江苏省高邮市送桥中学高中数学1.2余弦定理(1)导学案(无答案)苏教版必修5

1.2余弦定理第1课时余弦定理(1)(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题；(2)能够运用余弦定理理解解决一些与测量和几何计算有关的实际问题；(3)通过三角函数、余弦定理、向量数量积等知识间联系来表达事物之间的普遍联系与辩证统一．2.过程与方法利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．3．情感、态度与价值观(1)培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；(2)通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系来理解事物之间的普遍联系与辩证统一．●重点、难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用．难点：向量方法证明余弦定理．为了突出重点、分解难点，可引导学生把两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角．再由边长的几种求法引出向量(向量的模就是线段的长度)．(教师用书独具)●教学建议1．本节课教学时应始终注意培养学生的问题意识．课题引入中提出在三角形中两边及夹角时，如何解三角形．随着问题的解决而引出本节研究的余弦定理，然后再通过向量知识给予证明，引起学生对应用向量知识解决问题的兴趣，同时感受向量法证明余弦定理的简便之处．2．在运用向量的方法证明余弦定理的同时，还应注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系．●教学流程错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!(对应学生用书第6页)课标解读1.了解向量法证明余弦定理的过程．(难点)2．掌握余弦定理，会用余弦定理解决一些简单的三角形问题．(重点)余弦定理[问题导思] △ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，C ＝60°. 1．能否直接利用正弦定理求AB? [提示] 不能．2．能否利用平面向量求边AB ？怎么求？ [提示] 能． 因AB →＝AC →＋CB →，∴|AB →|2＝|AC →|2＋|CB →|2＋2AC →·CB →＝|AC →|2＋|CB →|2－2|AC →||CB →|cos ∠ACB ＝4＋9－2×2×3 cos 60°＝7. ∴|AB →|＝7.3．根据问题2的推导方法，能不能用b ，c ，A 表示a? [提示] 能． 1．余弦定理(1)三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .(2)余弦定理也可以写成如下形式：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.2．余弦定理的应用利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题： (1)三边，求三个角；(2)两边和它们的夹角，求第三边，进而求出其他两角.(对应学生用书第7页)三角形三边，解三角形△ABC 的三边长为a ＝3，b ＝4，c ＝37，求△ABC 的最大内角．[思路探究] 判断最大内角→利用余弦定理求余弦→由余弦求角 [自主解答] ∵c ＞a ，c ＞b ，∴角C 最大．∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋42－3722×3×4＝－12，∴C ＝120°，∴△ABC 的最大内角为120°.1．三角形三边求三内角，应用的是余弦定理的变形形式，本例中“求最大内角〞，应依据“大角对大边〞确定．2．应用余弦定理求三角形内角时，与利用正弦定理有所不同，由于y ＝cos x 在(0，π)内单调，因此角由余弦值惟一确定，不需要分类讨论．△ABC 中，假设sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大内角为________． [解析] ∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，∴a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，∴角C 为最大内角，且cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋52－722×3×5＝－12，∴C ＝120°. [答案] 120°两边及其夹角，解三角形在△ABC 中，a ＝2，b ＝22，C ＝15°，解此三角形．[思路探究] 15°＝45°－30°→求cos 15°，sin 15°→余弦定理求c →正弦定理求A →求角B[自主解答] cos 15°＝cos(45°－30°)＝6＋24，sin 15°＝6－24. 由余弦定理知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－22(6＋2)＝8－43， ∴c ＝8－43＝6－ 2. 由正弦定理得sin A ＝a sin C c ＝12， ∴A ＝30°或A ＝150°. ∵b ＞a ，∴B ＞A .∴A ＝30°，B ＝180°－(A ＋C )＝135°.1．本例解法不只一个，求出边长c 后，也可利用余弦定理求角A ，避免角的取舍． 2．两边及其夹角，三角形惟一确定，不存在解的个数的讨论．在△ABC 中，a ＝23，c ＝6＋2，B ＝45°，求b 及A .[解] 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(23)2＋(6＋2)2－2×(6＋2)×23×cos 45°＝8， ∴b ＝2 2.下面用两种方法求A . 法一 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝222＋6＋22－2322×22×6＋2＝12，∴A ＝60°. 法二 由正弦定理，得sin A ＝a b sin B ＝2322sin 45°＝32，∵(6＋2)2＝8＋43，(23)2＝12，∴6＋2＞23，∴c ＞a ，∴0＜A ＜90°，∴A ＝60°.余弦定理的变形及应用在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，角B ，角C 所对的边，b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc ，求角A 的大小及b sin Bc.[思路探究] 对条件进行转化，对cos A 的表达式进行整体代换，求角A . [自主解答] 由b 2＝ac 及a 2－c 2＝ac －bc 得b 2＋c 2－a 2＝bc .在△ABC 中，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°. 