人教版高中数学选修(2-1)-3.1知识归纳：空间向量及其运算

第三章 空间向量与立体几何单元小结[核心速填]1．空间向量的有关定理和推论(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb .(2)共线向量定理的推论：若OA →，OB →不共线，则P ，A ，B 三点共线的充要条件是OP →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.(3)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x ，y )，使得p ＝x a ＋y b .(4)共面向量定理的推论：已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，则P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)．(5)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．2．空间向量运算的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)． (1)a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)，a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)，λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)，a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3.(2)重要结论：a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )； a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.3．模、夹角和距离公式(1)设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则①|a |＝a ·a②cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝(2)设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则d AB ＝|AB →|4．空间向量的结论与线面位置关系的对应关系(1)设直线l 的方向向量是u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量v ＝(a 2，b 2，c 2)， 则l ∥α⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0，l ⊥α⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2(k ∈R )．(2)设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为u ，v ，则l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ，k ∈R ； l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0； l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0； l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝k u ，k ∈R ；α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝k v ，k ∈R ； α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0. 5．空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为m 1，m 2，则l 1与l 2的夹角θ满足cos θ＝|cos 〈m 1，m 2〉|.(2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|.(3)求二面角的大小：(ⅰ)如图3­1①，AB ，CD 是二面角α­l ­β的两个半平面α，β内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉．图3­1(ⅱ)如图3­1②③，n 1，n 2分别是二面角α­l ­β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉．[体系构建][题型探究]类型一、空间向量的基本概念及运算例1、如图3­2，在四棱锥S ­ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A 、B 、C 、D 的距离都等于2.给出以下结论：图3­2①SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0； ②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0； ③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0； ④SA →·SB →＝SC →·SD →； ⑤SA →·SC →＝0.其中正确结论的序号是________． 【答案】 ③④【解析】容易推出SA →－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →＝0，所以③正确；又因为底面ABCD 是边长为1的正方形，SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2，所以SA →·SB →＝2·2·cos∠ASB ，SC →·SD →＝2·2·cos ∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD →，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.[规律方法] 1.空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量．2．空间向量的数量积(1)空间向量的数量积的定义表达式a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉及其变式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a | ·|b |是两个重要公式． (2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a 2＝|a |2，a 在b 上的投影a ·b|b |＝|a |·cos θ等．[跟踪训练]1.如图3­3，已知ABCD ­A ′B ′C ′D ′是平行六面体．设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC ′B ′对角线BC ′上的34分点，设MN →＝αAB →＋βAD→＋γAA ′→，则α＋β＋γ＝________.图3­3【答案】32[连接BD ，则M 为BD 的中点，MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC ′→＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC ′→)＝12(－AD →＋AB →)＋34(AD →＋AA ′→)＝12AB →＋14AD →＋34AA ′→.∴α＝12，β＝14，γ＝34.∴α＋β＋γ＝32.]类型二、空间向量的坐标运算例2、(1)已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x ＝( )A ．(0,3，－6)B ．(0,6，－20)C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)(2)已知向量a ＝(x,1,2)，b ＝(1，y ，－2)，c ＝(3,1，z )，a ∥b ，b ⊥C ． ①求向量a ，b ，c ；②求a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值.【答案】(1)B [由b ＝12x －2a 得x ＝4a ＋2b ，又4a ＋2b ＝4(2,3，－4)＋2(－4，－3，－2)＝(0,6，－20)， 所以x ＝(0,6，－20)．](2)①∵向量a ＝(x,1,2)，b ＝(1，y ，－2)，c ＝(3,1，z )，且a ∥b ，b ⊥c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1y ＝2－23＋y －2z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，z ＝1，∴向量a ＝(－1,1,2)，b ＝(1，－1，－2)，c ＝(3,1,1)． ②∵a ＋c ＝(2,2,3)，b ＋c ＝(4,0，－1)， ∴(a ＋c )·(b ＋c )＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，|a ＋c |＝22＋22＋32＝17，|b ＋c |＝42＋02＋(－1)2＝17， ∴a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值为(a ＋c )·(b ＋c )|a ＋c ||b ＋c |＝517.[规律方法] 熟记空间向量的坐标运算公式 设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)， (1)加减运算：a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2，z 1±z 2). (2)数量积运算：a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2. (3)向量夹角：cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2x 21＋y 21＋z 21x 22＋y 22＋z 22. (4)向量长度：设M 1(x 1，y 1，z 1)，M 2(x 2，y 2，z 2)，则|M 1M 2→|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2. 提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算. [跟踪训练]2．在空间直角坐标系中，已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 一定是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】C [∵AB →＝(3,4，－8)，AC →＝(5,1，－7)，BC →＝(2，－3,1)，∴|AB →|＝32＋42＋(－8)2＝89，|AC →|＝52＋12＋(－7)2＝75，|BC →|＝22＋(－3)2＋1＝14，∴|AC →|2＋|BC →|2＝|AB →|2，∴△ABC 一定为直角三角形．]类型三、利用空间向量证明平行、垂直问题例3、 在四棱锥P ­ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AD ＝CD ＝2AB ＝2，M 为PC 的中点．(1)求证：BM ∥平面PAD ；(2)平面PAD 内是否存在一点N ，使MN ⊥平面PBD ？若存在，确定N 的位置；若不存在，说明理由．[思路探究] (1)证明向量BM →垂直于平面PAD 的一个法向量即可；(2)假设存在点N ，设出其坐标，利用MN →⊥BD →，MN →⊥PB →，列方程求其坐标即可． 【答案】以A 为原点，以AB ，AD ，AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则B (1,0,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，C (2,2,0)，M (1，1,1)，(1)证明：∵BM →＝(0,1,1)，平面PAD 的一个法向量为n ＝(1,0,0)， ∴BM →·n ＝0，即BM →⊥n ，又BM ⊄平面PAD ，∴BM ∥平面PAD ． (2)BD →＝(－1,2,0)，PB →＝(1,0，－2)， 假设平面PAD 内存在一点N ，使MN ⊥平面PBD ． 设N (0，y ，z )，则MN →＝(－1，y －1，z －1)， 从而MN ⊥BD ，MN ⊥PB ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧MN →·BD →＝0，MN →·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋2(y －1)＝0，－1－2(z －1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12，z ＝12，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，∴在平面PAD 内存在一点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，使MN ⊥平面PBD ．[规律方法]利用空间向量证明空间中的位置关系(1)线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． (2)线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直． (3)线面平行：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示．(4)线面垂直：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．(5)面面平行：①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题．(6)面面垂直：①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题．[跟踪训练]3．如图3­4，长方体ABCD­A1B1C1D1中，点M，N分别在BB1，DD1上，且AM⊥A1B，AN⊥A1D．图3­4(1)求证：A1C⊥平面AMN.(2)当AB＝2，AD＝2，A1A＝3时，问在线段AA1上是否存在一点P使得C1P∥平面AMN，若存在，试确定P的位置.【答案】(1)证明：因为CB⊥平面AA1B1B，AM⊂平面AA1B1B，所以CB⊥AM，又因为AM⊥A1B，A1B∩CB＝B，所以AM⊥平面A1BC，所以A1C⊥AM，同理可证A1C⊥AN，又AM∩AN＝A，所以A1C⊥平面AMN.(2)以C 为原点，CD 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，CC 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，因为AB ＝2，AD ＝2，A 1A ＝3，所以C (0,0,0)，A 1(2,2,3)，C 1(0,0,3)，CA 1→＝(2,2,3)， 由(1)知CA 1⊥平面AMN ，故平面AMN 的一个法向量为CA 1→＝(2,2,3)．设线段AA 1上存在一点P (2,2，t )，使得C 1P ∥平面AMN ，则C 1P →＝(2,2，t －3)， 因为C 1P ∥平面AMN ，所以C 1P →·CA 1→＝4＋4＋3t －9＝0， 解得t ＝13.所以P ⎝⎛⎭⎪⎫2，2，13， 所以线段AA 1上存在一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，13，使得C 1P ∥平面AMN .类型四、利用空间向量求空间角例4、如图3­5，在等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，CD ＝BE ＝2，O 为BC 的中点．将△ADE 沿DE 折起，得到如图(2)所示的四棱锥A ′­BCDE ，其中A ′O ＝ 3.(1) (2)图3­5(1)证明：A ′O ⊥平面BCDE ；(2)求二面角A ′­CD ­B 的平面角的余弦值．[思路探究] (1)利用勾股定理可证A ′O ⊥OD ，A ′O ⊥OE ，从而证得A ′O ⊥平面BCDE ；(2)用“三垂线”法作二面角的平面角后求解或用向量法求两个平面的法向量的夹角．【答案】(1)证明：由题意，得OC ＝3，AC ＝32，AD ＝2 2. 如图，连接OD ，OE ，在△OCD 中，由余弦定理，得OD ＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos 45°＝ 5.由翻折不变性，知A ′D ＝22，所以A ′O 2＋OD 2＝A ′D 2，所以A ′O ⊥OD ． 同理可证A ′O ⊥OE .又因为OD ∩OE ＝O ，所以A ′O ⊥平面BCDE .(2)如图，过点O 作OH ⊥CD 交CD 的延长线于点H ，连接A ′H .因为A ′O ⊥平面BCDE ，OH ⊥CD ， 所以A ′H ⊥CD ．所以∠A ′HO 为二面角A ′­CD ­B 的平面角． 结合图(1)可知，H 为AC 的中点，故OH ＝322，从而A ′H ＝OH 2＋A ′O 2＝302. 所以cos ∠A ′HO ＝OH A ′H ＝155. 所以二面角A ′­CD ­B 的平面角的余弦值为155. [规律方法] 用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解．(2)直线与平面所成的角：要求直线a 与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n 与直线a 的方向向量a 夹角的余弦cos 〈n ，a 〉，易知θ＝〈n ，a 〉－π2或者π2－〈n ，a 〉．(3)二面角：如图3­6，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n 1与n 2，则平面α与β所成的角跟法向量n 1与n 2所成的角相等或互补，所以首先应判断二面角是锐角还是钝角．图3­6[跟踪训练]4．在如图3­7所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB是圆台的一条母线．图3­7(1)已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ． (2)已知EF ＝FB ＝12AC ＝23，AB ＝BC ，求二面角F ­BC ­A 的余弦值.【答案】 (1)证明：设CF 的中点为I ，连接GI ，HI .在△CEF 中，因为点G ，I 分别是CE ，CF 的中点， 所以GI ∥EF .又EF ∥OB ，所以GI ∥OB ．在△CFB 中，因为H ，I 分别是FB ，CF 的中点， 所以HI ∥BC ．又HI ∩GI ＝I ，BC ∩OB ＝B ， 所以平面GHI ∥平面ABC ． 因为GH ⊂平面GHI ， 所以GH ∥平面ABC ．(2)连接OO ′，则OO ′⊥平面ABC ．又AB ＝BC ，且AC 是圆O 的直径， 所以BO ⊥AC ．以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意得B (0,23，0)，C (－23，0,0)． 过点F 作FM ⊥OB 于点M ， 所以FM ＝FB 2－BM 2＝3， 可得F (0，3，3)．11 故BC →＝(－23，－23，0)，BF →＝(0，－3，3)． 设m ＝(x ，y ，z )是平面BCF 的法向量．由⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝0，m ·BF →＝0可得⎩⎨⎧ －23x －23y ＝0，－3y ＋3z ＝0.可得平面BCF 的一个法向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，33.因为平面ABC 的一个法向量n ＝(0,0,1)， 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m |·|n |＝77，所以二面角F ­BC ­A 的余弦值为77.。

