多次相遇和追及问题含答案

第三讲多人多次相遇与追及在之前的课程中，我们已经学过了如何处理两个对象之间的相遇追及问题．本讲我们进一步学习过程更为复杂的三个对象之间的行程问题．本讲中画线段图非常重要，你还记得画行程图要注意什么吗？例题1有甲、乙、丙三个人，甲每分钟走40米，乙每分钟走60米，丙每分钟走50米．A 、B 两地相距2700米．甲从A 地，乙、丙从B 地同时出发相向而行．请问，甲在与乙相遇之后多少分钟又与丙相遇？「分析」全程已知，三个人的速度也都已知，那么甲乙的相遇时间、甲丙的相遇时间都是可以计算出来的． 练习1有冰冰、雪雪、霜霜三个人，冰冰每秒钟走4米，雪雪每秒钟走5米，霜霜每秒钟走6米．A 、B 两地相距990米．雪雪从A 地，霜霜、冰冰从B 地同时出发相向而行．请问，雪雪与霜霜相遇之后多少秒又与冰冰相遇？例题2叮叮、咚咚两人开车从A 地，铛铛则从B 地同时出发，相向而行．叮叮的速度为每小时70千米，铛铛的速度为每小时50千米．出发3小时后，叮叮与铛铛相遇．又过了1小时，咚咚也与铛铛相遇．请问：咚咚的车速是多少？「分析」请在图中把过程补全，并标出相应的数据，例如速度、时间、路程等．然后注意分析，看看哪个过程是可以计算的？ 练习2小春、小秋两人从A 地，小夏则从B 地同时出发，相向而行．小春的速度为每小时60千米，小夏的速度为每小时40千米．出发3小时后，小春与小夏相遇．又过了1小时，小秋也与小夏相遇．请问：小秋的速度是多少？A 地B 地叮叮咚咚铛铛例题3甲、乙两辆汽车的速度分别为每小时52千米和每小时40千米，两车同时从A 地出发到B 地去，出发6小时后，甲车遇到一辆迎面开来的卡车．又过了1小时，乙车也遇到了这辆卡车．请问：这辆卡车的速度是多少？「分析」本题的运动过程和上题类似吗？请先把图补充完整，仍然是标出数据进行分析，看看哪个过程是可以计算的？ 练习3甲、乙两辆汽车的速度分别为每小时60千米和每小时45千米，两车同时从A 地出发到B 地去，出发7小时后，甲车遇到一辆迎面开来的卡车．又过了1小时，乙车也遇到了这辆卡车．请问：这辆卡车的速度是多少？通过前面几道例题，同学们会发现解决多人多次的相遇与追及等更为复杂的行程问题，画线段图是相当重要的．然而我们不但要学会画图，还要学会看图．“横看成岭侧成峰”，同一个对象从不同的角度去观察往往会有不同的认识．就像例题4中红色的那条线段，既可以看成甲、乙两车的路程差，也可以看成乙车与卡车的路程和．当运动过程趋于复杂时，尤其需要这种从不同角度看待问题的思维习惯，这样才能充分利用好题目中的条件．A 地B 地甲车卡车乙车例题4甲、乙、丙三人走路，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米．如果甲从A 地，乙和丙从B 地同时出发相向而行，甲和乙相遇后，过了15分钟又与丙相遇，求A 、B 两地间的距离为多少米？「分析」请自己画出详细的线段图，好好分析一下，还能像前面两个例题那样一段一段计算吗？如果不能，该怎么办呢？ 练习4刘备、关羽、张飞三人，刘备每分钟走40米，关羽每分钟走60米，张飞每分钟走50米．如果刘备从A 地，关羽和张飞从B 地同时出发相向而行，刘备和关羽相遇后，过了10分钟又与张飞相遇，求A 、B 两地间的距离为多少米？上面几道例题的运动过程是一样的，在这样的运动过程里面，会有两次相遇运动和一次追及运动．在这个运动过程中有一段路程既是路程和又是路程差，需要同学们格外注意．接下来我们来看一下和速度倍数相关的行程问题．大家想象一下，如果甲、乙两人同时出发同向前进，甲的速度是乙的3倍，那么5分钟后，甲的路程是乙的几倍？30分钟后，甲的路程又是乙的几倍？2个小时后，甲的路程又是乙的几倍？其实上述问题的答案都是3倍．不管时间过了多久，只要甲、乙两人的时间相同，他们路程的倍数关系就等于速度的倍数关系． 例题5A 、B 两城相距48千米，甲、乙、丙三人分别以每小时4千米、2千米、2千米的速度行走．甲、乙两人从A 城，丙从B 城同时出发，相向而行．请问：出发多长时间后，甲正好在乙和丙的中点？「分析」速度分别是4、2、2，那么我们可以把三人的路程分别设为几份呢？请试着画出线段图，标份数进行分析．A B甲乙 丙例题6A 、B 两城相距50千米，甲、乙、丙三人分别以每小时4千米、2千米、2千米的速度前进．甲、乙两人从A 城，丙从B 城同时出发，相向而行．请问：出发多长时间后，丙正好在甲和乙的中点？「分析」同上题，还是需要把路程设份数，画出线段图进行分析．但要注意，丙在甲、乙的中点，应该是在甲、丙相遇错开后发生的．形象的来说，本讲行程问题最大的特点就是“繁”——人多、车多、过程多．怎么解决这样复杂的问题呢？首先，必须有勇气，只要有勇气，你就敢面对这样的问题，积极开动脑筋去想． 其次，必须有耐心，只要有耐心，你就能动手去画图，细致的分析每一组数量关系，再花上些时间，题目自然能够搞定．或许有人会说，这根本不是什么解题技巧，画线段图、分析倍数关系才是解题．其实，这些只是技巧中的皮毛，真正的技巧是一种智慧，而勇气和耐心就是这种智慧的内涵． 课堂内外换个角度看问题有这样一个故事：有个年轻人为贫所困，便向一位老者请教．老者问：“你为什么失意呢？”年轻人说：“我总是这样穷．”“你怎么能说自己穷呢？你还这么年轻．”“年轻又不能当饭吃．”年轻人说．老者一笑：“那么，给你一万元，让你瘫痪在床，你干吗？”“不干．”“把全世界的财富都给你，但你必须现在死去，你愿意吗？”“我都死了，要全世界的财富干什么？”老者说：“这就对了，你现在这么年轻，生命力旺盛，就等于拥有全世界最宝贵的财富，又怎能说自己穷呢？”年轻人一听，又找回了对生活的信心．美国心理学家艾里斯曾提出一个叫“情绪困扰”的理论．他认为，引起人们情绪结果的因素不是事件本身，而是个人的信念．所以，许多在现实中遭遇挫折的人，往往认为“自己倒霉”，“想不通”，这些其实都是本人的片面认识和解释，正是这种认识才产生了情绪的困扰．实际情况是，人们的烦恼和不快，常常与自己的情绪有关，同自己看问题的角度有关．能否战胜挫折，关键在于自己要有主心骨，任何情况下都不被一时的失意和不快左右，永远怀AB甲乙丙着希望和信心，就能从逆境和灾难中解脱出来．再拿前面提到的那个自认为很穷的年轻人来说吧，其实，穷与富只是相对而言，并没有一个客观标准．一个人即使没有多少物质财富，但他有青春和生命，有奋发进取的精神状态，就不能说他穷．如果一个人热爱生命，就会感到充实和富有．概而言之，任何事情都不是绝对的，就看你怎么去对待它．作业1.小竹、小松两人从A地，小梅则从B地同时出发，相向而行．小竹的速度为每小时55千米，小梅的速度为每小时45千米．出发4小时后，小竹与小梅相遇．又过了1小时，小松也与小梅相遇．A、B两地相距多少千米？小松每小时走多少千米？2.甲、乙两辆汽车的速度分别为每小时80千米和每小时65千米，两车同时从A地出发到B地去，出发8小时后，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，这时乙车与卡车相距多少千米？