般会有四个思考方向:1.将中线延长,变成原来的二倍2.中位线3.斜边中线4.三线合一学思路铺垫如图6,P是等边△AB C内的一点,且PA=4,PB=23,PC=2.则⑴∠BPC,∠APB的度数分别是______________；⑵S△ABC=______________思路①有等线段共端点②已知长度的三条边共顶点,只有借助变换,转移线段方可求解图6压轴题已知:在△ABC中,∠BAC=600⑴如图7,若AB=AC,点P在△ABC内,且PB=5,PA=3,PC=4,直接写出∠APC的度数；⑵如图8,若AB=AC,点P在△ABC外,且PA=3,PB=5,PC=4,求∠APC的度数;⑶如图9,若AB=2AC,点P在△ABC内,且PA=3,PB=5,∠APC=1200,直接写出PC的长提能力1.（1）下面是一道例题及其解答过程,请补充完整：如图10，在等边△ABC内部,有一点P,若∠A PB=1500.求证：AP2+BP2=CP2证明：将△APC绕A点逆时针旋转60°，得到△AP/B, 连接PP/,则△APP为等边三角形∴∠APP/=60°,PA=PP/,PC=______________∵∠APB=150°,∴∠BPP/=90°∴P/P2+BP2=，即AP2+BP2=CP2(2)如图11,在等腰三角形ABC中,∠BAC=90°,内部有一点P,若∠APB=1350，判断线段PA、PB、PC之间的数量关系,并证明;(3)如图12,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,点P在直线AB上方,且∠A PB=60°,满足(kPA)2+PB2=PC2,请直接写出k的值.2.如图13,已知:等边△ABC,点D是边BC上一点(点D不与点B、点C重合).求证:BD+DC>AD 下面的证法供你参考把△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE,连接ED,如图14,则有△ACD≌△AB E,DC=EB∵AD=AE,∠DAE=60°∴△ADE是等边三角形,∴AD=DE.在△DBE中,BD+EB>DE,即:BD+DC>AD.(1)请你仿照上面的思路,探索解决下面的问题如图15,点D是等腰直角三角形ABC边上的点(点D不与B、C重合).求证:BD+DC>2AD(2)已知:如图16,等腰△ABC中,AB=AC,且∠BAC=α(α为钝角),D是等腰△ABC外一点,且∠BDC+∠BAC=180°,BD、DC与AD之间存在怎样的数量关系?写出你的猜想,并证明.图13 图14 图15 图163.（山东烟台中考)(1)如图17,△ABC为等边三角形,先将三角板中的60°角与∠ACB重合,再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转(旋转角大于0且小于30°),旋转后三角板的一直角边与AB交于点D,在三角板斜边上取一点F,使CF=CD,在线段AB上取点E,使∠DCE=30°,连接AF、EF①求∠EAF的度数;②DE与EF相等吗?请说明理由；(2)如图18,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,先将三角板的900角与∠ACB重合,再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于00且小于450),旋转后三角板的一直角边与AB交于点D,在三角板另一直角边上取一点F,使CF=CD,在线段AB上取点E使∠DCE=45°,连接AF,EF,请直接写出探究结果:①∠EAF的度数;②线段AE,ED,DB之间的数量关系4.如图19,点O为正方形ABCD的中心.(1)将线段OE绕点O逆时针方向旋转90°,点E的时应点为点F,连EF,AE,BF,请依题意补全图3-3-19(用尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法)；(2)根据图19中补全的图形，猜想证明AE与BF的关系(3)如图20，点G是OA中点,△EGF是等腰直角三角形, H是EF的中点,AB=8,GE=4,△EGF 绕G点逆时针方向旋转,请真接写出旋转过程中BH的最大值.5.(1)如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一直线上,连接BE.①∠AEE的度数为______________②猜想线段AD、BE之间的数量关系为: ______________(2)如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A、D、E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE,请求出∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系.。

初中几何难点之图形的翻折问题，收藏，留给孩子慢慢做！
我们都知道在初中数学的学习中,几何问题的学习占了很大一部分,是学习的一个重点。

而在平面几何的问题中,存在一类非常有趣的题型,那就是翻折问题。

翻折是我们在生活中常常会遇到的一种现象,特别是在一些有趣的折纸活动中,通过不断地翻折,同学们总能折叠出一些非常有趣的物体或图案。

而翻折问题在几何的考查中,也是比较难掌握的一类题目。

其实翻折问题运用的就是轴对称的知识,同学们只有掌握好轴对称的相关性质,才能更加顺利地解决翻折问题。

20232024学年五年级下学期数学2.2展开与折叠（教案）作为一名经验丰富的数学教师，我很荣幸能够与大家分享我关于五年级下学期数学2.2展开与折叠的教案。

下面我将从教学内容、教学目标、教学难点与重点、教具与学具准备、教学过程、板书设计、作业设计和课后反思及拓展延伸八个方面进行详细介绍。

一、教学内容本节课的教学内容主要包括教材中 2.2展开与折叠的相关知识点。

学生将学习如何将平面图形展开成平面，以及如何将立体图形折叠成平面图形。

具体内容包括：1. 了解展开图的概念，学会如何将立体图形展开成平面图形。

2. 掌握折叠的原理，学会如何将平面图形折叠成立体图形。

3. 培养学生的空间想象能力，提高学生的动手操作能力。

二、教学目标1. 让学生掌握展开与折叠的基本方法，提高空间想象能力。

2. 培养学生独立思考、合作交流的能力。

3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

三、教学难点与重点1. 教学难点：如何引导学生掌握展开与折叠的原理，培养学生的空间想象能力。

2. 教学重点：让学生学会如何将立体图形展开成平面图形，以及如何将平面图形折叠成立体图形。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、展开图模型、折叠纸张等。

2. 学具：学生用书、练习本、铅笔、直尺、剪刀、胶水等。

五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示一些生活中的展开与折叠现象，如衣服、盒子等，引导学生关注展开与折叠在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。