3.1.1空间向量的线性运算本节，是数学必修4“平面向量”在空间的推广，又是数学必修2“立体几何初步”的延续，努力使学生将运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想象能力和几何直观能力。

一、其教育价值体现在：空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角(“立体几何初步”侧重于定性研究，本章则侧重于定量研究)。

空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。

进一步体会向量方法在研究几何问题中的作用。

向量是一个重要的代数研究对象，引入向量运算，使数学的运算对象发生了一个重大跳跃：从数、字母与代数式到向量，运算也从一元到多元。

向量又是一个几何对象，本身既有方向，又有长度；是沟通代数与几何的一个桥梁，是一个重要的数学与物理模型，这些也为进一步学习向量和研究向量奠定了一定的基础。

《标准》中要求让学生经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，目的是让学生体会数学的思想方法（类比与归纳），体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的问题，并尝试如何解决这些问题。

同时在这一过程中，也让学生见识一个数学概念的推广可能带来很多更好的性质。

掌握空间向量的基本概念及其性质是基本要求，是后续学习的前提。

利用向量来解决立体几何问题是学习这部分内容的重点，要让学生体会向量的思想方法，以及如何用向量来表示点、线、面及其位置关系。

新老课程相比，该部分减少了大量的综合证明的内容，重在对于图形的把握，发展空间概念，运用向量方法解决计算问题，这样的调整，将使得学生把精力更多地放在理解数学的细想方法和本质方面，更加注意数学与现实世界的联系和应用，重在发展学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识，提高学生自觉运用数学分析问题、解决问题的能力，为学生日后的进一步学习，或工作、生活中应用数学，打下更好的基础。

二、教学中应注意的问题1.作为空间向量的第一课时，应该让学生体会到生活中很多问题用到空间向量，比如课本开始举的李明从学校到住处的位移，求这个位移就用到了我们空间向量，而且三次位移不在同一个平面上，从而进入课题。

空间向量及其线性运算
．空间向量的概念及表示
()与平面向量一样，我们把空间中具有和的量叫做空间向量，向量的叫做向量的长度或模．
()与平面向量一样，空间向量也用表示．起点是，终点是的向量也可以记作.其模记作.
()的向量叫做零向量，记为；模为的向量叫做单位向量．
()的向量称为相等向量．与向量
的向量称为的相反向量，记为.
．空间向量的线性运算
空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样．
()加法满足平行四边形法则，加法和减法满足三角形法则，加法的交换律、结合律都成立．
()实数λ与向量的乘积λ是一个向量，λ时，λ与方向相同，λ时，λ与方向相反，λ时，λ＝，其方向是任意的，λ＝.
设λ、μ是实数，则有
①分配律：λ(＋)＝
②结合律：λ(μ)＝.。

高中新课标数学选修（2-1）空间向量及其运算教材解读山东 尹承利一、空间向量及其运算 1.空间向量及其加减与数乘运算（1）空间向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.零向量、单位向量、相反向量、相等向量、共线（平行）向量、方向向量等概念与平面向量的概念基本相同.（2）空间向量的加减与数乘运算①空间向量的加法、减法与数乘运算与平面向量的运算基本相同；②首尾相接的若干个向量之和，等于由起始向量的起始点指向末尾向量的终点的向量.如A B B C C D A D++=，A BB C C D D A +++=0等．2．共线向量的充要条件（1）共线向量的充要条件：对空间任意两个向量()≠0，，a b b a b的充要条件是存在实数λ，使abλ=．（2）空间直线的向量表过式：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使O P O A t =+a． ①在l 上取A B=a，则①式可化为O PO A t A B=+． ②①和②都称为空间直线的向量表示式，由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．（3）利用向量之间的关系可以判断空间任意三点共线．其依据是：空间三点P A B ，，共线()P B t P A O P O A t A B t ⇔=⇔=+∈R ．3．共面向量的充要条件（1）共面向理：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 注：空间任意两个向量总是共面的．（2）共面向量的充要条件：如果两个向量，a b 不共线，那么向量p与向量a b ，共面的充要条件是存在惟一的有序实数对()，x y ，使p x =a y +b．（3）空间平面A B C 的向量表示式：空间一点P 位于平面A B C 内的充要条件是存在有序实数对x y ，，使A Px A B y A C=+；或对空间任意一点O ，有O PO A x A B y A C=++． ③③式称为平面A B C 的向量表示式．由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量惟一确定．（4）利用向量判断四点共面．其依据是：对于空间任一点O 和不共线的三点A B C ，，，满足向量关系式O Px O A y O B z O C=++，且当且仅当1x y z ++=时，四点P A B C ，，，共面．（即课本第95页思考2） 4．空间向量的数量积运算（1）空间两个向量的夹角：已知两个非零向量，a b 在空间任取一点O ，作O A =a，O B=b，则A O B ∠叫做向量，a b 的夹角，记作，a b．如果，a bπ2=，那么向量，a b 互相垂直，记作ab⊥．注：0πa b ，≤≤．（2）向量的数量积：两个非零向量，a b 的数量积c o s a b a b a b=，，．（3）数量积的性质：①零向量与任何向量的数量积为0，即aa =00··0=；②a aaa==22·，即a =；③c o s a b a b a b=，·；④ab a b ⊥⇔·0=．（4）数量积的运算律： ①()()a ba b λλ=··；②a bb a=··（交换律）；③()a bc a b a c+=+···（分配律）．注：向量的数量积不满足结合律，即对于三个均不为零向量的向量()()a b c a b c a b c ≠，，，··．（5）利用空间两个非零向量的数量积为零，可以推证空间线、面的垂直关系．如证明三垂线定理及逆定理（课本第98页例2）、直线和平面垂直的判定定理（例3）等．二、空间向量的坐标表示 1．空间向量基本定理（1）定理：如果三个向量a b c ，，不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{}，，x y z ，使得p x =+a y b z +c，共中{}，，a b c 叫做空间的一个基底，a b c ，，都叫做基向量．注：①空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基成； ②空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来．（2）单位正交基底：如果123e e e ，，是有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量，则称{}123，，e e e 为空间的单位正交基底．2．空间向量运算的坐标表示设a123()=，，a a a ，b123()=，，b b b ，则（1）空间向量的直角坐标运算a b +=112233()+++，，a b a b a b ，ab -=112233()a b a b a b ---，，；λ=a 123()λλλ，，a a a ；a b=·112233++a b a b a b ．（2）两个向量平行、垂直的充要条件的坐标表示 ①λ⇔=∥a b a b 112233()a b a b a b λλλλ⇔===∈R ，，；②ab ⊥1122330⇔++=a b a b a b 。