又过了1小时，乙车也遇到这辆卡车．这辆卡车每小时行多少千米？3.哈利、罗恩、赫敏三人，哈利每分钟走60米，罗恩每分钟走50米，赫敏每分钟走45米．如果哈利从A地，罗恩和赫敏从B地同时出发，相向而行．哈利和罗恩相遇2分钟后，又与赫敏相遇．当哈利和罗恩相遇时，赫敏和罗恩相距多少米？A、B两地间的距离为多少米？4.东、西两城相距60千米．小明从东向西跑，每小时跑8千米；小光从西向东走，每小时走4千米；小亮骑自行车从东向西，每小时骑行11千米．3人同时动身，途中小亮遇见小光即折回向东骑，遇见了小明又折回向西骑，再遇见小光又折回向东骑，如此不断往返，直到三人在途中相遇为止．则小亮共行了多少千米？5.老贺、老郭和老刘同时出发，分别以每小时1千米、3千米、1千米的速度前进．其中老贺从A出发往B走，另外两人则从B出发往A走．已知A、B两地相距36千米，在出发后多少小时，老郭正好在老贺与老刘的中点？第三讲 多人多次相遇与追及1. 例题1答案：3分钟详解：甲和乙相遇时的路程和是2700千米，速度和是100米/分，所以相遇时间是270010027÷=分钟．甲和丙相遇时的路程和也是2700千米，速度和是90千米/时，所以相遇时间是27009030÷=分钟，又过了3分钟甲和丙才相遇．2. 例题2答案：40千米/时详解：首先画出线段图（如下图），有两次相遇，其中还隐藏了一次追及问题． AB 全程：()70503360+⨯=千米咚咚和铛铛相遇时间是4小时，他们速度和是：360490÷=千米/时， 那么咚咚的速度是905040-=千米/时．3. 例题3答案：32千米/时详解：首先画出线段图，包括两次相遇和一次追及．在这类型的题目中，有一段非常重要的路程（即红色部分标出的）．这段是甲车、乙车6个小时行驶的路程差，也是乙车和卡车1个小时的路程和．如果能够求出这段路程是多少，就可以将两个运动过程联系起来．甲车和乙车的速度差是12千米/时，6个小时行驶的路程差是72千米．所以乙车和卡车1个小时行驶的路程和是72千米．乙车和卡车的速度和是72172÷=千米/时．所以卡车的速度是724032-=千米/时．4. 例题4答案：16500米详解：画出线段图如下，从出发到①时刻，有甲和乙的相遇、乙和丙的同向行驶，由甲、乙相遇求AB 距离、即路程和，速度和已知，需要求时间．乙、丙同向行驶，A 地B 地咚 铛50km/h70km /h 叮A 地 B 地甲车乙车52千米40千米速度差已知，如果知道路程差就可以求时间．①→②时间内，是甲、丙的相遇过程，时间为15分钟，知道速度和，可得①→②甲、丙路程和为()4060151500+⨯=米．接下来的关键和例4是一样的，路程和同时也是路程差，即乙、丙路程差为1500米，追及时间为()150********÷-=分钟，即从出发到①时刻共150分钟，全程为()506015016500+⨯=米．5. 例题5答案：6小时详解：先将行程图补充完整（见下图）．设甲走了“4”，乙和丙都走了“2”．此时甲在乙、丙中点，所以图中红色线段表示的路程是相等的，都是“2”．所以全程是“8”，即48千米，所以“1”是6千米，甲走了“4”是24千米，速度是4千米/时，所以行走时间是6小时．另外一个方法是，乙、丙的速度是一样的，其实，乙、丙中点始终就是全程的中点．所以甲行驶到乙、丙中点时，甲一定也在全程的中点，所以甲走了24千米，速度是4千米/时，行走时间仍然是6小时．6. 例题6答案：10小时详解：先将行程图补充完整（见下图）．设甲走了“4”，乙和丙都走了“2”．此时丙在甲、乙中点，所以图中红色线段表示的路程是相等的，都是“1”．所以全程是“5”，即50千米，所以“1”是10千米．甲走了“4”是40千米，速度是4千米/时，所以行走时间是10小时．B乙 丙 50米/40米/60米/分千米/时 A B 甲乙 4千米/2千米/A B2千米/4千米/7. 练习1答案：20分钟详解：雪雪和霜霜相遇时的路程和是990千米，速度和是11米/分，所以相遇时间是9901190÷=分钟．雪雪和冰冰相遇时的路程和也是990千米，速度和是9千米/时，所以相遇时间是9909110÷=分钟，又过了20分钟雪雪和冰冰才相遇．8. 练习2答案：35千米/时详解：有两次相遇，其中还隐藏了一次追及问题． AB 全程：()60403300+⨯=千米小秋和小夏相遇时间是4小时，他们速度和是：300475÷=千米/时， 那么小秋的速度是754035-=千米/时．9. 练习3答案：60千米/时简答：首先画出线段图，包括两次相遇和一次追及．在这类型的题目中，有一段非常重要的路程（即红色部分标出的）．这段是甲车、乙车7个小时行驶的路程差，也是乙车和卡车1个小时的路程和．如果能够求出这段路程是多少，就可以将两个运动过程联系起来．甲车和乙车的速度差是15千米/时，7个小时行驶的路程差是105千米．所以乙车和卡车1个小时行驶的路程和是105千米．乙车和卡车的速度和是1051105÷=千米/时．所以卡车的速度是1054560-=千米/时．10. 练习4答案：9000米简答：画出线段图如下，从出发到①时刻，有刘和关的相遇、关和张的同向行驶，由刘、关相遇求AB 距离、即路程和，速度和已知，需要求时间．关、张同向行驶，速度差已知，如果知道路程差就可以求时间．①→②时间内，是刘、关的相遇过程，时间为10分钟，知道速度和，可得①→②；刘、张路程和为()405010900+⨯=米．接下来的关键和例4是一样的，路程和同时也是路程差，即关、张路程差为900米，追及时间为()900605090÷-=分钟，即从出发到①时刻共90分钟，全程为A 地B 地 甲车乙车 60千米45千米()4060909000+⨯=米．11. 作业1答案：400；35简答：全程长：()55454400+⨯=千米，小松与小梅用了5小时相遇，所以小松的速度为：40054535÷-=千米∕时．12. 作业2答案：120；55简答：8小时内甲、乙两车的路程差为()80658120-⨯=千米．甲、乙两辆车的路程差就是后面1小时内乙车与卡车的路程和，所以卡车的速度为：12016555÷-=千米∕时．13. 作业3答案：210；4620简答：哈利和赫敏2分钟内的路程和也是罗恩和赫敏的路程差，根据这个关系可知当哈利和罗恩相遇时，赫敏和罗恩相距()26045210⨯+=米．可求出哈利与罗恩相遇所用的时间是()210504542÷-=分，全程为()4260504620⨯+=米．14. 作业4答案：55简答：小亮行驶的总时间就是小明、小光的相遇时间：()60845÷+=小时，所以路程为55千米．15. 作业5答案：6简答：当老郭在老贺与老刘的中点时，老郭的路程是“3”份，老贺和老刘的路程都是“1”份．这时老郭和老刘相距“2”份，老郭和老贺也相距“2”份，全程36千米相当于是“6”份，“1”份是6米，也即老贺走了616÷=小时，老郭正好在老贺与老刘的中点．B关 张 60米/50米/40米/分。