在△ABC 中，由正弦定理得sin B ＝b sin Aa， 又∵b 2＝ac ，A ＝60°，∴b sin B c ＝b 2sin A ac ＝sin 60°＝32.1．当条件中出现关于边的二次式时，经常对条件转化变形，以便于利用余弦定理求解三角形．2．利用等式时，应注意对原式变换，整体代换，简化运算．(2013·某某高二检测)在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，那么A 的取值X 围是________．[解析] 由及正弦定理有a 2≤b 2＋c 2－bc . 由余弦定理可知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以b 2＋c 2－2bc cos A ≤b 2＋c 2－bc ，即cos A ≥12.又0＜A ＜π，所以角A 的取值X 围为(0，π3]．[答案] (0，π3](对应学生用书第8页)忽略构成三角形的条件而致误在△ABC 中，三边的长为连续的自然数，且最大角为钝角，求这个三角形的三边的长．[错解] 设a ＝k ，b ＝k ＋1，c ＝k ＋2(其中k ∈N *)，由题意知cos C ＜0. 由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＜0， 即k 2＋(k ＋1)2－(k ＋2)2＜0. ∴k 2－2k －3＜0，解得－1＜k ＜3. 又∵k ∈N *，∴k ＝1或k ＝2. 当k ＝1时，三边长分别为1,2,3； 当k ＝2时，三边长分别为2,3,4.∴这个三角形的三边的长分别为1, 2,3或2,3,4.[错因分析] 由于三边的长为连续的自然数，所以三边长分别用k ，k ＋1，k ＋2(k ∈N *)来表示，但解题时忽略了k，k＋1，k＋2能否构成三角形，只考虑到大边对大角，用余弦定理求解，从而产生错误．[防X措施] 在三角形中隐含条件较多，可能会因为不用心而导致错误，在利用余弦定理求三角形的三边时，先要判断一下三边能否构成三角形．[正解] 设a＝k，b＝k＋1，c＝k＋2(k∈N*)．由a＋b＞c，知k＋(k＋1)＞k＋2，即k＋1＞2，得k＞1，①由cos C＜0，得a2＋b2－c2＜0，即k2－2k－3＜0.解得－1＜k＜3，②由①②知1＜k＜3，又k∈N*，∴k＝2，∴a＝2，b＝3，c＝4，∴这个三角形的三边的长分别为2,3,4.1．基础知识：(1)余弦定理；(2)利用余弦定理解三角形．2．基本技能：(1)三边解三角形；(2)两边及其夹角，解三角形；(3)余弦定理的变形及应用．3．思想方法：(1)转化与化归思想；(2)三角代换；(3)边角互化.(对应学生用书第8页)1．在△ABC 中，假设a ＝c ＝2，B ＝120°，那么边b ＝________. [解析] b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋22－2×2×2cos 120°＝2 3. [答案] 2 32．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .a 2＝b 2－bc ＋c 2，那么A ＝________. [解析] ∵a 2＝b 2－bc ＋c 2，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A ＝60°. [答案] 60°3．三角形的三边分别为4,6,8，那么此三角形为________． [解析] 设边长为8的边所对角为θ，那么cos θ＝42＋62－822×4×6＜0，∴θ为钝角，∴此三角形为钝角三角形．[答案] 钝角三角形4．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设c ＝2，b ＝6，B ＝120°，求a .[解] ∵a 2＋c 2－b 2＝2ac ·cos B ，∴a 2＋2－6＝22a ·(－12)，∴a 2＋2a －4＝0，∵Δ＝2＋16＝18＞0，∴a ＝－2±182，∵a ＞0，∴a ＝ 2.(对应学生用书第81页)一、填空题1．在△ABC 中，b ＝43，c ＝23，角A ＝120°，那么a ＝________. [解析] a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝84，∴a ＝221. [答案] 2212．(2013·如皋检测)在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝3∶1∶2，那么B 为________．[解析] cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝22＋32－122×2×3＝32，∴B ＝30° [答案] 30°3．在△ABC 中，三边长AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，那么AB →·BC →＝________.[解析] cos B ＝72＋52－622×7×5＝1935，∴AB →·BC →＝7×5×cos(π－B )＝7×5×(－1935)＝－19.[答案] －194．(2013·某某高二检测)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为________．[解析] 设底边长为1，那么每腰长为2，由余弦定理得 cos θ＝4＋4－18＝78.[答案] 785．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，那么sin Bsin C 的值为________．[解析] 由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A . 即72＝52＋AC 2－10AC ·cos 120°， ∴AC ＝3.由正弦定理得sin B sin C ＝AC AB ＝35.[答案] 356．(2013·某某高二检测)在△ABC 中，B ＝120°.AC ＝7，AB ＝5，那么△ABC 的面积为________．[解析] 由余弦定理知AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 120°，即49＝25＋BC 2＋5BC ，∴BC ＝3或BC ＝－8(舍去)，故S △ABC ＝12AB ·BC sin 120°＝1534. [答案]15347．(2012·某某高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，那么角C ＝________.[解析] ∵(a ＋b )2－c 2＝ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴c ＝120°. [答案] 120°8．(2012·高考)在△ABC 中，假设a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，那么b ＝________.