3.1 空间向量及其运算知识点1． 空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)单位向量：模为 1 的向量称为单位向量 (3)相等向量：方向相同且模相等的向量．(4)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量． (5)共面向量：平行于同一个平面的向量． 2.空间向量的加法、减法与数乘运算向量的加减法满足平行四边形法则和三角形法则向量加法的多边形法则：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量uuur uuur uuuur uuuur uuuuur OA n ＝OA 1＋A 1 A 2＋ A 2 A 3＋ ＋A n －1 A .n运算律：①加法交换律： a ＋ b ＝ b ＋ a ②加法结合律： (a ＋ b)＋ c ＝ a ＋ (b ＋c) ③数乘分配律： λ(a ＋ b)＝ λa＋ λb.3．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理对空间任意两个向量 a ， b(b ≠ 0)， a ∥b 的充要条件是存在实数 λ，使得 a ＝ λb .推论： 点 P 在直线 AB 上的充要条件 是：uuuruuur存在实数 λ，使得 APAB ①uuuruuur uur或对空间任意一点O,有 OP OAAB ②uuur uur uuur或对空间任意一点O ，有 OPxOA yOB 其中 x ＋ y ＝ 1 ③uuur uur uuur uur uuur uuur uuruuur 【推论③推导过程：OP OA AB OA (AO OB) (1)OAOB 】(2)共面向量定理如果两个向量 a ，b 不共线，那么 p 与 a ，b 共面的充要条件是存在唯一有序实数对 （x,y ）使 p ＝ xa ＋ yb推论： 空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件 是uuur uuur uuur存在唯一有序实数对 （x,y ）使 AP xAB yAC ，uuur uur uuur uuur或对空间任意一点 O ，有 OP OA xAB yACuuur uur uuur uuur或对空间任意一点 O ，有 OP xOA yOB zOC ，其中 x ＋ y ＋ z ＝ 1【推论③推导过程：(3)空间向量基本定理uuur uur uuur uuur uur uuuruuur OP OA xAByAC (1 x y)OA xOByOC 】如果三个向量 a ， b ， c 不共面，那么对空间任一向量 p ，存在有序实数组 { x ， y ，z} ，使得 p ＝ xa ＋ yb ＋ zc 基底：把 { a ， b ， c} 叫做空间的一个基底，空间任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．4． 空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念→ →①两向量的夹角： 已知两个非零向量 a ，b ，在空间任取一点O ，作 OA ＝ a ，OB ＝ b ，则∠ AOB 叫做向量 a 与 b 的夹π角，记作〈 a ，b 〉，其范围是 0≤〈 a ， b 〉≤ π，若〈 a ， b 〉＝ 2，则称 a 与 b 互相垂直，记作 a ⊥b. ②两向量的数量积： 已知空间两个非零向量 a ，b ，向量 a ， b 的数量积记作 a ·b ，且 a ·b ＝ |a||b|cos 〈 a ， b 〉．(2)空间向量数量积的运算律：①结合律： (λa) ·b ＝ λ(a ·b)； ②交换律： a ·b ＝ b ·a ； ③分配律： a ·(b ＋ c)＝ a ·b ＋ a ·c.5． 空间向量的坐标表示及应用设 a ＝ (a 1，a 2，a 3) ，b ＝ (b 1， b 2， b 3)(1)数量积的坐标运算： a ·b ＝a 1 b 1＋ a 2b 2＋ a 3 b 3. (2)共线与垂直的坐标表示：(3)模、夹角和距离公式：|a|＝ a ·a ＝ 222a 1＋ a 2＋ a 3，a ·b ＝ a 1b 1＋ a 2b 2 ＋a 3b 3 cos 〈 a ，b 〉＝ |a||b| 2 2 22 2 2 .1 2 3 1 2 3→设 A(a 1， b 1， c 1)， B(a 2， b 2， c 2)，则 d AB ＝ |AB|＝6. 用空间向量解决几何问题的一般步骤：(1) 适当的选取基底 { a ， b ， c} ；(2) 用 a ， b ， c 表示相关向量；(3) 通过运算完成证明或计算问题．)．a 2－ a 1 2＋b 2 －b 1 2＋c 2－ c 1 2 .题型一 空间向量的线性运算用已知向量来表示未知向量，应结合图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，表示为其他向量的和与差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系．例 1：三棱锥 O — ABC 中， M ， N 分别是 OA ， BC 的中点， G 是△ ABC 的重心，用基向量 → → →→OA ， OB ， OC 表示 MG ，→ .OG1 →2 → 1 → 2 → →1 →2 1 → →→1 → 1 → 1 → →→ →解析： MG ＝MA ＋ AG ＝OA ＋AN ＝ OA ＋ (ON － OA)＝ OA ＋3 [ (OB ＋ OC)－ OA] ＝－6OA ＋OB ＋ OC.23 2 322 33→→→→→ →→→→ →OG ＝OM ＋ MG ＝1OA －1OA ＋1OB ＋ 1OC ＝1OA ＋1OB ＋1OC.2633 333 uuur uuur uuur uuur→ 1 → →→, 例 2：如图所示， ABCD － A 1B 1C 1D 1 中，ABCD 是平行四边形． 若 AE ＝ EC ，A 1F ＝ 2FD ，且 EF =x AB+y AD+z AA2 1 试求 x 、 y 、 z 的值．.解→ → →→ 1 → 1→ →连接 AF ，EF ＝EA ＋AF .∵ EA ＝－3 AC ＝－（ AB ＋ AD ）3→→ → → → → 1 →→ 1 →→2 uuur 1uuur→ → → 1 uuur 1 uuur 1 uuurAF ＝ AD ＋ DF ＝ AD －FD ＝ AD －1 ＝ AD － （ A 1＋ AD ）＝3 AD3A 1A∴ EF ＝ EA ＋ AF ＝3 AD3AA13 AB3A D3A题型二共线定理应用向量共线问题： 充分利用空间向量运算法则，用空间中的向量表示 a 与 b ，化简得出 a ＝b ，从而得出 a ∥ b ，即a 与b 共线．→ →点共线问题 ：证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明A 、B 、C 三点共线，即证明AB 与 AC 共线．a ⊥b? a ·b ＝0? a 1b 1＋ a 2b 2＋ a 3b 3＝ 0(a ， b 均为非零向量a ∥b? a ＝ λb? a 1＝ λb 1，a 2 ＝λb 2， a 3＝ λb 3(λ∈ R)，→→例 3：如图所示，四边形 ABCD ， ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是 AC ， BF 的中点，判断 CE 与 MN是否共线？uur uur uur CE CB BE∵uuur uuur uuruuur1 uuur uur 1 uur uur1 uuur uur uur 1 uur1 uur1 uurMNMCCBBNAC CB2( BA BE)2( AC BA) CBBECBBE2222→ → → → → →∴ CE ＝ 2MN ，∴ CE ∥MN ，即 CE 与MN 共线．→→→例 4：如图所示，在正方体ABCD － A 1 B 1C 1D 1 中， E 在 A 1D 1 上，且 A 1E ＝ 2ED 1， F 在对角线 A 1C 上，且 A 1F ＝ 2F C .3求证： E ， F ， B 三点共线．→→→证明： 设 AB ＝ a ， AD ＝ b ， AA 1＝ c.→→ → ＝ 2 →→→→ → → → →∴ A 1 ＝ 2ED 1=2 1 ＝2 FC ＝ 212 (AC －AA 1 2 (AB ＋ AD － AA 1 2 2 2 c35 3 3 5 55 5 5 → → → 2 4 2 2 2 → → → → 2 2 ＝ A 1 － A 1 ＝ ＝EA 1＋ A 1 ＋ AB ＝－∴ E F 5a － 15b －5c ＝ 5a － b － c3b －c ＋ a ＝ a －3b － c ， F E 3 ， EBA →→2∴ EF ＝ 5EB.所以 E ， F ， B 三点共线．题型三共面定理应用→→点共面问题 ：证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明→ → → → → → →P 、A 、B 、 C 四点共面，只要能证明 → → PA ＝ xPB＋ yPC ，或对空间任一点 O ，有 OP ＝OA ＋ xPB ＋ yPC 或 OP ＝ xOA ＋ yOB ＋ zOC(x ＋y ＋ z ＝ 1)即可→2→→→例 5：已知 A 、 B 、C 三点不共线，对于平面 ABC 外一点 O ，若 OP ＝125OA ＋ OB ＋ OC ，则点 P 是否与 A 、 B 、C55一定共面？试说明理由．1 uur2 uuuruuur uur 1uuur 2 uur1 uur2 uuuruuur 2 uur2 uuur uur 2 uuur uuur 解析： ∵ OPOAOBOC5 (OP+PA)(OP+PB)3(OP+ PC)=OP+ PA+PB+PC5 5 3 55 5 3→→→12∴ AP ＝ 5AB ＋ 5AC ，故 A 、 B 、C 、 P 四点共面 .例 6：如图所示，已知P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，连结PA 、PB 、PC 、PD ，点 E 、F 、 G 、H 分别为△ PAB 、△ PBC 、△ PCD 、△ PDA 的重心，应用向量共面定理证明：E 、F 、G 、H 四点共面．证明：分别延长 PE 、 PF 、 PG 、 PH 交对边于 M 、 N 、 Q 、 R.