附录Ⅰ 平面图形的几何性质

I yc II yc
z
= 4030 cm
4
平面图形的几何性质
转轴公式 α 逆時针转取为 + 号， z1 y1 z y z
α dA α z1
y1 = y cosα + z sinα
z1 = z cosα − y sinα
I y1 = ∫ z dA
A 2 1
y１ y
平面图形的几何性质
I y1 = ∫
平面图形的几何性质
n ∑ Ai yCi S z i =1 yC = = n A ∑ Ai i =1 n ∑ Ai zci S y i =1 zC = A = n ∑ Ai i =1
注1：组合图形形心计算公式也适用 ： 于负面积情况， 于负面积情况，但要记住面积为负号
若Sz = 0或S y = 0 ⇒ yC = 0或zC = 0
平面图形的几何性质
若某一轴通过平面图形的形心， 若某一轴通过平面图形的形心，则图形对该轴的静 矩等于零 。 图形对某一轴的静矩等于零， 图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图 形的形心。 形的形心。
S z = A ⋅ yc 注：平面图形静矩是对某一坐标轴而 言的，同一图形对不同的坐标轴， 言的，同一图形对不同的坐标轴，其 S y = A ⋅ zc
z
在何种条件下，图形对坐标轴的惯性积为零？ 在何种条件下，图形对坐标轴的惯性积为零？
平面图形的几何性质
z
∫
y
AI
yzdA = −∫ yzdA
AII
AI
AII
∴ I yz = ∫ yzdA + ∫A yzdA
AI
=0
II
若坐标轴中有一个为图形的对称轴， 图形的对称轴 的对称轴， 则图形对 该对坐标轴 惯性积一定等于零
组合截面的惯性矩 惯性积
I y = ∑ I iy
i =1
n
I z = ∑ I iz
i =1
n
I yz = ∑ I iyz
i =1
n
平面图形的几何性质
实质 —— 1、数学，不是力学 、数学， 2、颠倒了学科发展顺序 、 弯曲应力—惯性矩 （历史是：弯曲内力—弯曲应力 惯性矩） 历史是：弯曲内力—弯曲应力 惯性矩） 目的 —— 1、翦除弯曲前面的拦路虎之一（惯性矩) 、翦除弯曲前面的拦路虎之一（惯性矩 2、从更高的观点，统一截面几何性质 、从更高的观点，
平面图形的几何性质
图形对形心轴y 的惯性矩和惯性积： 图形对形心轴 C、zC的惯性矩和惯性积：
2 I yC = ∫A z c d A 2 I zC = ∫A y c d A I yCzC = ∫ y C z C d A A
y
yc zc C dA yc zc z z
y b a
πD4
32
实心圆截面
空心圆截面
Ip =
πD4
32
(1−α )
4
I p πD4 I y = Iz = = (1−α4) 2 64
平面图形的几何性质
工程问题的许多截面（工字、丁字、槽形等）是简单截面 工程问题的许多截面（工字、丁字、槽形等） 如矩形）的组合， 分惯性矩之和， （如矩形）的组合，总惯性矩 = 分惯性矩之和，而分惯性矩在 中计算. 各自的 形心坐标系 中计算 将 分惯性矩 转换到 总形心坐标系 时，要考虑坐标系转换的 影响, 总形心坐标系通常是 平行关系， 影响 分坐标系 与 总形心坐标系通常是 平行关系，于是就抽象 出惯性矩计算的 平行移轴 问题
2 2
同理 改写为
I z1 = I y sin α + I z cos α + I yz sin2α
2 2
I y1 =
I y + Iz 2 I y + Iz 2
+
I y − Iz 2 I y − Iz 2
cos2α − I yz sin2α cos2α + I yz sin2α
静矩也不同。量纲是长度的三次方 静矩也不同。
平面图形的几何性质
由几个简单图形组成的截面称为组合截面
S z = ∑ S zi = ∑ Ai yCi i =1 i =1 n n S y = ∑ S yi = ∑ Ai zCi i =1 i =1
n n
组合图形对某一轴的静矩等 于各组成部分对同一轴静矩 的代数和
平面图形的几何性质
求图示圆形截面的I 例Ⅰ-3求图示圆形截面的 y ，Iz， IP 。 求图示圆形截面的
I y = ∫ z dA = ∫ z ⋅ 2 R − z dz =
2 2 2 2 A
D 2 D − 2
πD
4
64
由于圆截面对称的原因， 由于圆截面对称的原因，则有