[解析] 由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴b 2＝22＋c 2－2ac ×(－14)，∴b 2＝4＋(7－b )2＋(7－b )，∴b ＝4. [答案] 4 二、解答题9．△ABC 中，边AB ＝3，AC ＝5且A ＝60°，求sin B 的值． [解] ∵BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60° ＝32＋52－2×3×5×12＝19，∴BC ＝19.∵AC sin B ＝BC sin A ，∴sin B ＝53857.10．在△ABC 中，假设c ＝4，b ＝7，BC 边上的中线AD 的长为72，求边长a .[解] 设BC ＝a ＝2x (x ＞0)，那么由余弦定理知cos ∠ADC ＝x 2＋722－722x ×72， cos ∠ADB ＝x 2＋722－422x ×72.∵∠ADC ＋∠ADB ＝π，∴cos ∠ADC ＋cos ∠ADB ＝0，即x 2＋722－727x ＋x 2＋722－427x＝0. 整理得(2x )2＝81即2x ＝9，故边长a 为9.11．a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且a 2＋c 2－b 2＝ac .(1)求角B 的大小；(2)假设c ＝3a ，求tan A 的值．[解] (1)由余弦定理， 得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12， ∵0＜B ＜π，∴B ＝π3. (2)法一 将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a ，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝5714， ∵0＜A ＜π，∴sin A ＝1－cos 2A ＝2114， ∴tan A ＝sin A cos A ＝35. 法二 将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a ，由正弦定理，得sin B ＝7sin A .∵B ＝π3，∴sin A ＝2114. 又b ＝7a >a ，∴B >A ，∴cos A ＝1－sin 2A ＝5714，∴tan A ＝sin A cos A ＝35.(教师用书独具)△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，求角C 的取值X 围．[思路探究] 不妨设边AC ＝x ，由余弦定理建立关于x 的二次方程，根据二次方程根的X 围建立不等关系求cos C 的X 围进而求C 的X 围．[自主解答] 设AC ＝x ，∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜1＋2，x ＞2－1，∴1＜x ＜3.由余弦定理得x 2＋4－4x cos C ＝1，即x 2－4x cos C ＋3＝0.①∵方程①在(1,3)内有解，令f (x )＝x 2－4x cos C ＋3， ∴f (1)·f (3)＜0 ①或⎩⎪⎨⎪⎧ f 1＞0，f 3＞0，1＜4cos C 2＜3，Δ≥0，② 由①得48(1－cos C )2＜0，无解．由②得cos C ≥32，又0＜C ＜π，∴0＜C ≤π6.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b 2a ＋c. (1)求B 的大小；(2)假设b ＝13，a ＋c ＝4，求a 的值．[解] (1)由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， ∴原式化为a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c， 整理得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12， 又0＜B ＜π，∴B ＝2π3. (2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝2π3代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得，13＝a 2＋(4－a )2－2a (4－a )·cos 2π3， 即a 2－4a ＋3＝0.解得a ＝1或a ＝3.拓展探究正弦定理、余弦定理的关系正弦定理和余弦定理从不同的角度刻画了三角形边角之间的数量关系，它们是解决斜三角形问题的两个最重要的定理．在同一个三角形中，这两个定理又是等价的命题，即由正弦定理可以推出余弦定理，由余弦定理同样也可以推出正弦定理．(1)由正弦定理推导余弦定理在△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，那么 b 2＋c 2－2bc cos A ＝4R 2(sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A )＝4R 2[sin 2B ＋sin 2C ＋2sin B sin C cos(B ＋C )]＝4R 2[(sin 2B －sin 2B sin 2C )＋(sin 2C －sin 2B sin 2C )＋2sin B cos B sin C cos C ]＝4R 2(sin 2B cos 2C ＋cos 2B sin 2C ＋2sin B cos B sin C cos C )＝4R 2sin 2(B ＋C )＝4R 2sin 2A ＝a 2.其中R 是△ABC 外接圆的半径．同理可证得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .(2)由余弦定理推导正弦定理在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，那么a sin A ＝a1－cos 2A＝a 1－b 2＋c 2－a 224b 2c 2 ＝2abc 4b 2c 2－b 2＋c 2－a 22 ＝2abc a ＋b ＋c b ＋c －a a －b ＋c a ＋b －c. 同理可得bsin B＝2abc b ＋c ＋a b ＋c －a a －b ＋c a ＋b －c ， c sin C ＝2abc c ＋a ＋bb ＋c －a a －b ＋c a ＋b －c ， 所以asin A ＝b sin B ＝c sin C. 综上所述，正弦定理与余弦定理是等价的命题．因此，在解三角形中，凡是能用正弦定理求解的三角形，必能用余弦定理求解，反之亦然．但是在遇到解三角形问题时，应首先分析条件，看该问题究竟属于哪一种类型，以决定采用哪一个定理，这样可以避免解题的盲目性，优化解题过程．所以，熟悉这两个定理所适用的解三角形的类型是很有必要的，这样就可以把解三角形问题解决得很好，在提高自身数学素养的同时更彰显特色．。