小升初数学专题第4讲行程（一）相遇追及（多次）、电车问题一、知识地图简单相遇追及匀速直线行程多次相遇追及（包括火车过桥）发车间隔问题多次相遇追及环形线路行程（包括钟表问题）⎧⎨⎩⎧⎪⎨⎪⎩变速直线行程（求平均速度）流水行船不同参照系的行程自动扶梯行程中的比例关系其他类型（正、反比例运用）相遇点变化问题二、基础知识在历年“小升初”考试和各类小学奥数竞赛试题中，“行程问题”都占有很大的比重。

同时也是小学专题中的难点，“行程问题”经常作为一份试卷中的压轴难题出现，提高解决“行程问题”的能力不仅能帮助在小升初考试和各类数学竞赛中取得优异成绩，还能为今后初中阶段数学、物理学科的学习打下良好的基础。

（一） 典型的相遇和追及所有行程问题是围绕“⨯路程=速度时间”这一条基本关系式的展开，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系，在这里： =⨯路程和速度和相遇时间； =⨯路程差速度差追及时间；这两组关系式中“路程和”或“路程差”实际上对应的是相遇或追及问题中的原始（初始）距离，我们可以通过图示来理解。

（二）多次相遇追及通过图示介绍直线上的相遇和追及的规律 这部分内容涉及以下几个方面：1 求相遇次数2 求相遇地点3 由相遇地点求全程“线段示意图”和“折线示意图”是解行程问题特别是多次相遇问题的重要方法。

追及问题相遇问题举个例子：假设A 、B 两地相距6000米，甲从A 地出发在AB 间往返运动，速度为6千米/小时，乙从B 出发，在AB 间往返运动，速度为4千米/小时。

