人教A版(文科数学) 数学归纳法 单元测试

数学归纳法1．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明 )214121(2114131211nn n n +++++=-++-+-时，若已假设2(≥=k k n 为偶 数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（ ）A ．1+=k n 时等式成立B ．2+=k n 时等式成立C ．22+=k n 时等式成立D ．)2(2+=k n 时等式成立2．设)(21312111)(*∈+++++++=N n n n n n n f ，则=-+)()1(n f n f （ ）A ．121+nB ．221+nC ．221121+++n nD ．221121+-+n n 3．用数学归纳法证明3)12(12)1()1(2122222222+=+++-++-+++n n n n n 时，由k n =的假设到证明1+=k n 时，等式左边应添加的式子是 （ ）A ．222)1(k k ++B ．22)1(k k ++ C ．2)1(+k D ．]1)1(2)[1(312+++k k4．某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时 命题也成立. 现已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得（ ）A ．当n=6时该命题不成立B ．当n=6时该命题成立C ．当n=4时该命题不成立D ．当n=4时该命题成立5．用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-⋅⋅⋅⋅=+++n n n n n n”（+∈N n ）时，从 “1+==k n k n 到”时，左边应增添的式子是（ ）A ．12+kB ．)12(2+kC ．112++k k D ．122++k k 6．用数学归纳法证明“nn n n n 212111211214131211+++++=--++-+- ”时， 由k n =的假设证明1+=k n 时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（ ） A ．1212111+++++k k k B ．2211212111+++++++k k k kC ．1212121+++++k k k D ．22112121++++++k k k 7. 数列{}n a 的前n 项和)2(2≥⋅=n a n S n n ，而11=a ，通过计算,,,432a a a 猜想=n a ( )A ．2)1(2+n B ．)1(2+n nC ．122-nD ．122-n 8．已知数列{}n a 的通项公式∈+=n n a n()1(12 N*），记)1()1)(1)(1()(321n a a a a n f ----= ， 通过计算)4(),3(),2(),1(f f f f 的值，由此猜想=)(n f（ ）A ．)1(22++n nB ．nn 42+ C ．2)1(12+-n n D ．)1(1++n n n9．数列{}n a 中，a 1=1，S n 表示前n 项和，且S n ，S n+1，2S 1成等差数列，通过计算S 1，S 2， S 3，猜想S n =（ ）A ．1212-+n n B ．1212--n n C ．nn n 2)1(+ D ．1－121-n10．a 1=1，,,,01)(2)(,321211a a a a a a a a n n n n n n 计算且=++-->+++然后猜想=n a ( )A ．nB ．n2C ．n 3D ．n n -+311．设,20πθ<<已知,2,cos 211n n a a a +==+θ则猜想=n a（ ）A ．n2cos2θB ．12cos2-n θC ．12cos2+n θD ．n2sin2θ12．从一楼到二楼的楼梯共有n 级台阶，每步只能跨上1级或2级，走完这n 级台阶共有)(n f 种走法，则下面的猜想正确的是（ ）A ．)3()2()1()(≥-+-=n n f n f n fB ．)2()1(2)(≥-=n n f n fC ．)2(1)1(2)(≥--=n n f n fD ．)3()2()1()(≥--=n n f n f n f二、填空题13．凸k 边形内角和为)(k f ，则凸1+k 边形的内角为+=+)()1k f fk . 14．平面上有n 条直线，它们任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条这样的直线把平面分 成)(k f 个区域，则1+k 条直线把平面分成的区域数+=+)()1(k f k f . 15．用数学归纳法证明“)(2221*+∈++≥N n n n n ”时，第一步验证为 .16．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，nny x +能被y x +整除”，当第二步假设)(12*∈-=N k k n 命题为真时，进而需证=n 时，命题亦真.17．数列{}n a 中，,924,1111=+-=++n n n n a a a a a 且通过计算,,,432a a a 然后猜想=n a ____. 18．在数列{}n a 中，,)1(,111n n a n a a +==+通过计算,,,432a a a 然后猜想=n a 19．设数列{}n a 的前n 项和S n =2n －a n （n ∈N +），通过计算数列的前四项，猜想=n a _____. 20．已知函数,22)(xx f -=记数列{}n a 的前n 项和为S n ，且2),1(1≥=n f a 当时， ),25(21)(22-+=-n n a f S n n 则通过计算,,,321a a a 的值，猜想{}n a 的通项公式=n a ___.三、解答题21．用数学归纳法证明：)12(2)1()12)(12(532311222++=+-++⋅+⋅n n n n n n ；22．用数学归纳法证明： （Ⅰ）2974722--n n能被264整除；（Ⅱ）121)1(-+++n n a a 能被12++a a 整除（其中n ，a 为正整数）23．用数学归纳法证明： （Ⅰ）n n ≤-+++++1214131211 ； （Ⅱ）)1(11211112>>++++++n nn n n ；24．数列1212,2,}{--==n n n a p p a p a a 中， p 是不等于零的常数，求证：p 不在数列}{n a 中.25．设数列2112183,163:}{-+==n n n x x x x ，其中*∈≥N n n ,2， 求证：对*∈N n 都有 （Ⅰ）210<<n x ； （Ⅱ）1+<n n x x ； （Ⅲ）n n x )21(21->.26．是否存在常数a ，b ，c ，使等式 ∈+++=+++⋅+⋅n c bn an n n n n 对)(12)1()1(32212222N +都成立，并证明你的结论.27．已知数列{}n a 的各项为正数，其前n 项和为S n ，又n n S a 与满足关系式：n n n S a S a S a S =++++++2424242211 ，试求{}n a 的通项公式.28．已知数列{}n a 的各项为正数，S n 为前n 项和，且)1(21nn n a a S +=，归纳出a n 的公式，并证明你的结论.29．已知数列{}n a 是等差数列，,2,131==a a 设∈=++++=-n k a a a a P n k n ,3(1931 N +）， ∈-=++++=n n m a a a a Q m n ,24(1062 N +），问P n 与Q n 哪一个大？证明你的结论.30．已知数列{}n a ：∈-==-n a p a a n n (1||,110N* ),10,<<p （Ⅰ）归纳出a n 的公式，并证明你的结论； （Ⅱ）求证：.01<<-n a p数学归纳法《答案与解析》一、1.B 2.D 3.B 4.C 5.B 6.D 7.B 8.A 9.D 10.B 11.B 12.A二、13．π， 14．1+k ， 15．当1=n 时，左边=4=右边，命题正确. 16．12+k17．1256--n n 18．n ！ 19．1212--n n 20．n+1 21．当1+=k n 时，左边=)32(2)2)(1()32)(12()1()12(2)1(2+++=++++++k k k k k k k k k .22．（Ⅰ）当1+=k n 时，29748433)29747(4929747222)1(2)1(2⨯+⨯+--⨯=--++k k k k k)29747(49)9482(833)29747(49223422--⨯=⨯+⨯⨯+--⨯=-k k k k k )9482(26434⨯+⨯+-k 能被264整除，命题正确.（Ⅱ）1+=k n 时，2121212122)1(])1([)1()1(+-++++=++++-+++a a a a a a a ak k k k k k)1(])1([)1(211212++-+++=+-+a a a a a a k k k 能被12++a a 整除.23．（Ⅰ）当1+=k n 时，左边+≤-+++-+++=+k k k k )12121()121211(1 （k k k 212121+++ ）1212+=⋅+=k k k k=右边，命题正确（Ⅱ）1+=k n 时，左边>++++++++=))1(111(111222k k k k .)1)1(11111)12(1222>+--+=-+⋅++k k k k k k k24．先用数学归纳法证明p n n a n 1+=；假设001=⇒=⇒=p p np a n 与条件矛盾. 25．三小题都用数学归纳法证明： （Ⅰ）︒1. 当1=n 时，210,16311<<∴=x x 成立； ︒2. 假设k n =时，210<<k x 成立，∴当1+=k n 时，21412183218321=⨯+<+=+k k x x ，2k 项而210,08311<<∴>>++k k x x ； 由︒︒2,1知，对*∈N n 都有210<<n x . （Ⅱ）︒1. 当n =1时，1212832183x x x >>+=，命题正确； ︒2. 假设k n =时命题正确，即1+<k k x x ，当1+=k n 时，2211,0k k k k x x x x >∴>>++ ，1221221832183+++=+>+=∴k k k k x x x x ，命题也正确； 由︒1，︒2知对*∈N n 都有1+<n n x x .（Ⅲ）︒1. 当n =1时，11)21(21163->=x ，命题正确； ︒2. 假设k n =时命题正确，即k k x )21(21->∴当1+=k n 时，])21()21(41[2183])21(21[218321832221kk k k k x x +-⨯+=-⨯+>+=+1121)21(21)21()21(21+++->+-=k k k ，命题正确； 由︒1、︒2知对*∈N n 都有n n x )21(21->.26．令n=1得24=++c b a ①， 令n=2得4424=++c b a ②，令n=3得7039=++c b a ③， 解①、②、③得a =3，b=11，c=10，记原式的左边为S n ，用数学归纳法证明猜想)10113(12)1(2+++=n n n n S n （证明略） 27．计算得,6,4,2321===a a a 猜测n a n 2=，用数学归纳法证明（证明略）. 28．∵;12)1(211;1)1(21222211111-=⇒+=+=⇒+==a a a a a a a a S ∵23)1(2123333-=⇒+=+a a a a ，…，猜想∈--=n n n a n (1N*）.用数学归纳法证明（略）.29．∵,22+=n a n ∴,41232132132131101-+=++++++=-n P n n ;22212421224212142nn n Q n +=+-+++-⨯++-⨯= 计算得①当1≤n ≤3时，P n <Q n ；②猜想n ≥4时P n ＞Q n ，用数学归纳法证明，即证：当n ≥4时1(;1432+=+>k n n n 时用比较法证）30．（Ⅰ）∵pp p p p a p p p a a +-+-=-+--⋅=+-+-=+-=⇒=1)(111)(1,1)(111323220,…，猜测pp a nn +-+-=1)(1，数学归纳法证明（略）.（Ⅱ）∵,0)1()(11;0,1|)(|01>+--=+<∴<-<+p p p p a a p n n n n而 ∴.01,1<<-->n n a pp a 得。