∵ E 、 F 、 G 、H 分别是所在三角形的重心，∴ M 、 N 、 Q 、 R 为所在边的中点→ → →→ →→ →→顺次连结 M 、 N 、 Q 、 R ，所得四边形为平行四边形，且有222 2PE ＝ PM， PF ＝ PN，PG ＝ PQ ， PH ＝ PR.333 3→ → → 2 →2 → 2 →2 → → 2 → → 2 → → 23 → 3 → 2 3 → 3 → ∴ EG ＝PG － PE ＝ PQ －PM ＝ MQ ＝ ( MN ＋ MR)＝ (PN － PM)＋ (PR － PM)＝( PF － PE)＋ ( PH － 2 PE)3333333 223 2→ →＝ EF ＋ EH . ∴由共面向量定理得E 、F 、G 、H 四点共面 .→ → →例 7：正方体 ABCD － A 1 B 1C 1 D 1 中， E ， F 分别是 BB 1 和 A 1D 1 的中点，求证向量 A 1B ， B 1C ， EF 是共面向量．→→→→ → → → →→→ → →＝1 － A ＋ 1 ＝ 1 ＋BC ＝ 1－ A 证明： 如图所示， EF ＝ EB ＋ BA ＋ A(B 1B )－A 1B 1B.2 222→ → →由向量共面的充要条件知A 1B ，B 1C ， EF 是共面向量．题型四 空间向量数量积的应用例 8：①如图所示，平行六面体ABCD — A 1B 1C 1D 1 中，以顶点 A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为 60°.(1) 求 AC 1 的长；(2) 求 BD 1 与 AC 夹角的余弦值．解析： → → →(1)记 AB ＝ a ，AD ＝ b ，AA 1＝ c ，则 |a|＝ |b|＝ |c|＝ 1，〈 a ，b 〉＝〈 b ，c 〉＝〈 c ， a 〉＝ 60°， ∴ a ·b ＝ b ·c ＝ c ·a ＝ 1.2→2(a ·b ＋ b ·c ＋ c ·a)＝ 1＋ 1＋ 1＋ 2×1 1 1→|＝ 6，|AC 1|2＝ ( a ＋ b ＋ c)2＝ a 2＋ b 2＋ c 2＋2 ＋ ＋2＝ 6， ∴ |AC 12即 AC 1 的长为 6. → → → (2)BD 1＝ b ＋ c － a ， AC ＝ a ＋ b ，∴ |BD 1|＝→ → → → 6 BD ·AC∴ cos 〈BD 1，AC 〉＝ 1＝ 6 .∴ AC → → |BD 1||AC|→ → →2， |AC|＝ 3， BD 1·AC ＝ (b ＋ c － a) ·(a ＋ b)＝ b 2－ a 2＋ a ·＋cb ·＝c 1. 6 与 BD 1 夹角的余弦值为6 .→ →②已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F分别是BC 、AD的中点，则AE ·AF 的值为()2A ．a B.1a 22C.1a 24D.3a 24→→ →解析： 设 AB ＝ a ， AC ＝ b ，AD ＝ c ，则 |a|＝ |b|＝ |c|＝ a ，且 a ， b ， c 三向量两两夹角为 60°.→→ → →1 1 1 1 1 1 1AE ＝(a ＋ b)， AF ＝ c ，∴ AE ·AF ＝(a ＋ b) ·c ＝ (a ·c ＋ b ·c)＝ (a 2cos60°＋ a 2cos60 °)＝ a 2.22 2 2 4 4 4题型五 空间向量坐标运算例 9：如图所示， PD 垂直于正方形→ →3 ABCD 所在平面， AB ＝ 2， E 为 PB 的中点， cos 〈 DP ， AE 〉＝，若以 DA ，3DC ， DP 所在直线分别为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系，则点 E 的坐标为 ()A ． (1,1,1) B. 1， 1， 1 C. 1， 1， 3D ． (1,1,2)2 2设 PD ＝ a (a>0) ，则 A(2,0,0) ， B(2,2,0) ，P(0,0， a)， E 1， 1，a2 ，→ → a → →3， ∴ a 2 2＋ a 2 3， ∴ a ＝ 2.∴ E 的坐标为 (1,1,1) ．∴ DP ＝ (0,0， a)， AE ＝ － 1， 1，2 ， cos 〈DP ， AE 〉＝3＝ a 4 ·23例 10：已知 a ＝ (2，－ 1,3)， b ＝(－ 1,4，－ 2)，c ＝ (7,5， λ)．若 a ， b ， c 三向量共面，则实数 λ=________________33 t ＝ 7，7＝ 2t － μ，17，解析：由题意得 c ＝ ta ＋ μb ＝(2t － μ，－ t ＋ 4μ， 3t － 2μ)，∴ 5＝－ t ＋4μ，∴ μ＝7λ＝3t －2μ. 65λ＝ 7.例 11：已知△ ABC 的顶点 A(1,1,1) ， B(2,2,2) ， C(3,2,4) ，试求△ ABC 的面积→→→→→ →AB ＝(1,1,1) ， AC ＝ (2,1,3) ， |AB|＝ 3， |AC|＝ 14， AB ·AC ＝ 2＋1＋ 3＝ 6，→ → 6 6 36＝ 1∴ cosA ＝ cos 〈 AB ， AC 〉＝ ＝ .∴ sinA ＝ 1－ .3· 14 42 427→ → 1 1 61 ＝ × 3× 14× ＝∴ S △ABC ＝ |AB| |AC ·| sinA · 27.2 2例 12：已知 a ＝ (λ＋ 1,0,2)， b ＝(6,2μ－ 1,2λ)，若 a ∥ b ，则 λ与 μ的值可以是 ()A ． 2，1B ．－ 1，1C ．－ 3,2D ． 2,223 2λ＋ 1＝ 2 ，λ＝ 2，λ＝－ 3，解析 由题意知：62λ解得1或 12μ－ 1＝ 0，μ＝2μ＝2.例 13：已知空间中三点→ →A(－ 2,0,2) ， B(－ 1,1,2) ， C(－3,0,4) ，设 a ＝ AB ， b ＝ AC.，若 ka ＋ b 与 ka － 2b 互相垂直，求实数 k 的值．方法一 ∵ ka ＋b ＝ (k － 1，k,2) ．ka － 2b ＝ (k ＋2， k ，－ 4)，且 ka ＋ b 与 ka － 2b 互相垂直，∴ (k － 1， k,2) ·(k ＋ 2， k ，－ 4)＝ (k － 1)(k ＋ 2)＋ k 2－ 8＝ 0， ∴ k ＝2 或－ 5， 2方法二由 (2) 知 |a|＝ 2，|b|＝ 5，a ·b ＝－ 1，∴( ka ＋b) ·(ka － 2b)＝ k 2a 2－ ka ·b － 2b 2＝ 2k25 ＋ k － 10＝ 0，得 k ＝2 或－ .2例 14：已知空间三点 A (0,2,3)， B (－ 2,1,6)，C(1，－ 1,5)．→ →(1)求以 AB ， AC 为边的平行四边形的面积；(2)若 |a|＝ → →3，且 a 分别与 AB ， AC 垂直，求向量 a 的坐标．→ → － 2＋ 3＋67 1 → →3→ →AB ·AC解 (1)cos 〈 AB ， AC 〉＝ → →＝14× 14 ＝ 14＝2.∴ sin 〈AB ， AC 〉＝2，|AB||AC|→ →1 → → → → 3 3.∴ 以 AB ， AC 为边的平行四边形的面积为S ＝ 2× |AB | |AC ·| ·sin 〈 AB ， AC 〉＝ 14×＝ 7 22x 2＋ y 2＋z 2＝ 3x ＝1 x ＝－ 1（ 2）设 a ＝ (x ， y ，z)，由题意得 － 2x － y ＋ 3z ＝0 ，解得y ＝ 1 或 y ＝－ 1 ，x － 3y ＋ 2z ＝ 0z ＝ 1z ＝－ 12 1例 15：如图所示， 在正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1 中，E 、F 分别在 A 1D 、AC 上，且 A 1E ＝ A 1D ，AF ＝ AC ，则 ()3 3A ． EF 至多与 A 1D 、 AC 之一垂直B ． EF 与 A 1D 、 AC 都垂直 C ．EF 与 BD 1 相交D ． EF 与 BD 1 异面解析： 设 AB ＝1，以 D 为原点， DA 所在直线为 x 轴， DC 所在直线为 y 轴， DD 1 所在直线为z 轴建立空间直角坐标11 2 1 →系，则 A 1(1,0,1) ，D (0,0,0) ，A(1,0,0) ，C(0,1,0) ，E 3， 0，3 ，F3，3， 0 ， B(1,1,0) ，D 1 (0,0,1) ，A 1D ＝(－ 1,0，－ 1)，→ → 1 11 → →1 → → → → →AC ＝ (－ 1,1,0)，EF ＝ 3， 3，－3，BD 1＝(－1，－1，1)，EF＝－3BD 1，A 1D ·EF ＝AC ·EF ＝0，从而EF∥BD 1，EF⊥ A 1D，EF ⊥ AC.→ →例 16：已知 O(0,0,0)， A (1,2,3) ， B(2,1,2) ， P(1,1,2)，点 Q 在直线 OP 上运动，当 QA ·QB 取最小值时，点 Q 的坐标是 __________．→ → → →解析： 设 OQ ＝λOP ＝ (λ， λ， 2λ)，则 QA ＝ (1－ λ，2－ λ， 3－ 2λ)， QB ＝ (2－ λ， 1－ λ，2－ 2λ)．→ →42∴ QA ·QB ＝ (1－ λ)(2－ λ)＋ (2－ λ)(1 － λ)＋ (3－2λ)(2－ 2λ)＝ 6λ2－ 16λ＋ 10＝6( λ－ 3)2－ 3.→ → →4 4 8 4 2∴当 λ＝3时， QA ·QB 取最小值为－ 3.此时， OQ ＝ ( 3， 3，3)，综合练习一、选择题1、下列命题：其中不正确 的所有命题的序号为 __________．．．．①若 A 、 B 、 C 、D 是空间任意四点，则有 → → → → ＝ 0； ② |a|－ |b|＝ |a ＋ b|是 a 、 b 共线的充要条件；AB ＋ BC ＋ CD ＋ DA ③若 a 、 b 共线，则 a 与 b 所在直线平行；④对空间任意一点 → → → →O 与不共线的三点 A 、 B 、 C ，若 OP ＝ xOA ＋ yOB ＋ zOC (x 、 y 、z ∈ R )，则 P 、 A 、 B 、C 四点共 面． ⑤设命题 p ： a ， b ， c 是三个非零向量；命题q ： { a ， b ， c} 为空间的一个基底，则命题 p 是命题 q 的充要条件解析：选②③④⑤，①中四点恰好围成一封闭图形，正确；②中当a 、b 同向时，应有 | a | ＋ | | ＝| ＋ | ；③中 a 、ba bb 所在直线可能重合；④中需满足x ＋ y ＋ z ＝ 1，才有 P 、 A 、B 、 C 四点共面；⑤只有不共面的三个非零向量才能作为空间的一个基底，应改为必要不充分条件2、有下列命题：其中真命题的个数是 ( ) ①若 p ＝ xa ＋ yb ，则 p 与 a ， b 共面； ②若 p 与 a ，b 共面，则 p ＝ xa ＋yb ；→ → →→ → → ③若 MP ＝ xMA ＋ yMB ，则 P ， M ， A 、 B 共面； ④若 P ， M ， A ， B 共面，则 MP ＝ xMA ＋ yMB. A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ．4 解析 其中 ①③ 为真命题． ② 中，若 a ， b 共线，则 p ≠xa ＋ yb ；→ → → 3、已知 A(1,0,0)， B(0，－ 1,1)，OA ＋ λOB 与 OB 的夹角为 120°，则 λ的值为 ()6 6 6A ． ±6 B. 6 C ．－ 6 D ． ± 6→ → λ＋ λ 1 666 解析： OA ＋ λOB ＝ (1，－ λ，λ)，cos120°＝ ，得 λ＝ ±不合题意， 舍去， ∴ λ＝－＝－ 2 6.经检验 λ＝66 .1＋ 22λ· 24、 如图所示，已知 PA ⊥平面 ABC ，∠ ABC ＝ 120 °，PA ＝ AB ＝ BC ＝6，则 PC 等于( )A ．6 2B ． 6C ．12D ． 144→ 2→ → → 2→ 2 → 2 → 2→ →→解析 PC ＝ (PA ＋ AB ＋ BC) =PA ＋ AB ＋ BC ＋ 2AB ·BC ＝36＋ 36 ＋36＋ 2× 36cos 60 °＝ 144∴ |PC |＝ 12→→ →→ → → → 3 → 1 311c ， 证明 设 AB ＝ a ，AC ＝b ， AD ＝ c ，则 BG ＝ BA ＋ AG ＝ BA ＋ AM ＝－ a ＋ (a ＋ b ＋ c)＝－4 a ＋ b ＋ → → → → 1 → →11 4 → 444 4→ →，即 B 、G 、N 三点共线．BN ＝ BA ＋ AN ＝ BA ＋ (AC ＋ AD )＝－ a ＋b ＋c ＝ BG.∴ BN ∥BG33335、正方体 ABCD — A 1B 1C→ 1 →→1D 1 的棱长为 a ，点 M 在 AC 1 上且 AM ＝ MC 1， N 为 B 1B 的中点，则 |MN |为 ()2A.21 6 aB.6 6 aC.15 6 aD.15 3a解析以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则 A(a,0,0)，C 1a ， a ，a2.(0，a ，a)，N设 M(x ， y ， z)． ∵ 点 M 在 AC 1 → 1 →1上且 AM ＝MC 1， ∴ (x －a ， y ， z)＝ (－ x ， a － y ， a － z)222 a a 2a a a， ∴→2 a2＋a － a 2＝ 21∴ x ＝ a ，y ＝ ， z ＝ .∴M， ， 3|MN |＝a － a 2＋ a －3 2 3 a.3333336π→→6、如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝ OC ，且∠ AOB ＝∠ AOC ＝ 3，则 cos 〈 OA ， BC 〉的值为 ()1 32A ． 0B. 2C. 2D. 2解析→ → →π设 OA ＝ a ，OB ＝ b ， OC ＝ c ，由已知条件〈a ，b 〉＝〈 a ，c 〉＝ ，且 |b|＝ |c|，1 13→ →→ →OA ·BC ＝ a ·(c － b)＝a ·c － a ·b ＝ |a||c|－ |a||b|＝ 0，∴ cos 〈 OA ， BC 〉＝ 0.227、如图所示，在平行六面体ABCD — A 1B 1C 1D 1 中， M 为 A 1C 1 与 B 1D 1→ → →的交点．若 AB ＝a ， AD ＝ b ， AA 1＝ c ，则下列→)向量中与 BM 相等的向量是 (．1 1 1 11 1 1 1A － 2a ＋ 2b ＋ c B. 2a ＋2b ＋ c C ．－ 2a － 2b ＋c D. 2a － 2b ＋ c解析 →→→→ 1 → →1 (b － a)＝－ 1 a ＋ 1 b ＋c. BM ＝ BB 1＋ B 1M ＝ AA 1＋ (AD － AB)＝ c ＋2 22 28、平行六面体 → → → 60°，且 →→ → ABCD － A 1B 1 C 1D 1 中，向量 AB ，AD ，AA 1两两的夹角均为 |AB|＝ 1，|AD|＝ 2，|AA 1|＝3，则 → )[|AC 1|等于 ( A ．5 B ． 6 C ．4 D ． 8 → → → → → →设 AB ＝ a ， AD ＝ b ， AA 1＝ c ，则 AC 1＝ a ＋ b ＋ c ， AC 12＝ a 2＋ b 2＋ c 2＋ 2a ·＋b 2b ·＋c 2c ·＝a 25， |AC 1|＝ 5.9、在下列条件中，使 M 与 A 、 B 、 C 一定共面的是 ( )→→→ → →→ → →→ → →→→ →→A. OM ＝ 3OA － 2OB － OC B ．OM ＋OA ＋ OB ＋ OC ＝ 0C ． MA ＋ MB ＋ MC ＝ 0D ．OM ＝1OB － OA ＋1OC42→ → →解析：C 中 MA ＝－ MB － MC .故 M 、 A 、 B 、C 四点共面．二、填空题10、同时垂直于 a ＝ (2,2,1) 和 b ＝ (4,5,3) 的单位向量是 ____________________ ．解析 设与 a ＝(2,2,1) 和 b ＝(4,5,3) 同时垂直 b 单位向量是 c ＝ (p ， q ，r )，则11p 2＋ q 2＋ r 2＝ 1，p ＝3，p ＝－ 3，2，2，1，－ 2， 2或 － 1， 2，－ 22p ＋ 2q ＋ r ＝ 0， 解得或所求向量为q ＝－ 3q ＝ 33 3 3 3 3 3 .4p ＋ 5q ＋ 3r ＝0，2，2，r ＝ 3r ＝－ 311． 若向量 a ＝ (1，λ， 2)， b ＝ (2，－ 1,2)且 a 与 b 的夹角的余弦值为 8，则 λ＝ ________.9解析 由已知得 8 a ·b ＝ 2－ λ＋ 4 ， ∴ 8 2－λ)，解得 λ＝－ 2 或 λ＝ 2 .＝5＋ λ＝3(655212． 在空间直角坐标系中，以点 A(4,1,9)、 B(10，－ 1,6)、C(x,4,3)为顶点的△ ABC 是以 BC 为斜边的等腰直角三角形，则实数 x 的值为 ________．解析 由题意知 → → → →AB ·AC ＝ 0， |AB|＝ |AC|，可解得 x ＝ 2.13． 已知 a ＋3b 与 7a －5b 垂直，且 a － 4b 与 7a －2b 垂直，则〈 a ， b 〉＝ ________.解析 由条件知 (a ＋ 3b) ·(7a － 5b)＝ 7|a|2＋ 16a ·b － 15|b|2＝ 0，及 (a －4b) ·(7a －2b)＝ 7|a|2＋ 8|b|2－ 30a ·b ＝0.1两式相减，得 46a ·b ＝ 23|b|2，∴ a ·b ＝ |b|2.21代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a|＝ |b|.∴ cos 〈 a ， b 〉＝ a ·b2|b|21＝ 2 ＝.∴ 〈a ， b 〉＝ 60°.|a||b| |b| 2π， 2， ⊥ ， ⊥ ， 在平面 内， 在 上， 14. 如图所示，已知二面角 α— l — β的平面角为 0AB BC BC CD AB BC l θ θ βCD 在平面 α内，若 AB ＝ BC ＝ CD ＝ 1，则 AD 的长为 ________．→→ → →2=→→→→ →→ →→ →π－ θ＝) 3－ 2cos θ.解析 :AD 2＝ (AB ＋ BC ＋CD ) AB 2＋ BC 2＋ CD 2＋ 2AB ·CD ＋ 2AB ·BC ＋ 2BC ·CD ＝ 1＋ 1＋ 1＋2cos(15． 已知 a ＝(1－ t,1－ t ， t)， b ＝(2， t ，t)，则 |b － a|的最小值为 ________．19 1 3 5解析 b －a ＝ (1＋ t,2t － 1,0)，∴ |b －a|＝1＋ t 2＋ 2t － 1 2＝5 t －5 2＋ 5 ，∴当 t ＝ 5 时，|b －a|取得最小值 5.三、解答题16、如图所示，在各个面都是平行四边形的四棱柱ABCD — A 1B 1C 1D 1 中， P 是 CA 1 的中点， M 是 CD 1 的中点， N 是→ → →C 1D 1 的中点，点 Q 在 CA 1 上，且 CQ ∶QA 1＝ 4∶ 1，设 AB ＝ a ， AD ＝ b ，AA 1＝ c ，用基底 { a ， b ， c} 表示以下向量：→ → → → (1)AP ； (2) AM ； (3)AN ； (4) AQ.→ 1 → →1 → →→1(a ＋ b ＋ c)．(1) AP ＝ (AC ＋ AA1)＝ (AB ＋AD ＋ AA1)＝ 222→＝1→→1→→→1(2) AM＋ AD＋ 2AD＋AA222→ 1 →→1→ →→→ → 1 →→→11a＋ b＋ c.(3) AN＝(AC1＋ AD1)＝[( AB＋ AD ＋AA1)＋(AD＋AA1)]＝(AB＋2AD＋2AA1)＝(a＋ 2b＋2c)＝22222→ → → → 4 →→1 → 4 → 1 → 1 → 4 → 114(4) AQ＝ AC＋CQ＝ AC＋(AA1－AC)＝ AC ＋ AA 1＝AB＋AD ＋ AA1＝a＋ b＋ c55555555517、如图，已知M、 N 分别为四面体ABCD 的面 BCD 与面 ACD 的重心，且G 为 AM 上一点，且GM ∶GA＝ 1∶ 3.求证： B、 G、 N 三点共线．18． (13 分 )直三棱柱ABC—A′ B′ C′中，AC＝ BC＝ AA′，∠ ACB＝ 90°，D 、E 分别为 AB 、BB′的中点．(1)求证： CE⊥ A′D ；(2)求异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值．→→→(1)证明：设 CA＝ a，CB＝b，CC′＝c，根据题意， |a|＝ |b|＝ |c|且 a·b＝b·c→1→11→→11→ →，即∴ CE＝ b＋ c， A′ D＝－ c＋b－a.∴CE· A′ D＝－c2＋b2＝ 0，∴ CE⊥A′D22222＝c·a＝ 0. CE⊥A′D.→→→5→→112＝12，(2) AC′＝－ a＋ c，∴ |AC′|＝2|a|， |CE|＝|a |.AC′· CE＝ (－ a＋ c) ·c2 12222→→2|a|＝1010∴ cos〈 AC′，CE〉＝510.即异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值为10.2·2 |a|2。

