高中数学-空间向量及其运算练习
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、填空题 1．在下列命题中：
①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；
②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；
④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，
y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c . 其中正确命题的个数是________．
解析 a 与b 共线，a ，b 所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a ，b 都共面，故②错误；三个向量a ，b ，c 中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0. 答案 0
2．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值是________．
解析 ∵a ∥b ，∴b ＝k a ，即(6,2μ－1,2λ)＝k (λ＋1,0,2)，
∴⎩⎨⎧
6＝k λ＋1，
2μ－1＝0，2λ＝2k ，
解得⎩⎨⎧
λ＝2，μ＝1
2
或⎩⎨⎧
λ＝－3，μ＝1
2
.
答案 2，12或－3，1
2
3．(·济南月考)O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →
，则A ，B ，C ，P 四
点________(判断是否共面)．
解析 ∵OP →
＝34OA →＋18OB →＋18OC →，且34＋18＋1
8＝1.∴P ，A ，B ，C 四点共面．
答案 共面
4．已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(－1,2,1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为________．
解析 由题意知a ·(a －λb )＝0，即a 2－λa ·b ＝0， ∴14－7λ＝0，∴λ＝2. 答案
145
5．A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →
·AC →
＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →
＝0，M 为BC 中点，则△AMD 是________三角形(直角、钝角、锐角)． 解析 ∵M 为BC 中点，∴AM →
＝12(AB →＋AC →
)．
∴AM →
·AD →
＝12(AB →＋AC →
)·AD →
＝12AB →·AD →＋12AC →·AD →
＝0. ∴AM ⊥AD ，△AMD 为直角三角形． 答案 直角三角形
6．(·连云港质检)在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是________． 解析 设M (0，y,0)，则MA →
＝(1，－y,2)，MB →＝(1，－3－y,1)，由题意知|MA →|＝|MB →
|，∴12＋y 2＋22＝12＋(－3－y )2＋12，解得y ＝－1，故M (0，－1,0)． 答案 (0，－1,0)
7．若三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)在同一条直线上，则a ＝________，
b ＝________.
解析 AB →
＝(1，－1,3)，AC →
＝(a －1，－2，b ＋4)，因为三点共线，所以存在
实数λ使AC →
＝λAB →
，即⎩⎨⎧
a －1＝λ，
－2＝－λ，
b ＋4＝3λ，
解得a ＝3，b ＝2.
答案 3 2
8.如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝
π3
， 则cos 〈OA →
，BC →
〉的值为________．
解析 设OA →
＝a ，OB →＝b ，OC →
＝c ，
由已知条件〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π
3，且|b |＝|c |，
OA →
·BC →
＝a ·(c －b )＝a·c －a·b ＝12|a||c |－1
2|a||b|＝0，∴cos 〈OA →，BC →〉
＝0. 答案 0 二、解答题
9．已知a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)． (1)求|2a ＋b |；
(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →
⊥b (O 为原点)? 解 (1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)， 故|2a ＋b |＝02＋
－5
2
＋52＝5 2.
(2)令AE →
＝tAB →
(t ∈R )，所以OE →
＝OA →
＋AE →
＝OA →
＋tAB →
＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )， 若OE →
⊥b ，则OE →
·b ＝0，
所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝9
5.
因此存在点E ，使得OE →
⊥b ， 此时E 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6
5
，－145，25.
10.如图，在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，G 为△BC 1D 的重心，
(1)试证：A 1，G ，C 三点共线； (2)试证：A 1C ⊥平面BC 1D .
证明 (1)CA 1→
＝CB →
＋BA →
＋AA 1→
＝CB →
＋CD →
＋CC 1→
， 可以证明：CG →＝13(CB →＋CD →＋CC 1→)＝13CA 1→
，
∴CG →
∥CA 1→
，即A 1，G ，C 三点共线． (2)设CB →＝a ，CD →＝b ，CC 1→
＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |＝a ， 且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0， ∵CA 1→
＝a ＋b ＋c ，BC 1→
＝c －a ，
∴CA 1→
·BC 1→＝(a ＋b ＋c )·(c －a )＝c 2－a 2＝0， 因此CA 1→
⊥BC 1→
，即CA 1⊥BC 1， 同理CA 1⊥BD ，
又BD 与BC 1是平面BC 1D 内的两相交直线， 故A 1C ⊥平面BC 1D .
能力提升题组