1.2 余弦定理教学目标：1. 掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2. 能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．教学重点：重点是余弦定理及其证明过程．教学难点：难点是余弦定理的推导和证明．教学过程：1. 创设情景，提出问题．问题1：修建一条高速公路，要开凿隧道将一段山体打通．现要测量该山体底侧两点间的距离，即要测量该山体两底侧A ，B 两点间的距离（如图1）．请想办法解决这个问题．设计意图：这是一个学生身边的实际应用问题，在其解决的过程中得到余弦定理，自然引出本课的学习内容．2. 构建模型，解决问题．学生活动：提出的方法有，先航拍，然后根据比例尺算出距离；利用等高线量出距离等；也有学生提出在远处选一点C ，然后量出AC ，BC 的长度，再测出∠ACB ．△ABC 是确定的，就可以计算出AB 的长．接下来，请三位板演其解法．法1：（构造直角三角形）如图2，过点A 作垂线交BC 于点D ，则｜AD ｜＝｜AC ｜sin C ，｜CD ｜＝｜AC ｜cos C ，｜BD ｜＝｜BC ｜－｜CD ｜＝｜BC ｜－｜AC ｜cos C ，所以， 22||||||BD AD AB += C BC AC BC AC cos ||||2||||22⋅⋅-+=．法2：（向量方法）C如图3，因为AB AC CB =+，所以，22()AB AC CB =+ 222cos(),AC CB AC CB C π=++⋅⋅-即 C BC AC BC AC AB cos ||||2||||||22⋅⋅-+=． 法3：（建立直角坐标系） 建立如图4所示的直角坐标系，则A （｜AC ｜cos C , ｜AC ｜sin C ），B （｜BC ｜, 0），根据两点间的距离公式，可得22)0sin |(||)|cos |(|||-+-=C AC BC C AC AB ，所以，C BC AC BC AC AB cos ||||2||||||22⋅⋅-+=．活动评价：师生共同评价板演．3. 追踪成果，提出猜想．师：回顾刚刚解决的问题，我们很容易得到结论：在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边长，则有C ab b a c cos 2222-+=成立．类似的还有其他等式， A cb b c a cos 2222-+=，B ca a c b cos 2222-+=．正弦定理反映的是三角形中边长与角度之间的一种数量关系，因为与正弦有关，就称为正弦定理；而上面等式中都与余弦有关，就叫做余弦定理．问题2：刚才问题的解题过程是否可以作为余弦定理的证明过程？设计意图：作为定理要经过严格的证明，在解决问题中培养学生严谨的思维习惯． 学生活动：经过思考得出，若把解法一作为定理的证明过程，需要对角C 进行分类讨论，即分角C 为锐角、直角、钝角三种情况进行证明；第二种和第三种解法可以作为余弦定理的证明过程．教师总结：证明余弦定理，就是证明一个等式．而在证明等式的过程中，我们可以将一般三角形的问题通过作高，转化为直角三角形的问题；还可以构造向量等式，然后利用向量的数量积将其数量化；还可以建立直角坐标系，借助两点间的距离公式来解决，等等．4. 探幽入微，深化理解．问题3：刚刚认识了余弦定理这个“新朋友”，看一看它有什么特征？C学生活动：勾股定理是余弦定理的特例． 反过来也可以说，余弦定理是勾股定理的推广；当角C 为锐角或钝角时，边长之间有不等关系 222c b a >+，222c b a <+；C ab b a c cos 2222-+=是边长a 、b 、c 的轮换式，同时等式右边的角与等式左边的边相对应；等式右边有点象完全平方，等等．教师总结：我们在观察一个等式时，就如同观察一个人一样，先从远处看，然后再近处看，先从外表再到内心深处．观察等式时，先从整体（比如轮换）再到局部（比如等式左右边角的对称），从一般到特殊，或者从特殊到一般（比如勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广）．问题4：我们为什么要学余弦定理，学它有什么用？设计意图：让学生真正体会到学习余弦定理的必要性．同时又可以得到余弦定理能解决的三角形所满足的条件，以及余弦定理的各种变形．让学生体会在使用公式或定理时，不但要会 “正向使用”还要学会“逆向使用”．学生活动：解已知三角形的两边和它们夹角的三角形；如果已知三边，可以求角，进而解出三角形，即abc b a C ac b c a B bc a c b A 2cos ,2cos ,2cos 222222222-+=-+=-+=． 5. 学以致用，拓展延伸．练习：1．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝5，c ＝7，求角C ．2．（1）在△ABC 中，若045,6,13==+=A c b ，解这个三角形．（2）在△ABC 中，1,60,30===c B b ，求a ．学生活动：练习后相互交流得出，解答题1时，利用的是余弦定理的变形形式abc b a C 2cos 222-+=；而题2既可以利用正弦定理，也可以利用余弦定理解决． 思考：正弦定理与余弦定理间是否存在着联系呢？你能用正弦定理证明余弦定理，用余弦定理证明正弦定理吗？请同学们课后思考．。