2. 知识讲解：讲解展开图的概念，引导学生了解如何将立体图形展开成平面图形。

通过示例，讲解折叠的原理，让学生学会如何将平面图形折叠成立体图形。

3. 例题讲解：选取一些具有代表性的例题，引导学生运用所学知识解决问题。

在讲解过程中，注意引导学生分析问题、思考问题，培养学生的独立思考能力。

4. 随堂练习：设计一些课堂练习题，让学生动手操作，巩固所学知识。

教师及时给予反馈，指导学生纠正错误。

5. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享彼此的想法和做法，培养学生的合作交流能力。

专题10 几何图形的翻折变换折叠型问题是历年中考的热点问题，题型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。

同样的翻折类题目，条件不一样，用到的知识和方法也不尽相同。

本专题整理这类题目，如何用我们已经掌握的知识和方法来解答，从而找到这类问题特有的解题方法。

题型一、直角三角形中的折叠问题例1.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当△AEF为直角三角形时，BD的长为图1 图2图3【答案】2或1【解析】①当∠EAF=90°时，如图2所示.∵∠B=30°，BC=3∴30AC tan BC=︒⨯=2AB AC=∵∠EAF=90°，∴∠AFC=60°，∠CAF=30°在Rt△ACF中，有：cosAF AC CAF=÷∠，24BF AF==由折叠性质可得：∠B=∠DFE=30°，122BD DF BF===②当∠AFE=90°时，如图3所示.由折叠性质得：∠B=∠DFE=30°，122BD DF BF===∴∠AFC=60°，∠FAC=30°∴tan 1CF FAC AC =∠⨯== 所以，BF=2，112BD DF BF ===，综上所述，BD 的长为2或1. 【变式训练1】如图在△ABC 中，∠C ＝90º，将△ACE 沿着AE 折叠以后C 点正好落在AB 边上的点D 处.（1）当∠B ＝28º时，求∠CAE 的度数；（2）当AC ＝6，AB ＝10时，求线段DE 的长.【答案】（1）∠CAE ＝31º；（2）DE ＝3【解析】（1）在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90º，∠B ＝28º，∴∠BAC ＝90º－28º＝62º， ∵△ACE 沿着AE 折叠以后C 点正好落在点D 处，∴∠CAE ＝∠CAB ＝×62º＝31º；（2）在Rt △ABC 中，AC ＝6，AB ＝10，，∵△ACE 沿着AE 折叠以后C 点正好落在点D 处，∴AD ＝AC ＝6，CE ＝DE ，∴BD ＝AB －AD ＝4，设DE ＝，则EB ＝BC －CE ＝8－，∵Rt △BDE 中，，，解得，即DE 的长为3.【变式训练2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，点D 是边BC 的中点，点E 是边AB 上的任意一点（点E 不与点B 重合），沿DE 翻折△DBE 使点B 落在点F 处，连接AF ，当线段AF =AC 时，BE 的长为 ．【答案】【解析】连接AD ，作EG ⊥BD 于G ，如图所示：则EG ∥AC ，∴△BEG ∽△BAC ，∴==，设BE =x ，∵∠ACB =90°，AC =3，BC =4，∴AB ==5，∴==，解得：EG =x ，BG =x ， ∵点D 是边BC 的中点，∴CD =BD =2，∴DG =2﹣x ，由折叠的性质得：DF =BD =CD ，∠EDF =∠EDB ，在△ACD 和△AFD 中，，∴△ACD ≌△AFD （SSS ），∴∠ADC =∠ADF ， ∴∠ADF +∠EDF =×1880°=90°，即∠ADE =90°，∴AD 2+DE 2=AE 2，∵AD 2=AC 2+CD 2=32+22=13，DE 2=DG 2+EG 2=（2﹣x ）2+（x ）2，∴13+（2﹣x ）2+（x ）2=（5﹣x ）2，解得：x =，即BE =；故答案为：．【变式训练3】如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，1BC =，点M ，N 分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠B ∠，使点B 的对应点'B 始终落在边AC 上.若'MB C ∆为直角三角形，则BM 的长为 ．图1 图2 图3【解析】通过观察及分析可知，C 点不可能为直角顶点，分两种情况讨论.①当∠CM B ′=90°时，如图2所示.由折叠知：∠BMN =∠B ′MB =45°，又因为∠B =45°，所以∠BNM =90°，∠MNB ′=90° 即∠BNM +∠MN B ′=180°，所以B 、N 、B ′三点共线，此时B ′与点A 重合. 所以，12BM BC == ①当∠CB ′M =90°时，如图3所示.由折叠知∠B =∠B ′=45°，因为∠C =45°，可得∠B ′MC =45°，所以△B ′MC 是等腰直角三角形设BM = B ′M =x ，B ′C =x ，则MC = x因为BC +1，所以x +1，解得：x =1，即BM =1.综上所述，BM 或1. 【变式训练4】如图，平面直角坐标系中，已知矩形OABC ，O 为原点，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为（1，2），连接OB ，将△OAB 沿直线OB 翻折，点A 落在点D 的位置，则cos ∠COD 的值是（ ）A ．3/5B ．1/2C ．3/4D ．4/5【解答】作DF ⊥y 轴于F ，DE ⊥x 轴于E ，BD 交OC 于G ．∵在△BC G 与△OD G 中，∠BC G ＝∠ODF ，OD =BC , ∠DOF ＝∠G BC ，∴△BC G ≌△OD G ， ∴G O ＝G B ，∴设G O ＝G B ＝x ，则C G ＝G D ＝2﹣x ，于是在Rt △C G B 中，（2﹣x ）+1 ＝x ；解得x ＝5/4．G D ＝2﹣x ＝2﹣5/4＝3/4； ∵BC ⊥y 轴，DF ⊥y 轴，∴∠BC G ＝∠DF G ，∵∠B G C ＝∠D G F ，∴△CB G ∽△FD G ，∴DF /BC =D G/B G ，∴DF ＝3/5；题型二、等腰或等边三角形中的折叠问题例1.如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，P 为边AD 上一动点，连接BP ，把△ABP 沿BP 折叠，使A 落在A′处，当△A′DC 为等腰三角形时，AP 的长为（ ）A ．2B ．3C ．2或3D ．2或3【答案】C 【详解】①如图，当A′D=A′C 时，过A′作EF ⊥AD ，交DC 于E ，交AB 于F ，则EF 垂直平分CD ，EF 垂直平分AB ，∴A'A=A'B由折叠得，AB=A'B ，∠ABP=∠A'BP ，∴△ABA'是等边三角形，∴∠ABP=30°∴AP===； ②如图，当A'D=DC 时，A'D=2，由折叠得，A'B=AB=2，∴A'B+A'D=2+2=4连接BD ，则Rt △ABD 中，=，∴A'B+A'D ＜BD （不合题意）故这种情况不存在；③如图，当CD=CA'时，CA'=2由折叠得，A'B=AB=2，∴A'B+A'C=2+2=4，∴点A'落在BC 上的中点处此时，∠ABP=12∠ABA'=45°，∴AP=AB=2．综上所述，当△A′DC 为等腰三角形时，AP的长为2．故选C. 例2.如图，等边△ABC 中，D 是BC 边上的一点，把△ABC 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 处，折痕与边AB 、AC 分别交于点M 、N ，若AM ＝2，AN ＝3，那么边BC 长为_____．