高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册第四章4.4数学归纳法同步练习（含答案）2021年高中数学人教A版（新教材）选择性必修第二册§4.4数学归纳法一、选择题1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证不等式() A．1＋<2B．1＋＋<2C．1＋＋<3D．1＋＋＋<32．用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上()A．B．－C．－D．＋3．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k 时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则()A．该命题对于n>2的自然数n都成立B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与k取值无关D．以上答案都不对4．利用数学归纳法证明1＋＋＋＋…＋A．1项B．k项C．2k－1项D．2k项5．对于不等式(1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法()A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确6．某命题与自然数有关，如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，则可推得n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，则可推得()A．当n＝6时，该命题不成立B．当n＝6时，该命题成立C．当n＝4时，该命题不成立D．当n＝4时，该命题成立7．(多选题)用数学归纳法证明不等式＋＋＋…＋＞的过程中，下列说法正确的是()A．使不等式成立的第一个自然数n0＝1B．使不等式成立的第一个自然数n0＝2C．n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是D．n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是二、填空题8．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋＝2时，若已知假设n＝k(k≥2)为偶数时，命题成立，则还需要用归纳假设再证________．9．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开________．10．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，用数学归纳法证明f(2n)>时，f(2k＋1)－f(2k)＝________.11．已知n为正偶数，用数学归纳法证明“1－＋－＋…＋－＝2”时，第一步的验证为________；若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设证n＝________时等式成立．12．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.三、解答题13．(1)用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)；(2)用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2(n∈N*)．14．已知正项数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋(n∈N*)．用数学归纳法证明：an15．是否存在a，b，c使等式＋＋＋…＋＝对一切n∈N*都成立？若不存在，说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论．参考答案一、选择题1．答案：B解析：因为n∈N*，n>1，故第一步应验证n＝2的情况，即1＋＋<2.故选B.]2．答案：C解析：因为当n＝k时，左端＝1－＋－＋…＋－，当n＝k＋1时，左端＝1－＋－＋…＋－＋－.所以，左端应在n＝k的基础上加上－.] 3．答案：B解析：由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立，且n ＝2时命题成立，故对所有的正偶数都成立．]4．答案：D解析：用数学归纳法证明不等式1＋＋＋＋…＋5．答案：D解析：在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，即从n＝k到n ＝k＋1的推理不正确．故选D.6．答案：C解析：若n＝4时，该命题成立，由条件可推得n＝5命题成立．它的逆否命题为：若n＝5不成立，则n＝4时该命题也不成立．7．答案：BC解析：n＝1时，＞不成立，n＝2时，＋＞成立，所以A错误B 正确；当n＝k时，左边的代数式为＋＋…＋，当n＝k＋1时，左边的代数式为＋＋…＋，故用n＝k＋1时左边的代数式减去n＝k时左边的代数式的结果，即－＝为不等式的左边增加的项，故C正确D错误，故选BC.二、填空题8．答案：n＝k＋2时等式成立解析：由于n为正偶数，已知假设n＝k(k≥2)为偶数，则下一个偶数为n＝k＋2.故答案为：n＝k＋2时等式成立．9.答案：(k＋3)3解析：假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除；当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3.为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．故答案为(k＋3)3.10.＋＋…＋解析：因为假设n＝k时，f(2k)＝1＋＋＋…＋，当n＝k＋1时，f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋…＋，所以f(2k＋1)－f(2k)＝1＋＋＋…＋＋＋…＋－(1＋＋＋…＋)＝＋＋…＋.11.当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝2×＝，等式成立k＋2解析：对1－＋－＋…＋－＝2在n为正偶数，用数学归纳法证明．归纳基础，因为n为正偶数，则基础n＝2，当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝2×＝，等式成立；归纳假设，当n＝k(k≥2且k为偶数)时，1－＋－＋…＋－＝2成立，由于是所有正偶数，则归纳推广，应到下一个数为n＝k＋2时，等式成立．12.答案：π解析：由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.三、解答题13．证明：(1)①当n＝1时，左边＝1＋2＋3＋4＝10，右边＝＝10，左边＝右边．②假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋3＋…＋(k＋3)＝，那么当n＝k＋1时，1＋2＋3＋…＋(k＋3)＋(k＋4)＝＋(k＋4)＝，即当n＝k＋1时，等式成立．综上，1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)．(2)①当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边②假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，即1＋＋＋…＋<2，那么当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋<2＋，因为4k2＋4k<4k2＋4k＋1，所以2<2k＋1，所以2＋＝＝综上，由①②可知1＋＋＋…＋<2.14．证明：①当n＝1时，a2＝1＋＝，a1②假设n＝k(k∈N*)时，ak＝－＝>0，所以，当n＝k＋1时，不等式成立．综上所述，不等式an15．解：取n＝1，2，3可得解得：a＝，b＝，c＝.下面用数学归纳法证明＋＋＋…＋＝＝.即证12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)．①n＝1时，左边＝1，右边＝1，∴等式成立；②假设n＝k时等式成立，即12＋22＋…＋k2＝k(k＋1)(2k＋1)成立，则当n＝k＋1时，等式左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝k(k＋1)(2k＋1)＋(k＋1)2＝[k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2]＝(k＋1)(2k2＋7k＋6)＝(k＋1)(k ＋2)·(2k＋3)，∴当n＝k＋1时等式成立．由数学归纳法，综合①②知当n∈N*时等式成立，故存在a＝，b＝，c＝使已知等式成立.。

1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12<2B ．1＋12＋13<2C ．1＋12＋13<3D ．1＋12＋13＋14<3解析：选B.∵n ∈N *，n >1，∴n 取第一个正整数为2，左端分母最大的项为122－1＝13.2．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”的第二步是( )A ．假使n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3正确(k ∈N *)B ．假使n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1正确(k ∈N *)C ．假使n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1正确(k ∈N *)D ．假使n ≤k (k ≥1)时正确，再推n ＝k ＋2时正确(k ∈N *)解析：选B.正奇数的第一值为1，应假设n ＝2k －1时正确，其后面的正奇数为2k ＋1，应再推n ＝2k ＋1正确．故选B.3．(2013·商丘高二检测)在证明不等式1＋12＋13＋…＋12n ＋1＞n 2(n ∈N *)时，假设n ＝k时成立，当n ＝k ＋1时，左端增加的项数是( )A ．1项B ．2k项 C ．k 项 D ．k －1项解析：选B.令f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1.则f (k )＝1＋12＋13＋…＋12k ＋1，f (k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1＋1.∴f (k ＋1)－f (k )＝12k ＋2＋12k ＋3＋…＋12k ＋1＋1.∵(2k ＋1＋1)－(2k ＋2)＋1＝2k，∴增加了2k项．4．(2013·济南高二检测)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2解析：选D.当n ＝k 时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2，故当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2，故选D.5．某个命题与正整数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时该命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知当n ＝5时该命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝6时该命题不成立B ．当n ＝6时该命题成立C ．当n ＝4时该命题不成立D ．当n ＝4时该命题成立解析：选C.由题意知当n ＝k ＋1时命题不成立可推知当n ＝k (k ∈N *)时命题不成立．因此若当n ＝5时该命题不成立，可推知当n ＝4时该命题也不成立．故选C.6．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )＝________.解析：f (n ＋1)－f (n )＝⎝⎛1n ＋1＋1＋1n ＋1＋2＋…＋12n⎭⎪⎫＋1n ＋1＋n ＋1n ＋1＋n ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 答案：12n ＋1－12n ＋27．(2013·合肥高二检测)用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n·1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)，“从k 到k ＋1”左端增乘的代数式为________．解析：令f (n )＝(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )，则f (k )＝(k ＋1)·(k ＋2)…(k ＋k )，f (k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)．∴f (k ＋1)f (k )＝(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)．答案：2(2k ＋1)8．(2013·银川调研)用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n ，总有2n >n 3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n 0最小应当是__________．解析：∵210＝1024>103,29＝512<93， ∴填10. 答案：109．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2.证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝(－1)1－1×1×22＝1，结论成立．(2)假设当n ＝k 时，结论成立．即12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时， 12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k·(k ＋1)－k ＋2k ＋22＝(－1)k·(k ＋1)(k ＋2)2＝(－1)(k ＋1)－1·(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2.即n ＝k ＋1时结论也成立．由(1)(2)可知，对一切正整数n 都有此结论成立．10．证明不等式1＋12＋13＋ (1)＜2n (n ∈N *)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2.左边＜右边，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，不等式成立．即1＋12＋13＋…＋1k＜2k .则当n ＝k ＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＜2k ＋1k ＋1＝2k k ＋1＋1k ＋1＜(k )2＋(k ＋1)2＋1k ＋1＝2(k ＋1)k ＋1＝2k ＋1.∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)可知，原不等式对任意n ∈N *都成立．。

2019届人教A版（文科数学）归纳与类比单元测试1.根据给出的数塔,猜测123 456×9+7等于()1×9+2=11;12×9+3=111;123×9+4=1 111;1 234×9+5=11 111;12 345×9+6=111 111.A.1 111 110B.1 111 111C.1 111 112D. 1 111 113答案:B2.已知=2=3=4,……,若=6(a,b∈R),则()A.a=5,b=24B.a=6,b=24C.a=6,b=35D.a=5,b=35解析:观察式子的特点可知,分式的分子a与根号外的数相同,而分母b则为该数的平方减1.答案:C3.观察下列事实:|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8,|x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12,……,则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为()A.76B.80C.86D.92解析:由已知条件得|x|+|y|=n(n∈N+)的不同整数解(x,y)的个数为4n,所以|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为80,故选B.答案:B4.观察下列各式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,……,由此得出的一般性结论是()A.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=n2B.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2C.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=n2D.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=(2n-1)2解析:观察各等式的构成规律可以发现,各等式的左边是(2n-1)(n∈N+)项的和,其首项为n,右边是项数的平方,故第n个等式左边的首项为n,末项是3n-2,右边是(2n-1)2,即得出的一般性结论是n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.答案:B5.若凸n(n≥3,n∈N)边形有f(n)条对角线,则归纳出凸n+1边形的对角线条数f(n+1)与f(n)之间的关系式为()A.f(n+1)=f(n)+n+1B.f(n+1)=f(n)+nC.f(n+1)=f(n)+n-1D.f(n+1)=f(n)+n-2解析:由题知f(4)-f(3)=2-0=2,f(5)-f(4)=5-2=3,f(6)-f(5)=9-5=4,……所以f(n+1)-f(n)=n-1,即f(n+1)=f(n)+n-1.答案:C★6.如图,第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来的(n=1,2,3,…),则第n个图形中的顶点个数为()A.(n+1)(n+2)B.(n+2)(n+3)C.n2D.n解析:第1个图形共有12=3×4个顶点,第2个图形共有20=4×5个顶点,第3个图形共有30=5×6个顶点,第4个图形共有42=6×7个顶点,故第n个图形共有(n+2)(n+3)个顶点.答案:B7.已知f(n)=1++…+ (n∈N+),经计算f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,推测当n≥2时,有.解析:f(2)=f(21)=,f(4)=f(22)>2=,f(8)=f(23)>,f(16)=f(24)>3=,f(32)=f(25)>,故f(2n)≥.答案:f(2n)≥8.观察下列图形:由此规律可知第30个图形比第27个图形中的“☆”多颗.解析:由题图可知,第2个图形比第1个图形多2颗“☆”,第3个图形比第2个图形多3颗“☆”,第4个图形比第3个图形多4颗“☆”,由此可得第28个图形比第27个图形多28颗“☆”,第29个图形比第28个图形多29颗“☆”,第30个图形比第29个图形多30颗“☆”,所以第30个图形比第27个图形多28+29+30=87(颗)“☆”.答案:879.观察以下各等式:sin230°+cos260°+sin 30°cos 60°=,sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°=,sin215°+cos245°+sin 15°cos 45°=.分析上述各式的共同特点,猜想出反映一般规律的等式,并对等式的正确性作出证明.解猜想:sin2α+cos2(α+30°)+sin αcos(α+30°)=.证明:sin2α+cos2(α+30°)+sin αcos(α+30°)==1+sin(2α+30°)-=sin(30°+2α)+sin(2α+30°)=.所以sin2α+cos2(α+30°)+sin αcos(α+30°)=成立.10.已知a,b为正整数,设两条直线l1:y=b-x与l2:y=x的交点为P1(x1,y1),且对于n≥2的自然数,两点(0,b),(x n-1,0)的连线与直线y=x交于点P n(x n,y n).(1)求点P1,P2的坐标;(2)猜想点P n的坐标公式.分析两条直线的交点坐标可通过解方程组求出,由两点坐标又可写出新的直线方程,从而猜想出点P n 的坐标.解(1)解方程组得P1.过(0,b),两点的直线方程为=1,与y=x联立,解得P2.(2)由(1)可猜想P n.★11.如图为刺绣中比较简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮;现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形.(1)求出f(5)的值;(2)利用归纳思想,归纳出f(n+1)与f(n)之间的关系式,并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式;(3)求+…+的值.解(1)由f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,得f(5)=41.(2)由题意知f(1)=1,f(2)-f(1)=4=4×1,f(3)-f(2)=8=4×2,f(4)-f(3)=12=4×3,f(5)-f(4)=16=4×4,……由以上规律,可得出f(n+1)-f(n)=4n,所以f(n+1)=f(n)+4n.当n≥2时,f(n)=f(n-1)+4(n-1)=f(n-2)+4(n-1)+4(n-2)=f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)=…=f[n-(n-1)]+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+…+4[n-(n-1)]=f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+…+4=1+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+…+4=1+2n(n-1).又当n=1时,满足上式,所以f(n)=1+2n(n-1).(3)由(2)知,当n≥2时,f(n)-1=2n(n-1),所以.故+…+=1++…+=1+.。

