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《6.4.3 余弦定理、正弦定理》教学设计第2课时 正弦定理【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A 版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要学习正弦定理，用正弦定理来解三角形。
《正弦定理》是三角形理论中的一个重要内容,与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系。
在此之前,学生已经学习过了正弦函数和余弦函数、余弦定理,知识储备已足够。
它是后续课程中解三角形的理论依据,也是解决实际生活中许多测量问题的工具。
因此熟练掌握正弦定理能为接下来学习解三角形打下坚实基础,并能在实际应用中灵活变通。
【教学目标与核心素养】 A 理解并掌握正弦定理的证明； B.运用正弦定理解三角形；C.探索正弦定理的证明过程，并能掌握多种证明方法。
【教学重点】：正弦定理的内容，正弦定理的证明及应用；【教学难点】：正弦定理的探索及证明，已知两边和一对角解三角形时三角形解的个数。
【教学过程】，二、探索新知探究：余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角，已知三边直接解三角形的公式。
如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？在直角三角形中，能得到三边、三角之间的什么关系式？ 【分析】 在直角三角形ABC 中，由锐角三角函数， 再根据正弦函数的定义，可得，所以，因为，所以思考1：对于一般的三角形，仍然成立吗？ 【解析】分锐角三角形、钝角三角形证明。
（1）在锐角三角形中 。
过点A 作单位向量垂直于。
由，两边同乘以单位向量得，，则，所以整理得 同理，过点C 作与垂直的单位向量，可得所以。
（2）在钝角三角形中，不妨设A 为钝角，如图。
通过探究，由直角三角形得一结论，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
通过思考，分析在锐角三角形、钝角三角形该式子成立，得正弦定理。
提高学生分析问题、概括能力。
ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 222222-+=-+=，abc b a C 2cos 222-+=c bB c a A ==sin ,sin c B bA a ==sin sin 1sin =C CcB b A a sin sin sin ==CcB b A a sin sin sin ==ABC ∆j AC AB CB AC =+j AB j CB AC j ⋅=+⋅)(AB j CB j AC j ⋅=⋅+⋅)90cos(||||)90cos(||||90cos ||||A AB j C CB j AC j -=-+︒︒︒CcA a A c aisnC sin sin sin =∴=CB j CcB b sin sin =Cc B b A a sin sin sin ==ABC ∆四、小结1. 正弦定理；2.利用正弦定理可以解决的三角形。
1.1正弦定理、余弦定理习题课【学习目标】1.能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；2.能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；3.能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式【自主检测】1.在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π4的值．2.在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A .(1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．【典型例题】例1.在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．例2.设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，cos(A －C )＋cos B ＝32，b 2＝ac ，求B .【目标检测】1.在△ABC 中，已知b ＝a sin B ，且cos B ＝cos C ，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形2.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是( )A ．a ＝8 b ＝16 A ＝30°有两解B ．b ＝18 c ＝20 B ＝60°有一解C．a＝5 b＝2 A＝90°无解 D．a＝30 b＝25 A＝120°有一解3.已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，且B＝30°，则△ABC的面积等于( )A.32B.34C.32或 3 D.34或324*.在△ABC中，若tan A－tan Btan A＋tan B＝c－bc，求角A【总结提升】1.在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；2.三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用。
《正弦定理》教案（含答案）章节一：正弦定理的引入教学目标：1. 让学生理解正弦定理的概念和意义。
2. 让学生掌握正弦定理的数学表达式。
3. 让学生了解正弦定理的应用场景。
教学内容：1. 引入正弦定理的背景和意义。
2. 介绍正弦定理的数学表达式：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
3. 解释正弦定理的证明过程。
教学活动：1. 通过实际例子引入正弦定理的概念。
2. 引导学生推导正弦定理的数学表达式。
3. 让学生进行小组讨论，探索正弦定理的应用场景。
练习题：1. 解释正弦定理的概念。
2. 给出一个三角形，让学生计算其各边的比例。
章节二：正弦定理的应用教学目标：1. 让学生掌握正弦定理在三角形中的应用。
2. 让学生能够解决实际问题中涉及的三角形问题。
教学内容：1. 介绍正弦定理在三角形中的应用方法。
2. 讲解正弦定理在实际问题中的应用示例。
教学活动：1. 通过示例讲解正弦定理在三角形中的应用方法。
2. 让学生进行小组讨论，探讨正弦定理在实际问题中的应用。
练习题：1. 使用正弦定理计算一个三角形的面积。
2. 给出一个实际问题，让学生应用正弦定理解决问题。
章节三：正弦定理的证明教学目标：1. 让学生理解正弦定理的证明过程。
2. 让学生掌握正弦定理的证明方法。
教学内容：1. 介绍正弦定理的证明过程。
2. 解释正弦定理的证明方法。
教学活动：1. 通过几何图形的分析，引导学生推导正弦定理的证明过程。
2. 让学生进行小组讨论，理解正弦定理的证明方法。
练习题：1. 解释正弦定理的证明过程。
2. 给出一个三角形，让学生使用正弦定理进行证明。
章节四：正弦定理在实际问题中的应用教学目标：1. 让学生掌握正弦定理在实际问题中的应用。
2. 让学生能够解决实际问题中涉及的三角形问题。
教学内容：1. 介绍正弦定理在实际问题中的应用方法。
2. 讲解正弦定理在实际问题中的应用示例。
教学活动：1. 通过示例讲解正弦定理在实际问题中的应用方法。
正弦定理、余弦定理练习题年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____一、选择题(共20题，题分合计100分)1.已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为A.-B.C.-D.2.在△ABC中，a=λ,b=λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数是A.0B.1 C.2 D.无数个3.在△ABC中，b cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2-1和2x+1(x＞1)，则最大角为A.150°B.120°C.60°D.75°5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+2则边||等于A.B.5-2 C. D.6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形7.在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bc cos B cos C，则此三角形为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8.正弦定理适应的范围是A.Rt△B.锐角△C.钝角△D.任意△9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c=A.10+B.10（-1）C.（+1）D.1010.在△ABC中，b sin A＜a＜b，则此三角形有A.一解B.两解C.无解D.不确定11.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为A.52B.2C.16D.412.在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于A.60°B.45°C.120D.30°13.在△ABC中，，则△ABC是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形14.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，则△ABC的面积S△ABC等于A.B.2 C.+1 D.(+1)15.已知三角形ABC的三边a、b、c成等比数列，它们的对角分别是A、B、C，则sin A sin C 等于A.cos2BB.1-cos2BC.1+cos2BD.1+sin2B16.在△ABC中，sin A＞sin B是A＞B的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.在△ABC中，b Cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形18.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形19.△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为,则△ABC外接圆的直径为A. B. C. D.20.在△ABC中，,则k为A.2RB.RC.4RD.(R为△ABC外接圆半径)二、填空题(共18题，题分合计75分)1.在△ABC中，A=60°，C=45°，b=2，则此三角形的最小边长为.2.在△ABC中，= .3.在△ABC中,a∶b∶c=(+1)∶∶2，则△ABC的最小角的度数为.4.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4，则sec A= .5.△ABC中，，则三角形为_________.6.在△ABC中，角A、B均为锐角且cos A＞sin B，则△ABC是___________.7.在△ABC中，若此三角形有一解，则a、b、A满足的条件为____________________.8.已知在△ABC中，a=10,b=5,A=45°,则B= .9.已知△ABC中，a=181,b=209,A=121°14′，此三角形解.10.在△ABC中,a=1,b=1,C=120°则c= .11.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为；若a2=b2+c2，则△ABC为；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC为.12.在△ABC中，sin A=2cos B sin C，则三角形为_____________.13.在△ABC中，BC=3，AB=2，且，A= .14.在△ABC中，B=,C=3,B=30°，则A= .15.在△ABC中，a+b=12,A=60°，B=45°，则a= ,b= .16.若2,3,x为三边组成一个锐角三角形，则x的范围为.17.在△ABC中，化简b cos C+c cos B= .18.钝角三角形的边长是三个连续自然数，则三边长为.三、解答题(共24题，题分合计244分)1.已知在△ABC中，c=10，A=45°，C=30°，求a、b和B.2.已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=，求三角形的最大内角.3.已知在△ABC中，∠A=45°，a=2，c=，解此三角形.4.在四边形ABCD中，BC=a，DC=2a，四个角A、B、C、D度数的比为3∶7∶4∶10，求AB的长.5.在△ABC中，A最大，C最小，且A=2C，A+C=2B，求此三角形三边之比.6.证明：在△ABC中，.（其中R为△ABC的外接圆的半径）7.在△ABC中，最大角A为最小角C的2倍，且三边a、b、c为三个连续整数，求a、b、c的值.8.如下图所示，半圆O的直径MN=2，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作正三角形ABC，问B在什么位置时，四边形OACB面积最大？最大面积是多少？9.在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=m∶n∶l，且a+b+c=S，求a.10.根据所给条件，判断△ABC的形状（1）a cos A=b cos B(2)11.△ABC中，a+b=10，而cos C是方程2x2－3x－2=0的一个根，求△ABC周长的最小值.12.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b,A－C=,求sin B的值.13.已知△ABC中，a=1,b=,A=30°,求B、C和c.14.在△ABC中，c=2，tan A=3,tan B=2,试求a、b及此三角形的面积.15.已知S△ABC=10,一个角为60°，这个角的两边之比为5∶2，求三角形内切圆的半径.16.已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.17.