第1课时 数列的概念和简单表示（1）【学习目标】1、了解数列的概念及其表示方法；2、理解数列通项公式的有关概念；3、给出数列的通项公式，会写出数列的前几项；给出简单数列的前几项，会写出它的通项公式4、了解数列是一种特殊的函数，会用图象法的列表法表示数列【学习重点】1.理解数列概念；2.用通项公式写出数列的任意一项.【预习内容】阅读书本第29—31页，回答下列问题：（1） 称为数列， 叫做数列的项。

（2）数列的分类（按项数）：项数有限的数列叫做 ，项数无限的数列叫做 。

（3）数列的一般形式可以写成 数列可以简记为 ，其中 称为数列{}n a 的第一项（或称 ），2a 称为数列{}n a 的第 项，……，n a 称为{}n a 的第 项。

（4）你能用函数的观点理解数列吗？对照书本，说说看。

（5）何为数列的通项公式： 叫做数列{}n a 的通项公式。

【新知学习】观察下列六组数：236320,22,24,26,28,1740,1823,1906,1989,2072,1,2,2,2,,211111,,,,,24816321,2,4,8,16,15,5,16,16,28,32观察有什么共同特点？由此总结出数列的定义：数列： 数列的项：数列的分类：数列的表示：用函数来解释数列： 问题：已知数列的第n 项n a 为21n ，写出这个数列的首项、第二项和第三项。