单元质检卷十算法初步、统计与统计案例(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.(2018河北唐山三模,4)总体由编号为01,02,03,…,49,50的50个个体组成,利用随机数表(以下选取了随机数表中的第1行和第2行)选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取,则选出来的第4个个体的编号为()66 67 40 67 1464 05 71 95 8611 05 65 09 6876 83 20 37 9057 16 00 11 6614 90 84 45 1175 73 88 05 9052 83 20 37 90A.05B.09C.11D.202.《中国诗词大会》的播出引发了全民的读书热,某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛,班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号,小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号,其他学生得到“诗词爱好者”的称号,根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生,则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为()A.2B.4C.5D.63.(2018河南安阳押题卷,6)我们可以用随机模拟的方法估计π的值,如下程序框图表示其基本步骤(函数RAND是产生随机数的函数,它能随机产生(0,1)内的任何一个实数),若输出的结果为527,则由此可估计π的近似值是()A.126B.3.132C.3.151D.3.1624.为考察某种药物对预防禽流感的效果,在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验,根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图,最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是()5.(2019届福建形成性测试卷,7)某市在对两千多名出租车司机的年龄进行的调查中,从两千多名出租车司机中随机抽选100名司机,已知这100名司机的年龄都在20岁至50岁之间,且根据调查结果得出的年龄情况频率分布直方图如图所示(部分图表污损).利用这个残缺的频率分布直方图,可估计该市出租车司机年龄的中位数大约是()A.31.4岁B.32.4岁C.33.4岁D.36.4岁6.在利用最小二乘法求回归方程=0.67x+54.9时,用到了下面表中的5组数据,则表格中a的值为()A.68B.70C.75D.72二、填空题(本大题共3小题,每小题7分,共21分)7.(2018重庆二诊,13)某公司对一批产品的质量进行检测,现采用系统抽样的方法从100件产品中抽取5件进行检测,对这100件产品随机编号后分成5组,第一组1~20号,第二组21~40号,…,第五组81~100号,若在第二组中抽取的编号为24,则在第四组中抽取的编号为.8.某高校进行自主招生,先从报名者中筛选出400人参加笔试,再按笔试成绩择优选出100人参加面试.据此估计允许参加面试的分数线大约是分.9.(2018陕西宝鸡质量检测三,14)已知a、b、c为集合A={1,2,3,4,5}中三个不同的数,通过如图所示算法框图给出的算法输出一个整数a,则输出的数a=5的概率是.三、解答题(本大题共3小题,共37分)10.(12分)“共享单车”的出现,为我们提供了一种新型的交通方式.某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度,从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了20个用户,得到了一个用户满意度评分的样本,并绘制出如图茎叶图.(1)根据茎叶图,比较两城市满意度评分的平均值和方差(不要求计算出具体值,得出结论即可);(2)若得分不低于80分,则认为该用户对此种交通方式“认可”,否则认为该用户对此种交通方式“不认可”,请根据此样本完成下列2×2列联表,并据此样本分析,能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为城市拥堵与认可共享单车有关.P(K2≥k)0.05 0.010k 3.841 6.635参考公式)) ) ) )11.(12分)(2018安徽六安仿真模拟,18)某地级市共有200 000名中小学生,其中有7%的学生在2017年享受了“国家精准扶贫”政策,在享受“国家精准扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次:一般困难、很困难、特别困难,且人数之比为5∶3∶2,为进一步帮助这些学生,当地市政府设立“专项教育基金”,对这三个等次的困难学生每年每人分别补助1 000元、1 500元、2 000元.经济学家调查发现,当地人均可支配年收入较上一年每增加n%,一般困难的学生中有3n%会脱贫,脱贫后将不再享受“精准扶贫”政策,很困难的学生中有2n%转为一般困难,特别困难的学生中有n%转为很困难.现统计了该地级市2013年到2017年共5年的人均可支配年收入,对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中统计量的值,其中年份x取13时代表2013年,x与y(万元)近似满足关系式y=C1·,其中C1,C2为常数.(2013年至2019年该市中学生人数大致保持不变)其中k i=log2y i,k i(1)估计该市2018年人均可支配年收入;(结果精确到0.1)(2)求该市2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为多少?附:对于一组具有线性相关关系的数据(u1,v1),(u2,v2),…,(u n,v n),其回归直线方程v=βu+α的斜率和截距-) -).的最小二乘估计分别为-)12.(13分)(2018江西上饶检测)某高中有高一新生500名,分成水平相同的A,B两类教学实验,为对比教学效果,现用分层抽样的方法从A,B两类学生中分别抽取了40人,60人进行测试.(1)求该学校高一新生A,B两类学生各多少人?(2)经过测试,得到以下三个数据图表:75分以上A,B两类参加测试学生成绩的茎叶图图1100名测试学生成绩的频率分布直方图图2100名学生成绩频率分布表:①先填写频率分布表中的六个空格,然后将频率分布直方图(图2)补充完整;②该学校拟定从参加考试的79分以上(含79分)的B类学生中随机抽取2人代表学校参加市比赛,求抽到的2人分数都在80分以上的概率.单元质检卷十算法初步、统计与统计案例1.B从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取,符合条件的编号有14,05,11,05,09,因为05出现了两次,所以选出来的第4个个体的编号为09.2.B由题得:诗词达人有8人,诗词能手有16人,诗词爱好者有16人,分层抽样抽选10名学生,所以诗词能手有16×=4人.3.D由程序框图可得x2+y2+z2<1发生的概率为π×13×.当输出的结果为527时,x2+y2+z2<1发生的概率为,所以,解得π≈=3.162,故选D.4.D根据四个列联表的等高条形图知,图形D中不服药与服药时患禽流感的差异最大,它最能体现该药物对预防禽流感有效果.故选D.5.A由频率分布直方图可知[20,25)的频率为0.1,[25,30)的频率为0.3,[30,35]的频率为0.35.因为0.1+0.3<0.5<0.1+0.3+0.35,所以中位数x0∈(30,35).由0.1+0.3+(x0-30)·0.07=0.5,得x0≈31.43,故选A.6.A由题意可得(10+20+30+40+50)=30,(62+a+75+81+89)=(a+307),因为回归直线方程=0.67x+54.9过样本点的中心,所以(a+307)=0.67×30+54.9,解得a=68.7.64设在第一组中抽取的号码为a1,则在各组中抽取的号码构成首项为a1,公差为20的等差数列,即a n=a1+(n-1)×20,又在第二组中抽取的号码为24,即a1+20=24,所以a1=4,所以在第四组中抽取的号码为4+(4-1)×20=64.8.80因为参加笔试的400人中择优选出100参加面试,所以每个人被择优选出的概率P=.因为随机调查24名笔试者的成绩,所以估计能够参加面试的人数为24×=6,观察题中表格可知,分数在[80,85)的有5人,分数在[85,90]的有1人,故面试的分数线大约为80分.9.由算法可知输出的a是a、b、c中最大的一个,若输出的数为5,则这三个数中必须要有5,从集合A={1,2,3,4,5}中任选三个不同的数共有10种取法:{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5},满足条件的有6种,故所求概率为.10.解 (1)A城市满意度评分的平均值小于B城市满意度评分的平均值;A城市满意度评分的方差大于B城市满意度评分的方差.(2)2×2列联表如下:K2的观测值k=-)≈2.667<3.841,所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为城市拥堵与认可共享单车无关.11.解 (1)因为(13+14+15+16+17)=15,所以(x i-)2=(-2)2+(-1)2+12+22=10.由k=log2y得k=log2(C1·)=log2C1+C2x,-) -)所以C2=,log2C1=-C2=1.2-×15=-0.3,所以C1=2-0.3≈0.8,所以y=0.8×.-)当x=18时,2018年人均可支配年收入y=0.8×21.8=0.8×3.5=2.8(万).(2)由题意知2017年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生共200 000×7%=14 000(人),一般困难、很困难、特别困难的中学生依次有7 000人、4 200人、2 800人,2018年人均可支配收入比2017年增长-=20.1-1=0.1=10%,所以2018年该市特别困难的中学生有2 800×(1-10%)=2 520(人),很困难的学生有4 200×(1-20%)+2 800×10%=3 640(人),一般困难的学生有7 000×(1-30%)+4 200×20%=5 740(人).所以2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为5 740×1 000+3 640×1 500+2 520×2 000=1 624(万).12.解 (1)由题意知A类学生有500×=200(人),则B类学生有500-200=300(人).(2)①②79分以上的B类学生共4人,记80分以上的三人分别是{1,2,3},79分的学生为{a}.从中抽取2人,有(12)、(13)、(1a)、(23)、(2a)、(3a)共6种抽法,抽出2人均在80分以上有:(12)、(13)、(23)共3种抽法,则抽到2人均在80分以上的概率为P=.。