我们可以依次求出甲、乙每次到达A 点或B 点的时间。

为了说明甲、乙在AB 间相遇的规律，我们可以用“折线示意图”来表示。

折线示意图能将整个行程过程比较清晰的呈现出来：例如AD 表示的是，甲从A 地出发运动到B 地的过程，其中D 点对应的时间为1小时，表示甲第一次到达B 点的时间为1小时，BF 表示乙从B 地出发到达A 地的过程，F 点对应的时间为1.5小时，表示乙第一次到达A 地的时间为1.5小时，AD 与BF 相交于C 点，对应甲、乙的第一次相遇事件，同样的G 点对应是甲、乙的第二次相遇事件。

相遇追及试题及答案1. 甲乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。

甲的速度是每小时5公里，乙的速度是每小时4公里。

如果A、B两地相距20公里，问他们相遇时各自走了多少公里？答案：首先计算两人相遇所需的时间。

由于两人相向而行，他们的相对速度是5公里/小时 + 4公里/小时 = 9公里/小时。

因此，相遇时间是总距离除以相对速度，即20公里÷ 9公里/小时 = 2.22小时（约等于2小时13分钟）。

甲在这段时间内行走的距离是5公里/小时× 2.22小时 = 11.1公里，乙行走的距离是4公里/小时× 2.22小时 = 8.9公里。

2. 一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，一辆摩托车以每小时40公里的速度行驶。

如果汽车在摩托车前方100公里处，摩托车开始追赶汽车，问摩托车需要多少时间才能追上汽车？答案：首先计算摩托车追赶汽车所需的时间。

由于汽车在前方，摩托车需要以相对速度追赶。

相对速度是汽车速度减去摩托车速度，即60公里/小时 - 40公里/小时 = 20公里/小时。

因此，摩托车追上汽车所需的时间是距离差除以相对速度，即100公里÷ 20公里/小时 = 5小时。

3. 两列火车从同一车站出发，一列火车以每小时120公里的速度向东行驶，另一列火车以每小时80公里的速度向西行驶。

两列火车出发后2小时，它们之间的距离是多少？答案：由于两列火车是背向而行，它们的相对速度是120公里/小时 + 80公里/小时 = 200公里/小时。

两列火车出发2小时后，它们之间的距离是相对速度乘以时间，即200公里/小时× 2小时 = 400公里。

4. 一艘船以每小时15公里的速度在河中顺流而下，而河水的流速是每小时5公里。

如果船从A点出发，2小时后到达B点，问A点和B点之间的距离是多少？答案：船在河中顺流而下，其有效速度是船的速度加上水流的速度，即15公里/小时 + 5公里/小时 = 20公里/小时。

例3甲乙两人分别以每分钟60m 、70m 的速度同时从A 地向B 地行进，丙以每分钟80m 的速度同时从B 地往A 地行进，丙遇到乙后3分钟又遇到甲。

问AB 之间相距多少米？例2甲、乙、丙三人只有一辆自行车，他们同时出发进行100千米的旅行，甲先带着丙以每小时25千米的速度前进，乙以时速5千米的速度步行前进。

经过一段时间后，丙下车以时速5千米的速度步行，而甲又折回去接乙，并将乙带上，最后与丙同时到达目的地。

问这次旅行的时间是多少小时？(设甲骑车速度与乙丙步行速度都是不变的。

)例1甲乙两地相距60km ，小王骑车以10km/h 的速度在上午8点从甲地出发去乙地。

过了一会儿，小李骑车以15km/h 的速度也从甲地去乙地。

小李在途中M 地追上小王，通知小王立即返回甲地。

小李继续骑车去乙地。

各自分别到达甲乙两地后都马上返回，两人再次见面时，恰好还在M 地。

问小李是几点出发的？补充两辆电动小汽车在周长为360米的圆形跑道上不断行驶，甲车每分钟行驶20米。

甲、乙两车同时分别从相距90米的A、B两地相背而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方向，当乙车到达B地时，甲车过B地后恰好又回到A地。

此时甲车立即返回(乙车过B地继续行驶)，再过多少分与乙车相遇。

补充如图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形。

甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发。

如果甲每分走90米，乙每分走70米，那么经过多少时间甲才能看到乙？测试题1．小猫和小耗同时同地向同一方向出发，8分钟后，小猫比小耗多走了56米；如果他们同时同地背向而行，5分钟后两人相距425米。

小猫每分钟走_____米，小耗每分钟走______米。

2．小张和小王早晨八点整同时从甲地出发去乙地，小张开车，速度是每小时60千米。

小王步行，速度是每小时4千米。

如果小张到达乙地后停留一小时立即沿原路返回，恰好在十点整遇到正在前往乙地的小王。

那么甲、乙两地之间的距离是_____千米。

1. 学会画图解行程题2. 能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题3. 能够利用比例解多人相遇和追及问题板块一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．【例 1】 甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【考点】行程问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍，为300103000⨯=米，因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，所以这段时间内甲共行了3.5300014003.54⨯=+米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米，可知甲还需行300200100-=米才能回到出发点． 【答案】100米【巩固】 甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？ 【考点】行程问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 17 【答案】17【巩固】 甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A 背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A 沿跑道上的最短路程是多少米? 【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 176 【答案】176【例 2】 甲、乙二人从相距 60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。

如果二人的速度各增加1千米／时，那么相遇地点距前一次相遇地点1千米。

问：甲、乙二人的速度各是多少？ 【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 甲、乙两人的速度和第一次为60÷6=10（千米／时），第二次为12（千米/时），故第二次出发后5时相遇。