【解答】解：设BD ＝x ，DC ＝y ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ＝x +y ，∠ABC ＝∠ACB ＝∠BAC ＝60°， 由折叠的性质可知：MN 是线段AD 的垂直平分线，∴AM ＝DM ＝2，AN ＝DN ＝3，∴BM +MD +BD ＝2x +y ，DN +NC +DC ＝x +2y ，∵∠MDN ＝∠BAC ＝∠ABC ＝60°，∴∠NDC +∠MDB ＝∠BMD +∠MBD ＝120°，∴∠NDC ＝∠BMD ，∵∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∴△BMD ∽△CDN ，∴（BM +MD +BD ）：（DN +NC +CD ）＝DM ：DN ＝2：3，∴（2x +y ）：（x +2y ）＝2：3， ∴y ＝4x ，∴AB ＝BC ＝AC ＝5x ，MB ＝5x ﹣2，CN ＝5x ﹣3，∵BM /CD =DM /DN =2/3，∴(5x -2)/4x =2/3，∴x ＝6/7，∴BC ＝5x ＝30/7，故答案为30/7．【变式训练1】已知ABC 中， AC BC =， Rt C ∠=∠．如图，将ABC 进行折叠，使点A 落在线段BC 上（包括点B 和点C ），设点A 的落点为D ，折痕为EF ，当DEF 是等腰三角形时，点D 可能的位置共有（ ）．A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种【解析】（1）当点D 与C 重合时，∵AC=BC ，AE=DE （即CE ），AF=DF （即CF ），∴此时△AFC （即△AFD ）是等腰直角三角形，点E 是斜边AC 的中点，∴EF=DE ， ∴△EDF 为等腰三角形．（2）当点D 与B 点重合时，点C 与E 重合，∵AC=BC ，AF=DF （即BF ），∴此时EF=12AB=DF（即BF），∴△DEF是等腰三角形；（3）当点D移动到使DE=DF的位置时，△DEF是等腰三角形．综上所述，当△DEF为等腰三角形时，点D的位置存在3中可能.故选B.【变式训练2】如图所示，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点P为BC上一动点（不与端点重合）连接AP，将△ABP沿着AP折叠，点B落到M处，连接BM、CM，若△BMC 为等腰三角形，则BP的长度为.【解答】或或8【解析】当△BMC为等腰三角形时，分三种情况：①BM＝CM时，如图1所示：作MG⊥BC于G，则BG＝CG＝BC＝4，∠BGM＝90º，设BP＝，由折叠的性质得：MP＝BP＝,AP垂直平分BM，∵∠ABC＝90º，∴∠MBG＝∠BAP，∴△BGM∽△ABP，，即，在Rt△PMG中，GP＝4－，由勾股定理得，解得或（不合题意舍去），∴BE＝；②BM＝BC＝8时，如图2所示：由折叠的性质得：BO＝MO＝BM＝4，AP⊥BP，∴∠AOB＝∠ABP＝90º，∵∠BAO＝∠BAP，∴△ABP∽△AOB，，即，解得：BP；③CM＝BC时，连接OC，如图3所示：由折叠的性质得：AP垂直平分BM，∵CM＝BC，∴OC⊥BM，∴点P与C重合，∴BP＝BC＝8；综上所述，当△BMC为等腰三角形时BP的长为或8.【变式训练3】如图正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为.【解析】根据△CDB′为等腰三角形，以CD为腰或底分三种情况讨论，①DB′=DC；②CB′=CD；③CB′=DB′. 对于①DB′=DC，作图方法以E为圆心BE长为半径作弧，以D为圆心CD长为半径作弧，两弧交点即为B′. 对于②CB′=CD，作图方法以E为圆心BE长为半径作弧，以C 为圆心CD长为半径作弧，两弧交点即为B′. 对于③CB′=DB′，作图方法以E为圆心BE长为半径作弧，弧与CD垂直平分线的交点为B′.图1 图2 图例3详解：①DB′=DC，如图例7-2所示.易知：DB′=DC=16.②CB′=CD，如图例7-3所示.由折叠性质可知：BF= B′F=CD=16，此时F点与C点重合，不符题意.③CB′=DB′，如图例7-4所示.由题意得，DN=CN=8，因为AE=3，所以EM=5. B′E=BE=13.在Rt△EB′M中，由勾股定理得，B′M=12.所以B′N=4.4.在Rt△DB′N中，由勾股定理得，B′D=54.综上所述，B′D的长为16或5题型三、菱形中的折叠问题例.如图，在菱形ABCD中，AB=5，tan D=，点E在BC上运动（不与B，C重合），将四边形AECD沿直线AE翻折后，点C落在C′处，点D′落在D处，C′D′与AB交于点F，当C′D'⊥AB时，CE长为．【答案】【解析】如图，作AH⊥CD于H，交BC的延长线于G，连接AC′．由题意：AD=AD′，∠D=∠D′，∠AFD′=∠AHD=90°，∴△AFD′≌△AHD（AAS），∴∠F AD′=∠HAD，∵∠EAD′=∠EAD，∴∠EAB=∠EAG，∴=（角平分线的性质定理，可以用面积法证明）∵AB∥CD，AH⊥CD，∴AH⊥AB，∴∠BAG=90°，∵∠B=∠D，∴tan B=tan D==，∴=，∴AG=，∴BG===，∴BE：EG=AB：AG=4：3，∴EG=BG=，在Rt△ADH中，∵tan D==，AD=5，∴AH=3，CH=4，∴CH=1，∵CG∥AD，∴=，∴CG=，∴EC=EG﹣CG=﹣=．故答案为．【变式训练1】如图，在菱形纸片ABCD中，AB=15，tan∠ABC=，将菱形纸片沿折痕FG翻折，使点B落在AD边上的点E处，若CE⊥AD，则cos∠EFG的值为．【解析】如图，过点A作AH⊥BC于点H，连接BE，过点P作PE⊥AB，∵AB=15，tan∠ABC=，∴AH=9，BH=12，∴CH=3，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=15，AD∥BC，∵AH⊥BC，∴AH⊥AD，且AH⊥BC，CE⊥AD，∴四边形AHCE是矩形∴EC=9，AE=CH=3，∴BE===3，∵将菱形纸片沿折痕FG翻折，使点B落在AD边上的点E处，∴BF=EF，BE⊥FG，BO=EO=∵AD∥BC，∴∠ABC=∠P AE，∴tan∠ABC=tan∠P AE=，且AE=3，∴AP=，PE=，∵EF2=PE2+PF2，∴EF2=+（15﹣EF+）2，∴EF=，∴FO===∴cos∠EFG==，故答案为：【变式训练2】如图在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝√3，点P是对角线AC上的一个动点，过点P作EF⊥AC交CD于点E，交AB于点F，将△AEF沿EF折叠点A落在G处，当△CGB为等腰三角形时，则AP的长为_________.【解析】分析：首先证明四边形AEGF是菱形，分两种情形：①CG=CB，②GC=GB分别计算即可．详解：∵四边形ABCD是菱形，∠A=30°，AC=3，如图，∴AB=BC=CD=AD=√3，∠DAC=∠BAC=12∵EF ⊥AG ，∴∠EPA=∠FPA=90°，∴∠EAP+∠AEP=90°，∠FAP+∠AFP=90°， ∴∠AEP=∠AFP ，∴AE=AF ，∵△A′EF 是由△AEF 翻折，∴AE=EG ，AF=FG ，∴AE=EG=GF=FA ， ∴四边形AEGF 是菱形，∴AP=PG①当CB=CG 时，∵AG=AC -CG=3-√3，∴AP=12AG=3−√32．②当GC=GB 时，∵∠GCB=∠GBC=∠BAC ，∴△GCB ∽△BAC ，∴GCAB =BCAC ,∴GC=1，∴AG=3-1=2，∴AP=12AG=1．故答案为1或3−√32．题型四、矩形中的折叠问题例1.如图，矩形纸片ABCD ，AB =4，BC =3，点P 在BC 边上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE 、DE 分别交AB 于点O 、F ，且OP =OF ，则ADDF的值为A ．1113B ．1315C ．1517D ．1719【答案】C 【详解】根据折叠，可知：△DCP ≌△DEP ，∴DC =DE =4，CP =EP ．在△OEF 和△OBP 中，∵90EOF BOP B E OP OF ∠∠∠∠=⎧⎪==︒⎨⎪=⎩，∴△OEF ≌△OBP （AAS ），∴OE =OB ，EF =BP ． 设EF =x ，则BP =x ，DF =DE ﹣EF =4﹣x ．又∵BF =OB +OF =OE +OP =PE =PC ，PC =BC ﹣BP =3﹣x ，∴AF =AB ﹣BF =1+x ． 在Rt △DAF 中，AF 2+AD 2=DF 2，即（1+x ）2+32=（4﹣x ）2， 解得：x =0.6，∴DF =4﹣x =3.4，∴1517AD DF =．故选C．【变式训练1】矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B 沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为( )A．