选修2-2 2. 3 数学归纳法一、选择题1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( ) A ．1＋12<2 B ．1＋12＋13＜2 C ．1＋12＋13＜3 D ．1＋12＋13＋14＜3 [答案] B[解析] ∵n ∈N *，n ＞1，∴n 取第一个自然数为2，左端分母最大的项为122－1＝13， 2．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋an ＋1＝1－a n ＋21－a(n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1时，左边所得的项为( ) A ．1 B ．1＋a ＋a 2 C ．1＋a D ．1＋a ＋a 2＋a 3[答案] B[解析] 因为当n ＝1时，a n ＋1＝a 2，所以此时式子左边＝1＋a ＋a 2.故应选B.3．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) A.12n ＋1 B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2[答案] D[解析] f (n ＋1)－f (n )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(n ＋1)＋1＋1(n ＋1)＋2＋…＋12n ＋12n ＋1＋12(n ＋1) －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＝12n ＋1＋12(n ＋1)－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 4．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝6时该命题不成立B ．当n ＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立[答案] C[解析]原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是()A．假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题也成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题也成立C．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题也成立D．假设n＝2k＋1(k∈N)，证明n＝k＋1时命题也成立[答案] C[解析]∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为()A．f(n)＋n＋1B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2[答案] C[解析]增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.7．用数学归纳法证明“对一切n∈N*，都有2n>n2－2”这一命题，证明过程中应验证() A．n＝1时命题成立B．n＝1，n＝2时命题成立C．n＝3时命题成立D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立[答案] D[解析]假设n＝k时不等式成立，即2k>k2－2，当n＝k＋1时2k＋1＝2·2k>2(k2－2)由2(k2－2)≥(k－1)2－4⇔k2－2k－3≥0⇔(k＋1)(k－3)≥0⇒k≥3，因此需要验证n＝1,2,3时命题成立．故应选D.8．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，存在自然数m ，使得对任意n ∈N *，都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( )A ．30B ．26C ．36D ．6[答案] C[解析] 因为f (1)＝36，f (2)＝108＝3×36，f (3)＝360＝10×36，所以f (1)，f (2)，f (3)能被36整除，推测最大的m 值为36.9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2、a 3、a 4，猜想a n ＝( )A.2(n ＋1)2B.2n (n ＋1)C.22n －1D.22n －1[答案] B[解析] 由S n ＝n 2a n 知S n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1∴S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n∴a n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n∴a n ＋1＝n n ＋2a n (n ≥2)． 当n ＝2时，S 2＝4a 2，又S 2＝a 1＋a 2，∴a 2＝a 13＝13a 3＝24a 2＝16，a 4＝35a 3＝110. 由a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110猜想a n ＝2n (n ＋1)，故选B. 10．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N ＋)，某学生的证明过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，上述证法( )A ．过程全都正确B ．n ＝1验证不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确[答案] D[解析] n ＝1的验证及归纳假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.二、填空题11．用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N *)”时，第一步的验证为________．[答案] 当n ＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立[解析] 当n ＝1时，左≥右，不等式成立，∵n ∈N *，∴第一步的验证为n ＝1的情形．12．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n (n ＋1)，通过计算得S 1＝12，S 2＝23，S 3＝34，由此可猜测S n ＝________.[答案] n n ＋1 [解析] 解法1：通过计算易得答案．解法2：S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 13．对任意n ∈N *,34n ＋2＋a 2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a ＝________.[答案] 5[解析] 当n ＝1时，36＋a 3能被14整除的数为a ＝3或5，当a ＝3时且n ＝3时，310＋35不能被14整除，故a ＝5.14．用数学归纳法证明命题：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n (3n ＋1)＝n (n ＋1)2.(1)当n 0＝________时，左边＝____________，右边＝______________________；当n ＝k 时，等式左边共有________________项，第(k －1)项是__________________．(2)假设n ＝k 时命题成立，即_____________________________________成立．(3)当n ＝k ＋1时，命题的形式是______________________________________；此时，左边增加的项为______________________．[答案] (1)1；1×(3×1＋1)；1×(1＋1)2；k ；(k －1)[3(k －1)＋1](2)1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2(3)1×4＋2×7＋…＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2；(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]三、解答题15．求证：12－22＋32－42＋…＋(2n －1)2－(2n )2＝－n (2n ＋1)(n ∈N *)．[证明] ①n ＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．②假设n ＝k 时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＝－k (2k ＋1)2. 当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)－(4k ＋3)＝－(2k 2＋5k ＋3)＝－(k ＋1)[2(k ＋1)＋1]，所以n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②得，等式对任何n ∈N *都成立．16．求证：12＋13＋14＋…＋12n －1>n －22(n ≥2)． [证明] ①当n ＝2时，左＝12>0＝右， ∴不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立．即12＋13＋…＋12k －1>k －22成立． 那么n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋12k －1 ＋12k －1＋1＋…＋12k －1＋2k －1>k －22＋12k －1＋1＋…＋12k >k －22＋12k ＋12k ＋…＋12k ＝k －22＋2k －12k ＝(k ＋1)－22， ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．据①②可知，不等式对一切n ∈N *且n ≥2时成立．17．在平面内有n 条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．求证：这n 条直线将它们所在的平面分成n 2＋n ＋22个区域．[证明] (1)n ＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2)时，k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块不同的区域，命题成立． 当n ＝k ＋1时，设其中的一条直线为l ，其余k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块区域，直线l 与其余k 条直线相交，得到k 个不同的交点，这k 个点将l 分成k ＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k ＋1块．从而k ＋1条直线将平面分成k 2＋k ＋22＋k ＋1＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＋22块区域． 所以n ＝k ＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，原命题成立．18．(2010·衡水高二检测)试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N *)，并用数学归纳法证明你的结论．[分析] 由题目可获取以下主要信息：①此题选用特殊值来找到2n ＋2与n 2的大小关系；②利用数学归纳法证明猜想的结论．解答本题的关键是先利用特殊值猜想．[解析] 当n ＝1时，21＋2＝4>n 2＝1，当n ＝2时，22＋2＝6>n 2＝4，当n ＝3时，23＋2＝10>n 2＝9，当n ＝4时，24＋2＝18>n 2＝16，由此可以猜想，2n ＋2>n 2(n ∈N *)成立下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．(2)假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2>k2.那么n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N*都成立．。

单元测评(四) 数学归纳法证明不等式(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．用数学归纳法证明“1＋a ＋a2＋…＋an ＋1＝1－an ＋21－a (a≠1，n ∈N*)”时，在验证当n ＝1成立时，左边计算所得的结果是( ) A ．1 B ．1＋a C ．1＋a ＋a2 D ．1＋a ＋a2＋a3解析：由于等式左边当n ＝1时，幂指数的最大值为1＋1＝2，所以左边计算结果为1＋a ＋a2. 答案：C 2．满足1×2＋2×3＋3×4＋…＋n×(n ＋1)＝3n2－3n ＋2的自然数n ＝( ) A ．1 B ．1或2 C ．1,2,3 D ．1,2,3,4解析：经验证当n ＝1,2,3时均正确，但当n ＝4时，左边＝1×2＋2×3＋3×4＋4×5＝40，而右边＝3×42－3×4＋2＝38，故选C. 答案：C3．用数学归纳法证明“2n ＞n2＋1对于n≥n0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )A ．2B ．3C ．5D ．6解析：当n≤4时，2n ＜n2＋1；当n≥5时，2n ＞n2＋1. 于是n0应取5. 答案：C4．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764成立时，起始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：原不等式可化为1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＞12764，即2⎝⎛⎭⎫1－12n ＞12764， 即2－12n －1＞12764，所以2－12764＞12n －1，即164＞12n －1，即126＞12n －1. 故26＜2n －1，即n －1＞6，故n ＞7，所以n 最小取8. 答案：B5．用数学归纳法证明“对于任意x ＞0和正整数n ，都有xn ＋xn －2＋xn －4＋…＋1xn －4＋1xn －2＋1xn ≥n ＋1”时，需验证的使命题成立的最小正整数n 应为( ) A ．n ＝1 B ．n ＝2 C ．n ＝1,2 D ．以上答案均不正确答案：A6．若命题P(n)对n ＝k 成立，则它对n ＝k ＋2亦成立，又若P(n)对n ＝2成立，则下列结论正确的是( )A ．P(n)对所有正整数n 成立B ．P(n)对所有正偶数n 成立C ．P(n)对所有正奇数n 成立D ．P(n)对所有比1大的自然数n 成立 答案：B7．利用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＞1324(n≥2，n ∈N*)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时，不等式的左边( ) A ．增加了一项12k ＋1B ．增加了两项12k ＋1和12k ＋1C ．增加了一项12k ＋2，并减少了1k ＋1D ．增加了两项12k ＋1和12k ＋2，并减少了1k ＋1答案：D8．用数学归纳法证明“Sn ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1＞1(n ∈N*)”时，S1等于( ) A.12B.12＋13C.12＋13＋14 D ．以上答案均不正确答案：C9．用数学归纳法证明12＋cosα＋cos3α＋…＋cos(2n －1)α＝sin2n ＋12α·co s 2n －12αsinα(k ∈Z*，α≠kπ，n ∈N*)，在验证n ＝1时，左边计算所得的项是( ) A.12B.12＋cosα C.12＋cosα＋cos3α D ．cosα答案：B10．设平面内有n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条直线的交点个数为f(k)，则f(k ＋1)与f(k)的关系为( ) A ．f(k ＋1)＝f(k)＋k －1 B ．f(k ＋1)＝f(k)＋k ＋1 C ．f(k ＋1)＝f(k)＋k D ．f(k ＋1)＝f(k)＋k ＋2 答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．数列{an}中，a1＝1，且Sn 、Sn ＋1、2S1成等差数列，则S2、S3、S4分别为__________，猜想Sn ＝__________. 答案：32、74、158 2n －12n －112．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋n22，则n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 时的基础上加上__________．答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k ＋1)213．已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N*)，用数学归纳法证明“f(2n)＞n2”时，f(2k ＋1)－f(2k)＝__________.答案：12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋114．用数学归纳法证明“n3＋5n 能被6整除”的过程中，当n ＝k ＋1时，对式子(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为__________．答案：(k3＋5k)＋3k(k ＋1)＋6三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)求证：an ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a2＋a ＋1整除，n ∈N ＋. 证明：(1)当n ＝1时，a1＋1＋(a ＋1)2×1－1＝a2＋a ＋1，命题显然成立．(2)假设n ＝k(k ∈N ＋，k≥1)时，ak ＋1＋(a ＋1)2k －1能被a2＋a ＋1整除，则当n ＝k ＋1时， ak ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝a·ak ＋1＋(a ＋1)2·(a ＋1)2k －1＝a[ak ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a ＋1)2(a ＋1)2k －1－a(a ＋1)2k －1＝a[ak ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1.由归纳假设知，上式中的两项均能被a2＋a ＋1整除，故n ＝k ＋1时命题成立． 由(1)(2)知，对n ∈N ＋，命题成立．(12分)16．(12分)求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＞56(n≥2，n ∈N*)．证明：(1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＞56，不等式成立．(2)假设当n ＝k(k≥2，且k ∈N*)时命题成立． 即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＞56.当n ＝k ＋1时，1k ＋1＋1＋1k ＋1＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋1＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋⎝⎛⎭⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1＞56＋⎝⎛⎭⎫3·13k ＋3－1k ＋1＝56，从而当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)、(2)知，原不等式对一切n≥2，n ∈N*均成立．(12分)17．(12分)用计算、归纳猜想、证明法求数列11×3，13×5，15×7，…，12n －12n ＋1，…的前n项之和Sn.解：观察数列知，S1＝11×3＝13＝12×1＋1，S2＝11×3＋13×5＝25＝22×2＋1，S3＝11×3＋13×5＋15×7＝37＝32×3＋1，…由以上推导可猜想：11×3＋13×5＋15×7＋…＋12n －12n ＋1＝n2n ＋1.(4分) 证明：(1)当n ＝1时，左边＝11×3＝13，右边＝12×1＋1＝13，等式成立； (2)假设n ＝k 时等式成立，即11×3＋13×5＋15×7＋…＋12k －12k ＋1＝k2k ＋1. 当n ＝k ＋1时，11×3＋13×5＋15×7＋…＋12k －12k ＋1＋1[2k ＋1－1][2k ＋1＋1]＝k 2k ＋1＋1[2k ＋1－1][2k ＋1＋1]＝k 2k ＋1＋12k ＋12k ＋3 ＝2k2＋3k ＋12k ＋12k ＋3＝k ＋12k ＋3＝k ＋12k ＋1＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时，等式成立．根据(1)、(2)知，等式对于任何n ∈N*都成立． (12分)18．(14分)已知数列{bn}是等差数列，b1＝1，b1＋b2＋…＋b10＝100. (1)求数列{bn}的通项bn ；(2)设数列{an}的通项an ＝lg ⎝⎛⎭⎫1＋1bn ，记Sn 是数列{an}的前n 项和，试比较Sn 与12lgbn ＋1的大小，并证明你的结论．解：(1)设数列{bn}的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b1＝1，10b1＋1010－12d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧b1＝1，d ＝2. 从而bn ＝2n －1.(4分)(2)由bn ＝2n －1，知Sn ＝lg(1＋1)＋lg(1＋13)＋…＋lg ⎝⎛⎭⎫1＋12n －1＝lg ⎣⎡⎦⎤1＋1⎝⎛⎭⎫1＋13·…·⎝⎛⎭⎫1＋12n －1，12lgbn ＋1＝lg 2n ＋1. 因此要比较Sn 与12lgbn ＋1的大小，可先比较(1＋1)·⎝⎛⎭⎫1＋13·…·⎝⎛⎭⎫1＋12n －1与2n ＋1的大小． 取n ＝1，有(1＋1)＞2·1＋1；取n ＝2，有(1＋1)⎝⎛⎭⎫1＋13＞ 2·2＋1，…由此推测(1＋1)·⎝⎛⎭⎫1＋13·…·⎝⎛⎭⎫1＋12n －1＞2n ＋1.① 若①式成立，则由对数函数性质可断定Sn ＞12lgbn ＋1.(6分)下面用数学归纳法证明①式．(Ⅰ)当n ＝1时，已验证①式成立． (Ⅱ)假设当n ＝k(k≥1)时，①式成立， 即(1＋1)⎝⎛⎭⎫1＋13·…·⎝⎛⎭⎫1＋12k －1＞ 2k ＋1.当n ＝k ＋1时，(1＋1)⎝⎛⎭⎫1＋13·…·⎝⎛⎭⎫1＋12k －1⎝⎛⎭⎫1＋12k ＋1－1＞2k ＋1⎝⎛⎭⎫1＋12k ＋1＝2k ＋12k ＋1(2k ＋2)．∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k ＋12k ＋12k ＋22－[2k ＋3]2 ＝4k2＋8k ＋4－4k2＋8k ＋32k ＋1＝12k ＋1＞0， ∴2k ＋12k ＋1(2k ＋2)＞2k ＋3＝2k ＋1＋1.因而(1＋1)⎝⎛⎭⎫1＋13·…·⎝⎛⎭⎫1＋12k －1·⎝⎛⎭⎫1＋12k ＋1＞2k ＋1＋1. 这就是说①式当n ＝k ＋1时也成立．由(Ⅰ)、(Ⅱ)知①式对任何正整数n 都成立． 由此证得Sn ＞12lgbn ＋1.(14分)。

