立体几何平面的基本性质

立体几何与平面几何几何学是一门研究空间、形状、大小和相对位置的学科。

在几何学中，立体几何和平面几何是两个重要的分支，它们分别研究立体空间和平面空间中的几何性质和关系。

本文将介绍立体几何和平面几何的基本概念及其在现实生活中的应用。

一、立体几何的概念和性质1. 立体几何的定义立体几何是研究三维空间中的几何图形和性质的学科。

立体几何中的基本概念包括点、线、面和体。

在立体几何中，我们可以通过测量、计算和推导来研究空间中的物体。

2. 立体几何的性质在立体几何中，有一些基本性质需要我们了解。

例如，直线是空间中最短的曲线，直线的两点确定一条直线，而三个点不在同一条直线上。

此外，平行线在空间中永远不会相交，而直线与平面只有一个公共点或者没有公共点。

3. 立体几何的应用立体几何的概念和性质在现实生活中有广泛的应用。

例如，在建筑设计中，我们需要使用立体几何的知识来设计和构造建筑物；在计算机图形学中，我们可以利用立体几何的原理来建模和渲染三维图像；在工程测量中，我们需要使用立体几何的方法来计算和测量物体的体积和表面积。

二、平面几何的概念和性质1. 平面几何的定义平面几何是研究二维平面上的几何图形和性质的学科。

平面几何中的基本概念包括点、线和面。

在平面几何中，我们可以通过测量、计算和推导来研究平面上的图形和几何性质。

2. 平面几何的性质在平面几何中，也有一些基本性质需要我们了解。

例如，两条不同直线在平面内最多只有一个公共点，而两条平行线永远不会相交。

此外，平面上的三个点不会共线，而通过一个点在平面内作一条直线有无数个方向。

3. 平面几何的应用平面几何的概念和性质在现实生活中也有广泛的应用。

例如，在地图上测量距离和角度时，我们需要使用平面几何的知识；在家居设计中，我们可以利用平面几何的原理来规划和布局空间；在航空航天领域，我们需要运用平面几何的概念来计算轨道和飞行路径。

