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三反证法与放缩法第8课时反证法与放缩法1．反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法称为反证法．2．放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．知识点一反证法证明不等式1．应用反证法推出矛盾的过程中，要把下列哪些作为条件使用( )①假设；②原命题的条件；③公理，定理，定义等；④原命题的结论．A．①②B．①②③C．①②③④D．②③解析：在用反证法证明命题时，要把假设，原命题中的条件，还有公理、定理、定义等作为条件使用，因此应选B.答案：B2．(2019·湖南邵东一中月考)若实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，给出以下说法：①a，b，c中至少有一个大于13；②a，b，c中至少有一个小于13；③a，b，c中至少有一个不大于13；④a，b，c中至少有一个不小于14.其中正确说法的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．0解析：∵实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则在①②中，当a＝b＝c＝13时，满足a ＋b ＋c ＝1，所以命题不正确；对于③中，假设a ，b ，c 三个数都大于13，则a ＋b ＋c >1，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则a ，b ，c 中至少有一个不大于13，所以③是正确的；对于④中，假设a ，b ，c 三个数都小于14，则a＋b ＋c <1，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则a ，b ，c 中至少有一个不小于14，所以④是正确的．综上所述，正确的命题有2个，故选B. 答案：B3．已知三个正数a ，b ，c 成等比数列，但不成等差数列． 求证：a ， b ， c 不成等差数列． 证明：假设a ， b ， c 成等差数列，则有a ＋c ＝2b ，即a ＋c ＋2ac ＝4b . 又∵三个正数a ，b ，c 成等比数列． ∴b 2＝ac ，即b ＝ac .∴a ＋c ＋2ac ＝4ac ，即(a －c )2＝0， ∴a ＝c ，即a ＝c . 从而得a ＝b ＝c .∴a ，b ，c 也成等差数列，这与已知矛盾． 故假设错误，∴a ， b ， c 不成等差数列． 知识点二 放缩法证明不等式 4．已知S ＝1＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n(n 是大于2的自然数)，则有( )A ．S <1B ．2<S <3C ．1<S <2D ．3<S <4解析：S ＝11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n <1＋12＋122＋123＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1<2.又因为S ＝1＋11×2＋…＋11×2×3×…×n >1.故选C.答案：C 5．令P ＝1＋12＋13＋…＋1n ，Q ＝n ，则P 与Q 的大小关系是________． 解析：P ＝1＋12＋13＋…＋1n ≥1n ＋1n ＋…＋1n ＝nn＝n ，当且仅当n ＝1时取等号，∴P ≥Q .答案：P ≥Q6．(2019·辽宁德才期中)求证：1＋122＋132＋…＋1n 2<2.证明：∵1n 2＝1n ·n <1n n －1＝1n －1－1n(n ≥2)， ∴1＋122＋132＋ (1)2<1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1＋1－1n＝2－1n<2.∴原不等式成立．一、选择题1．已知f (x )在R 上为增函数，且f (x 0)＝f (1)，则( ) A ．x 0>1 B ．x 0＝1 C ．x 0<1D ．x 0≠1解析：①若x 0>1，∵f (x )是增函数， ∴f (x 0)>f (1)，这与已知f (x 0)＝f (1)矛盾．②若x 0<1，∵f (x )是增函数，∴f (x 0)<f (1)，这与已知f (x 0)＝f (1)矛盾． 综合①②知，x 0＝1. 答案：B2．设a ，b 是不相等的实数，且a ＋b ＝2，则下列不等式成立的是( ) A ．ab ≤1≤a 2＋b 22 B ．ab ≤a 2＋b 22≤1 C ．1<ab <a 2＋b 22D ．ab <1<a 2＋b 22解析：由不等式 a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ，得a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab .又∵a ＋b ＝2，且a ≠b .∴ab <1<a 2＋b 22.答案：D3．(2019·福清东张中学期中)设a ，b ，c 大于0，a ＋b ＋c ＝3，则3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a的值( ) A ．都大于2 B ．至少有一个不大于2 C ．都小于2D ．至少有一个不小于2解析：假设3个数：a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a <2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a <6，∵a ，b ，c 大于0，利用基本不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥2＋2＋2＝6，这与假设所得结论相矛盾，故假设不成立，所以3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a中至少有一个不小于2，故选D. 答案：D4．(2019·辽宁德才期中)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( )A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D．a，b，c都是偶数解析：因为结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”，可得题设为a，b，c 中恰有一个偶数，所以反设的内容是假设a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数，故选B.答案：B5．设a，b∈R，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出“a，b中至少有一个实数大于1”的条件有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个解析：对于①，a，b均可以小于1；对于②，a，b均可以等于1；对于③，若a，b都不大于1，则a＋b≤2，这与③矛盾，则a，b中至少有一个实数大于1，对于④⑤，a，b可以是负数．