人教版高中数学选修2-1知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习《空间向量与立体几何》全章复习与巩固【学习目标】1.了解空间向量的概念，空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解、线性运算、数量积及其坐标表示；2.运用向量的数量积判断向量的共线与垂直，理解直线的方向向量与平面的法向量；3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理及问题；4.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题及一些简单的距离问题.【知识网络】要点梳理】要点一：空间向量的有关概念空间向量：空间中，既有大小又有方向的量；空间向量的表示：一种是用有向线段AB表示，A叫作起点，B 叫作终点；一种是用小写字母a （印刷体）表示，也可以用 a （而手写体）表示．向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作a，b ，规定 0 a， b ．如图：| AB |或|a |．向量的夹角：过空间任意一点 O 作向量a,b 的相等向量OA 和 OB ，则 AOB 叫作向量a, b的夹角，记作零向量：长度为0 或者说起点和终点重合的向量，记为0．规定：0 与任意向量平行．单位向量：长度为1 的空间向量，即| a | 1．相等向量：方向相同且模相等的向量．相反向量：方向相反但模相等的向量．共线向量（平行向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合．a 平行于b 记作a // b ，此时．a，b =0 或a ，b = ．共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．要点诠释：（ 1）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关．只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移；（2）当我们说向量a、b共线（或a // b ）时，表示a、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．a（3）对于任意一个非零向量a，我们把a叫作向量a的单位向量，记作 a0． a0与a同向．a（4）当 a，b =0 或时，向量a平行于b ，记作a//b ；当 a，b = 时，向量 a，b垂直，记作a b．2要点二：空间向量的基本运算空间向量的基本运算：要点三：空间向量基本定理共线定理： 两个空间向量 a 、b （b ≠0）， a // b 的充要条件是存在唯一的实数 ，使 ab ． 共面向量定理： 如果两个向量 a,b 不共线，则向量 p 与向量 a,b 共面的充要条件是存在唯一的一对实数 x, y ，使 p xa yb ．要点诠释：（1）可以用共线定理来判定两条直线平行（进而证线面平行）或证明三点共线． （2）可以用共面向量定理证明线面平行（进而证面面平行）或证明四点共面． 空间向量分解定理：如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量 p ，存在一个唯一的有序实数组 x,y,z ，使 pxa yb z .c向 量 的 减 法 三角形法则： OA OBabBA OB OA AB向 量 的 乘 法>0 时，a 与 a 同向；<0 时，a 与 a 异向； =0a =0( a) ( )a(a b) a b1．a b 是一个数： a b | a || b | cos(a ，b) ； 数2．a 0， b=0或 a b量a b =0．(a b) c ac bca 2|a|2|ab| |a||b|a 是一个向量，满要点诠释：②a b a b 0 x 1x 2 y 1y 2 z 1z 2 0 ．要点诠释：（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；（2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就 隐含着它们都不是零向量 0．（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念． 要点四：空间向量的直角坐标运算 空间两点的距离公式若A(x 1,y 1,z 1)， B(x 2,y 2,z 2)，则AB OB OA (x 2, y 2,z 2) (x 1, y 1,z 1) (x 2 x 1, y 2 y 1,z 2 z 1)②| AB | AB(x 2 x 1)2 ( y 2 y 1)2 (z 2 z 1)2；③ AB 的中点坐标为 x 1+x2 ，y 1+y2 ，z 1+z2 ．222 空间向量运算的的坐标运算设a (x 1,y 1,z 1)，b (x 2,y 2,z 2) ，则①a b (x 1 x 2, y 1 y 2,z 1 z 2) ； ②a b ( x 1 x 2 , y 1 y 2 , z 1 z 2 ) ； ③a ( x 1 , y 1 , z 1)( R) ；x 1x 2 y 1y 2 z 1z 2 ；空间向量平行和垂直的条件若a （x 1,y 1,z 1），b （x 2,y 2,z 2） ，则a a a x 12y 12z 12，b b b x 22y 22z 22；z 1z 22 z2①a/ /by 1 y 2， z 1 z 2 ( R)x1 y1 z1( x 2 y 2 z 2 0) ； x 2 y 2 z 2x 1x 2 y 1 y 22 y2a（1）空间任一点P 的坐标的确定：过P作面xOy的垂线，垂足为P'，在面 xOy中，过P'分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、C，则 x | P'C |，y | AP＇|， z | PP＇| ．如图：（２）夹角公式可以根据数量积的定义推出：a b | a ||b| cos a b cos a b a b，其中θ的范围是[0, ] ．|a | |b|（３）0 与任意空间向量平行或垂直．要点五：用向量方法讨论垂直与平行任意非零向量也是直线 l 的方向向量．（２）平面的法向量：已知平面 ，直线 l ，取 l 的方向向量 a ，有 a ，则称为 a 为平面 的法向 量． 一个平面的法向量不是唯一的．图示向量证明方法异面直线所成的角cos|AC BD || AC | | BD |（ A ， C 是直线 a 上不同的两点，B ，D 是直线 b 上不同的两点）面面平行// ）u //vu ，v 分别是平面 ， 的法向量）面面垂直）u v ，即 u v = 0u ， v 分别是平面 ， 的法向量）要点诠释：１）直线的方向向量：若 A 、B 是直线 l 上的任意两点，则 AB 为直线 l 的一个方向向量；与AB 平行的要点诠释：①当法向量 n 1与n 2 的方向分别指向二面角的内侧与外侧时， 二面角 的大小等于 n 1，n 2 的夹角n 1,n 2 的大小。