第十三讲多次往返相遇与追及在这一讲中，我们重点学习直线上不断往返的行程问题．在学习新的内容之前，我们先来复习一下原来学过的简单相遇问题与追及问题．简单相遇与追及相遇问题是指两人同时从两个地点出发，向对方所在位置前进，经过一段时间后两人相遇．追及问题是指两人从两个地点出发，朝着同一个方向前进，经过一段时间后一个人追上了另一个人．简单的相遇问题与追及问题的线段图如下所示：相遇时，两人的路程和是A 、B 两地的距离；追及时，两人的路程差是A 、B 两地的距离．其实，一般来说，只要两个人运动方向相反，就是相遇问题（包括相向而行和相背而行）；只要两个人运动方向相同，就是追及问题（同向而行包括追上和超过）．解决行程问题，最基本的方法就是画线段图，寻找相同时间内的路程关系（包括路程和、路程差以及路程的倍数关系）．不同出发点的往返相遇甲、乙两人从A 、B 两地同时出发相向而行，在相遇后两人继续前进，分别到达B 地、A 地后立即折回，这时两人第二次迎面相遇，我们画出线段图如下所示．从线段图中可以发现：当两人第一次迎面相遇时，经过的路程和是A 、B 两地距离（1个全长）；当两人第二次迎面相遇时，经过的路程和是3个全长；当两人第三次迎面相遇时，经过的路程和是5个全长；……即相邻两次相遇之间，两人的路程和恰好等于．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2．个全长．．．．地 甲乙甲乙第二次相遇 第一次相遇例题1小高和墨莫分别从相距60千米的A 、B 两地同时出发，在A 、B 之间不断往返骑车．已知小高骑车的速度是每小时21千米，墨莫骑车的速度是每小时9千米．请问：（1）出发后多长时间，两人第一次迎面相遇？再过多长时间两人第二次迎面相遇？（2）出发后多长时间，两人第四次迎面相遇？第四次迎面相遇的地点距离A 地多少千米？ 「分析」应用我们上面总结的结论，两人从两地出发，第一次相遇时，两人路程和是多少？在第一次迎面相遇和第二次迎面相遇之间，两人路程和又是多少？练习1阿瓜和阿呆分别从相距90千米的A 、B 两地同时出发，在A 、B 之间不断往返骑车．已知阿呆骑车的速度是每小时21千米，阿瓜骑车的速度是每小时24千米．请问：（1）出发后过多长时间两人第二次迎面相遇？再过多长时间两人第五次迎面相遇？不同出发点的往返追及甲、乙两人从A 、B 两地同时出发相向而行，甲到达B 地后立即折回，直至第一次追上乙，我们画出线段图如右下所示：从线段图中可以发现：甲第一次追上乙时，甲和乙的路程差是1个全长；甲第二次追上乙时，甲和乙的路程差是3个全长；甲第三次追上乙时，甲和乙的路程差是5个全长；……即相邻两次追及之间，两人的路程差恰好等于．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2．个全长．．．．．A 地甲乙 第一次追及 第二次追及例题2小高和墨莫分别从相距60千米的A 、B 两地同时出发，在A 、B 之间不断往返骑车．已知小高骑车的速度是每小时21千米，墨莫骑车的速度是每小时9千米．请问：（1）出发后多长时间，小高第一次追上墨莫？再过多长时间小高第三次追上墨莫？（2）出发后多长时间，小高第五次追上墨莫？第五次追上墨莫的地点距离A 地多少千米？ 「分析」应用我们上面总结的结论，两人从两地出发，第一次追上时，两人路程差是多少？在第一次追上和第三次追上之间，两人路程差又是多少？练习2阿瓜和阿呆分别从相距80千米的A 、B 两地同时出发，在A 、B 之间不断往返骑车．已知阿呆骑车的速度是每小时32千米，阿瓜骑车的速度是每小时12千米．请问：（1）出发后多长时间阿呆第一次追上阿瓜？（2）再过多少小时阿呆第三次追上阿瓜？相同出发点的往返相遇甲、乙两人从A 地同时出发同向而行，在A 、B 两地之间不断往返，我们画出两人迎面相遇的线段图．从线段图中可以发现：当两人第一次迎面相遇时，甲和乙的路程和是2个全长；当两人第二次迎面相遇时，甲和乙的路程和是4个全长；当两人第三次迎面相遇时，甲和乙的路程和是6个全长；……即相邻两次相遇之间，两人的路程和恰好等于．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2．个全长．．．．地例题3小高和墨莫同时从A 地出发，在相距60千米的A 、B 两地之间不断往返骑车．已知小高骑车的速度是每小时21千米，墨莫骑车的速度是每小时9千米．请问：（1）出发后多长时间，两人第一次迎面相遇？第一次迎面相遇的地点距离A 地多少千米？（2）出发后多长时间，两人第五次迎面相遇？第五次迎面相遇的地点距离A 地多少千米？ 「分析」应用我们上面总结的结论，两人从同地出发，第一次相遇时，两人路程和是多少？第五次相遇时，两人路程和又是多少？练习3阿呆和阿瓜同时从A 地出发，在相距90千米的A 、B 两地之间不断往返骑车．已知阿呆骑车的速度是每小时24千米，阿瓜骑车的速度是每小时21千米．请问：（1）出发后经过多长时间两人第二次迎面相遇？（2）出发后经过多长时间两人第五次迎面相遇？相同出发点的往返追及甲、乙两人从A 地同时出发同向而行，在A 、B 两地之间不断往返，我们画出两人追及的线段图．从线段图中可以发现，甲第一次追上乙时，甲和乙的路程差是2个全长；而从第一次追及到第二次追及，就跟前面所讨论的“不同出发点的往返追及”一样，路程差依然是2个全长．即相邻两次相遇之间，两人的路程和恰好等于．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2．个全长．．．．例题4小高和墨莫同时从A 地出发，在相距60千米的A 、B 两地之间不断往返骑车．已知小高骑车的速度是每小时21千米，墨莫骑车的速度是每小时9千米．请问：（1）出发后多长时间，小高第一次追上墨莫？第一次追上墨莫的地点距离A 地多少千米？（2）出发后多长时间，小高第五次追上墨莫？第五次追上墨莫的地点距离A 地多少千米？「分析」应用我们上面总结的结论，两人从同地出发，第一次追上时，两人路程差是多少？第五次追上时，两人路程差又是多少？地追及练习4阿呆和阿瓜同时从A地出发，在相距90千米的A、B两地之间不断往返骑车．已知阿呆骑车的速度是每小时30千米，阿瓜骑车的速度是每小时25千米．请问：（1）出发后多长时间阿呆第一次追上阿瓜？（2）出发后多长时间阿呆第三次追上阿瓜？例题5机器猫和机器狗从长为150米的跑道一端同时出发，在跑道上不断往返运动．已知机器猫的速度是每分钟20米，机器狗的速度是每分钟30米．那么在机器猫和机器狗出发后100分钟内，（1）它们共有多少次迎面相遇？（2）机器狗有多少次追上机器猫？「分析」想要算出100分钟内相遇多少次，就要知道它们相遇一次所用的时间．要算出追上多少次，就要知道追上一次所用的时间．例题6A、B两辆汽车从甲、乙两站同时出发，相向而行，在距甲站50千米处两车第一次迎面相遇，相遇后两车继续前进（保持原速）各自到达乙、甲两站后，立即沿原路返回，在距乙站30千米处两车第二次迎面相遇．问：甲、乙两站相距多远？若两车继续前进，则在何处第三次迎面相遇？「分析」出发到第一次相遇、第一次相遇到第二次相遇，这两段时间有什么关系呢？好好思考一下，然后再画线段图分析．课堂内外文人的“反复”宋神宗熙宁二年（1069），王安石当宰相后，决心改革，推行新法，遭到大地主、大官僚的坚决反对，没几年就被罢了官．他在京城闭居无聊，决意回南京去看看妻儿．第二年春天，王安石由汴京南下扬州，又乘船西上回金陵（今苏省南京市），路过于京口（今江苏省镇江市）到了隔江相望的瓜洲时，船靠码头，不再走了．他站在船头上，极目西望，但见青山隐隐，江水滔滔，春风绿野，皓月当空，触景生情，更加怀念起金陵钟山（又名紫金山）的亲人来了．他走进船舶，拿出纸笔，略一思索，就写了一首题名《泊船瓜洲》的诗：京口瓜洲一水间，钟山只隔数重山．