答案：A二、填空题6．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为________．解析：由反证法证明的步骤，先假设，即③，再推出矛盾，即①，最后作出判断，肯定结论，即②，顺序应为③①②.答案：③①②7．已知M＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则M与1的大小关系是________．解析：M＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<1210＋1210＋1210＋…＋1210＝210210＝1，即M <1.答案：M <18．若a >0，则a ＋1a＋a 2＋1a 2的最小值为________．解析：∵a >0，∴a ＋1a＋a 2＋1a2≥2a ·1a＋2a ·1a＝2＋2，当且仅当a ＝1时取等号．答案：2＋ 2 三、解答题9．(2019·山东聊城期中)若x ，y 都是正实数，且x ＋y >43.求证：2＋xy <4与2＋yx<4中至少有一个成立．证明：假设2＋xy <4和2＋yx<4都不成立，即2＋xy≥4和2＋yx≥4同时成立．因为x >0且y >0，所以2＋x ≥4y ，且2＋y ≥4x ， 两式相加，得4＋x ＋y ≥4x ＋4y ，所以x ＋y ≤43，这与已知条件x ＋y >43相矛盾，所以2＋xy<4与2＋yx＜4中至少有一个成立．10．(2019·河北沧州七校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，解得d ＝2，∴a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)知b n ＝S n n＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r ∈N *，且互不相等)成等比数列， 则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0. ∵p ，q ，r ∈N *， ∴⎩⎨⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，即(p －r )2＝0， ∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾， ∴假设错误，故数列{b n }中任意不同的三项不可能成等比数列．。
三反证法与放缩法一览众山小诱学·导入材料：从前有个国王总认为自己是个“至高无上的权威”，又是个“大慈大悲”的救世主.在处决犯人前,总要叫犯人抽签决定自己的命运，即在两张小纸片上,一张写“活"字,一张写“死"字，抽到“活”字可幸免一死。
一个囚犯一天将要被处决，他的死对头买通了狱吏，把两张纸片都写上了“死"字让他去抽,心想，这下犯人必死无疑.谁知那个狱吏把此消息透露给了犯人。
国王宣布抽签开始后,那犯人胸有成竹、不慌不忙地抽出一纸片,看也不看便放进嘴里，就吞下肚子,使在场的人慌了手脚，而犯人只受了痛打一顿的处罚而死里逃生了.问题：上述材料中犯人机智地保全了性命，试问你能说清理由吗?导入：因为谁都搞不清犯人抽到的是“死”还是“活"，此时,国王查看剩下的纸片上写的是“死”字，由此反证,可知被犯人吞下的是“活”字了.于是国王下令，将犯人痛打一顿，以责罚他不该擅自吞吃纸片，随后又不得不将犯人释放了.上述材料中犯人机智地运用反证法保全了性命，真可谓棋高一筹.这就是反证法思想在生活中的应用,下面就研究反证法以及放缩法在不等式证明中的应用.温故·知新1何谓矛盾呢？答:在逻辑中指两个概念互相排斥或两个判断不能同时为真也不能同时为假的关系.2。
生活中的归谬证法是什么意思呢?答:归谬证法是指：当我们发现对方意见谬误时，不予驳斥和争辩，而是顺着他的思路，把谬误推导出来。
对方的意见原来可能只考虑到一方面的效果,而忽略了另一方面的影响以及可能产生的负作用，所以归谬论证就有意朝这些方面推导。
这种推导有时可以适当地夸大，使谬误更加明显,这就等于给对方戴上望远镜与显微镜.在整个推导过程中,自己始终表现得十分真诚，而且越真诚效果越好。
对方感到你如此真诚地按照他的意见进行设想，而结果又是如此荒谬,往往会禁不住哑然失笑.这笑是笑他本人的愚笨,于是你的目的也达到了，这就是古人所采用的归谬论证法的效果.。
2.3 反证法与放缩法教学目标：1、通过实例，体会反证法的含义、过程与方法，了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。
2．感受在什么情况下，需要用放缩法证明不等式。
3．探索用放缩法证明不等式的理论依据和技巧。
教学重点：体会反证法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题。
掌握证明不等式的两种放缩技巧。
教学难点：会用反证法证明简单的命题。
体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”。
教学过程:一、引入：前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。
也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。
但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。
所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。
其中，反证法是间接证明的一种基本方法。
反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。
具体地说，反证法不直接证明命题“若p 则q ”，而是先肯定命题的条件p ，并否定命题的结论q ，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。
利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。
二、典型例题：例1、设233=+b a ，求证.2≤+b a证明：假设2>+b a ，则有b a ->2，从而.2)1(68126,61282233323+-=+->+-+->b b b b a b b b a因为22)1(62≥+-b ，所以233>+b a ，这与题设条件233=+b a 矛盾，所以，原不等式2≤+b a 成立。
例2、设二次函数q px x x f ++=2)(，求证：)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一个不小于21. 证明：假设)3(,)2(,)1(f f f 都小于21，则 .2)3()2(2)1(<++f f f （1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f （2）（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。