已知△ABC的面积为1，tan B=,求△ABC的各边长.18.求值：19.已知△ABC的面积，解此三角形.20.在△ABC中，a=,b=2,c=+1，求A、B、C及S△.21.已知（a2+bc）x2+2=0是关于x的二次方程，其中a、b、c是△ABC的三边，(1)若∠A为钝角，试判断方程根的情况.(2)若方程有两相等实根，求∠A的度数.22.在△ABC中，（a2+b2）sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，判断△ABC的形状.23.在△ABC中，a＞b,C=，且有tan A·tan B=6，试求a、b以及此三角形的面积.24.已知：k是整数，钝角△ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（1）若方程组有实数解，求k的值.（2）对于（1）中的k值，若且有关系式,试求A、B、C的度数.正弦定理、余弦定理答案一、选择题(共20题，合计100分)1 A 2A3C 4 B 5 C 6D 7A 8 D 9B 10 B 11 B 12C 13C 14C 15.B 16. C 17：C 18A 19C 20. A二、填空题(共18题，合计75分)1. 2（-1） 2 3. 45° 4. 8 5.等腰三角形 6.：钝角三角形7. a=b sin A或b＜a8. 60°或120°9无10.11.钝角三角形直角三角形锐角三角形12.等腰三角形13. 120°14.或215. 36-1216.＜x＜17.a18. 2、3、4三、解答题(共24题，合计244分)1.a=B=105°b=2.∠C=120°3.∠B=75°或∠B=15°b=+1，∠C=60°，∠B=75°或b=－1，∠C=120°，∠B=15°4. AB的长为5.：此三角形三边之比为6∶5∶47.a=6,b=5,c=48.当θ=时，S四边形OACB最大,最大值为+29.10（1）△ABC是等腰三角形或直角三角形（2）△ABC为等边三角形11△ABC周长的最小值为12.13.B1=60°,B2=120°；C1=90°，C2=30°；c1=2,c2=114..15.16.等边三角形17.18.20. A=60°，B=45°，C=75°，S△=21. (1)没有实数根(2)60°22.等腰三角形或直角三角形23.24.（1）k=1，2，3（2）C=45°,B=15°。
正余弦定理1.定理内容：（1）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即2sin sin sin a b cR A B C=== （2）余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍。
即：2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-（3）面积定理：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆=== 2.利用正余弦定理解三角形： （1）已知一边和两角：（2）已知两边和其中一边的对角： （3）已知两边和它们所夹的角： （4）已知三边：正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )D ．262．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 63．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定 解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 C ．26．在△ABC 中，若cos A cos B ＝ba ，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )或 3 或328．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )B ．29．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________. 10．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________.14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c .19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．余弦定理1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6B ．2 6C ．3 6D ．46 2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( )D ．2 3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( )A ．60°B ．45°C ．120°D ．150°4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( )或5π6 或2π35．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．以上均不对6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4 8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )B ．2 3 或2 3 D ．29．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________． 10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________． 12．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.14．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为________．15．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________. 16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________． 17．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )D ．26解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin Bsin A ＝ 6. 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6解析：选＝45°，由正弦定理得b ＝a sin Bsin A ＝4 6.3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°. 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 C ．2解析：选＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c sin C 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1.6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝ba ，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin Bsin A ， sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2.7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )或 3 或32解析：选＝AC sin B ，求出sin C ＝32，∵AB ＞AC ，∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积．8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )B ．2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C ，∴sin C ＝12.又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________.解析：由正弦定理得：a sin A ＝csin C ，所以sin A ＝a ·sin C c ＝12.又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6.答案：π610．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.解析：由正弦定理得a sin A ＝bsin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32.答案：3211．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43，∴a ＋c ＝8 3. 答案：8312．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ， 代入式子a ＝2b cos C ，得 2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ， 所以sin A ＝2sin B ·cos C ， 即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ， 化简，整理，得sin(B －C )＝0. ∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°， ∴－180°＜B －C ＜180°， ∴B －C ＝0°，B ＝C . 答案：等腰三角形13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，C=30°则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________.解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×sin60°×c ＝183，∴c ＝6.答案：12 614．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴2R ＝a sin A ＝1sin30°＝2，又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R sin A －2sin B ＋sin Csin A －2sin B ＋sin C ＝2R ＝2. 答案：215．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab sin C ＝43，解得b ＝2 3. 答案：2316．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．解析：∵b sin C ＝43×12＝23且c ＝2， ∴c <b sin C ，∴此三角形无解． 答案：0 17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20， ∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°， 所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°， 由正弦定理得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A ＝20sin30°sin45°＝102(km)．即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是10 2 km.18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c .解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6.由sin B sin C ＝cos 2A2，得sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]， 即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得 cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)，A ＝π－(B ＋C )＝2π3.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得b ＝c ＝a sin Bsin A ＝23×1232＝2.故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2.19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值． 解：(1)∵A 、B 为锐角，sin B ＝1010，∴cos B ＝1－sin 2B ＝31010.又cos 2A ＝1－2sin 2A ＝35，∴sin A ＝55，cos A ＝255， ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝255×31010－55×1010＝22.又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝π4.(2)由(1)知，C ＝3π4，∴sin C ＝22.由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C 得5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b .∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1. ∴a ＝2，c ＝ 5.20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．