3B．32C．2或3D．3或32【解析】D【详解】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∴，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=5-3=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，∴x2+22=（4-x）2，解得x=32，∴BE=32；②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．综上所述，BE的长为32或3．故选D．【变式训练2】如图，在一张矩形纸片ABCD中，对角线AC＝14，点E、F分别是CD和AB的中点，现将这张纸片折叠，使点B落在EF上的点G处，折痕为AH，若HG的延长线恰好经过点D，则点G到对角线AC的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设AC交DH于点O，过点G作GK⊥AO于点K，如图所示：∵点E、F分别是CD和AB的中点，∴EF⊥AB，∴EF∥BC，∴EG是△DCH的中位线，∴DG＝HG，由折叠的性质可得：∠AGH＝∠ABH＝90º，∴∠AGH＝∠AGD＝90º，∴△ADG≌△AHG（SAS），∴AD＝AH，∠DAG＝∠HAG，由折叠的性质可得：∠BAH＝∠HAG，∴∠BAH＝∠HAG＝∠DAG＝∠BAD＝30º，∴AH＝AD＝BC＝，则在Rt△ABC中，则有（舍弃），，，，，，，，.【变式训练3】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝，E是AB边上一点，AE＝2，F 是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A′，当点E，A′，C三点在一条直线上时，DF的长为_____．【解析】6﹣或【详解】解：如图，由翻折可知，∠FEA＝∠FEA′，∵CD∥AB，∴∠CFE＝∠AEF，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF，在Rt△BCE中，EC∴CF＝CE＝，∵AB＝CD＝6，∴DF＝CD﹣CF＝6﹣，当点F在DC的延长线上时，易知EF⊥EF′，CF＝CF′＝，∴DF＝CD+CF′＝故答案为6﹣或==【变式训练4】如图，以矩形ABOD 的两边OD 、OB 为坐标轴建立直角坐标系，若E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交OD 于F 点．若OF ＝1，FD ＝2，则G 点的坐标为( )A ．(35) B ．(35)C ．(25，5) D ．(25，5) 【答案】B【详解】连结EF ，作GH ⊥x 轴于H ，如图，∵四边形ABOD 为矩形，∴AB =OD =OF +FD =1+2=3． ∵△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，∴BA =BG =3，EA =EG ，∠BGE =∠A =90°． ∵点E 为AD 的中点，∴AE =DE ，∴GE =DE ． 在Rt △DEF 和Rt △GEF 中，∵ED EGEF EF=⎧⎨=⎩，∴Rt △DEF ≌Rt △GEF （HL ），∴FD =FG =2，∴BF =BG +GF =3+2=5．在Rt △OBF 中，OF =1，BF =5，∴OB ==∵GH ∥OB ，∴△FGH ∽△FBO ，∴GH FH FGOB OF FB ==，215FH ==，∴GH 5=，FH 25=，∴OH =OF ﹣HF =12355-=，∴G 点坐标为（35）．故选B ．课后训练1、矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为( )A．3B．32C．2或3D．3或32【解析】D【详解】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∴，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=5-3=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，∴x2+22=（4-x）2，解得x=32，∴BE=32；②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．综上所述，BE的长为32或3．故选D．2.如图，矩形ABCD中，已知点M为边BC的中点，沿DM将三角形CDM进行翻折，点C 的对应点为点E，若AB＝6，BC＝8，则BE的长度为（）A. 4B.C.D.【解答】D【解析】∵矩形ABCD中，已知点M为边BC的中点，AB＝6，BC＝8，∴CD＝AB＝6，BM＝CM＝4，，∵沿DM将三角形CDM进行翻折，∴ME＝CM＝4，∠EMD＝∠CMD，∴BM＝EM，过M作MF⊥BE于F，如图所示：由题意得BE＝2BF，∠BMF＝∠EMF，∴∠EMF＋∠DME＝90º，∴∠BME＋∠CMD＝90º，∵∠CMD＋∠CDM＝90º，∴∠CDM＝∠BMF，∵∠BFM＝∠C＝90º，∴△BFM∽△MCD，.3.如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠使点A落在点G处，延长BG交CD于点F，连接EF，若CF＝1，DF＝2，则BC的长是（）A. B. C. 5 D.【解答】D【解析】过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝90º，AD＝BC，∵∠EMB＝90º，∴四边形ABME是矩形，∴AE＝BM，由折叠的性质得：AE＝GE，∠EGN＝∠A＝90º，∴EG＝BM，∵∠ENG＝∠BNM，∴△ENG≌△BNM（AAS），∴NG＝NM，∴CM＝DE，∵E是AD的中点，∴AE＝ED＝BM＝CM，∵EM∥CD，∴BN:NF＝BM:CM，∴BN＝NF，∵BG＝AB＝CD＝CF＋DF＝3，∴BN＝BG－NG＝，∴BF＝2BN＝5，.4.如图，正方形纸片ABCD沿直线BE折叠，点C恰好落在点G处，连接BG并延长，交CD于点H，延长EG交AD于点F，连接FH.若AF＝FD＝6，则FH的长为.【解答】【解析】连接BF，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠C＝90º，AB＝BC＝AF＋FD＝12，由折叠可知，BG＝BC＝12，∠BGE＝∠BCE＝90º∴AB＝GB，在Rt△ABF和Rt△GBF中，BF＝BF, AB＝GB∴Rt△ABF≌Rt△GBF（HL），∴∠AFB＝∠GFB,FA＝FG，又∵AF＝FD，∴FG＝FD，同理可证Rt△FGH≌Rt△FDH，∴∠GFH＝∠DFH，∴∠BFH＝∠BFG＋∠GFH＝×180º＝90º，∴∠AFB＋∠DFH＝90º，又∵∠AFB＋∠ABF＝90º，∴∠ABF＝∠DFH，又∵∠A＝∠D＝90º，∴△ABF∽△DFH，，在Rt△ABF中，由勾股定理可得，.5.如图，矩形纸片ABCD ，5AB =，3BC =，点P 在BC 边上，将CDP ∆沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O ，F ，且OP OF =，则AF 的值为_____________．【解析】207【详解】解：四边形ABCD 是矩形, ∴ 5CD AB ==,3AD BC ==,90B C A ︒∠=∠=∠=DEP ∆是由CDP ∆沿DP 折叠而来的∴5DE CD ==,EP CP = ,90E C ︒∠=∠=，B E ∴∠=∠又,FOE POB OP OF ∠=∠= ，∴OEF OBP ∆≅∆（AAS ），,EF BP OE OB ∴==BF BO OF EO OP EP CP ∴=+=+==设=EF BP x =,则5,3DF x BF CP x =-==- ，5(3)2AF AB BF x x ∴=-=--=+ 在Rt ADF ∆中，根据勾股定理得：222AD AF DF += ,即2223(2)(5)x x ++=-，解得67x =620277AF ∴=+= ，故答案为：2076.如图，将矩形纸片ABCD 沿MN 折叠，使点B 与点D 重合，再将△CDN 沿DN 折叠。