结论立体几何和平面几何是几何学的两个重要分支，它们研究了空间和平面中的几何图形和性质。

一、知识点:1.平面的概念:平面就是没有厚薄的,可以无限延伸,这就是平面最基本的属性2.平面的画法及其表示方法:①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成45o ,横边画成邻边的两倍画两个平面相交时,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应把被遮住的部分画成虚线或不画(面实背虚)②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示,还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面AC 等3.空间图形就是由点、线、面组成的点、线、面的基本位置关系如下表所示:图形 符号语言 文字语言(读法) 图形 符号语言 文字语言(读法)A a A a ∈点A 在直线a 上 a αa α⊂ 直线a 在平面α内 A a A a ∉点A 不在直线a 上 a αa α=∅I 直线a 与平面α无公共点AαA α∈点A 在平面α内 a A αa A α=I 直线a 与平面α交于点AA αA α∉点A 不在平面α内 b a A a b A =I 直线a 、b 交于A 点l αβ=I 平面α、β相交于直线lα⊄a (平面α外的直线a )表示a α=∅I (a αP )或a A α=I4 平面的基本性质公理1 如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式:A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭. 如图示: 应用:就是判定直线就是否在平面内的依据,也可用于验证一个面就是否就是平面.公理1说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻划平面的“平”,通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”,它既就是判断直线在平面内,又就是检验平面的方法.公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其她公共点,且所有这些公共点的集合就是一条过这个公共点的直线推理模式:A l A ααββ∈⎫⇒=⎬∈⎭I 且A l ∈且l 唯一如图示: 应用:①确定两相交平面的交线位置;②判定点在直线上公理2揭示了两个平面相交的主要特征,就是判定两平面相交的依据,提供了确定两个平面交线的方法.公理3 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面BA α推理模式:,, A B C 不共线⇒存在唯一的平面α,使得,,A B C α∈ 应用:①确定平面;②证明两个平面重合 “有且只有一个”的含义分两部分理解,“有”说明图形存在,但不唯一,“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个,但不保证符合条件的图形存在,“有且只有一个”既保证了图形的存在性,又保证了图形的唯一性.在数学语言的叙述中,“确定一个”,“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”就是同义词,因此,在证明有关这类语句的命题时,要从“存在性”与“唯一性”两方面来论证. 5 平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内,则称这个图形为平面图形,否则称为空间图形 6公理的推论:推论1 经过一条直线与直线外的一点有且只有一个平面、推理模式:A a ∉⇒存在唯一的平面α,使得A α∈,l α⊂推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面 推理模式:P b a =I ⇒存在唯一的平面α,使得,a b α⊂推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面推理模式://a b ⇒存在唯一的平面α,使得,a b α⊂二、基本题型:1 下面就是一些命题的叙述语,其中命题与叙述方法都正确的就是( )A.∵αα∈∈B A ,,∴α∈AB .B.∵βα∈∈a a ,,∴a =βαI .C.∵α⊂∈a a A ,,∴A α∈.D.∵α⊂∉a a A ,,∴α∉A .2.下列推断中,错误的就是( )A.ααα⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A ,,, C.βα∈∈C B A C B A ,,,,,,且A,B,C 不共线βα,⇒重合B.AB B B A A =⇒∈∈∈∈βαβαβαI ,,, D.αα∉⇒∈⊄A l A l ,3.两个平面把空间最多分成___ 部分,三个平面把空间最多分成__部分.4.判断下列命题的真假,真的打“√”,假的打“×”(1)空间三点可以确定一个平面 ( )(2)两个平面若有不同的三个公共点,则两个平面重合( )(3)两条直线可以确定一个平面( )(4)若四点不共面,那么每三个点一定不共线( )(5)两条相交直线可以确定一个平面( )(6)三条平行直线可以确定三个平面( )(7)一条直线与一个点可以确定一个平面( )(8)两两相交的三条直线确定一个平面( )5.瞧图填空 (1)AC ∩BD = (4)平面A 1C 1CA ∩平面D 1B 1BD =(2)平面AB 1∩平面A 1C 1= (5)平面A 1C 1∩平面AB 1∩平面B 1C =(3)平面A 1C 1CA ∩平面AC = (6)A 1B 1∩B 1B ∩B 1C 1= 6 6.选择题(1)下列图形中不一定就是平面图形的就是 ( )A 三角形B 菱形 C 梯形 D 四边相等的四边形O 11D 1B C 1O D B A(2)空间四条直线每两条都相交,最多可以确定平面的个数就是( )A 1个 B 4个C 6个 D 8个(3)空间四点中,无三点共线就是四点共面的 ( )(A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件(C )充分必要条件(D )既不充分也不必要7.已知直线a //b //c ,直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ,求证:a 、b 、c 、d 四线共面、 答案:1、 C 2、 D 3、 2,4,8 4、 ⑴×⑵×⑶×⑷√⑸√⑹×⑺×⑻×5、⑴O ⑵A 1B 1⑶O ⑷OO 1⑸B 1⑹B 16、 答案:⑴ D ⑵ C ⑶ D7、 证明:因为a //b ,由推论3,存在平面α,使得,a b αα⊂⊂又因为直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ,由公理1,d α⊂下面用反证法证明直线c α⊂:假设c α⊄,则c C α=I ,在平面α内过点C 作c b 'P ,因为b //c,则c c 'P ,此与c c C '=I 矛盾、故直线c α⊂、综上述,a 、b 、c 、d 四线共面、。

立体几何平行和垂直知识讲解知识点1 点、线、面一、平面的基本性质二、空间直线的位置关系1．位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.2．平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行．3．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．4．异面直线所成的角(或夹角)(1)定义：设ba,是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线bbaa//',//'，把'a与'b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角．I,,Pl P l且且三、直线与平面的位置关系llAα//l知识点2 线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。

推理模式：,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭注意：⑴三垂线指AO PO PA ,,都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用。

知识点3 线面垂直定义：如果一条直线l 和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直其中直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。