春风又到江南岸，明月何时照我还？写完后，王安石觉得“春风又到江南岸”的“到”字太死，看不出春风一到江南是什么景象，缺乏诗意，想了一会，就提笔把“到”字圈去，改为“过”字．后来细想一下，又觉得“过”字不妥．“过”字虽比“到”字生动一些，写出了春风的一掠而过的动态，但要用来表达自己想回金陵的急切之情，仍嫌不足．于是又圈去“过”字，改为“入”字、“满”字．这样改了十多次，王安石仍未找到自己最满意的字．他觉得有些头疼，就走出船舱，观赏风景，让脑子休息一下．王安石走到船头上，眺望江南，春风拂过，青草摇舞，麦浪起伏，更显得生机勃勃，景色如画．他觉得精神一爽，忽见春草碧绿，这个“绿”字，不正是我要找的那个字吗？一个“绿”字把整个江南生机勃勃、春意盎然的动人景象表达出来了．想到这里，王安石好不高兴，连忙奔进船舱，另外取出一张纸，把原诗中“春风又到江南岸”一句，改为“春风又绿江南岸”.为了突出他反复推敲来之不易的那个“绿”字，王安石特地把“绿”写得稍大一些，显得十分醒目．一个“绿”字使全诗大为生色，全诗都活了.这个“绿”字就成了后人所说的“诗眼”．后来许多谈炼字的文章，都以他为例．作业1.甲、乙两人分别从相距70千米的A、B两地同时出发，在A、B之间不断往返骑车．已知甲骑车的速度是每小时15千米，乙骑车的速度是每小时20千米．请问：（1）经过多少小时两人第二次迎面相遇？（2）再过多少小时两人第四次迎面相遇？2.甲、乙两人分别从相距9千米的A、B两地同时出发，在A、B之间不断往返骑车．已知甲骑车的速度是每小时25千米，乙骑车的速度是每小时10千米．出发后多少小时，甲第三次追上乙，追及的地点距离A多少千米？3.甲、乙两人同时从A地出发，在相距6千米的A、B两地之间不断往返骑车．已知甲骑车的速度是每小时30千米，乙骑车的速度是每小时24千米．请问：（1）经过多少小时甲第三次追上乙？（2）再过多少小时甲第四次追上乙？4.甲、乙两人同时从A地出发，在相距70千米的A、B两地之间不断往返骑车．已知甲骑车的速度是每小时15千米，乙骑车的速度是每小时20千米．请问：（1）经过多少小时两人第五次迎面相遇？（2）第五次迎面相遇地点距离A地多少千米？5.兔子和乌龟同时从A地出发，在相距500米的A、B两地之间不断往返骑车．已知兔子的速度是每分钟40米，乌龟的速度是每分钟60米．在出发的半小时内，他们一共迎面相遇多少次？第十三讲多次往返相遇与追及1.例题1答案：（1）2小时，4小时；（2）14小时，54千米详解：（1）第一次迎面相遇两人的路程和是1个全长，时间是()÷+=小602192时．从第一次相遇到第二次迎面相遇，两人的路程和是2个全长，时间应该是224⨯=小时．（2）从出发到第四次迎面相遇，两人的路程和是12227+++=个全长，时间是7214⨯=千米，⨯=小时．其中墨莫从B地出发走了149126-=千米．1266026÷=，所以相遇地点离A地606542.例题2答案：（1）5小时，20小时；（2）45小时，15千米详解：（1）第一次追上，两人的路程差是1个全长，时间是()÷-=小602195时，从第一次追上到第三次追上，两人的路程差是224+=个全长，时间是4520⨯=小时．（2）从出发到第五次追上，两人的路程差是2519⨯-=个全长，时间是⨯=千米，9545⨯=小时．其中墨莫从B地出发走的路程是459205-=千米．÷=，所以追及地点距离A点60451540560653.例题3答案：（1）4小时，36千米；（2）50小时，60千米详解：（1）第一次迎面相遇，两人的路程和是2个全长，相遇时间是()⨯=千米，相遇地点⨯÷+=小时，其中墨莫从A出发走了49366022194距A地36千米．（2）相邻两次相遇的路程和都是2个全长，从出发到第五次相遇两人相遇时间是4520÷=，⨯=千米，180603⨯=小时．墨莫从A出发走了209180所以相遇地点距A地60千米．4.例题4答案：（1）10小时，30千米；（2）50小时，30千米详解：（1）第一次追上，两人的路程差是2个全长，时间是()60221910⨯÷-=小时．此时墨莫从A出发走了91090÷=，追上地点⨯=千米，9060130距离A地603030-=千米．（2）相邻两次追及的路程差是2个全长，追上1次需要10小时，追上5次需要51050⨯=小时，此时墨莫走了509450⨯=千米，45060730÷=，追上地点距离A 地603030-=千米．5. 例题5答案：（1）16次；（2）3次详解：（1）从同一地点出发，相邻两次相遇的路程和为2个全长，需要()150220306⨯÷+=分钟；1006164÷=，所以一共有16次迎面相遇． （2）从同一地点出发，相邻两次追及的路程差为2个全长，需要()1502302030⨯÷-=分钟，10030310÷=，所以一共追上3次． 6. 例题6答案：120千米；距甲地10千米处详解：如图所示，第一次迎面相遇，A 、B 两车合走了1个全长，其中A 走了50千米．从第一次相遇到第二次迎面相遇，两车合走了2个全长，按倍数关系，A 车应该走100千米，图中粗线表示的距离是1003070-=千米．所以甲、乙两站相距5070120+=千米．从第二次到第三次相遇，A 要走100米，所以在距甲10米处第三次相遇．（或者是从出发到第三次相遇，两车合走5个全长，A 车共走550250⨯=千米，250120210÷=，距甲地10千米第三次相遇．）7. 练习1答案：6小时；12小时详解：（1）从出发到第二次迎面相遇，路程和是3个全长，即390270⨯=千米，所以时间为()27021246÷+=小时；（2）从第二次相遇到第五次迎面相遇，路程和是6个全长，即690540⨯=千米，所以时间为()540212412÷+=小时．8. 练习2答案：4小时；16小时甲乙B详解：（1）从出发到第一次追上，路程差是1个全长，即80千米，所以时间为()8032124÷-=小时；（2）从第一次追上到第三次追上，路程差是4个全长，即320千米，所以时间为()320321216÷-=小时．9. 练习3答案：8小时；20小时简答：（1）从出发到第二次迎面相遇，路程和是4个全长，即490360⨯=千米，所以时间为()36021248÷+=小时；（2）从出发到第五次迎面相遇，路程和是10个全长，即1090900⨯=千米，所以时间为()900212420÷+=小时．10. 练习4答案：36小时；108小时简答：（1）从出发到第一次追上，路程差是2个全长，所以时间为()290302536⨯÷-=小时；（2）从出发到第三次追上，路程差是6个全长，所以时间为()6903025108⨯÷-=小时．11. 作业1答案：6；8简答：（1）从出发到两人第二次相遇，两人的路程和是3个全长，所以一共用时()70315206⨯÷+=小时；（2）从第二次相遇到第四次相遇之间，两人的路程和是4个全长，所以用时8小时．12. 作业2答案：3小时；3千米简答：第三次追及时，两人的路程差为9545⨯=千米；追及时间为()4525103÷-=小时；甲一共骑了32575⨯=千米；7598÷=⋅⋅⋅3，距离A 地3千米．13. 作业3答案：6；2简答：从出发到第三次追及，两人的路程差等于6个全长，用时()6630246⨯÷-=小时．从第三次追及到第四次追及期间，两人的路程差等于2个全长，用时2小时．14.作业4答案：20；20简答：从出发到第五次相遇，两人的路程和为10个全长，一共用时()÷=，⨯÷+=小时；此时甲一共骑行了300千米，30070420 7010152020距离A地20千米．15.作业5答案：3简答：从同一地点出发，第一次迎面相遇两人的路程和是2个全长，时间是()5002406010⨯÷+=分钟．相邻两次之间迎面相遇的时间都是10分钟，半小时内会有3次迎面相遇．。