解：由S ＝12ab sin C 得，153＝12×603×sin C ，∴sin C ＝12，∴∠C ＝30°或150°. 又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C .当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.又∵ab ＝603，a sin A ＝bsin B ，∴b ＝215. 当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)． 故边b 的长为215.余弦定理1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6B ．26C ．3 6D ．46 解析：选A.由余弦定理，得 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B＝ 42＋62－2×4×6×13＝6.2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( ) D ．2解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30° ＝2， ∴c ＝ 2.3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120° D ．150°解析：选∠A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32， ∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°. 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( ) 或5π6 或2π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，联想到余弦定理，代入得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos B sin B .显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π3.5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( ) A ．a B ．b C ．c D ．以上均不对解析：选·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 22c ＝c .6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定 解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2. 设增加的长度为m ，则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2， ∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4解析：选△ABC ＝3＝12|AB →|·|AC →|·sin A ＝12×4×1×sin A ，∴sin A ＝32，又∵△ABC 为锐角三角形，∴cos A ＝12，∴AB →·AC →＝4×1×12＝2.8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( ) B ．23 或2 3 D ．2解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ， ∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3.9．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3. 在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝ 1＋4－2×1×2×12＝ 3. 答案：310．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数． 解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10， ∴a ∶b ∶c ＝(3－1)∶(3＋1)∶10.设a ＝(3－1)k ，b ＝(3＋1)k ，c ＝10k (k ＞0)， ∴c 边最长，即角C 最大．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12， 又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°. 11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．解析：S ＝12ab sin C ，sin C ＝32，∴C ＝60°或120°.∴cos C ＝±12，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c 2＝21或61，∴c ＝21或61. 答案：21或6112．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________. 解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4， 设a ＝2k (k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2k 2＋4k 2－3k 22×2k ×4k＝1116， 同理可得：cos A ＝78，cos C ＝－14，∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)． 答案：14∶11∶(－4)13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝223.又S △ABC ＝12ab sin C ＝43，即12·b ·32·223＝43，∴b ＝2 3.答案：2314．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为________．解析：在△ABC 中，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝49＋25－362×7×5＝1935，∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×(－1935)＝－19.答案：－1915．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________. 解析：12ab sin C ＝S ＝a 2＋b 2－c 24＝a 2＋b 2－c 22ab ·ab 2 ＝12ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°.答案：45°16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________． 解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥2，k ∈N )，则⎩⎪⎨⎪⎧ k 2＋k －12－k ＋12＜0k ＋k －1＞k ＋1⇒2＜k ＜4，∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的余弦值为32＋42－222×3×4＝78.答案：7817．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－12.又∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2. ∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－12)＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab＝(23)2－2＝10，∴AB ＝10. 18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．解：(1)由题意及正弦定理得 AB ＋BC ＋AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ，两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝13，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝AC ＋BC 2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC＝12， 所以C ＝60°.19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值； (2)求sin(2A －π4)的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BC sin A ，得AB ＝sin C sin A BC ＝2BC ＝2 5.(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝255， 于是sin A ＝1－cos 2A ＝55.从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45，cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝35.所以sin(2A －π4)＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．解：由正弦定理，得sin C sin B ＝c b .由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c 2b .又根据余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a ＝b .又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2，所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ，因此△ABC 为等边三角形．。
1. 定理：2sin sin sin a b c R ABC===.（R 为三角形外接圆半径）2. 例题：例1：在∆ABC 中，已知045A =，060B =，2a =，求b .例2：045,2,,ABC c A a b B C ∆===中，求和.3. 练习：1、060,1,,ABC b B c a A C ∆===中，求和.2、060,ABC a A b B ∆===中，求3. 已知∆ABC 中，∠A =60°，a =，求sin sin sin a b c A B C++++.4、∆ABC 中，若::1:2:3A B C =则::a b c =5、∆ABC 中，若2sin b a B =则A =★6. 已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且sin 2sin 3A B=，求a b b+的值★7、002,30,135,ABC b B C a ∆===中，求1. 定理：2222cos b a c ac B =+- 推论222cos 2+-=b c aA bc2222cos a b c bc A =+- 222c o s 2+-=a c bBac2222cos c a b ab C =+- 222c o s 2+-=b a cCba2. 例题：例1. 在∆ABC 中，已知3a =，4b =，060C =，求c .练习：在∆ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A .（答案：b =，060A =）例2：在ΔABC 中，已知a ＝3，b ＝4，c ＝6，求cosC .小结：余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； 余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边. 3、巩固练习：1. 三角形ABC 中，A ＝120°，b ＝3，c ＝5，求a2. 在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A . （答案：A =1200）变式：在△ABC 中，()()3a b c b c a bc +++-=，则A =3. 三角形ABC 中，3,2,AB AC BC ===AB AC1.3正弦定理和余弦定理的综合问题 例1三角形ABC 中，cos C ＝1314，a ＝7，b ＝8，求最大角的余弦变式：在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C =6∶5∶4，求最大角的余弦.例2：在ΔABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，判断三角形的类型.=+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔222222222是直角是直角三角形是钝角是钝角三角形是锐角a b c A ABC a b c A ABC a b c A ∆是锐角三角形ABC 练习：1. 在ΔABC 中，已知a ＝3，b ＝5，c ＝7，判断三角形的类型.★2. 在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形★3. 已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状.★4. 三角形ABC 中，C ＝60°，a ＝3，c ＝7，求b5. 在△ABC 中，已知12,3,cos 4a c B ===，求（1）b 的值（2）求sin C★★6. 已知A B C △三个顶点的直角坐标分别为(34)A ，，(00)B ，，(0)C c ，． （1）若5c =，求sin A ∠的值． (2) 若A 是钝角，求c 的取值范围★★★7. 在△ABC 中，已知54cos ,sin 135A B ==，求cos C .1.4应用问题 一、面积问题 公式：S=21ab sin C ，S=21bc sin A , S=21ac sin B例1：已知在∆ABC 中，∠B=30︒,b=6,c=63,求a 及∆ABC 的面积S练习：1.已知在∆ABC 中，∠B=30︒,AB=求∆ABC 的面积2. 三角形ABC 中，a ＝5，b ＝7，c ＝8求A B C S★3. 在锐角A B C △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin 3A =，若2a =，ABC S =△b 的值。