数列通项公式的定义：数列的三种基本表示：【新知应用】例1．根据下面数列{n a }的通项公式，写出它的前5项，并作出它们的图像 (1)1n n a n =+； (2) (1)2nn n a -=讨论：从图像观察，数列的图像有何特征？例2．写出数列的一个通项公式，使它的前４项分别是下列各数：（1）1，3，7，15，31； （2）1-，1，1-，1，1-；（3）112⨯，123-⨯，134⨯，145-⨯； （4）13，45，97，169，．．．，； （5）0，2，0，2．例3*已知数列{}n a 的通项公式为22111n a n n =-++，试问48是这个数列中的项吗？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由.【新知回顾】本节课学习了那些概念？你觉得最重要的概念有哪些？【教学反思】第1课时 数列的概念和简单表示（1）作业1．数列1，2，1，2，1，2的一个通项公式是 .2．数列2，5，11，20，x ，47，……中的x 等于_______3．写出数列25 ，215 ，235，…的通项公式. 4．37是否为数列{31}n +中的项？如果是，是第几项？5.根据数列{}n a 的通项公式，写出它的第6项和第10项：（1）2n a n n =+ （2）152n n a -=- 6写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列个数：（1）2,4,8,16； （2）1,8,27,64（3）1111,,,234--； （4）17．写出数列{}n a 的前5项.（1）23n a n =+ （2）3n a =（3）1(21)3nn a =- （4）1, 21, n n a n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数8．已知数列{(2)}n n +（1）写出这个数列的第8项和第20项；（2）323是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？9．数列－1，85 ，－157 ，249 ，…的一个通项公式是__________________10．写出下列数列的通项公式：（1）1,3,1,3,1,3； （2）1157,,,221854-- 。

教学设计-------§1.1.2 余弦定理导学案学习目标1. 掌握余弦定理的内容和推论；理解用向量方法证明余弦定理；2. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．3.理解正弦定理与余弦定理在解三角形中的不同应用。

学习过程一、课前准备复习1：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = ．复习2：在三角形中，利用正弦定理可以解决什么样的问题？思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？二、新课导学探究新知问题：在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .∵BC ，∴BC BC ，同理可得： 2222cos b a c ac B =+-，2222cos c a b ab C =+-．新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍．思考1：请问你还有其他的证明方法与大家分享吗？（提示如：两点间距离公式，三角形方法）思考2：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？从余弦定理，又可得到以下推论： 222cos 2b c a A bc+-=，cos B = ，cos C = ． 知识拓展余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角．问题导学应用1、已知三角形的三边解三角形例1（1）△ABC 中，a =2c=，150B =，求b．（2）△ABC 中，2a =，b ，1c =，求A ．应用2、利用三角形三边判断三角形形状例2、（1）以7、24、25为各边长的三角形是________三角形。

（2）以2、3、4为各边长的三角形是________三角形。

（3）以4、5、6为各边长的三角形是________三角形。

B点评：在△ABC 中，若222a b c +=，则角C 是________；若222a b c +<，则角C 是________；若222a b c +>，则角C 是________．由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．应用3、正弦定理与余弦定理的应用比较例3、在△ABC 中，a =b=3， 30=B ，求边c 的长。

1.2 余弦定理（1） 第 3 课时一、学习目标 1理解用向量的数量积证明余弦定理的方法。

，2.掌握并熟记余弦定理3.能运用余弦定理及其推论解三角形二、学法指导1.余弦定理揭示了任意三角形的边角关系，其证明的方法有向量法，解析法和几何法。

2.余弦定理适用的题型：（1）已知三边求三角，用余弦定理，有解时只有一解（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他的角，用余弦定理必有一解3.余弦定理适用于判断三角形的形状。

三、课前预习（1）余弦定理：222____________________________________________________________________________________a b c ===（2）余弦定理的推论：cos ____________________________cos ____________________________cos ____________________________A B C ===（3）用余弦定理可以解决两类有关解三角形的问题已知三边，求已知 和它们的 ，求第三边和其他两个角。

三、课堂探究1．余弦定理的证明及理解：2．例题讲解例1 （教材14P 例1）在ABC ∆中，（1）已知060,1,3===A c b ，求a ；（2）已知6,5,4===c b a ，求A例2（教材14P 例2应用题）略例3 （教材14P 例3）用余弦定理证明：在ABC 中，当C∠为锐角时，222a b c +>；当C ∠为钝角时，222a b c +<四、巩固训练（一）当堂练习1. 在ABC ∆中，（1）已知60A =,4,7b c ==，求a ；（2）已知7,5,3a b c ===，求A2．在ABC ∆中，已知222a b ab c ++=，求C 的大小.（二）课后作业1． 在ABC ∆中，)())((c b b c a c a +=-+，则=A ______2. 在ABC ∆中，已知1413cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦值是______五、反思总结。