图形的翻折--知识讲解【学习目标】1．理解轴对称图形以及两个图形成轴对称的概念，弄清它们之间的区别与联系，能识别轴对称图形．2．理解图形成轴对称的性质，会画一些简单的关于某直线对称的图形．【要点梳理】要点一、轴对称图形轴对称图形的定义一个图形沿着某一条直线翻折过来，直线两旁的部分能互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．要点诠释：轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定．要点二、轴对称1．轴对称定义把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴．两个图形中的对应点，叫做关于这条直线的对称点．要点诠释：1．轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．2．成轴对称的两个图形对应线段的长度和对应角的大小相等，他们的形状相同，大小不变．2．轴对称与轴对称图形的区别与联系轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称．要点三、轴对称与轴对称图形的性质轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴垂直平分任何一对对应点所连线段；轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也垂直平分任何一对对应点所连线段．要点四、对称轴的作法在成轴对称的两个图形中，分别联结两对对应点，取中点，联结两个中点所得的直线就是对称轴．要点诠释：在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等．成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上．如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称．【典型例题】类型一、判断轴对称图形1、在下图的几何图形中，一定是轴对称图形的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D；【解析】每个图形都能找到对称轴，使对称轴两边的图形重合【总结升华】我们将图中的图形分别沿着某条直线对折，看看图形的两边能否重合，若重合则是轴对称图形，否则就不是．举一反三：【变式】下列图形中，对称轴最少的对称图形的是 ( )【答案】A；提示：A一条对称轴，B四条对称轴，C五条对称轴，D三条对称轴．2、将一个正方形纸片依次按图a，b的方式对折，然后沿图c中的虚线裁剪，成图d样式，将纸展开铺平，所得到的图形是图中的（）【思路点拨】根据轴对称的性质将最后一个图形一步一步的还原，做出他关于某条对称轴的对称图形，即可得到最后的答案.【答案】D；【解析】【总结升华】只需要根据对称轴补全图形就能找到答案，或者就真正的实际动手操作一下，这里推荐利用我们所学过的轴对称的知识解决问题．举一反三：【变式】将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（ ）【答案】A ；类型二、作轴对称图形3、如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC （即三角形的顶点都在格点上）．（1）在图中作出△ABC 关于直线l 对称的△A 1B 1C 1；（要求：A 与A 1，B 与B 1，C 与C 1相对应）（2）在（1）问的结果下，连接BB 1，CC 1，求四边形BB 1C 1C 的面积．【思路点拨】（1）关于轴对称的两个图形，各对应点的连线被对称轴垂直平分．做BM ⊥直线l 于点M ，并延长到B 1，使B 1M=BM ，同法得到A ，C 的对应点A 1，C 1，连接相邻两点即可得到所求的图形；（2）由图得四边形BB 1 C 1C 是等腰梯形，BB 1=4，CC 1=2，高是4，根据梯形的面积公式进行计算即可．【答案与解析】 解（1）如图，△A 1B 1C 1 是△ABC 关于直线l 的对称图形．（2）由图得四边形BB 1C 1C 是等腰梯形，BB 1=4，CC 1=2，高是4．()11111BB CC 42S =+⨯四形B B C C 边=12(4+2)×4=12．【总结升华】此题主要考查了作轴对称变换，在画一个图形的轴对称图形时，先确定一些特殊点的对称点，找到这些特殊点的对称点之后，联结即可．【变式】以直线l 为对称轴画出图的另一半．【答案】做圆弧的对称图形时以原来圆弧的圆点为圆点，原半径为半径作出圆弧的对称图形．对于矩形的对称图形和外框图形的对称图形首先作出各顶点关于l的对称点，连接对称点即为原图形的对称图形．类型三、作对称轴4、下图中的两个图形是轴对称图形，如何画出它们的对称轴呢？【答案与解析】(1)联结AA'、BB'(2)取AA'的中点E ，BB'的中点F，（3）联结EF，则直线EF为所求的对称轴．。