2.3数学归纳法第1课时数学归纳法1.用数学归纳法证明“2 n >n 2+ 1对于n 》n o 的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n o 应取( )•A. 2 B . 3 C . 5 D . 6解析 当n 取1、2、3、4时2n >n 2 3 4+ 1不成立，当n = 5时，25= 32>52 + 1 = 26,第一个 能使2n >n 2+ 1的n 值为5,故选C. 答案 C/. f ( n + 1) — f ( n ) = + + . 3n 3n + 13 n + 2答案 D 4.用数学归纳法证明关于 n 的恒等式，当n = k 时，表达式为1X 4+ 2x 7+-+k (3 k + 1)n + 3 n + 4 2(n € N+)，验证n = 1时, 左边应取的项是A. 1B. 1 + 2C. 1 + 2+ 3D. 1 + 2 + 3+ 4 2 •用数学归纳法证明等式 1 + 2+ 3+・・・+ (n + 3)= 解析 等式左边的数是从1加到n + 3. 当n = 1时，n + 3 = 4,故此时左边的数为从 1加到4. 答案 D1 1 1 3 .设 f (n ) = 1 + 7+7+…+ (n € N+)，那么 f ( n + 1) — f (n )等于23 3n — 11 A .3 n +2 1 1C.3n + 1+ 3n + 2 1 1 B~ +3n 3n +11 1 1 D. + + 3n 3n +1 3n + 2解析 1 1 ••• f(n ) = 1 + + 3+…+13n — 1，••• f (n+ 1) = 1 +5+1+…+1 1 1 1+ —+ + —3n—13 n 3n+ 13 n + 2'5 1 162=k ( k +1)，则当n = k + 1时，表达式为 ____________ . 答案 1X 4+2x 7+-+ k (3k + 1) + (k + 1)(3 k + 4) = (k +1)( k + 2)65. ________________________________________________________________________ 记凸k 边形的内角和为f ( k )，则凸k + 1边形的内角和f (k + 1) = f (k ) + ____________________________ .解析 由凸k 边形变为凸k +1边形时，增加了一个三角形图形， 故f (k +1) = f (k ) + n. 答案 n 6 .用数学归纳法证明：1 1 1 1 1 1-L 亠…亠 = _L 亠…亠 ---- 1X2 3X4^ 〒 2n — 1 ・2n n + 订 n + 2〒〒 n + n 11 1证明(1)当n = 1时，左边==R 右边=：,等式成立. 1X2 2 2 ⑵假设当n = k (k € N)时，等式成立，即1 1 1 1---------------- ------- + ----- +■ . ■+ -2k — 1 ・2k k + 1+ k + 2 + +2k则当n = k + 1时,1 ________________ 1 2k — 1 __+ 2k + 1 2k + 2k+__+1+ k + 1 __+2 +^+ k +1 __ + k +1 __+__k + 1 .即当 n= k+ 1时，等式成立.根据(1) (2)可知，对一切n €N *,等式成立.综合提高限时25分钟7.若命题A (n )( n € N*)在n = k (k € N)时命题成立，则有 n = k + 1时命题成立.现知命题对 n =ni o (n o €N*)时命题成立，则有( ).A. 命题对所有正整数都成立B. 命题对小于n o 的正整数不成立，对大于或等于n o 的正整数都成立C.命题对小于n o 的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n o 的正整数都成立D. 以上说法都不正确解析 由已知得n =n o (n °€ N)时命题成立，则有 n = n o + 1时命题成立；在 n = n o + 1时 命题成立的前提下，又可推得n = (n o + 1) + 1时命题也成立，依此类推，可知选 C.1 2k +12k + 12k + 212k+ 1 2k + 26& 用数学归纳法证明(n + 1)( n + 2)( n + 3) •••( n + n ) = 2n • 1 • 3 ……(2 n — 1)( n € N ),从 n =k 到n = k + 1，左边增加的代数式为( )•A. 2k + 1 B . 2(2k + 1) 2k + 1 2k + 3 C. k + 1D. k + 1解析 n = k 时，左边=(k + 1)( k + 2)…(2 k ) ； n = k + 1 时，左边=(k + 2)( k + 3)…(2 k + 2) = 2( k + 1)( k + 2)…(2 k )(2 k + 1)，故选 B. 答案 B9. 分析下述证明 2 + 4+・・・+ 2n = n 2+ n +1(n € N+)的过程中的错误：证明 假设当n = k (k € N+)时等式成立，即2 + 4+・・・+ 2k = k 2+ k + 1,那么2 + 4+・・・+2 22k + 2(k + 1) = k + k + 1 + 2(k + 1) = (k + 1) + (k + 1) + 1，即当 n = k + 1 时等式也成 立•因此对于任何n € N+等式都成立. ___________________ .答案缺少步骤归纳奠基，实际上当 n =1时等式不成立10. 用数学归纳法证明(1 + 1)(2 + 2)(3 + 3) •••(□+ n ) = 2n —1 •( n 2+ n )时，从 n = k 到 n = k + 1左边需要添加的因式是 _____________ .解析 当n = k 时，左端为：(1 + 1)(2 + 2)…(k + k ), 当n = k + 1时，左端为：(1 + 1)(2 + 2) •••( k + k )( k + 1+ k + 1), 由k 到k +1需添加的因式为：(2k + 2). 答案 2k + 2 11•用数学归纳法证明222n n +12n +1*1 +2 +…+ n =6(n € N).证明 (1)当n = 1时，左边=12= 1,亠丄1 x 1 +1 x 2X 1+ 1右边= =1,等式成立.⑵假设当n = k (k € N *)时等式成立，即,2 2 , 2 k k+ 12k+ 11 +2 +•••+ k =2 2 . 2 . 21 +2 +•••+ k + (k + 1)6k k + 12k + 1 + 6 k + 162k + 1 2k + 7k + 6 6k + 1 k + 22k + 36 k +1[ k +1+1][2 k +1 +1]6即当n = k + 1时等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对任何 n € N *都成立.112.(创新拓展)已知正数数列{a}( n € N)中，前n 项和为S ，且2S n =审+r ，用数学归纳a法证明：an = "£n — \： n — 1. 证明 (1)当n = 1时.2••• a 1= 1( a n >0),••• a 1= 1，又 1 —詁0= 1, • n = 1时，结论成立.⑵假设n = k (k € N*)时，结论成立， 即 a k = k — k — 1. 当n = k + 1时，a k + 1 = S k + 1 — S k1 11 1 =—a k +1 +一二 a k + — 2a k +12 a k=—a k +1 + — — . k — k — 1 +2 a k +1 2 k — k — 1 =1 a k +1+ — k 2 a k +1 -k k + 12k + 162卜(k +1a 1 = S = a 1 +1 a;•- a k+1 + 2&a k+1—1 = 0，解得a k+ 1 =寸k + 1 —^/k(a n>0), •n= k + 1时，结论成立.由(1)(2)可知，对n€ N*都有a n=・.n—.n— 1.1 1+ +…+ k + 2+k+3+ +12k +2k + 1+2k + 21 1。