第2课时 正弦定理的应用学习目标 1.了解正弦定理及其变式的结构特征和功能.2.理解三角形面积公式及解斜三角形.3.能用正弦定理解决简单的实际问题．知识点一 正弦定理的变形公式设△ABC 的外接圆的半径为R ，有a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R .(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a b ＝sin A sin B ，a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C； (3)a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ； (4)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . 知识点二 边角互化思考 在△ABC 中，已知a cos B ＝b cos A ．你能把其中的边a ，b 化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?答案 可借助正弦定理把边化成角：2R sin A cos B ＝2R sin B cos A (R 为△ABC 外接圆半径)，移项后就是一个三角恒等变换公式sin A cos B －cos A sin B ＝0.梳理 一个公式就是一座桥梁，可以连接等号两端．正弦定理的本质就是给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系．所以正弦定理主要功能就是把边化为对角的正弦或者反过来，简称边角互化．知识点三 三角形面积公式思考 在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝30°.BC 边上的高AD 是多少？△ABC 的面积是多少？答案 AD ＝b sin C ＝2·sin 30°＝1. S △ABC ＝12a ·AD ＝12ab sin C ＝12×1×1＝12.梳理 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，则△ABC 的面积S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sinA ＝12ca sin B .知识点四 仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角．目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示．1．仰角和俯角都是视线与铅垂线所成的角．(×)2．在△ABC 中，若b 2＝2a cos B ，则sin 2B ＝2sin A cos B ．(×) 3．平行四边形ABCD 的面积等于AB ·AD sin A ．(√)类型一 边角互化例1 在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状． 考点 判断三角形的形状题点 利用正弦定理和三角变换判断三角形的形状 解 方法一 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)， ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴a 2＝b 2＋c 2，∴A 是直角，B ＋C ＝90°， ∴2sin B cos C ＝2sin B cos(90°－B ) ＝2sin 2B ＝sin A ＝1， ∴sin B ＝22.∵0°<B <90°，∴B ＝45°，C ＝45°， ∴△ABC 是等腰直角三角形． 方法二 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)， ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ， ∴a 2＝b 2＋c 2，∴A 是直角．∵A ＝180°－(B ＋C )，sin A ＝2sin B cos C ，∴sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴sin(B －C )＝0.又－90°<B －C <90°，∴B －C ＝0，∴B ＝C ， ∴△ABC 是等腰直角三角形．反思与感悟 利用正弦定理判定三角形的形状，主要有两条途径(1)化边为角：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．转化公式为a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆半径)．(2)化角为边：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a ＝b ，a 2＋b 2＝c 2等，进而确定三角形的形状．转化公式为sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R(R 为△ABC 外接圆半径)．跟踪训练1 若将题设中的“sin A ＝2sin B cos C ”改为“b sin B ＝c sin C ”，其余不变，试解答本题．考点 判断三角形的形状题点 利用正弦定理和三角变换判断三角形的形状解 由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)，从而得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .∵b sin B ＝c sin C ，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴b ·b 2R ＝c ·c2R ，⎝⎛⎭⎫a 2R 2＝⎝⎛⎭⎫b 2R 2＋⎝⎛⎭⎫c 2R 2，∴b 2＝c 2，a 2＝b 2＋c 2， ∴b ＝c ，A ＝90°.∴△ABC 为等腰直角三角形． 类型二 三角形面积公式及其应用 命题角度1 已知边角求面积例2 在△ABC 中，已知B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2.求△ABC 的面积． 考点 用正弦定理解三角形 题点 用正弦定理求面积 解 由正弦定理，得sin C ＝AB ·sin B AC ＝32， 又AB ·sin B <AC <AB ，故该三角形有两解： C ＝60°或120°，所以当C ＝60°时，A ＝90°， S △ABC ＝12AB ·AC ＝23；当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝ 3.所以△ABC 的面积为23或 3.反思与感悟 对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，总的概括为两边与夹角正弦乘积的一半．一般是已知哪一个角就使用哪一个公式，但也要结合具体条件，如已知AB ，AC ，就以选S ＝12AB ·AC sin A 为宜．跟踪训练2 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若tan A ＝3，cos C ＝55， (1)求角B 的大小；(2)若c ＝4，求△ABC 的面积． 考点 用正弦定理解三角形 题点 用正弦定理求面积 解 (1)∵cos C ＝55，∴C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin C ＝255，tan C ＝2.又∵tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C1－tan A tan C＝－3＋21－3×2＝1，且0<B <π，∴B ＝π4.(2)由正弦定理b sin B ＝csin C ，得b ＝c sin Bsin C ＝4×22255＝10，由sin A ＝sin(B ＋C )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C 得sin A ＝31010， ∴△ABC 的面积S △ABC ＝12bc sin A ＝6.命题角度2 已知面积求边角例3 在△ABC 中，角A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则sin B ∶sin C ＝ . 考点 用正弦定理解三角形 题点 已知面积求边或角 答案 1∶4解析 因为S △ABC ＝12bc sin A ，所以c ＝2S △ABC b sin A ＝231×32＝4，由正弦定理b sin B ＝csin C ，得sin B ∶sin C ＝b ∶c ＝1∶4.反思与感悟 条件中涉及面积，要根据解题目标和其它条件()如已知条件中角的大小选取对解题有利的面积公式．跟踪训练3 在△ABC 中，B ＝60°，a ＝1，b ＝3，S △ABC ＝32，则C ＝ . 考点 用正弦定理解三角形 题点 已知面积求边或角 答案 90°解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝12·1·c ·32＝32，∴c ＝2，∵B ＝60°，b ＝3，∴c sin C ＝b sin B ＝332＝2. ∴sin C ＝1，∴C ＝90°.类型三 用正弦定理解决简单实际问题例4 如图所示，D ，C ，B 在地平面同一直线上，DC ＝10 m ，从D ，C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°，则A 点离地面的高AB 为 m.考点 解三角形求高度 题点 测量俯角(仰角)求高度 答案 5(3＋1)解析 方法一 设AB ＝x m ，则BC ＝x m. ∴BD ＝(10＋x ) m ．∴tan ∠ADB ＝AB DB ＝x 10＋x ＝33.解得x ＝5(3＋1) m.∴A 点离地面的高AB 等于5(3＋1) m. 方法二 ∵∠ACB ＝45°，∴∠ACD ＝135°， ∴∠CAD ＝180°－135°－30°＝15°. 由正弦定理，得AC ＝CDsin ∠CAD·sin ∠ADC＝10sin 15°·sin 30°＝206－2. ∴AB ＝AC sin 45°＝5(3＋1) m.反思与感悟 在运用正弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解．跟踪训练4 为了求底部不能到达的水塔AB 的高，如图，在地面上引一条基线CD ＝a ，这条基线延长后不过塔底，若测得∠ACB ＝α，∠BCD ＝β，∠BDC ＝γ，求水塔AB 的高．考点 解三角形求高度 题点 测量俯角(仰角)求高度解 在△BCD 中，BC sin γ＝a sin ∠CBD ＝asin (β＋γ)，∴BC ＝a sin γsin (β＋γ)，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan α＝a sin γ·tan αsin (β＋γ).1．如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者与A 在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C ，测出A ，C 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为 m.考点 解三角形求距离题点 测量可到达点与不可到达点间的距离 答案 50 2解析 ∠B ＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC 中，由AB sin 45°＝50sin 30°，得AB ＝100×22＝50 2.2．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是 ． 考点 解三角形求高度 题点 测量俯角(仰角)求高度 答案 203米，4033米解析 甲楼的高为20tan 60°＝20×3＝203(米)，乙楼的高为203－20tan 30°＝203－20×33＝4033(米)． 3．在△ABC 中，若c ＝2a cos B ，则A B ．(填>，＝，<) 考点 判断三角形形状题点 利用正弦、余弦定理、三角变换判断三角形形状 答案 ＝解析 ∵c ＝2a cos B ，由正弦定理得， 2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0， 又∵－π<A －B <π，∴A －B ＝0，∴A ＝B .4．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则A ＝ . 考点 用正弦定理解三角形题点 利用正弦定理进行边角互化解三角形 答案 π3解析 在△ABC 中，利用正弦定理，得 2sin A sin B ＝3sin B ，∵B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin B ≠0， ∴sin A ＝32.又∵A 为锐角，∴A ＝π3. 5．在△ABC 中，已知BC ＝6，A ＝30°，B ＝120°，则△ABC 的面积为 ． 考点 解三角形求面积题点 先用正弦定理求边或角再求面积 答案 9 3解析 由正弦定理得AC sin B ＝BC sin A ，∴AC ＝BC ·sin B sin A ＝6×sin 120°sin 30°＝6 3.又∵C ＝180°－120°－30°＝30°，∴S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C ＝12×63×6×12＝9 3.1．用正弦定理解决实际问题时，首先根据条件画出示意图，并特别注意诸如“仰角”、“俯角”之类术语的准确理解．然后分析解三角形已有哪些条件，要求什么，还缺什么，如何利用正弦定理及三角知识达到目标．2．