《图形的折叠问题(专题）——特殊四边形之翻折 》教学设计2017年6月9日一.教材分析：图形的折叠问题是图形变换的一种，折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。

有关折叠问题在近几年各地中考中也频频出现，主要是考查学生的自主探索能力与空间想象能力以及判断推理能力。

二.教学目标：1.知识与技能目标：把握图形折叠问题的实质，分清折叠前后哪些元素没变，哪些元素变化，理解折叠前后关于折痕成轴对称图形。

2.通过动手操作掌握寻找折痕条数的规律、掌握图形折叠后求折痕长度的方法、掌握图形剪拼的方法3.理解数学思想方法的综合运用：方程思想、数形结合思想、勾股定理，结合运用成为具体策略。

4．过程与方法：采用小组合作探究与动手实践相结合的教学模式，使学生学会与他人交流思维过程和结果，在动手实践中使学生的逆向思维和发散思维的到发展，自主探索能力与空间想象能力以及判断推理能力 得以提高。

5.情感态度与价值观：在小组的讨论与交流中培养学生的合作意识，在动手实践中激发学生兴趣，通过折叠问题的研究，使学生明确事物的变化与统一，理解事物的联系与区别。

三、教学重点：把握折叠与拼图的实质，并利用它与轴对称、全等三角形、相似三角形、勾股定理、矩形的判定等联系在 一起，提高学生的分析问题、解决问题的能力。

四、教学难点：把握折叠的变化规律，运用所学知识合理、有序、全面的解决问题五、教学方法：在教学过程中注重学生的亲身实践，注重学生能力的培养，采用小组合作探究与动手实践相结合的教学模式，充分尊重学生的主体地位。

六、学法指导数与形是一对孪生姐妹，要学好数学就要学生的数与形结合起来，把动手得到的图形转变成几何图形 七、设计理念：21世纪的教育要以人为本，在教学过程中充分尊重学生的主体地位，注重学生的亲身实践，注重学生能力的培养。