直线l 与平面α垂直记作：α⊥l 。

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。

知识点4 面面垂直两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。

名师辅导立体几何第1课平面的概念与性质（含答案解析）●考试目标主词填空1.平面（1）平面是理想的、绝对的平且无限延展的.（2）平面是由它内部的所有点组成的点集，其中每个点都是它的元素.2.平面的基本性质（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.（2）公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.（3）公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.●题型示例点津归纳【例1】在空间内，可以确定一个平面的条件是 ( )A.两两相交的三条直线B.三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交C.三个点D.三条直线，它们两两相交，但不交于同一点E. 两条直线【解前点津】 A中的两两相交的三条直线，它们可能相交于同一点，也可能不交于同一点；若交于同一点，则三直线不一定在同一个平面内.∴应排除A.B中的另外两条直线可能共面，也可能不共面，当另外两条直线不共面时，三条直线是不能确定一个平面的.∴应排除B.对于C来说，三个点的位置可能不在同一直线上，也可能在同一直线上，只有前者才能确定一个平面，后者是不能的.∴应排除C.条件E中的两条直线可能共面，也可能不共面.∴应排除E.只有条件D中的三条直线，它们两两相交且不交于同一点，可确定一个平面.【规范解答】 D.【解后归纳】平面的基本性质（三个公理及公理3的三个推论）是研究空间图形性质的理论基础，必须认真理解，熟练地掌握本题主要利用公理3及其推论来解答的.【例2】把下列用文字语言叙述的语句，用集合符号表示，并画直观图表示.(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，点A、B都在直线l上；(2)平面α与平面β相交于直线l，直线a在平面α内且平行于直线l.【解前点津】注重数学语言(文字语言、符号语言、图形语言)间的相互转化训练，有利于提高分析问题、解决问题的能力.正确使用⊂、⊄、∈、∉、⋂等符号表示空间基本元素之间的位置关系是解决本题的关键.【规范解答】 (1)A ∈α,B ∉α,A ∈l ,B ∈l ,如图(1)；(2)α∩β=l ,a ⊂α,a ∥l ,如图(2).例2题解图【例3】 如图，已知：l 不属于α,A 、B 、C …∈l ,AA 1⊥α,BB 1⊥α,CC 1⊥α.求证：AA 1、BB 1、CC 1…共面.【解前点津】 证明n 条直线共面，首先，选择适当的条件，确定一个平面，然后分别证明直线都在此平面内.【规范解答】 证法一 ∵AA 1⊥α,CC 1⊥α,∴AA 1∥CC 1.∴AA 1与CC 1确定平面β,且β⊥α.∵AC ⊂β,即l ⊂β,而B ∈l,∴B ∈β,又知BB 1⊥α,∴BB 1⊂β.∴AA 1、BB 1、CC 1…共面.证法二 反证法由证法1得β⊥α于A 1C 1，假设BB 1不属于β,在β内作BB ′⊥A 1C 1(如图).∴BB ′⊥α,已知BB 1⊥α,与过一点引面的垂线，有且只有一条矛盾.∴BB 1不属于β是不可能的,∴BB 1⊂β,∴AA 1、BB 1、CC 1…共面.【解后归纳】 证明共面的一般方法有直接法和间接法两种.【例4】 设平行四边形ABCD 的各边和对角线所在的直线与平面α依次相交于A 1,B 1,C 1,D 1,E 1,F 1六点，求证:A 1,B 1,C 1,D 1,E 1,F 1六点在同一条直线上.【规范解答】 设平行四边形ABCD 所在平面为α,∵A ∈β,B ∈β,∴AB ⊂β,又A 1∈AB,∴A 1∈β,又A 1∈α∴A 1在平面α与平面β的交线上,设交线为l ,则A 1∈l ,同理可证B 1,C 1,D 1,E 1,F 1都在直线l 上,∴A 1,B 1,C 1,D 1,E 1,F 1六点在同一条直线上.【解后归纳】 证明点共线通常证明这些点都在两平面的交线 上,或先由某两点作一条直线再证明其他点也在这条直线上,选此题的意图，就是使学生掌握证点共线的一般方法.●对应训练 分阶提升一、基础夯实1.α、β是两个不重合的平面，在α上取4个点,在β上取3个点,则由这些点最多可以确定平面的个数为 ( ).32 C 例3题图例4题图2.下列说法正确的是 ( )A.如果两个平面α、β有一条公共直线a ，就说平面α、β相交，并记作α∩β＝aB.两平面α、β有一公共点A ，就说α、β相交于过A 的任意一条直线C.两平面α、β有一个公共点，就说α、β相交于A 点，并记作α∩β＝AD.两平面ABC 与DBC 交于线段BC3.下列命题正确的是 ( )A.一点和一条直线确定一个平面B.两条直线确定一个平面C.相交于同一点的三条直线一定在同一平面内D.两两相交的三条直线不一定在同一个平面内4.设α、β是不重合的两个平面，α∩β＝a ，下面四个命题：①如果点P ∈α，且P∈β，那么P ∈a ；②如果点A ∈α，点B ∈β，那么AB α；③如果点A ∈α，那么点B ∈β；④如果线段AB α，且AB β，那么AB a .其中正确命题的个数是 ( ).1 C5.