当条件等式中边的次数、角的正弦次数相同时，或已知三角形外接圆半径时，可以用正弦定理进行边角互化．3．三角形面积公式要根据条件灵活选择．一、填空题1．在△ABC 中，若a ＝3，cos A ＝12，则△ABC 外接圆的半径为 ．考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的理解 答案3解析 ∵cos A ＝12，A ∈()0，π，∴sin A ＝32，由a sin A＝2R ，得R ＝ 3. 2．在△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝1∶3∶5，则2sin A －sin Bsin C 的值为 ．考点 用正弦定理解三角形题点 用正弦定理进行边角互化解三角形 答案 －15解析 由条件得a c ＝sin A sin C ＝15，∴sin A ＝15sin C .同理可得sin B ＝35sin C .∴2sin A －sin B sin C ＝2×15sin C －35sin C sin C ＝－15.3.埃及有许多金字塔，经过几千年的风化蚀食，有不少已经损坏了．考古人员在研究中测得一座金字塔的三角形横截面如图所示(顶端已经坍塌了)，A ＝50°，B ＝55°，AB ＝120 m ，则此金字塔的高约为 米．(sin 50°≈0.766，sin 55°≈0.819)(精确到1米)考点 正弦定理的简单实际应用 题点 求高度问题答案 78解析 先分别从A ，B 出发延长断边，确定交点C ， 则C ＝180°－A －B ＝75°，AC ＝AB sin C ·sin B ＝120sin 75°×sin 55°≈101.7.设高为h ，则h ＝AC ·sin A ＝101.7×sin 50°≈78(米)． 4．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝ .考点 用正弦定理解三角形 题点 已知面积求边或角 答案 2 3解析 ∵cos C ＝13，C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin C ＝1－cos 2C ＝223，∵12ab sin C ＝43，a ＝32，∴b ＝2 3.5．在△ABC 中，a cos B ＝bcos A ，则△ABC 的形状是 ．考点 判断三角形形状题点 利用正弦定理和三角变换判断三角形形状 答案 等腰三角形或直角三角形 解析 在△ABC 中，∵a cos B ＝bcos A ，∴a cos A ＝b cos B ，由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B . 又∵A ，B ∈(0°，180°)， ∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°， ∴A ＝B 或A ＋B ＝90°.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．6.如图，小山的电视发射塔AB 高为50米，在山下地面C 点，测得塔底B 的仰角为40°，测得塔顶A 的仰角为70°，则小山BD 的高约为 米．(sin 20°≈0.342，sin 40°≈0.643，精确到0.01米)考点 解三角形求高度题点 由仰角问题求高度答案 21.99解析 在△ACD 中，∠CAD ＝20°，在△ACB 中，∠ACB ＝30°，由正弦定理，得BC ＝50sin 20°sin 30°＝50×0.3420.5＝34.20. 在△BCD 中，BD ＝BC sin 40°≈21.99(米)．7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1＋tan A tan B ＝2c b，则角A 的大小为 ． 考点 用正弦定理解三角形题点 用正弦定理、三角变换解三角形答案 π3解析 由1＋tan A tan B ＝2c b及正弦定理，得 1＋sin A cos B cos A sin B ＝2sin C sin B， 即sin (A ＋B )cos A sin B ＝2sin C sin B， 又∵sin(A ＋B )＝sin C >0，sin B >0，∴cos A ＝12. 又∵0<A <π，∴A ＝π3. 8．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a＝ .考点 用正弦定理解三角形题点 用正弦定理进行边角互化解三角形答案 2解析 由正弦定理得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B ·(sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .所以sin B ＝2sin A ，所以b a ＝sin B sin A ＝ 2. 9．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的周长为 ．(用B 表示) 考点 用正弦定理解三角形题点 用正弦定理进行边角互化解三角形答案 6sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＋3 解析 在△ABC 中，由正弦定理得AC sin B ＝332， 化简得AC ＝23sin B ，AB sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝332， 化简得AB ＝23sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ，所以三角形的周长为BC ＋AC ＋AB ＝3＋23sin B ＋23sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝3＋33sin B ＋3cos B ＝6sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＋3. 10．已知圆的半径为4.a ，b ，c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为 ．考点 用正弦定理解三角形 题点 用正弦定理求面积答案 2解析 由正弦定理得，c ＝2R sin C ＝8sin C ，∴sin C ＝c 8. ∴三角形面积＝12ab sin C ＝12ab ·c 8＝116abc ＝116×162＝ 2.二、解答题11．在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin B sin A. 考点 用正弦定理解三角形题点 用正弦定理进行边角互化解三角形证明 因为a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，A ＋B ＋C ＝π， 所以左边＝2R sin A －2R sin C cos B 2R sin B －2R sin C cos A＝sin (B ＋C )－sin C cos B sin (A ＋C )－sin C cos A＝sin B cos C sin A cos C ＝sin B sin A＝右边． 所以等式成立．12．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C 求：(1)B 的范围；(2)a b的范围． 考点 用正弦定理解三角形题点 用正弦定理、三角变换解三角形解 (1)在锐角三角形ABC 中，0°<A <90°，0°<B <90°，0°<C <90°，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0°<B <90°，0°<2B <90°，0°<180°－3B <90°，得30°<B <45°.(2)由正弦定理知a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B ∈(2，3)， 故所求a b的范围是(2，3)． 13.我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和D 处，已知CD ＝6 000米，∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面点B 处时，测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°(如图)，求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)考点 运用正弦定理求距离题点 在不同三角形中给出角度求距离解 在△ACD 中，∠CAD ＝180°－∠ACD －∠ADC ＝60°，CD ＝6 000，∠ACD ＝45°，根据正弦定理有AD ＝CD sin 45°sin 60°＝23CD ， 同理，在△BCD 中，∠CBD ＝180°－∠BCD －∠BDC ＝135°，CD ＝6 000，∠BCD ＝30°，根据正弦定理有BD ＝CD sin 30°sin 135°＝22CD . 又在△ABD 中，∠ADB ＝∠ADC ＋∠BDC ＝90°，根据勾股定理有 AB ＝AD 2＋BD 2＝ 23＋12CD ＝426CD ＝1 00042. 所以炮兵阵地到目标的距离为1 00042米．三、探究与拓展14．在△ABC 中，已知c ＝10，cos A cos B ＝b a ＝43，求a ，b 及△ABC 的内切圆半径． 考点 用正弦定理解三角形题点 用正弦定理、三角变换解三角形解 由正弦定理知sin B sin A ＝b a ，∴cos A cos B ＝sin B sin A. 即sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B .又∵a ≠b ，且A ，B ∈(0，π)，∴2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2. ∴△ABC 是直角三角形，且C ＝π2，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝102，b a ＝43，得a ＝6，b ＝8. 故内切圆的半径为r ＝a ＋b －c 2＝6＋8－102＝2. 15．已知△ABC 的面积为1，tan B ＝12，tan C ＝－2，求△ABC 的各边长以及△ABC 外接圆的面积．考点 用正弦定理解三角形题点 用正弦定理求面积解 因为tan B ＝12>0，所以B 为锐角． 所以sin B ＝55，cos B ＝255. 因为tan C ＝－2，所以C 为钝角．所以sin C ＝255，cos C ＝－55. 所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C＝55×⎝⎛⎭⎫－55＋255×255＝35. 因为S △ABC ＝12ab sin C ＝2R 2sin A sin B sin C ＝2R 2×35×55×255＝1. 所以R 2＝2512，R ＝536. 所以πR 2＝2512π，即外接圆的面积为2512π. 所以a ＝2R sin A ＝3，b ＝2R sin B ＝153， c ＝2R sin C ＝2153.。
正弦定理、余弦定理及解三角形最新考纲 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.知识梳理1.正、余弦定理在△2.S△ABC＝2ab sin C＝2bc sin A＝2ac sin B＝4R＝2(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.3.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).(2)方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(×)(2)在△ABC中，A＞B必有sin A＞sin B.(√)(3)在△ABC中，若sin A sin B＜cos A cos B，则此三角形是钝角三角形.(√)(4)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(×)(5)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.(√)2.(2015·广东卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝23，cos A＝32，且b＜c，则b＝( )A.3B.2 2C.2D. 3解析由余弦定理b2＋c2－2bc cos A＝a2，得b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4，∵b＜c＝23，∴b＝2.选C.答案 C3.一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( ) A.102海里 B.103海里 C.203海里 D.202海里解析 如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝ABsin 45°，解得BC ＝102(海里).答案 A4.(2014·江西卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.3B.932 C.332D.3 3解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.答案 C 5.(2015·北京卷)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝________.解析 由余弦定理：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，∴sin A ＝74，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋25－362×4×5＝18，∴sin C ＝378，∴sin 2Asin C ＝2×34×74378＝1.答案 1考点一 利用正、余弦定理解三角形【例1】 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值. 解 (1)由余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－42ac ＝79，即a 2＋c 2－4＝149ac .∴(a＋c )2－2ac －4＝149ac ，∴ac ＝9.