第4课时余弦定理（2）【学习目标】1.能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题；；2. 通过引导学生寻找和分析条件与结论所涉及三角形中的边角关系，培养学生的分析问题、解决问题能力.【问题情境】1.，对于一个三角形，给定其中三个独立条件的情况有哪几种？各种情况适用的定理类型，以及应用定理时的注意点..2.在长江某渡口处,江水以5km/h的速度向东流.一渡船在江南岸的A码头出发,预定要在0.1h后到达江北岸的B码头,如图.设AN为正北方向,已知B码头在A码头的北偏东15︒,并与A码头相距,该渡船应按什么方向航行?速度是多少?(角度精确到15︒,速度精确到) ?【合作探究】正、余弦定理可以解决的解三角形类型.2.探究二问题2中两个向量加法问题转化为△ABC中边角关系.【展示点拨】例1.已知Ａ，Ｂ两地之间隔着一个水塘，现选择另一点Ｃ，测得ＣＡ＝182ｍ，ＣＢ＝126ｍ，∠ACB＝63 ，求Ａ，Ｂ两地之间的距离（精确到１ｍ）．例2. 在△ABC中,已知sinA=2sinBcosC ,试判断该三角形的形状例3.已知△ABC的三边长分别为3，4，m，（1）若△ABC是直角三角形，则m=_____.（2）若△ABC是锐角三角形，则m的取值X围是_____.（3）若△ABC是钝角三角形，则m的取值X围是_____.例4. 在△ABC中,A:B=1:2，角C的平分线CD把三角形面积分成3:2两部分，求cosA.【学以致用】1.在△ABC 中，a =3,b=4,若△ABC 是钝角三角形,则边c 的取值X 围是_______.2. 在△ABC 中,已知b=2a cosC,判断△ABC 的形状___________.3.△ABC 中，AB=8，AC=14，BC 边上的中线AM=7,则BC=.4.△ABC 中，AB=8，AC=14，M 在BC 边上,且BM=2CM,若AM=7,则BC=____第4课时 余弦定理（2）同步训练【基础训练】1．在△ABC 中，若a 2＞b 2+c 2，则△ABC 为.2.在ΔABC 中，已知2222a b ab c ++=，则角C 的大小是.3. 在△ABC 中，BC=3，AB=2，且)16(52sin sin +=B C ，A=. 4.在ΔABC 中，设,,CB m BA n ==且||3,||22m n ==，4m n ⋅=，则AC 的长为.5. 三角形三边的比为4:3:2，则三角形的形状为.6. 在△ABC 的三内角A 、B 、C 的对应边分别为a ，b ，c ，当ac b c a +≥+222时，角B 的取值X 围为 .7. 在△ABC 中，已知cos cos ,a b c B c A -=-则△ABC 的形状是____.8．在△ABC 中，已知)(2222444b a c c b a +=++则角Ｃ＝.【思考应用】9. 如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD, AD=10, AB=14, BDA=60, BCD=135 ，求BC 的长. .10. 已知ABC △1，且sin sin A B C +．（1）求边AB 的长；（2）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．【拓展提升】11.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若C B A C B sin sin sin sin sin 222+=+，且4=⋅，求△ABC 的面积12. 如图，在平面四边形ABCD 中，BC=a ，CD=2a ，四个角A 、B 、C 、D 的度数比为3 : 7 : 4 :10，求AB 的长.AB CD。

第 4 课时： §1.2 余弦定理（2）【三维目标】：一、知识与技能1.学会利用余弦定理解决有关平几问题及判断三角形的形状，掌握转化与化归的数学思想；2.能熟练地运用余弦定理解斜三角形；二、过程与方法通过对余弦定理的运用，培养学生解三角形的能力及运算的灵活性三、情感、态度与价值观培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；【教学重点与难点】：重点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形；难点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.余弦定理的内容？2.如何利用余弦定理判断锐角、直角、钝角？2.利用余弦定理可解决哪几类斜三角形的问题？二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 （教材16P 例6）在ABC ∆中，AM 是BC 边上的中线，求证：222)(221BC AC AB AM -+= 例2 （教材15P 例5）在ABC ∆中，已知C B A cos sin 2sin =，试判断三角形的形状例3 在ABC ∆中，证明：C B A cb a sin )sin(222-=- 例4 已知三角形一个内角为060，周长为20，面积为310，求三角形的三边长。