多次相遇追击问题多次相遇问题分析两人一次相遇问题基准1：甲乙二人分别从距离若干公里的a、b两地同时启程并肩而行，碰面后各自继续前进，甲又经1小时抵达b地，乙又经4小时抵达a地，甲步上全程用了几小时？【江苏a2021】a.2b.3c.4d.6┃------------------┊----------┃acb楚香凝解析：设立碰面时间为t，在ac段甲乙的时间比=t：4，所以甲乙速度比=4：t；在cb段甲乙的时间比=1：t，所以甲乙的速度比=t：1；只须4：t=t：1，Champsaurt=2；所以甲步上全程须要的时间=2+1=3小时，挑选b例2：甲、乙两位运动员分别从m、n两地均速骑车相向而行，两人相遇时，甲比乙多走了18千米，甲继续向n地前进，从相遇时到n地用了4.5小时。

乙继续向m地前进，从相遇到m地用了8小时。

问m、n两地距离多少千米？a.124b.125c.126d.127┃------------------┊----------┃mon楚香凝解析：设相遇时间为t，在mo段甲乙的时间比=t：8，所以甲乙速度比=8：t；在on段甲乙的时间比=4.5：t，所以甲乙的速度比=t：4.5；可得8：t=t：4.5，解得t=6；所以甲走mn需要的时间=6+4.5=10.5小时，乙走mn需要的时间=6+8=14小时，甲乙时间比=10.5:14=3:4，所以速度比=4:3（这里可以根据7因子直接锁定答案c）；路程比为4:3，差一份=18千米，总共走了7份=18*7=126，选c两人两次碰面问题核心公式：单岸型:s=（3s1+s2）/2双岸型：s=3s1-s2基准1：货车a由甲城驶往乙城，货车b由乙城驶往甲城，它们同时启程并以各自恒定的速度高速行驶。