第二章 推理与证明2.3 数学归纳法[A 级 基础巩固]一、选择题1．用数学归纳法证明“2n ＞n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( )A ．2B ．3C ．5D ．6解析：当n 取1、2、3、4时2n ＞n 2＋1不成立，当n ＝5时，25＝32＞52＋1＝26，第一个能使2n ＞n 2＋1的n 值为5. 答案：C2．用数学归纳法证明某命题时，左式为12＋cos α＋cos 3α＋…＋cos (2n －1)α(α≠k π，k ∈Z ，n ∈N *)，在验证n ＝1时，左边所得的代数式为( )A.12B.12＋cos αC.12＋cos α＋cos 3 α D.12＋cos α＋cos 3 α＋cos 5 α 解析：令n ＝1，左式＝12＋cos α. 答案：B3．记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋( )A.π2 B ．π C.3π2 D ．2π解析：由凸k 边形变成凸k ＋1边形时，增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π.答案：B4．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，第二步归纳递推应写成( )A ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N *)时正确，再推n ＝2k ＋3时正确B ．假设n ＝2k －1(k ∈N *)时正确，再推n ＝2k ＋1时正确C ．假设n ＝k (k ∈N *)时正确，再推n ＝k ＋1时正确D ．假设n ＝k (k ∈N *)时正确，再推n ＝k ＋2时正确解析：因为n 为正奇数，所以在证明时，归纳递推应写成：假设n ＝2k －1(k ∈N *)时正确，再推出n ＝2k ＋1时正确．故选B.答案：B5．若命题A (n )(n ∈N *)在n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立，现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有( )A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确解析：由已知可得n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有n ＝n 0＋1时命题成立，在n ＝n 0＋1时命题成立的前提下，可推得n ＝(n 0＋1)＋1时命题也成立．以此类推可知命题对大于或等于n 0的正整数都成立，但命题对小于x 0的正整数成立与否不能确定．答案：C 二、填空题6．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n＝p(n)”从n＝k推导n＝k＋1时原等式的左边应增加的项数是________．解析：观察不等式左边的分母可知，由n＝k到n＝k＋1左边多出了12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1共2k＋1－2k项．答案：2k＋1－2k7．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝1－2k＋11－2＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N*，等式都成立．上述证明的错误是________．解析：本题在由n＝k成立，证n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．答案：未用归纳假设8．用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k ＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为________．解析：当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81·34k＋2＋25·52k＋1＝25(34k ＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2.答案：25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2三、解答题9．用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n （2n ＋2）＝ n 4（n ＋1）. 证明： (1)当n ＝1时，左边＝12×4＝18，右边＝18等式成立． (2)假设n ＝k 时，等式成立，即12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k （2k ＋2）＝k 4（k ＋1）成立． 当n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k （2k ＋2）＋1（2k ＋2）（2k ＋4）＝k 4（k ＋1）＋1（2k ＋2）（2k ＋4）＝k （k ＋2）＋14（k ＋1）（k ＋2）＝ （k ＋1）24（k ＋1）（k ＋2）＝k ＋14（k ＋2）＝k ＋14[（k ＋1）＋1]. 所以n ＝k ＋1时，等式成立．由(1)、(2)可得对一切n ∈N *，等式成立．10．求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N *)． 证明：(1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＝1920>56，不等式成立． (2)假设当n ＝k (n ≥2，n ∈N *)时命题成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56. 那么当n ＝k ＋1时，1（k ＋1）＋1＋1（k ＋1）＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13（k ＋1）＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1>56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1>56＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋3＋13k ＋3＋13k ＋3－1k ＋1＝56. 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)和(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *都成立．B 级 能力提升1．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋14对一切n ∈N *都成立，那么a ，b 的值为( )A ．a ＝12，b ＝14B ．a ＝b ＝14C ．a ＝0，b ＝14D ．a ＝14，b ＝12解析：因为1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋14对一切n ∈N *都成立，所以当n ＝1，2时有⎩⎪⎨⎪⎧1＝3（a －b ）＋14，1＋2×3＝32（2a －b ）＋14，即⎩⎪⎨⎪⎧1＝3a －3b ＋14，7＝18a －9b ＋14， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝14.答案：A2．用数学归纳法证明“当n ∈N *时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数”时，当n＝1时，原式为____________，从n＝k 到n＝k＋1时需增添的项是____________．解析：当n＝1时，原式应加到25×1－1＝24，所以原式为1＋2＋22＋23＋24，从n＝k到n＝k＋1时需添25k＋25k＋1＋…＋25(k＋1)－1.答案：1＋2＋22＋23＋2425k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋43．设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2－a n x－a n＝0有一根为S n－1(n∈N*)．(1)求a1，a2；(2)猜想数列{S n}的通项公式，并给出证明．解：(1)当n＝1时，方程x2－a1x－a1＝0有一根S1－1＝a1－1，所以(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝1 2，当n＝2时，方程x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a1＋a2－1＝a2－12，所以⎝⎛⎭⎪⎫a2－122－a2⎝⎛⎭⎪⎫a2－12－a2＝0，解得a2＝16.(2)由题意知(S n－1)2－a n(S n－1)－a n＝0，当n≥2时，a n＝S n－S n－1，代入整理得S n S n－1－2S n＋1＝0. 解得S n＝12－S n－1.由(1)得S1＝a1＝12，S2＝a1＋a2＝12＋16＝23.猜想S n＝nn＋1(n∈N*)．下面用数学归纳法证明这个结论．①当n＝1时，结论成立．②假设n＝k(k∈N*)时结论成立，即S k＝kk＋1，当n＝k＋1时，S k＋1＝12－S k＝12－kk＋1＝k＋1k＋2＝k＋1（k＋1）＋1.所以当n＝k＋1时，结论也成立．由①②可知，{S n}的通项公式为S n＝nn＋1(n∈N*)．。

新人教A版高二4.4* 数学归纳法(1212)1.一个与正整数n有关的命题，当n=2时命题成立，且由n=k时命题成立可以推得n=k+2时命题也成立，则（）A.该命题对于n>2的自然数n都成立B.该命题对于所有的正偶数都成立C.该命题何时成立与k的取值无关D.以上答案都不对2.在用数学归纳法证明“2n>n2对从n0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n0的值为（）A.1B.3C.5D.73.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n+y n能被x+y整除”，第二步归纳假设应该写成（）A.假设当n=k(k∈N∗)时，x k+y k能被x+y整除B.假设当n=2k(k∈N∗)时，x k+y k能被x+y整除C.假设当n=2k+1(k∈N∗)时，x k+y k能被x+y整除D.假设当n=2k−1(k∈N∗)时，x2k−1+y2k−1能被x+y整除4.利用数学归纳法证明不等式1+12+13+⋯+12n−1<f(n)(n⩾2，n∈N∗)的过程中，由n=k到n=k+1时左边增加了（）A.1项B.k项C.2k−1项D.2k项5.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形对角线的条数f(n+1)=（）A.f(n)+n+1B.f(n)+nC.f(n)+n−1D.f(n)+n−26.用数学归纳法证明1n+1+1n+2+⋯+12n>1324(n⩾2)的过程中，设f(k)=1k+1+1k+2+⋯+12k，从n=k递推到n=k+1时，不等式左边为（）A.f(k)+12k+1B.f(k)+12k+1+12k+1C.f(k)+12k+1+⋯+12k+1−1k+1D.f(k)+12k+1−1k+17.用数学归纳法证明“1+(1+2)+(1+2+3)+⋯+(1+2+3+⋯+n)=n(n+1)(n+2)6”的过程中，由n=k到n=k+1时，等式左边需要添加的项是（）A.k(k+1)2B.k(k+1)2+1C.[k(k+1)2+1]+⋯+[(k+1)(k+2)2]D.(k+1)(k+2)28.用数学归纳法证明1n +1n+1+1n+2+⋯+1n2>1的过程中，从n=k到n=k+1时，左边应增加的项是（）A.1k2+1+1k2+2+⋯+1(k+1)2−1kB.1(k+1)2−1kC.1k2+1+1k2+2+⋯+1(k+1)2D.1k2+1+1(k+1)2−1k9.在用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+⋯+12n>12(n>1,n∈N∗)的过程中，从n=k到n=k+1时，左边需要增加的代数式是.10.用数学归纳法证明某个命题时，左边为1×2×3×4+2×3×4×5+⋯+n·(n+1)·(n+2)·(n+3)，从n=k到n=k+1时，左边需增加的代数式为.11.用数学归纳法证明“1−12+13−14+⋯+12n−1−12n=1n+1+1n+2+⋯+12n(n∈N∗)”的过程中，第一步应验证的等式是，从n=k到n=k+1时，左边需增加的代数式是.12.用数学归纳法证明1+2+22+⋯+2n−1=2n−1(n∈N∗)的过程如下：①当n=1时，左边=1，右边=21−1=1，等式成立；②假设当n=k时，等式成立，即1+2+22+⋯+2k−1=2k−1，则当n=k+1时，1+2+ 22+⋯+2k−1+2k=1−2k+11−2=2k+1−1，所以当n=k+1时，等式也成立.由此可知，对任意n∈N∗，等式都成立.上述证明过程中的错误是.13.设n∈N∗，求证：112+122+⋯+1n2⩽2−1n.14.已知数列｛a n｝的前n项和为S n,a1=−23，S n+1S n+2=a n(n⩾2).(1)求S1，S2，S3并猜想S n表达式；(2)用数学归纳法证明(1)中猜想.15.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N∗)能被9整除”，要利用归纳假设证n=k+1时的情况，只需展开（）A.(k+3)3B.(k+2)3C.(k+1)3D.(k+1)3+(k+2)316.空间内n(n∈N∗)个平面最多可将空间分成f(n)=an3+bn2+cn+1个部分.(1)求a，b，c的值；(2)用数学归纳法证明此结论.参考答案1.【答案】:B【解析】:由n=k时命题成立可以推出n=k+2时命题也成立，且n= 2时命题成立，故该命题对于所有的正偶数都成立.2.【答案】:C【解析】:当n=1时，2n>n2；当n=2时，2n=n2；当n=3时，2n<n2；当n=4时，2n=n2；当n⩾5时，2n>n2，所以第一步验证的n0的值为5.故选 C.3.【答案】:D【解析】:∵n为正奇数，∴n=2k−1，k∈N∗，故选 D.4.【答案】:D【解析】:由题意知，当n=k时，最后一项为12k−1，当n=k+1时，最后一项为12k+1−1，∴由n=k到n=k+1时，左边增加了2k+1−1−(2k−1)=2k(项)，故选 D.5.【答案】:C【解析】:增加一个顶点，就增加(n+1−3)条经过该点的对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n+1)=f(n)+1+n+1−3=f(n)+n−1.故选 C.6.【答案】:C【解析】:当n=k时，左端=1k+1+1k+2+⋯+12k，那么当n=k+1时，左端=1k+2+1k+3+⋯+12k +12k+1+⋯+12k+1，故从n=k递推到n=k+1时不等式左边为f(k)+12k+1+⋯+1 2k+1−1k+1.故选C.7.【答案】:D【解析】:当n=k时，左边最后一项为1+2+3+⋯+k=k(k+1)2，当n=k+1时，左边最后一项为1+2+3+⋯+(k+1)=(k+1)(k+2)2，∴从n=k到n=k+1，等式左边需要添加的项为(k+1)(k+2)2，故选 D.8.【答案】:A【解析】:用数学归纳法证明1n +1n+1+1n+2+⋯+1n2>1时，假设n=k时不等式成立，左边=1k +1k+1+1k+2+⋯+1k2，则当n=k+1时，左边=1k+1+1k+2+1k+3+⋯+1(k+1)2，∴由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了1k2+1+1k2+2+⋯+1(k+1)2−1k，故选 A.9.【答案】:12k+1−12k+2【解析】:当n=k时，左边的代数式为1k+1+1k+2+⋯+12k，当n=k+1时，左边的代数式为1k+2+1k+3+⋯+1k+1+k+1，故从n=k到n=k+1时，左边需要增加的代数式为1 2k+1+12k+2−1k+1=12k+1−12k+2.10.【答案】:(k+1)·(k+2)·(k+3)·(k+4)【解析】:从n=k到n=k+1时，左边需增加的代数式是(k+1)·(k+2)·(k+3)·(k+ 4).11.【答案】:1−12=12；12(k+1)−1−12(k+1)【解析】:用数学归纳法证明“1−12+13−14+⋯+12n−1−12n=1n+1+1n+2+⋯+12n(n∈N∗)”的过程中，第一步应验证的等式为1−12=12. 从n=k到n=k+1时，左边需增加的代数式为[1−12+13−14+⋯+12(k+1)−1−12(k+1)]−[1−12+13−14+⋯+12k−1−12k]=12(k+1)−1−12(k+1).12.【答案】:没有用到归纳假设【解析】:正确的过程是在②中，当n=k+1时，1+2+22+⋯+2k−1+2k=2k−1+2k= 2k+1−1,即用到了归纳假设.13.【答案】:(1)当n=1时，1⩽2−1=1，不等式成立；(2)假设当n =k(k ∈N ∗)时，不等式成立，即112+122+⋯+1k 2⩽2−1k ，则当n =k +1时，112+122+⋯+1k 2+1(k+1)2⩽2−1k +1(k+1)2<2−1k+1k(k+1)=2−1k+(1k −1k+1)=2−1k+1. 由(1)(2)可知，对任意n ∈N ∗，都有112+122+⋯+1n 2⩽2−1n 成立. 14(1)【答案】S 1=a 1=−23.当n ⩾2时，由S n +1S n +2=a n =S n −S n−1，得S n =−12+S n−1， 则S 2=−12−23=−34， S 3=−12−34=−45. 猜想S n =−n+1n+2.(2)【答案】(i)当n =1时，由题意知等式成立.(ii)假设当n =k 时，等式成立，即S k =−k+1k+2, 则当n =k +1时，S k+1=−12+S k =−12−k+1k+2=−k+2k+3=−k+1+1k+1+2，等式也成立. 由(i)(ii)可知，对任意n ∈N ∗,S n =−n+1n+2都成立.15.【答案】:A【解析】:因为从n =k 到n =k +1增加了(k +3)3， 减少了k 3，故利用归纳假设，只需将(k +3)3展开， 证明余下的项9k 2+27k +27能被9整除. 16(1)【答案】由f(1)=2，f(2)=4，f(3)=8，得{a +b +c =1,8a +4b +2c =3,27a +9b +3c =7, 解得{a =16,b =0,c =56.(2)【答案】以下用数学归纳法证明f(n)=16n 3+56n +1,n ∈N ∗. ①当n =1时，由(1)知等式成立.②假设当n =k(k ∈N ∗)时等式成立，即f(k)=16k 3+56k +1， 那么当n =k +1时，在k 个平面的基础上再添加第k +1个平面， 因为它和前k 个平面都相交，所以可以得到k 条互不平行的交线，且其中任 何3条交线都不共点，这k 条交线可以把第k+1个平面划分成12k2+12k+1个部分，每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域，因此，空间区域的总数增加了12k2+12k+1个，所以f(k+1)=f(k)+1 2k2+12k+1=16k3+56k+1+12k2+12k+1=16(k+1)3+56(k+1)+1，即当n=k+1时，等式也成立.由①②可知，f(n)=16n3+56n+1,n∈N∗.。