本节课我始终让学生分组合作和动手实践，使学生在合作中思维过程得以展现，思维结果得以肯定。

专题复习：图形的翻折变换泰州市教育局教研室钱德春2018.3.30复习目标：1．掌握图形“翻折变换”的基本性质，熟练地用翻折变换方法解决相关问题，进一步发展图形操作、思考、推理与表达的能力．2．从课本问题出发，经历翻折操作、性质归纳、联想“翻折变换”解决问题的过程，感受翻折变换的本质是“轴对称”，体验变换、转化、分类、对称、模型等思想方法，养成“操作猜想⇔数学思考⇔逻辑推理”的思维习惯．复习重点：“翻折变换”与“轴对称”的关系．复习难点：由相关条件联想“翻折变换”．复习用具：每生两张A4打印纸．复习过程：一、从课本出发1．汇报展示：课前整理的课本中与图形翻折有关的问题．（1）七年级上册P174《平面图形的认识（一）——垂直》习题；（2）七年级下册P41《平面图形的认识（二）》复习题；（3）七年级下册P42《平面图形的认识（二）》复习题；（4）八年级上册P60《轴对称图形——等腰三角形的轴对称性》；（5）八年级上册P70《轴对称图形——数学活动》；（6）八年级下册P95《中心对称图形》复习题；（7）九年级下册P62《对称图形——圆》圆周角习题；（8）九年级上册P62《对称图形——圆》圆周角习题；（9）九年级上册P71《对称图形——圆》直线与圆的位置关系．……说明图形翻折问题是教材中几何的重要内容,也是中考的重要考点.2．小题热身：（1）七年级上册P174《平面图形的认识（一）——垂直》习题：如图，将矩形纸片的一角折叠，使顶点A落在点A′处，折痕为BC．若∠ABC=65º，则∠A′BD为度；若BE是∠A′BD的平分线，则BE与BC的位置关系是．ACA′BDE江苏省初中数学名师精品课堂观摩与研讨活动教案（2）七年级下册P41《平面图形的认识（二）》复习题：如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点D 、C 分别落在点D ′、C ′处的位置，ED ′的延长线交BC 于点G ，若∠EFG =68 º，则∠1= 度，∠2= 度． 二、“翻折”的自述 1．问题思考：（1）填空你是怎么做的？理由是什么？（2）填空（1）中连接AA ′交BC 于点H ，你有何发现？ （3）填空（2）中你还能得到什么结论？ 2．知识梳理：翻折→轴对称①翻折前后两部分图形形状相同、大小不变，关于折痕成轴对称； ②对应线段相等，对应角相等，折痕垂直平分对应点的连线段； ③翻折得到轴对称图形、线段垂直平分、线段相等、角的平分线．【设计意图】一是让学生整理课本中与翻折有关的问题，引导学生关注教材、回到源头复习；二是通过两个小题的练习，梳理翻折变换有关的知识，掌握翻折变换的本质；三是通过小题练习、师生互动，既有主体体验，又能够暴露问题，起到拾遗补缺的目的；四是小题又为后面的操作、变式、拓展和思考打下伏笔． 三、翻折“网天下” 1．翻折操作翻折问题是“万花筒”，用不同的方法翻折，会得到不同的图形，产生不同的结论．以矩形为例：设矩形纸片ABCD 中，AB =6，BC =8．点P 在AB 、AD 上移动，点Q 在BC 上移动．将矩形沿PQ 折叠，点B 的对应点为E ．随着点P 、Q 的移动，你能翻折出哪些图形？画出图形，并提出问题． 2．问题思考【问题1】若点P 在AB 上，点Q 与C 重合．（1）若点E 恰好落在AD 上，求图中的相关线段的长；（2）若点E 落在AD 上方，PE 与AD 相交于点O ，且OE =OA ，求折痕PC 的长；A BCDPEOABE CDF C ′D ′ G2 1ADP B QC【问题2】若点P 与A 重合，将矩形沿PQ 折叠，当∠BAQ 满足什么条件时，点E 恰好落在矩形的对称轴MN 上？【问题3】若点P 、Q 恰好与点A 、C 重合，求AF 的长；【问题3】若点P 在AD 上，（1）点E 恰好与点D 重合，求PQ 的长；【问题4】点A 的对应点恰好落在BC 上的G 点，连接QA ． （1）判定四边形APGQ 的形状；（2）求线段AP 的取值范围．（由折叠知AP =GP ．当PQ ⊥AD 时PQ 最短，此时PQ =AB =3；当G 与C 重合时AP 最长，此时，在Rt △PDC 中，222DC PD PC +=，即222)8(6PC PC -+=，所以PC =425=AP ，故AP 的范围是6≤AP ≤425） （3）当△ABG 的外接圆与CD 相切于点N 时，求证：点N 是线段CD 的中点，并求折痕PQ 的长．ABQCD (E )P AB DPC (G )Q D ′ABE FCDAB C DPQGBCDMQANE【设计意图】从课本的小问题出发，学生进行图形折叠操作，根据折叠图形提出并分析、解决问题，教师根据问题出现顺序，选择部分问题分析并解答、点评，以此掌握图形翻折变换相关知识，发展操作、猜想、思考、推理、计算、表达的能力，掌握折叠翻折变换的本质，同时感受于课本是数学问题之源、问题之间的内在联系． 四、一“折”定乾坤我们知道，通过翻折变换得到轴对称图形、线段的垂直平分、线段相等、角的平分线等图形元素．事实上，课本和中考中的许多例习题隐藏着翻折变换．看到这些元素时，是不是可以反过来想到翻折变换呢？【问题6】由填空（1）的图联想到什么？（1）七年级上册P174《平面图形的认识（一）——垂直》习题在填空（1）中：若P 、Q 、S 分别是AB 、BC 、CD 上的点，将△PBQ 沿PQ 翻折，点B 落在E 处；将△SCQ 沿QS 翻折．若点C 落在F 点，M 为PS 的中点，试判断ME 、MF 的大小，并说明理由．【问题7】如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A 的平分线交⊙O 于点D ，试证明ADAC AB BAC 221cos +=∠．思考：①如何用图中的线段比表示BAC ∠21cos ？②AB +AC =2AH 如何处理？分析：从条件看，垂直→翻折（两种）；角平分线→翻折（两ABCDPGQ AB CDPQS EF MABCO种）；从结论看，AB +AC =2AH →AB +AC 构成一条线段，或AB +AC =2AH →AB ―AH =AH ―AC ．【问题8】半角模型（1）七年级上册P156《平面图形的认识（一）——角》练一练：（2）九年级下册P90《图形的相似》复习题思考：①改成图2，问题条件如何表达？（如图，△ABC 中，∠BAC =90º，AB =AC ，点F 、G 在BC 上，且∠F AG =45º．BF 、FG 、GC 之间有什么数量关系？） ②此图有何结论？ （ 222CG BF FG +=）ABC F GABCEHOABCH DOABCH DO【设计意图】图形中的线段垂直与相等、角的平分线等图形元素隐藏着“翻折变换”的条件，逆向思考，将翻折图形显性化，从而掌握利用翻折变换解决问题的策略，渗透建模思想，形成逆向思维的能力，提高中考应试水平．五、反思中建构1．复习了哪些知识？2．掌握了什么方法？3．在解决问题中运用了哪些数学思想？4．你还有哪些体会与困惑？【设计意图】通过梳理与反思，建构数学知识、方法、策略体系，养成善于反思、建构的学习习惯．六、课后练一练1．完成课上没有解决的问题；2．说明“八年级上册P70《数学活动》”折叠得到正五边形的理由；3．编写或找出一道能用翻折变换解答的几何题；4．图形还有哪些变换，请从课本中找出相关的问题．。