在途中第一次碰面时，它们距甲城为35千米。

碰面后两车稳步以原来的速度高速行驶至目的城市后立即调头，途中再一次碰面，这时它们距乙城为25千米。

则甲乙两城距离()千米。

多次相遇追及问题及详解多次相遇、追及问题及详解行程问题：多次相遇、追及问题1、五年级行程问题：多次碰面、赴援问题------难度：中难度甲、乙两车分别从a，b两地出发，并在a，b两地间不断往返行驶。

已知甲车的速度是25千米/时，乙车的速度是15千米/时，甲、乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相差100千米。

求a，b两地的距离？【分析】：多次相遇问题，最好把全程分成分数去考虑甲乙的速度比是25：15=5：3，第一次碰面两车Jaguaribe了一个全程，其中乙行了。

第三次两车Jaguaribe了5个全程，乙行了5×=个全程，第四次碰面两车Jaguaribe了7个全程，乙行了7×=个全程，两次路程高就是个全程，所以ab两地距离200千米2、六年级行程问题：多次相遇、追及问题------难度：中难度甲、乙二人分别从apb两地同时并肩而行，乙的速度就是甲的，二人碰面后稳步前进，甲至b地，乙至a地后立即回到。

未知二人第二次碰面至地点距第一次碰面的地点就是20千米，那么，apb两地距离多少千米？【分析】：第一次碰面，甲乙的路程和就是一个全程，甲行的路程就是全程的，乙行了全程的，第二次碰面，甲乙的路程和就是3个全程，此时甲行及了×3=个全程，两次碰面的距离就是个全程，即20千米，所以ab的距离就是20÷=50千米。

3、五年级行程问题：多次相遇、追及问题------难度：高难度a、b两地间有条公路，甲从a地启程，步行至b地，乙骑摩托车从b地启程，不停地来往于a、b两地之间，他们同时启程，80分钟后两人第一次碰面，100分钟后乙第一次甩开甲，问：当甲抵达b地时，乙冲上甲几次？【分析】：在第一次碰面与第一次冲上之间，乙在100-80=20（分钟）内所跑的路程恰等同于线段fa的长度再加之线段ae的长度，即为等同于甲在（80+100）分钟内所跑的路程，因此，乙的速度就是甲的9倍（=180÷20），则bf的短为af的9倍，所以，甲从a至b，共需跑80×（1+9）=800（分钟），乙第一次甩开甲时，所用的时间为100分钟，且与甲的路程高为一个ab全程.从第一次甩开甲时已经开始，乙每次冲上甲的路程高就是两个ab全程，因此，赴援时间也变成200分钟，所以，在甲从a至b的800分钟内，乙共计4次冲上甲，即为在第100分钟，300分钟，500分钟和700分钟.4、五年级行程问题：多次相遇、追及问题-----难度：高难度快车与慢车分别从甲、乙两地同时送出，并肩而行，经过5小时碰面。

应用题板块-行程问题之多人多次相遇追及（小学奥数六年级）考试中，数量关系一直是比较难的一类题目，尤其是其中的行程问题，更是让广大考生头疼，他的特点是考察的小题型特别多，需要分类总结规律。

今天我们分享的是多人多次相遇追及问题，有一定复杂度，但只要分解成多个两人的相遇追及问题，就能找到突破口解题。

如果你对前一篇基础内容“相遇及追及”还想再巩一遍，欢迎翻看。

【一、题型要领】1. 多人多次相遇【基本概念】通常有3个或更多的人，他们的出发地可能一样，也可能不一样，他们有同向而行，也有反向而行，中间就会产生多人多次相遇或追及的情况，需根据题意画出示例图进行理解【基本公式】解决这类题目，要抓住最基本的公式，即路程= 速度* 时间当相遇时，路程和= 速度和* 相遇时间当追及时，路程差= 速度差* 追及时间【解题关键】根据题意能够画出多人相遇和追及的示意图，将复杂的多人相遇问题转化为多个简单的相遇和追及问题。

【二、重点例题】例题1【题目】有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米。

现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇。

那么，东西两村之间的距离是多少米？【分析】分析整个过程可以得到下图，蓝色部分是甲和乙相遇时三人的情形，甲和乙在A点，丙在C点。

绿色部分是甲和丙相遇时三人的情形，甲和丙在B 点。

路程AC有两个含义，一是甲和丙在6分钟内相向而行共同行走的路程，二是在甲和乙相遇时的乙和丙的路程差，通过这层转化即可计算东西两村的距离【解】AC的距离= （100 + 75）* 6 = 1050（米）甲和乙相遇时花费的时间= 1050 ÷ （80 - 75）= 210（分钟）东西两村的距离= （100 + 80）* 210 = 37800（米）【答】东西两村相距37800米例题2【题目】甲、乙、丙三人同时从A向B跑，当甲跑到B时，乙离B还有20米，丙离B还有40米；当乙跑到B时，丙离B还有24米。