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝6，ac ＝9，得a ＝c ＝3. (2)在△ABC 中，cos B ＝79，∴sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫792＝429. 由正弦定理得：asin A ＝bsin B，∴sin A ＝a sin B b ＝3×4292＝223.又A ＝C ，∴0＜A ＜π2，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13，∴sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝223×79－13×429＝10227.规律方法 (1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断. 【训练1】 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B . (1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值.解 (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac .因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.由于0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×22＝4－26.考点二 利用正、余弦定理判定三角形的形状【例2】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C . (1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状. 解 (1)由2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ，得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°.(2)∵A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＋C ＝180°－60°＝120°. 由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3， ∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝ 3. ∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1. ∵0°<B <120°，∴30°<B ＋30°<150°.∴B ＋30°＝90°，B ＝60°.∴A ＝B ＝C ＝60°，△ABC 为等边三角形.规律方法 (1)三角形的形状按边分类主要有：等腰三角形，等边三角形等；按角分类主要有：直角三角形，锐角三角形，钝角三角形等.判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形. (2)边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理.【训练2】 (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC 是( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形 (2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若c b<cos A ，则△ABC 为( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形D.等边三角形解析 (1)由2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，得a 2＋b 2－c 2＝－12ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12ab 2ab ＝－14＜0，所以90°＜C ＜180°，即△ABC 为钝角三角形.(2)依题意得sin Csin B<cos A ，sin C <sin B cos A ，所以sin(A ＋B )<sin B cos A ，即sin B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A <0，所以cos B sin A <0.又sin A >0，于是有cos B <0，B 为钝角，△ABC 是钝角三角形. 答案 (1)A (2)A考点三 和三角形面积有关的问题【例3】 (2015·全国Ⅱ卷)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍.(1)求sin B sin C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长. 解 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ， 所以AB ＝2AC .由正弦定理可得 sin B sin C ＝AC AB ＝12. (2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC .故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6， 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.规律方法 三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 【训练3】 (2015·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14.(1)求a 和sin C 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6的值. 解 (1)在△ABC 中，由cos A ＝－14，可得sin A ＝154.由S △ABC ＝12bc sin A ＝315，得bc ＝24，又由b －c ＝2，解得b ＝6，c ＝4.由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a ＝8.由a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝158. (2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝cos 2A ·cos π6－sin 2A ·sin π6 ＝32(2cos 2A －1)－12×2sin A ·cos A ＝15－7316. 考点四 正、余弦定理在实际问题中的应用【例4】 如图，在海岸A 处，发现北偏东45°方向距A 为(3－1)海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向，距A 为2海里的C 处的缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：6≈2.449). 解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则有CD ＝103t (海里)，BD ＝10t (海里).在△ABC 中，∵AB ＝(3－1)海里，AC ＝2海里，∠BAC ＝45°＋75°＝120°，根据余弦定理，可得 BC ＝（3－1）2＋22－2×2×（3－1）cos 120°＝6(海里).根据正弦定理，可得sin ∠ABC ＝AC sin 120°BC ＝2×326＝22.∴∠ABC ＝45°，易知CB 方向与正北方向垂直， 从而∠CBD ＝90°＋30°＝120°. 在△BCD 中，根据正弦定理，可得sin ∠BCD ＝BD sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12，∴∠BCD ＝30°，∠BDC ＝30°，∴BD ＝BC ＝6(海里)，则有10t ＝6，t ＝610≈0.245小时＝14.7分钟.故缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船.规律方法 解三角形应用题的两种情形：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.【训练4】 (2015·湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.解析 在△ABC 中，AB ＝600，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°－30°＝45°，由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝AB sin ∠ACB ，即BC sin 30°＝600sin 45°，所以BC ＝300 2.在Rt △BCD 中，∠CBD ＝30°，CD ＝BC tan ∠CBD ＝3002·tan 30°＝1006(m).答案 100 6[思想方法]正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形形状的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.一般地，利用公式a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆半径)，可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数知识进行化简，其中往往用到三角形内角和定理A ＋B ＋C ＝π.利用公式cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，可将有关三角形中的角的余弦化为边的关系，然后充分利用代数知识求边. [易错防范]1.在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论(此种类型也可利用余弦定理求解).2.利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.3.解三角形实际问题时注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来.而容易出现的错误是把角的含义弄错，把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016·哈尔滨模拟)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则C ＝( )A.30°B.45°C.60°D.75°解析 法一 ∵S △ABC ＝12|AB ||AC |sin A ＝32，即12×3×1×sin A ＝32，∴sin A ＝1，∴A ＝90°， ∴C ＝60°，故选C.法二 由正弦定理，得sin B AC ＝sin C AB ，即12＝sin C3，∴C ＝60°或C ＝120°.当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝34≠32(舍去).而当C ＝60°时，A ＝90°，S △ABC ＝32，符合条件，故C ＝60°.故选C. 答案 C2.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定解析 由正弦定理，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2 A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A .∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0，∴sin A ＝1，即A ＝π2，故选B.答案 B3.(2016·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( ) A.12B.1C. 3D.2 解析 ∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3，又bc ＝4，∴△ABC 的面积为12bc sin A ＝3，故选C.答案 C4.(2016·东北三省三校联考)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“a ＞b ”是“cos 2A ＜cos 2B ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 解析 因为在△ABC 中，a ＞b ⇔sin A ＞sin B ⇔sin 2A ＞sin 2B ⇔2sin 2A ＞2sin 2B ⇔1－2sin 2A ＜1－2sin 2B ⇔cos 2A ＜cos 2B .所以“a ＞b ”是“cos 2A ＜cos 2B ”的充分必要条件. 答案 C5.(2016·河南六市联考)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝2，S △ABC ＝2，则b 的值为( )A. 3B.322C.2 2D.2 3解析 由S △ABC ＝12bc sin A ＝2，得bc ＝3，①又由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得b 2＋c 2＝6.② 由①②解得b ＝ 3. 答案 A 二、填空题6.(2015·广东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.解析 因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6.又C ＝π6，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝bsin B，即3sin 2π3＝bsinπ6，解得b ＝1. 答案 17.(2015·福建卷)若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________.解析 S ＝12AB ·AC ·sin A ，∴sin A ＝32，在锐角三角形中A ＝π3，由余弦定理得BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝7.