空间四点A 、B 、C 、D 共面但不共线，那么这四点中 ( )A.必有三点共线B.必有三点不共线C.至少有三点共线D.不可能有三点共线6.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 ( ) A.221+ B. 222+ C.21+ D.22+ 7.已知△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，那么原三角形ABC 的面积为 ( )A.223aB. 243aC. 223a D.26a 8.两条相交直线l 、m 都在平面α内且都不在平面β内.命题甲：l 和m 中至少有一条与β相交，命题乙：平面α与β相交，则甲是乙的什么条件 ( )A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.不充分不必要二、思维激活9.如果一条直线上有一个点不在平面上，则这条直线与这个平面的公共点最多有 个.10.不重合的三个平面把空间分成n 个部分，则n 的可能值为 .11.四条线段首尾相连，它们最多确定平面的个数是 .12.与空间不共面四点距离相等的平面为 个.13.四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝BD ＝１，则成为空间四面体时，AC 的取值范围是 .三、能力提高14.如图，已知l 1∥l 2∥l 3，l ∩l 1＝Ａ,l ∩l 2＝Ｂ，l ∩l 3＝C .求证：l １、l 2、l 3、l 共面.第14题图15.四个点不共面，证明它们中任何三点都不在同一条直线上.它的逆命题正确吗 已知：A 、B 、C 、D 是不共面四点.求证：它们中任何三点都不共线.16.已知△ABC 的三个顶点都不在平面α上，它的三边AB 、AC 、BC 的延长线交平面α于P 、R 、Q 三点．求证：P 、R 、Q 三点共线．17.已知空间四边形ABCD ，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且32==CD CG CB CF .求证：直线EF 、GH 、AC 交于一点.18.已知直线a,b,c ,其中b,c 为异面直线,试就a 与b,c 的不同位置关系,讨论可以确定平面的情况.第1课 平面的概念与性质习题解答C 24C 13+C 23C 13+2=32. 排除法.有三个交点或只有一个交点.②③错在条件不充分.分有三点共线和只有两点共线两类.第17题图根据平面图形斜二测直观图的画法，所求平面图形为四边形，由“横不变”知，四边形为梯形，且上底边长为1．容易求得下底边长为1+2，由直观图的底角为45°知这个梯形为直角梯形．再由“竖取半”知，直腰长为2，∴S=2211++·2=2+2． 按斜二测画法还原.充分性根据公理2进行判断，必要性用反证法得到证明.公共点最多1个，否则直线在平面内，得知直线上所有的点在平面内.,6,7,8.个 可确定C 24-2=4个．个 这四点构成一个四面体，当平面平行于四个面中某一个面时有四个；当平面平行于三对异面直线时有三个.13.(0，3) AC>0，ABCD 为菱形时AC ＝3.14.由l 1∥l 2，知l 1与l 2确定一个平面α，同理l 2、l 3确定一个平面β，由A ∈l 1,l 1α，知A ∈α，同理B ∈α，又A 、B ∈l ，故l α，同理l β.由上知l ∩l 2＝Ｂ，且l 、l 2α,l 、l 2β，因两相交直线l 、l 2确定一个平面，故α与β重合，所以l 1、l 2、l 3、l 共面.15.证明：假设其中有三点共线，如A 、B 、C 在同一直线a 上，点D ∉a .∴点D 和a 可确定一平面α，∴A 、B 、C 、D ∈α.与A 、B 、C 、D 不共面矛盾.逆命题是：如果四点中任何三点都不共线，那么这四点不共面.逆命题不正确.16.如图，∵AP ∩AR =A ,∴AP 与AR 确定平面APR又P 、R ∈α，∴α∩平面APR =PR .又B ∈平面APR ，C ∈平面APR ，∴BC 平面APR ，即Q ∈平面APR ．又Q ∈α，∴Q ∈α∩平面APR =PR .∴P 、Q 、R 三点共线．点评：欲证三点共线，可以证明某点在经过其余两点的直线上即可．17.∵E 、H 分别是AB 、AD 的中点，∴EH ∥BD ，EH ＝21BD ， ∵F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且32==CD CG CB CF ， ∴EH ∥FG ，EH ≠FG ，∴四边形EFGH 为梯形，则EF 与GH 必相交，设交点为P .∵EF 平面ABC ，∴P ∈平面ABC .又P ∈平面DAC ，平面BAC ∩平面DAC ＝AC .故P ∈AC ，即EF 、GH 、AC 交于一点P .18.(1)若a 与b,c 都相交,a 与b ,a 与c 都能确定平面,故可确定两个平面.(2)若a 与b ,c 之一相交，不妨设a 与b 相交.①a ∥c ,a 与b ,a 与c 都可确定平面故可确定两个平面.②a 与c 不平行，只a 与b 确定平面，故可确定一个平面.(3)若a 与b ,c 都不相交. 第16题图解①若a与b,c之一平行,不妨设a与b平行，只a与b可确定平面,故确定一个平面.②若a与b,c都不平行，又因为都不相交，故不能确定平面.点评：此题应用启发、引导、归纳法讲解,这样才能达到使学生建立空间概念，加强严密的逻辑思维，并达到复习，巩固“分类讨论”的思想方法.本资料来源于《七彩教育网》。