Iz = I y =
πD
4
64
I p = I y + Iz = I yz = 0
2 A
A
= ∫ (z cosα − y sinα)2 dA z dA A
2 1
2
2
z1 = z cosα − y sinα
2
= ∫ z cos αdA − 2sinα cosα∫ yz A + sin α∫A y dA yzd
A
= I y cos α + I z sin α − I yz sin2α
取坐标系 Oyz , 其中 y // y C , z // z C
y＝ yC＋ b , z = zC + a
则图形对坐标轴y的惯性 则图形对坐标轴 的惯性 矩为： 矩为：
Iy = =
∫z
A 2 zC
I y = I yC + a A
2
∫
A
∫ (z dA + 2a ∫ z
2
dA =
A
C
+ a ) dA
2 A
I y = ∫ z dA = ∫
2 A
h 2 h − 2
bh z bdz = 12
2
3
I z = ∫ y dA = ∫
2 A
b 2 b − 2
hb y hdz = 12
2
3
平面图形的几何性质
图形对y、 两轴的惯性积 图形对 、z两轴的惯性积
y z dA y
yzd I yz = ∫A yzdA
惯性积则可能为正值，负值， 惯性积则可能为正值，负值， 也可能等于零。 也可能等于零。
平面图形的几何性质
y2 例Ⅰ-1 图示抛物线的方程为 z = h1 − 2 ,计算由抛物线、y轴和z轴所 b 计算由抛物线、 轴和z 围成的平面图形对y轴和z 轴的静矩S 并确定图形的形心c的坐标。 围成的平面图形对y轴和z 轴的静矩Sy和Sz，并确定图形的形心c的坐标。 z
平面图形的几何性质
平面图形的几何性质 选择材料——与材料的机械性质有关 与材料的机械性质有关 选择材料 确定尺寸——与截面大小、形状有关 与截面大小、 与截面大小 确定尺寸
FN 拉压：应力均布， 拉压：应力均布，仅需满足 A ≥ [σ ]
任务
，
不考虑形状； 不考虑形状；
扭转：应力不均布， 扭转：应力不均布，出现 I P = ∫ ρ dA ， A
平面图形的几何性质
y 主轴 z
若
I yz = 0,
则该对坐标轴称为主惯性轴（主轴）。 则该对坐标轴称为主惯性轴（主轴）。 主惯性轴
对称轴一定是主轴， 对称轴一定是主轴， 主轴不一定是对称轴
平面图形的几何性质
几个常用概念 主惯性轴： 图形对一对正交的坐标轴的惯性积等于零 主惯性轴： 图形对一对正交的坐标轴的惯性积等于零; 主惯性矩： 对主惯性轴的惯性矩。 主惯性矩： 对主惯性轴的惯性矩 形心主惯性轴： 通过图形形心的主惯性轴。 形心主惯性轴： 通过图形形心的主惯性轴 ★ 形心主惯性矩： 对形心主惯性轴的矩 形心主惯性矩： 对形心主惯性轴的矩。
A
= I yc z c + abA
A
平面图形的几何性质
I y = I yC + a A
2
I z = I zC + b A
2
—— 惯 性 矩 和 惯 性 积 的 平行移轴公式
I yz = I yC zC + abA
结论：同一平面内对相互平行轴的惯性矩， 结论：同一平面内对相互平行轴的惯性矩，形 心轴的最小。 心轴的最小。
∑ A ⋅x =
i
i
平面图形的几何性质
惯性矩Moment of inertia ：平面图形对 惯性矩 某一轴的二次矩
y z y z dA
I z = ∫ y dA — 图形对 z轴的惯性矩
2 A
I y = ∫ z 2 dA — 图形对 y轴的惯性矩
A
惯性矩恒为正， 惯性矩恒为正，量纲是长度的四次方
I y = Aiy , I z = Aiz
2
在面积A相同，但形状不同的情况下， 在面积 相同，但形状不同的情况下， 相同 应力分布不同。 应力分布不同。
平面图形的几何性质
S z = ∫ ydA — 平面图形对 z轴的静矩
A
S y = ∫ zd A — 平面图形对 y轴的静矩
A
静矩： 静矩：平面图形 面积对某轴的一次矩
静矩可正，可负， 静矩可正，可负，也可能等于零。
= −6.1cm
z = 20 − zc = 13.9cm
' c
平面图形的几何性质 (2)求 I zc , I yc 求
20cm I
z
1 1 3 3 3 I zc = I + I = ×3×20 + ×17×3 12 12 4 = 2048cm
I zc II zc
z