答案 78.(2014·新课标全国Ⅰ卷)如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m. 解析 在Rt △ABC 中，∠CAB ＝45°，BC ＝100 m ，所以AC ＝100 2 m. 在△AMC 中，∠MAC ＝75°，∠MCA ＝60°，从而∠AMC ＝45°，由正弦定理，得AC sin 45°＝AMsin 60°，因此AM ＝100 3 m.在Rt △MNA 中，AM ＝100 3 m ，∠MAN ＝60°，由MN AM＝sin 60°，得MN ＝1003×32＝150(m). 答案 150 三、解答题9.(2016·武汉质量预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a 2－b 2－c 2＋3bc ＝0，2b sin A ＝a ，BC 边上中线AM 的长为14. (1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积.解 (1)由a 2－b 2－c 2＋3bc ＝0，得b 2＋c 2－a 2＝3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，∴A ＝π6，由2b sin A ＝a ，得b ＝a ，∴B ＝A ＝π6.(2)设AC ＝BC ＝x ，由余弦定理，得AM 2＝x 2＋x 24－2x ·x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝(14)2，解得x ＝22，故S △ABC ＝12×22×22×32＝2 3.10.(2015·四川卷)已知A 、B 、C 为△ABC 的内角，tan A ，tan B 是关于x 的方程x 2＋3px －p ＋1＝0(p ∈R )的两个实根. (1)求C 的大小；(2)若AB ＝3，AC ＝6，求p 的值.解 (1)由已知，方程x 2＋3px －p ＋1＝0的判别式Δ＝(3p )2－4(－p ＋1)＝3p 2＋4p －4≥0，所以p ≤－2，或p ≥23，由根与系数的关系，有tan A ＋tan B ＝－3p ，tan A tan B ＝1－p ，于是1－tan A tan B ＝1－(1－p )＝p ≠0，从而tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3pp ＝－3，所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝3，所以C ＝60°.(2)由正弦定理，得sin B ＝AC sin C AB ＝6sin 60°3＝22，解得B ＝45°，或B ＝135°(舍去)，于是A ＝180°－B －C ＝75°， 则tan A ＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－33＝2＋3， 所以p ＝－13(tan A ＋tan B )＝－13(2＋3＋1)＝－1－ 3.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2014·新课标全国Ⅱ卷)已知钝角△ABC 的面积为12，AB ＝1，BC ＝2，则AC 等于( )A.5B. 5C.2D.1解析 ∵S ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，∴B ＝π4或3π4. 当B ＝3π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2＋2＝5，∴AC ＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意；当B ＝π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2＝1，∴AC ＝1，此时AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意.故AC ＝ 5. 答案 B12.(2016·江西师大附中模拟)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若S △ABC ＝23，a＋b ＝6，a cos B ＋b cos Ac＝2cos C ，则c ＝( )A.27B.4C.2 3D.3 3解析 ∵a cos B ＋b cos Ac＝2cos C ，由正弦定理，得sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin C cos C ，∴sin(A ＋B )＝sin C ＝2sin C cos C ，由于0＜C ＜π，sin C≠0，∴cos C ＝12，∴C ＝π3，∵S △ABC ＝23＝12ab sin C ＝34ab ，∴ab ＝8，又a ＋b ＝6，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋16－8＝12，∴c ＝23，故选C.答案 C13.(2014·新课标全国Ⅰ卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________.解析 由正弦定理得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即(a ＋b )·(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，又b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －4，即bc ≤4，故S △ABC ＝12bc sin A≤12×4×32＝3，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为 3. 答案 314.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，角B 所对的边b ＝3，且函数f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x －3在x ＝A 处取得最大值. (1)求f (x )的值域及周期； (2)求△ABC 的面积.解 (1)因为A ，B ，C 成等差数列， 所以2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3，即A ＋C ＝2π3.因为f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x － 3 ＝3(2sin 2x －1)＋sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以T ＝2π2＝π. 又因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈[－1，1]， 所以f (x )的值域为[－2，2].(2)因为f (x )在x ＝A 处取得最大值，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π3＝1. 因为0<A <23π，所以－π3<2A －π3<π，故当2A －π3＝π2时，f (x )取到最大值，所以A ＝512π，所以C ＝π4.由正弦定理，知3sin π3＝csinπ4⇒c ＝ 2.又因为sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π6＝2＋64，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝3＋34.复习导读 正、余弦定理是解三角形的主要工具，高考中主要考查用其求三角形中的边和角及实现边、角之间的转化；解三角形是三角函数的知识在三角形中的应用，高考中可单独考查，也可以与三角函数、不等式综合考查.考点一 解三角形与三角恒等变换的综合【例1】 (满分12分)(2015·浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值.[满分解答] (1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理，得sin 2B －12＝12sin 2C .(2分)所以－cos 2B ＝sin 2C .(4分)又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos 2B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ＝sin 2C ， 解得tan C ＝2.(6分)(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得sin C ＝255，cos C ＝55，(8分)又因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ，(9分) 所以sin B ＝31010，(10分)由正弦定理得c ＝223b ，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3.(12分)❶利用正弦定理进行边化角得2分； ❷由cos 2B 为桥梁解得tan C 得4分； ❸由tan C 求得sin C ，cos C 得2分；❹正弦定理得b 与c 的关系及△ABC 的面积可求b 得2分.第一步：利用正(余)弦定理进行边角转化； 第二步：利用三角恒等变换求边与角； 第三步：代入数据求值；第四步：查看关键点，易错点.探究提高 三角恒等变换和解三角形的结合，一般有两种类型：一是先利用三角函数的平方关系、和角公式等求符合正、余弦定理中的边与角，再利用正、余弦定理求值；一是先利用正、余弦定理确定三角形的边角，再代入到三角恒等变换中求值.【训练1】 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2. (1)求sin 2Asin 2A ＋cos 2A的值； (2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积.解 (1)由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2，得tan A ＝13.所以sin 2A sin 2A ＋cos 2A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25. (2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)， 得sin A ＝1010，cos A ＝31010. 又由a ＝3，B ＝π4及正弦定理a sin A ＝b sin B，得b ＝3 5. 由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4，得sin C ＝255， 设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ab sin C ＝9. 考点二 解三角形与三角函数的综合【例2】 (2015·山东卷)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间； (2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值. 解 (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22 ＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12. 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z, 可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ； 由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z ). (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12， 由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立.因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34. 探究提高 三角函数和解三角形的结合，一般可以利用三角变换化简所给函数关系式，再结合正、余弦定理解三角形.【训练2】 (2016·成都诊断)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋2sin 2ωx 2(ω＞0)，已知函数f (x )的图象的相邻两对称轴间的距离为π.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c (其中b ＜c )，且f (A )＝32，△ABC 的面积为S ＝63，a ＝27，求b ，c 的值.解 (1)f (x )＝32sin ωx ＋12cos ωx ＋1－cos ωx ＝32sin ωx －12cos ωx ＋1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1. ∵函数f (x )的图象的相邻两对称轴间的距离为π，∴函数f (x )的周期为2π.∴ω＝1.∴函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋1. (2)由f (A )＝32，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3. ∵S ＝12bc sin A ＝63，∴12bc sin π3＝63，bc ＝24， 由余弦定理，得a 2＝(27)2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝b 2＋c 2－24. ∴b 2＋c 2＝52，又∵b ＜c ，解得b ＝4，c ＝6.考点三 解三角形中的最值问题【例3】 (2016·临川一中模拟)已知f (x )＝3cos 2x ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋x sin(π－x )， x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期及单调增区间；(2)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f (A )＝－3，a ＝3，求BC 边上的高的最大值.