例5三角形有一个角是060，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是π12，求这个三角形的面积。

四、巩固深化，反馈矫正1．在ABC ∆中，设=−→−CB a r ,=−→−AC b r ，且|a r |2=,|b r |3=,a r •b r 3-=，则_____=AB 2. 在ABC ∆中，已知060=∠C ，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，则ac b c b a +++的值等于________3.已知a b a ,6,13=+=边上的中线，2338-=a m ,则_____=c 4.已知圆内接四边形ABCD 中，4,6,2====CD AD BC AB ,求四边形ABCD 的面积五、归纳整理，整体认识让学生总结本节课所学的内容及方法（1）知识总结：（2）方法总结：六、承上启下，留下悬念1．书面作业七、板书设计（略）八、课后记：。

第6课时 正弦定理、余弦定理的应用（1）【学习目标】1、进一步熟悉正、余弦定理内容，能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化，判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式；2、通过正、余弦定理在边角互换时所发挥的桥梁作用来反映事物之间的内在联系；通过三角恒等式的证明来反映事物外在形式可以相互转化而内在实质的不变性.【学习重点】利用正、余弦定理进行边角互换.【预习内容】1、正弦定理：2、余弦定理：3、.在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，D 为BC 中点，且AD ＝4，求BC 边长.4、在△ABC 中，求证：2222(cos cos cos )a b c bc A ca B ab C ++=++【合作探究】例1、在△ABC 中，b cos A ＝a cos B ，试判断三角形的形状.例2、在△ABC 中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长.例3、如图，在△ABC 中，AB ＝4 cm ，AC ＝3 cm ，角平分线AD ＝2 cm ，求此三角形面积.例4、已知三角形的一个角为60°，面积为10 3 cm 2，周长为20 cm ，求此三角形的各边长.【课堂小结】正弦定理与余弦定理在三角形中的灵活运用。

【课堂练习】1．在△ABC 中，求证：a 2sin2B ＋b 2sin2A ＝2ab sin C2．已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且满足（sin A ＋sin B ）2－sin 2C ＝3sin A sin B求证：A ＋B ＝120°3．根据下列条件判断三角形ABC 的形状：(1) 若a 2tanB=b 2tanA ；(2) b 2sin 2C + c 2sin 2B=2bccosBc osC【教学反思】第6课时 正弦定理、余弦定理的应用（1）课后作业1、 在△ABC 中，已知cos cos a b c B c A -=-，判断三角形的形状。

第2课时：正弦定理(2)【学习目标】1、会利用正弦定理证明简单三角形问题；2、会利用正弦定理求解简单斜三角形边角问题；3、会利用正弦定理判断三角形解的个数。

【学习重点】正弦定理应用【预习内容】a sin A ＝b sin B ＝csin C 已知两角一边或已知两边和其中一边的对角求解三角形中其它的量.【新知学习】1、在Rt △ABC 中，斜边c 等于Rt △ABC 外接圆的直径，故有a sin A ＝b sin B ＝c sin C=2R ，这一关系对于任意三角形也能成立吗？【新知深化】1、a sin A ＝b sin B ＝csin C=2R 2、如何利用正弦定理解决两边及邻角问题.评述：(1)要求学生注意考虑问题的全面性.对于角B 为钝角的排除也可以结合三角形小角对小边性质而得到.(2)综合上述问题要求学生自我总结正弦定理的适用范围，已知两角一边或两边与其中一边的对角.(3)对于已知两边夹角这一类型，将通过下一节所学习的余弦定理求解.【新知应用】例1、在△ABC 中，已知a ＝28，b ＝20，A ＝120°，求sin B 和c例2、根据下列条件解三角形：（1）已知60,1b B c =︒=；（2）已知45,2c A a ==︒=例3. 已知135cos ,53sin ==B A ，求C cos ；【新知回顾】通过本节学习，我们一起研究了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题：已知两角一边；已知两边和其中一边的对角.【教学反思】第2课时：正弦定理(2)课后作业1. （1）△ABC 中,2,4a b A π===，求B ，c ；（2）△ABC 中，6,6a b A π===，求B ，c ；2.根据下列条件解三角形：（1）b ＝13，a ＝26，B ＝30°；（2）014,60a b B ===3. 在△ABC 中，已知060,B =且2b =，则此三角形的外接圆半径为 。