立体几何复习1一、前面学过的所有定理（含公理、推论） 1．平面的基本性质公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

作用：确定直线在平面内。

在后面各种位置关系的研究中，线在面内往往不需再详细证明，但实际上是用了这条公理加以判断。

如左图中PA ⊥底面ABCD ，证明PA ⊥CD ， CD ⊂面ABCD 可以直接用.公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集 合是经过这个公共点的一条直线.作用：判断两个平面是否相交；作两个平面的交线；证明三点共线；证明点在线上（三线共点）等. 典例1A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭直线 A B C D PE P l P l P ααββ∈⎫⇒=∈⎬∈⎭且典例2典例3公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3：经过两条平行的直线有且只有一个平面. 作用：确定平面的依据；证明共面问题. 典例1已知:,,,A l B l C l D l ∈∈∈∉，求证：直线AD ，BD ，CD 共面.B ·lAα典例2 已知a ∥b ，,c a A c b B ⋂=⋂=，求证：直线,,ab c 共面.2．线线、线面、面面位置关系 线线关系：公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行．（证线线平行的一种常用方法） 等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．（异面直线所成角和二面角平面角定义时均用到） 例：若一个角两边和另一个角两边分别平行，一个角为30，则另一个为 .异面直线定义 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线. 异面直线判定定理 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线.A B l B l l ααα∉⎫⎪∈⎪⇒⎬∉⎪⎪⊂⎭与AB 是异面直线 （四个条件）异面直线所成的角 范围(0,90]注意平移转化为两条射线所成角时两解的可能. 典例1（第一次检测第11题）在空间四边形ABCD 中，AB=CD=8，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，若异面直线AB 与CD 所成的角为60°，则MN 的长_____ _____．AC书写格式：BD取中点O，连结OM,ONM N，分别是BC,AD的中点∴OM∥CD，ON∥AB∴MON∠就是异面直线AB与CD所成角或其补角．．．．即MON=60120∠或典例2（国庆假期作业1第20题）直四棱柱A1B1C1D1—ABCD底面是边长为1的菱形，侧棱长为.2(1) 求证：平面A1DC1⊥平面BB1DD1；(2) 若异面直线B1D与A1D1所成角为60°，求二面角A1－DB1－C1的平面角的余弦值；(3) 判断∠DB1C1能否为钝角？请说明理由.线线垂直的定义：如果两条直线所成的角为90 ，则这两条直线互相垂直.ABCDD1 C1B1A1记作a∥α（1线线平行 线面平行线线平行 线面平行面面平行线线平行 (要将定理口诀化)典例1已知平面α，β，γ两两相交，,,a b c αββγγα⋂=⋂=⋂=．若a ∥b ，求证直线,,a b c两两平行．典例2若,,a a l αβαβ⋂= ，则.a l（课本P45 9）已知平面,,αβγ，且,αββγ ，求证：.αγ面面平行 线线平行 线面平行 面面平行（2）线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互推出关系： 线线垂直线线垂直 线面垂直 面面垂直注意两个唯一：经过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；经过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.