《图形的翻折》教案一、教学目标:1、理解图形翻折的直观意义；2、认识平面图形翻折的过程,在实例中理解轴对称的意义；根据要求能画出翻折后的图形；3、知道翻折后图形的形状、大小保持不变；二、教学重点与难点：教学重点：理解图形翻折的意义及相关性质，会画经过翻折后的图形教学难点：利用图形翻折后的性质解决综合问题。

三、教学方法和手段：主要采用讨论式和启发式教学方法，利用多媒体辅助教学。

四、教学过程(一) 复习引入如图如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为（） A．15° B．30° C．45° D．60°【黑板演示，理清依线翻折与依点翻折的不同作图方法；引导学生归纳翻折后图形的性质】翻折后图形的性质：1、翻折后得到的图形与原图形形状相同、大小不变，并且对应角、对应线段相等2、折痕所在的直线即为翻折前后两个图形的对称轴3、翻折后，图形对应点的连线段被对称轴垂直且平分(二)例题精讲翻折在综合题中的应用1、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC 沿直线AD折叠，使AC恰好落在斜边AB上，且点C与点E重合，则CD的长为____。

2、一张矩形纸片ABCD，先沿对角线BD对折，点C落在C′的位置，BC′交AD 于点G。

①若∠GD C′=30°，求∠GBD的度数？②若AD=8,AB=6,求AG长，三角形BGD的面积③连接A C′，求证A C′和BD的位置关系3、如图，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN。

你能求出几条线段的长度？分别是多少?4．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，点D 落在D′处， C′D′交AE于点M．若AB=6，BC=9，则AM的长为．5、如图，在正方形纸片ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，沿过点B的直线折叠，使点C落在EF上，落点为N，折痕交CD边于点M，BM与EF交于点P，再展开．则下列结论中：①CM=DM；②∠ABN=30°；③AB2=3CM2；④△PMN是等边三角形．正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6、已知：四边形OABC为矩形，点B（5,3），D（0，b）为Y轴正半轴上一个动点，以AD为折痕，将三角形OAD沿AD对折，折叠后点O落在点E处。

课题：几何图形的操作与变换—翻折【课型】初三复习小专题【教学目标】知识和技能：理解图形翻折的直观意义，根据要求能画出翻折后的图形；知道翻折后图形的形状、大小保持不变．过程和方法：由简入难，层层推进，经历利用翻折后得到的图形性质解决综合问题，总结归纳解决翻折类问题的基本策略，形成知识体系，在反思中提升．情感、态度与价值观：在合作探究中得出结论，获取成功的体验，帮助学生掌握“理、归、拓”的学习方法．【教学重点与难点】教学重点：理解图形翻折的意义及相关性质，会画经过翻折后的图形，会解综合问题．教学难点：利用图形翻折后的性质解决综合问题．【专题概述】翻折即轴对称．翻折的对象一般有三角形、长方形、正方形等基本图形；考查问题有求角度、线段的长度、点的位置、图形的面积、判断线段之间关系等．解题时：1．重视“折”关注“叠”；2．本质：轴对称（全等性、轴对称性）；3．关键：根据翻折实现等量转化；4．基本方法：构造方程①根据勾股定理得方程②根据相似比得方程③利用面积法得方程等．设计意图：让学生对本课复习内容有初步认识，对本课需达成的复习目标及能力要求有个初步的规划和了解．【知识回顾】如图，将三角形纸片ABC折叠，使点B与点C重合，然后展开纸片，记折痕为DE，连接DC，你有哪些发现？（学生口答，结合学生回答，回忆并整理轴对称的2条基本性质）翻折性质1：翻折前后的两个图形全等，即对应边相等，对应角相等．翻折性质2：对应点的连线被对称轴垂直平分．设计意图：从最直观的基本模型入手，结合操作，体会翻折即轴对称，回忆并整理轴对称的2条基本性质，为本课内容的推进奠定基础．【操作尝试】现有一张矩形纸片，不借助其他任何工具，通过折叠，你能得到一个等腰三角形吗？请说说你的折法和理由．设计意图：鼓励学生动手操作，让学生在具体情境中进一步感受翻折性质的应用．教师结合学生实际折纸情况，引导学生建立合适的数学模型，让实际问题带有数学味儿，激发学生的探究兴致．预设问题：如果该矩形中AD=8，AB=6，（1）请求出你所得到的等腰三角形的腰长；（2）重叠部分的面积；（3）菱形的证明等．求解过程让学生初步感受方程思想及转化思想对解题的帮助．【考题呈现】例1 已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．（1）如图，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；（2）若图中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数．设计意图：归纳解决矩形的翻折问题，往往能构成直角三角形、全等三角形、相似三角形，同（等）角的三角比值相等等性质求解．通过设元再利用相等、相似比、勾股定理列出方程是常用的求解方法．解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而进一步发现其中的数量关系【抓住题中的折叠后恰好落在…等关键词】．例2如图在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E，F分别在边AC，BC上）且△CEF与△ABC相似．（1）当AC=BC=2时，AD的长为．（2）当AC=3，BC=4时，你会求出AD的长吗？设计意图：三角形的多样翻折，让学生感悟：图形的翻折部分在折叠前和折叠后关于折痕成轴对称【轴对称图形性质】，分类讨论思想和转化思想的运用.【反思提升】翻折问题解题策略：“折”是过程，“叠”是结果1．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形；【对应量相等】2．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称；【轴对称图形性质】3．解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而进一步发现其中的数量关系；【抓住题中的折叠后恰好落在…等关键词】4．充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系，用方程的形式表达出来，并迅速求解，这是解题时常用的方法之一．【勾股、相似、三角函数是常用的建立数量关系的有效方法，将形中问题量化】【目标检测】如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上，OC=3，OA=26，D是BC的中点，将△OCD沿直线OD折叠后得到△OGD，延长OG交AB于点E，连接DE，则点G的坐标为．【好题分享】（课后）设计意图：课堂的延伸与拓展，培养学生不要一味的解题，做个善于思考、善于归纳小结的智者，培养合作学习、合作探究的能力，追求学习效益最大化．也让学生能在分享中增强自信，收获数学学习的快乐！。