2.3 数学归纳法一、选择题（每小题5分，共20分）1．一个关于自然数n的命题，如果验证当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于( )A．一切正整数命题成立B．一切正奇数命题成立C．一切正偶数命题成立D．以上都不对2．在数列{a n}中，a n＝1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n，则a k＋1＝( )A．a k＋12k＋1B．a k＋12k＋2－12k＋4C．a k＋12k＋2D．a k＋12k＋1－12k＋23.设平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(k)，则f(k＋1)与f(k)的关系是( )A．f(k＋1)＝f(k)＋k＋1B．f(k＋1)＝f(k)＋k－1C．f(k＋1)＝f(k)＋kD．f(k＋1)＝f(k)＋k＋24.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n 能被x＋y整除”，第二步归纳假设应写成( ) A．假设n＝2k＋1(k∈N*)正确，再推n＝2k＋3正确B．假设n＝2k－1(k∈N*)正确，再推n＝2k＋1正确C．假设n＝k(k∈N*)正确，再推n＝k＋1正确D．假设n＝k(k≥1)正确，再推n＝k＋2正确二、填空题(每小题5分，共10分)5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋n22时，当n＝k＋1时左端在n＝k时的左端加上________．6．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n ×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是________．三、解答题(共70分)7.（15分）对于n∈N*，用数学归纳法证明：1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1＝16n(n＋1)(n＋2)．8.（20分）已知正项数列{a n}和{b n}中，a1＝a(0＜a＜1)，b1＝1－a.当n≥2时，a n＝a n－1b n，b n＝b n－11－a2n－1.(1)证明：对任意n∈N*，有a n＋b n＝1；(2)求数列{a n}的通项公式．9．(20分)数列{a n}满足S n＝2n－a n(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式a n；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．10.（15分）已知点P n(a n，b n)满足a n＋1＝a n·b n＋1，b n＋1＝b n1－4a n2(n∈N*)且点P1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点P n都在(1)中的直线l上．2.3 数学归纳法答题纸得分：一、选择题二、填空题5． 6．三、解答题7.8.9.10.2.3 数学归纳法 答案一、选择题1.B 解析：本题证的是对n ＝1,3,5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立．2.D 解析： a 1＝1－12，a 2＝1－12＋13－14，…，a n ＝1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ，a k ＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ，所以，a k ＋1＝a k ＋12k ＋1－12k ＋2. 3.C 解析：当n ＝k ＋1时，任取其中1条直线，记为l ，则除l 外的其他k 条直线的交点的个数为f (k )，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点)；又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k 个交点两两不相同，且与平面内其他的f (k )个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是f (k )＋k ＝f (k ＋1)．4.B 解析：首先要注意n 为奇数，其次还要使n ＝2k －1能取到1.二、填空题5.(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2解析：n ＝k 时左端为1＋2＋3＋…＋k 2，n ＝k ＋1时左端为1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.6.2(2k ＋1)解析：当n ＝k (k ∈N *)时，左式为(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )；当n ＝k ＋1时，左式为(k ＋1＋1)·(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k －1)·(k ＋1＋k ) ·(k ＋1＋k ＋1)，则左边应增乘的式子是(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)．三、计算题7.证明：设f (n )＝1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －1)·2＋n ·1. (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；(2)设当n ＝k 时等式成立，即1·k ＋2·(k －1)＋3·(k －2)＋…＋(k －1)·2＋k ·1＝16k (k ＋1)(k ＋2)，则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝1·(k ＋1)＋2[(k ＋1)－1]＋3[(k ＋1)－2]＋…＋[(k ＋1)－2]·3＋[(k ＋1)－1]·2＋(k ＋1)·1 ＝f (k )＋1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1) ＝16k (k ＋1)(k ＋2)＋12(k ＋1)(k ＋1＋1) ＝16(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)． ∴由(1)(2)可知当n ∈N *时等式都成立． 8．解： (1)证明：用数学归纳法证明．①当n ＝1时，a 1＋b 1＝a ＋(1－a )＝1，命题成立；②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时命题成立，即a k ＋b k ＝1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＋b k ＋1＝a k b k ＋1＋b k ＋1＝(a k ＋1)·b k＋1＝(a k ＋1)·b k 1－a k 2＝b k 1－a k ＝b kb k＝1. ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①、②可知，a n ＋b n ＝1对n ∈N *恒成立．(2)∵a n ＋1＝a n b n ＋1＝a n b n 1－a n 2＝a n (1－a n )1－a n 2＝a n1＋a n， ∴1a n ＋1＝1＋a n a n ＝1a n＋1，即1a n ＋1－1a n＝1.数列{1a n}是公差为1的等差数列，其首项为1a 1＝1a，1a n ＝1a＋(n －1)×1，从而a n ＝a1＋(n －1)a.9. 解：(1)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝74，a 4＝158，由此猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)．(2)证明：当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k－12k －1，那么n ＝k ＋1(k ≥1，且k ∈N *)时， a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1. ∴2a k ＋1＝2＋a k ，∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k－12k －12＝2k ＋1－12k， 这表明n ＝k ＋1时，结论成立．∴a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)．10. 解：(1)由P 1的坐标为(1，－1)知a 1＝1，b 1＝－1.∴b 2＝b 11－4a 12＝13.a 2＝a 1·b 2＝13.∴点P 2的坐标为(13，13)∴直线l 的方程为2x ＋y ＝1. (2)证明：①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立．②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，2a k ＋b k ＝1成立， 则当n ＝k ＋1时，2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1＝b k1－4a k2(2a k ＋1)＝b k 1－2a k ＝1－2a k1－2a k＝1， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②知，对n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1， 即点P n 在直线l 上．。

4.1 数学归纳法（检测学生版）时间:50分钟 总分：80分班级： 姓名：一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1、设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N ＋)，则f (n ＋1)－f (n )等于( ) A.13n ＋2B.13n ＋13n ＋1 C.13n ＋1＋13n ＋2 D.13n ＋13n ＋1＋13n ＋22．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验第一个值n 0等于( )A ．1B ．2C ．3D.03．已知a 1＝12，a n ＋1＝3a na n ＋3，猜想a n 等于( )A.3n ＋2B.3n ＋3C.3n ＋4D.3n ＋54．用数学归纳法证明：(n ＋1)(n ＋2)…·(n ＋n )＝2n ×1×3…(2n －1)时，从“k 到k ＋1”左边需增乘的代数式是( )A ．2k ＋1 B.2k ＋1k ＋1 C ．2(2k ＋1)D.2k ＋2k ＋15．用数学归纳法证明：“1+a+a 2+…+a n+1=aa n --+112(a≠1,n ∈N +)”在验证n=1成立时，左边计算所得的结果是（ ） A.1 B.1+a C.1+a+a 2 D.1+a+a 2+a 36、记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)等于f (k )加上( )A.π2 B ．π C ．2πD.32π二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）7．观察式子1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，…，猜想第n 个式子应为________．8．如图，第n 个图形是由正(n ＋2)边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第(n －2)个图形中共有________个顶点．9、用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N ＋)”的过程中，第二步假设n ＝k 时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到________．10．用数学归纳法证明34n ＋1＋52n ＋1(n ∈N ＋)能被14整除，当n ＝k ＋1时，对于34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1应变形为________．三、解答题（共3小题，每题10分，共30分） 11、用数学归纳法证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2＝n ＋12n(n ≥2，n ∈N ＋)． 12．用数学归纳法证明：对于任意正整数n ，整式a n －b n 都能被a －b 整除． 13、已知数列11×4，14×7，17×10，…，1(3n －2)(3n ＋1)，…，计算数列和S 1，S 2，S 3，S 4，根据计算结果，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明．。

2019-2020年高中数学4.1数学归纳法练习新人教A版选修4-51•了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题. 2 •会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1 + x)n> 1 + nx(x>—1, x 丰 0, n 为正整数).了解当n为实数时贝努利不等式也成立.数学归纳法是重要的数学思想方法，同学们应通过对一些简单问题的分析，掌握这种思想方法.在利用数学归纳法解决问题时，常常需要进行一些代数恒等变换. 不要做那些代数恒等变换比较复杂或过于技巧化的问题或习题，以免冲淡了对数学归纳法思想的理解.注意数学归纳法一般步骤的要求，严格按要求表达.两个步骤一个结论都要认真写好.1. 了解数学归纳法的原理及其使用范围.2. 会用数学归纳法证明一些简单问题.预习导修3. 掌握数学归纳法证明的两个步骤和一个结论.1. 数学归纳法是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在________ 时成立，这是递推的基础；第二步是假设在_________ 时命题成立，再证明________ 时命题也成立，这是递推的依据.实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限.证明时，关键是k+ 1步的推证，要有目标意识.答案：n = n0( N*) n= k( k> n。