注意结论,a b a α⊥ ，则b α⊥成立但不能直接用来证明.如国庆假期作业（2）第13题：13．矩形ABCD ，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为AB 、PC 的中点， （1）求证：MN ∥平面PAD ； （2）求证：MN ⊥CD ；（3）若∠PDA=450，求证：MN ⊥平面PCD.典例1已知：,,a αβαγβγ⋂=⊥⊥，则a γ⊥.法1：法2典例2（课本P45探究•拓展 12）求证：如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直．,a a αβ⊥ ，则βα⊥.若将条件改为“如果一个平面与另一个平面的垂面平行”呢？线面角、二面角：斜线和平面所成的角的概念：书写格式：AC α⊥ BC ∴为AB 在平面α上的射影 ABC ∴∠就是直线AB 与平面α所成角 常见错误写法：AC BC⊥ ABC ∴∠就是直线AB 与平面α所成角斜线和平面所成的角(0,90) 直线和平面所成的角[0,90]二面角的平面角的概念：书写格式：,OA a OB a AOB ⊥⊥∴∠ 就是二面角a αβ--的平面角 （线在面内可以省略不写）注意三种角书写格式的差异！二、立体几何考查的常见几类问题： 1．判断题：例1 （2009江苏卷12）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； （2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； （4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直. 上面命题中，真命题．．．的序号 ★ （写出所有真命题的序号）.例2 已知直线l ，m ，平面,αβ，给出下列四个命题：①若////l l αβαβ⊂，，则； ②若//l l αβαβ⊥⊥，，则； ③若////l m l m αα⊂，，则； ④若l m m l m αβαβαβ⊥=⊂⊥⊥ ，，，，则. 其中真命题是_____ _____．（填上所有你认为正确命题的序号）例3 （国庆假期作业2第9题）正方体1111D C B A ABCD -中，点P 在侧面11B BCC 及其边界上运动，并且总保持AP ⊥1BD ，则P 点的在 运动.2．证明问题：例1 （2008江苏卷16）在四面体ABCD 中，BD AD CD CB ⊥=,，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点， 求证：（1）直线EF//面ACD（2）面EFC ⊥面BCD例2 （2009江苏卷16）如图，在直三棱柱111ABC A BC -中，E,F 分别是11A B,AC 的中点，点D 在11B C 上，11A D BC ⊥. 求证：（1）EF ∥ABC 平面； （2）111AFD BBC C ⊥平面平面.BCA FDE例3 （国庆假期作业1第18题）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点．求证：(1) AP MN；(2) 平面MNP∥平面A1BD．α∙AB∙β3．求值问题（角、距离、面积、体积）： （作—证—求—答）例1（2010四川理数）（15）如图，二面角l αβ--的大小是60°，线段AB α⊂.B l ∈，AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是 .解析：过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在β内过C 作l 的垂线.垂足为D连结AD ，有三垂线定理可知AD ⊥l ，故∠ADC 为二面角l αβ--的平面角，为60°[来源:学科网ZXXK] 又由已知，∠ABD ＝30°连结CB ，则∠ABC 为AB 与平面β所成的角设AD ＝2，则AC CD ＝1 AB ＝sin 30AD＝4[来源:学。