3.1 空间向量及其运算知识点1. 空间向量的有关概念⑴空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量.⑵单位向量：模为1的向量称为单位向量⑶相等向量：方向相同且模相等的向量.⑷共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量.⑸共面向量：平行于同一个平面的向量.2. 空间向量的加法、减法与数乘运算向量的加减法满足平行四边形法则和三角形法则向量加法的多边形法则：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量UUU UuU UUIrJ UUllU UUUIrJOA I=OA+AIA2+ A2A3+…+ A n-1A n-运算律：①加法交换律：a+ b= b+ a ②加法结合律：(a+ b) + C= a+ (b + C)③数乘分配律：λ (+ b)= λ a λ b.3. 共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1) 共线向量定理对空间任意两个向量a, b(b≠ 0), a// b的充要条件是存在实数λ使得a= λb推论：I点P在直线AB上的充要条件I是：UJlI UUI存在实数λ使得AP = AAB ①UIU UUr UUJ或对空间任意一点0,有OP=OA AB ②UIU UUr UUr或对空间任意一点0,有OP=XOA yOB其中X + y= 1③UUJ UUr UlU IUr UIU UlU UUr UIU【推论③推导过程：OP =OA ∙AB =OA ■ (AO OB)=(I- ∙)OA ■ OB】(2) 共面向量定理如果两个向量a, b不共线，那么P与a, b共面的充要条件是存在唯一有序实数对(x,y)使P= xa+ yb推论：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是UUJ UUJ UUU存在唯一有序实数对(x,y)使AP=XAB yAC ,UiU UUr UUJ UUU或对空间任意一点0,有OP=OA ∙XAB yACUlU UUr UlU UlU或对空间任意一点0,有OP=XOA yOB ■ ZOC ,其中X + y+ Z= 1UUJ UUr UIU UUU UIr UUJ Uui【推论③推导过程：OP=OA XAB yAC = (1 - x - y)OA XOB yOC 】(3) 空间向量基本定理如果三个向量a, b, C不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组｛X, y, z｝,使得P= x a+ y b+ Z C基底：把｛a, b, c｝叫做空间的一个基底，空间任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.4. 空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角：已知两个非零向量a, b,在空间任取一点0,作OA= a, OB = b,则∠AQB叫做向量a与b的夹角，记作〈a, b>,其范围是0≤< a, b>≤∏若〈a , b>= ∏,则称a与b互相垂直，记作a⊥b.②两向量的数量积：已知空间两个非零向量a, b,向量a, b的数量积记作a b,且a b= ∣a∣∣b∣cos < a, b>.⑵空间向量数量积的运算律：①结合律：(λι)b = λa b);②交换律：a b= b a;③分配律：a (b+ C)= a b + a c.→ →5.空间向量的坐标表示及应用 设 a = (a ι, a 2, a 3), b = (b i , b 2, b 3) (1)数量积的坐标运算：a b = a 1b 1 + a 2b 2+ a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示：a /b ? a = λ? a i = λ 1, a ? = λ b a 3= λ 3 (λ∈ R ), a ⊥b ? a b = 0? a i b i + a 2b 2+ a 3b 3= 0(a , b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式： ∣a ∣= '∙.F a a = ■：J a i + a 2+ a 3, a b a i b i + a ?b 2 + a 3b 3C0S 〈a ，b 〉 IaIlbl a 2+ a 2+ a 2 ∙ b 2+ b 2+ b 3 .设 A(a i , b i , C i ), B(a 2, b 2, C 2),贝U d AB =l →B ∣= . a 2— a i 2+ b 2 — g 2+ c ?— C i 2.6.用空间向量解决几何问题的一般步骤: (1) 适当的选取基底{ a , b , c }; (2) 用a , b , C 表示相关向量； (3) 通过运算完成证明或计算问题. 题型一 空间向量的线性运算 用已知向量来表示未知向量，应结合图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，表示为其他向量 的和与差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系. M , N 分别是OA , BC 的中点，G 是厶ABC 的重心，用基向量(DA , OB , OC 表示MG , → → → i → 2 → i → 2 → → i → 2 i → → → i → i → i → 解析：MG = MA + AG = ^OA + 3AN = ?OA + §(ON — OA) = ?0A + ^(OB + OC) — OA] = — §0A + §0B + §0C. → → → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → OG = OM + MG = ^OA — 6OA + §0B + 3OC = ^OA + -OB + §OC. → I → → → UiU UUD UUIU UUIU例 2：如图所示，ABCD — A 1B i C i D i 中，ABCD 是平行四边形.若AE = -EC , A →F = 2FD ,且 EF=XAB+y AD+zAA 1 , 试求X 、y 、Z 的值. J3∣ -→ -→ -→ -→ i -→ i -→ -→ •解 连接 AF , EF = EA + AF. ∙.∙ EA =— 3AC = — ^ (AB + AD ) →→→→→→ i → → i → → 2 UUU AF = AD + DF = AD — FD = AD — ^A i D = AD 一(( A i A + AD ) = — AD 3 33 i UUr → → → i UUIU i UUU i UUir A i A EF = EA + AF = AD AA i AB 3 3 3 3 题型二共线定理应用 向量共线问题： 充分利用空间向量运算法则，用空间中的向量表示 a 与b 共线. a 与b ,化简得出a = ■ b ,从而得出a // b ,即 点共线问题：证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明 → → A 、B 、C 三点共线，即证明 AB 与AC 共线.M , N 分别是 AC , BF 的中点，判断 CE 与MNUUr UIr UUr CE=CB BE τ UUU UUU UIrUUIU ι UUIU UIr 1 UIrUUr 1 UIlU UurUIr 1 UUr 1 UIr 1 UUr MN=MC CB BN AC CB (BA BE) (AC BA) CB BECB BE2 2 2 2 2 2→ →→ →→ →∙∙∙ CE = 2MN ,∙∙∙ CE // MN ,即 CE 与MN 共线.→ → →2E 在 A i D i 上，且 A i E = 2ED ι,F 在对角线 A i C 上，且 A i F =^FC. 3→ →• EF = 2EB.所以E , F , B 三点共线.题型三共面定理应用→ → 点共面问题：证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明 P 、A 、B 、C 四点共面，只要能证明 PA = XPB →→→→→→ → →O ,有 OP = OA + XPB + yPC 或OP = XOA + yOB + ZOC(X + y + Z = 1)即可→ → → →2 i 2例5:已知 A 、B 、C 三点不共线，对于平面 ABC 外一点0,若OP = - OA + -OB + ；0C ,则点P 是否与 A 、B 、C 5 5 5 一定共面？试说明理由.U 2 Ulr IUIU 2 UUU 2 UUl UIr 1 UU U Ulr 2 UU UUr UIU 2 UIr 1 Ulr 2 UU U解析：∙∙∙ OP =— OA+—OB +-OC =—(OP + PA)+-(OP+PB)+-(OP+PC)=OP + -PA+- PB+— PC 5 5 3 5 53 5 5 3例4:如图所示，在正方体 ABCD — A I B I C I D I 中,5_________________ β E7f{C l → 设 AB = a , → → 证明： → 2 2 • ∙ A I E = 2ED 1=3AD = 3 → → -→ 2 •EF = A 1 F — A 1E = ;a — 5→AD = b , → A 1F = T FC = T A I C=I(AC →AA 1 = c . → → →2 2 _ 2 _ 3~ 5''~ 54 2 2 二 15b — 5c =5 a — 3b —→ → → → 2 2 2 2 -AA I )= 5 (AB + AD - AA I ) = 5a + - b — 5c → → → → 2 2 2 3二 C , EB = EA 1 + A 1A + AB = — ~b — c + a = a —3b — c ,→+ yPC ,或对空间任一点求证：E , F , B 三点共线.→ →→ → →1 2∙∙∙ AP=EAB +7AC ,故 A 、B 、C P 四点共面∙5 5例6:如图所示，已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，连结 PA 、PB 、PC 、PD ,点E 、F 、G 、H 分别为 △ PAB 、△ PBC 、△ PCD 、△ PDA 的重心，应用向量共面定理证明： E 、F 、G 、H 四点共面.→ → → → → → → →2 2 2 2 顺次连结M 、N 、Q 、R ,所得四边形为平行四边形，且有 PE = -PM , PF = §PN , PG = -PQ , PH = ~PR.→→→→→→ →→ →→ →→ →→ →→2222 2 2 23 3 23 3.∙. EG = PG - PE = 3PQ -3PM = 3MQ = 3(MN + MR) = 3(PN -PM) + §(PR — PM) = 3(?PF -^PE) + ^(-PH —2PE)→ →=EF + EH. ∙由共面向量定理得 E 、F 、G 、H 四点共面.→ → →例7:正方体 ABCD - A I B I C I D I 中，E , F 分别是BB i 和A i D i 的中点，求证向量 A i B , B i C , EF 是共面向量.→→→ → → →→→→→-→1 —→ 11 1证明：女口图所示，EF = EB + BA j + A J F = ^B 1B - "B + ^A J D J = -(B 1B + BC) - A 1B = ^B j C - A j B.→ → →由向量共面的充要条件知 A j B , B j C , EF 是共面向量.题型四空间向量数量积的应用 ABCD — A i B i C i D i 中，以顶点A 为端点的三条棱长都为 i ,且两两夹角为 60°⑴求AC i 的长；(2)求BD i 与AC 夹角的余弦值.解析：(J)记AB = a , AD = b , AA J = c ,则 I a l = I b l = I C l = J ,〈a , b 〉=〈 b , c > = < c , a > = 60° 」」 J ∙ ab = b C = ca =;2'∣AC J f = (a + b + c )? = a + b + C + 2(a b + b c + C a ) = J + J + J + 2 × ? + ? + ? = 6, ∙ |AC j I=V 6,即AC J 的长为:：：：；；6.(2)BD J = b + C -a , AC = a + b , ∙∙ IB D J I = 2, ∣Aθ∣=.3, B D J AC = (b + C - a ) (a + b ) = b 2-a 2+ a c + b C = J. ∙ cos <B D j , AC > = BDJ AC例8:①如图所示，平行六面体证明：分别延长 PE PR PG PH 交对边于 M N QR.∙∙∙ E 、F 、G H 分别是所在三角形的重心，∙∙∙ M 、N 、Q 、R 为所在边的中点=二6.∙AC 与BD J 夹角的余弦值为二6→ → 6 6IBD J IIACI→ →②已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a ,点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE AF 的值为（）A . a 2B.；a 2 C ；a 2 D^a 2→ → →解析：设AB = a , AC = b , A D = c ,则I a l =I b l =I C l = a ,且a , b , C 三向量两两夹角为 60°→ → → →1 1 1 1 1 12 2 1 2 AE = 2(a + b ), AF =尹二 AE AF = 2(a + b ) ^c = 4(a C + b C ) = 4(a cos60 ° a cos60 ) = 4a .题型五 空间向量坐标运算DC , DP 所在直线分别为X , y , Z 轴建立空间直角坐标系，则点 E 的坐标为（）A . （1,1,1）B∙Q , 1, 1）C.（1, 1 , 3） D . （1,1,2）例 10:已知 a = (2,— 1,3), b = (— 1,4 , - 2) , C = (7,5 , λ∙若 a , b , C 三向量共面，则实数例 11:已知△ ABC 的顶点 A(1,1,1), B(2,2,2),→ → → → → →AB = (1,1,1) , AC = (2,1,3) , |AB|= 3 , |AC|= 14 , AB AC = 2+ 1 + 3= 6 , ∙ cos A = 8S 〈AB , AC >= 36l 4= ζ.∙ SinA =I -；；='| |AC| ∙nA = 1×.3× 帀×* =于.例9:如图所示,PD 垂直于正方形 ABCD 所在平面,AB = 2, E 为PB 的中点,COS 〈 DP ,AE 〉=于，若以DA,设 PD = a (a>0),则 A(2,0,0), B(2,2,0), P(0,0, a), E 1, 1, 1, 2 , cos 〈 DP , AE >=于,∙∙∙ a = 2.