，k € N*) n= k + 12. ___________________________________________ 从试验、观察出发，用不完全归纳法作出____________________________________________________ ，再用数学归纳法进行 _________这是探索性问题的证法，数列中经常用到(试值T猜想T证明).答案：归纳猜想严格证明8 • 1 8 • n思考已知数列1飞，…，(2n—〔厂.(2n+门2，….S为其前n项和，求S, S a, S, S,推测S公式.8 24 48 80 …，(2n+ 1) 2— 1 * 解析：计算得s=9，25，Sj=49，81，推测s=—(n€N).報厂分层億條—邑练旦1 •用数学归纳法证明 n ( n + 1)(2 n + 1)能被6整除时，由归纳假设推证 n = k + 1时命题成立，需将n = k + 1时的原式表示成()A. k (k + 1)(2 k + 1) + 6( k + 1)B. 6k (k + 1)(2 k + 1) 2C.k (k + 1)(2 k + 1) + 6( k + 1)D. 以上都不对 答案：C2.下列四个判断中，正确的是()A. 式子 1 + k + / + •••+ k n ( n €N )当 n = 1 时恒为 1 2n — 1*B. 式子 1+ k + k + — + k (n €N )当 n = 1 时恒为 1 + k1 1 1 1 * , 1 1C. 式子彳+ 2 + §+…+ 2n+1 (n €N )当 n = 1 时恒为 1 + + - 答案：B 1 1 14.用数学归纳法证明：设 f (n ) = 1 + + 3+…+ 贝U n + f (1)=nf (n )( n €N *，且n 》2)第一步要证明的式子是 __________________ .答案：2 + f (1) = 2f (2)二昼练三 5.在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证( )A. 当n = 1时成立5111*小 1 1 1 D.设 f (n ) = ~~ + +…+ (n €N ),则 f (k +1) = f ( k ) + +' + ~n +1 n + 2 3n +1 … / 、丿 3k + 2 3k + 3 3k + 4 答案：C3.如果命题 P (n )对n = k 成立，那么它对 n = k + 2成立，又若 F ( n )对所有( A. B. C. Rn )对n = 2成立，则正整数 正偶数 正奇数 大于1 ) n 成立n 成立 n 成立的自然数n 成立+ f (2) +…+ f (n — 1)B. 当n= 2时成立C. 当n= 3时成立D. 当n= 4时成立解析：多边形至少有三条边.答案：C6.记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k + 1边形的内角和f (k +1) = f (k ) + ()n 3 A. B . n C. - n D . 2 n22答案：B1 _ a n +2 *7. ------------------------------------------------------------------------ 用数学归纳法证明"1+ a + a 2+…+ a n +1 = — -------------------------------------------------- , a * 1, n € N ”，在验证n = 1成1— a立时，左边计算所得项是()A. 1 B . 1+ a223C. 1 + a + a D . 1 + a + a + a 答案：C&某个命题与正整数 n 有关，若n = k ( k €N *)时该命题成立，那么可推得当 n = k + 1时该命题也成立，现已知当 n = 5时该命题不成立，那么可推得 ()A. 当n = 6时该命题不成立B. 当n = 6时该命题成立C. 当n = 4时该命题不成立D. 当n = 4时该命题成立答案：Cf (n ) = "++1+丄 + …+ 3"匕，贝V f (k + 1)等于(n +1 n + 2 3n + 1 1111 + 3k + 2 + 3k + 3 + 3k + 4 —k +^ 1 1 + — +3k + 4 k + 11 1 1 1解析:f(k )= k + 1 +k + 2+…+3k + 1，f (k +1)= k + 2+ k + 3 +…+ 3k + 1+ 3k + 2 +1 1 1111 3k + 3+3k + 4，…f(k + 1) = f(k) + 3k + 2+ 3k + 3+ 3k + 4 —k + 1.答案：C10. 用数学归纳法证明：对任何正整数 n 有： 11111n9. 已知 A.f (k ) + 3 ( k +1)+ 1B. f (k ) 1+ 3k + 2 C. f (k )D. f (k )—+ -+ -- + -- +•••+ 2 -------- =------3 15 35 63 4n —1 2n+11 1 1证明：(1)当n= 1时，左边=3，右边=2x 1 +1 = 3，故左边=右边，等式成立.(2) 假设当n= k(k> 1，k€ N*)时等式成立，即1111 1 k+ —+ + —+•••+ —2= -----3 15 35 63 4k —1 2k + 1那么当n= k + 1时，利用归纳假设有：1111 1 1 k 1 k + + + + ^ •+ 2 + 2 = + 2 = +3 15 35 63 4k —14 (k+ 1) —1 2k+ 1 4 (k+ 1) —1 2k + 121 k (2k+ 3)+ 1 2k + 3k + 1 (2k + 1)( k+ 1) (2k + 1)( 2k + 3) = (2k+1)( 2k+ 3) = (2k + 1)( 2k+ 3) = ( 2k+ 1)( 2k + 3) k+ 1=2 (k + 1)+ 1.所以当n =k + 1时等式也成立.综合(1)、⑵知，对任何正整数n,等式成立.三三列三1 1 1 111. 设f(n)= + ++…+亍(n€N+)，那么f( n+ 1) —f ( n)等于() n+ 1 n + 2 n+ 3 2n1 1A. B.2n+ 1 2n+ 2C丄+丄D丄—亠2n+ 12n+2 - 2n+ 1 2n+2"丄l1 1 1 1 1 1 1 1解析：•/ f (n)= n+ 1 +n+ 2+…+2n，f(n+1) =n+ 2+n+ 3 +…+2n+2n+ 1 +2n+ 2,11111• - f ( n+ 1) —f (n) = + —= —2n+ 1 2n+ 2 n+ 1 2n+ 1 2n + 2答案：D12. 观察下列等式：12 3= 12 2 2 n —1 2答案：1 — 2 + 3 —•••+ ( —1) n =13. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数1, 3, 6, 10,…,n (n+ 1) 1 2 1第n个三角形数为 2 =尹+刁门•记第n个k边形数为Nn, k)( k>3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：1 2 1三角形数N(n, 3) = q n+^n_ 2正方形数N(n, 4) = n3 21五边形数N(n, 5) = $n -，n六边形数N(n, 6) = 2n2—n可以推测N(n, k)的表达式，由此计算N(10 , 24) = ______12—22=— 312—22+ 32= 612—22+ 32—42=—10照此规律，第n个等式可为(—1)2 n + 1一n( n+ 1)解析：先根据给出的几个结论，推测出当k为偶数时，Nn, k)的表达式，然后再将n =10，k= 24代入，计算N(10 , 24)的值.由N(n, 4) = n2, N(n, 6) = 2n2- n,…，可以推测：当k 为偶数时，N(n, k) = \k—1 n2 k2丿—k—2 n,于是N(n, 24) = 11n2—10n,故N(10 , 24) = 11 x 102- 10X 10= 1 000.2答案：1 00014 .已知数列｛a n｝与｛b n｝的通项公式分别是a n = 3n—1、b n= 2 , n€ N，记T n= a n b1 + a n —1b2+，・・+ a1 b n, n€ N,用数学归纳法证明：T n + 12= —2a n+ 10b n( n€N ).证明：(1)当n= 1 时，T1+12= a1b1+ 12= 16,—2a+ 10b= 16,故等式成立；(2)假设当n= k时等式成立，即T k+12=—2a k+ 10b k，则当n= k + 1时有：T k+1 = a k+1b1 + a k b2 + a—1b3+…+ a1 b k+1 = a k+ 1b1 + 2( a k b1 + a<—1b2+…+ a1 b k) = a k+1b1 + 2T k =a k+ 1b1 + 2( —2a k+ 10b k—12) = 2a k+1 —4( a k+1 —3) + 10b k+1 —24 = —2a k+1 + 10b k+1 —12.即T k+1 + 12= —2a k+1 + 10b k+1，因此n= k + 1 时等式也成立.由(1)和(2)，可知对任意n€N*, T n+12=—2a n+ 10b n成立.方法小猪1•学习完全归纳法与不完全归纳法，要注意他们的区别与联系：归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法，由完全归纳法得出的结论是正确的，由不完全归纳法得出的结论有可能是错误的，但是不完全归纳法是人类研究科学、探索真理、发现客观规律的一种重要手段.2•数学中有很多涉及正整数的命题，由于正整数有无穷多个，因而不可能对所有的正整数一一加以验证.如果只对部分正整数加以验证，结论又不一定正确.数学归纳法的基本思想是先验证使结论成立的最小正整数n。

专题71数学归纳法基础知识训练1．用数学归纳法证明命题“3(1)(1)22n n n n n +++++=”时,在作归纳假设后,需要证明当1n k =+时命题成立,即需证明 ( )A ．3(1)(2)(1)2(1)2k k k k k +++++++=B ．3(1)(2)1(2)2(1)2k k k k k ++++++++=C ．3(1)(1)2(1)2k k k k k ++++++=D ．3(1)1(2)2(1)2k k k k k +++++++=【答案】B 【解析】将题目中的n ，改为1k +，即()()()()31212212k k k k k ++++++++=，故选B.2．利用数学归纳法证明()*()123(31)f n n n N =+++++∈时，第一步应证明（ ）A ．(2)12f =+B ．(1)1f =C ．(1)123f =++D ．(1)1234f =+++【答案】D 【解析】n 的初始值应为1，而(1)1234f =+++.故选：D3．在用数学归纳法证明等式1232(21)n n n +++⋯+=+时，当1n =时的左边等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】等式()123221n n n +++⋯+=+左边的规律为： 以1为首项，公差为1的等差数列的前2n 项和.所以，当1n =时的左边为：以1为首项，公差为1的等差数列的前2项和。

所以当1n =时的左边为：123+=.4．用数学归纳法证明“52n n -能被3整除”的第二步中，1n k =+时，为了使用假设，应将1152k k ++-变形为（ ） A ．()55232k kk-+⨯B ．()52452k kkk -+⨯-C ．()()5252k k--D ．()25235kkk--⨯【答案】A 【解析】解：假设n k =时命题成立，即：52k k -被3整除． 当1n k =+时，11525522k k k k ++-=⨯-⨯()5525222k k k k =-+⨯-⨯ ()55232k k k =-+⨯故选：A ．5．用数学归纳法证明等式：29312332n nn +++++=,由n k =的假设到证明1n k =+时,等式左边应添加的式子是( ) A ．31k + B ．()()3132k k +++C ．33k +D ．()()()313233k k k +++++【答案】D 【解析】由题意可得，当n k =时，等式左边等于1233k ++++，共3k 项求和；当1n k =+时，等式左边等于1233(1)k +++++，共33k +项求和；所以由n k =的假设到证明1n k =+时,等式左边应添加的式子是(31)(32)(33)k k k +++++.故选D6．利用数学归纳法证明“1111...(,1)2321n n n N n *++++<∈>-” 的过程中，由假设“n k =”成立，推导“1n k =+”也成立时，左边应增加的项数是（ ） A ．kB ．1k +C ．2kD ．21k +【解析】利用数学归纳法证明“1111...(,1)2321n n n N n *++++<∈>-”的过程中，假设“n k =”成立1111...(,1)2321k k n N n *++++<∈>-;当1n k =+时，左边为1111111.......1(,1)2321221221kk k k kk n N n *++++++++<+∈>-++- 故增加的项数为2k 项. 故答案为：C.7．用数学归纳法证明不等式22(1)n n N *>+∈（n ）时，初始值n 应等于（ ）A ．1B ．4C ．5D ．6【答案】D 【解析】由题意，当1n =时，122(11)<+；当2n =时，222(21)<+；当3n =时，322(31)<+； 当4n =时，422(41)<+；当5n =时，522(51)<+；当6n =时，622(61)>+； 当6n ≥时，22(1)nn N *>+∈（n ），所以用数学归纳法证明不等式22(1)nn N *>+∈（n ）时，初始值n 应等于6，故选D.8．用数学归纳法证明：111112123123n +++⋯+++++++⋯+21nn =+时，由n k =到1n k =+左边需要添加的项是（ ） A ．2(2)k k +B ．1(1)k k +C ．1(1)(2)k k ++D ．2(1)(2)k k ++【答案】D 【解析】当n =k 时，要证明的等式为：111112123123k+++++++++++21kk =+， 当n =k +1时，要证明的等式为：()11111121231231231kk k ++++++++++++++++++()()2111k k +=++，左边需要添加的项为()()()()()1121111231122k k k k k k ==++⨯+++++++++.故选：D .9．现有命题“1111123456(1)(1)()442n n nn ++-+-+-++-=+-+，n ∈+N ”，不知真假。