解 (1)f (x )＝3cos 2x －sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， ∴f (x )的最小正周期为π，令2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋32π(k ∈Z )，得 k π＋512π≤x ≤k π＋1112π(k ∈Z )， ∴单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋512π，k π＋1112π(k ∈Z ). (2)由f (A )＝－3得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π3＝32，又A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝π3.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得9＝b 2＋c 2－bc ≥bc ，即bc ≤9(当且仅当b ＝c 时取等号)，设BC 边上的高为h ，由三角形等面积法知12ah ＝12bc sin A ， 得3h ＝32bc ≤932，∴h ≤332，即h 的最大值为332. 探究提高 解三角形的最值问题常需结合基本不等式求解，关键是由余弦定理得到两边关系，再结合不等式求解最值问题，或者将所求转化为某个角的三角函数，借助三角函数的值域求范围.【训练3】 (2015·湖南卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角.(1)证明：B －A ＝π2； (2)求sin A ＋sin C 的取值范围.(1)证明 由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin A sin B， 所以sin B ＝cos A ，即sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A .又B 为钝角，因此π2＋A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故B ＝π2＋A ， 即B －A ＝π2. (2)解 由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π2＝π2－2A ＞0， 所以A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4. 于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2A ＝sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98. 因为0＜A ＜π4， 所以0＜sin A ＜22， 因此22＜－2⎝⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98≤98. 由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤22，98. (建议用时：45分钟)一、选择题1.(2016·长沙模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“a ＝2b cos C ”是“△ABC 是等腰三角形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 依题意，由a ＝2b cos C 及正弦定理，得sin A ＝2sin B cos C ，sin(B ＋C )－2sin B cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C －2sin B cos C ＝sin(C －B )＝0，C ＝B ，△ABC 是等腰三角形；反过来，由△ABC 是等腰三角形不能得知C ＝B ，a ＝2b cos C .因此，“a ＝2b cos C ”是“△ABC 是等腰三角形”的充分不必要条件，故选A.答案 A2.(2015·郑州质量预测)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a － 3 c )sin A ，则角B 的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.120°解析 由正弦定理可知(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，∴b 2－c 2＝a 2－3ac ，即a 2＋c 2－b 2＝3ac .∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32， ∴B ＝30°.答案 A3.(2015·太原二模)在△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝45，BC ＝4，则AB ＝( ) A.5 B.4 C.3 D.2解析 ∵cos A ＝35，cos B ＝45，∴sin A ＝45，sin B ＝35，∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝0，∴A ＋B ＝C ＝π2，∴AB ＝BC sin A＝5.故选A. 答案 A4.(2016·乌鲁木齐诊断)在△ABC 中，AC ·cos A ＝3BC ·cos B ，且cos C ＝55，则A ＝( ) A.30° B.45° C.60° D.120°解析 由题意及正弦定理，得sin B cos A ＝3sin A cos B ，∴tan B ＝3tan A ，∴0°＜A ，B ＜90°，又cos C ＝55，故sin C ＝255，∴tan C ＝2，而A ＋B ＋C ＝180°， ∴tan(A ＋B )＝－tan C ＝－2，即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－2，将tan B ＝3tan A 代入，得4tan A 1－3tan 2A＝－2，∴tan A ＝1或tan A ＝－13，而0°＜A ＜90°，则A ＝45°，故选B. 答案 B5.(2016·洛阳统考)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝( )A.12B.1C.22D.32解析 由A ＋C ＝2B ，且A ＋B ＋C ＝π，得到B ＝π3， ∴cos B ＝12，又a ＝1，b ＝3， 根据余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，即c 2－c －2＝0，解得c ＝2，c ＝－1(舍去)，又sin B ＝32，b ＝3，根据正弦定理b sin B ＝c sin C得 sin C ＝c sin B b ＝2×323＝1. 答案 B6.(2016·石家庄模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是( )A.1B. 2C. 3D.3解析 由c sin A ＝3a cos C ，得sin C sin A ＝3sin A cos C ，又在△ABC 中sin A ≠0，所以sin C ＝3cos C ，tan C ＝3，C ∈(0，π)，所以C ＝π3. 所以sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋A ＝32sin A ＋32cos A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6，A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以当A ＝π3时，sin A ＋sin B 取得最大值3，故选C.答案 C二、填空题7.(2015·重庆卷)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________. 解析 依题意知∠BDA ＝C ＋12∠BAC ， 由正弦定理得2sin ∠BDA ＝3sin B ，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋12∠BAC ＝22， ∵C ＋∠BAC ＝180°－B ＝60°，∴C ＋12∠BAC ＝45°，∴∠BAC ＝30°，C ＝30°. 从而AC ＝2·AB cos 30°＝ 6.答案 68.(2016·陕西八校联考)设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值为________.解析 ∵S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，∴12bc sin A ＝2bc －(b 2＋c 2－a 2)＝2bc －2bc cos A ， 即sin A ＋4cos A ＝4.联立⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＋4cos A ＝4，sin 2A ＋cos 2A ＝1，解得sin A ＝817， ∴S ＝12bc sin A ＝417bc ≤417×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝6417， 当且仅当b ＝c ＝4时取等号.答案 64179.(2015·云南检测)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin A ＋2sin B ＝2sin C ，b ＝3，则cos C 的最小值等于________.解析 由sin A ＋2sin B ＝2sin C 可得a ＋2b ＝2c ，∵b ＝3，∴a ＋32＝2c .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9－c 26a. ∴由c ＝a ＋322，得cos C ＝a 2＋9－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32226a ＝a 2－22a ＋68a ＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋6a －22≥6－24， ∵当且仅当a ＝6a，即a ＝6时，等号成立， ∴cos C ≥6－24.∴cos C 的最小值为6－24. 答案 6－24三、解答题10.(2016·烟台一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝3，b ＝5，c ＝7.(1)求角C 的大小；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3的值. 解 (1)由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋52－722×3×5＝－12. ∵0＜C ＜π，∴C ＝2π3. (2)由正弦定理b sin B ＝c sin C，得 sin B ＝b sin C c ＝5sin 2π37＝5314， ∵C ＝2π3，∴B 为锐角， ∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫53142＝1114. ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3 ＝5314×12＋1114×32＝437. 11.已知向量p ＝(2sin x ，3cos x )，q ＝(－sin x ，2sin x )，函数f (x )＝p ·q .(1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f (C )＝1，c ＝1，ab ＝23，且a >b ，求a ，b 的值.解 (1)f (x )＝－2sin 2x ＋23sin x cos x＝－1＋cos 2x ＋23sin x cos x ＝3sin 2x ＋cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1. 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ， ∴f (x )的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ). (2)∵f (C )＝2sin(2C ＋π6)－1＝1， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1， ∵C 是三角形的内角，∴2C ＋π6＝π2，即C ＝π6. ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32，即a 2＋b 2＝7. 将ab ＝23代入可得a 2＋12a2＝7，解得a 2＝3或4. ∴a ＝3或2，∴b ＝2或 3.∵a >b ，∴a ＝2，b ＝ 3.12.已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x ＋12. (1)求f (x )的最小正周期及对称轴方程；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝12，bc ＝6，求a 的最小值. 解 (1)f (x )＝3sin x cos x －cos 2x ＋12＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 故最小正周期T ＝2π2＝π. 令2x －π6＝k π＋π2，得x ＝k π2＋π3(k ∈Z ). 故图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π3(k ∈Z ). (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12， 可知A －π6＝π6或A －π6＝5π6，即A ＝π3或A ＝π， 又0＜A ＜π，故A ＝π3. ∵bc ＝6，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥bc ＝6，当且仅当b ＝c 时等号成立，故a的最小值为 6.。