资源信息表14．1 （2）平面及其基本性质——三个公理三个推论一、教学内容分析本节的重点和难点是三个公理三个推论.三个公理和三个推论是立体几何的基础，公理1确定直线在平面上；公理2明确两平面相交于一直线；公理3及三个推论给出了确定平面的条件.这些是后面学习空间直线与平面位置关系的基础.所以让学生透彻理解这些公理和性质，把现实中的具体空间问题抽象出来，初步认识直线与平面、平面与平面之间的关系并体会立体几何的基本思想，从而培养学生的空间想象能力，有利于学生更快更好的学习立体几何.二、教学目标设计理解平面的基本性质，能用三个公理三个推论解决简单的空间线面问题；了解一些简单的证明.培养空间想象能力，提高学习数学的自觉性和兴趣.三、教学重点及难点三个公理，三个推论.四、教学过程设计一、讲授新课（一）公理1如果直线l上有两个点在平面α上，那么直线l在平面α上.（直线在平面上）用集合语言表述：,,,A l B l A B l ααα⊂∈∈∈∈⇒≠ （二）公理2如果不同的两个平面α、β有一个公共点A ，那么α、β的交集是过点A 的直线l .（平面与平面相交）用集合语言表述：l A l A ∈=⋂⇒⋂∈且βαβα （三）公理3和三个推论公理3：不在同一直线上的三点确定一个平面.（确定平面）这里“确定”的含义是“有且仅有”用集合语言表述：A ，B ，C 不共线=>A ，B ，C 确定一个平面 推论1：一条直线和直线外的一点确定一个平面. 证明：设A 是直线l 外的一点，在直线l 上任取两点B 和C ，由公理3可知A ，B 和C 三点能确定平面α.又因为点,B C α∈，所以由公理1可知B ，C 所在直线l α⊂≠，即平面α是由直线l 和点 A 确定的平面.用集合语言表述：,A l A l α∉⇒确定平面 推论2：两条相交的直线确定一个平面. 用集合语言表述：,a b A a b α⋂=⇒确定平面 推论3：两条平行的直线确定一个平面. 用集合语言表述：//,a b a b α⇒确定平面 （四）例题解析例1如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别是111,B C BB 的中点，问：直线EF 和BC 是否相交？如果相交，交点在那个平面内？解：111111E B C E B C EF B C F B B F B C ∈⇒∈⎫⇒⊂⎬∈⇒∈⎭≠平面平面平面 又1BC B C ⊂≠平面，则直线EF 和BC 共面； 1111//EF BC BC B C EF BC EF B C E ⎫⎪⇒⎬⎪⋂=⎭与共面与相交 设直线EF 和BC 相交于点p ，则p 在直线BC 上，即点P 在平面ABCD 上.1D 1C 1B 1A DCBA FE[说明]利用公理1确定直线在平面内.例2 如图，若,,,a b c a b P αβαχβχ⋂=⋂=⋂=⋂=，求证：直线C 必过点P.解：a P b P P c P c c αββαχβχχβχβχ⋂=⎫⎫∈⎧⎪⎪⋂=⇒⇒∈⋂⎬⎨⎪⇒∈∈⎬⎩⎪⋂=⎭⎪⎪⋂=⎭[结论]三个平面两两相交得到三条交线，若其中两条交于一点，另一条必过此公共点.例3 空间三个点能确定几个平面？空间四个点能确定几个平面？解：三点共线有无数多个平面；三点不共线可以确定一个平面.所以三点可以确定一个或无数个平面.四点共线有无数个平面；有三点共线可确定一个平面；任意三点不共线能确定1个或3个平面.所以四点可以确定1个或3个或无数个平面.[说明]公理3的简单应用.例4空间三条直线相交于一点，可以确定几个平面？空间四条直线相交于一点，可以确定几个平面？ 解：三条直线相交于一点可以确定1个或3个平面； 四条直线相交于一点可以确定1个、4个或6个平面. [说明]推论2的简单应用.例5 如图，AB//CD ，,AB E CD F αα⋂=⋂=，求作BC 与平面α的交点.解：连接EF 和BC ，交点即为所求BC 与平面 的交点.（公理3和公理2）[说明]推论3的简单应用.三、课堂小结1.公理1：确定直线在平面内；2.公理2：平面与平面相交于一直线；3.公理3和三个推论确定平面的条件；四、课后作业练习14.1（1）2 练习14.1（2）1，2，3五、教学设计说明本章呈现了几何研究的范围从平面扩展到空间时的基本方法.把几何研究的范围从平面扩展到空间后，增加了新的对象——平面.空间几何学是平面几何学的推广，平面几何中研究点与点、点与直线、直线与直线三种位置关系；空间几何中则增加了点与平面、直线与平面、平面与平面三中位置关系.本节的主要内容是让学生理解三个公理和三个推论，运用这些公理和推论进行一些简单的证明.αFBCDEA公理是人们在长期的生活实践的观察和检验中发现的.可以联系生活中的情景来学习三个公理，从而帮助学生学习，加深他们对公理的理解.三个公理和三个推论是空间几何学习的基础，有了这个基础，才能进一步研究空间中点与面、线与面、面与面的位置关系和度量问题.。

立体几何公式定理大全、公理定理（一）平面基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

（二）空间中两条直线的位置关系空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：（1）共面：平行、相交（2）异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角：过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）就是异面直线所成的角。

范围为0 , 90两异面直线间距离: 公垂线段（有且只有一条） 2、若从有无公共点的角度看可分为两类：（1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点——平行或异面三）平行关系1．线面平行定义：直线和平面没有公共点判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

2．面面平行定义：空间两平面没有公共点判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

性质定理引理：两个平面互相平行则其中一个平面内的直线平行于另一个平面。

性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。

（四）垂直关系1线面垂直定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。