∙∙∙ E 的坐标为(1,1,1).t =337 = 2t — μ解析：由题意得 C = t a + (Jo= (2t — μ, — t + 4 μ, 3t — 2 μ , ∙ =— t + 4μ,λ= — μ7' 17 μ= 7 , 65l λ= 65.C(3,2,4),试求△ ABC 的面积DP = (0,0, a), A E =2.a_ '2品∙3,.∙ S ∆ABC =例12：已知a= ( λ÷ 1,0,2), b= (6,2 μ—1,2 λ,若a// b,贝U λ与μ的值可以是()A. 2 ,12B.—1 13，2C.—3,2D. 2,2λ+ 12 f λ= 2 ,'λ=—3 ,解析由题意知：6=2λ,解得1或1 2—1= 0 ,μ= 2尸例13:已知空间中三点A( —2,0,2), B( —1,1,2), C( —3,0,4),设a= →, b= AC.,若ka+ b 与ka—2b 互相垂直，求实数k的值.方法一一k a+ b= (k—1, k,2). k a —2b= (k+ 2, k, —4),且k a + b 与k a —2b 互相垂直，•••(k—1, k,2) (k+ 2, k,—4) = (k—1)(k+ 2)+ k2—8= 0, ∕∙ k= 2 或一5, 方法二由⑵知|a∣=^2, ∣b∣=承,a b=—1, • (k a + b) (k a —2b)= k2a2—k a b—2b2= 2k2+ k—10= 0,得k= 2 或一∣.例14:已知空间三点A(0,2,3), B( —2,1,6), C(1, —1,5).(1)求以AB, →C为边的平行四边形的面积；⑵若I a I= ,3,且a分别与AB, AC垂直，求向量a的坐标.解(1)cos〈AB, AC〉= == 3筲=-7-= 1∙.∙. Sin〈AB,心=写,∣→∣Ac∣14 2 2•以AB, AC为边的平行四边形的面积为S= 2× 1∣A→| |A CISin〈A B, AC>= 14×^3= 7,3.X2+ y2+ z2= 3 X= 1 x=—1(2)设a= (x, y, Z),由题意得2x—y+ 3z= 0 ,解得f y= 1 或f y=— 1 ,以—3y+ 2z= 0 L= 1 [z=—12 1例15:如图所示，在正方体ABCD —A1B1C1D1中，E、F分别在A Q、AC上，且A p E= 3A1D, AF = -AC ,贝U ( ) A. EF至多与A1D、AC之一垂直 B . EF与A1D、AC都垂直C . EF与BD p相交 D . EF与BD j异面解析：设AB = 1,以D为原点，DA所在直线为X轴，DC所在直线为y轴，DD 1所在直线为Z轴建立空间直角坐标(1 1 伦 1 ∖→系，贝y A1(1,0,1), D(0,0,0), A(1,0,0), C(0,1,0), E 3, 0，3，F 3, 3 0, B(1,1,0), D1(0,0,1) , A1D = (—1,0 , —1), AC= (—1,1,0) ,EF = 1, 3 —1,B→1= (—1 , —1, 1) ,EF = —3B→1, A→D EF = AC EF = 0,从而EF // BD1,EF 丄AQ, EF 丄AC.→ →例16:已知0(0,0,0), A(1,2,3), B(2,1,2), P(1,1,2),点Q在直线OP上运动，当QA QB取最小值时，点Q的坐标是.→ → → →解析：设OQ = QP = (λ, λ 2λ,贝U QA = (1 —人2—λ 3— 2 λ, QB= (2 —λ 1 —λ 2 — 2 λ .∙∙∙ QAQB = (I - ^2-λ÷(2-如-λ+(3-叩-2 λ= 6 λ- 16λ÷ 10 = 6( λ-$— 2→ → →二当λ=4时，QAQB 取最小值为-此时,OQ =(4，3，3)，综合练习、选择题1、下列命题：其中不正确.的所有命题的序号为 _____________ • ①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有 AB ÷ BC + CD ÷ DA = 0; ②I a H b = |a ÷ b ∣是a 、b 共线的充要条件；③ 若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行；④ 对空间任意一点 O 与不共线的三点 A 、B 、C ,若OP = XOA ÷ yOB ÷ ZOC （x 、y 、z ∈ R ）,贝U P 、A 、B 、C 四点共面.⑤ 设命题P : a , b , C 是三个非零向量；命题 q : {a , b , c }为空间的一个基底，则命题 P 是命题q 的充要条件解析：选②③④⑤，①中四点恰好围成一封闭图形，正确；②中当 a 、b 同向时，应有| a | ÷ | b | = | a ÷ b | ;③中a 、 b 所在直线可能重合；④中需满足 x ÷ y ÷ Z = 1,才有P A 、B C 四点共面；⑤只有不共面的三个非零向量才能作 为空间的一个基底，应改为必要不充分条件2、有下列命题：其中真命题的个数是 （）①若P = X a ÷ y b,贝U P 与a , b 共面；③若 MIP = XMjA ÷ yM →B ,贝y P , M , A 、B 共面； A . 1 B . 2C . 3②若P 与a , b 共面，则P = X a ÷ y b ； ④若 P , M , A , B 共面，则 MjP = XMlA ÷ yM →B. D . 4贝U ≠÷ ；3、已知 A(1,0,0), B(0,- 1,1),BjC .OA ÷ QB 与OB 的夹角为120°贝U λ的值为（ —普 D . ±6 → →解析：OA ÷ λOB = (1 ,- λ λ,cos120° =λ÷ λ.'1÷ 2λ • 22,得λ= ±66.经检验入=¥不合题意，舍去,λ=-4、 如图所示，已知 FA 丄平面 ABC , ∠ ABC = 120 ° PA = AB = BC = 6,贝U PC 等于 ()C . 12D . 144=(PA ÷ AB ÷ BC) =PA 2÷ AB 2÷ BC 2÷ 2AB BC = 36÷ 36 ÷ 36÷ 2 × 36cos 60 O = 144 ∕∙ |PC|= 12 证明设AB = a , AC = b , AD = c ,则 BG = BA ÷ AG = BA ÷ 3AM = — a ÷ 1(a ÷ b ÷ c )= — 3a ÷ 1b ÷~.c ,4 4' ,4 4 4 BN = B A ÷ AN = BA ÷ 3(AC ÷ AD)=— a ÷ f b ÷ f c =IBG.∕∙ BN ^ BG ,即 B 、G 、N 三点共线.5、正方体ABCD — A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,点M 在A®上且AM = IM C 1, N 为B 1B 的中点，贝U IMNI 为（）2解析 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 DXyZ ，则A （a,0,0），C*0，a , a ），N a .T 点 M 在 AC 1 上且 AM = 2MC 1, ∙ (x — a , y , Z) = *( — x , a — y , a — Z) A 寻IZB∙far . 15 DpaA L设 M(x , 2∙∙X = 3a ，y = 3Z=3. ∙M 伶 3 3) ∙ IMN =∖/ (I —3a )÷l 2a -!2÷ a -32=甲已知空间四边形 OABC , OB = OC ,且∠ AOB = ∠ AOC = ∏,贝U CoS 〈C)A , C 乎腭BC 〉的值为（ 设OA = a , OB = b , OC = c ,由已知条件〈a , b 〉=〈 a , c >= ∏3-→ -→ 1 1 -→ -→OA BC = a (c — b ) = a C — a b = 2I a||c — 2I a ∣∣b = 0, ∙ CoS且 I b l =I C =0.7、如图所示，在平行六面体 ABCD — A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB = a , AD = b, AA i = c , 则下列1 1D.^a — ?b + Cc +如-a ) = — 2 a + 2 b + c .ABCD — A 1B 1C 1D 1 中，向量 A B , AD , AA 1 两两的夹角均为 60°,且 IABI = 1, ∣AD ∣= 2, IA A I I = 3,则IAC i 等于()[A . 5B . 6C . 4D . 8|[ 设AB = a , AD = b , AA 1 = c ,则 AC 1= a ÷ b ÷ c , AC 12= a 2÷ b 2÷ c 2÷ 2a b ÷ 2b c ÷ 2C a = 25, IAC 1I = 5」9、 在下列条件中，使 M 与A 、B 、C 一定共面的是()- - - - - - - - - - - - - - -1 1A.OM = 3OA — 2OB — OC B . OM ÷ OA ÷ OB ÷ OC = 0 C . MA ÷ MB ÷ MC = 0 D . OM = 4OB — OA ÷^OC— — —解析： C 中MA = — MB — MC.故M 、A 、B 、C 四点共面. 二、填空题10、 同时垂直于 a = (2,2,1)和b = (4,5,3)的单位向量是 ______________________ .6、如图所示, A . 01 2向量中与BM 相等的向量是 （-→ 1 -→ -→ =AA 1+ 2(AD — AB) =C . — I a — 2b + C88、平行六面体解析 设与a = (2,2,1)和b = (4,5,3)同时垂直b 单位向量是C = (P , q , r),则11. 若向量a = (1, λ 2), b = (2, — 1,2)且 a 与b 的夹角的余弦值为 鲁，则λ=12.在空间直角坐标系中，以点 A(4,1,9)∖ B(10 , — 1,6)、C(x,4,3)为顶点的厶ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角 形，则实数X 的值为 _________解析 由题意知AB AC = O , IAiBl =ACI ,可解得X = 2.13. 已知 a + 3b 与 7a — 5b 垂直，且 a — 4b 与 7a — 2b 垂直，则〈a , b>= ________ I解析 由条件知(a + 3b ) (7a — 5b ) = 7|a |2+ 16a b — 15|b |2= 0 ,及(a —4b ) (7a — 2b ) = 7|a |2+ 8|b |2— 30a b = 0. 两式相减，得 46a b = 23|b |2,二 a b = 2|b |2.14. 如图所示，已知二面…l —e 的平面角为θθ∈ 0,Π, AB ⊥BC , BC ⊥CD , AB 在平面β内，BC 在I 上,CD 在平面 α内，若 AB = BC = CD = 1,贝U AD 的长为 __________ —→ 2 —→ —→ —→ 2= —→ 2 —→ 2—→ 2—→ —→ —→ —→ —→ —→ 解析:AD 2= (AB + BC + CD) AB 2 + BC 2+ CD 2+ 2AB CD + 2AB BC + 2BC CD = 1+ 1+ 1 + 2cos( — θ)= 3— 2cos θ 15. ____________________________________________________________ 已知 a = (1 —1,1 — t , t), b = (2, t , t),则 |b — a |的最小值为 ____________________________________________________ .解析 b — a = (1 + t,2t - 1,0), •• |b — a |=^ (1 + tf+( 2t — 1 Y = ^^ 5 [^t — 5 / + 5 ,•当 t = 5 时，|b — a 取得最小值 .三、解答题16、如图所示，在各个面都是平行四边形的四棱柱 ABCD — A 1B 1C 1D 1中，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点，N 是 C 1 D 1的中点，点 Q 在CA 1上，且CQ : QA 1 = 4 : 1,设AB = a , AD = b , A A I = C 用基底｛a , b , c ｝表示以下向量: 1 →→ 1 → → 1 2(AC + AA 1)= 2(A B + AD + A A 〔)= 2(a + b + C ).p 2+ q 2+ r 2= 1, 2p + 2q + r = 0, 4p + 5q + 3r = 0,1 P = 3，— 2 解得q =— £，I 2 r = 3， 1 P = — 3, 或q = |, 所求向量为3,— 3, 3或—3，3,— 3 . 8 解析由已知得8=a b 2— λ+ 4 Iailb = √5+λ2∙9,「8√5+λ = 3(6- λ,解得—2 或 λ=盒. 代入上面两个式子中的任意一个，即可得到 |a |= |b |. ••• CoS 〈 a , b > 1 2 a b 1|b | 1— 2 = .. IaIIb I |b | 2 a , b >= 60°2 (1)AP =-→ 1 -→ -→ 1 -→ -→ -→ 1 (2)AM = 2(AC + AD 1)= 2(AB + 2AD + AA” = ?(a + 2b + C ). 17、如图，已知 M 、N 分别为四面体 ABCD 的面BCD 与面ACD 的重心，且 G 为AM 上一点，且 GM : GA = 1 : 3. =Ca = 0. ⑴证明：设 CA = a , CB = b , CC ' = c ,根据题意，|a I =I b I =I C l 且 a b = b C ∙∙∙ CE = b + ∣C , A →D = — C +1 b - 2a .ΛCE ∙ A →D = — ∣c 2 +1b 2= 0,∙'∙ CE 丄At),即 CE 丄AD. b + 2 C = 2 C 2=∙2∣a ∣2,⑵A →' =— a + c,∙∙∙ |A C' I = 2|a |, 品=^^∣A →' ∙ CE = (— a + C ) 1∣ f ∙ CoS 〈 A C' , CE > = 一匕了一 = 穹•即异面直线CE 与AC 所成角的余弦值为 密. 2 ∙ 25I a I 2-- 1 -- -- 1 -- -- -- -- -- 1 -- -- -- 1 1 (3) AN = 2(AC 1 + AD 1) = 2[(AB + AD + AA” + (AD + AAj = 2( AB + 2AD + 2AA” = q(a + 2b + 2 C ) = q a + b + C . ⑷ AQ = AC + CQ = AC + 4(AA 1- AC) = I AC + 5A --1 = 1A B + 如 + 彳品=* a + ⅛ + IC求证：B 、G 、N 三点共线. 18. (13分)直三棱柱 ABC — A B ' C '中，AC = BC = AA ' , ∠ ACB =90° (2)求异面直线CE 与AC '所成角的余弦值. D 、E 分别为AB 、BB '的中点.(1)求证：CE ⊥ A ' D ;。